Programación Lineal - Modelos Para La Toma de Decisiones 3 SEP 2008

[Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Estrella, MBA – Cavaliere 1 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

1

Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra Recinto Santo Tomás de Aquino

Facultad de Ciencias Sociales y Administrativas Departamento de Administración de Empresas

MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones

en honor a Carlos Dreyfus PROGRAMA GENERAL

Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA

Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

[email protected] ; [email protected] ; [email protected]

www.atalayadecristo.org SEPTIEMBRE, 2008

• Modelos de Programación Lineal. o Método Gráfico. o Método Simplex. o Método PERT. o Diagrama de Gantt.

• Proyecto Final – Modelos de Programación Lineal.

• Bibliografía de Programación Lineal.

o ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Métodos Cuantitativos para los Negocios. International Thomson Editores: Novena Edición. 2004 - Séptima Edición. 1999.

o ARREOLA RISA Jesús S. And ARREOLA RISA Antonio. Programación

Lineal – Una introducción a la toma de decisiones cuantitativa. International Thomson Editores: Primera Edición. 2003.

o HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Métodos Cuantitativos para

Administración. McGraw-Hill: Tercera Edición, 2008.

o HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemáticas para Administración y Economía. Pearson Educación – Prentice Hall: Décima edición 2003.

o BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Análisis

Cuantitativo para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edición, 2000.

o BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Análisis Cuantitativo para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994.

PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

http://www.docudesk.com


2

o LORA Ricardo and GRULLON Ramón. METODOS CUANTITATIVOS EN

LA TOMA DE DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, República Dominicana: Tercera Edición, 1994.

o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introducción a la Investigación

de Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1997.

o CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Dirección y Administración de la Producción y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1995.

o EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and WEATHERFORD Larry. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Pearson Educación – Prentice Hall: Quinta edición 2000.



3

• Modelos de Programación Lineal.

La Programación Lineal es una de la más vieja y aún una de las más importantes herramientas de la investigación de operaciones, se utiliza cuando un problema se puede describir utilizando ecuaciones y desigualdades que son todas lineales.

La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática de optimización.

Por técnica de optimización se entiende un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo; por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar los costos. La programación lineal es un subconjunto de un área más extensa de procedimientos de optimización matemática llamada Programación Matemática.

La Programación Lineal trata la planeación de las actividades para

obtener un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución.

La Programación Lineal no da espacio para que haya incertidumbre en

ninguna de las relaciones; no incluye ninguna probabilidad o variable aleatoria. Por consiguiente, el problema de maximizar la función objetivo, sujeta a las distintas restricciones, es conceptualmente simple. Cuando hay sólo unas pocas variables, el sentido común y algo de aritmética pueden dar una solución, y es que así se han resuelto esos problemas por generaciones. Sin embargo, como es frecuente, la intuición es poco valida cuando el problema es más complejo; ya que cuando el número de variables de decisión aumenta de tres o cuatro a cientos de miles, el problema desafía los procedimientos empíricos. La programación lineal ha hecho posible manejar de una manera ordenada, problemas con grandes cantidades de restricciones.

Esta técnica tiene excepcional poder y aplicación general. Es

aplicable a una gran variedad de problemas organizacionales de los negocios modernos y puede manejarse como una rutina con la ayuda de los computadores actuales. Es una de las técnicas cuantitativas que le ha dado a la gerencia elementos eficaces para abordar un conjunto de problemas que admitían sólo soluciones parciales hasta hace pocos años.



4

En todo problema de programación lineal hay que tomar ciertas decisiones. Estas se representan con variables de decisión xj que se utilizan en el modelo de programación lineal. La estructura básica de un problema de este tipo es maximizar o minimizar la función objetivo, satisfaciendo al mismo tiempo un grupo de condiciones restrictivas o restricciones (que limitan el grado en que se puede perseguir algún objetivo). La función objetivo. En un problema de programación lineal, la función por maximizar o minimizar se llama función objetivo. Aunque por lo regular existe un numero infinito de soluciones para el sistema de restricciones (llamadas soluciones factibles o puntos factibles), la meta es encontrar una que sea una solución óptima (esto es, una que dé el valor máximo o mínimo de la función objetivo). Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad. Las restricciones son limitaciones impuestas al grupo de decisiones permisibles. Algunos ejemplos específicos de tales restricciones son:

1. Un administrador de cartera tiene determinada cantidad de capital a su disposición. Las decisiones están limitadas por la cantidad de capital disponible y por las regulaciones gubernamentales.

2. Las decisiones del administrador de una planta están limitadas por

la capacidad de dicha planta y por la disponibilidad de recursos. 3. Los planes de una aerolínea para llevar a cabo la asignación del

personal y los vuelos están restringidos por las necesidades de mantenimiento de los aviones y por la cantidad de empleados disponibles.

El Modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar una función objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones:

1. Restricciones estructurales. 2. Restricciones de no negatividad.



5

Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitación de recursos y otras situaciones que impone la situación del problema.

Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable

de decisión sea negativa.

El Método Gráfico Este método se fundamenta en la versión gráfica que presentemos de todas las restricciones planteadas; las cuales se superpondrán una sobre otra, hasta llegar a limitar un área, denominada área factible. El procedimiento más funcional para la aplicación de este método es introducir una pequeña modificación en las restricciones, las cuales generalmente están planteadas como inecuaciones, transformándolas en ecuaciones. Ya convertidas las restricciones en ecuaciones para su grafica aplicamos el método de los interceptos consistente en determinar los puntos donde la recta intercepta los ejes (X e Y). Graficada la recta se sombrea la parte superior o inferior de esta dependiendo del tipo de inecuación. Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima de la línea, pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible, donde cada punto en esta región representa una solución factible. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo. La condición de no negatividad hace que el grafico de la restricción X1, X2 ≥ 0, sea todo en el primer cuadrante.



6

Caso I. Un fabricante esta tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos x1 y x2. Se dispone de 96 unidades de material y 72 horas de mano de obra. Cada producto x1 requiere 12 unidades de materiales y 6 horas de obra al máximo. Mientras que el producto x2 usaría 8 unidades de material y 12 horas de mano de obra. El margen de beneficio es el mismo para ambos artículos US$5. El fabricante prometió construir por lo menos dos artículos del producto x1 Determinar la cantidad a producir y vender de cada artículo que garanticen mayores beneficios. Función objetivo: Z = 5x1 + 5x2 Restricciones x1 y x2 ≥ 0 (condición de no negatividad)

12x1 + 8x2 ≤ 96 6x1 + 12x2 ≤ 72 x1 ≥ 2

Maximice: Z = 5x1 + 5x2

1. Convertimos las restricciones en ecuaciones. 12x1 + 8x2 = 96 6x1 + 12x2 = 72 x1 = 2

2. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas líneas rectas interceptan los ejes.

Para 12x1 + 8x2 = 96

a) Si x2 = 0 implica 12x1 + 8(0) = 96 12x1 = 96

x1 = 96/12 x1 = 8 (8,0)

b) Si x1= 0 implica 12(0) + 8x2 = 96

8x2 = 96 x2 = 96/8 x2 = 12 (0,12)



7

Para 6x1 + 12x2 = 72 a) Si x2 = 0 implica 6x1 + 12(0) = 72

6x1 = 72 x1 = 72/6 x1 = 12 (12,0)

b) Si x1= 0 implica 6(0) + 12x2 = 72

12x2 = 72 x2 = 72/12 x2 = 6 (0,6)

Para x2 = 2

(2,0) 3. Graficamos.

Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima de la línea, pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible, donde cada punto en esta región representa una solución factible. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo.

Para 12x1 + 8x2 = 96 (8,0) (0,12)

Para 6x1 + 12x2 = 72 (12,0) (0,6)

Para x2 = 2 (2,0)



8

Esta área factible tiene los siguientes vértices (8,0), (6,3), (2,0) y (2,5). Es preciso aclarar que cualquier punto que caiga dentro del área factible garantiza beneficios, pero son los puntos extremos o vértices de la figura lo que garantizarían máximos beneficios. Maximice: Z = 5x1 + 5x2

En el punto (8,0) implica Z = 5(8) + 5(0) = $40 En el punto (6,3) implica Z = 5(6) + 5(3) = $45 En el punto (2,0) implica Z = 5(2) + 5(0) = $10 En el punto (2,5) implica Z = 5(2) + 5(5) = $35 El mayor valor es $45 lo que implica que habrá que vender 6 unidades del producto x1 y 3 producto x2. Si pretendemos obtener los mayores beneficios.



9

Caso II. Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitaminas W, 50 unidades de vitamina X y 49 de unidades vitaminas Y, cada onza de alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y unidades de vitamina Y, cada onza de alimento B proporciona 10 unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de unidades Y. El alimento A cuesta 5 centavos/onza y el alimento B 8 centavos/onza. Requerimiento Alimento A Alimento B Vitamínico Mín.

Vitamina W 4unids/onza 10unids/onza 40 Vitamina X 10unids/onza 5unids/onza 50 Vitamina Y 7unids/onza 7unids/onza 49

Costo 5cents/onza 8cents/onza

Determinar la combinación que disminuirá los costos: Función Objetivo: Minimizar C = 5A + 8B Restricciones:

A, B ≥ 0 4A + 10B ≥ 40 10A + 5B ≥ 50 7A + 7B ≥ 49

1. Convertimos las restricciones en ecuaciones.

4A + 10B = 40 10A + 5B = 50 7A + 7B = 49



10

2. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas líneas rectas interceptan los ejes. Para 4A + 10B = 40

a) Si B = 0 implica 4A + 10(0) = 40 4A = 40

A = 40/4 A = 10 (10,0)

b) Si A = 0 implica 4(0) + 10B = 40

10B = 40 B = 40/10 B = 4 (0,4)

Para 10A + 5B = 50

a) Si B = 0 implica 10A + 5(0) = 50 10A = 50

A = 50/10 A = 5 (5,0)

b) Si A = 0 implica 10(0) + 5B = 50

5B = 50 B = 50/5 B = 10 (0,10)

Para 7A + 7B = 49

a) Si B = 0 implica 7A + 7(0) = 49 7A = 49

A = 49/7 A = 7 (7,0)

b) Si A = 0 implica 7(0) + 7B = 49

7B = 49 B = 49/7 B = 7



11

(0,7) 3. Graficamos.


