Propiedades Inerciales de los Cuerpos R´ıgidos.¡mica...Propiedades Inerciales de los Cuerpos...

Propiedades Inerciales de los Cuerpos Rıgidos.

Jose Marıa Rico Martınez

Departamento de Ingenierıa Mecanica.

Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.

Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.8 + 1.5

CP 36730, Salamanca, Gto., Mexico

E-mail: [email protected]

Alejandro Tadeo Chavez

Departamento de Ingenierıa Mecatronica.

Instituto Tecnologico Superior de Irapuato

Carretera Irapuato-Silao Km. 12.5

CP 36614, Irapuato, Gto., Mexico

E-mail: [email protected]

1 Introduccion.

Estas notas presentan la determinacion de las propiedades de los primeros momentos de masas, del centro de masas de uncuerpo rıgido, conocido tambien como baricentro o centro de gravedad y de los segundos momentos de masas, es decir deltensor de inercia.

2 Primeros Momentos de Masa, Centro de Masas.

Considere un cuerpo rıgido B y un punto arbitrario P . Entonces el primer momento de masas, ~QP , del cuerpo Brespecto al punto P se define como

~QP =

∫

B

~rM/P dm, (1)

donde la integral es con respecto a todas las partıculas del cuerpo rıgido B y el vector ~rM/P es el vector de posicion de unapartıcula arbitraria del cuerpo, localizada en el punto M , y esta dado por, vea la figura 1,

~rM/P = xi+ yj + zk,

por lo tanto, vea la figura 2,

~QP =

∫

B

~rM/P dm =

∫

B

(

xi+ yj + zk)

dm

=

∫

B

x dm i+

∫

B

y dm j +

∫

B

z dmk = QPx i+QPy j +QPz k, (2)

donde

QPx =

∫

B

x dm QPy =∫

By dm QPz =

∫

B

z dm, (3)

se denominan las componentes, x, y y z, del primer momento de masas del cuerpo B con respecto al punto P .

1

Figure 1: Primer Momento de Masas de un Cuerpo Rıgido B Respecto a un Punto P .

Figure 2: Componentes Cartesianas del Primer Momento de Masas de un Cuerpo Rıgido B Respecto a un Punto G.

Definicion: Centro de Masas. Considere un cuerpo rıgido B, un punto G del cuerpo rıgido B se denomina el centrode masas, baricentro o centro de gravedad si y solo si el primer momento de masas, ~QG, del cuerpo B respecto alpunto G es igual a ~0, es decir

~QG =

∫

B

~rM/G dm = ~0, (4)

o alternativamente

QGx =

∫

B

x dm = QGy =

∫

B

y dm = QGz =

∫

B

z dm = 0. (5)

A continuacion se mostrara como, a partir, del primer momento de masas de un cuerpo rıgido, respecto a un puntoarbitrario, P , es posible determinar la localizacion del centro de masas, G.

Ahora bien, considere otro punto P , entonces los primeros momentos de masas respecto a los puntos G y P estanrelacionados por

~QP =

∫

B

~rM/P dm =

∫

B

(

~rM/G + ~rG/P

)

dm =

∫

B

~rM/G dm+ ~rG/P

∫

B

dm = ~QG +M ~rG/P . (6)

sin embargo,~QG = ~0.

Por lo tanto~QP = M ~rG/P (7)

2

Finalmente

~rG/P =~QP

M(8)

Asi pues, el centro de masas G es el punto donde la masa del cuerpo debe concentrarse para calcular, con respecto a unpunto arbitrario, digamos P , los primeros momentos de masa.

3 Segundos Momentos de Masa, Tensor de Inercia.

Considere un cuerpo rıgido B y un punto arbitrario P . Entonces el vector de inercia, ~IP,na, del cuerpo B respecto

al punto P y en la direccion na se define como

~IP,na=

∫

B

~rM/P ×(

na × ~rM/P

)

dm, (9)

donde la integral es con respecto a todas las partıculas del cuerpo rıgido B, el vector na es un vector unitario y el vector~rM/P es el vector de posicion de una partıcula arbitraria del cuerpo, localizada en el punto M , vea la figura 3.

Figure 3: Determinacion del Vector de Inercia de un Cuerpo Rıgido B Respecto a un Punto P .

El escalar de inercia IP,na,nbdenominada el escalar de inercia del cuerpo rıgido B relativa al punto P en las

direcciones na y nb se define comoIP,na,nb

≡ ~IP,na· nb. (10)

A partir de las definiciones indicadas en las ecuaciones (9) y (10), se tiene que, empleando las propiedades del trpleproducto escalar,

IP,na,nb= ~IP,na

· nb =

[∫

B

~rM/P ×(

na × ~rM/P

)

dm

]

· nb

=

∫

B

[

~rM/P ×(

na × ~rM/P

)]

· nb dm =

∫

B

[

nb × ~rM/P

]

·(

na × ~rM/P

)

dm

=

∫

B

(

~rM/P × nb

)

·(

~rM/P × na

)

dm (11)

De manera semejante, de la ecuacion (11) se tiene que

IP,nb,na= ~IP,nb

· na =

[∫

B

~rM/P ×(

nb × ~rM/P

)

dm

]

· na

=

∫

B

[

~rM/P ×(

nb × ~rM/P

)]

· na dm =

∫

B

[

na × ~rM/P

]

·(

nb × ~rM/P

)

dm

=

∫

B

(

~rM/P × na

)

·(

~rM/P × nb

)

dm (12)

3

Las ecuaciones (11) y (12) indica que el escalar de inercia es simetrico respecto al orden de los vectores unitarios

na y nb. Si na 6= nb el escalar de inercia se denomina el producto de inercia del cuerpo B relativa al punto P en

las direcciones na y nb, si na = nb el escalar de inercia se denomina el segundo momento de masa o momento de

inercia del cuerpo B relativa al punto P en la direccion na o el momento de inercia del cuerpo B relativa al

punto P respecto a la lınea La definida por el punto P y la direccion dada por na. Estas definiciones no requieren que lasdirecciones dadas por na y nb sean perpendiculares. Sin embargo cuando las direcciones son perpendiculares, por ejemplo,aquellas dadas por los vectores unitarios i, j, k es posible encontrar terminos que son mas familiares a los interesados en lamecanica de los cuerpos rıgidos. Por ejemplo, si

~rM/P =

xyz

entonces, vea la figura 4,

Figure 4: Determinacion de las Componentes Cartesianas del Vector de Inercia de un Cuerpo Rıgido B Respecto a unPunto P .

