Propedeutico de matematicas (Aritmética Básica Parte I)

1 I.S.C. Oscar Eduardo Roa Vela | Curso Propedéutico de Matemáticas Febrero, 2012


INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL Curso Propedéutico de Matemáticas

Tema 1: Aritmética

1. Números Reales. 2. Múltiplos y divisores. 3. Criterios de divisibilidad. 4. Números primos, compuestos y la unidad. 5. Mínimo común múltiplo y Máximo común divisor. 6. Factorización. 7. Adición, substracción, multiplicación y división de números enteros. 8. Fracciones 9. Simplificación de fracciones. 10. Conversión de fracciones. 11. Operaciones con fracciones. 12. Leyes de exponentes y radicales. 13. Radicación y potenciación. 14. Operaciones básicas con radicales. 15. Razones y proporciones.



Números Reales

Números Naturales: N = {0, 1, 2, 3, ∞} Números Enteros: Z = {-∞, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ∞} Zahlen Números Racionales: Q = {a/b | a, b ∈ Z y b ≠ 0 } Quotient Ejemplos:

½ -3/7 50 = 50/1 0.17 = 17/100 1/3 = 0.3

“Un número es racional si, y solo si, su expresión decimal es periódica”

Número Irracionales: I = {a/b | a, b ∉ Z y b ≠ 0 }

“Un número es irracional si, y solo si, su expresión decimal es NO periódica”

Ejemplos:

¶ = 3.14159… e = 2.718281….



Números Reales

Números Reales:

El conjunto R de los números reales es el conjunto formado por la unión del

conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales.

R = Q U {irracionales}

Z+=N Z- 0

Z Fracciones

Q = a/b a, b ∈ Z

b ≠ 0

I = a/b a, b ∉ Z

b ≠ 0

R



Operaciones con Números Reales

Valor Absoluto. El Valor Absoluto de un número es siempre ese número pero con signo positivo.

|+a| = a |-a| = a

Ejemplo:

|+10| = 10 |-10| = 10




Suma de Enteros: Se da cuando lo signos de los operandos es el mismo, por lo tanto, el signo del resultado será el mismo que el de los operandos.

Positivos

+a + ( +b ) = +c

+2 +7 = +9

+2 + (+7) = +9

Negativos

-a + ( –b )= -c

-2 + -7 = -9

-2 + (-7) = -9




Resta de Enteros: Se da cuando lo signos de los operandos es diferente, por lo tanto, el signo del resultado será el del número con mayor magnitud en la operación

+a - b = ?c -a +b = ?c

-2 +7 = +5

+2 -7 = -5




Multiplicación de Enteros: Un producto de números se representa por el carácter (.) o por la ausencia de este, de igual forma los paréntesis representan a la multiplicación. Para este proceso se utiliza la ley de los signos.

ab a.b a(b) (a)b (a)(b)

(+5) (-2) = -10

+5.-2 = -10

-5 (-2) = +10 5(2) = +10

Ley de los signos

+ . + +

+ . - -

- . + -

- . - +




División de Enteros: Una división de número se representa mediante el carácter (/) y si aplica la ley de los signos.

a/b

+27 / +9 = +3 -27 / -9 = +3

-27 / +9 = -3 +27 / -9 = -3

Ley de los signos

+ . + +

+ . - -

- . + -

- . - +



Propiedades con Números Reales

Reflexiva : Para todo número que tengamos será igual al él mismo

a = a

10 = 10 20 = 20

100 = 100 -90 = -90




Simétrica: Para todo número a que sea igual a b, si los invertimos siguen siendo iguales.

a = b b = a

x = 2 2 = x x = 12 12 = x




Transitiva: Si a es igual a b y b es igual a c, por lo tanto, a es igual a c

a = b y b = c a = c

x = 2 , 2 = y x = y x = y , y = z x = z




Sustitución: Si a es igual a b, entonces si sustituimos el valor de a por b o viceversa en cualquier expresión debe dar el mismo resultado.

