Propuesta metodológica para la resolución de ecuaciones ... · ecuaciones lineales no se alcanzan...

Propuesta metodológica para la resolución de ecuaciones lineales a

través de mediadores didácticos en el grado séptimo de la Institución

Educativa Lola González.

Juan Guillermo Granda Vargas

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Medellín, Colombia

2015

Propuesta metodológica para la resolución de ecuaciones lineales a

través de mediadores didácticos en el grado séptimo de la Institución

Educativa Lola González.

Juan Guillermo Granda Vargas

Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director (a): MCs. Gabriel Ferney Valencia Carrascal

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Medellín, Colombia

2015

Dedicatoria

Este trabajo se lo dedico a mi

esposa Lina que con su

compañía y apoyo incondicional

hace que cualquier reto por más

alto que sea, juntos lo podamos

alcanzar.

Agradecimientos

Agradezco a todos los docentes que ampliaron mi visión especialmente a:

Profesor Alonso Sepúlveda Soto que con su conocimiento del cosmos inspira a mirar al

cielo y descubrir sus maravillas.

Profesora Consuelo Arango Vásquez que con sus fichas y arduo trabajo, logra encender

el amor por la escritura.

Profesor Gabriel Ferney Valencia Carrascal que le da la rigurosidad con un enfoque

piagetiano a la enseñanza de las matemáticas.

A todos mis seres queridos por estar ahí cuando los necesito y próximamente a Sebastián.

Resumen y abstract IX

Resumen

Autores tan importantes como Jean Piaget y su teoría constructivista permiten ampliar la

visión que se tenía tanto en el ámbito pedagógico, como disciplinar resaltando de este

autor, la importancia de la utilización del mediador didáctico y la necesidad de que cada

estudiante experimente y vaya construyendo por sí mismo sus conocimientos y

competencias.

Se eligió la balanza algebraica para explicar el proceso de solución de la ecuación lineal,

aplicando a través de este aparato propiedades matemáticos y principios físicos.

Procurando una enseñanza que sea clara pero respetando la rigurosidad con la que se

debe enseñar las matemáticas.

Palabras clave:

Ecuaciones lineales, mediador didáctico, balanza algebraica.

Abstract

Such important authors as Jean Piaget and his theory of cognitive development can extend

the vision to be had both in the educational field , as this discipline emphasizing the

X Título del Trabajo Final de Maestría

importance of the use of educational mediator and the need for each student to experience

and go building for himself their knowledge and skills .

Algebraic balance was chosen to explain the process of solution of the linear equation,

using this device through mathematical properties and physical principles. Seeking a

teaching that is clear but respecting the rigor with which to teach mathematics.

.

Keywords:

Linear equations, didactic mediator, algebraic balance

Contenido XI

Contenido

Resumen ...................................................................................................................................... IX

Contenido .................................................................................................................................... XI

Lista de ilustraciones ................................................................................................................. XIII

Lista de tablas .......................................................................................................................... XIV

Introducción ............................................................................................................................... 15

1. Aspectos Preliminares ........................................................................................................ 17

1.1 Tema .......................................................................................................................... 17

1.2 Problema de Investigación ........................................................................................ 17

1.2.1 Antecedentes ..................................................................................................................... 17

1.2.2 Formulación de la pregunta ................................................................................................ 19

1.2.3 Descripción del problema ................................................................................................... 19

1.3 Justificación ............................................................................................................... 21

1.4 Objetivos ................................................................................................................... 23

1.4.1 Objetivo General ................................................................................................................ 23

1.4.2 Objetivos Específicos .......................................................................................................... 23

2. Marco Referencial .............................................................................................................. 24

2.1 Marco Teórico............................................................................................................ 24

2.2 Marco Disciplinar ....................................................................................................... 27

2.3 Marco Legal ............................................................................................................... 30

2.3.1 Contexto Internacional ....................................................................................................... 30

2.3.2 Contexto Nacional .............................................................................................................. 30

XII Título del Trabajo Final de Maestría

2.3.3 Contexto Regional .............................................................................................................. 31

2.3.4 Contexto Institucional ......................................................................................................... 32

2.4 Marco Espacial ........................................................................................................... 32

3. Diseño metodológico .......................................................................................................... 34

3.1 Tipo de Investigación: Profundización de corte monográfico ......... ¡Error! Marcador no

definido.

3.2 Método ........................................................................... ¡Error! Marcador no definido.

3.3 Enfoque: Cualitativo de corte etnográfico ....................... ¡Error! Marcador no definido.

3.4 Instrumento de recolección de información ................... ¡Error! Marcador no definido.

3.5 Cronograma ............................................................................................................... 38

4. Trabajo Final ...................................................................................................................... 41

4.1 Desarrollo de la estrategia didáctica .......................................................................... 41

4.1.1 Fase 1: Caracterización ....................................................................................................... 42

4.1.2 Fase 2: Diseño .................................................................................................................... 49

4.1.3 Fase 3: Aplicación ............................................................................................................... 57

4.2 Resultados ................................................................................................................. 59

5. Conclusiones y Recomendaciones ....................................................................................... 63

5.1 Conclusiones .............................................................................................................. 63

5.2 Recomendaciones ...................................................................................................... 65

contenido XIII

Lista de ilustraciones

Ilustración 1 Sopa de letras ....................................................................................................................... 42

Ilustración 2 Ley de palancas de Arquíumides ............................................................................................ 51

Ilustración 3 Polea Simple .......................................................................................................................... 52

Ilustración 4 Construcción de la balanza .................................................................................................... 58

Ilustración 5 Construcción de la balanza .................................................................................................... 58

Ilustración 6 Balanza Algebraica ................................................................................................................ 59

XI

V

Título del Trabajo Final de Maestría

Lista de tablas

Tabla 2-1 Normógrama Contexto Nacional ................................................................................................ 30

Tabla 3-1 Planificación de actividades ........................................................................................................ 39

Tabla 3-2 Cronograma de actividades ........................................................................................................ 40

Tabla 4 Ejemplo aplicación propiedades matemáticas ................................................................................ 47

Tabla 5 Procedimiento de solución con la balanza. ..................................................................................... 53

Tabla 6 Resultados prueba final ................................................................................................................. 60

Introducción 15

Introducción

El presente documento es una propuesta para la enseñanza y aprendizaje de la resolución

de ecuaciones lineales que se dictan en el programa de matemáticas básicas aplicado a

estudiantes del grupo séptimo siete de la institución educativa Lola González ubicada en

la comuna 12-13 de la ciudad de Medellín.

En mi experiencia docente he podido evidenciar los errores y dificultades que cometen los

estudiantes al tratar de resolver una ecuación, esta situación considero que constituye un

problema mayor en el proceso de enseñanza, debido a que las ecuaciones representan la

manera de expresar en el lenguaje matemático todo tipo de problemas en todo contexto,

convirtiéndose en una herramienta vital y extremadamente necesaria para cualquier

profesional.

La solución de una ecuación lineal debe garantizar que los resultados obtenidos sean

confiables y puedan ser utilizados en el problema de interés y para esto se le debe dar

toda la rigurosidad que sea necesario y esto se logra con el correcto uso de propiedades

y principios matemáticos involucrados. Este es uno de nuestro objetivos y ya (Florez, 2012)

menciona esta necesidad.

Pero ¿cómo hacer para que nuestro estudiantes entiendan el mensaje que queremos

transmitir?. La solución a esta pregunta la resolvimos relacionando la ecuación lineal con

una balanza que nos sirviera como mediador didáctico. Solución que otros autores como

16 Título del Trabajo Final de Maestría

(Muñoz, 2013) ya había aplicado y tratamos de realizarlo para grupos completos de más

de 30 estudiantes. Además se adiciona la utilización más consiente de propiedades

matemáticas y principios físicos que sustentan todo el algoritmo de solución

Como referente pedagógico se consideró el trabajo de Jean Piaget, me identifico con su

trabajo especialmente en la utilización de mediadores didácticos, coincido que el problema

del lenguaje en la transmisión de conocimiento se reduce cuando el alumno construye y

experimenta por sí mismo. Además de otros autores que respaldan esta postura como

(Orton , 2003) o (Goñi, 2009).

Durante el trabajo los estudiantes inicialmente tienen una primera etapa de diagnóstico de

pre saberes y/o nivelación, posteriormente se inicia una etapa de construcción de sus

balanzas y aplicación de cada propiedad en el algoritmo de solución para luego pasar a la

solución de la ecuación por escrito relacionando lo aprendido en la balanza por último se

cualifica por medio de una prueba el impacto del proceso de enseñanza empleado.

Esperamos que este trabajo sea útil y aporte a mejorar la comprensión y competencias

necesarias en la solución de ecuaciones lineales.

Aspectos Preliminares 17

1. Aspectos Preliminares

1.1 Tema

Propuesta metodológica para la resolución de ecuaciones lineales a través de mediadores

didácticos en el grado séptimo de la Institución Educativa Lola González.

1.2 Problema de Investigación

1.2.1 Antecedentes

A continuación se presenta una breve recopilación de los trabajos que se han realizado y

que presentan relación con estrategias metodológicas que utilicen mediadores didácticos

aplicados en la resolución de ecuaciones lineales, también diagnosticar cuales de estas

estrategias pueden adaptarse al contexto de las instituciones públicas de nuestra ciudad,

identificando cuales han sido las potencialidades que ofrecen en el proceso de enseñanza

que conlleve a un aprendizaje significativo de los estudiantes.

Expresar la solución netamente intuitiva a una solución reflexiva, es una necesidad.

