MECÁNICA DE FLUIDOS

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Presión

La fuerza por unidad de área se denomina presión P del fluido y se mide en N/m2, unidad que se denomina PASCAL (Pa) pero no tiene dirección ni

sentido. Como a una superficie se puede representar por un vector

s y la

presión queda:

sd

Fd

s

FP Magnitud escalar

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA.

Como es fácilmente observable en la práctica, la presión del líquido en un lago u océano aumenta cuando aumenta la profundidad. De forma semejante

la presión de la atmósfera disminuye cuando aumenta la altitud (cabinas de aviones presurizadas).

En el caso de un líquido como el agua, que tiene una densidad constante

en todo su volumen, la presión aumenta linealmente con la profundidad. ( lo mismo pasa para todo otro líquido que tenga densidad constante en todo su

volumen)

S

gVol

S

gm

S

FP

***

Podemos ver esto en forma sencilla considerando una columna del líquido de altura h y de sección recta A que tiene un volumen elemental V, según

muestra la figura. La presión en la parte inferior de la columna debe ser mayor que la ejercida en la parte superior puesto que debe soportar el peso propio

de la columna.

La masa de la columna de líquido es el producto del volumen de la columna de líquido por su

densidad .

m = * V

El peso de la columna de líquido es:

P = m * g = * v * g

Pero el volumen es el producto del área de la base de la columna de

líquido por su altura, entonces:

V = A * h

Así que el peso de la columna de líquido queda:

ghAP ... (1)

h

Po

mg

P

A

s

ss

MECÁNICA DE FLUIDOS

Si Po e la presión en la parte superior y P es la presión en la parte

inferior, las fuerzas totales, de acuerdo a la definición de presión son:

F =P* A = fuerza hacia arriba F0.= Po * A = fuerza hacia abajo

Como el líquido está en equilibrio debe cumplirse que 0F .

F – F0 –P = 0

P*A – Po *A – P= 0

Así que la fuerza neta resultante (P*A – Po *A) debe ser igual al peso de

la columna de agua, teniendo en cuenta la expresión (1), queda:

P*A – Po *A = * A * h * g

La diferencia de presión entre las dos superficies es:

ghPP o ** Teorema general de la hidrostática.

“La diferencia de presión entre dos puntos de una masa líquida es igual al producto del peso específico )*( g del líquido por la distancia vertical

que separa ambos puntos”

La presión en la superficie más profunda es:

ghPP o **

El aumento de presión es función de h ya que y g son constantes.

Ejemplo: calcular la presión a una profundidad de 10 m, si en la superficie la presión es de 1 atm.

Solución:

Po = 1 atm =101 Kpa P = 101 Kpa+103kg/m3*10m*9,81N/Kg =101Kpa+9,81.104N/m2

= 103 Kg/m3

g = 9,81 N/Kg P = 101 Kpa+98,1Kpa = 199,1 Kpa 1,97 atm

La presión a 10 m de profundidad es casi el doble que en la superficie. El resultado de que la presión a una profundidad “h” sea mayor que la presión

existente en la superficie en una cantidad = ( * g * h) es válida para un líquido

en cualquier recipiente, independiente de la forma del mismo. Además, la presión es la misma en todos los puntos que se encuentran a la misma profundidad; así pues, si aumentamos Po presionando sobre la parte superior

con un émbolo, el aumento de la presión es el mismo en todo el seno del

líquido [principio de Pascal ].Si aplicamos una presión S

Fp será la presión

abajo hgpP

Principio de Pascal: “La presión aplicada a un líquido encerrado dentro de

un recipiente se transmite por igual a todos los puntos del líquido y a las

propias paredes del mismo”.

MECÁNICA DE FLUIDOS

(Blas Pascal : 1623-1662) Una aplicación común del principio de Pascal es la prensa hidráulica. Cuando se aplica una fuerza F1 al émbolo más pequeño, la presión en el líquido va aumentando en F1/A1; esa presión se transmite por el líquido y la fuerza ejercida por éste sobre el émbolo grande resulta ser el resultado de ese incremento de presión multiplicada por el área A2:

21 PP se transmite la presión a todo el

seno del líquido

2

2

1

1

A

F

A

F

1

212 .

