propuestas did´acticas para la ense˜nanza de las probabilidades en ...

UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA

FACULTAD DE EDUCACION Y HUMANIDADES

PROPUESTAS DIDACTICAS PARA LA

ENSENANZA DE LAS PROBABILIDADES EN

EDUCACION MEDIA

Tesina presentada a la Facultad de Educacion y

Humanidades de la Universidad de La Frontera.

Como parte de los requisitos para optar al tıtulo

de Profesor de Estado en Matematica.

MANUEL ALEJANDRO GONZALEZ NAVARRETE

TEMUCO - CHILE

2008

UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA

FACULTAD DE EDUCACION Y HUMANIDADES

PROPUESTAS DIDACTICAS PARA LA

ENSENANZA DE LAS PROBABILIDADES EN

EDUCACION MEDIA

Tesina presentada a la Facultad de Educacion y

Humanidades de la Universidad de La Frontera.

Como parte de los requisitos para optar al tıtulo

de Profesor de Estado en Matematica.

MANUEL ALEJANDRO GONZALEZ NAVARRETE

PROFESOR GUIA: ANTONIO SANHUEZA CAMPOS

TEMUCO - CHILE

2008

Dedicado a quienes me ensenaron a dar esos

primeros pasos ...

INDICE

– INDICE DE ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II

– INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV

– OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI

– MARCO TEORICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

– DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

– CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

– BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

I

INDICE DE ACTIVIDADES

1 EL DIA DEL AZAR 3

1.1 Explicacion de la Actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Desarrollo de la Actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Conclusion y Cierre de la Actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Sugerencias Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 LA PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA 8





3 EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO 13





4 UN CONJUNTO DE PROPIEDADES 20





5 NUEVAS FORMAS DE CONTAR 27





II

INDICE DE ACTIVIDADES

6 A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR 38





7 LO CLASICO EN PROBABILIDADES 47





8 CONDICIONADAMENTE PROBABLE 56





9 APLICAR Y RESOLVER 66





III

INTRODUCCION

Actualmente en nuestro sistema educativo, los contenidos de probabilida-

des se encuentran dentro de los que mas complicaciones traen a los profesores de

matematica a la hora de ensenarlos; ya sea por la dificultad de abordar algunas

situaciones o por el escaso material didactico disponible para su ensenanza. Motivo

por el cual en muchos establecimientos es comun que los docentes de la especialidad

prefieran ensenar dichos contenidos de escasa manera, y al mismo tiempo de una

forma poco contextualizada; inclusive, en el peor de los casos, los educadores evitan

trabajar dichas unidades.

Bastante comun resulta encontrarnos con propuestas de ensenanza que mayori-

tariamente acuden a los ejemplos del lanzamiento de dados o monedas y/o extrac-

ciones de cartas desde una baraja. Es claro que el estudio de las probabilidades en

sus inicios se encargo de analizar situaciones relacionadas con los juegos de azar,

pero en la actualidad resulta importante poder vincular los conceptos de esta teorıa

a nuevas situaciones y de forma contextualizada.

El convencimiento de que esta labor es posible, se vuelve hoy en dıa una necesidad

para que nuevas propuestas emerjan, promoviendo el cambio y el intercambio respec-

to del tipo de actividades y ejemplos en la ensenanza de la unidad de probabilidades.

IV

INTRODUCCION

De esta manera surge la iniciativa de presentar las siguientes propuestas didacti-

cas, orientadas a la ensenanza de la probabilidad en educacion media; que buscan

ser un referente para que los docentes puedan incluir en el proceso de ensenanza-

aprendizaje nuevas actividades y tomen la iniciativa para construir, bajo sus propias

visiones y realidades, otras propuestas que se adecuen al tipo de situaciones que ellos

deseen estudiar en este contenido.

Se presenta de este modo, un conjunto de nueve actividades que estan orien-

tadas a los contenidos introductorios de la teorıa de probabilidades, equivalentes a

las unidades de segundo y tercer ano medio. En ellas son propuestas situaciones

que intentan mostrar novedosas formas en que los contenidos pueden ser tratados,

ası como tambien, se contextualizan los ejemplos para una mejor comprension por

parte de los estudiantes.

V

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:

- Plantear propuestas de ensenanza de las probabilidades que sean dirigidas a

los docentes de educacion media.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

- Mostrar actividades relacionadas con los contenidos de probabilidades, que

pueden servir de guıa a los docentes para su desempeno en el aula.

- Sugerir el desarrollo del pensamiento crıtico, tanto del estudiante, como del

profesor sobre la importancia del estudio de la teorıa de probabilidades en

la ensenanza media, como herramienta para la toma de decisiones en la vida

diaria.

- Reconocer la importancia del analisis combinatorio y particularmente el prin-

cipio de la multiplicacion en el calculo de las probabilidades.

VI

MARCO TEORICO

La Inferencia Estadıstica y la Teorıa de la Probabilidad complementaria-

mente se han convertido hoy en dıa en ramas de la matematica con las mas diversas

aplicaciones. Ası como plantea Ross:

La estadıstica inferencial se ha vuelto indispensable en salud

publica y en investigaciones medicas, en ingenierıa y en estudios

cientıficos, en mercadotecnia y control de calidad, en educacion,

contadurıa, economıa, predicciones meteorologicas, encuestas de

opinion, deportes, seguros, apuestas, y en toda investigacion que

se precie de ser cientıfica. La estadıstica se ha enraizado en nuestra

herencia intelectual. (2002, p. 6)

A pesar de ello, es necesario dar cuenta que el desarrollo de la teorıa de la pro-

babilidad no ha estado exenta de controversias. Para muchos teoricos matematicos,

la estadıstica y la probabilidad con sus imprecisiones o manejo de los errores, de-

jan de poseer el fundamento caracterıstico de la matematica, ese indiscutible rigor

axiomatico que ha permitido construir las relaciones entre los conceptos manejados

por esta misma. Todo lo que hasta ahora ha permitido que la matematica tenga un

lugar privilegiado dentro de las ciencias. Para De Leon (2006) la razon es clara: las

matematicas mantienen desde hace ya milenios una bien ganada fama de fiabilidad,

fama bien ganada porque constituyen el mas solido edificio conceptual construido

VII

MARCO TEORICO

por la humanidad.

La matematica por si sola se ha convertido en una herramienta preferida por

muchas ciencias para dar explicacion a diversos fenomenos; pero es claro que al

tratar de modelar procesos sociales, y como senalan Jimenez y Jimenez (2005), los

fenomenos de la naturaleza, el hombre se ha encontrado con que hay situaciones que

obedecen a un modelo determinista y otras que en cambio obedecen a un modelo

aleatorio.

Santalo (1999) considera que este tipo de matematica, que es menos precisa y

menos referida a casos concretos, es mas util que las exactas para tratar las ciencias

no exactas. Esta convencido tambien de que es imperativo incluirla en la educacion

matematica de todo individuo.

Ası como lo senala Kline:

Afortunadamente, las ciencias sociales y las biologicas han adquiri-

do un metodo matematico, nuevo por completo, de obtener

informacion sobre sus fenomenos respectivos: el metodo estadısti-

co. (...) Sin embargo, con el uso de los metodos estadısticos, ha

surgido tambien el problema de determinar la confiabilidad de los

resultados. Este aspecto de la estadıstica se trata por medio de la

teorıa matematica de la probabilidad. (1998, p. 496)

Esta emergente relevancia que ha adquirido esta teorıa hace que cada vez mas au-

tores respalden su importancia y la trascendencia de esta en el futuro de los sistemas

educacionales, entre ellos Dacunha-Castelle (1996), que ha propuesto la necesidad

VIII

MARCO TEORICO

de que todo ciudadano posea una base solida en probabilidad y estadıstica, que le

permita comprender, juzgar y criticar la avalancha de informacion que los medios

de comunicacion le brindan dıa a dıa. De manera similar, Andradas (2002) opina

que la probabilidad es capaz de predecir el comportamiento de fenomenos de masas

con una precision extraordinaria, de ahı la importancia de que los individuos se fa-

miliaricen con estos conceptos. Es claro que en la actualidad los ciudadanos tienen

el derecho y el deber de dudar sobre lo que se les esta informando, de lo contrario

podrıan ser vıctimas de las intenciones de manipulacion, que un determinado estudio

sobre algun tema en particular tiene como finalidad.

Se intenta por tanto afirmar que la estadıstica y la teorıa de la probabilidad;

se han ido ganando el caracter de ciencia, siendo en la actualidad un respaldo in-

discutiblemente aceptado para cualquier estudio cientıfico que quiera trabajar con

datos numericos y relaciones entre variables. Todo ello a pesar de que la proba-

bilidad encuentra su formalizacion hace pocas decadas atras. De la forma en que

Maibaum (1988) planteo: La teorıa de probabilidades y la Estadıstica matematica,

son disciplinas matematicas relativamente jovenes por si mismas, donde la teorıa de

probabilidades, como teorıa independiente - que incluye a sus vez numerosas disci-

plinas y campos de aplicacion - y como fundamento de la Estadıstica matematica,

posee una significacion particular.

En virtud de esto ultimo, Martın-Pliego y Ruiz-Maya (2004), plantean que existe

cierta polemica a la hora de ubicar el origen del Calculo de Probabilidades. Segun

Mode (2005), a mediados del siglo XVI, Girolamo Cardano, el matematico, medico

y jugador italiano escribio Liber de Ludo Aleae (El Libro de los Juegos de Azar) en

el que aparecio el primer estudio conocido de los principios de probabilidad. Para

IX

MARCO TEORICO

De Lara (2005), Cardano fue quien introdujo por primera vez el concepto de pro-

babilidad. A pesar de ello, la obra creada por Cardano es mas bien un manual para

jugadores; ya que en palabras de Ugochukwu (2004) este libro trato acerca de la

probabilidad en las apuestas de dinero, dando consejos, basado en su experiencia,

sobre como hacer trampa.

Sin embargo, para la mayorıa de los autores, el calculo de probabilidades comien-

za con los primeros estudios sobre los juegos de azar, plasmado en la correspondencia

epistolar entre Pascal y Fermat, originada por el famoso problema planteado por el

Caballero de Mere, lo que se tradujo en un avance sustancial en el desarrollo de

la teorıa de probabilidad. Aunque para Veloso y Wisniewski (2001), hoy en dıa el

problema del Caballero de Mere lo puede resolver con facilidad cualquier estudiante

de un primer curso de probabilidad, en aquella epoca fue novedoso.

Etayo et al. exponen que el famoso problema del Caballero de Mere,

Consistıa en explicar como podıa ser que fuera mas ventajoso sacar

por lo menos un 6 en cuatro jugadas con un solo dado, que sacar

por lo menos una vez 6 con dos dados en 24 jugadas (a pesar -decıa

el Caballero de Mere- que 4 es a 6 como 24 es a 36). (1995, p. 113)

Para Autor (1997), el primer libro sobre probabilidad fue el trabajo de Christian

Huygens (1629-1695), que aparecio en 1657. En el (el razonamiento en los juegos

de azar), se explora la nocion de esperanza matematica. Esto permite el calculo de

ganancias o perdidas que un jugador puede esperar, conociendo las probabilidades

involucradas en el juego. Sin embargo, aun hasta estas epocas el tratamiento de los

X

MARCO TEORICO

fenomenos aleatorios eran vistos como casos particulares.

Veloso y Wisniewski (2001) han planteado que algunos anos despues de la apari-

cion del libro de Huygens, Jacob Bernoulli publico en Basilea, Suiza, su obra Ars

Conjectandi, en la cual aparecen por primera vez las formulas y las leyes de la teorıa

de las probabilidades. Considerado de esta manera como el primero en dar la defini-

cion clasica de probabilidad; esto influenciado por los trabajos de Graunt y Petty,

que habıan demostrado las ventajas de incluir en sus tablas no solo los numeros

absolutos, sino tambien las proporciones respecto del total. De acuerdo a Hacking

(1995), con Jacob Bernoulli, la probabilidad habıa emergido completamente.

Segun Carneiro (2005), la tradicion abierta por Bernoulli fue retomada por Abra-

ham de Moivre en su libro Teorıa del Azar de 1718 y por Thomas Bayes, aunque el

verdadero continuador fue el fısico y matematico Pierre Simon de Laplace.

En palabras de De Oliveira, Pitombeira, Pinto y Fernandez; “el matematico in-

gles Thomas Bayes (1702 - 1761), inicio las investigaciones sobre el problema de

hallar las probabilidades de las causas de un evento observado”(2006, p. 9). Estas

ideas dieron sentido a la conocida probabilidad a posteriori y permitieron el desa-

rrollo de la estadıstica bayesiana.

Del mismo modo, De Oliveira et al. (2006); senala que De Moivre, mediante su

libro, desarrollo la teorıa se las sucesiones recurrentes, las que uso para resolver va-

rios problemas de probabilidades.

En cuanto al trabajo y, refiriendose particularmente al libro de Abraham de

XI

MARCO TEORICO

Moivre, Uspensky (1954) menciona:

De Moivre no contribuyo mucho al desarrollo de los principios,

pero este trabajo tiene un renombre merecido por los metodos

nuevos y de gran poder que expone para la resolucion de los mas

difıciles problemas. Muchos resultados importantes ordinariamente

atribuidos a Laplace y Poisson pueden hallarse en el libro de De

Moivre.

Como exponen Levin y Rubin (2004), en el siglo XIX, Pierre Simon, marques

de Laplace (1749-1827), unifico todas estas ideas y compilo la primera teorıa gene-

ral de probabilidad. Laplace desde 1774 escribio muchos artıculos sobre el tema de

la probabilidad. En 1812 publico en Parıs su Theorie Analytique des Probabilites,

donde hace un desarrollo riguroso de la teorıa de probabilidad con aplicacion a pro-

blemas demograficos, jurıdicos, sociales y ademas astronomicos. De acuerdo a Obagi

(2003), esta teorıa, aparte de que es la primera exposicion sistematica del calculo de

probabilidades, tambien presenta un analisis, que hasta entonces solo empleaba los

recursos de la aritmetica, de esta forma Laplace pone el calculo de probabilidades

sobre una base moderna y general.

A partir de Laplace, las dos disciplinas, calculo de las probabilidades y estadısti-

ca, que habıan hasta entonces permanecido separadas, se fusionan de manera que

el calculo de las probabilidades se constituye en el andamiaje matematico de la es-

tadıstica.

El aleman Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), quien en palabras de Veloso y Wis-

niewski (2001) es considerado por muchos como el matematico mas notable en toda

XII

MARCO TEORICO

la historia de la humanidad hasta nuestros dıas, no tanto por la cantidad sino por la

impresionante calidad y originalidad de sus trabajos, los cuales tuvieron influencia

relevante en casi todas las areas de la matematica. Gauss desarrollo la teorıa de

los errores; conjuntamente con Bessel y Laplace, llegaron a establecer el metodo de

los mınimos cuadrados, como procedimiento matematico para resolver el problema

fundamental de la teorıa de los errores.

Posteriormente, las aportaciones a la teorıa de la probabilidad se caracterizan por

su proveniencia, principalmente de los matematicos rusos de la Escuela de San Pe-

tersburgo. Martın-Pliego et al. (2004), destacan a V. Y. Buniakovskii (1804-1889), M.

V. Ostrogradskii (1801-1862), pero sobre todo a Pafnuttii Lvovich Chebichev (1821-

1894), con su conocida desigualdad tambien atribuıda al frances I. Bienayme (1796-

1878), creador de una escuela, entre los que destacan A. Liapunov (1857-1918) y

su discıpulo predilecto A. Markov (1856-1922); con un trabajo importante en la

teorıa de los procesos estocasticos, proponiendo secuencias de valores de una varia-

ble aleatoria en las que el valor de la variable en el futuro depende de su valor en el

presente, pero de manera independiente a la historia de la variable, conocidas como

Cadenas de Markov.

