Programación lineal y método simplex aplicado para economía

Guillermo Pardo Arteaga A00889951

Bibiana Alejandra Miranda López A01122834

Roberto Mendoza Hernández A01213035

Doctor José Fernández García

Matemáticas para economía I

1

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN..................................................................................................3PLANTEAMIENTO DE LOS PROBLEMAS.................................................................5RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS......................................................................8

1.1 Un problema agrícola........................................................................81.2 Formulación Matemática..................................................................112.1 Un problema en un negocio familiar................................................132.2 Formulación matemática..................................................................18

CONCLUSIONES...............................................................................................18FUENTES CONSULTADAS..................................................................................19

2

Introducción.

El motivo del presente trabajo es hacer una revisión bibliográfica acerca de una

aplicación del álgebra lineal dentro del campo de la economía, así como

plantear distintos ejemplos que puedan permitirnos la comprensión del tema.

Para iniciar con este trabajo haremos un breve recuento teórico de nuestro

tema.

En 1939 surge un problema de recursos limitados. Se necesitaba

distribuir los recursos disponibles entre los diferentes regímenes, sin embargo,

se tenia otro problema: cómo distribuir estos recursos sin que se generara un

costo extra, Leonid Kantorovich matemático y economista ruso, ganador del

premio nobel en 1975 crea el modelo de programación lineal (1939), utilizado

para resolver los problemas de distribución de recursos en la Segunda Guerra

Mundial, ya que esta no solo se llevaba acabo en el campo de batalla, se

necesitaba diseñar estrategias, disponer de recursos para cuando fuera

necesario, etc. La Programación Lineal ayudó a encontrar la forma de reducir

costos, y así colocar el ahorro en otra división o bien conseguir más recursos.

La Programación Lineal nace como estrategia militar, así que por un

tiempo fue secreto, nadie tenia acceso al sistema, solo la milicia lo conocía.

Fue George Dantzig, matemático americano, graduado de la Universidad de

Maryland y Doctor por la Universidad de Berkeley, quien publica el método

simplex para la resolución de sistemas de inecuaciones.

El método simplex es una técnica para resolver problemas de

optimización, generalmente se utiliza cuando se tienen sistemas de

inecuaciones. Estos sistemas son desigualdades algebraicas en las cuales se

encuentran varias incógnitas, los sistemas de inecuaciones puede ser de 2

tipos, en sentido estricto (< o >) o en sentido amplio (≤o≥).

3

El método simplex consiste en convertir los sistemas de inecuaciones en

ecuaciones, esto por medio de variables de holgura, son variables que

convierten las inecuaciones en igualdades pero estas deben satisfacer una

serie de reglas, por lo general la variable de holgura se igualan a los recursos,

trabajan como restricción.

Se construye la matriz, donde se podrán observar los coeficientes de

restricción, así como los coeficientes de la función objetivo, se localizan las

variables no básicas, son aquéllas con coeficiente distinto de cero en la función

objetivo, se elige aquélla que tenga el coeficiente más negativo, y éste indicará

la columna correspondiente a la variable que entra. Se dividen los elementos

de la columna bi por sus correspondientes aij en la columna de la variable que

entra, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún

elemento menor o igual que cero, no se haría dicho cociente. En el caso de que

todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos

una solución no acotada y no podríamos seguir. Lo que necesitamos es

incrementar la variable que entra en la base, hasta que hagamos nula una de

las variables que están ahora en la base. Entonces saldrá aquélla variable

básica, Xi, tal que el cociente bi / aij sea menor. Se hace 1 el coeficiente aij de

la variable seleccionada.

Se divide la fila i por aij; en el resto de las filas haremos la eliminación de

Gauss.

El método simplex sirvió como base para la investigación de operación, ya que

ayuda a optimizar procesos, pero que es la investigación de operaciones?

“La investigación de operaciones es la aplicación, por

grupos interdisciplinarios, del método científico a

problemas relacionados con el control de las

organizaciones o sistemas (hombre-maquina) a fin de que

se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos

de todas la organización.” (Prawda, 2004)

La Investigación de Operaciones tiene como objetivo principal proveer

información para la toma de decisiones, tomando en cuenta sistemas reales y

4

complejos, de esa forma busca optimizar, tomando en cuenta los recursos

disponibles y así poder encontrar la solución a los problemas.