Traducir la expresión semántica de los problemas a su representación sintáctica con

referentes abstractos (icónicos o simbólicos) además de la asimilación de las propiedades

formales necesarias en el desarrollo de algoritmos que conduzcan a la generalización de

las soluciones y las dificultades en el uso de las propiedades de las operaciones y en el

orden en el que se deben efectuar al momento de enfrentarse a la solución de la ecuación.

(Florez, 2012)


La utilización de una serie mediadores didácticos la propone (Saenz, 2014) entre los que

se encuentran balanzas con el propósito de lograr adquirir las competencias esperadas

para el aprendizaje del tema.

La propuesta de (García, 2012) es intervenir la metodología del aula de clase utilizando

mediadores didácticos con el ánimo de promover el trabajo fuera del aula de clase

mejorando el rendimiento en la asignatura de matemáticas.

La tesis de (Muñoz, 2013) Interviene la didáctica del estudio de la solución de ecuaciones

lineales por medio de la balanza algebraica, observando su efectividad en el proceso de

enseñanza. Aplicando para esto las fases propias de la ingeniería didáctica definidas por

Yves Chevallard. Este trabajo lo realizaron con grupos reducidos de estudiantes, además

menciona las dificultades de pasar del lenguaje común al algebraico. El uso de números

fraccionarios queda sin trabajar.

La utilización de la balanza virtual como mediador didáctico permite la comprensión en la

solución de ecuaciones de primer grado. Así lo afirma (Grau, 2012) quien explica que como

limitaciones del trabajo no se ha realizado estudio de campo y propone como línea de

investigación futura realizar un estudio empírico al proceso de enseñanza con estudiantes.

En mi experiencia docente he tenido la posibilidad de interactuar con algunos mediadores

didácticos lúdicos que me han permitido captar la atención de los estudiantes

involucrándolos de manera inconsciente en la solución de problemas y permitiendo con

esto alcanzar las habilidades que se requieren para la comprensión del tema matemático.

Cabe anotar que este proceso lúdico permite una mayor motivación y contextualización de

los saberes y ante un problema de no apropiación tan frecuente en básica secundaria y

media es necesario pensar estrategias diferentes a las ya utilizadas por tanto tiempo con

resultados poco alentadores.


1.2.2 Formulación de la pregunta

¿Qué estrategias metodológicas contribuyen a la enseñanza de las ecuaciones lineales

utilizando como mediador didáctico (la balanza algebraica) que contribuya a la

comprensión de las propiedades y algoritmos matemáticos en la resolución de problemas

para el desarrollo de las competencias matemáticas en el grado séptimo de la institución

educativa Lola González?

1.2.3 Descripción del problema

Las competencias propuestas por el (Ministerio de Educación Nacional, 2006, pág. 84)

Promueve en el ciclo sexto – séptimo la formulación y resolución de problemas utilizando

propiedades y operaciones básicas haciendo hincapié en el concepto de igualdad y

desigualdad. Estos lineamientos son tenidos en cuenta en el proceso de enseñanza que

se realiza a los alumnos de séptimo de la institución educativa Lola González de la ciudad

de Medellín, evidenciándose que las competencias en resolución de problemas con

ecuaciones lineales no se alcanzan satisfactoriamente, observándose esta situación en

los resultados de algunas pruebas que miden la educación en Colombia como las pruebas

saber y pruebas PISA además de las pruebas internas y en el trabajo rutinario con los

estudiantes.

la resolución de ecuaciones es necesaria en los siguientes grados de su formación siendo

normal ver esta debilidad al tratar de solucionarlas inclusive en cursos superiores, viéndose

afectadas otras asignaturas que requieren de esta aptitud para su normal desempeño

como son física o química.

Adicional a esta situación el ser matemático para las instituciones que forman a los

docentes perciben el que hacer de sus profesionales como:

“El matemático es un sabio que se dedica al desarrollo del conocimiento

matemático, es un sabio que trabaja para saber más acerca de los objetos

matemáticos y sus propiedades con absoluta independencia del valor de sus


descubrimientos. Su interés es ajeno a todo tipo de afán utilitario de manera que el

objetivo de su trabajo es hacer matemáticas dentro del modelo de ciencia que está

establecido por la academia”. (Goñi, 2009, pág. 43)

Si bien este conocimiento es importante para el docente, debe darse igual valor al sentido

social que tiene el aprendizaje, resaltando las necesidades actuales del contexto y

enfocando la formación de los maestros en dirección de los requerimientos de la educación

básica.

Es importante mencionar la escasa formación que presentan los docente en temas como

los modelos de enseñanza, la metodología más adecuada según el objetivo que se quiere

alcanzar, la psicología del aprendizaje, el proceso evolutivo del alumno, los mediadores

didácticos y su intervención en el aula, temas de vital importancia para generar procesos

que permitan alcanzar las metas propuestas.

Por otro lado la escuela de hoy presentan problemáticas sociales que no ayudan a generar

condiciones idóneas para el aprendizaje, son ejemplos de estas situaciones la

superpoblación en los salones de clase, la falta de compromiso de nuestros alumnos, el

débil acompañamiento familiar y demás problemas de nuestra sociedad, factores que no

pueden ser excluidos del diario vivir en el proceso educativo.


1.3 Justificación

Al revisar los estándares de competencia definidos por el Ministerio de Educación Nacional

define el ser matemático competente como (Ministerio de Educación Nacional, 2006) Aquel

profesional que formula, plantea, transforma y resuelve problemas contextualizados con

su entorno, generando transversalidad con las demás áreas del conocimiento y procurando

integrar razonamientos basados en argumentos que dan sustento a su análisis y

procedimientos.

En la práctica día a día en el aula de clase, se evidencia que esta competencia no se

alcanza satisfactoriamente en muchos de nuestros estudiantes, quedando vacíos

profundos en la resolución de ecuaciones lineales. Esta situación queda evidente en las

pruebas internas y externas o de paso a la universidad, demostrando la trascendencia que

la no adquisición de esta competencia trae problemas para el futuro profesional, que ve

en la resolución de problemas un obstáculo que no puede superar. Esta quizás es la

principal motivación para la realizar este trabajo.

Se pretende entonces presentar una propuesta que tal vez con una mirada distinta a la

convencional, explorando metodologías diferentes y en donde el estudiante construya y se

apropie de su conocimiento mediante la interacción con un mediador didáctico, reconozca

los principios matemáticos y los aplique en la solución de problemas relacionadas con

ecuaciones lineales.

Cabe anotar que es necesario que la rigurosidad en la enseñanza de las matemáticas se

preserve, sobre todo, lo que tiene que ver con la aplicación de principios, postulados y

demás leyes matemáticas involucradas en la resolución y la correcta aplicación de

algoritmos. En este aspecto el mediador deberá permitirle al estudiante la apropiación del

concepto matemático empleado en la solución.


El impacto esperado con este trabajo es el desarrollo de competencias matemáticas, que

le permitan al estudiante, resolver ecuaciones lineales y con el mediador didáctico balanza

algebraica el estudiante pueda interiorizar los principios matemáticos que sustentan el

algoritmo solución.

Este trabajo pretende enriquecer la propuesta de formación que se les ofrece a los alumnos

de la institución educativa en donde laboro, además servir de apoyo a colegas y

estudiantes que vean en su quehacer esta necesidad.


1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo General

Diseñar una propuesta metodológica para la resolución de ecuaciones lineales a través de

mediadores didácticos que permita fortalecer las competencias en los estudiantes de

séptimo grado de la Institución Educativa Lola González.

1.4.2 Objetivos Específicos

Determinar el grado de competencias y pre saberes que poseen los estudiantes

sobre resolución de ecuaciones lineales mediante actividades diagnósticas.

Diseñar una propuesta de enseñanza para resolver ecuaciones lineales utilizando

mediadores didácticos, que permitan el desarrollo de competencias en resolución

de ecuaciones lineales.

Intervenir la práctica docente con la propuesta diseñada de resolución de


Evaluar mediante un enfoque cualitativo de corte etnográfico la metodología

intervenida, observando el impacto que tiene en el proceso de enseñanza.


2. Marco Referencial

2.1 Marco Teórico

La teoría constructivista del aprendizaje desarrollada por Jean Piaget, (Furth & Wachs,

1978) ha brindado aportes significativos a esta propuesta de intervención, resaltando la

importancia de la experimentación, la correcta selección de los instrumentos y

herramientas que se le entregan al alumno y que permiten construir sus propios

conocimientos e ideas. Estas ideas se van modificando mientras se va aprendiendo,

logrando de esta forma procesos dinámicos, en la que se aprende de manera interactiva.

Permitiendo una motivación natural por el aprendizaje.

A continuación se recogen una serie de observaciones que permiten ampliar la visión

acerca de lo que significa esta teoría constructivista.

El conocimiento que debe tener el docente para desarrollar su labor de una manera idónea

requiere conocer además de su quehacer específico, los procesos de enseñanza y la

psicología involucrada en el aprendizaje. Jean Piaget con sus conocimientos en biología

y psicología estructuró toda una teoría acerca del desarrollo de la inteligencia.

El proceso intelectual presenta como punto de partida la inteligencia sensor motora entre

los cero y dos años, luego la función simbólica y semiótica presenta un periodo que

comprende edades entre los dos y siete años, posteriormente comienza un tercer periodo

en el que se refiere a objetos y operaciones concretas. A partir de los once años

aproximadamente, aparece un cuarto periodo en donde el niño adquiere espontáneamente

instrumentos combinatorios y finalmente entre los catorce y quince años las operaciones

proposicionales la hipótesis y la lógica cobra protagonismo además de una conducta

Marco Referencial 25

particular capaz de hacer variaciones en donde el estudio de la filosofía a la par con las

matemáticas es indispensable. Estas dos últimas etapas también son llamadas

operaciones de pensamiento formal. (Piaget, 1973)

Piaget presenta múltiples reflexiones acerca de la importancia experimental expresando la

necesidad de que el estudiante interactúe con su conocimiento (Piaget, 1973, pág. 62)

“dándole el espectáculo de experiencias demostrativas hechas por el profesor como si se

aprendiera a nadar mirando a los bañistas desde el muelle” son una clara muestra de esto,

además en torno a la evolución de los métodos de enseñanza afirma (Piaget, 1973, pág.

