Ciencias computacionales

Propedeutico: Matematicas Discretas

Logica

INAOE

Contenido

1 Introduccion 41.1 Terminos esenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Premisa-conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Sintaxis y sematica de la logica proposicional 62.1 Fundamentos de logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Conectivas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Tautologıa y contradiccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.4 Precedencia de los operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.5 Equivalencia logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.6 Leyes de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.7 Reglas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.8 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Sintaxis de la logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1 Formulas proposicionales (BNF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2 Definiciones por recursion sobre formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.3 Demostracion por induccion sobre formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.4 Criterio de reduccion de parentesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.5 Subformulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Semantica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Valores y funciones de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 Modelos y satisfacibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.3 Tautologıas y contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

2.3.4 Satisfacibilidad y validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.5 Seleccion de tautologıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.6 Formulas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.7 Modelo de conjuntos de formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.8 Conjunto consistente de formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.9 Consecuencia logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.10 Argumentaciones y problemas logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Deduccion en logica proposicional 253.1 Reglas de deduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Reglas de la conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2 Reglas de la doble negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.3 Reglas de eliminacion del condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.4 Regla derivada de modus tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.5 Regla de introduccion del condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.6 Reglas de la disyuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.7 Reglas de la negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.8 Regla del bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Reglas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.1 Regla del modus tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Regla de introduccion de la doble negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.3 Regla de reduccion al absurdo (RAA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.4 Ley del tercio exluido (LEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Sintaxis y semantica de primer orden 324.1 Representacion del conocimiento en logica de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.1 Limitacion expresiva de la logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.2 Representacion del mundo de los bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.3 Representacion del mundo de los bloques con funciones e igualdad . . . . . . . . . 334.1.4 Representacion de conocimiento astronomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Sintaxis de la logica de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.1 Lenguaje de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.2 Terminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.3 Formulas atomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.4 Subformulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.5 Criterios de reduccion de parentesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.6 Conjuntos de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.7 Variables libres y ligadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.8 Formulas cerradas y abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Semantica de la logica de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.1 Estructuras, asignaciones e interpretaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.2 Evaluacion de terminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.3 Evaluacion de formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.4 Conceptos auxilares para la evaluacion de formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.5 Evaluacion y variables libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.6 Modelo de una formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.7 Satisfacibilidad y validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.8 Modelo de un conjunto de formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.9 Consistencia de un conjunto de formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.10 Consecuencia logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.11 Consecuencia logica e inconsistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.12 Equivalencia logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2

5 Formas normales 465.1 Forma normal conjuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1.1 Definicion de forma normal conjuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Forma normal disyuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.1 Definicion de forma normal disyuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3

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1 Introduccion

¿Que es la logica?

• La ciencia del razonamiento. Gracias al razonamiento se resuelve un problema, a traves de unproceso que extrae conclusiones a partir de premisas. Este proceso es extremandamente complejo,emotivo, compuesto de un ciclo de prueba-error, ”iluminado” por momentos de comprension ointuicion.

• Es el estudio de los metodos y principios que se usan para distinguir el razonamiento bueno (correcto)del malo (incorrecto).

– ¿Un arte o una ciencia?

∗ La practica llevara al perfeccionamiento

∗ Analisis de las falacias

∗ Errores frecuentes del razonamiento

En logica se plantean preguntas como ¿tiene solucion el problema? o ¿Se sigue la conclusion de laspermisas que se han afirmado o supuesto?. Si el problema queda resuelto, si las premisas proporcionanlas bases adecuadas para afirmar la verdad de la conclusion, entonces el razonamiento es correcto. De locontrario es incorrecto.

La distincion entre razonamiento correcto e incorrecto es el problema central con el quetrata la logica

1.1 Terminos esenciales

1.1.1 Proposicion

Proposicion es el contenido de una oracion el cual puede ser verdadero o falso. Difieren de las preguntas,ordenes y exclamaciones debido a que estas no pueden ser verdaderas o falsas.

Dos oraciones pueden emplearse para afirmar la misma proposicion, por ejemplo:

• Juan ama a Marıa

• Marıa es amada por Juan

Usamos el termino proposicion para referirnos al contenido que ambas oraciones afirman.Una proposicion se interpreta en un contexto, por ejemplo

• El presidente actual es priista

Dependiendo del momento, esta oracion corresponde a un enunciado verdadero (Enrique Pena) o aun enunciado falso (Vicente Fox). Los terminos enunciado y proposicion no son exactamente sinonimos.

1.1.2 Inferencia

Inferencia es el proceso por el cual se llega a una proposicion y se afirma sobre ella en base de una omas proposiciones aceptadas como punto inicial del proceso.

4

1.1.3 Argumento

En correspondencia a cada inferencia existe un argumento. Un argumento es cualquier conjunto deproposiciones de las cuales se dice que una se sigue de las otras, que pretenden apoyar o fundamentar suverdad.

1.1.4 Premisa-conclusion

Un argumento tiene una estructura: premisa-conclusionLa conclusion de un argumento es la proposicion que se afirma con base en las otras proposiciones

del argumento.Las otras proposiciones afirmadas o supuestas para aceptar la conclusion son las premisas del argu-

mento.

Ejemplo 1

Como las sensaciones son esencialmente privadas, no podemos saber como es el mundo para otraspersonas.

Ejemplo 2

Una superficie gris se ve roja si antes hemos visto una azul verdosa; una hoja de papel se sientemuy suave si hemos tocado antes una lija, o rugosa si antes hemos tocado una suave superficie decristal; el agua de la llave sabe dulce si hemos comido antes alcachofas. Por tanto, una parte de loque llamamos rojo, suave o dulce debe estar en los ojos, los dedos o la lengua del que ve, toca oprueba.

Ejemplo 3

Enfriar los atomos equivale a retardar su movimiento, puesto que la temperatura es una medidade que tan rapido se estan moviendo los atomos o las moleculas (el cero absoluto es la inmovilidadtotal).

IMPORTANTE:

� Ninguna proposicion por sı misma, en forma aislada, es una premisa o una conclusion.

� Una premisa solamente aparece como supuesto en un argumento.

� Una conclusion solamente aparece en un argumento y se fundamenta en las otras proposiciones delargumento.

� Son terminos relativos. Como ”empleador” y ”empleado”: depende de un contexto.

� El orden no es relevante.

Ejemplo 4

Puesto que la libertad y el bienestar son las condiciones necesarias de la accion y en general dela accion exitosa, cada agente debe reconocer estas condiciones como bienes necesarios para sımismo, puesto que sin ellas no serıa capaz de actuar para conseguir un proposito determinado,sea en absoluto o con las oportunidades generales de lograr el exito.

5

2 Sintaxis y sematica de la logica proposicional

2.1 Fundamentos de logica

En el desarrollo de cualquier teorıa matematica se hacen afirmaciones en forma de frases. Tales afirma-ciones, verbales o escritas, denominadas enunciados o proposiciones, son frases declarativas verdaderaso falsas.

Las proposiciones se representan con letras minpusculas:

p: Matematicas Discretas es un curso propedeuico de la Maestrıa en Ciencias Computacionales

q: Juan Rulfo escribio ”Pedro Paramo”

Las proposiciones mas sencillas posibles se denominan atomicas.

Definicion

Las proposiciones constituidas por proposiciones atomicas y otras partıculas que sirven de nexos sellaman compuestas.

2.1.1 Conectivas basicas

Estas proposiciones pueden considerarse como primitivas, ya que en realidad no se pueden descomponer enpartes mas simples. Las proposiciones primitivas se utilizan con conectivos logicos para formar enunciadoscompuestos.

Definicion

Un conectivo logico es una partıcula que se utiliza para formar las proposiciones compuestas,es decir, es un elemento de lenguaje que permite construir proposiciones nuevas a partir de lasexistentes, obteniendo ası nuevos significados.

Las conectivas logicas son:

¬ negacion∧ conjuncion∨ disyuncionY disyuncion mutuamente exclusiva→ implicacion↔ doble implicacion

• Negacion. La negacion de una proposicion p se denota se denota por p o ¬p, y se lee ”no p”.

Ejemplo 1

Para p : Combinatoria es un curso obligatorio

¬p es la proposicion ”Combinatoria no es un curso obligatorio”.

• Conjuncion. la conjuncion de p, q se denota por p ∧ q, y se lee ”p y q”.

Ejemplo 2

Para

∗ p : Combinatoria es un curso obligatorio

∗ q : Estudio la especialidad de computacion

6

Se lee:

”Combinatoria es un curso obligatorio y yo estudio la especialidad de computacion”.

• Disyuncion. La expresion p ∨ q denota la disyuncion de p, q, y se lee ”p o q”.

Ejemplo 3

Para

∗ p : Combinatoria es un curso obligatorio

∗ q : Estudio la especialidad de computacion

Se lee:

”Combinatoria es un curso obligatorio o yo estudio la especialidad de computacion”.

Aquı se utiliza la conjuncion ”o” en sentido inclusivo. En consecuencia, p∨ q es verdadera si una ola otra, o ambas proposiciones p, q son verdaderas. Esto suele indicase escribiendo ”y/o”.

• Disyuncion mutuamente exclusiva. El ”o” exclusivo se denota mediante p Y q. La proposicioncompuesta p Y q es verdadera si una u otra, pero no ambas proposiciones p, q son verdaderas.

Ejemplo 4

Para

∗ p : Combinatoria es un curso obligatorio

∗ q : Estudio la especialidad de computacion

Se lee:

”Combinatoria es un curso obligatorio o yo estudio la especialidad de computacion, pero noambas”.

• Implicacion. Se dice que ”p implica q” y se escribe p → q para designar la implicacion de q porp. Opcionalmente, se puede decir:

a) si p, entonces q

b) p es suficiente para q

c) p solo si q

d) q es necesario para p

Una traduccion verbal de p → q para el ejemplo es: ”Si combinatoria es un curso obligatorio,entonces yo estudio la especialidad de computacion”.

La proposicion p se denomina hipotesis de la implicacion y q se denomina conclusion.

