PROMEDIOS

Liceo Cristiano de GuayaquilEstadística

PROF. Neyzer Domínguez

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1. Diferenciar los diversos tipos de medidas de resumen que se pueden aplicar a un conjunto de datos

2. Calcular e interpretar las principales medidas de tendencia central

Al finalizar la Tema 5, el participante será capaz de:

OBJETIVOS

3

CONTENIDO

1. La estadística de resumen

2. Propiedades de la sumatoria

3. Principales medidas de tendencia central

3.1 Medias

3.2 Mediana

3.3 Moda

3.4 Cuartiles

3.5 Percentiles

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5.1 La estadística de resumen

Después de construir tablas y gráficos, a partir de una colección de datos, se requieren medidas más exactas.

La estadística de resumen, proporciona medidas para describir un conjunto de datos.

Existen tres tipos de medidas de resumen:• De tendencia central.• De dispersión.• De la forma de la distribución.

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(A) Las medidas de tendencia centralSe refieren al punto medio de una distribución

Se conocen como medidas de posición

Ejemplo: A partir del gráfico siguiente, se observa que la posición central de la curva B está a la derecha de la posición central de las curvas A y C. Observese que la posición central de la curva A es la misma que la curva C.

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(B) Las medidas de dispersión

1. Se refieren a la extensión o amplitud de los datos de una distribución

2. Representan el grado de variabilidad de los datos.

Ejemplo: Observe que la curva A en el siguiente gráfico tiene una mayor dispersión que la curva B, a pesar que la posición central es la misma.

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(C) Las medidas de la forma de la curva

Las curvas que representan a un conjunto de datos, pueden ser analizadas de acuerdo a su:

a) Simetría b) Curtósis

Las curvas simétricas, tienen una forma tal que con una línea vertical que pase por el punto más alto de la curva, dividirá el área de esta en dos partes iguales.

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Las curvas sesgadas son aquellas cuyos valores están concentrados en el extremo inferior o superior de la escala de medición del eje horizontal. La “cola” indica el tipo de sesgo.

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Cuando medimos la curtósis nos referimos al grado de agudeza. Pueden ser: leptocúrtica (concentración al centro) mesocúrtica distribuidos simétricamente) o platicúrtica (aplanada).

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5.2 Propiedades de la sumatoria

1ra Regla: La suma de los n términos de una serie constante, es igual a n veces la constante.

n

ii ncc

1

Ejemplo:

C = 10, n=3

= 10 + 10 + 10 = 3 (10) = 30

3

1i

c

11

2da Regla: La suma de los productos de una constante por una variable, es igual a la constante multiplicada por la suma de la variable.

n

i

n

ii ccx

1i

1

x

Ejemplo:C = 5, X1 = 2, X2 = 4, X3 = 6

5(2) + 5(4) + 5(6) = 60

3

1iicx

12

3ra Regla: La suma de los valores de una variable más una constante es igual a la suma de los valores de la variable más n veces esa constante.

n

i

n

i iincc

1 1

x)x(

Ejemplo:C =2, x1 =5, x2 =3, x3 =2

(5 + 2) + (3 + 2) + (2 + 2) = 16

= (5 + 3 + 2) + 3(2) = 16

3

1

)x(i

i

c

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5.3 Las medidas de tendencia central

1. En general se denominan promedios.2. Los más importantes son la media, la mediana y la

moda.

Aritmética

Media Geométrica

Medidas de Mediana Armónica

tendencia central Moda

3. También es útil conocer los percentiles (o fractiles).

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¿POR QUÉ SON IMPORTANTES LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL?

Porque la mayor parte de los conjuntos de datos muestran una tendencia a agruparse alrededor de un dato central.

Las medidas de tendencia central son puntos en una distribución, los valores medios o centrales de ésta y nos ayudan a ubicarla dentro de la escala de medición.

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5.3.1 La Media

(A) La media aritmética ( )a) Obtención: Se obtiene sumando los valores registrados y dividiéndolos entre el número de datos.

