I. Una onda plana monocromtica en una regin libre de fuentes posee el campo elctrico.

1. Determine el valor del campo magntico en todos los puntos del espacio.2. Calcule las densidades de energa elctrica y magntica en todos los puntos del espacio.3. Halle el promedio temporal de las densidades de energa, definido como,

4. Calcule el vector de Poynting en cada instante5. Halle el promedio temporal del vector de Poynting.

Solucin1. Hallamos las fuentes vectoriales del campo elctrico 2. Aplicamos la Ley de Faraday 3. Considerando la ley de Ampere-Maxwell: II.

Problema 01.Una onda plana monocromtica en una regin libre de fuentes posee el campo elctrico

1. Determine el valor del campo magntico en todos los puntos del espacio.2. Calcule las densidades de energa elctrica y magntica en todos los puntos del espacio.3. Halle el promedio temporal de las densidades de energa, definido como

4. Calcule el vector de Poynting en cada instante5. Halle el promedio temporal del vector de Poynting2 Campo magnticoSi hallamos las fuentes vectoriales del campo elctrico obtenemos

De acuerdo con la ley de Faraday, esto debe ser igual a la derivada temporal del campo magntico, cambiada de signo.

En principio la amplitud de las oscilaciones del campo magntico dependen tanto de la frecuenciacomo del nmero de ondak. Sin embargo, no es as. Sustituyendo en la ley de Ampre-Maxwell obtenemos, por un lado

y por otro

Para que estas dos cantidades sean iguales en todo instante, debe ser

Esta es la llamadarelacin de dispersinpara el vaco. De aqu obtenemos

El campo magntico, por tanto, oscila completamente en fase con el campo elctrico.

3 Densidades de energa3.1 ElctricaLa densidad de energa elctrica en cada punto del espacio viene dada por

Esta densidad de energa es oscilante con frecuencia2en torno a un valor fijo. La densidad de energa se anula cuando lo hace el campo elctrico.3.2 MagnticaUna vez que conocemos el campo magntico, podemos hallar la densidad de energa magntica en cada punto del espacio

Sustituyendo la relacin entre la permitividad, la permeabilidad y la velocidad de la luz en el vaco queda

La densidad de energa magntica es igual en cada punto a la elctrica.3.3 ElectromagnticaLa densidad de energa electromagntica es la suma de la elctrica y la magntica. Puesto que estas son iguales, equivale al doble de cada una de ellas.

4 Promedio de la densidad de energaLas tres densidades de energa son funciones oscilantes alrededor de un valor no nulo. Aplicando que

vemos que el promedio de la densidad de energa es igual a la mitad de su valor mximo

Este promedio temporal resulta ser independiente de la posicin, esto es, en promedio, la energa se distribuye uniformemente por todo el espacio.Anlogamente, tenemos para las densidades de energa magntica

y electromagntica

5 Vector de PoyntingEl vector de Poynting lo obtenemos multiplicando vectorialmente los campos elctrico y magntico

En esta onda, la direccin del flujo de energa es la de avance de la onda.6 Promedio del vector de PoyntingOperando de forma anloga a como lo hicimos con la densidad de energa obtenemos

Vemos que el vector de Poynting, como la densidad de energa, es proporcional al cuadrado del campo elctrico. Podemos establecer la proporcionalidad entre los dos promedios

El flujo de energa es igual a la densidad de energa multiplicada por una velocidad, denominadavelocidad de grupo, que puede ser interpretada como la velocidad con la que avanza la energa, y que en este caso es igual, en mdulo, a la velocidad de la luz, como caba esperar.

1 Enunciado

Un cable coaxial ideal est formado por un cilindro interior, de radioa, perfectamente conductor, y una superficie cilndrica exterior, de radiob, tambin perfectamente conductora. Los cilindros se extienden indefinidamente a lo largo de su eje.El cilindro interior se encuentra a una tensinV0, mientras que la superficie exterior se encuentra a tierra. Simultneamente, por la superficie del ncleo fluye una corrienteI0en la direccin del eje, distribuida uniformemente. Esta corriente retorna por la superficie exterior, con lo que hay distribuida uniformemente una corrienteI0.1. Halle los campos elctrico y magntico en todos los puntos del espacio.2. Calcule las densidades de energa elctrica y magntica por unidad de volumen, as como la energa total almacenada en una porcin de longitudh del cable coaxial.3. Determine el vector de Poynting en el espacio entre los cilindros. En qu direccin fluye la energa? Halle el flujo de energa a travs de una seccin del cable coaxial.2 Solucin2.1 Campos elctrico y magnticoDado que la situacin es esttica, pues niV0niI0dependen del tiempo, los problemas elctrico y magntico estn desacoplados. Por tanto pueden resolverse independientemente.2.1.1 Campo elctricoDada la simetra cilndrica del problema, escogeremos estas coordenadas, con el ejezcoincidente con el eje central del cable. Al ser el campo magntico estacionario el campo elctrico es irrotacional en todo el espacio,. Resolveremos entonces la ecuacin del potencial electrosttico en cada regin definida por los conductores. Este apartado se reduce al estudio de un condensador coaxial.Por simetra el potencial en cada regin slo puede depender de la coordenada radial cilndrica.