SEDE PUERTO MONTT

ESCUELA DE PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICAS

PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA

GEOMETRÍA EN LA EDUCACIÓN MEDIA, MEDIANTE EL

APRENDIZAJE COOPERATIVO

Tesis para optar al Título de Profesor de Matemáticas

Profesor Patrocinante: Dra. María Rosa Bértolo Chanteng

Estudiante: Katherine Ninoshka Labarrera Mondaca

Puerto Montt, Chile

2016

Derechos de Autor

© 2016 Katherine Ninoshka Labarrera Mondaca

Se autoriza la reproducción parcial o total de esta obra, con fines académicos,

por cualquier forma, medio o procedimiento, siempre y cuando se incluya la cita

bibliográfica del documento:

Labarrera M., K. N. (2016). Propuesta didáctica para la enseñanza de la

Geometría en la Educación Media, mediante el Aprendizaje Cooperativo. Puerto

Montt.

i

HOJA DE CALIFICACIÓN

En Puerto Montt, el ____ de diciembre de 2016, los abajo firmantes dejan

constancia que la estudiante Katherine Ninoshka Labarrera Mondaca de la

carrera de Pedagogía en Matemáticas ha aprobado la tesis para optar al título

de Profesor de Matemáticas, con una nota de _____.

_______________________________

Nombre y firma del profesor evaluador

ii

DEDICATORIA

A Dios que me ha otorgado la sabiduría necesaria para la realización de esta

investigación, a mi familia que me ha enseñado a no rendirme y a luchar

siempre por lo que quiero, y a mis seres queridos por su apoyo incondicional.

iii

AGRADECIMIENTOS

A la Doctora María Rosa Bértolo Chanteng por aceptar ser mi Profesora

Patrocinante y por haberme brindado su orientación y sabiduría en el desarrollo

de esta investigación.

A los estudiantes de primero medio de un colegio de Puerto Montt, por darme la

oportunidad de ejercer el estudio de investigación.

Al Profesor de la asignatura de Matemáticas de un colegio de Puerto Montt, por

colaborar con el estudio de investigación.

Y a todas aquellas personas que de alguna manera colaboraron con el término

del estudio de investigación.

iv

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 1

CAPÍTULO I ........................................................................................................ 5

Planteamiento del Problema ............................................................................ 5

1.1. Antecedentes del problema ................................................................... 5

1.2. Justificación del problema de investigación ........................................... 7

1.3. Delimitaciones...................................................................................... 10

1.4. Limitaciones ......................................................................................... 10

1.5. Estado del arte ..................................................................................... 10

1.5.1. Estudio sobre el Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de

matemáticas, en la Educación Básica ........................................................ 11

1.5.2. Estudio sobre el Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de

matemáticas, en la Educación Media ......................................................... 11

1.5.3. Estudio sobre el Aprendizaje Cooperativo en las asignaturas de

matemáticas, en los Cursos Superiores ..................................................... 12

1.6. Pregunta de investigación. ................................................................... 13

1.7. Objetivo general. .................................................................................. 13

1.8. Objetivos específicos. .......................................................................... 13

CAPÍTULO II ..................................................................................................... 15

Marco Teórico y Conceptual .......................................................................... 15

2.1. Acercamiento al Aprendizaje Cooperativo. ............................................. 15

2.1.1. Concepto de Aprendizaje Cooperativo ............................................. 15

2.1.2. Características del Aprendizaje Cooperativo .................................... 16

2.2. Teorías sobre el Aprendizaje Cooperativo .............................................. 17

2.2.1. La teoría de la Interdependencia Social ........................................... 17

v

2.2.2. La teoría del desarrollo cognitivo ...................................................... 18

2.2.3. La teoría del Aprendizaje Conductista .............................................. 19

2.3. Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de matemáticas .................... 20

2.3.1. El desarrollo del Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de

matemáticas ............................................................................................... 20

2.3.1.1 Tomar notas cooperativamente en clases ................................... 20

2.3.1.2 Hacer resúmenes cooperativamente en el grupo ........................ 21

2.3.1.3 Leer y explicar cooperativamente en el grupo ............................. 21

2.3.1.4 Ejercitar o repasar la actividad cooperativamente en el grupo .... 22

2.3.1.5 Resolver problemas matemáticos cooperativamente en el grupo 23

2.3.2. Estrategias didácticas del Aprendizaje Cooperativo en la asignatura

de matemáticas .......................................................................................... 24

2.4. El Aprendizaje Cooperativo y la Geometría ............................................ 26

2.4.1. ¿Por qué el Aprendizaje Cooperativo en la enseñanza de la

Geometría en la Educación Media? ........................................................... 26

2.4.2. Técnicas más comunes utilizadas en el Aprendizaje Cooperativo ... 27

2.4.2.1 El rompecabezas ......................................................................... 27

2.4.2.2 Los grupos de investigación ........................................................ 29

2.4.2.3 Torneos de equipos y juegos....................................................... 30

2.4.2.4 Equipos de aprendizaje por divisiones ........................................ 31

2.4.2.5 Equipos de ayuda individualizada ............................................... 33

2.4.2.6 Tutoría entre iguales .................................................................... 34

2.4.2.7 Aprendiendo juntos ...................................................................... 35

2.4.3. Técnica utilizada en la enseñanza de la Geometria, en la Educación

Media.......................................................................................................... 35

2.4.4. Rol del profesor ................................................................................ 36

vi

2.5. Criterios para la composición de grupos de Aprendizaje Cooperativo ... .37

2.5.1. Clasificación de los grupos, conforme a su duración ........................ 37

2.5.1.1 Los grupos formales .................................................................... 37

2.5.1.2 Los grupos informales ................................................................. 38

2.5.1.3 Los grupos de base ..................................................................... 39

2.5.2. Tamaño de los grupos ...................................................................... 39

2.5.3. Clasificación de los grupos, conforme a su distribución ................... 40

2.5.3.1 Grupos formados aleatoriamente ................................................ 40

2.5.3.2 Agrupación natural ...................................................................... 40

2.5.3.3 Agrupamiento impuesto por el profesor ....................................... 41

2.6. Elementos claves para lograr un Aprendizaje Cooperativo .................... 41

2.6.1. Interdependencia positiva ................................................................. 41

2.6.2. Responsabilidad individual y grupal ................................................. 42

2.6.3. Interacción cara a cara o Interacción estimuladora .......................... 42

2.6.4. Aprendizaje de habilidades sociales o Prácticas interpersonales y

grupales imprescindibles ............................................................................ 43

2.6.5. Evaluación grupal ............................................................................. 44

2.7. Fundamentación matemática sobre el concepto de Congruencia de

figuras planas ................................................................................................ 44

2.7.1. Criterios de Congruencia de triángulos ............................................ 44

2.7.1.1 Teorema de congruencia: Angulo-Lado-Angulo .......................... 45

2.7.1.2 Teorema de congruencia: Lado-Angulo-Lado ............................. 45

2.7.1.3 Teorema de congruencia: Lado-Lado-Lado ................................ 46

2.8. Habilidades a desarrollar en el contenido de Congruencia de figuras

planas ............................................................................................................ 46

2.8.1. Habilidades Visuales ........................................................................ 46

vii

2.8.2. Habilidades de Comunicación .......................................................... 47

2.8.3. Habilidades de Dibujo ....................................................................... 47

2.8.4. Habilidades de Razonamiento .......................................................... 48

2.8.5. Habilidades de Aplicación y Transferencia ....................................... 48

CAPÍTULO III .................................................................................................... 49

Metodología ..................................................................................................... 49

3.1. Metodologia elegida ................................................................................ 49

3.2. Paradigmas o pespectivas filosóficas que la sustentan ......................... 51

3.3. Descripción de las técnicas e instrumentos utilizados ........................... 52

3.3.1. La observación participante .............................................................. 53

3.3.2. Diario de campo ............................................................................... 54

3.3.3. La entrevista semi-estructurada al profesor de matemáticas ........... 55

3.3.4. La entrevista no estructurada a estudiantes ..................................... 55

3.4. Criterios de credibilidad utilizados ......................................................... 56

CAPÍTULO IV ................................................................................................... 58

Análisis y discusión de resultados ............................................................... 58

4.1. Descripción de la población ................................................................... 58

4.2. Propuesta didáctica para la enseñanza de la Geometría ...................... 58

4.3. Análisis de la propuesta didáctica .......................................................... 63

4.4. Análisis e interpretación de los datos .................................................... 76

4.4.1. Análisis del contenido de las entrevistas a estudiantes y al profesor

de matemáticas .......................................................................................... 76

4.4.1.1 Representación categorial del análisis de los datos .................... 77

4.5. Triangulación de los datos ..................................................................... 80

4.6. Interpretación de los resultados ............................................................. 80

viii

CAPÍTULO V .................................................................................................... 84

Conclusiones, Aportaciones y Sugerencias ................................................ 84

BIBLIOGRÁFÍA ................................................................................................ 87

ANEXOS ........................................................................................................... 93

Anexo 1: Guía para la entrevista semi-estructurada ...................................... 93

Anexo 2: Guía para la entrevista no estructurada ......................................... 94

Anexo 3: Actividad N°1 .................................................................................. 95

Anexo 4: Actividad N°2 ................................................................................ 101

Anexo 5: Actividad N°3 ................................................................................ 105

Anexo 6: Actividad N°4 ................................................................................ 109

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Criterio A-L-A .................................................................................... 45

Figura 2: Criterio L-A-L..................................................................................... 45

Figura 3: Criterio L-L-L ..................................................................................... 46

Figura 4 Distribución de actividades de la secuencia didáctica........................ 59

x

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1: Estrategias didácticas del Aprendizaje Cooperativo. .......................... 24

Tabla 2: Planeación de la unidad didáctica de Congruencia de figuras planas.

......................................................................................................................... .59

Tabla 3: Construcción de figuras planas congruentes, a partir de un Tangram

Chino ................................................................................................................ 63

Tabla 4: Conceptualización de la Congruencia de figuras planas, a través de las

Transformaciones isométricas .......................................................................... 66

Tabla 5: Conceptualización de los Criterios de congruencia de triángulos....... 69

Tabla 6: Conceptualización de la congruencia de figuras planas y de los

criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida

cotidiana............................................................................................................ 73

Tabla 7: Análisis de las entrevistas en categorías y en subcategorías ............ 77

Tabla 8: Proceso de enseñanza y aprendizaje de la Geometría ...................... 77

Tabla 9: Metodología de Aprendizaje Cooperativo ........................................... 78

Tabla 10: Actividades para la enseñanza y aprendizaje de la Geometría ........ 78

Tabla 11: Nuevo rol del profesor de matemáticas ............................................ 79

xi

RESUMEN

Esta investigación tiene como propósito el diseño, implementación y valoración de una propuesta didáctica para la enseñanza de la Geometría, mediante el Aprendizaje Cooperativo, con la finalidad de contribuir al desarrollo de las habilidades geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de Puerto Montt. Con este fin, se tomó uno de los contenidos de las bases curriculares de Matemáticas: “Congruencia de figuras planas”. La planeación de las actividades se dividió en dos partes: Congruencia de figuras planas y Criterios de congruencia de triángulos, las cuales se distribuyeron en 4 actividades. El estudio adoptó una metodología de investigación de naturaleza cualitativa de tipo descriptivo e interpretativo, en donde el investigador participó directamente en su propia investigación. Los sucesos fueron descritos en su medio natural y los fenómenos fueron interpretados de acuerdo con los significados que tuvieron para las personas implicadas. Los principales hallazgos resultantes de la experimentación de la propuesta didáctica, evidencian, los beneficios de la metodología de Aprendizaje Cooperativo, en el desarrollo de las habilidades geométricas y en el rendimiento de los estudiantes, no solo de aquellos más aventajados en la materia, sino también de aquellos que tienen dificultades para aprender. En consecuencia, se espera que este estudio estimule a los profesores y las profesoras de matemáticas a cambiar su tradicional metodología de enseñar geometría por la metodología de aprendizaje cooperativo. Palabras Claves: Propuesta didáctica, Metodología de Aprendizaje Cooperativo, Habilidades geométricas, Congruencia de figuras planas y Educación Media.

xii

ABSTRACT

This research had as purpose the design of a Didactic Proposal for the teaching of the Geometry, through the Cooperative Learning, with the finality of developing the geometric abilities in the students of high school of a college of Puerto Montt. For which one of the contents of the curriculum bases of Mathematics was taken: "Congruence of flat figures". The planning of the activities was divided in two parts: Congruence of flat figures and Criteria of congruence of triangles, which were distributed in four activities. The study adopted a methodology of investigation of qualitative nature of type descriptive and interpretative, in where the researcher participated directly in his own research. The events were described in their natural environment and the phenomena were interpreted according to the meanings they had for the people involved. The main findings of the present investigation, resulting from the experimentation of the didactic proposal, evidence, the benefits of the cooperative learning methodology, in the developing the geometric abilities and in the academic achievement of the students, not only of those most advantaged in the matter, as for those who have difficulty learning. Consequently, it is hoped that this study will stimulate mathematics teachers to change their traditional methodology of teaching geometry by that of cooperative learning methodology.

Keywords: didactic Proposal, Cooperative Learning Methodology, geometric Abilities, Congruence of flat figures and Middle education.

xiii

1

INTRODUCCIÓN

Este trabajo, constituye la tesis de pregrado para la obtención del título de

Profesora de Matemática, en la Sede Puerto Montt de la Universidad Austral de

Chile.

Esta tesis es el resultado de un trabajo de investigación cualitativa de tipo

descriptivo e interpretativo, que tiene como propósito presentar una propuesta

didáctica sobre el proceso a desarrollar en las clases de Matemáticas, para

potenciar las habilidades geométricas, en un entorno de aprendizaje

cooperativo, en la Educación Media. El estudio se realiza en un grupo de

primero medio de un colegio de Puerto Montt, donde la autora realizó su

práctica profesional.

Coincidiendo con Bishop (1983), se define a la Geometría como la Matemática

del espacio y es a través del estudio del espacio físico y de los objetos que el

estudiante accede a las captaciones más abstractas, para luego mediante ese

pensamiento geométrico, establecer imágenes, relaciones y razonamientos

manejables mentalmente.

Asimismo, la geometría es considerada la rama de las matemáticas más

próxima a la realidad, así como, un elemento fundamental en la formación

académica y cultural de las personas, ya que, contribuye en el desarrollo de las

habilidades de: visualización, comunicación, dibujo y construcción, lógicas o

razonamiento, y de aplicación y transferencia.

Consecuentemente, la Geometría es reconocida, en este trabajo, como una

herramienta esencial para comprender, describir e interactuar con el espacio en

qué vivimos, es quizás la parte más intuitiva, concreta y unida a la realidad de

las matemáticas (Blanco y Barrantes, 2003).

2

Dentro de esta perspectiva, los estándares orientadores y textos del estudiante

del MINEDUC, de la Educación Media, establecen el estudio de la Geometría

hacia el desarrollo de habilidades para la exploración, visualización,

argumentación y justificación, evitando la memorización, de modo que, el

estudiante pueda descubrir, aplicar y llegar a conclusiones.

Sin embargo, en la Práctica Profesional, con el grupo de primero medio, de un

colegio de Puerto Montt, se observa que, los preceptos anteriores no se

cumplen. Con frecuencia, se registra que el profesor de Matemáticas subestima

la dificultad que los estudiantes poseen en la adquisición de conocimientos

espaciales propiamente dichos, referente a la tarea de establecer las relaciones

adecuadas entre el espacio y los conceptos geométricos que se aprenden. Por

ejemplo, en las clases de geometría los estudiantes tienden a memorizar los

conceptos y fórmulas que el profesor anota en el pizarrón, por lo que, son

ligeramente olvidados. No desarrollan las habilidades necesarias para

comprender la Geometría.

En este ambiente, se advierte que cuando un estudiante no comprende un

ejercicio de la clase le pide a su compañero que se lo explique, quién de una

manera más fácil y sencilla es capaz de traspasar sus conocimientos,

terminando de resolver el ejercicio en conjunto. Lo que hace presumir que entre

compañeros tienden a ayudarse en la realización de los ejercicios, facilitando

una mayor comprensión de los contenidos y el desarrollo de las habilidades

geométricas de: visualización, comunicación, razonamiento, y de aplicación y

transferencia.

Es así, como surge la idea de utilizar la estrategia de Aprendizaje Cooperativo

para desarrollar las habilidades geométricas, que no se llevan a cabo con el

aprendizaje tradicional, incorporando así, nuevos enfoques, estrategias y tipos

de actividades en la enseñanza de la Geometría.

3

En el estudio documental realizado se encontraron algunos trabajos

relacionados con la utilización del Aprendizaje Cooperativo, tanto en el área de

las matemáticas (Algebra, Estadística y Funciones), como en otras áreas de la

educación (Historia, Lenguaje y Ciencias).

Con la propuesta didáctica que se plantea en este trabajo, se pretende dar

solución a uno de los problemas que enfrenta hoy la Educación Media en Chile,

en relación a la enseñanza y aprendizaje de la Geometría, estimulando a los

profesores de Matemáticas a cambiar sus prácticas educativas, para que sus

estudiantes desarrollen habilidades propias del razonamiento geométrico y para

que encuentren el sentido de los conocimientos que aprenden.

La investigación se estructuró en cinco capítulos de la siguiente manera:

En el capítulo I, se abordan los antecedentes del problema, constituidos

mediante la formulación del problema, la cual da lugar a la importancia del por

qué debemos desarrollar las habilidades geométricas, mediante el Aprendizaje

Cooperativo, con ello justificamos el sentido que persigue la investigación.

Además, exponemos las delimitaciones y las limitaciones del estudio,

Igualmente, describimos las actuales investigaciones relacionadas con estudios

basados en la metodología Aprendizaje Cooperativo, que respaldan la

investigación. Con base en lo anterior definimos la pregunta de investigación, el

objetivo general y los objetivos específicos.

