PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

Deberás hacer clic con el botón izquierdo del ratón para avanzar paso a paso

PROPORCIONALIDAD

1.- Proporcionalidad directa

A doble en la primera magnitud, doble en la segunda

Naranjas (kg) 2 3 4 5

Precio (€) 4 6 8 10

5

10

4

8

3

6

2

4 2 (es lo que corresponde a 1)

En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalida directa y para completar tablas incompletas

A 2 3 4 5

B 12 18 24 30

Es una tabla de proporcionalidad directa(los cocientes son iguales)

A 4 5

B 20 10 50

A 4 2 5 10

B 20 10 25 50

PROPORCIONALIDAD

2.- Proporcionalidad inversa

A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda

Operarios 2 3 4 8

Tiempo (h) 12 8 6 3

24 (es lo que corresponde a 1)

En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad inversa y para completar tablas incompletas.

A 2 3 4 10

B 12 8 6 2,4

Es una tabla de proporcionalidad inversa(los productos son iguales)

A 4 6

B 9 12 18

2 .12 = 3 . 8 = 4 . 6 = 8 . 3 =

A 4 3 6 2

B 9 12 6 18

PROPORCIONALIDAD

3.- Fracciones equivalentes en las tablas de proporcionalidad

8

4

6

3

12

8

3

2

Naranjas

(kg)

Precio

(€)

2 4

3 6

4 8

5 10

Propocionalidad directa

En las tablas de proporcionalidad directa,la fracción formada con un par de valores de la primera magnitud es equivalente a la fracción formada con los valores correspondientes en la otra magnitud.

Operarios Tiempo

(h)

2 12

3 8

4 6

6 4

Propocionalidad inversa

En las tablas de proporcionalidad inversa,la fracción formada con un par de valores de la primera magnitud es equivalente a la inversa de la fracción formada con los valorescorrespondientes en la otra magnitud.

10

6

5

3

6

4

3

2

En una fábrica, 8 máquinas producen 120 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 25 máquinas?

POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Máquinas 8 25

Pieza 120 ? x

120

25

8120 : 8 = 15

Solución:375 piezas

DD

8

120.25x

Solución:375 piezas

PROPORCIONALIDAD

4.- Problemas de proporcionalidad directa

Máquinas Piezas 8 -------- 120 25 -------- x

POR REGLA DE TRES

= 375

25 . 15 = 375

Doce operarios hacen un trabajo en 6 días. ¿ En cuánto lo harán 8 operarios ?¿ Y 3 operarios ?

POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Oper 12 8 3

Días 6 ? ? 6

x

8

1212 . 6 = 72

Solución: 9 días 24 días

I I

Solución: 9 días24 días

PROPORCIONALIDAD

5.- Problemas de proporcionalidad inversa

Operarios Días 12 -------- 6 8 -------- x 3 -------- y

POR REGLA DE TRES

98

6.12x

6

y

3

12 24

3

6.12y

72 : 8 = 9

72 : 3 = 24

PROPORCIONALIDAD

6.-¿Cómo resolver problemas por regla de tres?

Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos:

1º.- Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa2º.- Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de

cada magnitud en la misma unidad.3º.- Escribir la pareja de fracciones equivalentes.4º.- Hallar x

Fíjate en los siguientes ejemplos.

Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8 horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16 obreros? (Es inversa porque a doble de obreros mitad de tiempo)

Nº obreros Tiempo (h) 10 --------- 8 16 --------- x I

Solución

5 horas

8

x

16

10

516

8.10x

Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré por 57 de esas camisetas?

( Es directa porque a doble de camisetas doble dinero)

Camisetas Dinero(€) 12 ------- 96 57 -------- x

D

x

96

57

12

45612

96.57x

Solución 456 €

PORCENTAJES

7.- Concepto de porcentaje

La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de cada 100”. Es decir, hablar del 40% es hablar de 40 de cada 100.

Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de una cantidad deberíamos dividir primero por 100 para ver cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos por el tanto por ciento.

Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente:

420 : 100 = 4,2

En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir bien para calcular mentalmente –o con cálculos sencillos- tantos por cientos en los que aparecen ceros al final de las cantidades.

Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que hacemos es quitar dos ceros. Por ello, para calcular estos porcentajes quitaremos dos ceros y multiplicaremos las cantidades resultantes:

4% de 600 = 4 . 6 = 24

20% de 60 =

(*) En este último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y del resultado, 20, quitar el segundo cero y llegar al resultado final,2.

30% de 50 = 3 . 5 = 15 40% de 500 = 40 . 5 = 200

8% de 2000 =

4% de 50 =2 . 6 = 12 8 . 20 = 160 4 . 0,5 = 2 (*)

4,2 . 35 = 147

PORCENTAJES

8.- Cálculo de porcentajes: porcentaje como fracción

Hemos visto que 40% es lo mismo que 40 de cada 100. Pero resulta que 40 de cada 100 también lo podemos expresar en forma de fracción: 40/100. Es decir,

40% = 100

40

Por ello, hallar el 40% de 600 será lo mismo que calcular de 600. En la prácticaprocederemos así: 100

40

35 % de 60 = 21100

60.35

A esta forma de calcular porcentajes la llamaremos porcentaje como fracción o también “con lápiz y papel”

28% de 420 = 100

420.28117,6 150% de 36 =

100

36.15054

PORCENTAJES

9.- Cálculo de porcentajes: porcentaje como regla de tres

Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de proporcionalidad directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de una regla de tres.

