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Proporción, la otra cara de la belleza

Resumen

El objetivo de la investigación es contestar las preguntas: ¿todo lo hermoso a la vista

puede considerarse bello matemáticamente hablando? ¿Buscamos una razón o medida

objetiva para calificar la belleza física de las personas? La respuesta podemos encontrarla

en las matemáticas.

La proporción áurea es un término común y casi siempre lo relacionamos con el rectángulo

áureo y sus aplicaciones en la arquitectura, el arte y la naturaleza, ignorando que no es la

única forma de representación, pues también existen el círculo, el pentágono y el triángulo

áureos.

El planteamiento del problema consiste en demostrar la relación entre la proporción

armoniosa y la belleza, y comprobar que la percepción que se tiene de esta se basa en las

matemáticas de manera inconsciente.

Para llevar a cabo la investigación, se utilizaron los triángulos áureos y la Máscara de

Marquardt como herramientas para medir la proporción de algunos rostros que fueron el

objeto de estudio. De manera previa se analizaron las fotografías de diez compañeros

estudiantes sobreponiendo la máscara y los triángulos; posteriormente se realizó un

sondeo con 15 personas, a quienes se les solicitó que ordenaran las fotografías iniciales

en una escala del más al menos atractivo. El total de los encuestados coincidieron en

seleccionar como primero y último lugar a las mismas personas, estos resultados

concordaron con el análisis previo.

En conclusión, para que una persona se considere bella debe existir una relación entre las

proporciones del rostro, la proporción áurea y los triángulos áureos.

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Introducción

a. Marco teórico

Proporción áurea

La proporción áurea establece que lo grande es a lo pequeño como la suma de lo grande

más lo pequeño es a lo grande.

Si se tiene un segmento más grande que otro, la

suma de a + b es al mayor de a como el mayor de

a es a b. Sin importar lo que midan los segmentos,

si cumplen esta proporción, siempre dará el

mismo resultado, el número phi.

𝑎

𝑏=

𝑎+𝑏

𝑎= 𝜑

Y esto se puede calcular:

𝑎

𝑏=𝑎 + 𝑏

𝑎

𝑎

𝑏=

𝑎

𝑎+

𝑏

𝑎 que simplificando es

𝑎

𝑏= 1 +

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏= 1 +

1𝑎𝑏

Recordando que la proporción 𝑎

𝑏 es phi, se sustituye por ϕ.

𝜑 = 1 +1

𝜑

𝜑2 − 𝜑 − 1 = 0

Si se resuelve la ecuación, como resultado dará el número phi.

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Triángulo áureo

Fleitas, C. (2013) Triángulo áureo: http://www.matematicainteractiva.com/triangulo-aureo-y-su-espiral-equiangular-no-aurea

Es un triángulo isósceles cuyos lados están en proporción áurea respecto a la base, si

bisecamos un ángulo de la base, conseguimos un triángulo áureo más pequeño. Si

continuamos el proceso el resultado será el mismo infinitas veces.

En el triángulo isósceles ABC con ángulos 72°, 72° y 36°,

respectivamente, y base 1, se traza la bisectriz del ángulo

en el vértice B, para obtener el punto D. Los triángulos

ABC y ABD son semejantes. El triángulo ABC es triángulo

áureo, ya que cumple 𝑥

1=

1

𝑥−1 .

Si se traza la bisectriz del ángulo en el vértice A, se

obtiene el punto E, el triángulo ABE con ángulos de 36°,

36° y 108°, respectivamente, y base 1. Los triángulos

. Flores, K. (2018) Triángulo áureo. [Figura] BCD y ABE son semejantes. El triángulo BCD es áureo

. ya que cumple 𝑥

1=

1

𝑥−1 .

Máscara de Marquardt

La anatomía de los humanos se basa en una relación phi exacta. Se han encontrado

relaciones áureas entre distintas partes del cuerpo humano. Por ejemplo, la relación que

hay entre la altura de una persona y la altura a la que se encuentra su ombligo. La misma

relación aproximada guardan nuestras extremidades. Asimismo, mantienen esta

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proporción los huesos de los dedos de la mano y las tres falanges; también encontramos

las proporciones áureas en los dientes y la boca.

Se dice que un cuerpo o un rostro son matemáticamente perfectos cuando conservan las

proporciones áureas en todas sus dimensiones. En un rostro considerado bello,

generalmente la anchura de su boca es 1.618 veces la distancia de la boca al extremo de

la mejilla, a su vez la anchura de la boca es 1.618 la anchura de la nariz, en el caso de los

dientes la anchura del incisivo frontal superior es 1.618 mayor al diente de al lado.