Planteamiento de los Problemas

El objetivo de la presente sección es introducir la formulación de

nuestros modelos matemáticos a partir del planteamiento de los problemas.

Esta sección debe tomarse como una ilustración introductoria a la Investigación

de Operaciones, y particularmente a la Programación Lineal, dejando las

próximas dos secciones a la explicación y resolución de la misma. No es

importante a estas alturas si el lector no entiende cómo se derivó cierta

expresión matemática.

En esta sección presentaremos dos tipos de problemas:

a) Un problema agrícola que puede ser aplicado en un entorno

macroeconómico.

b) Un problema en un negocio familiar que representa una situación

microeconómica.

A continuación se plantean ambos problemas.

a) Un problema agrícola:

Supóngase que en el poblado de Tixtla, Guerrero la Nacional Financiera

pretende hacer inversiones cuantiosas en el cultivo de aguacate, lima,

mango y zapote prieto. Se persiguen dos objetivos, uno el de aumentar el

empleo rural y otro el de aumentar las exportaciones que vendrán a

equilibrar la balanza de pagos de la nación. Se sabe que la producción

promedio de cada árbol está dada por la siguiente tabla:

Tabla 1.1

Tipo de

árbol

Producción promedio

anual

Observació

n

(en unidades) (en kg)

Aguacate 350 150 Una vez por

año

Lima 230 200 Una vez por

5

año

Mango 150 50 Una vez por

año

Zapote 400 150 Una vez por

año

El precio promedio en el mercado mundial fue de $10.00 por kg de

aguacate, $4.00 por kg de lima, $15.00 por kg de mango y $7.00 por kg de

zapote prieto en 1974. Existe una extensión de 250 000 m2 de tierra de

propiedad federal propicia para el cultivo de esos productos. Supóngase que

técnicos de la Secretaría de Agricultura han determinado que las siguientes

extensiones mínimas son necesarias para el cultivo de esos productos.

Tabla 1.2

Tipo de

árbol

Extensión

mínima de

cultivo por

árbol

Aguacat

e

4 m2

Lima 5 m2

Mango 3 m2

Zapote 6 m2

Afortunadamente no existe problema de agua, pues hay varios

manantiales dentro de la propiedad, que aseguran la existencia de ese

preciado líquido por los próximos 20 años. El costo por sembrar un árbol de

aguacate es de $2.00, $0.50 por árbol de lima, $1.00 por árbol de mango y

$1.50 por árbol de zapote prieto; estos costos ya incluyen la compra del árbol

más su cuidado y mantenimiento. Cada árbol de aguacate requiere de

cuidados equivalentes a 36 horas-hombre/año; 72 horas-hombre/año por árbol

de lima; 50 horas-hombre/año por árbol de mango y 10 horas-hombre/año por

árbol de zapote prieto.

6

La Nacional Financiera pretende hacer una inversión de 20 millones de

pesos, pensando exportar toda su producción. El número de personas que

desea emplear el Gobierno Federal con este proyecto debe ser a lo mucho de

200 personas.

Bajo estas circunstancias, ¿cuántos árboles de aguacate, lima, mango y

zapote prieto deberán sembrarse con objeto de maximizar el valor de la futura

exportación anual? ¿Cuál será la ganancia de tomar esta decisión respecto a la

inversión inicial?

b) Un problema en un negocio familiar:

Don Francisco quiere mejorar el negocio familiar de explotación de la

patata integral. Su negocio es la venta de productos derivados de la patata, de

los cuales hay cuatro tipos: patatas troceadas para ensaladilla, puré de patatas,

patatas fritas a la inglesa y patatas congeladas para freír.

A su negocio, don Francisco y doña Remedios, su mujer, dedican como

máximo entre los dos 100 horas semanales. Para fabricar un kilo de cada

producto el tiempo a dedicar es el siguiente: patatas troceadas 3 horas, puré de

patatas 5 horas, patatas fritas a la inglesa 10 horas, patatas congeladas 15

horas.

