Pronósticos total 2013

Metodología de

Box-Jenkins

Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 2

Índice

• Función de autocorrelación simple

• Procesos autorregresivos y función de

autocorrelación parcial

• Procesos de media móvil

• Procesos ARMA

• Procesos ARIMA

• Pasos de ajuste y validación de los modelos ARIMA

• Predicción con modelos ARIMA


Función de autocorrelación simple

• La función de autocorrelación simple mide la dependencia de una variable con sus propios valores retardados en distintos periodos de tiempo

• El análisis de autocorrelación es de gran utilidad en el análisis, ajuste y validación de series temporales

• Su fórmula matemática puede deducirse fácilmente a partir de la fórmula de la correlación cruzada entre dos variables Xt e Yt:

• Así, el coeficiente de autocorrelación de orden 1 de la variable Ytcoincide con el coeficiente de correlación cruzada de la variable Yty Xt donde Xt se sustituye por la variable Yt-1, es decir, la variable Y retrasada un periodo

T

t

T

t

T

tYX

XXYY

XXYY

r

1 1

22

1 Media de la

variable X(t)


Función de autocorrelación simple (II)

• La fórmula del coeficiente de autocorrelación de orden 1:

• De forma análoga a este coeficiente de autocorrelación de

orden 1, se puede definir el coeficiente de autocorrelación

de orden h, considerando las variables Yt y Yt-h, es decir, la

variable Y retrasada h periodos:

T

t

t

T

t

tt

YY

YYYY

r

1

2

2

1

1

T

t

t

T

ht

htt

h

YY

YYYY

r

1

2

1


Función de autocorrelación simple (III)

Tiempo Yt Yt-1

t=1 5 -

t=2 8 5

t=3 10 8

t=4 11 10

t=5 13 11

t=6 15 13

t=7 18 15

t=8 19 18

t=9 22 19

t=10 19 22

… … …

• Ejemplo de obtención de una variable desplazada un retardo:


Función de autocorrelación simple (IV)

• Cálculos para la obtención del coeficiente de autocorrelación de

orden 1:

Tiempo

t=1 5 -9 - 81 -

t=2 8 -6 -9 36 54

t=3 10 -4 -6 16 24

t=4 11 -3 -4 9 12

t=5 13 -1 -3 1 3

t=6 15 1 -1 1 -1

t=7 18 4 1 16 4

t=8 19 5 4 25 20

t=9 22 8 5 64 40

t=10 19 5 8 25 40

Suma: 140 0 -5 274 196

YYt YYt 1 2YYt YYYY tt 1tY


Función de autocorrelación simple (V)

• A partir de esos valores, se obtiene el coeficiente de

autocorrelación de orden 1:

• El rango de un coeficiente de autocorrelación de orden 1 es [-1,1],

donde:

– Si r1>0, la variable Y(t) depende de su retardo anterior de

forma proporcional

– Si r1<0, la variable Y(t) depende de su retardo anterior de

forma inversamente proporcional

– Si r1=0, la variable Y(t) no depende de su retardo anterior

715,0

274

196

1

2

2

1

1

T

t

t

T

t

tt

YY

YYYY

r


Función de autocorrelación simple (VI)

• Cálculos para la obtención de los coeficientes de

autocorrelación de orden 2 y 3:

Tiempo

t=1 - - - - - -

t=2 - - - - - -

t=3 5 -9 36 - - -

t=4 8 -6 18 5 -9 27

t=5 10 -4 4 8 -6 6

t=6 11 -3 -3 10 -4 -4

t=7 13 -1 -4 11 -3 12

t=8 15 1 5 13 -1 -5

t=9 18 4 32 15 1 8

t=10 19 5 25 18 4 20

Suma: 99 -13 113 80 66 40

2tY YYt 3 YYYY tt 3

YYYY tt 2YYt 2 3tY


Función de autocorrelación simple (VII)

• A partir de esos valores, se obtienen los coeficientes de

autocorrelación de orden 2 y 3:

412,0

274

113

1

2

3

2

2

T

t

t

T

t

tt

YY

YYYY

r

146,0

274

40

1

2

4

3

3

T

t

t

T

t

tt

YY

YYYY

r


Función de autocorrelación simple (VIII)

• La representación gráfica de los coeficientes de autocorrelación

para los distintos retardos de la variable recibe el nombre de

correlograma o función de autocorrelación simple (FAS)