82) “los mejores métodos son los más difíciles: no puede utilizar un método socrático sin

haber adquirido previamente una de las cualidades de Sócrates comenzando por un cierto

respeto de la inteligencia en formación”, y en este mismo texto hace alusión a un ejercic io

en el que los niños debían imprimir por si mismos pequeños textos para luego llevarlos a

una imprenta escolar enfatizando que de esta manera llegaban a leer, y obtener las

competencias necesarias con base en la experiencia y trabajo realizado. (Piaget, 1973).

El valor potencial de los materiales manipulativos fue también señalado por (Orton , 2003,

pág. 151) quien descubrió que los chicos que los habían empleado solían rendir más en

los test de capacidad espacial.

En torno a la utilización de objetos concretos de aprendizaje (Orton , 2003, pág. 86)

establece que en una situación nueva de aprendizaje, es probable que sea importante la

actividad física con objetos reales en la etapa de las operaciones concretas, pero solo

hasta el momento en que el niño sea capaz de sustituir tales manipulaciones físicas por

las correspondientes actividades mentales, resaltando sin embargo, en la mayoría de los

alumnos y durante gran parte de su vida escolar, parece existir la necesidad de referentes

concretos en la enseñanza de las matemáticas, independiente de cualquier creencia en la

teoría piagetiana.

Se concluye de esta manera que la tarea brinda las actividades necesarias que unidas a

una actividad física, permite aclarar los conceptos que queremos transmitir al estudiante

de manera significativa.


Para Piaget el lenguaje se utiliza con el propósito de comunicarse y contribuye con la

acción de pensar, pero solo de manera periférica. Resaltando que en ocasiones en vez de

facilitar el pensamiento, se convierte en un obstáculo si solo sabe el significado de la

palabra pero no lo relaciona con una situación. (Furth & Wachs, 1978, pág. 39)

Entender la importancia que tiene la comunicación es vital en los procesos de enseñanza

(Goñi, 2009, pág. 111) “La comunicación humana es bidireccional, o como suele decirse

interpersonal, es decir exige de dos seres humanos intercambiando información a la que

se le ha de asignar un sentido”, cabe resaltar que para que se establezca la comunicación

las partes deben estar en condiciones para ello, sentirse bien y estar dispuestos a recibir

y ofrecer información.

En este sentido (Goñi, 2009, pág. 122) establece que “Para la comunicación humana lo

relevante no es la información en sí, sino el sentido o significado que se pretende incluir

por medio de la misma”, para alcanzar el sentido o significado debe existir elementos que

permita relacionar la información con el conocimiento que se quiere ofrecer.

“La tarea es el elemento que permite construir el nexo comunicativo entre los

docentes y estudiantes, es decir que es el binomio (tarea + actividades) es el

elemento por el cual se puede realizar la inducción matemática”. (Goñi, 2009, pág.

131) “la tarea contiene el germen de los aprendizajes posibles que este germen se

desarrolle y fructifique, o no lo haga, dependerá de las condiciones metodológicas

en las que se concreten” (Goñi, 2009, pág. 127)

La clasificación de las tareas es una labor importante porque es la manera que tenemos

de relacionar los medios que vamos a utilizar con los aprendizajes que debemos suscitar.

En consecuencia, no nos interesa una clasificación cualquiera, sino aquella que nos

permita agrupar las tareas que vamos a proponer bajo el criterio de servir para el desarrollo

de aprendizajes del mismo tipo.


La competencia matemática es una competencia clave porque es una condición del

desarrollo personal e integración social, solo pensemos por un momento que situaciones

de vida diaria requieren la utilización de las matemáticas, por esta razón cobra tal

importancia la educación de nuestros alumnos.

2.2 Marco Disciplinar

En esta sesión del trabajo se revisan algunas de las estrategias metodológicas para la

enseñanza de las ecuaciones lineales observando de qué manera es posible realizar una

intervención que permita el desarrollo de competencias y por ende un mejor aprendizaje

de la resolución de problemas con ecuaciones lineales. A continuación se presenta la

visión que tiene la institución del ser matemático competente, la cual nos servirá de

bitácora para plantear la propuesta disciplinar.

La institución educativa adopta de los lineamientos curriculares el significado de ser

matemáticamente competente como aquel individuo que formula, plantea, transforma y

resuelve problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de

las matemáticas mismas. Analizando la situación; identificando lo relevante en ella;

estableciendo relaciones entre sus componentes y con situaciones semejantes;

formándose modelos mentales de ella y representarlos externamente en distintos registros;

formular distintos problemas, posibles preguntas y posibles respuestas que surjan a partir

de ella y de esta manera permitir al estudiante desenvolverse socialmente, desarrollando

actividades y proyectos de área basados en la observación, el ensayo y el error.

Con el ánimo de iniciar el análisis de cuáles son las razones del porque se presenta

debilidades en el desarrollo de competencias, inicialmente se revisan las tareas que tienen

más tradición escolar utilizadas para el desarrollo de competencias matemáticas


destacadas por (Goñi, 2009, pág. 134). Están los ejercicios, actividades de síntesis,

experiencias, juegos, problemas, investigaciones, y elaboración de la información.

En la experiencia docente hay ocasiones que abusamos de una actividad colocándola

indefinidamente y de manera repetitiva y llegamos al punto de abusar de una metodología.

En este sentido (Goñi, 2009) establece que esta práctica hace del aprendizaje de las

matemáticas una actividad rutinaria y tediosa, y es uno de los factores que explican el

rechazo de algunos estudiantes hacia esta.

(Godino, 2004) Si desligamos el conocimiento matemático de la actividad constructiva que

está en su origen, corremos el peligro de caer en puro formalismo. Perderemos toda su

potencialidad como instrumento de representación, explicación y predicción.

Debido a mi formación en ingeniería, y la forma de educación que recibí, la

experimentación, considero que es algo necesario en cualquier ciencia y las matemáticas

no se alejan de esta realidad. Al respecto (Goñi, 2009) apoya la idea estableciendo que es

conveniente en el aprendizaje de las matemáticas. Adicional a esto afirma este mismo

autor que para que la acción sea interiorizada y convertida en operación es necesario que

actué sobre los objetos, aunque la mera manipulación no es suficiente.

Esta última afirmación con relación a los objetos de aprendizaje y la intencionalidad que

se quiere con ellos va a tener gran relevancia en el desarrollo de este trabajo. Porque son

estos mediadores didácticos los que coadyuvarán al anclaje de esos nuevos

conocimientos que se quieren relacionar en el estudiante, incentivando la imaginación en

torno a la construcción y manipulación de tales objetos.

Estas construcciones serán asumidas bajo la visión del juego que propone (Goñi, 2009)

en las que se dan dos características básicas; la primera es que están sujetas a una serie

de reglas o normas que hay que respetar y la segunda es que tiene la finalidad de ganar.

Pero se debe instruir a los alumnos adecuadamente en la forma de resolver los problemas

y para esto es necesario una batería o colección de problemas que sean explicados

procurando el tiempo necesario para permitir que los alumnos entiendan su solución, pero


el reto adicional y quizás el más importante será el de amplificar las situaciones. Para

(Goñi, 2009) los estudiantes deben trabajar problemas de ángulo cero en los que no hay

posibilidades de elección (problemas ad hoc) y problemas ángulo lleno donde el rumbo es

totalmente incierto existe todo un abanico de aperturas.

Pero ¿Qué experimentan los estudiantes con esta clase de metodologías? Para (Goñi,

2009) muchos de los bloqueos que se producen en la resolución de problemas no tienen

que ver con lo cognitivo y si, muchas veces con lo emocional (ansiedad, miedo, ideas

negativas, frustración, etc). De aquí la necesidad de construir en el aula de clase ambientes

de confianza, en donde los estudiantes tengan la libertad de preguntar. Cabe resaltar que

esa ayuda que le prestamos los profesores deberá ser la mínima para generar en el alumno

la chispa que lo lleve a el mismo obtener la solución del problema, de lo contrario

podríamos caer en sentimientos de dependencia por parte de nuestros alumnos.

En el campo conceptual los autores (Cifuentes et al., s.f.) Hace un reconocimiento inicial

de los términos que se utilizan en la solución de ecuación (variables, incógnita, términos,

signos, grado, símbolos, identidad, igualdad…) definiendo cada uno de ellos.

Posteriormente recomienda los algoritmos necesarios (eliminación de paréntesis,

amplificación de fracción para eliminar denominadores, agrupación de los términos

semejantes y despeje de la incógnita). Cabe resaltar la aplicación de las propiedades de

la igualdad (reflexiva, simétrica, transitiva, uniforme, cancelativa). Estas propiedades y su

correcto manejo (Secretaria de educación pública, 1996) serán fundamentales para la

solución de ecuaciones.

En síntesis los conceptos disciplinares en que se va apoyar el trabajo son las propiedades

de la igualdad, la ley de palancas de Arquímedes, el principio de la polea simple. El

manipulador didáctico balanza algebraica será construido por cada estudiante y tendrá la

tarea de servir de objeto con el cual los estudiantes interactúen y alcancen a interiorizar

cada una de estas propiedades matemáticas necesarias para justificar cada paso en la

resolución de la ecuación. Posteriormente y mediante un diseño de actividades

cuidadosamente elegidas, se ira construyendo los conocimientos necesarios para la

comprensión del algoritmo de resolución del problema.