~IP,i =

∫

B

~rM/P ×(

i× ~rM/P

)

dm =

Ii,iIi,jIi,k

=

IxxIxyIxz

=

∫

B(y2 + z2) dm

∫

B(−x y) dm

∫

B(−x z) dm

, (13)

~IP,j =

∫

B

~rM/P ×(

j × ~rM/P

)

dm =

Ij,iIj,jIj,k

=

IyxIyyIyz

=

∫

B(−y x) dm

∫

B(x2 + z2) dm

∫

B(−y z) dm

(14)

y

~IP,k =

∫

B

~rM/P ×(

k × ~rM/P

)

dm =

Ik,iIk,jIk,k

=

IzxIzyIzz

=

∫

B(−z x) dm

∫

B(−z y) dm

∫

B(x2 + y2) dm

(15)

De los resultados dados en las ecuaciones (13,14,15) se obtiene que la matriz o tensor de inercia que esta dado por1

IP =

Ixx Ixy IxzIyx Iyy IyzIzx Izy Izz

(16)

1Es importante notar que hay diferencias en la manera de representar la matriz de inercia. En algunos libros los productos de inercia estanprecedidos por un signo negativo; sin embargo, debe notarse que en esos libros los productos de inercia se definen como

Ixy = Iyx =

∫

B

(x y) dm Ixz = Izx =

∫

B

(x z) dm Iyz = Izy =

∫

B

(y z) dm.

4

Por el resultado indicado en la ecuacion (12), se sabe que la matriz es simetrica y todas las matrices simetricas tieneneigenvalores reales y los eigenvectores asociados son perpendiculares. Los eigenvalores se convierten en los ejes principalesde inercia y los eigenvectores se convierten en las direcciones principales de inercia. Las direcciones principales de inercia,asociados al tensor de inercia de un cuerpo rıgido, B, respecto a un punto arbitrario, P , se caracterizan por que los productosde inercia asociados a estas direcciones principales son todos 0. Es decir, si las direcciones principales asociados a un tensorde inercia IP son n1, n2 y n3, entonces

I′P =

In1 n1In1 n2

In1 n3

In2 n1In2 n2

In2 n3

In3 n1In3 n2

In3 n3

=

In1 n10 0

0 In2 n20

0 0 In3 n3

(17)

Los resultados dados de las ecuaciones (13,14,15) permiten calcular el vector de inercia, ~IP,nacon respecto a una direccion

arbitraria dada por na = naxi+ nay j + naz k, de acuerdo a la siguiente ecuacion

~IP,na=

∫

B

~rM/P ×[(

naxi+ nay j + naz k)

× ~rM/P

]

dm

= nax

∫

B

~rM/P ×(

i× ~rM/P

)

dm+ nay

∫

B

~rM/P ×(

j × ~rM/P

)

dm+ naz

∫

B

~rM/P ×(

k × ~rM/P

)

dm

= ~IP,inax + ~IP,jnay + ~IP,knaz = IP

nax

nay

naz

= IP na =

Ixx Ixy IxzIyx Iyy IyzIzx Izy Izz

nax

nay

naz

(18)

3.1 El Teorema de Ejes Paralelos o Teorema de Steiner.

En esta seccion se mostrara como el teorema de ejes paralelos, tambien conocido como teorema de Steiner, permite deter-minar los escalares de inercia asociados a dos diferentes puntos y respecto a direcciones paralelas. Considere dos puntos Py Q del cuerpo rıgido tal que por los dos puntos pasan direcciones na y nb paralelas entre si, vea la figura 5, entonces

Figure 5: El Teorema de Ejes Paralelos o Teorema de Steiner.

IP,na,nb=

∫

B

(

~rM/P × nb

)

·(

~rM/P × na

)

dm

=

∫

B

[(

~rQ/P + ~rM/Q

)

× nb

]

·[(

~rQ/P + ~rM/Q

)

× na

]

dm

=

∫

B

(

~rQ/P × nb

)

·(

~rQ/P × na

)

dm+

∫

B

(

~rQ/P × nb

)

·(

~rM/Q × na

)

dm

5

+

∫

B

(

~rM/Q × nb

)

·(

~rQ/P × na

)

dm+

∫

B

(

~rM/Q × nb

)

·(

~rM/Q × na

)

dm.

(19)

Puesto que ~rQ/P , na, nb son constantes respecto a la variable de integracion dm, las integrales de la ecuacion (19) puedenreducirse, de manera que

IP,na,nb=

(

~rQ/P × nb

)

·(

~rQ/P × na

)

∫

B

dm+(

~rQ/P × nb

)

·

(∫

B

~rM/Q dm× na

)

+

(∫

B

~rM/Q dm× nb

)

·(

~rQ/P × na

)

+

∫

B

(

~rM/Q × nb

)

·(

~rM/Q × na

)

dm.

=(

~rQ/P × nb

)

·(

~rQ/P × na

)

M +(

~rQ/P × nb

)

·(

~QQ × na

)

+(

~QQ × nb

)

·(

~rQ/P × na

)

+ IQ,na,nb(20)

Esta ecuacion, (20) permite determinar los escalares de inercia asociados a dos puntos diferentes pero cuyas direccionesson paralelas. Si el punto P es el centro de masas del cuerpo G, se tiene que

IG,na,nb=

(

~rQ/G × nb

)

·(

~rQ/G × na

)

M +(

~rQ/G × nb

)

·(

~QQ × na

)

+(

~QQ × nb

)

·(

~rQ/G × na

)

+ IQ,na,nb(21)

Sin embargo, el primer momento de masas ~QQ esta dado por

~QQ = M ~rG/Q = −M ~rQ/G,

por lo tanto

IG,na,nb=

(

~rQ/G × nb

)

·(

~rQ/G × na

)

M +(

~rQ/G × nb

)

·(

−M ~rQ/G × na

)

+(

−M ~rQ/G × nb

)

·(

~rQ/G × na

)

+ IQ,na,nb

= −M(

~rQ/G × nb

)

·(

~rQ/G × na

)

+ IQ,na,nb(22)