En el capítulo II, se presentan las bases teóricas en las que se fundamenta el

estudio, especialmente aquellas, que argumentan el Aprendizaje Cooperativo,

como un tipo de metodología que permite obtener mayores y mejores

resultados del proceso de enseñanza aprendizaje y los elementos claves, a

tener en cuenta, en el diseño de las actividades, para que la cooperación

funcione. Igualmente, se presenta la fundamentación matemática sobre el

concepto de congruencia de figuras planas y las habilidades a desarrollar en

este contenido.

4

El capítulo III, describe la metodología que se ha seguido para llevar a cabo la

investigación, de carácter cualitativa, basada en la observación directa del

fenómeno, la entrevista semi-estructurada aplicada al profesor de matemáticas,

la entrevista no estructurada aplicada a los estudiantes. También se exponen

los criterios de credibilidad utilizados para validar.

Una vez presentada la metodología de investigación, en el capítulo IV se

analizarán e interpretarán de forma exhaustiva todos los datos recogidos a

través de los instrumentos aplicados y de la aplicación de la propuesta

didáctica, para el desarrollo de las habilidades geométricas, mediante el

Aprendizaje Cooperativo.

En el capítulo V, presentamos las conclusiones a partir del objeto de estudio,

los resultados de la propuesta didáctica y de la triangulación de los datos.

Todas las fuentes bibliográficas directamente consultadas, así como las

referencias citadas, figuran en la Bibliografía, la que ocupa el apartado final de

esta investigación.

En los Anexos, colocados al final en la presentación de este trabajo, se incluyen

los documentos que ayudarán al lector a comprender mejor la elaboración y los

resultados del presente trabajo.

5

CAPÍTULO I Planteamiento del problema

1.1 Antecedentes del problema El problema que aborda este estudio está relacionado con la tendencia actual

sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría en las escuelas de

Educación Media. Se advierte que el estudio de la geometría presenta algunas

dificultades en su desarrollo formal, debido, esencialmente, a las concepciones

y creencias de los estudiantes y de los profesores, manifestadas en la sala de

clases.

De modo general, se observa que la tendencia actual de la enseñanza de la

Geometría es la memorización de conceptos y propiedades, que muchas veces

no son comprendidos por todos los estudiantes. Asimismo, el profesor no se

detiene en el estudio de aspectos y propiedades geométricas, sino que va

directo al desarrollo de actividades de cálculos de ángulos, lados, triángulos,

áreas y volúmenes, porque, en sus clases, se siente incapaz de diseñar una

tarea para que los estudiantes sostengan la validez de una afirmación o

conjetura mediante la explicación y la prueba para finalmente hacer la

demostración.

De acuerdo con Barrantes y Blanco (2004), los profesores de matemáticas

planifican sus clases y aplican la misma metodología que experimentaron en su

formación y que se ha cultivado en el ejercicio de la docencia. Por consiguiente,

muchas veces esa vivencia personal le impide llevar a cabo otra experiencia de

aprendizaje, que guíe al estudiante al descubrimiento de la Geometría como

generadora de conocimiento.

6

(…) nuestro estudio nos muestra, a pesar de los esfuerzos de los

investigadores por presentar nuevos métodos, recursos o

materiales sobre enseñanza de la geometría, que muchos

estudiantes siguen llegando a las facultades con las mismas

experiencias, falta de conocimientos y concepciones sobre la

geometría y su enseñanza que hace unos años, lo que indica que

se sigue enseñando igual que antes de tales reformas. (Barrantes y

Blanco, 2004, p. 249)

De acuerdo con estos autores, la forma tradicional de enseñar geometría se ha

ido comunicando a través de distintas generaciones de profesores de

matemáticas. Es una larga cadena que no se ha podido romper, debido,

esencialmente, al no desarrollo de habilidades relacionadas con el saber hacer,

de éstos, que permita la exploración de nuevas formas de enseñanza de la

geometría a partir de lo ya conocido.

Según estos mismos autores, esto ha provocado, que los profesores en las

clases de Matemáticas se inclinen hacia aquellos temas considerados más

asequibles y también, según su opinión personal, más importantes para la

enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas, por lo que, algunos temas de

geometría se ven relegados, al ser considerados más complejos o poco

importantes.

Ante esta situación y a la realidad que se manifiesta en las clases: los

estudiantes con dificultad, por voluntad propia y por instinto, piden ayuda a otros

estudiantes, que son más capaces, resolviendo entre todos la tarea asignada

por el profesor. Es así, que se decide diseñar, implementar y aplicar una serie

de actividades, utilizando la metodología del Aprendizaje Cooperativo, para

comprobar su efectividad en la enseñanza de los conceptos geométricos, en el

aprovechamiento académico de los estudiantes de primero medio en un colegio

particular subvencionado de la Región de los Lagos.

7

En este centro educacional, la mayoría de los estudiantes provienen de otros

establecimientos, por ende, existe una gran diferencia entre los conocimientos

previos de geometría en cada uno de ellos. Sólo el 50% de los estudiantes

posee un buen rendimiento escolar.

La metodología del Aprendizaje Cooperativo, parte de la concepción

constructivista del aprendizaje basada en que los conocimientos construidos por

los propios estudiantes son realmente operativos, duraderos y generalizables a

diferentes contextos. En cambio, los conocimientos que simplemente se

transmiten a los estudiantes, no construidos por ellos, no quedan integrados en

sus estructuras lógicas y sólo pueden aplicarlos en situaciones similares a las

del aprendizaje.

1.2 Justificación del problema de investigación

En esta justificación del problema, argumentaremos desde tres puntos de vista:

Didáctico, Social y Educacional, la implementación de la metodología de

Aprendizaje Cooperativo, en la enseñanza del contenido de “Congruencia de

figuras planas”, correspondiente a la unidad de Geometría.

Atendiendo a Gavilán (1999), el Aprendizaje Cooperativo, contribuye a que los

estudiantes mejoren su nivel de razonamiento, generen ideas nuevas,

desarrollen la creatividad y el pensamiento crítico. Para lo cual, Johnson (1991),

propone asignar a los estudiantes roles específicos que los ayuden a participar

en la actividad. Evitando que el trabajo lo realice sólo una persona.

Siguiendo los autores anteriores, en la enseñanza y el aprendizaje de la

Geometría, el Aprendizaje Cooperativo facilita las habilidades de visualización,

de dibujo, de comunicación, de razonamiento lógico y de transferencia, que son

difíciles de fortalecer con la metodología tradicional. Sin embargo, es necesario

8

mencionar que, se debe ser muy cauteloso en la utilización de esta

metodología, pues debe estar sometida a actividades que realmente conduzcan

a un aprendizaje adecuado de los contenidos geométricos y al desarrollo de las

habilidades geométricas mencionadas.

Desde el punto de vista social, el Aprendizaje Cooperativo permite que los

estudiantes se sientan más a gusto y sean más participativos en las clases de

Geometría, con más confianza en sí mismos y en sus compañeros. Ello se

debe, en palabras de Olsen y Kagan (1992), citado en Richards y Rodgers

(2003: 189) a que el aprendizaje cooperativo propone una manera distinta de

organizar la enseñanza, se fundamenta en la realización de una actividad en

grupo, orientada de manera que a cada estudiante se le considere responsable

de su propio aprendizaje y se le motiva para aumentar el aprendizaje de los

demás.

En este escenario, el Aprendizaje Cooperativo es considerado una metodología

didáctica, porque busca la consolidación de los procesos de aprendizaje, con la

ayuda de materiales y recursos; y consigue un aprendizaje de calidad, a través

de procesos mediados, interactivos y colaborativos entre los estudiantes.

Lo que distingue a esta metodología, de las otras utilizadas en la clase de

Geometría, es que se apoya, en la riqueza, que supone la heterogeneidad de

los estudiantes, y en la ayuda, que se prestan los unos a los otros, para la

comprensión, razonamiento y visualización de los contenidos.

La valoración del Aprendizaje Cooperativo desde el punto de vista educacional,

descansa en las investigaciones de Piaget, en torno al papel de la actividad y

de la interacción social en el desarrollo intelectual. Dichas investigaciones lo

convirtieron en un defensor del trabajo en equipos (Piaget, 1969). Y al socio-

9

constructivismo de Vigotsky, que contempla el aprendizaje como el resultado de

la participación en las prácticas de una determinada comunidad y cuya

influencia se ha mantenido vigente hasta nuestros días (Vygotsky, 1962).

Asimismo, existe un claro consenso, entre investigadores e innovadores,

respecto a la importancia de las estrategias cooperativas para contribuir a crear

un buen clima de aula y a mejorar el aprendizaje en cualquier tipo de tarea o

contenido de enseñanza, independientemente del nivel escolar. Ellas son:

En el Aprendizaje Cooperativo se dan cuatro componentes básicos:

procesos cognitivos, efectivos, metacognitivos y sociales.

Aprender de forma cooperativa, proporciona instrumentos cognitivos

útiles para conocer nuevas estrategias y habilidades. Sobre todo para

tareas que impliquen adquisición de conceptos, solución de problemas

especiales, retención y memoria.

La cooperación fomenta la productividad y el rendimiento,

consiguiéndose en las estrategias de razonamiento una calidad bastante

alta.

El Aprendizaje Cooperativo, proporciona medios muy adecuados para

tratar en el aula el tema de la diversidad de estudiantes.

Es así como en el aula escolar, especialmente en las clases de Geometría, el

trabajo cooperativo es un instrumento imprescindible para lograr aprendizajes

significativos y un creciente interés por las materias estudiadas.

10

1.3 Delimitaciones

La delimitación espacial de la investigación se circunscribe en el único curso de

primero medio, con un total de 30 estudiantes, de un colegio de Puerto Montt,

Región de los Lagos. Es el colegio donde la autora realizó su práctica

profesional.

En cuanto a la delimitación temporal, el estudio se llevó a cabo en el segundo

semestre escolar, en la unidad de geometría, utilizando el contenido de

Congruencia de figuras planas.

1.4 Limitaciones

A continuación se presentan las limitaciones que se encontraron durante el

desarrollo de la investigación:

- En un inicio no todos los estudiantes estaban dispuestos a participar en

las secuencias didácticas. No tenían interés por aprender Geometría.

Muchos no la entendían. Hubo que hacer un plan de motivación previo a

las actividades.

- Poco tiempo para la aplicación de las actividades de la propuesta. Esta

limitación restringió la participación activa y cooperativa de todos los

miembros de los grupos.

- Falta de conocimientos geométricos previos, por parte de los

estudiantes.

1.5 Estado del arte

En la búsqueda de estudios sobre la aplicación de la metodología didáctica del

Aprendizaje Cooperativo en Geometría, se han encontrado las siguientes

investigaciones.

11

1.5.1 Estudio sobre el Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de matemáticas, en la Educación Básica

La propuesta de Terán y Pachano (2009), titulada “El Trabajo Cooperativo en la

Búsqueda de Aprendizajes Significativos en la Clase de Matemáticas en la

Educación Básica”, tiene como objetivo general analizar las características de

las estrategias basadas en el trabajo cooperativo, a fin de promover

aprendizajes significativos en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas en la Educación Básica.

Se realizó en un curso de sexto básico, seleccionando la investigación-acción, a

modo de, favorecer el análisis cualitativo en la interpretación de los resultados.

Se diseñaron actividades basadas en el trabajo cooperativo, tomando en cuenta

las cuatro áreas de las matemáticas (Aritmética, Algebra, Geometría y

Estadística).

Las actividades ejecutadas generaron un clima social positivo en el aula,

fomentando la interacción entre el docente y los estudiantes, basada en el

compañerismo y la solidaridad. Los aprendizajes significativos se generaron

como producto de la interacción, de la participación, del trabajo en equipo, de la

motivación, de la creatividad de los estudiantes y de la contextualización del

contenido.

1.5.2 Estudio sobre el Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de matemáticas, en la Educación Media

La propuesta de López (2012), titulada “Aprendizaje Cooperativo con

Actividades Motivadoras en Matemáticas”, la que plantea la utilización de

actividades didácticas, tales como, los juegos, los problemas de ingenio o las

12

actividades TIC. Para despertar el interés de los estudiantes por trabajar en la

asignatura de matemáticas.

Se realizó en un curso de primero medio, abordando la unidad de Estadística y

Probabilidad. Todas las actividades tuvieron la función que se esperaba, los

estudiantes estaban motivados y mostraban mucho interés durante todas las

clases, lo cual se reflejo en los resultados de la prueba escrita que realizaron,

ya que, todos los estudiantes mejoraron su calificación después de trabajar en

grupo.

1.5.3 Estudio sobre el Aprendizaje cooperativo en las asignaturas de matemáticas, en los Cursos Superiores

La investigación de Velasco y Domínguez (2007), titulada “El Aprendizaje

Cooperativo en las Asignaturas de Matemáticas”, tiene como objetivo motivar a

los estudiantes en el estudio de las matemáticas, justificando la necesidad de la

asignatura en el currículo de las titulaciones.

Para su estudio se tomaron dos asignaturas: Algebra Lineal y Análisis

Matemático. Ambos se imparten en el curso de titulación de Ingeniería en

Informática Técnica de Sistemas. A estas asignaturas se les realizaron 4

actividades, mediante el aprendizaje cooperativo. Se trató de medir no sólo la

capacidad de resolución de los problemas de forma grupal, sino también los

conocimientos individuales a través de una prueba objetiva individual.

La realización de esta investigación, produjo una disminución en los abandonos

de la asignatura y en la falta de asistencia a clases. En cuanto a la metodología

empleada, tanto en la asignatura de Álgebra Lineal como en la de Análisis

Matemático, el hecho de dividir la asignatura en grupos y realizar actividades en

cada uno de ellos, permite una retroalimentación continua con el estudiante

13

que ayuda a localizar los errores e intentar subsanarlos en la siguiente

actividad.

1.6 Pregunta de investigación

Los argumentos anteriores constituyen la problemática de la investigación, la

que se define, mediante la siguiente pregunta:

¿Cómo influye el Aprendizaje Cooperativo en el desarrollo de las habilidades

geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de Puerto

Montt?

1.7 Objetivo general Diseñar una propuesta didáctica para la enseñanza de la Geometría, mediante

el Aprendizaje Cooperativo, con la finalidad de contribuir al desarrollo de las

habilidades geométricas en los estudiantes, de primero medio, de un colegio de

Puerto Montt.

1.8 Objetivos específicos

Identificar los antecedentes teóricos y la tendencia actual respecto al

desarrollo de las habilidades geométricas en los estudiantes de primer

año de la Educación Media.

Determinar las habilidades geométricas a desarrollar en los estudiantes

de primero medio, en el contenido de Congruencia de figuras planas.

Determinar las técnicas y estrategias de enseñanza y aprendizaje que

predominan en el Aprendizaje Cooperativo, que permiten el desarrollo de

las habilidades geométricas en los estudiantes de primero medio.

Elaborar la secuencia de las actividades de la propuesta didáctica, para

la enseñanza de la Geometría, mediante el Aprendizaje Cooperativo.

14

Analizar la aplicación de la propuesta didáctica, para el desarrollo de las

habilidades Geométricas, mediante el Aprendizaje Cooperativo, en los

estudiantes, de primero medio, de un colegio de Puerto Montt.

15

CAPÍTULO II

Marco Teórico y Conceptual

En este capítulo se presenta el Aprendizaje Cooperativo como la metodología

que facilita que el contenido de la clase sea parte del diseño y de la

organización del aprendizaje, de modo que, favorezca el desarrollo de las

habilidades geométricas de los estudiantes.

2.1 Acercamiento al Aprendizaje Cooperativo

2.1.1 Concepto de Aprendizaje Cooperativo Para Johnson (1999), el Aprendizaje Cooperativo no es más que organizar las

tareas de una forma sistemática para que las realicen en pequeños grupos de

estudiantes. Es una propuesta metodológica bastante novedosa en la cual la

responsabilidad del éxito del proceso de enseñanza y aprendizaje no se centra

exclusivamente en la labor del profesor, sino en el conjunto profesor –

estudiantes. Se aprende de una forma más sólida cuando las interacciones y

las ayudas mutuas entre los alumnos y el profesorado suceden de una manera

continuada.

En esta modalidad de trabajo las actividades que se proponen fomentan el

respeto mutuo entre los compañeros, el aprender a escuchar, a respetar las

opiniones de otros, a ser educado y ser capaz de defender sus propias ideas

utilizando argumentos sólidos. Las actividades de aprendizaje no pueden

realizarse correctamente sin la colaboración de los compañeros. No se puede

tener éxito si los compañeros no lo tienen. El éxito propio está vinculado al éxito

del resto de los miembros del grupo.

16

Para Hassard (1990), el Aprendizaje Cooperativo es un abordaje de la

enseñanza en el que los grupos de estudiantes trabajan juntos para resolver

problemas y para determinar tareas de aprendizaje.

Continuando en esta línea, Kagan (1999), plantea que el Aprendizaje

Cooperativo se refiere a una serie de estrategias instruccionales que incluyen a

la interacción cooperativa de estudiante a estudiante, sobre algún tema, como

una parte integral del proceso de aprendizaje.

Para los efectos de este trabajo de investigación, el Aprendizaje Cooperativo es

considerado, una metodología muy eficaz, para trabajar los distintos niveles,

ritmos y estilos de aprendizaje de cada uno de los estudiantes. Se basa en el

trabajo en pequeños grupos, generalmente heterogéneos, en los que el

alumnado trabaja de forma conjunta, para como plantean Johnson, Johnson &

Holubec (1998, p, 1:3), maximizar su propio aprendizaje y el del resto del grupo.

2.1.2 Características del Aprendizaje Cooperativo

Para que exista un Aprendizaje Cooperativo, hay ciertas características que los

miembros de cada grupo deben asumir. Las cuales están planteadas a

continuación:

El objetivo es maximizar el aprendizaje de todos los miembros del grupo,

esto los motiva a esforzarse y obtener resultados que superan la

capacidad individual de cada uno.

Cada miembro asume su responsabilidad y hace responsables a los

demás de realizar un buen trabajo en equipo para conseguir los objetivos

comunes.