Ya en el ano 1900, durante el Segundo Congreso Internacional de Matematicas

realizado en Parıs, el doctor David Hilbert senalo como uno de los problemas

matematicos mas importantes: la necesidad de una rigurosa fundamentacion de los

conceptos basicos del calculo de probabilidades. A pesar que muchos matematicos

se preocuparon de esta tarea, fue solamente en 1933, cuando el matematico sovietico

Andrei Kolmogorov propuso los llamados axiomas de probabilidad, basados en la

teorıa de conjuntos y en la teorıa de la medida, desarrollada anos antes por Lebesgue,

XIII

MARCO TEORICO

Borel y Frechet entre otros. Este modelo matematico es lo que dio forma a lo que hoy

en dıa conocemos como teorıa de probabilidades. Esta aproximacion axiomatica que

vino a generalizar lo hasta ahora conocido como probabilidad clasica, permitio dar

la rigurosidad necesaria a muchos argumentos ya utilizados, ası como permitio el

estudio de problemas fuera de los marcos clasicos y aclarar las aparentes paradojas

existentes. Dando paso a un desarrollo tanto cuantitativo como cualitativo de los

conceptos y las aplicaciones relacionadas con las mas diversas areas de conocimiento.

Un aspecto importante que se desprende de la reciente formalizacion de la teorıa

de la probabilidad es que lentamente el tratamiento academico de esta misma se

ha venido observando en los sistemas educativos; en las ultimas decadas del siglo

XX se comienzan a tratar en las reformas educacionales los topicos de estadıstica

y probabilidad, tal como ha ocurrido en el sistema educacional chileno. Al respecto

Santalo (1999) apuntaba que la teorıa de las probabilidades se fue desarrollando por

cuenta separada, tambien por matematicos, pero fuera de los claustros academicos,

sin que figurara en los planes de estudio de las carreras universitarias, mucho menos

en los de la ensenanza elemental y media.

Considerando entonces la idea de Perez, Castillo y De Lobos, quienes plantean

que: “la probabilidad tiene la enorme cualidad de representar adecuadamente la

realidad de muchos procesos sociales y naturales, y, por lo tanto, su conocimiento

permite comprender y predecir mucho mejor el mundo en que vivimos” (2000, p.

15). Y de lo ya dicho sobre el hecho que la estadıstica y la teorıa de la probabilidad

son ciencias complementarias, siendo recıprocamente un fundamento la una de la

otra. De la forma en que expresan Walpole, Myers, Myers y Ye (2007), debemos

considerar que los conceptos de probabilidad forman un componente significativo

XIV

MARCO TEORICO

que complementa los metodos estadısticos y ayuda a evaluar la consistencia de la

inferencia estadıstica. Por consiguiente, la disciplina de la probabilidad brinda la

transicion entre la estadıstica descriptiva y los metodos inferenciales.

Por estas razones como plantean Jimenez y Jimenez (2005): la sociedad se ve ine-

vitablemente obligada a adaptar y reestructurar su sistema educativo, para cumplir

con su compromiso de formar a los individuos que la componen. La educacion, por

tanto requiere entender que una persona que vive en esta sociedad moderna debe

tener un mejor manejo de aquellas situaciones de caracter aleatorio, porque tambien

a los procesos dependientes de la casualidad le son inherentes ciertas regularidades,

ya que la casualidad no significa ausencia total de reglas ni menos aun caos.

Como senalaban Nunez, Sanabria y Garcıa (2004), para el caso de Costa Rica el

hecho de que hace falta un analisis profundo de posibles metodologıas del trato de la

incertidumbre en la ensenanza secundaria. No es antojadizo. El cuestionamiento de

los contenidos plantea toda una profundizacion en los temas que se van a desarrollar.

En este sentido, es inevitable destacar la labor del Consejo Nacional de Profe-

sores de Matematicas, (NCTM por sus siglas en ingles) de los Estados Unidos de

Norteamerica que establecio en el ano 2000 los estandares de la educacion matematica

para primaria y secundaria. Documento que presenta los niveles de aprendizaje re-

queridos desde el nivel pre-kinder hasta el egreso de secundaria; incluyendo topicos

de Numeros y Operaciones, Algebra, Geometrıa y Estadıstica y Probabilidades. En

el caso del area de Probabilidades, existen propuestas para ninos desde Tercer Gra-

do, quienes deben poseer al momento de completar el Quinto Grado, las capacidades

de:

XV

MARCO TEORICO

- Describir eventos como probable o improbable y discutir el grado de probabi-

lidad usando palabras como certeza, igualmente probable, e imposible.

- Predecir la probabilidad de los resultados de experimentos sencillos y probar

las predicciones.

- Entender que la medida de la probabilidad de un evento puede ser representado

por un numero entre 0 y 1.

En el caso de los estudiantes entre el Sexto y el Octavo Grado, ellos deberan:

- Comprender y utilizar la terminologıa adecuada para describir eventos com-

plementarias y mutuamente excluyentes.

- Usar la proporcionalidad y poseer una comprension basica de la probabilidad

de hacer y probar conjeturas acerca de los resultados de los experimentos y

simulaciones.

- Calcular las probabilidades de eventos compuestos simples, utilizando metodos

tales como la organizacion de listas y los diagramas de arbol.

Finalmente en secundaria; los adolescentes deben manejar las siguientes habili-

dades:

- Entender los conceptos de espacio muestral y distribucion de probabilidad y

construir espacios muestrales y distribuciones en casos sencillos.

- Utilizar simulaciones para construir distribuciones de probabilidad empırica.

- Calcular e interpretar el valor esperado de variables aleatorias en casos senci-

llos.

- Entender los conceptos de probabilidad condicional y de sucesos independien-

tes.

XVI

MARCO TEORICO

- Entender como calcular la probabilidad de un evento compuesto.

Atender a estos objetivos planteados por la NCTM requiere de un arduo tra-

bajo; si se desea replicar tales aprendizajes en nuestro sistema educativo debemos

comenzar de a poco.

Importante resulta identificar que en nuestro paıs, los planes y programas presen-

tados por el Ministerio de Educacion proponen la ensenanza de las probabilidades a

partir de Segundo Ano de Ensenanza Media, para este nivel los objetivos de apren-

dizaje son los siguientes:

- Relacionar la nocion de probabilidad con la informacion estadıstica que deriva

de la repeticion de un fenomeno aleatorio y explicar que diferencia a estos de

los fenomenos determinısticos.

- Analizar e interpretar los resultados de problemas que involucran calculo de

probabilidades, considerando experimentos aleatorios simples; explicar los pro-

cedimientos utilizados; analizar la independencia de los mismos; reconocer los

casos de equiprobabilidad.

- Conocer y utilizar la formula de Laplace para el calculo de probabilidades;

comparar probabilidades y analizar su valor maximo y su valor mınimo.

- Utilizar el Triangulo de Pascal y el diagrama de arbol como tecnicas de conteo

en la resolucion de problemas.

- Interpretar informacion de diversos ambitos, que involucra probabilidades.

XVII

MARCO TEORICO

Se vislumbra de esta forma un panorama alentador, que es reforzado con la idea

de que al finalizar el Cuarto Ano Medio los estudiantes deberan manejar el concepto

de Muestra Aleatoria y ser capaces de realizar inferencias de acuerdo a distintos

tipos de muestras.

De forma complementaria a las ideas anteriormente propuestas, es importante

recurrir al concepto de numeralismo; el cual de acuerdo a Ochsenius (1999), dice

relacion con la adecuada utilizacion de conceptos y modos de razonar propios de

la matematica en el complejo proceso de adaptacion de los seres humanos al mun-

do en que se desenvuelven. Lo que en cierto modo se refiere a la habilidad de las

personas para usar la matematica al resolver problemas practicos en la cotidianidad.

En esta lınea Ochsenius (1999), basandose en los contenidos y objetivos propues-

tos por los planes y programas de los doce anos de estudio, del sistema educativo

chileno, propone lo siguiente para el area de probabilidades:

El adulto numeralista debe ser capaz de:

a) Reconocer eventos equiprobables y calcular su probabilidad.

b) Calcular la probabilidad de un subconjunto del espacio muestral.

c) Reconocer que si dos sucesos son independientes, entonces el resultado de uno

de ellos no influye en la probabilidad del otro.

d) Estimar aproximadamente la probabilidad de ganar en juegos de azar sencillos.

e) Utilizar adecuadamente la ley de los grandes numeros en la toma de decisiones

en la vida cotidiana.

XVIII

MARCO TEORICO

Importante se vuelven por tanto las palabras de Vygostky quien afirma que “la

ensenanza directa de conceptos es tarea vana e imposible” ya que de esta manera

solo se obtendran “verbalismos vacıos, que solo simulan conocimiento” (1975, p. 83)

Ası como tambien lo propuso Gardner (1996), refiriendose a que el sistema educa-

tivo ha privilegiado los procedimientos mecanicos, dejando de lado la comprension;

encontrandonos con que la destreza en resolver problemas es puesta en equivalen-

cia con el dominio de la materia en estudio. Ya que solo se preguntan los tıpicos

problemas, enunciados y ejercitados repetitivamente. Lo que Ochsenius reafirma pro-

poniendo:

Los problemas de la vida cotidiana constituyen una clara violacion

de este acuerdo; no son susceptibles de ser resueltos por aplicacion

mecanica de algoritmos pues la realidad plantea cada vez situa-

ciones diferentes, son preguntas que rara vez tienen un enunciado

explıcito donde se encuentre comodamente la informacion necesaria

y precisa para contestarlas. (1999, p. 33)

XIX

DESARROLLO DE LAS

ACTIVIDADES

Se presentan a continuacion las actividades propuestas para el desarrollo de

los contenidos de probabilidades para la ensenanza media.

En cuanto a su estructura, se debe mencionar que estas estan compuestas por

cuatro secciones, las que se exponen a continuacion;

1) Explicacion de la Actividad: en la que se dan a conocer los objetivos

y las caracterısticas de la actividad que se propone, ademas de incluir algunas

definiciones, en los casos que sean necesarios.

2) Desarrollo de la Actividad: esta seccion se enfoca a describir los ejem-

plos especıficos que se plantean para la ensenanza del contenido propuesto. El

desarrollo de la actividad es, en cierto modo, el relato de lo que se espera sea

realizado en el aula.

3) Conclusion y Cierre de la Actividad: cada una de las actividades que

se proponen incluyen algunas ideas de como realizar el cierre de estas, de tal

manera de poder evaluar el aprendizaje de los estudiantes y plantear otras

situaciones que refuercen los contenidos tratados.

4) Sugerencias Finales: el apartado de sugerencias finales expresa algunas

recomendaciones para el docente, con respecto a lo que es esperable obtener

1

DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

luego de la realizacion de la actividad; las inquietudes que deberıan surgir de

los estudiantes y las ideas que el docente debiera considerar para las proximas

sesiones. Ademas se pueden encontrar algunos contenidos complementarios que

permiten profundizar lo que ha sido tratado en la propuesta didactica.

2

ACTIVIDAD 1

EL DIA DEL AZAR

Una Introduccion al Concepto de Azar.

1.1 Explicacion de la Actividad

En esta actividad se intenta conseguir que los estudiantes relacionen la

cotidianidad con lo que ellos entienden como azar y, especıficamente la manera en

que formalmente es definido tal concepto.

Por tanto se motivara a los alumnos con una historia que les contara el quehacer

de un dıa comun en la vida de un estudiante; en este trayecto iran ocurriendo

situaciones en las que el azar juega un rol fundamental, dichos eventos seran

relacionados indirectamente con el fin que se postula, haciendo consultas a los

estudiantes sobre lo que podrıa ocurrir; para de esta forma ir guiando a los alumnos

a crear una idea, o bien aclarar sus ideas, sobre lo que el azar representa en

situaciones diversas.

Luego de una discusion grupal, guiada por preguntas con la finalidad de que los

alumnos identifiquen las caracterısticas de un fenomeno azaroso; se propondra que

los estudiantes definan lo que se interpreta, con relacion al concepto de azar.

Finalmente se hara una discusion general, para de esta forma, entregar una ca-

3

ACTIVIDAD 1. EL DIA DEL AZAR

racterizacion del contenido y hacer la aclaracion de las dudas que pueden generarse

en los alumnos.

1.2 Desarrollo de la Actividad

Como se explica en la seccion anterior, se propone la introduccion al concepto

de azar a traves de una historia que vaya develando las caracterısticas de los

fenomenos con tal cualidad.

La historia por tanto serıa la siguiente:

Un dıa cualquiera de la semana, te levantas temprano para asistir al liceo; tal

como todos los dıas te diriges al paradero para poder tomar alguna micro que te lleve a

tu destino, ¿cual de las micros que te son utiles sera la que pase primero?. Subiendote

a dicha micro, ¿cuantos personas exactamente iran en esta al momento de pagar tu

boleto?, ya que como es sabido si hay muchos pasajeros puede que la micro demore un

poco mas y quizas ¿cuantos minutos tardes, en llegar al liceo?.

Una vez en el colegio, encuentras a tus amigos conversando sobre el programa de

television que vieron la noche anterior, ¿de que canal puede haber sido este programa

que mantiene en discusion a tus amigos?. Luego de eso ingresa el profesor de Biologıa

que continua con la materia de la clase anterior, de la cual promete entregar un

cuestionario, preguntandote ¿cuantas seran las preguntas que contenga?. Aunque lo

unico que tienes claro es que deseas salir a recreo lo antes posible.

Tocando el timbre, al salir a recreo vas directamente al bano; en este ¿con cuantos

4


amigos te encontraras para conversar?. Sea ası o no, de todas formas igual el recreo

pasara rapidamente porque hay muchas formas de entretenerse, pero pronto deberas

volver a la sala.

Al entrar a la clase de historia, todos saben que el profesor elegira a algun alumno

para hacer el recuento de la materia vista en la clase anterior, entonces ¿que posibili-

dades hay de que el escogido seas tu?; o peor aun, ya que vienes algo entusiasmado del

recreo, ¿seras sorprendido por el cuando estes tirandole papeles a tus companeros?.

Por suerte la manana ha pasado rapido y ya es hora de ir al casino del liceo para

almorzar, escuchas en los pasillos que hay legumbres de almuerzo, ¿sera posible predecir

con exactitud que tipo de legumbres son?.

Mas tarde, luego de ese rico almuerzo de legumbres; debes rendir la prueba de

lenguaje, para la cual no has estudiado y decides usar un torpedo, en el que pusiste un

par de preguntas de una larga lista que contenıa la guıa de estudio. Por tanto, ¿cual

es la posibilidad de que al menos una de las preguntas de la prueba coincidan con las

del torpedo? o bien, ¿que opcion hay de que el profesor te sorprenda copiando justo la

primera vez que saques el torpedo?.

Terminada la prueba tus animos no estan de lo mejor. Mas aun, luego del recreo el

cansancio se comienza a notar; pero sabes que viene la clase de matematica, que tal

vez sea una opcion para conversar con tus amigos, porque el profesor es bastante latero.

Llega el y les propone trabajar en un nuevo contenido, para el cual comenzaran hablando

sobre el azar y, te preguntas ¿cual es la opcion de que este profesor te entregue una guıa

tan poco matematica como esta?...

5


1.3 Conclusion y Cierre de la Actividad

Para poder realizar el cierre de la actividad se propone que los estudiantes

hagan el analisis de las situaciones planteadas en la historia anterior. Se busca que

los alumnos a concluyan sobre las caracterısticas de instancias en las que juegue un

rol el azar. Por tanto, se sugieren preguntas como:

• ¿Puedes responder con certeza las preguntas planteadas en el desenlace de la

historia?

• ¿Por que razon crees tu que no es posible asegurar el resultado de dichas

situaciones?

• ¿Es posible en cambio, poder intuir los sucesos a ocurrir en cada una de las

instancias?

• ¿Que caracterıstica comun encuentras en estas situaciones?

• ¿Es posible decir que en estos ejemplos entra en juego el factor suerte?

Preguntas de este tipo, pueden ayudar a los alumnos a aclarar sus ideas

con respecto a lo que se conoce como azar; procurando como docentes guiar las

discusiones grupales, es importante que sea finalmente consensuada una definicion

del concepto de azar.

