Proxecto Didáctico DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS...1 grupo de Matemáticas 1º ESO 5 h Total 131 h...

IES FRANCISCO AGUIAR PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA 2020-

2021

PROXECTO DIDÁCTICO DEPARTAMENTO DE

MATEMÁTICAS

IES Francisco Aguiar Betanzos

CURSO 2020-2021

IES FRANCISCO AGUIAR PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA 2020-2021

2

ÍNDICE Prema en calquera título para ir directo á páxina correspondente.

(pode volver ao Índice abrindo a cabeceira en calquera páxina e premendo sobre o título)

INTRODUCCIÓN..........................................................................................................................7

ESO.................................................................................................................................................8

Obxectivos xerais...............................................................................................................8

Contidos transversais.......................................................................................................10

1º ESO...........................................................................................................................................10

Obxectivos.......................................................................................................................10

Contribución ao desenvolvemento das competencias clave.............................................11

Contidos, criterios de avaliación e estándares de aprendizaxe avaliables.........................14

Contidos por bloques .......................................................................................................32

Temporalización ..............................................................................................................34

Metodoloxía, orientacións didácticas...............................................................................34

Recursos didácticos..........................................................................................................36

2ºESO...........................................................................................................................................38

Obxectivos.......................................................................................................................38


Organización e secuenciación de contidos, criterios de avaliación e estándares de

aprendizaxe avaliables ....................................................................................................42


Organización e temporalización dos contidos .................................................................45

Desenvolvemento por unidades.......................................................................................46

Metodoloxía, orientacións didácticas...............................................................................76

Recursos didácticos..........................................................................................................77

Proxecto E-Dixgal e Abalar..............................................................................................78

Atención a diversidade 1º e 2º ESO .................................................................................78

3ºESO ...........................................................................................................................................80

Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas.......................................................................80

Obxectivos.......................................................................................................................80


3



aprendizaxe avaliables ....................................................................................................82


Temporalización..............................................................................................................85

Desenvolvemento por unidades.......................................................................................85

Metodoloxía...................................................................................................................138

Recursos didácticos........................................................................................................138

3ºESO Matemáticas orientadas ás ensinanzas aplicadas............................................................139

Obxectivos.....................................................................................................................139

Contribución ao desenvolvemento das competencias clave...........................................139


aprendizaxe avaliables ..................................................................................................141

Contidos por bloques ...... .............................................................................................141

Temporalización............................................................................................................143

Desenvolvemento por unidades.....................................................................................144

Metodoloxía...................................................................................................................186


Atención a diversidade...................................................................................................186

Sección bilingue.............................................................................................................187

4ºESO-Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas.........................................................188

Obxectivos.....................................................................................................................188







Metodoloxía...................................................................................................................229


4ºESO-Matemáticas orientadas ás ensinanzas aplicadas.............................................................230


4

Obxectivos.....................................................................................................................230







Metodoloxía...................................................................................................................276


Atención a diversidade...................................................................................................277

Sección bilingue.............................................................................................................277

1º BACHARELATO ..................................................................................................................278

Obxectivos xerais .......................................................................................................................278

1ºBACH-Matemáticas aplicadas ás CCSS I................................................................................278

Obxectivos.....................................................................................................................278


Contidos e temporalización............................................................................................281


Metodoloxía...................................................................................................................321


1ºBACH-Matemáticas I..............................................................................................................324

Obxectivos.....................................................................................................................324







Metodoloxía...................................................................................................................383



5

2º BACHARELATO ..................................................................................................................385

2ºBACH Matemáticas aplicadas ás CCSS II...............................................................................385

Obxectivos.....................................................................................................................385


Contidos por bloques ...... ..............................................................................................387



Metodoloxía...................................................................................................................425


2ºBACH-Matemáticas II.............................................................................................................428

Obxectivos.....................................................................................................................428







Metodoloxía...................................................................................................................470


2º BACH- Métodos estatísticos e numéricos...............................................................................472

Contidos e temporalización ...... ....................................................................................472

Contidos por trimestres..................................................................................................472

Criterios de avaliación ..................................................................................................474

Metodoloxía para Bacharelato ...................................................................................................474

Criterios de avaliación, cualificación e promoción.....................................................................476

Criterios de Avaliación, cualificación e recuperación na ESO .......................................477

Criterios de Avaliación, cualificación e recuperación en Bacharelato ...........................478

Convocatorias extraordinarias.......................................................................................480

Medidas de atención a diversidade..............................................................................................481

Orientacións para redactar exames e traballos ............................................................................482


6

Uso da calculadora .....................................................................................................................482

Plan TICS....................................................................................................................................482

Plan lector...................................................................................................................................483

Contribución ao Plan de convivencia..........................................................................................484

Actividades complementarias e extraescolares...........................................................................484

Mecanismos de revisión, avaliación e modificación da programación didáctica........................484

OUTROS ESCENARIOS POSIBLES QUE IMPIDAN A PRESENCIALIDADE ...................485

Clases semipresenciais ...............................................................................................................485

Clases non presenciais ................................................................................................................485

Anexo I: Rúbrica de avaliación da práctica docente


7

INTRODUCIÓN

A continuación, desenvólvese o Proxecto Didáctico para o curso 2020-2021 do Departamento de

Matemáticas do IES Francisco Aguiar de Betanzos.

Composición do Departamento

Profesores e profesoras con destino definitivo no centro, por orde alfabética:

• Diego Félix Armesto Ramón

• María del Mar Lorenzo González • Dominga Inmaculada Pérez Amor

• Natalia María Pou de los Mozos (Xefa de Departamento) • Ana Ruiz Soto

Profesores e profesoras sen destino definitivo no centro, por orde alfabética:

• Lourdes Calvo Seoane

• Susana Pérez Creo

• Beatriz Macho Eiras

• María del Pilar Vázquez Febrero Neste curso tamén impartiran clases de Matemáticas como materia afín das súas materias do departamento do Ciclo Superior de Comercio.

• Rosalía Martínez Souto

Cursos e grupos:

- Catro grupos de 1º de ESO (20h).

- Cinco grupos de 2º de ESO (25h).

- Seis grupos de 3º de ESO: un deles é un desdobre que pertence á Sección bilingüe e outro é un

grupo de Matemáticas orientadas as ensinanzas aplicadas (24h). - Cinco grupos de 4º de ESO: un deles é un desdobre que pertence á Sección bilingüe e outro é un

grupo de Matemáticas orientadas as ensinanzas aplicadas (20h) - Cinco grupos de 1º de BACH: tres de Matemáticas I e tres de Matemáticas

Aplicadas ás CCSS I (20h). - Cinco grupos de 2º de BACH: dous de Matemáticas II e tres de Matemáticas Aplicadas ás CCSS

II (20h). - Un grupo de Métodos Estatísticos e Numéricos de 2º de BACH. (2h)

Libros de texto

- Para 1º de ESO: Proxecto E-Dixgal (Castelán). - Para 2º de ESO: Matemáticas 2 Ed. Vicens Vives 2016 (Castelán). - Para 3º de ESO Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas: Matemáticas orientadas ás

ensinanzas académicas 3 Ed. Anaya 2015 (Castelán) //(Inglés para a Sección bilingüe) - Para 3º de ESO Matemáticas orientadas ás ensinanzas aplicadas: Matemáticas orientadas ás

ensinanzas aplicadas 3 Ed. Anaya 2015 (Castelán) - Para 4º de ESO Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas: Matemáticas orientadas ás

ensinanzas académicas 4 Ed. Anaya 2016 (Castelán) )//(Inglés para a Sección bilingüe) - Para 4º de ESO Matemáticas orientadas ás ensinanzas aplicadas: Matemáticas orientadas ás

ensinanzas aplicadas 4 Ed. Anaya 2016 (Castelán)

- Para 1º de BACH, Matemáticas I: Matemáticas I 1ºBach Ed. Anaya 2015 (Galego) - Para 1º de BACH, Matemáticas CCSS I: Matemáticas CCSS I 1ºBach Ed. Anaya 2015 (Galego) - Para 2º de BACH non se recomenda o uso dun libro de texto. - Para Métodos Estatísticos e Numéricos: sen libro de texto.


8

Reparto dos grupos entre os profesores do Departamento

Profesor/a Grupos Horas

Diego Armesto Ramón

(Titoría E3C)

2 grupos de Matemáticas Académicas 3º ESO

2 grupos de M. aplicadas ás CCSS I (1º Bac)

1 grupo de Métodos Estatísticos e Numéricos (2º Bac)

18 h

Natalia Pou de los Mozos

(Xefa de departamento)

2 grupos de Matemáticas Académicas 4ºESO

2 grupos de Matemáticas II (2º Bac)

16 h

Mar Lorenzo González

(Titoría B2C)

1 grupo de Matemáticas 1º ESO

1 grupo de Matemáticas I (1º Bac)

1 grupo de M. Aplicadas ás CCSS I (1º Bac)

1 grupo de M. Aplicadas ás CCSS II (2º Bac)

17 h

Dominga Pérez Amor

(Secretaria)

2 grupos de M. Aplicadas ás CCSS II(2º Bac)

8 h

Ana Ruiz Soto

(Xefa de Estudos)

1 grupo de M. Académicas 4º ESO

(Sección bilingüe)

4 h

Pilar Vázquez Febrero

(Titoría E4C)

2 grupos de Matemáticas 1º ESO

1 grupo de Matemáticas 4º ESO

1 grupo de Matemáticas I (1º Bac)

18 h

Lourdes Calvo Seoane 3 grupos de Matemáticas 2ºESO

1 grupo de Matemáticas Académicas 3ºESO

(Sección bilingüe)

19 h

Susana Pérez Creo

(Titoría E2C)

2 grupos de Matemáticas 2º ESO

1 grupo de Matemáticas Aplicadas 3ºESO

14 h

Beatriz Macho Eiras

(Titoría E1B)

2 grupos de Matemáticas Académicas 3º ESO

1 grupo de Matemáticas Aplicadas 4º ESO

12 h

Total 126 h

Outros departamentos

Profesor/a Grupos Horas

Rosalía Martínez Souto

(Departamento del Ciclo)

1 grupo de Matemáticas 1º ESO 5 h

Total 131 h


9

EDUCACIÓN SECUNDARIA OBRIGATORIA

1. Obxectivos xerais da Etapa

A Educación Secundaria Obrigatoria contribuirá a desenvolver nos alumnos e as alumnas as

capacidades que lles permitan:

a) Asumir responsablemente os seus deberes; coñecer e exercer os seus dereitos no respecto aos

demais; practicar a tolerancia, a cooperación e a solidariedade entre as persoas e grupos;

exercitarse no diálogo afianzando os dereitos humanos e a igualdade de trato e de oportunidades

entre mulleres e homes, como valores comúns dunha sociedade plural, e prepararse para o

exercicio da cidadanía democrática.

b) Desenvolver e consolidar hábitos de disciplina, estudo e traballo individual e en equipo como

condición necesaria para unha realización eficaz das tarefas da aprendizaxe e como medio de

desenvolvemento persoal.

c) Valorar e respectar a diferenza de sexos e a igualdade de dereitos e oportunidades entre eles.

Rexeitar a discriminación das persoas por razón de sexo ou por calquera outra condición ou

circunstancia persoal ou social. Rexeitar os estereotipos que supoñan discriminación entre

homes e mulleres, así como calquera manifestación de violencia contra a muller.

d) Fortalecer as súas capacidades afectivas en todos os ámbitos da personalidade e nas súas

relacións cos demais, así como rexeitar a violencia, os prexuízos de calquera tipo, os

comportamentos sexistas e resolver pacificamente os conflitos.

e) Desenvolver destrezas básicas na utilización das fontes de información para, con sentido crítico,

adquirir novos coñecementos. Adquirir unha preparación básica no campo das tecnoloxías,

especialmente as da información e a comunicación.

f ) Concibir o coñecemento científico como un saber integrado, que se estrutura en distintas

disciplinas, así como coñecer e aplicar os métodos para identificar os problemas nos diversos

campos do coñecemento e da experiencia.

g) Desenvolver o espírito emprendedor e a confianza en si mesmo, a participación, o sentido

crítico, a iniciativa persoal e a capacidade para aprender a aprender, planificar, tomar decisións

e asumir responsabilidades.

h) Comprender e expresar con corrección, oralmente e por escrito, na lingua galega e na lingua

castelá, textos e mensaxes complexas, e iniciarse no coñecemento, na lectura e no estudo da

literatura.

i ) Comprender e expresarse nunha ou máis linguas estranxeiras de maneira apropiada.

l ) Coñecer, valorar e respectar os aspectos básicos da cultura e da historia propias e das outras

persoas, así como o patrimonio artístico e cultural, coñecer mulleres e homes que realizaron

achegas importantes á cultura e sociedade galega ou a outras culturas do mundo.

m) Coñecer e aceptar o funcionamento do propio corpo e o dos outros, respectar as diferenzas,

afianzar os hábitos de coidado e saúde corporais e incorporar a educación física e a práctica do

deporte para favorecer o desenvolvemento persoal e social. Coñecer e valorar a dimensión

humana da sexualidade en toda a súa diversidade. Valorar criticamente os hábitos sociais

relacionados coa saúde, o consumo, o coidado dos seres vivos e o medio ambiente, contribuíndo

á súa conservación e mellora.

n) Apreciar a creación artística e comprender a linguaxe das distintas manifestacións artísticas,

utilizando diversos medios de expresión e representación.

ñ) Coñecer e valorar os aspectos básicos do patrimonio lingüístico, cultural, histórico e artístico

de Galicia, participar na súa conservación e mellora e respectar a diversidade lingüística e

cultural como dereito dos pobos e das persoas, desenvolvendo actitudes de interese e respecto

cara o exercicio deste dereito.


10

o) Coñecer e valorar a importancia do uso do noso idioma como elemento fundamental para o

mantemento da nosa identidade e como medio de relación interpersoal e expresión de riqueza

cultural nun contexto plurilingüe, que nos comunica con outras linguas, en especial coas

pertencentes á comunidade luxófona.

2. Contidos transversais.

Os contidos transversais abarcan os campos seguintes: educación moral e cívica, educación para a

paz e a convivencia, educación ambiental, educación para a igualdade de oportunidade entre os

sexos, educación para a saúde e educación vial. Todos eles son tratados o longo da etapa utilizando o bosquexo de problemas puntuais en cada

tema, como se pode comprobar no libro de texto elixido. Poremos outros exemplos. No cálculo de

distancias e na estimación (educación vial), na flexibilidade para modificar o punto de vista,

admitir varios camiños na solución dun problema, a perseveranza na busca de solucións (educación

para a paz e a convivencia), na formación de grupos mixtos fomentando a participación por

quendas (educación para a igualdade de oportunidades entre os sexos), a medida do tempo, o

estudio do recibo da luz (educación do consumidor).

1º ESO

Obxectivos de 1º ESO

A área de Matemáticas de 1.º ESO contribuirá a desenvolver nos alumnos e alumnas as capacidades

que lles permitan:

- Incorporar a terminoloxía matemática á linguaxe habitual co fin de mellorar o rigor e a precisión

na comunicación.

- Identificar e interpretar os elementos matemáticos presentes na información que chega do

contorno (medios de comunicación, publicidade...), analizando criticamente o papel que

desempeñan.

- Incorporar os números negativos ao campo numérico coñecido, realizar operacións básicas con

números fraccionarios e afondar no coñecemento das operacións con números decimais.

- Iniciar o estudo das relacións de divisibilidade e de proporcionalidade, incorporando os recursos

que ofrecen á resolución de problemas aritméticos.

- Utilizar con soltura o Sistema Métrico Decimal (lonxitude, peso, capacidade e superficie).

- Iniciar o alumnado na utilización de formas de pensamento lóxico na resolución de problemas.

- Formular conxecturas e comprobalas na realización de pequenas investigacións.

- Utilizar estratexias de elaboración persoal para a análise de situacións concretas e a resolución

de problemas.

- Organizar e relacionar informacións diversas de cara á consecución dun obxectivo ou á

resolución dun problema, xa sexa do ámbito das matemáticas ou da vida cotiá.

- Clasificar aqueles aspectos da realidade que permitan analizala e interpretala, utilizando sinxelas

técnicas de recollida, xestión e representación de datos.

- Recoñecer a realidade como diversa e susceptible de ser interpretada desde distintos puntos de

vista e analizada segundo diversos criterios e graos de profundidade.

- Identificar as formas e as figuras planas, analizando as súas propiedades e as súas relacións

xeométricas.

- Utilizar métodos de experimentación manipulativa e gráfica como medio de investigación en

xeometría.


11

- Utilizar os recursos tecnolóxicos con sentido crítico, como axuda na aprendizaxe e nas

aplicacións instrumentais das matemáticas.

- Actuar nas actividades matemáticas de acordo con modos propios de matemáticos, como a

exploración sistemática de alternativas, a flexibilidade para cambiar de punto de vista, a

perseveranza na busca de solucións, o recurso á particularización, á sistematización, etc.

- Descubrir e apreciar as súas propias capacidades matemáticas para afrontar situacións nas que

as necesiten.

Contribución da área ao desenvolvemento das competencias clave.

Na área de Matemáticas incidiremos no adestramento de todas as competencias de xeito

sistemático, facendo fincapé nos descritores máis afíns á área.

Competencia matemática e competencias básicas en ciencia e tecnoloxía

A competencia matemática e as competencias básicas en ciencia e tecnoloxía inducen e fortalecen

algúns aspectos esenciais da formación das persoas que resultan fundamentais para a vida. Nunha sociedade onde o impacto das matemáticas, as ciencias e as tecnoloxías é determinante, a

consecución e sostenibilidade do benestar social esixe condutas e toma de decisións persoais

estreitamente vinculadas coa capacidade crítica e coa visión razoada e razoable das persoas. Desde a área de Matemáticas traballaremos, fundamentalmente, cos seguintes descritores

asociados a esta competencia: - Tomar conciencia dos cambios producidos polo home no contorno natural e as repercusións para

a vida futura.

- Recoñecer a importancia da ciencia na nosa vida cotiá. - Aplicar métodos científicos rigorosos para mellorar a comprensión da realidade circundante.

- Manexar os coñecementos sobre ciencia e tecnoloxía para solucionar problemas e comprender

o que acontece arredor nosa.

- Manexar a linguaxe matemática con precisión en calquera contexto. - Identificar e manipular con precisión elementos matemáticos (números, datos, elementos

xeométricos...) en situacións cotiás. - Aplicar os coñecementos matemáticos para a resolución de situacións problemáticas en

contextos reais e en calquera materia. - Realizar argumentacións en calquera contexto con esquemas lóxico-matemáticos. - Aplicar as estratexias de resolución de problemas a calquera situación problemática.

Comunicación lingüística

A competencia en comunicación lingüística é o resultado da acción comunicativa dentro de

prácticas sociais determinadas, nas cales o individuo actúa con outros interlocutores e a través de

textos en múltiples modalidades, formatos e soportes. Estas situacións e prácticas poden implicar

o uso dunha ou varias linguas, en diversos ámbitos e de xeito individual ou colectivo. Esta visión da competencia en comunicación lingüística vinculada con prácticas sociais

determinadas ofrece unha imaxe do individuo como axente comunicativo que produce, e non só

recibe, mensaxes a través das linguas con distintas finalidades. Desde a área de Matemáticas traballaremos, fundamentalmente, cos seguintes descritores

asociados a esta competencia: - Comprender o sentido dos textos escritos. - Captar o sentido das expresións orais: ordes, explicacións, indicacións, relatos... - Expresar oralmente, de xeito ordenado e clara, calquera tipo de información. - Utilizar os coñecementos sobre a lingua para buscar información e ler textos en calquera

situación.


12

- Producir textos escritos de diversa complexidade para o seu uso en situacións cotiás ou de

materias diversas.

Competencia dixital

A competencia dixital é aquela que implica o uso creativo, crítico e seguro das tecnoloxías da

información e a comunicación para alcanzar os obxectivos relacionados co traballo, a

empregabilidade, a aprendizaxe, o uso do tempo libre, a inclusión e participación na sociedade. Esta competencia supón, ademais da adecuación aos cambios que introducen as novas tecnoloxías

na alfabetización, a lectura e a escritura, un conxunto novo de coñecementos, habilidades e

actitudes necesarias hoxe en día para ser competente nun contorno dixital. Dende a área de Matemáticas traballaremos, fundamentalmente, cos seguintes descritores

asociados a esta competencia: - Empregar distintas fontes para a busca de información. - Seleccionar o uso das distintas fontes segundo a súa fiabilidade.

- Elaborar e publicitar información propia derivada de información obtida a través de medios

tecnolóxicos.

- Comprender as mensaxes que veñen dos medios de comunicación. - Manexar ferramentas dixitais para a construción de coñecemento. - Actualizar o uso das novas tecnoloxías para mellorar o traballo e facilitar a vida diaria. - Aplicar criterios éticos no uso das tecnoloxías.

Isto inclúe propostas didácticas que inclúen a utilización de follas de cálculo, GeoGebra para

traballar a xeometría ou as funcións, Scratch para introducir a programación ou calculadoras

online...

Conciencia e expresións culturais

A competencia en conciencia e expresión cultural implica coñecer, comprender, apreciar e valorar

con espírito crítico, cunha actitude aberta e respectuosa, as diferentes manifestacións culturais e

artísticas, utilizalas como fonte de enriquecemento e gozo persoal e consideralas como parte da

riqueza e o patrimonio dos pobos. Esta competencia incorpora tamén un compoñente expresivo referido á propia capacidade estética

e creadora e ao dominio daqueloutras relacionadas cos diferentes códigos artísticos e culturais,

para poder utilizalas como medio de comunicación e expresión persoal. Implica igualmente

manifestar interese pola participación na vida cultural e por contribuír á conservación do

patrimonio cultural e artístico, tanto da propia comunidade coma doutras comunidades.

Desde a área de Matemáticas traballaremos, fundamentalmente, cos seguintes descritores

asociados a esta competencia: - Mostrar respecto cara ás obras máis importantes do patrimonio cultural a nivel mundial. - Apreciar os valores culturais do patrimonio natural e da evolución do pensamento científico. - Elaborar traballos e presentacións con sentido estético.

Competencias sociais e cívicas

As competencias sociais e cívicas implican a habilidade e a capacidade para utilizar os

coñecementos e as actitudes sobre a sociedade –entendida desde as diferentes perspectivas, na súa

concepción dinámica, cambiante e complexa–, para interpretar fenómenos e problemas sociais en

contextos cada vez máis diversificados; para elaborar respostas, tomar decisións e resolver

conflitos, así como para interactuar con outras persoas e grupos conforme a normas baseadas no

respecto mutuo e en conviccións democráticas. Ademais de incluír accións a un nivel máis

próximo e mediato ao individuo como parte dunha implicación cívica e social. Desde a área de Matemáticas traballaremos, fundamentalmente, cos seguintes descritores

asociados a esta competencia:


13

- Desenvolver a capacidade de diálogo cos demais en situacións de convivencia e traballo e para

a resolución de conflitos. - Mostrar dispoñibilidade para a participación activa en ámbitos de participación establecidos.