Stephen Marquardt, investigador de la Universidad de California en San Diego, ha probado

que los rostros reconocidos como atractivos son aquellos cuyas longitudes se ajustan a la

proporción áurea. Creó la teoría de que los seres humanos tienen un prototipo mental que

representa un promedio de todos los rostros y los que están más aproximados a él son

considerados los más atractivos.

El cirujano plástico Stephen Marquardt creó dos máscaras (una femenina y una

masculina), utilizando la proporción áurea, que aplicada sobre el rostro muestra las

diferencias entre este y el supuesto rostro humano perfecto. Marquardt utilizó la razón

áurea para fijar la distancia entre los elementos faciales (ojos, nariz, boca, pómulos,

barbilla) y creó el concepto de máscara de la belleza, aproximando relaciones medias con

el número áureo. Las máscaras alcanzaron fama por comprobarse que resultaban muy

útiles para realizar operaciones de cirugía estética y reconstrucción facial. Este médico

quedó fascinado con la posibilidad de que la belleza pudiera cuantificarse y creó el

concepto de máscara de la belleza.

Máscara de Marquardt, Stephen Marquardt: http://vali.de/?p=1117

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Proporcionalidad en el rostro

El primero en desarrollar la idea de que la proporción áurea se manifestara en el ser

humano fue Da Vinci con el hombre de Vitruvio. En los humanos, se encuentra de forma

aproximada la proporción áurea en el rostro:

Entre el largo y ancho de la cabeza (ver fig. A).

Entre la distancia de la parte superior de la cabeza a las pupilas y la distancia del

nacimiento del cabello a las pupilas (ver fig. B).

Entre la distancia de la punta de la nariz al mentón y la distancia de los labios al

mentón (ver fig. F).

Entre la distancia del nacimiento del cabello a las pupilas y la distancia de las

pupilas a la punta de la nariz (ver fig. D)

Entre el ancho de la nariz y la distancia de la nariz a los labios.

Entre la distancia de las pupilas a la punta de la nariz y la distancia de las pupilas a

los labios (ver fig. E)

Entre el ancho de los labios y el ancho de la nariz.

Obtenido el 9 de febrero de 2018, desde http://seio.es/descargas/incubadora2014/GaliciaESO.pdf

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b. Objetivo

A partir de una colección de fotografías de diez rostros, realizar un sondeo donde se

solicite a 15 personas ordenarlas, de acuerdo con su criterio de belleza, en una escala de

más a menos atractivas. Posteriormente analizar la proporción utilizando la Máscara de

Marquardt y los triángulos áureos buscando la presencia del numero phi y demostrar que,

sin tener conocimientos de proporcionalidad, siempre habrá una inclinación hacia lo

proporcionado sin ser conscientes de ello.

Detectar una persona con proporciones cercanas a las perfectas, y encontrar un patrón

que los “guapos” tienen en común, algo que incluso se pueda medir.

c. Problema

¿Cuáles son las proporciones o medidas requeridas para que un individuo pueda alcanzar

el estereotipo de un rostro perfecto, no solo matemáticamente hablando, sino socialmente

establecido? ¿Las personas toman realmente en cuenta la proporción áurea como un

criterio de belleza?

d. Hipótesis

Si las proporciones de nuestro rostro se acercan al número phi que es aproximadamente

1.618, es más probable ser percibido como una persona con un alto índice de atracción,

es decir, se considerará hermoso a la vista.

Desarrollo

La elección de que el fenómeno a investigar fuera la belleza en relación con la proporción

áurea fue que frecuentemente se escuchan comentarios relacionados con la perfección

del ser humano, estos mismos fueron los que despertaron la curiosidad por confirmarlos

o desmentirlos.

Debido a que el rostro es el primer contacto que tenemos al ver una persona, se decidió

enfocar la investigación en este. El rostro de una persona también es el primer medio por

el cual nos presentamos, ya sea la fotografía de alguna credencial, pasaporte, redes

sociales, solicitud de empleo, entre otros.

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Para tener una idea aproximada de lo que se estaba buscando en el rostro se creó un

prototipo con el software PicsArt de cómo se visualizaría un rostro perfectamente

proporcionado.

Flores, K. (2018) Rostro Perfecto. [Figura]

La creación del prototipo fue utilizando como referencia la máscara, además de tener las

proporciones perfectas, el color de la tez en tonos cálidos es considerado atractivo en las

personas. El prototipo es perfecto en toda su extensión. Una vez creado este prototipo fue

utilizado como plantilla para ir en busca del rostro más aproximado a la perfección.

Para encontrar una persona cuyas proporciones se aproximaran a las perfectas, se

realizaron varios procesos y pruebas en diversos rostros que se fotografiaron y se

compararon con la Máscara de Marquardt.