A la vez, se sugiere que los ejemplos planteados sean revisados, encontrando los

llamados espacios muestrales; sin necesidad de utilizar estos conceptos que aun los

alumnos no son capaces de manejar.

6


Relevante resulta el hecho de aclarar a los estudiantes que muchas situaciones

de la vida estan relacionadas con el azar. Pero no toda la cotidianidad se basa

en modelos aleatorios; ya que tambien es posible responder, con exactitud, a

inquietudes que surgen de fenomenos que son regidos por leyes cientıficas.

1.4 Sugerencias Finales

Bajo el supuesto de realizar esta actividad como introduccion a la unidad de

probabilidades, es importante que el profesor utilice dinamismo y complemente la

actividad con situaciones azarosas propuestas por los estudiantes, de esta forma man-

tener motivados a los estudiantes; no dando instancias para que ellos se distraigan.

Tambien es necesario vislumbrar actividades similares a estas para los siguientes

contenidos de la unidad; esto porque no sirve de nada una introduccion motivadora

para luego terminar utilizando estrategias tradicionales para la ensenanza de los

contenidos matematicos.

7

ACTIVIDAD 2

LA PROBABILIDAD DE UNA

HISTORIA

Un Pequeno Analisis de la Historia de la Probabilidad.


Para esta actividad es necesario que el docente indique, a modo recordatorio,

las caracterısticas que poseen las situaciones azarosas y de esta forma, comentara

desarrollos historicos, en diversas culturas y contextos sociales, que han involucrado

la nocion inconciente de probabilidad. Esta primera instancia servira de intro-

duccion a la actividad siguiente del contenido.

Es importante destacar que el concepto de probabilidad clasica o de equiproba-

bilidad aun no es tocado formalmente; pero se recomienda que el docente explique

con sus palabras las nociones de probabilidad, ejemplifique situaciones en que la

probabilidad de ocurrencia de algun suceso, en comparacion con otro es igual o

distinta. Tomar esa parte del contenido como un referente y un apoyo, servira

para poder inmiscuir a los estudiantes en las situaciones que el ser humano ha

enfrentado y, que de alguna u otra forma ha intentado dar respuesta. De esta forma,

se podra complementar mas adelante los conceptos con la contextualizacion de ellos.

Se propone por tanto, realizar como siguiente actividad un trabajo investigativo

8

ACTIVIDAD 2. LA PROBABILIDAD DE UNA HISTORIA

de distintas etapas historicas o civilizaciones, identificando en estas situaciones,

caracterısticas en las que el azar y los conceptos de probabilidad han jugado un

papel relevante.

Este trabajo debe ser desarrollado por lo estudiantes en horarios extra

academicos, y lo mas certero es que se vaya trabajando en paralelo a las actividades

futuras del contenido; buscando el momento de dar el cierre a la investigacion, en

coincidencia con el inicio del estudio de la probabilidad clasica; para que luego los

estudiantes puedan dar respuestas, en lo posible, a las situaciones encontradas,

mediante los conceptos tratados en esa futura actividad.

En el contexto de lo que se intenta, se puede mencionar el ejemplo de la

civilizacion Maya; quienes fueron capaces de plantear Profecıas, de las cuales hay

vestigios del cumplimiento de un par de ellas; la pregunta que debe surgir es el

como este pueblo logro llegar a la certeza (suceso seguro), de que las situaciones

que planteaban serıan realidad. Al mismo tiempo un ejemplo mas comun de la

influencia de las probabilidades en esa epoca, son las apuestas que se hacıan en el

deporte de pelota que ellos practicaban; se ha dicho que la vida incluso era puesta

en prenda como apuesta en los partidos.

O bien, un ejemplo mas actual, refrente al manejo de las situaciones a las que

se enfrentaran los equipos de investigacion espacial, cuando deciden adentrarse en

el espacio para su estudio.

Finalmente, los trabajos de investigacion desarrollados por los estudiantes, seran

comentados para que se vayan concluyendo las caracterısticas de las situaciones que

9


hicieron que el mismo ser humano fuera desarrollando una teorıa sobre este tipo de

eventos, y de esta forma construyera la axiomatica de la teorıa de probabilidades. Lo

que es demasiado importante contextualizar, no solo como una necesidad historico

temporal que se hizo presente de distinta manera al ser humano; ya que se funda en

la capacidad intrınseca del ser de visionar las posibilidades de un suceso y, a su vez,

en la misma limitacion que le impide encontrar la certeza de sus propias respuestas.


Como se explica en la seccion anterior, se plantea la asignacion de un trabajo

investigativo a los estudiantes del curso.

Se formaran grupos de trabajos. Se procede por tanto a realizar un sorteo de

ciertos temas: Mayas, Aztecas, Egipcios, Romanos, Edad Media, Pueblo Mapuche,

entre otros. Por esta razon, no muy poco original, el tıtulo de la unidad “La

probabilidad de una historia”, aunque en el contexto de esta, el tıtulo engloba la

nocion de que la misma historia que vive actualmente la humanidad, en la que

posee una teorıa de las probabilidades, bastante evolucionada, tambien dependio

y fue testigo en el pasado de que todo futuro es propenso a ser estudiado por sus

propios antepasados; los que dentro de sus posibilidades lograron que este desarrollo

haya desencadenado en lo que hoy en dıa se presenta como una herramienta para

el ser humano.

El avance del trabajo se ira supervisando constantemente; realizando discu-

siones grupales de lo encontrado hasta cierta etapa, comentando las situaciones

10


anecdoticas que se involucren con el tema de las probabilidades, que los alumnos

vayan encontrando en sus lecturas e investigaciones.

Para concluir la actividad se debera realizar una exposicion de las investi-

gaciones por parte de los grupos; estas muestras deben apuntar a identificar las

caracterısticas de las situaciones que los alumnos han considerado como eventos en

los que el azar entra en juego y, que de esta forma el ser humano necesito buscar

respuestas.


Para el cierre de la actividad se pide el compromiso del docente por hacer

comprender a los estudiantes, la gran capacidad del ser humano de construir bajo

toda esta evolucion historica, una ciencia axiomatica que le ha permitido estudiar

y dar respuestas a quizas las mismas problematicas que siempre le han aquejado;

que de una u otra forma estuvieron presentes en su cotidianidad y que lo instaron a

dejar el legado de lo que hoy en dıa es conocido como la teorıa de la probabilidad.

Historicamente estas necesidades o simples curiosidades de dar respuesta a

situaciones azarosas lograron encantar a diversas personas. Ahora es propicio

aprovechar esas vivencias y actuales vivencias, para dar a conocer que el estudio de

las probabilidades tiene una razon de ser; hay cosas que en el futuro del estudiante

y en la cotidianidad actual de este mismo, podrıan ser abordadas de mejor forma si

los planteamientos se complementan con el fundamento teorico de las probabilidades.

11



El dinamismo y el conocimiento de lo que plantea, con la certeza de las

afirmaciones que realice, son relevantes en los aspectos que el profesor debe manejar

para desarrollar de buena forma la actividad. Importante es la lectura de los

antecedentes historicos que puedan servir de complemento a las investigaciones que

los estudiantes esten realizando; pues el profesor debe tener la claridad del enfoque

que los estudiantes intenten dar a sus propuestas de situaciones. Del mismo modo

se sugiere al docente que presente como referencia, las situaciones historicas mas

conocidas en el desarrollo de la teorıa de probabilidades; tales como el problema de

Cardano y el partido de Tenis, o la interrogante del Caballero de Mere. Pero esto

sera, solamente, para reconocer las motivaciones que los matematicos tuvieron para

plantearse de manera teorica, interrogantes similares a las estudiadas.

Finalmente, como se comento en la introduccion, es recomendable que el desa-

rrollo de esta parte de la unidad sirva de un complemento provechoso que el docente

utilice, para contextualizar y poder explicar con mayor cercanıa los futuros conceptos

y contenidos de la unidad.

12

ACTIVIDAD 3

EXPERIMENTANDO EN LO

COTIDIANO

Estudio de los Conceptos de Experimentos Aleatorios, Espacio Muestral y Sucesos.


La presente actividad se enmarca en el concepto de Experimento Aleatorio y

las ideas implicadas en este. Se busca que los estudiantes caractericen las nociones

de Experimento y, especıficamente, aquellos que se presentan de modo aleatorio.

En el transcurso de la actividad, el docente ira conduciendo las deducciones a

traves de ejemplos; los que en primer lugar permiten diferenciar entre situaciones

deterministas y aleatorias.

Se debe mostrar, de forma similar a lo que se hizo con la historia introductoria

(El dıa del Azar), que en la cotidianidad se encuentran bastantes situaciones

que proponen un modelo aleatorio, en las cuales es viable adelantar las posibles

respuestas que podrıan suceder. Sin embargo, no se tendra la certeza de asegurar

cual sera el desenlace exacto.

Se mostrara a los alumnos las posibles preguntas a las situaciones aleatorias

que se plantean en estudios experimentales; como las respuestas a alguna encuesta

13

ACTIVIDAD 3. EXPERIMENTANDO EN LO COTIDIANO

sobre un tema de interes o los flujos periodicos de personas u objetos en ciertos

lugares o circunstancias.

Una vez que los jovenes logren identificar las particularidades de los Experimen-

tos Aleatorios, procederan a analizar los conceptos de Espacio Muestral y Sucesos,

determinando algunos de ellos. Finalmente, se concluira la actividad dando formal-

mente las definiciones de los conceptos tratados; lo que dara paso a las futuras

propuestas que se adentran en las propiedades del calculo de probabilidades.


Se comienza dando ejemplos de situaciones cotidianas que corresponden

a modelos determinısticos, de ellos se asegura el resultado final. Este tipo de

experimentos seran comparados con aquellos de tipo aleatorio, para finalmente

proponer una definicion de los ultimos.

Se desea que el docente plantee situaciones como,

a) Un arbol (de hojas caduca) es estudiado al comenzar el otono, ¿que pasara

con sus hojas en esta estacion?. Si el proximo ano se pregunta lo mismo, ¿cual

sera la respuesta a aquello?.

b) Si hay una luz encendida, y presionas su interruptor, ¿que ocurrira con la

ampolleta?.

c) Al lanzar una piedra al aire (sin existir algo que obstaculice su trayecto), ¿que

ocurrira con la piedra luego de alcanzar su altura maxima?.

14


d) Una nina tiene 4 monedas de $100, le pide a su papa 2 monedas, del mismo

valor, ¿cuanto dinero posee ahora la pequena?.

Debe resultar un consenso, el hecho de que las respuestas a cada una de

las interrogantes son indiscutibles; no habra otra opcion para cada uno de los

experimentos, esto debido a que cada uno de ellos responde a leyes o principios

cientıficos (biologicos, fısicos, matematicos, entre otros). Seran por tanto, denotados

como experimentos determinısticos, ya que independientemente de las veces que

se vuelvan a repetir (bajo similares condiciones), los resultados seran siempre los

mismos.

Posterior a esto, el profesor podra proponer situaciones en las que no es posible

determinar con exactitud el resultado final o desenlace; dichas situaciones se

complementaran con algunas preguntas que acompanen la idea de la incertidumbre

presente en los experimentos. Se aclara que el tipo de situaciones se separaran en

dos bloques; el primero de ellos intenta ilustrar, unicamente, el concepto de expe-

rimento aleatorio, para analizar sus caracterısticas. Luego de esto, con el segundo

grupo de situaciones, se conducira a los estudiantes a comprender los conceptos

de Espacio Muestral y de sucesos, mediante otro tipo de preguntas; las que per-

mitiran a los alumnos visualizar los posibles resultados, ellos podran identificarlos

en distintos experimentos y luego pasar a dar una definicion formal de estos mismos.

El tipo de situaciones a plantear, para el primer grupo, seran como las que siguen,

a) Si se contabiliza el numero de vehıculos que transitan por la esquina del liceo

durante el dıa. Podrıas adelantarte a asegurar, ¿cuantos autos pasaran entre

las 13 y las 14 horas?

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b) En un partido cualquiera de la seleccion, se analiza la cantidad de tiros que

ataja el arquero chileno durante el transcurso del juego. ¿Cual sera el total de

tapadas?, ¿puedes responder con exactitud antes del partido?

c) Tienes la posibilidad de revisar tu correo electronico solamente los dıas

Domingo, ¿cuantos correos encontraras en tu bandeja de entrada cada vez

que lo revises?

d) En una fruterıa escoges tres naranjas para pesarlas y luego cancelar, ¿serıas

capaz de asegurar cuanto pesan exactamente las naranjas seleccionadas?

e) Cada vez que vas al supermercado, te encuentras en las cajas con colas de

distinto tamano. En un dıa cualquiera, ¿cuantas personas exactamente pasaran

por las cajas en el transcurso de tu espera?. O bien, ¿cuantos de ellos cancelan

con tarjeta de credito?

f) Para una tarea de lenguaje debes realizar una entrevista a algun personaje de

la ciudad, ¿cuanto crees que sera la duracion de la grabacion?

g) De acuerdo a lo que caminas diariamente dentro del liceo. Con exactitud,

¿cuantos pasos daras en un dıa cualquiera?, ¿a cuantos metros equivaldran

estos?

Las situaciones antes propuestas buscan la comprension del concepto de

Experimento Aleatorio. Las preguntas planteadas pueden ser complementadas por

otras que el docente estime convenientes. Cada ejemplo debe ser aprovechado para

representar ademas, sin tanta profundidad, los conceptos de Variable Aleatoria.

Considerando que cada situacion se acompana de un valor a estudiar; esta variable

puede ser tambien analizada, bajo las caracterısticas de los valores posibles que

tomara, siendo estos continuos (medir algo, como en el ejemplo d) y f)) o discretos

16


(contar, como en a), b), c) y e)). En algunos casos, un mismo experimento puede

ser analizado bajo variables continuas o discretas, dependiendo de lo requerido,

tal como ocurre en el ejemplo g); donde la cantidad de pasos es un valor dis-

creto, pero los metros a los que equivalen estos, corresponde a una variable continua.

Otro aspecto importante es la relevancia del analisis de estas distintas situa-

ciones, las que resultaran de utilidad en algunos estudios estadısticos. Tal como se

contabiliza el flujo de vehıculos en las intersecciones de algunas calles, para estudiar

la instalacion de un semaforo; ası como se analiza la cantidad de clientes en un

supermercado, para mejorar u optimizar el servicio. O bien, simplemente preocupa

el numero de tapadas de un arquero, para determinar su nivel como jugador.

En la siguiente parte, es considerado el segundo grupo de situaciones,

h) Si estas jugando al cachipun con un amigo, ¿podrıas asegurarte de ganar en el

primer intento?, ¿que tipo de resultados pueden darse? (Espacio Muestral)

i) De una alcancıa tratas de sacar unas monedas, solamente puedes retirar 2

monedas cualquiera, ¿tendras certeza de cuanto suman ambas?, ¿que posibles

resultados pueden darse?

j) Para la tarea de biologıa, el profesor decide sortear las parejas que trabajaran

en ella. ¿De que genero (sexo) sera tu companero de tarea?, ¿que posibilidades

existen?

k) Conociendo a un nuevo companero, le consultas si su equipo favorito es el

mismo que el tuyo, ¿que posibles respuestas podrıas obtener? ¿te adelantarıas

a asegurar lo que respondera?

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l) Si lanzas un dado al aire, y estudias el numero resultante en la cara superior

¿que posibles resultados existen?

m) Cada manana, para asistir al liceo, tomas la primera micro (que llegue a tu

colegio) que pase por el paradero, ¿cual sera el ultimo dıgito en la patente de

la micro que tomes en un dıa cualquiera?, ¿que posibles resultados existen?

Estas situaciones, acompanadas por preguntas que ayuden a los estudiantes a

comprender el concepto de Espacio Muestral; requieren que el docente caracterice

dichas ideas y proponga finalmente una definicion al concepto. Se visualiza que

los ejemplos permiten encontrar con facilidad los posibles resultados. De igual

modo, se deben identificar en las situaciones algunos sucesos, para que los alumnos

comiencen a manejar todos los conceptos requeridos para el estudio formal de la

teorıa de la probabilidad.