Como su almacén es pequeño no pueden tener almacenados más de 15

kilos de producto terminado y más de 120 kilos en sacos de patata.

No todos los productos tienen igual rendimiento. Por cada kilo de

producto terminado necesita una cantidad mayor de producto bruto. Esta

relación es la siguiente:

- Para hacer un kilo de patatas para ensalada necesita 7 kilos de patatas.

- Para hacer un kilo de puré de patatas necesita 5 kilos de patatas.

- Para hacer un kilo de patatas a la inglesa necesita 3 kilos de patatas.

- Para hacer un kilo de patatas congeladas necesita 2 kilos de patatas.

La ganancia también es diferente:

- 4 patatas/kg patatas ensalada.

- 5 patatas/kg puré de patatas.

- 9 patatas/kg patatas inglesa.

7

- 11 patatas/kg patatas congeladas.

¿Cuánto debe fabricar de cada una de sus especialidades para que su

beneficio sea el máximo?

Resolución de los Problemas

El propósito de esta sección es resolver paso a paso los dos problemas

anteriormente planteados con el método simplex; el cual mencionamos en la

primera sección.

1.1 Un problema agrícola

Paso 1.

Sean

Xa: el número de árboles de aguacate a ser sembrados,

Xl: el número de árboles de lima a ser sembrados,

Xm: el número de árboles de mangos a ser sembrados,

Xz: el número de árboles de zapote prieto a ser sembrados,

La notación usada para denotar todas las variables del problema.

El valor promedio de la exportación (VPE) anual se puede representar

por:

VPE=(10 ) (150 ) Xa+(4 ) (200 ) Xl+(15 ) (50 ) Xm+(7 ) (150 ) Xz

Cuyas dimensiones están dadas por:

VPE=( $kgagc .

)

Una vez que tenemos definidas nuestras ecuaciones, identificamos cual

es la que vamos a optimizar. Para nuestro primer problema la ecuación a

optimizar es:

Z=1500 Xa+800 Xl+750 Xm+1050 Xz

E identificamos las ecuaciones a las que estará sujeta nuestra

optimización. En este problema la optimización está sujeta a tres restricciones,

estas son:

2 Xa+0.5 Xl+1 Xm+1.5 Xz ≤20000000

4 X a+5 Xl+3 Xm+6 Xz≤250000

36 Xa+72 Xl+50 Xm+100 Xz≤584 000

8

Paso 2.

Sea:

Z−cX=0

la forma general de la ecuación a optimizar.

Entonces:

Z−1500 Xa−800 Xl−750 Xm−1050 Xz=0

es nuestra ecuación a optimizar en la forma general.

Paso 3.

2 Xa+0.5 X l+1 Xm+1.5 Xz+U=20000000

4 Xa+5 Xl+3 Xm+6 Xz+V=250000

36 Xa+72 Xl+50 Xm+100 Xz+Y=584000

Paso 4.

Xa Xl Xm Xz U V Y Bi

LO -1500 -800 -750 -1050 0 0 0 0

L1 2 0.5 1 1.5 1 0 0 20,000,000

L2 4 5 3 6 0 1 0 250,000

L3 36 72 50 100 0 0 1 584,000

Paso 5.

Xa Xl Xm Xz U V Y Bi

LO -1500 -800 -750 -1050 0 0 0 0

L1 2 0.5 1 1.5 1 0 0 20,000,000

L2 4 5 3 6 0 1 0 250,000

L3 36 72 50 100 0 0 1 584,000

Paso 6.

Mín {200000002,2500004

,58400036 }=16222.22

Paso 7.

Xa Xl Xm Xz U V Y Bi

LO -1500 -800 -750 -1050 0 0 0 0

L1 2 0.5 1 1.5 1 0 0 20,000,000

L2 4 5 3 6 0 1 0 250,000

9

L3 36 72 50 100 0 0 1 584,000

La intersección en la tabla de la columna que entra y la que sale

determina el elemento pivote. Aplicamos operaciones matriciales elementales

en el pivote con objeto de convertir a la columna correspondiente en el vector

unitario, es decir ceros en toda la columna, y un uno en la celda del renglón

correspondiente, es decir el pivote.