2.3 Marco Legal

2.3.1 Contexto Internacional

La educación es un derecho que según la (ONU, 1948) y (UNESCO, 2009-2014) debe ser

gratuito y obligatorio para todos sin distinción de sexo, condición socio economía o raza,

siendo la educación el principal pilar en la lucha contra la discriminación. Por lo tanto hacen

un llamado al compromiso político que deben tener las naciones alrededor de preservan

la enseñanza básica para todos.

2.3.2 Contexto Nacional

A continuación se presenta en la Tabla 2-1 Normógrama Contexto Nacional

Tabla 2-1 Normógrama Contexto Nacional

Jerarquía de la Norma

Número (Fecha) Titulo Articulo Aplicación Especifica

Constitución Política de Colombia Constitución Política de Colombia

1991 (Julio 6) Constitución Política de Colombia Constitución Política de Colombia 1991

6, 23, 29, 67, 86, 87, 90, 122, 209, 269, 305, 345, 354

Derechos sociales, económicos y culturales

Decreto 1965 de 2013 (septiembre 11)

Por el cual se reglamenta la Ley 1620 de 2013, que crea el Sistema Nacional de Convivencia Escolar y Formación para el Ejercicio de los Derechos Humanos, la Educación para la Sexualidad y la Prevención y Mitigación de la Violencia Escolar

Todo el articulado

convivencia escolar

Ley 1620 de 2013 (marzo 15)

Por la cual se crea el Sistema Nacional de Convivencia Escolar y Formación para el Ejercicio de los Derechos Humanos, la Educación para la Sexualidad y la Prevención y Mitigación de la Violencia Escolar.

Todo el articulado

convivencia escolar

Ley 1324 de 2009 (julio 13)

"Por la cual se fijan parámetros y criterios para organizar el sistema de evaluación de resultados de la calidad de la educación, se dictan normas

Todo el articulado

Educación


para el fomento de una cultura de la evaluación, en procura de facilitar la inspección y vigilancia del Estado y se transforma el Icfes".

Decreto 366 de 2009 (Febrero 9)

Por medio del cual se reglamenta la organización del servicio de apoyo pedagógico para la atención de los estudiantes con discapacidad y con capacidades o con talentos excepcionales, en el marco de la educación inclusiva

Todo el articulado

Educación inclusiva

Decreto 1290 de 2009 (Abril 16)

Por el cual se reglamenta la evaluación del aprendizaje y promoción de los estudiantes de los niveles de educación básica y media

Todo el articulado

Educación básica y media

Decreto 1278 de 2002 (Junio 19)

Por el cual se expide el Estatuto de Profesionalización Docente

Todo el articulado

Estatuto Profesionalización Docente

Ley 115 de 1994 Por el cual se expide la Ley General de Educación

Todo el articulado

Educación

Decreto 1567 de 1998 (Agosto 5)

Por el cual se crean el Sistema Nacional de Capacitación y el Sistema de Estímulos para empleados del Estado.

Todo el articulado

Capacitación

Decreto 2277 de 1979 (Septiembre 24)

Por el cual se adoptan normas sobre el ejercicio de la profesión docente

Todo el articulado

Estatuto docente

2.3.3 Contexto Regional

El departamento de Antioquia tiene como bandera de gobierno la educación reconociendo

la importancia que tiene como eje transformador de una sociedad, procurando un servicio

público de calidad, propiciando el mejoramiento de la infraestructura física y el desarrollo

del mejoramiento educativo mediante la formación avanzada de sus docentes y las

diferentes actividades de estímulos y reconocimientos de logros académicos e

intelectuales y el liderazgo de sus directivos. (Gobernación de Antioquia, 2012)

Fuente: adaptado de (Departamento del Quindío, 2010) (Ministerio de Educación Nacional, 2015)


2.3.4 Contexto Institucional

El PEI institucional presenta un enfoque potencialista buscando que los miembros de la

comunidad educativa desarrollen todas sus capacidades deportivas, culturales, cognitivas,

mediante el fomento de la investigación y llevando como lema al progreso por el esfuerzo.

El plan de área de matemáticas contempla la educación como “una ciencia que nos permite

aprender a aprender, a aprender a pensar y aprender a comunicarnos a través de la

exploración, abstracción, clasificación, medición y estimación de tal manera que nos

posibilita desarrollar nuestras estructuras mentales para un desenvolvimiento óptimo de

nuestra realidad cotidiana”. Aspira que los reconocimientos que se han obtenido

deportivamente trasciendan mucho más al aspecto humano, académico, investigativa y

cultural. Mediante la aplicación de nuestro Modelo Pedagógico Potencialista.” (Institucion

Educativa Lola González, 2008)

2.4 Marco Espacial

La Institución Educativa está ubicada en la ciudad de Medellín, comuna 12, Barrio

Floresta Santa Lucía con dirección Calle 47F Nº 94-63. Su NIT es el Nº 811039252-0

y el Código DANE es el Nº 105001001490. Cuenta con una sede adicional que sirve a

los estudiantes de primaria y preescolar ubicada en la Carrera 89A Nº 47DD-71,

atendiendo mayoritariamente a estudiantes de la Comuna 13.

La Institución tiene aproximadamente dos mil quinientos estudiantes, setenta y ocho

docentes, cinco directivos docentes y dieciocho empleados administrativos y de

servicios generales.

Hasta el año 2004 fue femenino a partir del año 2005 se vuelve mixto y en la actualidad

el porcentaje de hombres es significativo, se destaca su gran cantidad de logros


deportivos en disciplinas como voleibol, basquetbol y porrismo, llegando a figurar en

juegos nacional y suramericanos. Este fomento al deporte permite potencializar las

demás áreas del conocimiento, siendo significativo el impacto en la forma de pensar

de nuestros estudiantes (Institucion Educativa Lola González, 2008)


3. Diseño metodológico : Investigación aplicada

El presente diseño metodológico se realiza para ser utilizado con los estudiantes de la

institución educativa Lola González, ubicada en la ciudad de Medellín y que atiende a

población de las comunas 12 y 13 con estrato socioeconómico entre 2 y 4, con edades que

oscilan entre los 11 y 14 años de edad y con un alto índice de repitencia y con dificultades

para la resolución de problemas matemáticos.

Se pretende intervenir con este trabajo a 33 estudiantes del grado séptimo siete con una

propuesta metodológica y la elaboración del material didáctico (balanza algebraica) que

permita mejorar las competencias en la resolución de problemas que presenten como

solución ecuaciones lineales.

3.1 Paradigma Crítico-Social

Esta perspectiva presenta de forma explícita la realidad del quehacer en el aula procurando

transformar las relaciones sociales, fundamentada en el conocimiento de la realidad en la

práctica, la conexión con la teoría, enfocada en darles instrumentos a los participantes del

acto educativo la posibilidad de liberarse y por supuesto la autorreflexión critica

permanente. (Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales, 2016)

En la actualidad, las metodologías de enseñanzas utilizadas para resolver ecuaciones

lineales en el grado séptimo de la institución educativa Lola González, presentan

debilidades, debido posiblemente a la falta de experiencias que le permitan al estudiante y

Diseño metodológico 35

al docente un aprendizaje significativo. Siguiendo los principios del paradigma critico social

a partir de la comprensión de la realidad educativa, se hace necesario unir la teoría

(propiedades y principios matemáticos y la teoría constructivista) con la práctica, mediante

la aplicación en el aula de clase, de un mediador didáctico, para la resolución de

ecuaciones, como es la balanza algebraica. Todo esto enmarcado en generar

conocimiento y valores a los estudiantes, que les permitan abrir sus mente y liberar todo

su potencial en la resolución de problemas. Con un acompañamiento continuo del docente

basado en la auto reflexión de cada actividad pedagógica propuesta a los estudiantes

3.2 Tipo de Investigación

El presente trabajo de profundización de corte monográfico, pretende darle solución a una

situación particular de carácter disciplinar como es la resolución de ecuaciones lineales.

Mediante la utilización de un mediador didáctico enmarcado en el modelo de investigación-

acción educativa (I-A-E) (Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales,

2016). En el que coloca al docente como un investigador de su propia práctica,

reflexionando continuamente, para posteriormente efectuar acciones en búsqueda de

mejorar el aprendizaje de los autores en el proceso educativo. Esto Propendiendo que las

acciones emprendidas, permitan acercarse a la consecución de los objetivos propuestos

3.3 Método

El método que se empleara está basado en el enfoque cualitativo de corte etnográfico que

según (Hernandez Sampieri, Fernández Collado, & Baptista Lucio, 2006) pretenden

describir conocimientos y prácticas de grupo, examinando lo que las personas hacen

usualmente, que significado le dan a ese comportamiento bajo circunstancias comunes o

especiales y finalmente presentar los resultados de manera que resalten las regularidades

que implica un proceso cultural.


El investigador es un participante más del proceso, convive con el grupo de interés. Utiliza

diversas herramientas para recolectar sus datos entre las que se destacan observación,

entrevistas, pruebas de diagnóstico, materiales, artefactos y autorreflexión, manteniéndose

siempre abierto a autoevaluar su papel.

Las principales acciones para llevar a cabo el estudio etnográfico que (Hernandez

Sampieri, Fernández Collado, & Baptista Lucio, 2006) propone son:

Delimitación del grupo o comunidad que se pretende intervenir.

