Optimización con restriccionesProgramación lineal

0 x,0 x 2x x 1xx- :a Sujeto

x3xf :Maximizar

21

21

21

21

≥≥≤+≤+

+=

Restricciones lineales

Función objetivo lineal

Óptimo: [ 1/2 , 3/2 ]

f=5

f=3

f=0

uxlbAxcx

≤≤==

=≤≤

==

=

∑

∑

=

=

:a Sujeto

f :Minimizar :matricial formaEn

n1,2,...,j uxl

m1,2,...,i bxa :a Sujeto

xcf :Minimizar

:estándar Forma

jjj

ij

n

1jij

n

1jjj

fxc....xcf-bxa....xaxm........2xbxa....xax1

canónicos Sistemas

nn1m1m

m1mmm,1mmm,

1nn1,1m1m1,

−=+++=+++

=+++

++

++

++

Optimización con restriccionesProgramación no lineal

Sustitución directa

6x32x :a Sujetox54xf(x) :Minimizar

21

22

21

=++=

Condiciones necesarias de primer orden para un extremo local

( ) 01xxx,xh :a Sujeto

xx)x,f(x :Minimizar2

22

121

2121

=−+=

+=

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )Lagrange dedor multiplica llamado es escalar El

0h :adfactibilid deCondición

0 :doReemplazanhfL

0hf

*

x

***

*)*,x(

λ=

=∇

λ+==∇λ+∇

λ

x

λx,Lxxλx,

xx

( )( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) m1,...,j bh

m1,...,i 0xh

xf

x

:sonorden primer de necesarias scondicione Las

bhf

m1,...,j bxh :a Sujetoxf :Maximizar

igualdad de nesrestriccio únicamentecontienen que blemasoPr

jj

i

jm

1jj

11

m

1jjjj

jj

==

==∂

∂λ+

∂∂

=∂∂

−λ+=

==

∑

∑

=

=

x

L

xxλx,L

Problemas conteniendo únicamente restricciones de desigualdad

( ) ( )( )( )( ) 0yy,xg

2yx yx,g 0xyy,xg :a Sujeto

1y2-xy)f(x, :Minimizar

Tucker-Kuhnde sCondicione

3

2

21

22

≥=≤+=

≤+−=

−+=

f∇−

1g∇

2g∇

( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( )[ ]( ) r1,...,j ,cg

0cgu ,0u

guf

:sCondicione

Ij ,0u :donde

guf

r1,...,j ,cxg :a Sujetof(x) Minimizar

j*

j

jj*

j*

j

r

1j

*j

*j

*

*j

*j

Ij

*j

*

jj

=≤

=−≥

∇+∇

∈≥

∇−=∇

=≤

∑

∑

=

∈

x

x

xx

xx

( )( )( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] r1,...,j 0cxgu

0u

0guhf

entonces global, mínimoun es Si

cgubhf

r1,...,j ,cg m1,...,i ,bh :a Sujeto

f :Minimizarddesigualday igualdad de nesrestriccio oconteniend Problemas

j*

j*

j

*j

r

1j

*jj

m

1i

*ii

*x

*

r

1jjjj

m

1iiii

jj

ii

==−

≥

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+λ+∇

−+−λ+=

====

∑∑

∑∑

==

==

xxx

x

xxxuλ,x,L

xxx

( )

( )

activas. nesrestricciolas de gradientes los a sortogonale vectoresde conjuntoun define

0

:que talcero de diferentes vectoreslos todospara

0

:orden segundo de ssuficientey necesarias sCondicione

*

2x

T

y

yxJ

yuλ,x,Ly

=

>∇

( ){ } 0xT T* =∇= ygy

Programación lineal sucesiva

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∆xxgxg∆xxgxg T0i

0i

0ii ∇+≅+=

X2+y2=25

X2-y2=7

Punto de partida

LP óptimo 0y

0 x 7y x 25y x:a Sujeto

y2x :Maximizar

22

22

≥≥

≤−

≤+

+

Método de gradiente reducido generalizado

( ) ( )

( )

( )( )

1. paso alregresar y punto siguiente elpor actual punto elRemplazar .5. punto siguiente el

determinar para usado esy f objetivofunción la minimiza que de valordelón aproximaci una es distancia Ésta . actual punto el desde empezando

actual, búsqueda dedirección la de largo lo a paso de tamañoel Determinar 4.previa. búsqueda dedirección

laalmacenar y f gradiente el usando búsqueda dedirección unaCalcular 3.parar. óptimo, el es actual punto el Si .2

f dado , actual punto elen f de gradiente elCalcular 1.:general oritmolgA

nc

ccn

cc

cc

cc

c

cc

xxdxx

dxx

xdx

xxx

α+=α+α

α

∇

∇