Ejercicios propuestos del cuarto laboratorio

1. Crear una rutina en MATLAB para determinar si una matriz tiene diagonal estrictamente dominante. function flag = dominante (A) % flag : 1 si tiene diagonal estrictamente dominante y 0 en caso contrario

Solucin:

function flag = dominante (A) %comprobando que la matriz a sea de n x n.[m, n] = size(A);if m ~= n%APARECE ERROR si no se cumpleelse%COMPROBANDO SI A ES MEDDesddom=all(2*abs(diag(A))>sum(abs(A),2)); %segundo 2 es la dimensinif esddom==1 flag =1 ;returnelseflag =0;end2. Crear una rutina en MATLAB para determinar si una matriz es simtrica, definida positiva y tridiagonal. function flag = verifica (A) % flag : 1 si A es simtrica, definida positiva y tridiagonal y 0 en caso contrarioSolucin:

function flag = verifica (A) % probando si es simetricaif A=AT=diag(diag(A))+diag(diag(A,-1),-1)+ diag(diag(A,1),1);% probando si es tridiagonalIf all(all(T-A))valores=eig(A);% probando si es definida positivaminimo=min(valores);if minimo>0flag =1;elseflag =0;endelseflag =0;end

Solucin:

Calculo del radio espectral:

b) Con a=0.60, muestre la tercera iteracin de Gauss-Seidel partiendo de , :

, , ,

Realice 03 iteraciones del mtodo de la potencia usando el mtodo de la potencia inversa, a partir de [1 1 1] T.

Solucin:

K=0

K=1

K=2

5. Teniendo en cuenta que el mtodo de Gauss Seidel es convergente cuando la matriz A es simtrica y definida positiva encuentre para que valores de a es convergente la siguiente matriz:

Solucin:

Notamos que la matriz A es simtrica: A=A T.

Para que la matriz se definida positiva:

a > 1

a > 2 (de acuerdo al anterior)

a > 3 (de acuerdo al anterior)

De esta ltima inecuacin y de las anteriores :

Rpt: a >9

Solucin:

Calculando el vector propio:

; ; El vector propio es:

7. Sea el sistema: , si es el ltimo digito de su cdigo entonces el radio espectral de Jacob ser:

Las instrucciones en MATLAB sern:Solucin:

Acu= [];for =0:9A = [10 (+5)/2 ; ( +4)/2 20 ];D=diag(diag(A));L=D-tril(A);U=D-triu(A);Tj=inv(D)*(L+U);Rho=max(abs(eig(Tj)));Acu=[Acu; Rho];enddisp(Acu) Radio Espectral de Jacobi :0 0.15811 0.19362 0.22913 0.26464 0.30005 0.33546 0.37087 0.40628 0.44169 0.4770

a. Diga para que valores de a, la matriz admite el valor propio cero. b. Para ese valor de a, determine los restantes valores propios y los correspondientes vectores propios

Solucin:a) para el valor propio cerodet( A-) == -2a + 2 - + (a-).(-3) = 0Para =0 a=1b) reemplazando a=1 a la matriz A:A= , Hallando los valores propios restantes:det( A-) == - + (1-). (-3) = 0=0 y =2 (valor propio)Hallando vector propio para =2 Del sistema: ((

9. Supngase una matriz invertible de segundo orden y con elementos diagonales no nulos

Hallar las matrices de iteracin para los mtodos de Jacobi y Gauss Seidel e indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. Ambos sistemas convergen cuando b. La convergencia del mtodo de Gauss Seidel es ms rpida que Jacobi

Solucin:

Siendo:

Por jacobi: Det( - I ) = 0

= 0 ;

Para: (converge)

Por Gauss Seidel:

Det( - I ) = 0

=0 ;

De acuerdo a lo desarrollado la primera proposicin es falsa y el mtodo de jacobi es ms rpido que el de Gauss Seidel.

10. Considerar el sistema lineal

Puede aplicarse Jacobi o Gauss-Seidel para resolver este sistema?. Encontrar un sistema equivalente al que si se le puede aplicar.Solucin:Del sistema:Probar que [A] tenga un diagonal estrictamente dominante

La matriz A no tiene un diagonal estrictamente dominante.Y para resolver debe cumplir esta condicin:Para eso cambiamos a un sistema equivalente.

Realizando este cambio se afirma que tiene una diagonal estrictamente dominate y se puede aplicar a este sistema el mtodo de Jacobi o Gauss-Seidel.

11. Dada la matriz:

i. Probar que los mtodos de Jacobi y de Gauss-Seidel convergen o divergen exactamente para los mismos valores de b y c. ii. En caso de converger. Cul lo hace ms rpidamente?

Solucin:Convergencia por jacobi:

Det( - I ) = 0

;

Por Gauss Seidel:

Det( - I ) = 0

;

De acuerdo a lo desarrollado el mtodo de jacobi es ms rpido que el de Gauss Seidel, ya que se utiliza menos clculos.La convergencia en ambos mtodos depende de b y c.