Ejemplo:

La siguiente tabla muestra el número de reclamos y quejas presentadas por pacientes en el Servicio de Emergencias a lo largo de una semana. Calcule e interprete la media.

Día/Semana Lun Mar Mier Jue Vier SabReclamos/día 8 10 5 12 10 15

x

16

Media aritmética =

= 10 reclamos

b) Interpretación: Si elige al azar un día de la semana, se espera que los pacientes del servicio de emergencia realicen 10 reclamos en ese día.

c) Simbología: Tamaño Media aritmética

Muestra n (equis barra)Población N (mu)

660

61510125108

x

x

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d) Cálculos a partir de datos no agrupados, se

utilizan las siguientes formulas. Para una muestra

donde: : media muestral : suma de todos los datos

: número de datos

(muestra)n

n

iix

1

X

Para una población

donde: : media poblacional : suma de todos los datos

: número de datos (población)

iXx

n

iX

N

N

ii

1X

N

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e) Cálculo a partir de datos agrupados.

El cálculo de la media aritmética, cuando los datos disponibles se encuentran en tablas de distribución de frecuencias, se realiza utilizando

la formula siguiente

donde: :media muestral :frecuencia absoluta de la clase i :marca de la clase i

nf

nf

i

i

i

ii

x

1

1X

x

if

iX

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Ejemplo: La distribución de frecuencias siguiente, representa los puntajes obtenidos en una evaluación del desempeño, aplicado al personal técnico de un Centro de Salud. El puntaje máximo en la prueba es 50. Calcule e interprete en media.

Desempeño Número de

(puntos) técnicos

12 - 16 4

17 - 21 8

22 - 26 15

27 - 31 23

32 - 36 10

TOTAL 60

20

Primero se calcularán las marcas de clase ( );

es decir, el valor intermedio de cada claseMarca de Frecuencia

clase ( ) absoluta(fi)12 - 16 14 417 - 21 19 822 - 26 24 1527 - 31 29 2332 - 36 34 10

Total 60

14(4) + 19 (8) + 24 (15) + 29 (23) + 34 (10)

4 + 8 + 15 + 23 + 10

iX

ix

x x

x

clase

1575 60

26.25

21

Interpretación: Si se elige al azar a un trabajador técnico de este hospital, se espera que tenga un puntaje de 26,25 en su evaluación de desempeño.

f) La media aritmética ponderada ( )

donde:

= factor de ponderación

= datos

n

ii

n

iii

w

w

px

1

1

X

px

iw

iX

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Ejemplo: Una empresa comercializadora de Seguros Médicos dispone de 3 representantes para la zona de Miraflores, cada uno de los cuales cobra diferente comisión por póliza vendida, y realiza diferente número de contratos. Calcule e interprete el valor medio de la comisión

Nº de polizas de ComisiónVendedor Seguro Médico por venta $

Pedro 30 30Juan 25 40Pablo 20 50

iw iX

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Interpretación:

Si se elige al azar un representante se espera que cobre una comisión de $38.67 por póliza vendida.

67.38$75

2900

202530

)50(20)40(25)30(30

px

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g)Ventajas y desventajas de la media aritmética

Ventajas: Concepto familiar para muchas personas Es única para cada conjunto de datos Es posible comparar medias de diferentes muestras

Desventajas Se ve afectada por los datos extremos Si la muestra es grande y los datos no están

agrupados, su cálculo es tedioso Si los datos están agrupados en clases con extremos abiertos, no es posible calcular la media.

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(B) La media geométrica ( )

Se utiliza para calcular tasas medias de variación, como la tasa media de crecimiento poblacional, la tasa media de inflación mensual, la tasa media de mortalidad, entre otros.

a) Obtención Se obtiene extrayendo la raíz enésima del producto de los n valores de una serie.

gx

ng nx XXXX .........

321

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Ejemplo:

La siguiente tabla muestra la tasa de aumento en las quejas durante los últimos meses. Calcule e interprete la tasa media mensual.

