Programacin Lineal

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PROGRAMACIN LINEAL

William Palmer Bernal

Prof. Universidad de Ciencias y Humanidades

Objetivos

Captarlaideadelaprogramacinlinealysusposibilidadesdeaplicacinaproblemasprcticos

Saber plantear un problema de programacin lineal partiendo de su enunciado entrminosgenerales.

Conoceryvalorarelorigendelaprogramacinlinealysuinfluenciaenlahistoriadeestesiglo.

ResolverunproblemadeProgramacinLineal,usandoExcel

Introduccin

En lossiglosXVIIyXVIII,grandesmatemticoscomoNewton,Leibnitz,Bernouilliy,sobretodo,Lagrange,quetantohabancontribuidoaldesarrollodelclculoinfinitesimal,seocuparondeobtenermximosymnimosdedeterminadasfunciones,condicionadasaunconjuntoderestricciones.

PosteriormenteelmatemticofrncesJeanBaptiste-JosephFourier(1768-1830)fueelprimeroenintuir,aunquedeformaimprecisa,losmtodosdeloqueactualmentellamamosprogramacinlinealylapotencialidadquedeellossederiva.

SiexceptuamosalmatemticoGasparMonge(1746-1818),quienen1776seinteresporproblemasdeestegnero,debemosremontarnosalao1939paraencontrarnuevosestudiosrelacionadosconlosmtodosdelaactualprogramacinlineal.Enesteao,elmatemticorusoLeonodasVitalyevichKantarovitchpublicaunaextensamonografatituladaMtodosmatemticosdeorganizacinyplanificacindelaproduccinenlaqueporprimeravezsehacecorresponderaunaextensagamadeproblemasunateoramatemticaprecisaybiendefinidallamada,hoyenda,programacinlineal.

Las aplicaciones iniciales de losmtodos de la programacin lineal cayeron entrescategorasprincipales.

En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiadoindependientementeporKoopmansyKantarovitch,raznporlacualsesueleconocerconelnombredeproblemadeKoopmans-Kantarovitch.

En1958seaplicaronlosmtodosdelaprogramacinlinealaunproblemaconcreto:elclculodelplanptimodetransportedearenadeconstruccinalasobrasdeedificacindelaciudaddeMosc.Enesteproblemahaba10puntosdepartiday230dellegada.Elplanptimodetransporte,calculadoconelordenadorStrenaen10dasdelmesdejunio,rebajun11%losgastosrespectoaloscostesprevistos

Kantarovitch

Programacin lineal

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Tresaosmstarde,G.Stiglerplanteaotroproblemaparticularconocidoconelnombredergimenalimenticiooptimal.

EnestosaosposterioresalaSegundaGuerraMundial,enEstadosUnidossecreaelproyectoSCOOPde laFuerzaArea, lacualasumique laeficazcoordinacinde todaslasenergasyrecursosdelanacineraunproblemadetalcomplejidad,quesuresolucinysimplificacinpasabanecesariamentepor losmodelosdeoptimizacinque resuelve laprogramacinlineal.

EnestosaosposterioresalaSegundaGuerraMundial,enEstadosUnidossecreaelproyectoSCOOPde laFuerzaArea, lacualasumique laeficazcoordinacinde todaslasenergasyrecursosdelanacineraunproblemadetalcomplejidad,quesuresolucinysimplificacinpasabanecesariamentepor losmodelosdeoptimizacinque resuelve laprogramacinlineal.

Programacin Lineal

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Paralelamentealoshechosdescritossedesarrollanlastcnicasdecomputacinylosordenadores,instrumentosqueharanposiblelaresolucinysimplificacindelosproblemasqueseestabangestando.

En1947,G.B.Dantzigformula,entrminosmatemticosmuyprecisos,elenunciadoestndaralquecabereducirtodoproblemadeprogramacinlineal.Dantzig,juntoconunaseriedeinvestigadoresdelUnitedStatesDepartamentofAirForce,formaranelgrupoquedioendenominarseSCOOP(ScientificComputationofOptimumPrograms).

Una de las primeras aplicaciones de los estudios del grupoSCOOPfueelpuenteareodeBerln.Secontinuconinfinidaddeaplicacionesdetipopreferentementemilitar.

Hacia1950seconstituyen,fundamentalmenteenEstadosUnidos,distintosgruposdeestudioparairdesarrollandolasdiferentesramificacionesdelaprogramacinlineal.Cabecitar, entre otros, RandCorporation, conDantzig,Orchard-Hays, Ford, Fulkerson yGale,eldepartamentodeMatemticasdelaUniversidaddePrincenton,conTuckeryKuhn,ascomolaEscuelaGraduadadeAdministracinIndustrial,dependientedelCarnegieInstituteofTechnology,conCharnesyCooper.

Respectoalmtododelsimplex,sealaremosquesuestudiocomenzenelao1951yfuedesarrolladoporDantzigenelUnitedStatesBureauofStandardsSEACCOMPUTER,ayudndosedevariosmodelosdeordenadordelafirmaIBM.