Xa Xl Xm Xz U V Y Bi

L

O 0 2200

1333.3333

3

3116.66666

7 0 0 41.6666667 24,333,333.33

L1

0 -3.5

-

1.7777777

8

-

4.05555555

6 1 0 -0.05555556 19,967,555.56

L2

0 -3

-

2.5555555

6

-

5.11111111

1 0 1 -0.11111111

185,111.1

1

L3

1 2

1.3888888

9

2.77777777

8 0 0 0.02777778

16,222.2

2

Después de realizar el Paso 7 revisamos el renglón que

corresponde a nuestra ecuación a optimizar, comúnmente llamado LO

en la tabla, buscando la variable más negativa y repitiéndose los pasos

5, 6 y 7. En el momento en el que no encontremos más variables

negativas en el renglón de nuestra ecuación a optimizar, podemos decir

que encontramos la solución óptima.

Paso 8.

Este es un paso adicional que hemos decidido introducir para

analizar e interpretar los resultados arrojados por la tabla.

Xa Xl Xm Xz U V Y Bi

L

O 0 2200

1333.3333

3

3116.66666

7 0 0 41.6666667 24,333,333.33

L1 0 -3.5 -

1.7777777

-

4.05555555

1 0 -0.05555556 19,967,555.56

10

8 6

L2

0 -3

-

2.5555555

6

-

5.11111111

1 0 1 -0.11111111

185,111.1

1

L3

1 2

1.3888888

9

2.77777777

8 0 0 0.02777778

16,222.2

2

Podemos representar las variables óptimas con sus valores en

una tabla como la siguiente:

Xa 16,222.22

U

19,967,555.5

6

V 185,111.11

Función

Objetivo

24,333,333.3

3

De aquí podemos interpretar que para optimizar la función

objetivo que se nos dio cumpliendo con los objetivos y sujeto a las

restricciones presupuestarias; el número de árboles de aguacate que se

deben sembrar es de 16,222.22, el sobrante del presupuesto,

representado por la variable U, es de 19, 967,555.56 pesos; y el

sobrante de terreno, representado con la variable V, es de 185,111.11

m2. El valor de las ganancias totales por la exportación fue de 24,

333,333.33 pesos.

1.2 Formulación Matemática

Sean

xa: el número de árboles de aguacate a ser sembrados,

x l : el número de árboles de lima reina a ser sembrados,

xm: el número de árboles de mangos a ser sembrados,

xz : el número de árboles de zapote a ser sembrados.

11

La notación usada para detonar todas las variables del problema.

El valor promedio de la exportación (VPE) anual se puede representar por:

VPE=(10 ) (150 ) xa+(4 ) (200 ) x l+(15 ) (50 ) xm+(7)(150)x z

VPE=( $kgagc . )( kg agc .

árb .agc . )árb .agc .+( $kg lima reina )( kg limareina

árb .lima reina )árb .lima reina+( $

kgmango )( kgmangoárb .mango )árb .mango+( $

kg zap . prto. )( kg zap . prto .árb . zap . prto . )árb . zapote prieto=$

La restricción correspondiente a la extensión de tierra laborable está dada por:

4 xa+5x l+3 xm+6 xz≤250000m2

Dimensionalmente, se puede verificar que en efecto las unidades en ambos

lados de la desigualdad son m2 .

Respecto a la inversión inicial se tiene que

2 xa+0.50 xl+1 xm+1.50 xz≤20000000 ,

siendo pesos las unidades que prevalecen en ambos lados de esta última

desigualdad.

Respecto a la condición de empleo mínimo que el Gobierno Federal se ha

fijado, ésta puede representarse por:

36 xa+72x l+50 xm+100 xz≥8x 200 x365 ,

siendo las dimensiones de esta desigualdad, las siguientes

( h−hombreaño−árb .agc . )árb .agc .+( h−hombre

año−árb .lima )ár b . lima+( h−hombreaño−árb .mango )árb .mango+¿

( h−hombreaño−árb . zapote )árb . zapote ≥( h−hombre

día año )

12

y ya simplificando, queda (horas-hombre)/año en ambos lados de la

desigualdad.