Meses Enero Febrero Marzo Abril MayoAumento de

quejas2.6% 5.4% 3.8% 0.5% 1.4%

La tasa 2,6% también se puede expresar como 0,026 , y puesto que se refiere a un aumento a partir de una base de 100%, el factor de variación será 1,026. Para los otros datos se opera igual.

27

Por lo tanto, la media geométrica se calcula:

5 )014.1)(005.1( )038.1( )054.1( )026.1(

)( 0272540,1 medioocrecimientdeFactor

5 143903377.1

100)1 ( Tasa mediade variación

=

b) Cálculos

n xxxxx g ,......,, 321

gx

gx

gx

gx

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c) Interpretación

Si se selecciona al azar un mes entre enero y mayo, se espera que las ventas se hayan incrementado 2.72% con respecto al mes anterior.

= (1,0272540 - 1) x 100 = 2,72%

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(C) La media armónica ( )

Se utiliza para calcular el tiempo medio, velocidad y aceleración media, como por ejemplo, el tiempo medio para realizar determinada cirugía.

a) Obtención: se obtiene calculando el inverso de la media aritmética de los inversos de una serie.

hx

n

n

i i

hx

1X1

1

30

Ejemplo:

Los siguientes datos registran el tiempo que utilizan cuatro médicos al realizar una cierta intervención quirúrgica. Calcule e interprete el tiempo medio.

Médico A B C DTiempo

(minutos)45 38 52 40

Conocer el tiempo medio permite contar con una herramienta útil en la planeación de los recursos, como la Sala de Operaciones. Además de poder comparar nuestro desempeño con los estándares de calidad internacionales.

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b) Interpretación:

Si se selecciona al azar a uno de los cuatro médicos, se espera que realice este tipo de cirugía en 43 minutos aproximadamente.

889202223171023401976

4

401

521

381

451

4

hx

minutos 117953.438249889204

hx

segundos 7 minutos 43hx

32

5.3.2 La Mediana

Es la medida que divide en dos subconjuntos iguales a datos, de tal manera que 50% de los datos es menor a la mediana y el otro 50% es mayor a la mediana.

a) Obtención: Se obtiene ordenando la serie de datos (en forma ascendente o descendente) y ubicando el dato central.

33

Ejemplo:Los siguientes datos se refieren al número de pacientes que llegaron a su cita, después de la hora programada durante los últimos 11 días en el Servicio de Pediatría. Calcule e interprete la mediana.

12, 10, 5, 15, 8, 11, 13, 8, 10, 17, 16

Primero se ordenan lo datos:5, 8, 8, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17

5 datos menores 5 datos mayores

mediana

34

b) Interpretación: Durante 5 días llegaron menos de 11 pacientes tarde a su cita y durante 5 días, más de 11 pacientes llegaron tarde a su cita.

c) Reglas

1º Si la serie es impar, la mediana ocupa el lugar central de la serie previamente ordenada.

Ejemplo: 5, 10, 10, 12, 15 , 17, 20, 21, 24

35

Ejemplo: 8, 10, 14, 18, 23, 24, 32, 34

3º Sea la serie par o impar, la mediana ocupa el lugar ,de la serie previamente ordenada.

2

1n

5.202

2318

mediana

2º Si la serie es par, la mediana se obtiene de la semisuma de los dos valores centrales de la serie previamente ordenada.

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d) Cálculo a partir de datos agrupados.

donde:: mediana: limite real (o frontera) inferior de la clase mediana.: número total de datos.: suma de todas las frecuencias hasta, pero sin incluir, la clase mediana.: frecuencia de la clase mediana: amplitud de clase

c

Mdf

Fn

Md i

1

21

L

Md

iL

n

F

Mdf

c

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Ejemplo: La tabla siguiente muestra la experiencia laboral (años) del personal de seguridad que labora en un gran hospital. Calcule e interprete la mediana.