17

A los miembros del grupo se les enseñan habilidades de relación

interpersonal y se espera que las utilicen para coordinar el trabajo y así

alcanzar los objetivos.

Los grupos analizan con qué eficacia han conseguido los objetivos, en

qué medida han trabajado juntos. El grupo es más que la suma de sus

partes y todos trabajan mejor que si lo hubieran hecho solos.

2.2 Teorías sobre el Aprendizaje Cooperativo

El Aprendizaje Cooperativo está sustentado por tres categorías esencialmente:

Interdependencia social, Desarrollo cognitivo y Aprendizaje conductista.

2.2.1 La teoría de la Interdependencia Social

Esta teoría plantea que la interactuación de los miembros del grupo depende de

cómo se estructura la interdependencia social. Si la interdependencia es

positiva (cooperación), se dará una interacción promovedora, es decir, los

esfuerzos de cada uno de los miembros del grupo por aprender serán mayores.

Por el contario, si la interdependencia es negativa (competencia), la interacción

será de oposición, obstaculizando al resto de los miembros del grupo a

alcanzar las metas. Por otro lado, si no existe interdependencia (esfuerzos

individualistas), no existe interacción. El trabajo se realiza independientemente

sin ningún tipo de intercambio con nadie.

Es así que, la interacción con interdependencia positiva es la teoría que

demanda el Aprendizaje Cooperativo, ya que aumenta los esfuerzos hacia el

logro, promueve relaciones interpersonales positivas y conduce a una salud

emocional de los miembros del grupo.

18

Para el caso de este trabajo, esta teoría contribuye a la comprensión de los

conceptos geométricos y al desarrollo de la habilidad de Comunicación. Se

establece una relación más cercana y comunicativa entre los estudiantes, a la

existente entre el profesor y los estudiantes, propiciando que en el grupo se

distinga la naturaleza de la falta de comprensión de alguno de los miembros del

grupo en la clase de geometría. En esta situación, un estudiante explica

nuevamente con un enfoque diferente el concepto o aclara determinado

procedimiento, demostración, entre otros, apoyando el progreso del aprendizaje

del grupo. O sea se aprende Geometría en conjunto y no como de manera

individual, siendo esta la base del Aprendizaje Cooperativo.

A nivel teórico, los profesionales de la educación, lo ven factible y deseable,

pero a nivel práctico y metodológico surgen multitud de dificultades y

contradicciones sobre el cómo hacerlo.

2.2.2 La teoría del desarrollo cognitivo

La teoría del desarrollo cognitivo se basa fundamentalmente en las teorías de

Piaget (1965) y Vygotsky (1962), que subrayan el papel esencial de la

interacción social en el aprendizaje.

Para Piaget las experiencias de aprendizaje deben estructurarse de manera

que se privilegie la cooperación, la colaboración y el intercambio de puntos de

vista en la búsqueda conjunta del conocimiento.

Vygotsky tiene una mirada epistemológica no muy lejana de Piaget, pero

agrega que, también influye la actividad del grupo humano, cultural al que

pertenece, que hay que hablar. Le otorga al lenguaje una gran significación,

pues permite al sujeto actuar sobre la realidad, a través de otros y lo pone en

19

contacto con el pensamiento de los demás, la cultura, que influyen

recíprocamente con él.

A partir de la mirada de los autores mencionados, en nuestro caso particular,

esta teoría cobra un significado muy revelador. La interacción entre los

estudiantes, el profesor de matemática producto del trabajo en grupo y la

prevalencia de un clima positivo en el aula, permite demostrar distintas formas

de afrontar una misma situación problema, construir el conocimiento geométrico

a través de las concepciones y de las experiencias previas de los estudiantes y

de la cooperación de todos los miembros del grupo. Este intercambio de

conocimientos no solo enriquece a los estudiantes, sino también posibilita un

mayor desarrollo cognitivo referente a la percepción visual para el logro de una

conveniente percepción espacial.

2.2.3 La teoría del Aprendizaje Conductista

En esta teoría el profesor toma el rol de guía y su rol no es predeterminar las

estrategias de aprendizaje, sino de concebir ambientes de aprendizaje que

sostengan, estimulen y pongan al estudiante un desafío en su proceso de

aprendizaje. En la búsqueda de estos ambientes de aprendizaje, surge el

Aprendizaje Cooperativo que está diseñado para proveer incentivos a los

estudiantes, y mantiene que los esfuerzos cooperativos tienen el poder de la

motivación extrínseca para lograr un aprendizaje significativo.

Desde esta perspectiva, en la enseñanza de la Geometría es necesario una

correcta organización y secuenciación de las actividades de la clase. El profesor

de matemáticas debe focalizar estas actividades en torno al desarrollo mental

del estudiante para que éste comprenda lo que hace y por qué lo hace y para

qué tenga consciencia del proceso que está realizando. Por consiguiente, el

20

desarrollo de las habilidades geométricas de razonamiento, aplicación y

transferencia.

2.3 Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de matemáticas

2.3.1 El desarrollo del Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de Matemáticas

Es primordial en el Aprendizaje Cooperativo, dividir la clase en pares o grupos

de trabajo, y planificar las actividades, de modo que, todos los miembros en

conjunto sean capaces de tomar notas, hacer resúmenes, leer y explicar,

redactar y corregir, ejercitar o repasar las actividades y resolver problemas

matemáticos. A continuación, se explica cómo poner en práctica cada uno de

estos fundamentos en la sala de clases.

2.3.1.1 Tomar notas cooperativamente en la sala de clases

Para los estudiantes, es muy conveniente aprender a tomar apuntes y

repasarlos de un modo más provechoso. El profesor puede ayudarlos haciendo

que tomen notas de a pares. Aproximadamente cada 10 minutos, durante una

clase, el profesor se detendrá y hará que los pares de estudiantes comparen las

notas que han tomado. Les indicará a los miembros de cada par que deben

tomar algo de las notas de su compañero para mejorar las propias.

El objetivo cooperativo es que ambos estudiantes produzcan un cuerpo

completo de notas precisas, que les permitirán aprender y repasar la materia

vista en clases.

21

2.3.1.2 Hacer resúmenes cooperativamente en el grupo

Para que todos los estudiantes aprendan activamente, el profesor hará que

todos contesten preguntas sobre el contenido al mismo tiempo, empleando los

procedimientos de formular, comentar, escuchar y crear.

En este procedimiento, los estudiantes formulan una respuesta a una pregunta

que les exige resumir lo que se ha tratado en la clase. Cada estudiante se

vuelve entonces hacia un compañero que esté cerca de él para intercambiar

respuestas y razonamientos. Cada uno escucha atentamente la explicación del

otro y luego el par elabora una nueva respuesta, superior a las formuladas

inicialmente, a través de los procesos de asociar, desarrollar y sintetizar las

ideas de cada uno.

La tarea de los estudiantes es explicarle sus respuestas y razonamientos a un

compañero, y ejercitar la destreza de explicar. La meta cooperativa es elaborar

una respuesta conjunta que ambos miembros aprueben y puedan explicar. El

rol del profesor es supervisar a los pares y ayudar a los estudiantes a seguir el

procedimiento. Para verificar la responsabilidad individual, el profesor puede

pedirles a varios estudiantes, elegidos al azar, que expliquen la respuesta

conjunta que elaboraron con sus compañeros.

2.3.1.3 Leer y explicar cooperativamente en el grupo

Se les solicita a los estudiantes que lean un texto y que lo resuman. El criterio

empleado para evaluar la tarea es que ambos miembros deben ser capaces de

explicar correctamente el significado del contenido tratado.

22

La meta cooperativa es que ambos miembros concuerden acerca del

significado del texto, formulen un resumen en conjunto y que sean capaces de

explicar su respuesta.

Durante la clase, el profesor supervisará sistemáticamente a cada par y

ayudará a los estudiantes a seguir el procedimiento. Para verificar la

responsabilidad individual, les pedirá a algunos estudiantes, elegidos al azar,

que resuman lo que han leído hasta ese momento. Hay que recordarles a los

estudiantes que los grupos deben cooperar unos con otros: cuando sea

necesario, cotejarán sus procedimientos, respuestas y estrategias con otro

grupo, si terminan antes, compararán y comentarán sus respuestas con las de

otro par.

2.3.1.4 Ejercitar o repasar la actividad cooperativamente en el grupo

En ciertos momentos, durante una actividad, el profesor querrá que los

estudiantes repasen lo que han aprendido y que ejerciten lo que han visto

durante la clase, para asegurarse de que lo saben a la perfección. En estas

ocasiones, el Aprendizaje Cooperativo es indispensable. Para la realización de

esto, el profesor les indicará a cada par que hagan lo siguiente:

El estudiante A lee el primer problema asignado y explica, paso a paso,

los procedimientos y estrategias necesarias para resolverlo, mientras

que, el estudiante B verifica que la solución sea correcta, además

promueve y orienta la actividad del par.

Los estudiantes A y B intercambian sus roles para abordar el segundo

problema.

23

Cuando el par resuelve dos problemas, verifican sus respuestas con el

otro par de estudiantes. Si hay discrepancias, deben analizar sus

razonamientos y llegar a un consenso.

El procedimiento prosigue hasta que los estudiantes resuelven todos los

problemas asignados.

Para verificar la responsabilidad individual, el profesor les puede pedir a

algunos estudiantes, elegidos al azar, que expliquen cómo resolver uno de los

problemas propuestos.

2.3.1.5 Resolver problemas matemáticos cooperativamente en el grupo

La práctica de resolver problemas matemáticos en grupos de Aprendizaje

Cooperativo promueve la resolución productiva de problemas, pues les permite

a los estudiantes poner continuamente a prueba sus ideas, así como obtener y

brindar retroalimentación.

Para lograr lo mencionado anteriormente, los miembros del grupo deben

entender que su objetivo común es resolver un problema, ponerse de acuerdo

en la respuesta y ser capaces de explicar cada paso que dieron para resolverlo.

Tras analizar y acordar los métodos para resolver el problema, los miembros del

grupo harán los cálculos, explicando los fundamentos de cada paso y

verificando los resultados. El profesor puede asignar roles y rotarlos después de

cada paso, para facilitar el proceso.

Por último, los grupos analizarán la eficacia con que trabajaron juntos

(enumerando las acciones concretas que condujeron al resultado obtenido),

24

planificarán sus futuras conductas para mejorar el proceso de resolver

problemas, se agradecerán unos a otros por la ayuda prestada y festejarán su

buen rendimiento.

2.3.2 Estrategias didácticas del Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de Matemáticas

Para implementar el Aprendizaje Cooperativo en la asignatura de matemáticas,

es necesario considerar ciertas estrategias, las que se disponen a continuación,

en la tabla 1.

Tabla 1:

Estrategias didácticas del Aprendizaje Cooperativo

MOMENTO ESTRATEGIA PUNTOS CLAVES

Ambiente favorable para aprender matemáticas. ¿Cómo captar la atención de los estudiantes en la clase de matemáticas?

1. Lluvia de ideas. 2. Preguntas son

preguntas. 3. Problemas son

problemas.

1. Todas las ideas que el estudiante tenga sobre el contenido son bien recibidas.

2. Se le pregunta a cada estudiante o al grupo sobre el contenido tratado.

3. Dar uno o dos problemas relacionados con el contenido tratado.

La orientación para la comprensión de los estudiantes. ¿Cómo ayudar a que los estudiantes comprendan los contenidos matemáticos?

1. Tomar apuntes.

2. Resumir.

1. Los estudiantes deben prestar atención a la clase para poder distinguir, analizar y sintetizar lo más importante.

2. El resumen puede ser textual o usando nuestras propias palabras. Para ello hay que seleccionar lo relevante y significativo. Hay que referirse utilizando términos o frases breves. .

La recapitulación de lo que se aprende. ¿Cómo ayudar a los estudiantes a

1. Exponer, y preguntar.

1. A modo de recapitular todo lo visto en clases, se opta por hacer preguntas a los grupos de estudiantes, algunas sugerencias son: - Seleccionar las preguntas previamente. - Plantear la pregunta al grupo.

25

almacenar la información?

2. Inventario de

lo aprendido en clases.

- Solicitar la respuesta, si es necesario se repite la pregunta.

- Exponerla con claridad y entonación adecuada. - Solicitar la respuesta de un estudiante que

muestre estar en condiciones de responder. - De no darse la respuesta correcta, buscar algo

que podamos retomar de la respuesta que nos dé el estudiante.

- En ningún momento debemos poner en evidencia el desconocimiento de algún estudiante.

2. Al finalizar el contenido o la unidad, se puede realizar un inventario de lo aprendido en clases. ¿Qué he aprendido?, ¿Para qué me puede servir?

La evaluación de los aprendizajes. ¿Cómo ayudar a los estudiantes a reconocer sus logros?

1. Calificación compartida.

2. Reflexión

grupal.

1. Ya sea en números del 1 al 7. Los miembros del grupo evalúan su desempeño, estableciendo la nota que se merecen por el trabajo realizado en la sala de clases. Lo anterior, se perfecciona cuando el maestro previamente establece indicadores mínimos que se deben tener presentes y que guían al equipo a reflexionar y a evaluar su trabajo en equipo.

2. Consiste en dedicar un momento, cada cierto tiempo al finalizar la sesión de trabajo, a que el grupo exprese cuales fueron las condiciones que favorecieron o que interfirieron en el cumplimiento de la tarea, de los objetivos, con el fin de que cada quien tome las medidas pertinentes para facilitar, en el futuro, el aprendizaje grupal.

La interdependencia social positiva. ¿Cómo ayudar al estudiante a expresar en su grupo de una manera creativa lo aprendido?

1. La enseñanza recíproca.

2. La asesoría.

1. Consiste en que dos alumnos, seleccionados preferentemente al azar, se sienten con las sillas encontradas, de tal forma, que el hombro derecho de uno coincida con el hombro derecho del otro. Favoreciendo el intercambio para procesar la información de la siguiente forma: - Previamente se debe acordar, quién inicia y

hasta qué lugar del texto lee, mientras que el otro escucha.

- Luego, el que escucha después lee y enseña. Así hasta terminar el texto.

- Deben hacer anotaciones o subrayar mientras leen y escuchan, ya que, al final se le solicitarán estás anotaciones.

2. Un estudiante que maneje el contenido, le enseña a otro que necesite de su ayuda, debe ser una acción intencional y sistemática.

Nota. Fuente: Elaboración propia (2016).

26

2.4 El Aprendizaje Cooperativo y la Geometría

2.4.1 ¿Por qué el Aprendizaje Cooperativo en la enseñanza de la geometría en la Educación Media?

Muchas de las limitaciones que nuestros estudiantes de Educación Media

manifiestan sobre su comprensión acerca de temas de la Geometría se deben

al tipo de enseñanza que han tenido. Asimismo, el tipo de enseñanza que

emplea el profesor depende, en gran medida, de las concepciones que él tiene

sobre lo que es Geometría, cómo se aprende y para qué se enseña.

Es importante reflexionar, sobre las razones para enseñar Geometría. Si el

profesor tiene claro el por qué, estará en condiciones de tomar decisiones más

acertadas acerca de su enseñanza.

Respecto a lo anterior, se propone insertar la metodología de Aprendizaje

Cooperativo en la enseñanza de la Geometría, a modo de llevar a cabo

diferentes actividades en las que se trabaje el desarrollo de las habilidades

geométricas de los estudiantes. Puesto que al realizar actividades

cooperativas, los estudiantes establecen metas que son benéficas para sí

mismos y para los demás miembros del grupo, buscando así maximizar tanto su

aprendizaje como el de los demás. Cabe mencionar que, el trabajo en grupos

tiene efectos positivos en el rendimiento académico de sus integrantes, así

como en las relaciones sociales que se establecen entre ellos.

Se usa el Aprendizaje Cooperativo como estrategia para disminuir la

dependencia de los estudiantes hacia sus profesores y aumentar la

responsabilidad de los estudiantes por su propio aprendizaje.

El uso de material concreto cobra particular importancia en la realización de un

Aprendizaje Cooperativo en la enseñanza de la Geometría en Educación Media,

27

puesto que se constituye en un primer acercamiento hacia los diferentes grados

de abstracción que se espera que los estudiantes alcancen; sin embargo, es

necesario mencionar que se debe ser muy cauteloso en la utilización de este

material, pues debe estar supeditada a actividades que realmente conduzcan

aprendizaje adecuado de los contenidos geométricos y al desarrollo de las

habilidades geométricas.

El uso de material concreto, por sí mismo, no garantiza un aprendizaje

significativo, se requiere que el profesor tenga un propósito específico para que

la actividad que realice el alumno lo conduzca al desarrollo de una habilidad y al

aprendizaje de la Geometría.

2.4.2 Técnicas más comunes utilizadas en el Aprendizaje Cooperativo Dentro del aprendizaje cooperativo, podemos hablar de algunas técnicas

instructivas, sistemáticas y estructuradas que se pueden utilizar en cualquier

nivel educativo. En este apartado presentaremos algunas de las más

conocidas.

2.4.2.1 El rompecabezas: Jigsaw

Uno de los primeros métodos de Aprendizaje Cooperativo que se creó fue el

Jigsaw de Aronson (1978), cuya finalidad es la de poner a los estudiantes en

situación de interdependencia extrema, creando las condiciones necesarias

para que el trabajo de cada integrante del grupo sea absolutamente

imprescindible en el desarrollo de la actividad.

En esta técnica los estudiantes, se dividen en grupos de tres a seis integrantes

heterogéneos, en cuanto a sexo, capacidad y factores de personalidad para

trabajar sobre un material común para todos los grupos de la clase.

28

El material objeto de estudio se fracciona en tantas partes como integrantes

tiene el equipo, de manera que, cada uno de sus integrantes recibe un

fragmento de la información del tema que, en su conjunto, están estudiando

todos los grupos, y no recibe la que se ha puesto a disposición de sus

compañeros para preparar su propio “subtema”. Cada integrante del grupo

prepara su parte a partir de la información que le facilita el profesor o la que él

ha podido buscar.