Los fundamentos matemticos de la programacin lineal se deben al matemticonorteamericanodeorigenhngaroJanosvonNeuman(1903-1957),quieen1928publicsufamosotrabajoTeoradeJuegos.En1947conjeturalaequivalenciadelosproblemasdeprogramacinlinealylateoradematricesdesarrolladaensustrabajos.Lainfluenciadeesterespetadomatemtico,discpulodeDavidHilbertenGotingay,desde1930,catedrticodelaUniversidaddePrincentondeEstadosUnidos,hacequeotrosinvestigadoresseinteresaranpaulatinamenteporeldesarrollorigurosodeestadisciplina.

Sehaestimado,deunamanerageneral,quesiunpassubdesarrolladoutilizase losmtodosdelaprogramacinlineal,suproductobrutointerno(PBI)aumentaraentreun10yun15%entanslounao.

Qu es prOgramacIn lIneal?

La programacin lineal se puede definir como un medio matemtico que busca la optimizacin (maximizacin o minimizacin) del uso de recursos limitados. La cual tiene por objeto ayudar a los responsables en la toma de decisiones sobre asuntos en donde intervienen un gran nmero de variables.

La representacin matemtica de dicho ptimo se conoce como funcin objetivo y consiste generalmente en maximizar utilidades, beneficios, ingresos ,eficiencia o alguna medida efectiva; o en minimizar costos errogaciones, gastos ,etc.

G.BDantzig

Programacin lineal

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Toda limitacin, condicin o disponibilidad de los recursos o actividades se denomina restriccin y debe expresarse matemticamente por medio de desigualdad (no estricta) o igualdad.

Tanto la funcin objetivo como las restricciones deben poderse escribir linealmente: de all el nombre dado a este mtodo: Programacin Lineal (P.L.).

usOs de la prOgramacIn lIneal en el per

Desde los primeros aos de la dcada del 60 diversas empresas y entidades han aplicado la programacin lineal para la toma de decisiones en problemas especficos.

Dentro de las aplicaciones conocidas en nuestro medio, mencionaremos las siguientes

petroperu

Modelomatemticodetransportedecrudosyrefinadosparalaasignacinptimadelaflota nacional

Modelo de refineras para la obtencin de gasolinas del octanaje adecuado almnimocosto.

Modelomatemticoparalaplantadelubricantesdelcallao

nicolini Hnos. s.a.

Modelodemezclainsumosparalafabricacindealimentosbalanceadosparaaves.

unileche s.a.

ModelodetransportesparalasasignacionesderutasyvehculosderepartodelecheenLimaMetropolitana.

sider per

Modelodemezcladeinsumosparalaalimentacindelaltohorno.

ministerio de transportes

Modelo de evaluacin de proyectos de construccin vial considerando los efectosregionales de centros de produccin y consumo.

Instituto nacional de planificacin

Modelodeseleccindecarteradeproyectosdedesarrolloeconmico.

ministerio de agricultura Iowa state university

ModeloderotacindecultivosparalosvallesdelacostanortedelPer.

modelos matemticos de centromin-per ModelodeminasdeCasapalca Modelodecobreyplomo

Programacin Lineal

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A continuacin presentaremos un ejemplo prctico de la programacin lineal

Ejemplo1

Suponiendo que una empresa manufacturera que produce dos artculos, el 1 y el 2, cuyas demandas son limitadas. La siguiente tabla indica los tiempos de procesamiento requerido por cada producto en tres departamentos por los que deben ser procesados y muestra adems, la disponibilidad en horas hombre de estos por semana, y la ganancia unitaria de cada artculo.

Dpto. A Dpto .B Dpto.CGanancia

Unit.

Producto 1 2 1 4 1,00

Producto 2 2 2 2 1,50

Disponibilidad 160 120 280

El problema consiste en decidir la cantidad de cada producto que debe elaborarse con el objeto de lograr el mejor empleo de los medios de produccin (horas disponibles en los departamentos), para obtener el mximo beneficio total. Dicho de otro modo, quien decide, debe asignar los recursos (tiempo disponible en los departamentos) con el propsito de optimizar un objetivo (maximizar la ganancia total) satisfacer otras condiciones definidas (no exceder las capacidades de trabajo de cada departamento).

Su resolucin lo veremos ms adelante

el mOdelO matemtIcO de la prOgramacIn lIneal

En general con rigor matemtico el problema de Programacin Lineal se presenta en los siguientes trminos:

max. min. ( )( ) = + +

+ + +

Z c x c x c x

a x a x a x b

n n

n n

1 1 2 2

11 1 12 2 1

1

sujeto a

11

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2 2

a x a x a x b

a x a x a x bm

n n

m m mn n

+ + + =

+ + +

( )

Y las restricciones de no negatividad

x j nj =0 1 2 3 3, ; ; ; ; ( )

En las ecuaciones o inecuaciones aij ; bi ; cj son valores conocidos y el problema consiste en hallar los valores de las xj que optimicen la funcin (1) sujeta a las condiciones (2) y (3)

Las variables xj se llaman variables de decisin.