• Doble implicacion. La doble implicacion de dos preposiciones p, q se denota por p↔ q, y se lee:

a) p es equivalente a q

b) p si, y solo si q

c) es necesario y suficiente para q

Para las p, q anteriores, ”Combinatoria es un curso obligatorio si, y solo si, yo estudio la especial-idad de computacion” expresa el significado de p↔ q.

En las proposiciones de la logica proposicional pueden incluirse signos que agrupen proposiciones, porejemplo:

¬p ∨ (q ↔ r)

¬(p→ r) ∧ (q ↔ r)

(p ∧ q)→ (q ∨ ¬r)

7

2.1.2 Tablas de verdad

Los valores de verdad de las proposiciones compuestas pueden ser descritos por tablas de verdad. Lastablas de verdad expresan las circunstancias en las que una proposicion de la logica proposicional esverdadera (1) o falsa (0):

Definicion

Una tabla de verdad de una proposicion presenta los valores de verdad de la proposicion para todaslas asignaciones posibles de la proposiciones atomicas

p ¬p0 11 0

p q p ∧ q p ∨ q p Y q p→ q p↔ q

0 0 0 0 0 1 10 1 0 1 1 1 01 0 0 1 1 0 01 1 1 1 0 1 1

• Una conjuncion es verdadera cuando p y q, ambas, son verdaderas.

p q p ∧ q

1 1 11 0 00 1 00 0 0

• Una disyuncion exclusiva es verdadera cuando p es verdadera y q falsa o bien cuando p es falsa y qverdadera.

p q p Y q

1 1 01 0 10 1 10 0 0

• Una implicacion es verdadera cuando p y q son verdaderas o cuando p es falsa.

p q p→ q

1 1 11 0 00 1 10 0 1

2.1.3 Tautologıa y contradiccion

Definicion

8

Una proposicion de la logica proposicional es una tautologıa, denotada como T0 , si es verdaderapara todas las asignaciones de verdad de sus proposiciones componentes.

p q p→ p ∨ q

1 1 11 0 10 1 10 0 1

Si para las proposiciones s1, s2, resulta que s1⇔ s2 es una tautologıa, entonces s1 y s2 deben tenerla misma tabla de verdad, de modo que s1 ⇔ s2.

Definicion

Una proposicion de la logica proposicional es una contradiccion, denotada como F0 , si es falsapara todas las asignaciones de verdad de sus proposiciones componentes.

p p ∧ (¬p)

1 00 1

2.1.4 Precedencia de los operadores

En proposiciones compuestas como r∨p→ q, ¿cual es el orden de la aplicacion de los operadores logicos?.Se usan parentesis para especificar el orden:

r ∨ (p→ q)

Si no se emplean parentensis, se emplea la lista de precedencia

Operador Precedencia¬ 1∧ 2∨ 3→ 4↔ 5

2.1.5 Equivalencia logica

Definicion

Dos proposiciones s1 y s2 son logicamente equivalentes, denotado como s1 ⇔ s2 , si y solo si laproposicion s1 es verdadera cuando s2 es verdadera, y s1 es falsa cuando s2 es falsa.

Dos proposiciones son equivalentes logicamente si y solo si sus valores de verdad (tablas de verdad)son identicos.

Ejemplo 5

Probar que q ∧ (¬r → p)⇔ (r ∧ q) ∨ (p ∧ q)

9

p q r ¬r ¬r → p q ∧ (¬r → p) r ∧ q p ∧ q (r ∧ q) ∨ (p ∧ q)F F F T F F F F FF F T F T F F F FF T F T F F F F FF T T F T T T F TT F F T T F F F FT F T F T F F F FT T F T T T F T TT T T F T T T T T

Table 1: Donde F = false y T = true

De acuerdo con la tabla de verdad q ∧ (¬r → p) y (r ∧ q) ∨ (p ∧ q) son proposiciones equivalentes.

2.1.6 Leyes de equivalencia

Otra forma de com probar si dos proposiciones son logicamente equivalentes es aplicando las leyes de lalogica. En general, las leyes de la logica son utiles para simplificar una proposicion.

Para cualesquiera proposiciones logicas p, q y r:

¬¬p⇔ p Doble negacion¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q DeMorgan¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q

p ∨ q ⇔ ∨p Conmutativasp ∧ q ⇔ q ∧ p

p ∨ (q ∨ r)⇔ (p ∨ q) ∨ r Asociativasp ∧ (q ∧ r)⇔ (p ∧ q) ∧ r

p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Distributivasp ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ p⇔ p Idempotentesp ∧ p⇔ pp ∨ F0 ⇔ p Identidadp ∧ T0 ⇔ pp ∨ ¬p⇔ T0 Inversasp ∧ ¬p⇔ F0

p ∨ T0 ⇔ T0 Dominacionp ∧ F0 ⇔ F0

p ∨ (p ∧ q)⇔ p Absorcionp ∧ (p ∨ q)⇔ p

Definicion

Sea s una proposicion de la logica proposicional. Si s solo contiene conectivas logicas conjuntivas ydisyuntivas, entonces el dual de s, denotado como sd, es la proposicion que se obtiene al reemplazarcada ocurrencia de ∧ y ∨ por ∨ y ∧, respectivamente, y cada ocurrencia de T0 y F0 por F0 y T0,respectivamente.

Ejemplo 6

Los siguientes pares de proposiciones son duales.

a) s1 : p ∨ T0, sd1 : p ∧ F0

10

b) s2 : (p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ T0), sd2 : (p ∨ ¬q) ∧ (r ∨ F0)

Definicion

Teoremoa del principio de la dualidad.

Sean s y t proposiciones de la logica proposicional, si s⇔ t entonces sd ⇔ td

Analicem os los valores de verdad de las proposiciones p→ q, ¬q → ¬p, q → p y ¬p→ ¬q

p q p→ q ¬q → ¬p q → p ¬p→ ¬q0 0 1 1 1 10 1 1 1 0 01 0 0 0 1 11 1 1 1 1 1

De acuerdo a la tabla previa, podemos afirmar que (p → q) ⇔ (¬q → ¬p) y (q → p) ⇔ (¬p → ¬q).La proposicion ¬q → ¬p se conoce como la contrapositiva de la implicacion p → q. La proposicionq → p se denomina la recıproca de p→ q y ¬q → ¬p se conoce como la inversa de p→ q. Notese que

(p→ q) 6⇔ (q → p) y(¬p→ ¬q) 6⇔ (¬q → ¬p)

Ejemplo 7

Se tiene en 1a una red con un interruptor, 1b y 1c tienen dos interruptores (independientes) cadauna. En la red de 1b, la corriente fluye de T1 a T2 si cualquiera de los dos interruptores p, q estacerrado. Esta red se denomina paralela y se representa por p ∨ q. La red 1c necesita que los dosinterruptores p, q esten cerrados para que la corriente fluya de T1 a T2. Aquı, los interruptoresestan en serie y esta red se representa por p ∧ q.

(a) (b) (c)

Figura 1: Red 1

Ejemplo 8

Suponga que tenemos la red ilustrada en la Figura 2, en la cual los interruptores no son indepen-dientes entre sı. Esta red puede representarse como la proposicion logica:

(p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ t ∨ ¬q) ∧ (p ∨ ¬t ∨ r)

11

Figura 2: Red 2

y suponga tambien que deseamos simplificar esta red. Para simplificar la expresion, debemos buscarla equivalencia logica de la proposicion original y proposiciones mas simples.

Simplificacion Razones(p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ t ∨ ¬q) ∧ (p ∨ ¬t ∨ r)

⇔ p ∨ [(q ∨ r) ∧ (t ∨ ¬q) ∧ (¬t ∨ r)] Ley distributiva⇔ p ∨ [((q ∨ r) ∧ t) ∨ ((q ∨ r) ∧ ¬q)) ∧ (¬t ∨ r)] Ley distributiva⇔ p ∨ [(((q ∨ r) ∧ t) ∨ ((q ∧ ¬q) ∨ (r ∧ ¬q))) ∧ (¬t ∨ r)] Ley distributiva⇔ p ∨ [(((q ∨ r) ∧ t) ∨ (F0 ∨ (r∧ → q))) ∧ (¬t ∨ r)] Ley inversa⇔ p ∨ [(((q ∨ r) ∧ t) ∨ (r ∧ ¬q)) ∧ (¬t ∨ r)] Ley del elemento neutro⇔ p ∨ [(((q ∨ r) ∧ t) ∧ (¬t ∨ r)) ∨ ((r ∧ ¬q) ∧ (¬t ∨ r))] Ley distributiva⇔ p ∨ [((q ∨ r) ∧ (t ∧ (¬t ∨ r))) ∨ ((r ∧ ¬q) ∧ (¬t ∨ r))] Ley asociativa⇔ p ∨ [((q ∨ r) ∧ ((t ∧ ¬t) ∨ (t ∧ r))) ∨ ((r ∧ q) ∧ (¬t ∨ r))] Ley distributiva⇔ p ∨ [((q ∨ r) ∧ (F0 ∨ (t ∧ r))) ∨ ((r ∧ ¬q) ∧ (¬t ∨ r))] Ley inversa⇔ p ∨ [((q ∨ r) ∧ (t ∧ r)) ∨ ((r ∧ ¬q) ∧ (¬t ∨ r))] Ley del elemento neutro⇔ p ∨ [((q ∨ r) ∧ (t ∧ r)) ∨ (((r ∧ ¬q) ∧ ¬t) ∨ ((r ∧ ¬q) ∧ r))] Ley distributiva⇔ p ∨ [((q ∨ r) ∧ (t ∧ r)) ∨ ((r ∧ ¬q ∧ ¬t) ∨ (r ∧ ¬q ∧ r))] Ley asociativa⇔ p ∨ [((q ∨ r) ∧ (t ∧ r)) ∨ ((r ∧ ¬q ∧ ¬t) ∨ (r ∧ ¬q))] Ley idempotente⇔ p ∨ [((q ∨ r) ∧ (t ∧ r)) ∨ (r ∧ ¬q)] Ley absorcion⇔ p ∨ [((q ∧ (t ∧ r)) ∨ (r ∧ (t ∧ r))) ∨ (r ∧ ¬q)] Ley distributiva⇔ p ∨ [((q ∧ (t ∧ r)) ∨ (t ∧ r)) ∨ (r ∧ ¬q)] Leyes asociativa e idempotente⇔ p ∨ [(t ∧ r) ∨ (r ∧ ¬q)] Ley de absorcion⇔ p ∨ [(r ∧ t) ∨ (r ∧ ¬q)] Ley conmutativa⇔ p ∨ [r ∧ (t ∨ ¬q)] Ley distributiva

Ası (p∨ q ∨ r)∧ (p∨ t∨¬q)∧ (p∨¬t∨ r)⇔ p∨ [r ∧ (t∨¬q)], y la red de la Figura 3 es equivalentea la red original, pero esta red tiene 4 interruptores, 5 menos que la original.

