ProporcióN Y Escala GeometríA
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Proporción: Relación armoniosa de una parte con otra o con el todo Escala: Tamaño de un objeto comparado con un estándar de referencia
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Proporción: Relación
armoniosa de una
parte con otra o con
el todo
Escala:
Tamaño de
un objeto
comparado
con un
estándar de
referencia
“El propósito de todas las teorías de la
proporción es crear un sentido de orden
entre los elementos de una
construcción visual.” FRANCIS CHING. Arquitectura. Forma, espacio y orden. Editorial Gustavo Gili.
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
PROPORCIÓN
b
a
a
b
c
d
a
b=
1
1
a
b
c
d= =
1
2
a
b=
5
6
a
b
Las proporciones
con respecto al
tamaño, es la
relación de escala
(medida) entre las
partes, y esta
relación está
determinada por la
división entre un
lado y otro, a esta
relación se le
llama razón
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
PROPORCIÓN
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Clases de proporción
Geométrica
Aritmética
Armónica
Proporción de los materiales
Proporciones
racionales –
propiedades de
resistencia y
fragilidad
LADRILLO
ACERO
MADERA
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Proporciones estructurales
Tamaño del
elemento y
función
estructural
Articulan el
espacio
Escala y
estructura
jerárquica
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Proporciones estructurales
Otras formas
estructurales
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Proporciones prefabricadas
Procesos de
fabricación
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Teorías de la proporción
1. Sección áurea
2. Los ordenes
3. Las teorías renacentistas
4. El Modulor
5. El Ken
6. Las proporciones antropomórficas
7. La escalaGEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
1. PROPORCIÓN ÁUREA
También llamada
sección áurea, se
halla presente en la
naturaleza, el arte y
la arquitectura.
Los griegos la
conocieron en el
estudio del cuerpo
humano y la
utilizaron, en la
escultura y la
arquitectura y la
definieron como una
característica
fundamental en su
estética. GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
La proporción áurea
tiene una razón
aproximada de
1.618ab
ac
ac
cb=
PROPORCIÓN ÁUREA
Se puede definir
geométricamente como un
segmento rectilíneo
dividido de manera que la
parte menor es a la mayor
como esta es al total
a/b = b/a+b
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
PROPORCIÓN ÁUREA
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
PROPORCIÓN ÁUREA
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
La pirámide de Keops construida
hace 4500 años, es una de las
primeras aplicaciones
arquitectónicas en la que
encontramos el número áureo.
En ella se encuentra una relación
dependiente de Phi entre la altura
total y la longitud de las caras.
la Gran Pirámide de Keops se
construyó de modo que la superficie
de una cara sea igual a la de un
cuadrado que tuviese por lado la
altura de la pirámide. Esto por
casualidad le da las propiedades
matemáticas indicadas.
PROPORCIÓN ÁUREA
Antigüedad: Egipcios
EL PARTENON
PROPORCIÓN ÁUREA
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Antigüedad: Grecia - Roma
Es un claro
ejemplo de
aplicación del
número áureo.
El monumento se
inscribe en un
rectángulo áureo
EL PARTENON
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Antigüedad: Grecia - Roma
En el análisis armónico del mismo muestra la
utilización del número de oro para organizar su
estructura.
La sección áurea
PALACIO FARNECIO DE ROMA
Antigüedad: Grecia - Roma
EL PANTEON
Dos rectángulos son
proporcionales si
sus diagonales son
paralelas o
perpendiculares –
estas líneas las
encontramos al
tratar de la sección
áurea
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Antigüedad: Grecia - Roma
Los elementos básicos de las columnas clásicas son la basa,
el fuste, el capitel y el ábaco. A los tres órdenes griegos
(dórico, jónico y corintio) los romanos añadieron un cuarto,
el toscano. El orden compuesto se impuso a principios del
renacimientoGEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
2. ÓRDENES ARQUITECTÓNICOS
Órdenes arquitectónicos
Para los griegos y los romanos, los
órdenes, en la proporción de sus
elementos, representan la expresión
perfecta de la belleza y la armonía.
La unidad básica de las dimensiones era
el diámetro de la columna.