• Una variable de ruido blanco se caracteriza por ser nulos todos

sus coeficientes de autocorrelación. Es decir, el correlograma

teórico de una variable de ruido blanco aparece en blanco


Función de autocorrelación simple (IX)

• En el correlograma se define un intervalo de confianza del 95% que

permite determinar si los coeficientes son o no significativamente

distintos de cero

• Así, si el coeficiente se encuentra dentro de dicho intervalo, se

supone que es significativamente nulo

Función de autocorrelación simple (FAS)

NNI 196.1,196.195.0

Sólo los 8 primeros

coeficientes son

distintos de cero

Número de

muestras de la

serie temporal


Función de autocorrelación simple (X)

• El estudio de la estructura de correlación de una serie

temporal permite predecir la dinámica futura de la serie

temporal a partir de valores pasados observados

• De este modo, si la serie temporal tiene una estructura de

correlación, ésta permite descomponer la serie temporal en

una componente determinista y una componente

aleatoria

• La predicción de una serie temporal se basa en

modelar la componente determinista de la serie temporal

de modo que dicha componente se pueda predecir

• La componente aleatoria se asocia al error o incertidumbre

de la predicción


Índice





• Procesos ARMA

• Procesos ARIMA




Metodología ARIMA

• Metodología creada por Box y Jenkins, de la Universidad de

Wisconsin y ampliamente aplicada en los distintos sectores

empresariales e industriales

Procesos

ARIMA

Procesos

ARMA

Procesos

Autorregresivos

Procesos

de Media Móvil


Procesos autorregresivos

• El modelo más simple de dependencia entre dos variables aleatorias es el

modelo lineal de regresión simple que explica la evolución de una

variable y como función lineal de otra variable x, mediante la ecuación:

• Donde a0 y a1 son los parámetros constantes del modelo y ε(t) es una

variable aleatoria normal, con media nula y varianza constante

• Si aplicamos este modelo a las variables aleatorias y=z(t) y x=z(t-1) se

obtiene el proceso autorregresivo de primer orden

• Por tanto, un proceso autorregresivo hace referencia al uso de la

misma serie temporal para predecirse a sí misma, es decir, por

ejemplo, usar precios históricos pasados del oro para predecir el precio

futuro del oro

)()()( 10 ttxaaty

)()1()(ˆ 10 ttzaatz


Procesos autorregresivos (II)

Un proceso autorregresivo se caracteriza por una INERCIA, es

decir, el valor actual del proceso depende en gran medida de

valores anteriores


Procesos autorregresivos (III)

• En la ecuación de un proceso autorregresivo de orden 1:

la constante a1 debe estar comprendida en el rango [-1,1],

indicando:

– Si a1>0, la variable z(t) depende de su retardo anterior de forma

proporcional

– Si a1<0, la variable z(t) depende de su retardo anterior de forma

inversamente proporcional

– Si a1=0, la variable z(t) no depende de su retardo anterior

)()1()(ˆ 10 ttzaatz


Procesos autorregresivos (IV)

• Para distinguir si un proceso es autorregresivo o no así como su

orden, se recurre a las funciones de autocorrelación simple y

parcial

• En el caso de un proceso autorregresivo de orden 1, la función

de autocorrelación simple (FAS) cumple la siguiente ecuación

matemática:

• Es decir, cuando k=1, el coeficiente de autocorrelación coincide

con el coeficiente a1 del proceso autoregresivo, mientras que

conforme aumenta k, su coeficiente de autocorrelación disminuye

hasta ser cercano a 0

k

k a1


Procesos autorregresivos (V)

• Ejemplos de funciones de autocorrelación simple (FAS) de dos

procesos AR(1)

Coeficiente

a1 = 0.8

Coeficiente

a1 = - 0.8


Procesos autorregresivos (VI)

• La dependencia observada en un proceso autorregresivo de

orden 1 puede generalizarse para permitir la relación entre el

valor actual de la serie z(t), con otros retardos z(t-2), z(t-3), …,

z(t-p), con lo que se obtiene un proceso autorregresivo de

orden p

• La ecuación matemática de un proceso autorregresivo de

orden p es:

)()()2()1()(ˆ 210 tptzatzatzaatz p


Función de autocorrelación parcial

• Si se representan las funciones de autocorrelación simple (FAS) de

un proceso autorregresivo de orden 1 y otro de orden 2

• Se observa que es difícil determinar el orden de un proceso

autorregresivo a partir de su FAS

• Éste es el principal motivo de emplear adicionalmente la función de

autocorrelación parcial (FAP) para determinar el orden de un

proceso autorregresivo


Función de autocorrelación parcial (II)