En el ejemplo h), puede consultarse a los estudiante sobre los resultados

que permiten que se gane el juego; o bien, aquellos que favorezcan al oponente,

vislumbrando de esta forma algunas ideas sobre lo que serıa un suceso. Tambien se

puede referenciar el ejemplo i), explicando que un grupo de resultados, tales como

los pares de monedas que suman mas de $100, sera considerado como un suceso;

del cual a futuro se veran otras caracterısticas mas especıficas.


Para finalizar la actividad se propone que el docente se apoye de las definiciones

de Espacio Muestral y Suceso, de esta manera son formalizadas las ideas que los

18


estudiantes construyeron con los ejemplos, respecto a las particularidades de dichos

conceptos.

El docente tambien podra presentar otros ejemplos y pedir a los estudiantes que

determinen los Espacios Muestrales, proponiendo con palabras algunos sucesos, para

luego ser identificados en concreto, de acuerdo a los elementos del Espacio Muestral.

Por ejemplo, para la situacion de la patente de la micro, puede proponerse el evento

o suceso de que el dıgito final corresponda a un numero impar, un numero primo o

un numero mayor que 5, entre otros.


Hasta ahora las actividades que han sido propuestas representan una intro-

duccion a los conceptos requerido para el estudio de la teorıa de probabilidad.

Importante es verificar que los estudiantes comprendan las ideas referidas a este

contenido. Por tanto, se debe procurar una constante evaluacion de los aprendizajes

de los alumnos, consultando a la mayorıa y haciendolos participes de las actividades

en el aula.

En lo sucesivo, las actividades venideras se adentran en propiedades que per-

miten ir concretando los elementos requeridos para el calculo de probabilidades. En-

contrandose formalizaciones matematicas mas teoricas, que requeriran de un mayor

trabajo en clases, para procurar el aprendizaje de los estudiantes.

19

ACTIVIDAD 4

UN CONJUNTO DE

PROPIEDADES

Estudio de las Propiedades de la Teorıa de Conjuntos utiles en Probabilidades.


En estos momentos los estudiantes ya manejan los conceptos basicos asociados

a la teorıa de la probabilidad. En mas, para la presente actividad se requiere que

sean formalizadas las nociones de Espacio Muestral y Suceso. Se aclara que el Espa-

cio Muestral es denotado por la letra griega Ω (omega mayuscula); y algun suceso o

evento de este, es asignado por una letra mayuscula de nuestro alfabeto (A, B, C, ...)

Los objetivos de esta actividad, son entonces, poder enunciar eventos, mediante

palabras y desarrollarlo por extension, enumerando los elementos de estos. Se

trataran ademas las nociones de complemento, interseccion y union entre sucesos.

Caracterizandolas mediante ejemplos que permitiran visualizar los elementos que le

van conformando en diversas situaciones.

Para finalizar, se trabaja el concepto de cardinalidad, determinando en algunos

Espacios Muestrales y sucesos, el valor de aquello. Y se deduciran las propiedades

basicas asociadas a la cardinalidad del complemento de un suceso y la union entre

dos eventos.

20

ACTIVIDAD 4. UN CONJUNTO DE PROPIEDADES


Comienza el trabajo de la actividad con un ejemplo que venga a reforzar las

ideas de la notacion de un suceso y del Espacio Muestral. Es importante decir

que, en la mayorıa de los experimentos aleatorios es necesario buscar los posibles

resultados. No obstante, para ejemplificar de mejor manera, seran utilizadas algunas

situaciones en que el Espacio Muestral es propuesto inicialmente.

El ejemplo introductorio sera;

a) Un nino tiene el dıa Lunes clases de Matematica, Musica, Lenguaje, Historia

y Artes. Su madre ha forrado todos sus cuadernos del mismo color. En cierto

momento, el nino saca un cuaderno al azar desde su mochila, ¿a que asignatura

correspondera el seleccionado?.

Se tiene para esto, el Espacio Muestral dado por, Ω = Musica, Matematica,

Artes, Historia, Lenguaje. El que es posible denotar por:

Ω ≡ Todos los cuadernos dentro de la mochila.

Surge ahora la pregunta, ¿que cuadernos NO utilizara en la asignatura de

Lenguaje?. Considerando solamente un grupo de los que estan en la mochila. A

saber, un grupo que forma parte del Espacio Muestral, se denominara subconjunto

de Ω. Es posible ahora resumir dicho grupo, denotandolo con un letra A, y concluir

que A = Musica, Matematica, Artes, Historia. Hagase notar que todos los

21


elementos de A estan en Ω, particularidad de ser un subconjunto (A ⊆ Ω).

El suceso A en palabras sera:

A ≡ Cuadernos dentro de la mochila que NO son de Lenguaje.

Otro ejemplo de subconjuntos (suceso), serıa considerar los cuadernos de las

asignaturas que terminan con la “letra a”. Sera llamado B, en esta situacion, B =

Musica, Matematica, Historia, y en palabras se escribira,

B ≡ Cuadernos de las asignaturas que terminan con la “letra a”.

Se sugiere por ejemplo, preguntar a algun alumno o alumna, cuales asignaturas

le agradan, le desagradan o en cuales tiene mejores calificaciones. De esta manera

se definiran otros subconjuntos.

C ≡ Cuadernos de las asignaturas que le gustan a Carolina.

D ≡ Cuadernos de las asignaturas en que Aranzazu tiene un promedio superior a 6.

En el momento en que el docente se asegura que los ejemplos han sido compren-

didos; procede a caracterizar los conceptos de complemento, interseccion y union

entre conjuntos. Para aquello, una opcion es mantener el mismo ejemplo de los

cuadernos, o bien proponer una nueva situacion.

Para representar las siguientes propiedades, un ejemplo de utilidad serıa:

b) Un grupo de 8 amigos se encuentran descansando en la plaza de Temuco (Jose,

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Yanira, Luıs, Marıa, Manuel, Veronica, Nicolas y Javiera). De ellos se sabe que

solamente Marıa, Javiera y Nicolas son de Temuco. Un turista los encuentra

y pregunta a uno de ellos (al azar) por una direccion dentro de la ciudad.

La situacion se plantea bajo la logica de un Experimento Aleatorio, por lo que,

Ω ≡ Los 8 amigos que descansan en la plaza.

De esta situacion se toman los sucesos.

A ≡ El consultado es de Temuco.

B ≡ El consultado es una mujer.

Obteniendo que,

A = Javiera, Marıa, Nicolas y

B = Yanira, Veronica, Javiera, Marıa

El docente podra preguntar por aquellos jovenes que NO son de Temuco,

se dira que ellos son: Jose, Yanira, Luıs, Manuel y Veronica. Quienes por dicha

particularidad se podran identificar como el suceso,

Ac ≡ el consultado NO es de Temuco.

Usando esa notacion, porque al comparar los integrantes de Ac, se asegura que

estos son los amigos que NO son parte de los elementos de A. De otra forma, son

los jovenes que le faltan a A para “completar” todo el grupo de amigos. De esta

23


manera, Ac es llamado el complemento de A. O sea A y Ac se “complementan”

para formar el total.

De forma similar, se puede ver que Bc, serıan los amigos que NO cumplen con

B, es decir

Bc ≡ el consultado es un hombre.

Se supondra ahora que al turista le “gustarıa” ser ayudado por una persona

que sea de Temuco “o” por una mujer; para esa condicion los jovenes que pueden

ayudar al turista son: Javiera, Marıa, Nicolas, Veronica y Yanira.

Resulta importante que el alumno visualice la idea de que estos jovenes cumplen

con pertenecer a A “o” pertenecen a B. De esta forma, ellos seran considerados

como integrantes del suceso A ∪B, que se refiere a la union de los conjuntos A y B

(compuesto por los elementos que pertenecen a A “o” que pertenecen a B).

Posteriormente, se planteara a los estudiantes que por las intenciones del turista,

es logico que lo que realmente le conviene a el, es ser ayudado por una mujer que

sea de Temuco. Es decir, una persona que cumpla las condiciones de ser de la

ciudad (A) “y” de ser mujer (B). Las ninas que ayudaran de mejor forma al turista

seran Javiera y Marıa; ellas cumplen con la condicion A y B, al mismo tiempo. Se

llamara esta idea la interseccion entre A y B, denotado por A ∩ B y formado por

los elementos que tienen en comun A y B.

Una vez que se han visto estas ideas, el docente comentara el concepto de

24


cardinalidad de un conjunto, explicandolo como el numero de elementos pre-

sentes en este. Ası, encontrar la cardinalidad del Espacio Muestral, denotado por

#(Ω), consiste en contar los posibles resultados del Experimento Aleatorio. Una

observacion importante, es que la cardinalidad sera siempre un numero Natural

(porque se esta contando) y particularmente, #(Ω) ≥ 2; ya que si se refiere a un

Experimento Aleatorio, el Espacio Muestral debera poseer, al menos, dos opciones

(para reafirmar la idea de incertidumbre).

Del ejemplo a), se obtiene que #(Ω) = 5, en el caso de la situacion en b),

#(Ω) = 8. Se intenta de esto, poder reconocer algunas propiedades; en consideracion

del ejemplo b). Si de dicha situacion se busca #(A), la que es igual a 3. Al mismo

tiempo, #(Ac) = 5. Para el suceso B, se dira que #(B) = 4 y #(Bc) = 4. La

conclusion que se debe considerar es que si (Ac) esta conformado por los elementos

que no estan en A, se cumplira siempre que:

#(A) + #(Ac) = #(Ω)

Finalmente, se consulta a los estudiantes sobre como calcular #(A ∪ B). Una

posible respuesta es la idea de que se conocen los integrantes de A ∪ B, los que

son Veronica, Yanira, Javiera, Marıa y Nicolas; por lo que #(A ∪ B) = 5. No

obstante, es posible proponer la opcion de contabilizar los elementos de A y los

elementos de B, pero al sumar estas cantidades, se estaran contando dos veces

algunos integrantes. Ya que si #(A) = 3 y #(B) = 4, es claro que se cuenta a

Javiera y Marıa en ambos casos. Se debe recordar, que estas dos ninas cumplıan

con A y con B, al mismo tiempo, lo que fue llamado A ∩ B.

25


Por tanto, para considerar #(A ∪ B), se tomara #(A) y #(B), pero se debera

quitar los elementos repetidos, que fueron encontrados con #(A ∩ B). Es decir:

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B)


Un detalle importante al cierre es proponer ejemplos en los que la interseccion

de los conjuntos no existe, y de esta forma mostrar que esos casos la manera de

calcular la cardinalidad de la union sera dada por

#(A ∪ B) = #(A) + #(B)

Se comentara que estas nociones de contar, hasta ahora seran vistas bajo la logica

de que las cardinalidades requeriran de enumerar los elementos de cada conjunto.

Mas, en las actividades venideras, se vera que es posible encontrar las cardinalidades

utilizando metodos mas rapidos y precisos.


Recomendable puede resultar ejemplificar las situaciones mediante diagramas

de Venn, para que los alumnos identifiquen los conceptos de interseccion y union de

manera mas grafica. Mas aun, se pueden entregar algunos datos, en alguna situacion,

para que ellos efectuen el diagrama de Venn y hagan coincidir las cardinalidades

implicadas en el problema.

26

ACTIVIDAD 5

NUEVAS FORMAS DE CONTAR

Desarrollo de las Propiedades de la Teorıa Combinatoria y el Principio de

Multiplicacion.


Considerando que los estudiantes ya manejan los conceptos de Espacio

Muestral y Suceso; reconociendo que los posibles resultados de un experimento

aleatorio permiten tener una primera impresion sobre el numero de situaciones que

se enfrentaran, una vez que se llevan a cabo estos experimentos.

Por tanto, para ser mas precisos, el docente iniciara la actividad comentando

la importancia de conocer con exactitud el numero (o cardinalidad) de posibles

situaciones que se presentan en diversos modelos aleatorios. En este caso, el profesor

hara enfasis en el hecho de que ante algunas situaciones es facil encontrar el numero

de posibles desenlaces, tal como se vio en la actividad anterior, pero en otras

ocasiones la manera en que se contabiliza se ve limitada, en concordancia a las

herramientas basicas de conteo.

Surge entonces la necesidad de conocer nuevas formas de sacar cuentas y, como

ocurre con el diagrama de arbol, en momentos especıficos ayudarse por algun

esquema representativo. Este tipo de diagramas debera por tanto ser ejemplificado

por el docente; se propone en la actividad un ejemplo desarrollado con diagrama

27

ACTIVIDAD 5. NUEVAS FORMAS DE CONTAR

de arbol, pero serıa una buena opcion plantear otros mas. A su vez, la forma en

que se construye un diagrama, debera ser conocida por los estudiantes antes del

desarrollo de la actividad; el docente debera por tanto ensenar a los estudiantes

dicho contenido.

El objetivo perseguido por la actividad es proponer a los alumnos nuevas

formas de contar, que son utiles a la hora de trabajar con Espacios Muestrales

o Eventos que presentan una gran cantidad de elementos; o en otras palabras,

cuando las posibilidades son muchısimas. Dentro de esto mismo, se hara referencia

a la necesidad de abordar un principio de conteo, que facilite el trabajo que

puede realizarse mediante un diagrama de arbol; el cual es util en cierto tipo de

situaciones. De esto se desprende la importancia de procurar la ensenanza del prin-

cipio de la multiplicacion; situacion que tambien se aborda en la presente propuesta.


Para comenzar la actividad se planteara a los estudiantes una situacion

referente a la eleccion de un uniforme de un equipo de basquetbol; esta situacion se

ira complementando con otras condiciones que van reafirmando las deducciones y

al mismo tiempo, van agregando dificultades en la resolucion de las interrogantes.

Secuenciadamente, los alumnos iran advirtiendo la logica que propone el principio

de la multiplicacion para enumerar los posibles resultados de un experimento

aleatorio.

Primeramente, el ejemplo tratado sera de la siguiente manera:

28


- En un equipo de basquetbol, se les da a elegir a los jugadores los colores

del uniforme a utilizar; para la polera estan disponibles el verde, el azul y el

rojo; en el caso del pantalon, pueden escoger entre blanco, negro, rojo y azul.

Determinar todas las posibles combinaciones de uniforme a seleccionar.

En esta situacion se propone que los estudiantes puedan representar los distintos

tipos de uniforme mediante el llamado diagrama de arbol, para visualizar como se

van conformando las parejas resultantes.

Polera Pantalon

B (V,B)

N (V,N)

V

<<xxxxxxxxx55llllllll

))RRRRRRRR

""FFFF

FFFF

FF

R (V,R)

A (V,A)

B (A,B)

N (A,N)

•

JJ//

)))

))))

))))

))))

))))

A

<<xxxxxxxxxx55llllllll

))RRRRRRRR

""FFFF

FFFF

FF

R (A,R)

A (A,A)

B (R,B)

N (R,N)

R

<<xxxxxxxxxx55llllllll

))RRRRRRRR

""FFFF

FFFF

FF

R (R,R)

A (R,A)

Posterior a eso pueden ser planteadas preguntas como las siguientes.

a) ¿Cuantos tipos de uniformes pueden ser escogidos por los jugadores?

b) ¿Cual es el numero de uniforme en que la polera NO es verde?

29


Inmediatamente, para la pregunta a), los estudiantes lograran reconocer que es

posible formar 12 tipos de uniformes distintos; estos uniformes pueden resumirse

como duplas compuestas por (polera, pantalon). Entonces, se puede decir que si la

polera es de color Verde, esta podra ir acompanada por los 4 pantalones distintos,

formando las duplas (V, B), (V, N), (V, R) y (V, A); de igual forma, para la

polera de color Azul, esta estara acompanada por los 4 pantalones, ası como la

polera Roja, formara otras 4 duplas. Lo que en resumidas cuentas, permite decir

que se han formado 3 (poleras) grupos de 4 (pantalones) duplas cada uno, lo que

completan las 12 duplas contabilizadas.