Figura 3: Red simplificada

2.1.7 Reglas de inferencia

Una demostracion es un argumento correcto (bien razonado, logicamente valido) y completo (claro,detallado) que rigurosamente establece la veracidad de una proposicion matematica.

Una regla de inferencia es un patron que establece que si se conocen un conjunto de proposicionesantecedentes verdaderas, entonces se puede deducir que cierta proposicion consecuente relacionada es

12

verdadera. Es decir, permiten determinar la validez de un argumento para demostrar un teorema.

(p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ · · · ∧ pn)→ q

p1, p2, p3, . . . , pn se conocen como las premisas del argumento, y q se conoce como la conclusion delargumento.

Una manera de inferir la conclusion es dem ostrar que la proposicion correspondiente a las premisases una tautologıa.

Definicion

Si p y q son proposiciones arbitrarias, y p→ q es una tautologıa, decimos que p implica logicamentea q y escribimos p⇒ q.

Ejemplo 9

Sean p1 : p, p2 : (p ∧ r) → s y q : r → s Verifique con una tabla de verdad que (p1 ∧ p2) implicalogicamente a q. Es decir, tenemos que demostrar (p1 ∧ p2)→ q es una tautologıa.

p1 p2 q (p1 ∧ p2) (p1 ∧ p2)→ qp r s p ∧ r (p ∧ r)→ s r → s [p ∧ ((p ∧ r)→ s)]] [p ∧ ((p ∧ r)→ s)]]→ (r → s)0 0 0 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 0 10 1 0 0 1 0 0 10 1 1 0 1 1 0 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1

Las reglas de inferencia postulan asociaciones conocidas y probadas de implicacion logica. Con lastablas de verdad correspondientes, que son tautologıas, puede dem ostrarse que estas reglas son implica-ciones logicas.

p Regla de adicion ∴ p ∨ qp ∧ q Regla de simplificacion ∴ pp Regla de conjuncion q ∴ p ∧ q

• Modus Ponens

p | premisasp→ q |∴ q conclusion

(1)

• Ley del silogismo

p→ qq → r∴ p→ r

(2)

• Modus Tollens

p→ q¬q∴ ¬p

(3)

13

• Regla de la conjuncion

pq∴ p ∧ q

(4)

• Regla del silogismo disyuntivo

p ∨ q¬p∴ q

(5)

• Regla de la contradiccion

¬p→ F0

∴ p(6)

• Regla de simplificacion conjuntiva

p ∧ q∴ p

(7)

• Regla de simplificacion disyuntiva

p∴ p ∨ q

(8)

• Regla de demostracion condicional

p ∧ qp→ (q → r)∴ r

(9)

• Regla de demostracion por casos

p→ rq → r∴ (p ∨ q)→ r

(10)

• Regla del dilema constructivo

p→ qr → sp ∨ r∴ q ∨ s

(11)

• Regla del dilema destructivo

p→ qr → s¬q ∨ ¬s∴ ¬p ∨ ¬r

(12)

Ejemplo 10

14

Aplique las reglas de inferencia modus ponens, modus tollens y regla del silogismo para demostrarla validez del siguiente argumento.

p→ rr → st ∨ ¬s¬t ∨ u¬u∴ ¬p

Pasos Justificacion1) p→ r, r → s Premisas2) p→ s 1) + Ley del silogismo3) t ∨ ¬s Premisa4) ¬s ∨ t 3) + Comnutativa de disyuncion5) s→ t 4) + ¬s ∨ t⇒ s→ t6) p→ t 2) + 5) + Ley del silogismo7) ¬t ∨ u Premisa8) t→ u 7) + ¬t ∨ u⇒ t→ u9) p→ u 6) + 8) + Ley del silogismo10) ¬u Premisa11) ∴ ¬p 9) + 10) + modus tollens

2.1.8 Cuantificadores

Considere las siguiente afirmaciones:

• Todos los gatos tienen cola.

• A algunas personas les gusta la carne cruda.

• Todos conseguimos un descanso de vez en cuando.

Todas estas afirmaciones indican que tan frecuentemente ciertas cosas son verdaderas. En calculo depredicados se usan cuantificadores en este contexto.

Definicion

Sea A una expresion, y sea x una variable. Si queremos indicar que A es verdadera para todoslos valores posibles de x, escribimos ∀xA. Aquı ∀x es llamado el cuantificador universal,y A se llama el ambito o alcance del cuantificador. La variable x se dice que esta ligada alcuantificador. El sımbolo ∀ se pronuncia ”para todo”.

El cuantificador y la variable ligada que la sigue tienen que ser tratados como una unidad, y estaunidad actua como una conectiva unaria. Oraciones que contienen palabras como cada, cada uno, y todosusualmente indican cuantificacion universal. Tales oraciones deben ser reescritas de tal forma queempiecen con ”para cada x”, lo cual se traduce como ∀x.

Ejemplo 11

Exprese ”Todos conseguimos un descanso de vez en cuando” en calculo de predicados.

Definimos B de tal forma que signifique ”conseguir un descanso de vez en cuando”. Por tanto B(x)significa que x consigue un descanso de vez en cuando. La palabra ”Todos” indica que esto esverdadero para toda x. Esto lleva a la traduccion ∀xB(x).

15

Definicion

Si A representa una expresion, y x representa a una variable. Si queremos indicar que A es verdaderopara al menos un valor de x, escribimos ∃x A. Esto se pronuncia ”existe una x tal que A”. Aquı∃x es llamado el cuantificador existencial, y A se llama el alcance o ambito del cuantificadorexistencial. La variable x se dice que esta ligada al cuantificador.

Afirmaciones que contienen frases como algunos, al menos uno sugieren cuantificacion existencial. Ydeben ser reescritos como ”Hay un x tal que”, lo cual se traduce en ∃x.

Ejemplo 12

Sea P la propiedad ”le gusta la carne cruda”. Entonces ∃x P (x) se puede traducir como ”Haypersonas a las que les gusta la carne cruda” o ”A algunas personas les gusta la carne cruda”.

Los cuantificadores se pueden anidar, como se muestra en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 13

Traducir la oracion ”Hay alguien que conoce a todos” en lenguaje de calculo de predicados.

Para hacer esto, use C(x, y) para expresar el hecho de que x conoce a y. Escribimos informalmente∃x(x conoce a todos). Aquı ”x conoce a todos” esta todavıa en espanol y significa que para todoy es verdad que x conoce a y. Por tanto x conoce a todos = ∀yC(x, y). Finalmente se anade elcuantificador existencial y obtenemos ∃x∀yC(x, y).

Ejemplo 14

Traducir ”Cualquiera tiene alguien quien es su madre” en calculo de predicados.

Definimos M como el predicado ”madre”; esto es, M(x, y) significa que ”x es la madre de y”. Laoracion ”Alguien es la madre de y” se traduce como ∃xM(x, y). Para expresar que esto debe serverdad para toda y, agregamos el cuantificador universal, lo cual queda como ∀y∃xM(x, y)

La oracion ”Nadie es perfecto” tambien incluye un cuantificador, ”Nadie”, el cual es la ausencia de unindividuo con una cierta propiedad. En calculo de predicados el hecho de que nadie tenga una propiedadP , no puede ser expresada directamente. Para expresar el hecho de que no hay x para la cual unaexpresion A es verdadera, uno puede usar ¬∃xA o ∀x¬P (x), indica que nadie es perfecto. En el primercaso, decimos, en traduccion verbal, ”No se da el caso de que exista alguien quien sea perfecto”, mientrasque en el segundo caso decimos ”Para cualquiera, no se da el caso de que sea perfecto”. Los dos metodospara expresar que nadie es A deben por supuesto ser logicamente equivalentes; esto es:

¬∃xA ≡ ∀x¬P (x)

2.2 Sintaxis de la logica proposicional

El alfabeto proposicional esta conformado por:

• variables proposicionales: p0, p1, . . . ; p, q, r

• conectivas logicas:

– monaria: ¬ (negacion)

– binarias: ∧ (conjuncion), ∨ (disyuncion), → (condicional), ↔ (bicondicional)

• sımbolos auxiliares: ”(” y ”)”

16

Las variables proposicionales son formulas (formulas atomicas). Si F y G son formulas entoncestambien lo son:

¬F, (F ∧G), (F ∨G), (F → G) y (F ↔ G)

Ejemplo 1

• Formulas: p, (p ∨ ¬q), ¬(p ∨ p), ((p→ q) ∨ (q → p))

• No formulas: (p), p ∨ ¬p, (p ∨ ∧q)

2.2.1 Formulas proposicionales (BNF)

Notaciones:

• p, q, r, . . . representaran variables proposicionales.

• F,G,H, . . . representaran formulas.

• V P representa el conjunto de los variables proposicionales.

• Prop representa el conjunto de las formulas.

• * representa una conectiva binaria.

La forma de Backus Naur (BNF) de las formulas proposicionales es:

F ::= p|¬G|(F ∧G)|(F ∨G)|(F → G)|(F ↔ G)

2.2.2 Definiciones por recursion sobre formulas

El numero de parentesis de una formula F se defina recursivamente por:

np(F ) =

0, si F es atomica;

np(G), si F es ¬G;

2 + np(G) + np(H), si F es (G ∗H)

Ejemplo 2

El numero de parentesis de las siguientes proposiciones es:

• np(p) = 0

• np(q) = 0

• np(¬q) = 0

• np((¬q ∨ p)) = 2

• np((p→ (¬q ∨ p))) = 4

2.2.3 Demostracion por induccion sobre formulas

Sea P una propiedad sobre las formulas que verifica las siguientes condiciones:

• Todas las formulas atomicas tiene la propiedad P .

