La espiral logarítmicaSi tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

La espiral logarítmica en la NaturalezaLos brazos de las galaxias espirales son, aproximadamente, espirales logarítmicas. Nuestra propia galaxia, la Vía Láctea, se cree que tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de unos 12 grados.

Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, también forman espirales logarítmicas.

En biología son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logarítmica. Por ejemplo, las telas de araña y las conchas de los moluscos.

En el ArteEn fachadas de templos y otras construcciones se puede detectar los rectángulos áureos, como en el:

Partenón de Atenas.

Notre dame de París

Hombre Vitrubiano de Leonardo da Vinci

La distancia del ombligo al suelo es el Radio del círculo, y el pubis es el centro del cuadrado.

En la MúsicaLa proporción aurea se encuentra también en las creaciones musicales humanas.

En los instrumentos

En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea. ¿Intuición?

Tampoco se sabe si fue consciente de ello, pero en su Quinta Sinfonía Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea.

PROPORCION AUREA

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI

CURSO: DISEÑO EN CONSTRUCCIONES

DOCENTE: ARQ. JUAN ALFONSO RUEDA B.

INTEGRANTES:

CARBAJAL CHAMBI LILIANA

FALCON CUAYLA MISIEL

“QUE LO PEQUEO ES ALO GRANDE COMO LO GRANDE

ES AL TODO”

En la historia.Razón á urea: Origen.

Aparece en obras de arte del antiguo Egipto. Sus propiedades geométricas están contenidas en los elementos de Euclides.

Una línea ACB está dividida según la proporción áurea cuando la relación de la parte mayor con la parte menor sea igual a la relación de toda la línea con la parte mayor.

En el libro XIII, Euclides estudia los pentágonos regulares inscritos en el círculo y demuestra que la relación entre la diagonal de un pentágono regular y su lado es igual a la razón áurea.

De aquí se obtiene de nuevo la razón áurea.

Do personajes importantes en el estudio de la razón áurea

fueron Leonardo de Pisa (Fibonacci) y Fra Luca Pacioli.

En las matemáticasSucesión de Fibonacci-Proporción

áureaEn 1202 Fibonacci se encontró con su célebre sucesión de enteros Un en relación con la cria de conejos.Supuso que los conejos vivían para siempre y que cada mes una pareja procrea una nueva pareja que se vuelve productiva a la edad de dos meses. En el primer mes el experimento comienza con una pareja de recién nacidos, en el segundo mes todavía hay una sola pareja, en el tercer mes dos parejas, en el cuarto mes tres parejas, en el quinto cinco, y así sucesivamente.

Sea n el mes, Un el número de parejas de conejos en el n-ésimo mes. Entonces:

La sucesión de Fibonacci es: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ………

U1= 0, U2= 1, Un= Un-1+ Un-2 para todo n>2. (2)

La propiedad más importante de esta sucesión es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la razón aurea.

Sea n el mes, Un el número de parejas de conejos en el

n-ésimo mes. Entonces:

n:

Un:

Un+1/ Un:

0

0

1

1

1

2

1

2

3

2

1.5

4

3

1.6

5

5

1.6

6

8

1.625

7

13

1.6154

8

21

1.6190

...

...

...

La sucesión de Fibonacci es: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ........

U1= 0, U2= 1, Un= Un-1+ Un-2 para todo n>2. (2)

Nombres de la espiral Espiral equiangular- Descartes (1638) Espiral geométrica- espiral proporcional- HalleyEspiral logarítmica-espiral mirabilis- Bernoulli

(1654-1705) quedó tan fascinado por esa maravillosa curva matemática que pidió que le fuera grabada es su tumba.

En la arquitecturaEl carácter inconmensurable de la divina proporción fue la causa de su restringida aplicación real a la arquitectura y en la pintura del Renacimiento.

Los griegos ya lo conocían, está presente en muchas de susmanifestaciones artísticas, sobre todo en sus templos y sus esculturas.La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 a.C en la pirámide de Keops.

los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro

Volvemos a encontrarnos con las propiedades divinas del número de oro en la Torre Eiffel en París.

En la naturaleza

La proporción áurea aparece también en las plantas (filotaxia), en muchas conchas marinas (como es el Nautilus), en animales y seres humanos, como ha sido estudiado por LE CORBUSIER en el Modulor.Numerosos vegetales (girasoles, piñas,.......) tienen sus hojas y pétalos formando la espiral logarítmica

La propiedad más importante de esta sucesión es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la razón áurea.

Esto es:

pues de (2) Un/ Un-1= 1+ Un-2/ Un-1 y para n se

obtiene que x 1 1 que es la ecuación (1) que

define .