PROGRAMACIÓN DE TALLERES DE PRODUCCIÓN SERIALES …

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PROGRAMACIÓN DE TALLERES DE PRODUCCIÓN SERIALES HÍBRIDOS

(FLEXIBLES) CON MÚLTIPLES OBJETIVOS MEDIANTE

METAHEURÍSTICAS: COLONIAS DE HORMIGAS

ELYN LIZETH SOLANO CHARRIS

UNIVERSIDAD DEL NORTE

DIVISIÓN DE INGENIERÍAS

MAESTRIA EN INGENIERÍA INDUSTRIAL

BARRANQUILLA

2008

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PROGRAMACIÓN DE TALLERES DE PRODUCCIÓN SERIALES HÍBRIDOS

(FLEXIBLES) CON MÚLTIPLES OBJETIVOS MEDIANTE

METAHEURÍSTICAS: COLONIAS DE HORMIGAS

ELYN LIZETH SOLANO CHARRIS

MONOGRAFÍA DE GRADO

Presentado como requisito para optar al título de Magíster en Ingeniería Industrial

Director

Ph. D Ing. Carlos D. Paternita Arboleda

UNIVERSIDAD DEL NORTE

DIVISIÓN DE INGENIERIAS

MAESTRIA EN INGENIERIA INDUSTRIAL

BARRANQUILLA

2008

3

Nota de Aceptación:

____________________________________

____________________________________

____________________________________

____________________________________

____________________________________

____________________________________

____________________________________

Ph. D. Ing. Carlos D. Paternina Arboleda

Director del Proyecto

____________________________________

Ph. D. Ing. Ángel León González

Coordinador Programa Maestría

Ingeniería Industrial

____________________________________

Ph.D., Mat. Agustín Barrios

Profesor Departamento de Matemáticas

Jurado

____________________________________

M.Sc. Carlos Ardila

Profesor, Departamento Ing. de Sistemas

Jurado

4

“A mis padres y a mi hermana, por brindarme el apoyo necesario para salir adelante

y cumplir mis propósitos profesionales, gracias por acompañarme en este viaje lleno

de tropiezos y alegrías donde ustedes han sido la principal fuente de inspiración para

mi lucha”.

5

AGRADECIMIENTOS

Con el presente proyecto de tesis, quiero agradecer a mi Director Ph. D Ing. Carlos D.

Paternina Arboleda por sus sugerencias para trabajar en esta temática, su apoyo, y

paciencia.

A mi amigo Ingeniero de Sistemas Alfredo José Pérez Martínez, por su invaluable

colaboración y apoyo incondicional.

Y a todos aquellos que hicieron participe de esta tesis por sus sugerencias y motivación.

6

RESUMEN

En el presente proyecto se desarrolló una aplicación computacional de colonias de

hormiga para la solución del problema HFK, (PM(l)

)lk

=1 || Fl(Cmax, C ), definido como un

flowshop flexible con K estaciones, M(l) máquinas idénticas, por cada estación (etapa)

l. El programa optimiza a través de Metaheurísticas dos objetivos en producción:

minimiza el lapso (Cmax) de producción y la suma de tiempos de terminación ( C ). De

acuerdo a lo anterior, los modelos de apoyo para la Toma de Decisiones (Decision

Support Models, DSM) sirven de soporte para la programación de operaciones en

empresas con sistemas de producción flexibles en serie y múltiples objetivos de

programación.

7

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

1. INTRODUCCIÓN 11

1.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 11

1.1.1 Planteamiento del Problema 11

1.2 OBJETIVOS 13

1.2.1 Objetivo General 13

1.2.2 Objetivos Específicos 13

1.3 ALCANCES Y LIMITACIONES 13

1.3.1 Alcances 13

1.3.2 Limitaciones 14

1.4 MARCO DE REFERENCIA 14

1.4.1 Marco Teórico 14

1.4.1.1 Programación De Operaciones En Planta 17

1.4.1.2 Optimización Multi-objetivo 20

1.4.1.2.1 Función Objetivo 20

1.4.1.2.2 Restricciones 20

1.4.1.2.3 Vector objetivo 21

1.4.1.2.4 Soluciones no comparables 21

1.4.1.2.5 Mínimo Global 21

1.4.1.2.6 Mínimo Local 21

1.4.1.2.7 Máximo Global 22

1.4.1.2.8 Máximo Local 22

1.4.1.2.9 Dominancia de Pareto 22

1.4.1.2.10 Conjunto Pareto 22

1.4.1.2.11 Frente de Pareto 22

1.4.1.3 Heurísticas y Metaheurísticas 22

1.4.1.3.1 Algoritmos Evolutivos 24

1.4.1.3.1.1 Inicialización de la población 27

1.4.1.3.1.2 Función de Evaluación (Fitness) 28

1.4.1.3.1.3 Selección 28

8

1.4.1.3.1.4 Cruce (Crossover) 29

1.4.1.3.1.5 Mutación 30

1.4.1.3.2 Strenght Pareto Evolutionary Algoritm 2 31

1.4.1.3.3 Meta-Heurísticas De Colonias De Hormiga 32

1.5 METODOLOGIA 35

1.5.1 Tipo de estudio 35

1.5.2 Método de Investigación 35

1.5.3 Fuentes y Técnicas 36

1.5.4 Tratamiento de la información 36

2. SUPUESTOS BÁSICOS Y DISEÑO DEL ALGORITMO HÍBRIDO

ANT- COLONY 37

2.1 SUPUESTOS BÁSICOS 37

2.2 DISEÑO DEL ALGORITMO HÍBRIDO ANT- COLONY 38

2.2.1 Construir_solucion 39

2.2.2 Evaluar_solucion 39

2.2.3 Actualizar_Frente_Pareto 39

2.2.4 Actualizar_Feromonas 39

2.2.5 Reiniciar_ feromonas 40

3. EXPERIMENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 41

3.1 DESCRIPCIÓN DEL LOS ARCHIVOS DE ENTRADA 41

3.2 CARACTERÍSTICAS DEL EXPERIMENTO 42

3.3 CONFIGURACIÓN DE PARÁMETROS 42

3.4 RESULTADOS OBTENIDOS 43

3.5 COMPARACIÓN DE RESULTADOS 50

3.6 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 62

4. CONCLUSIÓN Y TRABAJOS FUTUROS 66

4.1 CONCLUSIONES 66

4.2 TRABAJOS FUTUROS 66

ANEXOS 67

BIBLIOGRAFÍA 98

9

LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 1. Escenario Flowshop Flexible 41

Tabla 2. Resultados iteración 1-5 44






Tabla 8. Porcentajes diferenciales iteración 1-5 53






Tabla 14. Coordenadas del Frente de Pareto obtenido con la herramienta

MHFACO 65

10

LISTA DE FIGURAS

Pág.

Figura 1. Sistema Flowshop Flexible 18

Figura 2. Representación de un Algoritmo Genético 26

Figura 3. Esquema de un Algoritmo Genético 27

Figura 4. Ejemplo de ejecución de un algoritmo genético 27

Figura 5. Las hormigas y el camino más corto 33

Figura 6. Imagen “Parámetros para la ejecución del Algoritmo” 43

Figura 7. Resultados del Cmax presentados por el LEKIN ® 51

Figura 8. Resultados del C presentados por el LEKIN ® 52

Figura 9. Frente de Pareto obtenido con la herramienta MHFACO 64

11

1. INTRODUCCIÓN

1.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

1.1.1 Planteamiento del Problema

La mayoría de problemas de optimización del mundo real tienen varios objetivos que

deben satisfacerse de manera simultánea, los cuales se encuentran sujetos a ciertas

restricciones propias de su entorno.

Ante la presencia de problemas de optimización con varios objetivos, la perspectiva o

concepción de lo que significa un óptimo, cambia con respecto a los problemas de

optimización que presentan un solo objetivo, ya que en la optimización mono-objetivo

la solución del problema es única, mientras en los problemas multi-objetivo la solución

no es necesariamente única, sino que, podría ser un conjunto de soluciones.

Para evidenciar este hecho, se toma como caso de implementación el siguiente

problema de programación de operaciones1:

Datos:

n, Número de trabajos

k, Número de estaciones

)(lM , l =1, …, k, Número de máquinas por estación

)(l

ip , i =1, …, n, l =1, …, k el tiempo de procesamiento de el trabajo Ji en la estación l

, =0, …, 1, peso

Variables:

vujiX ,,,, i, j = 1, …,n, u=1, …, )(vM , v =1, …k, variable binaria, igual a 1 si el trabajo

Ji es procesado en la posición j en la máquina uM en la estación v, 0 de otra forma

)(l

iC , i = 1, …, n, l =1, …, k, tiempo de terminación del trabajo Ji en la estación l

maxC , Makespan

1 T’kind, Billaut. “Multicriteria scheduling theory, models and algorithms”

12

C , suma de los tiempos de terminación de los trabajos

Objetivo: Minimizar max)1( CC

Restricciones:

)(

1 1

,,, ,...,1,,...,1,1

vM

m

n

l

vmli kvniX (A)

n

i

v

vmli nlkvMmX1

)(

,,, ,...,1,,...,1,,...,1,1 (B)

nunikvvMmHVXpXC vmui

u

l

n

j

v

jvmlj

v

i ,...1,,...,1,,...,1),(,...,1),)1(( ,,,

1 1

)(

,,,

)(

(C)

kvnipCC v

i

v

i

v

i ,...,1,,...,1,1 (D)

niCC k

i ,...,1,)(

max (E)

n

i

k

iCC1

)( (F)

El programa optimiza el siguiente problema HFK, (PM(l))l

k=1 || Fl(Cmax, C ), definido como

un flowshop flexible con k estaciones, M(l)

máquinas idénticas, por cada estación (etapa)

l; donde los dos objetivos en producción son: minimizar el lapso (Cmax) de producción

y la suma de tiempos de terminación ( C ).

