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PROPORCIONALIDAD

2º ESO

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PROPORCIONALIDAD 2º ESO

1.-Razón de dos números

Hasta ahora, el cociente indicado de dos números, por ejemplo 8 y 7, era una

división, 8 : 7 y también una fracción, 78

Vamos a añadir un nuevo significado a ese cociente. Es el de razón de dos números. Diremos que la razón de dos números es su cociente indicado. La expresaremos en forma de fracción y la leeremos “8 es a 7”.

Ejemplo:

La razón de 5 y 8 es “5 es a 8” 85

En la práctica, podemos considerar a razón y fracción como cosas similares.

Por ello podremos decir que la razón entre 15 y 20 es o , que es la

fracción equivalente irreducible 2015

43

Cuando aplicamos la razón de dos números a cantidades estamos expresando la

relación que hay entre ellas. Es decir, si la razón de dos cantidades es significa

que por cada 5 unidades de la primera hay 8 de la segunda. Las escalas de planos y

mapas son, en realidad, razones entre las medidas del papel y del terreno.

85


2.- Proporción

Proporción es la igualdad de dos razones. Es decir, si dos razones son iguales, puedo escribir esa igualdad y a la expresión que resulta la llamamos proporción.

Las razones y son iguales. Puedo escribir por tanto . Es una

proporción y la leeremos: “1 es a 2 como 3 es a 6” 21

63

63

21

Al igual que en las fracciones equivalentes, también en una proporción puede haber algún término desconocido. Lo calcularemos de la misma forma. Fíjate en los ejemplos:

x6

43

83

6·4x

9x

x4

369·4x2 636x

Y como en las fracciones equivalentes, también en una proporción al multiplicar en cruz se obtiene el mismo resultado. Compruébalo en el ejemplo anterior. En el caso de las proporciones se dice que “el producto de medios es igual al producto de extremos”.


3.- Magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al variar una de ellas en un sentido, la otra varía en el mismo sentido. Es decir:

A doble en la primera magnitud, doble en la segunda

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al variar una de ellas en un sentido, la otra varía en sentido contrario. Es decir:

A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda

. Número de personas que van en el autobús y recaudación del autobús

. Tiempo que está encendida una bombilla y consumo de energía

. Número de vacas que posee un granjero y pienso que gasta a la semana

. Número de obreros y tiempo en hacer un trabajo

. Velocidad de un coche y tiempo en recorrer un trayecto

. Número de vacas y tiempo que durará el pienso


4.- Tablas en la proporcionalidad directa

A doble en la primera magnitud, doble en la segunda

Naranjas (kg) 2 3 4 5

Precio (€) 4 6 8 10

5

10

4

8

3

6

2

4 2 (es lo que corresponde a 1)

En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad directa y para completar tablas incompletas. El cociente se llama “razón de proporcionalidad”.

A 2 3 4 5

B 12 18 24 30

Es una tabla de proporcionalidad directa(los cocientes son iguales)

A 4 5

B 20 10 50

A 4 2 5 10

B 20 10 25 50


5.- Tablas en la proporcionalidad inversa

A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda

Operarios 2 3 4 8

Tiempo (h) 12 8 6 3

24 (es lo que corresponde a 1)

En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad inversa y para completar tablas incompletas. El valor del producto es “la constante de proporcionalidad”.

A 2 3 4 10

B 12 8 6 2,4 Es una tabla de proporcionalidad inversa

(los productos son iguales)

A 4 6

B 9 12 18

2 .12 = 3 . 8 = 4 . 6 = 8 . 3 =

A 4 3 6 2

B 9 12 6 18

6.- Tablas de proporcionalidad y proporciones

8

4

6

3

12

8

3

2

Naranjas

(kg)

Precio

(€)

2 4

3 6

4 8

5 10

Propocionalidad directa

En la proporcionalidad directa, la razónde dos cantidades de una magnitud forma proporción con la razón de las cantidades correspondientes en la otra magnitud.

Operarios Tiempo

(h)

2 12

3 8

4 6

6 4

Proprocionalidad inversa

10

6

5

3

6

4

3

2

En la proporcionalidad inversa, la razónde dos cantidades de una magnitud forma proporción con la razón inversa de las cantidades correspondientes en la otra magnitud.


En una fábrica, 8 máquinas producen 120 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 25 máquinas?

POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Máquinas 8 25

Pieza 120 ? x

120

25

8120 : 8 = 15

Solución:375 piezas

DD

8

120.25x

Solución:375 piezas


7.- Problemas de proporcionalidad directa

Máquinas Piezas 8 -------- 120 25 -------- x

POR REGLA DE TRES

= 375

25 . 15 = 375

Doce operarios hacen un trabajo en 6 días. ¿ En cuánto lo harán 8 operarios ?¿ Y 3 operarios ?

POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Oper 12 8 3

Días 6 ? ? 6

x

8

1212 . 6 = 72

Solución: 9 días 24 días

I I

Solución: 9 días24 días


8.- Problemas de proporcionalidad inversa

Operarios Días 12 -------- 6 8 -------- x 3 -------- y

POR REGLA DE TRES

98

6.12x

6

y

3

12 24

3

6.12y

72 : 8 = 9

72 : 3 = 24


Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos:

1º.- Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa2º.- Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de

cada magnitud en la misma unidad.3º.- Escribir la proporción correspondiente4º.- Hallar x

Fíjate en los siguientes ejemplos.

Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8 horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16 obreros? (Es inversa porque a doble de obreros mitad de tiempo)

Nº obreros Tiempo (h) 10 --------- 8 16 --------- x I

Solución

5 horas

8

x

16

10

516

8.10x

Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré por 57 de esas camisetas?

( Es directa porque a doble de camisetas doble dinero)

Camisetas Dinero(€) 12 ------- 96 57 -------- x

D

x

96

57

12

45612

96.57x

Solución 456 €

9.- Resolución de problemas de proporcionalidad por regla de tres

PROPORCIONALIDAD 2º ESOPORCENTAJES

10.- Concepto de porcentaje

La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de cada 100”. Es decir, hablar del 40% es hablar de 40 de cada 100.

Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de una cantidad deberíamos dividir primero por 100 para ver cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos por el tanto por ciento.

Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente:

420 : 100 = 4,2

En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir bien para calcular mentalmente –o con cálculos sencillos- tantos por cientos en los que aparecen ceros al final de las cantidades.

Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que hacemos es quitar dos ceros. Por ello, para calcular estos porcentajes quitaremos dos ceros y multiplicaremos las cantidades resultantes:

4% de 600 = 4 . 6 = 24

20% de 60 =

(*) En este último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y del resultado, 20, quitar el segundo cero y llegar al resultado final,2.

30% de 50 = 3 . 5 = 15 40% de 500 = 40 . 5 = 200

8% de 2000 =

4% de 50 =2 . 6 = 12 8 . 20 = 160 4 . 0,5 = 2 (*)

4,2 . 35 = 147

11.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como fracción

Hemos visto que 40% es lo mismo que 40 de cada 100. Pero resulta que 40 de cada 100 también lo podemos expresar en forma de fracción: 40/100. Es decir,

40% = 100

40

Por ello, hallar el 40% de 600 será lo mismo que calcular de 600. En la prácticaprocederemos así: 100

40

35 % de 60 = 21100

60.35

A esta forma de calcular porcentajes se le suele llamar porcentaje como fracción.

28% de 420 = 100

420.28117,6 150% de 36 =

100

36.15054


12.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como decimal

100

40

Por ello, para hallar el 40% de 600 podremos hacer lo siguiente:

600 · 0,40 = 240


Si 40% es eso equivale a decir que 40% es lo mismo que 0,40 ya que 100

40= 0,40

Así, para hallar un tanto por ciento de una cantidad, multiplicaremos la cantidad por el decimal que equivale al tanto por ciento.

Ejemplos:

35% de 450 = 450 · 0,35 = 157,5

116 % de 1289 = 1289 · 1,16 = 1495,24

13.- Cálculo de porcentajes : porcentaje como regla de tres

Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de proporcionalidad directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de una regla de tres.

Ejemplo: Calcular 40% de 650

Total Parte

100 ------ 40

650 ------ x x

40

650

100 260

100

40.650x

Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver algunos problemas.


14.- Cálculo de porcentajes : con calculadora

Calcular 35% de 60

CALCULADORA NO CIENTÍFICA

Deberás teclear:

60 x 35 %

y aparecerá el resultado en la pantalla

21

CALCULADORA CIENTÍFICA

La secuencia de teclas depende del modelo de calculadora. Para la Casio es:

60 x 35 SHIFT =

SHIFT activa la segunda función de las teclas

Tecla = contiene % como segunda función

SHIFT

=

%

SHIFT + = %


15.- Cálculo rápido de algunos porcentajes:

10% = décima parte (: 10) 10% de 42 = 42 : 10 = 4,2

50% = la mitad (:2) 50% de 36 = 36 : 2 = 18

25% = la cuarta parte (:4)

20% = la quinta parte (:5)

75% = las tres cuartas partes (:4) y (x3)