• Si F y G tienen la propiedad P .

• Si F y G tiene la propiedad P , entonces ¬F , (F ∧ G), (F ∨ G), (F → G) y (F ↔ G), tienen lapropiedad P

Entonces todas las formulas proposicionales tienen la propiedad P .

� Propiedad . Todas las formulas proposicionales tienen un numero par de parentesis.

17

2.2.4 Criterio de reduccion de parentesis

Algunas forma de reducir los parentesis son:

• Eliminar los parentesis externos

– F ∧G es una abreviatura de (F ∧G)

• Por precedencia de asociacon de conectivas: ¬,∧,∨,→,↔.

– F ∧G→ ¬F ∨G es una abreviatura de ((F ∧G)→ (¬F ∨G)).

• Si una conectiva se usa repetidamenente, se asocia por la derecha

F ∨G ∨H abrevia (F ∨ (G ∨H))F ∧G ∧H → ¬F ∨G abrevia ((F ∧ (G ∧H))→ (¬F ∨G))

2.2.5 Subformulas

Definicion

El conjunto Subf(F) de las subformulas de una formula F se define recursivamente por:

subf(F ) =

{F}, si F es atomica;

{F} ∪ Subf(G), si F es ¬G;

{F} ∪ Subf(G) ∪ Subf(H), si F es (G ∗H)

Ejemplo 3

• Subf(p) = {p}

• Subf(q) = {q}

• Subf(¬q) = {¬q, q}

• Subf(¬q ∨ p) = {¬q ∨ r,¬q, q, p}

• Subf(p→ ¬q ∨ p) = {p→ ¬q ∨ p, p,¬q ∨ p,¬q, q}

2.3 Semantica proposicional

2.3.1 Valores y funciones de verdad

Los valores de verdad (B) son 1 es para verdadero y 0 es para falso. Ası, las funciones de verdad son lassiguientes:

H¬ : {0, 1} → {0, 1} t.q (tal que) H¬(i) =

{1, si i = 0;

0, si i = 1

H∧ : {0, 1}2 → {0, 1} t.q H∧(i, j) =

{1, si i = j = 1;

0, en otro caso.

H∨ : {0, 1}2 → {0, 1} t.q H∨(i, j) =

{0, si i = j = 0;

1, en otro caso.

18

H→ : {0, 1}2 → {0, 1} t.q H→(i, j) =

{0, si i = 1, j = 0;

1, en otro caso.

H↔ : {0, 1}2 ↔ {0, 1} t.q H↔(i, j) =

{1, si i = j;

0, en otro caso.

Las funciones de verdad tambien se representan mediante tablas de verdad (ver sub-seccion 2.1.2).

Definicion

Una interpretacion es una aplicacion I : V P → B.

Para cada interpretacion I existe una unica aplicacion I ′ : Prop→ B tal que:

I ′(F ) =

I(F ), si F es atomica;

H¬(I ′(G)), siF = ¬G;

H¬(I ′(G), I ′(H)), si F = G ∗H

Se dice que I ′(F ) es el valor de verdad de F respecto de I.

Ejemplo 1

Sea F = (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r).

– Donde el valor de F en una interpretacion I1 tal que I1(p) = I1(r) = 1, I1(q) = 0.

Sustituyendo los valores, la interpretacion queda de la siguiente manera:

(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r)(1 ∨ 0) ∧ (¬0 ∨ 1)

1 ∧ (1 ∨ 1)1 ∧ 1

1

– Donde el valor de F en una interpretacion I2 tal que I2(r) = 1, I2(p) = I2(q) = 0

Sustituyendo los valores, la interpretacion queda de la siguiente manera:

(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r)(0 ∨ 0) ∧ (¬0 ∨ 1)

0 ∧ (1 ∨ 1)0 ∧ 1

0

� Propiedad . Sea F una formula y I1, I2 dos interpretaciones. Si I1(p) = I2(p) para todas lasvariables proposicionales de F , entonces I ′1(F ) = I ′2(F ).

2.3.2 Modelos y satisfacibilidad

Definicion

I es modelo F si I(F ) = 1.I |= F

19

Ejemplo 2

continuando con el ejemplo anterior (1):

– Si I1(p) = I1(r) = 1, I1(q) = 0, entonces I1 |= (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r).

– Si I2(r) = 1, I2(p) = I2(q) = 0, entonces I2 6|= (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r).

Definicion

F es satisfacible si F tiene algun modelo.

Ejemplo 3

(p→ q) ∧ (q → r) es satisfacible para I(p) = I(q) = I(r) = 0

(p→ q) ∧ (q → r)(0→ 0) ∧ (0→ 0)

1 ∧ 11

Definicion

F es insatisfacible si F NO tiene algun modelo.

Ejemplo 4

p ∧ ¬p es insatisfacible, debido a que no hay un modelo para cualquier valor de I.

p ¬p p ∧ ¬p1 0 00 1 0

2.3.3 Tautologıas y contradicciones

Definicion

F es una tautologıa (o valida) si TODA interpretacion es modelo de F .

|= F

Definicion

F es una contradiccion si NINGUNA interpretacion es modelo de F

|= F

20

Definicion

F es contingente si no es tautologıa ni contradiccion

|= F

Ejemplo 5

De acuerdo con la siguiente tabla de verdad:

p q p→ q q → p (p→ q) ∨ (q → p) ¬(p→ q) (p→ q) ∧ ¬(p→ q)1 1 1 1 1 0 01 0 0 1 1 1 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 1 0 0

1. (p→ q) ∨ (q → p) es una tautologıa

2. (p→ q) ∧ ¬(p→ q) es una contradiccion

3. p→ q es contingente

La clasificacion de las formulas es la siguiente:

Todas las formulasTautologıas Contingentes ContradiccionesVerdadera en todas las in-terpretaciones

Verdadera en algunas in-terpretaciones y falsa enotras

Falsa en todas las inter-pretaciones

Satisfacibles InsatisfaciblesTodas las formulas

2.3.4 Satisfacibilidad y validez

Un problema SAT es: dada una F determinar si es satisfacible. Mientras que un problema TAUTes: dada F determinar si es tautologıa.

Las siguientes son relaciones entre satisfacibilidad y tautologicidad:

• F es tautologıa ⇔ ¬F es insatisfacible.

• F es tautologıa ⇒ F es satisfacible.

• F es satisfacible 6⇒ ¬F es insatisfacible.

Ejemplo 6

p→ q es satisfacible para I(p) = I(q) = 1

¬(p→ q) es satisfacible para I(p) = 1, I(q) = 0

21

2.3.5 Seleccion de tautologıas

1 F → F Ley de identidad2 F ∨ ¬F Ley del tercio excluido3 ¬(F ∧ ¬F ) Principio de no contradiccion4 (¬F → F )→ F Ley de Clavius5 ¬F → (F → G) Ley de Duns Scoto6 ((F → G)→ F )→ F Ley de Peirce7 (F → G) ∧ F → G Modus ponens8 (F → G) ∧ ¬G→ ¬F Modus tollens

2.3.6 Formulas equivalentes

Definicion

F y G son equivalentes si I(F ) = I(G) para toda interpretacion I

F ≡ G

Ejemplo 7

Ejemplos de equivalencias:

– Idempotencia: F ∨ F ≡ F ; F ∧ F ≡ F

– Conmutatividad: F ∨G ≡ G ∨ F ; F ∧G ≡ G ∧ F .

– Asociatividad: F ∨ (G ∨H) ≡ (F ∨G) ∨H; F ∧ (G ∧H) ≡ (F ∧G) ∧H

– Absorcion: F ∧ (F ∨G) ≡ F ; F ∨ (F ∧G) ≡ F

– Distributividad: F ∧ (G ∨H) ≡ (F ∧G) ∨ (F ∧H); F ∨ (G ∧H) ≡ (F ∨G) ∧ (F ∨H)

– Doble negacion: ¬¬F ≡ F

– Leyes de De Morgan: ¬(F ∧G) ≡ ¬F ∨ ¬G; ¬(F ∨G) ≡ ¬F ∧ ¬G– Leyes de tautologıas: Si F es una tautologıa, F ∧G ≡ G; F ∨G ≡ F

– Leyes de contradicciones: Si F es una contradiccion F ∧G ≡ F ; F ∨G ≡ G

� Propiedades de la equivalencia logica

– Relacion entre equivalencia y bicondiconal:

F ≡ G syss (si y solo si) |= F ↔ G

– Propiedades basicas de la equivalencia logica:

∗ Reflexiva: F ≡ F

∗ Simetrica: Si F ≡ G, entonces G ≡ F

∗ Transitiva: Si F ≡ G y G ≡ H, entonces F ≡ H

– Principio de sustitucion de formulas equivalentes:

Si en la formula F se sustituye una de sus subformulas G por una formula G′ logicamenteequivalente a G, entonces la formula obtenida, F ′, es logicamente equivalente a F .

Ejemplos:

∗ F = ¬(p ∧ q)→ ¬(p ∧ ¬¬r)

∗ G = ¬(p ∧ q)

∗ G′ = ¬p ∨ ¬q∗ F ′ = (¬p¬q)→ ¬(p ∧ ¬¬r)

22

2.3.7 Modelo de conjuntos de formulas

Definicion

S, S1, S2, . . . representaran conjuntos de formulas. I es modelo de S si para toda F ∈ S se tieneque I |= F .

I |= S

Ejemplo 8

Sea S = {(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r), q → r}

– La interpretacion I1 tal que I1(p) = 1, I1(q) = 0, I1(r) = 1 es modelo de S(I1 |= S).

{(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r), q → r}{(1 ∨ 0) ∧ (¬0 ∨ 1), 0→ 1}{1 ∧ (1 ∨ 1), 1}{1 ∧ 1, 1}{ 1, 1}

La interpretacion I2 tal que I2(p) = 0, I2(q) = 1, I1(r) = 0 no es modelo de S(I2 6|= S).

{(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r), q → r}{(0 ∨ 1) ∧ (¬1 ∨ 0), 1→ 0}{1 ∧ (0 ∨ 0), 0}{1 ∧ 0, 0}{ 0, 0}

2.3.8 Conjunto consistente de formulas

Definicion

S es consistente si S tiene algun modelo. Por otro lado, S es inconsistente si S no tiene ningunmodelo.

