1.Proposiciones 2 .Operaciones Veritativas 3 .Conectivos lógicos: La negación

Es una oración con valor referencial o informativo, de la cual se puede predicar su veracidad o falsedad, es decir, que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez.

Ejemplos

Coro es un municipio de Miranda (falso).

Los estudiantes de UFT son aplicados (verdadero).

El hidrógeno es un gas (verdadero). Algunos estudiantes son

universitarios (verdadero). Todo estudiante es universitario

(falso).

Los siguientes enunciados no son proposiciones:

¿Qué hora es?; ¡Estudie!; Ojalá que llueva café; ¡Levántate temprano!; ¿Cómo te llamas?

Notación: Las proposiciones se notarán con letras minúsculas p, q, r, s, t, ya que las letras mayúsculas las usaremos para denotar los conjuntos.

Ejemplos

P: La matemática es una ciencia.

q: 2 es un número impar.

r: mañana es 27 de junio.

Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada proposición molecular o compuesta. Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos que es una proposición atómica o simple.

Ejemplos de Proposiciones Compuesta o Molecular

18 y 24 son múltiplos de 6.

El lapicero es de color azul o negro.

Un triangulo es equilátero, si y solo si; sus tres lados tienen la misma medida.

Ejemplos de Proposiciones Atómicas

-Coro es un municipio de Miranda.

-Los estudiantes de UFT son aplicados.

-El oxígeno es un gas.

-Algunos estudiantes es indagador.

Dada una proposición p, la negación de p, que se escribe ~p y se lee “nop”, es verdadera cuando p es falsa, y viceversa.

Tabla de la verdad

Ejemplo

Si p es la proposición

P: Barcelona es un estado Oriental.

Entonces su negación se puede expresar de tres formas:

~ p: Es falso que Barcelona es un estado Oriental.

~ p: No es cierto que Barcelona sea un estado Oriental.

~ p: Barcelona no es un estado Oriental.

~ p: De ninguna manera Barcelona es un estado Oriental.

P ~P

V F

F V

4 .La conjunción 5 .La disyunción inclusiva 6 .La disyunción exclusiva

Se simboliza ^ y se lee "y". Se denota p ^ q y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:

Ejemplo

Si, p: El Negro Primero peleó en Carabobo.

q: Bolívar murió en Colombia.

r: Miranda nació en Coro.

Entonces

1. p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió en Colombia.

Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1.

2. q ^ r: Bolívar murió en Colombia y Miranda nació en Coro.

Además, VL(q ^ r) = 0, ya que VL(q)= 1 y VL(r)= 0.

Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:

VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).

Ejemplo

Si p: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimeto.

q: La estatua de Miranda está en Caracas.

r: El Chorro de Milla está en Carabobo.

Entonces

1. p v q: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimeto o La estatua de Miranda está en Caracas.

VL(pvq)=1, ya que VL(p)=1 y VL(q) = 0.

b. q v r: La estatua de Miranda está en Caracas o El chorro de Milla está en Carabobo.

VL(q v r)= 0, ya que VL(q)= 0 y VL(r) = 0.

Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición p vq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla. En otras palabras, la disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales.

VL(pv q) = 0 si VL (p) = VL ( q ).

Ejemplo

Si, p: 17 es un número primo.

q: 17 es un número par.

r: 17 es mayor que 2.

Entonces1.p v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par VL(p v q) = 1, ya que

VL(p) = 1 y VL(q) = 0.

p v r: ó 17 es un número primo ó 17 es mayor que 2 VL(p Ú r) = 0, ya que VL(p) = 1 y VL(r) = 1

7 .El condicional

Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q es la proposición p q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla:

Las proposiciones condicionales llevan la conjunción condicional compuesta “si…entonces…” , o sus expresiones equivalentes como “si”, “siempre que”, “con tal que”, “puesto que”, “ya que”, “porque”, “cuando”, “de”, “a menos de”, “a no ser que”, “salvo que”, “solo si”, “solamente si”.

Ejemplos:

a. Si es joven entonces es rebelde.

b. Es herbívoro si se alimenta de plantas.

c. De salir el sol iremos a la playa.

Toda proposición condicional consta de dos elementos: antecedente y consecuente. La proposición que sigue a la palabra `si´ se llama antecedente, y la que sigue a la palabra `entonces´ se llama consecuente.

8 .El Bicondicional

Se simboliza: “↔”, se lee: “ Si y sólo si” )

Se denota “ p↔q ” y se lee: “ p si y sólo si q ”.

Ejemplo Nº 1. Consideremos las siguientes proposicones:

a: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3 b: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2 > 3 c: 2 + 1 = 4 si y sólo si 2 > 3 d: 2 + 1 = 4 es condición necesaria y suficiente para que 2< 3.

Ejemplo Nº 2. Construir la "Tabla de Verdad" para las proposiciones dadas:

(p↔ q) ↔ ~ (p ↔ r)

Solución

(p ↔ q) ~ (p ↔ r)

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0

p q P q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

9 .Tablas de Verdad de las formas proposicionales

Permiten determinar el valor de verdad de una proposición

compuesta y depende de las proposiciones simples y de los

operadores que contengan.

