ACTIVIDAD COLABORATIVA 2

HERNAN DARIO AGUDELOMONICA VICTORIA MUOZ VALENCIAJULIAN EDUARDO PACHONLIUMAN HAIUSAN PORRAS

TUTORWILLIAM DE JESUS MONTOYA HENAO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADECUACIONES DIFERENCIALESOCTUBRE 2015INTRODUCCIN

El siguiente documento es realizar con el fin de presentar el anlisis a dos situaciones planteadas para el Curso Ecuaciones Diferenciales, en las que se deben aplicar conceptos, frmulas y procedimientos desarrollados en base a la unidad 2. Ejercicio 1: Se aplica la le y de Hooke, ecuaciones de movimiento, conceptos de amplitud, periodo y frecuencia natural. Ejercicio 2: Se requiere tener en cuenta y encontrar las diferencias entre movimiento subamortiguado, crticamente amortiguado y sobreamortiguado para hallar la ecuacin de movimiento correspondiente y realizar el anlisis del ejercicio, para ello se agregan y resaltan para el segundo ejercicio los apuntes de los integrantes del grupo colaborativo.

ACTIVIDADES INDIVIDUALES

JULIAN EDUARDO PACHN

Indique cules de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogneas con coeficientes constantes y cules son diferenciales lineales no homogneas y resulvalas.

A. Y + 2Y - 8Y = 0

Esta es una ecuacin lineal homognea con coeficientes constantes de grado dos, en la que las soluciones son de la forma Y = emx. Para desarrollarla utilizamos la ecuacin auxiliar am2 + bm + c = 0, en la se obtiene una ecuacin cuadrtica.

m2 + 2m 8 = 0 aplicamos casos de factorizacin y obtenemos:

(m + 4) (m - 2) = 0 m1 = -4 m2 = 2

Como m1 m2 y m1, m2 R evidenciamos que son linealmente independientes, as determinamos que la solucin general es:

Y = C1e-4x + C2e2x

4. Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de coeficientes indeterminados:

Y + 3Y + 2Y = 3X + 1

Para resolver la ecuacin diferencial por el mtodo de coeficientes indeterminados y encontrar la solucin general lo primero que debemos hacer es encontrar la solucin de la ecuacin lineal homognea con coeficientes constantes de grado dos. Y + 3Y + 2Y = 0m2 + 3m + 2 = 0(m + 2) (m + 1) = 0 m1 = -2 m2 = -1

Yh = C1e-2x + C2e-x

Ahora para encontrar la ecuacin particular Yp = ax + b supongo que satisface la ecuacin Y + 3Y + 2Y, as debo encontrar la primera y la segunda derivada para sustituirlas, igualar y encontrar a y b.

Yp = aYp = 0

Al sustituir se obtiene:

0 + 3a + 2(ax + b) = 3x + 13a + 2ax + 2b = 3x + 12ax + 3a + 2b = 3x + 1

Ahora 2a = 3 por ser las acompaantes de la variable x

a = 3/2

Ahora 3a + 2b = 13(3/2) + 2b = 19/2 + 2b = 12b = 1 9/22b = -7/2b = -7/4

Yp = (3/2)x 7/4

Finalmente obtenemos la solucin general para la ecuacin diferencial de coeficientes indeterminados:

Y = C1e-2x + C2e-x + (3/2)x 7/4

HERNAN DARIO AGUDELO

B. Es una ecuacin diferencial lineal, ya que el mximo exponente de la variable derivada y, es 1.Es homognea porque al expresarse de la forma la funcin Posee coeficientes constantes, porque los trminos que acompaan a la variable dependiente son constantesSolucin:Hallamos la forma cuadrtica de la ecuacin.

La solucin de la ecuacin diferencial siendo del caso de races reales iguales es:

Para resolver la ecuacin diferencial se transforma a una ecuacin diferencial homognea de coeficientes constantes, mediante la sustitucin. ---> Adems

reemplazando en la ecuacin diferencial

Simplificando

, Ecuacin diferencial homognea de coeficientes constantes

El polinomio caracterstico esLuego el sistema fundamental de soluciones es: cos t, sen t, y la solucin general es: ; donde

MNICA VICTORIA MUOZ VALENCIAE. y'' - 4y' + 4y = 0

Ecuacin diferencial lineal homognea con coeficientes constantes. Ya que es de la forma

Se aplica la factorizacin, obteniendo un binomio cuadrado perfecto:

Al ser iguales m1 y m2 son linealmente dependientes, por ello se utiliza la frmula de reduccin para la segunda solucin:

3. Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de variacin de parmetros:

Solucin particular:

Para hallarlos se deben tener en cuenta: ; ; Primero se deben encontrar las soluciones de la homognea:

Variacin de parmetros aplicando el wronskiano:=

ACTIVIDAD INDIVIDUALLIUMAN HAISUAN PORRAS5. Encontrar un operador diferencial que anule a:

a.