La restricción (A) expresa el hecho de que todos los trabajos deben ser procesados en

cada estación. La restricción (B) implica el hecho que debe haber un trabajo en la

posición l en cada máquina. La restricción (C) y (D) permiten calcular los tiempos de

terminación en cada estación. Finalmente, la restricción (E) y (F) definen los criterios

Cmax y C que serán minimizados.

De acuerdo a lo anterior, el modelo planteado surge de la necesidad de dar solución al

problema mencionado y, para esto, se plantea una alternativa de solución a través de

Metaheurísticas: Colonias de Hormiga de concepción Multi-objetivo, que permita

optimizar la programación de operaciones en empresas con sistemas de producción

flexibles en serie y múltiples objetivos de programación.

13

1.2 OBJETIVOS

1.2.3 Objetivo General

Resolver el problema de programación de operaciones en empresas con sistemas de

producción flexibles en serie y múltiples objetivos de programación mediante la

aplicación de la metaheurística Ant Colony.

1.2.4 Objetivos Específicos

Diseñar e implementar sistemas de apoyo para la Toma de Decisiones (Decision

Support System, DSM) que sirvan de soporte para la programación de operaciones en

empresas con sistemas de producción flexibles en serie y múltiples objetivos de

programación.

Implementar una herramienta computacional que cumpla la función de facilitar la

aplicación de los DSM diseñados, y realizar de manera efectiva la actividad de

programación de operaciones en planta.

Comparar los resultados obtenidos por la herramienta propuesta, con los resultados

obtenidos con la herramienta de dominio público LEKIN ®.

1.3 ALCANCES Y LIMITACIONES

1.3.1 Alcances

El proyecto de la presente propuesta cumple con los siguientes objetivos específicos:

El desarrollo de una aplicación de colonias de hormigas para minimizar el lapso

(Cmax) de producción y la suma de tiempos de terminación ( C ) en entornos de

producción flexibles en serie y con múltiples objetivos de programación.

14

Diseño e implementación del sistema DSM, el cual implica el desarrollo de los

siguientes aspectos:

1. Modelos de optimización necesarios para realizar en forma optimizada la

programación de operaciones.

2. Herramientas de programación de operaciones.

3. Entrega de resultados y documentación relacionada con los modelos

desarrollados.

Adicionalmente, el conjunto de modelos implementado permitirá la aplicación de la

herramienta en empresas que cumplan con el entorno de producción en estudio, esto a

su vez facilitará la elaboración de planes gruesos de contingencia con relación a su

sistema productivo.

1.3.2 Limitaciones

El proyecto se encuentra limitado al desarrollo de algoritmos para la programación de

operaciones en empresas con entornos de producción flexibles en serie. No se tendrán

en cuenta en principio para este problema restricciones sobre el taller de producción o

sobre órdenes de producción, tiempos de liberación de las órdenes de producción, y

tiempos de alistamiento.

1.4 MARCO DE REFERENCIA

1.4.1 Marco Teórico

Gran parte de los problemas del mundo real implican la optimización simultánea de

varios objetivos que generalmente presentan conflictos entre ellos; es decir, la mejora en

uno conduce a un deterioro en el otro. La presencia de tales tipos de problemas es tan

significativa, que consume gran parte de nuestro tiempo cotidiano de decisión. Se trata,

por ejemplo, de escoger el medio ideal para llegar al trabajo, establecer el orden de

nuestras tareas, elegir el restaurante para el almuerzo, hacer las compras en el

supermercado, preparar la cena y la distribución de actividades en el tiempo de ocio

restante. También es el mismo tipo de problemas que enfrentan los ingenieros y

técnicos a la hora de diseñar e implementar sistemas de todo tipo: existen múltiples

objetivos a cumplir y se espera lograrlos todos en la medida de lo posible.

15

Aunque la mayoría de los problemas de decisión involucran este tipo de situaciones, las

propuestas computacionales que se han presentado para resolverlos habitualmente se

limitan a convertir el problema de objetivos múltiples en uno con objetivo único.

Esta reducción es debida a los modelos matemáticos empleados y puede realizarse de

varias maneras, por ejemplo se prioriza uno de los objetivos y los demás se colocan

como restricciones, o también se genera un objetivo compuesto otorgando pesos a los

objetivos en juego y armando una suma ponderada de los mismos. De todos modos,

ninguna de estas reducciones refleja fielmente al problema y, por tanto, tampoco otorga

soluciones completamente satisfactorias.

Se pone como ejemplo el problema de la compra de un automóvil. El comprador desea

un automóvil óptimo y por tanto no puede preocuparse solamente en minimizar el

precio del auto, ya que también le interesan otros factores. Si se tratase de un problema

de objetivo único, se conformaría con llamar a todos los distribuidores y hacer una lista

de precios (sin considerar marcas, modelos, tamaño, confort, etc.) y escogería el

automóvil de menor precio sin mayores complicaciones. Sin dudas, el modelo

matemático que está empleando en su búsqueda ¡no es el más apropiado!. Por ende, los

resultados tampoco son satisfactorios, y por ahorrarse unos pesos inicialmente, el

comprador acaba gastando todos sus ahorros en combustible y costos de mantenimiento.

Sin embargo, el estado actual de la ciencia podría generar mejores resultados ya que

existen modelos matemáticos que se ajustan mejor a la naturaleza de éstos problemas.

Tales modelos provienen de un área de la Investigación de Operaciones conocida como

optimización con objetivos múltiples o multiobjetivo.

En los problemas de optimización de un solo objetivo (SOPs, del inglés Single

Objective Problem) el resultado óptimo deseado está claramente definido. Partiendo del

ejemplo anterior el objetivo sería minimizar precio del automóvil, y el resultado sería el

automóvil con menor precio. Sin embargo, esta condición no se cumple para los

problemas de optimización multiobjetivo (MOPs, por sus siglas en inglés:

Multiobjective Optimization Problem) donde, en vez de un único óptimo, contamos con

todo un conjunto de soluciones de compromiso.

16

Para evidenciar este hecho se vuelve al ejemplo del problema de la compra de un

automóvil. El comprador tiene varios objetivos que desearía alcanzar, pero también

múltiples restricciones. En cuanto a objetivos podríamos mencionar: minimizar el costo

del automóvil, la cantidad de combustible consumida en una distancia dada, los gastos

de mantenimiento implicados, etc. Además, deseará maximizar el confort, el espacio, la

confiabilidad, la seguridad, tiempo transcurrido entre mantenimientos, costos de

reventa, etc. Cuando se plantean las restricciones descubrimos que este comprador

cuenta con un presupuesto limitado, desea un vehículo fabricado en la región y confía

más en algunas marcas que en otras. Los conflictos que surgen entre los objetivos

mencionados son obvios e inmediatamente –considerando la propia experiencia– surgen

posibles soluciones. Así tenemos el automóvil que tiene el menor precio, pero está

bastante alejado de los objetivos relacionados al confort, la seguridad y la confiabilidad.

También tenemos el de costo superior a los demás pero con óptimas características,

aunque amplio consumo de combustible. Así podemos citar numerosos ejemplos. Entre

éstos se encuentran los automóviles promedio, que cumplen con las restricciones dadas

y que implican una solución de compromiso entre todos los factores en juego. Entre

ellos no se puede decir que alguno sea mejor, ya que al alterar un factor para mejorarlo,

estamos empeorando otro. Así, en un problema de optimización multiobjetivo cotidiano,

resulta evidente la existencia de múltiples soluciones y la imposibilidad de decidir cuál

de ellas es mejor si se consideran todos los objetivos al mismo tiempo. En el caso del

comprador, para realizar su elección deberá necesariamente contar con algún criterio,

posiblemente de índole subjetiva, que le permita optar por una u otra alternativa.

Se dice que las soluciones de un problema con objetivos múltiples son óptimas porque

ninguna otra solución, en todo el espacio de búsqueda, es superior a ellas cuando se

tienen en cuenta todos los objetivos al mismo tiempo, i.e. ningún objetivo puede

mejorarse sin degradar a los demás.

Al conjunto de estas soluciones óptimas se conoce como soluciones Pareto óptimas. Su

nombre les fue dado en honor al ingeniero y economista Wilfredo Pareto, quien fue el

primero en definir un nuevo criterio de optimalidad para los problemas en que existen

múltiples objetivos a cumplir, y persisten conflictos al realizar la optimización

simultánea de los mismos. A partir de este concepto se establece, como requisito para

17

afirmar que una situación es mejor que otra, el que en ella no se disminuya a nadie, pero

se mejore a alguno; es decir que una situación será mejor que otra sólo si en la nueva es

posible compensar las pérdidas de todos los perjudicados... y aún queda un sobrante. En

todo otro caso, según Pareto, para decidir se requiere un juicio de valor y la ciencia no

puede guiarnos.

El presente capítulo presente las definiciones necesarias que fundamentan teóricamente

el presente proyecto.

1.4.1.1 Programación De Operaciones En Planta

La programación de la producción ha sido uno de los temas de investigación más

recurrentes en el área de administración de operaciones durante la última mitad de siglo

XX. Debido a la cada vez más fuerte competencia en los mercados, para muchas

empresas se ha hecho necesarios amplias su portafolio de productos, buscando de esta

manera satisfacer a más clientes potenciales. Este cambio aparentemente trae consigo

grandes problemas de planeación y el control de los sistemas productivos: Un número

amplio de referencias implica mayores niveles de inventario o mayores exigencias en

cuanto a capacidad instalada, lo que a su vez implica mayores costos operacionales. Si

a estos problemas se le suma una pobre programación de la producción, estos se pueden

ver multiplicados.