La estructura anterior se puede expresar como:

(max. o min.) Z= cjj=1

n

x C Xjt

=

Programacin lineal

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Sujeto a

AX B

X

0

Donde

A a C

cc

c

X

xx

x

B

b

ij mxn

n n

= =

=

=( ) ; ; ;

1

2

1

2

11

2b

bm

En un problema de programacin lineal debemos tener en cuenta que los beneficios, capacidades, etc. Son funciones que se deben maximizar; en cambio los costos, las prdidas, los accidentes son funciones que se deben minimizar.

En Programacin Lineal se tienen los siguientes elementos:

Unafuncinobjetivo.

Unconjuntoderestricciones.

Lanonegatividaddelasvariablesdecisorias.

Para mayor comprensin del tema en este trabajo, lo plantearemos en dos variables decisorias; por ello nuestro problema de Programacin Lineal tendr la siguiente estructura.

max. min.( ) = + +Z c x c y c1 2 3Sujeto a:

a x a y b

a x a y b

a x a y b

con x ym m m

11 12 1

21 22 2

1 2

0 0

+ + =

+

,

defInIcIOnes

Variables decisorias

Son cantidades desconocidas que indican los valores numricos de los actos o actividades que se van a emprender con el fin de lograr el objetivo.

funcin objetivo

Es la representacin matemtica de la funcin a optimizar (max. o min.).

Z=ax+by+c

regin factible

Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones de no negatividad. Existen dos tipos de regin factible.

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solucin factible

Es cualquier punto situado en la regin factible.

solucin bsica

Es aquella que se encuentra en la interseccin de rectas o hiperplanos o en la interseccin con los ejes coordenados.

solucin ptima

Es una solucin factible que maximiza o minimiza la funcin objetivo.

polgono convexo

Dados dos puntos que pertenecen al polgono el segmento de recta que los une est contenido en dicho polgono.

fundamentacIn matemtIca de la prOgramacIn lIneal

La Programacin Lineal se fundamenta en un conjunto de teoremas cuyas demostraciones se omiten en el presente trabajo.

Programacin lineal

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Teorema 1

El conjunto de todas las soluciones factibles a un problema Lineal es un conjunto

convexo (producto de la interseccin de las ecuaciones e inecuaciones de restriccin).este

teorema demuestra, adems que si un programa lineal tiene ms de una solucin, entonces

tendr infinitas soluciones.

Teorema 2

La funcin objetivo alcanza su mximo en un punto extremo del conjunto convexo,

generado por el conjunto de soluciones factibles al Programa lineal.

De estos dos teoremas concluimos que slo es necesario investigar las soluciones en

los puntos extremos(es decir en los vrtices o las aristas del polgono convexo del programa

lineal)

A continuacin resolveremos algunos problemas, usando el mtodo grfico (la cual es la aplicacin del teorema 2).

planteamiento y solucin del ejemplo 1

Paso 1 (Variables decisorias)

Sea x el nmero de unidades producidas del artculo 1

Sea y el nmero de unidades producidas del artculo 2

Paso 2 (construccin de la funcin objetivo)

El beneficio obtenido al vender x unidades del artculo 1 e y unidades del artculo 2 ser:

1,00x+1,50y

considerando la funcin f(x,y)=1,00x+1,50y (funcin objetivo) el problema consiste en hallar x, y tal que esta funcin sea mxima, teniendo en cuenta que x e y estn sujetas a las siguientes condiciones (restricciones).

Paso 3 (Restricciones o limitaciones)

En el ejemplo la produccin est limitada por el tiempo disponible de manufacturacin en cada departamento. Observando los valores del cuadro anterior se puede deducir fcilmente que:

El tiempo de manufacturacin requerido al departamento A, es igual a: 2x + 2y pero el requisito no debe exceder la capacidad del departamento A, por la que la expresin anterior queda completa con: 2x + 2y 160conigualrazonamientoparalosdepartamentosByC,se tiene:

x + 2y 120

4x + 2y 280

obviamente esta implcita la circunstancia de no poder considerar cantidades a producir negativas, por tanto se debe escribir: x 0 y 0

Programacin Lineal

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En resumen y simbolizando la funcin ganancia total con Z se tiene:

Max

sujeto a:

2x+2y 160 (restricion 1)

x+2y 120 (rest

[ ] = +

Z x y1 5.

rricion 2)

4x+2y 280 (restricion 3)

con: x 0 y 0

Como este problema contiene slo dos variables es posible representarlo y resolverlogrficamente. graficando las tres restricciones se tiene:

Lafiguraquehaquedadodefinidanoesotracosaqueunpolgonoconvexo

El problema de la Programacin Lineal, entonces, se reduce (nada ms ni nada menos) a la seleccin del punto que sea factible y que a su vez maximice la funcin objetivo.