• Como se ha visto anteriormente, el coeficiente de

autocorrelación simple de orden k se define como el coeficiente

de correlación entre observaciones separadas k periodos

• Análogamente, el coeficiente de autocorrelación parcial de

orden k se define como el coeficiente de correlación entre

observaciones separadas k periodos cuando se elimina la

dependencia producida por los valores intermedios

• Así, por ejemplo, el coeficiente de autocorrelación parcial de orden

k=2 de una serie temporal z(t) mide la correlación entre las

observaciones z(t) y z(t-2), sin tener en cuenta el efecto de z(t-1)

• La función de autorrelación parcial (FAP) es la representación

de los coeficientes de autocorrelación parcial de una serie

temporal, en función del retardo


Función de autocorrelación parcial (III)

• El método de cálculo del coeficiente de autocorrelación

parcial de orden k de una serie temporal z(t) es el siguiente:

1. Se elimina de z(t) el efecto de z(t-1), …,z(t-k+1), mediante la

regresión:

2. Se elimina de z(t-k) el efecto de z(t-1),…,z(t-k+1), mediante la

regresión:

3. El coeficiente de correlación parcial de orden k de z(t) se calcula el

coeficiente de correlación simple entre u(t) y v(t)

)()()1()( 11 tuktzbtzbtz k

)()()1()( 11 tvktzctzcktz k

Las variables u(t) y v(t) recogen la parte de z(t) y z(t-k) que no

es común con los retardos intermedios


Función de autocorrelación parcial (IV)

• Si se representan la FAS y FAP de los anteriores procesos

autorregresivos AR(1) y AR(2)

• Se observa que mientras que AR(1) sólo tiene un coeficiente

de autocorrelación parcial (FAP) distinto de cero, el proceso

AR(2) tiene los dos primeros FAP distintos de cero


Función de autocorrelación parcial (V)

• Un proceso AR(p) se caracteriza por:

– Muchos coeficientes de autocorrelación simple no nulos que

decrecen con el retardo como mezcla de exponenciales y

senoidales

– Los p primeros coeficientes de autocorrelación parcial son

distintos de cero

• REGLA DE IDENTIFICACIÓN DEL ORDEN DE UN

PROCESO AUTORREGRESIVO:

El número de coeficientes de la FAP distintos de cero

indica el orden del proceso AR


Ejemplos de procesos autorregresivos AR(1)

AR(1) con correlación positiva de

la variable con su valor retardado

AR(1) con correlación negativa de

la variable con su valor retardado


Índice





• Procesos ARMA

• Procesos ARIMA




Procesos de media móvil

• Un proceso de media móvil (MA) se caracteriza por un reajuste

de la estimación, en cada instante de tiempo, a partir de los

errores pasados de estimación

• Se define un proceso de media móvil de orden 1 MA(1) al

generado por una combinación lineal del error de estimación e(t-

1) y una observación de la variable de ruido blanco ε(t)

• Donde:

– El error de estimación en el instante de tiempo t-1, es decir, e(t-1)

es la diferencia entre el valor real y el estimado por el modelo para el

instante t-1, es decir:

e(t-1) = zreal(t-1) - zestimado(t-1)

– Se cumple que el coeficiente b1 debe estar comprendido entre [-1,1]

)()1()(ˆ 10 ttebbtz


Procesos de media móvil (II)

• La función de autocorrelación simple FAS de un proceso

MA(1) tiene propiedades similares a la función de

autocorrelación parcial FAP de un proceso AR(1), es decir, sólo

existe un coeficiente distinto de cero

• Esta dualidad entre el AR(1) y MA(1) se presenta también

en la función de autocorrelación parcial FAP

• Por tanto, un proceso MA(1) se caracteriza por:

– El primer coeficiente de autocorrelación simple es distinto de

cero

– Muchos coeficientes de autocorrelación parcial no nulos que

decrecen con el retardo como mezcla de exponenciales y

senoidales


Procesos de media móvil (III)

MA(1) con coeficiente positivo MA(1) con coeficiente negativo

• Ejemplos de dos procesos de media móvil MA(1):


Procesos de media móvil (IV)