Recolección y análisis de datos, mediante observaciones generales, entrevistas abiertas,

y/o recopilación amplia de artefactos.

Elaboración de reporte de la recolección y análisis, buscando descripción de categorías.

Recolectar y analizar datos de manera enfocada sobre aspectos específicos de la

comunidad seleccionada. Mediante observaciones dirigidas, entrevistas abiertas con

preguntas estructurales y contrastantes y recopilación selectivas de artefactos y

documentos.

Elaboración de reporte de la recolección y análisis enfocados en la descripción de

categorías, clasificaciones y teorías emergentes.

Ampliación de observaciones, confirmar categorías.

Elaboración de reporte final en la que se hacen la descripciones finales de categorías,

taxonomía de categorías, explicaciones de la situación del grupo. Teorías e hipótesis.

Verificar el reporte con los participantes y realizar los ajustes pertinentes.

Este tipo de investigación cualitativa permite la observación de los procesos que se

desarrollan al interior del aula, reconociendo las categorías y aspectos relevantes que se

consideran intervenir, facilitando el mejoramiento y la innovación de los procesos

educativos.


3.4 Instrumento de recolección de información

Las fuentes primarias o de contacto directo que se utilizan en el trabajo son prueba

diagnóstica al inicio y otra prueba al finalizar del proceso, la observación de las acciones

que cada estudiante va realizando, entrevistas y comunicación permanente.

Una vez finalizada la intervención se realizara una prueba para verificar el grado de

asimilación alcanzado, y los resultados se presenta por medio de tablas con su respectivo

análisis. Esta prueba se presenta a continuación y pretende recopilar la información

necesaria para evidenciar las observaciones y evidencias del trabajo realizado.

Ver anexo 1.

Los diarios de campo y el material audiovisual recolectado será nuestra principal evidencia,

para el trabajo por fuera del aula de clase se contara con tareas teóricas y prácticas

revisadas periódicamente. Los instrumentos secundarios como libros e información en la

red serán necesarios para complementar cada una de las actividades propuestas.

3.5 Población y Muestra

La muestra objeto de estudio son 33 estudiantes del grado séptimo siete de la institución

educativa Lola González, integrando por 9 hombres y 24 mujeres, de los cuales 11

estudiantes son repitentes y que para efectos de la presente investigación son necesarios

referenciarlos por las características de trabajo y actitudes que presentan estos estudiantes

y que en muchos casos intervienen negativamente en el proceso educativo. También se

debe considerar a aquellos estudiantes que presentan un rendimiento superior, en nuestro

estudio se identificaron 5 alumnos.

La muestra coincide con la población al seleccionar a los 33 estudiantes del grupo para

realizar la investigación.


Cabe resaltar la importancia del conocimiento y aplicación de las propiedades y el correcto

uso de los algoritmos de solución relacionados con las ecuaciones lineales en cada uno

de los miembros de la muestra seleccionada.

3.6 Delimitación y Alcance

Este trabajo pretende aporta una propuesta metodológica para la enseñanza de las

ecuaciones lineales por medio una serie de etapas. Como primera para se desarrollara un

diagnostico que permita visualizar las condiciones iniciales de conocimientos y habilidades

que tienen los estudiantes en la resolución de problemas que involucran soluciones

lineales, a partir de esta información se identificaran las debilidades y fortalezas.

Posteriormente se realiza el diseño y construcción del mediador didáctico balanza

algebraica y que junto con la elaboración de las guías servirán de apoyo para intervenir el

grupo en pro de la consecución de los objetivos planeados. Po último se realiza la

intervención y posterior evaluación del impacto de la propuesta metodológica teniendo

como instrumento de evaluación un examen de selección múltiple.

La metodología está diseñada para ecuaciones lineales cuya solución pertenezca al

conjunto de los números enteros, además se propende aproximar al estudiante al uso y

comprensión de las propiedades matemáticas que fundamentan la solución de ecuaciones

lineales.

Además se propone un trabajo práctico en donde el estudiante aprenda haciendo su

propio materia didáctico, interactuando con su construcción y proponiendo un trabajo en

equipo que estimula el auto aprendizaje.

3.7 Cronograma

De acuerdo al método presentado en el 3,3 el desarrollo del trabajo comprende una serie

de fases que se explican a continuación de la tabla 3-1 planificacion de actividades,

sirviendo este como guía de actividades que permitan alcanzar los objetivos propuestos.


.

Tabla 3-1 Planificación de actividades

FASE OBJETIVOS ACTIVIDADES

Fase 1:

Caracterización

Determinar el grado de

competencias y pre

saberes que poseen los

estudiantes sobre

resolución de ecuaciones

lineales.

1.1 Diseño de actividades que permita medir el nivel de

competencias que los estudiantes poseen en

terminología, propiedades matemáticas y su utilización

en los algoritmos de resolución de ecuaciones lineales.

1.2 Aplicación y revisión de las actividades diseñadas.

1.3 Realización del análisis de los resultados obtenidos

a los estudiantes del grupo 7°7 de la institución

educativa Lola González de la ciudad de Medellín.

Fase 2: Diseño Diseñar una propuesta de

enseñanza que permita el

desarrollo de

competencias en

resolución de ecuaciones

lineales.

2.1 Diseño, materiales y procedimientos para la

construcción del material didáctico.

2.2 Diseño de la guía para la utilización de la balanza

algebraica que permita la resolución de ecuaciones

lineales

2.3 Diseño de talleres en donde se emplee el mediador

didáctico en la solución de las ecuaciones lineales.

Fase 3: Aplicación Intervenir la práctica

docente con la propuesta

diseñada de resolución de


3.1 Construcción de la balanza algebraica.

3.2 Intervenir la práctica docente con la propuesta

diseñada, utilizando los mediadores didácticos

construidos.

Fase 4: Análisis y

Evaluación

Evaluar mediante un

enfoque cualitativo de

corte etnográfico la

metodología intervenida,

observando el impacto

que tiene en el proceso de

enseñanza.

4.1 Construcción y aplicación de una actividad

evaluativa al finalizar la Intervención de la estrategia

didáctica propuesta.

4.2 Realización del análisis de los resultados obtenidos

al intervenir la estrategia didáctica en los estudiantes

del grado séptimo siete de la institución educativa Lola

González de la ciudad de Medellín.

Fase 5:

Conclusiones y

recomendaciones

Analizar los resultados

obtenidos y con base en

estos redactar

conclusiones y proponer

recomendaciones

5.1Redacción de conclusiones y recomendaciones

Fuente: Elaboración propia


El cronograma permite visualizar de manera gráfica el orden de las actividades y la semana

en la que serán completadas, convirtiéndose en un instrumento que garantice la

finalización de la intervención en el tiempo programado

La tabla 3-2 se propone realizar la intervención en 16 semanas, describiendo cada una de

las actividades propuestas en la tabla 3-1.

Es importante resaltar que este instrumento es una estimación del tiempo propuesto para

la intervención y podría presentar modificaciones.

Tabla 3-2 Cronograma de actividades

ACTIVIDADES

SEMANAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Actividad 1.1 X X

Actividad 1.2 X X X

Actividad 1.3 X

Actividad 2.1 X X X

Actividad 2.2 X X X

Actividad 2.3 X X

Actividad 3.1 X X X X X

Actividad 3.2 X X X X X

Actividad 4.1 X X

Actividad 4.2 X X

Actividad 5.1 X


Trabajo Final 41

4. Trabajo Final

4.1 Desarrollo de la estrategia didáctica

Durante esta parte del trabajo se describirán las actividades que se mencionan en la tabla

3-1. La fase 1 caracterización contará con una serie de actividades que tienen como

propósito identificar los conocimientos previos que poseen los estudiantes y a su vez servir

de nivelación para aquellos estudiantes que presenten debilidades en estos temas, en la

parte final de esta fase se realiza un análisis de las observaciones hechas. Posteriormente

se presenta una fase de diseño que permite identificar materiales y procedimientos de

construcción de nuestro mediador didáctico también se realiza la guía para la utilización

de la balanza algebraica. En la fase de aplicación los estudiantes con acompañamiento del

docente realizan la construcción del mediador didáctico y posteriormente se inicia el trabajo

de intervención de la práctica docente haciendo uso de la balanza algebraica construida,

teniendo en cuenta ir promoviendo el uso de las propiedades matemáticas en la resolución

de cada problema, además de la correcta selección y nivel de ejercicios propuestos. Por

ultimo en la fase 4 se realiza el análisis y evaluación de la propuesta mediante una prueba

diagnóstica y su respectivo análisis de resultado.


4.1.1 Fase 1: Caracterización

En esta fase se realizan una serie de actividades que permitan reconocer los

conocimientos previos que tienen los estudiantes acerca de:

El uso de propiedades matemáticas necesarias para sustentar el algoritmo

empleado en la resolución.

Las competencias necesarias en la solución de ecuaciones lineales.

La terminología más empleada en la solución de ecuaciones y la interpretación

matemática de una situación cotidiana.

Actividad # 1

Buscar en la sopa de letras los términos allí seleccionados y con sus propias palabras

definir (en contexto matemático) cada uno de ellos.

Ilustración 1 Sopa de letras

Fuente: (discovery education, s.f.)

Trabajo Final 43

En la resolución de ecuaciones es necesario la utilización de propiedades matemáticas

para lograr hallar la solución al problema. Algunas de las propiedades utilizadas para esto

son:

Propiedades de las ecuaciones (eplc.umich, s.f.)

El axioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros.

Propiedad uniforme

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o

negativa, la igualdad subsiste. Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva

o negativa, la igualdad subsiste. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad,

positiva o negativa, la igualdad subsiste. Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva

o negativa, la igualdad subsiste.