Asignando a Z un valor arbitrario para que pueda ser graficada. Por ser Z una recta, para cualesquiera valores asignados a Z se obtendrn rectas paralelas ya que tienen igual pendiente.

Programacin lineal

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Es evidente que se podr seguir desplazando Z hasta que se alcance el ltimo punto comn entre sta y el polgono. Dicho punto es A tal como se verifica en el grfico que sigue

EsteeselpuntodeGananciatotalMximaopuntoptimo.Correspondeporlotantoalasolucin ptima. La respuesta al problema es entonces:

x1 = 40

x2 = 40

y el valor de la funcin objetivo es Z=100

Ejemplo2

Dos fbricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y alto grado. Se tiene contrato de venta para proveer: 16 Tn. de bajo grado, 5 Tn. de medio grado y 20 Tn. de alto grado los costos de operacin son de S/.1000 /da para la primera fbrica y S/.2000 /da para la segunda.

La fbrica N 1, produce 8 Tn. de bajo grado, 1 Tn. de medio grado y 2 Tn. de alto grado en un da de operacin. La fbrica N 2, produce 2 Tn. de bajo grado, 1 Tn. de grado medio y 7 Tn. de alto grado por da.

Cuntosdasdebetrabajarcadafbricaafindecumplirconelmencionadocontratodeventaen la forma ms econmica?.

Resolucin

Sean:

x : Nmero de das de trabajo de la fbrica 1

y : Nmero de das de trabajo de la fbrica 2

la funcin objetivo ser :

(Min:)Z=1000x+2000y

Programacin Lineal

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Sujeto a:

8 2 16

5

2 7 20

0 0

x y

x y

x y

x y

+ +

+

Grficamente

La solucin optima se encuentra en el punto A donde: x=3, y=2, Z=7000

Ejemplo3

Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacn A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias

El coste del transporte en soles por tonelada desde cada almacn a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro:

Almacn Mercado1 Mercado2 Mercado3A 10 15 20B 15 10 10

Planificar el transporte para que el coste sea mnimo.

Resolucin

Podemos hacer el siguiente cuadro que nos ayude a obtener la funcin objetivo y las restricciones

Almacn Mercado1 Mercado2 Mercado3A X Y 10 (X+Y)B 8 X 8 Y X + Y 1

Del cuadro anterior se puede observar:

Del almacn A se transporta X Tn al mercado 1, Y Tn al mercado 2, y lo restante al mercado 3.

Programacin lineal

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Del almacn B se transporta lo faltante a cada mercado.

De los dos cuadros anteriores se puede obtener la funcin objetivo la cual viene dada.

F(x,y) = 10X + 15Y + 20(10 (X + Y)) + 15(8 X) + 10(8 Y) + 10(X + Y 1), de donde operando se tiene.

F(X,Y) = 390 15X 5Y. Teniendo en cuenta que las cantidades repartidas a cada mercado son positivas entonces se tiene:

10 0

8 0

8 0

1 0

0 0

+ +

( )X Y

X

Y

X Y

X Y

Las cuales representan las restricciones del problema

Grficamente

A = (0,1) 385 B = (0,8) 350 C=(2,8) 320 D = (8,2) 260 Menorcosto E = (8,0) 270 F = (1,0) 375

La solucin ptima ocurre en el vrtice D=(8,2) lo que indica que se deben transportar del almacn A: 8 Tn al mercado 1, 2 Tn al mercado 2 y al mercado 3 nada. As mismo del almacn B, al mercado 1 nada, al mercado 2, 6 Tn y al mercado 3 9 Tn. De esta manera el costo mnimo es de S/.260.

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usO de eXcel en la resOlucIn de un prOBlema de prOgramacIn

lIneal

destilacin de crudos

Una compaa de petrleos produce en sus refineras gasleo(G), gasolina sin plomo (P) y gasolina sper (S) a partir de dos tipos de crudos. Las refineras estn dotadas de dos tipos detecnologas.LatecnologanuevaTnutilizaencadasesindedestilacin7unidadesdeC1y12deC2,paraproducir8unidadesdeG,6dePy5deS.conlatecnologaantiguaTa,seobtiene en cada destilacin 10 unidades de G, 7 de P y 4 de S, con un gasto de 10 unidades deC1y8deC2.

Estudios de demanda permiten estimar que para el prximo mes se deben producir al menos900unidadesdeG,300dePyentre800y1700deS.LadisponibilidaddecrudoC1esde1400unidadesydeC2de2000unidades.Losbeneficiosporunidadproducidason

Gasolina G P S

Beneficio/u 4 6 7

La compaa desea conocer cmo utilizar ambos procesos de destilacin, que se pueden realizar total o parcialmente, y los crudos disponibles para que el beneficio sea mximo.