Por lo tanto, se tiene que

IQ,na,nb= IG,na,nb

+M(

~rQ/G × nb

)

·(

~rQ/G × na

)

(23)

En particular, si el punto P es el centro de masas del cuerpo G y na = nb, se tiene que la relacion entre los momentosde inercia del cuerpo con respecto al punto G, el centro de masas, y otro punto Q

IG,na,na=| ~rQ/G × na |2 M + 2

(

~rQ/G × na

)

·(

~QQ × na

)

+ IQ,na,na(24)

IG,na,na= | ~rQ/G × na |2 M + 2

(

~rQ/G × na

)

·(

−M ~rQ/G × na

)

+ IQ,na,na

= | ~rQ/G × na |2 M − 2 | ~rQ/G × na |2 M + IQ,na,na(25)

Por lo que, despues de sustituir ~QQ, se tiene finalmente

IQ,na,na= IG,na,na

+M | ~rQ/G × na |2 (26)

3.2 Radio de Giro de un cuerpo.

Dado un cuerpo rigido B, un punto P y una direccion arbitraria dada por el vector unitario na, es posible determinar elmomento de inercia del cuerpo B respecto del punto P y en la direccion dada por na; es decir, es posible calcular IP,na,na

.Bajo este marco de referencia, el radio de giro kP,na

del cuerpo B respecto del punto P en la direccion dada por na sedefine como la distancia a partir del puno P y perpendicular a na donde debe concentrarse la masa M del cuerpo B paraque IP,na,na

conserve el mismo valor; es decirMk2P,na

= IP,na,na

Finalmente

kP,na=

√

IP,na,na

M(27)

6

4 Ejemplos de Calculo de los Primeros Momentos de Masa y Segundos

Momentos de Inercia.

En estas notas, se presentan algunos ejemplos de calculo de los primeros momemtos de masa y de los segundos momentosde masa o momentos de inercia de cuerpos rıgidos y cuerpos compuestos.

Figure 6: Cuerpo Rıgido en Forma de un Paralelepipedo Rectangulo.

5 Primer Ejemplo de Calculo de los Primeros Momentos de Masa y Centro

de Masas de un Cuerpo Rıgido.

El primer ejemplo de calculo es un paralelepıpedo rectangulo de densidad uniforme y masa total, M , vea la figura 4. Elcentro de masas del cuerpo esta localizado en el punto O. La figura tambien muestra un punto P , ambos puntos O y Pestan localizados en un plano que se eleva, del plano inferior del cuerpo, una distancia igual a t/2.

En una primera instancia, considere el primer momento de masa del cuerpo respecto al punto O, de acuerdo con ladefinicion, se tiene que

~QO =

∫

B

~rM/O dm, (28)

donde la partıcula M es una partıcula arbitraria; ademas, puesto que la densidad es uniforme, la diferencial de masa estadada por

dm = ρ dx dy dz =M

bh tdx dy dz (29)

donde ρ es la densidad del cuerpo rıgido.Por lo tanto

~QO =

∫

B

~rM/O dm,=

∫

B

(

x i+ y j + z k) M

bh tdx dy dz

= i

∫

B

xM

bh tdx dy dz + j

∫

B

yM

bh tdx dy dz + k

∫

B

zM

bh tdx dy dz

=M

bh t

(

i

∫

B

x dx dy dz + j

∫

B

y dx dy dz + k

∫

B

z dx dy dz

)

7

=M

bh t

(

i

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

x dx dy dz + j

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

y dx dy dz

+k

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

z dx dy dz)

(30)

Realizando las integrales indicadas se tiene que~QO = ~0. (31)

La conclusion es que el punto O es el centro de masas del paralelepıpedo rectangulo de la Figura 4.Considere, en una segunda instancia, el primer momento de masas del cuerpo rıgido con respecto al punto P , entonces

se tiene que

~QP =

∫

B

~rM/P dm, (32)

Por lo tanto

~QP =

∫

B

~rM/P dm,=

∫

B

(

x i+ y j + z k) M

bh tdx dy dz

= i

∫

B

xM

bh tdx dy dz + j

∫

B

yM

bh tdx dy dz + k

∫

B

zM

bh tdx dy dz

=M

bh t

(

i

∫

B

x dx dy dz + j

∫

B

y dx dy dz + k

∫

B

z dx dy dz

)

=M

bh t

(

i

∫ t/2

−t/2

∫ h

0

∫ b

0

x dx dy dz + j

∫ t/2

−t/2

∫ h

0

∫ b

0

y dx dy dz

+k

∫ t/2

−t/2

∫ h

0

∫ b

0

z dx dy dz)

(33)

Realizando las integrales indicadas se tiene que

~QP =M b

2i+

M h

2j + 0k. (34)

A partir de este resultado, es posible verificar que el punto O es el centro de masas del cuerpo rıgido. De la ecuacion

~QP +M ~rP/O = ~0 o ~rP/O = −~QP

M(35)

~rO/P =~QP

M=

M b2i+ M h

2j + 0k

M=

b

2i+

h

2j + 0k (36)

Este resultado permite verificar que efectivamente, el punto O es el centro de masas del cuerpo rıgido.

6 Segundos Momentos de Masa, Tensor de Inercia.

Nuevamente, considere en una primera instancia los segundos momentos de masa del cuerpo rıgido B con respecto al centrode masas, punto O. Entonces se tiene que

~IO,i =

∫

B

~rM/O ×(

i× ~rM/O

)

dm =

Ii,iIi,jIi,k

=

IxxIxyIxz

=

∫

B(y2 + z2) dm

∫

B(−x y) dm

∫

B(−x z) dm

, (37)

~IO,j =

∫

B

~rM/O ×(

j × ~rM/O

)

dm =

Ij,iIj,jIj,k

=

IyxIyyIyz

=

∫

B(−y x) dm

∫

B(x2 + z2) dm

∫

B(−y z) dm

(38)

8

y

~IO,k =

∫

B

~rM/O ×(

k × ~rM/O

)

dm =

Ik,iIk,jIk,k

=

IzxIzyIzz

=

∫

B(−z x) dm

∫

B(−z y) dm

∫

B(x2 + y2) dm

(39)