Después, con los integrantes de los otros grupos que han estudiado el mismo

subtema, forma un “grupo de expertos”, donde intercambian la información,

ahondan en los conceptos claves, construyen esquemas y mapas conceptuales,

clarifican las dudas planteadas, etc.; podríamos decir que llegan a ser expertos

de su sección. A continuación, cada uno de ellos retorna a su equipo de origen

y se responsabiliza de explicar al grupo la parte que él ha preparado.

Así pues, todos los alumnos se necesitan unos a otros y se ven "obligados" a

cooperar, porque cada uno de ellos dispone sólo de una pieza del

rompecabezas y sus compañeros de equipo tienen las otras, imprescindibles

para culminar con éxito la tarea propuesta: el dominio global de un tema objeto

de estudio previamente fragmentado.

Algunas investigaciones (Aronson & Osherow, 1980), muestran que estas

técnicas en las que todos los estudiantes dependen de sus compañeros para

tener toda la información, provoca un aumento de la autoestima y una mejora

en su rendimiento, manifestando un mayor interés por los estudios y actividades

escolares.

29

2.4.2.2 Los grupos de investigación: Group Investigation

Este método fue diseñado por Sharan y Sharan (1976). Los grupos de trabajo

oscilan entre dos y seis estudiantes que investigan sobre un tema concreto para

poder presentar un informe grupal que se presenta a todos los compañeros de

la clase. Los pasos a seguir son:

Elección y distribución de subtemas: Los estudiantes eligen, según sus

aptitudes o intereses, subtemas específicos dentro de un tema o

problema general, normalmente planteado por el profesor en función de

la programación.

Constitución de grupos dentro de la clase: La libre elección del grupo por

parte de los estudiantes puede condicionar su heterogeneidad, que

debemos intentar respetar al máximo.

Planificación del estudio del subtema: Los estudiantes y el profesor

planifican los objetivos concretos que se proponen y los procedimientos

que utilizarán para alcanzarlos, al tiempo que distribuyen las tareas a

realizar.

Desarrollo del plan: Los estudiantes desarrollan el plan descrito. El

profesor sigue el progreso de cada grupo y les ofrece su ayuda.

Análisis y síntesis: Los estudiantes analizan y evalúan la información

obtenida. La resumen y la presentarán al resto de la clase.

Presentación del trabajo: Una vez expuesto, se plantean preguntas y se

responde a las posibles dudas o ampliaciones que puedan surgir.

Evaluación: El profesor y los estudiantes realizan conjuntamente la

evaluación del trabajo en grupo y la exposición. Puede completarse con

una evaluación individual.

La estructura de esta técnica facilita que “cada integrante del grupo pueda

participar y desarrollar aquello para lo que está mejor preparado o que más le

interesa” (Echeita & Martín, 1990).

30

2.4.2.3 Torneos de equipos y juegos: Teams Games Tournaments (TGT)

Este método fue diseñado por Devries y Edward (1976). Consiste en la

utilización de estructuras de grupo cooperativas, pero creando una activa

competición entre los grupos. Se propone una organización del aula competitiva

a nivel inter grupal y de cooperación a nivel intra grupal. Johnson, Johnson y

Holubec (1999), describen a esta técnica de la siguiente manera.

En primer lugar, se forman grupos de base heterogéneos, por lo que, se refiere

al nivel de rendimiento de sus integrantes, y el profesor les indica que su

objetivo es asegurarse que todos los integrantes del equipo se aprendan el

material asignado. Los integrantes del equipo estudian juntos este material, y

una vez aprendido empieza el torneo, con las reglas del juego bien

especificadas. Para este torneo, el docente utiliza un juego de fichas con una

pregunta cada una y una hoja con las respuestas correctas.

Cada estudiante juega en grupos de tres, con dos compañeros de otros equipos

que tengan un rendimiento similar al suyo, de acuerdo a los resultados

obtenidos en la última prueba realizada en la clase.

El profesor entrega a cada equipo un juego de fichas con las preguntas sobre

los contenidos estudiados hasta el momento en los equipos cooperativos. Los

estudiantes de cada trío cogen, uno tras de otro, una ficha del montón (que está

boca abajo), lee la pregunta y la responde. Si la respuesta es correcta, se

queda la ficha. Si es incorrecta, devuelve la ficha debajo del montón. Los otros

dos estudiantes pueden refutar la respuesta del primero (empezando por el que

está a la derecha de éste) si creen que la respuesta que ha dado no es

correcta. Si el que refuta acierta la respuesta, se queda la ficha. Si no la acierta,

debe poner una de las fichas que ya ha ganado (si tiene alguna) debajo del

montón.

31

El juego finaliza cuando se acaban todas las fichas. El miembro del trío que, al

final del juego, tiene más fichas gana la partida y obtiene 6 puntos para su

equipo; el que queda segundo, obtiene 4 puntos; y el que queda tercero, 2

puntos. Si empatan los tres, 4 puntos cada uno. Si empatan los dos primeros, 5

cada uno, y 2 el tercero. Si empatan los dos últimos, se quedan 3 puntos cada

uno y 6 puntos el primero. Los puntos que ha obtenido cada integrante del trío

se suman a los que han obtenido sus compañeros de equipo de base que

formaban parte de otros tríos. El equipo que ha obtenido más puntos es el que

gana.

Nótese que, en este juego, todos los miembros de cada equipo de base

tienen la misma oportunidad de aportar la misma cantidad de puntos para su

equipo, porque todos compiten con miembros de otros equipos de una

capacidad similar. Incluso puede darse el caso de que, en un equipo de base,

los miembros con menor capacidad aporten más puntos para su equipo, porque

han “ganado” su partida, que los de más capacidad, los cuales pueden haber

“perdido” su partida.

2.4.2.4 Equipos de aprendizaje por divisiones: Student Team

Achievement Divisions (STAD)

Este método fue diseñado por Slavin (1978), para mejorar la estructura del

método anterior (TGT). Dentro de sus características y funcionamiento es muy

similar al TGT, pero reemplaza los torneos por exámenes individuales de unos

15 minutos, sin que exista la posibilidad de recibir ayuda de sus compañeros

durante el examen.

Las puntuaciones de exámenes se traducen a puntuaciones de equipo

mediante un sistema llamado “Rendimiento por divisiones”. El procedimiento es

el siguiente.

32

En primer lugar, se toma como referencia la puntuación obtenida por los

estudiantes en el primer examen realizado. Luego, se constituyen grupos

heterogéneos de cuatro ó cinco estudiantes. En cada uno de ellos habrá un

estudiante que haya obtenido una puntuación muy alta, otra alta, otro media,

otra baja y otra muy baja. A continuación, se divide la clase en subgrupos de

seis estudiantes.

En el primer subgrupo se encuentran los estudiantes que obtuvieron mejor

puntuación en cada uno de sus grupos de origen. Se comparan sus resultados

en la prueba realizada y quien esté a la cabeza de este subgrupo gana 10

puntos para su equipo, el segundo gana 8 puntos y así sucesivamente.

En el segundo subgrupo se encuentran los estudiantes que obtuvieron la

segunda mejor puntuación en cada uno de sus grupos de origen.

Finalmente, se comparan sus resultados en la prueba realizada y quien esté a

la cabeza de este subgrupo gana 10 puntos para su equipo, el segundo gana 8

puntos y así sucesivamente. Este procedimiento se realiza con el resto de los

subgrupos.

De esta manera, en esta técnica se compara el rendimiento de cada estudiante

sólo en relación con un grupo de referencia de un nivel similar al suyo y, por

otra parte, se asegura que cada estudiante pueda contribuir igualmente al éxito

de su grupo, pero en función de sus posibilidades. Incluso es posible que un

estudiante de un rendimiento más bajo aporte para el equipo más puntos que

otro miembro del equipo de un rendimiento más alto, porqué aquél ha quedado

mejor situado en su "división" que éste en la suya.

33

2.4.2.5 Equipos de ayuda individualizada: Team Assisted Individualization (TAI)

Este método diseñado por Slavin (1984), es ideal para la enseñanza de las

matemáticas con estudiantes entre 8 y 10 años, pues se combina el trabajo

cooperativo y la instrucción individualizada. Es donde todos los estudiantes

trabajan sobre lo mismo, pero cada uno de ellos siguiendo un programa

específico. La tarea de aprendizaje común se estructura en programas

personalizados para cada integrante del grupo, es decir, ajustados a las

características y necesidades de cada uno.

Entre sus objetivos destacan el de dotar a cada estudiante de materia adaptada

a su nivel de partida y a su capacidad para las matemáticas, pudiendo avanzar

a su propio ritmo. Otro objetivo importante que pretende es el de integrar a

estudiantes con deficiencias. En la aplicación de esta técnica se debe realizar

lo siguiente:

En primer lugar, se divide a los estudiantes de la clase en un determinado

número de Equipos de Base. Luego, se concreta para cada estudiante su Plan

de Trabajo Personalizado, en el cual consten los objetivos que debe alcanzar a

lo largo de la secuencia didáctica y las actividades que debe realizar. Todos

trabajan sobre los mismos contenidos, pero no necesariamente con los mismos

objetivos ni las mismas actividades. Cada estudiante se responsabiliza de llevar

a cabo su plan de trabajo y se compromete a ayudar a sus compañeros a llevar

a cabo el suyo propio.

Simultáneamente, cada equipo elabora para un período determinado, su propio

Plan de Equipo, con los objetivos que se proponen y los compromisos que

contraen para mejorar su funcionamiento como equipo. Si además de conseguir

los objetivos de aprendizaje personales, consiguen mejorar como equipo, cada

34

estudiante obtiene una “recompensa” (unos puntos adicionales en su

calificación final).

2.4.2.6 Tutoría entre iguales: Peer Tutoring

Este recurso se sustenta en la colaboración que un estudiante presta a un

compañero de clase que ha formulado una demanda de ayuda. Encontramos

una estructura de Aprendizaje Cooperativa, pero ya no en grupos reducidos y

heterogéneos sino recurriendo a una dualidad: parejas de estudiantes de un

mismo grupo.

Es una estrategia que trata de adaptarse a las diferencias individuales en

base a una relación didáctica entre los participantes. Estos suelen ser

dos compañeros de la misma clase y edad, uno de los cuales hace el

papel de tutor y el otro de alumno. El tutor enseña y el alumno aprende,

siendo generalmente esta relación guiada por el profesor (Parrilla, 1992).

Para que la Tutoría Entre Iguales ayude a mejorar el rendimiento de los

estudiantes implicados, tienen que darse las siguientes condiciones (Serrano &

Calvo, 1994):

El estudiante tutor debe responder a las demandas de ayuda de su

compañero.

La ayuda que proporcione el tutor a su compañero debe tomar la forma

de explicaciones detalladas sobre el proceso de resolución de un

problema y nunca debe proporcionarle soluciones ya hechas.

Tanto el hecho de recibir respuestas con la solución explicitada, como no

recibir ayuda a una demanda, comporta, evidentemente, un efecto negativo

sobre el rendimiento.

35

2.4.2.7 Aprendiendo juntos: Circles of learning

Los autores de este método son los hermanos Johnson y Johnson (1975). El

profesor es el que se encarga de formar los grupos, de dos a seis integrantes,

heterogéneos en cuanto a sexo y habilidad. La diferencia esencial con el resto

de los métodos es básicamente espacial, porque los distintos grupos que se

formen lo harán en círculos.

A cada grupo se le reparte un conjunto de materiales para que elaboren un

proyecto. No se establece ningún tipo de división previa del trabajo, teniendo los

integrantes del grupo tanto la responsabilidad de compartir la información y el

material, como la de ayudar a sus compañeros.

La evaluación se realiza de manera individual, a través de, exámenes que

se califican con notas. Sin embargo, también se evalúa el trabajo del equipo, de

tal manera que, si el grupo alcanza un determinado criterio, cada integrante

recibe una bonificación en puntos que se añade a su puntuación individual. En

otras ocasiones, cada grupo debe presentar en una sola hoja un resumen de lo

realizado por el equipo, valorándose además del contenido, la forma de trabajar

juntos y como llevaron a cabo su tarea de trabajar en equipo.

2.4.3 Técnica utilizada en la enseñanza de la Geometría, en la Educación Media

Todas las técnicas mencionadas anteriormente se pueden ajustar para el

proceso de enseñanza y aprendizaje de la Geometría en la Educación Media,

pero para la realización de la propuesta didáctica se utilizó la técnica de “Tutoría

entre iguales: Peer Tutoring”.

Se utilizó esta técnica, debido a que, del total de estudiantes de primero medio,

tenemos que el 50% de ellos tiene un buen rendimiento en la asignatura de

matemáticas, por ende, se formaron grupos de dos integrantes, conformados

36

por un estudiante de buen rendimiento y por otro de bajo rendimiento, en base a

las calificaciones obtenidas en la asignatura de matemáticas. Claramente, al

estudiante de buen rendimiento le tocó el papel de tutor, el cual respondió a las

demandas de ayuda de su compañero de grupo. De este modo, el tutor ayudo a

mejorar el rendimiento de su compañero de grupo.

2.4.4 Rol del Profesor en el Aprendizaje Cooperativo

Suárez (2010), describe que el rol del profesor en el proceso de interacción

cooperativa, es complejo y como tal, le corresponde la estructuración de las

actividades cooperativas por medio del criterio pedagógico y del reconocimiento

del valor de la cooperación, la cual debe ser dirigida y guiada. El profesor puede

enriquecer el proceso educativo mas allá de la individualidad del estudiante,

desde la piel hacia la experiencia del otro (empatía) y viceversa, y con esta

actividad abrir otra oportunidad real de aprendizaje.

El rol del profesor en el Aprendizaje Cooperativo implica:

Planificar actividades didácticas.

Desarrollar en los estudiantes un conjunto de habilidades sociales

previas para el funcionamiento del equipo. Asegura la conformación de

grupos, mejora el estilo de comunicación, distribuye los materiales de

trabajo, fija el tiempo, conforma el entorno, etc.

Proponer una serie de roles a los integrantes de cada grupo, ya que las

funciones deben rotar constantemente entre sus integrantes.

Estimular la comunicación y la reciprocidad en torno a la meta en

conjunto, para promover la interdependencia entre los estudiantes.

Afianzar la práctica evaluadora a nivel personal y de equipo para orientar

cada vez que sea necesario el uso de la evaluación en pro del

aprendizaje.

37

Como se puede observar, la actividad cooperativa cambia la forma en que el

profesor desarrolla su propio desempeño educativo, motivo por el cual se crea

la necesidad del replanteamiento de la actividad del profesor, transformándose

desde la típica postura de expositor a la de facilitador, examinador y estimulador

de la interacción recíproca entre estudiantes.

Finalmente, Suárez (2010), menciona que los profesores antes de dirigir la

cooperación del estudiante, deben pensar y actuar cooperativamente, es ésta la

fuente básica de comprender el funcionamiento del Aprendizaje Cooperativo; no

se puede hacer algo si no se aplica, por tanto debe aprender a pensar

cooperativamente por experiencia, el profesor conoce lo que se puede hacer o

dejar de hacer, para favorecer la cooperación de los estudiantes.

2.5 Criterios para la composición de los grupos de Aprendizaje Cooperativo

Para la composición de los grupos de Aprendizaje Cooperativo, se debe

considerar el tiempo que tardará la realización de la actividad, el número de

integrantes de cada grupo y el modo en que se seleccionarán los integrantes de

cada grupo.

2.5.1 Clasificación de los grupos, conforme a su duración

El Aprendizaje Cooperativo comprende tres tipos de grupos de aprendizaje

(Johnson, D., Johnson, R. & Smith, K., 1991):

2.5.1.1 Los Grupos Formales

Los grupos formales de Aprendizaje Cooperativo, duran entre una clase y varias

semanas. En estos grupos los estudiantes trabajan juntos para lograr objetivos

38

comunes, asegurándose de que ellos mismos y sus compañeros de grupo

completen la tarea de aprendizaje asignada. Independientemente del tipo de

materia que se esté trabajando o del programa de estudios que se siga,

cualquier tarea puede organizarse de manera cooperativa.

En estos grupos el profesor adquiere gran relevancia, ya que debe:

Especificar los objetivos de la clase.

Tomar una serie de decisiones previas a la enseñanza.

Explicar la tarea y la interdependencia positiva a los estudiantes.

Supervisar el aprendizaje de los estudiantes e intervenir en los grupos

para brindar apoyo en la tarea o para mejorar el desempeño

interpersonal y grupal de los estudiantes.

Evaluar el aprendizaje de los estudiantes y ayudarlos a determinar el

nivel de eficacia con que funcionó su grupo.

2.5.1.2 Los Grupos Informales

Los grupos informales de Aprendizaje Cooperativo, son grupos que duran

desde unos minutos hasta una hora de clase. Se utilizan para centrar la

atención de los estudiantes en el material que deben aprender, creando un

clima favorable para el aprendizaje, ayudando a establecer expectativas sobre

lo que abarcará la actividad, y así asegurarse que los estudiantes procesen

cognitivamente el material que se está enseñando y así proporcionar un cierre a

la situación educativa.

La actividad de estos grupos informales suele consistir en una charla de tres a

cinco minutos entre los estudiantes antes y después de una clase, o en diálogos

de dos a tres minutos entre parejas de estudiantes durante el transcurso de la

clase.

39

2.5.1.3 Los grupos de base

Los grupos de base cooperativos tienen un funcionamiento de largo plazo (por

lo menos de casi un año) y son grupos de aprendizaje heterogéneos, con

miembros permanentes, cuyo principal objetivo es posibilitar que sus

integrantes se apoyen unos a otros, pues, se necesita la ayuda y el respaldo

que cada uno de ellos para tener un buen rendimiento escolar.

Los grupos de base permiten que los estudiantes entablen relaciones

responsables y duraderas que los motivarán a esforzarse en sus tareas, a

progresar en el cumplimiento de sus obligaciones escolares y a tener un buen

desarrollo cognitivo y social (Johnson, D., Johnson, R., & Holubec, E, 1999).