Ejemplo 9

De acuerdo con la siguiente tabla de verdad:

p q r (p ∨ q) (¬q ∨ r) (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r) p→ r ¬rI1 0 0 0 0 1 0 1 1I2 0 0 1 0 1 0 1 0I3 0 1 0 1 0 0 1 1I4 0 1 1 1 1 1 1 0I5 1 0 0 1 1 1 0 1I6 1 0 1 1 1 1 1 0I7 1 1 0 1 0 0 0 1I8 1 1 1 1 1 1 1 0

• {(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r), p→ r} es consistente con los modelos I4, I6, I8.

• {(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r), p→ r,¬r} es inconsistente.

23

2.3.9 Consecuencia logica

Definicion

F es consecuencia de S si todos los modelos de S son modelos de F

S |= F

Ejemplo 10

De acuerdo con la siguientes tablas de verdad, {p→ q, q → r} |= p→ r y {p} 6|= p ∧ q

p q r p→ q q → r p→ rI1 0 0 0 1 1 1I2 0 0 1 1 1 1I3 0 1 0 1 0 1I4 0 1 1 1 1 1I5 1 0 0 0 1 0I6 1 0 1 0 1 1I7 1 1 0 1 0 0I8 1 1 1 1 1 1

p q p ∧ q1 1 11 0 00 1 00 0 0

� Propiedades de la consecuencia

– Propiedades basicas de la relacion de consecuencia:

∗ Reflexividad: S |= S

∗ Monotonıa: Si S1 |= F y S1 ⊆ S2, entonces S2 |= F

∗ Transitividad: Si S |= F y {F} |= G, entonces S |= G

– Relacion entre consecuencia, validez, satisfacibilidad y consistencia. Las siguientes condicionesson equivalentes:

1. {F1, . . . , Fn} |= G

2. |= F1 ∧ · · · ∧ Fn → G

3. ¬(F1 ∧ · · · ∧ Fn →) es insatisfacible

4. {F − 1, . . . , Fn,¬G} es inconsistente

2.3.10 Argumentaciones y problemas logicos

El siguiente es un ejemplo de argumentacion:Problema de los animales. Se sabe que

• Los animales con pelo o que dan leche son mamıferos.

• Los mamıferos que tienen pezunas o que rumian son ungulados.

• Los ungulados de cuello largo son jirafas.

• Los ungulados con rayas negras son cebras.

Se observa un animal que tiene pelos, pezunas y rayas negras. Por consiguiente, se concluye que elanimal es una cebra.

El argumento se puede formalizar de la siguiente manera:Formalizacion

24

{ tiene pelos ∨ da leche → es mamıfero,

es mamıfero ∧ (tiene pezunas ∨ rumia) → es ungulado,

es ungulado ∧ tiene cuello largo → es jirafa,

es ungulado ∧ tiene rayas negras → es cebra,

tiene pelos ∧ tiene pezunas ∧ tiene rayas negras }|= es cebra

A continuacion se muestra un ejemplo de problemas logicos: Veraces y mentirosos. En una isla haydos tribus, la de los veraces (que siempre dicen la verdad) y la de los mentirosos (que siempre mienten).Un viajero se encuentra con tres islenos A, B y C y cada uno le dice una frase

• A dice ”B y C son veraces syss C es veraz”

• B dice ”Si A y C son veraces, entonces B y C son veraces y A es mentiroso”

• C dice ”B es mentiroso syss A o B es veraz”

Determinar a que tribu pertenecen A, B y C.Simbolizacion.

• a: ”A es veraz”, b: ”B es veraz”, c: ”C es veraz”.

Formalizacion.

• F1 = a↔ (b ∧ c↔ c), F2 = b↔ (a ∧ c→ b ∧ c ∧ ¬a) y F3 = c↔ (¬b↔ a ∨ b).

Modelos de F1, F2yF3

• Si I es modelo de {F1, F2, F3}, entonces I(a) = 1, I(b) = 1, I(c) = 0.

Conclusion: A y B son veraces y C es mentiroso.

3 Deduccion en logica proposicional

3.1 Reglas de deduccion

3.1.1 Reglas de la conjuncion

• Regla de introduccion de la conjuncion:

F GF ∧ G

∧i

• Reglas de eliminacion de la conjuncion:

F ∧ GF

∧e1F ∧ G

G∧e2

Ejemplo 1

p ∧ q, r ` q ∧ r :1. p ∧ q premisa2. r premisa3. q ∧e2 14. q ∧ r ∧i 2, 3

Adecuacion de las reglas de la conjuncion:

∧i : {F,G} |= F ∧G∧e1 : F ∧G |= F∧e2 : F ∧G |= G

25

3.1.2 Reglas de la doble negacion

• Regla de eliminacion de la doble negacion:

¬¬FF

¬¬e

• Regla de introduccion de la doble negacion:

F¬¬F ¬¬i

Ejemplo 2

p,¬¬(q ∧ r) ` ¬¬p ∧ r :1. p premisa2. ¬¬(q ∧ r) premisa3. ¬¬p ¬¬i 14. q ∧ r ¬¬e 25. r ∧e346. ¬¬p ∧ r ∧i 3, 5

Adecuacion de las reglas de la conjuncion:

¬¬e : {¬¬F} |= F¬¬i : {F} |= ¬¬F

3.1.3 Reglas de eliminacion del condicional

• Regla de eliminacion del condicional:

F F → GG

→ e

Ejemplo 3

¬p ∧ q,¬p ∧ q → r ∨ ¬p ` r ∨ ¬p :

1. ¬p ∧ q premisa2. ¬p ∧ q → r ∨ ¬p premisa3. r ∨ ¬p → e 1, 2

Ejemplo 4

p, p→ q, p→ (q → r) :1. p premisa2. p→ q premisa3. p→ (q → r) premisa4. q → e 1, 25. q → r → e 1, 36. r → e 4, 5

26

3.1.4 Regla derivada de modus tollens

• Regla derivada de modus tollens:F → F ¬G

¬F MT

Ejemplo 5

p→ (q → r), p,¬r ` ¬q :1. p→ (q → r) premisa2. p premisa3. ¬r premisa4. q → r → e 1, 25. ¬q MT 3, 4

Ejemplo 6

¬p→ q,¬q ` p :1. ¬p→ q premisa2. ¬q premisa3. ¬¬p MT 1, 2

3.1.5 Regla de introduccion del condicional

• Regla de introduccion del condicional:

F···G

F → G

→ i

Ejemplo 7

p→ q ` ¬q → ¬p :1. p→ q premisa2. ¬q supuesto3. ¬p MT 1, 24. ¬q → ¬p → i 2 - 3

Adecuacion de la regla de introduccion del condicional

Si F |= G, entonces |= F → G

Ejemplo 8

¬q → ¬p ` p→ ¬¬q :1. ¬q → ¬p premisa2. p supuesto3. ¬¬p ¬¬i 24. ¬¬q MT 1, 35. p→ ¬¬q → i 2 - 4

27

Ejemplo 9

(q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p→ r)):

1. q → r supuesto

2. ¬p→ ¬p supuesto3. p isupuesto4. ¬¬p ¬¬i 35. ¬¬q MT 2, 36. q ¬¬e 57. r → e 1, 68. p→ r → i 3 - 7

9. (¬q → ¬p)→ (p→ r) → i 2 - 8

10. (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p→ r)) → i 1 - 9

3.1.6 Reglas de la disyuncion

• Reglas de introduccion de la disyuncion

FF ∨G

∨ i1

GF ∨G

∨ i2

• Regla de eliminacion de la disyuncion:

F G· ·· ·· ·

F ∨G H H

H

∨ e

Ejemplo 10

q → r ` p ∨ q → p ∨ r :1. q → r premisa

2. p ∨ q supuesto

3. p supuesto4. p ∨ r ∨r1 3

5. q supuesto6. r → e 1, 57. p ∨ r ∨i2 6

8. p ∨ r ∨e 2, 3 - 4, 5 - 7

9. p ∨ q → p ∨ r → i 2 - 8

28

3.1.7 Reglas de la negacion

Extensiones de la logica para usar falso:

• Extension de la sintasis: ⊥ es una formula proposicional.

• Extension de la semantica: I(⊥) = 0 en cualquier interpretacion I.

Las siguientes son reglas de la negacion:

• Regla de eliminacion de lo falso:⊥F

⊥ e

• Regla de eliminacion de la negacion:F ¬F⊥ ¬e

Adecuacion de las reglas de la negacion:

– ⊥|= F

– {F,¬F} |=⊥

Ejemplo 11

¬p ∨ q ` p→ q :1. ¬p ∨ q premisa

2. p supuesto

3. ¬p supuesto4. ⊥ ¬e 2, 35. q ⊥ e 4

6. q supuesto

7. q ∨e 1, 3 - 5, 6 - 6

8. p→ q → i 2 - 7

• Regla de introduccion de la negacion:F···⊥¬F

¬i

Adecuacion : Si F |=⊥, entonces |= ¬F

Ejemplo 12

29

p→ q, p→ ¬q ⊥ ¬p :1. p→ q premisa2. p→ ¬q premisa

3. p supuesto4. q → e 1, 35. ¬q → e 2, 36. ⊥ ¬e 4, 5

7. ¬p ¬i 3 - 6

3.1.8 Regla del bicondicional

• Regla de introduccion del bicondicional:

F → G G→ FF ↔ G

↔ i

Ejemplo 13

p ∧ q ↔ q ∧ p :1. p ∧ q supuesto2. p ∧e1 13. q ∧e2 14. q ∧ p ∧i 2,3

5. p ∧ q → q ∧ p → i 1 - 4

6. q ∧ p supuesto7. q ∧e2 68. p ∧e1 69. p ∧ q ∧i 7, 8

10. q ∧ p→ p ∧ q → i 6 - 9

• Eliminacion del bicondicional:F ↔ GF → G

↔ e1

F ↔ GG→ F

↔ e2

Ejemplo 14

p ∧ q ↔ q ∧ p :1. p↔ q premisa2. p ∨ q premisa

3. p supuesto q supuesto4. p→ q ↔ e1 1 q → p → e215. q → q → e 4, 3 p → e 4’, 3’6. p ∧ q ∧i 3, 5 p ∧ q ∧i 3’, 5’

