Programación Lineal Fase 2

Hospital - DietaProblema de PL

En un hospital hay una doctora encargada de la planeación y administración de los requerimientos

alimenticios de los pacientes. La doctora examina un caso de un paciente que se le ha restringido a una

dieta especial al que consta de dos fuentes alimenticias.

Al paciente no se le ha restringido la cantidad de los alimentos que se puede consumir, sin embargo se

deben satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos minimitos por un día: 2000 unidades del nutriente

U, 3000 del nutriente N, 2500 del nutriente A y 1000 del nutriente D.

Los datos de los nutrientes se muestran en la siguiente tabla.

Unidades por Onza

Nutriente Fuente alimenticia

Nro. 1

Fuente alimenticia

Nro.2

Unidades totolates que

se requieren

U 200 250 2000

N 300 350 3000

A 400 100 2500

D 250 150 1000

Se sabe que ambas fuentes alimenticias son algo costosas, la fuente alimenticia 1

cuesta $1.000 por libra y la fuente Nro. 2 cuesta 1.200 por libra; por lo tanto, la doctora

desea determinar la combinación de fuentes alimenticias que arroje el menor costo y

satisfaga todos los requerimientos nutritivos.

El objetivo.

Determinar el numero de onzas de cada una de las fuentes alimenticias que tengan un valor lo mas

bajo posible y que satisfaga los requerimientos de los nutrientes U, N, A y D.

Definir las variables.

X1= Número de onzas de la fuente alimenticia Nro. 1 que deben consumirse diariamente.

X2= Número de onzas de la fuente alimenticia Nro. 2 que deben consumirse diariamente.

Las restricciones.

• Se deben consumir por lo menos 2000 unidades del nutriente U por día.

• Se deben consumir por lo menos 3000 unidades del nutriente N por día.

• Se deben consumir por lo menos 2500 unidades del nutriente A por día.

• Se deben consumir por lo menos 1000 unidades del nutriente D por día.

• No se conoce la cantidad que debe consumir el pacientes por día de cada una de la fuentes

alimenticias.

Se sabe que la fuente alimenticia cuesta 1.000 y la fuente alimenticia Nro. 2 cuesta 1.200 por libra.

Como no se presenta en onzas sino el libras entones tenemos que pasarlo a onzas.

1 libra equivale a 16 onzas.

Por lo tanto, Costo 1 $1.000/16= $0.0625 por onza, Costo 2 $1.200/16 = $0.075 por onza.

Función Objetivo.

Minimizar Z= 0.0625X1 + 0.075X2

Restricciones estructura matemática.

1. Restricción del nutriente U:

(200 unidades de nutriente U)/(onza de la fuente Nro. 1) * (x1 onzas de Lafuente No. 1) + (250 unidades

de nutriente U)/(onza de la fuente Nro. 2) ≥ 2000 unidades del nutriente U.

2. Restricción del nutriente N:

(300 unidades de nutriente N)/(onza de la fuente Nro. 1) * (x1 onzas de Lafuente No. 1) + (350 unidades

de nutriente N)/(onza de la fuente Nro. 2) ≥ 3000 unidades del nutriente N.

3. Restricción del nutriente A:

(400 unidades de nutriente A)/(onza de la fuente Nro. 1) * (x1 onzas de Lafuente No. 1) + (100 unidades

de nutriente A)/(onza de la fuente Nro. 2) ≥ 2500 unidades del nutriente A.

4. Restricción del nutriente D:

(250 unidades de nutriente D)/(onza de la fuente Nro. 1) * (x1 onzas de Lafuente No. 1) + (150 unidades

de nutriente D)/(onza de la fuente Nro. 2) ≥ 1000 unidades del nutriente D.

Planteamiento Matemático.

Minimizar Z= 0.0625X1 + 0.075X2

Sujeto A:

200x1 + 250x2 ≥ 2000

300x1 + 350x2 ≥ 3000

400x1 + 100x2 ≥ 2500

250x1 + 150x2 ≥ 1000

X1,X2 ≥ 0

Forma Canónica

Min Z=CX

Sujeto a

AX ≥ b

X ≥ 0

Una variable libre

Xj = X’j – X’’j, con X’j ≥ 0, X’’j ≥ 0

Minimizar Z= 0.0625X’1 – 0.0625X’’1 + 0.075X2

Sujeto A

200X’1 – 200X’’1 + 250X2 ≥ 2000

300X’1 – 300X’’1 + 350X2 ≥ 3000

400X’1 – 400X’’1 + 100X2 ≥ 2500

250X’1 – 250X’’1 + 150X2 ≥ 1000

X’1 ≥ 0, X’’1 ≥ 0, X2 ≥ 0

Forma Estándar

Min Z=CX

Sujeto a

AX = b

X ≥ 0

Una restricción (≥) se hace (=), restando una superávit Si ≥0 en el lado izquierdo.

Minimizar Z= 0.0625X’1 – 0.0625X’’1 + 0.075X2

Sujeto A

-200X’1 + 200X’’1 + 250X2 – S1 = 2000

-300X’1 + 300X’’1 + 350X2 – S2 = 3000

-400X’1 + 400X’’1 + 100X2 – S3 = 2500

-250X’1 + 250X’’1 + 150X2 – S4 = 1000

X’1 ≥ 0, X’’1 ≥ 0, X2 ≥ 0, S1 ≥ 0, S2≥0, S3≥0, S4≥0