El profesor que emplee reiteradamente los grupos formales, los informales y los

de base adquirirá un grado tal de práctica que podrá estructurar situaciones de

Aprendizaje Cooperativo en forma automática. Además, podrá utilizar

correctamente el Aprendizaje Cooperativo durante todo el resto de su actividad

docente.

2.5.2 Tamaño de los Grupos

Se recomienda que idealmente, los grupos estén compuestos de dos a cuatro

estudiantes. Según las palabras de Johnson, Johnson y Holubec (1999),

cuanto más pequeño sea el grupo, tanto mejor, puesto que permite una mayor

producción de lengua por estudiante.

Para Kagan (1999), la composición ideal es de cuatro estudiantes, ya que,

primero, se permite trabajar en parejas, lo que es adaptable a muchas de las

estructuras que presenta el Aprendizaje Cooperativo; segundo, al ser un

número par evitamos que uno de los participantes quede fuera y por último,

porque un grupo de cuatro permite más combinaciones de parejas que uno de

40

tres. Un mayor número de combinaciones de pares nos ofrece una mayor

variedad y mayor probabilidad de que se creen conflictos cognitivos, necesarios

para que tenga lugar el aprendizaje.

Por un lado, cuanto más numeroso sea el grupo, mayor será la gama de

destrezas, capacidades y diversidad de puntos de vista. Con cada miembro se

incrementan los recursos que contribuyen al éxito del grupo.

Por otro lado, en grupos más reducidos, el desempeño de cada miembro es

más visible y los estudiantes son más responsables de sus actos, lo que

garantiza la participación activa de todos.

También habrá que tener en cuenta el tiempo del que disponemos para realizar

la tarea. Si se dispone de poco tiempo el trabajo en parejas será más efectivo,

puesto que requiere menos tiempo para organizarse y permite una intervención

más prolongada a cada miembro.

2.5.3 Clasificación de los grupos, conforme a su distribución

2.5.3.1 Grupos formados Aleatoriamente

En esta modalidad se seleccionan al azar a los estudiantes que compondrán el

grupo. En único inconveniente es que puede generar inseguridad entre los

miembros del grupo, cuando no se conocen o cuando hay sentimientos de

enemistad entre algunos de ellos.

2.5.3.2 Agrupación Natural En esta modalidad los estudiantes son los que escogen libremente a los

compañeros que desean tener en su grupo de trabajo. La ventaja es que surjan

41

grupos unidos y productivos. La desventaja es que queden estudiantes aislados

sin pertenecer a ningún grupo.

2.5.3.3 Agrupamiento impuesto por el Profesor

En este caso, es el profesor quien selecciona a los estudiantes que

pertenecerán a cada grupo, en función de afinidades, capacidades o intereses.

El único inconveniente recae en que si los miembros del grupo no se conocen o

no se estiman suficientemente, se pueden resistir a trabajar juntos.

2.6 Elementos claves para lograr un Aprendizaje Cooperativo

Los hermanos Johnson (1994, 1999), consideran cinco elementos básicos, sin

ellos no es posible llevar a la práctica el Aprendizaje Cooperativo:

2.6.1 Interdependencia positiva

Constituye el núcleo del Aprendizaje Cooperativo, y se alcanza cuando todos

los miembros del grupo son consientes de que no pueden alcanzar el éxito a

menos que también lo alcancen sus compañeros. Los estudiantes deben

trabajar juntos para lograr las metas propuestas, puesto que, del esfuerzo que

realiza cada persona se beneficia uno mismo y los demás. Sin interdependencia

positiva, no hay cooperación.

Según Kagan (1999), la interdependencia positiva de una actividad puede

crearse dependiendo de la tarea, la evaluación, los recursos o los roles: la tarea

debe estructurarse de forma que cada miembro del grupo deba encargarse

inevitablemente de una parte y que nadie más pueda hacerlo por él o ella; para

la evaluación se crea un tipo de puntuación individual y grupal, de forma que la

nota del grupo sea el promedio de la nota de cada participante; los recursos y

42

los roles se pueden repartir entre los miembros del grupo, de modo que, todos

deban utilizar o llevar a cabo su parte.

2.6.2 Responsabilidad individual y grupal

Cada miembro del grupo es responsable de la parte de la actividad que le

corresponde. Nadie puede aprovecharse del trabajo de los demás, para lograr

una buena nota final.

Al hacer responsable a cada estudiante de su parte de la actividad y al grupo

del producto final de éste, se evita que, por una parte, los estudiantes con mejor

rendimiento se responsabilicen del trabajo de todo el grupo y que acaben

haciendo solos la actividad para conseguir una buena nota final, o que, por otra

parte, los estudiantes con peor rendimiento dejen que el resto de sus

compañeros hagan toda la actividad, sabiendo que así tendrán una buena nota

final.

Según los hermanos Johnson (1999), la responsabilidad individual existe

cuando se evalúa el desempeño de cada estudiante y los resultados de la

evaluación son transmitidos al grupo y al individuo a efectos de determinar

quién necesita más ayuda, respaldo y aliento para efectuar la tarea en cuestión.

El propósito de los grupos de Aprendizaje Cooperativo, es fortalecer a cada

miembro individual, es decir, que los estudiantes aprenden juntos para luego

desempeñarse mejor como individuos.

2.6.3 Interacción cara a cara o Interacción estimuladora

Los estudiantes deben realizar juntos una labor en la que cada uno promueva el

éxito de los demás, compartiendo los recursos existentes y ayudándose,

respaldándose, alentándose y felicitándose unos a otros por su empeño en

aprender. Los grupos de aprendizaje son a la vez, un sistema de apoyo

académico y un sistema de respaldo personal.

43

Los hermanos Johnson (1999), afirman que algunas importantes actividades

cognitivas e interpersonales sólo pueden producirse cuando cada estudiante

promueve el aprendizaje de los otros, explicando verbalmente cómo resolver

problemas, analizar la índole de los conceptos que se están aprendiendo,

enseñar lo que uno sabe a sus compañeros y conectar el aprendizaje presente

con el pasado. Al promover personalmente el aprendizaje de los demás, los

miembros del grupo adquieren un compromiso personal unos con otros, así

como con sus objetivos comunes.

2.6.4 Aprendizaje de habilidades sociales o Prácticas interpersonales

y grupales imprescindibles

Consiste en enseñar a los estudiantes a interrelacionarse como compañeros de

grupo. El profesor les tendrá que enseñar las prácticas de trabajo en grupos con

la misma seriedad y precisión como les enseñan los contenidos escolares.

Los miembros del grupo deben saber cómo ejercer la dirección, tomar

decisiones, crear un clima de confianza, comunicarse, manejar conflictos y

deben sentirse motivados a hacerlo.

Kagan (1999), nos ofrece cuatro métodos para favorecer y fomentar lo que él

denomina, “Destrezas Sociales”:

El modelaje y refuerzo de ciertas habilidades, que consiste en que o bien

el profesor o algún alumno llame la atención sobre modelos de

comportamiento deseados que se observen en la clase, y el refuerzo que

se consigue por medio de recompensas o premios simbólicos.

La asignación de roles, dependiendo de la habilidad de cada estudiante.

A cada uno de ellos se le asignará un rol diferente.

La estructura determina la forma en la que una actividad se llevará a

cabo y el tipo de estructura que se utilice dependerá de la habilidad que

se quiera fomentar.

44

La reflexión sería el tiempo que los estudiantes han de tomarse para

reflexionar sobre su comportamiento o sobre el uso que han hecho de la

habilidad que se pretendía corregir o practicar ese día. Se puede hacer a

través de cuestionarios que el profesor reparta, o bien con un

intercambio oral o puesta en común de experiencias del grupo.

2.6.5 Evaluación grupal

El grupo debe analizar y evaluar periódicamente y de manera continuada su

forma de trabajar, en qué medida están alcanzando sus metas y manteniendo

relaciones de trabajo eficaces.

Los grupos deben determinar qué acciones de sus miembros son positivas o

negativas y tomar decisiones acerca de cuáles conductas conservar o

modificar.

2.7 Fundamentación matemática sobre el concepto de Congruencia de figuras planas

Diremos que dos figuras geométricas planas son congruentes ( , si una de

ellas se puede “mover”: rotándola sobre un punto, reflejándola sobre un eje y/o

trasladándola, de tal manera que coincida con la otra.

Casos especiales: Dos triángulos equiláteros cuyos lados tengan la misma

longitud son congruentes, dos círculos del mismo radio son congruentes, dos

cuadrados cuyos lados de igual tamaño son congruentes (Moise, E., & Downs

,1986).

2.7.1 Criterios de Congruencia de triángulos Estudiaremos los teoremas expresados en el libro de “Geometría y

Trigonometría” de Baldor (2008).

45

2.7.1.1 Teorema de congruencia: Ángulo- Lado- Ángulo (ALA)

Dos triángulos son congruentes, si tienen un lado y los ángulos adyacentes a

ese lado, respectivamente congruentes.

Es decir, dados los triángulos y ′ ′ ′, se satisface que:

′ ′ ′ y ′.

Figura 1: Criterio A-L-A (Adaptado del capítulo 6, del tema: Casos de igualdad de triángulos, del libro “Geometría y

Trigonometría” de Baldor)

2.7.1.2 Teorema de Congruencia: Lado-Ángulo-Lado (LAL)

Dos triángulos son congruentes, si tienen dos lados y el ángulo comprendido

entre ellos, respectivamente congruentes.

Es decir, dados los triángulos y ′ ′ ′, se satisface que:

′ ′ ´ ′ y ′.

Figura 2: Criterio L-A-L (Adaptado del capítulo 6, del tema: Casos de igualdad de triángulos, del libro “Geometría y

Trigonometría” de Baldor)

46

2.7.1.3 Teorema de Congruencia: Lado-Lado-Lado (LLL)

Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados respectivamente

congruentes.

Es decir, dados los triángulos y ′ ′ ′, se satisface que:

′ ′ ´ ′ y .

Figura 3: Criterio L-L-L (Adaptado del capítulo 6, del tema: Casos de igualdad de triángulos, del libro “Geometría y

Trigonometría” de Baldor)

2.8 Habilidades a desarrollar en el contenido de Congruencia de figuras planas

El estudio de la Geometría busca desarrollar en los estudiantes el razonamiento

geométrico, por medio de las habilidades geométricas de: Visualización,

Comunicación, Dibujo, Razonamiento, y de Aplicación y transferencia.

2.8.1 Habilidades Visuales

Según Bressan (2000), la visualización es una actividad del razonamiento o

proceso cognitivo basada en el uso de elementos visuales o espaciales, tanto

mentales como físicos, utilizados para resolver problemas o para probar

propiedades.

47

Desarrollar la habilidad de visualización es muy importante en Geometría; es

posible que al resolver un problema los estudiantes tengan dificultades debido a

que no logran estructurar lo que observan o lo estructuran de una manera que

no lleva a la solución del problema o no facilita demostrar cierta propiedad. Las

configuraciones geométricas generalmente pueden visualizarse de varias

maneras y es importante que esto se trabaje con los estudiantes.

2.8.2 Habilidades de Comunicación

La habilidad de comunicación se refiere a la capacidad que debe adquirir el

estudiante de interpretar, entender y comunicar información geométrica, ya sea

en forma oral, escrita o gráfica, usando símbolos y vocabularios propios de la

geometría.

Esta habilidad está estrechamente relacionada con el pensamiento y está

presente en la asignatura de matemáticas, cuando:

Se lee e interpreta la información de un problema para empezar a

resolverlo.

Se discute con los compañeros de equipo las posibles estrategias de

resolución.

Se presenta ante el grupo el resultado y procedimiento que se siguió

para resolver un problema.

Se justifica un resultado o un procedimiento.

Se valida una conjetura.

2.8.3 Habilidades de Dibujo Las habilidades de dibujo están relacionadas con las reproducciones o

construcciones gráficas que los estudiantes hacen de los objetos geométricos.

La reproducción se refiere a la copia de un modelo dado, ya sea del mismo

48

tamaño o a escala, cuya construcción puede realizarse con base en información

que se da en forma verbal (oral o escrita) o gráfica.

2.8.4 Habilidades de Razonamiento

En el caso de la geometría, se espera que los estudiantes desarrollen sus

habilidades de razonamiento, tales como:

La abstracción de características o propiedades de las relaciones y de

los conceptos geométricos.

Argumentar.

Hacer conjeturas y tratar de justificarlas o demostrarlas.

Demostrar la falsedad de una conjetura al plantear un contraejemplo.

Seguir una serie de argumentos lógicos.

Identificar cuándo un razonamiento no es lógico.

Hacer deducciones lógicas.

2.8.5 Habilidades de aplicación y transferencia En las habilidades de aplicación y transferencia, se espera que los estudiantes

sean capaces de aplicar lo aprendido, no sólo al resolver problemas dentro de

la misma geometría, sino también a que modelen geométricamente situaciones

del mundo físico o de otras disciplinas.

49

CAPÍTULO III Metodología

Este capítulo detalla la metodología y el paradigma que sustenta la presente

investigación, así como los instrumentos y técnicas utilizadas en la recogida de

la información del estudio realizado.

3.1 Metodología elegida La investigación se centra en analizar las estrategias y tipos de actividades que

predominan en el Aprendizaje Cooperativo, para comprender como esta

metodología influye positivamente en el desarrollo de las habilidades

geométricas en un grupo de estudiantes de un colegio de la Educación Media

de Puerto Montt.

En este escenario, se opta por una metodología cualitativa enmarcada en el

paradigma comprensivo. En este sentido, la opción es comprender e interpretar,

no medir ni comparar, pues se aspira a dar sentido a la acción pedagógica del

docente de matemática y de los estudiantes en el aula, desde una mirada

interpretativa de sus propias acciones y actitudes para poder resolver el

problema de la investigación.

En consonancia con la idea anterior, Martínez (2000) plantea que el paradigma

cualitativo ha permitido a la educación matemática, identificar e interpretar la

estructura dinámica y cambiante de los procesos de enseñanza y aprendizaje

en esta área; con el fin de teorizar sobre los fenómenos sociales que acontecen

en tales procesos.

50

Bajo esta perspectiva, esta investigación tiene un carácter holístico y

contextualizado, naturalista, interpretativo y empático acorde a los fundamentos

de Stake (1995), donde el investigador es un observador – participante en ella y

la recogida de datos se realiza de manera sistemática, a través del contacto

directo con el grupo. Una vez que se analiza e interpretan los datos, se cotejan

los resultados de los instrumentos aplicados y se diseña la propuesta didáctica

objeto de este trabajo.

La investigación se organiza en cuatro fases, las que se complementan durante

su desarrollo:

Fase 1: Consiste en el análisis de la literatura existente relacionada con la

problemática de la investigación y la realidad educativa, para conocer en

profundidad el fenómeno, desde la posición de los estudiantes y del profesor de

matemática.

Fase 2: En esta fase se realiza el análisis de las necesidades reales de los

estudiantes de primer año en Geometría y el conocimiento que el profesor tiene

acerca el Aprendizaje Cooperativo para las clases de geometría. La información

se obtiene mediante la entrevista al profesor de matemática del colegio y a los

estudiantes de primero medio, así como, mediante la observación –

participante. Los datos obtenidos en esta etapa, fundamentan la propuesta

didáctica que se sugiere en este trabajo.

Fase 3: Se diseña y aplica la propuesta didáctica para el trabajo con el

contenido de Congruencia de figuras planas.

Fase 4: Se evalúa la experiencia y su impacto en el aprendizaje de la

Geometría.

51

3.2 Paradigmas o perspectivas filosóficas que la sustentan Siguiendo a Kuhn (1975), que introdujo el concepto de paradigma en la

discusión epistemológica, llamaremos paradigma a una concepción general

sobre lo que estudia una ciencia; sus problemas, el método utilizado y también

las formas de explicar, interpretar o comprender. El paradigma es aceptado por

un conjunto de investigadores, lo que constituye una diferencia entre una

comunidad científica y otra y se erige como el fundamento válido de su manera

de hacer ciencia.

Acorde a los argumentos hasta aquí planteados, el paradigma que se asume es

descriptivo - interpretativo, descriptivo porque el interés fue indicar lo que

realmente pasa con la enseñanza y el aprendizaje de matemáticas en el aula, e

interpretativo porque, además de decir lo que pasa, se consideró necesario

analizar y comprender la realidad educativa que no se podía observar

directamente para poder diseñar una propuesta genuina.

La intención final consiste en comprender la conducta de los estudiantes,

mediante la interpretación de los significados de esas conductas, observando

los cambios que se generan. En esta propuesta de estudio, la comprensión y la

interpretación son los ejes desde donde se entiende la posibilidad de generar

conocimiento y competencias.

Esta investigación también se considera un paradigma de investigación –

acción, debido a la presencia de un observador – participante, con el objetivo de

recoger datos, de modo sistemático, a través de un contacto directo con el

grupo, y un estudio orientado a la práctica educativa, para el mejoramiento del

desempeño de los estudiantes y de la práctica educativa.

Atendiendo a Elliot (1993), la investigación-acción está orientada a la práctica

educativa. Desde esta perspectiva, la finalidad esencial de este tipo es,

52

fundamentalmente, aportar información que guíe la toma de decisiones y los

procesos de cambio para la mejora de la misma. El objetivo prioritario de la

investigación – acción consiste en mejorar la práctica mediante una reflexión

sistemática en la acción.

3.3 Descripción de las técnicas e instrumentos utilizados Para la recogida de datos del presente estudio, los instrumentos se seleccionan

de acuerdo a los objetivos, las unidades de análisis y al contexto de la

investigación. Siendo esta investigación de corte cualitativo, como ya se ha

mencionado, se opta por la observación participante, la entrevista semi-

estructurada a profesores de matemáticas, la entrevista no estructurada a

estudiantes de primer año y el diario de campo.

“La recolección de datos se realiza en los ambientes cotidianos de

los participantes, para obtener información de las personas, en sus

propias formas de expresión. Los datos que se obtienen son

conceptos, percepciones, creencias, emociones, pensamientos,

experiencias, procesos y vivencias manifestadas en el lenguaje y

las acciones de los participantes de manera individual o colectiva.