Debido a estas razones y a la gran complejidad que implica encontrar una solución al

problema de la programación de la producción, éste ha sido el tema de muchos

proyectos de investigación durante los últimos cuarenta años.

Programar es el proceso de organizar, elegir y dar tiempos al uso de recursos para llevar

a cabo todas las actividades necesarias, para producir las salidas deseadas en los tiempos

deseados, satisfaciendo a la vez un gran número de restricciones de tiempo y relaciones

entre las actividades y los recursos.

La enorme cantidad de combinaciones existentes en un sistema productivo, hacen

imposible la evaluación de todos los posibles programas para la determinación de el

programa de operaciones optimo, incluso implementando el mas poderoso sistema de

18

computo que pueda ser adquirido en la actualidad. Lo anterior impulsó el desarrollo de

técnicas inteligentes de optimización, las cuales no están diseñadas bajo la premisa de

obtener la solución óptima de un problema, sino en cambio, sacrificar un pequeño

margen de exactitud en beneficio de no requerir una desmesurada potencia de cómputo.

Un importante grupo de técnicas de optimización inteligentes son las denominadas

heurísticas y metaheurísticas.

Los países industrialmente desarrollados, poseen cerca de 30 años de investigación y

desarrollo en esta área, gran parte de estos desarrollos se gestan en las universidades.

Los países industrializados, son productores y distribuidores de esta tecnología.

Colombia se encuentra en una posición de consumidor, pero solo un pequeño grupo de

empresas, localizado en el sector de los grandes contribuyentes posee capacidad de

adquisición.

En esta investigación se estudia y se propone una nueva metodología para resolver el

problema de secuenciar apropiadamente n actividades independientes y disponibles

simultáneamente en N estaciones ó etapas con mj maquinas en paralelo. Esto es la

solución al sistema productivo flowshop flexible.

Figura 1. Sistema Flowshop Flexible.

Cada trabajo será procesado en cada etapa una sola vez. Además, todos los trabajos

serán procesados en la primera estación, luego en la segunda estación hasta completar la

secuencia. El tiempo de procesamiento para cada producto en cada estación estará

compuesto el tiempo de alistamiento de la máquina, el tiempo en que la máquina

transforma al producto, es decir lo procesa y el tiempo para retirar el producto de la

máquina, antes de colocar el siguiente.

19

La función Objetivo de interés es minimizar makespan Cmax y la suma de los tiempos

de terminación de los trabajos simultáneamente. También es ampliamente conocido

como lapso. Definido de otra forma, es el tiempo en donde la última actividad deja al

sistema.

A pesar que el problema flowshop flexible con múltiples maquinas ha sido estudiado en

otras investigaciones, a la fecha no se encontraron instancias publicadas para este tipo

de problemas. Sin embargo, durante la investigación se generaron varias instancias que

pueden ser utilizadas por otros investigadores para sus futuros análisis. Incluyendo

medidas desempeño de la heurística y el valor óptimo para cada conjunto de datos.

Una de las principales limitaciones para comparar la heurística con el óptimo es lo

extenso del espacio de posibles secuencias para el problema en estudio. De allí que para

n productos, N estaciones y Mj maquinas por estación (con n > mj; para todo j tal que j

= 1, 2,.. N). El numero total de soluciones o secuencias viene dada por la ecuación:

N

j jjj mmmn

nn

1 )!()!1()!(

)!()!1(

Observemos que para una de las instancias de la investigación: problema con 7

productos, 5 estaciones y 3, 4, 3, 2 y 2 maquinas en cada estación respectivamente, el

problema esta sujeto a un espacio de 1.52 x 1020 posibles secuencias. Si se cuenta con

un equipo de computo que pueda procesar un billón de secuencias por segundo, dicho

equipo finalizará su labor en 4 años y 10 meses.

El problema de estudio es aún un problema abierto en la literatura. La mayor cantidad

de información asume trabajos no idénticos y máquinas paralelas idénticas (ver por

ejemplo los trabajos de Guinet y Solomon, Gupta, Gupta y Tung , Lee y Vairaktarakis.

Desouki et al. Propone un procedure O(n log n) basado en la regla LST para resolver un

problema más sencillo mono-objetivo: F1(Q1) | rj, pj = 1, | Cmax. T´kindt y Billaut

presentan una propuesta más cercana al problema de interés de esta investigación, pero

sólo introducen el modelo matemático de programación entera binaria con ponderación

de objetivos.

20

1.4.1.2 Optimización Multi-objetivo

La optimización multi-objetivo puede ser definida como el problema de encontrar un

vector de variables de decisión que satisfacen restricciones y optimiza un vector de

funciones cuyos elementos representan las funciones objetivo. Estas definiciones

aparecen en los trabajos de Coello y Deb.

Se desea encontrar un vector de decisión:

Tnxxxx ,...,, 21

con nRx

, que deberá satisfacer restricciones de desigualdad:

0)( xg i

wi ,...,2,1

y optimizar el vector de funciones

Tb xfxfxfxf )(),...,(),()( 21

que generalmente cumple con bRxf )(

. El conjunto de todas las soluciones que

satisfacen la condición es conocido como dominio de soluciones factibles, y se

representa como , en general nR . El correspondiente conjunto imagen o se

define como:

xRxf bo

)(

1.4.1.2.1 Función Objetivo: Denotada con f, función objetivo convierte los vectores de

decisión en un espacio K-dimensional llamado Espacio Objetivo, kRZ ( R , el

conjunto de los números reales). f es un conjunto de funciones T

kffff ),...,,( 21 .

1.4.1.2.2 Restricciones: En todo problema de optimización con restricciones, el

entorno, la disponibilidad de recursos o las características inherentes al problema,

21

imponen sobre éste un conjunto de restricciones, que deben ser satisfechas al solucionar

el problema, con el fin de tener soluciones factibles.

Las restricciones están dadas en términos de las variables de decisión y de los

operadores de(<, , , > y 0) . Una posible forma de enunciar restricciones sería:

ri(x) >=0; i=1, 2, …, m

si(x) <=0; i=1, 2, …, p

gi(x) =0; i=1, 2, ..., k

donde m+p+k debe ser menor que el número de variables de decisión n, para que

puedan existir grados de libertad a optimizar.

1.4.1.2.3 Vector objetivo: (vector de criterio, punto): Denotado con z representa la

imagen en el espacio objetivo de un vector de decisión a través de f.

T

kkk xfxfxfzzzxfZ ))(),...(),((),...,()( 221121

1.4.1.2.4 Soluciones no comparables: Dados u, v, si u v ni v u, se dice que

son soluciones no comparables, lo que se denota como u ~ v.

1.4.1.2.5 Mínimo Global: Dada la función f, supongamos que θ el conjunto de

soluciones factibles es diferente de vacío, entonces x*, es llamado un mínimo global si

para toda x θ, se tiene que:

f(x*) f(x)

1.4.1.2.6 Mínimo local: Dada la función f, supongamos que θ el conjunto de soluciones

factibles es diferente de vacío, entonces x*, es llamado un mínimo local si para toda

x I θ, se tiene que:

f(x*) f(x)

22

1.4.1.2.7 Máximo Global: Dada la función f, supongamos que θ el conjunto de

soluciones factibles es diferente de vacío, entonces x*, es llamado un mínimo global si

para toda x θ, se tiene que:

f(x*) (x)

1.4.1.2.8 Máximo local: Dada la función f, supongamos que θ el conjunto de soluciones

factibles es diferente de vacío, entonces x*, es llamado un mínimo local si para toda

x θ, se tiene que:

f(x*) f(x)

1.4.1.2.9 Dominancia de Pareto: Sean dos soluciones u , v . Se dice que u domina

a v (denotado como u v) si es mejor o igual que v en cada uno de los objetivos y

estrictamente mejor en al menos un objetivo.

Como ejemplo, en un contexto de minimización u v si y solo si:

)(,...2,1,...,2,1)()( ufjbivfuf jii < )(vf j

1.4.1.2.10 Conjunto Pareto: El conjunto de todas las soluciones x

no dominadas en

se denomina Conjunto Pareto, lo que se denota como CP. Las soluciones x

que

pertenecen a CP se denotarán como x*.

1.4.1.2.11 Frente de Pareto: La imagen del Conjunto Pareto a través de la función f

se

denomina Frente Pareto, denotado por Y.

1.4.1.3 Heurísticas y Metaheurísticas

En general existe una gran cantidad de problemas que se consideran difíciles de

resolver. La dificultad de los problemas está caracterizada por la teoría de complejidad

computacional.

23

Se sabe que muchos problemas son NP-duros, esto es, el tiempo que requieren para

resolver una instancia de ese problema crece en el peor de los casos de manera

exponencial con respecto al tamaño de la instancia.

Por lo mismo, muchas veces se tienen que solucionar usando métodos de solución

aproximados, que regresan buenas soluciones (inclusive a veces óptimas) a bajo costo

computacional.

Las heurísticas proviene de la palabra griega eureka, utilizada por Arquímedes, y ha

sido utilizado para agrupar un conjunto de algoritmos de búsqueda basados en

estructuras repetitivas, con los cuales se dirigen procesos de decisión2. En términos

generales, una heurística es el procedimiento repetitivo que identifica una solución

factible, con la cual se espera acercarse a la solución óptima. Muchas de las estrategias

de búsqueda podrían usarse, aunque algunas pueden resultar ser demasiado costosas o

quedar atrapadas en mínimos locales.

Las metaheurísticas se proponen como métodos, determinísticos o estocásticos para

salir de mínimos locales, es decir, son estrategias maestras que permiten resolver de

manera inteligente un problema3. El término metaheurísticas se obtiene de anteponer a

heurística el sujeto meta, que significa más allá o a un nivel superior, lo que concuerda

con la descripción que Crainic y Toulouse (2003) hacen de estas técnicas al afirmar que

modifican otras heurísticas para producir mejores soluciones que las encontradas de la

manera clásica.