7. p ∧ q ∧e 2, 3 - 6-, 3’ - 5’

30

3.2 Reglas derivadas

3.2.1 Regla del modus tollens

• Regla derivada de modus tollens (MT):

F ↔ G ¬G¬F MT

Derivacion:1. F → G premisa2. ¬G premisa

3. F supuesto4. G → e 1,35. ⊥ ¬e 2 - 4

6. ¬F ¬i 2 - 4

3.2.2 Regla de introduccion de la doble negacion

• Regla de introduccion de la doble negacion:

F¬¬F ¬¬i

Derivacion:1. F premisa

2. ¬F supuesto3. ⊥ ¬e 1, 2

4. ¬¬F ¬i 2 - 3

3.2.3 Regla de reduccion al absurdo (RAA)

• Regla de reduccion al absurdo:¬F···⊥

F

RAA

Derivacion:1. ¬F →⊥ premisa

2. ¬F supuesto3. ⊥ → e 1, 2

4. ¬¬F ¬i 2 - 35. F ¬e ¬4

31

3.2.4 Ley del tercio exluido (LEM)

• Ley del tercio exluido (LEM):

F ∨ ¬F LEM

Derivacion:1. ¬(F ∨ ¬F ) supuesto

2. F supuesto3. F ∨ ¬F ∨i1 24. ⊥ ¬e 1, 3

5. ¬F ¬i 2 - 46. F ∨ ¬F ∨i2 57. ⊥ ¬e 1, 6

8. F ∨ ¬F RAA 1 - 7

Ejemplo 15

p→ q ` ¬p ∨ q :1. p→ q premisa2. p ∨ ¬p LEM

3. p supuesto4. q → e 1, 35. ¬p ∨ q ∨i2 4

6. ¬p supuesto7. ¬p ∨ q ∨i1 6

8. ¬p ∨ q ∨e 2, 3 - 5, 6 - 7

4 Sintaxis y semantica de primer orden

4.1 Representacion del conocimiento en logica de primer orden

4.1.1 Limitacion expresiva de la logica proposicional

Ejemplo 1

Si Sevilla es vecina de Cadiz, entonces Cadiz es vecina de Sevilla. Sevilla es vecina de Cadiz. Portanto, Cadiz es vecina de Sevilla

Representacion en logica proposicional:

{SvC → CvS, SvC} |= CvS

Ejemplo 1

32

Si una ciudad es vecina de otra, entonces la segunda es vecina de la primera. Sevilla es vecina deCadiz. Por tanto, Cadiz es vecina de Sevilla

Representacion en logica proposicional: Imposible

Representacion en logica de primer orden:

{∀x∀y[vecina(x, y)→ vecina(y, x)], vecina(Sevilla, Cadiz)} |= vecina(Cadiz, Sevilla)

4.1.2 Representacion del mundo de los bloques

Simbolizacion:

• sobre(x, y) se verifica si el bloque x esta colocado sobre el bloque y

• sobre mesa(x) se verifica si el bloque x esta sobre la mesa

Situacion del ejemplo: sobre(a, b), sobre(b, c), sobre mesa(c), sobre(d, e), sobre mesa(e)Definiciones:

• bajo(x, y) se verifica si el bloque x esta debajo del bloque y ∀x∀y[bajo(x, y)↔ sobre(y, x)]

• encima(x, y) se verifica si el bloque x esta encima del bloque y pudiendo haber otros bloques entreellos

∀x∀y[encima(x, y)↔ sobre(x, y) ∨ ∃z[sobre(x, z) ∧ encima(z, y)]]

• libre(x) se verifica si el bloque x no tiene bloques encima

∀x[libre(x)→ ¬∃ysobre(y, x)]

• pila(x, y, z) se verifica si el bloque x esta sobre el y , el y sobre el z y el z sobre la mesa

∀x∀y∀z[pila(x, y, z)↔ sobre(x, y) ∧ sobre(y, z) ∧ sobre mesa(z)]

� Propiedades: Si z, y, z es una pila entonces y no esta libre

∀x∀y∀z[pila(x, y, z)→ ¬libre(y)]

4.1.3 Representacion del mundo de los bloques con funciones e igualdad

• Simbolizacion:

– es bloque(x) se verifica si x es un bloque.

– superior(x) es el bloque que esta sobre el bloque x.

• Situacion del ejemplo:

– es bloque(a), es bloque(b), es bloque(c), es bloque(d), es bloque(e)

– superior(b) = a, superior(c) = b, superior(e) = d

• Definiciones:

33

– sobremesa(x) se verifica si el bloque x esta sobre la mesa

∀x[sobre mesa(x)↔ es bloque(x) ∧ ¬∃ysuperior(y) = x]

– libre(x) se verifica si el bloque x no tiene bloques encima

∀x[libre(x)→ ¬∃ysuperior(x) = y]

– tope(x) es el bloque libre que esta encima de x

∀x[(libre(x)→ tope(x) = x) ∧ (¬libre(x)→ tope(x) = tope(superior(x)))]

4.1.4 Representacion de conocimiento astronomico

• La Tierra es un planeta:planeta(Tierra)

• La Luna no es un planeta:¬planeta(Luna)

• La Luna es un satelite:satelite(Luna)

• La Tierra gira alrededor del Sol:gira(Tierra, Sol)

• Todo planeta es un satelite:∀x[planeta(x)→ satelite(x)]

• Todo planeta gira alrededor del Sol:

∀x[planeta(x)→ gira(x, Sol)]

• Algun planeta gira alrededor de la Luna:

∃x[planeta(x) ∧ gira(x, Luna)]

• Hay por lo menos un satelite:∃x satelite(x)

• Ningun planeta es un satelite:

¬∃x[planeta(x) ∧ satelite(x)]

• Ningun objeto celeste gira alrededor de sı mismo:

¬∃xgira(x, x)

• Alrededor de los satelites no giran objetos:

∀x[ satelite(x)→ ¬∃ygira(y, x)]

• Hay exactamente un satelite:

∃x[ satelite(x) ∧ ∀y[ satelite(y)→ x = y]]

• La Luna es un satelite de la Tierra:

satelite(Luna, T ierra)

• Todo planeta tiene un satelite:

∀x[planeta(x)→ ∃y satelite(y, x)]

34

4.2 Sintaxis de la logica de primer orden

4.2.1 Lenguaje de primer orden

Sımbolos logicos:

• Variables: x, y, z, . . . , x1, x2, . . . .

• Conectivas: ¬,∧,∨,→,↔.

• Cuantificadores: ∀,∃.

• Sımbolo de igualdad: =.

Sımbolos propios:

• Sımbolos de constantes: a, b, c, . . . , a1, a2, . . . .

• Sımbolos de predicado (con aridad): P,Q,R, . . . , P1, P2, . . . .

• Sımbolos de funcion (con aridad): f, g, h, . . . , f1, f2, . . . .

Sımbolos auxiliares: ”(”, ”)”, ”,”.Notacion:

• L,L1, L2, . . . representan lenguajes de primer orden.

• V ar representa el conjunto de las variables.

• Los sımbolos de predicados de aridad mayor que 1 se llaman de relaciones.

Ejemplo 2

Lenguaje del mundo de los bloques:

– Sımbolos de constantes: a, b, c, d, e

– Sımbolos de predicado (y de relacion):

∗ de aridad 1: sobre mesa, libre, es bloque

∗ de aridad 2: sobre, bajo, encima

∗ de aridad 3: pila

– Sımbolos de funcion (de aridad 1): superior, tope

Ejemplo 3

Lenguaje de la aritmetica:

– Sımbolos de constantes: 0, 1

– Sımbolos de funcion:

∗ monaria: s (siguiente)

∗ binarias: +, ·– Sımbolo de predicado binario: <

35

4.2.2 Terminos

Definicion

de termino de un lenguaje de primer orden L:

– Las variables son terminos de L.

– Las constantes de L son terminos de L.

– Si f es un sımbolo de funcion n–aria de L y t1, . . . , tn son terminos de L, entonces f(t1, . . . , tn)es un termino de L.

Ejemplo 4

• En el lenguaje de la aritmetica,

– +(·(x, 1), s(y)) es un termino, que se suele escribir como (x · 1) + s(y)

– +(·(x,<), s(y)) no es un termino

• En el lenguaje del mundo de los bloques,

– superior(superior(c)) es un termino.

– libre(superior(c)) no es un termino.

Notacion:

• s, t, t1, t2, . . . representan terminos.

• Term(L) representa el conjunto de los terminos de L.

4.2.3 Formulas atomicas

Definicion

de formula atomica de un lenguaje de primer orden L:

– Si t1 y t2 son terminos de L, entonces t1 = t2 es una formula atomica de L.

– Si P es un sımbolo de relacion n–aria de L y t1, . . . , tn son terminos de L, entonces P (t1, . . . , tn)es una formula atomica de L.

Ejemplo 5

• En el lenguaje de la aritmetica,

– < (·(x, 1), s(y)) es una formula atomica que se suele escribir como x · 1 < s(y)

– +(x, y) = ·(x, y) es una formula atomica que se suele escribir como x + y = x · y

• En el lenguaje del mundo de los bloques,

– libre(superior(c)) es una formula atomica.

– tope(c) = superior(b) es una formula atomica.

Notacion:

36

• A,B,A1, A2, . . . representan formulas atomicas.

• Atom(L) representa el conjunto de las formulas atomicas de L.

Definicion

Las formulas atomicas de L son formulas de L.

– Si F y G son formulas de L, entonces ¬F, (F ∧G), (F ∨G), (F → G) y (F ↔ G) son formulasde L.

– Si F es una formula de L, entonces ∀xF y ∃xF son formulas de L.

Ejemplo 6

• En el lenguaje de la aritmetica,

– ∀x∃y < (x, y) es una formula que se escribe como ∀x∃yx < y

– ∀x∃y + (x, y) no es una formula.

• En el lenguaje del mundo de los bloques,

– ∀x(tope(x) = x↔ libre(x)) es una formula.

Notacion:

• F,G,H, F1, F2, . . . representan formulas.