Por lo tanto

~IO i =

∫

B

(

(y2 + z2) i− xy j − xz k) M

bh tdx dy dz

= i

∫

B

(y2 + z2)M

bh tdx dy dz + j

∫

B

(−xy)M

bh tdx dy dz + k

∫

B

(−xz)M

bh tdx dy dz

=M

bh t

[

i

∫

B

(y2 + z2) dx dy dz + j

∫

B

(−xy) dx dy dz + k

∫

B

−(xz) dx dy dz

]

=M

bh t

[

i

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

(y2 + z2) dx dy dz − j

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

xy dx dy dz

−k

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

xz dx dy dz]

=

1

12M(h2 + t2)

00

(40)

De manera semejante

~IO j =

∫

B

(

−xy i+ (x2 + z2) j − yz k) M

bh tdx dy dz

= i

∫

B

(−xy)M

bh tdx dy dz + j

∫

B

(x2 + y2)M

bh tdx dy dz + k

∫

B

(−yz)M

bh tdx dy dz

=M

bh t

[

i

∫

B

(−xy) dx dy dz + j

∫

B

(x2 + y2) dx dy dz + k

∫

B

−(yz) dx dy dz

]

= −M

bh t

[

i

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

xy dx dy dz + j

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

(x2 + z2) dx dy dz

−k

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

yz dx dy dz]

=

01

12M(b2 + t2)

0

(41)

y

~IO k =

∫

B

(

−xz i− yz j + (x2 + y2) k) M

bh tdx dy dz

= i

∫

B

(−xz)M

bh tdx dy dz + j

∫

B

(−yz)M

bh tdx dy dz + k

∫

B

(x2 + y2)M

bh tdx dy dz

=M

bh t

[

i

∫

B

(−xz) dx dy dz + j

∫

B

(−yz) dx dy dz + k

∫

B

(x2 + y2) dx dy dz

]

= −M

bh t

[

i

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

xz dx dy dz − j

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

yz dx dy dz

9

+k

∫ t/2

−t/2

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

(x2 + y2) dx dy dz]

=

00

1

12M(b2 + h2)

(42)

De los resultados dados en las ecuaciones (40,41,42) se obtiene que la matriz o tensor de inercia que esta dado por

IO =

1

12M(h2 + t2) 0 0

0 1

12M(b2 + t2) 0

0 0 1

12M(b2 + h2)

(43)

Puesto que los productos de inercia asociados a las direcciones X, Y y Z son todos 0, se concluye que las direccionesX, Y y Z son las direcciones principales del cuerpo rıgido B.

6.1 El Teorema de Ejes Paralelos o Teorema de Steiner.

Finalmente, para ejemplificar la aplicacion del teorema de ejes paralelos, se determinara el producto de inercia del cuerporıgido respecto al punto P y en la direccion de los ejes X y Y . Este resultado viene dado por

IPxy =

∫

B

(−xy)M

bh tdx dy dz = −

M

bh t

∫ t/2

−t/2

∫ h

0

∫ b

0

xy dx dy dz = −Mbh

4(44)

De la ecuacion 20, se sabe que

IP,na,nb=

(

~rQ/P × nb

)

·(

~rQ/P × na

)

M +(

~rQ/P × nb

)

·(

~QQ × na

)

+(

~QQ × nb

)

·(

~rQ/P × na

)

+ IQ,na,nb(45)

Esta ecuacion, (45) permite determinar los escalares de inercia asociados a dos puntos diferentes pero cuyas direcciones sonparalelas. En particular, si el punto Q es el centro de masas del cuerpo, usualmente denotado por O, se tiene que

~QQ = ~QG = ~0,

y la ecuacion (20), se reduce aIP,na,nb

=(

~rO/P × nb

)

·(

~rO/P × na

)

M + IO,na,nb(46)

La ecuacion (46) permite verificar el calculo del producto de inercia del cuerpo rıgido respecto al punto P y en ladireccion de los ejes X y Y . Sustituyendo, se tiene que

−Mbh

4= IPxy = IOxy +M

(

~rO/P × i)

·(

~rO/P × j)

= 0 +M

[(

b

2i+

h

2j

)

× i

]

·

[(

b

2i+

h

2j

)

× j

]

= M(−h

2k) · (

b

2k) = −

Mbh

4. (47)

De manera semejante, se tiene que el segundo momento de masa respecto al punto P , en la direccion del eje Z esta dadopor

IPzz =

∫

B

(x2 + y2)M

bh tdx dy dz =

∫ t/2

−t/2

∫ h

0

∫ b

0

(x2 + y2) dx dy dz =1

3M(b2 + h2) (48)

Si ademas, se tiene que na = nb, la ecuacion (46) se reduce a

IP,na,na=

(

~rO/P × na

)

·(

~rO/P × na

)

M + IO,na,na= IO,na,na

+ | ~rO/P × na |2 (49)

10

La ecuacion (49) permite verificar el calculo del momento de inercia del cuerpo rıgido respecto al punto P y en ladireccion del eje Z. Sustituyendo, se tiene que

1

3M(b2 + h2) = IPzz = IOzz +M | ~rO/P × k |2

=1

12M(b2 + h2) +M

∣

∣

∣

∣

(

b

2i+

h

2j

)

× k

∣

∣

∣

∣

2

=1

12M(b2 + h2) +M

∣

∣

∣

∣

(

−b

2j +

h

2i

)∣

∣

∣

∣

2

=1

12M(b2 + h2) +M

∣

∣

∣

∣

∣

√

b2

4+

h2

4

∣

∣

∣

∣

∣

2

=1

12M(b2 + h2) +

1

4M(b2 + h2) =

1

3M(b2 + h2) (50)

Estos resultados ejemplifican los calculos que pueden realizarse con los primeros y segundos momentos de masa.

Figure 7: Cilindro de Radio R y Altura H.

7 Segundo Ejemplo de Calculo de los Primeros Momentos de Masa y Cen-

tro de Masas de un Cuerpo Rıgido.

Considere el cilındro de densidad uniforme de radio R y altura H mostrado en la figura 6.1. Si la masa del cilindro es M ,la densidad uniforme del cilindro esta dada por

ρ =M

πR2 H

En este problema es conveniente emplear coordenadas cilındricas. En este tipo de coordenadas el elemento diferencialde volumen esta dado por

d V = r dθ dr dz

de manera que la diferencial de masa esta dada por

dm = ρ d V =M r

πR2 Hdθ dr dz

11

Primeramente calcularemos el primer momento de masa del cilindro con respecto al punto P localizado en el centrogeometrico de la base, circular, del cilindro.

