Progresiones

Por: Luis Fernando Waldo MartínezLic. en Matemáticas y Computación

SUCESIONES

Una sucesión es una función que se define de los números enteros

positivos (Z+) y tiene como imagen los números reales (R).

S: N RLa sucesión se presenta mediante una lista ordenada de las imágenes

correspondientes a los primeros números.

Por ejemplo: sea 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... ésta representa la sucesión:

N R

Por ejemplo:

La sucesión -4, -2, 0 , 2, 4, 6, 8, ... se simboliza como : n + 2

La sucesión 1,1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ... se simboliza como: 1/n + 1

EJERCICIO

1. Halla los 10 primeros términos de una sucesión teniendo en cuenta

que:

a. El primer término en -13.

b. Súmale a éste 8 y hallarás el segundo término.

1

123456

149162536


c. Súmale a éste nuevo número 8 y hallarás el tercero.

d. ¿Pudiste notar el patrón? Encuentra el cuarto término. Ahora ya

puedes encontrar los 6 faltantes.¿Cuáles son?

2. Simboliza las siguientes sucesiones:

a. 1, 8, 27, 64, 125, 216, ... ___________

b. 28, 24, 20, 16, 12, 8, ... ___________

c. 2, 5, 8, 11, 14, 17, ... ___________

d. 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, ... ___________

e. 80, 40, 20, 10, 5, ... ___________

f. 2, 8, 32, 128, 512, 2048, ... ___________

PROGRESIONESPROGRESIONES

Existen varios tipos de progresiones, pero haremos énfasis en las más

conocidas, éstas son:

1. las aritméticas y

2. las geométricas

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Estas se caracterizan porque cada uno de los términos se obtiene

sumándole o restándole una cantidad constante a la cual se le

denomina diferencia.

La estructura de una progresión aritmética sería:

2

En la progresión: 2, 5, 8, 11, 14, 17,... la diferencia es (+3)


2

2 + 3 = 5

5 + 3 = 8

8 + 3 = 11

11 + 3 = 14

14 + 3 = 17

EJERCICIO

Verifica cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones

aritméticas:

a. 1, 3, 5, 8, 11, ... (SI) (NO)

b. 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... (SI) (NO)

c. -2, 0, 3, 7, 11, ... (SI) (NO)

d. 7, 4, 1, -2, -5, ... (SI) (NO)

e. 0,2; 0,25; 0,5; 0,55; ... (SI) (NO)

CÁLCULO DEL TERMINO GENERAL

En una progresión el término N-enésimo, de una progresión se puede

interpretar como un término que la acota, esto teniendo en cuenta que

las progresiones pueden tener infinitos términos.

De tal manera que si queremos determinar el termino n-enésimo de

una progresión aritmética, emplearemos la fórmula:

3an = a1 + (n - 1) d


En donde: an es término n-enésimo

a1 es el primer término

(n - 1) es el números de términos menos uno

d es la diferencia común

Ejemplo: calcula el término 16 de una progresión cuyo primer término

es -9 y el segundo término es 2.

Datos: a1 = -9

a2 = 2

d = ?

a16 = ?

Solución: Encontremos la diferencia:

d = 2 – (-9)

= 2 + 9

= 11

A continuación podremos determinar a a16:

a16 = -9 + (16 – 1)(11)

= -9 + (15) (11)

= -9+ 165

= 156

EJERCICIO

Calcula el término solicitado en cada caso:

4


a. En: -2, 3, 8, ... ¿Cuánto vale a9?

b. En: 236, 224, 212, 200, ... ¿Cuánto vale a15?

c. En: 1/2, 1, 3/2, 2, ... ¿Cuánto vale a18?

d. En: -4, -2, 0, 2, ... ¿Cuánto vale a46?

e. En: 1/3, 5/6, 4/3, ... ¿Cuánto vale a13?

f. En: 1, 6, 11, 16, ... ¿Cuánto vale a20?

g. En: 3, 16, 29, 42, ... ¿Cuánto vale a8?

CÁLCULO DE LA DIFERENCIA

La diferencia común se puede calcular dependiendo de los términos

dados en la progresión. Cuando se dan dos términos consecutivos se

emplea una fórmula muy sencilla y es:

Por ejemplo: En la progresión 3, 7, 11, 15, 19, 23, ... la diferencia

común está dada por: 7 - 3 = 4 o por 11 - 7 = 4 y así sucesivamente,

siendo 4 la diferencia.