• Form(L) representa el conjunto de las formulas de L.

4.2.4 Subformulas

Definicion

El conjunto Subf(F ) de las subformulas de una formula F se define recursivamente por:

Subf(F ) =

{F}, si F es una formula atomica;

{F} ∪ Subf(G), Si F = ¬G;

{F} ∪ Subf(G) ∪ Subf(H), si F = G ∗H;

{F} ∪ Subf(G), si F = ∀xG;

{F} ∪ Subf(G), si F = ∃xG

Ejemplo 7

Subf(∀x(R(x, c)→ P (f(y)))) = {∀x(R(x, c)→ P (f(y))),(R(x, c)→ P (f(y))),

R(x, c),P (f(y))}

37

4.2.5 Criterios de reduccion de parentesis

• Pueden eliminarse los parentesis externos.

F ∧G es una abreviatura de (F ∧G)

• Precedencia de asociacion de conectivas y cuantificadores:

∀,∃,¬,∧,∨,→,↔∀xP (x)→ Q(x) es una abreviatura de (∀xP (x))→ Q(x)

• Cuando una conectiva se usa repetidamente, se asocia por la derecha.

F ∨G ∨H es una abreviatura de (F ∨ (G ∨H))F ∧G ∧H → ¬F ∨G es una abreviatura de ((F ∧ (G ∧H))→ (¬F ∨G)

• Los sımbolos binarios pueden escribirse en notacion infija.

x + y es una abreviatura de + (x, y)x < y es una abreviatura de < (x, y)

4.2.6 Conjuntos de variables

Definicion

El conjunto de las variables del termino t es

V (t) =

�, si t es una constante;

{x} si t es una variablex;

V (t1) ∪ · · · ∪ V (tn), si t esf(t1, . . . , tn)

Definicion

El conjunto de las variables de la formula F es

V (F ) =

V (t1) ∪ V (t2), si F es t1 = t2;

V (t1) ∪ · · · ∪ V (tn), si F es P (t1, . . . , tn);

V (G), si F es ¬G;

V (G) ∪ V (H), si F es G ∗H;

V (G), si F es ∀xG;

V (G), si F es ∃xG;

Ejemplo 8

• El conjunto de las variables de ∀x(R(x, c)→ P (f(y))) es {x, y}.

• El conjunto de las variables de ∀x(R(a, c)→ P (f(y))) es {y}.

38

4.2.7 Variables libres y ligadas

• La variable x es libre en F si tiene una aparicion libre en F .

• La variable x es ligada en F si tiene una aparicion ligada en F .

• El conjunto de las variables libres de una formula F es:

V L(F ) =

V (t1) ∪ V (t2), si F es t1 = t2;

V (t1) ∪ · · · ∪ V (tn), si F es P (t1, . . . , tn);

V L(G), si F es ¬G;

V L(G) ∪ V L(H), si F es G ∗H;

V L(G) {x}, si F es ∀xG;

V L(G) {x}, si F es ∃xG;

Ejemplo 9

Table 2: My caption

Formula Ligadas Libres∀x(P (x)→ R(x, y))→ (∃yP (y)→ R(x, z)) x, y x, y, z

∀x(P (x)→ ∃yR(x, y)) x, y∀z(P (x)→ R(x, y)) x, y

4.2.8 Formulas cerradas y abiertas

Definicion

Una formula cerrada (o sentencia) es una formula sin variables libres.

Ejemplo 10

• ∀x(P (x)→ ∃yR(x, y)) es cerrada.

• ∃xR(x, y) ∨ ∀yP (y) no es cerrada.

Definicion

Una formula abierta es una formula con variables libres.

Ejemplo 11

• ∀x(P (x)→ ∃yR(x, y)) no es abierta.

• ∀xR(x, y) ∨ ∀yP (y) es abierta.

39

4.3 Semantica de la logica de primer orden

4.3.1 Estructuras, asignaciones e interpretaciones

Una estructura del lenguaje L es un par I = (U, I) tal que:

• U es un conjunto no vacıo, denominado universo de la estructura;

• I es una funcion con dominio el conjunto de sımbolos propios de L tal que

– si c es una constante de L, entonces I(c) ∈ U ;

– si f es un sımbolo de funcion n–aria de L, entonces I(f) : Un → U ;

– si P es un sımbolo de relacion 0–aria de L, entonces I(P ) ∈ {1, 0};– si R es un sımbolo de relacion n–aria (n > 0) de L, entonces I(R) ⊆ Un ;

Una asignacion A en una estructura (U, I) es una funcion A : V ar → U que hace corresponder acada variable del alfabeto un elemento del universo de la estructura.

Una interpretacion de L es un par (I, A) formado por una estructura I de L y una asignacion Aen I.

Notacion: A veces se usa para los valores de verdad V y F en lugar de 1 y 0.

Ejemplo 12

Sea L el lenguaje de la aritmetica cuyos sımbolos propios son:

– constante: 0;

– sımbolo de funcion monaria: s;

– sımbolo de funcion binaria: + y

– sımbolo de relacion binaria: ≤

• Primera estructura de L:

– U1 = N– I1(0) = 0

– I1(s) = {(n, n + 1) : n ∈ N} (sucesor)

– I1(+) = {(a, b, a + b) : a, b ∈ N} (suma)

– I1(≤) = {(n,m) : n,m ∈ N, n ≤ m} (menor o igual)

• Segunda estructura de L:

– U2 = {0, 1}∗ (cadenas de 0 y 1)

– I2(0) = (cadena vacıa)

– I2(s) = {(w,w1) : w ∈ {0, 1}∗} (siguiente)

– I2(+) = {(w1, w2, w1w2) : w1, w2 ∈ {0, 1}∗} (concatenacion)

– I2(≤) = {(w1, w2) : w1, w2 ∈ {0, 1}∗, w1 es prefijo de w2} (prefijo)

• Tercera estructura de L:

– U3 = {abierto, cerrado}– I3(0) = cerrado

– I3(s) = {(abierto, cerrado), (cerrado, abierto)}– I3(+) = {(abierto, abierto, abierto), (abierto, cerrado, abierto), (cerrado, abierto, abierto), (cerrado, cerrado, cerrado)}– I3(≤) = {(abierto, abierto), (cerrado, abierto), (cerrado, cerrado)}

40

e I3(s)(e)abierto cerradocerrado abierto

I3(+) abierto cerradoabierto abierto abiertocerrado abierto cerrado

I3(≤) abierto cerradoabierto 1 0cerrado 1 1

4.3.2 Evaluacion de terminos

Definicion

Dada una estructura I = (U, I) de L y una asignacion A en I, se define la funcion de evaluacionde terminos IA : Term(L)→ U por

IA(t) =

I(c), si t es una constante c;

A(x), si t es una variable x

I(f)(IA(t1), . . . , IA(tn)), si t es f(t1, . . . , tn)

IA(t) se lee ”el valor de t en I respecto de A”.

Ejemplo 13

Sean L el lenguaje del Ejemplo 12, t el termino s(+(x, s(0))), I la primera estructura y A(x) = 3.

IA(t) = IA(s(+(x, s(0)))) = I(s)(IA(+(x, s(0)))) == I(s)(I(+)(IA(x), IA(s(0)))) = I(s)(I(+)(A(x), IA(s(0))))= I(s)(I(+)(3, I(s)(IA(0)))) = I(s)(I(+)(3, I(s)(I(0)))) == I(s)(I(+)(3, I(s)(0))) = I(s)(I(+)(3, 1)) == I(s)(4) = 5

4.3.3 Evaluacion de formulas

Definicion

Dada una estructura I = (U, I) de L y una asignacion A sobre I, se define la funcion de evalu-acion de formulas IA : Form(L)→ B por

Si F es t1 = t2, IA(F ) = H = (IA(t1), IA(t2))Si F es P (t1, . . . , tn), IA(F ) = HI(P )(IA(t1), . . . , IA(tn))

Si F es ¬G, IA(F ) = H¬(IA(G))Si F es G ∗H, IA(F ) = H ∗ (IA(G), IA(H))

Si F es ∀xG,

IA(F ) =

{1, Si para todo u ∈ U se tiene IA[x/u](G) = 1;

0, en caso contrario

41

Si F es ∃xG,

IA(F ) =

{1, Si para todo u ∈ U tal que IA[x/u](G) = 1;

0, en caso contrario

4.3.4 Conceptos auxilares para la evaluacion de formulas

La funcion de verdad de la igualdad en U es la funcion H= : U2 → B definida por

H=(u1, u2) =

{1, Si u1 = u2;

0, en caso contrario

Funcion de verdad de una relacion: Si R es una relacion n–aria en U (i.e. R ⊆ Un ), entonces lafuncion de verdad de R es la funcion HR : Un → B definida por

H=(u1, . . . , un) =

{1, Si (u1, . . . , un) ∈ R;

0, en caso contrario

Variante de una asignacion: Sea A una asignacion en la estructura (U, I) y u ∈ U . MedianteA[x/u] se representa la asignacion definida por

A[x/u](y) =

{u, Si y = x;

A(y), si y es distinta de x

Ejemplo 14

Evaluacion de ∀x∃yP (x, y) en la estructura I = (U, I) tal que U = {1, 2} e I(P ) = (1, 1), (2, 2)

IA(∀x∃yP (x, y)) = V ⇔ IA[x/1](∃yP (x, y)) = V yIA[x/2](∃yP (x, y)) = V

IA[x/1](∃yP (x, y)) = V ⇔ IA[x/1,y/1]P (x, y) = V oIA[x/1,y/2]P (x, y) = V

IA[x/1,y/1]P (x, y) = P I(1, 1) = VLuego, IA[x/1](∃yP (x, y)) = V.

IA[x/2](∃yP (x, y)) = V ⇔ IA[x/2,y/1]P (x, y) = V oIA[x/2,y/2]P (x, y) = V

IA[x/2,y/2]P (x, y) = P I(2, 2) = VLuego, IA[x/2](∃yP (x, y)) = V.

Por tanto, IA(∀x∃yP (x, y)) = V

4.3.5 Evaluacion y variables libres

Sea t un termino de L e I una estructura de L.

• Si A y B son dos asignaciones en I que coinciden sobre las variables de t, entonces IA(t) =mathcalIB(t).