Finalmente, como él número de árboles, de cualquier especie, no puede ser

negativo (en vez de sembrar, se destruye), se tiene que

xa≥0 , x l≥0 , xm≥0 , xz≥0

Resumiendo, se tiene que el siguiente modelo matemático formula el problema

en cuestión

Maximizar 1500 xa+800 xl+750 xm+1050 xz

Sujeto a

4 xa+5x l+3 xm+6 xz≤250000m2

2 xa+0.50 xl+1 xm+1.50 xz≤20000000

36 xa+72x l+50 xm+100 xz≥584000

xa≥0 , x l≥0 , xm≥0 , xz≥0

2.1 Un problema en un negocio familiar

Paso 1.

Sean

X1: el número de patatas ensalada a ser fabricadas,

X2: el número de puré patatas a ser fabricados,

X3: el número de patatas inglesa a ser fabricadas,

X4: el número de patatas congeladas a ser fabricadas,

La notación usada para denotar todas las variables del problema.

El valor promedio del beneficio (VPB) semanal se puede representar por:

VPB=4 X 1+5 X 2+9 X 3+11X 4

Cuyas dimensiones están dadas por:

VPB=( pesos ) patataskg

+(pesos ) patataskg

+( pesos ) patataskg

+( pesos ) patataskg

Y las dimensiones de las ecuaciones a las que estamos sujetos:

X 1+X 2+X 3+X 4≤15

13

(kg deespecialidad terminada) patataskg

+(kgde especialidad terminada) patataskg

+(kgdeespecialidad terminada) patataskg

+(kgde especialidad terminada) patataskg

≤(metros c uaradosdisponibles en almacén)

3 X 1+5 X 2+10 X 3+15 X 4≤100

( horassemana

necesarias) patataskg

+( horassemana

necesarias ) patataskg

+( horassemana

necesarias) patataskg

+( horassemana

necesarias ) patataskg

≤( horassemana

disponibles paratrabajar )

7 X 1+5 X 2+3 X 3+2 X 4≤120

( patatasen sacos) patataskg

+(patatas ensacos) patataskg

+( patatasen sacos) patataskg

+(patatas ensacos) patataskg

≤(metros cuarados disponibles enalmacén)

X 1 , X 2, X 3 , X 4≥0

Una vez que tenemos definidas nuestras ecuaciones, identificamos cual

es la que vamos a optimizar. Para nuestro primer problema la ecuación a

optimizar es:

Z=4 X1+5 X2+9 X3+11X 4

E identificamos las ecuaciones a las que estará sujeta nuestra

optimización. En este problema la optimización está sujeta a tres restricciones,

estas son:

X 1+X 2+X 3+X 4≤15

3 X 1+5 X 2+10 X 3+15 X 4≤100

7 X 1+5 X 2+3 X 3+2 X 4≤120

X 1 , X 2, X 3 , X 4≥0

Paso 2.

Sea:

Z−cX=0

la forma general de la ecuación a optimizar.

Entonces:

Z−4 X1−5 X 2−9 X 3−11X 4=0

es nuestra ecuación a optimizar en la forma general.

Paso 3.

X 1+X 2+X 3+X 4+X5=15

3 X 1+5 X 2+10 X 3+15 X 4+X 6=100

14

7 X 1+5 X 2+3 X 3+2 X 4+X 7=120

Paso 4.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi

LO -4 -5 -9 11 0 0 0 0

L1 1 1 1 1 1 0 0 15

L2 7 5 3 2 0 1 0 120

L3 3 5 10 15 0 0 1 100

Paso 5.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi

LO -4 -5 -9 -11 0 0 0 0

L1 1 1 1 1 1 0 0 15

L2 7 5 3 2 0 1 0 120

L3 3 5 10 15 0 0 1 100

Paso 6.