Para 4A + 10B = 40 (10,0) (0,4)

Para 10A + 5B = 50 (5,0) (0,10)

Para 7A + 7B = 49 (7,0) (0,7)

Minimizar C = 5A + 8B a) En el punto (10,0) implica C = 5(10) + 8(0) = $50 b) En el punto (4.2,2.5) implica C = 5(4.2) + 8(2.5) = $41 a) En el punto (2.2,5) implica C = 5(2.2) + 8(5) = $51 a) En el punto (0,10) implica C = 5(0) + 8(10) = $80

Región Factible



12

El menor costo a que se podría comprar es a $41, pero esto implicaría 4.2 onzas del producto A y 2.5 onzas del producto B y se mantendría el nivel vitamínico. Caso III. Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2. En la tabla se resumen las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento. También se incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos departamento y los márgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los dos productos. El problema consiste en determinar el número de unidades que hay que fabricar de cada producto, con el objeto de maximizar la aportación total a los costos fijos y a las utilidades. Capacidad de Producto A Producto B Trabajo semanal

Departamento 1 3h/unidad 3h/unidad 120h Departamento 2 4h/unidad 6h/unidad 260h

Margen de utilidad $5/unidad $6/unidad

Si se supone que x1 y x2 son el número de unidades fabricadas y vendidas, respectivamente, de los productos A y B, entonces puede calcularse la aportación a las utilidades totales sumando las contribuciones de ambos productos. La que hace cada uno se obtiene al multiplicar el margen de utilidad por unidad por el número de unidades producidas y vendidas. Si z se define como la aportación a los costos y utilidades totales, se tendrá:

Z = 5x1 + 6x2

Las restricciones vienen dada de la siguiente forma:

3x1 + 2x2 ≤ 120 departamento 1 4x1 + 6x2 ≤ 260 departamento 2

El modelo de programación lineal que representa el problema se formula así:

Maximice Z = 5x1 + 6x2 Sujeta a 3x1 + 2x2 ≤ 120

4x1 + 6x2 ≤ 260 x1 ≥ 0



13

x2 ≥ 0 4. Convertimos las restricciones en ecuaciones.

Inecuaciones o Desigualdades lineales

3x1 + 2x2 ≤ 120 departamento 1 4x1 + 6x2 ≤ 260 departamento 2

Ecuaciones o Igualdades lineales 3x1 + 2x2 = 120 departamento 1 4x1 + 6x2 = 260 departamento 2

5. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de

las respectivas líneas rectas interceptan los ejes.


3x1 = 120 x1 = 120/3 x1 = 40 (40,0)

b) Si x1= 0 implica 3(0) + 2x2 = 120 2x2 = 120

x2 = 120/2 x2 = 60 (0,60)


4x1 = 260 x1 = 260/4 x1 = 65 (65,0)

b) Si x1= 0 implica 4(0) + 6x2 = 260

6x2 = 260 x2 = 260/6 x2 = 43.33 (0,43.33)



14

6. Graficamos.


Para 3x1 + 2x2 = 120

(40,0) (0,60)

Para 4x1 + 6x2 = 260 (65,0) (0,43.33)

7. Ya que la función objetivo Z = 5x1 + 6x2, es equivalente a:

6/6x2 = -5/6 x1 + Z/6

x2 = -5/6 x1 + Z/6 Define una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente de –5/6 e intersección de y (0, Z/6).

4x1+6x2≤260

3x1+2x2≤120



15

La pendiente de la función objetivo es –5/6, y no recibe el influjo del valor de Z. Se determina exclusivamente por los coeficientes de las dos variables de la función objetivo. La intersección con el eje x2 está definida por (0,Z/6). Desde ella se advierte que, al cambiar el valor de z, lo mismo sucede con la intersección con el eje x2. Si Z aumenta el valor, también lo hace la intersección con el eje x2, lo cual significa que la línea de utilidades iguales se desplaza hacia arriba y hacia la derecha. Si quisiéramos maximizar las utilidades, tendríamos que desplazar la línea de utilidades lo más afuera posible, sin dejar de tocar un punto dentro del área de las soluciones factibles. Una vez definida el área factible usted puede tratar de encontrar la solución óptima, identificando combinaciones de los dos productos que generen un nivel de utilidad previamente establecido, por ejemplo:

a) 5x1 + 6x2 = $120 b) 5x1 + 6x2 = $180 c) 5x1 + 6x2 = $240

8. A partir de la figura anterior vemos que el punto o vértice A del área

factible pertenece a las rectas: 3x1 + 2x2 = 120 departamento 1 4x1 + 6x2 = 260 departamento 2

Sus coordenadas pueden hallarse resolviendo el sistema anterior. Por igualación: x1 = 120 - 2x2

3

x1 = 260 - 6x2 4

120 - 2x2 = 260 - 6x2

3 4

480 - 8x2 = 780 - 18x2 - 8x2 = 300 - 18x2 10x2 = 300 x2 = 30



16

3x1 + 2(30) = 120 3x1 = 60 x1 = 60/3

x1 = 20 Por eliminación:

3x1 + 2x2 = 120 (-4) 4x1 + 6x2 = 260 (3)

-12x1 - 8x2 = -480 departamento 1 12x1 +18x2 = 780 departamento 2

10x2 = 300 x2 = 30 3x1 + 2(30) = 120

3x1 = 60 x1 = 60/3

x1 = 20

Al deslizarse hacia fuera, el último punto que debe tocarse es A. Este punto se encuentra en la línea de utilidades de $280 cuando se fabrican 20 y 30 unidades, respectivamente, de los productos A y B.



17

Ejercicios Propuestos. Optimice cada situación basado en el modelo gráfico e interprete los resultados. Caso I. Una compañía produce dos tipos de artículos, manuales y eléctricos. Cada uno requiere para su fabricación del uso de tres maquinas, A, B y C. La tabla siguiente da la información relacionada con la fabricación de estos artículos. Cada artículo manual requiere del uso de la maquina A durante 2 horas, de la maquina B por 1 hora y de la maquina C otra hora. Un articulo eléctrico requiere 1 hora de la maquina A, 2 horas de la maquina B y 1 hora de la maquina C. Además, supongamos que el numero máximo de horas disponibles por mes para el uso de las maquinas A, B y C es de 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad por cada artículo manual es de $4 y por cada artículo eléctrico es de $6. Si la compañía vende todos los artículos que puede producir, ¿cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad mensual? Artículo Artículo Horas Manual Eléctrico Disponibles

Máquina A 2 1 180 Máquina B 1 2 160 Máquina C 1 1 100

Utilidad/unidad $4 $6

Caso II. Un agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el mercado. Crece Rápido cuesta $8 una bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa, y contiene 2 unidades de cada nutriente. Si el cultivador desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrimentos, ¿cuántas bolsas de cada marca debe comprar? La información se resume como sigue: Crece Crece Unidades Rápido Fácil Requeridas

Nutriente A 3 unidades 2 unidades 160

Nutriente B 5 unidades 2 unidades 200 Nutriente C 1 unidad 2 unidades 80 Costo/bolsa $8 $6



18

Caso III. Resuelva por el Método Gráfico: Maximizar 5000E + 4000F (Máxima contribución a las ganancias)

E + F ≥ 5 (Requisito de Producción Mínima) 10E + 15F ≤ 150 (Capacidad en el Departamento A) 20E + 10F ≤ 160 (Capacidad en el Departamento B) 30E + 10F ≥ 135 (Horas de trabajo empleadas en las pruebas) E, F ≥ 0 (Condición de no negatividad)

Caso IV. Construye el diagrama de red para el siguiente listado de actividades que permitiría el traslado de una oficina del sector financiero.

Predecesores Actividad Descripción Inmediatos

A Seleccionar sitio de oficinas - B Crear plan organizacional y financiero - C Determinar requerimiento de personal B D Diseñar la instalación A,B E Construir el interior D F Seleccionar al personal que se va a transferir C G Contratar nuevos empleados F H Trasladar registros, personal clave, etc. F I Hacer arreglos financieros con instituciones B J Capacitar nuevo personal H,E,G



19

MODELOS LINEALES

Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente gráficamente cada situación e interprete los resultados. Caso I. El costo de preparación de una línea de producción es de US$3,000, en el que se incurre independientemente del número de unidades que finalmente se produzcan. Además, los costos de mano de obra y material variables son de US$2 por cada unidad producida. Representa Gráficamente. CT = 3000 + 2x Caso II. Eastman Publishing Company está considerando la publicación de un libro de texto, de tipo de bolsillo, sobre la aplicación, sobre la aplicación de hojas de cálculos en los negocios. El costo fijo de preparación del manuscrito, el diseño del libro y la puesta en marcha de la producción se estima en US$80,000 dólares. Los costos variables de producción y materiales se estiman igual a US$3 dólares por libro. La demanda durante la vigencia del libro se estima en 4,000 ejemplares. El editor planea vender el libro a las librerías de colegios y universidades a US$20 dólares cada uno.

a. ¿Cuál es el punto de equilibrio? CF = 80,000 Cu=3 Pu=20

B = I – CT = 0 20x = 80,000 + 3x 17x = 80,000 x = 80,000/17 = 4,706

b. ¿Qué utilidad o pérdida se puede prever, con una demanda de 4,000 ejemplares?

B = I – CT B = 20x – (80,000 + 3x) B = 17(4,000) – 80,000 B = 68,000 – 80,000 B = -12,000



20

c. Con una demanda de 4,000 ejemplares, ¿cuál es el precio mínimo por ejemplar que debe cobrar el editor para llegar a punto de equilibrio?

Q = CF / (Pu – Cu) 4000 = 80,000 / (Pu – 3) 4000 (Pu – 3) = 80,000 4000Pu – 12,000 = 80,000 4000Pu = 80,000 + 12,000 Pu = 92,000/4000 = 23 d. Si el editor piensa que el precio por ejemplar pudiera incrementar

hasta US$25.95 dólares sin afectar la demanda prevista de 4,000 ejemplares, ¿qué acción recomendaría usted? ¿Qué utilidad o pérdida se podría prever?

B = 25.95x – (80,000 + 3x)

B = 22.95x – 80,000 B = 22.95(4,000) – 80,000 B = 11,800 e. Represente gráficamente.