• Si t no tiene variables, entonces IA(t) = IB(t) para cualesquiera asignaciones A y B en I. Se sueleescribir simplemente I(t).

Sea F una formula de L e I una estructura de L.

• Si A y B son dos asignaciones en I que coinciden sobre las variables libres de F , entonces IA(F ) =IB(F ).

• Si F es cerrada, entonces IA(F ) = IB(F ) para cualesquiera asignaciones A y B en I. Se sueleescribir simplemente I(F ).

42

4.3.6 Modelo de una formula

Sean F una formula de L e I una estructura de L.

• (I, A) es una realizacion de F si A es una asignacion en I tal que IA(F ) = 1. Se representa porIA |= F .

• I es un modelo de F si, para todo asignacion A en I, IA(F ) = 1. Se representa por I |= F .

Ejemplo 15

Sea I = (N, I) una estructura tal que I(f) = +eI(g) = ∗.

– Si A es una asignacion en I tal que A(x) = A(y) = 2. Entonces IA |= f(x, y) = g(x, y),

– Si B es una asignacion en I tal que B(x) = 1, B(y) = 2. Entonces IB |= f(x, y) = g(x, y),

– I |= f(x, y) = g(x, y)

– I |= f(x, y) = f(y, x)

4.3.7 Satisfacibilidad y validez

Definicion

Sea F una formula de L.

– F es valida si toda estructura de L es modelo de F , (i.e. para toda estructura I de L y todaasignacion A en I se tiene que IA(F ) = 1). Se representa por |= F .

– F es satisfacible si tiene alguna realizacion (i.e. existe alguna estructura I de L y algunaasignacion A en I tales que IA(F ) = 1).

– F es insatisfacible si no tiene ninguna realizacion (i.e. para toda estructura I de L y todaasignacion A en I se tiene que IA(F ) = 0).

Ejemplo 16

• ∃xP (x) ∨ ∀x¬P (x) es valida.

• ∃xP (x) ∧ ∃x¬P (x) es satisfacible, pero no es valida.

• ∀xP (x) ∧ ∃x¬P (x) es insatisfacible.

• F es valida syss ¬F es insatisfacible.

F es valida

⇔ para toda estructura I y toda asignacion A se tiene que IA(F ) = 1

⇔ para toda estructura I y toda asignacion A se tiene que IA(¬F ) = 0

⇔ ¬F es insatisfacible.

• Si F es valida, entonces F es satisfacible.

F es valida

⇒ para toda estructura I y toda asignacion A se tiene que IA(F ) = 1

⇒ existe una estructura I y una asignacion A tales que IA(F ) = 1

⇒ F es satisfacible.

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• F es satisfacible ⇒ ¬F es insatisfacible.

∀xP (x) y ¬∀xP (x) son satisfacibles.

• Sea F una formula de L y x1, . . . , xn las variables libres de F .

F es valida syss ∀x1 . . . ∀xnF es valida.

[∀x1 . . . ∀xnF es el cierre universal de F ].

F es satisfacible syss ∃x1 . . . ∃xnF es satisfacible.

[∃x1 . . . ∃xnF es el cierre existencial de F ].

4.3.8 Modelo de un conjunto de formulas

Notacion: S, S1, S2, . . . representaran conjuntos de formulas.

Definicion

Sean S un conjunto de formulas de L, I una estructura de L y A una asignacion en I.

– (I, A) es una realizacion de S si A es una asignacion en I tal que para toda F ∈ S se tieneque IA(F ) = 1. Se representa por

IA |= S

– I es un modelo de S si para toda F ∈ S se tiene que I |= F (i.e. para toda F ∈ S y todaasignacion A en I se tiene IA(F ) = 1). Se representa por I |= S.

Ejemplo 17

• Sea S = {∀yR(x, y),∀yf(x, y) = y}.

– (I, A) con I = (N, I), RI =≤, f I = +, A(x) = 0 es realizacion de S.

– (I, A) con I = (N, I), RI =<, f I = +, A(x) = 0 no es realizacion de S.

Ejemplo 18

• Sea S = {R(e, y), f(e, y) = y}.

– I = (N, I)conRI =≤, f I = +, eI = 0 es modelo de S.

– I = (N, I)conRI =<, f I = +, eI = 0 no es modelo de S.

4.3.9 Consistencia de un conjunto de formulas

Definicion

Sea S un conjunto de formulas de L.

– S es consistente si S tiene alguna realizacion (i.e. existe alguna estructura I de L y algunaasignacion A en I tales que, para toda F ∈ S, IA(F ) = 1).

– S es inconsistente si S no tiene ninguna realizacion (i.e. para toda estructura I de L y todaasignacion A en I, existe alguna F ∈ S, tal que IA(F ) = 0).

Ejemplo 19

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• S = {∀yR(x, y),∀yf(x, y) = y} es consistente. (I, A) con I = (N, I), RI =≤, f I = +, A(x) = 0 esrealizacion de S.

• S = {P (x)→ Q(x),∀yP (y),¬Q(x)} es inconsistente.

� Propiedad. Sea S un conjunto de formulas cerradas de L. Entonces S es consistente syss S tienealgun modelo.

4.3.10 Consecuencia logica

Definicion

Sean F una formula de L y S un conjunto de formulas de L. F es consecuencia logica de S si todaslas realizaciones de S lo son de F . (i.e. para toda estructura I de L y toda asignacion A en I, siIA |= S entonces IA |= F ). Se representa por S |= F .

– Se escribe G |= F en lugar de {G} |= F .

– Se escribe G 6|= F en lugar de {G} 6|= F .

Ejemplo 20

• ∀xP (x) |= P (y)

• P (y) 6|= ∀xP (x)

(I, A) con I = (U, I), U = 1, 2, P I = 1, A(y) = 1.

• {∀x(P (x)→ Q(x)), P (c)} |== Q(c)

• {∀x(P (x)→ Q(x)), Q(c)} 6|= P (c)

(I, A) con I = (U, I), U = 1, 2, cI = 1, P I = 2, QI = 1, 2.

• {∀x(P (x)→ Q(x)),¬Q(c)} |= ¬P (c)

• {P (c),¬P (d)} |= c 6= d

4.3.11 Consecuencia logica e inconsistencia

S |= FsyssS ∪ {¬F} es inconsistente.

S |= F

⇔ para toda estructura I de L y toda asignacion A en I, si, para todo G ∈ S, IA(G) = 1 entoncesIA(F ) = 1.

⇔ para toda estructura I de L y toda asignacion A en I, si, para todo G ∈ S, IA(G) = 1 entoncesIA(¬F ) = 0.

⇔ para toda estructura I de L y toda asignacion A en I, existe alguna H ∈ S ∪ {¬F} tal queIA(H) = 0.

⇔ S ∪ {¬F} es inconsistente.

Sean F una formula cerrada de L y S un conjunto de formulas cerradas de L. Entonces, son equiva-lentes

• F es consecuencia logica de S

• todos los modelos de S lo son de F .

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4.3.12 Equivalencia logica

Definicion

Sean F y G formulas de L. F y G son equivalentes si para toda estructura I de L y toda asignacionA en I, IA(F ) = IA(G). Se representa por F ≡ G.

Ejemplo 20

• P (x) ≡ P (y).

I = ({1, 2}, I) con P I = {1}yA(x) = 1, A(y) = 2.

• ∀xP (x) ≡ ∀yP (y).

• ∀x(P (x) ∧Q(x)) ≡ ∀xP (x) ∧ ∀xQ(x).

• ∃x(P (x) ∧Q(x)) ≡ ∃xP (x) ∧ ∃xQ(x).

I = ({1, 2}, I) con P I = {1} y QI = {2}.

� Propiedades basicas de la equivalencia logica :

– Reflexiva: F ≡ F

– Simetrica: Si F ≡ G, entonces G ≡ F

– Transitiva: Si F ≡ G y G ≡ H, entonces F ≡ H

• Principio de sustitucion de formulas equivalentes:

� Propiedad . Si en la formula F1 se sustituye una de sus subformulas G1 por una formula G2

logicamente equivalente a G1 , entonces la formula obtenida, F2 , es logicamente equivalentea F1 .

Ejemplo 21

• F1 = ∀xP (x)→ ∃xQ(x)

• G1 = ∀xP (x)

• G2 = ∀yP (y)

• F2 = ∀yP (y)→ ∃xQ(x)

5 Formas normales

5.1 Forma normal conjuntiva

5.1.1 Definicion de forma normal conjuntiva

Definicion

Un atomo es una variable proposicional (ejemplo: p, q, . . . ).

Definicion

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Un literal es un atomo o su negacion (ejemplo: p,¬p, q,¬q, . . . ).

Notacion: L,L1, L2, . . . representaran literales.

Definicion

Una formula esta en forma normal conjuntiva (FNC) si es una conjuncion de disyunciones deliterales; es decir, es de la forma (L1,1 ∨ · · · ∨ L1,n1

) ∧ · · · ∧ (Lm,1 ∨ · · · ∨ Lm,nm).

Ejemplo 1

• (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) esta en FNC.

• (¬p ∨ q) ∧ (q → p) no esta en FNC.

Definicion

Una formula G es una forma normal conjuntiva (FNC) de la formula F si G esta en forma normalconjuntiva y es equivalente a F .

Ejemplo 2

• Una FNC de ¬(p ∧ (q → r)) es (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬r).

5.2 Forma normal disyuntiva

5.2.1 Definicion de forma normal disyuntiva

Definicion

Una formula esta en forma normal disyuntiva (FND) si es una disyuncion de conjunciones deliterales; es decir, es de la forma

(L1,1 ∧ · · · ∧ L1,n1) ∨ · · · ∨ (Lm,1 ∧ · · · ∧ Lm,nm).

Ejemplo 7

• (¬p ∧ q) ∨ (¬q ∧ p) esta en FND.

• (¬p ∧ q) ∨ (q → p) no esta en FND.

Definicion

Una formula G es una forma normal disyuntiva (FND) de la formula F si G esta en forma normaldisyuntiva y es equivalente a F .

Ejemplo 8

Una FND de ¬(p ∧ (q → r)) es ¬p ∨ (q ∧ ¬r).

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Bibliografıa

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