Pronósticos, Series de Tiempo y RegresiónCapítulo 9: Modelos Box-Jenkins No Estacionales y Su Identificación Tentativa

Capítulo 10: Estimación, Diagnósticos y Pronósticos para Modelos Box-Jenkins No Estacionales

Temas

1. Introducción al tema

2. Proceso Box-Jenkins

3. Estacionalidad

4. Identificación tentativa del modelo

5. Diagnósticos

6. Pronósticos

Proceso: metodología Box-Jenkins

1. Identificación tentativa del modelo

2. Estimación de los parámetros del modelo

3. Evaluación de diagnósticos para comprobar si el modelo es adecuado; mejorar el modelo si es necesario.

4. Generación de Pronósticos

Proceso en general¿Estacionario?

Sí

No

Transformar los datos(primera diferencia)

¿Estacionario?Sí

No

Transformar los datos(segunda diferencia)

Determinar qué tipo de modelo es

el adecuado

Estimar losparámetrosdel modelo

¿Estacionario?No transforma-

cionesmás

complejas

Sí

Diagnósticos Pronósticos

Series temporales estacionarias Una serie es estacionaria si:

la media y la varianza son constantes a través del tiempo

la SAC se corta Si no es estacionaria, hay que transformarla

hasta adquirir una serie transformada estacionaria.

Primera diferencia: zt = yt – yt-1

Segunda diferencia: zt = (yt – yt-1)- (yt-1 – yt-2)

SAC y SPAC

La autocorrelación de la muestra con rezago k (SAC, rk) mide la tendencia de observaciones separadas por un período de k, a moverse juntos.

-1 < rk < 1

Si rk > 2srk, decimos que hay una espiga en el rezago k.

Cuando ya no hay espigas a partir de un rezago j, decimos que la SAC se corta en j.

SAC y SPAC

Cuando ya no hay espigas a partir de un rezago j, decimos que la SAC se corta en k.

Si la SAC se corta o se extingue rápidamente, concluimos que la serie es estacionaria.

Si la SAC se extingue lentamente, concluimos que la serie es no estacionaria, y hay que transformarla antes de identificar el modelo adecuado.

SAC y SPAC

La SPAC mide una relación menos intuitiva.

Las definiciones son las mismas para una espiga y cuando se corta.

SAC y SPAC

Se utilizan la SAC y la SPAC para identificar el modelo adecuado:

SAC se corta y SPAC se extingue: MA SAC se extingue y SPAC se corta: AR ambos se extinguen: modelo mixto ambos se cortan: determinar cuál se

corta más rápidamente para elegir MA o AR.

Proceso: Identificación del modelo

estacionario

SACse

corta

SPACse

extingue

SPACse

corta

SACse

extiingue

SACse

extingue

SPACse

extingue

modelo mixto

modelo demedias móviles

(MA)

modeloauto-

regresivo(AR)

¿Dónde se cortala SAC?

Número derezagos

(períodos)a incluir

¿Dónde se cortala SPAC?

Número derezagos

(períodos)a incluir

Estimación del modelo En Stata, se utiliza el comando arima. Por

ejemplo, para estimar un modelo autorregresivo con dos rezagos: arima y, ar(1/2)

de medias móviles en una primera diferencia, con tres rezagos: arima D.y, ma(1/3)

mixto, con una segunda diferencia y un rezago tanto para las medias móviles como para lo auto-regresivo: arima D2.y, ma(1) ar(1)

Estimación del modelo

Se debe eliminar una variable del modelo si no cumple con cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

Así se puede lograr que el modelo sea parsimonioso.

valorp

tt pnn2/

Diagnósticos del modelo

1. Análisis de residuos

2. La mejor estadística para determinar si el modelo es adecuado, es la estadística Ljung-Box. Si el valor-p de la estadística Ljung-Box es menor que .01, es evidencia muy fuerte de que el modelo no es adecuado.

3. Análisis de autocorrelación de residuos para identificar espigas: RSAC RSPAC

K

l

arlnnnQ1

21

1 ˆ'2''*

Diagnósticos del modelo

En Stata, se utiliza el comando armadiag después de haber corrido el modelo arima. Genera cuatro gráficas: residuos valores-p de la estadística Q* RSAC RSPAC

Pronósticos

para un modelo auto-regresivo sin tendencia:

si podemos calcular yt-1,

si no podemos calcular yt-1.

)ˆ(ˆ

0ˆ

ˆˆˆˆ

111

111

ttt

t

tttt

yya

a

aayy

0ˆ 1 ta

Pronósticos

para un modelo de medias móviles con tendencia:

El pronóstico puntual de todas las fechas futuras es la misma, pero el rango del intervalo de confianza se va ampliando conforme nos alejamos.

qtqtttt aaaaz ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 2211

Series estacionales

Se sigue el mismo procedimiento que para no estacionales, pero incluyendo rezagos del número de períodos en el año.

Por ejemplo: arima y, ma(1 12) arima D.y, ar(1 2 4) arima D.z, ar(1 3 5) ma(12)

donde z = y-L12.y

Comandos en Stata

arima y, ma(1 2) ar(1 2) corre el modelo mixto en los datos originales, con dos rezagos y dos choques.

arima D.y, ma(1) corre un modelo de medias móviles en los datos transformados con una primera diferencia, con un período de rezago.

ac y grafica la SAC de los datos originales pac D2.y grafica la SPAC de los datos transformados con una

segunda diferencia. STATA utiliza el método de maximum likelihood (a diferencia de

SAS y MINITAB, que utilizan OLS). Box, Jenkins y Reinsel (1994) prefieren maximum likelihood.

noconstant opción elimina el constante del modelo armadiag para las herramientas de diagnóstico (hay que

instalarlo.)