Caso III. Están en marcha planes preliminares para la construcción de un nuevo estadio de béisbol. Los funcionarios de la ciudad han cuestionado el número y rentabilidad de los palcos corporativos de lujo planeados para el piso superior del estadio. Los palcos pueden ser adquiridos por empresas e individuos seleccionados, a US$100,000 dólares cada uno. El costo fijo de construcción del área en el piso superior se estima en US$1,500,000 dólares, con un costo variable de US$50,000 dólares por cada palco construido.

a. ¿Cuál será el punto de equilibrio para los palcos de lujo del nuevo estadio?

Pu = 100,000 CF = 1,500,000 Cu = 50,000 I = CT 100,000x = 1,500,000 + 50,000x 50,000x = 1,500,000 x = 1,500,000/50,000 = 30 palcos



21

b. Dibujos preliminares del estadio muestran que hay espacio disponible para la construcción de hasta 50 palcos de lujo. Los promotores indican que hay compradores detectados y que si se construyen, se venderían los 50. ¿Cuál es su recomendación respecto a la Construcción de los palcos de lujo? ¿Qué utilidad se puede esperar?

B = I – CT B = 100,000(50) – (1,500,000 + 50,000(50)) B = 5,000,000 – 4,000,000 = 1,000,000

Caso IV. Un grupo de ingenieros quiere formar una compañía para producir detectores de humo. Han ideado un diseño y estiman que los costos variables por unidad, incluyendo material, mano de obra y costos de mercadotecnia, son de US$22.50 dólares. Los costos fijos relacionados con la formación, operación y dirección de la compañía y la compra de equipo y maquinaria dan en total US$250,000 dólares. Estiman que el precio de venta será de US$30 dólares por detector.

a) Determine el número de detectores de humo que han de venderse para que la empresa alcance el equilibrio en el negocio.

Cu = 22.5 CF = 250,000 Pu = 30 Q = CF / (Pu – Cu) Q = 250,000 / (30 –22.5) Q = 250,000 / 7.5 Q = 33,333.33 b) Los datos preliminares de mercadotecnia indican que la empresa venderá

aproximadamente 30,000 detectores de humo a lo largo de la vida del proyecto, si le pone un precio de US$30 cada uno. Determine las utilidades esperadas en este nivel de producción.

B = I – CT B = 30x – (250,000 – 22.5x) B = 30(30,000) – (250,000 – 22.5(30,000) B = 900,000 – 925,000 B = - 25,000



22

Caso V. Una empresa agrícola tiene tres granjas que se utilizarán el año entrante. Cada una está dotada de características especiales que la hacen adecuada sólo para un tipo de cultivo. La siguiente tabla contiene el cultivo seleccionado para cada granja, el costo anual de plantar 1 acre, el ingreso que es espera obtener por acre y los costos fijos de la administración de las granjas. Además de esos costos fijos, la corporación en conjunto tiene costo fijos anuales de US$75,000. Determine la función de utilidad para la operación de las tres granjas.

Granja Cultivo Costo/acre Ingreso/acre Costo Fijo 1 Soya 900 1,300 150,000 2 Maíz 1,100 1,650 175,000 3 Papas 750 1,200 125,000

I (x1,x2,x3) = 1,300x1 + 1,650x2 + 1,200x3 CT (x1,x2,x3) = (900x1 + 150,000 + 1,100x2 + 175,000 + 750x3 + 125,000) + 75,000 U = I – CT = 1,300x1 + 1,650x2 + 1,200x3 – (900x1 + 150,000 + 1,100x2 + 175,000 + 750x3 + 125,000 + 75,000) U = 400x1 + 550x2 + 450x3 – 525,000 Caso VI. Una empresa vende un solo producto a US$65 dólares por unidad. Los costos variables por unidad son de US$20 dólares por concepto de materiales y de US$27.50 por concepto de mano de obra. Los costos fijos anuales ascienden a US$100,000. Formule la función de utilidad expresada en término de unidades producidas y vendidas. ¿Qué utilidad se gana si las ventas anuales son de 20,000 unidades? Pu = 65 Cu = 20 + 27.5 = 47.5 CF = 100,000 U = I – CT U = 65x – (100,000 – 47.5x) U = 17.5x – 100,000 U = 17.5(20,000) – 100,000 U = 350,000 – 100,000 U = 250,000



23

Caso VII. Dos puntos sobre una función lineal de demanda son (US$20 dólares, 60,000 unidades) y ($30 dólares, 47,500 unidades).

a) Determine la función de la demanda.

m = tg θ = y2 – y1 = 20 - 30 = -10/12,500 x2 – x1 60,000 – 47,500

m = -1/1250

m (x – x1) = (y – y1)

-1/1,250 (x – 60,000) = (y – 20)

-1 (x – 60,000) = 1,250 (y – 20)

-x + 60,000 = 1,250y – 25,000 (-1) -x – 1,250y + 85,000 = 0 x + 1,250y – 85,000 = 0

b) Determine que precio originará una demanda de 65,000 unidades. x + 1,250y – 85,000 = 0

65,000 + 1,250y – 85,000 = 0 1,250y – 20,000 = 0 1,250y = 20,000 y = 20,000 / 1,250 y = 16 c) Interprete la pendiente de la función. d) Grafique la función.



24

Caso VIII. Dos puntos sobre la función lineal de la oferta son (US$6 dólares, 28,000 unidades) y (US$7.5 dólares, 37,000).

a) Determine la función de la oferta.

m = tg θ = y2 – y1 = 6 - 7.5 = -1.5/-9,000 x2 – x1 28,000 – 37,000

m = 1.5/9,000 = 1/6,000

m (x – x1) = (y – y1)

1/6,000 (x – 28,000) = (y – 6) x – 28,000 = 6,000 (y - 6) x – 28,000 = 6,000y – 36,000 x - 6,000y + 8,000 = 0

b) ¿Qué precio hará que los proveedores ofrezcan 135,000 unidades a la

venta? x - 6,000y + 8,000 = 0 135,000 – 6,000y + 8,000 = 0 143,000 – 6,000y = 0 -6,000y = -143,000 y = -143,000/-6,000 y = 23.83

c) Interprete la pendiente de la función. d) Interprete la intersección con el eje x. e) Grafique la función.



25

Caso IX. Una compañía ha analizado sus ventas y ha determinado que sus clientes compran 20% más de sus productos por cada US$2 de reducción en el precio unitario. Cuando el precio es US$12 la compañía vende 500 unidades.

a) Formule el modelo de demanda. Y � X Pu=12 � D=500 unidades Pu=12 - 2 = 10 20% más de D=500+(0.20*500) = 600 Pu=10 � D=600

m = tg θ = y2 – y1 = 12 - 10 = 2/-100 x2 – x1 500 – 600

m = -2/100 = -1/50 m (x – x1) = (y – y1)

-1/50 (x – 500) = (y – 12)

-1(x – 500) = 50 (y – 12)

-x + 500 = 50y – 600 -x –50y + 1,100 = 0 x + 50y – 1,100 = 0

b) ¿Cuál sería la mayor cantidad a demandar?

x + 50y – 1,100 = 0

x + 50(0) – 1,100 = 0 x = 1,100

c) ¿Cuál sería el mayor precio a pagar por el artículo?

x + 50y – 1,100 = 0

(0)+ 50y – 1,100 = 0



26

50y – 1,100 = 0 y = 1,100/50 = 22 d) ¿Cuál sería el precio si la cantidad demandada asciende a 600 unidades?

x + 50y – 1,100 = 0

600 + 50y – 1,100 = 0

50y – 500 = 0 50y = 500 y = 10

e) ¿Cuál será la demanda si el precio del producto es US$8?

x + 50y – 1,100 = 0 x + 50(8) – 1,100 = 0 x + 400 – 1,100 = 0 x – 700 = 0 x = 700 Caso X. Una compañía pretende entregar 5,000 artículos mensualmente a un precio de US$5 por unidad. Si el precio tiene una disminución de un 30%, la compañía sólo se compromete a entregar un 40% de la oferta anterior.

a) Formule el modelo de la oferta. Y � X Pu=5 � D=5,000 unidades Pu= 5 – (5 * 0.30) = 3.5 D = 5,000 * 0.4 = 2,000 Pu=3.5 � D=2,000



27

m = tg θ = y2 – y1 = 5 - 3.5 = 1.5/3,000 x2 – x1 5,000 – 2,000

m = 1/2000

m (x – x1) = (y – y1) 1/2000 (x – 5,000) = (y – 5) x – 5,000 = 2,000 (y – 5) x – 5,000 = 2,000y – 10,000 x – 5,000 – 2,000y + 10,000 = 0 x – 2000y + 5,000 = 0

b) ¿Cuál sería la menor oferta? x – 2000y + 5,000 = 0 x – 2000(0) + 5,000 = 0 x = -5,000

c) ¿Cuál sería la oferta si el precio es US$7?

x – 2000y + 5,000 = 0 x – 2,000(7) + 5,000 = 0 x – 14,000 + 5,000 = 0 x – 9,000 = 0 x = 9,000 d) ¿Cuál será el precio si se solicitan 6,000 unidades del producto?

x – 2000y + 5,000 = 0



28

6000 – 2,000y + 5,000 = 0 11,000 – 2,000y = 0 -2,000y = - 11,000 y = -11,000/-2,000 = 5.5

Caso XI. Los siguientes modelos representan la oferta y la demanda de un determinado producto. Determine gráfica y analíticamente el mercado de equilibrio. O � x + y = 5 D � 2x – y = 5.5 y = 5 – x - y = 5.5 – 2x y = 2x – 5.5

5 – x = 2x – 5.5 - x – 2x = - 5.5 – 5 -3x = -10.5 x = 3.5 3.5 + y = 5 y = 5 – 3.5

y = 1.5 Caso XII. Una compañía fabrica dos productos diferentes. Para la semana entrante dispone de 120 horas de trabajo destinadas a la elaboración de ambos productos. Puede asignar horas de trabajo a la fabricación de ambos productos. Además, como los dos tipos de producción aportan buenas ganancias, a la dirección le interesa utilizar las 120 horas durante la semana. Cada unidad del producto A requiere 3 horas de trabajo de elaboración, y cada unidad del producto B requiere 2.5 horas.

a) Defínase una ecuación que establezca que las horas totales de trabajo dedicadas a la producción “x” unidades del producto A y “y” unidades del producto B son 120.