Algunas de las propiedades deseables para una metahuerística son:

Simplicidad: debe de ser simple y basada en un principio claro que pueda ser

aplicable en general.

Precisión: debe de estar formulada en términos matemáticos precisos.

2 Burke, E., Kendall, G., Newall, J., Hart, E., Ross, P. and Schulenburg, S., Hyper-heuristics: an

emerging direction in modern search technology., En: Glover, F. y Kochenberger, G. (Eds.). Handbook

of metaheuristics. Kluwer academic publisher, 2003.

2 Melián, B., Moreno, J. y Moreno, M., Metaheurísticas: una visión global. Inteligencia Artificial.,

Revista Iberoamericana de Inteligencia Artificial, No.19, 2003, pp. 7-28

24

Coherencia: todos los pasos deben de seguir en forma natural los principios de la

metaheurística.

Eficiencia: debe de tomar un tiempo razonable de tiempo.

Efectividad: debe de encontrar las soluciones óptimas para la mayoría de los

problemas de prueba en donde se conoce su solución.

Robustes: debe de ser consistente en una amplia variedad de instancias.

Amigable: debe de ser claramente expresada, fácil de entender y fácil de usar, y

con la menor cantidad de parámetros posibles.

Innovación: debe de poder atacar nuevos tipos de aplicaciones.

La mayoría de la metaherísticas cumplen con solo algunas de las propiedades arriba

mencionadas.

1.4.1.3.1 Algoritmos Evolutivos

Los algoritmos genéticos (en adelante AGs) son métodos adaptativos que se emplean

principalmente para la resolución de problemas de búsqueda y optimización. Se

enmarcan dentro de la rama de Inteligencia Artificial conocida como Computación

Evolutiva o Algoritmos Evolutivos. Esta rama trata el estudio de los fundamentos y

aplicaciones de técnicas heurísticas de búsqueda que emplean los principios de la

evolución natural. Existen otras técnicas que junto con los AGs pertenecen a esta rama,

las más importantes son; Programación Evolutiva, Estrategias Evolutivas, Programación

Genética y Sistemas Clasificadores. Las diferencias entre estas técnicas se basan

principalmente en los diferentes operadores que emplean y en las distintas técnicas de

selección y reproducción de los individuos de la población.

Los AGs son muy potentes y efectivos sobre todo para aquellos problemas con un gran

espacio de búsqueda y para los que no existe una técnica específica para resolverlo.

Podemos aprovecharnos de los AGs para realizar tareas muy complejas que de otra

forma sería muy difícil, o imposible, llevarlas a cabo con un enfoque más determinista;

problemas basados en variables con interdependencias muy complejas, en ingeniería

para optimizaciones numéricas de algunos problemas no lineales que resultan muy

difíciles de resolver por métodos analíticos, son muy eficientes para el control de robots,

e incluso resultan muy útiles para el ajuste de los pesos de las conexiones de redes

neuronales, etc.

25

Cuando se va a aplicar un Algoritmo Genético (AG) para resolver un problema, el

primer movimiento que se debe hacer es codificar dicho problema en un cromosoma

artificial. Los cromosomas artificiales pueden ser cadenas de unos y ceros, listas de

parámetros o hasta códigos complejos, pero la clave que debemos tener en mente es que

la maquinaria genética manipulará una representación finita de soluciones, no las

soluciones por sí mismas. Otro componente que se debe tener en cuenta cuando

intentamos resolver un problema es el procedimiento o los medios para discriminar las

soluciones buenas de las malas. La idea es que algo debe determinar la aptitud hacia el

propósito de una solución. Esa determinación la logra la función de evaluación o

función de Fitness, que será usada por el AG para guiar la evolución de las generaciones

futuras. Una vez codificado el problema de manera cromosómica y teniendo los medios

para discriminar las buenas soluciones de las malas, se está en condiciones de

evolucionar soluciones para nuestro problema mediante la creación de una población

inicial de soluciones posibles. Esta población puede ser creada aleatoriamente o

utilizando algún conocimiento previo de buenas soluciones posibles, pero la idea

principal es que se partirá la búsqueda desde una población y no desde un punto. Con la

población en su lugar, los operadores genéticos pueden procesar la población

iterativamente para crear una secuencia de poblaciones que esperanzadamente

contendrán más y mejores soluciones para el problema en cuestión. Existe una amplia

variedad de operadores utilizados en un AG, pero en general son selección,

recombinación (o crossover) y mutación.

El operador de selección aporta mayor supervivencia a los mejores individuos, en

términos del problema. Es el mecanismo conocido como “supervivencia del más apto”.

Su idea principal es la de seleccionar preferentemente las mejores soluciones. Por

supuesto, si solo se eligieran las mejores soluciones en forma repetida de la población

inicial, se esperaría hacer un poco más que simplemente ocupar la población con los

mejores de la primera generación. Por lo tanto, la mera selección de los mejores no es

suficiente, y deben hallarse los medios para crear nuevos y posiblemente mejores

individuos. Es aquí cuando aparecen la recombinación y la mutación.

La Recombinación es un operador genético que combina bits y partes de soluciones

padres para formar nuevos y posiblemente mejores descendientes. De nuevo, existen

26

muchos caminos para lograrla, y alcanzar una performance competente depende de su

aplicación apropiada. Mientras la recombinación crea un nuevo individuo mediante la

cruza de material genético, la mutación actúa simplemente modificándolo. Existen

muchas variaciones para la mutación, pero la idea principal es que un descendiente sea

idéntico a su progenitor excepto en uno o más cambios en sus genes. De esta manera, la

mutación representa un movimiento al azar en los alrededores de una solución

particular.

Figura 2. Representación de un Algoritmo Genético

Fuente: CASTRO VENTURA, Yanina Katherine; CERNA ALVARADO, Rolando Carlos; ZUTTA

MALAGA, Nelly Jasmín. Algoritmos Genéticos.

Esquema de un Algoritmo Genético:

Paso 1: t=0; generar una población aleatoria P={x1,...,xn}

Paso 2: calcular f(x1),...,f(xn)

Paso 3: t=t+1; aplicar los procedimientos de

- selección

- cruce

- mutación

generando una nueva población P’={x’1,...,x’n}

Paso 4: reemplazar P por P’

Paso 5: si no se cumple un criterio de optimalidad ir al paso 3

27

Figura 3. Esquema de un Algoritmo Genético



La idea de los AG consiste en aplicar estas ideas sobre conjuntos de soluciones de un

problema matemático, logrando nuevas y mejores soluciones.

Figura 4. Ejemplo de ejecución de un algoritmo genético



1.4.1.3.1.1 Inicialización de la población. La inicialización de la población determina

el proceso de creación de los individuos para el primer ciclo del algoritmo.

Normalmente, la población inicial se forma a partir de individuos creados

aleatoriamente. Se puede crear también utilizando alguna técnica heurística pero los

28

pocos estudios que existen sobre este tema indican que el AG tenderá a converger más

rápidamente pero con el riesgo de que el algoritmo converja hacia un óptimo local. 4

Las poblaciones iniciales creadas aleatoriamente pueden ser sembradas con

cromosomas buenos para conseguir una evolución más rápida, si se conocen a priori, el

valor de estas “semillas” buenas.

1.4.1.3.1.2 Función de Evaluación (Fitness). La evaluación es la unión entre el GA y

el mundo externo. La evaluación se realiza a través de una función que representa de

forma adecuada el problema y tiene como objetivo suministrar una medida de aptitud de

cada individuo en la población actual. La función de evaluación es para un GA lo que el

medio ambiente es para los seres humanos. Las funciones de evaluación son específicas

de cada problema. En el ejemplo, la función matemática f(x)=x2 mide la aptitud de cada

individuo. C1 es un individuo más apto que C2. 5

Un buen diseño de la función de evaluación (también conocida como función objetivo o

función de adaptación) resulta extremadamente importante para el correcto

funcionamiento de un AG. Esta función determina el grado de adaptación o

aproximación de cada individuo al problema y por lo tanto permite distinguir a los

mejores individuos de los peores. A esta puntuación en función de su proximidad a la

mejor solución del problema se le denomina fitness.

1.4.1.3.1.3 Selección. Este operador es una versión artificial del concepto de selección

natural (Darwin). La función objetivo está asociada al beneficio, utilidad o bondad que

desea optimizarse La selección es el mecanismo por el cual soluciones más próximas al

óptimo (individuos mejor adaptados ) tienen mayor probabilidad de sobrevivir y ser

elegidos (seleccionados) para reproducirse.

Supongamos que, en una determinada iteración del algoritmo, tenemos un conjunto de

soluciones, que denominaremos población:

4 http://www.ica.ele.puc-rio.br/publicacoes/download/cnf_0111.pdf

4 Ibid 3

http://www.ica.ele.puc-rio.br/publicacoes/download/cnf_0111.pdf

29

ZSxxxxP jr ,,...,, 21

y que cada una de ellas (que denominamos individuos) tiene un valor de la función

objetivo

)(),...,(),( 21 rxfxfxf

La selección supone que cuanto mayor sea )( ixf , mayor sea la probabilidad ip de que

ix sea elegido y se reproduzca.6 Una manera sencilla de hacer esto es tomar:

r

j

j

i

i

xf

xfp

1

)(

)(

Se debe garantizar que los mejores individuos tienen una mayor posibilidad de ser

padres (reproducirse) frente a los individuos menos buenos. De tal forma, hay que ser

cuidadosos para dar una oportunidad de reproducirse a los individuos menos buenos.