El espacio de separación entre las
columnas, llamado intercolumnio, se
basa también en el diámetro de las
mismas
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
3. TEORÍAS RENACENTISTAS
EL HOMBRE DE VITRUVIO
La naturaleza
distribuye las medidas
del cuerpo humano
como sigue: que 4
dedos hacen 1 palma,
y 4 palmas hacen 1
pie, 6 palmas hacen 1
codo, 4 codos hacen la
altura del hombre. Y 4
codos hacen 1 paso, y
que 24 palmas hacen
un hombre; y estas
medidas son las que él
usaba en sus edificios.
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Para Leonardo, el hombre era el modelo del universo y lo más
importante era vincular lo que descubría en el interior del
cuerpo humano con lo que observaba en la naturaleza.
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
3. TEORÍAS RENACENTISTASEstudios anatómicos.
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
3. TEORÍAS RENACENTISTAS
La secuencia de Fibonacci
es una secuencia infinita
de número que comienza
por: 1, 1, 2, 3, 5,8,13...,
en la que cada uno de
ellos es la suma de los dos
anteriores.
Así: 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2,
13=8+5 . Para cualquier
valor mayor que 3
contenido en la secuencia,
la proporción entre
cualesquiera dos números
consecutivos es 1,618, o
Sección Áurea.
LA SECUENCIA DE FIBONACCI
La secuencia de Fibonacci se puede encontrar en la naturaleza, en
la que la flor del girasol, por ejemplo, tiene veintiuna espirales que
van en una dirección y treinta y cuatro que van en la otra; ambos
son números consecutivos de Fibonacci.
En las elegantes curvas de una concha de nautilus, cada nueva
circunvolución completa cumplirá una proporción de 1: 1,618, si
se compara con la distancia desde el centro de la espiral
precedente.
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
3. TEORÍAS RENACENTISTAS
LA SECUENCIA DE FIBONACCI
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Leonardo de Pisa,
Leonardo Pisano o Leonardo
Bigollo (c. 1170 - 1250), también
llamado Fibonacci, fue un
matemático italiano, famoso por
haber difundido en Europa el
sistema de numeración
actualmente utilizado, el que
emplea notación posicional (de
base 10, o decimal) y un dígito
de valor nulo: el cero; y por
idear la sucesión de Fibonacci
3. TEORÍAS RENACENTISTAS
LA SECUENCIA DE FIBONACCI
RENACIMIENTOVignola proyectó el nuevo modelo de
iglesia inspirado tanto en los ideales de
la Contrarreforma como en el espíritu
de las nuevas órdenes religiosas
Escribió el tratado Reglas de los cinco
órdenes de la arquitectura. Publicado
en 1562 y considerado uno de los
grandes tratados de arquitectura del
siglo XVI, ha sido objeto de traducción a
numerosos idiomas y ha constituido un
auténtico vademécum para estudiosos y
proyectistas de edificios de estilo
clásico.
Compendia los cinco órdenes
arquitectónicos diseccionados en todas
sus partes, perfectamente modulados y
trazados.
4.El modulor
Desarrollado por Le Corbusier, el modulor sirve para
ordenar “ las dimensiones de aquello que contiene y de lo
que es contenido”
Considero los medios de medida de los egipcios y griegos
así como de otras culturas ya que tenían presente las
matemáticas y las proporciones del cuerpo humanoGEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
4.El modulor
4.El modulor
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
El Shaku, que inicialmente provino de China, es la
clásica unidad de medida japonesa. Equivale al Pie
Inglés y es divisible en unidades decimales. Durante
la segunda mitad de la Edad Media, en Japón, se
implantó otra medida: el Ken. Podría definir el Ken
como la medida absoluta que rige la construcción de
edificios, la estructura, los materiales y el espacio de
la arquitectura japonesa.
5. El ken
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
El Ken equivale a 6
Shaku y consta de dos
métodos de diseño
El método Inaka-ma,
donde el Ken determina
la separación entre los
ejes de las columnas, en
que la estera para el
suelo, el tatami, medía
3 x 6 Shaku o ½ x 1 Ken
y variaba ligeramente
teniendo en cuenta el
diámetro de la columna.