3x + 2.5y = 120 b) ¿Cuántas unidades del producto A pueden fabricarse si se elaboran 30

unidades del producto B?



29

3x + 2.5y = 120 3x + 2.5(30) = 120 3x + 75 = 120 3x = 120 – 75 3x = 45 x = 15 unidades del producto A

c) Si la gerencia decide producir sólo un artículo, ¿cuál será la cantidad máxima que puede fabricarse del producto A? ¿Y cuál será la cantidad máxima que puede fabricarse del producto B?

3x + 2.5y = 120 3x + 2.5(0) = 120 3x = 120 x = 40 unidades del producto A 3(0) + 2.5y = 120 2.5y = 120 y = 120/2.5 y = 48 unidades del producto B

Caso XIII. La Cruz Roja Internacional está haciendo planes para transportar por avión alimentos y suministros médicos a Iraq. En la tabla adjunta se incluyen los cuatro suministros que urgen y sus respectivos volúmenes por caja o recipiente. El primer avión que se enviará a la zona tiene una capacidad de volumen de 6000 pies cúbicos. Determine la ecuación cuyo conjunto solución contenga todas las posibles combinaciones de los cuatro suministros que llenarán el avión en toda su capacidad. Suministro Volumen/Caja, ft3

Sangre 20 Equipo médico 30 Alimentos 8 Agua 6 Volumen de sangre + Volumen de Equipo Medico + Volumen de Alimentos + Volumen de agua = 6,000 pies cúbicos Cajas

X1 = Numero de recipientes de sangre X2 = Numero de contenedores de equipo medico X3 = Numero de cajas de alimentos X4 = Numero de recipientes de agua

20x1 + 30x2 + 8x3 + 6x4 = 6,000 Total



30

pies3 cajas Volumen Sangre x1 20 40 800

Equipo M. x2 30 65 1950 Alimentos x3 5 350 1750

Agua x4 6 250 1500 6000

Caso XIV. Una compañía nacional está iniciando una campaña publicitaria por medio de la televisión, la radio y la prensa. El objetivo es lograr que 10 millones de personas vean los anuncios. La experiencia revela que, por cada 1000 dólares asignados a la publicidad por televisión, radio y prensa, la publicidad llegará a 25,000, 18,000 y 15,000 personas, respectivamente. Las decisiones que han de adoptarse se refieren a cuánto dinero se asignará a cada forma de publicidad, a fin de llegar a 10 millones de personas. Determine el modelo (ecuación) cuyo conjunto solución especifique todas las asignaciones de publicidad que den por resultado la obtención de esta meta.

25,000x1 + 18,000x2 + 15,000x3 = 10,000,000 Inversion Alcance por Publicidad Alcance en USD 1000 en miles Personas

TV x1 25,000 250 6,250,000 RADIO x2 18,000 150 2,700,000

PRENSA x3 15,000 70 1,050,000 Personas 10,000,000 Caso XV. Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que expresa el costo total anual y en función de la cantidad de unidades producidas. Los contadores indican que los gastos cada año son de US$50,000 dólares. También han estimado que los costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a UD$5.50 y que los costos de mano de obra son de US$1.50 en el departamento de montaje, $0.75 en el cuarto de acabado y US$1.25 en el departamento de empaque y embarque. CF = 50,000 Cu1 = 5.50 materia prima Cu2 = 1.50 mano de obra de montaje Cu3 = 0.75 mano de obra de acabado Cu4 = 1.25 de empaque y embarque Cu = 9



31

CT = 50,000 + (5.50x + 1.50x +0.75x + 1.25x) CT = 50,000 + 9x Caso XVI. Una agencia de alquiler de automóviles compra nuevas unidades cada año para rentarlas. Los automóviles nuevos cuestan US$12,000 dólares. Se emplean tres años y luego se venden en US$2,500 dólares. El dueño de la agencia estima que los costos variables de operación de los automóviles, sin contar la gasolina, son de US$0.25 por milla. Los automóviles se alquilan en US$0.40 por milla (sin incluir gasolina).

a) Formule la función de ingreso total relacionada con el alquiler de los automóviles por millas.

Pu = 0.40/milla I = 0.40x

b) Formule el modelo de costo total asociada al alquiler de un automóvil por millas.

Cu = 0.25/milla CT = 12,000 + 0.25x

c) Formule la ecuación de utilidad.

U = I – CT U = 0.40x – (12,000 + 0.25x) U = 0.15x – 12,000

Punto de Equilibrio: 0.40x = 12,000 + 0.25x 0.40x – 0.25 x = 12,000 0.15x = 12,000 x = 80,000



32

d) ¿Cuál será la utilidad si el vehículo se renta por 60,000 millas durante el período de los tres años?

U = 0.15x – 12,000 U = 0.15(60,000) – 12,000 = - 3,000 e) Si los contadores aplican la depreciación en línea recta, determine la

función que describa el valor en libros de V en función de la edad del automóvil t.

Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C - R Vida útil n

Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 12,000-2,500 Vida útil n 3 D = 3,166.67 Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t) Valor en libros V(t) = 12,000 – 3,166.67(t) Calendario de Depreciación en línea recta Automovil (al costo original de adquisición) 12,000.00 12,000.00 12,000.00 Menos: Depreciación acumulada (la parte del costo original que ya se ha cargado en forma 3,166.67 6,333.33 9,500.00de un gasto) Valor neto en libros 8,833.33 5,666.67 2,500.00

Caso XVII. Una gasolinera vende gasolina regular y de primera calidad sin plomo. El precio por galón es de US$1.80 para la gasolina regular y de US$2.00 para la de primera calidad sin plomo. El costo por galón que cobra el proveedor es de US$1.66 y US$1.88, respectivamente.



33

a) Formule la función de ingreso obtenido para cada tipo de gasolina y para ambas.

I = Pu * x

I1 = 1.80x1 I2 = 2.00x2 IT = 1.80x1 + 2x2

b) Formule la función de costo para cada tipo de gasolina y para ambas.

CV = Cu * x C1 = 1.66x1 C2 = 1.88x2 CT = 1.66x1 + 1.88x2

c) Formule la función de utilidad total. U = I – CT U = 1.80x1 + 2x2 – (1.66x1 + 1.88x2) U = 0.14x1 + 0.12x2

d) ¿Cuál es la utilidad esperada si la estación vende 200,000 galones de gasolina regular y 80,000 galones de gasolina de primera calidad sin plomo?

U = 0.14x1 + 0.12x2 U = 0.14(200,000) + 0.12(80,000) U = 28,000 + 9,600 U = 37,600

Caso XVIII. Decisión sobre la renta de computadora o la contratación de una empresa de servicio computacionales. Un numero grupo médico se compone de 20 médicos de tiempo completo. En el momento actual, los empleados preparan manualmente las facturas de los



34

pacientes. Debido al enorme volumen de facturas, el gerente administrativo piensa que ha llegado el momento de hacer la transición de la facturación manual a la computarizada. Están estudiándose dos opciones:

1) el grupo médico puede alquilar la computadora y los programas y hacer él mismo la facturación (la opción de hacer) o

2) puede contratar a una empresa de servicios computacionales que se encargue de efectuar la facturación (contratar). Los costos de una y alternativas depende de la cantidad de facturas. La oferta más baja presentada por una empresa de servicios computacionales originará una cuota de US$3,000 dólares anuales más US$0.95 por factura procesada. Con ayuda de un experto en computación, el gerente administrativo estimó que el grupo puede rentar un pequeño sistema de cómputo para negocios, junto con los programas necesarios, a un costo de US$15,000 por año. Se estima en US$0.65 por factura los costos variables de realizar la facturación de este modo.

Servicios de Facturación = S(x) = 3,000 + 0.95x Alquilar y Facturar = A(x) = 15,000 + 0.65x 3,000 + 0.95x = 15,000 + 0.65x 0.30x = 12,000 x = 12,000/0.3 x = 40,000 Si el número esperado de facturas de pacientes por año rebasa las 40,000, la opción de alquilar es más barata. Si se espera que el número de facturas sea menor que 40,000, la opción de contratar los servicios cuesta menos. Caso XIX. Una firma está diseñando una campaña publicitaria por televisión. Los costos de desarrollo (costos fijos) son US$150,000 dólares y la firma pagará US$15,000 dólares por minutos en cada spot de televisión. La firma estima que, por cada minuto de publicidad, se obtendrá un aumento de US$70,000 en



35

las ventas. De esta cifra, US$47,500 se absorben para cubrir el costo variable de producir los artículos y US$15,000 sirven para pagar el minuto de publicidad. El resto es la contribución al costo fijo y a la utilidad.

a) ¿Cuántos minutos de publicidad se necesitan para recuperar los costos de desarrollo de la campaña publicitaria?

Costos de Desarrollo

CF = 150,000 CV= Cu * x = 15,000x

CT = 150,000 + 15,000x Aumento de Venta en: I = Pu * x = (70,000-47,500)x = 22,500x Q = CF / (Pu – Cu) Q = 150,000 / (22,500 – 15,000) Q = 150,000 / 7,500 Q = 20 minutos

b) Si la compañía se sirve de 15 spots de 1 minuto de duración, determine el ingreso total, los costos totales (producción y publicidad) y la utilidad ( o pérdida) total que resultan de la campaña.

I = 22,500x I = 22,500 * 15 = 337,500 CT = 150,000 + 15,000(15) = 375,000 U = I – CT = 337,500 – 375,000 = -37,500

Caso XX. La maquinaria que compra un fabricante por US$20,000 dólares se deprecia linealmente de manera que su valor comercial al cabo de 10 años es US$1,000 dólares.

a) Exprese el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad y dibuje la gráfica.

Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 20,000 – 1,000

Vida útil n 10 D = 1,900 Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t)



36

Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(t)

b) Calcule el valor de la maquinaria al cabo de 4 años. Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(t) Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(4) = 20,000 – 7,600 = 12,400

c) ¿Cuánto se despreciará por completo la maquinaria? El fabricante puede no esperar tanto tiempo para disponer de la maquinaria. Analice los aspectos que el fabricante puede considerar para decidir cuándo venderla.