Mín {151 ,1202

,10015 }=10015 =6.67

Paso 7.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi

LO -4 -5 -9 -11 0 0 0 0

L1 1 1 1 1 1 0 0 15

L2 7 5 3 2 0 1 0 120

L3 3 5 10 15 0 0 1 100

La intersección en la tabla de la columna que entra y la que sale

determina el elemento pivote. Aplicamos operaciones matriciales elementales

en el pivote con objeto de convertir a la columna correspondiente en el vector

15

unitario, es decir ceros en toda la columna, y un uno en la celda del renglón

correspondiente, es decir el pivote.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi

L

O

-1.8

-

1.33333333

3

-

1.6666666

7 0 0 0

0.73333333

3

73.3333333

3

L1

0.8

0.66666666

7

0.3333333

3 0 1 0

-

0.06666667

8.33333333

3

L2

0.6

0.33333333

3

1.6666666

7 0 0 1

-

0.13333333

106.666666

7

L3

0.2

0.33333333

3

0.6666666

7 1 0 0 0.2

6.66666666

7

Después de realizar el Paso 7 nos encontramos que en nuestro LO

todavía existen números negativos. Por lo que repetimos el paso 5, 6 y 7.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi

L

O

-1.8

-

1.33333333

3

-

1.6666666

7 0 0 0

0.73333333

3

73.3333333

3

L1

0.8

0.66666666

7

0.3333333

3 0 1 0

-

0.06666667

8.33333333

3

L2

0.6

0.33333333

3

1.6666666

7 0 0 1

-

0.13333333

106.666666

7

L3

0.2

0.33333333

3

0.6666666

7 1 0 0 0.2

6.66666666

7

Mín {8.3330.8,106.6670.6

,6.6670.2 }=8.3330.8

=10.41667

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Bi

L

O

-1.8

-

1.33333333

3

-

1.6666666

7 0 0 0

0.73333333

3

73.3333333

3

L1 0.8 0.66666666 0.3333333 0 1 0 - 8.33333333

16

7 3 0.06666667 3

L2

0.6

0.33333333

3

1.6666666

7 0 0 1

-

0.13333333

106.666666

7

L3

0.2

0.33333333

3

0.6666666

7 1 0 0 0.2

6.66666666

7

X1 X2 X3 X4 X5 X

6

X7 Bi

L

O

0

0.16666666

7

-

0.9166666

7 0

2.

25 0 3.5

92.0833333

3

L1

1

0.83333333

3

0.4166666

7 0 1.25 0

-

0.08333333

10.4166666

7

L2

0

-

1.16666666

7

-

1.0833333

3 0 -8.25 1

0.41666666

7

37.9166666

7

L3

0

0.16666666

7

0.5833333

3 1 -0.25 0

0.08333333

3

4.58333333

3

Podemos observar que en el renglón de nuestra ecuación LO aún se

encuentra un número negativo, por lo que tenemos que repetir el proceso.

X1 X2 X3 X4 X5 X

6

X7 Bi

L

O

0

0.16666666

7

-

0.9166666

7 0

2.

25 0 3.5

92.0833333

3

L1

1

0.83333333

3

0.4166666

7 0 1.25 0

-

0.08333333

10.4166666

7

L2

0

-

1.16666666

7

-

1.0833333

3 0 -8.25 1

0.41666666

7

37.9166666

7

L3

0

0.16666666

7

0.5833333

3 1 -0.25 0

0.08333333

3

4.58333333

3

17

Mín {10.416670.41667,37.91667−1.08333

,4.583330.58333 }=4.583330.58333

=7.857143

X1 X2 X3 X4 X5 X

6

X7 Bi

L

O

0

0.16666666

7

-

0.9166666

7 0

2.