Formulando el problema en trminos de Programacin Lineal se tiene.

MaxZ=103X1+110X2

Sujeto a:

7X1+10X2=300

5X1+4X2=800

X1, X2 >=0

Esto se simplificar considerablemente con la introduccin de datos en la hoja Excel y en el mdulo SOLVER.

Obsrvese que el conjunto de restricciones puede representarse de formal matricial solo con los coeficientes de las variables:

X1 X2 Recurso

7 10 1400

12 8 2000

8 10 900

6 7 300

5 4 1700

5 4 800

A continuacin escribiremos estos datos en las celdas de la hoja de clculo tal como lo muestra la figura

Programacin lineal

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En los rangos B12-B17 y C12-C17 hemos escrito los coeficientes de X1 y X2 en lasrestricciones. En el rango D12-D17 figuran los valores de los recursos (lado derecho de las restricciones)yenlasceldasB5yC5loscoeficientesdelasvariablesenlafuncinobjetivo.Ahora tenemos que escribir las frmulas correspondientes a las restricciones y a la funcin objetivo.LasceldasC8yD8representarn losvaloresde lasvariablesdedecisinX1yX2.La frmula de la funcin objetivo est escrita en la celda E2. La frmula es la siguiente: =C8*$C$5+D8*$D$5.Lasfrmulasdelladoizquierdodelasrestriccionesestnescritasenelrango E12-E17. Estas son:

=B12*$C$8+C12*$D$8

=B13*$C$8+C13*$D$8

=B14*$C$8+C14*$D$8

=B15*$C$8+C15*$D$8

=B16*$C$8+C16*$D$8

=B17*$C$8+C17*$D$8

Ahora ya tenemos preparado el modelo. Obsrvese que por el momento las celdas con frmulas tienen el valor 0. Esto es debido a que por ahora las celdas asociadas a las variables de decisin estn vacas. El siguiente paso es entrar en la opcin herramientas y escoger el men SOLVER, de donde aparecer el siguiente recuadro

Programacin Lineal

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Ahoratenemosqueindicar lasceldasendondeestnlasfrmulas.EnlacasillaCeldaobjetivoponemoslareferenciadelaceldaendondeestlafuncinobjetivo($E$2).Luegoindicamos que es un problema de maximizacin. Las referencias de las variables se indican en el recuadroCambiandolasceldas(C8;D8).Finalmentetenemosqueintroducirlasrestricciones.Para ello entramos en la opcin Agregar y saldr el recuadro.

En el tenemos que indicar donde est el lado izquierdo (la frmula) de cada restriccin, elsignodeladesigualdadyelladoderechodecadarestriccin.Cadavezqueentramosunarestriccin adicional escogemos la opcin agregar. Despus de haber entrado las restricciones correspondientes, Excel tambin exige poner las restricciones de no negatividad. Para ello

Programacin lineal

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seguimos agregando dos restricciones, una para cada variable. Para ello tenemos que indicar en el lado izquierdo la referencia de la celda correspondiente a la variable de decisin, y en el lado derecho pondremos el valor 0, habiendo escogido previamente el sentido de la desigualdad. La siguiente Figura muestra el resultado final de introducir el problema.

Ahora ya podemos resolver el problema. Escogemos la opcin Resolver y al cabo de unos breves momentos saldr una pantalla indicando que la solucin ha sido encontrada. La solucin ptima de las variables de decisin y el valor de funcin objetivo ahora aparecen en las celdas (ver Figura).

A continuacin describiremos brevemente otros mtodos diferentes al mtodo grfico, los cuales permiten resolver problemas con ms de dos variables. Estos son: Mtodo Algebraico y el Mtodo Simplex

Programacin Lineal

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mtodo algebraico

Dado el problema lineal

max ( , )

:

Z f x x x x

Sujeto a

x x

x x

x

= = +

+ +

1 2 1 2

1 2

1 2

2

3 4

2 1000

3 2 1800

400

xx x1 2 0,

Agregando a cada restriccin una variable tal como x3, x4, x5 (llamadas variables de holgura) se tiene:

max ( , )

:

Z f x x x x x x x

Sujeto a

x x x

x

= = + + + +

+ + =

1 2 1 2 3 4 5

1 2 3

1

3 4 0 0 0

2 1000

3 ++ + =

+ =

=

2 1800

400

0 1 2 5

2 4

2 5

x x

x x

x jj : , ,..., (*)

La cual genera un sistema de 5 variables y 3 ecuaciones, lo cual corresponde a un sistema indeterminado. Un mtodo para resolver este sistema consiste en asignar el valor de cero a dos variables cualesquiera y resolver le sistema con las tres variables restantes y las tres ecuaciones. Esta evidentemente genera una solucin Pero es la mejor? Para que lo sea que variables se elegiran como ceros.

El nmero de soluciones bsicas posibles que se pueden obtener viene dado de acuerdo al nmero combinatorio

C SolucionesBsicas3

5 52 3

10= =!! !