Separamos las ecuaciones:

El operador diferencial es:

Ahora la siguiente funcin es:

El operador diferencial es:

El operador diferencial completo es:

=0

Por lo que sera:

b.

Lo desarrollamos para presentarlo como polinomio:

El operador diferencial es de la forma:

c.

Funcin de Entrada

Anulador M (D-)n

P1 (D) = (D-)n+1 Exponencial

F(x)= xex =1 n=0

(D-1)n+1 [xex]

(D-1)1 [xex]

xex - xex =0

(D-1)1 [xex] = 0

ACTIVIDAD COLABORATIVA 2

Se plantea una situacin problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las caractersticas del problema que se ha planteado y buscar el mtodo de solucin ms apropiado segn las ecuaciones diferenciales de orden superior:

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplica una velocidad de pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de amortiguacin o externas que puedan estar presentes, determine la ecuacin de movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cunto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posicin de equilibrio?

Se deduce la ecuacin: Y su solucin general es:

Se aplica la ley de Hooke donde se establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elstico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo; y hallamos la constante elstica k:

y Reemplazando trminos:

De forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solucin a la situacin plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y frmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solucin. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observacin y correccin al error o errores encontrados resaltando en otro color la correccin y aportes extras a la solucin.

Enunciado:

El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguacin est regido por la ecuacin diferencial:

En donde,

Encuentre la ecuacin del movimiento para los siguientes casos:

Caso 1. Movimiento subamortiguado: b=6Caso 2. Movimiento crticamente amortiguado: b=10Caso 3. Movimiento sobreamortiguado: b=14

Solucin:

Caso 1. Movimiento subamortiguado: b=6La ecuacin auxiliar o caracterstica es:

Races:

La ecuacin de movimiento viene dada por la forma: (Se reemplazan las races correctamente en la ecuacin de movimiento)Para

Conlleva al sistema a:

Solucin:

Se expresa x(t) como el producto de un factor de amortiguamiento y un factor sinusoidal:

Caso 2. Movimiento crticamente amortiguado: b=10

(

Races y (la raz es duplicada con valor de -5)

Inicialmente, la ecuacin de movimiento tiene la forma:

Cuando x(0)=1 y x(0)=0 :

La ecuacin de movimiento tiene la forma: (la raz es negativa)

Caso 3. Movimiento sobreamortiguado: b=14

La ecuacin caracterstica es:

Races:

Inicialmente, la ecuacin de movimiento tiene la forma:

Cuando x(0)=1 y x(0)=0 :

De lo cual:

Finalmente, la ecuacin de movimiento tiene la forma:

Se puede observar que en los tres casos el valor de la solucin tiene a un valor de 0 revisando las ecuaciones de movimiento finales: Caso 1 b=6 Caso 2 b=10 Caso 3 b=14

ACTIVIDAD COLABORATIVA 2.

Problema

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplica una velocidad de pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de amortiguacin o externas que puedan estar presentes, determine la ecuacin de movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cunto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posicin de equilibrio?

Cuya solucin general es

Para encontrar k observamos que la masa de 4lB. Estira el resorte 3 pulgadas o pie. Empleando la ley de Hooke, se tiene

Lo que implica k=16lb/pie. Como g=32pie/seg2 , se tiene que m=4/32=1/8slug y por lo tanto

Luego

Imponiendo nuestras condiciones iniciales son x(0)=6 pulgadas =1/2 pie y x(0)=pie/seg. Tenemos

Lo que implica C1=1/2 y c2=1/8. Por consiguiente, la ecuacin del movimiento de la masa es

Para expresar la solucin en forma senoidal hacemos, Entonces

Con Por lo tanto la amplitud es A=, el periodo es y la frecuencia natural es . Finalmente el tiempo t que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posicin de equilibrio verifica , lo que implica

CONCLUSIONES

La importancia de la solucin de las ecuaciones diferenciales de orden superior en problemas fsicos y de la vida cotidiana. La etapa ms difcil en el proceso de resolver una ecuacin diferencial de orden superior homognea con coeficientes constantes es encontrar las races de la ecuacin caracterstica. Hay dos herramientas algebraicas que pueden ayudar en este paso: la regla de los signos de Descartes y la divisin sinttica.

REFERENCIAS

Campos, B., Chiralt, C. (2011). Ecuaciones diferenciales. Departamento de Matemticas Universidad Jaume I. Castelln de la Plana: Publicacions de la Universitat Jaume I. Recuperado el 12 de octubre de 2015 de: http://www.etnassoft.com/biblioteca/fundamentos-matematicos-de-la-ingenieria/Escobar, J. (2004). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Captulo 4 Teora de las EDO lineales. Recuperado el 14 de octubre de 2015 de http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/Alvarado, E. (s.f). video - Ecuaciones Diferenciales Variacin de Parmetros Recuperado el 14 de octubre de 2015 de https://youtu.be/75EyYhJNoYA