Si a = b (a) + c = d y (b) + c = d

a = 10, b = a, c=8

(a) + c = 18 (b) + c = 18




Transitiva de Orden:

Si a < b y b < c a < c

a = 2, b = 4, c = 5

a < c




Tricotomía: Al comparar a con b se tiene que cumplir una sola condición.

a < b

a = b

a > b




Para la Suma y Multiplicación

Nombre Suma Multiplicación

Cerradura (a + b) = c (a . b) = c

Conmutativa a +b = b + a a . b = b . a

Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (a . b) c = a (b . c)

Identidad a + 0 = a a . 1 = a

Inverso a + (-a) = 0 a (1/a) = 1 a ≠ 0

Nombre Suma Multiplicación

Distributiva

por la Izquierda a (b + c) = a . b + a . c

por la Derecha (a + b) c = a . c + b . c



Simétrico de un número real

El Simétrico de un número real es buscar el opuesto del número.

El simétrico de 5 es -5

El simétrico de -8 es 8



Simplificación de Expresiones

Signos de Agrupación

( ) paréntesis

[ ] corchetes

{ } llaves




Simplificación de Expresiones con números reales

13 + (-2) + 5 = ? 13 -2 + 5 = ? 11 + 5 = 16

8 + (-5) + 7 + (-23) = ?

8 - 5 + 7 – 23 = ? 15 – 28 = -13

(-6) + (2)(-5) + 9/5-(-2) = ?

-6 +(-10) + 9 / 5 + 2 = ? -16 + 9 / 7 = ?

-7/7 = -1




Eliminación de signos de agrupación

5 + (2 - 3) = ? 5 – 1 = 4

[30 – (2 + 6 -1)] + 9 = ?

[30 -7] + 9= ? 23 + 9 = 32

-11 – {2 + [5 – (6 – 7 + 3)] + 12 } – 1 = ?

-11 – {2 + [5 – 2] + 12 } – 1 = ? -11 – {2 + 3 + 12 } – 1 = ?

-11 – 17 – 1 = -29

- ( -( -( -1 + 6 ) ) ) - ( -( -( 5 ) ) ) - ( -( - 5 ) )

-( 5 ) -5




Eliminación de signos de agrupación por Jerarquía: 1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces. 3º. Efectuar los productos y divisiones. 4º. Realizar las sumas y restas

2 – 5 . 3 = ? 2 – 15 = -13

30 – 7 x 5 + 33 + 15 = ? 30 -7 x 5 + 27 + 15 = ? 30 - 35 + 27 + 15 = ? 30 - 35 + 27 + 15 = ?

72 – 35 = 37

(-2)2(-4)3-33(-1)2

(4)(-64)-27(1) -256-27

-283

160 / (-4)2 – 5 (-2)3

160/16 – 5 . -8 10 + 40

50



Fracciones

Operaciones con números racionales

2 — 3

Numerador

Denominador

Denominador. Indica en cuantas partes de divide un Entero

Numerador. Indica cuantas partes del Entero se tomarán

Fracciones

Propias

Impropias. Son aquellas que se convierten a fracciones mixtas

7 — 5

5 — 7

Aquí el numerador es mayor que el denominador

SI HAY ENTEROS

Aquí el numerador es menor que el denominador

NO HAY ENTEROS



Fracciones

Fracciones Equivalentes

2 — 4

1 — 2

Fracciones Equivalentes.

Numéricamente son diferentes

Pero toman la misma parte del entero



Fracciones

Simplificación de Fracciones. Llegar hasta la fracción irreducible no importa el signo de la fracción si es positiva será positiva y si es negativa será negativa.

2 — 4

1 — 2

Fracción Irreducible

12 — 16

6 — 8


3 — 4

24 — 42

12 — 21


4 — 7



Fracciones

Conversión de Fracciones •De Mixta a Impropia. Se multiplica el denominador por el entero y al resultado se la suma el numerador.

•De Impropia a Mixta. Se divide el denominador por el numerador y se toma el resultado de la división como el total de enteros y el residuo como la parte fraccionaria.

100 — 42

5 =

310 — 42

310 — 42

=

100 — 42

7



Fracciones

Simplificación de Fracciones usando Factores. •Buscar números que multiplicados te den los miembros de la fracción.

105 — 42

3 x 35 ——— 2 x 21

3 x 5 x 7 ———— 2 x 3 x 7

5 — 2

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