Cuando se da el primer término y un término cualquier no consecutivo,

la diferencia se calcula, empleando la fórmula:

Ejemplo: Halle la diferencia en la progresión cuyo primer término es

–7 y el décimo término es 38.

Solución:

38 – (-7) 38 + 7 45

5


a 1d a 1= = = = 5a 1 10 – 1 9 9

EJERCICIO

Determina la diferencia en cada una de las siguientes progresiones:

a. 8, 5, 2, ...

b. a1 = 4 y a20 = 137

c. a1 = -6 y a14 = 189

d. a1 = 38 y a9 = -50

CÁLCULO DEL PRIMER TÉRMINO

El primer término de una progresión aritmética viene dado por:

Por ejemplo: calcular el primer término de una progresión, que tiene

por noveno término a 38 y décimo término a 44.

Solución: si observamos nos han dado dos términos consecutivos, de

tal manera que la diferencia se puede hallar fácilmente:

d = 44 – 38

d = 6

Ahora hallada la diferencia podemos calcular el primer término dejando

como término n-enésimo cualquier de los términos dados.

Así: a1 = 44 – (10 – 1)(6)

= 44 – (9)(6)

= 44 – 54

= -10

6

a1 = an – (n -1)d


EJERCICIO

1. Observa los siguientes elementos y encuentra el patrón que se

sigue para su construcción:

1 2 3

¿Podrías decir cuántos elementos tendrá el grupo número 8 y el grupo

número 15?

2. detalla ahora los siguientes grupos:

1 2 3 4

¿Cuál es el patrón que se sigue para su construcción?

¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 9?

¿Cuántos tendrá la figura 200?

¿Existe una fórmula específica que pernita encontrar el número de

cuadritos de cualquier figura? ¿Cuál?

3. ¿Cuántas caritas habían al comienzo?

¿?

1 4 5

7


4. ¿Cuál es término número 14 de la progresión que tiene por primer

término a 7 y segundo término a 13?

5. ¿Cuál es el primer término de la progresión cuyo 12° término es 67

y el 13° término es 75?¿Cuál es 32° término?

INTERPOLARCIÓN DE TÉRMINOS

Interpolar términos en una progresión es encontrar los términos

intermedios entre dos términos dados, a los cuales se les llama

medios aritméticos.

Por ejemplo: Interpolar 4 medios aritméticos en una progresión que

tiene por primer término a 3 y por último a 38.

Solución:

38 – 3 35a 1d a 1= = = 7a 1 6 – 1 5

3

3 + 7 = 10

10 + 7 = 17

17 + 7 = 24

24 + 7 = 31

31 + 7 = 38

De tal manera que la progresión sería: 3, 10, 17, 24, 31, 38.

Estos son los 4 medios aritméticos solicitados

8


EJERCICIO

1. interpolar 7 medios aritméticos en una progresión en donde el

primer término es -17 y el último término es 55.

2. interpolar 5 medios aritméticos en una progresión donde el primer

término es 67 y el último término es -5.


término es 1/2 y el último término es 8.


término es 45 y el último término es 69.


término es 6 y el último término es 28.


término es 2/3 y el último término es 20/3.

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN

Para determinar la suma de los términos de una progresión, observa lo

siguiente:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...

2 + 20 = 22

4 + 18 = 22

6 + 16 = 22

8 + 14 = 22

10 + 12 = 22

9

si ves obtuvimos 5 sumas iguales, a la vez

que 5 es la mitad del número de términos

dados.

Por lo tanto 22 X 5 = 110


Lo que acabamos de hacer ser puede resumir con la siguiente

fórmula:

Pudiéndose resolver así:

(2+20) X 10 22 X 10 220S10 = = = = 110 2 2 2

Ejemplo: halle la suma de los 15 primeros términos de la progresión

que tiene por a1 = 3 y a12 = 47.