Por lo tanto

~QP =

∫

B

~rM/P dm,=

∫

B

(

x i+ y j + z k) M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

xM r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

yM r

π R2 Hdθ dr dz + k

∫

B

zM r

π R2 Hdθ dr dz

=M

πR2 H

(

i

∫

B

r x dθ dr dz + j

∫

B

r y dθ dr dz + k

∫

B

r z dθ dr dz

)

=M

πR2 H

(

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r2 cosθ dθ dr dz + j

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r2 sinθ dθ dr dz

+k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r z dθ dr dz)

= 0 i+ 0 j +1

2M H k (51)

A continuacion calcularemos el primer momento de masa del cilindro con respecto al punto O localizado en el centrogeometrico de la seccion transversal, circular, del cilindro a la mitad de la altura del cilindro.

Por lo tanto

~QO =

∫

B

~rM/O dm,=

∫

B

(

x i+ y j + z k) M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

xM r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

yM r

π R2 Hdθ dr dz + k

∫

B

zM r

π R2 Hdθ dr dz

=M

πR2 H

(

i

∫

B

r x dθ dr dz + j

∫

B

r y dθ dr dz + k

∫

B

r z dθ dr dz

)

=M

πR2 H

(

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2

r2 sinθ dθ dr dz

+k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2

r z dθ dr dz)

= 0 i+ 0 j + 0 k = ~0 (52)

Este resultado verifica que el punto O es verdaderamente el centro de masas del cilindro. Del apunte “Cinetica delCuerpo Rıgido” verificaremos la relacion

~QP = M ~rO/P

Se sabe que

~rO/P = 0 i+ 0 j +H

2k

Por lo tanto

~QP = M ~rO/P = M

(

0 i+ 0 j +H

2k

)

=

(

0 i+ 0 j +MH

2k

)

Este resultado concuerda con los resultados obtenidos previamente.Nuevamente, considere en una primera instancia los segundos momentos de masa del cilindro, denominado B, con

respecto al punto P localizado en el centro geometrico de la base del cilindro y en las direcciones de los ejes X, Y y Zindicados en la figura 6.1. Entonces se tiene que

~IP,i =

∫

B

~rM/P ×(

i× ~rM/P

)

dm =

Ii,iIi,jIi,k

=

IxxIxyIxz

=

∫

B(y2 + z2) dm

∫

B(−x y) dm

∫

B(−x z) dm

, (53)

~IP,j =

∫

B

~rM/P ×(

j × ~rM/P

)

dm =

Ij,iIj,jIj,k

=

IyxIyyIyz

=

∫

B(−y x) dm

∫

B(x2 + z2) dm

∫

B(−y z) dm

(54)

12

y

~IP,k =

∫

B

~rM/P ×(

k × ~rM/P

)

dm =

Ik,iIk,jIk,k

=

IzxIzyIzz

=

∫

B(−z x) dm

∫

B(−z y) dm

∫

B(x2 + y2) dm

(55)

Por lo tanto, empleando coordenadas cilındricas, se tiene que

~IP i =

∫

B

(

(y2 + z2) i− xy j − xz k) M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(y2 + z2)M r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

(−xy)M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(−xz)M r

πR2 Hdθ dr dz

=M

πR2 H

[

i

∫

B

r (y2 + z2) dθ dr dz + j

∫

B

r (−xy) dθ dr dz + k

∫

B

−r (xz) dθ dr dz

]

=M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r[

r2 (sen θ)2 + z2]

dθ dr dz

−j

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r3 sen θ cos θ dθ dr dz − k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r2 cos θ z dθ dr dz]

=

1

12M(4H2 + 3R2)

00

(56)

De manera semejante

~IP j =

∫

B

(

−xy i+ (x2 + z2) j − yz k) M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(−xy)M r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

(x2 + y2)M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(−yz)M r

πR2 Hdθ dr dz

=M

πR2 H

[

i

∫

B

r (−xy) dθ dr dz + j

∫

B

r (x2 + y2) dθ dr dz + k

∫

B

−r (yz) dθ dr dz

]

=M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

−r3sen θ cos θ dθ dr dz + j

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r[

r2(cos θ)2 + z2]

dθ dr dz

−k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

−r2 sen θ z dθ dr dz]

=

01

12M(4H2 + 3R2)

0

(57)

y

~IP k =

∫

B

(

−xz i− yz j + (x2 + y2) k) M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(−xz)M r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

(−yz)M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(x2 + y2)M r

πR2 Hdθ dr dz

=M

πR2 H

[

i

∫

B

r(−xz) dθ dr dz + j

∫

B

r(−yz) dθ dr dz + k

∫

B

r(x2 + y2) dθ dr dz

]

= −M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r2 cos θ z dθ dr dz − j

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r2 sen θ z dθ dr dz

13

+k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r3[

(sen θ)2 + (cos θ)2]

dθ dr dz]

=

00

1

2M R2

(58)

De estos tres resultados parciales, vea las ecuaciones (56), (57) y (58) se tiene que el tensor de inercia del cilindrorespecto al punto P y los ejes X,Y, Z indicados en la figura 6.1, esta dado por

IP =

1

12M(4H2 + 3R2) 0 0

0 1

12M(4H2 + 3R2) 0

0 0 1

2M R2

(59)

A continuacion considere los segundos momentos de masa del cilindro, denominado B, con respecto al centro de masasdel cilindro O, que ya fue localizado en el centro geometrico de la seccion transversal, circular, localizada a la mitad de laaltura del cilindro. Entonces se tiene que

~IO,i =

∫

B

~rM/O ×(

i× ~rM/O

)

dm =

Ii,iIi,jIi,k

=

IxxIxyIxz

=

∫

B(y2 + z2) dm

∫

B(−x y) dm

∫

B(−x z) dm

, (60)

~IO,j =

∫

B

~rM/O ×(

j × ~rM/O

)

dm =

Ij,iIj,jIj,k

=

IyxIyyIyz

=

∫

B(−y x) dm

∫

B(x2 + z2) dm

∫

B(−y z) dm

(61)

y

~IO,k =

∫

B

~rM/O ×(

k × ~rM/O

)

dm =

Ik,iIk,jIk,k

=

IzxIzyIzz

=

∫

B(−z x) dm

∫

B(−z y) dm

∫

B(x2 + y2) dm

(62)