Enumerando todas las soluciones posibles de variables bsicas se tiene:

1. (x3, x4, x5) 6. (x1, x2, x4)

2. (x2, x3, x4) 7. (x1, x2, x5)

3. (x2, x4, x5) 8. (x1, x3, x4)

4. (x2, x3, x5) 9. (x1, x3, x5)

5. (x1, x2, x3) 10. (x1, x4, x5)

Luego seleccionando una a una cada una de estas ternas y haciendo cero los xj que no pertenecenalaternaescogida,resolverelsistema(*),obtenindoselosvaloresxj de la terna escogida con la cual se calcula el valor de la funcin objetivo f(x1, x2). Tngase cuidado al escoger las ternas, ya que algunas de ellas son soluciones bsicas pero no factibles.

Por ejemplo al seleccionar la terna (x2, x4, x5) determinamos la solucin bsica (500, 800,100) y un valor de f(x1, x2)=2000. Sin embargo en esta solucin x5=100 viola la condicin de no negatividad y por lo tanto esta solucin es bsica pero no factible del problema.

Programacin lineal

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A s mismo las soluciones bsicas 4,6 y 9no son soluciones bsicas factibles; al igual que la solucin 10 (x1, x4, x5).

Esto significa que el mtodo consiste en resolver 10 veces el sistema de ecuaciones, asignando el valor de cero a dos variables y hallando en cada caso la solucin para luego elegir la mejor de las 10 soluciones bsicas (teniendo en cuenta aquellas que no son bsicas factibles). Sin embargo est tcnica consumira excesivamente el tiempo, an para una computadora.

Por ello presentaremos a continuacin un mtodo, el cual de acuerdo a una tcnica adecuadanecesitamenortiempoparahallarlasolucinOPTIMA

mtodo simplex

Este mtodo al igual que el mtodo algebraico, llega a la solucin ptima por medio de iteraciones o pasos sucesivos, utilizando los conceptos bsicos del algebra matricial. Comenzandoconalgunasolucinbsicafactibleparaluegoencontrarmejorasenlosvaloresde la funcin objetivo; para finalmente proporcionar un indicador que determina el punto en el cual se logra una solucin ptima.

Procedimiento del Mtodo Simplex

Planteamos el modelo general de programacin lineal en su forma estandarizada.

max ( , )

:

Z f x x c x c x c x c x c x

Sujeto a

a

n n n n n m n m= = + + + + ++ + + +1 2 1 1 2 2 1 1

111 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

x a x a x x b

a x a x a x x b

b

n n n

n n n

+ + + =

+ + + =

=

+

+

33

1 1 2 2

0 1 2

a x a x a x x b

x j n mm m mn n n m m

j

+ + + =

= ++

: , ,...,

Para iniciar el procedimiento, arreglamos la matriz del problema como se muestra a continuacin

Cj C1 C2 Cn Cn+1 Cn+2 Cn+m

CiBase

Xkbi X1 X2 Xn Xn+1 Xn+2 Xn+m

Cn+1 Xn+1 b1 a11 a12 a1n 1 0 0

Cn+2 Xn+2 b2 a21 a22 a2n 0 1 0

.

.

Cn+m Xn+m bm am1 am2 Amn 0 0 1

Z C1-z1 C2-z2 ... Cn-zn Cn+1-zn+1 Cn+m-zn+m

Programacin Lineal

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De donde

Z C a j nj n i ij

i

m

= =+=

1 21

, ,...

Vamos ahora a establecer el procedimiento detallado, para hallar la solucin ptima del problema general. Se supone que ya se ha hallado una solucin factible en el momento que se inician las iteraciones.

1. CalculamoselCj Zj para cada variable que no est en la presente solucin.a) SiporlomenosunCj Zj es positivo y al menos un aij

para este j es positivo, entonces existe una mejora en la solucin factible.

b) Siparaunj,Cj Zj es positivo, pero los aij son no positivos, la funcin objetivo no esta acotada.

c) SiCjZj es no positivo, para todo j, el programa (solucin) ptimo se ha encontrado.2. Siestamosenelcaso(1.a) identificamoslavariablequedaelmayorCj Zj como Xj.

llamar Xi a la variable que se reducir a cero al aplicar la regla de la . El elemento aij se llama elemento pivote

= >min ,b

aai

ijij 0

3. Dividimos la i- sima fila por aij para reducir a 1 el correspondiente elemento de aij en el tablero siguiente.

Efectuamos las operaciones de la fila que reducirn a cero todos los otros aij| que se

encuentran en la columna j.4. Repetimos las reglas 1, 2, 3 hasta que en algn tablero se cumpla la condicin 1.c.

entonces se ha obtenido la solucin ptima. A continuacin veremos un ejemplo para ilustrar el mtodo.Ejemplo

max ( , )

:

Z f x x x x

Sujeto a

x x

x x

x

= = +

+ +

1 2 1 2

1 2

1 2

2

3 4

2 1000

3 2 1800

400

xx x1 2 0,

Transformando a la forma estndar, para ello agregamos variables de holgura.

max ( , )

:

Z f x x x x x x x

Sujeto a

x x x

x

= = + + + +

+ + =

1 2 1 2 3 4 5

1 2 3

1

3 4 0 0 0

2 1000

3 ++ + =

+ =

=

2 1800

400

0 1 2 5

2 4

2 5

x x

x x

x jj : , ,...,

El sistema puede ser escrito en forma tabular de acuerdo al siguiente tablero denominado tablero Simplex.