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general, para cualesquiera de los números reales a, b y c.

Si a = b entonces a+c = b+c

Si a = b entonces a-c = b-c

Si a = b entonces ac = bc

Si a = b entonces a/c = b/c siempre que c≠0

Otras propiedades (Secretaria de educación pública, 1996)

Propiedad reflexiva

La propiedad reflexiva establece que para cada número real x, x = x.

Propiedad simétrica

La propiedad simétrica establece que para todos los números reales x y y,

si x = y, entonces y = x.

Propiedad transitiva

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/real-numbers.html


La propiedad transitiva establece que para todos los números reales x, y, y z,

si x = y y y = z, entonces x = z.

Propiedad de sustitución

Si x = y, entonces x puede ser reemplazada por y en cualquier ecuación o expresión.

Propiedad del opuesto aditivo o invertiva

El inverso aditivo de un número es el opuesto de ese número, esto es, el inverso aditivo de un número x es - x. La suma de un número y su inverso aditivo siempre es cero, eso es, x + (-x) = 0.

Propiedad del inverso multiplicativo

El inverso multiplicativo, recíproco o inverso de un número x no nulo, es el número,

denotado como 1⁄x ó x −1, que multiplicado por x da 1 como resultado.

Propiedad modulativa para la adición

La suma de cualquier número y cero es igual al número original.

Propiedad modulativa para la multiplicación

Todo número multiplicado por uno da como resultado el mismo número.

Actividad # 2 (www.rmm.cl, s.f.)

Comprueba si cada proposición es una igualdad y anota V o F. Relacione si es posible una

propiedad que se aplique a cada caso.

______ 2 + 3 = 3 + 2 ______ a + a + a = 3 · a

______ 5 + 0 = 0 + 5 ______ a · a · a = a3

______ -3 + 3 = 0 ______ 4 · 4 · 4 = 3 · 4

______ 2 · ( 3 + 4) = 2·3+2·4 ______ 18 + 36 = 27 · 2

______ 7 + 7 = 49 ______ 2 +(3 · 4) = ( 2 + 3) · (2 + 4)

______ -(-a) = a ______ /-8/ = /+8/

https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Uno

Trabajo Final 45

Actividad # 3

Resuelve las siguientes ecuaciones efectuando las operaciones mentalmente y luego

comprueba el resultado:

x + 2 = 6 7 + x = 15 3x = 4 + 2x 9 = x + 12 1 – 8 = 6 + x – 2 + 4

x + 2 = 7 x + 8 = 2 x – 5 = -9 2 = x - 7 3 – 9 = 4 + x – 7 + 6


Expresa en lenguaje matemático:

a) Un número =

b) Cierto número =

c) El doble de un número =

d) Un número par =

e) Un número impar =

f) Dos números consecutivos =

g) Tres números consecutivos =

h) La mitad de un número =

i) La tercera parte de un número =

j) La cuarta parte de un número =

k) Los dos tercios de un número =

l) El cociente entre un número y 4 es 8 =

m) Diez veces un número es el doble del

n) El triple de un número disminuido en

3 unidades es=

o) Cierto número más 5 es igual a –4

p) Cierto número más 8 es igual a 2


q) Un número menos 5 más 3 es igual a 7 =

r) El antecesor de un número cualquiera =

s) Una cantidad excedida en 5 =

t) El quíntuple de un número

u) El triple de un número aumentado en 3 =

v) Dos números pares consecutivos =

w) Tres números impares consecutivos =

x) El exceso de 20 sobre un número =

A continuación lee detenidamente el ejemplo y con base en esa información reconoce las

propiedades en el taller siguiente.

Ejemplo (Baquero Guevara & Torres Berrío, 2009, pág. 60)

En el supermercado anuncian que por la compra de una bolsa de arroz, regalan tres

cuartos de libra. Si un cliente aprovecha la promoción y lleva en total 29

12 de libra de arroz,

entonces ¿Cuántas libras compró?.

Solución:

Datos que se conocen del problema:

La cantidad de arroz que regala el supermercado: 3

4 de libras por cada bolsa de

arroz.

La cantidad total de arroz que llevó: 29

12 de libra

Datos que se desconocen (la variable x) del problema: las libras de arroz que trae cada

bolsa.

La ecuación que representa el problema 𝑥 +3

4=

29

12

Trabajo Final 47

Tabla 3 Ejemplo aplicación propiedades matemáticas

𝑥 +3

4=

29

12

Es importante recordar que cuando se

adiciona o se sustrae una cantidad en una

igualdad se debe hacer a ambos lados de

la igualdad

𝑥 +3

4−

3

4=

29

12−

3

4

Propiedad invertiva o del opuesto aditivo,

propiedad uniforme en la sustracción

𝑥 + [3

4−

3

4] =

29

12−

3

4 Propiedad asociativa

𝑥 + 0 =29

12−

3

4

propiedad modulativa

𝑥 =29

12−

3

4∗

3

3

Amplificación de fracción

𝑥 =29

12−

9

12

Suma de fracciones homogéneas

𝑥 =20

12=

5

3

Simplificación.

Fuente (Baquero Guevara & Torres Berrío, 2009, pág. 60)

Actividad # 5 (Baquero Guevara & Torres Berrío, 2009, pág. 61)

Con base en la información anterior indica la propiedad utilizada en cada caso

1. 𝑡 + 0 =2

5

2. −2

3+

2

3− 𝑛 = 1 +

2

3

3. 2

10+

−2

10− 𝑘 = 1 +

−2

10

4. 𝑑 + [−6

5−

6

5] =

4

10−

6

5

5. 𝑎 = [−5

9+

1

3] +

1

6

6. 𝑏 + 0 =3−6

5


Problemas de ecuaciones: plantea la ecuación, resuélvela y responde el problema.

1) Cierto número más 5 es igual a –4 ¿ Cuál es el número ? 2) Cierto número más 8 es igual a 2 ¿ Cuál es el número ?


3) Si a un número le resto -8 nos da 15 ¿ Cuál es el número ? 4) ¿ Qué número sumado con –30 nos da –15 ? 5) Si a un número le resto 16 y le sumo –15 me da 10 ¿ Cuál es el número ? 6) Dos niños juntan 9 libros, uno de ellos aporta 4 libros ¿ Cuántos libros aporta el

otro ? 7) Para hacer una torta se necesitan 24 huevos, si ya tienen 24. ¿ Cuántos huevos

faltan ? 8) La suma de las edades de dos hermanos es 32 , si el menor tiene 15 años. ¿

Cuántos años tiene el mayor ? 9) La suma de dos números es 85 , el mayor es 49 . ¿ Cuál es el menor ? 10) Marisol está calculando la nota que necesita para obtener de promedio 5,5 y así

eximirse del examen final de Matemática. Sólo le falta una nota para cerrar el semestre y sus notas hasta el momento son : 4,8 – 5,6 – 4,9 – 5,1 – 5,1 – 6,0 ¿ Cuál es la nota que necesita para obtener el promedio deseado ?

11) Federico logró vender 31 boletos de rifa que corresponden a 2 talonarios completos y 5 boletos más. ¿ Cuántos boletos traía cada talonarios ?

Análisis de los resultados obtenidos en la fase de caracterización.

Las definiciones hechas en la sopa de letras con sus propias palabras evidencian carencia

en la argumentación y en algunos casos la búsqueda de las definiciones en el internet.

Debo resaltar la necesidad que tienen los estudiantes por encontrar la respuesta ya. El

trabajo de ir socializando la necesidad de la utilización de las propiedades o reglas de juego

es complejo porque eso trae según ellos más trabajo, una respuesta no tan rápida, que

quizás es la tendencia que dio origen a las dificultades en la resolución de ecuaciones.

Y la constante pregunta: ¿ y eso que da? RESPONDANOS ¡¡¡ es frecuentemente

exclamada por ellos. Que tanto perdemos en el proceso al responderles.

Trabajo Final 49

4.1.2 Fase 2: Diseño

En esta fase se diseña el mediador didáctico, además se propone un método para la

resolución de ecuaciones utilizando la balanza algebraica.

Para la realización de la balanza los materiales de construcción empleados deben ser

objetos que los estudiantes usualmente llevan consigo como son la regla, clips, alfileres o

que sean de fácil adquisición como la madera de balso, encendedor, aguja capotera etc.

La siguiente es la lista de materiales necesarios para la construcción:

Regla de 30 cm transparente.

Aguja capotera.

Clips de 2 colores.

Encendedor, vela.

Alfiler con cabeza grande o puntilla (fulcro)

Base rectangular (5cm x 8cm) de madera MDF calibre > 9mm

Varilla de balso de 10 mm de diámetro

Pincho de bambú de 30 cm.

Brocas de 2mm, 3mm y 10mm.

Taladro o Mototool.

Procedimiento para construir la balanza

El estudiante deberá perforar a cada 1.0 cm la regla siguiendo la escala de medida

que esta trae, iniciando desde cero y terminando en 30. También deberá perforar


en el otro borde de la regla siguiendo el mismo patrón, de tal manera que se crean

dos hileras de orificios en la regla. Justo en el centro de la regla debe ubicar un

orificio que servirá de fulcro o punto de apoyo de la balanza (este orificio debe

quedar lo más centrado posible garantizando el equilibrio de la balanza).

Para perforar la regla se utilizara la aguja capotera calentándola previamente. (Se

debe tener precaución de no quemarse, ni acercar demasiado regla a la vela).

También se puede la utilización del Mototool o taladro utilizando la broca de 2mm

teniendo en cuenta marcar el punto de perforación con la aguja caliente

previamente.