• Ejemplo de proceso de media móvil: serie temporal del

calentamiento de la tierra

• Los datos corresponden al periodo 1881-2002 y se calculan como las

variaciones de temperatura media en la tierra entre un mes y el

siguiente


Procesos de media móvil (V)

• Ejemplo de proceso de media móvil: serie temporal del

calentamiento de la tierra (II)

• Las funciones de autocorrelación simple y parcial sugieren que la

serie de calentamiento de la tierra sigue un proceso de media móvil

de orden 1


Procesos de media móvil (VI)

• Generalizando la idea de un proceso de media móvil de orden 1, un

proceso MA de orden q tiene la representación general:

• Respecto a las funciones de autocorrelación, un proceso MA(q) se

caracteriza por:

– Los q primeros coeficientes de autocorrelación simple son distintos de

cero

– Muchos coeficientes de autocorrelación parcial no nulos que decrecen

con el retardo como mezcla de exponenciales y senoidales

• REGLA DE IDENTIFICACIÓN DEL ORDEN DE UN PROCESO DE

MEDIA MÓVIL:

)()()2()1()(ˆ 210 tqtebtebtebbtz q

El número de coeficientes de la FAS distintos de cero

indica el orden del proceso MA


Índice





• Procesos ARMA

• Procesos ARIMA




Procesos ARMA

• Matemáticamente, los procesos ARMA resultan de añadir

estructura de media móvil (MA) a un proceso autorregresivo (AR)

• Así, un proceso ARMA se caracteriza por contener las dos

siguientes etapas:

– Un análisis de regresión

– Un posterior reajuste a partir de los residuos o errores de

estimación hasta que se obtiene un conjunto óptimo de los

coeficientes

• La parte autorregresiva hace referencia al uso de valores

pasados de la serie temporal para predecirse a sí misma

• Debido a la parte MA, en cada instante de tiempo se reajusta la

estimación a partir de los errores pasados de estimación por lo

que se trata de un proceso adaptativo


Procesos ARMA (II)

• Se define un proceso ARMA(p,q) como el resultante de añadir una estructura MA de orden q a un proceso AR de orden p

• El proceso más simple es el ARMA(1,1), cuya ecuación es:

• Donde tanto el coeficiente autorregresivo a1 como el de media móvil b1 deben cumplir que se encuentran en el rango [-1,1]

)()1()1()(ˆ 110 ttebtzaatz

AR(1) MA(1)


Procesos ARMA (III)

• Generalizando la idea de un proceso ARMA(1,1), un proceso

ARMA(p,q), es decir, con orden autorregresivo p y orden

de media móvil q tiene la representación general:

• Respecto a las funciones de autocorrelación, un proceso

ARMA(p,q) se caracteriza por:

– La FAS y la FAP tienen una estructura similar, es decir, un

decrecimiento geométrico

– La tasa de decrecimiento de la FAS depende del primer coeficiente

autorregresivo a1 mientras que la tasa de decrecimiento de la FAP

depende del primer coeficiente de media móvil b1

)()()1()()1()(ˆ 1010 tqtebtebptzatzaatz qp

AR(p) MA(q)


Índice





• Procesos ARMA

• Procesos ARIMA




Proceso ARIMA

• Un proceso ARIMA(p,d,q) parte de un proceso ARMA(p,q)

donde previamente se ha diferenciado la serie

• La metodología ARIMA impone dos condiciones a las

series temporales que se desea modelar:

– Media constante

– Varianza constante

• Por tanto, si una serie temporal posee tendencia, ésta debe

eliminarse previamente. Una alternativa para eliminar esta

tendencia es diferenciar la serie temporal

¿Por qué debe considerarse la diferenciación

de una serie?


Proceso ARIMA (II)

• La diferenciación de una serie temporal consiste en crear una

nueva serie temporal, restando a cada valor actual de la serie el

valor previo, es decir:

)1()()(1 tStStS


Proceso ARIMA (III)

Tiempo S(t) S(t-1) Serie diferenciada

S(t)-S(t-1)

t=1 5 - -

t=2 8 5 3

t=3 10 8 2

t=4 11 10 1

t=5 13 11 2

t=6 15 13 2

t=7 18 15 3

t=8 19 18 1

t=9 22 19 3

t=10 19 22 -3

… … … …

• Ejemplo de diferenciación de una serie temporal:


Proceso ARIMA (III)

• La diferenciación se puede aplicar de forma sucesiva

• Así, la diferenciación anterior se denomina diferenciación de

orden 1:

• Análogamente, la diferenciación de orden 2 es la resultante de

aplicar dos diferenciaciones a la serie temporal, es decir:

)1()()(1 tStStS

)1()()( 112 tStStS

)1()()(1 tStStS

En la mayoría de las series temporales basta con aplicar

una diferenciación de orden 1 para eliminar la tendencia


Proceso ARIMA (IV)

• Por tanto, un proceso ARIMA(p,d,q) consiste en:

– Una diferenciación de orden d

– Un término autorregresivo de orden p

– Un término de media móvil de orden q

– Observando si la serie temporal posee una tendencia:

• Tendencia lineal: diferenciación de orden 1

• Tendencia cuadrática: diferenciación de orden 2

– A partir de las funciones de autocorrelación simple y parcial

¿Cómo se distingue la necesidad de

diferenciar una serie temporal?

1

2


Proceso ARIMA (V)

)()1()()1()( 1 ttzttzatz

• Así, volviendo al ejemplo del tipo de cambio del eurodólar:

• Es necesario diferenciar una serie temporal cuando su

FAS/FAP revela un término autorregresivo de orden 1, donde

a1=1:

Proceso

autorregresivo AR(1)

con coeficiente igual

a 1


Índice


• Procesos autorregresivos y función de autocorrelación

parcial


• Procesos ARMA

• Procesos ARIMA

• Pasos de ajuste y validación de modelos ARIMA



Ajuste y validación de los modelos ARIMA

• El ajuste y validación de un modelo ARIMA consta de los pasos:

– Comprobación de que la serie temporal tiene varianza constante.

En caso contrario, se transforma la serie temporal para que su varianza

sea constante

– Obtención del orden d del modelo ARIMA para que la serie temporal

tenga media constante

– Obtención de los órdenes p y q del modelo ARIMA

– Obtención de los coeficientes del modelo ARIMA

– Validación del modelo ARIMA

1

2

3

¿Es válido

el modelo?

FIN

4

NO

SI

5


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (II)

• Los pasos 1 y 2 se corresponden con la condiciones que imponen

la metodología ARIMA de media y varianza constante

Media y

varianza

constante

Media

decreciente

y varianza

constante

Media y

varianza

creciente


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (III)

PASO 1. Comprobación de que la serie temporal tiene

varianza constante

• En muchas series de precios, la volatilidad (varianza) aumenta con

el nivel del precio (así, en los stocks, una hipótesis común es que

esta relación es log-normal)

• Para obtener una varianza constante, se suele recurrir a la

transformación logarítmica

Transformación

logarítmica


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (IV)

PASO 2. Obtención del orden d de diferenciación del

modelo ARIMA

• Si la serie temporal tiene tendencia, se prueba con el orden 1 de

diferenciación

• Si la serie temporal diferenciada sigue teniendo tendencia, se

prueba con un orden 2 de diferenciación y así sucesivamente

• Normalmente basta con una diferenciación de orden 1 o 2


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (V)

Ejemplo de obtención del orden d de diferenciación

• En primer lugar, se prueba con el orden 1 de diferenciación

• Se observa que la serie temporal diferenciada posee aún una

tendencia no constante


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (VI)

• Como el orden 1 no elimina totalmente la tendencia de la serie

temporal, se prueba con el orden 2 de diferenciación

• La serie temporal diferenciada (orden 2) posee una tendencia

constante por lo que el orden de diferenciación es 2


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (VII)

PASO 3. Obtención de los ordenes p y q del modelo ARIMA

• Las funciones de autocorrelación simple y parcial permiten

determinar de forma aproximada el orden p autorregresivo y el

orden q de la media móvil

• Una regla importante es empezar con modelos simples (con pocos

términos) e ir añadiendo complejidad mediante el estudio de los

residuos (Principio de Parsimonia)

Parámetros FAS FAP

AR(p) Decrecimiento rápido de tipo

exponencial, sinusoidal o

mezcla de ambos tipos

Los p primeros coeficientes

son distintos de cero

MA(q) Los q primeros coeficientes

son distintos de cero

Decrecimiento rápido de tipo

exponencial, sinusoidal

ARMA(p,q) Decrecimiento lento Decrecimiento lento


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (VIII)

PASO 5. Validación del modelo ARIMA

• Las características del modelo ARIMA ideal son:

