Propagación de indeterminacionesPropagación de indeterminaciones

Veremos un ejemplo de propagación de indeterminaciones para un caso práctico.Supongamos que se desea conocer el volumen de un perno cilíndrico con punta esférica, como el de la figura:

12dπ

4hdπ

V32

Para ello se mide el diámetro y la longitud del cilindro obteniendo se las siguientes mediciones:

L= Lo ± L d= do ± L Para calcular el volumen debemos armar una ecuación que contemple el volumen de un cilindro y una semiesfera:

Donde el primer término corresponde a el volumen del cilindro y el segundo al de la semiesfera.Como la operación que involucra todas las variables es la suma, debemos propagar las indeterminaciones en ella. Para hacerlo proponemos un cambio de variable:

12dπ

Ye 4

hdπX

32

YXV

000 YXV

Por lo tanto el volumen será:

Y el valor representativo de la suma, es la suma de los valores representativos

12dπ

Ye 4

hdπX

3

00

0

2

00

Donde:

Como la indeterminación absoluta de la suma es la suma de las indeterminaciones absolutas, podemos calcularla como:

YXV

Por lo tanto ahora debemos hallar estas indeterminaciones trabajando por separado con cada ecuación.

Para la primera, propagaremos indeterminaciones relativas de manera que nos queda:

εh2εεX d

000

000

XhΔh

dΔd

2ΔX

hΔh

dΔd

2XΔX

ε4εh2εεπεX 4

hdπX

2

d

El 4 es un número entero, por lo tanto no tiene indeterminación, y es un irracional que puedo tomar con todos los decimales que me dé la calculadora, lo que hace que su indeterminación sea despreciable frente a las mediciones realizadas. De manera que la indeterminación relativa se reduce a:

La expresión anterior puede escribirse a partir de la definición de indeterminación relativa, y queda:

4hdπ

hΔh

dΔd

2ΔX 0

2

0

00

Y remplazando X0 por su valor

d3εεY

00

00

YdΔd

3ΔY

dΔd

3YΔY

ε123εεπεY 12

dπY

3

d

Al igual que con X, el 12 es un número entero, por lo tanto no tiene indeterminación, y como dijimos, es un irracional que puedo tomar con todos los decimales que me dé la calculadora, lo que hace que su indeterminación sea despreciable frente a las mediciones realizadas. De manera que la indeterminación relativa se reduce a:

La expresión anterior puede escribirse a partir de la definición de indeterminación relativa, y queda:

4dΔdπ

12dπ

dΔd

3ΔY2

0

3

0

0

Y remplazando Y0 por su valor

Para la segunda, también propagaremos indeterminaciones relativas de manera que nos queda:

Y de acuerdo con la expresión:

YXV

4hdπ

hΔh

dΔd

2ΔX 0

2

0

00

4dΔdπ

12dπ

dΔd

3ΔY2

0

3

0

0

4dΔdπ

4hdπ

hΔh

dΔd

2ΔV2

00

2

0

00

Supongamos que las mediciones se hicieron con un calibre y los resultados fueron:

L= 24,15mm ±0,05mm d= 15,20mm ± 0.05mm

332

3

00

2

00

mm6530112

(15,20mm)π

4mm152415,20mm)π

12dπ

4

hdπV

,,(

322

mm3074

15,25mm)0,05mmπ

4mm152415,20mm)π

24,15mm0,05mm

15,20mm0,05mm

2ΔV

(,(

Calculamos la indeterminación:

Teniendo en cuenta el resultado de la indeterminación redondeamos el valor representativo a la última cifra entera:

V=5302 mm3±307mm3