DEMOSTRACIÓN AXIOMÁTICA DE LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

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Lic. DENNIS RAÚL MUCHA MONTOYA 2009

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AXIOMAETIMOLOGÍA

Proviene del griego:αξιωμα (axioma), que significa "lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa "valorar“Que a su vez procede de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno". DEFINICIÓN ETIMOLÓGICA:Un axioma es aquello que parece ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba. DERMUM

Un axioma, en epistemología, es una "verdad evidente" que no requiere demostración, pues se justifica a sí misma, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos por medio de la deducción.

En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

AXIOMA

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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

La siguiente es una lista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizar completamente las propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, de aquí se pueden deducir las demás propiedades.

Los números reales son el conjunto R con dos operaciones binarias (+) y (x) el cual satisface los siguientes axiomas.

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AXIOMA 1: CERRADURA O CLAUSURA

Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que están también en R.

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AXIOMA 2: PROPIEDAD CONMUTATIVA (SUMA Y

MULTIPLICACIÓN)

Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a.

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AXIOMA 3: PROPIEDAD ASOCIATIVA (SUMA Y

MULTIPLICACIÓN)

Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c

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AXIOMA 4 :PROPIEDAD DISTRIBUTIVA.

Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac .

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AXIOMA 5: EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS.

R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los reales.

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AXIOMA 6: ELEMENTOS INVERSOS

Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1.

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Propiedades en R

Si a, b, y c son números reales entonces: 1. a+b = b+c => b = c; Ley de simplificación para la

suma.

2. (-a) es único; Posibilidad de la sustracción 3. -(-a) = a 4. -(a+b) = -a + (-b) 5. ab = ac, a ≠ 0 => b = c 6. −1 es único (−1)a = -a 7. a*0 = 0 8. (-a)b = a(-b) = -ab 9. (-a)(-b) = ab 10. ab = 0 => a=0 ó b=0

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Ejemplo Nº 01: Comprobar (-a)b = -ab usando los axiomas.

Demostración: (-a)b = (-a)b + 0 axioma 5 = (-a)b + [ab + (-ab)] axioma 6 = [(-a)b +ab] + (-ab) axioma 3 = [(-a)+a]b + (-ab) axioma 4 = 0.b + (-ab) axioma 6 = [0.b + 0] + (-ab) axioma 5 = {0.b + [ab+(-ab)]} + (-ab) axioma 6 = [(0.b + ab) + (-ab)] + (-ab) axioma 3 = [(0+a).b + (-ab)] + (-ab) axioma 4 = [ab + (-ab)] + (-ab) axioma 5 = 0 + (-ab) axioma 6 = (-ab) + 0 axioma 2 = -ab axioma 5

DEMOSTRACIÓN AXIOMÁTICA

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IMPORTANTE•Cada una de las propiedades algebraicas se podrían demostrar como el ejemplo:Sin embargo una demostración a partir de los axiomas sería demasiado extensa y repetitiva de muchas propiedades. •Por ejemplo si ya tuviéramos la propiedad de que a.0 = 0 nos ahorraríamos seis pasos en el procedimiento anterior. •En realidad es conveniente comprobar algunas propiedades básicas sencillas de justificar y utilizarlas para la demostración de otras más complicadas.

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Ejemplo 02: Demuestre: a+b = a+c => b = c

Demostración: Consideremos un elemento (-a) tal que; a + (-a) = 0 Según el axioma 6. Por lo tanto: a+b = a+c

=>(-a)+(a+b) = (-a)+(a+c) sustitución directa

(-a+a)+b = (-a+a)+c asociatividad 0+b = 0+c elemento inverso b = c elemento neutro

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Ejemplo 03: Demuestre (-a) es único

(Posibilidad de la sustracción)

Demostración: Sabemos que para a existe (-a) tal que a+(-a) = 0 Existe otro número b tal que: a + b = 0,

a+(-a) = a + b -a = b Ley de

cancelación DERMUM

Ejemplo 04: Demuestre que; a.0 = 0

Demostración. a.0 = a.(0+0) = a.0 + a.0 Elemento

neutro Propiedad distributiva

a.0 = a.0 + 0 Elemento neutro

a.0 + a.0 = a.0 + 0 a.0 = 0 Ley de cancelación.

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Ejemplo 05: Demuestre; (-a)b = a(-b) = -ab

Demostración: (-a)b = (-a)b + 0 Elemento neutro = (-a)b + [ab + (-ab)] Elemento inverso = [(-a)b +ab] + (-ab) Propiedad asociativa = [(-a)+a]b + (-ab) Propiedad distributiva = 0.b + (-ab) Elemento inverso = 0 + (-ab) Elemento neutro = -ab Elemento neutro

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Ejemplo 06: Compruebe; a/b + c/d = (ad+bd)/bd

Demostración: (ad + bc) / bd = (ad + bc) (bd) -1 = (ad+bc)b-1d-1 = adb-1d-1 +bcb-1d-1 = ab-1 + cd-1 = a/b + c/d

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TRABAJO GRUPAL

1. Demostrar las propiedades en R.

GRACIAAAASSSS.....

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