Caso XXI. Encuentre las incógnitas para cada uno de los siguientes casos independientes:

PRECIO DE COSTO TOTAL DE MARGEN DE COSTOS

VENTA POR VARIABLE UNIDADES CONTRIBUCION FIJOS UTILIDAD

CASO UNIDAD POR UNIDAD VENDIDAS TOTAL TOTALES NETA

1 10 6 100,000 400,000 330,000 70,000 2 20 15 20,000 100,000 89,000 11,000 3 30 20 70,000 700,000 688,000 12,000 4 10 8 80,000 160,000 110,000 50,000

5 25 19 120,000 720,000 640,000 80,000

Caso XXII. Si los modelos de la oferta y la demanda son respectivamente: Oferta => p = 1 q + 8 300 Demanda => p = - 1 q + 12 180

a) Determinar el precio y la cantidad de equilibrio. 1/300q + 8 = - 1/180q + 12



37

1/300q + 1/180q = 12 – 8 480/54,000 q = 4 480q = 216,000 q = 450 p = (450/180) + 8 p = 9.5

b) Representar gráficamente. Indique el punto de equilibrio, cuando hay excedente y cuando hay escasez.

c) ¿Por qué se llama punto de equilibrio? Caso XXIII. La Compañía RL & RG, S.A. se dedica a la producción y venta de neveras. Los costos fijos son $24,500 y el precio de venta de las utilidades producidas es de $250. De los datos de producción se conoce que el costo variable/unidad es de $180. Si se espera que esos valores permanezcan constantes durante el año y siendo la capacidad de la planta de 1,000 unidades por año, se desea determinar:

a) El punto de equilibrio de la compañía en unidades, dinero y % de capacidad de producción.

CF = $24,500 Pu = $250 Cu = $180 Capacidad/año = 1,000 unidades P.E.(q) = CF / (Pu – Cu) = 24,500/(250-180) = 350 unidades Comprobación: CT = 24,500 + 180* 350 = $87,500 I = 250 * 350 = $87,500 P.E.($) = P.E.(q) * Pu = 350 * 250 = $87,500 P.E.($) = CF /RMC = 24,500 /[(250-180)/250] = 24,500/0.28 = $87,500 P.E.(%) = P.E.(q) * 100 / Capacidad P.E.(%) = 350 * 100 / 1000 = 35%



38

Con la utilización del 35% de la capacidad de producción cubre todos sus gastos. La importancia de conocer este punto es que si la compañía opera por debajo de ese punto tendrá pérdidas; si opera por encima, tendrá ganancias.

b) Beneficios que resultan para los niveles de producción y venta de 300, 350 y 500 unidades.

B = I – CT = Pu * q – (CF + Cu * q) B = (Pu *q) [(Pu – Cu)/Pu] – CF B= I * RMC – CF B(300) = (250 * 300 * 0.28) – 24,500 = - $3,500 B(350) = (250 * 350 * 0.28) – 24,500 = $0 B(500) = (250 * 500 * 0.28) – 24,500 = $10,500 Caso XXIV. La empresa CADESA produce el artículo AD12, a un costo unitario de $10 y lo vende a $15 la unidad. Los costos fijos de la empresa son de $18,000 al año. La capacidad de la empresa es de 60,000 artículos por año.

a) ¿Cuál es el punto de equilibrio de la empresa en unidades, dinero y % de capacidad de producción?

Cu = $10 Pu = $15 CF = $18,000 Capacidad = 60,000 artículos/año P.E.(q) = CF / (Pu – Cu) = 18,000/(15-10) = 3,600 artículos Comprobación: CT = 18,000 + (10 * 3,600) = $54,000 I = 15 * 3,600 = $54,000 P.E.($) = P.E.(q) * Pu = 3,600 * 15 = $54,000 P.E.($) = CF /RMC = 18,000/[(15-10)/15] = 18,000/0.3333 = $54,000 P.E.(%) = P.E.(q) * 100 / Capacidad P.E.(%) = 3,600 * 100 / 60,000 = 6%

b) ¿Cuáles serán los beneficios cuando la empresa trabaje a un 80% de capacidad?



39

0.80 * 60,000 artículos = 48,000 artículos B(q) = [q * (Pu – Cu)] – CF B(48,000) = [48,000 * (15-10)] – 18,000 = $222,000 Caso XXV. Un fabricante de artículos para el hogar está produciendo actualmente mesas, lámparas, y sillas. En la tabla siguiente aparecen los datos del caso:

Precio Costo % Valor Producto Unitario Unitario ventas ($)

Mesas 70 50 40 Lámparas 50 40 25 Sillas 40 30 35

Capacidad de ventas $1,800,000. Costo fijos $250,000. A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y los beneficios a un nivel de producción del 75% de su capacidad. % de contribución de cada producto será igual a: [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) RMC * (% participación en ventas) P.E.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto, podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.



40

[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) % Mesas = [(70-50)/70)] * 0.40 = 0.1143 % Lámparas = [(50-40)/50)] * 0.25 = 0.0500 % Sillas = [(40-30)/40)] * 0.35 = 0.0875 ∑ del % de contribución de cada producto = 0.1143+0.0500+0.0875 = 0.2518 P.E.($) = 250,000/0.2518 = $992,851.47 Beneficios a un nivel de producción del 75% de su capacidad. I = 0.75 * $1,800,000 = $1,350,000 B = I * RMC – CF B = 1,350,000 * 0.2518 – 250,000 = $89,930 Caso XXVI. Una empresa produce bicicletas y velocípedos. Los costos fijos de la empresa son de $60,000 al año, la capacidad total anual es de $250,000 en ventas. La participación de cada producto es la siguiente:

Precio Costo % Valor Producto Unitario Unitario ventas ($)

Bicicleta 120 70 60 Velocípedo 50 25 40

A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y el beneficio cuando esté trabajando a un 70% de su capacidad. % de contribución de cada producto será igual a: [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) RMC * (% participación en ventas) P.E.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto, podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %. [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)



41

% Bicicleta = [(120-70)/120)] * 0.60 = 0.25 % Velocípedo = [(50-25)/50)] * 0.40 = 0.20 ∑ del % de contribución de cada producto = 0.25+0.20 = 0.45 P.E.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto P.E.($) = 60,000/0.45 = $133,333.33 Beneficios a un nivel de producción del 70% de su capacidad. I = 0.70 * $250,000 = $175,000 B = I * RMC – CF B = (175,000 * 0.45) – 60,000 = $18,750 Caso XXVII. La compañía TERDAS presenta el siguiente Estado de Ingreso Presupuestado: Estado de Ingresos Ventas 100,000

Menos Costos y Gastos Variables 65,000

Margen de Contribución 35,000

Menos: Costos Fijos 20,000

Ingresos Netos 15,000

Se desea conocer el punto de equilibrio, los beneficios para unas ventas de $120,000 y el nivel de ventas necesario para lograr el beneficio proyectado de $25,000. RMC = [(Pu – Cu) /Pu] = (Pu/Pu) – (Cu/Pu) RMC = 1 - (Cu/Pu) RMC = 1 - (Costos Variables/Valor de Ventas) Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC B = RMC * Ventas - CF a) RMC = 1 - (65,000/100,000) = 0.35 P.E.($) = CF/RMC = 20,000/0.35 = $ 57,142.86 b)



42

B = RMC * Ventas - CF B = 0.35 * 120,000 – 20,000 = $22,000 c) Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC Ventas para un nivel de beneficio = (20,000 + 25,000) / 0.35 = $128,571.42 La exactitud de esos resultados se puede comprobar con un estado de ingreso para ese nivel de ventas. Suponemos que los costos variables mantienen una proporción constante de las ventas. Estado de Ingresos Ventas 128,571.42

Menos Costos y Gastos Variables 83,571.42

Margen de Contribución 45,000.00

Menos: Costos Fijos 20,000.00

Ingresos Netos 25,000.00

Caso XXVIII. Una fabrica de alimentos para animales presenta las siguientes informaciones:

Alimento para Precio Costo

% ventas ($)

Gallinas 30 15 40 Vacas 40 16 20

Puercos 36 16 25 Perros 32 12 15

Costos fijos de $80,000 al año y capacidad de $200,000 de ventas al año. a) Hallar el punto de equilibrio en dinero y en % de capacidad de la

fábrica. b) Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1,200

unidades de alimentos. % de contribución de cada producto será igual a: [(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) RMC * (% participación en ventas) P.E.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto, podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.



43

[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas) % Gallinas = [(30-15)/30)] * 0.40 = 0.2000 % Vacas = [(40-16)/40)] * 0.20 = 0.1200 % Puercos = [(36-16)/36)] * 0.25 = 0.1389 % Perros = [(32-12)/32)] * 0.15 = 0.0938 ∑ del % de contribución de c/producto = 0.20+0.12+0.1389+0.0938= 0.5527 P.E.( $) = CF/∑ del % de contribución de cada producto P.E.($) = 80,000/0.5527 = $144,743.98 P.E. (%) = 144,743.98/200,000 =0.7237 = 72.37%

Alimento para P.E($) % ventas ($) Ventas Precio Unidades

Gallinas 144,743.98 40 57,897.59 30 1,930

Vacas 144,743.98 20 28,948.80 40 724

Puercos 144,743.98 25 36,186.00 36 1,005

Perros 144,743.98 15 21,711.60 32 678

100 144,743.98 4,337

Alimento para Precio Costo

% ventas ($)

Gallinas 30 15 40 Vacas 40 16 20

Puercos 36 16 25 Perros 32 12 15

Costos fijos de $80,000 al año y capacidad de $200,000 de ventas al año. En este caso debemos determinar la contribución promedio por unidad. ∑ (Pu – Cu) * (% participación en ventas) Contribución Unitaria de Gallina = (30-15) * 0.40 = $6/unidad Contribución Unitaria de Vaca = (40-16) * 0.20 = $4.8/unidad Contribución Unitaria de Puerco = (36-16) * 0.25 = $5/unidad Contribución Unitaria de Perro = (32-12) * 0.15 = $3/unidad ∑ (Pu – Cu) * (% participación en ventas) = 6+4.8+5+3= $18.8/unidad En función de unidades el punto de equilibrio viene dado: P.E.(q) = CF/Contribución promedio por unidad P.E.(q) = 80,000/18.8=4,256 unidades



44

P.E.($) = P.E.(q) * pu P.E.(q) = P.E.($)/pu = $144,743.98/33.8 = 4,283 unidades

b. Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1,200 unidades de alimentos.