Se recolectan para analizarlos y comprenderlos y así responder a

la pregunta de investigación y a generar conocimiento. Se intenta

capturar y entender los motivos subyacentes, los significados y las

razones internas del comportamiento humano…como hablan en

qué creen, que sienten, cómo piensan” (Hernández Sampieri, 2006,

p.616).

53

3.3.1 La observación participante

La observación como técnica para la obtención de información puede ser

participante y no participante. En esta oportunidad ocurrió la observación

participante con el objetivo de recoger datos, de modo sistemático, a través de

un contacto directo con el grupo.

La observación participante aportó información complementaria a las

respuestas de la entrevista a los estudiantes y al profesor. Como señalan

Dudley-Evans y St. John (1998), “La observación puede abarcar actividades

desde una tarea en particular supervisando el trabajo individual” (p.135).

Para dejar constancia de lo observado, se utilizó el diario de campo. Se prestó

especial atención a la participación del estudiante en la clase, a la interacción

profesor-estudiante y estudiante-estudiante, y al tipo de tarea que se desarrolla

para la construcción del conocimiento y del desarrollo de las habilidades

geométricas.

Durante la observación se percibe que el profesor de matemática mostró

deficiencias en el proceso de la enseñanza de la geometría en la Educación

Media, ya que, las estrategias didácticas que utiliza en sus clases no resultaron

ser apropiadas para el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Geometría,

debido a que el profesor utiliza la metodología tradicional para enseñar, esto

quiere decir que expone conceptos o propiedades geométricas que pueden

generar la memorización, pero que también puede generar aburrimiento,

distracciones y poca motivación por parte de los estudiantes a aprender

geometría. El éxito de las clases de geometría depende en gran parte de la

participación que logren los estudiantes.

Respecto al contenido de Congruencia de figuras planas, se observa que fue

transmitido de forma verbal, priorizándose lo conceptual memorístico. Los

estudiantes se muestran desinteresados e intranquilos en las clases. El profesor

54

trabaja la parte cognitiva de los estudiantes por medio de ejercicios y problemas

inventados por él.

3.3.2 Diario de campo El Diario de Campo fue uno de los instrumentos que permitió sistematizar la

práctica de la investigación. En consecuencia, nos permite mejorarlas,

perfeccionarla, enriquecerla y transformarlas.

Según Bonilla y Rodríguez (1997), “El diario de campo debe permitirle al

investigador un monitoreo permanente del proceso de observación. Puede ser

especialmente útil [...] al investigador, en él se toma nota de aspectos que

considere importantes para organizar, analizar e interpretar la información que

está recogiendo” (p. 129).

En esta investigación se utilizó el diario de campo para dejar constancia de la

observación participante, de modo que, se hicieron anotaciones de todo lo que

ocurrió en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría en el único

curso de primero medio de un colegio de Puerto Montt.

Se prestó especial atención a la participación del estudiante en la clase, a la

interacción profesor-estudiante y estudiante-estudiante, y al tipo de actividad

que se desarrolló, para la construcción del conocimiento y del desarrollo de las

habilidades geométricas en lo que respecta a la unidad de geometría,

especialmente al contenido de congruencia de figuras planas.

55

3.3.3 La entrevista semi-estructurada al profesor de matemáticas (Anexo 1)

La entrevista se elaboró atendiendo al objetivo general de la investigación. Las

preguntas de entrevista se formularon en un lenguaje coloquial entendible por el

entrevistado que provocase información espontánea y fértil (Blasco y Otero,

2008).

Aunque se fijó un orden de preguntas, no se siguió un protocolo totalmente

estructurado y por tanto no se indagó sobre cada uno de los temas en un orden

prefijado, sino que el profesor brindó la información de los temas explorados de

manera franca y espontánea. Se tomaron notas de la información de manera

general.

Atendiendo a las afirmaciones de Ruiz (1996), se procedió de lo más amplio a

lo más pequeño, de lo más superficial a lo más profundo, de lo más impersonal

a lo más personalizado y de lo más informativo a lo más interpretativo, para

llegar al replanteamiento de los aspectos que interesan en el estudio.

3.3.4 La entrevista no estructurada a estudiantes (Anexo 2)

Los participantes accedieron de forma voluntaria a la realización de la entrevista

mostrando gran interés por el tema y finalidad de la misma.

El propósito fundamental de la realización de estas entrevistas fue describir el

comportamiento y participación de los estudiantes en las clases, su opinión a

cómo el profesor enseña Geometría, así como la adquisición del conocimiento y

las habilidades geométricas.

56

3.4 Criterios de credibilidad utilizados

Dado que la investigación es cualitativa, la información es interpretada desde

esta perspectiva, donde el criterio de credibilidad se corresponde con los

criterios de validez interna (Guba & Lincoln, 1985), en el sentido de que el

isomorfismo entre los hallazgos y la realidad es reemplazado por la similitud

entre las realidades construidas por los participantes en el proceso y las

reconstrucciones del evaluador atribuidas a ellos (triangulación). Son estos

criterios, los que revelan que la investigación se ha realizado de forma

pertinente, garantizando que el tema fue identificado y descrito con exactitud y

que los resultados obtenidos son auténticos.

En este sentido, Maxwell (1992) plantea que la validez en la Investigación

Cualitativa se relaciona fundamentalmente con los textos, siendo ellos los que

trasladan el énfasis del establecimiento de un isomorfismo con la realidad

estudiada hacia el nivel de suficiencia de evidencia.

En la actualidad, la credibilidad de este tipo de estudio, también se le relaciona

con la precisión, estabilidad, exactitud y consistencia de sus resultados (Ruiz

Olabuénaga, 2003) y también cuando una réplica del estudio arroja los mismos

resultados (Vieytes, 2009).

En este escenario y tomando como base los criterios de credibilidad de Guba &

Lincoln (1985), se espera dar credibilidad a esta investigación mediante:

- La observación y conversaciones prolongadas y persistentes del

investigador, como observador participante (estudiante en práctica

profesional) con el resto de los participantes del estudio, para la

recolección de la información, la que propiciará resultados y hallazgos,

que serán reconocidos y confirmando por los informantes.

57

- El trabajo prolongado del investigador en el campo. En este caso el

trabajo de campo se ha llevado a cabo durante tres meses. Durante este

tiempo se trata de recopilar los datos sobre las percepciones de los

actores desde dentro, con atención y comprensión empática, rompiendo

con las preconcepciones sobre los tópicos objeto de discusión.

- Triangulación. La triangulación es una herramienta enriquecedora que le

confiere al estudio cualitativo, rigor, profundidad, complejidad, así como

da consistencia a los hallazgos (Patton M, 2002). A la vez permite reducir

sesgos y aumentar la comprensión de un fenómeno.

Para realizar la triangulación de datos es necesario que los métodos

utilizados durante la observación o interpretación del fenómeno sean

cualitativo para que éstos sean cotejables. Esta triangulación consiste en

la verificación y comparación de la información obtenida en diferentes

momentos mediante los diferentes métodos. (Patton M, 2002).

Es así que, con el proceso de triangulación de los datos se otorga más

credibilidad a este estudio, ya que mediante las fuentes de datos y los

resultados de los instrumentos aplicados se determina la congruencia

entre los resultados. En este caso, se triangula la observación

participante, la entrevista semi-estructurada al profesor de matemáticas,

la entrevista abierta a los estudiantes y el diario de campo.

Los argumentos planteados, aseveran que los resultados son auténticos para

todos los actores involucrados en esta investigación.

Se han resguardado las notas de campo y las audiciones de las entrevistas al

profesor y a los estudiantes para asegurar la credibilidad de la investigación.

58

CAPÍTULO IV Análisis y discusión de los resultados

En este capítulo se analizan las actividades desarrolladas y las respuestas

dadas por los estudiantes de primero medio, en la propuesta didáctica para la

enseñanza de la Geometría, mediante el Aprendizaje Cooperativo. También se

analizan los resultados de los instrumentos aplicados en el estudio. Luego, se

realiza una triangulación de todos los elementos antes referidos. 4.1 Descripción de la población La población muestra del estudio la conforma un total de 30 estudiantes, los

que cursan primero medio, en un colegio particular subvencionado de Puerto

Montt. El total de los estudiantes lo integran 11 jóvenes del sexo femenino y 19

jóvenes del sexo masculino, cuyas edades fluctúan entre 14 y 15 años de edad.

Estos estudiantes pertenecen a un estrato socioeconómico de clase media alta.

Dentro del grupo hay dos estudiantes que pertenecen al Proyecto de

Integración Escolar (PIE).

4.2 Propuesta didáctica para la enseñanza de la Geometría (Anexos del 3

al 6)

La propuesta didáctica está diseñada para abordar el eje curricular de la unidad

de Geometría, mediante el Aprendizaje Cooperativo. Para analizar la

investigación, la propuesta se enfoca a sólo una parte de la unidad de

Geometría de primero medio, es decir, las actividades están relacionadas al

contenido de Congruencia de Figuras Planas.

59

La propuesta didáctica tiene como finalidad desarrollar las habilidades

geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de Puerto

Montt, mediante el Aprendizaje Cooperativo.

Esta propuesta se sitúa en una secuencia de actividades en el siguiente orden:

Congruencia de figuras planas y Criterios de congruencia de triángulos.

Figura 4: Elaboración propia de la autora de la investigación (2016).

A continuación, en la Tabla 2 describimos detalladamente las actividades,

objetivos, instrucciones, supuestos de instrucción y tiempo estimado en el

desarrollo de la secuencia didáctica construida para primero medio.

Tabla 2: Planeación de la unidad didáctica de Congruencia de figuras planas

SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS

Situación de enseñanza – aprendizaje: Construcción de figuras planas congruentes, a partir de un Tangram Chino.

Actividad: ACTIVIDAD N° 1 (Anexo 3)

Objetivo:

Identificar los pares de figuras planas congruentes que se pueden construir con la ayuda de un Tangram Chino.

60

Tabla 2 (Continuación)

Instrucciones:

- El profesor divide al curso en grupos de dos estudiantes, los cuales se deben complementar para llegar a un resultado final.

- Se les entrega a cada grupo la actividad acompañada de una hoja de respuestas y de un Tangram Chino.

- Los estudiantes deben identificar y construir todos los pares de triángulos congruentes presentes, todos los pares de cuadrados congruentes presentes, todos los pares de trapecios rectángulos congruentes presentes y todos los pares de romboides congruentes presentes.

- Todos los pares de figuras planas congruentes presentes, se deben dibujar en la hoja de respuesta con los mismos colores del Tangram Chino.

Supuestos de instrucción: Los integrantes de cada grupo identifican los pares de figuras planas congruentes que se pueden construir con la ayuda de un Tangram Chino.

Descripción: Los estudiantes deben construir con la ayuda de un Tangram Chino: Pares de triángulos congruentes, pares de cuadrados congruentes, pares de trapecios rectángulos congruentes y pares de romboides congruentes. Además deben fundamentar porque son congruentes.

Tiempo estimado: 2 horas pedagógicas.

SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS

Situación de enseñanza – aprendizaje:

Conceptualización de la congruencia de figuras planas, a través de las transformaciones isométricas.

Actividad: ACTIVIDAD N° 2 (Anexo 4)

Objetivo: Comprender el concepto de congruencia de figuras planas, a través de las transformaciones isométricas.

Instrucciones:

- El profesor divide al curso en grupos de dos estudiantes, los cuales se deben complementar para llegar a un resultado final.

- Se les entrega a cada grupo la actividad acompañada de una hoja de respuestas.

- En la primera parte de la actividad los estudiantes deben trasladar la figura , respecto a un vector para obtener la figura

. - Los estudiantes deben determinar porqué los lados de

la figura resultante son congruentes a los lados de la figura original y justificar porque ambas figuras son congruentes.

61

Tabla 2 (Continuación)

- En la segunda parte de la actividad se les presenta un que es rotado 90° con respecto al origen,

obteniendo el . - Los estudiantes deben probar que el triángulo original y

que el triángulo resultante son congruentes.

Supuestos de instrucción: Los integrantes de cada grupo comprenden el concepto de congruencia de figuras planas, a través de las transformaciones isométricas.

Descripción: Los estudiantes deben trasladar una figura respecto a un vector dado y fundamentar porque la figura resultante es congruente a la original. Además, deben probar porque al rotar una figura 90° con respecto al origen, la figura resultante es congruente a la original.

Tiempo estimado: 2 horas pedagógicas.

SUBTEMA CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Situación de enseñanza – aprendizaje: Conceptualización de los criterios de congruencia de triángulos.

Actividad: ACTIVIDAD N° 3 (Anexo 5)

Objetivo: Analizar e identificar los criterios de congruencia de triángulos, a través de demostraciones y construcciones geométricas.

Instrucciones:

- El profesor divide al curso en grupos de dos estudiantes, los cuales se deben complementar para llegar a un resultado final.

- Se les entrega a cada grupo la actividad acompañada de una hoja de respuestas.

- En la primera parte de la actividad se presentan dos problemas de demostración de triángulos congruentes.

- Los estudiantes deben identificar el criterio de congruencia que se utilizó en cada una de las dos demostraciones.

- En la segunda parte de la actividad los estudiantes con ayuda de regla, compás y transportador deben realizar tres construcciones geométricas: 1. Un con dos ángulos que midan ° y

, y cuyo lado adyacente mida . Una vez realizada esta construcción deben determinar la característica que tendría en común con el de medidas y siendo la medida del lado (opuesto al lado γ ), igual a

2. Un , cuyas medidas de sus lados sean: , y .

62

Tabla 2 (Continuación)

Una vez realizada esta construcción deben determinar la característica que tendría en común con el , en el que dos de sus lados miden y y su perímetro

. 3. Un , con dos lados que midan y

, donde el ángulo comprendido entre ellos mida °. Una vez realizada esta construcción deben determinar la característica que tendría en común con el , en el que y y para el que la suma de los ángulos distintos a sea igual a .

Supuestos de instrucción: Los integrantes de cada grupo analizan e identifican los criterios de congruencia de triángulos, a través de demostraciones y construcciones geométricas.

Descripción: Los estudiantes deben identificar el criterio de congruencia de triángulos que se utilizó en cada una de las dos demostraciones. Además, con la ayuda de regla, compás y transportador deben construir tres triángulos y analizar e identificar los criterios de congruencia de triángulos presentes al construir otros tres triángulos.

Tiempo estimado: 2 horas pedagógicas.

SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS Y CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Situación de enseñanza – aprendizaje: Conceptualización de la congruencia de figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida cotidiana.

Actividad: ACTIVIDAD N° 4 (Anexo 6)

Objetivo: Analizar e identificar la congruencia de figuras planas y los criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida cotidiana.

Instrucciones:

- El profesor divide al curso en grupos de dos estudiantes, los cuales se deben complementar para llegar a un resultado final.

- Se les entrega a cada grupo la actividad acompañada de una hoja de respuestas.

- En la primera parte de la actividad se presentan tres pares de figuras.

- Los estudiantes deben identificar y justificar si los pares de figuras son congruentes o no.

- En la segunda parte de la actividad se presentan dos problemas, basados en situaciones de la vida cotidiana.

63

Tabla 2 (Continuación)

- Los estudiantes deben resolver los dos problemas utilizando los criterios de congruencia de triángulos.

Supuestos de instrucción: Los integrantes de cada grupo analizan e identifican la congruencia de figuras planas y los criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida cotidiana

Descripción:

Los estudiantes deben identificar y justificar si los pares de figuras son congruentes o no. Además, deben resolver dos problemas utilizando los criterios de congruencia de triángulos.

Tiempo estimado: 2 horas pedagógicas.

Nota. Fuente: Elaboración propia (2016).

4.3 Análisis de la Propuesta didáctica.

Cabe recordar que la descripción e interpretación de los hechos se hacen en

base a la observación participante y en el diario de campo, durante la

realización de las actividades y las entrevistas al profesor de matemáticas y a

los estudiantes involucrados en el estudio. El análisis de la propuesta didáctica

se hace en base a las características del Aprendizaje Cooperativo y en la

descripción de las habilidades geométricas de visualización, de comunicación,

de dibujo, de razonamiento y de aplicación y transferencia.

A continuación, se describen las observaciones generales del desarrollo de

cada una de las actividades de la situación de enseñanza–aprendizaje,

teniendo presente las habilidades geométricas desarrolladas por lo estudiantes

en las actividades propuestas.

Tabla 3: Construcción de figuras planas congruentes, a partir de un Tangram Chino

SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS

Situación de enseñanza – aprendizaje: Construcción de figuras planas congruentes, a partir de un Tangram Chino.

Actividad: ACTIVIDAD N° 1

64

Habilidad de visualización:

Los estudiantes observaron todas las piezas del Tangram Chino.

Los estudiantes identificaron los cinco pares de triángulos congruentes que se pueden construir con las piezas del Tangram Chino.

Los estudiantes identificaron los dos pares de cuadrados congruentes que se pueden construir con las piezas del Tangram Chino.

Los estudiantes identificaron los dos pares de trapecios rectángulos congruentes que se pueden construir con las piezas del Tangram Chino.

Los estudiantes identificaron al único par de romboides congruentes que se puede construir con las piezas del Tangram Chino.

Los estudiantes identificaron los colores de las piezas que utilizaron para la construcción de los cinco pares de triángulos congruentes, de los dos pares de cuadrados congruentes, de los dos pares de trapecios rectángulos congruentes y del único par de romboides congruentes.

Habilidad de comunicación:

Los estudiantes leyeron las instrucciones de la actividad.

Los estudiantes leyeron e interpretaron cada enunciado antes de resolverlo.

Los miembros del grupo discutieron las posibles estrategias de resolución a cada parte de la actividad.

Los estudiantes justificaron los pares de figuras planas congruentes. Se basaron en la definición de congruencia de figuras planas.

Habilidad de dibujo:

Los estudiantes dibujaron los cinco pares de triángulos congruentes y los pintaron de acuerdo a los colores de las piezas que utilizaron para su construcción.

Los estudiantes dibujaron los dos pares de cuadrados congruentes y los pintaron de acuerdo a los colores de las piezas que utilizaron para su construcción.