– Los residuos o errores de estimación siguen un proceso de

ruido blanco

– Los coeficientes son estadísticamente significativos

– La bondad de ajuste de este modelo es mejor que el

comparado con otros modelos

• MSE menor

• MAPE menor

• Coeficiente de determinación más cercano a 1


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (IX)

PASO 5. Validación del modelo ARIMA (II)

Por tanto, la validación del modelo ARIMA consiste en estudiar si el

modelo obtenido se aproxima al ideal, es decir, se estudia:

– Los residuos siguen un proceso de ruido blanco, es decir:

• Distribución normal con media aproximadamente nula

• Coeficientes FAS/FAP nulos

– Los coeficientes del modelo son estadísticamente

significativos

– La bondad de ajuste de este modelo es mejor que el de otros

modelos

• MSE menor

• MAPE menor

• Coeficiente de determinación más cercano a 1

1

2

3

4


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (X)

• Ejemplo de un proceso ARIMA(1,0,1) con coeficientes AR=0.8 y

coeficiente MA=0.5. El ruido sigue una normal N(0,0.5)


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XI)

PASO 1. Comprobación de que la serie tiene varianza constante

– La serie temporal tiene varianza constante

PASO 2. Obtención del orden “d” del modelo ARIMA

– Como la media de la serie temporal es constante se determina que el orden d es igual a cero


• Se estudia las funciones FAS y FAP de la serie temporal

• Según la regla anterior (principio de parsimonia), se comienza con un modelo simple: ARIMA(1,0,0)

Existe una mezcla de

términos autorregresivos y

de media móvil pero no están

claros los ordenes


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XII)

PASO 5. Validación del modelo ARIMA(1,0,0)

• Se prueba añadiendo un término autorregresivo al modelo

anterior, es decir: ARIMA(2,0,0)

Aún existe un coeficiente no nulo en

ambas funciones FAS y FAP


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XIII)

Continuación PASO 5. Validación del modelo ARIMA(2,0,0)

• Se prueba cambiando un término autorregresivo del modelo

anterior por un término de media móvil, es decir: ARIMA(1,0,1)

Todos los coeficientes son

prácticamente nulos


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XIV)


Una vez que ya no queda información en los residuos, se estudia el resto de condiciones de validación de ambos modelos candidatos: ARIMA(1,0,1) y ARIMA(2,0,0)

Todos los coeficientes

son nulos


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XV)

Continuación PASO 5. Validación de los modelos ARIMA(1,0,1) y

ARIMA(2,0,0)

Ambas distribuciones son normales de media nula y desviación

típica similar a la del ruido blanco introducido al proceso (0.5)

Sin embargo, la desviación típica del modelo ARIMA(1,0,1) es menor

que la del modelo ARIMA(2,0,0)

ARIMA(1,0,1) ARIMA(2,0,0)


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XVI)

Continuación PASO 5. Validación de los modelos ARIMA(1,0,1) y

ARIMA(2,0,0)

Bondad

modelo

ARIMA(2,0,0) ARIMA(1,0,1)

R2 0.5933 0.8086

MSE 0.4729 0.2226

MAPE 240.51 142.73

Las mejores medidas de

bondad corresponden al

modelo ARIMA(1,0,1)


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XVII)


Parámetros Valor Error

estándar

Estadístico T

C 0.02548 0.02282 1.116

AR(1) 0.77991 0.02242 34.777

MA(1) 0.51218 0.03102 16.511

Los coeficientes son

estadísticamente

significativos (los

estadísticos T son

mayores que 2)

Los coeficientes estimados

son similares a los del

proceso, es decir, AR1=0.8, y

MA1=0.5


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XVIII)

• Ejemplo de un proceso ARIMA(2,2,1) con coeficientes AR1=0.9 y

AR2=-0.6 y coeficiente MA=0.8. El ruido sigue una normal N(0,0.2)


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XIX)

PASO 1. Comprobación de que la serie tiene varianza constante

– La serie temporal parece tener varianza constante

PASO 2. Obtención del orden d del modelo ARIMA

– Como la media de la serie temporal no es constante se prueba

con una diferenciación de orden 1


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XX)

Continuación PASO 2. Obtención del orden d del modelo ARIMA

– Como la media de la serie diferenciada no es constante se

prueba con una diferenciación de orden 2

Esta serie tiene media constante

por lo que se determina un orden

de diferenciación d=2

Además, se comprueba que la

varianza es constante


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXI)