Éstos pueden incluir material genético útil en el proceso de reproducción. Esta idea nos

define la presión selectiva que determina en qué grado la reproducción está dirigida por

los mejores individuos. 7

1.4.1.3.1.4 Cruce (Crossover). Se denomina técnica de cruce a la forma de calcular el

genoma del nuevo individuo en función del genoma del padre y de la madre. El

operador de cruce es fuertemente responsable de las propiedades del algoritmo genético,

y determinará en gran medida la evolución de la población.8

Después de seleccionar a los individuos que engendrarán a la siguiente generación, llega

el momento de cruzarlos (crossover) entre ellos, y al igual que en la naturaleza, el

proceso consiste en crear a los descendientes a partir del intercambio de material

genético de sus padres. Existen dos técnicas principales; intercambio a partir de un solo

6 http://lfc.uah.es/olmeda/CNeuronal/Tema4A.pdf , Computación Neuronal

7 http://sci2s.ugr.es/docencia/bioinformatica/Bioinformatica-Tema_10.pdf, Bioinformatica

8 http://www.orcero.org/irbis/disertacion/node1.html , Varios

http://lfc.uah.es/olmeda/CNeuronal/Tema4A.pdf

http://sci2s.ugr.es/docencia/bioinformatica/Bioinformatica-Tema_10.pdf

http://www.orcero.org/irbis/disertacion/node1.html

30

punto de cruce y a partir de dos puntos de cruce. En ambas técnicas se obtienen dos

descendientes fruto del cruce.

Para ciertos problemas es necesario emplear una técnica de cruzamiento especializada

que controle el proceso de intercambio genético evitando que se codifiquen en él

soluciones inválidas.

Independientemente de la técnica de cruce que se emplee, se suele implementar la

reproducción en un AG como un valor porcentual que indica la frecuencia con la que se

deben realizar los cruces, y los que no se crucen pasarán como réplicas de si mismos a

la siguiente generación (hay que tener también en cuenta que existe la posibilidad de

que se produzca una mutación durante la replicación del código).

Esto nos lleva a una técnica muy importante desarrollada hace unos cuantos años

conocida como elitismo. Consiste en que el mejor individuo de la población permanece

inalterable generación tras generación (ni siquiera se le aplica ningún tipo de mutación)

hasta que aparece un individuo con un fitness mejor que lo sustituye. Su importancia

reside en que de esta forma nunca se pierde la mejor solución encontrada hasta el

momento.9

1.4.1.3.1.5 Mutación. Da la posibilidad de recuperar material "genético" perdido en el

continuo proceso de reproducción y crossover. Durante la fase de cruce se aplica el

operador de mutación; aleatoriamente se modifican uno o más genes de los individuos

descendientes de la anterior generación. Esto se realiza para aumentar la diversidad

genética que favorece la aparición de individuos con un código genético distinto con la

posibilidad de que sea mejor, es especialmente importante la mutación cuando la

población, después de un cierto número de generaciones, tiende a converger hacia un

óptimo local. No es conveniente abusar del operador de mutación si no queremos que el

AG se convierta en un algoritmo de búsqueda al azar.

9 www.texelfactory.com/extras/Genetic_Algorithms_1.pdf , Javier Ventoso

http://www.texelfactory.com/extras/Genetic_Algorithms_1.pdf

31

Igual que sucede en la fase de cruce (reproducción), el proceso de mutación suele

implementarse como un valor porcentual y se ha comprobado que el ajuste correcto del

porcentaje de mutación es de vital importancia para el correcto funcionamiento del AG.

1.4.1.3.2 Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2

El SPEA 2 es un algoritmo genético evolutivo utilizado para Optimización

Multiobjetivo creado por Zitzler, Laumanns y Thiele10

en el año 2001. Este algoritmo

mejora al algoritmo SPEA propuesto por Zitzler, Laumanns en 1999.

SPEA 2 mantiene una población elitista en la que guarda los mejores elementos de la

población en cada generación. Los elementos de la población elitista pueden estar

conformados por elementos no dominados exclusivamente, o por la combinación de

elementos no dominados y los mejores elementos no dominados, esto se debe a que en

el SPEA 2 la población elitista es de tamaño fijo.

Las principales diferencias entre el SPEA y el SPEA2 son las siguientes:

Un esquema mejorado de asignación de Fitness que toma en cuenta a cuántos

individuos domina un individuo y por cuántos individuos es dominado ese

individuo.

Una técnica de estimación de densidad del vecino más cercano.

Un nuevo método de truncamiento en la población elitista que garantiza la

preservación de soluciones en el Frente Pareto.

A continuación, se muestra el esquema del SPEA 2.

Entrada: N (Tamaño de la Población)

N (Tamaño del archivo)

T (Número máximo de Generaciones)

10

ZITZLER, Eckart; LAUMANNS, Marco and THIELE Lotear. SPEA2: Improving the Strength Pareto

Evolutionary Algorithm. Zurich: Swiss Federal Institute of Tecnology (ETH), 2000. Computer

Engineering and Networks Laboratory (TIK) Report No.

32

Salida: A (Conjunto de no dominado)

Paso 1. Inicialización: Generar la población inicial oP y crear el archivo vacío

(Conjunto Externo)

oP Φ. Colocar t=0

Paso 2. Asignación del Fitness: Calcular los valores de fitness de los individuos en

tP y tP

Paso 3. Selección Ambiental: Copiar todos los individuos no dominados de tP y tP a

1tP . Si el tamaño de 1tP excede a N , reducir 1tP mediante el operador de

truncamiento, de lo contrario, si el tamaño de 1tP < N , entonces llenar con

individuos dominados de tP y tP .

Paso 4. Terminación: Si Tt o se satisface otro criterio de paro entonces retorne el

conjunto A de soluciones no dominadas tomadas de 1tP .

Paso 5. Selección: Realizar torneo binario con reemplazo en 1tP para llenar el

conjunto de apareamiento.

Paso 6. Cruzamiento: Aplicar los operadores de recombinación y cruzamiento al

conjunto de apareamiento y construir 1tP . Incrementar t=t+1 e ir al paso 2.

1.4.1.3.3 Metaheurísticas De Colonias De Hormiga

El proyecto MOSCA (dirigido por Luca Gambardella, director del IDSIA en Suiza) es

una herramienta integrada de planificación, programación y control de sistemas de

producción y distribución que brinda soporte a procesos de desarrollo sostenible.

MOSCA se basa en colonias de hormiga como herramienta principal de optimización

por sus características particulares de complejidad computacional y calidad de

soluciones encontradas. A continuación se presenta una breve introducción a la meta-

heurística de colonias de hormiga.

33

Originalmente propuesto por Dorigo y Gambardella, las Colonias de Hormigas es una

propuesta de fines de los ochenta. Esta técnica es una metaheurística destinada

originalmente a problemas de optimización combinatoria y basada en la teoría de

optimización mediante procedimientos de aprendizaje reforzado. El algoritmo principal

es realmente un sistema multiagentes en el que las interacciones de bajo nivel entre

agentes simples (llamados "hormigas") producen, en su conjunto, un comportamiento

mucho más complejo, correspondiente a toda la colonia de hormigas. La idea se inspiró

en colonias reales de hormigas.

Las hormigas reales son capaces de encontrar el camino más corto entre una fuente de

comida y su nido - por ejemplo - sin usar mecanismos visuales, sino sólo explotando el

rastro de Feromona.

Una forma en que las hormigas explotan la feromona para encontrar el camino más

corto entre dos puntos es el que se muestra en la figura 5.

Figura 5. Las hormigas y el camino más corto

En a) las hormigas llegan a un punto en el cual deben decidirse por uno de los dos

caminos a seguir. En b) se realiza una elección de camino, la que puede ser aleatoria, al

haber bajos niveles de feromona, o guiada, al haber una diferencia notable entre la

cantidad de feromona depositada en cada camino. En c), dado que la velocidad de una

hormiga se considera aproximadamente constante, es claro sostener que las hormigas

que eligieron el camino más corto se demorarán menos que las otras en llegar hasta el

otro extremo, lo cual genera una mayor acumulación de feromona en el camino más

34

circulado. En d), la feromona acumulada en mayor cantidad en el camino más corto y

más circulado guía a las hormigas a la fuente de alimento de la forma más rápida.

Desde la perspectiva de la Inteligencia Artificial, las colonias de hormigas son

realmente técnicas de búsqueda local con registro histórico (como la búsqueda tabú) de

las rutas recorridas más y/o menos promisorias. Combinada con algoritmos evolutivos y

con aprendizaje mediante reforzamiento, esta técnica ha sido aplicada recientemente

con gran éxito a problemas de diseño en ingeniería, a optimización combinatoria y a

optimización no lineal en general.

El pseudo-codigo de las Metaheurísticas Colonias de Hormigas Genérico11

se muestra a

continuación:

Procedimiento

Inicializar_Parametros ( )

While not condicion_parada ( )

Generacion= Generacion + 1

for ant = 1 to m //m es la cantidad de hormigas

Construir_solucion ( )

Evaluar_solucion ( )

Actualizar_Frente_Pareto

Actualizar_Feromonas ( )

Actualizar_Conjunto_Pareto ( )

End for

End While

End

11

PACIELLO CORONEL, Julio Manuel; MARTÍNEZ SANTACRUZ, Héctor Daniel; LEZCANO RÍOS,

Christian Gerardo; BARÁN CEGLA, Benjamín. Algoritmos de Optimización Multi-Objetivos basados

en Colonias De Hormigas.