Los estudiantes dibujaron los dos pares de trapecios rectángulos congruentes y los pintaron de acuerdo a los colores de las piezas que utilizaron para su construcción.

65

Tabla 3 (Continuación)

Los estudiantes dibujaron al único par de

romboides congruentes y los pintaron de

acuerdo a los colores de las piezas que

utilizaron para su construcción.

Habilidad de razonamiento: Los estudiantes argumentaron los pares de figuras planas congruentes, utilizando el símbolo de congruencia ( ).

Habilidad de aplicación y transferencia: Los estudiantes aplicaron el concepto de congruencia de figuras planas en situaciones de la vida cotidiana.

Los estudiantes utilizaron las piezas del Tangram Chino en la construcción de otros tipos de figuras.

Nota. Descripción de la actividad n°1. Fuente: Elaboración propia (2016).

De los resultados obtenidos en la tabla 3, podemos interpretar que cuando los

miembros de cada grupo se ayudaron mutuamente a encontrar todos los pares

de figuras congruentes solicitadas, desarrollaron la habilidad de visualización.

Cabe mencionar, que en un grupo un integrante confundía al romboide con un

rombo, pero su compañero lo ayudó en la identificación y posterior construcción

de dicha figura. La labor del profesor fue fundamental para guiar a los

estudiantes en el proceso de identificación de los pares de trapecios

rectángulos y de los pares de romboides congruentes.

Cuando los miembros de cada grupo se complementaron aportando ideas para

llegar a un resultado final, desarrollaron la habilidad de comunicación. Además,

los estudiantes justificaron el por qué los pares de triángulos, de cuadrados, de

trapecios rectángulos y de romboides son congruentes. En esta justificación los

estudiantes se basaron en la definición de congruencia de figuras planas,

especificando que son congruentes porque tienen igual forma y tamaño.

66

Cuando los estudiantes dibujaron y pintaron todos los pares de figuras planas

congruentes, desarrollaron la habilidad de dibujo. Los integrantes del grupo se

repartieron el trabajo. Uno se encargaba de dibujar todos los pares de figuras

planas congruentes señalando con qué colores debían pintarse y el otro se

encargaba de pintar dichas figuras con los colores señalados.

Cuando los estudiantes argumentaron los pares de figuras planas congruentes,

utilizando el símbolo de congruencia ( ), desarrollaron la habilidad de

razonamiento.

Finalmente, cuando los estudiantes aplicaron el concepto de congruencia de

figuras planas en situaciones de la vida cotidiana y cuando utilizaron las piezas

del Tangram Chino en la construcción de otros tipos de figuras, desarrollaron la

habilidad de aplicación y transferencia. Un grupo señaló que con las piezas del

Tangram Chino se podían construir animales.

Tabla 4:

Conceptualización de la congruencia de figuras planas, a través de las

transformaciones isométricas

SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS

Situación de enseñanza – aprendizaje: Conceptualización de la congruencia de figuras planas, a través de las transformaciones isométricas.

Actividad: ACTIVIDAD N° 2

Habilidad de visualización:

En la primera parte de la actividad, los estudiantes observaron la figura en el plano cartesiano.

Los estudiantes observaron la figura resultante de la traslación

de la figura , respecto al vector de traslación

67

Tabla 4 (Continuación)

Los estudiantes identificaron los lados de la figura que son congruentes con los lados de la figura .

En la segunda parte de la actividad, los estudiantes observaron en el plano cartesiano al y al resultante de la rotación en 90° del triángulo con respecto al origen.

Los estudiantes identificaron los lados del que son congruentes con los lados del

Habilidad de comunicación:

Los estudiantes leyeron las instrucciones de la actividad.

Los estudiantes leyeron e interpretaron cada enunciado antes de resolverlo.

Los miembros del grupo discutieron las posibles estrategias de resolución a cada parte de la actividad.

En la primera parte de la actividad, los miembros de cada grupo discutieron sobre los resultados obtenidos al aplicar traslación a la figura original.

Los estudiantes justificaron el por qué la figura es congruente con la figura

Se basaron en la definición de congruencia de figuras planas.

En la segunda parte de la actividad los estudiantes justificaron que el y el

ʹ ʹ ʹ son congruentes. Se basaron en la definición de congruencia de figuras planas.

Habilidad de dibujo: En la primera parte de la actividad, los estudiantes dibujaron la figura

resultante de la traslación de la figura , respecto al vector

Habilidad de razonamiento:

En la primera parte de la actividad, los estudiantes para cada uno de los vértices de la figura , hicieron los cálculos de traslación, respecto al vector para así obtener los vértices de la figura

De este modo, los estudiantes identificaron los lados de la figura

que son congruentes con los lados de la figura

68

Tabla 4 (Continuación)

En la segunda parte de la actividad, los estudiantes demostraron que los triángulos

y son congruentes. Lo hicieron a través de expresiones matemáticas.

Habilidad de aplicación y transferencia: Los estudiantes aplicaron las transformaciones isométricas en situaciones de la vida cotidiana.

Nota: Descripción de la actividad n°2. Fuente: Elaboración propia (2016).

De los resultados obtenidos en la tabla 4, podemos interpretar que cuando los

estudiantes observaron las transformaciones isométricas que realizaron en el

plano cartesiano, desarrollaron la habilidad de visualización. Los miembros de

cada grupo trabajaron mutuamente en la identificación de los lados de la figura

original que son congruentes con los lados de la figura resultante.

En la primera y en la segunda parte de la actividad N°2, los estudiantes

desarrollaron la habilidad de comunicación. En la primera parte de la actividad,

cuando los miembros de cada grupo discutieron sobre los resultados obtenidos

al aplicar traslación a la figura original y cuando justificaron el porqué la figura

original es congruente con la figura resultante, señalando que al aplicar

traslación la figura sólo cambia de posición y que las medidas de sus lados se

mantienen. Y en la segunda parte de la actividad, cuando justificaron que al

aplicar rotación a una figura original la figura resultante es congruente a esta.

Para ello, se basaron en la definición de congruencia de figuras planas,

especificando que la figura resultante de una transformación isométrica es

congruente a la original.

En la primera parte de la actividad N°2, cuando los estudiantes dibujaron en el

plano cartesiano la figura resultante de la traslación de la figura original,

desarrollaron la habilidad de dibujo. Algunos estudiantes pintaron la figura

resultante, pues así la diferenciaban de la figura original.

69

En la primera y en la segunda parte de la actividad N°2, los estudiantes

desarrollaron la habilidad de razonamiento. En la primera parte de la actividad,

cuando aplicaron traslación a cada uno de los vértices de la figura original. En

esta parte de la actividad, los miembros de cada grupo se repartieron el trabajo,

de modo que, un integrante calculó la traslación de los primeros cuatro vértices

y el otro a los cuatro vértices restantes. Y en la segunda parte de la actividad,

cuando los estudiantes demostraron que los triángulos y ′ son

congruentes. Lo cual fue demostrado a través de expresiones matemáticas,

tales como: ′ ′ ′, ′ ′ ′ y ′ ′ ′.

Finalmente, cuando los estudiantes aplicaron las transformaciones isométricas

en situaciones de la vida cotidiana, desarrollaron la habilidad de aplicación y

transferencia.

Tabla 5: Conceptualización de los criterios de congruencia de triángulos

SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS

Situación de enseñanza – aprendizaje: Conceptualización de los criterios de congruencia de triángulos.

Actividad: ACTIVIDAD N° 3

Habilidad de visualización:

En la primera parte de la actividad, los estudiantes observaron en la primera demostración al y a los triángulos

y que lo componen. En la segunda demostración, los estudiantes

observaron el cuadrado y a los triángulos y que lo componen.

En la primera demostración, los estudiantes identificaron los lados y ángulos del que son congruentes a los del .

En la segunda demostración, los estudiantes identificaron los lados y ángulos del que son congruentes a los del .

En la segunda parte de la actividad, los estudiantes observaron las construcciones de los triángulos , y .

70

Tabla 5 (Continuación)

Los estudiantes identificaron la característica que tiene en común el con el .

Los estudiantes identificaron la característica que tiene en común el con el .

Los estudiantes identificaron la característica que tiene en común el el .

Habilidad de comunicación:

Los estudiantes leyeron las instrucciones de la actividad.

Los estudiantes leyeron e interpretaron cada enunciado antes de resolverlo.

Los miembros del grupo discutieron las posibles estrategias de resolución a cada parte de la actividad.

En la primera parte de la actividad, los estudiantes justificaron el criterio de congruencia que se utilizó en cada demostración. Se basaron en la definición de los criterios de congruencia de triángulos.

En la segunda parte de la actividad, los estudiantes justificaron la característica que tiene en común el con el .

Los estudiantes justificaron la característica que tiene en común el con el .

Los estudiantes justificaron la característica que tiene en común el con el .

Los estudiantes justificaron lo anterior, basándose en el concepto de los criterios de congruencia de triángulos.

Habilidad de dibujo:

En la segunda parte de la actividad, los estudiantes construyeron tres triángulos con la ayuda de regla, compás y transportador.

1. Un con dos ángulos que midan y , y cuyo lado

adyacente mida . 2. Un , cuyas medidas de sus lados

sean: , y .

3. Un , con dos lados que midan y , donde el ángulo

comprendido entre ellos mida °. Habilidad de razonamiento:

En la primera parte de la actividad, los estudiantes argumentaron a través de expresiones matemáticas, el criterio de congruencia de triángulos que se utilizó en cada demostración.

71

Tabla 5 (Continuación)

En la segunda parte de la actividad, los estudiantes hicieron los cálculos y argumentaron la característica que tiene en común el con el .

Los estudiantes hicieron los cálculos y argumentaron la característica que tiene en común el con el .

Los estudiantes hicieron los cálculos y argumentaron la característica que tiene en común el con el .

Los estudiantes argumentaron lo anterior a través de expresiones matemáticas.

Habilidad de aplicación y transferencia: Los estudiantes aplicaron el concepto de los criterios de congruencia de triángulos en situaciones de la vida cotidiana.

Nota: Descripción de la actividad n°3. Fuente: Elaboración propia de la autora (2016).

De los resultados obtenidos en la tabla 5, podemos interpretar que en la primera

y en la segunda parte de la actividad N°3, los estudiantes desarrollaron la

habilidad de visualización. En la primera parte de la actividad, cuando

observaron la figura relacionada a cada demostración y cuando identificaron

los lados y ángulos congruentes de los triángulos que componen dicha figura.

Y en la segunda parte de la actividad, cuando observaron las construcciones de

los triángulos , y , y cuando identificaron la característica que

tiene en común el con el ′ ′ ′, el con el ′ ′ ′ y el con el

′ ′ ′. Cabe mencionar que los miembros de cada grupo trabajaron

mutuamente en ambas partes de la actividad.

En la primera y en la segunda parte de la actividad N°3, los estudiantes

desarrollaron la habilidad de comunicación. En la primera parte de la actividad,

mediante la justificación del criterio de congruencia que se utilizó en cada

demostración. En la primera demostración, los estudiantes determinaron que se

utilizó el criterio L-A-L, ya que, los triángulos y son congruentes por

tener dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, respectivamente

congruentes. Y en la segunda demostración, los estudiantes determinaron que

se utilizó el criterio A-L-A, ya que, los triángulos y son congruentes

72

por tener dos ángulos y el lado adyacente a ellos, respectivamente

congruentes. Y en la segunda parte de la actividad, cuando justificaron la

característica que tiene en común el con el ′ ′ ′, el con el

′ ′ ′ y el con el ′ ′ ′. En la construcción del primer triángulo ,

los estudiantes justificaron que la característica que tiene en común con el

′ ′ ′ es el criterio A-L-A, puesto que, tienen dos ángulos y el lado adyacente

a ellos, respectivamente congruente. En la construcción del segundo triángulo

, los estudiantes justificaron que la característica que tiene en común

con el ′ ′ ′ es el criterio L-L-L, puesto que, tienen sus tres lados,

respectivamente congruentes. Y en la construcción del tercer triángulo ,

los estudiantes justificaron que la característica que tiene en común con el

′ ′ ′ es el criterio L-A-L, puesto que, tienen dos ángulos y el lado adyacente a

ellos, respectivamente congruentes.

En la segunda parte de la actividad N°3, cuando los estudiantes construyeron

los tres triángulos con la ayuda de regla, compás y transportador, desarrollaron

la habilidad de dibujo. En este proceso los miembros de cada se repartieron el

trabajo, de modo que, uno construyó los dos primeros triángulos y el otro el

restante o viceversa. Además, un estudiante no sabía utilizar el compás y el

transportador, por lo que, su compañero de grupo lo ayudó a utilizar estas

herramientas en la construcción de los triángulos.

En la primera y en la segunda parte de la actividad N°3, los estudiantes

desarrollaron la habilidad de razonamiento. En la primera parte de la actividad,

cuando argumentaron a través de expresiones matemáticas, el criterio de

congruencia que se utilizó en cada demostración. En la primera demostración,

argumentaron que se utilizó el criterio L-A-L, cumpliéndose que

y , quedando demostrado que los triángulos y

son congruentes. Y en la segunda demostración, argumentaron que se

utilizó el criterio A-L-A, cumpliéndose que y

73

, quedando demostrado que los triángulos y son

congruentes. Y en la segunda parte de la actividad, cuando hicieron los cálculos

y cuando argumentaron la característica que tiene en común el con el

′ ′ ′ , el con el ′ ′ ′ y el con el ′ ′ ′. En la construcción del

primer triángulo , los estudiantes argumentaron que la característica que

tiene en común con el ′ ′ ′ es el criterio A-L-A, cumpliéndose que ′ y . En la construcción del segundo triángulo

, los estudiantes argumentaron que la característica que tiene en común

con el ′ ′ ′ es el criterio L-L-L, cumpliéndose que ′ ′ ′ ′ y ′ ′. Y en la construcción del tercer triángulo , los estudiantes

argumentaron que la característica que tiene en común con el ′ ′ ′ es el

criterio L-A-L, cumpliéndose que ′ ′ ′ ′ ′ y ′ ′.

Finalmente, cuando los estudiantes aplicaron el concepto de los criterios de

congruencia de triángulos en situaciones de la vida cotidiana, desarrollaron la

habilidad de aplicación y transferencia. En la primera parte de la actividad, las

dos demostraciones estaban relacionadas a situaciones de la vida cotidiana.

Tabla 6: Conceptualización de la congruencia de figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida cotidiana

SUBTEMA CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS Y CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Situación de enseñanza – aprendizaje: Conceptualización de la congruencia de figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos, a partir de situaciones de la vida diaria.

Actividad: ACTIVIDAD N° 4

Habilidad de visualización:

En la primera parte de la actividad, los estudiantes observaron los tres pares de figuras.

Los estudiantes identificaron los pares de figuras congruentes y los no congruentes.

74

Tabla 6 (Continuación)

En la segunda parte de la actividad, los estudiantes observaron la imagen relacionada a cada problema.

Los estudiantes identificaron los lados y ángulos congruentes en cada problema.

Habilidad de comunicación:

Los estudiantes leyeron las instrucciones de la actividad.

Los estudiantes leyeron e interpretaron cada enunciado antes de resolverlo.

Los miembros del grupo discutieron las posibles estrategias de resolución a cada parte de la actividad.

En la primera parte de la actividad, los estudiantes justificaron los pares de figuras congruentes y los no congruentes. Se basaron en el concepto de congruencia de figuras planas.

En la segunda parte de la actividad, los estudiantes justificaron la respuesta a cada problema. Se basaron en los criterios de congruencia de triángulos.

Habilidad de dibujo:

En la segunda parte de la actividad, los estudiantes remarcaron la imagen relacionada a cada problema.

Habilidad de razonamiento: En la segunda parte de la actividad, los estudiantes argumentaron la respuesta a cada problema, utilizando expresiones matemáticas.

Habilidad de aplicación y transferencia: Los estudiantes aplicaron los conceptos de congruencia de figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos en situaciones de la vida cotidiana.

Nota. Descripción de la actividad n°4. Fuente: Elaboración propia (2016).

De los resultados obtenidos en la Tabla 6, podemos interpretar que en la

primera y en la segunda parte de la actividad N°4, los estudiantes desarrollaron

la habilidad de visualización. En la primera parte de la actividad, cuando

observaron los tres pares de figuras, y cuando identificaron los pares de figuras

congruentes y los no congruentes. En esta parte de la actividad, los estudiantes

identificaron que un par de perros no era congruente, ya que, a uno le faltaba su

cola. Y en la segunda parte de la actividad, cuando observaron la imagen

75

relacionada a cada problema, y cuando identificaron los lados y ángulos

congruentes en cada uno de ellos.

En la primera y en la segunda parte de la actividad N°4, los estudiantes

desarrollaron la habilidad de comunicación. En la primera parte de la actividad,

cuando justificaron los pares de figuras congruentes y los no congruentes. En

esta parte de la actividad, los estudiantes justificaron que el par de perros no

era congruente, debido a que, al superponer ambas figuras a una le faltaba un

trazo para ser igual a la otra. Y en la segunda parte de la actividad, cuando

justificaron la respuesta a cada problema. En el primer problema, justificaron

que los segmentos y son congruentes, debido a que los triángulos

y son congruentes por tener dos lados congruentes y el ángulo

comprendido entre ellos respectivamente congruente (criterio L-A-L). Y en el

segundo problema, justificaron que los equipos recorrerán la misma distancia

porque sus recorridos cumplen con el criterio A-L-A.

En la segunda parte de la actividad N°4, cuando los estudiantes remarcaron la

imagen relacionada a cada problema, desarrollaron la habilidad de dibujo. Esto

los ayudó en la interpretación y en la comprensión de cada problema.