Precio de Gallina = 30 * 0.40 = $12/unidad Precio de Vaca = 40 * 0.20 = $8/unidad Precio de Puerco = 36 * 0.25 = $9/unidad Precio de Perro = 32 * 0.15 = $4.8/unidad I = 1,200 * 33.8 = $40,560

Alimento para

Gallinas 1200 0.4 480 30 14400

Vacas 1200 0.2 240 40 9600

Puercos 1200 0.25 300 36 10800

Perros 1200 0.15 180 32 5760 40560

Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente gráficamente cada situación e interprete los resultados. Caso I. La función de demanda de un producto particular es: q = f(p) = 500,000 – 3,000 p donde q se expresa en unidades y p en dólares. Determine la función del ingreso total, I es una función de p o sea R = g(p).

A. ¿Cuál es la concavidad de la función? B. ¿Cuál es la intersección con el eje x? C. ¿Cuál es el ingreso total con un precio de $20? D. ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio? E. ¿A qué precio se maximizará el ingreso total?

A.



45

I=500,000p - 3000p2

0.00

5,000,000.00

10,000,000.00

15,000,000.00

20,000,000.00

25,000,000.00

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Precios

Ingr

esos

Serie1

I = p * q I = p * (500,000 – 3,000 p)

I = 500,000p - 3,000p²

C. I = 500,000(20) - 3,000(20)² I = 10,000,000 – 1,200,000 I = 8,800,000

D. q = f(p) = 500,000 – 3,000 p q = f(20) = 500,000 – 3,000 (20) q = f(20) = 500,000 – 60,000 q = f(20) = 440,000 E.

I = 500,000p - 3,000p² x = -B = -500,000 = US$83.33

2A 2(-3,000)



46

Caso II. La función de oferta qs = f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se encuentran en ella son (60, 2750), (70, 6000) y (80, 9750).

a) Determine el modelo de la oferta.

( p, q) (60, 2,750)

(70, 6,000) (80, 9,750)

q = f(p) q = ap² + bp + c Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se obtiene el sistema resultante de ecuaciones:

2,750 = a(60)² + b(60) + c o 3,600a + 60b + c = 2,750 6,000 = a(70)² + b(70) + c o 4,900a + 70b + c = 6,000 9,750 = a(80)² + b(80) + c o 6,400a + 80b + c = 9,750

A B c y

3,600.00 60.00 1.00 2,750.00 4,900.00 70.00 1.00 6,000.00

6,400.00 80.00 1.00 9,750.00

A B c

2,750.00 60.00 1.00 6,000.00 70.00 1.00

a = 9,750.00 80.00 1.00 => numerador -5,000.00

3,600.00 60.00 1.00 => denominador -2,000.00

4,900.00 70.00 1.00

6,400.00 80.00 1.00 a= 2.50



47

a B c

3,600.00 2,750.00 1.00 4,900.00 6,000.00 1.00 b = 6,400.00 9,750.00 1.00 => numerador 0.00

3,600.00 60.00 1.00 => denominador -2,000.00

4,900.00 70.00 1.00

6,400.00 80.00 1.00 b= 0.00

a B c

3,600.00 60.00 2,750.00 4,900.00 70.00 6,000.00 c = 6,400.00 80.00 9,750.00 => numerador 12,500,000.00

3,600.00 60.00 1.00 => denominador -2,000.00

4,900.00 70.00 1.00

6,400.00 80.00 1.00 c= -6,250.00

q = f(p) = 2.5p² - 6,250

b) Calcule e interprete la intersección con el eje x.

c) ¿Qué cantidad ofrecerá a un precio de $75?

q = f(p) = 2.5p² - 6,250 q = f(75) = 2.5(75)² - 6,250= 7,812.50 Caso III. La función de la demanda qd = f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se encuentran en ella son (5, 1600), (10, 900) y (20, 100). Determine el modelo correspondiente de la Demanda. ¿Qué cantidad se demandará a un precio de mercado de $15?



48

Caso IV. Las funciones de demanda y oferta de un producto son: Oferta qs = p² - 400 Demanda qd = p² -40p + 2600 Determine el precio y cantidad de equilibrio del mercado.

qo = qd

p² - 400 = p² -40p + 2600 p² - 400 - p² +40p – 2600 = 0 40p – 3,000 = 0

p = 3,000 / 40 p = 75 Oferta qs = (75) ² - 400 = 5,225 Demanda qd = (75) ² - 40(75) + 2600 = 5,225 Caso V. Un agente de viajes está organizando una excursión a un conocido lugar de recreo. Ha cotizado un precio de $300 por persona, si reúne a 100 o menos pasajeros. Por cada pasajero después de los 100, el precio que se cobra a todos ellos disminuirá en $2.50. Por ejemplo, si se inscriben en la excursión 101 pasajeros, cada uno pagará $297.50. Sea x el número de personas después de 100.

a) Determine la función que exprese el precio por persona p en función de x, o sea p = f(x).

p = $300 si x ≤ 100 p = $300 – 2.5(x – 100) si x > 100 p = 300 – 2.5x + 250 si x > 100



49

p = 550 – 2.5x si x > 100

b) Formule el modelo I = h(x), que exprese el ingreso total en boletos I en función de x.

p = $300 si x ≤ 100 I = 300x p = $300 – 2.5(x – 100) si x > 100 I = p * x I = [300 – 2.5(x – 100)] * x I = 300x – 2.5x(x – 100) I = 300x – 2.5x² + 250x I = 550x – 2.5x²

c) ¿Qué valor de x produce el máximo valor de I?

I = 550x – 2.5x² x = -B = - 550 = 110

2A 2(-2.5)

d) ¿Cuál es el valor máximo de I?

I = 550x – 2.5x² I = 550(110) – 2.5(110)² I = 60,500 – 30,250 = 30,250

e) ¿Con qué precio por boleto se obtiene un I máximo? 30,250 = 110p p = 30,250 / 110 p = 275

Caso VI. Un vendedor al por menor puede obtener un producto del fabricante a $50 cada uno. El vendedor ha estado vendiendo el producto a $80 cada unidad y, a este precio los consumidores han estado demandando 40 artículos al mes. El vendedor planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada $5 de reducción en el precio se venderán 10 artículos más cada mes.



50

a) Formule el modelo de beneficio en función del precio de venta. pc = 50 pv = 80 � 40 artículos Bu = pv – 50 Por c/$5 menos se venderán 10 artículos más 10/5 = 2 artículos por cada $1 q = 40 + 2 (80 – pv) q = 40 + 160 – 2pv q = 200 – 2pv B = Bu * q B = (pv – 50) (200 – 2pv)

pv – 50 200 – 2pv 200pv – 10,000

-2pv² + 100pv ==================

-2pv² + 300pv – 10,000 B= -2pv² + 300pv - 10,000 b) Dibuje el gráfico.



51

B = -2pv2 + 300pv - 10,000

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 20 40 60 80 100 120

Precio de Venta

Ben

efic

io

Serie1

c) Estime el precio al que se obtendrían mayores beneficios.

x = -B = - 300 = $75 2A 2(-2)

Caso VII. El costo de mantener una cuenta corriente en cierto banco es $12 por mes más 10 centavos por cada cheque girado. Un banco de la competencia cobra $10 por mes más 14 centavos por cheque girado. Halle el criterio para decidir cuál banco ofrece el mejor negocio. CT1 = 12 + 0.10x CT2 = 10 + 0.14x 12 + 0.10x = 10 + 0.14x



52

Caso VIII. A un editor le cuesta US$74,200 preparar un libro para publicación (digitación de texto, ilustración, edición, etc.) Los costos de impresión y encuadernación son US$5.50 por ejemplar. El libro se vende a las librerías a US$19.50 cada ejemplar.

a) Elabore una tabla que muestre el costo de producir 2,000, 4,000, 6,000 y 8,000 ejemplares.

CT = 74,200 + 5.5x I = 19.5x

b) Elabore una tabla que muestre el ingreso de la venta de 2,000, 4,000, 6,000 y 8,000 ejemplares.

c) Escriba el modelo matemático que represente el costo como una función del número de libros producidos.

d) Escriba el modelo matemático que represente el ingreso como una función del número de libros vendidos.

e) Represente gráficamente ambos modelos en el mismo eje de coordenada. f) ¿Cuándo el costo iguala el ingreso? g) Utilice la gráfica para determinar cuántos libros deben publicarse para

producir un ingreso de por los menos US$85,000. ¿Cuánta utilidad deja este número de libros?

Caso IX. Durante el verano un grupo de estudiantes construye kayaks en un garaje adaptado para tal fin. El alquiler del garaje cuesta US$1,500 en el verano, y los materiales necesarios para construir un kayak cuesta US$125. ¿Pueden venderse los kayaks a US$275 la unidad?

a) ¿Cuántos kayaks deben vender los estudiantes para alcanzar el punto de equilibrio?

CT = 1,500 + 125x I = 275x 275x = 1,500 + 125x 150x – 1,500 = 0 x = 1,500 / 150 = 10 b) ¿Cuántos kayaks deben vender los estudiantes para obtener una utilidad

e US$1,000?



53

B = I – CT B = 275x – (1,500 + 125x) B = 150x – 1,500

150x – 1,500 = 1,000 150x = 2,500 x = 2,500 / 150 = 16.67 Caso X. Un fabricante vende lámparas a US$30 por unidad. A este precio, los consumidores compran 3,000 lámparas al mes. El fabricante desea incrementar el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio, se venderán 1,000 lámparas menos cada mes. El fabricante puede producir las lámparas a US$18 la lámpara. Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al que se venden las lámparas. pu = 30 � q = 3,000 pu = x - 30 � 1,000 lámparas menos Cu = 18 Bu = pu – 18 q = 3000 - 1000 (Pu – 30) q = 3000 – 1000pu + 30,000 q = 33,000 – 1000 pu U = Bu * q U = (pu – 18) (33,000 – 1000pu) pu – 18 33,000 – 1000pu 33,000 pu – 594,000 -100pu² + 18,000 pu ======================= -100pu² + 51,000pu – 594,000 U = -100pu² + 51,000pu – 594,000 Dibuje la gráfica.