35

Procedimiento Construir_solucion

Sol=

While existen_estados_no_visitados ( )

siguiente= seleccionar_siguiente_estado ( )

sol= sol siguiente

marcar_como_visitado siguiente

if (actualización_paso_a_paso)

actualizar_feromonas_paso_a_paso ( )

End While

End

1.5 METODOLOGIA

1.5.1 Tipo de estudio

El tipo de estudio enmarcado en el proyecto se considera de tipo descriptivo, aplicativo,

ya que dentro de la investigación, es necesario llegar a los factores o variables que

desencadenan el problema, así mismo, se plantea como solución factible la aplicación e

implementación del algoritmo propuesto para dar solución al problema de programación

de operaciones en empresas con sistemas de producción flexibles en serie y múltiples

objetivos de programación, procediendo a la descripción última de su utilización y los

beneficios que surgen de la aplicación del sistema.

1.5.2 Método de Investigación

El método de investigación principal utilizado en la realización del proyecto es el

método analítico, el cual se basa en la identificación de las variables del problema. En

este caso, se hace necesario el análisis de los componentes del sistema.

36

1.5.3 Fuentes y Técnicas

La información requerida para el proyecto se toma de fuentes secundarias diversas

como textos, prensa, documentos, revistas e Internet y de fuentes primarias como

entrevistas con las personas con conocimientos en el área manejada.

1.5.4 Tratamiento de la información

La información, materia prima principal de la investigación, se clasifica teniendo en

cuenta la que esté relacionada con el DSM utilizado en algunos escenarios del problema

planteado.

37

2. SUPUESTOS BÁSICOS Y DISEÑO DEL ALGORITMO HÍBRIDO

ANT- COLONY

2.1 SUPUESTOS BÁSICOS

Los supuestos básicos de los que parten la mayor parte de soluciones propuestas son las

siguientes (Sipper, 1997):

Los tiempos de operación son conocidos con certidumbre.

Los tiempos de cambio de referencias son conocidos e independientes del orden

de procesamiento.

Todos los trabajos que se van a procesar están disponibles en tiempo cero.

Sólo se consideran restricciones de precedencia entre las operaciones de un

mismo trabajo.

Una vez que el trabajo está montado en una máquina, éste no puede ser

interrumpido.

Aunque en algunos casos, estos supuestos no se ajustan mucho a la realidad,

tratar de relajarlos implicaría una complejidad aún mayor en el ya bastante

complejo problema.

Adicionalmente existen en la realidad condiciones frecuentes tales como:

Operaciones que se realizan fuera del taller (recubrimientos superficiales,

tratamientos térmicos, etc.)

Restricciones de recursos: Las herramientas y/o dispositivos y operarios son

recursos limitados que suelen ser compartidos por máquinas de una estación o

estaciones diferentes.

Lotes de transporte: Cuando un trabajo está conformado por K piezas idénticas,

la cantidad de piezas que se producen después de cada setup en cada máquina la

denominaremos Lote, y la cantidad de piezas que se transportan entre máquinas

la denominaremos Lote de transporte, el cual no necesariamente es igual al Lote,

38

por el contrario, el desempeño del sistema aumenta cuando el tamaño del lote de

transporte se aproxima a la unidad.

2.2 DISEÑO DEL ALGORITMO HÍBRIDO ANT- COLONY

La metaheurística para diseñar algoritmos de optimización basados en colonias de

hormigas no fue concebida para tratar problemas multiobjetivo, por lo tanto se tiene que

proponer una modificación que permita resolver el modelo propuesto en este trabajo. A

continuación se presenta la adaptación del algoritmo:

Procedimiento

Inicializar_Parametros ( )

While not condicion_parada ( )

Generacion= Generacion + 1

repeat para cada hormiga k

Construir_solucion ( )

Evaluar_solucion ( )

End repeat

Actualizar_Frente_Pareto

Actualizar_Feromonas ( )

If (no_cambio (CP, K') //sin cambios en K'

generaciones

Reiniciar_ feromonas ( )

End While

End

Para resolver el modelo planteado con anterioridad, se utilizará el grafo de construcción

AQ(r, s) que tiene componentes AQ = r (nodos de la red) y s (enlaces entre los nodos).

A cada enlace lij L se le asocia un vector feromona 2Rf

ijs donde Ff y 0< s 2 ,

esto quiere decir que para cada flujos maneja un vector de feromonas independiente.

39

Las soluciones candidatas S son conjuntos de árboles que representa a una secuencia de

Ff . Cada uno de lo árboles serán conjuntos de caminos que inician en una fuente sf

y finalizan en un destino ff Tt .

2.2.1 Construir_solucion. En este procedimiento se construyen soluciones del

problema. Para construir una solución factible al modelo planteado, se necesita,

inicialmente, construir un conjunto de árboles factibles, los cuales son un conjunto de

caminos factibles que tomaría desde el nodo fuente sf hacia los destinos ff Tt .

La construcción de una solución, es un proceso iterativo que construye árboles para

cada flujo. Igualmente, los árboles se construyen iterativamente, a partir del nodo

fuente y de los destinos de un flujo se construyen los caminos. Así, cuando se tiene una

solución completa factible, se agrega en la lista de soluciones.12

2.2.2 Evaluar_solucion. La evaluación de la solución consiste en revisar la

optimalidad de las soluciones construidas por las hormigas con referencia a los

objetivos planteados en el problema a resolver.

2.2.3 Actualizar_Frente_Pareto. Es el método mediante el cual, en cada iteración i, a

partir de los elementos en la lista de soluciones y del frente de Pareto encontrado hasta

el momento, encuentra todos los elementos no dominados actualizando la lista del

Frente Pareto.

2.2.4 Actualizar_Feromonas. En este procedimiento la actualización se puede hacer

de varias formas, una es como hace el Ant System. La actualización y evaporación de

feromonas se realiza según la ecuación:

jiji ,, )1(

12

ARDILA HERNÁNDEZ, Carlos J. Diseño y análisis comparativo del algoritmo híbrido Ant Colony-

Evolutivos con respecto al algoritmo Ant Colony en la solución de un problema de optimización

Multiobjetivo en Redes ópticas. 2006.

40

donde representa el coeficiente de evaporación, y se calcula como:

)(

1

xf k

con bk ,...,2,1 en el caso de realizar una actualización basada en un solo objetivo.

Para el caso de actualización considerando los b objetivos al mismo tiempo, se calcula:

b

k

k xf1

)(

1

Ahora bien, la que minimiza la función por consiguiente aporta más feromona. Este

esquema extendido a varias matrices de feromonas, una por cada objetivo debido a su

forma de actualización llega un momento en el que no mejora porque no se le están

haciendo presión a las soluciones para que se muevan, es decir, el algoritmos aunque

evoluciona, llega un punto en que no evoluciona más, por lo cual, se hizo necesario

utilizar otra metodología para realizar la actualización de la feromona, en este caso, el

esquema con el que trabaja SPEA 2.

En esta caso, SPEA 2 clasifica las soluciones por frentes, una vez que eso pasa entonces

SPEA 2 selecciona las k mejores soluciones de la clasificación, teóricamente esas

soluciones son las del Frente de Pareto, pero si no hay soluciones en el frente, SPEA 2

llena los restantes espacios del frente con las siguientes soluciones, entonces, las k

soluciones son las que actualizan las feromonas.

2.2.5 Reiniciar_ feromonas. Es un mecanismo de control de convergencia al

algoritmo, que consiste en reiniciar la tabla de feromonas si durante K' generaciones,

con K' definido a priori, no se encontraron soluciones no dominadas. De esta manera, se

favorece la exploración de nuevos caminos. Este mecanismo ayuda a continuar la

búsqueda ante situaciones de convergencia como óptimos locales. En la nueva

propuesta, se reinicializa la tabla de feromonas de manera a continuar la ejecución.

41

3. EXPERIMENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

Para la ejecución del algoritmo se adaptaron dos problemas que cumplieran con las

características esenciales para ser resueltos, y se ejecutó 30 veces el algoritmo. Las

soluciones óptimas en cada iteración y la mejor encontrada por el algoritmo propuesto

son conocidas. En esta instancia el tiempo de procesamiento de los trabajos en cada

máquina por estación esta dado en minutos. Se asume que no hay tiempo de

alistamiento entre máquinas por estación, fechas de liberación de órdenes de trabajo y

fechas de entrega. A continuación se presentan brevemente la descripción de los

archivos de entrada, las características del experimento, la configuración de los

parámetros, los resultados obtenidos, la comparación de los resultados obtenidos y por

último el análisis de los resultados.

3.1 DESCRIPCIÓN DE LOS ARCHIVOS DE ENTRADA

Para la realización del experimento se tomó como prueba un escenario flowshop

flexible, estableciendo un archivo de entrada con el siguiente formato:

Número de Estaciones

Número de Trabajos

Número de máquinas por estación

Tiempos de procesamiento de cada trabajo en cada máquina

A continuación se muestran la tabla que describen los datos de entrada del escenario de

flowshop planteado:

Tabla 1. Escenario Flowshop Flexible

# de Estaciones 2

# de Trabajos 16

# de máquinas en la estación k 1 2

T. p. del trabajo i en la máquina 1 de la estación 1 5 9 3 5 3 2 9 3 7 5 3 2 4 4 9 7



42

3.2 CARACTERÍSTICAS DEL EXPERIMENTO

El experimento toma las características establecidas, y se analiza el comportamiento de

los resultados luego de haber definido las parámetros para la ejecución del algoritmo:

Número de Hormigas. Es un número natural que indica cuantas soluciones se

van a construir en cada iteración del algoritmo.

Número de Generaciones. Es el número de iteraciones de las medidas de aptitud

y la creación de una nueva población.

Soluciones en el Frente Elitista. Es un número natural. Como es sabido SPEA 2

mantiene un frente elitista de cierto número de soluciones que pueden ser todas

no dominadas entre si, o pueden ser no dominadas con las mejores dominadas.

Este número no es necesariamente el número de soluciones que va a dar como

resultado el algoritmo propuesto, pero si es el máximo de soluciones si todas las

soluciones que encuentre son no dominadas.