- Recoñecer a riqueza na diversidade de opinións e ideas.

Sentido de iniciativa e espírito emprendedor

A competencia sentido de iniciativa e espírito emprendedor implica a capacidade de transformar

as ideas en actos. Iso significa adquirir conciencia da situación onde intervir ou resolver, e saber

elixir, planificar e xestionar os coñecementos, destrezas ou habilidades e actitudes necesarios con

criterio propio, co fin de alcanzar o obxectivo previsto. Esta competencia está presente nos contornos persoal, social, escolar e laboral nos que se

desenvolven as persoas, permitíndolles o desenvolvemento das súas actividades e o

aproveitamento de novas oportunidades. Constitúe igualmente o alicerce doutras capacidades e

coñecementos máis específicos e inclúe a conciencia dos valores éticos relacionados.

Desde a área de Matemáticas traballaremos, fundamentalmente, cos seguintes descritores

asociados a esta competencia: - Optimizar recursos persoais apoiándose nas fortalezas propias. - Asumir as responsabilidades encomendadas e dar conta delas.

- Ser constante no traballo superando as dificultades. - Dirimir a necesidade de axuda en función da dificultade da tarefa. - Priorizar a consecución de obxectivos grupais a intereses persoais.

- Xerar novas e diverxentes posibilidades desde coñecementos previos do tema. - Optimizar o uso de recursos materiais e persoais para a consecución de obxectivos.

- Actuar con responsabilidade social e sentido ético no traballo.

Aprender a aprender

A competencia de aprender a aprender é fundamental para a aprendizaxe permanente que se

produce ao longo da vida e que ten lugar en distintos contextos formais, non formais e informais. Esta competencia caracterízase pola habilidade para iniciar, organizar e persistir na aprendizaxe.

Isto esixe, en primeiro lugar, a capacidade para motivarse por aprender. Esta motivación depende

de que se xere a curiosidade e a necesidade de aprender, de que o estudante se sinta protagonista

do proceso e do resultado da súa aprendizaxe e, finalmente, de que chegue a alcanzar as metas de

aprendizaxe propostas e, con iso, que se produza nel unha percepción de autoeficacia. Todo o

anterior contribúe a motivalo para abordar futuras tarefas de aprendizaxe. Desde a área de Matemáticas traballaremos, fundamentalmente, cos seguintes descritores

asociados a esta competencia: - Identificar potencialidades persoais: estilos de aprendizaxe, intelixencias múltiples, funcións

executivas... - Aplicar estratexias para a mellora do pensamento creativo, crítico, emocional, interdependente...

- Desenvolver estratexias que favorezan a comprensión rigorosa dos contidos. - Planificar os recursos necesarios e os pasos que cómpre realizar no proceso de aprendizaxe. - Seguir os pasos establecidos e tomar decisións sobre os pasos seguintes en función dos resultados

intermedios. - Avaliar a consecución de obxectivos de aprendizaxe.

- Tomar conciencia dos procesos de aprendizaxe.


14

CONTIDOS, CRITERIOS DE AVALIACIÓN E ESTÁNDARES DE

APRENDIZAXE AVALIABLES

Os contidos da área de Matemáticas agrúpanse en varios bloques. Os contidos, os criterios de

avaliación e os estándares de aprendizaxe formúlanse para o primeiro ciclo de Educación

Secundaria; aínda que neste apartado soamente vai aparecer o referente a 1.º ESO.

O alumnado deberá adquirir uns coñecementos e destrezas básicas que lle permitan interiorizar

unha cultura científica; os alumnos e as alumnas deben identificarse como axentes activos e

recoñecer que das súas actuacións e coñecementos dependerá o desenvolvemento do seu contorno.

Nas páxinas seguintes desenvólvense os contidos, os criterios de avaliación e os estándares de

aprendizaxe relacionados cos obxectivos e as competencias básicas.


Matemáticas. 1º de ESO

Obxectivos Contidos Criterios de avaliación Estándares de aprendizaxe C.C.

▪ Bloque 1. Procesos, métodos e actitudes en matemáticas

▪ f ▪ h

▪ B1.1. Planificación e expresión verbal do proceso de resolución de problemas.

▪ B1.1. Expresar verbalmente e de forma razoada o proceso seguido na resolución dun problema.

▪ MAB1.1.1. Expresa verbalmente e de forma razoada o proceso seguido na resolución dun problema, coa precisión e o rigor adecuados.

▪ CCL ▪ CMCCT

▪ e ▪ f ▪ h

▪ B1.2. Estratexias e procedementos postos en práctica: uso da linguaxe apropiada (gráfica, numérica, alxébrica, etc.), reformulación do problema, resolución de subproblemas, reconto exhaustivo, comezo por casos particulares sinxelos, procura de regularidades e leis, etc.

▪ B1.3. Reflexión sobre os resultados: revisión das operacións utilizadas, asignación de unidades aos resultados, comprobación e interpretación das solucións no contexto da situación, procura doutras formas de resolución, etc.

▪ B1.2. Utilizar procesos de razoamento e estratexias de resolución de problemas, realizando os cálculos necesarios e comprobando as solucións obtidas.

▪ MAB1.2.1. Analiza e comprende o enunciado dos problemas (datos, relacións entre os datos, e contexto do problema).

▪ CMCCT

▪ MAB1.2.2. Valora a información dun enunciado e relaciónaa co número de solucións do problema.

▪ CMCCT

▪ MAB1.2.3. Realiza estimacións e elabora conxecturas sobre os resultados dos problemas para resolver, valorando a súa utilidade e eficacia.

▪ CMCCT

▪ MAB1.2.4. Utiliza estratexias heurísticas e procesos de razoamento na resolución de problemas, reflexionando sobre o proceso de resolución.

▪ CMCCT ▪ CAA

▪ b ▪ e ▪ f ▪ g ▪ h

▪ B1.2. Estratexias e procedementos postos en práctica: uso da linguaxe apropiada (gráfica, numérica, alxébrica, etc.), reformulación do problema, resolución de

▪ B1.3. Describir e analizar situacións de cambio, para encontrar patróns, regularidades e leis matemáticas, en contextos numéricos, xeométricos, funcionais, estatísticos e probabilísticos,

▪ MAB1.3.1. Identifica patróns, regularidades e leis matemáticas en situacións de cambio, en contextos numéricos, xeométricos, funcionais, estatísticos e probabilísticos.

▪ CMCCT ▪ CCEC


16



subproblemas, reconto exhaustivo, comezo por casos particulares sinxelos, procura de regularidades e leis, etc.

▪ B1.4. Formulación de proxectos e investigacións matemáticas escolares, en contextos numéricos, xeométricos, funcionais, estatísticos e probabilísticos, de xeito individual e en equipo. Elaboración e presentación dos informes correspondentes.

valorando a súa utilidade para facer predicións.

▪ MAB1.3.2. Utiliza as leis matemáticas achadas para realizar simulacións e predicións sobre os resultados esperables, valorando a súa eficacia e idoneidade.

▪ CMCCT

▪ b ▪ e ▪ f

▪ B1.3. Reflexión sobre os resultados: revisión das operacións utilizadas, asignación de unidades aos resultados, comprobación e interpretación das solucións no contexto da situación, procura doutras formas de resolución, etc.

▪ B1.4. Afondar en problemas resoltos formulando pequenas variacións nos datos, outras preguntas, outros contextos, etc.

▪ MAB1.4.1. Afonda nos problemas logo de resolvelos, revisando o proceso de resolución e os pasos e as ideas as importantes, analizando a coherencia da solución ou procurando outras formas de resolución.

▪ CMCCT

▪ MAB1.4.2. Formúlase novos problemas a partir dun resolto, variando os datos, propondo novas preguntas, resolvendo outros problemas parecidos, formulando casos particulares ou máis xerais de interese, e establecendo conexións entre o problema e a realidade.

▪ CMCCT ▪ CAA


17



▪ b ▪ f ▪ h

▪ B1.4. Formulación de proxectos e investigacións matemáticas escolares, en contextos numéricos, xeométricos, funcionais, estatísticos e probabilísticos, de xeito individual e en equipo. Elaboración e presentación dos informes correspondentes.

▪ B1.5. Elaborar e presentar informes sobre o proceso, resultados e conclusións obtidas nos procesos de investigación.

▪ MAB1.5.1. Expón e argumenta o proceso seguido, ademais das conclusións obtidas, utilizando distintas linguaxes (alxébrica, gráfica, xeométrica e estatístico-probabilística).

▪ CCL ▪ CMCCT

▪ a ▪ b ▪ c ▪ d ▪ e ▪ f ▪ g

▪ B1.5. Práctica dos procesos de matematización e modelización, en contextos da realidade e en contextos matemáticos, de xeito individual e en equipo.

▪ B1.6. Desenvolver procesos de matematización en contextos da realidade cotiá (numéricos, xeométricos, funcionais, estatísticos ou probabilísticos) a partir da identificación de situacións problemáticas da realidade.

▪ MAB1.6.1. Identifica situacións problemáticas da realidade susceptibles de conter problemas de interese.

▪ CMCCT ▪ CSC

▪ MAB1.6.2. Establece conexións entre un problema do mundo real e o mundo matemático, identificando o problema ou os problemas matemáticos que subxacen nel e os coñecementos matemáticos necesarios.

▪ CMCCT ▪ CSIEE

▪ MAB1.6.3. Usa, elabora ou constrúe modelos matemáticos sinxelos que permitan a resolución dun problema ou duns problemas dentro do campo das matemáticas.

▪ CMCCT

▪ MAB1.6.4. Interpreta a solución matemática do problema no contexto da realidade.

▪ CMCCT


18



▪ MAB1.6.5. Realiza simulacións e predicións, en contexto real, para valorar a adecuación e as limitacións dos modelos, e propón melloras que aumenten a súa eficacia.

▪ CMCCT

▪ b ▪ e ▪ f ▪ g


▪ B1.7. Valorar a modelización matemática como un recurso para resolver problemas da realidade cotiá, avaliando a eficacia e as limitacións dos modelos utilizados ou construídos.

▪ MAB1.7.1. Reflexiona sobre o proceso e obtén conclusións sobre el e os seus resultados, valorando outras opinións.

▪ CMCCT ▪ CAA ▪ CSC

▪ a ▪ b ▪ c ▪ d ▪ e ▪ f ▪ g ▪ l ▪ m ▪ n ▪ ñ ▪ o


▪ B1.8. Desenvolver e cultivar as actitudes persoais inherentes ao quefacer matemático.

▪ MAB1.8.1. Desenvolve actitudes axeitadas para o traballo en matemáticas (esforzo, perseveranza, flexibilidade e aceptación da crítica razoada).

▪ CMCCT ▪ CSIEE ▪ CSC

▪ MAB1.8.2. Formúlase a resolución de retos e problemas coa precisión, o esmero e o interese adecuados ao nivel educativo e á dificultade da situación.

▪ CMCCT

▪ MAB1.8.3. Distingue entre problemas e exercicios, e adopta a actitude axeitada para cada caso.

▪ CMCCT

▪ MAB1.8.4. Desenvolve actitudes de curiosidade e indagación, xunto con hábitos de formular e formularse preguntas e procurar respostas axeitadas, tanto no estudo dos conceptos como na

▪ CMCCT ▪ CAA ▪ CCEC


19



resolución de problemas.

▪ MAB1.8.5. Desenvolve habilidades sociais de cooperación e traballo en equipo.

▪ CMCCT ▪ CSIEE ▪ CSC

▪ b ▪ g

▪ B1.6. Confianza nas propias capacidades para desenvolver actitudes axeitadas e afrontar as dificultades propias do traballo científico.

▪ B1.9. Superar bloqueos e inseguridades ante a resolución de situacións descoñecidas.

▪ MAB1.9.1. Toma decisións nos procesos de resolución de problemas, de investigación e de matematización ou de modelización, valorando as consecuencias destas e a súa conveniencia pola súa sinxeleza e utilidade.

▪ CMCCT ▪ CSIEE

▪ b ▪ g

▪ B1.6. Confianza nas propias capacidades para desenvolver actitudes axeitadas e afrontar as dificultades propias do traballo científico.

▪ B1.10. Reflexionar sobre as decisións tomadas, e aprender diso para situacións similares futuras.

▪ MAB1.10.1. Reflexiona sobre os problemas resoltos e os procesos desenvolvidos, valorando a potencia e a sinxeleza das ideas clave, e apréndeo para situacións futuras similares.

▪ CMCCT ▪ CAA

▪ e ▪ f ▪ g

▪ B1.7. Utilización de medios tecnolóxicos no proceso de aprendizaxe para: – Recollida ordenada e organización

de datos. – Elaboración e creación de

representacións gráficas de datos numéricos, funcionais ou estatísticos.

▪ B1.11. Empregar as ferramentas tecnolóxicas axeitadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, alxébricos ou estatísticos, facendo representacións gráficas, recreando situacións matemáticas mediante simulacións ou analizando con sentido crítico situacións diversas que axuden á comprensión de conceptos matemáticos ou á resolución de problemas.

▪ MAB1.11.1. Selecciona ferramentas tecnolóxicas axeitadas e utilízaas para a realización de cálculos numéricos, alxébricos ou estatísticos, cando a dificultade destes impida ou non aconselle facelos manualmente.

▪ CMCCT ▪ CD

▪ MAB1.11.2. Utiliza medios tecnolóxicos para facer representacións gráficas de funcións con expresións alxébricas

▪ CMCCT


20



– Facilitación da comprensión de conceptos e propiedades xeométricas ou funcionais e a realización de cálculos de tipo numérico, alxébrico ou estatístico.

– Deseño de simulacións e elaboración de predicións sobre situacións matemáticas diversas.

– Elaboración de informes e documentos sobre os procesos levados a cabo e os resultados e as conclusións obtidos.

– Consulta, comunicación e compartición, en ámbitos apropiados, da información e das ideas matemáticas.

complexas e extraer información cualitativa e cuantitativa sobre elas.

▪ MAB1.11.3. Deseña representacións gráficas para explicar o proceso seguido na solución de problemas, mediante a utilización de medios tecnolóxicos.

▪ CMCCT

▪ MAB1.11.4. Recrea ámbitos e obxectos xeométricos con ferramentas tecnolóxicas interactivas para amosar, analizar e comprender propiedades xeométricas.

▪ CMCCT

▪ MAB1.11.5. Utiliza medios tecnolóxicos para tratar datos e gráficas estatísticas, extraer información e elaborar conclusións.

▪ CMCCT

▪ a ▪ b ▪ e ▪ f ▪ g

▪ B1.7. Utilización de medios tecnolóxicos no proceso de aprendizaxe para: – Recollida ordenada e organización

de datos. – Elaboración e creación de

representacións gráficas de datos numéricos, funcionais ou estatísticos.

– Facilitación da comprensión de

▪ B1.12. Utilizar as tecnoloxías da información e da comunicación de maneira habitual no proceso de aprendizaxe, procurando, analizando e seleccionando información salientable en internet ou noutras fontes, elaborando documentos propios, facendo exposicións e argumentacións destes, e compartíndoos en ámbitos apropiados para facilitar a interacción.

▪ MAB1.12.1. Elabora documentos dixitais propios coa ferramenta tecnolóxica axeitada (de texto, presentación, imaxe, vídeo, son, etc.) como resultado do proceso de procura, análise e selección de información relevante, e compárteos para a súa discusión ou difusión.

▪ CD ▪ CCL

▪ MAB1.12.2. Utiliza os recursos creados para apoiar a exposición oral dos contidos traballados na aula.

▪ CCL


21



conceptos e propiedades xeométricas ou funcionais e a realización de cálculos de tipo numérico, alxébrico ou estatístico.

– Deseño de simulacións e elaboración de predicións sobre situacións matemáticas diversas.

– Elaboración de informes e documentos sobre os procesos levados a cabo e os resultados e as conclusións obtidos.

– Consulta, comunicación e compartición, en ámbitos apropiados, da información e das ideas matemáticas.

▪ MAB1.12.3. Usa axeitadamente os medios tecnolóxicos para estruturar e mellorar o seu proceso de aprendizaxe, recollendo a información das actividades, analizando puntos fortes e débiles do seu proceso educativo e establecendo pautas de mellora.

▪ CD ▪ CAA

▪ MAB1.12.4. Emprega ferramentas tecnolóxicas para compartir ideas e tarefas.

▪ CD ▪ CSC ▪ CSIEE

▪ Bloque 2. Números e álxebra

▪ b ▪ e ▪ f ▪ g ▪ h

▪ B2.1. Números negativos: significado e utilización en contextos reais.

▪ B2.2. Números enteiros: representación, ordenación na recta numérica e operacións. Operacións con calculadora.

▪ B2.3. Fraccións en ámbitos cotiáns. Fraccións equivalentes. Comparación de fraccións. Representación, ordenación e operacións.

▪ B2.1. Utilizar números naturais, enteiros, fraccionarios e decimais, e porcentaxes sinxelas, as súas operacións e as súas propiedades, para recoller, transformar e intercambiar información e resolver problemas relacionados coa vida diaria.

▪ MAB2.1.1. Identifica os tipos de números (naturais, enteiros, fraccionarios e decimais) e utilízaos para representar, ordenar e interpretar axeitadamente a información cuantitativa.

▪ CMCCT

▪ MAB2.1.2. Calcula o valor de expresións numéricas de distintos tipos de números mediante as operacións elementais e as potencias de expoñente natural, aplicando correctamente a xerarquía das operacións.

▪ CMCCT


22



▪ B2.4. Números decimais:

representación, ordenación e operacións.

▪ B2.5. Relación entre fraccións e decimais. Conversión e operacións.

▪ B2.6. Potencias de números enteiros e fraccionarios con expoñente natural: operacións.

▪ B2.7. Cadrados perfectos. Raíces cadradas. Estimación e obtención de raíces aproximadas.

▪ B2.8. Xerarquía das operacións. ▪ B2.9. Elaboración e utilización de

estratexias para o cálculo mental, para o cálculo aproximado e para o cálculo con calculadora ou outros medios tecnolóxicos.

▪ MAB2.1.3. Emprega axeitadamente os tipos de números e as súas operacións, para resolver problemas cotiáns contextualizados, representando e interpretando mediante medios tecnolóxicos, cando sexa necesario, os resultados obtidos.

▪ CMCCT

▪ e ▪ f ▪ g ▪ h

▪ B2.10. Divisibilidade dos números naturais: criterios de divisibilidade.

▪ B2.11. Números primos e compostos. Descomposición dun número en factores. Descomposición en factores primos.

▪ B2.12. Múltiplos e divisores comúns a varios números. Máximo común divisor e mínimo común múltiplo de

▪ B2.2. Coñecer e utilizar propiedades e novos significados dos números en contextos de paridade, divisibilidade e operacións elementais, mellorando así a comprensión do concepto e dos tipos de números.

▪ MAB2.2.1. Recoñece novos significados e propiedades dos números en contextos de resolución de problemas sobre paridade, divisibilidade e operacións elementais.

▪ CMCCT

▪ MAB2.2.2. Aplica os criterios de divisibilidade por 2, 3, 5, 9 e 11 para descompoñer en factores primos números naturais, e emprégaos en exercicios, actividades e problemas contextualizados.

▪ CMCCT


23



dous ou máis números naturais. ▪ B2.13. Potencias de números enteiros

e fraccionarios con expoñente natural: operacións.

▪ B2.14. Potencias de base 10. Utilización da notación científica para representar números grandes.



▪ MAB2.2.3. Identifica e calcula o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo de dous ou máis números naturais mediante o algoritmo axeitado, e aplícao problemas contextualizados.

▪ CMCCT

▪ MAB2.2.4. Realiza cálculos nos que interveñen potencias de expoñente natural e aplica as regras básicas das operacións con potencias.

▪ CMCCT

▪ MAB2.2.5. Calcula e interpreta adecuadamente o oposto e o valor absoluto dun número enteiro, comprendendo o seu significado e contextualizándoo en problemas da vida real.

▪ CMCCT

▪ MAB2.2.6. Realiza operacións de redondeo e truncamento de números decimais, coñecendo o grao de aproximación, e aplícao a casos concretos.

▪ CMCCT

▪ MAB2.2.7. Realiza operacións de conversión entre números decimais e fraccionarios, acha fraccións equivalentes e simplifica fraccións, para aplicalo na resolución de problemas.

▪ CMCCT

▪ MAB2.2.8. Utiliza a notación científica, e valora o seu uso para simplificar cálculos e

▪ CMCCT


24



representar números moi grandes.

▪ e ▪ f



▪ B2.3. Desenvolver, en casos sinxelos, a competencia no uso de operacións combinadas como síntese da secuencia de operacións aritméticas, aplicando correctamente a xerarquía das operacións ou estratexias de cálculo mental.

▪ MAB2.3.1. Realiza operacións combinadas entre números enteiros, decimais e fraccionarios, con eficacia, mediante o cálculo mental, algoritmos de lapis e papel, calculadora ou medios tecnolóxicos, utilizando a notación máis axeitada e respectando a xerarquía das operacións.

▪ CMCCT

▪ e ▪ f

▪ B2.9. Elaboración e utilización de estratexias para o cálculo mental, para o cálculo aproximado e para o cálculo con calculadora ou outros medios tecnolóxicos.

▪ B2.4. Elixir a forma de cálculo apropiada (mental, escrita ou con calculadora), usando diferentes estratexias que permitan simplificar as operacións con números enteiros, fraccións, decimais e porcentaxes, e estimando a coherencia e a precisión dos resultados obtidos.

▪ MAB2.4.1. Desenvolve estratexias de cálculo mental para realizar cálculos exactos ou aproximados, valorando a precisión esixida na operación ou no problema.

▪ CMCCT

▪ MAB2.4.2. Realiza cálculos con números naturais, enteiros, fraccionarios e decimais, decidindo a forma máis axeitada (mental, escrita ou con calculadora), coherente e precisa.

▪ CMCCT


25



▪ e ▪ f ▪ g ▪ h

▪ B2.15. Cálculos con porcentaxes (mental, manual e con calculadora). Aumentos e diminucións porcentuais.

▪ B2.16. Razón, proporción e taxa. Taxa unitaria. Factores de conversión. Magnitudes directamente proporcionais. Constante de proporcionalidade.

▪ B2.17. Resolución de problemas nos que interveña a proporcionalidade directa ou variacións porcentuais. Repartición directamente proporcional.