Ejemplo: Calcular 40% de 650

Total Parte

100 ------ 40

650 ------ x x

40

650

100 260

100

40.650x

Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver algunos problemas.

PORCENTAJES

10.- Cálculo de porcentajes: con calculadora

Calcular 35% de 60

CALCULADORA NO CIENTÍFICA

Deberás teclear:

60 x 35 %

y aparecerá el resultado en la pantalla

21

CALCULADORA CIENTÍFICA

La secuencia de teclas depende del modelo de calculadora. Para la Casio es:

60 x 35 SHIFT =

SHIFT activa la segunda función de las teclas

Tecla = contiene % como segunda función

SHIFT

=

%

SHIFT + = %

PORCENTAJES

11.- Cálculo rápido de algunos porcentajes:

10% = décima parte (: 10) 10% de 42 = 42 : 10 = 4,2

50% = la mitad (:2) 50% de 36 = 36 : 2 = 18

25% = la cuarta parte (:4)

20% = la quinta parte (:5)

75% = las tres cuartas partes (:4) y (x3)

25% de 40 = 40 : 4 = 10

20% de 35 = 35 : 5 = 7

75% de 16 = 16 : 4 . 3 = 12

PORCENTAJES

12.- Cálculo de porcentajes: resumen

50 % de 300

a) Con lápiz y papel (porcentaje como fracción): 50% de 300 =

100

50.300x

50

300

100

150

b) Como regla de tres: 50% de 300

Total Parte

100 ------ 50

300 ------ x

d) Mentalmente (con números que acaban en ceros): 50% de 300 = 50 . 3 = 150

x =

100

50.300

150

c) Con calculadora: 50% de 300 =>

e) Cálculo rápido (sólo en determinados casos): 50% de 300 = 300 : 2 = 150

50 x 300 % = 150

PORCENTAJES

13.-Problemas de porcentajes 1

Asignaremos nombres a los diferentes elementos que integran el cálculo de un tanto por ciento:

30% de 40 = 12

porcentajetotal

parte

En mi clase, el 40% son chicas. Si en total somos 30, ¿cuántas son las chicas?

(El problema se resuelve hallando el 40% de 30 por cualquiera de los métodos que conocemos)

total : 30

chicas: 40%

40% de 30 = 12 Solución:

12 chicas

A- CÁLCULO DE LA PARTE

PORCENTAJES

14.- Problemas de porcentajes 2

En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje representan las chicas?

(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)

Total Chicas

30 --- 12

100 --- x

x

12

100

30

4030

12.100x

Solución:

40%

Otra forma de resolverlo

Alumnos %

30 ------- 100

12 ------- x

x

100

12

30

4030

100.12x

Solución:

40%

B- CÁLCULO DEL PORCENTAJE

PORCENTAJES

15.- Problemas de porcentajes 3

En mi clase hay 12 chicas y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total?

(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)

Total Chicas

100 --- 40

x --- 12

12

40

x

100

3040

12.100x

Solución:

30 alumnos/as

Otra forma de resolverlo

% Alumnos/as

40 ---------- 12

100 --------- x

x

12

100

40

3040

12.100x

Solución:

30 alumnos/as

C- CÁLCULO DEL TOTAL

PORCENTAJES

16.- Problemas de porcentajes 4

Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, aumenta en un porcentaje de su valor y llega a un valor final.

Mi tío gana 1200 € mensuales de sueldo y le van a subir el 12%. ¿Cuánto ganará después de la subida?

1200 + 144 = 1344

Solución:

1344 €

Otra forma de resolverlo

Solución:

1344 €

D- AUMENTO PORCENTUAL

(Si aumenta el 12%, cada 100 de antes se convienten en 112)

Sueldo: 1200 €

Aumento: 12%

12% de 1200 = 144

Sueldo: 1200 €

Aumento: 12%

112% de 1200 = 1344

PORCENTAJES

17.- Problemas de porcentajes 5

Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su valor y llega a un valor final.

La camiseta que me gusta vale hoy 30 €. Si en rebajas tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto me costará entonces?

30 – 7,5 = 22,5

Solución:

22,5 €

Otra forma de resolverlo

Solución:

22,5 €

E- DISMINUCIÓN PORCENTUAL

(Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor)

Precio: 30€

Decuento: 25%

25% de 30 = 7,5

Precio: 30€

Decuento: 25%

75% de 30 = 22,5

PORCENTAJES

18.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual

Mi tío gana 1344 € mensuales de sueldo después de una subida del 12%. ¿Cuánto ganaba antes?

Antes Después

100 --- 112

x --- 1344 1344

112

x

100

112

1344.100x 1200

Solución:

1200 €

He pagado 22,50 € por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál era el precio antes de la rebaja?

Antes Después

100 --- 75

x --- 22,5022,50

75

x

100

75

22,50.100x 30

Solución:

30 €

Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final y el porcentaje de aumento o disminución. Los resolveremos por regla de tres