~IO i =

∫

B

(

(y2 + z2) i− xy j − xz k) M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(y2 + z2)M r

πR2 Hdxdy dz + j

∫

B

(−xy)M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(−xz)M r

πR2 Hdθ dr dz

=M

πR2 H

[

i

∫

B


∫

B


∫

B

−r (xz) dθ dr dz

]

=M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2

r[

r2 (sen θ)2 + z2]

dθ dr dz

−j

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2


=

1

12M(H2 + 3R2)

00

(63)

De manera semejante

~IO j =

∫

B

(

−xy i+ (x2 + z2) j − yz k) M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(−xy)M r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

(x2 + y2)M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(−yz)M r

πR2 Hdθ dr dz

14

=M

πR2 H

[

i

∫

B


∫

B


∫

B

−r (yz) dθ dr dz

]

=M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2

r[

r2(cos θ)2 + z2]

dθ dr dz

−k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2


=

01

12M(H2 + 3R2)

0

(64)

y

~IO k =

∫

B

(

−xz i− yz j + (x2 + y2) k) M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(−xz)M r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

(−yz)M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(x2 + y2)M r

πR2 Hdθ dr dz

=M

πR2 H

[

i

∫

B


∫

B


∫

B


]

= −M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2


+k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/2

−H/2

r3[


dθ dr dz]

=

00

1

2M R2

(65)

De estos tres resultados parciales, vea las ecuaciones (63), (64) y (65) se tiene que el tensor de inercia del cilindrorespecto al punto O y los ejes X,Y, Z indicados en la figura 6.1, esta dado por

IO =

1

12M(H2 + 3R2) 0 0

0 1

12M(H2 + 3R2) 0

0 0 1

2M R2

(66)

7.1 Segunda Aplicacion del Teorema de Ejes Paralelos o Teorema de Steiner.

Del apunte “Cinetica del Cuerpo Rıgido”, se sabe que

IP,na,nb=

(

~rQ/P × nb

)

·(

~rQ/P × na

)

M +(

~rQ/P × nb

)

·(

~QQ × na

)

+(

~QQ × nb

)

·(

~rQ/P × na

)

+ IQ,na,nb(67)

Esta ecuacion, (67) permite determinar los escalares de inercia asociados a dos puntos diferentes pero cuyas direcciones sonparalelas. En particular, si el punto Q es el centro de masas del cuerpo, denotado por O, se tiene que

~QQ = ~QO = ~0,


=(

~rO/P × nb

)

·(

~rO/P × na

)

M + IO,na,nb(68)

15


0 = IPxy = IOxy +M(

~rO/P × i)

·(

~rO/P × j)

= 0 +M

(

H

2j × i

)

·

(

H

2j × j

)

= M(−H

2k) ·~0 = 0. (69)

De manera semejante, se tiene que el segundo momento de masa respecto al punto P , en la direccion del eje Z esta dadopor, vea la ecuacion (58),

IPzz =1

2M R2 (70)

Si ademas, se tiene que na = nb, la ecuacion (46) se reduce a

IP,na,na=

(

~rO/P × na

)

·(

~rO/P × na

)

M + IO,na,na= IO,na,na

+ | ~rO/P × na |2 (71)

La ecuacion (71) permite verificar el calculo del momento de inercia del cuerpo rıgido respecto al punto P y en ladireccion del los eje X. Sustituyendo, se tiene que

1

2M R2 = IPzz = IOzz +M | ~rO/P × k |2=

1

2M R2 +M

∣

∣

∣

∣

(

H

2k

)

× k

∣

∣

∣

∣

2

=1

2M R2 +M

∣

∣

∣

~0∣

∣

∣

2

=1

2M R2 (72)

Como un ultimo ejemplo, considere el momento de inercia del cilindro con respecto al punto P y con respecto al eje X,entonces se tiene de la misma ecuacion (71), que

1

12M(4H2 + 3R2) = IPxx = IOxx +M | ~rO/P × i |2=

1

12M(H2 + 3R2) +M

∣

∣

∣

∣

(

H

2k

)

× i

∣

∣

∣

∣

2

=1

12M(H2 + 3R2) +M

∣

∣

∣

∣

H

2j

∣

∣

∣

∣

2

=1

12M(H2 + 3R2) +

1

4M H2 =

1

12M(4H2 + 3R2) (73)

8 Tercer Ejemplo de Calculo de los Primeros Momentos de Masa y Centro

de Masas de un Cuerpo Rıgido.

Considere el cono de densidad uniforme de radio R y altura H mostrado en la figura 8. Si la masa del cilindro es M , ladensidad uniforme del cilindro esta dada por

ρ =3M

πR2 H

En este problema es tambien conveniente emplear coordenadas cilındricas. En este tipo de coordenadas el elementodiferencial de volumen esta dado por

d V = r dθ dr dz

de manera que la diferencial de masa esta dada por

dm = ρ d V =3M r

πR2 Hdθ dr dz

Primeramente calcularemos el primer momento de masa del cilindro con respecto al vertice P del cono.

16

Figure 8: Cono de Radio R y Altura H.

Por lo tanto

~QP =

∫

B

~rM/P dm,=

∫

B

(

x i+ y j + z k) M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

x3M r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

y3M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

z3M r

πR2 Hdθ dr dz

=3M

πR2 H

(

i

∫

B

r x dθ dr dz + j

∫

B

r y dθ dr dz + k

∫

B

r z dθ dr dz

)

=3M

πR2 H

(

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r2 sinθ dθ dr dz

+k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r z dθ dr dz)

= 0 i+ 0 j +3

4M H k (74)

A continuacion, determinaremos la localizacion del centro de masas G del cono, a partir de la ecuacion

~QP = M ~rG/P

Por lo tanto

~rG/P =~QP

M=

0 i+ 0 j + 3

4M H k

M=

3

4H k

La localizacion del centro de masas G se ilustra en la Figura 8.Ahora, calcularemos el primer momento de masa del cilindro con respecto al punto G.Por lo tanto

~QG =

∫

B

~rM/O dm,=

∫

B

(

x i+ y j + z k) 3M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

x3M r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

y3M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

z3M r

πR2 Hdθ dr dz

=3M

πR2 H

(

i

∫

B

r x dθ dr dz + j

∫

B

r y dθ dr dz + k

∫

B

r z dθ dr dz

)

=M

πR2 H

(

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4

r2 sinθ dθ dr dz

17

+k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4

r z dθ dr dz)

= 0 i+ 0 j + 0 k = ~0 (75)

Este resultado verifica que el punto G es verdaderamente el centro de masas del cilindro. Este resultado concuerda conlos resultados obtenidos previamente.