54

Y calcule el precio óptimo de venta. U = -100pu² + 34,000pu – 594,000 x = -B = - 34,000= $170

2A 2(-100) Caso XI. Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar. La librería ofrece el libro a US$15. A este precio, se venden 200 ejemplares. La librería planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción US$1 en el precio, se venderán 20 libros más cada mes. Exprese la utilidad mensual de la librería por la venta de este libro como una función del precio de venta, dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de venta. cu = 3 pu = 15 � se venden 200 Bu = pu – 3 q = 200 + 20 (15 - pu) q = 200 + 300 – 20pu q = 500 – 20pu U = Bu * q U = (pu – 3) (500 – 20pu)

pu – 3 500 – 20pu

500pu – 1,500 -20pu + 60pu ================== -20pu² + 560pu – 1,500 U = -20pu² + 560pu – 1,500 x = -B = - 560= $14

2A 2(-20) Caso XII.



55

Los modelos de oferta y de demanda de cierto artículo son S(p) = p –10 y D(p)=5,600/p, respectivamente.

a) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas.

b) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes. c) ¿Dónde corta la curva de oferta el eje p? Explique la interpretación

económica de este punto. S(p) = p –10 D(p) = 5,600/p P – 10 = 5,600/p P(P – 10 – 5,600/p) = 0 p² - 10p – 5,600 = 0 S(80) = 80 –10 = 70 D(80) = 5,600/80 = 70 p=80 p=-70 Caso XIII. Las funciones de la oferta y la demanda de cierto artículo son S(p)=4p+200 y D(p)=-3p+480, respectivamente. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades que se ofrecieron y se demandaron, y dibuje las curvas de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes. S(p)=4p+200 D(p)=-3p+480 4p – 200 = -3p + 480 4p – 200 + 3p – 480 = 0 7p – 680 = 0 Caso XIV.



56

Cada unidad de cierto artículo cuesta p=35x+15 centavos cuando se producen x unidades del artículo. Si se venden todas las x unidades a este precio, exprese el ingreso derivado de las ventas como una función de x. P = 35x + 15 Q = x I = p * q I = (35x + 15) * x I = 35x² + 15x x = -B = - 15= $2.14

2A 2(35) Caso XV. La figura a continuación contiene las localizaciones relativas de tres ciudades. Una gran organización para la conservación de la salud desea construir una clínica satélite para dar servicio a las tres ciudades. La ubicación de la clínica x deberá ser tal que se minimice la suma de los cuadrados de las distancias entre la clínica y cada ciudad. Este criterio puede formularse así: 3

Minimice S = Σ dj² J=1

3

S= f(x) = Σ (x - xj)² J=1

Donde xj es la ubicación de la ciudad j, y “x” es la de la clínica. a) Determine la función distancia S = f(x). b) Determine la ubicación que minimice a S.

Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 ===========*===============*=========================================*=================� MILLAS

0 20 50 120



57

Caso XVI. Un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares. Según los estudios de mercadotecnia que se han realizado, la demanda anual de los paneles dependerá del precio al que se venden. La función de su demanda ha sido estimada así: q = 100,000 – 200p p= (100,000 – q)/200 p = 500 – 0.005q Los estudios de ingeniería indican que el costo total de la producción de q paneles está representado muy bien por la función: C = 150,000 + 100q + 0.003q²

a) Determine el ingreso en función de las unidades vendidas I = f(q)

I = 500q – 0.005q2

b) Formule la función de utilidad U = f(q) que exprese la utilidad anual en función del número de unidades q que se producen y venden.

U = -0.008q2 + 400q – 150,000

c) Determine el punto de maximización de las utilidades.

-B/2ª = -400/2(-0.008) = 25,000

d) Represente Gráficamente la utilidad en función de las unidades producidas y vendidas.

X1 = 378,125 X2 = 49,621,875



58

Caso XVII. Un almacén vende un popular juego de computador a US$40 la unidad. A este precio, los jugadores han comprado 50 unidades al mes. El propietario del almacén desea aumentar el precio del juego y estima que por cada aumento de US$1 en el precio, se venderán 3 unidades menos cada mes. Si cada unidad cuesta al almacén US$25, ¿a qué precio debería venderse el juego para maximizar la utilidad? Represente gráficamente. Pu = 40 => q = 50 Si Pu aumenta en 1 => q reduce en 3 Cu = 25 q = 50 – 3 (x-40) q = 50 – 3x + 120 = 170 – 3x bu = x – 25 U = bu * q U = (x – 25) * (170 – 3x) 170 – 3x x – 25_________ 75x – 4,250 -3x² + 170x______ -3x² + 245x – 4,250 -b/2ª = - 245/2(-3) = 40.83 x1 = 25 x2 = 56.67 Caso XVIII. Una compañía de televisión por cable ha averiguado que su rentabilidad depende de la tarifa mensual que cobra a sus clientes. Específicamente, la relación que describe la utilidad anual U (en dólares) en función de la tarifa mensual de renta r (en dólares) es la siguiente:

U = - 50,000r² + 2,500,000r – 5,000,000

a) Determine la tarifa de renta mensual que dé por resultado la utilidad máxima. 25

-b/2ª = - 2,500,000/2(-50,000) = 25



59

b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada? 26,250,000 c) Suponga que la comisión local de servicios ha impuesto a la compañía

la obligación de no cobrar una tarifa mayor que $20. a. ¿Cuál tarifa produce la utilidad máxima a la compañía? b. ¿Cuál es el efecto que la decisión de la comisión tiene en la

rentabilidad de la empresa?

Caso XIX. Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar. La librería ofrece el libro a US$15. A este precio, se venden 200 ejemplares. La librería planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción US$1 en el precio, se venderán 20 libros más cada mes. Exprese la utilidad mensual de la librería por la venta de este libro como una función del precio de venta, dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de venta. Cu = 3 Pu = 15 => q = 200 Por cada reducción en el Pu en 1 => q aumenta en 20 Bu = x – 3 q = 200 + 20 (15 – x) q = 200 + 300 – 20x q = 500 – 20x U = Bu * q U = (x – 3) * (500 – 20x) 500 – 20x x – 3__________ 60x - 1,500 - 20x² + 500x______ - 20x² + 560x – 1,500 -b/2ª = - 560/2(-20) = 14 x1 = 3 x2 = 25



60

Caso XX. Una organización de caridad está planeando un tour por avión y una semana de vacaciones en el Caribe. Se trata de una actividad tendiente a recaudar fondos. Se ha contratado un paquete con una aerolínea comercial, y la organización pagará un costo fijo de US$10,000 más US$300 por persona. Esta última cantidad cubre el costo del vuelo, los traslados, el hotel, las comidas y propinas. La organización proyecta cobrar el paquete a US$450 por persona.

a) Determine el número de personas necesarias para alcanzar el equilibrio en esta actividad.

I = 450x CT = 10,000 + 300x I = CT 450X = 10,000 + 300x 150x = 10,000 x = 67 personas (66.67) b) La meta de la organización es obtener una utilidad de US$10,000.

¿Cuántas personas han de participar para poder conseguirla? U = I – CT U = 450x – (10,000 – 300x) U = 150 x – 10,000 10,000 = 150x – 10,000 150x – 10,000 = 10,000 150x = 20,000 x = 134 personas (133.33)



61

Caso XXI. Un minorista puede obtener cámaras del fabricante a un costo de US$50 la unidad. El minorista vende las cámaras a US$80 cada una; a este precio, los consumidores compran 40 cámaras al mes. El minorista planea reducir el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción de US$5 en el precio, se venderán 10 cámaras más cada mes. Exprese la utilidad mensual del minorista proveniente de la venta de cámaras como una función del precio de venta. Dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de venta. Cu = $50 Pu = $80 => q = 40 cámaras Por cada $5 menos se venderán 10 cámaras más 10/5 = 2 cámaras por $1 q = 40 + 2 (80 – p) q = 40 + 160 – 2p q = 200 – 2p Bu = p - 50 U = B = Bu * q U = B = (p – 50) * (200 – 2p) U = B = -2p² + 300p – 10,000 p = 50 p = 200/2 = 100 p.m. = (50 + 100)/2 = 75 -b/2ª = -300/2(-2) = -300/-4 = 75



62

Caso XXII. La función de demanda de un producto es: q = f(p) = 450,000 – 30p donde q es la cantidad demandada y p indica el precio de venta en dólares. Determine la función del ingreso total.

a) ¿Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el producto para generar beneficio?

b) ¿Qué precio corresponde al ingreso máximo? c) ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio (b)? d) ¿Cuál es la concavidad de la función?

I = p * q I = p * (450,000 – 30p) I = 450,000p – 30p² p = 0 p = -45,000 / -3 = 15,000 precio máximo = 7,500 Caso XXIII. Las funciones de oferta y demanda de un producto son: qs = 4p² - 500 qd = 3p² - 20p + 1000 Determine el precio y cantidad del equilibrio del Mercado. 4p² - 500 = 3p² - 20p + 1000 4p² - 500 – 3p² + 20p – 1000 = 0 p² + 20p – 1500 = 0 X = - B ± √B²-4AC � Fórmula Cuadrática 2A X = - 20 ± √20²-4(1)(-1,500) � Fórmula Cuadrática



63

2(1) X = - 20 ± 80 � Fórmula Cuadrática 2(1) X1 = 30 X2 = -50 Caso XXIV. La función de demanda para un producto es p = 1,000 – 2q, donde p es el precio en dólares por unidad cuando q unidades son demandadas (por semana) por los consumidores. Encontrar el nivel de producción que maximice el ingreso total del productor, y determinar ese ingreso. I = p * q I = (1,000 – 2q) * q I = 1,000q – 2q²

Caso XXV. La I. M. Handy Corporation es un gran fabricante de computadoras. Y actualmente está planeando penetrar en el mercado de microcomputadoras. La empresa necesita ayuda para analizar este nuevo producto. Los ingenieros de manufactura estiman que los costos variables de producción serán de $100 por unidad. Los costos fijos que se requieren para establecer la línea de producción se calculan en $2,500,000. Los investigadores de mercado realizaron algunos estudios preliminares y llegaron a la conclusión de que la función de la demanda para el nuevo producto será aproximadamente lineal. Es decir, el número de unidades demandado, q, variará según el precio, p, en forma lineal. Dos puntos de datos (p, q) que se utilizarán al definir esta función son (100 ; 26,000) y (500 ; 10,000). La compañía solicita al lector lo siguiente:

a) Formulación de la función de la demanda q = f(p). b) Formulación del ingreso total I = f(q). c) Formulación de la función del costo total. d) Determinación del nivel o niveles de equilibrio de la producción. e) Una representación gráfica de las funciones de ingresos y costos que

muestre el punto o puntos de equilibrio. f) Determinación del precio o precios que deben fijarse en el punto o

puntos de equilibrio.



