Progresiones aritméticas ygeométricas

Asignatura: Análisis Matemático (72), CBC - UBA, Sede Paternal

Autor: Andrea Alejandra Rey

Año de edición: 2014

Índice

1 Introducción 3

2 Progresiones numéricas 3

3 Progresiones aritméticas 4

4 Progresiones geométricas 5

5 Material complementario 7

6 Videos 7

7 Aplicaciones 7

8 Curiosidades 7

9 Ejercitación 8

Bibliografía 8

1 Introducción

Aunque el concepto de la “progresión geométrica” remonta a los egipcios y babilonios y era fami-liar a los griegos, vuelve a aparecer en la Edad Media con el matemático francés Nicolás Oresme,(siglo XIV ), pero sólo encuentra la resonancia adecuada un siglo más tarde con N. Chuquet.

Se han estudiado propiedades y aplicaciones de las progresiones en aritmética comercial. Porejemplo, entre las tablillas que se han encontrado en la época babilónica antigua, se halló una dondeaparece registrado el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dineroa determinado interés compuesto y por tanto, las progresines geométricas. De hecho, en otrastablillas aparecen inscriptan la suma de la progresión geométrica 1 + 2+ 22 + · · · 29 y la suma de laserie de los cuadrados 1 + 22 + 32 + · · ·+ 102.

Este artículo está dividido en nueve secciones, la presente que es la introducción seguida deocho más. Las secciones 2, 3 y 4 muestran definiciones y ejemplos de progresiones numéricas,aritméticas y geométricas, respectivamente. Las secciones siguientes pretenden ampliar el materialofrecido sobre estos temas y se encuentran organizadas de la siguiente manera: en la sección 5se sugieren enlaces a materiales digitales escritos, mientras que en la sección 6 los enlaces son avideos tutoriales. Las dos secciones siguientes ofrecen enlaces para aquellos alumnos que esténinteresados en conocer algunas aplicaciones, 7, y curiosidades, 8, sobre este tipo de progresiones.Finalmente, en la última sección se proponen algunas actividades de ejercitación.

2 Progresiones numéricas

Una progresión o sucesión numérica es un conjunto ordenado de números, cada uno de los cualesse llama término de la progresión. Miremos los siguientes ejemplos:

1. S1 = {1, 2, 3, 4, · · · },

2. S2 = {−1, 1,−1, 1, · · · },

3. S3 = { 12 ,13 ,

14 ,

15 , · · · },

4. S4 = {1, 4, 9, 16, · · · }.

Los puntos suspensivos indican que la progresión continúa.En general, las progresiones se denotan por (an)n∈N donde an se llama el término general de

la progresión y el subíndice n indica la posición del elemento dentro del conjunto. En los ejemplosanteriores podemos observar que:

1. En S1, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4; de donde podemos deducir que el término general de laprogresión es an = n.

2. En S2, a1 = −1, a2 = 1, a3 = −1, a4 = 1; de donde podemos deducir que el término generalde la progresión es an = (−1)n.

3. En S3, a1 = 12 , a2 = 1

3 , a3 = 14 , a4 = 1

5 ; de donde podemos deducir que el término general dela progresión es an = 1

n+1 .

4. En S4, a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, a4 = 16; de donde podemos deducir que el término general dela progresión es an = n2.

Notemos que podemos pensar a una progresión numérica como la imagen de una función condominio los números naturales (que dan el orden) y codominio los números reales (representadospor los términos de la progresión).

3 Progresiones aritméticas

Analicemos las siguientes imágenes:

Consideremos la siguiente progresión

3, 10, 17, 24, 31, 38, · · ·

Podemos observar que cada término de la progresión se obtiene del anterior sumándole 7. Tenemoslo siguiente:

a1 = 3 = a1 + 0 · 7a2 = 10 = 3 + 7 = a1 + 1 · 7a3 = 17 = 10 + 7 = a2 + 7 = (a1 + 7) + 7 = a1 + 2 · 7a4 = 24 = 17 + 7 = a3 + 7 = (a1 + 2 · 7) = a1 + 3 · 7

...an = a1 + (n− 1) · 7

En general, si una progresión (an)n∈N es tal que cada término se obtiene del anterior sumándoleun número fijo k, entonces su término general es de la forma

an = a1 + (n− 1) · k

Definición 3.1. Una progresión (an)n∈N cuyo término general es de la forma an = a+ (n− 1) · k donde ay k son números reales se llama progresión aritmética.

EjercicioEn una progresión aritmética, a2 = 11 y a5 = 23. Calcular el término general y la suma de los seis

primeros términos.