En virtud del diagrama, para la pregunta b), los alumnos podran contabilizar

8 duplas en las que la polera no es verde; lo que se justifica por el hecho de tener

ahora 2 (poleras) grupos de 4 (pantalones) duplas; que sumados completan las

mencionadas 8 duplas.

Formulando una nueva situacion, ahora se pueden escoger 5 colores de poleras

y 4 colores para el pantalon, ¿cuantos tipos de uniformes se podran formar?.

Para resolver esta nueva interrogante, se espera que los estudiantes no acudan al

diagrama de arbol. Sin embargo, si es necesario, pueden confeccionarlo, pero las

conclusiones realizadas deben estar en virtud de que bajo la logica mencionada

anteriormente, es posible contabilizar las duplas sin necesidad del diagrama. En

este caso, si se tienen 5 posibles colores para las poleras, y 4 para los pantalones;

cada polera formara 4 duplas, con los respectivos pantalones. Por tanto, se tendran

5 grupos de 4 duplas cada uno, los que suman 20 posibles duplas.

El siguiente, es un pequeno esquema de utilidad para conocer la forma en que

30


se calcula, de manera inmediata, la cantidad de duplas.

Polera Pantalon

En este esquema, las dos casillas, son completadas por las combinaciones

posibles, entre poleras y pantalones. Teniendo para la primera casilla 3 opciones;

Verde, Azul y Roja. En el caso de la segunda casilla, se presentan 4 opciones;

Blanco, Negro, Rojo y Azul. Por lo que dichas opciones se representan como,

Polera Pantalon

3 × 4 = 12

De acuerdo a la situacion planteada, en que se tienen para escoger 5 colores de

poleras y 4 colores para el pantalon; dar respuesta a esta interrogante consistira en

representar el esquema como sigue,

Polera Pantalon

5 × 4 = 20

Suponiendo ahora que el uniforme de los seleccionados, aparte de contener

la polera y el pantalon, incluira las calcetas. Se propone la idea de que para

las poleras, pantalones y calcetas, existen 2 colores solamente; Verde y Rojo.

De esta manera el estudiante, si desea podra identificar los posibles trıos que se

forman, anotandolos uno por uno. Sin embargo, una observacion que surge es que

si se deja de lado el color de la calceta; entre la polera y el pantalon es posible formar:

Polera Pantalon

2 × 2 = 4 duplas

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Dichas duplas pueden ir acompanadas por la calceta de color Verde o la calceta

de color Rojo, lo que permite decir que se forman 2 grupos de 4 trıos cada uno

(un grupo con la calceta Verde y otro con la calceta Roja). A saber, los trıos que

se conforman por (polera, pantalon, calceta) seran; (R, R, R); (R, R, V); (R, V,

R); (R, V, V); (V, R, R); (V, R, V); (V, V, R) y (V, V, V). Se propone nue-

vamente el esquema utilizado en las situaciones anteriores, en este caso denotado por,

Polera Pantalon Calceta

Para esta situacion, se reconocen en cada casilla las respectivas opciones de las

poleras, pantalones y calcetas; como cada una de ellas posee 2 opciones, el esquema

permite afirmar,


2 × 2 × 2 = 8 trios

Este principio que ya es familiar, puede servir para pensar en una nueva opcion

de uniformes, en que las poleras estan disponibles en 4 colores, los pantalones en 5

y las calcetas en 3 colores, ¿cuantas opciones de uniformes se contabilizan?


4 × 5 × 3 = 60 trios

Una vez tratados estos ejemplos, se formaliza al estudiante el principio de la

multiplicacion; que permite resolver problemas de combinatoria y sera de bastante

utilidad a la hora de calcular probabilidades. Como se mostro en las situaciones de

los uniformes, el principio es basado en la conformacion de casillas que son llenadas

32


por los elementos que pueden ser ubicados en ellas. Una observacion importante, es

que este ejemplo mediante un diagrama de arbol, sera posible desarrollarlo, pero

requerira de mucha paciencia.

Como es sabido, es necesario presentar otras situaciones a los alumnos para que

puedan entender claramente el principio. De esta manera, se propone la siguiente

situacion:

- Para un concurso de baile, hace falta solamente una pareja para completar los

cupos; en el salon hay 5 mujeres y 3 tımidos varones que no han ingresado

aun en la competencia. ¿Cuantas posibles parejas pueden formar estas ocho

personas, para conformar la dupla faltante en el concurso?

Para dar respuesta a la situacion, es de utilidad el siguiente esquema.

Mujer Varon

Como fue visto en los ejemplos anteriores, bastara con multiplicar la cantidad de

mujeres, por la cantidad de varones para determinar el numero de posibles parejas,

las que seran

5 × 3 = 15 parejas

Se verifica por tanto la utilidad que presenta este principio y lo facil de tratar

que puede resultar para los estudiantes. Se debe considerar la idea de que en esta

situacion, aun es posible el desarrollo de la misma, mediante un diagrama de arbol.

Sin embargo, el ejemplo a continuacion, al igual que otras situaciones, resultarıa

33


muy difıcil de resolver con dicho diagrama.

En base a lo expuesto en el parrafo anterior, se plantea la siguiente interrogante:

- ¿Cuantas numeros pares de 3 dıgitos existen?

Dicha situacion resulta ser interesante por el hecho de que contabilizar estos

numeros no es complicado, ya que se verifica que los numeros de 3 dıgitos son

aquellos que estan entre 100 y 999, inclusive; los que completan 900 posibilidades. A

su vez, es claro que entre estos numeros hay pares e impares, en igual cantidad, ya

que si 100 es par, 101 es impar y ası sucesivamente; es decir, la mitad de los numeros

es par y la otra mitad es impar. Por tanto los numeros con dichas condiciones son 450.

No obstante, el principio de la multiplicacion es de utilidad para contabilizar

estos numeros, se considera el esquema siguiente:

Centena Decena Unidad

En el caso de las Centenas, los dıgitos que podran ubicarse en este casillero,

deben ser distintos de 0, como unica condicion (083 no es un numero de tres

dıgitos); por tanto existen 9 opciones. En cuanto a las Decenas, pueden ubicarse

todos los dıgitos sin restricciones, teniendo 10 opciones. Finalmente, se sabe que un

numero par debe terminar en un dıgito par; por lo que seran favorables los dıgitos

0, 2, 4, 6 y 8, los que contabilizan 5 opciones.

Centena Decena Unidad

9 × 10 × 5 = 450 numeros pares.

34


Es posible comprobar de esta manera, que el principio de la multiplicacion, tal

como dice el tıtulo de la actividad, es una “nueva forma de contar”. Del mismo

modo en que se puede hacer bajo otros metodos, este principio permite clarificar

las opciones ante cierta situacion; lo que como se ha dicho, es de utilidad para la

resolucion de problemas de probabilidad.

Seguidamente, se propone un problema que se adecua a algunas de las situacio-

nes de probabilidad, ya que de cierta manera, representa las ideas bajo las cuales

son extraıdas las muestras aleatorias en estudios estadısticos.

El problema a plantear es el siguiente,

- En una urna hay 25 bolitas azules, 15 bolitas rojas, 10 bolitas negras y 15

bolitas verdes. Se extraen cinco bolitas SIN reemplazo.

a) ¿Cuantos opciones hay de que las 5 bolitas extraıdas sean de color Negro?

b) ¿Cuantas posibilidades hay de sacar las dos primeras bolitas de color Rojo

y las siguientes de color Azul?

Para proceder a responder las preguntas, es necesario reconocer que el esquema

a plantearse contendra 5 casillas. Cada casilla representara el orden en que son

retiradas las bolitas. Un detalle importante es que la extraccion de las bolitas se

produce sin reemplazo; por lo que si en la primera extraccion, por ejemplo, se

obtiene una bolita azul, para la segunda extraccion habran 24 bolitas azules y

quedaran 64 bolitas en la urna.

La pregunta a), debe considerar que para la primera extraccion hay 10 bolitas

negras disponibles, pero en la segunda habran solo 9 y ası sucesivamente. Por lo

35


que, se aborda el problema de la siguiente manera,

10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30.240

Para la pregunta b), el esquema entonces sera,

15 × 14 × 25 × 24 × 23 = 2.898.000

Existen por tanto, 30.240 posibilidades en las que la extraccion de las 5 bolitas

termina con la obtencion de todas ellas de color Negro. Y las posibilidades de ex-

traer las 2 primeras bolitas de color Rojo y las otras de color Azul seran 2.898.000.

Numeros cuya asimilacion permitiran, mas adelante, comprender la gran cantidad

de posibilidades que se presentan en algunas situaciones especıficas; tales como la

confeccion de una patente o el sorteo de un juego de azar.


En el momento del cierre, el docente podra realizar un resumen de las nuevas

formas de contar expuestas anteriormente; siendo majaderos, el principio de la

multiplicacion es un contenido de la teorıa combinatoria que debe ser tratado como

un elemento indispensable para el calculo de probabilidades. Considerandolo una

alternativa valiosa para encontrar la cardinalidad de los Espacios Muestrales y de

los Sucesos.

Una buena opcion complementaria a la propuesta, es presentar a los alumnos

problemas de permutaciones, para que identifiquen otras maneras de contar;

adquiriendo tambien herramientas que van facilitando los desarrollos de las futuras

36


situaciones de probabilidad.


Las propiedades estudiadas en esta propuesta requieren de un desarrollo de

habilidades de conteo por parte del estudiante; ası como desde pequenos, se van

perfeccionando las tecnicas de conteo, ya sea de uno en uno o luego de grupos mas

grandes de elementos; o tal vez aprovechando las operatorias basicas, como la suma

y la multiplicacion; el ser humano es capaz de encontrar “atajos” para mejorar y

agilizar la manera en que cuenta. Del mismo modo se propone que sean ejercitados

estos principios de conteo, para que los estudiantes vayan encontrando relaciones

de utilidad para ir precisando sus formas de contar; en este caso bajo el principio

de la multiplicacion y otros principios mas.

En este sentido, la siguiente propuesta didactica presenta algunos tipos de ejer-

cicios a ser tratados para el logro de estos objetivos.

37

ACTIVIDAD 6

A CONTAR, QUE NO SE NOS

DEBE OLVIDAR

Actividad Orientada a la Aplicacion de las Tecnicas de Conteo a Situaciones

Cotidianas, Calculando Espacios Muestrales y la Cardinalidad de Ciertos Sucesos.


Durante esta actividad se debe procurar que los estudiantes vayan aplicando

los contenidos tratados sobre las formas de contar; a traves de los diagramas de

arbol, permutaciones, combinatorias o el principio de la multiplicacion. Se hara de

esta forma que los alumnos logren calcular los Espacios Muestrales y las cardinali-

dades de algunos sucesos, implicados en los experimentos aleatorios que se proponen.


Para reforzar y aplicar los contenidos antes tratados, se plantean las activi-

dades detalladas a continuacion:

1) En el juego del Cachipun, los competidores tienen tres opciones de juego;

Piedra, Papel o Tijera. Las reglas son claras, quien saca Piedra vence a la

Tijera, pero la Tijera gana al Papel y el Papel vence a la Piedra.

38

ACTIVIDAD 6. A CONTAR, QUE NO SE NOS DEBE OLVIDAR

Planteando a los estudiantes este juego para su estudio; analizando las posibles

combinaciones resultantes y, sin aun conocer algunos conceptos, identificar con ello

que este es un juego equitativo, por la equiprobabilidad de sus resultados.

El siguiente diagrama representa las posibles situaciones que se pueden dar con

el juego del cachipun entre dos ninos. Se propone que de esta forma, el docente

pida que los estudiantes realicen el diagrama de arbol respectivo, para que puedan

responder a las preguntas que se plantean posteriormente. (En el diagrama: R

representa Piedra, T es Tijera y P es Papel).

1er Nino 2do Nino

R (R,R)

R

55jjjjjjjjj //

))TTTTTTTTT P (R,P)

T (R,T)

R (P,R)

•

EE//

333

3333

3333

3 P

55jjjjjjjjj //

))TTTTTTTTT P (P,P)

T (P,T)

R (T,R)

T

55jjjjjjjjj //

))TTTTTTTTT P (T,P)

T (T,T)

¿Cuantos elementos componen el Espacio Muestral de este experimento?

¿Cuantas opciones permiten que gane el primer nino?

¿Cuantas posibles combinaciones producen un empate entre los jugadores?

¿Cual de los dos ninos tiene mas opciones de ganar?.

Las preguntas quedan planteadas para que los estudiantes se dediquen a contes-

tarlas; como ha sido visto, el diagrama de arbol permite analizar esta situacion y

39


facilitara encontrar las cantidades consultadas en las interrogantes.

Los posteriores ejemplos, son presentados bajo el principio de la multiplicacion

y se desarrollaran parcial o completamente, los que seran propuestos a modo de

actividad para los estudiantes.

2) Se comenta ahora a los alumnos, sobre el nuevo sistema de patentes introducido

en Chile.

Desde finales del ano 2007, se comenzo a identificar los automoviles con

patentes que contienen 4 letras, seguidas de 2 numeros. Existio controversia en

un comienzo sobre la posibilidad de que se dieran patentes con alguna com-

binacion de 4 letras, que podrıa causar algun malentendido. Un ejemplo de

esto es el hecho de resultar incomodo para el dueno del vehıculo cuya patente

fuese VACA-07, LOCO-99 o MONO-21 y, peor aun si alguna palabra con doble

sentido figurase en alguna patente. Finalmente una decision rapida fue eliminar

del sistema de numeracion las vocales. Se plantean entonces las siguientes preguntas:

a) ¿Cuantas combinaciones son posibles con el definitivo sistema de nu-

meracion?

b) ¿Cual es el numero de patentes que fueron eliminadas al suprimir las vocales

de dicho sistema? (antes de calcular), ¿crees que es insignificante esta cantidad?

c) ¿Cuantas patentes contienen el numero 13?

d) ¿Cuantas de ellas terminan en la combinacion 07?

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De esta manera, se tiene una buena forma de permitir a los estudiantes que

apliquen las propiedades del principio de la multiplicacion visto anteriormente. El

docente por tanto podra incitar el trabajo grupal, para que los alumnos comenten

esta actividad y respondan a las interrogantes planteadas.

Se veran de forma resumida algunas indicaciones para la resolucion de los pro-

blemas. La primera pregunta puede ser abordada mediante un esquema, en el que

los estudiantes identifiquen con claridad que el principio de multiplicacion permitira

dar respuesta a la interrogante.

Conformacion de la Patente

Letra × Letra × Letra × Letra × Numero × Numero

Si la cantidad de letras del abecedario es 26, y se descartan de ellas las vocales,

se tienen 21 posibles letras que iran en las 4 primeras casillas de las patentes. En

cuanto a los dıgitos, desde el 0 al 9, existen 10 posibilidades. Por lo que, las posibles

combinaciones seran:

21 × 21 × 21 × 21 × 10 × 10 = 19.448.100

Es decir, la cantidad de patentes que se pueden formar de dicha forma son cerca

de 20 millones; lo que obviamente asegura un sistema de identificacion que durara

por bastantes anos mas.

Considerando la segunda pregunta; lo que se recomienda es calcular el numero

de patentes que se forman usando todo el abecedario, para luego realizar la resta

con el numero obtenido en la situacion anterior.

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Si son incluidas las vocales, el numero de patentes asciende a:

26 × 26 × 26 × 26 × 10 × 10 = 45.697.600,

Lo que permitira deducir que la cantidad de patentes eliminadas es similar o

mayor que la cantidad de patentes que posee el sistema actual. Importante resulta

destacar que la forma mas rapida de eliminar el problema comentado, referente a las

palabras de cuatro letras, era desechando las vocales de las patentes. Pero tal vez,

no haya sido la mejor opcion; a pesar de que eliminar solamente las combinaciones

conflictivas, hubiese causado un problema muchısimo mas complicado; y en cierto

modo no serıa claro cuales, especıficamente, son las palabras que se deben eliminar.