Marcar el centro de la base rectangular realizando la intercepción de diagonales y

con ayuda de un taladro o Mototool realizar una perforación de 10 cm de diámetro

justo en el centro.

Recortar la varilla de balso de 23 cm (la longitud comercial de las varillas es de

92cm) obtienen así material para 4 personas, perforarla a 3 cm de la punta con la

broca de 2mm y a 1 cm de la punta con la broca de 3mm.

Asegurar la regla al orificio central con ayuda de la puntilla o alfiler. Verificar que la

regla gire libremente ajustar la base a varilla de balso, pasar la varilla de bambú

por el orificio de 3mm ten presente que esta varilla debe quedar paralela a la regla.

Coloca en los orificios superiores hilos a cada lado de fulcro, que posteriormente

servirán para colgar los ganchos para los términos negativos.

Trabajo Final 51

Guía para solucionar ecuaciones lineales utilizando la balanza.

Antes de solucionar cualquier problema con la balanza algebraica, debemos tener

en cuenta que es un mediador que responden a leyes físicas, por lo tanto se deben

tener en cuenta, la ley de las palancas de Arquímedes (las fuerzas en una palanca

en equilibrio son iguales al peso por la distancia al fulcro o en otras palabras la

potencia por el brazo es igual a la resistencia por el suyo). Este concepto es útil

para alcanzar el equilibrio en la balanza.

Ilustración 2 Ley de palancas de Arquímedes

Fuente: http://ctaogranada.wikispaces.com/LA+PALANCA

.

También el principio de la polea simple fija para invertir el sentido de

aplicación del peso (útil para representar los números negativos).


Ilustración 3 Polea Simple

Fuente: http://majito1803.blogspot.com.co/2010/06/poleas.html

Y el axioma fundamental de las ecuaciones (véase propiedades de las ecuaciones) para

garantizar el correcto uso matemático de la balanza.

Procedimiento para solucionar una ecuación utilizando la balanza:

1. Elige un color de clip para representar las incógnitas y el otro color para representar

los datos o unos. Abre algunos clips para que sirvan de gancho.

2. Representa la ecuación o situación problema ubicando los clips recuerda presente

el código de colores. El gancho se debe contar como una unidad.

3. Ubica los clips en los orificios de la regla en cada lado de la balanza. Los datos de

ambos miembros estarán a la misma distancia del fulcro.

4. Las incógnitas se colocan en los orificios, procurando ubicarlos de tal manera que

se alcance el equilibrio en la balanza.

http://majito1803.blogspot.com.co/2010/06/poleas.html

Trabajo Final 53

5. Aplica la propiedad uniforme (La cantidad que sumes o restes en un miembro la

debes Realizar en el otro miembro de la igualdad.). En caso de tener datos o

incógnitas negativos se utilizara la barra superior y el clip se sujetara de un hilo de

este para invertir la dirección del peso del clip y obtener así los términos negativos.

6. Aplica la propiedad del inverso aditivo o invertiva para eliminar los datos (La suma

de un número y su inverso aditivo siempre es cero, eso es, x + (-x) = 0). Retira la

misma cantidad de datos (clips) positivos y negativos a cada lado de la balanza.

7. Aplica nuevamente la propiedad uniforme. En este caso consideramos una

cantidad de variables que permitan eliminar del segundo miembro las variables y

que solo queden en el primer miembro.

8. Aplica nuevamente la propiedad del inverso aditivo o invertiva para eliminar las

variables. Retira la misma cantidad de variables (clips) positivos y negativos a cada

lado de la balanza. Ten presente mover las variables si es necesario para conservar

en todo momento la igualdad o equilibrio.

En la siguiente tabla se soluciona la ecuación 3𝑥 + 4 = 2𝑥 + 5 siguiendo el procedimiento

que se propone:

Tabla 4 Procedimiento de solución con la balanza.



El siguiente video te ayudara a aclarar algunas dudas conceptuales y de utilización de la

balanza https://www.youtube.com/watch?v=qnU2-v6K-uI

https://www.youtube.com/watch?v=qnU2-v6K-uI

Trabajo Final 55

Actividades de aplicación con la balanza algebraica

Las actividades se diseñaron para que los estudiantes construyan de manera gradual, las

habilidades necesarias en la solución de ecuaciones (adquisición de competencias)

tratando de mantener en todo momento la comprensión matemática (aplicación de las

propiedades de las ecuaciones). Cabe anotar que esta serie de problemas fueron

seleccionados de tal manera que las respuestas perteneciera al conjunto de los números

enteros.

1. Utiliza propiedades matemáticas

para eliminar los términos que

acompañan la variable. Preserva la

igualdad en todo momento del proceso de

solución

a) 𝑥 + 1 = 7

b) 𝑥 + 3 = 7

c) 𝑥 + 5 = 8

d) 𝑥 + 3 = 6

e) 𝑥 + 5 = 9

f) 2𝑥 + 1 = 𝑥 + 7

g) 2𝑥 + 3 = 𝑥 + 5

h) 2𝑥 + 4 = 𝑥 + 6

i) 2𝑥 + 4 = 𝑥 + 7

j) 3𝑥 + 4 = 2𝑥 + 5





solución.

a) 2𝑥 + 1 = 7

b) 2𝑥 + 3 = 7

c) 3𝑥 + 5 = 8

d) 3𝑥 + 3 = 6

e) 2𝑥 + 5 = 9

f) 3𝑥 + 5 = 8

g) 2𝑥 + 3 = 9

h) 2𝑥 + 2 = 𝑥 + 3

i) 4𝑥 + 1 = 2𝑥 + 5

j) 2𝑥 + 4 = 𝑥 + 7

¿Qué propiedades utilizaste en la solución de las ecuaciones? ¿Qué diferencias

encontraste entre los puntos 1 y 2?

Para mayor información y aclaración del uso de la balanza visite la página:

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_201_g_3_t_2.html?open=instructions&from=sear

ch.html?qt=balanza, (Utah State University, s.f.) Esta página debe ser abierta con internet

Explorer e instalar java.

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_201_g_3_t_2.html?open=instructions&from=search.html?qt=balanza

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_201_g_3_t_2.html?open=instructions&from=search.html?qt=balanza


En los ejercicios 3 y 4 hay datos y/o incógnitas negativos por lo que será necesario

utilizar la barra superior, el clip que representa estas cantidades se sujetara de un

hilo y la barra servirá de polea para invertir la dirección del peso del clip.





solución

a) 𝑥 − 1 = 7

b) 𝑥 − 3 = 7

c) 𝑥 − 5 = 8

d) 𝑥 − 3 = 6

e) −𝑥 + 5 = −9

f) 2𝑥 − 1 = 𝑥 + 8

g) −2𝑥 − 3 = −3𝑥 + 5

h) 2𝑥 − 4 = 𝑥 + 6

i) −2𝑥 + 2 = 𝑥 − 7

j) −3𝑥 − 4 = 5





solución.

a) 3𝑥 − 5 = 7

b) 2𝑥 − 5 = 𝑥 − 4

c) −2𝑥 − 2 = −6

d) −2𝑥 + 1 = 2𝑥 − 3

e) −3𝑥 + 1 = −8

f) 3𝑥 − 1 = 𝑥 + 3

g) −4𝑥 − 4 = −8

h) 2𝑥 − 5 = −𝑥 + 4

i) 4𝑥 − 5 = −𝑥

j) −3𝑥 − 4 = −10

Trabajo Final 57

Para mayor información y aclaración del uso de la balanza visite la página:

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_324_g_4_t_2.html?open=instructions (Utah State

University, s.f.), Esta página debe ser abierta con internet Explorer e instalar java.

4.1.3 Fase 3: Aplicación

Durante esta fase los estudiantes con acompañamiento del docente construirán la balanza

algebraica y posteriormente realizaran las actividades de aplicación para comprender el

uso de la balanza.

Es necesario recalcar las medidas e implementos de seguridad en cada uno de los

procedimientos debido a que se deben utilizar herramientas eléctricas de corte, por lo que

se recomienda el uso de gafas en cada uno de los cortes, pinzas o algún aislante para

sujetar la aguja capotera al momento de perforar la regla y sobre todo estricta disciplina y

cuidado personal para evitar accidentes.

Se aplicaran los pasos y recomendaciones hechas en la fase de diseño para la selección

de materiales y construcción.

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_324_g_4_t_2.html?open=instructions


Ilustración 4 Construcción de la balanza


Ilustración 5 Construcción de la balanza


Trabajo Final 59

Ilustración 6 Balanza Algebraica

Fuente: Elaboración propia.

Utiliza la balanza construida, para recrear y solucionar cada una de las actividades de

aplicación que se proponen en la fase de diseño, ten presente las recomendaciones

hechas en la guía para solucionar ecuaciones utilizando la balanza.

4.2 Resultados

Se realiza la prueba diagnóstica (Ver Anexo 1) a 33 estudiantes y los resultados obtenidos

se discriminan en las siguientes tablas


Tabla # 1 Cantidad de aciertos por pregunta, organizadas de mayor a menor acierto.

Tabla 5 Resultados prueba final

Numero de pregunta Número de aciertos porcentaje de aprobación

5 21 64%

1 19 58%

2 18 55%

9 15 45%

4 13 39%

7 13 39%

3 12 36%

6 7 21%

10 6 18%

8 1 3%


La Pregunta #5, Pregunta #1, Pregunta #2,

Estas preguntas tuvieron alto grado de acierto en la prueba y corresponden al uso de la

propiedad del inverso aditivo, modulativa e inverso multiplicativo necesarias para sustentar

el algoritmo empleado en la resolución de la ecuación. Los estudiantes continuamente

deben aplicar las propiedades al utilizar la balanza en la solución, refleja que se ha

interiorizado un poco el uso de estas propiedades.