A

AFF

Si A2 es A1 puede utilizarse una pequeña F1 para elevar un peso

considerable.

Otra aplicación es la siguiente: la presión solo depende de la profundidad; es decir; que para distintos recipientes con la misma altura, la presión es la

misma sin importar la forma del recipiente. Pareciera que la profundidad en el

recipiente mayor es más elevada y que en consecuencia, el agua deberá alcanzar mayor altura en el

recipiente pequeño. Este se conoce con el

nombre de PARADOJA HIDROSTÁTICA.

Aunque el agua contenida en el recipiente mayor pesa más que el agua contenida en el recipiente más pequeño, parte del peso es soportado por las

propias paredes del recipiente. Si coloco un peso en A de manera que

un tapón se ajuste en B; si coloco sucesivamente vasos de distintas formas pero con boquillas que ajustan

al tapón, se observa que el tapón salta al alcanzar el líquido en todos los

vasos, la misma altura. Por eso los baldes para agua tienen la forma de tronco de cono invertido, la presión en el fondo es equivalente a la que tendría de ser cilíndrico, pero contiene mayor

cantidad de líquido.

La presión que ejerce los líquidos en equilibrio sobre las paredes del recipiente son normales (perpendiculares) a las mismas.

F1 émbolo pequeño

émbolo grande

F2|

A1 A2

Prensa Hidráulica

“El agua alcanza siempre

la misma altura”

T T

A

B

T

T

MECÁNICA DE FLUIDOS

APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE PASCAL: MANÓMETRO DE TUBO

ABIERTO.

Para medir presiones desconocidas podemos utilizar el hecho de que la diferencia de presión es proporcional

a la profundidad.

La parte superior del tubo se encuentra abierta y por lo tanto, a la presión atmosférica (Pat). El otro extremo

del tubo se encuentra a la presión P que se quiere medir.

Aplicando el teorema fundamental de la hidrostática queda: P-Pat = ( * g *h) donde es la densidad del líquido que se utiliza en el

manómetro.

La diferencia entre la presión absoluta (P) y la

presión atmosférica (Pat) es la que denominamos PRESIÓN MANOMÉTRICA (es la que medimos en la cámara de un auto).

A partir de la presión manométrica se halla la presión absoluta sumándole a aquella, la presión atmosférica. hgP .. Presión manométrica

P = Pmanométrica + Pat t presión absoluta

PRESION ATMOSFÉRICA:

Para medirla se usa un barómetro de mercurio. La parte superior está cerrada y

sometida al vacío (P=0). En

el otro extremo está abierto y a presión atmosférica.

La presión viene dada por:

hgPatm donde es la

del mercurio.

FLOTACIÓN Y PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Si pesamos un objeto sumergido en agua suspendiéndolo de un dinamómetro, se obtiene un resultado inferior al que ofrece el mismo objeto

pesado en el aire; evidentemente el agua ejerce una fuerza hacia arriba que se opone al peso del cuerpo.

Cuanto más liviano sea el objeto cuyo peso se mide, (por ejemplo, corcho) más evidente es la fuerza que ejerce el agua.(esto se comprueba experimentalmente).

Pat

h

P

Patmabierto

cerrado

vacio (P=0)

h

MECÁNICA DE FLUIDOS

Cuando el corcho está sumergido completamente, experimenta una

fuerza hacia arriba ejercida por el agua (originada en la presión del agua) que es mayor que la fuerza ejercida por

el corcho hacia abajo (fuerza originada en el peso del corcho), de manera que el corcho acelera hacia

arriba, hacia la superficie, donde flota, parcialmente sumergido.

La fuerza ejercida por un fluido sobre un cuerpo sumergido se llama fuerza ascensional y depende de la

densidad del fluido y del volumen del cuerpo sumergido , pero no de su

composición y forma. Esa fuerza ascensional es igual en magnitud al peso del fluido desplazado por el cuerpo.

Principio de Arquímedes: “Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido

experimenta un empuje ascensional igual al peso del fluido desplazado”.

Si consideramos el principio impuesto por el Teorema General de la Hidrostática:

)..( ghppp o hgpp o .. si multiplicamos por la

superficie S, tenemos fuerzas:

aguadelpeso

abajohaciaarribafuerza

o

arribahaciaabajofuerza

ShgSpSp ...