▪ B2.5. Utilizar diferentes estratexias (emprego de táboas, obtención e uso da constante de proporcionalidade, redución á unidade, etc.) para obter elementos descoñecidos nun problema a partir doutros coñecidos en situacións da vida real nas que existan variacións porcentuais e magnitudes directamente proporcionais.

▪ MAB2.5.1. Identifica e discrimina relacións de proporcionalidade numérica (como o factor de conversión ou cálculo de porcentaxes) e emprégaas para resolver problemas en situacións cotiás.

▪ CMCCT

▪ e ▪ f ▪ g ▪ h

▪ B2.18. Iniciación á linguaxe alxébrica. ▪ B2.19. Tradución de expresións da

linguaxe cotiá, que representen situacións reais, á alxébrica, e viceversa.

▪ B2.20. Significados e propiedades dos números en contextos diferentes ao do cálculo: números triangulares, cadrados, pentagonais, etc.

▪ B2.21. A linguaxe alxébrica para xeneralizar propiedades e simbolizar relacións. Obtención de fórmulas e termos xerais baseada na observación de pautas e regularidades. Valor numérico dunha expresión alxébrica.

▪ B2.6. Analizar procesos numéricos cambiantes, identificando os patróns e as leis xerais que os rexen, utilizando a linguaxe alxébrica para expresalos, comunicalos e realizar predicións sobre o seu comportamento ao modificar as variables, e operar con expresións alxébricas.

▪ MAB2.6.1. Describe situacións ou enunciados que dependen de cantidades variables ou descoñecidas e secuencias lóxicas ou regularidades, mediante expresións alxébricas, e opera con elas.

▪ CMCCT

▪ MAB2.6.2. Identifica propiedades e leis xerais a partir do estudo de procesos numéricos recorrentes ou cambiantes, exprésaas mediante a linguaxe alxébrica e utilízaas para facer predicións.

▪ CMCCT


26



▪ f ▪ h

▪ B2.22. Ecuacións de primeiro grao cunha incógnita (métodos alxébrico e gráfico). Resolución. Interpretación das solucións. Ecuacións sen solución. Resolución de problemas.

▪ B2.7. Utilizar a linguaxe alxébrica para simbolizar e resolver problemas mediante a formulación de ecuacións de primeiro grao, aplicando para a súa resolución métodos alxébricos ou gráficos, e contrastar os resultados obtidos.

▪ MAB2.7.1. Comproba, dada unha ecuación, se un número é solución desta.

▪ CMCCT

▪ MAB2.7.2. Formula alxebricamente unha situación da vida real mediante ecuacións de primeiro grao, resólvea e interpreta o resultado obtido.

▪ CMCCT

▪ Bloque 3. Xeometría

▪ f ▪ h

▪ B3.1. Elementos básicos da xeometría do plano. Relacións e propiedades de figuras no plano: paralelismo e perpendicularidade.

▪ B3.2. Ángulos e as súas relacións. ▪ B3.3. Construcións xeométricas

sinxelas: mediatriz e bisectriz. Propiedades.

▪ B3.4. Figuras planas elementais: triángulo, cadrado e figuras poligonais.

▪ B3.5. Clasificación de triángulos e cuadriláteros. Propiedades e relacións.

▪ B3.1. Recoñecer e describir figuras planas, os seus elementos e as súas propiedades características para clasificalas, identificar situacións, describir o contexto físico e abordar problemas da vida cotiá.

▪ MAB3.1.1. Recoñece e describe as propiedades características dos polígonos regulares (ángulos interiores, ángulos centrais, diagonais, apotema, simetrías, etc.).

▪ CMCCT

▪ MAB3.1.2. Define os elementos característicos dos triángulos, trazando estes e coñecendo a propiedade común a cada un deles, e clasifícaos atendendo tanto aos seus lados como aos seus ángulos.

▪ CMCCT

▪ MAB3.1.3. Clasifica os cuadriláteros e os paralelogramos atendendo ao paralelismo entre os seus lados opostos e coñecendo as súas propiedades referentes a ángulos, lados e diagonais.

▪ CMCCT

▪ MAB3.1.4. Identifica as propiedades xeométricas que caracterizan os puntos da

▪ CMCCT


27



circunferencia e o círculo.

▪ e ▪ f

▪ B3.6. Medida e cálculo de ángulos de figuras planas.

▪ B3.7. Cálculo de áreas e perímetros de figuras planas. Cálculo de áreas por descomposición en figuras simples.

▪ B3.8. Circunferencia, círculo, arcos e sectores circulares.

▪ B3.2. Utilizar estratexias, ferramentas tecnolóxicas e técnicas simples da xeometría analítica plana para a resolución de problemas de perímetros, áreas e ángulos de figuras planas, utilizando a linguaxe matemática axeitada, e expresar o procedemento seguido na resolución.

▪ MAB3.2.1. Resolve problemas relacionados con distancias, perímetros, superficies e ángulos de figuras planas, en contextos da vida real, utilizando as ferramentas tecnolóxicas e as técnicas xeométricas máis apropiadas.

▪ CMCCT

▪ MAB3.2.2. Calcula a lonxitude da circunferencia, a área do círculo, a lonxitude dun arco e a área dun sector circular, e aplícaas para resolver problemas xeométricos.

▪ CMCCT

▪ e ▪ f

▪ B3.9. Poliedros e corpos de revolución: elementos característicos e clasificación. Áreas e volumes.

▪ B3.3. Analizar corpos xeométricos (cubos, ortoedros, prismas, pirámides, cilindros, conos e esferas) e identificar os seus elementos característicos (vértices, arestas, caras, desenvolvementos planos, seccións ao cortar con planos, corpos obtidos mediante seccións, simetrías, etc.).

▪ MAB3.3.1. Analiza e identifica as características de corpos xeométricos, utilizando a linguaxe xeométrica axeitada.

▪ CMCCT

▪ MAB3.3.2. Constrúe seccións sinxelas dos corpos xeométricos, a partir de cortes con planos, mentalmente e utilizando os medios tecnolóxicos axeitados.

▪ CMCCT

▪ MAB3.3.3. Identifica os corpos xeométricos a partir dos seus desenvolvementos planos e reciprocamente.

▪ CMCCT


28



▪ e ▪ f ▪ l ▪ n

▪ B3.10. Propiedades, regularidades e relacións dos poliedros. Cálculo de lonxitudes, superficies e volumes do mundo físico.

▪ B3.11. Uso de ferramentas informáticas para estudar formas, configuracións e relacións xeométricas.

▪ B3.4. Resolver problemas que leven consigo o cálculo de lonxitudes, superficies e volumes do mundo físico, utilizando propiedades, regularidades e relacións dos poliedros.

▪ MAB3.4.1. Resolve problemas da realidade mediante o cálculo de áreas e volumes de corpos xeométricos, utilizando as linguaxes xeométrica e alxébrica adecuadas.

▪ CMCCT

▪ Bloque 4. Funcións

▪ f ▪ B4.1. Coordenadas cartesianas: representación e identificación de puntos nun sistema de eixes coordenados.

▪ B4.1. Coñecer, manexar e interpretar o sistema de coordenadas cartesianas.

▪ MAB4.1.1. Localiza puntos no plano a partir das súas coordenadas e nomea puntos do plano escribindo as súas coordenadas.

▪ CMCCT

▪ f ▪ B4.2. Concepto de función: variable dependente e independente. Formas de presentación (linguaxe habitual, táboa, gráfica e fórmula).

▪ B4.2. Manexar as formas de presentar unha función (linguaxe habitual, táboa numérica, gráfica e ecuación, pasando dunhas formas a outras e elixindo a mellor delas en función do contexto).

▪ MAB4.2.1. Pasa dunhas formas de representación dunha función a outras e elixe a máis adecuada en función do contexto.

▪ CMCCT

▪ f ▪ B4.2. Concepto de función: variable dependente e independente. Formas de presentación (linguaxe habitual, táboa, gráfica e fórmula).

▪ B4.3. Comprender o concepto de función. ▪ MAB4.3.1. Recoñece se unha gráfica representa ou non unha función.

▪ CMCCT

▪ b ▪ e ▪ f ▪ g

▪ B4.3. Funcións lineais. Cálculo, interpretación e identificación da pendente da recta. Representacións da recta a partir da ecuación e

▪ B4.4. Recoñecer, representar e analizar as funcións lineais, e utilizalas para resolver problemas.

▪ MAB4.4.1. Recoñece e representa unha función lineal a partir da ecuación ou dunha táboa de valores, e obtén a pendente da recta correspondente.

▪ CMCCT


29



▪ h obtención da ecuación a partir dunha recta.

▪ B4.4. Utilización de calculadoras gráficas e software específico para a construción e a interpretación de gráficas.

▪ MAB4.4.2. Obtén a ecuación dunha recta a partir da gráfica ou táboa de valores.

▪ CMCCT

▪ MAB4.4.3. Escribe a ecuación correspondente á relación lineal existente entre dúas magnitudes e represéntaa.

▪ CMCCT

▪ MAB4.4.4. Estuda situacións reais sinxelas e, apoiándose en recursos tecnolóxicos, identifica o modelo matemático funcional (lineal ou afín) máis axeitado para explicalas, e realiza predicións e simulacións sobre o seu comportamento.

▪ CMCCT

▪ Bloque 5. Estatística e probabilidade

▪ a ▪ b ▪ c ▪ d ▪ e ▪ f ▪ g ▪ h ▪ m

▪ B5.1. Poboación e individuo. Mostra. Variables estatísticas.

▪ B5.2. Variables cualitativas e cuantitativas.

▪ B5.3. Frecuencias absolutas, relativas e acumuladas.

▪ B5.4. Organización en táboas de datos recollidos nunha experiencia.

▪ B5.5. Diagramas de barras e de sectores. Polígonos de frecuencias.

▪ B5.6. Medidas de tendencia central.

▪ B5.1. Formular preguntas axeitadas para coñecer as características de interese dunha poboación e recoller, organizar e presentar datos relevantes para respondelas, utilizando os métodos estatísticos apropiados e as ferramentas adecuadas, organizando os datos en táboas e construíndo gráficas, calculando os parámetros relevantes e obtendo conclusións razoables a partir dos resultados obtidos.

▪ MAB5.1.1. Comprende o significado de poboación, mostra e individuo desde o punto de vista da estatística, entende que as mostras se empregan para obter información da poboación cando son representativas, e aplícaos a casos concretos.

▪ CMCCT

▪ MAB5.1.2. Recoñece e propón exemplos de distintos tipos de variables estatísticas, tanto cualitativas como cuantitativas.

▪ CMCCT

▪ MAB5.1.3. Organiza datos obtidos dunha poboación de variables cualitativas ou cuantitativas en táboas, calcula e

▪ CMCCT


30



interpreta as súas frecuencias absolutas, relativas e acumuladas, e represéntaos graficamente.

▪ MAB5.1.4. Calcula a media aritmética, a mediana (intervalo mediano) e a moda (intervalo modal), e emprégaos para interpretar un conxunto de datos elixindo o máis axeitado, e para resolver problemas.

▪ CMCCT

▪ MAB5.1.5. Interpreta gráficos estatísticos sinxelos recollidos en medios de comunicación e outros ámbitos da vida cotiá.

▪ CMCCT

▪ e ▪ f ▪ h

▪ B5.4. Organización en táboas de datos recollidos nunha experiencia.

▪ B5.5. Diagramas de barras e de sectores. Polígonos de frecuencias.

▪ B5.6. Medidas de tendencia central. ▪ B5.7. Utilización de calculadoras e

ferramentas tecnolóxicas para o tratamento de datos, creación e interpretación de gráficos e elaboración de informes.

▪ B5.2. Utilizar ferramentas tecnolóxicas para organizar datos, xerar gráficas estatísticas, calcular parámetros relevantes e comunicar os resultados obtidos que respondan ás preguntas formuladas previamente sobre a situación estudada.

▪ MAB5.2.1. Emprega a calculadora e ferramentas tecnolóxicas para organizar datos, xerar gráficos estatísticos e calcular as medidas de tendencia central.

▪ CMCCT

▪ MAB5.2.2. Utiliza as tecnoloxías da información e da comunicación para comunicar información resumida e relevante sobre unha variable estatística analizada.

▪ CMCCT

▪ e ▪ f ▪ h

▪ B5.8. Fenómenos deterministas e aleatorios.

▪ B5.9. Formulación de conxecturas

▪ B5.3. Diferenciar os fenómenos deterministas dos aleatorios, valorando a posibilidade que ofrecen as matemáticas

▪ MAB5.3.1. Identifica os experimentos aleatorios e distíngueos dos deterministas.

▪ CMCCT


31



sobre o comportamento de fenómenos aleatorios sinxelos e deseño de experiencias para a súa comprobación.

▪ B5.10. Frecuencia relativa dun suceso e a súa aproximación á probabilidade mediante a simulación ou experimentación.

para analizar e facer predicións razoables acerca do comportamento dos aleatorios a partir das regularidades obtidas ao repetir un número significativo de veces a experiencia aleatoria, ou o cálculo da súa probabilidade.

▪ MAB5.3.2. Calcula a frecuencia relativa dun suceso mediante a experimentación.

▪ CMCCT

▪ MAB5.3.3. Realiza predicións sobre un fenómeno aleatorio a partir do cálculo exacto da súa probabilidade ou a aproximación desta mediante a experimentación.

▪ CMCCT

▪ b ▪ f ▪ h

▪ B5.11. Sucesos elementais equiprobables e non equiprobables.

▪ B5.12. Espazo mostral en experimentos sinxelos. Táboas e diagramas de árbore sinxelos.

▪ B5.13. Cálculo de probabilidades mediante a regra de Laplace en experimentos sinxelos.

▪ B5.4. Inducir a noción de probabilidade a partir do concepto de frecuencia relativa e como medida de incerteza asociada aos fenómenos aleatorios, sexa ou non posible a experimentación.

▪ MAB5.4.1. Describe experimentos aleatorios sinxelos e enumera todos os resultados posibles, apoiándose en táboas, recontos ou diagramas en árbore sinxelos.

▪ CMCCT

▪ MAB5.4.2. Distingue entre sucesos elementais equiprobables e non equiprobables.

▪ CMCCT

▪ MAB5.4.3. Calcula a probabilidade de sucesos asociados a experimentos sinxelos mediante a regra de Laplace, e exprésaa en forma de fracción e como porcentaxe.

▪ CMCCT


32

Contidos por bloques

Bloque 1. Procesos, métodos e actitudes en Matemáticas 1. Planificación do proceso de resolución de problemas.

- Estratexias e procedementos postos en práctica: uso da linguaxe apropiada (gráfica, numérica, alxébrica,

etc.), reformulación do problema, reconto exhaustivo, resolución de casos particulares sinxelos, busca

de regularidades e leis, etc. - Reflexión sobre os resultados: revisión das operacións utilizadas, asignación de unidades aos resultados,

comprobación e interpretación das solucións no contexto da situación, busca doutras formas de

resolución, etc.

2. Formulación de investigacións matemáticas escolares en contextos numéricos, xeométricos, funcionais,

estatísticos e probabilísticos.

- Práctica dos procesos de matematización e modelización, en contextos da realidade e en contextos

matemáticos. - Confianza nas propias capacidades para desenvolver actitudes adecuadas e afrontar as dificultades

propias do traballo científico.

3. Utilización de medios tecnolóxicos no proceso de aprendizaxe para:

- A recollida ordenada e a organización de datos.

- A elaboración e a creación de representacións gráficas de datos numéricos, funcionais ou estatísticos. - Facilitar a comprensión de propiedades xeométricas ou funcionais e a realización de cálculos de tipo

numérico, alxébrico ou estatístico. - O deseño de simulacións e a elaboración de predicións sobre situacións matemáticas diversas. - A elaboración de informes e documentos sobre os procesos levados a cabo e os resultados e as

conclusións obtidos. - Comunicar e compartir, en ámbitos apropiados, a información e as ideas matemáticas.

Bloque 2. Números e álxebra 2.1 Números e operacións

1. Números enteiros.

- Números negativos.

- Significado e utilización en contextos reais. - Números enteiros.

- Representación, ordenación na recta numérica e operacións. - Operacións con calculadora. - Valor absoluto dun número.

2. Números primos e compostos. Divisibilidade.

- Divisibilidade dos números naturais.

- Criterios de divisibilidade. - Descomposición dun número en factores primos. - Divisores comúns a varios números.

- O máximo común divisor de dous ou máis números naturais. - Múltiplos comúns a varios números. - O mínimo común múltiplo de dous ou máis números naturais.

3. Os números racionais. Operacións con números racionais.

- Fraccións en ámbitos cotiáns. - Fraccións equivalentes. - Comparación de fraccións.


33

- Representación, ordenación e operacións. - Operacións con números racionais.

- Uso da paréntese. - Xerarquía das operacións. - Números decimais. - Representación, ordenación e operacións. - Relación entre fraccións e decimais.

- Conversión e operacións.

4. Razóns e proporcións

- Identificación e utilización en situacións da vida cotiá de magnitudes directamente proporcionais. - Aplicación á resolución de problemas.

2.2 Álxebra 1. Iniciación á linguaxe alxébrica.

2. Tradución de expresións da linguaxe cotiá, que representen situacións reais, á alxébrica, e viceversa. 3. A linguaxe alxébrica para xeneralizar propiedades e simbolizar relacións. 4. Obtención de fórmulas e termos xerais baseados na observación de pautas e regularidades. 5. Obtención de valores numéricos en fórmulas sinxelas.

Bloque 3. Xeometría 1. Elementos básicos da xeometría do plano. Relacións e propiedades de figuras no plano.

- Rectas paralelas e perpendiculares. - Ángulos e as súas relacións.

- Construcións xeométricas sinxelas: mediatriz dun segmento e bisectriz dun ángulo. Propiedades.

2. Figuras planas elementais: triángulo, cadrado, figuras poligonais.

- Triángulos. Elementos. Clasificación. Propiedades.

- Cuadriláteros. Elementos. Clasificación. Propiedades. - Diagonais, apotema e simetrías nos polígonos regulares. - Ángulos exteriores e interiores dun polígono. Medida e cálculo de ángulos de figuras planas.

3. Cálculo de áreas e perímetros de figuras planas.

- Cálculo de áreas por descomposición en figuras simples.

- Circunferencia, círculo, arcos e sectores circulares. - Ángulo inscrito e ángulo central dunha circunferencia.

Bloque 4. Funcións

1. Coordenadas cartesianas: representación e identificación de puntos nun sistema de eixes coordenados.

2. Táboas de valores. Representación dunha gráfica a partir dunha táboa de valores.

3. Funcións lineais. Gráfica a partir dunha ecuación.

Bloque 5. Estatística e probabilidade

Estatística

1. Poboación e individuo.

- Mostra.

- Variables estatísticas. - Variables cualitativas e cuantitativas.

2. Recollida de información.

- Táboas de datos.


34

- Frecuencias. - Organización en táboas de datos recollidos nunha experiencia.

- Frecuencias absolutas e relativas. - Frecuencias acumuladas. - Diagramas de barras e de sectores. - Polígonos de frecuencias. - Interpretación dos gráficos.

Probabilidade

- Experimentos aleatorios e sucesos.

- Probabilidade de un suceso. Regra de Laplace.

Temporalización 1º ESO

TRIMESTRE IDENTIFICACIÓN XENÉRICA

DOS CONTIDOS

CORRESPONDENCIA

COAS UNIDADES

EDIXGAL

TEMPORALIZACIÓN

PREVISTA

PRIMEIRO

(12 semanas)

Os números naturais

Divisibilidade

Os números enteiros

Potencia y raíz

As fraccións

1,2

2

3,4

10

5,6

2 semanas

2 semanas

3 semanas

2 semanas

3 semanas

SEGUNDO

(10 semanas)

Os números decimais

Proporcionalidade e porcentaxes

Álxebra

Ecuacións

7,8

11

9

12

2 semanas

3 semanas

3 semanas

2 semanas

TERCEIRO

(11 semanas)

Unidades e ángulos

Polígonos e Circunferencia

Áreas e perímetros

Funcións

Estatística e probabilidade

9

15

16

17

18

2 semanas

2 semanas

2 semanas

3 semanas

2 semanas

Metodoloxía. Orientacións Didácticas

No marco da súa Programación Didáctica os centros deben precisar en cada Curso os obxectivos que garanten

as competencias clave, segundo o currículo, asumilos como obxectivos de centro e determinar a participación

de cada unha das áreas do currículo na consecución das competencias.

O carácter multidisciplinar de moitas das competencias afástase da concepción do currículo como un conxunto

de compartimentos estancos entre as diversas áreas e materias e por iso require unha coordinación de

actuacións docentes onde o traballo en equipo debe ser unha constante.

Así, o desenvolvemento da Programación Didáctica de Centro require tanto procesos de formación e

elaboración reflexiva e intelectual por parte do seu equipo docente, como diversas formas de traballo

cooperativo. Estas formas deben ser respectuosas coa diversidade dos profesores e profesoras, pero xeradoras

de ilusión por colaborar nun proxecto común ao que cada un achega o seu mellor saber facer profesional e

aprende e comparte o saber facer con outros compañeiros e compañeiras.


35

O currículo de cada Centro non se limitará ás competencias clave, aínda que as inclúa. No currículo haberá

competencias clave fundamentais e outras que non o serán tanto para que cada alumno poida desenvolver ao

máximo as súas potencialidades a partir dos Estándares de aprendizaxe propios de cada área ou materia. Non

hai que esquecer que a función da escola é garantir uns mínimos para todos e, ao mesmo tempo, o máximo

para cada alumno.

O desenvolvemento de competencias vai acompañado dunha práctica pedagóxica esixente tanto para o alumnado como para o profesorado. Para o alumnado, porque se debe implicar na aprendizaxe e debe adquirir as habilidades que lle permitan construír os seus propios esquemas explicativos para comprender o mundo no que vive, construír a súa identidade persoal, interactuar en situacións variadas e continuar aprendendo.

Para o docente, porque terá que despregar os recursos didácticos necesarios que permitan desenvolver os

Estándares de aprendizaxe propios da área incluíndo o desenvolvemento das Competencias Clave, e poder

alcanzar así os obxectivos do currículo. Non obstante, a pesar de que as competencias teñen un carácter

transversal e interdisciplinar respecto ás disciplinas académicas, isto non debe impedir que desde cada área se

determinen aprendizaxes específicas que resulten relevantes na consecución de competencias concretas.

O docente deberá buscar situacións próximas aos alumnos para que estes poidan aplicar en diferentes

contextos os contidos dos catro saberes que forman cada unha das competencias (saber, saber facer, saber ser

e saber estar). Así mesmo, creará contextos e situacións que representen retos para os alumnos; que os inviten

a cuestionarse os seus saberes actuais; que os obriguen ampliar a súa perspectiva e a contrastar os seus

pareceres cos dos seus compañeiros, a xustificar e a interpretar con rigor, etc.