5. El ken
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
El método Kyo-ma, donde la estera tenía
dimensiones constantes, 3.15 x 6.30 Shaku, y el
intercolumnio (módulo Ken), dependía de la
estancia y oscilaba entre 6.4 y 6.7 Shaku
5. El ken
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
ESCALA
La escala atañe a la manera de
percibir o juzgar el tamaño de un
objeto con respecto al de otro.
La entidad con que se compare
un objeto o un espacio puede ser
una unidad estándar admitido de
medida, es decir: centímetros,
metros, pulgadas, pies, etc.
FRANCIS CHING. Arquitectura. Forma, espacio y orden. Editorial Gustavo Gili.
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
El cuerpo humano plantea una
escala mediante la cual se compara
los objetos y el espacio
circundante, ésta se determina así:
Antropocéntrica: Cuándo los
objetos se relacionan con el
cuerpo de tal manera que
parecen prótesis.
Biocéntrica: Cuándo los objetos son más
grandes que las extremidades pero son
susceptibles a ser movidos sin dificultad
por la fuerza humana.
Cosmocéntrica: Cuándo los
objetos son más grandes que
el cuerpo humano, y plantea
un espacio circundante
ESCALA
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
La escala de un objeto puede
cambiar sin cambiar sus
proporciones. Esto quiere decir que
su tamaño cambia, puede ser
más grande o más pequeño pero
sus relaciones internas se
mantienen.
ESCALA
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Cuando la escala se
cambia sin tener en
cuenta las proporciones
que el objeto tiene, éste
se deforma.
ESCALA
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA
Clases de geometría
• Geometría algorítmica: aplicación del
álgebra a la geometría para resolver por
medio del cálculo ciertos problemas.
La geometría es la parte de
las matemáticas que estudia
las propiedades y las medidas
de las figuras en el plano o en
el espacio
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA
•Geometría analítica: estudio de figuras que utiliza un
sistema de coordenadas y los métodos del análisis
matemático.
•Geometría plana: parte de la geometría que considera las
figuras cuyos puntos están todos en un plano.
Clases de geometría
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA
•Geometría del espacio: la que considera las figuras cuyos
puntos no están todos en un mismo plano.
•Geometría descriptiva: la que tiene por objeto resolver los
problemas de la geometría del espacio por medio de
operaciones efectuadas en un plano y representar en él las
figuras de los sólidos.
Clases de geometría
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA
•Geometría proyectiva: la que trata de las proyecciones de
las figuras sobre un plano
Clases de geometría
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Formas geométricas GEOMETRÍA
Formas geométricas planas
Recta
Polígonos
Las secciones
cónicas
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA
Formas geométricas espaciales
Superficies regladas:
Poliedros Regulares:
Piramide
Cuña
Prisma
Superficies de
revolución:
oCilindro
oCono
oEsfera
oElipsoide
oParaboloide
oHiperboloide
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA
Arquitectura y Geometría Ideal.
El circulo y el cuadrado pueden emanar de la
geometría social o de la fabricación, pero
también son figuras abstracta, puras.
Pero la geometría ideal no solo comprende
el cuadrado y círculo y sus derivados
tridimensionales, el cubo y la esfera.
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA Triangulo
Pirámides de Keops,
30.000 a.C, Egipto.
El edificio del templo esta
formado por dos trapecios, el
conjunto lo conforman un
obelisco con forma de prisma
rectangular.
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Tanto en los templos
griegos como romanos, el
triangulo, denominado
tímpano, que se observa
en la fachada del muro era
consecuencia del tejado a
dos aguas.
GEOMETRÍA Triangulo
Pa
rte
nón
.Pa
nte
ón
.
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA Triangulo
El triangulo
también caracteriza
a este edificio por
ser la forma que le
da a la planta del
mismo.
Neoclásico - Edificio Flatiron, N.Y., 1902GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA
Su estructura se compone de un inmenso cilindro articulado por
ocho machones cubierto por una cúpula hemisférica y precedido
por un pórtico rectangular de columnas.
CírculoPa
nte
ón
.
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
En raras ocasiones, el
circulo es el
protagonista de un
edificio. Solo
encontramos éste en el
mundo antiguo.
Coliseo, Roma, s.I
GEOMETRÍA Círculo
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA Círculo
Otro ejemplo es
esta Iglesia que
utiliza en su
construcción un
sistema de
cascadas formado
por medias-
esferas.