La fuerza abajo vendría a ser el peso del cuerpo en el aire, la fuerza arriba

vendría a ser el peso del cuerpo que acusa el resorte

)( RF , y el peso del agua

desplazada es el módulo de la fuerza ascensional (B). Como la densidad específica de un cuerpo se obtiene cuando se compara la densidad del mismo

con la densidad del agua tenemos:

aguadevolumenigualdepeso

volconaireelencuerpodelpeso

P

P

gP

gP

m

m

vm

vmDr

o

)1(

/

/

/'

/

111

De acuerdo al Principio de Arquímedes, el peso de un mismo volumen

de agua es igual a la fuerza ascensional sobre el cuerpo cuando éste está parcial o totalmente sumergido; por consiguiente es igual a la perdida de peso

del cuerpo cuando se pesa sumergido en agua.

Densidad específica del cuerpo

aguaensumergidoestá

cuandopesodepérdida

aireelencuerpodelpesoDr

)( específicadensidadDr

cuerpodelpesopesodepérdida

B = F2 - F1

P

F1

F2

FR

P = peso del cuerpo FR = fuerza en el resorte F1 y F2 = fuerza ejercidas por el fluido

B = fuerza ascensional

Figura 19

MECÁNICA DE FLUIDOS

Cuéntese que el rey HIERON II tirano de Siracusa (Sicilia, Italia) que vivió

entre 265 y 215 AC le pidió a Arquímedes (que era un matemático y filósofo griego que vivió entre el 287 y 212 AC) que le averiguara si la corona fabricada

para él era toda de oro y eso sin provocarle el menor daño a la misma. Parece ser que cuando Arquímedes encontró la solución al problema se estaba bañando y salió a la calle desnudo y gritando EUREKA! (lo encontré).

La solución fue comparar la densidad específica de la corona con la densidad específica del material oro y así saber si la primera era de oro puro (si las

densidades eran iguales era de oro puro, obviamente) También podríamos deducir el Principio de Arquímedes a partir de las

leyes de Newton aunque éste las enunció 1900 años después. Observando que, cuando un fluido está en equilibrio

estático (una porción del fluido), la fuerza neta que actúa sobre ella debe ser nula.

El objeto sumergido se ha reemplazado por un volumen igual de

fluído. La fuerza ascensional es

12 FFB y es la misma que actuaba

sobre el cuerpo sumergido. Como este volumen de fluido está en equilibrio, la

fuerza neta que actúa sobre él debe ser nula, por lo tanto:

11 0 PBPB

Aquí, 1P es el peso del volumen de la porción de fluido igual al volumen del

cuerpo. Se observa que este resultado no depende de la forma del

objeto sumergido. Así que, si consideramos una porción cualquiera de forma irregular del

fluido, deberá existir una fuerza ascensional actuando sobre ella debido al fluido que lo rodea y que resulta ser igual al peso de dicha porción irregular.

A partir del Principio de Arquímedes puede saberse si un cuerpo flotará en un fluido comparando la fuerza ascensional con el peso del volumen de

fluido desalojado. Si tenemos un volumen V de un fluido cuya densidad es 1, La masa de este

volumen es: m = 1 . V

Su peso es: p = m . g

El peso del volumen de fluido queda: p1 = g . . V (1)

El peso del cuerpo también puede expresarse en función de la densidad

y de su volumen: pc = g . c .V (2) cuerpodeldensidadc :

porción del

fluido

P1

F2

F1

MECÁNICA DE FLUIDOS

Comparando (1) y (2) se observa que si c > entonces pc > p y el

cuerpo se hundirá; al revés, flotará en la superficie en equilibrio con una

fracción de su volumen sumergido de tal modo que se cumpla que el peso del fluido desplazado sea igual al peso del cuerpo.

VISCOSIDAD

Los fluidos no pueden considerarse siempre como perfectos debido a su

viscosidad. Se considera la lámina de fluido compuesta por infinitas capas

paralelas, y la experiencia muestra que los fluidos oponen resistencia a ser

deformados, es decir, a que cada lámina deslice sobre sus inmediatas, ya que

al moverse una porción de fluido respecto a otra se originan fuerzas

tangenciales que en algunos casos no pueden despreciarse. Se dice entonces

que el líquido es viscoso y el fenómeno se denomina viscosidad.