Experiencia Número delaboral trabajadores(años) de seguridad 0 - 3 4 4 - 7 12

Clase

Mediana 8 - 11 24

12 - 15 16 16 - 19 10 20 - 23 3

69

Lugar de la mediana:

424

)16(2

169

5,7

dM

424

16355,7

Mediana = 10,5 años

o352

1692

1 n

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Interpretación:

La mitad del personal de seguridad que labora en este hospital tienen una experiencia laboral igual o menor a 10 años 6 meses. La otra mitad de este personal tiene una experiencia laboral igual o mayor a 10 años y 6 meses.

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e) Ventajas y desventajasVentajas:

Los valores extremos no afectan a la mediana como en el caso de la media aritmética.Es fácil de calcular, interpretar y entender.Se puede determinar para datos cualitativos, registrados bajo una escala ordinal.

Desventajas:Como valor central, se debe ordenar primero la serie de datos.Para una serie amplia de datos no agrupados, el proceso de ordenamiento de los datos demanda tiempo y usualmente provoca equivocaciones.

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5.3.3 La Moda

La moda es el valor que más se repite dentro de un conjunto de datos.

a) Obtención: se obtiene organizando la serie de datos y seleccionando el o los datos que más se repiten.

4, 5, 7, 8, 8 , 10, 12, 15

4, 7, 12,12 , 15, 16, 20, 20 , 24, 27

7, 12, 15, 18, 25, 30, 31, 38

Ejemplo:

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b) Cálculo a partir de datos agrupados

donde:: moda: limite real (o frontera) inferior de la clase modal (la de mayor frecuencia): frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior: frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente: amplitud de clase

ci

21

1LoM

oM

iL

1

2

c

42

Las clases mediana y modal pueden coincidir pero conceptualmente son diferentes.Ejemplo: La tabla siguiente muestra los errores de facturación durante un mes, en una Clínica. Calcule e interprete la moda.

Interpretación: Durante un mes, el número más frecuente de errores de facturación en esta clínica es 6.

Errores defacturación Días

0 - 3 6

4 - 7 12Clase Modal

8 - 11 8

12 - 15 3

16 - 19 1

Total 30

Clase moda : (4 - 7)

Mo = 5,9

61

42 4

46

65.3 Mo

43

e) Ventajas y desventajas de la moda.Ventajas:Se puede utilizar tanto para datos cualitativos como cuantitativos.No se ve afectada por los valores extremos.Se puede calcular, a pesar de que existan una o más clases abiertas.Desventajas:No tiene un uso tan frecuente como la media.Muchas veces no existe moda (distribución amodal).En otros casos la distribución tiene varias modas, lo que dificulta su interpretación.

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5.3.4 Los PercentilesSon los valores que dividen en 100 partes iguales a un conjunto de datos

a) Cálculo: para datos agrupados.

c

f

n

iK

KP

1i

F100

K

LP

45

donde:

: percentil

: el percentil buscado

: número de datos

: frecuencia acumulativa hasta la clase

anterior a la clase donde se ubica el percentil K

: frecuencia absoluta de la clase donde se ubica

el percentil K

: amplitud de clase

KP

c

K

n

iF

K

fP

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Ejemplo:La tabla muestra la experiencia (en años) de las enfermeras de un gran centro hospitalario

Experiencia Trabajadores(años)

0 - 3 18 4 - 7 42

8 - 11 68 12 - 15 120 16 - 19 40 20 - 23 34 24 - 27 12

Total 334

47

¿Sobre qué edad se ubica el 25% de las enfermeras de mayor experiencia?

Para saber en cuál clase se halla este dato, se calculó la frecuencia acumulativa.

Menor

Experiencia

Mayor

Experiencia

75 % 25 %

P75

K = 75

)ordenados números los de( 5,250100

)334(75100Kn

P delLugar o75

48

Experiencia Nº Trabajadores Frec. Acumulada(años) 0 - 3 18 18 4 - 7 42 60

8 - 11 68 128 12 - 15 120 248 16 - 19 40 28820 - 23 34 32224 - 27 12 334

334

Interpretación: Para que una enfermera esté comprendida dentro del 25% de mayor experiencia laboral debe tener al menos 15 años, 7 meses y 24 días.