64

g) Una explicación de por qué hay más de un punto de equilibrio (en caso de que existan varios).

h) Formulación de la función de las utilidades totales. i) Determinación del número de unidades que deberían venderse a fin de

maximizar las utilidades totales. ¿Cuál es la utilidad esperada? j) Determinación del precio que debería fijarse en el nivel de producción

correspondiente a la maximización de utilidades.

CU = 100.00 CF = 2,500,000.00 p1 100.00q1 26,000.00 p2 500.00q2 10,000.00 M -40.00 -40 (x-100) = y - 26,000 -40x + 4,000 - y + 26,000 = 0 -40x - y + 30,000 = 0 40x + y - 30,000 = 0 40p + q - 30,000 = 0 q = 30,000 - 40p p = (30,000 - q)/40 p = 750 - q/40 I = p * q I = (750 - q/40) * q CT = 2,500,000 + 100q I = CT U = (750q - qq/40) - (2,500,000 + 100q) U = 650q – qq/40 - 2,500,000

Q P cu CF CT I U 4,693.38 632.67 100.00 2,500,000.00 2,969,337.61 2,969,337.61 0.00 4,000.00 650.00 100.00 2,500,000.00 2,900,000.00 2,600,000.00 -300,000.00 5,000.00 625.00 100.00 2,500,000.00 3,000,000.00 3,125,000.00 125,000.00 6,000.00 600.00 100.00 2,500,000.00 3,100,000.00 3,600,000.00 500,000.00 7,000.00 575.00 100.00 2,500,000.00 3,200,000.00 4,025,000.00 825,000.00 8,000.00 550.00 100.00 2,500,000.00 3,300,000.00 4,400,000.00 1,100,000.00 9,000.00 525.00 100.00 2,500,000.00 3,400,000.00 4,725,000.00 1,325,000.00

10,000.00 500.00 100.00 2,500,000.00 3,500,000.00 5,000,000.00 1,500,000.00 11,000.00 475.00 100.00 2,500,000.00 3,600,000.00 5,225,000.00 1,625,000.00 12,000.00 450.00 100.00 2,500,000.00 3,700,000.00 5,400,000.00 1,700,000.00 13,000.00 425.00 100.00 2,500,000.00 3,800,000.00 5,525,000.00 1,725,000.00 1,725,000.00 14,000.00 400.00 100.00 2,500,000.00 3,900,000.00 5,600,000.00 1,700,000.00



65

15,000.00 375.00 100.00 2,500,000.00 4,000,000.00 5,625,000.00 1,625,000.00 16,000.00 350.00 100.00 2,500,000.00 4,100,000.00 5,600,000.00 1,500,000.00 17,000.00 325.00 100.00 2,500,000.00 4,200,000.00 5,525,000.00 1,325,000.00 18,000.00 300.00 100.00 2,500,000.00 4,300,000.00 5,400,000.00 1,100,000.00 19,000.00 275.00 100.00 2,500,000.00 4,400,000.00 5,225,000.00 825,000.00 20,000.00 250.00 100.00 2,500,000.00 4,500,000.00 5,000,000.00 500,000.00 21,000.00 225.00 100.00 2,500,000.00 4,600,000.00 4,725,000.00 125,000.00 22,000.00 200.00 100.00 2,500,000.00 4,700,000.00 4,400,000.00 -300,000.00 21,306.62 217.33 100.00 2,500,000.00 4,630,662.39 4,630,662.39 0.00 26,000.00 100.00 100.00 2,500,000.00 5,100,000.00 2,600,000.00 -2,500,000.00



66

Caso XXVI. Una firma vende cada unidad de un producto en $400. La función de costo que describe el costo total en términos del número de unidades producidas y vendidas x es: C(x) = 40x + 0.25x² + 250

a) Formule la función de utilidad U = f(x). Represente gráficamente.

U = I – CT = 400x – 40x - 025x² - 250 = 360x - 025x² - 250 X = - 360 ± √360²-4(-0.25)(-250) � Fórmula Cuadrática 2(-0.25)

X = - 360 ± 359.65 � Fórmula Cuadrática - 0.50

x1 = 0.7 x2 = 1,439.30

Max = 720

b) ¿Cuántas unidades deberían producirse y venderse a fin de maximizar

la utilidad total? c) ¿Cuál es el ingreso total en este nivel de producción?

I = 400 * 720 = 288,000

d) ¿Cuál es el costo total en este nivel de producción?

CT = 40(720) + 0.25 (720) ² + 250 CT = 158,650



67

Caso XXVII. La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 1,200 – 3q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

p = f(q) = 1,200 – 3q I = p * q = 1,200q – 3q²

q = -b/2a = - 1,200/2(-3) = 200 Caso XXVIII. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas si la función de oferta por cierto artículo es S(p) = p² + 3p – 70 y la función de demanda es D(p) = 410 – p. Represente gráficamente. p² + 3p – 70 = 410 – p p² + 4p – 480 = 0

X = - 4 ± √4²-4(1)(-480) � Fórmula Cuadrática 2(1)

X = - 4 ± 44 � Fórmula Cuadrática 2

x1 = 20 x2 = 24

-b/2a = -4/2a = -4/2 = -2



68

Caso XXIX. Cuando se venden licuadoras a p dólares la unidad, los fabricante ofrecerán p²/10 licuadoras a los minoristas locales, mientras que la demanda local será 60 – p licuadoras. ¿a qué precio en el mercado será igual a la demanda de los consumidores, y la oferta de licuadoras de los fabricantes. ¿Cuántas licuadoras se venderán a este precio? p²/10 = 60 – p p² = 600 – 10p p² - 600 + 10p = 0 Caso XXX. Producción Agrícola. Un cultivador de frutas cítricas de Bonao estima que si planta 60 naranjos, la producción media por árbol será 400 naranjas. La producción media disminuirá en 4 naranjas por árbol adicional plantado. Exprese la producción total como una función del número de árboles adicionales plantados, dibuje la gráfica y calcule el número total de árboles que el cultivador debe plantar para maximizar la producción. Producción = (60 + n) (400 – 4n) Caso XXXI. Las funciones de la oferta y demanda de cierto artículo son:

S(p) = 4p + 200 D(p) = 5,600/p

a) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas.



69

5,600/p = 4p + 200 5,600 = 4p² + 200p 5,600 - 4p² - 200p = 0

b) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes. Caso XXXII. Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones XYZ dada la información siguiente: costo fijo total, $1200; costo variable por unidad, $2; ingreso total por la venta de q unidades, 100√q. Determine el punto o puntos de equilibrios y Represente gráficamente las funciones anteriores.

100√q = 1,200 + 2q (100√q)/2 = (1,200 + 2q)/2 (50√q)² = (600 + q)² 2,500q = q² + 1,200q + 360,000 q² - 1,300q + 360,000 = 0 CT = 1,200 + 2q I = 100√q q =400 q = 900

Caso XXXIII. Una compañía de autobuses alquilará un autobús con capacidad para 50 personas a grupos de 35 personas o más. Si un grupo tiene exactamente 35 personas, cada persona paga US$60. En grupos grandes, la tarifa se reduce en US$1 por cada persona adicional a las 35. Determine el tamaño del grupo para el cual el ingreso de la compañía de buses será máximo. Represente gráficamente.

P = 35 + x Tarifa = 60 – x



70

I = (35 + x) (60 – x) I = 2,100 + 25x - x² I max. = 2,256

Caso XXXIV. Una compañía de bienes raíces es propietaria del conjunto de departamentos Torre Alegro, el cual consiste en 96 departamentos, cada uno de los cuales puede ser rentado en $550 mensuales. Sin embargo, por cada $25 mensuales de aumento en la renta, se tendrán tres departamentos desocupados sin posibilidad de que se renten. La Compañía quiere recibir $54,600 mensuales de rentas. ¿Cuál debe ser la menta mensual de cada departamento? Apartamentos = 96 Renta = $550/mensuales Renta + 25 �� 3 apartamentos menos 550 + 25x 96 – 3x Solución 1: 54,600 = (550+25x) (96-3x)



71

550 + 25x 96 – 3x 52,800 + 2,400x

- 1,650x – 75x² ==================== 52,800 + 750x – 75x² 54,600 = 52,800 + 750x – 75x²

– 75x² + 750x – 1,800 = 0 - x² + 10x – 24 = 0

(x – 6) (x-4) = 0

x = 6

x = 4 Solución 2: q = 96 – [3 (r – 550)/25] 54,600 = [96 – 3(r – 550)/25] r 54,600 = r [(2,400 – 3r + 1,650)/25] 3/-25 (x-550) = y – 96 3x – 1,640 = -25y + 2,400 3x – 4,050 + 25y = 0 25y = 4,050 – 3x y = (4,050 – 3x)/25 y = q = 162 – 0.12 p I = (162 – 0.12 p) * p I = 162p – 0.12 p² 54,600 = 162p – 0.12 p²



72

p² - 1,350p + 455,000 = 0

X = - 1,350 ± √1,350² - 4 (1)(455,000) � Fórmula Cuadrática 2(1)

p = 750 p = 650 Caso XXXV. Un fabricante quiere introducir la tecnología de la robótica en uno de sus procesos de producción. El proceso creará un “ambiente hostil” para los hombres. En concreto, requiere exponerse a temperaturas muy altas y a emanaciones potencialmente tóxicas. Se han identificado dos robots que parecen tener la capacidad para ejecutar las funciones del proceso de producción. Al parecer no hay importantes diferencias en la velocidad a que ambos trabajan. Un robot cuesta $180,000 y tiene costos estimados de mantenimiento de $100 por hora de operación. El segundo modelo cuesta $250,000 con costos de mantenimiento estimados en $80 por hora de operación.

a) ¿a qué nivel de operación (horas totales de producción) costarán lo mismo los dos robots?



73

b) Defina los niveles de operación en que cada robot será el menos caro?

CT = 180,000 + 100h CT = 250,000 + 80h 180,000 + 100h = 250,000 + 80h h = 3,500


Programación Lineal - Modelos Para La Toma de Decisiones 3 SEP 2008

Documents

Transcript of Programación Lineal - Modelos Para La Toma de Decisiones 3 SEP 2008