La viscosidad expresa la resistencia del líquido a dejarse cortar o

separar. Por ejemplo, un avión o un submarino se mueven con esfuerzo porque

han de deformar, respectivamente, el aire o el agua que los envuelve.

Viscosidad Dinámica

Se llama viscosidad dinámica o simplemente viscosidad (μ) de un fluido

a la resistencia que éste opone a su deformación, o dicho de otro modo, a que

las láminas de fluido deslicen entre sus inmediatas.

Para una misma deformación, distintos fluidos oponen resistencias

diferentes, es decir, la viscosidad es una propiedad de los mismos.

La figura representa un fluido en movimiento. La lámina de fluido en

contacto con el contorno sólido queda pegada a él y su velocidad relativa es

nula. A cierta distancia δ, otra lámina se mueve prácticamente con la velocidad

máxima. Las infinitas velocidades de las láminas intermedias varían entre

ambos valores extremos, existiendo deslizamiento de unas capas sobre otras.

MECÁNICA DE FLUIDOS

MECÁNICA DE FLUIDOS

El diagrama o perfil de velocidades, distinto en cada caso, es tal que, en

relación a la misma separación dy, la variación de velocidad entre dos capas próximas

al contorno deslizan más, es decir 𝑑𝑣

𝑑𝑦>

𝑑𝑣′

𝑑𝑦. Esta derivada, llamada gradiente de

velocidad, es máxima en la pered y nula a partir de la distancia δ del contorno.

Supongamos dos placas paralelas que contienen entre ellas una capa muy

delgada de líquido. Para que una placa se deslice sobre la otra, cortando o desgarrando

la lámina de líquido interpuesta, hay que aplicar una fuerza tangencial o esfuerzo

cortante (F) que es igual a la resistencia por unidad de superficie que aparece entre las

dos láminas deslizantes. El valor de esta fuerza es directamente proporcional a la

superficie de contacto (s) y al gradiente de velocidad (𝑑𝑣

𝑑𝑦) es decir:

𝐹 = 𝑠.𝑑𝑣

𝑑𝑦

El esfuerzo tangencial de rozamiento entre las capas (las cercanas a las paredes

no se mueven y conforme se alejan de ellas la velocidad aumenta) es directamente

proporcional a la diferencia de sus velocidades e inversamente proporcional a su

separación. También significa que fuera de la capa de espesor δ ele fluido se

comporta como no viscoso, ya que F será nula al serlo (𝑑𝑣

𝑑𝑦). Esta capa de espesor δ

fue descubierta por Ludwig Prandt (1875-1953) y se conoce como capa límite, pudiendo

medir desde unas pocas micras a varios centímetros, e incluso metros, según los casos.

El valor de la fuerza F es:

μ =𝐹

𝑠∗

𝑑𝑣

𝑑𝑦

Fórmula de Newton para la viscosidad

μ : viscosidad del líquido, coeficiente de viscosidad, viscosidad absoluta,

viscosidad dinámica.

s: superficie de cada una de las placas.

v : velocidad de una placa respecto a la otra

y : espesor de la lámina líquida

Si suponemos la lámina de líquido compuesta por infinitas capas paralelas,

resultará que si una placa está en reposo y la otra en movimiento, la capa de líquido

en contacto con la placa en reposo también lo estará, y la capa en contacto con la

capa en movimiento tendrá su mismo movimiento, y las capas intermedias tendrán

velocidades proporcionales a su distancia a la placa en reposo.

Sistema de unidades

MECÁNICA DE FLUIDOS

Sistema Internacional (SI)

N*s/m2, Pa*s ó kg/(m*s)

Sistema Tradicional de Estados Unidos

lb*s/pie2 o slug/(pie*s)

Sistema cgs (obsoleto)

poise = dina*s/cm2 = g/(cm*s) = 0.1 Pa*s

centipoise = poise/100 = 0.001 Pa*s = 1.0 mPa*s

Viscosidad Cinemática (v)

Se utiliza también el coeficiente de viscosidad cinemática (ν), definido como el

cociente entre la viscosidad absoluta (μ) y la densidad del líquido (ρ):

𝑣 =μ

ρ=

μ

γ ∗ 𝑔

El valor de la viscosidad es función de la temperatura, de forma que si aumenta

la temperatura disminuye la viscosidad. La tabla muestra el valor de la viscosidad

cinemática del agua a diferentes temperaturas.