El primer paso para llevar a cabo la investigación fue ir en busca de personas que

aceptaran fotografiarse a una distancia aproximada de 30 cm y con un ángulo de 90° con

respecto al rostro en cuestión. Una vez obtenida la fotografía se sobrepuso la máscara

para ver las aproximaciones entre ambos.

El primer rostro no se aproximaba lo suficiente a las proporciones en

cuestión, podemos observar que sus labios son más anchos al igual

que su nariz, sus ojos están a una escala mayor que la deseada, su

barbilla es demasiado larga, por último, sus cejas se encuentran a

una distancia mayor del ojo que la requerida.

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En este caso la forma del rostro es muy angosta, labios anchos, nariz

muy pequeña al igual que los ojos. Debido a que la frente es muy

amplia, desproporciona el rostro casi en su totalidad, ya que las

escalas de los ojos y la nariz son muy pequeñas en comparación con

aquella, los labios anchos desequilibran el rostro.

En el tercer caso, la nariz es muy ancha, los labios se encuentran

muy distantes de la base de la nariz y la forma del rostro es

demasiado alargada y ancha.

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Después de varios intentos por buscar un rostro proporcionado, se encontró el de Monse,

cuyas proporciones se aproximan a las perfectas.

Al colocar la máscara sobre la fotografía del rostro se pueden observar las similitudes entre

ambas. Sin embargo, el propósito de la investigación no solo es encontrar un rostro similar

a las proporciones de la máscara, sino también la proporción con los triángulos áureos y

la percepción de la belleza.

Para encontrar la relación entre proporción y nuestra percepción de la belleza, las

fotografías se sometieron a un sondeo, se solicitó a 15 personas, las cuales no tenían

conocimiento de la proporción áurea, que de acuerdo con su criterio colocaran las

fotografías en una escala de la más a la menos atractiva. Las fotografías se ordenaron de

dos maneras, la primera sin importar el género, y la segunda en mujeres y hombres.

Resultados

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Al colocar los triángulos áureos a diferentes escalas sobre la fotografía del rostro de

Monse, cuyas proporciones se aproximan a las perfectas, se pudo observar que:

El ancho de la frente determina la distancia a la que se encuentra el final de su nariz

y su barbilla.

El triángulo cuya base pasa por los extremos de la boca determina la distancia

donde se ubica el final de su frente.

El ancho de su barbilla y su boca determinan la distancia a la que se encuentra la

base de su nariz.

La longitud del ojo determina el ancho del mismo y la distancia a la que se ubica la

base de su nariz.

La proporción áurea está presente en el rostro al igual que el número Phi, como se detalla

en la siguiente tabla:

Como se puede observar la proporción total del rostro es aproximadamente 1.568, muy

cercana al número φ con una diferencia de 0.05.

Resultados del sondeo

Sorprendentemente los 15 encuestados consideraron a las mismas personas como la más

atractiva y la menos proporcionada. Solo se obtuvieron tres diferentes resultados muy

similares entre sí.

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En el primer resultado seis personas colocaron las fotografías de la siguiente

manera:

En la primera clasificación se ordenaron las fotografías sin importar el género.

En la segunda clasificación se dividieron las fotografías en dos bloques, mujeres y

hombres, respetando el orden inicial.

El segundo resultado, fue el mismo por cinco personas, los cuales asignaron el

orden de las fotografías de la siguiente manera:

Clasificación sin distinción de género.

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Clasificación dividida por bloques según el género.

Finalmente, cuatro personas ordenaron las fotografías de la siguiente manera:

Clasificación sin distinción de género.

Clasificación dividida por bloques según el género.

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Comparación de los tres resultados del sondeo

En la clasificación sin distinción de género las personas consideradas más y menos

atractivas son las mismas, la variación en el orden del resto de las fotografías es

mínima.

Caso 1

Caso 2

Caso 3

En todos los casos Monse se encuentra en la primera posición, y la fotografía de Carlo

siempre se colocó en la última posición.

En la clasificación por género, la colocación de las fotografías es muy similar en

todos los casos.

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a. Fotografías del género femenino

Caso1

Caso 2

Caso 3

La fotografía de Monse es considerada la más atractiva en todos los casos, de igual

manera las dos fotografías consideradas menos atractivas son las mismas.

b. Fotografías del género masculino

Caso 1

Caso 2

Caso 3

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Se puede observar que el orden es similar, las primeras cuatro fotografías en todos los

casos son las mismas, al igual que la fotografía de Carlo.

¿Por qué las primeras fotografías son consideradas más atractivas?

En el caso de los hombres la fotografía colocada en primer lugar es la correspondiente a

la de Javier. Esto se debe a que de todas las fotografías la aproximación a las proporciones

de la máscara es mayor.