En la segunda actividad N°4, cuando los estudiantes argumentaron la respuesta

a cada problema utilizando expresiones matemáticas, desarrollaron la habilidad

de razonamiento. En el primer problema, los estudiantes argumentaron que los

segmentos y son congruentes, puesto que, como dato se tiene que

y que (ángulo recto), por ende, por el criterio L-A-L

tenemos que los triángulos y son congruentes, lo cual demuestra

que Y en el segundo problema, los grupos argumentaron que los dos

equipos recorrerán la misma distancia, es decir que los triángulos y

son congruentes, puesto que como dato se tiene y que

76

, por ende por el criterio A-L-A es posible afirmar que los equipos

recorrerán la misma distancia.

Finalmente, cuando los estudiantes aplicaron los conceptos de congruencia de

figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos en situaciones de

la vida cotidiana, desarrollaron la habilidad de aplicación y transferencia. La

actividad estaba relacionada a la congruencia de figuras planas, presentes en

situaciones de la vida cotidiana.

4.4 Análisis e interpretación de los datos El análisis de la información obtenida se realiza en función de los objetivos

propuestos en la investigación, desde la interpretación hermenéutica, cuyo

objetivo es buscar “[…] la coherencia y el sentido explícito e implícito en los

datos, mediante la dialéctica entre la comprensión del texto y la interpretación

de las partes” (Gadamer, 1998). Para lo que se sigue el criterio de organizar la

información en tablas categoriales.

4.4.1 Análisis del contenido de las entrevistas a estudiantes y al profesor de matemáticas

Para el análisis e interpretación de los datos cualitativos, se agruparon los

contenidos de las entrevistas en categorías. Cada categoría contempla varias

sub categorías, identificadas por indicadores. Las transcripciones de las

opiniones más frecuentes de las entrevistas a estudiantes y al profesor de

matemáticas dan respuesta a diferentes indicadores, que se detallan a

continuación en la tabla 7.

77

Tabla 7: Análisis de las entrevistas en categorías y en subcategorías.

CATEGORÍAS SUBCATEGORÍAS

Proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría.

El profesor de matemáticas en la enseñanza de la geometría.

Los estudiantes en el aprendizaje de la geometría.

Metodología de aprendizaje cooperativo. Trabajo en grupos. Aprendizaje mutuo.

Rol del profesor.

Supervisor de los grupos de trabajo. Mediador en el proceso de enseñanza-

aprendizaje de la geometría. Interés o motivación de los estudiantes por la Geometría.

Participación de los estudiantes en la sala de clases.

Estimulación de los estudiantes por el aprendizaje de la geometría.

Relación entre el profesor y sus estudiantes Interacción entre el profesor y sus alumnos. Confianza en los estudiantes.

Relación entre los estudiantes. Interacción entre los estudiantes. Influencia en el aprendizaje.

Nota: Elaboración propia (2016).

4.4.1.1 Representación categorial del análisis de los datos obtenidos de las entrevistas realizadas a los estudiantes y al profesor de matemáticas

Tabla 8: Proceso de enseñanza y aprendizaje de la geometría

METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE COOPERATIVO Organización del trabajo

Aprendizajes esperados Desarrollo de las habilidades

geométricas El contenido de congruencia se organizaron en dos partes: 1. Congruencia de figuras

planas. 2. Criterios de congruencia de

figuras planas.

Los estudiantes comprendieron el concepto de congruencia.

Los estudiantes identificaron los pares de figuras planas congruentes.

Los estudiantes comprendieron los criterios

Los estudiantes afirmaron que las actividades didácticas los ayudaron a visualizar, a razonar, a comunicarse con sus compañeros de grupo, a aplicar la congruencia en situaciones de la vida real y a dibujar triángulos congruentes con la ayuda de regla, compás y transportador,

78

de congruencia de triángulos.

Los estudiantes identificaron los criterios de congruencia de triángulos.

con lo cual nunca habían trabajo, por ende la habilidad que más se desarrolló fue la habilidad de dibujo.

Nota. Elaboración propia (2016).

Tabla 9: Metodología de Aprendizaje Cooperativo

METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE COOPERATIVO Organización del trabajo

Estrategia para la enseñanza de

la geometría Eficacia del aprendizaje

cooperativo Se organizaron grupos de trabajo. Compuestos por dos estudiantes asignados por el profesor.

La metodología de aprendizaje cooperativo trabajó en el desarrollo de las habilidades geométricas de los estudiantes.

Los miembros de cada grupo se ayudaron mutuamente en el desarrollo de las actividades. Estableciendo metas benéficas para sí mismos y para los demás integrantes del grupo, buscando así maximizar tanto su aprendizaje como el de los demás.

El profesor suele organizar la sala de clases en duplas de trabajo, ya que, en muchas ocasiones los estudiantes de buen rendimiento le ayudan a los de bajo rendimiento.

Los estudiantes afirmaron que la enseñanza de la geometría, mediante el aprendizaje cooperativo, los ayudó a comprender el contenido de congruencia de figuras planas y a interactuar con sus compañeros.

Nota. Elaboración propia (2016).

Tabla 10:

Actividades para la enseñanza y aprendizaje de la geometría ACTIVIDADES PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA

Interacción entre todos los miembros del grupo

Motivación e interés de los estudiantes

Secuenciación de las actividades

El trabajar en grupos en la resolución de actividades didácticas, obligó a los estudiantes a interactuar con sus compañeros, promoviendo la relación entre los estudiantes.

Los estudiantes afirmaron que la realización de actividades didácticas en grupos de trabajo, promovieron su interés por el contenido de congruencia de figuras planas y que los motivaron a participar en la sala

La propuesta didáctica se situó en una secuencia de actividades en el siguiente orden: 1. Congruencia de figuras

planas. Concepto de congruencia de figuras planas. Construcción de figuras

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de clases.

planas congruentes. 2. Criterios de congruencia de

triángulos. Concepto del criterio A-L-A.

Concepto del criterio L-A-L Concepto del criterio L-L-L.

Nota. Elaboración propia (2016).

Tabla 11:

Nuevo rol del profesor de matemáticas

NUEVO ROL DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS

El profesor frente al cambio de la metodología en la enseñanza

de la geometría

La interacción entre el profesor y sus estudiantes

Planificación, diseño y producción de los materiales

para la enseñanza. El profesor en las clases de geometría utiliza la metodología tradicional, es decir, explica los contenidos con sus respectivos ejercicios en el pizarrón. Sin embargo, en ciertas ocasiones ha aplicado la metodología de aprendizaje cooperativo, para que así los estudiantes de mejor rendimiento les ayuden a los de menor rendimiento. A modo de mejorar el aprendizaje de estos últimos.

El profesor promueve la interacción con sus estudiantes, procurando que estos den lo mejor de ellos. Además, generando una buena relación con ellos.

El profesor al supervisar a los grupos para que trabajen de manera continua y al guiar a los estudiantes en el desarrollo de las actividades, promueve la relación con sus estudiantes.

Los estudiantes afirmaron que el rol del profesor es el de enseñar, el de trasmitir información y el de guiar a los estudiantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

El profesor se encargó de planificar las 4 actividades, teniendo en cuenta las habilidades geométricas a desarrollar en los estudiantes de primero medio, respecto al contenido de congruencia de figuras planas.

Nota. Elaboración propia (2016).

80

4.5 Triangulación de los datos En esta investigación se opta por la triangulación de los datos de los

informantes y de los instrumentos aplicados en el estudio, para la obtención de

los hallazgos, combinándose diferentes técnicas cualitativas de recogida de

datos, para el estudio de un único fenómeno.

La triangulación de los datos se realiza teniendo en cuenta la pregunta de

investigación: ¿Cómo influye el Aprendizaje Cooperativo en el desarrollo de las

habilidades geométricas en los estudiantes de primero de un colegio de Puerto

Montt?

Una vez recabados los datos cualitativos de los diferentes informantes, a través

de diferentes instrumentos de recolección, se procede a describir, analizar e

interpretarlos. Para trabajar con la información se ha utilizado el Análisis

Cualitativo, ya que se considera que el objetivo central de esta investigación se

relaciona con “conocer el significado que está inmerso en la trama tejida por el

texto o discurso de los sujetos entrevistados” (Echeverría, 2005).

En la triangulación se cotejan los datos obtenidos en la propuesta didáctica, con

los resultados obtenidos en la entrevista semi-estructurada aplicada al profesor

de matemáticas y con la entrevista no estructurada aplicada a los estudiantes

de primero medio.

4.6 Interpretación de los resultados

El análisis de la triangulación revela que los informantes coinciden en señalar

que el Aprendizaje Cooperativo influye positivamente en el desarrollo de las

habilidades geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de

Puerto Montt, puesto que, cuando se aplicó la propuesta didáctica para la

enseñanza de la geometría, los estudiantes se sintieron cómodos al trabajar en

81

grupos y muy atraídos por las actividades didácticas que se realizaron. El

motivo de esta atracción recae en que las actividades eran innovadoras y

ayudaban a los estudiantes a practicar de manera entretenida el contenido de

congruencia de figuras planas.

También se muestra una convergencia entre los informantes en cuanto a que la

metodología de Aprendizaje Cooperativo promueve el aprendizaje de los

estudiantes de bajo rendimiento, ya que, en muchas ocasiones los estudiantes

de buen rendimiento ayudan a los de bajo rendimiento. Además, los estudiantes

señalaron que cuando no entienden algo le preguntan al profesor o a un

compañero que maneje el contenido.

Asimismo, el trabajar en grupo obliga a los estudiantes a interactuar con sus

compañeros, promoviendo la relación entre los estudiantes y el interés por el

contenido de congruencia de figuras planas. Además, de promover la

participación de los estudiantes en la sala de clases, ya que, para ellos es

mucho más fácil aportar ideas, resolver dudas, aclarar, etc., pues se sienten

mucho más cómodos conversando con sus compañeros de grupo que

formulando preguntas y realizando comentarios a toda la clase.

Los datos recogidos en la observación participante están en armonía con los

datos aportados por los informantes, en relación a que el rol del profesor fue el

de supervisar a los grupos para que trabajen de manera continua, y el de guiar

a los estudiantes en el desarrollo de cada actividad, señalando lo que se debía

hacer y a lo que debían llegar. De este modo, se promovió la relación entre el

profesor y sus estudiantes. Cabe mencionar que para la realización de una

clase es fundamental el compromiso del profesor.

Las cuatro actividades de la propuesta didáctica estaban diseñadas para

desarrollar las habilidades geométricas en los estudiantes de primero medio.

Los ayudaron a visualizar, lo cual fue muy importante en la resolución de los

82

problemas, ya que al resolver problemas geométricos es muy probable que los

estudiantes tengan dificultades, debido a que no logran estructurar lo que

observan o lo estructuran de manera que no llevan a la solución del problema.

Los ayudaron a interpretar, entender y comunicar de manera escrita la

información geométrica, además a justificar utilizando el concepto de

congruencia de figuras planas. Los ayudaron a dibujar, realizando

construcciones geométricas, respecto a la información dada. Los ayudaron a

razonar y a argumentar. Finalmente, los ayudaron a aplicar y transferir el

contenido de congruencia de figuras planas a situaciones de la vida cotidiana.

Las actividades a través del Aprendizaje Cooperativo, hicieron que los

estudiantes vean a la geometría desde otro punto de vista, provocando que no

sientan temor ni rechazo por esta disciplina.

El rol del profesor fue fundamental para el desarrollo de la propuesta didáctica,

ya que, tuvo que planificar las actividades, considerando en cada una de ellas

las habilidades geométricas a desarrollar en los estudiantes de primero medio.

Además, de ser un guía en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la

geometría. Cabe destacar que, el profesor estimuló la comunicación entre los

integrantes de grupo para el desarrollo de cada actividad, siendo un facilitador,

examinador y estimulador del trabajo en grupos, pero se destacó especialmente

en guiar a los estudiantes a la construcción de los triángulos congruentes con la

ayuda de la regla, el compás y el transportador.

En concordancia con la literatura consultada y la interpretación de los

resultados obtenidos de los instrumentos aplicados, se demuestra que en el

proceso de Enseñanza y Aprendizaje de la geometría, mediante el Aprendizaje

Cooperativo, los grupos desarrollaron la habilidad de Visualización, cuando

Identificaron las figuras planas congruentes y cuando identificaron los criterios

de congruencia de triángulos. Los grupos desarrollaron la habilidad de

Comunicación, cuando leyeron las instrucciones de la actividad, cuando leyeron

83

e interpretaron cada enunciado, cuando los miembros de cada grupo

discutieron las posibles estrategias de resolución y cuando justificaron sus

respuestas. Los grupos desarrollaron la habilidad de Dibujo, cuando dibujaron

los pares de figuras planas congruentes y cuando construyeron triángulos

congruentes con la ayuda de la regla, el compás y el transportador. Los grupos

desarrollaron la habilidad de Razonamiento, cuando demostraron los pares de

triángulos congruentes y cuando argumentaron sus respuestas. Y desarrollaron

la habilidad de Aplicación y Transferencia, cuando aplicaron los conceptos de

congruencia de figuras planas y de los criterios de congruencia de triángulos en

situaciones de la vida cotidiana.

84

CAPÍTULO IV Conclusiones, Aportaciones y Sugerencias

En este último capítulo se resumen las conclusiones fundamentales de la

investigación, se identifican las aportaciones de la Tesis y se sugieren posibles

desarrollos futuros de la investigación.

En busca de responder al objetivo fundamental de este trabajo: “Diseñar una

propuesta didáctica para la enseñanza de la Geometría, mediante el

Aprendizaje Cooperativo, con la finalidad de contribuir al desarrollo de las

habilidades geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de

Puerto Montt”, en contrastación con el Marco Teórico, que sustenta el problema

estudiado, se precisan los hallazgos encontrados.

En el estudio documental realizado al inicio de la investigación, se identificó que

la tendencia actual en la enseñanza de la Geometría en la Educación Media, es

la memorización de conceptos y propiedades, que muchas veces no son

comprendidos por todos los estudiantes. En este ambiente, los estudiantes

permanecen en sus puestos, atendiendo a lo que el profesor explica,

provocando limitaciones y apatía de los estudiantes por aprender Geometría.

Por otra parte, se determinó que en el trabajo con el tema “Congruencia de

figuras planas”, los estudiantes debían desarrollar las habilidades geométricas

de Visualización, de Comunicación, de Dibujo, de Razonamiento, y de

Aplicación y transferencia. De modo que, una parte de la planificación de las

actividades estuvo dirigida hacia la identificación, construcción y justificación de

las figuras planas y figuras congruentes y otra a la aplicación de lo aprendido a

situaciones del mundo físico o de otras disciplinas.

85

Las actividades se diseñaron y aplicaron bajo la metodología del Aprendizaje

Cooperativo. Después de un análisis de las necesidades de aprendizaje real de

los estudiantes, del contenido y de las habilidades geométricas a adquirir, se

determinaron las técnicas y estrategias de enseñanza y aprendizaje apropiadas

para alcanzar los resultados esperados.

En la primera actividad, sólo un poco más de la mitad de los estudiantes de

primero medio, muestran un adecuado rendimiento en la asignatura de

matemáticas e interés por realizar la actividad. La técnica utilizada fue “Tutoría

entre iguales: Peer Tutoring”. En este caso, el grupo estuvo formado por dos

integrantes. Un estudiante dotado académicamente y otro de bajo rendimiento.

Claramente, el primero jugó el papel de tutor, respondiendo a las demandas de

ayuda de su compañero de grupo, logrando así mejorar el rendimiento de este.

Luego, el interés de los estudiantes fue en aumento, así como el rendimiento

académico y el desarrollo de habilidades geométricas.

Finalmente, las evidencias presentadas durante y al final del estudio

demuestran que el Aprendizaje Cooperativo es un modelo educativo innovador,

que propone una manera distinta de organizar el proceso de enseñanza y

aprendizaje y mejora el conocimiento metacognitivo de los estudiantes.

En este sentido, se comprende cómo las técnicas y las estrategias que

prevalecen en la metodología del Aprendizaje Cooperativo maximizan el

aprendizaje de todos los estudiantes y el desarrollo de las habilidades

geométricas en los estudiantes de primero medio de un colegio de Puerto

Montt. Estos estudiantes fueron capaces de leer un texto en grupo y explicar los

conceptos de congruencia de figuras planas y los criterios de congruencia de

triángulos, de modo que, construyeron un nuevo conocimiento, de manera

cooperativa, centrado sobre la base de los conocimientos previos que poseían.

86

Aportaciones

El aporte de esta tesis, está directamente relacionada con las conclusiones. Ello

radica en que, mediante la propuesta didáctica, les brindamos a los profesores

de matemáticas, una herramienta que les permitan obtener mayores resultados

del proceso de enseñanza y aprendizaje de la Geometría, así como también,

mostrarles que es tiempo de cambiar la tradicional forma de enseñar Geometría

por la metodología de Aprendizaje Cooperativo, para que motive a sus

estudiantes en cómo aprender a aprender, con pensamiento crítico, con

actitudes y destrezas para lograr futuros aprendizajes y con capacidad de

resolver problemas.

Sugerencias

Las siguientes sugerencias están fundamentadas en base a los resultados y a

las conclusiones a que se llegó en el presente estudio.

1. A la luz del análisis de los resultados de esta investigación, se sugiere

realizar futuras investigaciones sobre el tema, que pudieran aportar

nuevas teorías.

2. Promover la metodología del Aprendizaje Cooperativo en la enseñanza

de la Geometría, en la Educación Media.

87

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ANEXOS

Anexo 1: Guía para la entrevista Semi-estructurada

94

Anexo 2: Guía para la entrevista no estructurada

95

Anexo 3: Actividad N°1

96

Desarrollo del grupo 1

97

98

Desarrollo del grupo 2

99

100

Fotografías del desarrollo de la actividad n°1

101

Anexo 4: Actividad N°2

102

Desarrollo del grupo 1

103

Desarrollo del grupo 2

104

Fotografías del desarrollo de la actividad n°2

105

Anexo 5: Actividad N°3

106

Desarrollo del grupo 1

107

Desarrollo del grupo 2

108

Fotografías del desarrollo de la actividad n°3

109

Anexo 6: Actividad N°4

110

Desarrollo grupo 1

111

Desarrollo grupo 2

112

Fotografías del desarrollo de la actividad n°4.