Tabla, Viscosidad cinemática del agua (ν) a diferentes temperaturas (T)

T (ºC) ν (m2/s) T (ºC) ν (m2/s) 4 1.568⋅10-6

30 0.803⋅10-6

5 1.519⋅10-6 40 0.659⋅10-6 10 1.310⋅10-6 50 0.556⋅10-6 15 1.146⋅10-6 60 0.478⋅10-6 20 1.011⋅10-6

70 0.416⋅10-6

Para temperaturas comprendidas entre 10 y 40º C, la viscosidad cinemática

puede calcularse aproximadamente mediante la ecuación:

𝑣 =40

t+20∗ 10−6 ; con t (ºC) y ν (m2/s)

Para cálculo de riegos se consideran temperaturas comprendidas entre 15 y 20º C.

Sistema de Unidades:

Sistema Internacional (SI)

m2/s

Sistema Tradicional de Estados Unidos

pie2/s

Sistema cgs (obsoleto)

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stoke = cm2/s =1*10 -4 m2/s

centistoke = stoke/100 = 1*10-6 m2/s = 1 mm2/s

La medición de la viscosidad puede hacerse por métodos físicos ó industriales.

Los métodos físicos permiten obtener directamente los valores de la viscosidad dinámica, el más común es el viscosímetro torsional ó rotacional, en general consta de

dos cilindros concéntricos de radios contiguos poco diferentes de modo que permita colocar una delgada capa de la sustancia a ensayar. Este ensayo es a temperatura

constante.

El cilindro exterior puede girar independientemente, a la velocidad deseada. El

cilindro interior se suspende de un resorte ó de un hilo, calibrados a la torsión. Las

experiencias realizadas en cada sustancia, manteniendo la temperatura constante y

efectuadas con diferentes velocidades de rotación, señalan en el cuadrante los

correspondientes momentos de torsión.

CAVITACIÓN. Las moléculas de los líquidos se mueven en todas las direcciones y con todas las velocidades posibles. Solo las moléculas que posean una energía cinética mayor que las fuerzas de atracción podrán escapar desde el líquido produciéndose su evaporación.

Las moléculas escapadas quedan sobre la superficie libre del líquido y contribuyen a aumentar la presión del gas exterior con una presión parcial que se denomina tensión

de vapor o presión de vapor. En un líquido que se encuentra en un recipiente cerrado con espacio libre sobre su superficie, esta tensión de vapor irá aumentando hasta que el número de moléculas que entran en el líquido y su tensión de vapor, que se conoce

como tensión máxima de saturación (tms). La tensión máxima de saturación varía en función de la naturaleza del líquido y de la temperatura(a mayor temperatura mayor

tensión de vapor). Cuanto menor sea la presión absoluta a que está sometido un líquido menor será

la temperatura a la que se produce su vaporización, es decir, su temperatura de saturación, y viceversa: cuanto menor sea la temperatura del líquido menor será la

presión de vaporización. Por ejemplo, a la presión atmosférica normal (1 atm, 10 mca) el agua hierve a 100 °C, pero si se somete el agua a la presión absoluta de 0,01 atm (0,1mca), herviría a 7°C.

La tabla muestra los valores de la tensión del vapor del agua a distintas temperaturas. Tabla; Tensión de vapor del agua Pv/ϒ(mca-absoluta) en función a la temperatura (T).

T (°C) Pv/ϒ T (°C) Pv/ϒ

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0 0.062 40 0.753

4 0.083 50 1.258

10 0.125 60 2.033

20 0.239 80 4.831

30 0.433 100 10.333

Si en algún lugar de la conducción de la presión absoluta es menor que la tensión de vapor a esa temperatura, el líquido hierve. Si posteriormente la presión absoluta

aumenta hasta ser mayor que la tensión de vapor, el líquido se condensa. La sucesión continuada de estos dos fenómenos producen variaciones,

contracciones y golpeteos que producen la corrosión por cavitación, una de las mayores causas que avería las instalaciones de bombeo. Se aprecian las vibraciones en los

manómetros y los daños se producen donde el gas pasa a líquido, como si hubieran dado martillazos. La vena liquida disminuye al llevar una parte del gas, con lo que la sección disminuye a efectos prácticos, y con ella el caudal transportado.