Solución: Para poder encontrar la suma de la progresión,

necesitamos el primer término y el último. Pero si observamos nos

dieron el primero mas no el último, así que debemos hallar el término

número 15 y para ello se requiere la diferencia común:

47 – 3 44a 1d a 1= = = 4

a 1 12 – 1 11

Ahora ya podemos hallar el término número 15:

a15 = 3 + (15 – 1)(4)

= 3 + (14) (4)

= 3 + 56

= 59

Por último encontramos la suma que nos habían solicitado:

(3+59) X 15 62 X 15 930S15 = = = = 465 2 2 2

10


EJERCICIO

1. Halla la suma de la progresión que tiene por a1 = 5 y a13 = 113.

2. encuentra la suma de los números dígitos.

3. halla de los 100 primeros números pares y posteriormente los 100

primeros números impares. Luego compara los resultados.

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica es una sucesión en donde se obtiene cada

término multiplicando o dividiendo el término anterior por un mismo

número al cual se le llama razón.

Situación 1: ¿alguna vez has oído hablar del árbol genealógico? Si ya

sabes el significado te felicito, sino sabes no te preocupes, pues se

trata de las generaciones de tu familia. Es decir, todos tenemos un

padre y una madre, a su vez ellos también tienen un padre y una

madre, lo que significa que tendríamos cuatro abuelos. Observa:

11


Pero éste árbol genealógico puede ampliarse si se tiene en cuenta que

nuestros abuelos también tuvieron padres los cuales serían nuestros

bisabuelos y así sucesivamente tatarabuelos, este sería el esquema:

Si continuáramos con el árbol, ¿Cuántos bis tatarabuelos tendríamos?

¿es posible conocer al menos uno de ellos?¿De qué modo?

Esta situación corresponde a una progresión geométrica, porque cada

generación es el doble de la anterior, por lo tanto la razón es 2.

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

12


Para no confundirnos en la utilización de símbolos, llamaremos b1 al

primer término de una progresión geométrica, b2 al segundo, así

sucesivamente hasta bn que es el término general. De modo que en el

árbol genealógico b1 = 1, b2 = 2, b3 = 4, b4 = 8, b5 = 16, b6 = 32, etc.

Situación 2: Mitosis.

La realización de estos cálculos en ocasiones son demasiado

dispendiosos, en esos casos se recurre a la utilización de

procedimientos que facilitan el proceso, como veremos a continuación:

Para el uso de este procedimiento haremos el análisis del caso del

árbol genealógico.

1 Primer término

2 = 1 X 22 – 1 Segundo término

13

En la mitosis cada célula madre puede dividirse y generar 2 nuevas células.

Si éste proceso sucede cada minuto. Podrías decir ¿Cuántas células se pueden generar a partir de una sola célula en una hora? ¿Cuántas células se generan en ¾ del día?


4 = 1 X 23 – 1 Tercer término

8 = 1 X 24 – 1 Cuarto término

16 = 1 X 25 – 1 Quinto término

32 = 1 X 26 – 1 Sexto término

bn = 1 X 2n – 1 Término general

Ya hemos dicho que b1 = 1 y que la razón es 2, es decir r = 2.

Reemplazando tendremos que:

Situación 3: Los científicos de Japón han notificado al mundo de la

aparición de un virus desconocido, el cual resulta toda una amenaza

para la humanidad. El particular descubrimiento tiene algo muy curioso

y es que en la primera hora de su hallazgo habían 8 unidades, pasada

la segunda hora se encontraron 24 unidades; a la tercera hora ya

habían 72 unidades. Analiza el comportamiento de este virus y di:

¿Qué cantidad de virus habrá en 6 horas? ¿Qué cantidad se hallarán

en ½ día? ¿Qué cantidad se encontrarán en 2/3 de un día?

CALCULO DEL PRIMER TÉRMINO:

El primer término de una progresión está dado por:

14

Término General bn = b1 x rn – 1

bn

b1= rn – 1


CALCULO DE LA RAZÓN:

El cálculo de la razón de una progresión geométrica, depende de la

ubicación de los términos dados. Ellos pueden estar consecutivos o

discontinuos.

Ejemplo: El primer término de una progresión geométrica es 384 y el

octavo término es 3. ¿Cuál es la razón? ¿Cuál es el término 12?

Solución:

Datos: b1 = 384 r = ?

b8 = 3 b12 = ?

15

Si son consecutivos

Si no son consecutivos


EJERCICIO

1.

INTERPOLACIÓN

16

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