Al colocar los triángulos áureos podemos decir que el ancho de su frente no está en

proporción con el ancho de su mandíbula.

Además, su nariz es ancha, por ello el ancho de su frente no está en relación con la

distancia a la que se encuentra el fin de su nariz.

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Diferencias entre el rostro de Monse y Carlo (rostro más atractivo y menos atractivo)

Monse Carlo

Fotografía Análisis Fotografía Análisis

Las proporciones de Monse son similares a las de la máscara

Las proporciones de Carlo no coinciden con las de la máscara.

Existe una

correspondencia

entre las

proporciones y los

triángulos áureos.

Las proporciones

no corresponden

a las de los

triángulos áureos.

Se aplicó un

efecto espejo al

lado derecho.

Se aplicó un

efecto espejo al

lado derecho.

Al aplicar la

máscara

nuevamente la

correspondencia

sigue presente.

No hay

correspondencias

con las

proporciones de la

máscara.

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Se mantiene la

relación entre las

proporciones y los

triángulos áureos.

Las relaciones

entre los

triángulos áureos

y las proporciones

del rostro son casi

nulas.

Se aplicó un

efecto espejo al

lado izquierdo.

Se aplicó un

efecto espejo al

lado izquierdo.

Al aplicar la

máscara

nuevamente la

correspondencia

sigue presente.

No hay

correspondencia

con las

proporciones de la

máscara.

Se mantiene la

relación entre las

proporciones y los

triángulos áureos.

Las relaciones

entre los

triángulos áureos

y las proporciones

del rostro son casi

nulas.

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Análisis e interpretación de resultados

Con los resultados obtenidos del sondeo, se muestra que existen características que

deben cumplir las personas para ser consideradas atractivas, estos patrones son

universales, prueba de ello es la coincidencia en que todos los encuestados colocaron las

fotografías.

En un rostro bello, se cumplirá la relación proporcional entre sus lados derecho e izquierdo,

como pudo observarse al someter a un efecto espejo dos rostros, uno proporcionado y

otro no.

Conclusiones

La percepción que se tiene de la belleza puede ser explicada mediante las matemáticas.

La proporción áurea se encuentra presente en cualquier rostro, pero esto no significa que

al cumplir este requisito se pueda considerar bello. Entonces, para ser considerado

atractivo debe existir una relación entre las proporciones del rostro, la proporción áurea y

los triángulos áureos. Si se cumplen los tres requisitos, existirán proporciones armoniosas

que es como se define el concepto de belleza.

No todo lo que se considere hermoso cumple con las proporciones de lo bello. Por ejemplo,

los bebés son hermosos, sin embargo, estos no cumplen en lo absoluto los patrones de

belleza, su cabeza es enorme en comparación con sus pequeños labios y su diminuta

nariz.

Respondiendo a las preguntas planteadas en el punto c de la introducción: ¿Cuáles son

las proporciones o medidas requeridas para que un individuo pueda alcanzar el estereotipo

de un rostro perfecto, no solo matemáticamente hablando, sino socialmente establecido?

Son aquellas que se aproximen a la máscara y los triángulos áureos, como es el caso de

Monse, que no solo es bella matemáticamente, también es considerada atractiva por las

personas encuestadas que la colocaron como la más bella entre las demás fotografías.

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¿Las personas toman realmente en cuenta la proporción áurea como un criterio de

belleza? Si, como se observó en el sondeo realizado, las personas colocaron las

fotografías en una escala de las más a las menos atractivas, los resultados obtenidos

coinciden con el nivel de proporcionalidad de cada persona fotografiada, siendo Monse la

colocada en primer lugar debido a sus proporciones.

Fuentes de información

Clio, Z. et al. (2010) Los números de Fibonacci en la naturaleza y los sistemas

nanoestructurados artificiales (Vol. 3, No. 1). Obtenido desde www.mundonano.unam.mx

Correa, P. & Rivera, I. (2015) La sección áurea aplicada a la enseñanza de las

matemáticas en estudiantes de básica secundaria. Bogotá: Fundación Universitaria Los

Libertadores.

Fuentes, A. (1991) Un estudio del número de oro y la sucesión de Fibonacci. México:

UNAM

Javier. (22 abril, 2014) La medida de la belleza. Obtenido el 5 de enero de 2018, desde

http://instintologico.com/la-medida-de-la-belleza/.

Livio, M. (2006) La proporción áurea. La historia de phi, el número más enigmático del

mundo. Barcelona: Ariel.

National Geographic. (s/f) La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza.

México: RBA.

Palestini, C. (s/f) Las investigaciones sobre las proporciones para el control formal de la

arquitectura. Obtenido el 15 de enero de 2018, desde phi/LaDivinaProporción-

LasFormasGeométricas.pdf.