4

40

1248100

75(334)

5.1575

P

años 65.15

75P

iFif

En esta clasese localizan del249º - 288º

F=248

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Hoja de Comprobación

1. El valor de cada observación del conjunto de datos se toma en cuenta cuando calculamos su mediana

2. Cuando la población esta sesgada positiva o negativamente, a menudo es preferible utilizar la mediana como mejor medida de posición, debido a que siempre cae entre la media y la moda

3. Las medidas de tendencia central de un conjunto de datos se refieren al grado en que las observaciones están dispersas

4. Una medida de la agudeza de una curva de distribución es el sesgo

5. Con un conjunto de datos no agrupados, la moda se utiliza con mas frecuencia como medida de tendencia central

6. Si organizamos las observaciones de un conjunto de datos en orden descendente, el punto de datos que se encuentra en medio es la mediana del conjunto de datos

50

7. Cuando se trabaja con datos agrupados, podemos calcular una media aproximada si suponemos que cada valor de una clase dada es igual a

su punto medio

8. El valor que más se repite en un conjunto de datos se conoce como media aritmética

9.Para un arreglo de datos con 50 observaciones, la mediana será el valor de la observación numero 25 del arreglo

10.La desviación estándar se mide en las mismas unidades que las observaciones del conjunto de datos

11.La varianza indica la distancia promedio de cualquier observación del conjunto de datos con respecto a la media

51

12. Si la curva de una cierta distribución tiene el extremo mas largo hacia la izquierda de la escala de medición del eje horizontal, se dice que la distribución esta negativamente sesgada

13.Después de agrupar un conjuntos de datos en un cierto numero de clases, podemos identificar la clase mediana como la que tiene el mayor numero de observaciones

14.Una media calculada a partir de un conjunto de datos agrupados siempre da una buena estimación del valor real, aunque rara vez es exacto

15.Podemos calcular una media para cualquier conjunto de datos, si se nos da su distribución de frecuencias

16.La moda siempre se encuentra en el punto mas alto de una gráfica de un arreglo de datos

17. El numero de elementos de una población se denota con n

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18.Los valores extremos de un conjunto de datos tienen un fuerte efecto sobre la mediana

19.La diferencia entre las observaciones mas alta y mas baja de un conjunto de datos se conoce como media geométrica

20.La dispersión de un conjunto de datos da una cierta visión de la confiabilidad de la medida de tendencia central

21.La desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la varianza

22. .La diferencia entre las observaciones mas alta y mas baja de un conjunto de datos se conoce como el alcance cuartil

23. El alcance intercuartil esta basado solamente en dos valores tomados del conjunto de datos

53

24.Un fractil es una posición en una distribución de frecuencias en la que una determinada fracción (o porción) de los datos esta situada en ella o por encima

25.La varianza, al igual que la desviación estándar, toma en cuenta cada una de las observaciones del conjunto de datos

26. .El coeficiente de variación es una medida absoluta de la dispersión

27. La medida de dispersión que con mas frecuencia utilizan los especialistas en estadística es la desviación estándar

28.Una de las ventajas de las medidas de dispersión es que cualquier estadística que mide variación absoluta, también mide variación relativa

29. Una desventajas de utilizar el alcance para medir la dispersión es que no toma en cuenta la naturaleza de las variaciones entre la mayoría de las observaciones

54

30. Cada población tiene una varianza que se simboliza con S2

31.De acuerdo con el teorema de Chebyshev, no mas de 11% de las observaciones de una población puede tener resultados estándar de la población mayores que 3 o menores que -3

32.El alcance intercuartil es un ejemplo especifico de un alcance interfractil

33.Es posible medir el alcance de una distribución de extremo abierto

34.El alcance intercuartil mide el alcance promedio de la cuarta parte más baja de una distribución.