Abordar los problemas c) y d), requieren del mismo analisis para ambos. Lo

unico necesario es contar todas las maneras en que pueden tomarse 4 letras para

acompanar a estos numeros. Es decir, a cada uno de ellos se le asocian,

21 × 21 × 21 × 21 = 194.481 palabras.

Resultarıa interesante mostrar a los alumnos que el antiguo sistema de patentes,

con 2 letras y 4 dıgitos; poseıa 6.760.000 posibles numeraciones, lo que le permitio

mantenerse vigente durante un par de decadas.

3) Un nuevo problema a plantear, consiste en estudiar cuantos numeros de cuatro

dıgitos son mayores que 2400 y cumplen algunas caracterısticas adicionales.

Tales como,

a) tienen todos los dıgitos diferentes

42


b) no tienen dıgitos iguales a 3, 5 o 6

d) tienen las caracterısticas de a) y b) simultaneamente

Dichas situaciones seran abordadas con las propiedades de conteo vistas en el

capıtulo anterior. Sin embargo, este tipo de problemas requiere de un estudio mas

recatado, propiciando un conteo por casos, ya que el hecho de necesitar numeros

mayores que 2400, restringe las posibilidades para el primer y segundo dıgito (no

es posible poner por ejemplo, el numero 1 en la primera posicion). Se pasa ahora a

analizar la primera pregunta.

En primera instancia, se enfoca el conteo de los numeros que estan entre 2400

y 2999. Es decir, aquellos que comienzan con el dıgito 2 y, cuyo segundo dıgito

sea mayor o igual que 4, por lo que para la segunda ubicacion se tienen 6 posi-

bilidades. Los numeros que cumplen las caracterısticas seran calculados de acuerdo a,

1 × 6 × 8 × 7 = 336

Esto debido a que el primer dıgito fue fijado (era el numero 2), luego para la

segunda ubicacion, quedan 6 opciones (los dıgitos 4, 5, 6, 7, 8 o 9), en el caso de la

tercera ubicacion hay 8 posibilidades (todos los dıgitos distintos de 2 y del ubicado

en la segunda posicion), y finalmente para la ultima quedaran 7 dıgitos. Se anotan

entonces, 336 numeros en la primera contabilizacion.

En el segundo caso, considerar los numeros entre 3000 y 9999; se cuentan estos

numeros con el siguiente producto,

7 × 9 × 8 × 7 = 3528

43


El analisis es parecido, en este caso para la primera ubicacion, se cuentan los

dıgitos entre 3 y 9, para el segundo valor sirven todos los que sean distintos al

ubicado primero y ası, se procede a ubicar los 2 ultimos bajo el mismo razonamiento.

Finalmente se deben sumar las dos cantidades obtenidas, por tanto los numeros

de 4 cifras, mayores que 2400 y con todos sus dıgitos distintos son 3864.

Para la pregunta b), se utilizan los mismos argumentos, pero en esta situacion es

posible repetir los dıgitos, lo que es una caracterıstica importante a considerar. Una

vez resueltos ambos problemas, la forma en que se desarrolla la parte c), resultara

bastante sencilla para los estudiantes.

4) Un ultimo problema que se recomienda sea tratado en la actividad, consiste

en calcular todas las formas en que pueden ser extraıdos los 6 numeros corres-

pondientes al sorteo del Loto.

Para dar respuesta a la interrogante referente al conocido juego de azar de

nuestro paıs, los estudiantes requieren de un analisis muy similar a los realizados

anteriormente. Es importante considerar que el estudio de esta situacion permitira

crear una nocion en los estudiantes de la gran cantidad de combinaciones que son

posibles de ocurrir en un sorteo cualquier. Sin embargo, un detalle importante a

considerar, es que este calculo planteado considerara como distintos resultados el

hecho de que los numeros sean extraıdos de la forma (1, 2, 3, 4, 5 y 6), al hecho

de extraerlos en el orden (1, 3, 2, 4, 5 y 6). Es decir, las permutaciones entre los 6

elementos seran consideradas como situaciones distintas. Esta observacion permite

considerar que a la hora de calcular la probabilidad de obtener el premio del Loto,

44


es necesario contar solamente en una ocasion las combinaciones propuestas a modo

de ejemplo.

A saber, la cantidad de posibles extracciones que se pueden hacer en el sorteo

del Loto sera calculada por,

39 × 38 × 37 × 36 × 35 × 34 = 2.349.088.560

Lo que para algunos, lamentablemente convierte a la mayorıa de los apostadores

en ingenuos seguidores de la suerte.


Las situaciones planteadas en este capıtulo intentan reforzar en los estudiantes

el estudio de la cardinalidad de los Espacios Muestrales y Sucesos, en base a los

principios de conteo. Es importante que el docente haga hincapie en la gran utilidad

que entregan dichos principios. La conexion entre la aplicacion de los diagrama

de arbol y las propiedades del principio de multiplicacion debe ser resaltada; ya

que como se ha dicho, una forma esquematica de contar puede ser apoyada por el

diagrama, pero si se requiere de mayor rapidez y, en cierto modo precision a la hora

de contar, lo mas adecuado es acudir al principio multiplicativo.

Otros problemas similares pueden ser planteados como interrogantes a la hora

de concluir la actividad, para que los estudiantes despierten la curiosidad por dar

respuesta a preguntas que pueden encontrar en la cotidianidad.

45


Finalmente se propone que el docente concluya, y complemente las actividades

con preguntas que vayan avanzando en nociones de probabilidad, tal como puede ser

aprovechado el ejemplo del cachipun para ello; las demas situaciones permiten dejar

planteadas interrogantes sobre las probabilidades de ciertos sucesos implicados en

estas.


La resolucion de problemas de este tipo, dependera de la forma en que el

profesor desee apuntar al logro de objetivos; es deseable que sean considerados otros

ejemplos, tales como el sistema de funcionamiento de las maquinas de los casinos.

Una pequena investigacion al respecto puede llevar a sacar conclusiones, en conjunto

con los estudiantes, bastante novedosas. Simplemente se necesita cuestionar cosas

tan sencillas, como el hecho de que los duenos de casinos esten tan interesados en

abrir nuevos locales, para poder aumentar sus ganancias a costa de la ingenuidad

de la gente. O ¿sera posible que las opciones de ganar esten equilibradas para el

apostador y el casino?

46

ACTIVIDAD 7

LO CLASICO EN

PROBABILIDADES

Desarrollo del Concepto de Probabilidad Clasica y la Formula de Laplace para el

Calculo de Probabilidades.


La actividad propuesta para este contenido busca guiar a los estudiantes en

concluir la necesidad, en la que se basa la teorıa de la probabilidad clasica, de

suponer cierto tipo de experimentos como sucesos equiprobables. De este modo se

analizan las caracterısticas y propiedades de dichos eventos.

Se trabajaran experimentos aleatorios con sucesos equiprobables, los que seran

abordados de modo que se iran planteando preguntas que guiaran a los estudiantes

para que deduzcan ellos mismos, situaciones en las que se encuentran ante sucesos

con igual probabilidad. Avanzando de esta forma en la actividad, se busca que los

estudiantes comprendan el por que se plantea que el calculo de la probabilidad

clasica, implica considerar la cantidad de casos posibles y la cantidad de casos favo-

rables, para con ello aplicar la proporcion y obtener la probabilidad de cierto suceso.

El objetivo de la actividad, por tanto, es que el docente vaya guiando a los

alumnos para que ellos identifiquen la formula de probabilidad clasica como una

47

ACTIVIDAD 7. LO CLASICO EN PROBABILIDADES

nocion matematica, que nace de la deduccion humana; surgida por el analisis de

situaciones similares a las que los estudiantes revisaran en esta parte del proceso de

ensenanza-aprendizaje.

Como ya se han manejado los conceptos de Espacio Muestral, Suceso y otros

necesarios para la comprension de las propiedades de la probabilidad clasica; es de

esperar que simplemente baste un repaso mediante ejemplos, que retraten de la

forma mas sencilla y concreta a los alumnos, las caracterısticas propias de estos.

Sin embargo, se hace hincapie que algunas notaciones necesarias para esta parte

de la unidad deben ser vistas en estos momentos, tales como la probabilidad de un

suceso A, denotado por P(A).


Progresivamente el docente ira situando a los estudiantes ante experimentos

aleatorios con distintas caracterısticas, la particularidad de ellos es la equiprobabi-

lidad de sus sucesos, lo que permitira deducir de esta forma, la formula del calculo

de probabilidad clasica dada por Laplace.

Se proponen a continuacion algunas situaciones, en el orden progresivo que se

busca, las que se complementan con preguntas que favorecen las conclusiones de los

estudiantes.

a) En una caja oscura, se sabe que hay 100 bolitas, de estas hay 90 bolitas azules,

5 bolitas verdes y 5 bolitas rojas. Se extrae una bolita al azar.

48


- ¿Que es mas probable, extraer una bolita azul o una roja?

- ¿Que color de bolitas tiene mas posibilidades de salir?

- ¿Crees que es mas probable sacar una bolita roja que una verde? ¿Por que?

Observacion: Este tipo de ejemplos hara en el estudiante crearse la idea de que

hay situaciones en que los sucesos estudiados no poseen iguales posibilidades de

ocurrir, lo que mas adelante se le daran a conocer como sucesos no equiprobables.

b) Suponer la situacion de que un equipo de futbol esta 5 puntos por debajo del

puntero del torneo, quedando solamente un partido. De acuerdo a los posibles

resultados del ultimo partido que dispute el equipo.

- ¿Cuales son los posibles resultados del encuentro?

- ¿Cuantas opciones hacen que el equipo sobrepase al puntero?

- ¿Que probabilidad posee el equipo de salir campeon?

Observacion: En esta situacion se busca que el estudiante identifique que es “im-

posible” que el equipo sobrepase al lıder, que en otras palabras de dice que tiene

“cero” posibilidades (probabilidades) de salir campeon.

c) Si dentro del curso se selecciona un estudiante, ¿Que posibilidades existen de que

el alumno o la alumna tenga menos de 20 anos de edad?

- ¿Se tendra la certeza de que eso ocurrira? ¿Por que?

- Del total de estudiantes de la clase, ¿cuantos de ellos tienen menos de 20 anos

de edad?

Observacion: Con el ejemplo mencionado se intentara que los estudiantes utilicen

la idea de que estan completamente seguros de que el suceso ocurrira. Es decir,

49


que expresen que estan “cien por ciento seguros” de que la situacion ocurrira al

realizar el experimento. Lo que sera complementado mas adelante, cuando sea

denotado con el valor 1.

d) Del ejemplo planteado en el capıtulo anterior, referente al cachipun, se habıa

intentado deducir que dicho juego era equitativo, ya que las posibilidades de

ganar, empatar o perder eran las mismas para ambos jugadores.

- Se vuelve a preguntar ¿cuantas opciones dan como ganador al segundo nino?

- Si el primer nino saca Tijera, ¿cuantas opciones tiene su contrincante para

ganar?

Observacion: Este ejemplo proporciona las bases para poder deducir la equipro-

babilidad en situaciones sencillas, es claro que ningun jugador tiene mas opciones

de ganar.

e) Lanzar una moneda al aire

- Que opcion presenta mas posibilidades de salir, ¿cara o sello?

- ¿Por que razon crees, que en los partidos de futbol, el arbitro arroja una moneda

al aire para que los capitanes escojan el lado en que desean jugar?

- ¿Podran los futbolistas asegurar que una opcion (cara o sello) tiene mas op-

ciones, para tener certeza de que ganaran el sorteo?

Observacion: Finalmente ejemplos como estos intentan que el estudiante deduzca

las caracterısticas de sucesos equiprobables y tambien comprendan que en oca-

siones, convenientemente se definen distintos sucesos como equiprobables; lo que

suele suceder cuando no se tiene la certeza de afirmar lo contrario.

50


Para continuar la actividad se explicara a los estudiantes la forma en que las

probabilidades se reparten equitativamente entre sucesos equiprobables, para ası

hacer comprender que las probabilidades se van conformando como la relacion

existente entre los casos favorables y los casos posibles.

Un detalle importante es que una formula requerida para determinar las

probabilidades, debe tener la caracterıstica de que un suceso con mas elementos,

tiene una mayor probabilidad de ocurrir, ya que la razon su cardinalidad es mas

grande. Tambien es necesario reconocer que la probabilidad de un suceso seguro,

debe ser la maxima probabilidad que pueda alcanzar cualquier suceso. Y un suceso

imposible debe resultar en una probabilidad cero.

Agregando la idea de que es claro que en el ejemplo a), es mas probable obtener

una bolita azul que una roja (porque hay mas bolitas de color azul), ası como en el

ejemplo d) la probabilidad de que gane el primer nino es igual a la probabilidad de

que gane el segundo, porque la cantidad de situaciones que favorecen a ambos son

las mismas.

Entonces, de acuerdo a las caracterısticas de la primera situacion, es posible

preguntarse, tal como Laplace pudo haberse cuestionado; ¿cuantas bolitas hay en la

urna?, ¿de un total de cuantas?, pudiendo por tanto proponer una razon entre las

cantidades, dada por:

Numero de bolitas azules

Numero total de bolitas=

Numero de Casos Favorables

Numero de Casos Posibles

Esta expresion (razon) posee la caracterıstica importante de que al considerar

51


el numero de casos favorables en el numerador de la razon, se deduce por tanto que

el valor resultante de un suceso con mas elementos, sera mayor al de un suceso con

menos elementos.

Ası entonces, como ocurre en el caso c), si todos los estudiantes cumplen con

la condicion pedida, se verifica que la razon propuesta terminara con un valor

correspondiente a 1; ya que el numero de casos favorables es igual al numero de

casos posibles. Esta idea es reafirmada con el capıtulo referente a las nociones de

la teorıa de conjuntos; donde se dijo que cualquier evento no puede tener mas

elemento que el espacio muestral; por lo que la probabilidad no sera mayor que 1.

Tambien se puede afirmar, que para el ejemplo b), la probabilidad de ganar el

campeonato, que se asigna al equipo es 0, ya que de las opciones totales (casos

posibles) ninguna de ellas le permite resultar campeon (casos favorables).

De otra forma la razon entre la cantidad de elementos de un suceso (casos favo-

rables) y la cantidad de elementos del Espacio Muestral (casos posibles), que se ha

visto considera la necesidad de asignar mayor probabilidad a algun suceso con mas

elementos favorables. Y toma valores que estan entre 0 (para un suceso imposible)

y 1 (para un suceso seguro). Lo que sera definido como probabilidad clasica:

P (A) =Numero de Casos Favorables

Numero de Casos Posibles

P (A) =#(A)

#(Ω)

Teniendo definida esta formula, se analizan las propiedades relacionadas al

calculo de la probabilidad clasica. Para ello es necesario referenciar las carac-

52


terısticas vistas en el capıtulo sobre la teorıa de conjuntos.

i) Recordando que un suceso A, se define como un subconjunto del Espacio Mues-

tral Ω. Y como #(A), se refiere a contar los elementos de A, se afirma que

0 ≤ #(A), de forma similar 2 ≤ #(Ω) (ya se vio que el Espacio Muestral de-

bera poseer a lo menos dos posibilidades). Tambien es sabido que la cantidad

de elementos de un conjunto no puede ser inferior a la cantidad de elementos

de alguno de sus subconjuntos. Lo que permite asegurar,

0 ≤ #(A) ≤ #(Ω)

Por tanto, si se divide todo por #(Ω) > 0.

0

#(Ω)≤

#(A)

#(Ω)≤

#(Ω)

#(Ω)

0 ≤ P (A) ≤ 1

ii) Como tambien se ha visto,

#(A) + #(Ac) = #(Ω)

De la misma forma, al dividir todo por #(Ω) > 0.

#(A)

#(Ω)+

#(Ac)

#(Ω)=

#(Ω)

#(Ω)

P (A) + P (Ac) = 1

P (A) = 1 − P (Ac)

53


iii) Otra propiedad importante, se refiere al calculo de la probabilidad de la union

de dos eventos,

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B)

Dividiendo por #(Ω) > 0.