La pregunta #9

Esta pregunta corresponde a la habilidad o competencia para solucionar una ecuación con

coeficientes positivos, se evidencia que en el 45% de los estudiantes identificaron la

solucionaron adecuadamente. Este tipo de ejercicios es continuamente trabajado con la

balanza observando el aporte en la construcción de conocimiento que se adquiere al

utilizar el mediador didáctico.

Trabajo Final 61

Las preguntas #4 y #3

Corresponden a las propiedades simétrica y transitiva, si bien pueden ser mencionadas en

el algoritmo de solución no fueron mencionadas provocando quizás la no apropiación de

estas propiedades, pasando desapercibidas.

La pregunta #7

El 39% de los estudiantes respondieron adecuadamente esta pregunta relacionada con la

apropiación del lenguaje matemático, esta comprensión reviste gran importancia debido a

las debilidades de lectura y traducción al lenguaje matemático que poseen nuestros

estudiantes.

La pregunta #6

Solo el 21% de los estudiantes respondieron esta pregunta (El resultado de la ecuación 1

– 8 = 6 + x – 2 + 4) aquí se observa debilidades para asociar términos semejantes y como

me ha mostrado la experiencia, cuando la variable se encuentra en el segundo miembro

los estudiantes se les hace más complicado el problema. Como una estrategia se puede

reforzar el concepto de la propiedad simétrica.

La pregunta #10

En esta pregunta se debe realizar La solución de la ecuación −4𝑥 − 4 = −8, solo 6 de los

estudiantes responden adecuadamente, la utilización de coeficientes negativos presentan

debilidades. La mayor parte de los ejemplos realizados estuvieron relacionados con

coeficientes positivos por la facilidad para representarlos en la balanza algebraica dejando

relegado un poco los problemas con coeficientes negativos, esta pregunta muestra que se

debe considerar más este tipo de ejercicios.

La pregunta #8

Solo 1 de los estudiantes logra responder la repregunta que expresión matemática

representa Tres números impares consecutivos con esta pregunta, se evidencia debilidad


en la apropiación de lenguaje matemático. Insisto que es una gran debilidad que poseen

nuestros estudiantes, quizás con la utilización de mediadores didácticos como estos

logremos que verbalicen más las situaciones que se les plantean y puedan traducirlas en

una ecuación matemática.

.

Conclusiones y Recomendaciones 63

5. Conclusiones y Recomendaciones

5.1 Conclusiones

Los estudiantes del grado séptimo de la institución educativa son receptivos con el trabajo

experimental y la utilización de herramientas es para ellos innovador y le agrega un

enganche irresistible, colocándolos en sintonía para acercarlos al conocimiento,

inicialmente comprobando cada uno de los principios físicos y matemáticos, con la

utilización de la balanza y posteriormente en el desarrollo del algoritmo para solucionar

ecuaciones. Todo esto bajo la visión potencialista que es el enfoque institucional.

Los conocimientos propuestos en los lineamientos curriculares fueron desarrollados en el

presente trabajo al realizar el trabajo experimental, propendiendo por que el estudiante

formulara, planteara, transformara y resolviera problemas mediante la utilización de la

balanza.

El análisis de resultados en la fase de caracterización, mostro estudiantes que desconocen

el uso de las propiedades matemáticas en la solución de problemas, la apropiación del

lenguaje matemático es bajo, sus definiciones son descontextualizadas y muy

superficiales. Presentan gran dependencia, esperan a que el profesor u otra persona

solucionen sus problemas. Les interesan las respuestas rápidas y sin esfuerzo. Adoptan

procedimientos de solución que no poseen sustentación matemática.


Se logra diseñar un mediador didáctico que permite explicar los principios físicos y

matemáticos involucrados en la resolución de ecuaciones lineales cuando la respuesta es

un entero.

Los materiales y el procedimiento de construcción empleado en el mediador didáctico

permiten realizar adecuadamente la resolución de ecuaciones, aunque Se presenta

dificulta al encontrar la ubicación del centro exacto en la regla y elegir una regla trasparente

no muy delgada debido a que estas se quiebran con mucha frecuencia.

Se logra intervenir la práctica docente con una metodología didáctica, los estudiantes

muestran interés en la construcción, el hecho de que ellos realicen actividades físicas con

objetos reales e intervengan en la elaboración de su material de trabajo apropia el

conocimiento y lo hacen suyo, relacionan algunas de las propiedades matemáticas con el

uso de la balanza aclarando los conceptos teóricos.

Mejora significativamente el uso del lenguaje al apropiarse de conceptos matemáticos y

físicos en la solución de los problemas, mientras al inicio de la experiencia se le

cuestionaba al estudiante acerca de un paso en el algoritmo de solución y el estudiante no

tenía argumentos ahora con toda seguridad “profesor pues obvio apliqué la propiedad

uniforme…”

El paso de la explicación de la balanza física al cuaderno se hizo más sencillo, si bien se

utilizó varias semanas en la construcción del mediador y luego en la explicación del método

de solución posteriormente se encontraron resultados de un aprendizaje más significativo

y duradero. Prueba de esto son los resultados de la prueba diagnóstica final, en la que los

estudiantes no tuvieron posibilidad de estudiar previamente haciéndose el examen en un

día que no estaba planeada evidenciándose aprendizaje.

Se fortalece el pensamiento creativo, mejoran la capacidad de argumentar debido a que

cada paso debe estar justificado con una propiedad o principio.

Conclusiones y Recomendaciones 65

El hecho de que se realice como un juego crea un escenario de competencia entre los

estudiantes y canalizando esta situación permite potencializar la enseñanza. Además se

transmite el conocimiento por un medio diferente al usual, tiza libro tablero (TLT)

permitiendo que estudiantes con ritmos y formas de aprendizajes diferentes por ejemplo

kinestésicos u de otra forma se vean incluidos.

5.2 Recomendaciones

Se sugiere adoptar metodologías experimentales en las que intervienen mediadores

didácticos como mecanismo para acercar el conocimiento matemático.

Se puede ampliar la utilización de la balanza para ecuaciones cuya respuesta sean

números racionales, amplificando las fracciones, transformando los términos en fracciones

homogéneas. Luego con un marcador borrable dividir la unidad según el denominador

obtenido y posteriormente seguir los pasos de solución propuestos.

Tener presente en el algoritmo mencionar periódicamente cada una de las propiedades

para evitar que quede desapercibida alguna de ellas.

Asociar más el trabajo con la apropiación del lenguaje matemático logrando la traducción

de problemas cotidianos a expresiones algebraicas que se puedan solucionar con la

balanza algebraica.

Tal vez utilizando reglas de madera mejoren la resistencia de nuestra balanza, pero tiene

como desventaja el uso de taladros para su construcción.


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c


A. Anexo 1

INSTITUCIÓN EDUCATIVA LOLA GONZÁLEZ

Prueba diagnóstica solución de ecuaciones lineales

Nombre____________________________ Grupo________ Fecha_______

Relaciona el siguiente enunciado con una de las propiedades

1. La suma de cualquier número y cero es igual al número original.

a. Propiedad modulativa para la adición

b. Propiedad del inverso multiplicativo

c. Propiedad modulativa para la multiplicación

d. Propiedad del opuesto aditivo o invertiva

2. La __________________, es el número, denotado como 1⁄x ó x −1,

que multiplicado por x da 1 como resultado.

a. Propiedad modulativa para la adición

b. Propiedad del inverso multiplicativo

c. Propiedad modulativa para la multiplicación

d. Propiedad del opuesto aditivo o invertiva

https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Uno

Anexos 71

3. La __________________ establece que para todos los números reales x, y, y z, si x = y y y = z, entonces x = z.y, y z,.

a. Propiedad reflexiva

b. Propiedad transitiva

c. Propiedad simétrica

d. Propiedad de sustitución

4. La _______________ establece que para todos los números reales x y y,

si x = y, entonces y = x.

a. Propiedad reflexiva

b. Propiedad transitiva

c. Propiedad simétrica

d. Propiedad de sustitución

5. La ______________________ de un número es el opuesto de ese número, esto es, x es - x. La suma de un número y su inverso aditivo siempre es cero, eso es, x + (-x) = 0.

a. Propiedad del inverso multiplicativo

b. Propiedad reflexiva

c. Propiedad del opuesto aditivo o invertiva

d. Propiedad modulativa para la adición

6. El resultado de la ecuación

1 – 8 = 6 + x – 2 + 4

a. 2

b. -10

c. -15

d. -8


7. La ecuación que representa un cierto número menos 5 más 3 es igual a 7

a. 𝑥 + 5 − 3 = 7

b. 7 = 𝑥 − 5 + 3

c. 𝑥 + 5 + 3 = −7

d. 7 = 𝑥 + 5 + 3

8. Tres números impares consecutivos

a. 𝑛 + 1, 𝑛 + 3, 𝑛 + 5

b. 2𝑛 + 1, 2𝑛 + 3, 2𝑛 + 5

c. 𝑛, 3𝑛, 5𝑛

d. 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 3,2𝑛 − 5

9. La solución de la ecuación

2𝑥 + 1 = 𝑥 + 7

a. 𝑥 = 3

b. 𝑥 = 4

c. 𝑥 = 5

d. 𝑥 = 6

10. La solución de la ecuación

−4𝑥 − 4 = −8

a. 𝑥 = 3

b. 𝑥 = 4

c. 𝑥 = 2

d. 𝑥 = 1

Anexos 73

Propuesta metodológica para la resolución de ecuaciones ... · ecuaciones lineales no se alcanzan...

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