Santa Sofía – Arq. BizantinaGEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Santa Sofía – Arq. Bizantina
GEOMETRÍA Círculo
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA Cuadrado
En la arquitectura
islámica, un cuadrado,
denominado alfiz, rodea
las puertas de las
mezquitas y palacios.
La Alhambra, s.XIV, Granada.
Mezquita o cúpula de la
Roca, en Jerusalén
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Igle
sia
de C
ha
rtr
es -
Góti
co
GEOMETRÍA Triángulo – círculo - Cuadrado
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
El cuadrado también es el protagonista de la planta de
las plazas mayores que tuvieron su apogeo en el s.XVIII.
Pla
za M
ayor d
e S
ala
manca,
s.X
VII
I de
Ch
urrig
uera.
GEOMETRÍA Cuadrado
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA Hiperboloide
EL OCEANOGRÁFICO DE VALENCIA
Félix Candela
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
GEOMETRÍA COLUMNA DE DOBLE GIRO
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPOGAUDI - SAGRADA FAMILIA
•Es la intersección de dos
columnas helicoidales con
la misma base, pero con
giros contrarios.
•Todas las columnas
ramificadas son de doble
giro, pero con polígonos
diferentes en la base.
•Con este tipo de columna,
Gaudí consigue la
continuidad de aristas y
superficies entre una
columna y las que tiene
situadas encima o debajo
GEOMETRÍA SUPERFICIES REGLADAS
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Superficies que contienen rectas, porque se generan
mediante el movimiento de una recta que sigue un
recorrido determinado
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GEOMETRÍA SUPERFICIES REGLADAS
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
Con el uso de superficies
regladas alabeadas
(hiperboloides, paraboloides,
helicoides y conoides), Gaudí
proyecta una arquitectura
naturalista formada de
superficies únicamente
geométricas, con secciones
hiperbólicas y parabólicas, de
buenas cualidades
estructurales, acústicas y de
difusión de la luz.
El hecho de ser generadas por
líneas rectas facilita su
construcción
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GEOMETRÍA HIPERBOLOIDE
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
El hiperboloide es una superficie generada por una
hipérbola que gira alrededor de un círculo o una elipse.
Puede ser macizo o hueco: macizo para pasar de la
columna a las bóvedas; hueco por donde entrará la luz
hacia el interior del templo.
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GEOMETRÍA HIPERBOLOIDE
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
El hiperboloide contiene dos
haces de rectas inclinadas,
tangentes al círculo o a la
elipse.
En las bóvedas y los
ventanales, el hiperboloide
queda limitado por unos
estrellados creados con estas
líneas rectas.
Las bóvedas y los ventanales
son intersecciones entre
hiperboloides, enlazados con
paraboloides gracias a rectas
comunes a dos superficies
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GEOMETRÍA PARABOLOIDE
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
El paraboloide es una
superficie alabeada
de secciones
parabólicas que es el
resultado del
desplazamiento de
una línea recta
encima de otras dos
líneas que se cruzan
en el espacio.
Generalmente queda
limitado por cuatro
líneas rectas.
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GEOMETRÍA HELICOIDE Y CONOIDE
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
El helicoide es
una superficie
reglada
generada por
una línea recta
que gira según
una espiral
alrededor de
un eje vertical.
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GEOMETRÍA HELICOIDE Y CONOIDE
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
El conoide es una superficie formada por una recta
que se desplaza encima de otra recta y encima de
una curva; por ejemplo, una sinusoide.
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GEOMETRÍA
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
ELIPSOIDE
El elipsoide es un
sólido en el que todas
las secciones planas
son elipses. Por su
forma elíptica, fue
elegido por Gaudí
para los nudos o
capiteles que
subdividen las
columnas inferiores
en ramas.
Los diferentes nudos
son el resultado
maclar y sustraer
elipsoides entre sí
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GEOMETRÍA
GEOMETRÍA, ESCALA Y PROPOCIÓN EN EL TIEMPO
PROPORCIONES
Un mismo sistema de proporciones, basado en las doceavas partes
del tamaño mayor, ordena en diferentes series las dimensiones
generales del templo (anchura, longitud y altura de cada parte), los
diámetros de las columnas y los diámetros de las aberturas de
ventanales y bóvedas
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