Parece que existe una mezcla de

términos autorregresivos y de

media móvil pero no están claros

los ordenes


• Se estudia las funciones FAS y FAP de la serie diferenciada

• Según la regla anterior (principio de parsimonia), se

comienza con un modelo simple: ARIMA(1,2,0)


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXII)

PASO 5. Validación del modelo ARIMA(1,2,0)

• Se prueba añadiendo un término autorregresivo al modelo

anterior, es decir: ARIMA(2,2,0)

Aún existen coeficientes no nulos en

ambas funciones FAS y FAP


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXIII)


• Se añade un término de media móvil al modelo anterior, es decir:

ARIMA(2,2,1)

Algunos coeficientes no nulos pero

muy pequeños


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXIV)


• Una vez que ya no queda información en los residuos, se estudia el resto

de condiciones de validación del modelo ARIMA(2,2,1)

Todos los coeficientes

son nulos


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXV)


Distribución normal de media 0 y desviación típica igual a la del

ruido blanco introducido al proceso (es decir, 0.2)


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXVI)


Parámetros Valor Error

estándar

Estadístico T

C 0.006981 0.0079745 0.8754

AR(1) 0.91317 0.018485 49.4019

AR(2) -0.59966 0.019157 -31.3021

MA(1) 0.79339 0.015196 52.2095

Los coeficientes son

estadísticamente

significativos

Los coeficientes estimados

son similares a los del

proceso, es decir, AR1=0.9,

AR2=-0.6, MA1=0.8


Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXVII)


• Si se comparan las medidas de bondad de los tres modelos

estudiados:

Bondad

modelo

ARIMA(1,2,0) ARIMA(2,2,0) ARIMA(2,2,1)

R2 -0.21 0.5172 0.8282

MSE 0.2794 0.1113 0.0396

MAPE 509.52 451.33 542.51

Las mejores medidas de

bondad corresponden al

modelo ARIMA(2,2,1)


Índice





• Procesos ARMA

• Procesos ARIMA




Predicción con modelos ARIMA

• Una vez ajustado y validado un modelo ARIMA, puede

emplearse para predecir series temporales

• Así, por ejemplo, la ecuación matemática resultante del modelo

anterior, ARIMA(2,2,1), sin considerar la diferenciación, es:

• Mediante esta ecuación, puede obtenerse las predicciones de la

serie temporal

)1(79339.0)2(59966.0)1(91317.0006981.0)(ˆ tetztztz

AR(1) MA(1)AR(2)C


Predicción con modelos ARIMA (II)

Tiempo z(t) z(t-1) z(t-2) Estimación z(t) e(t)

t=1 -0.3815 - - -0.3815 0.0

t=2 0.0881 -0.0073 - 0.0881 0.0

t=3 0.4231 0.2820 -0.0073 -0.1194 0.5425

t=4 0.3174 0.8396 0.2820 -0.4073 0.7248

t=5 0.2811 1.2436 0.8396 -0.3035 0.5847

t=6 0.0697 1.4464 1.2436 -0.1284 0.1982

t=7 -0.5030 1.1921 1.4464 -0.1784 -0.3245

t=8 -0.7494 0.2971 1.1921 -0.2840 -0.4653

t=9 -0.2849 -1.1409 0.2971 -0.2613 -0.0236

t=10 0.2122 -0.0073 -1.1409 -0.1980 0.4102

• Ejemplo de predicción de la serie temporal con modelo ARIMA(2,2,1):


Predicción con modelos ARIMA (III)

• El intervalo de confianza de la predicción se calcula a partir

del error de estimación o residuo, es decir:

residuoresiduo tytyI 2)(ˆ,2)(ˆ95.0

Desviación típica del error

estimación o residuo

Desviación típica del error

estimación o residuo


Referencias

• Estadística, modelos y métodos. II. Modelos lineales y series temporales, Daniel Peña, Editorial Alianza

• Forecasting Methods and Applications, Spyros Makridakis, Editorial John Wiley & Sons, 1998

• Análisis de datos. Series temporales y Análisis multivariante, Ezequiel Uriel, Editorial AC

• Curso de doctorado: Aplicación de redes neuronales a la predicción de series temporales. Antonio Muñoz San Roque, Universidad Pontificia Comillas, Madrid, 2003

• Trading Systems and Methods, Perry J. Kaufman, Editorial John Wiley & Sons, 1998

Pronósticos total 2013

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