Programacin lineal

-20-

Cj 3 4 0 0 0

CiBase

Xkbi X1 X2 X3 X4 X5

0 X3 1000 1 2 1 0 0 1=500

0 X4 1800 3 2 0 1 0 2=900

0 X5 400 0 1 0 0 1 3=400

Z 0 3 4 0 0 0

Elemento Pivote

La segunda iteracin sera

Cj 3 4 0 0 0

CiBase

Xkbi X1 X2 X3 X4 X5

0 X3 200 1 0 1 0 -2 1=200

0 X4 1000 3 0 0 1 -2 2=333.3

4 X2 400 0 1 0 0 1

Z 1600 3 0 0 0 -4

Elemento Pivote

La tercera iteracin es.

Cj 3 4 0 0 0

CiBase

Xkbi X1 X2 X3 X4 X5

3 X1 200 1 0 1 0 -2

0 X4 400 0 0 -3 1 4 2=100

4 X2 400 0 1 0 0 1 3=400

Z 2200 0 0 -3 0 2

Elemento Pivote

Programacin Lineal

-21-

Finalmente la ltima iteracin es.

Cj 3 4 0 0 0

CiBase

Xkbi X1 X2 X3 X4 X5

3 X1 400 1 0 1/2 1/2 0

0 X5 100 0 0 3/4 1/4 1

4 X2 300 0 1 3/4 1/4 0

Z 2400 0 0 3/2 1/2 0

Se han repetido las reglas 1, 2 y 3 en las diferentes tablas, hasta lograr que se cumpla la regla(1.c)lacualsecumpleenlacuartaiteracin.EsdeciraqutodoslosCj Zj correspondiente a la fila Z son negativos o ceros, esta es la condicin de optimidad, por consiguiente la solucin encontrada es ptima y se muestra a continuacin:

x1 = 400 x5 = 100 x2 = 300 x3 = x4 = 0Luego el valor ptimo (mximo) de Z es:

Z=3(400) + 0(100) + 4(300)=S/.2400

Problemas Propuestos

1. Alfredotiene$2200parainvertirdurantelossiguientes5aos.Alprincipiodecadaaopuede invertir su dinero en depsitos a plazo fijo de 1 2 aos. El banco paga el 8% de inters en depsitos a plazo fijo de un ao y el 17% (total) en depsitos a plazo fijo de 2 aos: adems al principio del segundo ao, la compaa Western Unin ofrecer certificados a tres aos. Estos certificados tendrn una ganancia del 27%(total). Si Alfredo reinvierte su dinero disponible cada ao formular un programa lineal que le muestre como maximizar su ganancia total al final del quinto ao.

2. Una refinera puede comprar dos tipos de petrleo: petrleo crudo ligero y petrleo crudo pesado.Elcostoporbarrildeestostiposdepetrleoesde$11y$9,respectivamente,de cada tipo de petrleo se producen por barril las siguientes cantidades de gasolina, keroseno, y combustible para reactores.

GASOLINA KEROSENOCOMBUSTIBLE PARA

REACTORES

Petrleo crudo ligero 0.4 0.2 0.35

Petrleo crudo pesado 0.32 0.4 0.2

Programacin lineal

-22-

Obsrvese que durante el proceso de refinamiento se pierden el 5% y el 8% del crudo, respectivamente. La refinera tiene un contrato para entregar 1 milln de barriles de gasolina, 400 000 barriles de keroseno, y 250 000 barriles de combustible para reactores. Encontrar el nmero de barriles de cada tipo de petrleo que satisfacen la demanda y que minimizan el costo total.

3. Maribel necesitamensualmente almes 60unidades de carbohidratos, 45unidades deprotenas y 30 unidades de grasa. de cada libra del alimento A, ella recibe 5 unidades de carbohidratos, 3 de protenas y 4 de grasa. El alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos, 2 unidades de protena y 1 de grasa por libra; si el alimento A cuesta 5 soleslalibrayelalimentoBcuesta4soleslalibraCuntaslibrasdecadaalimentodebecomprarMaribelcadamesparamanteneruncostomnimo?