Usando los datos del enunciado y la forma que tienen los términos de una progresión aritméticapodemos armar el siguiente sistema de ecuaciones{

11 = a2 = a+ k

23 = a5 = a+ 4k(3.1)

Restando estas ecuaciones tenemos

a+ 4k − (a+ k) = 23− 11

a+ 4k − a− k = 12

3k = 12

k = 4

Reemplazando en la primera ecuación de (3.1),

11 = a+ 4

11− 4 = a

7 = a

Luego,

an = 7 + (n− 1) · 4

Para calcular la suma de los seis primeros términos, calculamos

a1 = 7

a2 = 7 + 4 = 11

a3 = 11 + 4 = 15

a4 = 15 + 4 = 19

a5 = 19 + 4 = 23

a6 = 23 + 4 = 27

Por lo tanto a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 = 102.

4 Progresiones geométricas

Analicemos las siguientes imágenes:

Consideremos la siguiente progresión

4, 12, 36, 108, 324, 972, · · ·

Podemos observar que cada término de la progresión se obtiene del anterior multiplicándolo por3. Tenemos lo siguiente:

a1 = 4 = a1 · 30

a2 = 12 = 4 · 3 = a1 · 31

a3 = 36 = 12 · 3 = a2 · 3 = (a1 · 3) · 3 = a1 · 32

a4 = 108 = 36 · 3 = a3 · 3 = (a1 · 32) · 3 = a1 · 33

...

an = a1 · 3(n− 1)

En general, si una progresión (an)n∈N es tal que cada término se obtiene del anterior multi-plicándolo por un número fijo r, entonces su término general es de la forma

an = a1 · 3(n−1)

Definición 4.1. Una progresión (an)n∈N cuyo término general es de la forma an = a · r(n−1) donde a y rson números reales se llama progresión geométrica de razón r.

EjercicioEn una progresión geométrica, a2 = 20 y a5 = 160000. Calcular el término general y la suma a4 + a7.

Usando los datos del enunciado y la forma que tienen los términos de una progresión ge-ométrica podemos armar el siguiente sistema de ecuaciones{

20 = a2 = a · r160000 = a5 = a · r4

(4.1)

Dividiendo estas ecuaciones tenemos

a · r4

a · r=

160000

20

r3 = 8000

r =3√8000

k = 20

Reemplazando en la primera ecuación de (4.1),

20 = a · 201 = 20

Luego,

an = 20(n−1)

Para calcular la suma a4 + a7, calculamos

a4 = 203 = 8000

a7 = 204 = 64000000

Por lo tanto a4 + a7 = 8000 + 64000000 = 64008000.

5 Material complementario

Para aquellos que quieran reforzar los contenidos desarrollados les ofrecemos los siguientes en-laces:

1. Progresión aritmética

2. Progresiones aritméticas

3. Progresión geométrica

4. Progresiones geométricas

6 Videos

A continuación listamos una serie de videos que pueden ampliar los conceptos desarrollados deprogresiones aritméticas y geométricas.

1. Sucesiones aritméticas

2. Progresiones aritméticas (1/2)

3. Pogresión aritmética 01 3◦ESO

4. Sucesiones geométricas

5. Sucesiones geométricas.flv

6. Progresión geométrica 3◦ESO

7 Aplicaciones

Las progresiones aritméticas y geométricas tienen diversas aplicaciones. En el sitio Algunas apli-caciones de las progresiones podrán encontrar algunos ejemplos.

8 Curiosidades

Para finalizar, se dejan enlaces para aquellos que se sientan interesados en conocer algunas curiosi-dades, juegos o anécdotas que tienen como eje central las progresiones aritméticas y geométricas.

1. DEMATESY+

2. Divagaciones sobre las progresiones

9 Ejercitación

Llegó el momento de poner en práctica lo que hemos aprendido, por lo cual dejamos la invitaciónpara navegar por los siguientes enlaces.

1. Ejercicios y problemas resueltos de progresiones aritméticas

2. Ejercicios y problemas resueltos de progresiones geométricas

Bibliografía

[1] Aguilar de Pérez, L. (?1981). Recuperado dehttp://www.bdigital.unal.edu.co/802/4/165_− _3_Capi_2.pdf

[2] Bradley, G. L. y Smith, K. J. (1998). Cálculo de una variable, I. Ed. Prentice Hall.

[3] Hoffmann, L. D. y Bradley, G.L. (1998). Cálculo para administración, economía y ciencias sociales.Ed. McGraw-Hill.

[4] Martínez Salas. (1992). Elementos de matemáticas. Ed. Lex Nova.

[5] Manrique Torres, C. Recuperado dehttp://www.slideboom.com/presentations/92023/UNAD

[6] Sydsaeter, K. y Hammond, P. J. (1996). Matemáticas para el análisis económico. Ed. Prentice Hall.