PESO ESPECÍFICO.

El peso específico es la cantidad de peso por unidad de volumen de una sustancia.

Si se denota el peso específico con la letra

griega ω (omega), entonces:

𝜔 =𝑤

𝑉𝑜𝑙=

m ∗ g

𝑉𝑜𝑙

Donde: w = peso de la sustancia. Vol = volumen de la sustancia.

m =masa de la sustancia g = la aceleración de la gravedad.

Unidades.

Sistema Internacional.

La unidad de peso específico es el Kg/m3; es decir, el Kilogramo (Unidad de

fuerza y, por tanto, de peso) entre el m3 (Unidad de volumen).

Sistema Técnico.

Se emplean el kN/m3 kp/m3 y el kp/dm3.

Sistema Británico.

Se utilizaría la lb/pie3.

Se suele usar el peso específico relativo que es el cociente entre el peso específico del cuerpo y el peso específico de una sustancia que se toma como elemento

de referencia. Se suele usar como referencia el agua a 4ºC de temperatura. (los volúmenes considerados son iguales)

𝜔𝑟 = peso específico relativo =

C 4 a agua del

fluido

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Así que el peso específico relativo se puede definir como el cociente entre el peso P del cuerpo y el peso P’ de igual volumen de agua a 4ºC de

temperatura.

El peso específico relativo es un número abstracto y no depende de la latitud del lugar.

RELACIÓN ENTRE EL PESO ESPECÍFICO Y LA DENSIDAD.

El peso específico y la densidad son evidentemente magnitudes distintas como se ha podido comparar a través de las definiciones que se describieron antes, pero

entre ellas hay una íntima relación, que se va a describir a continuación.

Se recordará que el peso de un cuerpo es igual a su masa por la aceleración de la gravedad: 𝑤 = m* g

Pues bien, sustituyendo esta expresión en la definición del peso específico y

recordando que la densidad es la razón m/Vol, queda:

𝜔 =𝑤

𝑉𝑜𝑙=

𝑚 ∗ 𝑔

𝑉𝑜𝑙=

𝑚

𝑉𝑜𝑙∗ 𝑔 = 𝜌 ∗ 𝑔

El peso específico de una sustancia es igual a su densidad por la aceleración de la gravedad. Como hemos mencionado las unidades, la unidad clásica de densidad (g/cm3) tiene la ventaja de ser un número pequeño y fácil de utilizar. Lo mismo puede

decirse del kp/cm3 como unidad de peso específico, con la ventaja de que numéricamente, coincide la densidad expresada en g/cm3 con el peso específico

expresado en kp/dm3.

FUERZAS DE MASA Y DE SUPERFICIE. Si se aísla un volumen t cualquiera dentro de un medio continuo en movimiento, sobre

este actuarán fuerzas de masa y de superficie.

• Fuerzas de masa.

Se deben a las acciones exteriores, que se ejercen sobre la masa contenida en su volumen, por ejemplo: acción de las fuerzas gravitatorias. Se define como F y es por unidad de masa, con sus componentes X, Y, Z, con respecto a los ejes x,

y, z.

• Fuerzas de superficie.

Son las que actúan sobre las caras o la superficie Ω del volumen aislado, sometiéndolas a esfuerzos debido al medio circundante.

MECÁNICA DE FLUIDOS

MECÁNICA DE FLUIDOS

Se ve, de acuerdo a la figura, que la fuerza ∆P, tiene dos componentes, una

tangencial ∆Pt y una normal ∆Pn.

La distribución de la componente tangencial en la superficie Ω define el

esfuerzo de corte (τ):

τ = 𝑙í lim∆Ω → 0

∆𝐏𝑡

∆Ω =

d𝐏𝑡

dΩ

La distribución de la componente normal en la superficie define el esfuerzo

normal, es decir la presión:

P = 𝑙í lim∆Ω → 0

∆𝐏𝑢

∆Ω =

d𝐏𝑢

dΩ

En un fluido en reposo no hay acciones tangenciales y actúan solamente

las fuerzas normales a la superficie, es decir, las fuerzas de presión.