Programación no lineal

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CÁTEDRA DE INVESTI GACIÓN OPERA TIVA PROGRAMA CIÓN NO LINEAL UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN

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CÁTEDRA DE

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

PROGRAMACIÓN NO LINEAL

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN

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PROGRAMACIÓN LINEAL PROGRAMACIÓN NO LINEAL

1. La solución óptima se encuentra en

un punto extremo de la región de

factibilidad.

2. El punto óptimo nunca esta dentro

de la región de factibilidad.

3. Sus métodos de optimización

generan óptimos absolutos ó

globales.

4. La región de factibilidad es un

conjunto convexo.

5. Sus funciones objetivo y

restricciones son lineales.

1. No siempre la solución óptima se

encuentra en un punto extremo de la

región de factibilidad.

2. Hay casos donde el punto óptimo

Es la en el interior de la región

factible. 3. Generalmente se encuentra un

óptimo local ó relativo, mas no el

óptimo global ó absoluto.

4. Se pueden generar regiones de

factibilidad que no son

necesariamente convexas. 5. La función objetivo, las restricciones

ó ambas pueden ser no lineales.

CARACTERÍSTICAS

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EJEMPLO

Un joven ingeniero de una compañía ha sintetizadoun nuevo fertilizante hecho a partir de dosmaterias primas. Al combinar cantidades de lasmaterias primas básicas X1 y X2, la cantidad defertilizante que se obtiene viene dada por 

Q=4X1+2X2  – 0.5X12  – 0.25X22

Se requieren 480 euros por unidad de materia prima1 y 300 euros por cada unidad de materia prima 2que se empleen en la fabricación del fertilizante.

Si la compañía dispone de 24000 euros para laproducción de materias primas, plantear elproblema para determinar la cantidad de materiaprima de forma que se maximice la cantidad de

fertilizante.

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Las variables de decisión son:

X1 : cantidad de materia prima 1

X2 : cantidad de materia prima 2

El objetivo es maximizar la cantidad de

fertilizante, Q(X1 ,X2)= 4X1+2X2  – 0.5X12  – 

0.25X22

Las restricciones del problema son:El coste no debe exceder el presupuesto

asignado:

480X1 + 300 X2 ≤ 24000 

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Por lo tanto:

Max Q(X1 ,X2)= 4X1+2X2  – 0.5X12  – 0.25X2

2

s.a.

480X1 + 300 X2 ≤ 24000 X1 ,X2 ≥ 0 

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LOS TIPOS DE PROBLEMAS DE

PROGRAMACIÓN NO LINEAL SON:

Optimización no restringida.

Optimización linealmente restringida.

Programación cuadrática

Programación convexa.

Programación separable.

Programación no convexa.

Programación geométrica.

Programación fraccional.

Problema de complementariedad.

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PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

La programación cuadrática (QP) es el nombre que se le da a unprocedimiento que minimiza una función cuadrática de n variables sujeta

a m restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Un programa

cuadrático es la forma más simple de problema no lineal con

restricciones de desigualdad. La importancia de la programación

cuadrática es debida a que un gran número de problemas aparecen de

forma natural como cuadráticos (optimización por mínimos cuadrados,

con restricciones lineales), pero además es importante porque aparece

como un subproblema frecuentemente para resolver problemas no

lineales más complicados. Las técnicas propuestas para solucionar los

problemas cuadráticos tienen mucha similitud con la programación lineal.

Específicamente cada desigualdad debe ser satisfecha como igualdad. El

problema se reduce entonces a una búsqueda de vértices exactamente

igual que se hacía en programación lineal.

En notación compacta el programa cuadrático es el siguiente:

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donde c es un vector de coeficientes constantes; A es una matriz (m x n) y

se asume, en general que Q es una matriz simétrica.

Dado que las restricciones son lineales y presumiblemente independientes,

la cualificación de las restricciones se satisface siempre, así pues, las

condiciones de Karush-KuhnTucker son también condiciones suficientespara obtener un extremo, que será a demás un mínimo global si Q es

definida positiva. Si Q no es definida positiva el problema podría no

estar acotado o llevar a mínimos locales.

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