Las posibilidades de combinar valores de verdad dependen

del número de proposiciones dadas.

Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2

combinaciones

Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22

= 4

combinaciones

Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8

combinaciones

Para n proposiciones tenemos 2n

combinaciones

Ejemplo: dado el siguiente

esquema molecular, construir su

tabla de valores de verdad:

Pasos para construir la tabla:

( p q) (p r)

1. Determinamos sus valores de

verdad 2 3 = 8 combinaciones

2. Determinamos las

combinaciones: 3. Adjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos

debajo de cada una de la variables sus valores de verdad :

p q r ( p q ) ( p r )

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

p q r

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

10 .Tautologias y Contradicciones

Proposición Tautológica o Tautología

Es aquella proposición molecular que es

verdadera (es decir, todos los valores de

verdad que aparecen en su tabla de verdad

son 1) independientemente de los valores

de sus variables.

Ejemplo: tautología

1 1 0 0 1 1

Contradicción: Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir cuando los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son todos 0) independientemente de los valores de sus variables proposicionales que la forman. Por ejemplo, la proposición molecular del

de las tablas de verdad.

Ejemplo: contradicción

1 0 0

0 0 1

11 .Leyes del Algebra de Proposiciones

1. Leyes Idempotentes

2. Leyes Asociativas

3. Leyes Conmutativas

4. Leyes Distributivas

5. Leyes de Identidad

6. Leyes de Complementación

negación)

7. Leyes De Morgan

Ejemplo 1:

a. Probar la primera Ley de De Morgan: ( P

q ) º P q

b. Probar la Ley del contrarrecíproco: p q º

q p

Solución

Debemos probar que los siguientes bicondiconales son tautologías:

a. ( P q ) P q b. (P q) ( q

p)

0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1

Ejemplo 2: Probar deductivamente la ley de

exportación ( p q ) r ) º ( p (q r )

Solución

( p q ) r º ( p q ) r ( Ley condicional )

º ( p q) r ( Ley de De Morgan)

º p ( q r ) ( Ley asociativa )

º p (q r) ( Ley condicional)

12 .Equivalencia e Implicación lógica

Definición: Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A Implica Lógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se escribe:

tautología

Ejemplos

Dos implicaciones lógicas muy conocidas son las leyes de simplificación y adición, las cuales probaremos a continuación.

(Ley de Simplificación) Probar que p q implica lógicamente a p; o sea, ( p q ) p

(Ley de Adición) Probar que p implica lógicamente a p q; o sea, p ( p q )

Definición (Proposiciones Equivalentes)

Sean A y B dos formas proporsicionales. Diremos que A es Lógicamente Equivalente a B, o simplemente que A es equivalente a B, y escribimos

es una tautología.

13 .Razonamientos

Es la aseveración de que una proposición, llamada conclusión es consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas premisas.

Forma Proposicional de un Razonamiento

Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C lo escribiremos en forma proposicional como:

P1 P2 P3 P4 . . . Pn ---- C

Ejemplo1: El siguiente es un razonamiento:

Si hoy es domingo, entonces mañana habrá examen.

Si hoy es sábado, entonces mañana no hay examen.

Hoy es domingo.

Luego, mañana habrá examen.

14 .Métodos de Demostración

Demostración Directa: En la demostración directa debemos probar una implicación:

q a partir de la premisa p mediante una secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas previamente.

Demostración Indirecta: Dentro de este método veremos dos formas de demostración:

Método del Contrarrecíproco: Otra

Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado el método del contrarrecíproco, según el cual, para demost

En el siguiente enlace encontrará ejemplos del método del contrarrecíproco, haga clic Aquí

Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la proposes tautológicamente equivalente a la

una proposición cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.

15 .Inferencia 1. Modus Ponendo Ponens(MPP)

(p q) p q p q

p

----------

q

2. Modus Tollendo Tollens (MTT)

(p q) q p p q

q

-----------

p

3. Silogismo Disyuntivo (S.D)

(p q) q p p q ó p q

(p q) p q q p

------------ -----------

p q

4. Silogismo Hipotético(S.H)

(p q) (q r) (p r) p q

q r

----------

p r

5. Ley de Simplificación

p q p p q ó p q

p q q p q

6. Ley de la Adición

p p q p q

---------- ó ---------

q p q p q p q

7. Ley de Conjunción

( p ) ( q) ( p q) p

q

---------

p q

16 .Circuitos Lógicos

Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función que el original. En la figura aparecen compuertas de dos entradas. Existen compuertas de más entradas disponibles comercialmente en circuitos integrados (chips) en SSI. En función de la cantidad de compuertas por chip, se suele clasificar a los CI en escalas de integración: • SSI, escala de integración pequeña, hasta 10 compuertas por CI • MSI, escala de integración media, de 10 a 100 compuertas por CI • LSI, escala de integración grande, de 100 a 1000 compuertas por CI • VLSI, escala de integración muy grande, más de 1000 compuertas por CI.