Tipo de Dominancia (Fuerte o Débil). De acuerdo a los objetivos que se

pretenden optimizar, esta opción permite escoger el tipo de dominancia a utilizar

al momento de evaluar dos o más soluciones.

3.3 CONFIGURACIÓN DE PARÁMETROS

En este tipo de técnicas de optimización, la configuración de parámetros es

definitivamente un aspecto de mucha incidencia sobre los resultados. El anterior

numeral lista algunos de los parámetros configurables del algoritmo propuesto,

respectivamente. A excepción del tipo de dominancia, el cual siempre será utilizado con

dominancia fuerte. Estos son:

Número de hormigas. Se verificó con = 50,10, 200; encontrando en general

mejores soluciones con = 100.

43

Número de Generaciones. Se verificó con = 30, 50, 100; encontrando en general

mejores soluciones con = 50.

Soluciones en el Frente Elitista. Se verificó con = 10, 30, 50, 70; encontrando en

general mejore soluciones con = 10.

Figura 6. Imagen “Parámetros para la ejecución del Algoritmo”

3.4 RESULTADOS OBTENIDOS

Las Tablas 2, 3, 4, 5, 6, 7 resumen los resultados de las 30 corridas con algoritmo

MHFACO (Hybrid Multiobjective Flowhop using Ant Colony) propuesto al ser

aplicado en el escenario planteado de un flowshop flexible:

44

Tabla 2. Resultados iteración 1-5

Iteración Cmax (f1) TotalCompletion (f2)

1

94 819

93 929

82 962

87 940

94 819

2

85 806

84 879

83 970

85 806

3

86 986

87 913

93 902

99 864

86 986

4

85 959

86 834

85 959

5

83 974

85 864

83 974

45



6

82 976

84 958

85 829

82 976

7

96 873

83 981

84 975

85 918

87 913

89 907

96 873

8

82 919

89 855

82 919

9

88 887

84 1020

87 951

86 954

85 1008

88 887

10

96 859

86 894

83 908

96 859

46



11

87 895

88 891

82 920

91 794

87 895

12

84 976

85 911

91 890

95 885

84 976

13

98 882

97 899

87 901

86 977

85 987

98 882

14

82 909

85 828

82 909

15

82 909

85 828

82 909

93 911

91 920

97 907

82 952

47



16

90 847

86 867

85 894

85 948

82 955

90 847

17

83 956

87 890

90 863

83 956

18

87 822

82 943

87 822

19

82 913

86 904

88 899

93 885

82 913

20

82 913

86 904

88 899

93 885

82 913

48



21

91 864

84 919

85 881

91 864

22

86 965

87 933

83 986

88 915

90 880

86 965

23

89 870

85 971

92 856

89 870

24

83 935

84 889

87 869

83 935

25

95 836

93 849

82 866

81 940

95 836

49



26

85 983

96 897

84 984

92 913

86 924

88 922

89 919

85 983

27

85 1053

92 896

87 903

85 1053

28

89 839

93 821

85 933

89 839

29

90 887

89 926

82 965

90 887

30

85 952

86 935

95 890

88 933

89 922

109 887

85 952

50

3.5 COMPARACIÓN DE RESULTADOS

La aplicación computacional de colonias de hormiga propuesta para la optimización de

los dos objetivos en producción mencionados en el desarrollo del documento:

minimización del lapso (Cmax) de producción y la suma de los tiempos de terminación

(C), en un entorno flowshop flexible, no ha sido implementado con anterioridad.

En esta sección se compara los resultados obtenidos mediante la herramienta propuesta,

con los resultados obtenidos con el software de dominio público LEKIN ® diseñando

en Stern School of business, de la Universidad de New Cork en un proyecto dirigido por

el profesor Michael L. Pinedo y el profesor asociado Xiuli Chao, para la resolución de

problemas de scheduling con un solo objetivo a optimizar. El análisis comparativo se

hizo con base al problema planteado, hallando el % diferencial entre los resultados

obtenidos para el makespan entre los dos métodos, y de igual forma con la suma de los

tiempos de terminación. El porcentaje diferencial se calculó de la siguiente manera:

Primer Paso: Obtener el porcentual del resultado obtenido con el algoritmo propuesto

Vs. resultado obtenido con el LEKIN®.

%100*_._Pr__max

max

maxlekinC

propuestoCLekinVsopuestoCPorcentual

%100*_._Pr__lekinC

propuestoCLekinVsopuestoCPorcentual

51

Segundo Paso: Obtener la diferencia porcentual entre los resultados obtenidos con las

herramientas mencionadas.

opuestoPorcentualValorLekinPorcentualValorLekinVsopuestoCporcentualDiferencia Pr_____._Pr___ max

opuestoPorcentualValorLekinPorcentualValorLekinVsopuestoCporcentualDiferencia Pr_____._Pr___

Los resultados presentado por el LEKIN ® se presentan en las figuras 7 y 8 para cada

uno de los objetivos a optimizar maxC ,C

Figura 7. Resultados del Cmax presentados por el LEKIN ®

52

Figura 8. Resultados del C presentados por el LEKIN ®

A partir de los resultados obtenidos con el LEKIN ® a continuación se presentan en las

Tablas 8, 9, 10, 11, 12, 13, los porcentajes diferenciales con referencia a los resultados

de las 30 corridas con el algoritmo MHFACO.

53

Tabla 8. Porcentajes diferenciales iteración 1-5

Iteración Cmax (f1) Porcentual

Propuesto Vs. Lekin Diferencia % TotalCompletion (f2)

Porcentual Propuesto Vs. Lekin

Diferencia %

1

94 115 -15 819 137 -37

93 113 -13 929 156 -56

82 100 0 962 161 -61

87 106 -6 940 157 -57

94 115 -15 819 137 -37

2

85 104 -4 806 135 -35

84 102 -2 879 147 -47

83 101 -1 970 162 -62

85 104 -4 806 135 -35

3

86 105 -5 986 165 -65

87 106 -6 913 153 -53

93 113 -13 902 151 -51

99 121 -21 864 145 -45

86 105 -5 986 165 -65

4

85 104 -4 959 161 -61

86 105 -5 834 140 -40

85 104 -4 959 161 -61

5

83 101 -1 974 163 -63

85 104 -4 864 145 -45

83 101 -1 974 163 -63

54





Diferencia %

6

82 100 0 976 163 -63

84 102 -2 958 160 -60

85 104 -4 829 139 -39

82 100 0 976 163 -63

7

96 117 -17 873 146 -46

83 101 -1 981 164 -64

84 102 -2 975 163 -63

85 104 -4 918 154 -54

87 106 -6 913 153 -53

89 109 -9 907 152 -52

96 117 -17 873 146 -46

8

82 100 0 919 154 -54

89 109 -9 855 143 -43

82 100 0 919 154 -54

9

88 107 -7 887 149 -49

84 102 -2 1020 171 -71

87 106 -6 951 159 -59

86 105 -5 954 160 -60

85 104 -4 1008 169 -69

88 107 -7 887 149 -49

10

96 117 -17 859 144 -44

86 105 -5 894 150 -50

83 101 -1 908 152 -52

96 117 -17 859 144 -44

55





Diferencia %

11

87 106 -6 895 150 -50

88 107 -7 891 149 -49

82 100 0 920 154 -54

91 111 -11 794 133 -33

87 106 -6 895 150 -50

12

84 102 -2 976 163 -63

85 104 -4 911 153 -53

91 111 -11 890 149 -49

95 116 -16 885 148 -48

84 102 -2 976 163 -63

13

98 120 -20 882 148 -48

97 118 -18 899 151 -51

87 106 -6 901 151 -51

86 105 -5 977 164 -64

85 104 -4 987 165 -65 98 120 -20 882 148 -48

14

82 100 0 909 152 -52

85 104 -4 828 139 -39

82 100 0 909 152 -52

15

82 100 0 952 159 -52

86 105 -5 937 157 -39

89 109 -9 935 157 -52

93 113 -13 911 153 -53

56

91 111 -11 920 154 -54

97 118 -18 907 152 -52

82 100 0 952 159 -59

57





Diferencia %

16

90 110 -10 847 142 -42

86 105 -5 867 145 -45

85 104 -4 894 150 -50

85 104 -4 948 159 -59

82 100 0 955 160 -60

90 110 -10 847 142 -42

17

83 101 -1 956 160 -60

87 106 -6 890 149 -49

90 110 -10 863 145 -45

83 101 -1 956 160 -60

18

87 106 -6 822 138 -38

82 100 0 943 158 -58

87 106 -6 822 138 -38

19

82 100 0 913 153 -53

86 105 -5 904 151 -51

88 107 -7 899 151 -51

93 113 -13 885 148 -48

82 100 0 913 153 -53

20

91 111 -11 864 145 -45

84 102 -2 919 154 -54

85 104 -4 881 148 -48

91 111 -11 864 145 -45

58





Diferencia %

21

91 111 -11 864 145 -45

84 102 -2 919 154 -54

85 104 -4 881 148 -48

91 111 -11 864 145 -45

22

86 105 -5 965 162 -62

87 106 -6 933 156 -56

83 101 -1 986 165 -65

88 107 -7 915 153 -53

90 110 -10 880 147 -47

86 105 -5 965 162 -62

23

89 109 -9 870 146 -46

85 104 -4 971 163 -63

92 112 -12 856 143 -43

89 109 -9 870 146 -46

24

83 101 -1 935 157 -57

84 102 -2 889 149 -49

87 106 -6 869 146 -46

83 101 -1 935 157 -57

59




Diferencia %

25

95 116 -16 836 140 -40

93 113 -13 849 142 -42

82 100 0 866 145 -45

81 99 1 940 157 -57

95 116 -16 836 140 -40

60



Propuesto Vs. Lekin Diferencia

% TotalCompletion (f2)


Diferencia %

26

85 104 -4 983 165

96 117 -17 897 150 -50

84 102 -2 984 165 -65

92 112 -12 913 153 -53

86 105 -5 924 155 -55

88 107 -7 922 154 -54

89 109 -9 919 154 -54

85 104 -4 983 165 -65

27

85 104 -4 1053 176 -76

92 112 -12 896 150 -50

87 106 -6 903 151 -51

85 104 -4 1053 176 -76

28

89 109 -9 839 141 -41

93 113 -13 821 138 -38

85 104 -4 933 156 -56

89 109 -9 839 141 -41

29

90 110 -10 887 149 -49

89 109 -9 926 155 -55

82 100 0 965 162 -62

90 110 -10 887 149 -49

61


Propuesto Vs. Lekin Diferencia %

TotalCompletion (f2)


Diferencia %

30

85 104 -4 952 159 -59

86 105 -5 935 157 -57

95 116 -16 890 149 -49

88 107 -7 933 156 -56

89 109 -9 922 154 -54

109 133 -33 887 149 -49

85 104 -4 952 159 -59

62

3.6 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

De acuerdo con los resultados obtenidos, en los que se muestra el comportamiento del

algoritmo propuesto al ser probado, se optimizan las dos funciones objetivos

mencionadas con anterioridad y cuya solución se ve alcanzada con metaheurísticas.