Para traballar as competencias clave relacionadas co dominio emocional e as habilidades sociais terán un

especial protagonismo as actividades de planificación e execución de tarefas en grupo que favorezan o diálogo,

a escoita, a cooperación e a confrontación de opinións.

A forma de avaliar o nivel de competencia alcanzado será a través da aplicación dos coñecementos e as

habilidades traballadas. Agora ben, as competencias supoñen un dominio completo da actividade en cuestión;

non son só habilidades, aínda que estas sempre estean presentes. Polo tanto, ademais das habilidades, teranse en

conta tamén as actitudes e os elementos cognitivos.

No marco da súa Programación Didáctica os centros teñen que precisar en cada Curso os obxectivos que

garanten as competencias clave, segundo o currículo, asumilos como obxectivos de centro e determinar a

participación de cada unha das áreas do currículo na consecución das competencias.

A estrutura de cada unidade temática pon en relación contidos teóricos e procedementais coas distintas

actividades e recursos asociados. Estes seguen unha orde progresiva que se concreta de forma xeneralizada no

seguinte esquema:

• Introdución ou motivación: contextualización en forma de pregunta ou recuperación de coñecementos

previos.

• Coñecemento e comprensión: desenvolvemento temático aplicado que asegure a adquisición do

coñecemento e habilidades.

• Análise e síntese: estruturación e aplicación dos coñecementos a contextos próximos que fomente o

desenvolvemento das actitudes e competencias programadas.


36

• Revisión e consolidación: práctica en contextos reais ou resolución de problemas que permiten poñer

en práctica estratexias de memorización e aplicación do coñecemento.

• Teorización da aprendizaxe: estruturación do coñecemento que fomenta a autoavaliación da

aprendizaxe.

• Autoavaliación e avaliación: detección dos logros de aprendizaxe e capacidade de abstracción do

coñecemento por parte dos alumnos.

A secuencia comeza cunha introdución aos contidos que permiten tanto recuperar e activar coñecementos

previos como establecer unha presentación da temática para traballar ao longo da unidade, relacionándoa na

medida do posible coa súa contorna inmediata a través, por exemplo, dunha pregunta motivadora de debate e

reflexión sobre os obxectivos de aprendizaxe da unidade. Focalízase especialmente nas competencias de

aprender a aprender, comunicativa e dixital. Promove o traballo colaborativo e, en xeral, non ten unha única

solución, senón diversas e creativas.

Preséntanse novos conceptos e procedementos a partir dos coñecementos previos para a construción da

aprendizaxe. Para iso, cóntase co Caderno de aprendizaxe e recursos interactivos que fomentan a actividade

dinámica do grupo na aula, A diversidade de recursos de exercitación e profundización permitirá a

consolidación da aprendizaxe a través de actividades significativas para os alumnos.

A continuación, proponse un proceso de contextualización e aplicación do aprendido a situacións ou retos

específicos que axudarán a poñer en práctica todas as competencias clave.

Conclúese co mapa conceptual que axuda á estruturación do coñecemento e unha autoavaliación que axuda

aos alumnos para estudar e a ser consciente das súas propias capacidades, coñecementos e destrezas.

A avaliación pode ser procesual ou sumativa, e pode realizarse a partir das propostas de exercitación

recollidas no Banco de actividades. Unha vez identificadas as características dos alumnos, realizarase a

selección dos elementos de avaliación e adaptarase ao grupo e á diversidade dos alumnos.

Con todo, a plataforma E-Dixgal ofrece a posibilidade de adaptar as unidades ás propias necesidades

didácticas que se presenten durante o curso por mor dun maior coñecemento do grupo e os alumnos que o

conforman.

Para determinar o grao de correspondencia entre o currículo oficial do curso e as unidades didácticas propostas,

cada unidade conta cunha táboa na que se poñen en relación os contidos, criterios de avaliación e estándares

de aprendizaxe establecidos pola lei en vigor e cada un das actividades e recursos das unidades didácticas da

materia.

RECURSOS DIDÁCTICOS E ORGANIZATIVOS

Para cada tema os Recursos Didácticos dos que se dispón son os seguintes:

1. “Libro de texto”: Contidos de E-Dixgal

Segundo a editorial coa que se traballe o Libro do Alumno e da Alumna consta de 19, 14 ou 12 temas para o Primeiro Curso da Materia Matemáticas da Educación Secundaria Obrigatoria.


37

2. Fichas de Actividades

As Fichas de Actividades serven para reforzar contidos básicos do Libro do Alumno e da Alumna. Por outro lado, en combinación co resto de materiais, constitúen un instrumento para atender as necesidades individuais do alumnado, xa que permiten practicar aqueles coñecementos que secuencian os distintos temas.

3. Recursos Didácticos

Enderezos de Internet. Cada tema dispón de enderezos de Internet que serven para reforzar e complementar os contidos, habilidades e competencias traballadas en cada tema.

Actividades de Avaliación Inicial. Actividades deseñadas para avaliar os coñecementos previos do alumnado antes de iniciar o estudo de cada un dos temas.

Actividades de Reforzo e Ampliación. Actividades de reforzo e de ampliación que permiten consolidar os coñecementos dos contidos do tema e ampliar algúns aspectos importantes.

Actividades de Avaliación Final. Preguntas que seguindo o modelo das avaliacións de diagnóstico para a Educación Secundaria Obrigatoria, permiten avaliar o nivel de logro de cada un dos Estándares de Aprendizaxe acadado polos alumnos.

4. Probas de Avaliación final

Diferentes probas de avaliación en función do nivel de coñecementos acadado polo alumnado. Propóñense actividades distintas para cada tema con 3 opcións de avaliación de dificultade crecente: nival baixo, nivel medio, nivel alto. Cada opción de avaliación permite avaliar tanto os contidos como as competencias clave.

A organización dos recursos materiais e persoais son un elemento básico para facer posible o desenvolvemento do proceso de aprendizaxe-ensino. Algunhas das decisións máis relevantes no uso dos recursos didácticos e organizativos serán:

Establecer os mecanismos de coordinación de responsabilidades educativas (os instrumentos, os espazos e tempos de dita coordinación). Estableceranse as responsabilidades da comisión de coordinación pedagóxica, dos departamentos didácticos e dos equipos docentes en todas as medidas de atención á diversidade.

Definición dos principios xerais sobre metodoloxía e didáctica para a atención á diversidade (tal como vimos na sección anterior).

Definición dos criterios para a asignación dos espazos e para a distribución dos tempos na organización das medidas de atención á diversidade.

A maneira de traballar en cada grupo adaptarase facendo subgrupos atendendo ás necesidades de cada alumno e poderán engadirse os seguintes tipos de actividades: • Recursos expositivos/activos

• Audiovisuais

• Audios

• Secuencias de imaxes

• Animacións

• Simulacións

• Mapas conceptuais

• Recursos de exercitación:

• Actividades auto corrixibles

• Actividades abertas

• Actividades colaborativas

• Os proxectos disciplinares

• Banco de actividades ou xerador de exames

• Banco de actividades de resposta aberta ou xerador de exames

• Recursos de avaliación


38

2º ESO

OBXECTIVOS DA ÁREA DE MATEMÁTICAS 2.º ESO

A área de Matemáticas de 2.º ESO contribuirá a desenvolver nos alumnos e as alumnas as capacidades que

lles permitan:

- Resolver problemas utilizando os recursos e as estratexias necesarios, deixando constancia dos pasos

seguidos.

- Xerar, mediante diferentes métodos (dedución, indución...) padróns, regularidades e leis matemáticas en

distintos contextos.

- Xerar diferentes problemas a partir doutro xa resolto.

- Aplicar o método científico en diferentes situacións de investigación, achegando informes de resultados e

conclusións destes.

- Resolver problemas da vida cotiá aplicando os contidos traballados.

- Descubrir as fortalezas e as debilidades matemáticas persoais.

- Afrontar a toma de decisións como un proceso de crecemento persoal e de orientación cara ao futuro e

valorar a súa aplicación en contextos matemáticos.

- Utilizar as TIC en contextos matemáticos como ferramentas para a realización de cálculos, comprobación

de resultados, representacións gráficas, simulacións, etc.

- Seleccionar a información necesaria para resolver problemas da vida cotiá con autonomía e sentido crítico.

- Utilizar de forma adecuada os diferentes tipos de números para resolver problemas da vida diaria, aplicando

correctamente as súas operacións e a prioridade destas.

- Desenvolver estratexias de cálculo mental que faciliten e axilicen o uso de diferentes tipos de números.

- Aplicar técnicas de cálculo para resolver problemas de proporcionalidade en situacións da vida real.

- Utilizar con destreza a calculadora, programas informáticos, etc., como medio para facilitar os cálculos,

comprobar operacións, descubrir padróns, etc.

- Empregar estratexias de análise de datos na resolución de problemas.

- Resolver problemas utilizando ecuacións de primeiro e segundo grao e sistemas de ecuacións.

- Utilizar adecuadamente o teorema de Pitágoras para calcular lados descoñecidos en figuras xeométricas.

- Coñecer e aplicar o concepto de semellanza entre figuras xeométricas.

- Coñecer as características principais dos corpos xeométricos (poliedros, corpos de revolución e poliedros

regulares).

- Calcular áreas e volumes de figuras xeométricas.

- Representar funcións a partir da súa expresión analítica ou dunha táboa de valores.

- Interpretar e analizar adecuadamente unha función lineal en contextos reais.

- Tabular datos dunha distribución estatística e representalos graficamente.

- Calcular os parámetros estatísticos básicos dunha distribución estatística e interpretalos adecuadamente en

cada contexto.

- Resolver situacións nas que interveñan conceptos de aleatoriedade e probabilidade.


39

CONTRIBUCIÓN DA ÁREA AO DESENVOLVEMENTO DAS COMPETENCIAS CLAVE

Descrición do modelo competencial

Na descrición do modelo competencial inclúese o marco de descritores competenciais, no que aparecen os

contidos reconfigurados desde un enfoque de aplicación que facilita o adestramento das competencias;

lembremos que estas non se estudan, nin se ensinan: adéstranse. Para iso, é necesaria a xeración de tarefas de

aprendizaxe que permita ao alumnado a aplicación do coñecemento mediante metodoloxías de aula activas.

Abordar cada competencia de xeito global en cada unidade didáctica é imposible; debido a iso, cada unha

destas divídese en indicadores de seguimento (entre dous e cinco por competencia), grandes piares que

permiten describila dun xeito máis preciso; dado que o carácter destes é aínda moi xeral, o axuste do nivel de

concreción esixe que os devanditos indicadores se dividan, á súa vez, no que se denominan descritores da

competencia, que serán os que «describan» o grao competencial do alumnado. Por cada indicador de

seguimento encontraremos entre dous e catro descritores, cos verbos en infinitivo.

En cada unidade didáctica, cada un destes descritores concrétase en desempeños competenciais, redactados

en terceira persoa do singular do presente de indicativo. O desempeño é o aspecto específico da competencia

que se pode adestrar e avaliar de xeito explícito; é, polo tanto, concreto e obxectivable. Para o seu

desenvolvemento, partimos dun marco de descritores competenciais definido para o proxecto e aplicable a

todas as materias e cursos da etapa.

Respectando o tratamento específico nalgunhas áreas, os elementos transversais, como a comprensión lectora,

a expresión oral e escrita, a comunicación audiovisual, as tecnoloxías da información e a comunicación, o

emprendemento e a educación cívica e constitucional, traballaranse desde todas as áreas, posibilitando e

fomentando que o proceso de ensinanza-aprendizaxe do alumnado sexa o máis completo posible.

Por outra parte, o desenvolvemento e a aprendizaxe dos valores, presentes en todas as áreas, axudarán a que

os nosos alumnos e alumnas aprendan a desenvolverse nunha sociedade ben consolidada na que todos

poidamos vivir, e en cuxa construción colaboren.

A diversidade dos nosos alumnos e alumnas, cos seus estilos de aprendizaxe diferentes, hanos de conducir a

traballar desde as diferentes potencialidades de cada un deles, apoiándonos sempre nas súas fortalezas para

poder dar resposta ás súas necesidades.

Na área de Matemáticas incidiremos no adestramento de todas as competencias de xeito sistemático facendo

fincapé nos descritores máis afíns a ela.


A competencia matemática e as competencias básicas en ciencia e tecnoloxía inducen e fortalecen algúns

aspectos esenciais da formación das persoas que resultan fundamentais para a vida.

Nunha sociedade onde o impacto das matemáticas, as ciencias e as tecnoloxías é determinante, a consecución

e a sostenibilidade do benestar social esixen condutas e toma de decisións persoais estreitamente vinculadas

coa capacidade crítica e coa visión razoada e razoable das persoas.

Desde a área de Matemáticas traballaremos, fundamentalmente, cos seguintes descritores asociados a esta

competencia:

- Interactuar co contorno natural de xeito respectuoso.

- Recoñecer a importancia da ciencia na nosa vida cotiá.

- Manexar os coñecementos sobre ciencia e tecnoloxía para solucionar problemas, comprender o que acontece

arredor nosa e responder preguntas.

- Coñecer e utilizar os elementos matemáticos básicos: operacións, magnitudes, porcentaxes, proporcións,

formas xeométricas, criterios de medición e codificación numérica, etc.


40

- Comprender e interpretar a información presentada en formato gráfico.

- Expresarse con propiedade na linguaxe matemática.

- Organizar a información utilizando procedementos matemáticos.

- Resolver problemas seleccionando os datos e as estratexias apropiadas.

- Aplicar estratexias de resolución de problemas a situacións da vida cotiá.

Comunicación lingüística A competencia en comunicación lingüística é o resultado da acción comunicativa dentro de prácticas sociais

determinadas, nas cales o individuo actúa con outros interlocutores e, a través de textos, en múltiples

modalidades, formatos e soportes. Estas situacións e prácticas poden implicar o uso dunha ou varias linguas,

en diversos ámbitos e de xeito individual ou colectivo.

Esta visión da competencia en comunicación lingüística vinculada con prácticas sociais determinadas ofrece

unha imaxe do individuo como axente comunicativo que produce, e non só recibe, mensaxes a través das

linguas con distintas finalidades.


competencia:

- Comprender o sentido dos textos escritos e orais.

- Expresarse oralmente con corrección, adecuación e coherencia.

- Utilizar o vocabulario adecuado, as estruturas lingüísticas e as normas ortográficas e gramaticais para

elaborar textos escritos e orais.

- Respectar as normas de comunicación en calquera contexto: quenda de palabra, escoita atenta ao

interlocutor...

- Manexar elementos de comunicación non verbal, ou en diferentes rexistros, nas diversas situacións

comunicativas.

- Utilizar os coñecementos sobre a lingua para buscar información e ler textos en calquera situación.

Competencia dixital

A competencia dixital é aquela que implica o uso creativo, crítico e seguro das tecnoloxías da información e

a comunicación para alcanzar os obxectivos relacionados co traballo, a empregabilidade, a aprendizaxe, o uso

do tempo libre, a inclusión e a participación na sociedade.

Esta competencia supón, ademais da adecuación aos cambios que introducen as novas tecnoloxías na

alfabetización, a lectura e a escritura, un conxunto novo de coñecementos, habilidades e actitudes necesarias

hoxe en día para ser competente nun ámbito dixital.


competencia:

- Empregar distintas fontes para a busca de información.

- Elaborar e publicitar información propia derivada de información obtida a través de medios tecnolóxicos.

- Comprender as mensaxes que veñen dos medios de comunicación.

- Manexar ferramentas dixitais para a construción de coñecemento.

Conciencia e expresións culturais A competencia en conciencia e expresión cultural implica coñecer, comprender, apreciar e valorar con espírito

crítico, cunha actitude aberta e respectuosa, as diferentes manifestacións culturais e artísticas, utilizalas como

fonte de enriquecemento e gozo persoal, e consideralas como parte da riqueza e o patrimonio dos pobos.

Esta competencia incorpora tamén un compoñente expresivo referido á propia capacidade estética e creadora,

e ao dominio daqueloutras relacionadas cos diferentes códigos artísticos e culturais, para poder utilizalas como

medio de comunicación e expresión persoal. Implica igualmente manifestar interese pola participación na vida


41

cultural e por contribuír á conservación do patrimonio cultural e artístico, tanto da propia comunidade coma

doutras comunidades.


competencia:

- Mostrar respecto cara ao patrimonio cultural mundial nas súas distintas vertentes (artístico-literaria,

etnográfica, científico-técnica...), e cara ás persoas que contribuíron ao seu desenvolvemento.

- Expresar sentimentos e emocións mediante códigos artísticos.

- Apreciar a beleza das expresións artísticas e as manifestacións de creatividade e gusto pola estética no

ámbito cotián.

- Elaborar traballos e presentacións con sentido estético.


As competencias sociais e cívicas implican a habilidade e a capacidade para utilizar os coñecementos e as

actitudes sobre a sociedade –entendida desde as diferentes perspectivas, na súa concepción dinámica,

cambiante e complexa–, para interpretar fenómenos e problemas sociais en contextos cada vez máis

diversificados; para elaborar respostas, tomar decisións e resolver conflitos, así como para interactuar con

outras persoas e grupos conforme a normas baseadas no respecto mutuo e en conviccións democráticas.

Ademais de incluír accións nun nivel máis próximo e mediato ao individuo como parte dunha implicación

cívica e social.


competencia:

- Aplicar dereitos e deberes da convivencia cidadá no contexto da escola.

- Mostrar dispoñibilidade para a participación activa en ámbitos de participación establecidos.

- Recoñecer riqueza na diversidade de opinións e ideas.

- Aprender a comportarse desde o coñecemento dos distintos valores.

- Evidenciar preocupación polos máis desfavorecidos e respecto aos distintos ritmos e potencialidades.

Sentido de iniciativa e espírito emprendedor A competencia sentido de iniciativa e espírito emprendedor implica a capacidade de transformar as ideas en

actos. Iso significa adquirir conciencia da situación onde intervir ou resolver, e saber elixir, planificar e

xestionar os coñecementos, as destrezas ou as habilidades e as actitudes necesarios con criterio propio, co fin

de alcanzar o obxectivo previsto.

Esta competencia está presente nos ámbitos persoal, social, escolar e laboral nos que se desenvolven as

persoas, permitíndolles o desenvolvemento das súas actividades e o aproveitamento de novas oportunidades.

Constitúe igualmente o alicerce doutras capacidades e coñecementos máis específicos, e inclúe a conciencia

dos valores éticos relacionados.


competencia:

- Optimizar recursos persoais apoiándose nas fortalezas propias.

- Ser constante no traballo, superando as dificultades.

- Dirimir a necesidade de axuda en función da dificultade da tarefa.

- Xestionar o traballo do grupo coordinando tarefas e tempos.

- Priorizar a consecución de obxectivos grupais sobre os intereses persoais.

- Optimizar o uso de recursos materiais e persoais para a consecución de obxectivos.

- Mostrar iniciativa persoal para iniciar ou promover accións novas.


42

Aprender a aprender A competencia de aprender a aprender é fundamental para a aprendizaxe permanente que se produce ao longo

da vida e que ten lugar en distintos contextos formais, non formais e informais.

Esta competencia caracterízase pola habilidade para iniciar, organizar e persistir na aprendizaxe. Isto

esixe, en primeiro lugar, a capacidade para motivarse por aprender. Esta motivación depende de que se

xere a curiosidade e a necesidade de aprender, de que o estudante se sinta protagonista do proceso e do

resultado da súa aprendizaxe e, finalmente, de que chegue a acadar as metas de aprendizaxe propostas e,

con iso, que se produza nel unha percepción de autoeficacia. Todo o anterior contribúe a motivalo para

abordar futuras tarefas de aprendizaxe.


competencia:

- Identificar potencialidades persoais como aprendiz: estilos de aprendizaxe, intelixencias múltiples, funcións

executivas...

- Xerar estratexias para aprender en distintos contextos de aprendizaxe.

- Desenvolver estratexias que favorezan a comprensión rigorosa dos contidos.

- Planificar os recursos necesarios e os pasos que se deben realizar no proceso de

aprendizaxe.

- Seguir os pasos establecidos e tomar decisións sobre os pasos seguintes en función dos resultados

intermedios.

- Avaliar a consecución de obxectivos de aprendizaxe.


ORGANIZACIÓN E SECUENCIACIÓN DE CONTIDOS, CRITERIOS DE AVALIACIÓN E

ESTÁNDARES DE APRENDIZAXE AVALIABLES

O currículo da área de Matemáticas agrúpase en varios bloques. Os contidos, os criterios de avaliación e os

estándares de aprendizaxe formúlanse para 1.º e 2.º de Educación Secundaria, aínda que nesta parte da

programación só aparecerán os seleccionados para 2.º de ESO.

Na súa redacción respectarase a numeración dos criterios de avaliación e dos estándares de aprendizaxe tal e

como aparece no Real decreto 1105/2014, do 26 de decembro, polo que se establece o currículo básico de

Educación Secundaria Obrigatoria e do Bacharelato.

Contidos por bloques

BLOQUE 1. PROCESOS, MÉTODOS E ACTITUDES EN MATEMÁTICAS - Planificación do proceso de resolución de problemas.

- Estratexias e procedementos postos en práctica: uso da linguaxe apropiada (gráfico, numérico, alxébrico,

etc.), reformulación do problema, resolver subproblemas, reconto exhaustivo, empezar por casos

particulares sinxelos, buscar regularidades e leis, etc.

- Reflexión sobre os resultados: revisión das operacións utilizadas, asignación de unidades aos resultados,

comprobación e interpretación das solucións no contexto da situación, busca doutras formas de resolución,

etc.

- Proposta de investigacións matemáticas escolares en contextos numéricos, xeométricos, funcionais,



matemáticos.

- Confianza nas propias capacidades para desenvolver actitudes adecuadas e afrontar as dificultades propias

do traballo científico.


43

- Utilización de medios tecnolóxicos no proceso de aprendizaxe para:

a) a recollida ordenada e a organización de datos;

b) a elaboración e a creación de representacións gráficas de datos numéricos, funcionais ou estatísticos;

c) facilitar a comprensión de propiedades xeométricas ou funcionais e a realización de cálculos de tipo

numérico, alxébrico ou estatístico;

d) o deseño de simulacións e a elaboración de predicións sobre situacións matemáticas diversas;

e) a elaboración de informes e documentos sobre os procesos levados a cabo e os resultados e conclusións

obtidos;

g) comunicar e compartir, en ámbitos apropiados, a información e as ideas matemáticas.

BLOQUE 2. NÚMEROS E ÁLXEBRA

- Divisibilidade dos números naturais. Criterios de divisibilidade.

- Números primos e compostos. Descomposición dun número en factores primos.

