FREDDY BARRETO

C.I: 17306081

PROPOSICIONES

Una proposición o enunciado es una oración que puede

ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Las

proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r . . .

Ejemplo:

6 es un numero primo

La tierra es redonda

Las proposiciones pueden ser simples y compuestas.

La simple constan de una sola proposicion mientras que

las compuestas cuentan de varias proposiciones y están

acompañadas de conectivos.

Ejemplos:

La tierra es redonda (Simple)

A Carlos le gustan los carros y las motos (compuesta)

Conectivos entre Proposiciones:

Usando las proposiciones p, q

La Conjunción.

será “p y q” y la representaremos (p Λ q)

Esta proposición será verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean.

Disyunción:

será “p o q” y la representaremos (p V q)

Esta proposición será verdadera si al menos una de las dos p ó q lo es.

Negación.

Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera y representaremos ¬p.

Ejemplos:

los carros no contaminan (negación ¬p)

Marianny baila y canta (conjunción p Λ q)

Te gusta cantar o bailar (disyunción p V q)

Proposiciones condicionales.

Son aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta).

Sera “p entonces q” y se representara p → q

“Si como mucho, entonces engordo”

Proposición bicondicional

la proposición compuesta “p si y sólo si q”

y se representa por p ←→ q

“Voy a clases si y solo si sale el sol”

Tabla de la verdad

Negacion Conjucion Disyuncion

Condicional Bicondicional

Implicaciones Lógicas

Adición.

P =⇒ (P ∨ Q)

Simplificación.

(P ∧ Q) =⇒ P

Ley del Modus Ponendo Ponens (Modus Ponens). Dado un condicional y afirmando (“Ponendo”) el antecedente, se puede afirmar (“Ponens”) el consecuente.

[(P −→ Q) ∧ P] =⇒ Q

Ley del Modus Tollendo Tollens (Modus Tollens). Dado un condicional y negando (“Tollendo”)el consecuente, se puede negar (“Tollens”) el antecedente.

[(P −→ Q) ∧ ¬Q] =⇒ ¬P

Leyes de los Silogismos Hipotéticos.

[(P −→ Q) ∧ (Q −→ R)] =⇒ (P −→ R)

[(P ←→ Q) ∧ (Q ←→ R)] =⇒ (P ←→ R)

Leyes de los silogismos disyuntivos.

[¬P ∧ (P ∨ Q)] =⇒ Q

[P ∧ (¬P ∨ ¬Q] =⇒ ¬Q

Ley del Dilema Constructivo.

[(P −→ Q) ∧ (R −→ S) ∧ (P ∨ R)] =⇒ (Q ∨ S)

Contradicción.

P −→ C) =⇒ ¬P

Equivalencias Lógicas Idempotencia de la conjunción y la disyunción.

(P ∧ P) ⇐⇒ P

(P ∨ P) ⇐⇒ P

Conmutatividad de la conjunción y la disyunción.

(P ∧ Q) ⇐⇒ (Q ∧ P)

(P ∨ Q) ⇐⇒ (Q ∨ P)

Asociatividad de la conjunción y la disyunción. .

[(P ∧ Q) ∧ R] ⇐⇒ [P ∧ (Q ∧ R)]

[(P ∨ Q) ∨ R] ⇐⇒ [P ∨ (Q ∨ R)]

Distributividad de ∧ respecto de ∨ y de ∨ respecto de ∧.

[P ∧ (Q ∨ R)] ⇐⇒ [(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)]

[P ∨ (Q ∧ R)] ⇐⇒ [(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)]

Leyes de De Morgan.

¬(P ∨ Q) ⇐⇒ (¬P ∧ ¬Q)

¬(P ∧ Q) ⇐⇒ (¬P ∨ ¬Q)

Leyes de dominación.

P ∨ T ⇐⇒ T

P ∧ C ⇐⇒ C

Doble negación.

¬¬P ⇐⇒ P