25 0 3.5

92.0833333

3

L1

1

0.83333333

3

0.4166666

7 0 1.25 0

-

0.08333333

10.4166666

7

L2

0

-

1.16666666

7

-

1.0833333

3 0 -8.25 1

0.41666666

7

37.9166666

7

L3

0

0.16666666

7

0.5833333

3 1 -0.25 0

0.08333333

3

4.58333333

3

X1 X2 X

3

X4 X5 X

6

X7 Bi

L

O 0

0.42857142

9 0

1.57142857

1

1.85714285

7 0

0.71428571

4

99.2857142

9

L1

1

0.71428571

4 0

-

0.71428571

4

1.42857142

9 0

-

0.14285714

7.14285714

3

L2

0

-

0.85714285

7 0

1.85714285

7

-

8.71428571

4 1

0.57142857

1

46.4285714

3

L3

0

0.28571428

6 1

1.71428571

4 -0.43 0

0.14285714

3

7.85714285

7

En esta ocasión ya no tenemos ningún número negativo en LO, por lo

que podemos decir que hemos encontrado la solución óptima.

Paso 8.

Ahora es momento de interpretar los datos de nuestra tabla.

18

X1 X2 X

3

X4 X5 X

6

X7 Bi

L

O 0

0.42857142

9 0

1.57142857

1

1.85714285

7 0

0.71428571

4

99.2857142

9

L1

1

0.71428571

4 0

-

0.71428571

4

1.42857142

9 0

-

0.14285714

7.14285714

3

L2

0

-

0.85714285

7 0

1.85714285

7

-

8.71428571

4 1

0.57142857

1

46.4285714

3

L3

0

0.28571428

6 1

1.71428571

4 -0.43 0

0.14285714

3

7.85714285

7

Podemos representar las variables óptimas con sus valores en una tabla

como la siguiente:

X1

7.14285714

3

X3

7.85714285

7

X6

46.4285714

3

Función

Objetivo

99.2857142

9

Luego, don Francisco y doña remedios deberán fabricar cada semana

7.14276 kg de patatas para ensalada y 7.857143 kg de patatas a la inglesa. La

variable X6 nos indica que dado esta producción, quedará un sobrante de

46.4286 kilogramos en sacos de patata en su almacén. Su beneficio semanal

ascenderá a 99.286 pesos.

2.2 Formulación matemática

Conclusiones

19

Después de la realización de este trabajo hemos aprendido una aplicación más

del álgebra lineal. Nos resulta interesante que la Programación Lineal tenga

métodos tan sencillos para resolverse como lo es el método simplex y no por

ello deje de sur un método tan eficiente en la toma de decisiones,

especialmente en la Investigación de Operaciones. Podemos enumerar, tres

elementos que surgieron a través de la elaboración de este trabajo. El primero

de ellos, es que conocimos un poco de historia acerca de la Investigación de

Operaciones y de cómo, en una situación tan compleja, debido a la

intervención de tantos factores, como lo fue la Segunda Guerra Mundial; las

matemáticas hayan jugado un papel tan importante para decidir cuáles eran las

acciones que se debían de realizar. En segundo lugar, nos llamó mucho la

atención la manera en la que la programación lineal, que fue el área de la

Investigación de Operaciones que usamos para este trabajo, puede aplicarse

en el campo de la economía, para alcanzar ciertos objetivos optimizando los

recursos, ya sea maximizando los beneficios o minimizando los costos. Y por

último, durante el proceso de investigación bibliográfica para la realización de

nuestro trabajo nos encontramos con otros temas también muy llamativos que

intentaban volver más exactas y realistas las decisiones tomadas, tal es el caso

de la Programación Entera. En conclusión, el trabajo no sólo nos sirvió para

conocer una aplicación adicional del álgebra lineal en el campo económico; de

igual manera nos sirvió para entender como es que surgen este tipo de

herramientas y nos dejó abierta la alternativa a conocer nuevos temas y

métodos del universo de las matemáticas.

20

Fuentes consultadas

García Cabañes, J., Fdez. Martínez, L. y Tejera del Pozo, P.: “Técnicas de

investigación operativa”. Tomo II. Ed. Paraninfo. Madrid 1990. Supervisado por:

Jose María Úbeda Delgado.

Dr. Juan Prawda. (2004). Métodos y Modelos de Investigación de operaciones.

México: Editorial Limusa S.A de C.V.

Linear programming. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/342203/linear-programming

Simplex method. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/545391/simplex-method

George Dantzig. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/1090271/George-Dantzig

Operations research. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/682073/operations-research

21