- Múltiplos e divisores comúns a varios números. Máximo común divisor e mínimo común múltiplo de dous

ou máis números naturais.

- Números negativos. Significado e utilización en contextos reais.

- Números enteiros. Operacións.

- Fraccións en ámbitos cotiáns. Fraccións equivalentes. Comparación de fraccións. Representación,

ordenación e operacións.

- Números decimais. Representación, ordenación e operacións.

- Relación entre fraccións e decimais. Conversión e operacións.

- Potencias de números enteiros e fraccionarios con expoñente natural. Operacións.

- Potencias de base 10. Utilización da notación científica para representar números grandes.

- Cadrados perfectos. Raíces cadradas. Estimación e obtención de raíces aproximadas.

- Xerarquía das operacións.

- Cálculos con porcentaxes (mental, manual, calculadora). Aumentos e diminucións porcentuais.

- Razón e proporción. Magnitudes directa e inversamente proporcionais. Constante de proporcionalidade.

- Resolución de problemas nos que interveña a proporcionalidade directa ou inversa, ou variacións

porcentuais. Reparticións directa e inversamente proporcionais.

- Elaboración e utilización de estratexias para o cálculo mental, para o cálculo aproximado e para o cálculo

con calculadora ou outros medios tecnolóxicos.

- Iniciación á linguaxe alxébrica.

- Tradución de expresións da linguaxe cotiá, que representen situacións reais, ao alxébrico e viceversa.

- A linguaxe alxébrica para xeneralizar propiedades e simbolizar relacións.

- Obtención de fórmulas e termos xerais baseados na observación de pautas e regularidades. Valor numérico

dunha expresión alxébrica.

- Operacións con expresións alxébricas sinxelas. Transformación e equivalencias. Identidades. Operacións

con polinomios en casos sinxelos.

- Ecuacións de primeiro grao cunha incógnita (métodos alxébrico e gráfico) e de segundo grao cunha

incógnita (método alxébrico). Resolución. Interpretación das solucións. Ecuacións sen solución. Resolución

de problemas.

- Sistemas de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas. Métodos alxébricos de resolución e método gráfico.

Resolución de problemas.


44

BLOQUE 3. XEOMETRÍA

- Triángulos rectángulos. O teorema de Pitágoras. Xustificación xeométrica e aplicacións.

- Semellanza: figuras semellantes. Criterios de semellanza. Razón de semellanza e escala. Razón entre

lonxitudes, áreas e volumes de corpos semellantes.

- Poliedros e corpos de revolución. Elementos característicos, clasificación. Áreas e volumes.

- Propiedades, regularidades e relacións dos poliedros. Cálculo de lonxitudes, superficies e volumes do

mundo físico.

- Uso de ferramentas informáticas para estudar formas, configuracións e relacións xeométricas.

BLOQUE 4. FUNCIÓNS - O concepto de función. Variable dependente e independente. Formas de presentación (linguaxe habitual,

táboa, gráfica, fórmula). Crecemento e decrecemento. Continuidade e descontinuidade. Cortes cos eixes.

Máximos e mínimos relativos. Análise e comparación de gráficas.

- Funcións lineais. Cálculo, interpretación e identificación da pendente da recta. Representacións da recta a

partir da ecuación e obtención da ecuación a partir dunha recta.

- Utilización de calculadoras gráficas e programas de ordenador para a construción e interpretación de

gráficas.

BLOQUE 5. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Organización en táboas de datos recollidos nunha experiencia.

- Diagramas de barras e de sectores.

- Polígonos de frecuencias.

- Medidas de tendencia central.

- Medidas de dispersión.

- Fenómenos deterministas e aleatorios.

- Formulación de conxecturas sobre o comportamento de fenómenos aleatorios sinxelos e deseño de

experiencias para a súa comprobación.

- Frecuencia relativa dun suceso e a súa aproximación á probabilidade mediante a simulación ou

experimentación.

- Sucesos elementais equiprobables e non equiprobables.

- Espazo mostral en experimentos sinxelos. Táboas e diagramas de árbore sinxelos.

- Cálculo de probabilidades mediante a regra de Laplace en experimentos sinxelos.


45

Organización dos contidos e temporalización (2º ESO)

TRIMESTRE TÍTULO CORRESPONDENCIA

COS TEMAS DO LIBRO

PRIMEIRO Divisibilidade e números enteiros

Fracciones e decimais

Potencias

Proporcionalidade

Álxebra

1

2

3

7

4

SEGUNDO Ecuacións

Sistemas de ecuacións

Funcións

5

6

11

TERCEIRO Semellanza

Poliedros

Corpos redondos

Estatística

Probabilidade

8

9

10

12

13


46

Desenvolvemento por unidades

UNIDADE 1: DIVISIBILIDADE E NÚMEROS ENTEIROS

Obxectivos Didácticos

Saber aplicar os algoritmos que permiten estudiar a divisibilidade dos números naturais e recoñecer os números primos e os números compostos.

Construír o conxunto formado polos divisores o os múltiplos dun número natural utilizando diversas estratexias.

Saber calcular o mínimo común múltiplo e o máximo común divisor de dous ou máis números aplicando a súa descomposición en factores primos.

Coñecer os números enteiros.

Representar e ordenar os números enteiros na recta graduada.

Realizar operacións con números enteiros.

Calcular expresións numéricas con e sen parénteses, aplicando a prioridade das operacións.

Resolver problemas usando números enteiros, divisores e múltiplos.

Temporalización: 3º, 4º semana de setembro e 1º de outubro

Contidos, Criterios de Avaliación, Estándares de Aprendizaxe e Competencias Clave

BLOQUE 1

Contidos Criterios de Avaliación Estándares de Aprendizaxe e C. C.

– Planificación do proceso de resolución de problemas.

– Uso da linguaxe numérica apropiada.

1. Expresar de forma razoada o proceso seguido na resolución dun problema.

1.1 Expresa oralmente ou por escrito o proceso seguido na resolución dun problema. C. Lingüística – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Reflexión sobre os resultados obtidos.

– Práctica dos procesos de matematización e modelización, en contextos da realidade.

2. Utilizar procesos de razoamento e estratexias de resolución de problemas valorando a validez das solucións obtidas.

2.1 Analiza e comprende o enunciado dos problemas. C. Lingüística - Aprender a aprender.

2.2 Emprega estratexias e razoamentos adecuados na resolución de problemas. Aprender a aprender –Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Confianza nas propias capacidades para desenvolver actitudes adecuadas e enfrontar as dificultades.

3. Desenvolver e cultivar as actitudes persoais inherentes ao quefacer matemático.

3.1 Formúlase a resolución de problemas coa precisión e interese adecuados. Aprender a aprender.

– Utilización de medios tecnolóxicos no proceso de aprendizaxe.

4. Empregar as ferramentas tecnolóxicas adecuadas, de forma autónoma.

4.1 Selecciona ferramentas tecnolóxicas adecuadas e úsaas para a realización de cálculos numéricos. C. Dixital.

BLOQUE 2


– Múltiplos e divisores dun número.

– Criterios de divisibilidade. – Propiedades dos múltiplos e

dos divisores. – Números primos e números

compostos.

– Os números enteiros.

1. Utilizar os

distintos tipos de

números, as porcentaxes,

as súas operacións e

propiedades para recoller,

transformar e

intercambiar

información,

1.1 Identifica os distintos tipos de números

e utilízaos para representar, ordenar e

analizar información. Sentido de iniciativa e

espírito emprendedor - Aprender a aprender. 1.2 Calcula o valor de expresións

numéricas aplicando a xerarquía das

operacións. Aprender a aprender.


47

– Representación na recta numérica e ordenación de números enteiros.

– O valor absoluto dun número enteiro.

– Suma, resta, multiplicación e división de números enteiros.

e resolver problemas relacionados coa vida diaria.

1.3 Resolve problemas cotiáns usando os

distintos tipos de números e as súas operacións.

Aprender a aprender.

– Descomposición dun número en factores primos.

– Descomposición dun número en factores primos.

– Cálculo dos divisores dun número.

– Cálculo do máximo común divisor (m.c.d) e o mínimo común múltiplo (m.c.m).

2. Empregar propiedades e novos significados dos números en contextos de paridade, divisibilidade e operacións elementais, mellorando así a comprensión dos conceptos traballados.

2.1 Aplica os diversos criterios de divisibilidade e descompón un número natural dado en produto de factores primos. Aprender a aprender.

2.2 Calcula o m.c.d. e o m.c.m., e úsaos para resolver problemas contextualizados. Aprender a aprender.

– Operacións combinadas con números enteiros.

3. Elixir la forma de cálculo apropiada (mental, escrita o con calculadora), usando diferentes estratexias.

3.1 Desenvolve estratexias de cálculo mental. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

Estándares de Aprendizaxe e Descriptores para o seguimento dos Estándares

BLOQUE 1

Estándares de Aprendizaxe Descriptores


Explica oralmente ou por escrito os pasos seguidos para resolver os problemas propostos, coa claridade e a orde adecuadas. P. 8, Act. 20.


Analiza o enunciado dun problema, identificando os datos e que é o que busca. P. 17, Resolución de problemas.

Valora a información do enunciado e comprende que o exercicio ten unha solución. P. 22, Act. 116


É organizado á hora de resolver un problema respectando estes pasos: comprender o enunciado, elaborar e executar un plan e comprobar o resultado. P. 17, Resolución de problemas.

Emprega exemplos numéricos concretos que lle facilitan o razoamento. P. 22, Act. 123.


Formúlase a resolución dos problemas como un reto e faino con esmero e interese. P. 14, Estratexia e enxeño.

Sabe distinguir entre problemas e exercicios e aplica a estratexia adecuada para cada caso. P. 22, Act. 118.


Utiliza o recurso online WIRIS para realizar cálculos. P. 16, Recursos TIC.


48

BLOQUE 2


1.1 Identifica os distintos tipos de números e utilízaos para representar, ordenar e analizar información. Sentido de iniciativa e espírito emprendedor - Aprender a aprender.

Coñece os números enteiros, as súas características e usos. P. 10, Act. 21.

Representa os números enteiros na recta numérica. P. 19, Act. 68. Determina o valor absoluto que ten un número dado. P. 10, Act. 25.

1.2 Calcula o valor de expresións numéricas aplicando a xerarquía das operacións. Aprender a aprender.

Calcula o valor de expresións numéricas con números enteiros aplicando a xerarquía das operacións. P. 16, Act. 37 – 39.

1.3 Resolve problemas cotiáns usando os distintos tipos de números e as súas operacións. Aprender a aprender.

Resolve problemas con contextos da vida diaria empregando e operando con números enteiros. P. 17, Act. 41.

2.1 Aplica os diversos criterios de divisibilidade e descompón un número natural dado en produto de factores primos. Aprender a aprender.

Aplica os criterios de divisibilidade adecuadamente. p. 5, Act. 3. Determina se un número dado é primo ou composto. P. 6, Act. 9. Realiza a descomposición en factores primos dun número dado. P.

7, Act. 13.

2.2 Calcula o m.c.d. e o m.c.m., e úsaos para resolver problemas contextualizados. Aprender a aprender.

Calcula o m.c.d. e o m.c.m. de dous números a partir da súa descomposición en factores primos. P. 8, Act. 18.

Resolve problemas da vida cotiá usando o m.c.d. e o m.c.m. P. 17, Act. 40.


Aprende e pon en práctica estratexias de cálculo mental. P. 22, Cálculo mental.

UNIDADE 2: FRACCIÓNS E DECIMAIS

Obxectivos Didácticos Organizar a información numérica en forma de fraccións para facilitar a resolución de situacións problemáticas

da vida cotiá.

Recoñecer a equivalencia de fraccións e obter a facción irredutible.

Calcular o común denominador entre varias fraccións para ordenalas u operar con elas.

Resolver operacións con fracciones.

Calcular expresións numéricas con fraccións, con e sen parénteses, aplicando a prioridade das operacións.

Recoñecer os diversos tipos de números decimais e converter números decimais a fraccións.

Aproximar números decimais utilizando o truncamento e o redondeo e valorar o error cometido na aproximación.

Calcular expresións numéricas con números decimais, con e sen parénteses, aplicando a prioridade das operacións.

Resolver problemas usando fraccións e números decimais.

Temporalización: 2º , 3º semana de outubro


BLOQUE 1







49




2.2 Emprega estratexias e razoamentos adecuados na resolución de problemas. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.


3. Desenvolver procesos de matematización en contextos da realidade cotiá.

3.1 Establece conexións entre problemas da redonda e do mundo matemático. C. Básica en ciencias e tecnoloxía.






5.1 Selecciona ferramentas tecnolóxicas adecuadas e úsaas para a realización de cálculos numéricos. C. Dixital

BLOQUE 2


– As fraccións.

– Fraccións equivalentes.

– Fracción irredutible.

– Redución de fraccións a común denominador.

– Representación na recta numérica de fraccións.

– Ordenación de fraccións – Suma, resta, multiplicación e

división de fraccións. – Operacións combinadas con

fraccións. – Os números decimais. – Números decimais exactos,

periódicos puros e periódicos mixtos.

1. Utilizar os distintos tipos de números, as porcentaxes, as súas operacións e propiedades para recoller, transformar e intercambiar información e resolver problemas relacionados coa vida diaria.




– Conversión de números decimais a fraccións.

– Fracción xeratriz. – Aproximación de números

decimais por truncamento e por redondeo.

– Erro na aproximación.

2. Empregar propiedades e novos significados dos números en contextos de paridade, divisibilidade e operacións elementais, mellorando la comprensión dos conceptos traballados.

2.1 Acha fraccións equivalentes e realiza operacións de conversión entre fraccións e números decimais. Sentido de iniciativa e espírito emprendedor - Aprender a aprender.

2.2 Realiza operacións de redondeo e truncamento determinando o erro cometido. Sentido de iniciativa e espírito emprendedor - Aprender a aprender.

– Operacións básicas con números decimais.

3. Elixir a forma de cálculo apropiada (mental, escrita ou con calculadora), usando diferentes estratexias.




50

BLOQUE 1



Explica oralmente ou por escrito os pasos seguidos para resolver os problemas propostos, coa claridade e a orde adecuadas. P. 42, Repasa a unidade: Act. C7 – C10.



2.2 Emprega estratexias e razoamentos adecuados na resolución de problemas. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

É organizado á hora de resolver un problema respectando estes pasos: comprender o enunciado, elaborar e executar un plan e comprobar o resultado. P. 45, Act. 85 – 95

3.1 Establece conexións entre problemas da redonda e do mundo matemático. C. Básica en ciencias e tecnoloxía.

Relaciona problemas do mundo real con conceptos matemáticos e as operacións que os representan. P. 45, Act. 92.


Formúlase a resolución dos problemas como un reto e faino con esmero e interese. P. 48 Estratexia e enxeño.


Utiliza o recurso online @amplía na rede para profundar sobre fraccións e números decimais. P. 37.


BLOQUE 2



Coñece as fraccións e os seus usos. P. 28, Act. 1. Representa as fraccións na recta numérica e ordénaas. P. 31,

Act. 9 – 10. Coñece os tipos de números decimais. P. 38, Act. 26.


Calcula o valor de expresións numéricas con fraccións aplicando a xerarquía das operacións. P. 36, Act. 23– 24.

Calcula correctamente o valor de expresións numéricas con números decimais aplicando a xerarquía das operacións. P. 40, Act. 33.


Resolve problemas con contextos da vida diaria empregando e operando con fraccións. P. 41, Act. 34.

Resolve problemas con contextos da vida diaria empregando e operando con números decimais. P. 41, Act. 35.

2.1 Acha fraccións equivalentes e realiza operacións de conversión entre fraccións e números decimais. Sentido de iniciativa e espírito emprendedor - Aprender a aprender.

Determina se dúas fraccións son equivalentes. P. 42, Act. 41 Acha a fracción irredutible. P. 30, Act. 7. Reduce fraccións ao mínimo común denominador para poder

comparalas e operar con elas. P. 42, Act. 45. Acha a fracción xeratriz dun número decimal dado. P. 44, Act.

69 – 70.

2.2 Realiza operacións de redondeo e truncamento determinando o erro cometido. Sentido de iniciativa e espírito emprendedor - Aprender a aprender.

Realiza operacións de redondeo e truncamento coñecendo o grao de aproximación. P. 39, Act. 30.

Determina o erro absoluto cometido en operacións de truncamento e redondeo. P. 39, Act. 31.




51

UNIDADE 3: POTENCIAS

Obxectivos Didácticos Calcular potencias de base enteira ou fraccionaria e expoñente natural e identificar as súas propiedades.

Calcular potencias de expoñente enteiro no natural.

Identificar a raíz cadrada como o proceso inverso á potencia de expoñente 2 e realizar o seu cálculo.

Calcular expresións numéricas con potencias e raíces cadradas, con e sen parénteses, aplicando a prioridade das operacións.

Empregar a notación científica para expresar magnitudes moi grandes ou moi pequenas.

Resolver problemas usando potencias, raíces cadradas e a notación científica.

Temporalización: 4º semana de outubro , 1º e 2º semanas de novembro


BLOQUE 1











3.1 Formúlase a resolución de problemas coa precisión e interese adecuados. Aprender a aprender


4. Profundar nos problemas resoltos e formular pequenas variacións e novas preguntas.

4.1 Profunda nos problemas resoltos, formula novas preguntas e establece conexións cos conceptos estudados. Aprender a aprender.



5.1 Selecciona ferramentas tecnolóxicas

adecuadas e úsaas para a realización de

cálculos numéricos. C. Dixital

BLOQUE 2


– Potencias de base enteira e expoñente natural.

– Potencias de base unha fracción e expoñente natural.

– Potencias de expoñente 0.

– Produto e cociente de potencias da mesma base.

– Potencia dun produto e dun cociente.

– Potencia da potencia.

1. Utilizar os distintos tipos de números, as porcentaxes, as súas operacións e propiedades para recoller, transformar e intercambiar información e resolver problemas relacionados coa vida diaria.




52

– Potencias de expoñente enteiro.

– A raíz cadrada.

– A raíz cadrada enteira.

– A raíz cadrada dunha fracción.

– A notación científica.

2. Empregar propiedades e novos significados dos números en contextos de paridade, divisibilidade e operacións elementais, mellorando así a comprensión dos conceptos traballados.

2.1 Realiza cálculos nos que interveñen potencias de expoñente enteiro. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

2.2 Realiza cálculos n os que interveñen raíces cadradas. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

2.3 Utiliza a notación científica e valora a súa utilidade para representar grandes magnitudes. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Elaboración e utilización de estratexias para o cálculo mental.

3. Elixir a forma de cálculo apropiada (mental, escrita ou con calculadora), usando diferentes estratexias.

3.1 Desenvolve estratexias de cálculo mental. Aprender a aprender - Iniciativa e espírito emprendedor.


BLOQUE 1






Valora os datos dun enunciado e comprende que o problema ten unha única solución. P. 70, Act. 104.




Formula modificacións nos exercicios resoltos para solucionar os exercicios formulados. P. 68, Act. 75 – 76.

Os problemas resoltos permítenlle relacionar a notación científica coas potencias de base enteira non natural e a representación de magnitudes pequenas. P. 70 Act. 107.

5.1 Selecciona ferramentas tecnolóxicas

adecuadas e úsaas para a realización de

cálculos numéricos. C. Dixital

Utiliza o recurso online @amplía na rede para practicar exercicios con potencias e raíces cadradas. P. 60.


BLOQUE 2



Calcula o valor de expresións numéricas con potencias e raíces cadradas aplicando a xerarquía das operacións. P. 62, Act. 21 – 22.


Resolve problemas con contextos da vida diaria empregando potencias de expoñente enteiro. P. 65, Act. 30.

Resolve problemas con contextos da vida diaria empregando raíces cadradas. P. 69, Act. 91.

2.1 Realiza cálculos nos que interveñen potencias de expoñente enteiro. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

Calcula o resultado de operacións con potencias de base enteira e expoñente natural. P. 54, Act. 1 – 6.

Calcula o resultado de operacións con potencias de base fraccionaria e expoñente natural. P. 56, Act. 7 – 10.


53

Calcula o resultado de operacións con potencias de expoñente enteiro non natural. P. 58, Act. 11 – 14.

2.2 Realiza cálculos n os que interveñen raíces cadradas. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

Calcula o resultado de operacións con raíces cadradas de números naturais. P. 60, Act. 15.

Calcula o resultado de operacións con raíces cadradas de números fraccionarios. P. 68, Act. 70.

2.3 Utiliza a notación científica e valora a

súa utilidade para representar grandes

magnitudes. Aprender a aprender – Sentido

de Iniciativa e espírito emprendedor.

Expresa un número en notación científica. P. 64, Act. 23. Expresa en notación decimal un número dado en notación

científica. P. 64, Act. 24. Opera con números en notación científica. P. 64 Act. 27. Valora a utilidade da notación científica para representar

grandes magnitudes. P. 71, Desenvolve as túas....

3.1 Desenvolve estratexias de cálculo

mental. Aprender a aprender - Iniciativa e

espírito emprendedor.


UNIDADE 4: ÁLXEBRA

Obxectivos Didácticos Saber recoñecer expresións alxébricas.

Calcular o valor numérico dunha expresión alxébrica.

Coñecer os conceptos de monomio e polinomio, e distinguir os elementos que os compoñen.

Calcular sumas, restas, produtos e cocientes entre monomios e sumas, restas e produtos entre polinomios.

Recoñecer e calcular produtos notables.

Simplificar operacións combinadas con polinomios aplicando a prioridade das operacións.

Traducir do linguaxe natural ao linguaxe alxébrico para resolver situacións problemáticas relacionadas co entorno inmediato.

Aplicar o método aritmético e o método alxébrico como métodos alternativos para a resolución de problemas.

Temporalización: 2ª semana decembro e 2ª semana de xaneiro.


BLOQUE 1









– Formúlase a resolución de problemas como retos e amosa interese en resolvelos.




54



3.1 Establece conexións entre problemas da redonda e o mundo matemático. C. Básica en ciencias e tecnoloxía.



4.1 Selecciona ferramentas tecnolóxicas adecuadas e úsaas para manipular expresións alxébricas. C. Dixital

BLOQUE 2


– Expresións alxébricas.

– Valor numérico dunha expresión alxébrica.

– Monomios e as súas propiedades.

– Suma, resta, multiplicación e división de monomios.

– Polinomios e os seus elementos.

– Valor numérico dun polinomio. Raíces dun polinomio.

1. Analizar procesos

numéricos cambiantes

utilizando a linguaxe

alxébrica para expresalos,

comunicalos, e analizar o

seu comportamento ao

modificar as variables, e

operar con expresións

alxébricas.