Nuevamente, considere en una primera instancia los segundos momentos de masa del cilindro, denominado B, conrespecto al vertice P en las direcciones de los ejes X, Y y Z indicados en la figura 8. Entonces se tiene que

~IP,i =

∫

B

~rM/P ×(

i× ~rM/P

)

dm =

Ii,iIi,jIi,k

=

IxxIxyIxz

=

∫

B(y2 + z2) dm

∫

B(−x y) dm

∫

B(−x z) dm

, (76)

~IP,j =

∫

B

~rM/P ×(

j × ~rM/P

)

dm =

Ij,iIj,jIj,k

=

IyxIyyIyz

=

∫

B(−y x) dm

∫

B(x2 + z2) dm

∫

B(−y z) dm

(77)

y

~IP,k =

∫

B

~rM/P ×(

k × ~rM/P

)

dm =

Ik,iIk,jIk,k

=

IzxIzyIzz

=

∫

B(−z x) dm

∫

B(−z y) dm

∫

B(x2 + y2) dm

(78)


~IP i =

∫

B

(

(y2 + z2) i− xy j − xz k) 3M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(y2 + z2)3M r

πR2 Hdxdy dz + j

∫

B

(−xy)3M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(−xz)3M r

πR2 Hdθ dr dz

=3M

πR2 H

[

i

∫

B


∫

B


∫

B

−r (xz) dθ dr dz

]

=3M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r[

r2 (sen θ)2 + z2]

dθ dr dz

−j

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0


=

3

20M(4H2 +R2)

00

(79)

De manera semejante

~IP j =

∫

B

(

−xy i+ (x2 + z2) j − yz k) 3M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(−xy)3M r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

(x2 + y2)3M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(−yz)3M r

πR2 Hdθ dr dz

=3M

πR2 H

[

i

∫

B


∫

B


∫

B

−r (yz) dθ dr dz

]

=3M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r[

r2(cos θ)2 + z2]

dθ dr dz

−k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0


=

03

20M(4H2 +R2)

0

(80)

18

y

~IP k =

∫

B

(

−xz i− yz j + (x2 + y2) k) 3M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(−xz)3M r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

(−yz)3M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(x2 + y2)3M r

πR2 Hdθ dr dz

=3M

πR2 H

[

i

∫

B


∫

B


∫

B


]

= −3M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0


+k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H

0

r3[


dθ dr dz]

=

00

3

10M R2

(81)

De estos tres resultados parciales, vea las ecuaciones (79), (80) y (81) se tiene que el tensor de inercia del cilindrorespecto al punto P y los ejes X,Y, Z indicados en la figura 6.1, esta dado por

IP =

3

20M(4H2 +R2) 0 0

0 3

20M(4H2 +R2) 0

0 0 3

10M R2

(82)

A continuacion considere los segundos momentos de masa del cilindro, denominado B, con respecto al centro de masasdel cilindro G, que ya fue localizado a lo largo del eje Z a una distancia igual a 3H

4del vertice del cono. Entonces se tiene

que

~IG,i =

∫

B

~rM/G ×(

i× ~rM/G

)

dm =

Ii,iIi,jIi,k

=

IxxIxyIxz

=

∫

B(y2 + z2) dm

∫

B(−x y) dm

∫

B(−x z) dm

, (83)

~IG,j =

∫

B

~rM/G ×(

j × ~rM/G

)

dm =

Ij,iIj,jIj,k

=

IyxIyyIyz

=

∫

B(−y x) dm

∫

B(x2 + z2) dm

∫

B(−y z) dm

(84)

y

~IG,k =

∫

B

~rM/G ×(

k × ~rM/G

)

dm =

Ik,iIk,jIk,k

=

IzxIzyIzz

=

∫

B(−z x) dm

∫

B(−z y) dm

∫

B(x2 + y2) dm

(85)


~IG i =

∫

B

(

(y2 + z2) i− xy j − xz k) 3M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(y2 + z2)3M r

πR2 Hdxdy dz + j

∫

B

(−xy)3M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(−xz)3M r

πR2 Hdθ dr dz

=3M

πR2 H

[

i

∫

B


∫

B


∫

B

−r (xz) dθ dr dz

]

=3M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4

r[

r2 (sen θ)2 + z2]

dθ dr dz

19

−j

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4


=

3

80M(H2 + 4R2)

00

(86)

De manera semejante

~IG j =

∫

B

(

−xy i+ (x2 + z2) j − yz k) 3M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(−xy)3M r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

(x2 + y2)3M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(−yz)3M r

πR2 Hdθ dr dz

=3M

πR2 H

[

i

∫

B


∫

B


∫

B

−r (yz) dθ dr dz

]

=3M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4

r[

r2(cos θ)2 + z2]

dθ dr dz

−k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4


=

03

80M(H2 + 4R2)

0

(87)

y

~IG k =

∫

B

(

−xz i− yz j + (x2 + y2) k) 3M r

πR2 Hdθ dr dz

= i

∫

B

(−xz)3M r

πR2 Hdθ dr dz + j

∫

B

(−yz)3M r

πR2 Hdθ dr dz + k

∫

B

(x2 + y2)3M r

πR2 Hdθ dr dz

=3M

πR2 H

[

i

∫

B


∫

B


∫

B


]

= −3M

πR2 H

[

i

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4


∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4


+k

∫ π

−π

∫ R

0

∫ H/4

−3H/4

r3[


dθ dr dz]

=

00

3

10M R2

(88)

De estos tres resultados parciales, vea las ecuaciones (86), (87) y (88) se tiene que el tensor de inercia del cilindrorespecto al centro de masas G y los ejes X,Y, Z indicados en la figura 8, esta dado por