Para esto se propone la integración de procedimientos evolutivos del algoritmo SPEA2

en el Ant Colony, creando un algoritmo híbrido denominado MHFACO.

Partiendo de la premisa de que los modelos de optimización Ant-Colony, son realmente

un sistema multi-agente destinado originalmente a problemas de optimización

combinatoria y basada en la teoría de optimización mediante procedimientos de

aprendizaje reforzado, este algoritmo presenta muy buenas soluciones en la

optimización de problemas combinatorios tipo NP-hard.

Debido a lo anteriormente mencionado, la aplicación de modelos de optimización Ant-

Colony en la programación de operaciones de un entorno flowshop flexible parece

razonable y promisorio como se puede observar en la comparación de los resultados

presentados por la herramienta propuesta Vs. Resultado del LEKIN ® en las Tablas 8,

9, 10, 11, 12, 13.

Ahora bien, tomando como referencia las tablas donde se encuentra la comparación de

los resultados en las diferentes iteraciones, el algoritmo propuesto para el problema

resuelto, presenta una buena aproximación al resultado obtenido por el LEKIN®, en

donde se encuentra una diferencia porcentual para f1 que varía desde el 0% como la

mejor aproximación ( 82max C ), hasta un -21% para la solución más alejada ( 99max C )

al resultado obtenido por la herramienta utilizada como punto de comparación; y para el

caso de f2, la diferencia porcentual varía entre -35% y -65%, tomando como la mejor

solución la que nos da como diferencia porcentual el valor de -35% ( 806C ) y como la

solución más alejada la que nos da como diferencia porcentual el valor de -65%

( 986C ).

De igual forma se analizaron los resultados presentados en las iteraciones 6-30 en donde

se encuentra una diferencia porcentual para f1 que varía desde el 0% como la mejor

63

aproximación ( 82max C ), hasta un -33% para la solución más alejada ( 109max C ) al

resultado obtenido por la herramienta utilizada como punto de comparación; y para el

caso de f2, la diferencia porcentual varía entre -33% y -65%, tomando como la mejor

solución la que nos da como diferencia porcentual el valor de -35% ( 794C ) y como la

solución más alejada la que nos da como diferencia porcentual el valor de -65%

( 986C ).

En estos resultados, se observa para cada modelo, que los resultados obtenidos de los

promedios de las 30 iteraciones durante la ejecución del algoritmo MHFACO, dominan

en algunos casos débilmente y en otros más fuertemente a los resultados producidos

por la herramienta LEKIN ®. El hecho anterior nos da bases para afirmar que el

algoritmo MHFACO esta convergiendo a buenas soluciones, determinando en ellas

mejores resultados con respecto al primer objetivo ( maxC ) a optimizar que con respecto

al segundo ( C ), lo cual teóricamente es sustentable debido a que en las soluciones de un

problema con objetivos múltiples se tienen en cuenta todos los objetivos al mismo

tiempo, por lo cual, ningún objetivo puede mejorarse sin degradar a los demás. Luego

se establece como para afirmar que una situación o solución es mejor que otra, el que en

ella no se disminuya a nadie, pero se mejore a alguno; es decir que una situación será

mejor que otra sólo si en la nueva es posible compensar las pérdidas de todos los

perjudicados y aún queda un sobrante.

El hecho anterior nos da bases para afirmar que el algoritmo MHFACO esta

convergiendo a la solución verdadera, aunque desconocida, con mejor aproximación y

esto confirmará mediante al análisis funcional de las soluciones obtenidas a través de la

siguiente métrica: el Spacing (S), donde el frente de Pareto real este será asociado con el

frente de Pareto producido por el algoritmo propuesto. A continuación se presenta la

definición de la métrica nombrada:

SPACING (S)

La métrica S, nos indica qué tan bien están distribuidas las soluciones sobre el frente de

Pareto.

64

N

i

didN

S

1

2)(1

1

Donde dNjixfxfxfxfxfxfdjijiji

ji ;,...,2,1,;)()()()()()(min 3312211

es la media de todos

los di y N es el número de vectores en Yknown.

A continuación se presenta el resultado obtenido por la herramienta MHFACO, el cual

se evaluará mediante la métrica de desempeño “Spacing”:

Figura 9. Frente de Pareto obtenido con la herramienta MHFACO

65

Tabla 14. Coordenadas del Frente de Pareto obtenido con la herramienta MHFACO

CMax TotalCompletion

83 935

84 889

87 869

83 935

Teniendo en cuenta la formulación matemática del Spacing, las distancias de cada punto

en le frente exceptuando el último punto por ser igual al primero, y la distancia

promedio se presentan a continuación:

20Ad

20Bd

20Cd

20d

Luego S sería:

0)202020202020(13

1 222

S

Por lo tanto, como el valor del Spacing evaluado da como resultado un valor de cero,

esto nos estaría asegurando un buena distribución de los elementos del knownY , debido a

que para esta métrica un valor de 0 significa que todos los elementos de knownY están

equidistantemente espaciados.

66

4. CONCLUSIÓN Y TRABAJOS FUTUROS

4.1 CONCLUSIONES

En la presente investigación se desarrolló una herramienta computacional para la

programación de operaciones en empresas con sistemas de producción flexibles en

serie, optimizando en ellos 2 objetivos. En producción se minimiza el lapso (Cmax) de

producción y la suma de tiempos de terminación ( C ), cuya solución se alcanza a través

de una propuesta de integración de procedimientos evolutivos del algoritmo SPEA2 en

el Ant Colony, creando un algoritmo hibrido denominado MHFACO. Para la

implementación de esta herramienta, durante la investigación, se generaron varias

instancias que pueden ser utilizadas por otros investigadores para sus futuros análisis.

De acuerdo con los resultados discutidos en la referencia 3, en los que se muestra el

comportamiento del algoritmo propuesto Vs. El resultado obtenido con la herramienta

LEKIN ®, se puede concluir:

El algoritmo MHFACO tuvo muy buenos resultados, al aplicar la métrica de

desempeño: Spacing, donde presenta soluciones distribuidas y espaciadas

uniformemente.

Los resultados obtenidos de los promedios de las 30 iteraciones durante la

ejecución del algoritmo MHFACO, esta convergiendo a buenas soluciones,

determinando en ellas mejores resultados con respecto al primer objetivo ( maxC )

a optimizar que con respecto al segundo ( C ).

4.2 TRABAJOS FUTUROS

Implementar el algoritmo MHFACO, en entorno sistemas de producción

flexibles con máquinas con diferentes velocidades.

Introducir tiempos de alistamiento dependientes de la secuencia

Introducir limitación de buffers al flujo de producto

Preparar módulos para flujo re-entrante de órdenes de producción en el taller

67

ANEXOS

68

ANEXO 1. FRENTE PARETO ITERACIÓN 1


94 819

93 929

82 962

87 940

94 819

69



85 806

84 879

83 970

85 806

70



86 986

87 913

93 902

99 864

86 986

71



85 959

86 834

85 959

72



83 974

85 864

83 974

73



82 976

84 958

85 829

82 976

74



96 873

83 981

84 975

85 918

87 913

89 907

96 873

75



82 919

89 855

82 919

76



88 887

84 1020

87 951

86 954

85 1008

88 887

77



96 859

86 894

83 908

96 859

78



87 895

88 891

82 920

91 794

87 895

79



84 976

85 911

91 890

95 885

84 976

80



98 882

97 899

87 901

86 977

85 987

98 882

81



82 909

85 828

82 909

82



82 952

86 937

89 935

93 911

91 920

97 907

82 952

83



90 847

86 867

85 894

85 948

82 955

90 847

84



83 956

87 890

90 863

83 956

85



87 822

82 943

87 822

86



82 913

86 904

88 899

93 885

82 913

87



91 864

84 919

85 881

91 864

88



86 965

87 933

83 986

88 915

90 880

86 965

89



89 870

85 971

92 856

89 870

90



83 935

84 889

87 869

83 935

91



95 836

93 849

82 866

81 940

95 836

92



85 983

96 897

84 984

92 913

86 924

88 922

89 919

85 983

93



85 1053

92 896

87 903

85 1053

94



89 839

93 821

85 933

89 839

95



90 887

89 926

82 965

90 887

96



85 952

86 935

95 890

88 933

89 922

109 887

85 952

97



83 932

88 856

87 869

105 855

83 932

98

BIBLIOGRAFÍA

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