1.1 Describe situacións que dependen de cantidades variables ou descoñecidas mediante expresións alxébricas e opera con elas. Aprender a aprender –Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

1.2 Identifica propiedades e leis, exprésaas mediante a linguaxe alxébrico e utilízaas para facer predicións. Aprender a aprender –Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Suma, resta e multiplicación de

polinomios.

– Produtos notables: cadrado dunha suma, cadrado dunha resta e produto de suma por diferenza.

1.3 Transforma expresións alxébricas a partir das identidades alxébricas notables e as propiedades das operacións. Aprender a aprender.

– Operacións combinadas con polinomios.

2. Utilizar a linguaxe alxébrica para simbolizar e resolver problemas mediante a formulación de expresións alxébricas, usando para a súa resolución métodos alxébricos ou gráficos e validando os resultados obtidos.

2.1 Formula alxebricamente unha situación da vida real mediante ecuacións de primeiro e segundo grao, resólveas e interpreta os resultados. Aprender a aprender –Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.


BLOQUE 1


1.1 Analiza e comprende o enunciado dos problemas. Lingüística - Aprender a aprender.

Analiza o enunciado dun problema, identificando os datos e que é o que busca. P. 93, Act. 90 – 92.

Valora os datos dun enunciado e comprende que o problema ten unha única solución. P. 94, Act. 96.


É organizado á hora de resolver un problema respectando estes pasos: comprender o enunciado, elaborar e executar un plan e comprobar o resultado. P. 93, Act. 89.

Emprega exemplos alxébricos concretos que lle facilitan o razoamento. P. 94, Act. 97.


55



3.1 Establece conexións entre problemas da redonda e o mundo matemático. C. Básica en ciencias e tecnoloxía.

Relaciona problemas do mundo real coas expresións alxébricas que os representan. P. 93, Act. 88.


Utiliza o recurso online WIRIS para manipular expresións alxébricas. P. 88, Recursos TIC.

BLOQUE 2



Representa situacións que dependen de cantidades variables mediante expresións alxébricas. P. 76, Act.1.

Identifica os elementos dun monomio e determina se dous monomios dados son semellantes. P. 77, Act. 4 – 7.

Suma, resta e multiplica monomios. P. 80, Act. 8 – 9. Divide monomios e determina se o resultado é un monomio.

P. 80, Act.13. Identifica os elementos dun polinomio. P. 82, Act. 16 – 17. Suma, resta e multiplica polinomios. P. 84, Act. 20 – 27. Determina o valor numérico dunha expresión alxébrica para

un valor dado da variable. P. 76, Act. 3.

1.2 Identifica propiedades e leis, exprésaas mediante a linguaxe alxébrico e utilízaas para facer predicións. Aprender a aprender –Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

Usa a linguaxe alxébrica para expresar propiedades de figuras xeométricas dadas. P. 93, Act.90.

Identifica produtos notables en expresións aritméticas e úsaos para simplificar cálculos. P. 94, Act. 106.


Aplica os produtos notables en expresións alxébricas e emprégaos para manipulalas. P. 86, Act. 29 – 30.

Usa as propiedades das operacións con expresións alxébricas para transformalas. P. 92, Act. 85.

Realiza operacións combinadas con expresións alxébricas seguindo a xerarquía das operacións. P. 88, Act. 33.


Representa un problema da redonda mediante unha expresión alxébrica. P. 89, Act. 38 – 39.

Usa unha expresión alxébrica que representa unha situación da redonda para sacar conclusións dela. P. 93, Act. 89.

UNIDADE 5: ECUACIÓNS

Obxectivos Didácticos Coñecer os conceptos de incógnita, grao e solución dunha ecuación.

Obter ecuacións equivalentes a unha ecuación dada e determinar si unha ecuación é unha identidade.

Resolver ecuacións de primeiro e de segundo grao e comprobar a solución obtida.

Traducir do linguaxe natural ao linguaxe alxébrico formulando ecuacións de primeiro e de segundo grao.

Aplicar o método aritmético e o método alxébrico como métodos alternativos para a resolución de problemas.

Resolver problemas utilizando ecuacións de primeiro e de segundo grao.

Temporalización:

3ª e 4ª semana de xaneiro e 1ª de febreiro


56


BLOQUE 1



– Uso das linguaxe numérica apropiada.









3. Profundar nos problemas resoltos e formular pequenas variacións e novas preguntas.




4.1 Establece conexións entre problemas da redonda e o mundo matemático. C. Básica en ciencias e tecnoloxía




BLOQUE 2


– Ecuacións e os seus elementos.

– Identidades. – Transformación de

ecuacións.

1. Analizar procesos numéricos cambiantes utilizando a linguaxe alxébrica para expresalos, comunicalos, e analizar o seu comportamento ao modificar as variables, e operar con expresións alxébricas.



– Solucións dunha ecuación. – Resolución da ecuación de

primeiro grao. – Resolución gráfica da

ecuación de primeiro grao. – Resolución da ecuación de

segundo grao.

2. Utilizar a linguaxe alxébrica para simbolizar e resolver problemas mediante a formulación de expresións alxébricas, usando para a súa resolución métodos alxébricos ou gráficos e validando os resultados obtidos.

2.1 Dada unha ecuación, comproba se un número é a súa solución. Aprender a aprender.


– Ecuacións equivalentes. 3. Elixir a forma de cálculo apropiada (mental, escrita ou con calculadora), usando diferentes estratexias.



57


BLOQUE 1




2.1 Analiza e comprende o enunciado dos problemas. Lingüística - Aprender a aprender.



É organizado á hora de resolver un problema respectando estes pasos: comprender o enunciado, elaborar e executar un plan e comprobar o resultado. P. 114, Act. 72 – 80.

Emprega exemplos alxébricos concretos que lle facilitan o razoamento. P. 116, Act. 106.


Os problemas resoltos permítenlle aprender estratexias de modelización que aplica nos exercicios formulados. P. 115, Act. 100.

4.1 Establece conexións entre problemas da redonda e o mundo matemático. C. Básica en ciencias e tecnoloxía

Relaciona problemas da redonda coas ecuacións que os representan. P. 117, Desenvolve as túas competencias.


Utiliza o recurso online WIRIS para resolver ecuacións. P. 107, Recursos TIC.

BLOQUE 2



Representa situacións da redonda mediante ecuacións. P. 114, Act. 89.

Identifica os elementos dunha ecuación. P. 100, Act. 1 – 3. Determina se unha determinada ecuación dada é unha

identidade. P. 101, Act. 8. Resolve ecuacións de primeiro grao. P. 105, Act. 16 – 20. Resolve ecuacións de primeiro grao de forma gráfica. P. 106,

Act. 21 – 22. Resolve ecuacións de segundo grao. P. 109, Act. 28


Usa as regras de transformación das ecuacións para obter ecuacións equivalentes. P. 102, Act. 11 – 13.

Transforma diferentes ecuacións para poder resolvelas. P. 114, Act. 70.

2.1 Dada unha ecuación, comproba se un número é a súa solución. Aprender a aprender.

Determina se un conxunto dado de valores é a solución dunha ecuación. P. 102, Act. 10.


Representa problemas da redonda mediante ecuacións. P. 115, Act. 90.

Resolve ecuacións que proveñen da análise dun problema que está na redonda e saca conclusións sobre el. P. 114, Act. 86.

Analiza se as solucións dunha ecuación son coherentes co contexto do problema dado. P. 114, Act. 87.




58

UNIDADE 6: SISTEMAS DE ECUACIÓNS

Obxectivos Didácticos Coñecer o concepto de solución dunha ecuación lineal con dúas incógnitas.

Representar graficamente as solucións dunha ecuación lineal con dúas incógnitas.

Identificar sistemas de ecuacións lineais sabendo buscar sistemas de ecuacións lineais equivalentes.

Aplicar os tres métodos alxébricos de substitución de igualación e de redución, para resolver sistemas de ecuacións lineais.

Obter as posibles solucións dun sistema de ecuacións lineais a partir da súa representación gráfica.

Clasificar sistemas de ecuacións lineais en función das súas solucións.

Resolver problemas utilizando sistemas de ecuacións lineais.

Temporalización: 2º y 3º semanas de febreiro


BLOQUE 1





1. Expresar verbalmente ou por escrito de forma razoada o proceso seguido na resolución dun problema.

1.1 Expresa verbalmente ou por escrito o proceso seguido na resolución dun problema. C. Lingüística – Sentido de iniciativa e espírito emprendedor.

1.2 Analiza e comprende o enunciado dos problemas. Lingüística - Aprender a aprender


2. Utilizar procesos de razoamento e estratexias de resolución de problemas, realizando os cálculos necesarios e comprobando as solucións obtidas.

2.1 Utiliza estratexias heurísticas e procesos de razoamento na resolución de problemas. Aprender a aprender –Sentido de iniciativa e espírito emprendedor




3.1 Formúlase a resolución de problemas coa precisión e interese adecuados. Sentido de iniciativa e espírito emprendedor


4. Empregar as ferramentas tecnolóxicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos.


BLOQUE 2


– Compresión de diversos conceptos relacionados coa álxebra.

1. Identificar as diferentes expresións alxébricas que existen.

1.1 Identifica situacións nas que dependen de cantidades variables e descríbeas mediante expresións alxébricas - Aprender a aprender – Comunicación lingüística.


59

– Ecuacións lineais

– Ecuacións lineais con dúas incógnitas

– Sistemas de ecuacións lineais.

– Resolución gráfica de ecuacións.

2. Operar e resolver as diferentes expresións alxébricas.

2.1 Realiza cálculos sinxelos nos que interveñen ecuacións. Aprender a aprender - Iniciativa e espírito emprendedor.

2.2 Interpreta correctamente os datos en gráficos e táboas relacionados cos sistemas de ecuacións. Aprender a aprender.

– Resolución de problemas de álxebra.

3. Aplicar os coñecementos adquiridos no tema para resolver problemas da vida cotiá.

3.1 Resolve problemas cotiáns operando con sistemas de ecuacións. Iniciativa e espírito emprendedor - Aprender a aprender.


BLOQUE 1


1.1 Expresa verbalmente ou por escrito o proceso seguido na resolución dun problema. C. Lingüística – Sentido de iniciativa e espírito emprendedor.

Explica verbalmente ou por escrito os pasos seguidos para resolver os problemas propostos, coa claridade e a orde adecuadas. P. 133, act. 20.

1.2 Analiza e comprende o enunciado dos problemas. Lingüística - Aprender a aprender

Analiza o enunciado dun problema, identificando os datos e que é o que busca. P. 139, act. 60

Valora os datos dun enunciado e comprende que o problema ten unha única solución. P. 138, act. 54.

2.1 Utiliza estratexias heurísticas e procesos de razoamento na resolución de problemas. Aprender a aprender –Sentido de iniciativa e espírito emprendedor

É organizado á hora de resolver un problema respectando estes pasos: comprender o enunciado, elaborar e executar un plan e comprobar logo o resultado. P. 136, act. 25.

Toma de forma autónoma decisións na resolución das actividades. P. 133, act. 17.

3.1 Formúlase a resolución de problemas coa precisión e interese adecuados. Sentido de iniciativa e espírito emprendedor

Formúlase a resolución de todos os problemas como un reto e resólveos con esmero e interese. P. 135, act. 21-24.

Planifica a resolución das actividades reflexionando sobre os datos dos que dispón e aqueles que quere conseguir. P. 136, act. 32.


Utiliza o recurso online @amplía na rede para aprender máis sobre a resolución de sistemas de ecuacións.

Utiliza o recurso online WIRIS para realizar cálculos. Recursos TIC

BLOQUE 2


1.1 Identifica situacións nas que dependen de cantidades variables e descríbeas mediante expresións alxébricas - Aprender a aprender – Comunicación lingüística.

Describe unha situación da súa redonda cunha expresión alxébrica. P. 125, act. 9.

Identifica os diferentes tipos de expresións alxébricas que existen: as ecuacións lineais con dúas incógnitas P. 125, act. 4

2.1 Realiza cálculos sinxelos nos que interveñen ecuacións. Aprender a aprender - Iniciativa e espírito emprendedor.

Realizar cálculos sinxelos con ecuacións lineais con dúas incógnitas. P. 126, act. 7

Resolve de diferentes formas sistemas de ecuacións lineais. P. 128, act. 11.

Recoñece os diferentes tipos de sistemas de ecuacións que existen. Páx. 133, act. 17.


60

2.2 Interpreta correctamente os datos en gráficos e táboas relacionados cos sistemas de ecuacións. Aprender a aprender.

Interpreta os resultados das ecuacións e resolve graficamente algúns sistemas de ecuacións. Páx. 131, act. 16.

Representa graficamente a solución dos sistemas lineais de ecuacións con dúas incógnitas. Páx. 125, act. 5.

3.1 Resolve problemas cotiáns operando con sistemas de ecuacións. Iniciativa e espírito emprendedor - Aprender a aprender.

Resolve diferentes problemas relacionados coa vida cotiá utilizando as ecuacións estudadas no temario. Páx. 139, act. 68.

UNIDADE 7: PROPORCIONALIDADE

Obxectivos Didácticos Saber comunicar con precisión a relación entre magnitudes valéndose dos conceptos de razón e proporción.

Deducir si dúas magnitudes son directamente proporcionais comprobando que as súas razóns son constantes.

Recoñecer si dúas magnitudes son inversamente proporcionais comprobando que os seus produtos son constantes.

Resolver situacións problemáticas da vida cotiá aplicando as propiedades das magnitudes directa ou inversamente proporcionais.

Calcular porcentaxes e aumentos e diminucións porcentuais.

Resolver problemas recoñecendo en tipo de proporcionalidade que existe entre as variables.

Realizar cálculos bancarios con interese simple.

Temporalización: 3ª e 4ª semana de novembro e 1ª de decembro


BLOQUE 1





1.1 Expresa verbalmente ou por escrito o proceso seguido na resolución dun problema. C. Lingüística – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.



2. Utilizar procesos de razoamento e estratexias de resolución de problemas, realizando os cálculos necesarios e comprobando as solucións obtidas.

2.1 Analiza e comprende o enunciado dos problemas. C. Lingüística – Aprender a aprender

2.2 Utiliza estratexias heurísticas e procesos de razoamento na resolución de problemas. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.




3.1 Formúlase a resolución de problemas coa precisión e interese adecuados. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.




BLOQUE 2


61


– Razón e proporción. – Propiedades das

proporcións. – Magnitudes directamente

proporcionais.

1. Identificar diferentes tipos de relacións de proporcionalidade numérica.

1.1 Relaciona a razón e a proporción, explica as súas propiedades e pon exemplos. Aprender a aprender – Sentido de iniciativa e espírito emprendedor.

1.2 Identifica magnitudes directamente e inversamente proporcionais. Aprender a aprender.

– Proporcionalidade directa. – Porcentaxes. – Regra de tres directa e

inversa. – Redución á unidade. – Descontos e aumentos. – Escalas. – Magnitudes inversamente

proporcionais.

2. Empregar relacións de proporcionalidade na resolución de problemas.

2.1 Resolve problemas de proporcionalidade tanto directa como inversa mediante o uso da regra de tres e a redución á unidade. Aprender a aprender – Iniciativa e espírito emprendedor.

2.2 Emprega as porcentaxes na resolución de problemas. Aprender a aprender – Iniciativa e espírito emprendedor.

– Desenvolvemento de estratexias para o cálculo mental.

3. Elixir estratexias de cálculo mental realizando as operacións correctamente e con rapidez.

3.1 Elabora estratexias para realizar cálculos mentais con porcentaxes. Aprender a aprender.


BLOQUE 1



Explica verbalmente ou por escrito os pasos seguidos para resolver os problemas propostos, coa claridade e a orde adecuadas. Páx. 157, act. 37.

2.1 Analiza e comprende o enunciado dos problemas. C. Lingüística – Aprender a aprender

Analiza o enunciado dun problema, identificando os datos e que é o que busca. Páx. 156, act. 30.


– Valora os datos dun enunciado e comprende que o problema ten unha única solución. Páx. 154, act. 23.

É organizado á hora de resolver un problema respectando estes pasos: comprender o enunciado, elaborar e executar un plan e comprobar o resultado. Páx. 146, act. 3

3.1 Formúlase a resolución de problemas coa precisión e interese adecuados. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.

– Toma de forma autónoma decisións na resolución das actividades. Páx. 146, act. 3.

– Formúlase a resolución de todos os problemas como un reto e resólveos con esmero e interese. Páx. 154, act. 25.

– Planifica a resolución das actividades reflexionando sobre os datos dos que dispón e aqueles que quere conseguir. Páx. 157, act. 37.


– Utiliza o recurso online @amplía na rede para aprender máis sobre os problemas de proporcionalidade directa e inversa.

– Utiliza o recurso online WIRIS para realizar cálculos. Recursos TIC

BLOQUE 2


1.1 Relaciona a razón e a proporción, explica as súas propiedades e pon

– Acha a razón entre dous números dados. Páx. 150, act. 12.


62

exemplos. Aprender a aprender – Sentido de iniciativa e espírito emprendedor.

– Determina se dúas razóns son proporcionais mediante o emprego das propiedades das proporcións. Páx. 146, act. 2.

1.2 Identifica magnitudes directamente e inversamente proporcionais. Aprender a aprender.

– Determina se dúas magnitudes son directa ou inversamente proporcionais. Act. 10, 43.

– Acha a constante de proporcionalidade inversa. Páx. 150, act. 12.

2.1 Resolve problemas de proporcionalidade tanto directa como inversa mediante o uso da regra de tres e a redución á unidade. Aprender a aprender – Iniciativa e espírito emprendedor.

– Utiliza a regra de tres directa e a redución á unidade na resolución de problemas de proporcionalidade directa. Páx. 147, act. 3 ,4 e 5.

– Resolve problemas de proporcionalidade inversa utilizando diversos recursos. Páx. 154, act. 23.

2.2 Emprega as porcentaxes na resolución de problemas. Aprender a aprender – Iniciativa e espírito emprendedor.

– Calcula a porcentaxe proporcional a unha razón dada. Páx. 149, act. 7

– Utiliza as porcentaxes para calcular descontos e aumentos. Páx. 149 act. 10.

3.1 Elabora estratexias para realizar cálculos mentais con porcentaxes. Aprender a aprender.

–– Aprende e pon en práctica estratexias de cálculo mental. Cálculo mental.

UNIDADE 8: SEMELLANZA


Saber representar con precisión figuras xeométricas semellantes utilizando os instrumentos de medida e debuxo.

Saber deducir a existencia de semellanza a través do estudio das magnitudes de figuras xeométricas.

Coñecer o teorema de Tales e saber dividir un segmento en partes iguais ou proporcionais.

Saber recoñecer triángulos semellantes aplicando os criterios de semellanza correspondentes.

Resolver situacións problemáticas da vida cotiá relacionadas coa representación a escala da realidade.

Coñecer e utilizar a relación entre a razón de semellanza ea área de figuras xeométricas planas semellantes.

Temporalización: 3º e 4º de febreiro


BLOQUE 1




1. Utilizar procesos de razoamento e estratexias de resolución de problemas.







2.1 Utiliza estratexias heurísticas e procesos de razoamento na resolución de problemas. Aprender a aprender –Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

2.2 Formúlase a resolución de problemas coa precisión e interese adecuados. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.


63




BLOQUE 3


– Segmentos – División de segmentos en partes

proporcionais. – Corpos semellantes.

1. Explicar os conceptos de segmentos, figuras e corpos semellantes con exemplos.

1.1 Explica os conceptos de segmentos, figuras e corpos semellantes. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Relacións entre figuras e polígonos semellantes.

– Triángulos semellantes. – Teorema da altura e o cateto. – Teorema de Tales.

2. Constrúe figuras e corpos semellantes utilizando diversas teorías.

2.1 Identificar e debuxar correctamente figuras e corpos semellantes. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor

2.2 Comprende diversas teorías para debuxar figuras semellantes. Aprender a aprender.

2.3 Identifica e describe diversos teoremas para calcular a lonxitude de certos segmentos. Aprender a aprender.

– Escala 3. Recoñece o concepto de escala e aplícao na resolución dalgúns problemas.

3.1 Recoñece e soluciona problemas relacionados con escalas. Aprender a aprender.

– Figuras semellantes. 4. Operar e resolver problemas cotiáns utilizando as figuras semellantes.

4.1 Resolve problemas da vida cotiá realizando operacións con ángulos. Aprender a aprender – Sentido de iniciativa e espírito emprendedor.


BLOQUE 1





– Valora os datos dun enunciado e comprende que o problema ten unha única solución. Páx. 179, act. 22..

– É organizado á hora de resolver un problema respectando estes pasos: comprender o enunciado, elaborar e executar un plan e comprobar o resultado. Páx. 180, act. 28.




Planifica a resolución das actividades reflexionando sobre os datos dos que dispón e aqueles que quere conseguir. Páx. 183, act. 29.


64


Utiliza o recurso online WIRIS para realizar cálculos. Recursos TIC.

BLOQUE 3


1.1 Explica os conceptos de segmentos, figuras e corpos semellantes. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Describe o concepto de segmentos e pon exemplos. Páx. 162, act. 1, 2.

– Describir que son figuras semellantes. Páx. 173, act. 9.

2.1 Identificar e debuxar correctamente figuras e corpos semellantes. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor

– Identificar e debuxar triángulos semellantes. Páx. 176, act. 17.

– Identificar e debuxar a figura semellante a unha figura dada. Páx. 173, act. 9

2.2 Comprende diversas teorías para debuxar figuras semellantes. Aprender a aprender.

– Explica utilizando exemplos como se constrúen figuras semellantes. Páx. 173, act. 9.

– Explica como se constrúen triángulos semellantes. Páx. 176, act. 16.

– Explica como se constrúen corpos semellantes. Páx. 180 act. 26.

– Explica as relacións métricas que se establecen entre as figuras semellantes. Páx. 174, act. 11.

2.3 Identifica e describe diversos teoremas para calcular a lonxitude de certos segmentos. Aprender a aprender.

– Explica e aplica correctamente o teorema de Tales. Páx. 170, act. 4.

– Describe e aplica correctamente a teoría da altura e o

cateto. Páx. 177, act. 19.

3.1 Recoñece e soluciona problemas relacionados con escalas. Aprender a aprender.

– Identifica correctamente os diferentes tipos de escalas que existen. Páx. 179, act. 20..

– Resolve problemas relacionados con escalas. Páx.179 Act.25.

4.1 Resolve problemas da vida cotiá realizando operacións con ángulos. Aprender a aprender – Sentido de iniciativa e espírito emprendedor.

– Resolve de forma individual os problemas propostos aplicando os coñecementos adquiridos nesta unidade. Páx. 184, act. 81

UNIDADE 9: POLIEDROS


Saber que é un poliedro e en particular un paralelepípedo, un ortoedro, un cubo, un prisma e unha pirámide.