25% de 40 = 40 : 4 = 10

20% de 35 = 35 : 5 = 7

75% de 16 = 16 : 4 . 3 = 12


16.- Cálculo de porcentajes : resumen

50 % de 300

a) Porcentaje como fracción: 50% de 300 =

100

50.300

x

50

300

100

150

b) Como regla de tres: 50% de 300

Total Parte

100 ------ 50

300 ------ x

e) Mentalmente (con números que acaban en ceros): 50% de 300 = 50 . 3 = 150

x =

100

50.300

150

d) Con calculadora: 50% de 300 =>

f) Cálculo rápido (sólo en determinados casos): 50% de 300 = 300 : 2 = 150

50 x 300 % = 150


c) Como decimal => 50% de 300 = 300 · 0,5 = 150

17.-Problemas de porcentajes 1

Asignaremos nombres a los diferentes elementos que integran el cálculo de un tanto por ciento:

30% de 40 = 12

porcentajetotal

parte

En mi clase, el 40% son chicas. Si en total somos 30, ¿cuántas son las chicas?

(El problema se resuelve hallando el 40% de 30 por cualquiera de los métodos que conocemos)

total : 30

chicas: 40%

40% de 30 = 12 Solución:

12 chicas

A- CÁLCULO DE LA PARTE


(Si lo hacemos utilizando porcentaje como decimal)

30 · 0,4 = 12

18.- Problemas de porcentajes 2

En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje representan las chicas?

(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)

Total Chicas

30 --- 12

100 --- x

x

12

100

30 40

30

12.100x Solución:

40%

Otra forma de resolverlo utilizando regla de tres

Alumnos %

30 ------- 100

12 ------- xx

100

12

30 40

30

100.12x

Solución:

40%

B- CÁLCULO DEL PORCENTAJE


Otra forma de resolverlo utilizando decimales

12 : 30 = 0, 4 = 40%Total: 30Chicas: 12

Solución:

40%


En mi clase hay 12 chicas y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total?

(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)

Total Chicas

100 --- 40

x --- 12

12

40

x

100 30

40

12.100x

Solución:

30 alumnos/as

Otra forma de resolverlo utilizando regla de tres

% Alumnos/as

40 ---------- 12

100 --------- x

x

12

100

40 30

40

12.100x Solución:

30 alumnos/as

C- CÁLCULO DEL TOTAL



12 : 0,4 = 30

(si para calcular la parte multiplicamos por el decimal, para hacer lo contrario, es decir, paracalcular el total, dividiremos por el decimal)

Chicas: 12Chicas: 40%

Solución:

30 alumnos/as


Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, aumenta en un porcentaje de su valor y llega a un valor final.

Mi tío gana 1200 € mensuales de sueldo y le van a subir el 12%. ¿Cuánto ganará después de la subida?

1200 + 144 = 1344

Solución:

1344 €

Otra forma de resolverlo

Solución:

1344 €

D- AUMENTO PORCENTUAL

(Si aumenta el 12%, cada 100 de antes se convierten en 112)

Sueldo: 1200 €

Aumento: 12%

12% de 1200 = 144

Sueldo: 1200 €

Aumento: 12%

112% de 1200 = 1344



Sueldo: 1200 €

Aumento: 12%

1200 · 1,12 = 1344Solución:

1344 €


Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su valor y llega a un valor final.

La camiseta que me gusta vale hoy 30 €. Si en rebajas tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto me costará entonces?

30 – 7,5 = 22,5

Solución:

22,5 €


Solución:

22,5 €

E- DISMINUCIÓN PORCENTUAL

(Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor)

Precio: 30€

Descuento: 25%

25% de 30 = 7,5

Precio: 30€

Descuento: 25%

75% de 30 = 22,5



Precio: 30€

Descuento: 25%

30 · 0,75 = 22,5 Solución:

22,5 €

22.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual (1)

Mi tío gana 1344 € mensuales de sueldo después de una subida del 12%. ¿Cuánto ganaba antes?

Antes Después

100 --- 112

x --- 13441344

112

x

100

112

1344.100x 1200

Solución:

1200 €

Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final y el porcentaje de aumento o disminución.

Por regla de tres


112 % de x = 1344

100% + 12% = 112%

112

100.1344x 1200

Solución:

1200 €

Sueldo antes: x

Aumento: 12%

Sueldo después: 1344€



1344 : 1,12 = 1200Solución:

1200 € Sueldo después: 1344€Aumento: 12%

He pagado 22,50 € por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál era el precio antes de la rebaja?

Antes Después

100 --- 75

x --- 22,5022,50

75

x

100

75

22,50.100x

Solución:

30€

23.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual (2)

Por regla de tres

30


75 % de x = 22, 50

100% - 25% = 75%

75

100.22,50x

Solución:

30€

30

Precio antes: x

Descuento: 25%

Precio después: 22,50€



22,50 : 0,75 = 30Solución:

30€

Precio después: 22,50€Descuento: 25%

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