4. Un agricultor posee un campo de 70 hectreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada. Si siembra trigo gasta S/.300 por cada hectrea plantada. En cambio si siembra cebada,

su gasto es de S/.400 por hectrea. El capital total disponible es de S/.25 000 Por otra parte, tambin existen restricciones en

la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, segn se indica:

Mes Consumom3/Hcta Consumom3/Hcta Disponibilidad

Trigo Cebada m3

Octubre 900 650 57.900

Noviembre 1.200 850 115.200

Una hectrea cultivada rinde 3 Tm de trigo o 2.5 Tm de cebada segn sea el caso. los precios vigentes por Tm son de S/.150 para el trigo y S/.200 para la cebada.

Utilizando el mtodo grfico, determinar la cantidad de hectreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que maximice su beneficio.

5. Una compaa de transportes posee 2 tipos de camiones. El camin tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camin tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una fbrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 deproductosrefrigeradosy1200norefrigerados.Cuntoscamionesdecadatipodebealquilar la fbrica par minimizar costos si el tipo A se alquila a S/.30/m3 y el B a S/.40 m3?

6. En unos grandes almacenes necesitan entre 6 y 15 vigilantes cuando estn abiertos al pblico y entre 4 y 7 vigilantes nocturnos. Por razones de seguridad, debe haber ms vigilantes cuando estn abiertos. Si el salario nocturno es un 60% ms alto que el diurno, cmo debe organizarse el servicio para que resulte lo ms econmico posible?

Programacin Lineal

-23-

7. LaConstructoraCasasLtda.,sehaadjudicadolaconstruccinde100casas.Elcontratola obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, peroparaConstructoraCasas, stas tienenunmargendeutilidaddiferente, aslas casas tipo campo arrojan S/.5.100 y las de tipo rancho S/.5.000 . El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el contrato. Otra informacin relevante se resume en la siguiente tabla:

Recurso por tipo de casa Disponibilidad de horasCampo Rancho

200

50

100

120

12000

13000

Carpintero

Albail

a) Formule el problema de programacin lineal. b) Encuentre la solucin ptima.

8. Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero de a cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla:

R S T P 1 3 1 Q 2 1 1

determinar cul es la distribucin de transporte que supone un coste mnimo.9. Un agricultor estima que el cuidado de cada m2 plantado de lechugas requiere

semanalmente 45 minutos, mientras que el de repollo exige 50. Dispone de una tierra de 40 m2 de extensin que puede dedicar total o parcialmente

al cuidado de ambas verduras, queriendo plantar al menos 3m2 ms de repollo que de lechuga. El m2 de lechuga le reporta un beneficio de S/.500 , mientras que el de repollo S/.650, planificando obtener en conjunto al menos S/.10.000 de beneficio.a) Qu extensin de terreno puede plantar con cada verdura? Planteael Problema y representa grficamente su conjunto de soluciones.b) Cunto le interesa plantar de cada una si su objetivo es que el tiempo semanal

dedicado a su cultivo sea mnimo?

10. Un equipo de ftbol quiere poner a disposicin de sus socios al menos 450 plazas entre autobuses y microbuses, con el fin de facilitar los desplazamientos para el prximo encuentro. El equipo contratar los vehculos a una empresa que le ofrece un mximo de 16 autobuses y de 10 microbuses, y que le exige que el nmero de microbuses que pueda contratarseaalmenosun20%deltotaldevehculosquecontrate.Cadaautobstieneunacapacidad de 50 plazas y cada microbs de 25.

Programacin lineal

-24-

a) Qu combinaciones de vehculos de dada tipo se pueden contratar cumpliendo los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa grficamente el conjunto de soluciones.

b) Si se quiere contratar el menos nmero posible de vehculos en total cuntos de cada tipo ha de contratar? cul ser el nmero mximo de socios que se podrn desplazar en ese caso?

11. Susana desea repartir su tiempo de vacaciones entre dos lugares, uno en la costa y otro en la montaa. El da de estancia en la costa le cuesta S/.100 mientras que el da de estancia en la montaa le cuesta S/.200 Su presupuesto global para todas las vacaciones son S/:2000 y no desea pasar ms de 10 das en la costa.a) Cuntosdaspuedepasar encada sitio?Plantear algebraicamente el problema y

representar el conjunto de soluciones.b) Si desea disfrutar del mayor nmero de das de vacaciones posible,cuntos pasar en cada uno de los lugares? Agotar el presupuesto?

BIBlIOgrafa

CARLOSSABOGALyESPERANZAARDILLA.AlgebrayProgramacinlineal. (Universidad ExternadodeColombia).

MIZRAHI y SULLIVAN.Matemticas Finitas con aplicaciones a la Administracin yeconoma.

MOkHTARS. BASARAA y John J. Jarvis. ProgramacinLinealyFlujoderedes. JORGE ALVAREZ A. investigacindeOperacionesyprogramacinLineal. Universidad

Nacional de Ingeniera. SIXTO ROSI.DavidRosI.AlfonsoMateosC.JacintoMartnJ.ProgramacinLinealy

Aplicaciones.