Coñecer a terminoloxía propia para describir poliedros.

Saber utilizar os instrumentos de medida e de debuxo para trazar o desenvolvemento de poliedros regulares, prismas e pirámides.

Utilizar as unidades de medida adecuadas para indicar as medidas das dimensións dlos poliedros, as súas áreas e volumes.

Recoñecer a diferencia entre poliedros convexos e cóncavos.

Resolver situacións problemáticas da vida cotiá aplicando as propiedades dos poliedros.

Temporalización: 1º, 2º e 3º de marzo



65

BLOQUE 1
















BLOQUE 3


– Poliedros. – Os elementos dun poliedro. – Características dos poliedros

regulares. – Os prismas. – Pirámides.

1. Identificar e describir os compoñentes e as características dos diferentes poliedros regulares que existen.

1.1 Identifica e describe os compoñentes dos poliedros regulares. Aprender a aprender.

1.2 Calcula o número de diagonais ou de ángulos dos que se compón un poliedro. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

1.3 Describe as características dos prismas e das pirámides. Aprender a aprender – C. Lingüística.

– Área e volume dun prisma. – Áreas e volumes dunha pirámide.

2. Calcular áreas e volumes.

2.1 Calcula as áreas e os volumes dalgúns poliedros como os prismas e as pirámides Aprender a aprender – C. Lingüística.

– Clases de polígonos. 3. Resolver problemas da vida cotiá aplicando os coñecementos adquiridos.

3.1 Resolver problemas relacionados coa vida cotiá relacionados cos polígonos. Aprender a aprender.


BLOQUE 1





66



É organizado á hora de resolver un problema respectando estes pasos: comprender o enunciado, elaborar e executar un plan e comprobar o resultado. Páx. 206, act.77.





– Utiliza o recurso online @amplía na rede para descubrir máis información sobre a pirámide

Utiliza o recurso Tic para debuxar un polígono con GeoGebra. Recursos TIC.

BLOQUE 3


1.1 Identifica e describe os compoñentes dos poliedros regulares. Aprender a aprender.

– Describe os elementos que compoñen un poliedro. Páx. 193 Act. 1

– Identifica os poliedros segundo o número de lados e de ángulos. Páx. 194, act. 7.

Identifica as diferenzas entre poliedros cóncavos e convexos. Páx. 193, act. 2.

1.2 Calcula o número de diagonais ou de ángulos dos que se compón un poliedro. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Calcula o número de diagonais e arestas dun poliedro convexo. Páx. 193, act. 3.

Aplica o teorema de Euler para averiguar o número de caras, arestas e vértices dun poliedro. Páx. 193, act. 3.

1.3 Describe as características dos prismas e das pirámides. Aprender a aprender – C. Lingüística.

– Clasifica os prismas segundo os seus lados ou segundo os seus ángulos. Páx. 197, act. 10.

– Constrúe ou debuxa prismas coñecendo algunhas das súas características. Páx. 197, act. 15.

– Clasifica as pirámides segundo os seus lados ou segundo os seus ángulos. Páx. 201, act. 20.

Elabora pirámides coñecendo algún dos datos dos seus lados ou ángulos. Páx. 201, act. 23.

2.1 Calcula as áreas e os volumes dalgúns poliedros como os prismas e as pirámides Aprender a aprender – C. Lingüística.

– Aplica as fórmulas estudadas para calcular a área e o volume dos prismas. Páx. 199, act. 17

Aplica as fórmulas estudadas para calcular a área e o volume das pirámides. Páx. 202, act. 26

3.1 Resolver problemas relacionados coa vida cotiá relacionados cos polígonos. Aprender a aprender.

Aplica os coñecementos para resolver problemas da vida cotiá. Act. Act. 60.

UNIDADE 10: CORPOS REDONDOS


Recoñecer un cilindro e identificar os seus elementos xeométricos e o seu desenvolvemento plano.

Nomear os elementos xeométricos dun cono e recoñecer o seu desenvolvemento plano.

Identificar os elementos xeométricos da esfera.

Recoñecer as superficies e os corpos esféricos.

Calcular a área e o volume dos corpos redondos.

Resolver situacións problemáticas da vida cotiá aplicando as propiedades dos corpos redondos.


67

Temporalización: 4º e 5º de marzo


BLOQUE 1


– Uso da linguaxe xeométrica apropiada.





– Uso da linguaxe xeométrica apropiada.








3.2 Formúlase a resolución de problemas coa precisión e interese adecuados. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor

– Confianza nas propias capacidades para desenvolver actitudes adecuadas e afrontar as dificultades.


4. Empregar as ferramentas tecnolóxicas adecuadas, de forma autónoma, para representar, analizar e resolver un corpo xeométrico.


BLOQUE 3


– Corpos de revolución. – Elementos do cilindro. – Desenvolvemento plano

dun cilindro. – Áreas e volume dun

cilindro. – Elementos xeométricos

do cono. – Relación entre a xeratriz,

o radio e tamén a altura dun cono.

– Tronco dun cono.

1. Identificar, describir e utilizar os elementos xeométricos dos corpos de revolución.

1.1 Identifica e describe os elementos do cilindro e do cono. C. Lingüística – Conciencia e expresións culturais.

1.2 Describe as relacións que hai entre os diferentes elementos da esfera. C. Lingüística - Aprender a aprender – Conciencia e expresións culturais.

– Áreas e volume dun cono.

2. Determinar áreas e volumes

2.1 Calcula as áreas e os volumes dos corpos de revolución. C. Aprender a aprender – Conciencia e expresións culturais.


68

– A esfera e os seus elementos.

– Área e volume dunha esfera.

correspondentes aos corpos de revolución.

– Corpos e superficies esféricos.

– A tomografía un corpo xeométrico.

3. Identificar e describir as propiedades dos corpos e superficies esféricos.

3.1 Identifica e describe os elementos dos corpos e as superficies esféricos. Aprender a aprender – Conciencia e expresións culturais.


BLOQUE 1



Explica verbalmente ou por escrito os pasos seguidos para resolver os problemas propostos, coa claridade e a orde adecuados. Páx. 231, act. 8.


Analiza o enunciado dun problema, identificando os datos e que é o que busca. Páx. 228, Act. 110.


– Valora os datos dun enunciado e comprende que o problema ten unha única solución. Páx. 229, Act. 101.

– Resolve un problema respectando estes pasos: comprender o enunciado, elaborar e executar un plan e comprobar o resultado. Páx. 228, Act. 89.

Aplicar unha estratexia de comparación de volumes de corpos de revolución. Páx. 227, Act. 64.

3.2 Formúlase a resolución de problemas coa precisión e interese adecuados. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor

– Toma de forma autónoma decisións na resolución das actividades. Páx. 223, Act. 29.

– Formúlase a resolución dun problema como un reto e resólveo con esmero e interese. Páx. 226, Act. 39.

Planifica a resolución das actividades reflexionando sobre os datos dos que dispón e aqueles que quere conseguir. Páx. 219, Act. 12.


– Utiliza o recurso online @Amplía na rede para coñecer máis sobre a construción e as propiedades dun corpo de revolución. Páx. 219.

BLOQUE 3


1.1 Identifica e describe os elementos do cilindro e do cono. C. Lingüística – Conciencia e expresións culturais.

– Determina a medida dos elementos xeométricos do cilindro. Páx. 217, act. 5.

– Realiza cálculos cos elementos xeométricos do cono. Páx. 219, act. 12.

Debuxa cilindros, conos e os seus desenvolvementos planos correspondentes. Páx. 219, act. 11.

1.2 Describe as relacións que hai entre os diferentes elementos da esfera. C. Lingüística - Aprender a aprender – Conciencia e expresións culturais.

– Recoñece e mide o radio e o diámetro dunha esfera. Páx. 222, act. 23

Identifica e relaciona os diferentes círculos na esfera. Páx. 222, act. 22.

2.1 Calcula as áreas e os volumes dos corpos de revolución. C. Aprender a aprender – Conciencia e expresións culturais.

– Determina as áreas e o volume dun cilindro dado. Páx. 218, act. 6.

– Calcula as áreas e o volume que ten un cono. Páx. 221, act. 19.


69

Obtén por métodos indirectos a área e o volume dunha esfera. Páx. 223, act. 25.

3.1 Identifica e describe os elementos dos corpos e as superficies esféricos. Aprender a aprender – Conciencia e expresións culturais.

– Recoñece os diferentes corpos e superficies esféricos Páx. 224, act 32.

Calcula a lonxitude dos elementos xeométricos de corpos e superficies esféricos e a súa superficie e volume. Páx. 224, act. 34.

UNIDADE 11: FUNCIÓNS


Recoñecer unha relación funcional distinguíndoa de outras que non o son.

Expresar unha función de diferentes maneiras: verbalmente, graficamente e analiticamente.

Recoñecer e describir as características dunha función.

Analizar a gráfica dunha función utilizando a terminoloxía específica das funcións.

Diferenciar entre funcións lineais, afines, constantes e cuadráticas.

Resolver situacións problemáticas da vida cotiá aplicando as propiedades das funcións.

Temporalización: 5º de marzo , 1º e 3º de abril


BLOQUE 1


– Uso da linguaxe específica das funcións.

– Utilización de diferentes métodos de representación dun concepto matemático.


– Interpretación dos resultados obtidos.


1.1 Expresa verbalmente ou por escrito o proceso seguido na resolución dun problema. C. Lingüística – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor



2.1 Analiza e comprende o enunciado dos problemas con funcións. C. Lingüística - Aprender a aprender.




3.1 Utiliza estratexias heurísticas e procesos de razoamento na resolución de problemas con funcións. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

3.2 Formúlase a resolución de problemas con funcións coa precisión e interese adecuados. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.


70

– Utilización de medios tecnolóxicos para representar e analizar funcións.


4.1. Selecciona ferramentas tecnolóxicas adecuadas e úsaas para a realización de cálculos numéricos con funcións. C. Dixital.

BLOQUE 4


– Concepto de función. – Formas de representación dunha

función. – Sistema de coordenadas

cartesianas.

1. Definir, recoñecer e representar unha función de diferentes formas.

1.1 Define o concepto de función e exprésao de diferentes formas. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.

– Dominio e percorrido dunha función.

– Continuidade. – Puntos de corte cos eixes. – Crecemento e decrecemento. – Máximos e mínimos relativos. – Análise da gráfica dunha función. – Ecuación dunha recta.

2. Describir as características dunha función: dominio, percorrido, continuidade, puntos de corte cos eixes, crecemento e decrecemento e máximos e mínimos relativos.

2.1 Interpreta e determina distintas características das funcións. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.

2.2. Analiza a gráfica dunha función para poder interpretar un determinado fenómeno. Aprender a aprender – C. Lingüística.

– As funcións cuadráticas. – Funcións de proporcionalidade

inversa. – Funcións lineais. – Funcións afíns. – Función constante.

3. Recoñecer algúns tipos funcionais: función lineal, función afín, función cuadrática…

3.1 Recoñece diferentes tipos de funcións e utiliza as súas propiedades particulares. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.


BLOQUE 1


1.1 Expresa verbalmente ou por escrito o proceso seguido na resolución dun problema. C. Lingüística – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor

Explica verbalmente ou por escrito os pasos seguidos para resolver os problemas propostos, coa claridade e a orde adecuadas. Páx. 250, act. C10.

2.1 Analiza e comprende o enunciado dos problemas con funcións. C. Lingüística - Aprender a aprender.


3.1 Utiliza estratexias heurísticas e procesos de razoamento na resolución de problemas con funcións. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.


Resolve un problema respectando estes pasos: comprender o enunciado, elaborar e executar un plan e comprobar o resultado. Páx. 253, act. 56.

3.2 Formúlase a resolución de problemas con funcións coa precisión e interese adecuados. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.


– Formúlase a resolución dos problemas como un reto e resólveos con esmero e interese. Páx. 251, act. 42.



71

4.1. Selecciona ferramentas tecnolóxicas adecuadas e úsaas para a realización de cálculos numéricos con funcións. C. Dixital.

– Utiliza o recurso online @Amplía na rede para realizar cálculos con funcións. Páx. 249.

– Utiliza a calculadora WIRIS para representar funcións. Recurso TIC. Páx. 247.

BLOQUE 4


1.1 Define o concepto de función e exprésao de diferentes formas. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.

– Recoñece táboas de valores e gráficas que non corresponden a funcións. Páx. 237, act. 3.

– Expresa mediante unha táboa ou unha gráfica unha función descrita verbalmente. Páx. 237, act. 1.

Utiliza unha fórmula para expresar unha na función. Páx. 250, act. 26.

2.1 Interpreta e determina distintas características das funcións. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.

– Determina o dominio e o percorrido dunha función a partir da súa fórmula ou da súa gráfica. Páx. 238, act.4

– Recoñece a continuidade e os puntos de corte cos eixes dunha función. Páx. 239, act. 9.

Analiza o crecemento e decrecemento dunha función os seus máximos e mínimos relativos. Páx. 240, act. 10.

2.2. Analiza a gráfica dunha función para poder interpretar un determinado fenómeno. Aprender a aprender – C. Lingüística.

– Estuda as características da gráfica dunha función. Páx. 241, act. 12.

Interpreta as características da gráfica dunha función nun contexto determinado. Páx. 253, act. 54.

3.1 Recoñece diferentes tipos de funcións e utiliza as súas propiedades particulares. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Distingue, representa e interpreta funcións lineais e funcións afíns. Páx. 243, act. 16.

– Obtén a ecuación dunha recta e recoñece os seus elementos característicos. Páx. 245, act. 17.

Representa a gráfica dunha función cuadrática. Páx. 246, act. 19.

UNIDADE 12: ESTATÍSTICA


Diferenciar entre os conceptos de mostra e poboación nun estudio estatístico.

Clasificar variables estatísticas segundo sexan cualitativas, cuantitativas, discretas ou continuas.

Organizar datos estatísticos en táboas e calcular frecuencias relativas e acumuladas.

Interpretar e construír diferentes tipos de gráficos estatísticos.

Calcular os principais parámetros estatísticos de centralización.

Calcular los principais parámetros estatísticos de dispersión.

Temporalización: 4º de abril 1º e 2º de maio


BLOQUE 1


– Uso da linguaxe estatística específica.




1.1 Expresa verbalmente ou por escrito o proceso seguido na resolución dun problema de estatística. C. Lingüística – Sentido de iniciativa e espírito emprendedor.


72






3. Desenvolver e cultivar as actitudes persoais inherentes ao quefacer da estatística.

3.1 Utiliza estratexias heurísticas e procesos de razoamento na resolución de problemas. Aprender a aprender –Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor


– Utilización de medios tecnolóxicos para a representación de gráficos estatísticos e para o cálculo de parámetros estatísticos.

4. Empregar as ferramentas tecnolóxicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos estatísticos.

4.1. Selecciona ferramentas tecnolóxicas adecuadas e usadas para a realización de cálculos numéricos. C. Dixital

BLOQUE 5


– Poboación e mostra. – Variables estatísticas. – Clasificación das variables

estatísticas. – Frecuencia absoluta e

frecuencia relativa. – Frecuencias acumuladas. – Táboas de frecuencias. – Representación gráfica de

datos.

1. Clasificar variables estatísticas en situacións da redonda inmediata e calcular e organizar en táboas as frecuencias asociadas.

1.1 Recoñece distintos tipos de variables estatísticas. Aprender a aprender –Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

1.2 Organiza datos estatísticos en táboas de diferentes formatos. Aprender a aprender.

– Diagramas de barras. – Diagramas de sectores. – Diagramas de liña. – Climogramas. – Pictogramas. – Pirámides de poboación.

2. Interpretar e representar gráficos estatísticos de diferentes tipos segundo as características das variables.

2.1 Interpreta e debuxa gráficos estatísticos sinxelos. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

2.2 Calcula e interpreta parámetros estatísticos de centralización. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Parámetros de centralización. – Parámetros de dispersión. – Varianza e desviación típica.

3. Calcular e interpretar os principais parámetros estatísticos de centralización e de dispersión.

3.1 Calcula e interpreta parámetros estatísticos de dispersión. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.


BLOQUE 1


1.1 Expresa verbalmente ou por escrito o proceso seguido na resolución dun problema de estatística. C. Lingüística – Sentido de iniciativa e espírito emprendedor.

Explica verbalmente ou por escrito os pasos seguidos para resolver os problemas propostos, coa claridade e a orde adecuadas. Páx. 274, C10.


73



3.1 Utiliza estratexias heurísticas e procesos de razoamento na resolución de problemas. Aprender a aprender –Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor





– Formúlase a resolución dos problemas como un reto e resólveos con esmero e interese. Páx. 274, act. 34.


4.1. Selecciona ferramentas tecnolóxicas adecuadas e úsaas para a realización de cálculos numéricos. C. Dixital

– Utiliza o recurso online @Amplía na rede para coñecer máis sobre o crecemento e decrecemento dunha función. Páx. 268.

– Utiliza recursos dixitais para tratar información de tipo estatístico. Páx. 273, act. 24.

BLOQUE 5


1.1 Recoñece distintos tipos de variables estatísticas. Aprender a aprender –Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Diferencia entre variables cualitativas e cuantitativas e entre continuas e discretas. Páx. 274, act. 6.

Calcula frecuencias absolutas e relativas dunha variable estatística proposta. Páx. 264, act. 9.

1.2 Organiza datos estatísticos en táboas de diferentes formatos. Aprender a aprender.

Constrúe e completa táboas de frecuencias absolutas, relativas e acumuladas. Páx. 264, act. 12.

2.1 Interpreta e debuxa gráficos estatísticos sinxelos. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Representa un diagrama de barras a partir da información dada por unha táboa. Páx. 265, act. 13.

Interpreta diagramas de sectores, de liñas, pictogramas, climogramas... Páx. 275, act. 37.

2.2 Calcula e interpreta parámetros estatísticos de centralización. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Calcula a media aritmética dunha serie de datos simples ou a partir da táboa de frecuencias. Páx. 270, act. 19.

– Determina a mediana dunha serie de datos estatísticos. Páx. 275, act. 46.

Aplica o concepto de moda en situacións problemáticas con variables estatísticas Páx. 270, act. 20.

3.1 Calcula e interpreta parámetros estatísticos de dispersión. Aprender a aprender – Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Determina o rango dunha variable estatística. Páx. 272, act. 22.

Calcula a varianza e a desviación típica utilizando unha táboa de frecuencias. Páx. 272, Act. 23.

UNIDADE 13: PROBABILIDADE

Obxectivos Didácticos Diferenciar entre experimentos deterministas e experimentos aleatorios.

Determinar o espazo mostral dos sucesos dun experimento aleatorio.

Obter a frecuencia absoluta e a frecuencia relativa dun suceso aleatorio.

Calcular a probabilidade dun suceso.

Aplicar a regra de Laplace para calcular probabilidades.


74

Resolver situacións problemáticas da vida cotiá aplicando as propiedades da probabilidade.

Temporalización: 3º, 4º de maio e 1º e 2º de xuño


BLOQUE 1


– Uso da linguaxe específica da probabilidade.




1.1 Expresa verbalmente ou por escrito o proceso seguido no cálculo dunha probabilidade. C. Lingüística – Sentido de iniciativa e espírito emprendedor.


2. Utilizar procesos de razoamento e estratexias de resolución de problemas de probabilidade.

2.1 Analiza e comprende o enunciado dos problemas de probabilidade. C. Lingüística - Aprender a aprender.

Formúlase a resolución de problemas como retos e amosa interese en resolvelos.


3. Desenvolver e cultivar as actitudes persoais inherentes ao ámbito da probabilidade.


3.2 Formúlase a resolución de problemas de probabilidade coa precisión e interese adecuados. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Utilización de medios tecnolóxicos para resolver situacións relacionadas coa probabilidade.

4. Empregar as ferramentas tecnolóxicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos de probabilidade.

4.1. Selecciona ferramentas tecnolóxicas adecuadas e úsaas para o cálculo de probabilidades. C. Dixital.

BLOQUE 5


– Experimentos aleatorios. – Espazo da mostra. – Determinación do espazo da

mostra. – Experimentos compostos. – Diagramas en árbore. – Sucesos. – Tipos de sucesos.

1. Identificar experimentos aleatorios simples e compostos e determinar o seu espazo de mostra.

1.1 Diferencia entre experimentos aleatorios e deterministas. C. Lingüística - Aprender a aprender.

1.2 Determina o espazo de mostra asociado a un experimento aleatorio. Aprender a aprender - Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Frecuencia absoluta e frecuencia relativa dun suceso.

– Probabilidade dun suceso. – Propiedades da probabilidade. – Probabilidade do suceso

contrario. – Regra de Laplace. – Probabilidade en sucesos

compostos.

2. Calcular frecuencias absolutas e relativas de sucesos e determinar a probabilidade de diferentes tipos de sucesos e experimentos aleatorios.

2.1 Calcula frecuencias absolutas e relativas dos sucesos dun experimento aleatorio. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.

2.2 Determina a probabilidade de diferentes tipos de sucesos dun experimento aleatorio. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.


75


BLOQUE 1


1.1 Expresa verbalmente ou por escrito o proceso seguido no cálculo dunha probabilidade. C. Lingüística – Sentido de iniciativa e espírito emprendedor.

Explica verbalmente ou por escrito os pasos seguidos para resolver os problemas de probabilidade, coa claridade e a orde adecuadas. Páx. 298, act. 53.

2.1 Analiza e comprende o enunciado dos problemas de probabilidade. C. Lingüística - Aprender a aprender.





3.2 Formúlase a resolución de problemas de probabilidade coa precisión e interese adecuados. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.


Formúlase a resolución dos problemas como un reto e resólveos con esmero e interese. Páx. 297, act. 34.

4.1. Selecciona ferramentas tecnolóxicas adecuadas e úsaas para o cálculo de probabilidades. C. Dixital.

– Utiliza o recurso online @Amplía na rede para coñecer máis sobre o cálculo de probabilidades. Páx. 291.

– Utiliza o recurso online @Amplía na rede para coñecer máis sobre o espazo de mostra. Páx. 286.

BLOQUE 5


1.1 Diferencia entre experimentos aleatorios e deterministas. C. Lingüística - Aprender a aprender.

– Propón exemplos de experimentos aleatorios e de experimentos deterministas. Páx. 264, act. 1.

Identifica os experimentos aleatorios nunha listaxe. Páx. 296, act. 25.

1.2 Determina o espazo de mostra asociado a un experimento aleatorio. Aprender a aprender - Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor.

– Constrúe o espazo de mostra dun experimento aleatorio. Páx. 285, act. 4.

Diferencia distintos tipos de sucesos aleatorios: elementais, compostos, seguro, imposible, contrarios... Páx. 287, act. 7.

2.1 Calcula frecuencias absolutas e relativas dos sucesos dun experimento aleatorio. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.