#(A ∪ B)

#(Ω)=

#(A)

#(Ω)+

#(B)

#(Ω)−

#(A ∩ B)

#(Ω)

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

Resumiendo, se tienen las propiedades:

a) 0 ≤ P (A) ≤ 1

b) P (φ) = 0

c) P (Ω) = 1

d) P (A) = 1 − P (Ac)

e) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

Estas propiedades seran de gran utilidad a la hora de resolver problemas de

probabilidad en situaciones cotidianas y, especıficamente, en las futuras actividades

propuestas por este trabajo.

54



Al realizar el cierre de la actividad, el docente debe plantear situaciones senci-

llas en las que sea necesario calcular probabilidades, considerando cautelosamente,

el espacio muestral y los casos favorables para cada una de las situaciones. Se

busca entonces comprobar el aprendizaje de los alumnos con respecto a la llamada

formula de Laplace.

Se debera considerar constantemente las dudas que surjan de los estudiantes,

para asegurarse de que la metodologıa utilizada ha sido efectiva; en caso contrario

es necesario rescatar otros ejemplos que motiven a los estudiantes y cumplan con

los objetivos que se vean mas debiles.


Los ejemplos considerados en la actividad deben ser analizados detalladamente,

adelantandose a las posibles respuestas y deducciones de los estudiantes, para

que no ocurra que algun ejemplo destinado a cumplir cierto objetivo, termine

desviandose y no cumpla la labor correspondiente. Es importante tambien rescatar

situaciones que a los propios estudiantes les surjan como propuestas para ciertos

ejemplos, con lo que se puede complementar las nociones que el docente posee, y

desea que los alumnos conozcan, con la vision propia de los estudiantes.

55

ACTIVIDAD 8

CONDICIONADAMENTE

PROBABLE

Estudio de la Probabilidad Condicional.


El objetivo de la actividad siguiente es relacionar la Probabilidad Condicional

con la Probabilidad Clasica, para calcular condicionalidad en funcion de lo visto

anteriormente, al mismo tiempo se busca que los estudiantes descubran la formula

que permita resolver problemas de Probabilidad Condicional, mediante ejemplos

que guıen dichas conclusiones.

Importante resulta para el docente, manejar el concepto de Probabilidad

Condicional, que esta basado en una situacion especıfica, lo que se resume como la

probabilidad de que ocurra un evento Condicionado por un escenario particular,

dado por otro evento. En el caso de buscar la probabilidad de un suceso A, dado (o

sabiendo que ha ocurrido) un suceso B; esto sera denotado por P (A/B), lo que se

lee “la probabilidad de A dado B”.

En esta actividad se busca que los estudiantes reconozcan, mediante ejemplos

especıficos, que la probabilidad condicional puede resolverse bajo los mismos

argumentos de la probabilidad clasica. En el sentido de que un problema de

56

ACTIVIDAD 8. CONDICIONADAMENTE PROBABLE

probabilidad condicional, puede ser planteado, mediante una reformulacion de su

enunciado, como un problema de probabilidad clasica.

Para cerrar, se propone que los alumnos logren comprender que en estos casos, la

probabilidad buscada corresponde a la razon entre la cardinalidad de la interseccion

de los sucesos y la cardinalidad del suceso condicionante.


Proponiendo, que de forma introductoria, los estudiantes sean consultados

sobre la probabilidad de algunas situaciones que pueden ser resueltas mediante

probabilidad clasica, esperando que los estudiantes respondan con facilidad. Por

ejemplo, pueden ser consultados por la probabilidad de escoger un hombre dentro

de la sala, o bien, la probabilidad de obtener una suma par al lanzar dos dados (que

requiere de algunas herramientas vistas en la Actividad 5).

Posterior a esto, se consulta sobre nuevas situaciones, como las siguientes:

a) Al lanzar un dado en dos ocasiones, ¿cual es la probabilidad de que la suma

de los numero sea 8, dado que el primer numero es par?

b) Se tienen dos urnas, una con 3 bolitas rojas y 6 verdes; la otra con 6 bolitas

rojas y 2 de color verde. ¿Cual es la probabilidad de obtener una bolita roja,

dado que se escogio la primera caja?.

c) Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cual es la probabilidad de seleccionar

una mujer, sabiendo que el estudiante elegido pertenece a la primera fila de la

57


sala?

d) Calcular la probabilidad de que un equipo obtenga mas de dos puntos (en dos

partidos), sabiendo que el primero no lo perdio.

e) Seleccionando un estudiante del curso. ¿Cual es la probabilidad de que el/ella

use lentes, sabiendo que se selecciono una mujer?.

Es claro que al plantear esas interrogantes, se espera que los estudiantes NO sean

capaces de dar una respuesta inmediata. Sin embargo, es necesario aclarar que las

caracterısticas de dichas situaciones, corresponden a probabilidades condicionales

(el nuevo contenido a tratar), en donde existen dos sucesos en cuestion, uno de ellos

es el del cual se desea saber su probabilidad de ocurrencia, y el otro corresponde a

un suceso que condiciona, del cual se tiene certeza de que ha ocurrido. Es en este

momento donde el docente puede dar algunos formalismos, como la definicion o la

notacion de la probabilidad condicional.

Seguidamente, buscara mostrar a los estudiantes que las preguntas anteriores,

pueden ser reestructuradas, de tal forma que sea posible dar una nueva lectura y

lograr identificar que resolver dicha situacion es equivalente a desarrollar alguna

situacion resuelta mediante probabilidad clasica.

Concentrando la atencion en el siguiente ejemplo:

c) Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cual es la probabilidad de seleccionar

una mujer, sabiendo que el estudiante elegido pertenece a la primera fila de la

sala?.

Definiendo inmediatamente los siguientes sucesos:

58


M≡ El estudiante seleccionado es una mujer.

F≡ El estudiante seleccionado pertenece a la primera fila de la sala.

De esta manera, la probabilidad consultada correspondera a P (M/F ), como

hasta ahora no es posible desarrollar esa probabilidad, se deja pendiente para

mostrar a los estudiantes la siguiente caracterıstica del enunciado anterior.

En virtud de lo mencionado, al considerar el suceso condicionante como un evento

del que se tiene la informacion de que ha ocurrido; se sugiere proponer a los estu-

diantes una segunda lectura de la situacion, de la manera siguiente:

c’) Escogiendo un estudiante de la primera fila de la sala, ¿cual es la probabilidad

de que se seleccione una mujer?.

Esta segunda forma de enunciar el mismo problema, permitira que el estudiante

plantee la situacion con las herramientas que ya posee, es posible entonces definir

ahora:

W≡ Mujeres de la primera fila. (*)

F≡ Estudiante de la primera fila de la sala.

Por tanto la probabilidad solicitada, se desarrollara

P (M/F ) =#(W )

#(F )

Lo cual corresponde, como se ha dicho, a una situacion de probabilidad clasica.

Tomando ahora otro de los ejemplos:

59


e) Seleccionando un estudiante del curso ¿Cual es la probabilidad de que el/ella

use lentes, sabiendo que se selecciono una mujer?.

Definiendo inmediatamente los siguientes sucesos:

L≡ El estudiante seleccionado usa lentes.


La probabilidad consultada es P (L/M), pero nuevamente se busca una manera

de dar una segunda lectura al enunciado,

e’) Escogiendo una mujer dentro del curso, ¿cual es la probabilidad de que ella

use lentes?.

Bajo esta forma de enunciar el problema, se define ahora:

J≡ Mujeres que usan lentes. (**)

M≡ Mujeres dentro de la sala.

Por tanto la nueva probabilidad a calcular, correspondiente a una probabilidad

clasica, serıa:

P (L/M) =#(J)

#(M)

En virtud de los dos ejemplos planteados, se desea encontrar las caracterısticas

de los nuevos eventos (*) y (**), surgidos de los problemas c) y e), respectivamente.

La pregunta para los estudiantes es, ¿que caracterısticas poseen estos nuevos

eventos, de acuerdo a los sucesos originales de cada uno de esos problemas (en

60


forma separada)? o bien, ¿que relacion tiene el suceso W con los eventos M y

F, del problema c)? y ¿que relacion tiene el suceso J con los eventos L y M, del

experimento e)?

Comparando estos sucesos, de acuerdo a las preguntas planteadas anteriormente

Para el problema c), se toman los sucesos:


F≡ Estudiante de la primera fila de la sala.

W≡ Mujeres de la primera fila. (*)

Como se plantea, es necesario verificar cual es la relacion que presenta el

suceso W, con respecto a los otros dos. En este caso, el docente debera conducir

a los estudiantes para que reconozcan que este suceso W, es la interseccion de

los otros dos eventos en cuestion; ya que las mujeres de la primera fila, cumplen

con la caracterıstica de los estudiantes del conjunto M y al mismo tiempo con la

caracterıstica del suceso F.

Para el problema e), considerar los sucesos:

L≡ El estudiante seleccionado usa lentes.

M≡ Mujeres dentro de la sala.

J≡ Mujeres que usan lentes. (**)

Del mismo modo, este evento J, posee la particularidad de ser la interseccion de

61


los otros dos sucesos. Por lo que se afirma que J = M ∩ L

Finalmente, el docente debera conducir a los estudiantes a la obtencion de la

formula del calculo de la probabilidad condicional. Para ello en este caso, puede

tomar la forma en que se obtuvo la probabilidad de la situacion e).

P (L/M) =#(J)

#(M)=

#(M ∩ L)

#(M)

Por tanto, se concluye que la manera en que se calcula la probabilidad de un

evento A, sabiendo que ha ocurrido B, es decir P (A/B) sera:

P (A/B) =#(A ∩ B)

#(B)


Como actividad de cierre es aconsejable que se propongan situaciones tipo,

para que los estudiantes identifiquen las cardinalidades pedidas para calcular las

probabilidades condicionales.

Por tanto, se puede proponer el experimento aleatorio de elegir un estudiante

del curso, y preguntar, ¿cual es la probabilidad de que el seleccionado tenga

sueno, sabiendo que se escogio un hombre?. Induciendo por tanto el calculo de la

probabilidad identificando los sucesos involucrados, definiendo entonces:

S≡ El estudiante seleccionado tiene sueno.

H≡ El estudiante seleccionado es un hombre.

62


Por tanto la probabilidad a calcular serıa,

P (S/H) =Cantidad de Hombres que tienen sueno

Numero de Hombres en el curso=

#(S ∩ H)

#(H)

La resolucion de este problema, obviamente dependera de la cantidad de

estudiantes con dichas caracterısticas en el curso.

Como una aclaracion muy importante, y que resultarıa ideal para el cierre de

la actividad, se destaca el hecho de dar a conocer a los alumnos, la idea de que la

probabilidad condicional puede ser calculada sin la necesidad de encontrar la cardi-

nalidad de la interseccion de los sucesos y la cardinalidad del suceso condicionante.

Ya que con un paso algebraico se caracteriza la probabilidad condicional como sigue:

P(A/B) =#(A ∩ B)

#(B)·

#(Ω)

#(Ω)=

#(A∩B)#(Ω)

#(B)#(Ω)

=P (A ∩ B)

P (B)

Esto ultimo puede ser presentado con algun ejemplo en el que se conozcan las

probabilidades de la interseccion de los sucesos y la probabilidad de que ocurra

el suceso condicionante; sin necesidad, como se decıa anteriormente, de contar los

elementos de cada uno de los sucesos.


Para complementar las ideas planteadas, es posible proponer la resolucion de

situaciones como las que siguen:

63


Se tienen 10 cajas, que contienen bolitas rojas y negras; si en la primera caja

hay 6 rojas y 4 negras. Se selecciona una caja al azar y se escoge una bolita, ¿cual

es la probabilidad de que la bolita sea roja y provenga de la caja uno?

Leyendo detenidamente el ejemplo, se identifica que la pregunta planteada

requiere calcular la probabilidad de la interseccion de los eventos. Viendolo de la

siguiente forma, se definen los sucesos como sigue:

R≡ La bolita proviene de la caja Roja.

U≡ La bolita proviene de la caja Uno.

Considerando ahora la ultima formula propuesta,

P (R/U) =P (R ∩ U)

P (U)

De acuerdo a los datos del enunciado se reconoce que la probabilidad condi-

cional es conocida, ya que la probabilidad de obtener una bolita Roja sabiendo que

proviene de la caja Uno; es equivalente a preguntar: ¿cual es la probabilidad de

sacar una bolita Roja de la caja Uno?. Lo que numericamente es P (R/U) = 610

.

De forma similar, se deduce del enunciado, que la probabilidad de que la bolita

provenga de la caja Uno es como preguntar: ¿cual es la probabilidad de seleccionar

la caja uno (de las diez cajas presentes)?, lo que es igual a P (U) = 110

. Ahora bien;

como se dijo, la probabilidad consultada se refiere a la interseccion entre el suceso

R y el suceso U, o sea P (R ∩ U). Entonces la formula considerada anteriormente,

quedara de la siguiente forma

64


610

=P (R ∩ U)

110

⇒ 610

· 110

= P (R ∩ U) ⇒ 6100

= P (R ∩ U)

Esta ultima consideracion, es un anticipo de lo que posteriormente se convierte

en el llamado Teorema de Bayes, que permite calcular las probabilidades de las

causas de un evento observado.

65

ACTIVIDAD 9

APLICAR Y RESOLVER

Capıtulo Dedicado a la Resolucion de Problemas de la Teorıa de Probabilidades.


La ultima seccion, mas que una propuesta de actividad, pretende presentar

algunos tipos de situaciones que pueden ser resueltas, mediante los principios trata-

dos en las anteriores actividades. Son vistos algunos ejemplos con sus resoluciones,

que podrıan mostrarse a los estudiantes, para que ellos intenten resolverlos. O bien,

estos problemas podrıan ser tambien tratados en alguna evaluacion de la unidad.

En estas situaciones, es necesario aplicar los principios de conteo, las propiedades

de la probabilidad clasica y las caracterısticas de la probabilidad condicional, ya

sea de forma independiente o combinando propiedades. Necesitando abordar

los problemas con un analisis que requiere mayor profundidad. Se estudian por

tanto, experimentos aleatorios que pueden resultar interesantes para los estudiantes.


Propuestos quedan los siguientes problemas.

1) En una bolsa hay caramelos de 4 tipos diferentes. 150 pastillas son de menta,

66

ACTIVIDAD 9. APLICAR Y RESOLVER

60 de naranja, 45 con relleno y 100 son de anıs. Si un nino saca un caramelo

al azar.

a) ¿Cual es la probabilidad de que saque un dulce con relleno?

b) ¿Que probabilidad hay de que saque un dulce de menta o anıs?

c) ¿Que probabilidad hay de que saque un dulce que NO sea de naranja?

Para esta situacion, se requiere conocer los conceptos de probabilidad clasica, y

sus propiedades. Es necesario identificar la cardinalidad del espacio muestral y de

los eventos involucrados. Por tanto, de definen los siguientes conjuntos:

Ω ≡ Todos los dulces en la bolsa. ⇒ #(Ω) = 355.

M≡ Dulces de Menta. ⇒ #(M) = 150.

N≡ Pastillas de Naranja. ⇒ #(N) = 60.

R≡ Caramelos con Relleno. ⇒ #(R) = 45.

A≡ Dulces de Anıs. ⇒ #(A) = 100.

Respondiendo a las preguntas planteadas:

a) Se necesita calcular P (R), es necesario considerar entonces que P (R) =#(R)#(Ω)

.

P (R) =45

355=

9

71≈ 0.12

b) Se consulta sobre P (M ∪ A). En este caso, como la interseccion entre los

conjuntos no existe, se afirma que P (M ∪ A) = P (M) + P (A).