IG =

3

80M(H2 + 4R2) 0 0

0 3

80M(H2 + 4R2) 0

0 0 3

10M R2

(89)

8.1 Segunda Aplicacion del Teorema de Ejes Paralelos o Teorema de Steiner.

Del apunte “Cinetica del Cuerpo Rıgido”, se sabe que

20

IP,na,nb=

(

~rQ/P × nb

)

·(

~rQ/P × na

)

M +(

~rQ/P × nb

)

·(

~QQ × na

)

+(

~QQ × nb

)

·(

~rQ/P × na

)

+ IQ,na,nb(90)

Esta ecuacion, (67) permite determinar los escalares de inercia asociados a dos puntos diferentes pero cuyas direcciones sonparalelas. En particular, si el punto Q es el centro de masas del cuerpo, denotado por G, se tiene que

~QG = ~QO = ~0,


=(

~rG/P × nb

)

·(

~rG/P × na

)

M + IG,na,nb(91)


0 = IPxy = IGxy +M(

~rG/P × i)

·(

~rG/P × j)

= 0 +M

(

3H

4k × i

)

·

(

3H

4k × j

)

= M(3H

4j) · (−

3H

4i) = 0. (92)

De manera semejante, se tiene que el segundo momento de masa respecto al punto P , en la direccion del eje Z esta dadopor, vea la ecuacion (81),

IPzz =3

10M R2 (93)

Si ademas, se tiene que na = nb y O = G, la ecuacion (46) se reduce a

IP,na,na=

(

~rG/P × na

)

·(

~rG/P × na

)

M + IG,na,na= IG,na,na

+ | ~rG/P × na |2 (94)

La ecuacion (71) permite verificar el calculo del momento de inercia del cuerpo rıgido respecto al punto P y en ladireccion del los eje X. Sustituyendo, se tiene que

3

10M R2 = IPzz = IGzz +M | ~rG/P × k |2=

3

10M R2 +M

∣

∣

∣

∣

(

3H

4k

)

× k

∣

∣

∣

∣

2

=3

10M R2 +M

∣

∣

∣

~0∣

∣

∣

2

=3

10M R2 (95)

Como un ultimo ejemplo, considere el momento de inercia del cilindro con respecto al punto P y con respecto al eje X,entonces se tiene de la misma ecuacion (71), que

3

20M(4H2 +R2) = IPxx = IGxx +M | ~rG/P × i |2=

3

80M(H2 + 4R2) +M

∣

∣

∣

∣

(

3H

4k

)

× i

∣

∣

∣

∣

2

=3

80M(H2 + 4R2) +M

∣

∣

∣

∣

3H

4j

∣

∣

∣

∣

2

=3

80M(H2 + 4R2) +

9

16M H2

=1

80M(3H2 + 12R2 + 45H2) =

1

80M(48H2 + 12R2)

=1

20M(12H2 + 3R2) =

3

20M(4H2 + R2) (96)

Estos resultados ejemplifican los calculos que pueden realizarse con los primeros y segundos momentos de masa.

21

9 Ejemplo de Calculo de los Primeros Momentos de Masa y Centro de

Masas de un Cuerpo Rıgido Compuesto.

Considere el cuerpo rıgido formado por una barra delgada de longitud l y masa m unido rigidamente al disco de radio ry masa M mostrado en la figura 6.1, suponga que los cuerpos son homogeneos. Determine la localizacion de su centro demasas y el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje perpendicular al plano del papel, en la direccion del eje Z, yque pasa por el centro de masas del cuerpo compuesto.

Figure 9: Cuerpo Rıgido Compuesto.

Para la determinacion del centro de masas del cuerpo compuesto, por la simetrıa del problema se sabe que las coordenadasy y z de su centro de masas son cero. Unicamente resta por determinar la coordenada x del centro de masas. Tomandocomo referencia el origen del sistema coordenado y denominando 1 a la barra delgada y 2 al disco, se tiene que los centrosde masas de estos cuerpos se tiene que

~rO1/O =l

2i ~rO2/O = l i

Igualmente, los momentos de inercia de cada uno de los cuerpos, respecto a sus centros de masas y en la direccion del ejeZ estan dados por

IO1zz =1

12ml2 IO2zz =

1

2M R2

Debe notarse que estos dos valores pueden obtenerse de las ecuaciones deducidas para los momentos de inercia de uncilindro, con respecto a su centro de masas. En el primer caso, puesto que la barra es muy delgada, el radio debe hacerseigual a 0 y en el segundo caso se trata de un disco, la altura del cilindro se hace igual a 0.

La localizacion del centro de masas del cuerpo compuesto, denotado por OC esta dado por

~rOC/O =ml2

+M l

m+M=

m+ 2M

2(m+M)l

Entonces el momento de inercia del cuerpo compuesto respecto de su centro de masas y en la direccion del eje Z estadada por

IOCzz= IO1zz +m | ~rOC/O − ~rO1/O |2 +IO2zz +M | ~rOC/O − ~rO2/O |2

=1

12ml2 +m

∣

∣

∣

∣

m+ 2M

2(m+M)l −

1

2l

∣

∣

∣

∣

2

+1

2M R2 +M

∣

∣

∣

∣

l −m+ 2M

2(m+M)l

∣

∣

∣

∣

2

=1

12ml2 +m

∣

∣

∣

∣

m+ 2M −m−M

2(m+M)l

∣

∣

∣

∣

2

+1

2M R2 +M

∣

∣

∣

∣

2m+ 2M −m− 2M

2(m+M)l

∣

∣

∣

∣

2

=1

12ml2 +m

∣

∣

∣

∣

M

2(m+M)l

∣

∣

∣

∣

2

+1

2M R2 +M

∣

∣

∣

∣

m

2(m+M)l

∣

∣

∣

∣

2

22

=1

12ml2 +

mM2 l2

4(m+M)2+

1

2M R2 +

m2 M l2

4(m+M)2

=1

12ml2 +

1

2M R2 +

mM (m+M) l2

4(m+M)2=

1

12ml2 +

1

2M R2 +

mM l2

4(m+M)

Con esto finaliza el calculo del momento de inercia de un cuerpo compuesto respecto a su propio centro de masas.

23

Propiedades Inerciales de los Cuerpos R´ıgidos.¡mica...Propiedades Inerciales de los Cuerpos...

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