P (M ∪ A) = P (M) + P (A) =150

355+

100

355=

250

355=

50

71≈ 0.7

67


c) Para esta situacion, es posible basarse en la propiedad del complemento,

sabiendo que P (N c) = 1 − P (N) y reconociendo claramente que P (N) = 60355

,

entonces:

P (N c) = 1 −60

355=

295

355=

59

71≈ 0.83

De igual forma, se pudo haber buscado

P (N c) = P (M ∪ R ∪ A) = P (M) + P (R) + P (A)

Obteniendo,

P (N c) =150

355+

45

355+

60

355=

295

355≈ 0.83

2) Un numero entero entre 1 y 300 es escogido aleatoriamente. Calcular la pro-

babilidad de que sea divisible por 3 o 5. (De Oliveira, Pitombeira, Pinto y

Fernandez, 2006, p. 132)

Esta situacion puede ser resuelta con las propiedades de la probabilidad clasica.

Sean los conjuntos:

Ω ≡ Numeros enteros entre 1 y 300.

A≡ Numeros entre 1 y 300 divisibles por 3.

B≡ Numeros entre 1 y 300 divisibles por 5.

Hay que calcular P (A ∪ B). Es facil identificar que los numeros divisibles por

3, entre 1 y 300, son 100. A saber; 3, 6, 9, ..., 300, cantidad que se obtiene

68


de 3003

. En el caso de los numeros divisibles por 5, se calculan con 3005

, los que

seran 60. Sin embargo, es necesario aclarar que entre estas cantidades hay numeros

que se repiten. Por ejemplo, el numero 15 esta siendo contado como un multiplo

de 3 y de 5, ası como el 30 y el 45, entre otros. Dichos numeros son aquellos

multiplos de 3 y 5 al mismo tiempo. Es decir, estos corresponden a los elemen-

tos del conjunto A∩B. La cantidad de dichos numeros se calculara determinando 30015

.

Considerando ahora,

#(A) = 100

#(B) = 60

#(A ∩ B) = 20

Se sabe que:

P (A) = 100300

= 13,

P (B) = 60300

= 15,

P (A ∩ B) = 20300

= 115

.

De esta forma, para calcular la probabilidad deseada, se ocupa la propiedad,

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

P (A ∪ B) =1

3+

1

5−

1

15=

7

15≈ 0.47

3) Un torneo es disputado por los equipos A, B, C y D. Es 3 veces mas probable

que gane A de que gane B, 2 veces mas probable que gane B de que gane

C y tiene 3 veces mas probabilidades de ganar C que D. ¿Cuales son las

69


probabilidades de ganar de cada uno de los equipos? (De Oliveira et al., 2006,

p.132)

El espacio muestral se conforma de cuatro posibles resultados del experimento.

Se indica,

A ≡ El equipo ganador del torneo es A,

B ≡ El equipo ganador del torneo es B,

C ≡ El equipo ganador del torneo es C,

D ≡ El equipo ganador del torneo es D.

Sea tambien, P (D) = p. Teniendo las siguientes relaciones,

P (C) = 3 · P (D) = 3p, P (B) = 2 · P (C) = 6p,

P (A) = 3 · P (B) = 18p.

Como la suma de las probabilidades debe ser igual a 1, es decir:

P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1,

18p + 6p + 3p + p = 1.

O sea 28p = 1, de done p = 128

. Por tanto

P (A) =18

28, P (B) =

6

28, P (C) =

3

28, P (D) =

1

28.

4) Se lanzan 3 dados simultaneamente, ¿cual es la probabilidad de que la suma

de los numeros obtenidos sea mayor que 5?

70


Considerando los trıos (a, b, c); donde a representa el valor obtenido en el

primer dado, b es el numero del segundo dado y c el valor que aparece en el tercer

dado. Buscando ahora la cantidad de trıos posibles en este experimento (Espacio

Muestral). Como se ha visto con el principio de la multiplicacion, el numero de

trıos es posible determinarlos con, 6 × 6 × 6 = 216.

Se definira,

A ≡ La suma de los tres numeros es mayor que 5.

La forma mas sencilla de encontrar la probabilidad, es mediante la propiedad

del complemento. Contando de esta forma, los trıos en que la suma de los numeros

es menor o igual que 5, estos son: (1, 1, 3); (1, 3, 1); (3, 1, 1); (2, 2, 1); (2, 1, 2) y

(1, 2, 2). Finalmente,

P (A) = 1 − P (Ac) = 1 −6

36=

30

36=

5

6

5) La seleccion chilena de futbol se encuentra participando en un torneo inter-

nacional de 16 equipos. Estos deben separarse en grupos de a 4. Los equipos

cabeza de serie son; Brasil en el grupo 1, Italia en el grupo 2, Alemania en

el grupo 3 y Espana en el grupo 4. Los hinchas chilenos tienen la certeza

que el unico equipo, facilmente vencible por Chile, es la seleccion de Vanuatu

(Oceanıa). El hecho de que Chile gane un partido en primera fase, le permite

clasificar a la segunda ronda. Por tanto ¿cual es la probabilidad de que Chile

y la seleccion de Vanuatu queden en un mismo grupo?

71


Considerando el Espacio Muestral, como el conjunto de todas las permutaciones

de los 12 equipos que deben ir a sorteo en los grupos; es decir el numero de casos

posibles sera 12!

El siguiente esquema es de utilidad para interpretar la situacion a estudiar.

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4

A * * * B * * * C * * * D * * *

El esquema planteado representa los 16 equipos, en donde las letras A, B, C y D

simbolizan los equipos cabeza de serie. Se cuentan entonces, las posibles permuta-

ciones entre Chile y Vanuatu en el caso de que pertenezcan al grupo 1; es posible

suponer que Chile puede ser colocado en 3 lugares, quedando para Vanuatu 2 espa-

cios, y los restantes equipos podrıan ser dispuestos de 10! formas diferentes. Por lo

que el numero de permutaciones en que Chile y Vanuatu pertenecen al grupo 1 sera

igual a,

3 × 2 × 10!.

Ahora es importante considerar que esta forma de analizar debe ser multiplicada

por 4, ya que estas mismas posibilidades se daran en el caso de que Chile y Vanuatu

queden en los grupos 2, 3 o 4. Finalmente, la probabilidad de que estos equipos

queden en el mismo grupo sera,

4 · 3 · 2 · 10!

12!=

2

11≈ 0.18.

6) Juan y cuatro de sus amigos compran, cada uno de ellos, un helado de una

caja que contiene 100 unidades, de los cuales 1 viene premiado con un vale

72


otro. ¿Cual es la probabilidad de que Juan obtenga el helado premiado?

Este ejemplo es de utilidad para plantear diversas situaciones y, al mismo

tiempo clarificar el concepto de Espacio Muestral. Con una primera lectura, algunos

estudiantes pueden suponer que al existir 5 amigos, la probabilidad de que Juan

obtenga el helado premiado es 15. Sin embargo, es importante clarificar que el

espacio muestral estara compuesto por la cantidad de helados; el cual puede sufrir

modificaciones si se considera el orden en el que Juan compra su helado, es decir, si

es el primero o no en comprar.

a) Si Juan es el primero en comprar el helado, ¿Cual es la probabilidad de que

Juan obtenga el helado con premio?

Para este caso, la probabilidad es directa, ya que de 100 helados hay solo 1

premiado, por tanto P (J) = 1100

.

b) Si Juan es el segundo en comprar el helado, y se sabe que el amigo que

compro antes NO obtuvo el helado premiado ¿Cual es la probabilidad de que

Juan saque el helado premiado?

En esta nueva situacion, la probabilidad se vuelve condicionada, y se puede

verificar son facilidad, que en esta nueva situacion quedaran 99 helados en la caja

y obviamente estara el helado premiado, por lo que P (J) = 199

.

c) Si Juan es el segundo en comprar el helado, y del helado de Mario, quien

compra en primer lugar, No se sabe si es el premiado. ¿Cual es la probabilidad

de que Juan gane el vale otro?

73


Ahora la situacion debe ser analizada mediante el principio de la multiplicacion,

para identificar que existen 100× 99 maneras en que Mario y Juan pueden comprar

sus helados. Y con un poco de destreza, se identificara que si se quiere que Juan

obtenga el helado con vale otro (casos favorables), debe considerarse que este

helado premiado que obtiene Juan, formara parejas con el helado NO premiado

de su amigo (primer comprador). Se dice entonces, que los helados NO premiados

que puede sacar Mario son 99. Por tanto las parejas que hacen que Juan obtenga

el helado con vale otro, y su amigo haya comprado un helado sin premio, son

exactamente 99. La probabilidad entonces se traduce en,

P (J) =99

100 × 99=

1

100

Con un poco de paciencia, gracias al principio de la multiplicacion, se mostrara

que no importando el orden en que se compran los helados; Juan siempre tendra la

misma probabilidad de obtener el vale otro (si es que no hay informacion sobre sus

amigos que compren primero), como se compara en el caso a) y c).

7) De 5000 jovenes Temuquenses, 1500 de ellos juegan futbol, 1100 practican

basquetbol y 550 se dedican al voleibol; ademas se conoce que un 20% del

total practican futbol y basquetbol al mismo tiempo; ası mismo 10% de todos

los jovenes, desarrollan tanto el futbol como el voleibol. Y solamente un 1%

les gusta jugar basquetbol y voleibol a la vez. (No hay jovenes que practiquen

los tres deportes conjuntamente). Si se escoge un joven al azar;

a) ¿Cual sera la probabilidad de que el escogido practique basquetbol si ya es

sabido que juega voleibol?

74


b) Decidir cual de las dos siguientes probabilidades es mayor. 1) Que el joven

juegue futbol sabiendo que practica basquetbol, o bien 2) que el joven practique

futbol, sabiendo que le gusta el voleibol.

Estos problemas planteados, corresponden a situaciones de probabilidad condi-

cional. Se resuelve entonces cada uno de ellos.

Para ambas situaciones, se definen los eventos,

F ≡ El seleccionado practica Futbol,

B ≡ El seleccionado juega Basquetbol,

V ≡ El seleccionado juega Voleibol.

En el caso de a), hay que calcular P (B/V ), para lo que es necesario encontrar

#(B ∩ V ) y #(V ). Lo que se hace entonces es,

P (B/V ) =#(B ∩ V )

#(V )=

1% · 5000

550=

50

550=

1

11

Para la pregunta b), se requiere P (F/B) y P (F/V ). De los datos se asegura que

P (F/B) =#(F ∩ B)

#(B)=

20% · 5000

1100=

1000

1100=

10

11

P (F/V ) =#(F ∩ V )

#(V )=

10% · 5000

550=

500

550=

10

11

En conclusion, ambas opciones poseen la misma probabilidad.

75


8) En una alcancıa hay 100 monedas de $5, 50 monedas de $10, 80 monedas de

$50, 20 monedas de $100 y 35 monedas de $500. Si se extrae una moneda al

azar, responder:

a) ¿Que probabilidad hay de que la moneda resulte ser de $500, si se sabe que

la moneda extraıda tiene un valor mayor o igual que $50?

b) ¿Cual es la probabilidad de que la moneda tenga un valor menor que $100,

sabiendo que la moneda obtenida NO es de $10?

En concordancia a ambas interrogantes, se definen los siguientes sucesos,

A ≡ La moneda obtenida es de $500,

B ≡ La moneda obtenida tiene un valor mayor o igual que $50,

C ≡ La moneda tiene un valor menor que $100,

D ≡ La moneda obtenida NO es de $10.

Para responder a la pregunta planteada en a), se necesita calcular P (A/B),

encontrando #(A ∩ B), lo que equivale, exclusivamente a las monedas de $500,

estas son 35. Del mismo modo, #(B) corresponde a sumar 80 + 20 + 35 (monedas

de $50, $100 y $500), son entonces 135.

P (A/B) =#(A ∩ B)

#(B)=

35

135=

7

27≈ 0.26

Lo planteado en b), requiere calcular P (C/D). Buscando #(C ∩ D), se deben

contar las monedas de $5 y $50, estas suman 180. Para #(D), se cuentan todas las

monedas que no sean de $10, las que son 235 monedas.

76


P (C/D) =#(C ∩ D)

#(D)=

180

235=

36

47≈ 0.76

9) Se sabe que el 80% de los penales cobrados a favor de Brasil son lanzados por

jugadores del Flamengo. La probabilidad de que un penal sea convertido es

de 40% si el ejecutante es del Flamengo y de un 70% en caso contrario. Un

penal es cobrado a favor de Brasil. ¿Cual es la probabilidad de que el penal

sea ejecutado por un jugador de Flamengo y sea convertido?. (De Oliveira et

al., 2006, p.144)

La probabilidad consultada es:

P (“El pateador es del Flamengo”︸︷︷︸

F

y “El penal es convertido”︸︷︷︸

C

) = P (F ∩ C)

De acuerdo a la formula de probabilidad condicional, se ha visto que es posible

expresar P (F ∩ C) = P (F ) · P (C/F ). Del enunciado, P (F ) = 0.8 y P (C/F ) = 0.4.

Entonces,

P (F ∩ C) = 0.8 · 0.4 = 0.32

Se puede notar que era posible haber utilizado P (F ∩ C) = P (F ) · P (F/C).

Pero la probabilidad de que el pateador sea del Flamengo, sabiendo que el penal es

convertido, o sea P (F/C) NO era conocida de acuerdo a los datos.

77



Como fue mencionado al explicar la actividad, se espera que estos ejercicios

sirvan de referencia para desarrollar el trabajo de los estudiante, o la evaluacion

de estos mismos. Se considera que situaciones de este tipo pueden ser un buen

indicador del aprendizaje, ya que como ha sido visto, se requiere la posesion de las

habilidades y los contenidos en profundidad para su resolucion. Una forma en que

puede completarse la actividad, es planteando situaciones similares para que los

estudiantes se atrevan a proponer formas de resolucion, haciendo que el curso vaya

interactuando sobre las formas de abordar ejemplos semejantes. Inclusive, es posible

que se pida a los estudiantes exponer la resolucion de situaciones de este tipo; para

que de manera grupal, sean capaces de mostrar a sus companeros distintas formas

de abordar los problemas.


Es importante que el docente se atreva a proponer situaciones similares. En

la literatura tradicional, relacionada con la materia de probabilidades, no es comun

encontrar ejemplos como estos. Pero queda en la creatividad del docente, el trabajar

por un cambio y promover el intercambio de actividades como las presentadas en

este apartado.

78

CONCLUSIONES

Debemos reconocer que las actividades propuestas por el autor no seran las

que mejoren los aprendizajes de todos los alumnos (lo que tampoco es su intencion).

Sin embargo, es bastante probable que la inclusion de situaciones de este tipo permita

una mejor recepcion de los contenidos por parte de los estudiantes.

Como hemos dicho, es importante que para la ensenanza de la probabilidad sean

manejados la mayorıa de los conceptos y propiedades de la teorıa de conjuntos.

Ası como tambien se desea el conocimiento de los metodos de conteo aportados por

la teorıa combinatoria; particularmente el principio de la multiplicacion, que como

vimos se convierte en una potente herramienta para determinar las cardinalidades

de los Espacios Muestrales y de algunos Sucesos. Las actividades desarrolladas, que

fortalecen lo mencionado antes, permitiran a los estudiantes poseer una base im-

portante para el desarrollo de los futuros contenidos de probabilidades. Al mismo

tiempo, estas propuestas serviran de base para el entendimiento posterior de los

principios basicos de la estadıstica descriptiva e inferencial.

Esperamos con este trabajo poder motivar la creacion de nuevas propuestas para

la ensenanza de los contenidos de la unidad de probabilidades. Y resaltar la necesi-

dad de cambio y del intercambio respecto del tipo de actividades y ejemplos en la

ensenanza de esta unidad, mostrando situaciones que intentan dejar de lado el tıpico

lanzamiento del dado y la moneda.

79

CONCLUSIONES

Finalmente consideraremos imperantemente necesario el desarrollo de una nueva

academia, y un impulso que surja en primera instancia de los futuros educadores,

para de esta forma, poder renovar las propuestas de ensenanza de esta ciencia, que

cada vez mas y con mayor fuerza va tomando posicion en el desarrollo cientıfico,

tecnologico y practico de nuestra sociedad.

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