– Organiza as frecuencias absolutas dos sucesos dun experimento aleatorio nunha táboa de frecuencias. Páx. 288, act. 10.

– Calcula a frecuencia relativa de cada suceso dun experimento. Páx. 296, act. 31.

Relaciona a frecuencia relativa dun suceso coa súa probabilidade. Páx. 290, act. 12.

2.2 Determina a probabilidade de diferentes tipos de sucesos dun experimento aleatorio. Sentido de Iniciativa e espírito emprendedor – Aprender a aprender.

– Aplica o concepto e as propiedades da probabilidade. Páx. 290, act. 13.

– Calcula a probabilidade de que ocorra un suceso mediante a regra de Laplace. Páx. 292, act. 15.

– Determina a probabilidade dun suceso nun experimento composto utilizando un diagrama en árbore. Páx. 294, act. 19.

Calcula a probabilidade dun suceso utilizando a probabilidade do suceso contrario. Páx. 290, act. 14.


76

METODOLOXÍA. ORIENTACIÓNS DIDÁCTICAS

No marco da súa Programación Didáctica os centros deben precisar en cada Curso os obxectivos que garanten

as competencias clave, segundo o currículo, asumilos como obxectivos de centro e determinar a participación

de cada unha das áreas do currículo na consecución das competencias.

O carácter multidisciplinar de moitas das competencias afástase da concepción do currículo como un conxunto

de compartimentos estancos entre as diversas áreas e materias e por iso require unha coordinación de

actuacións docentes onde o traballo en equipo debe ser unha constante.

Así, o desenvolvemento da Programación Didáctica de Centro require tanto procesos de formación e

elaboración reflexiva e intelectual por parte do seu equipo docente, como diversas formas de traballo

cooperativo. Estas formas deben ser respectuosas coa diversidade dos profesores e profesoras, pero xeradoras

de ilusión por colaborar nun proxecto común ao que cada un achega o seu mellor saber facer profesional e

aprende e comparte o saber facer con outros compañeiros e compañeiras.

O currículo de cada Centro non se limitará ás competencias clave, aínda que as inclúa. No currículo haberá

competencias clave fundamentais e outras que non o serán tanto para que cada alumno poida desenvolver ao

máximo as súas potencialidades a partir dos Estándares de aprendizaxe propios de cada área ou materia. Non

hai que esquecer que a función da escola é garantir uns mínimos para todos e, ao mesmo tempo, o máximo

para cada alumno.

O desenvolvemento de competencias vai acompañado dunha práctica pedagóxica esixente tanto para o alumnado como para o profesorado. Para o alumnado, porque se debe implicar na aprendizaxe e debe adquirir as habilidades que lle permitan construír os seus propios esquemas explicativos para comprender o mundo no que vive, construír a súa identidade persoal, interactuar en situacións variadas e continuar aprendendo.

Para o docente, porque terá que despregar os recursos didácticos necesarios que permitan desenvolver os

Estándares de aprendizaxe propios da área incluíndo o desenvolvemento das Competencias Clave, e poder

alcanzar así os obxectivos do currículo. Non obstante, a pesar de que as competencias teñen un carácter

transversal e interdisciplinar respecto ás disciplinas académicas, isto non debe impedir que desde cada área se

determinen aprendizaxes específicas que resulten relevantes na consecución de competencias concretas.

O docente deberá buscar situacións próximas aos alumnos para que estes poidan aplicar en diferentes

contextos os contidos dos catro saberes que forman cada unha das competencias (saber, saber facer, saber ser

e saber estar). Así mesmo, creará contextos e situacións que representen retos para os alumnos; que os inviten

a cuestionarse os seus saberes actuais; que os obriguen ampliar a súa perspectiva e a contrastar os seus

pareceres cos dos seus compañeiros, a xustificar e a interpretar con rigor, etc.

Para traballar as competencias clave relacionadas co dominio emocional e as habilidades sociais terán un

especial protagonismo as actividades de planificación e execución de tarefas en grupo que favorezan o diálogo,

a escoita, a cooperación e a confrontación de opinións.

A forma de avaliar o nivel de competencia alcanzado será a través da aplicación dos coñecementos e as

habilidades traballadas. Agora ben, as competencias supoñen un dominio completo da actividade en cuestión;

non son só habilidades, aínda que estas sempre estean presentes. Polo tanto, ademais das habilidades, teranse en

conta tamén as actitudes e os elementos cognitivos.

No marco da súa Programación Didáctica os centros teñen que precisar en cada Curso os obxectivos que

garanten as competencias clave, segundo o currículo, asumilos como obxectivos de centro e determinar a

participación de cada unha das áreas do currículo na consecución das competencias.


77

RECURSOS DIDÁCTICOS E ORGANIZATIVOS

Recursos Didácticos

Para cada tema os Recursos Didácticos dos que se dispón son os seguintes:

1. Libro do Alumno e da Alumna

O Libro do Alumno e da Alumna consta de 13 temas para o Segundo Curso da Educación Secundaria Obrigatoria da materia de Matemáticas.

2. Cadernos de Actividades

Os Cadernos de Actividades serven para reforzar contidos básicos do Libro do Alumno e da Alumna. Por outro lado, en combinación co resto de materiais, constitúen un instrumento para atender as necesidades individuais do alumnado, xa que permiten practicar aqueles coñecementos que secuencian os distintos temas.

3. Recursos Didácticos

Enderezos de Internet. Cada tema dispón de enderezos da Internet que serven para reforzar e complementar os contidos, habilidades e competencias traballadas en cada tema.

Actividades de Avaliación Inicial. Unha páxina de actividades deseñadas para avaliar os coñecementos previos do alumnado antes de iniciar o estudo de cada un dos temas.

Actividades de Reforzo e Ampliación. Unha páxina de actividades de reforzo e outra de ampliación permiten consolidar os coñecementos dos contidos do tema e ampliar algúns aspectos importantes.

Actividades de Avaliación Final. Dez preguntas seguindo o modelo das avaliacións de diagnóstico para a Educación Secundaria Obrigatoria permiten avaliar o nivel de logro de cada un dos Estándares de Aprendizaxe acadados polos alumnos.

Actividades de Avaliacións semanais, quincenais, exames dun tema ou varios, exames trimestrais e finais de curso. Estas actividades permitirán tanto realizar Avaliacións de conxunto cando o docente o considere conveniente como dispor de Probas de Recuperación para o alumnado que non superara a Avaliación continua.

Recursos Organizativos

A organización dos recursos materiais e persoais son un elemento básico para facer posible o desenvolvemento do proceso de aprendizaxe-ensino. Algunhas das decisións máis relevantes no uso dos recursos didácticos e organizativos serán:

Establecer os mecanismos de coordinación de responsabilidades educativas (os instrumentos, os espazos e tempos de dita coordinación). Estableceranse as responsabilidades da comisión de coordinación pedagóxica, dos departamentos didácticos e dos equipos docentes en todas as medidas de atención á diversidade.

Definición dos principios xerais sobre metodoloxía e didáctica para a atención á diversidade (tal como vimos na sección anterior).

Definición dos criterios para a asignación dos espazos e para a distribución dos tempos na organización das medidas de atención á diversidade.

En relación coa organización dos espazos: atenderanse tanto os procesos educativos que favorecen a individualización da aprendizaxe como aqueles que son máis socializadores. Primeiro, en relación cos espazos comúns (corredores, patios, aseos, biblioteca, aulas de usos múltiples, laboratorios...) procurarase que sexan accesibles para todos os alumnos que presenten deficiencias de calquera tipo... Segundo, o interior da aula habitual deberá facilitar a realización dunha diversidade de actividades. O mobiliario será adaptado, lixeiro e funcional..

En relación coa distribución dos tempos: en canto ao horario dos alumnos: aínda respectando as normas impostas desde a administración educativa, a atención á diversidade esixe certa flexibilidade para agrupar horas de clase distintas das ordinarias. Deste xeito facilítase a realización de actividades interdisciplinares, de agrupamentos flexibles de reforzo, profundizacións...etc. En relación co horario dos profesores, deben establecerse uns tempos para a coordinación entre profesores de áreas distintas, e entre profesores de cursos


78

diferentes. A coordinación do profesorado é un dos factores clave na organización e a eficacia da atención á diversidade.

Establecer os criterios para a organización e a selección dos materiais curriculares e outros recursos didácticos necesarios para a atención á diversidade.

En relación coa organización dos materiais curriculares para o alumnado (libros cartografías, material de laboratorio, instrumentos musicais, material para educación física...) deben terse en conta algúns criterios como: uso compartido por todos os alumnos, que non sexan discriminatorios, que sexan seguros e adaptados á idade dos alumnos, que non sexan prexudiciais para o medio ambiente...

En relación cos materiais curriculares para o profesorado: deben ser recursos útiles e prácticos para a elaboración e o desenvolvemento do proxecto curricular, e para a elaboración das programacións de aula. Debe terse en conta que estes materiais respecten a pluralidade de opcións didácticas que pode seguir o profesorado.

PROXECTO EDIXGAL E ABALAR PARA OS DOUS PRIMEIROS CURSOS DA ESO Neste curso 2020-2021 implantarase por primeira vez nas aulas de 1º de ESO o Proxecto Edixgal e continúa

o Proxecto Abalar na área de Matemáticas nas aulas de 2ºESO.

ATENCIÓN Á DIVERSIDADE 1º E 2º ESO

Descrición do grupo despois da avaliación inicial

Á hora de formular as medidas de atención á diversidade e inclusión debemos solicitar, en primeiro lugar,

diversa información sobre cada grupo de alumnos e alumnas; como mínimo debe coñecerse a relativa a:

• O número de alumnos e alumnas.

• O funcionamento do grupo (clima da aula, nivel de disciplina, atención...).

• As fortalezas que se identifican no grupo en canto ao desenvolvemento de contidos curriculares.

• As necesidades que se puidesen identificar; convén pensar nesta fase en como se poden abordar

(planificación de estratexias metodolóxicas, xestión da aula, estratexias de seguimento da eficacia de

medidas, etc.).

• As fortalezas que se identifican no grupo en canto aos aspectos competenciais.

• Os desempeños competenciais prioritarios que hai que practicar no grupo nesta materia.

• Os aspectos que se deben ter en conta ao agrupar os alumnos e as alumnas para os traballos cooperativos.

• Os tipos de recursos que se necesitan adaptar no nivel xeral para obter un logro óptimo do grupo.

Necesidades individuais

A avaliación inicial facilítanos non só coñecemento acerca do grupo como conxunto, senón que tamén nos

proporciona información acerca de diversos aspectos individuais dos nosos estudantes; a partir dela

poderemos:

• Identificar os alumnos ou as alumnas que necesitan un maior seguimento ou personalización de estratexias

no seu proceso de aprendizaxe (débese ter en conta aquel alumnado con necesidades educativas, con altas

capacidades e con necesidades non diagnosticadas, pero que requiran atención específica por estaren en

risco, pola súa historia familiar, etc.).

• Saber as medidas organizativas que cómpre adoptar (planificación de reforzos, situación de espazos, xestión

de tempos grupais para favorecer a intervención individual).

• Establecer conclusións sobre as medidas curriculares a adoptar, así como sobre os recursos que se van

empregar.

A atención á diversidade contemplase dende dous puntos de vista. Por unha banda ofrecese unha grande

variedade de contextos non matemáticos que poden servir de motivación e punto de partida a distintos alumnos

e alumnas, ben polo seu diferente interese, ben pola distinta familiarización que teñan co contexto. Por outra parte, aténdese á diversidade no plantexamento das actividades. Propóñense actividades de

ampliación e profundización para atender os distintos niveis de coñecementos e actividades básicas de reforzo

para aqueles alumnos/as que, aínda que se atopen no 2º curso de ESO, non teñen superada a materia do curso


79

anterior. Estas actividades serán corrixidas polo correspondente profesor do alumno. A valoración positiva

destas actividades por parte do profesor será tida en conta para superar a materia do curso anterior.

Temos alumnos/as que teñen feitas as adaptacións metodolóxicas necesarias para o seu mellor

desenvolvemento e algunha pendente de facer.

• En 1º ESO: 2 • En 2ºESO: 3 • En 3ºESO (Matemáticas Aplicadas): 1


80

3º ESO

MATEMÁTICAS ORIENTADAS AS ENSINANZAS ACADÉMICAS

OBXECTIVOS XERAIS 1. Identificar e expresar os pasos para a resolución de diferentes tipoloxías de problemas.

2. Coñecer e utilizar diferentes estratexias para a resolución de problemas.

3. Analizar e describir distintas situacións para poder facer predicións.

4. Partir de problemas resoltos e afondar en diferentes cuestións e contextos próximos ao alumno.

5. Coñecer, identificar e desenvolver procesos de matematización na realidade cotiá do alumno.

6. Identificar, cultivar e desenvolver as actitudes persoais inherentes ao quefacer matemático.

7. Identificar os bloqueos emocionais ante os problemas atopados.

8. Tomar decisións sobre situacións que acontecen na vida cotiá do alumno.

9. Coñecer e utilizar as ferramentas tecnolóxicas para realizar cálculos diferentes.

10. Empregar as Tecnoloxías da Información e Comunicación no seu proceso de aprendizaxe desde unha

análise e busca de información adecuados para facilitar a interacción.

11. Utilizar as propiedades dos números racionais en operacións a través do cálculo adecuado na resolución

de problemas.

12. Manexar expresións simbólicas en situacións numéricas ante casos sinxelos que inclúan patróns

recursivos.

13. Coñecer e empregar a linguaxe alxébrica para expresar enunciados sacando a información relevante e

transformándoa.

14. Resolver problemas do día a día a través de formulacións de ecuacións de primeiro e segundo grao, e

sistemas de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas.

15. Identificar e describir as características das figuras planas e dos corpos xeométricos elementais coas súas

configuracións xeométricas.

16. Coñecer e utilizar o teorema de Tales, as fórmulas para realizar medidas indirectas de elementos

inaccesibles obtendo as medidas de lonxitudes, áreas e volumes dos corpos tomados do contexto real.

17. Facer cálculos das dimensións reais de figuras dadas en mapas ou planos coñecendo a escala.

18. Identificar as transformacións dunha figura a outra mediante movemento no plano, analizando deseños

cotiáns, obras de arte e configuracións da natureza.

19. Identificar centros, eixes e planos de simetría de figuras planas e de poliedros.

20. Coñecer o sentido das coordenadas xeográficas e a súa aplicación na localización de puntos.

21. Identificar os elementos do estudo das funcións e a súa representación gráfica.

22. Identificar e recoñecer situacións de relación funcional da vida cotiá que se describen mediante funcións

cuadráticas e calcular os seus parámetros e características.

23. Realizar informacións estatísticas con datos a través de táboas e gráficas adecuadas con conclusións que

representan a poboación estudada.

24. Facer cálculos sobre os parámetros de posición e dispersión dunha variable estatística para resumir datos

e facer comparacións.

25. Facer unha análise sobre a información estatística que aparece nos medios de comunicación desde a súa

representatividade e fiabilidade.

26. Facer estimacións a partir de posibles sucesos asociados a experimentos sinxelos calculando a súa

probabilidade a partir da súa frecuencia relativa, a regra de Laplace ou os diagramas de árbore.


Na área de Matemáticas incidiremos no adestramento de todas as competencias de xeito sistemático facendo

fincapé nos descritores máis afíns a ela.


Esta área posibilita en todos e cada un dos seus aspectos a competencia matemática, a partir do coñecemento


81

dos contidos e a súa variedade de procedementos de cálculo, análise, medida e estimación da realidade que

rodea os alumnos como instrumento imprescindible no desenvolvemento do pensamento dos alumnos e

compoñente esencial de comprensión.

Os descritores que traballaremos fundamentalmente serán:

- Comprometerse co uso responsable dos recursos naturais para promover un desenvolvemento sostible.



arredor nosa e responder preguntas.






Para fomentar o seu desenvolvemento desde a área de Matemáticas débese insistir na incorporación do

esencial da linguaxe matemática á expresión habitual e a adecuada precisión no seu uso e, por outra parte, nos

contidos asociados á descrición verbal dos razoamentos e dos procesos.

Para iso, en cada unidade didáctica, adestraremos polo menos un descritor de cada un destes indicadores.

Os descritores que priorizaremos serán:

- Comprender o sentido dos textos escritos e orais.



interlocutor...

En caso de centros bilingües ou plurilingües que impartan a materia noutra lingua:

- Manter conversas noutras linguas sobre temas cotiáns en distintos contextos.

- Producir textos escritos de diversa complexidade para o seu uso en situacións cotiás ou de materias diversas.

Competencia dixital

A lectura e creación de gráficas, a organización da información en forma analítica e comparativa, a

modelización da realidade, a introdución á linguaxe gráfica e estatística, o uso de calculadoras e ferramentas

tecnolóxicas e outros procesos matemáticos contribúen ao desenvolvemento desta competencia.

Para iso, nesta área, traballaremos os seguintes descritores da competencia:

- Elaborar e publicitar información propia derivada da obtida a través de medios tecnolóxicos.

- Comprender as mensaxes que veñen dos medios de comunicación.

- Utilizar as distintas canles de comunicación audiovisual para transmitir informacións diversas.

- Manexar ferramentas dixitais para a construción de coñecemento.

- Aplicar criterios éticos no uso das tecnoloxías.

- Actualizar o uso das novas tecnoloxías para mellorar o traballo e facilitar a vida diaria.


A achega matemática faise presente en multitude de producións artísticas, do mesmo xeito que as súas

estratexias e procesos mentais fomentan a conciencia e expresión cultural das sociedades. Igualmente, o

alumno, mediante o traballo matemático, poderá comprender diversas manifestacións artísticas sendo capaz

de utilizar os seus coñecementos matemáticos na creación das súas propias obras.

Polo tanto, nesta área traballaremos os seguintes descritores:

- Mostrar respecto cara ao patrimonio cultural mundial nas súas distintas vertentes (artístico-literaria,

etnográfica, científico-técnica...), e cara ás persoas que contribuíron ao seu desenvolvemento.

- Apreciar a beleza das expresións artísticas e as manifestacións de creatividade e gusto pola estética no ámbito

cotián.

- Valorar a interculturalidade como unha fonte de riqueza persoal e cultural.

- Expresar sentimentos e emocións desde códigos artísticos.


82



A utilización de estratexias persoais de cálculo e de resolución de problemas facilita aceptar outros puntos de

vista, o que é indispensable á hora de realizar un traballo cooperativo e en equipo. Recoñecer e valorar as

achegas alleas enriquece o alumno.

Para iso adestraremos os seguintes descritores:

- Desenvolver capacidade de diálogo cos demais en situacións de convivencia e traballo e para a resolución

de conflitos.


- Concibir unha escala de valores propia e actuar conforme a ela.

- Aprender a comportarse desde o coñecemento dos distintos valores.

- Involucrarse ou promover accións cun fin social.


As estratexias matemáticas como a resolución de problemas, que inclúen a planificación, a xestión do tempo

e dos recursos, a valoración dos resultados e a argumentación para defender o proceso e os resultados, axudan

ao desenvolvemento desta competencia. Esta axuda será maior na medida en que se fomenten actitudes de

confianza e de autonomía na resolución de situacións abertas e problemas relacionados coa realidade concreta

que vive o alumno.

Os descritores que adestraremos son:

- Optimizar recursos persoais apoiándose nas fortalezas propias.

- Asumir as responsabilidades encomendadas e dar conta delas.

- Xestionar o traballo do grupo, coordinando tarefas e tempos.

- Dirimir a necesidade de axuda en función da dificultade da tarefa.

- Atopar posibilidades no contorno que outros non aprecian.

- Asumir riscos no desenvolvemento das tarefas ou os proxectos.


Aprender a aprender

A autonomía na resolución de problemas en Matemáticas, xunto coa verbalización do proceso de resolución

axuda á reflexión sobre o aprendido, favorecendo esta competencia.

Para o desenvolvemento da competencia de aprender a aprender, é tamén necesario incidir desde a área nos

contidos relacionados coa autonomía, a perseveranza, a sistematización, a mirada crítica e a habilidade para

comunicar con eficacia os resultados do propio traballo.

Os descritores que adestraremos cos alumnos serán os seguintes:

- Identificar potencialidades persoais como aprendiz: estilos de aprendizaxe, intelixencias múltiples, funcións

executivas...

- Xerar estratexias para aprender en distintos contextos de aprendizaxe.


- Aplicar estratexias para a mellora do pensamento creativo, crítico, emocional, interdependente...

- Planificar os recursos necesarios e os pasos que se deben realizar no proceso de aprendizaxe.

- Seguir os pasos establecidos e tomar decisións sobre os seguintes en función dos resultados intermedios.


ORGANIZACIÓN E SECUENCIACIÓN DE CONTIDOS E ESTÁNDARES DE APRENDIZAXE

AVALIABLES.

Os contidos da área de Matemáticas agrúpanse en varios bloques. Os contidos, criterios de avaliación e

estándares de aprendizaxe formúlanse para 3.º ESO.

O alumnado deberá adquirir uns coñecementos e destrezas básicas que lle permitan adquirir unha cultura


83

científica; os alumnos e alumnas deben identificarse como axentes activos e recoñecer que das súas actuacións

e coñecementos dependerá o desenvolvemento do seu ámbito.

CONTIDOS POR BLOQUES

BLOQUE 1. Procesos, métodos e actitudes en Matemáticas

1. Planificación do proceso de resolución de problemas.

- Estratexias e procedementos postos en práctica: uso da linguaxe apropiada (gráfico, numérico,

alxébrico, etc.), reformulación do problema, resolver subproblemas, reconto exhaustivo, empezar por

casos particulares sinxelos, buscar regularidades e leis, etc.



resolución, etc.



- Práctica dos procesos de matematización e modelización, en contextos da realidade e matemáticos.

- Confianza nas propias capacidades para desenvolver actitudes adecuadas e afrontar as dificultades

propias do traballo científico.


a) A recollida ordenada e a organización de datos.

b) A elaboración e creación de representacións gráficas de datos numéricos, funcionais ou estatísticos.

c) Facilitar a comprensión de propiedades xeométricas ou funcionais e a realización de cálculos de tipo

numérico, alxébrico ou estatístico.

d) O deseño de simulacións e a elaboración de predicións sobre situacións matemáticas diversas.

e) A elaboración de informes e documentos sobre os procesos levados a cabo e os resultados e conclusións

obtidos.

f) Comunicar e compartir, en ámbitos apropiados, a información e as ideas matemáticas.

BLOQUE 2 Números e álxebra

1. Potencias de números racionais con expoñente enteiro. Significado e uso.

- Potencias de base 10. Aplicación para a expresión de números moi pequenos.

- Operacións con números expresados en notación científica.

2. Raíces cadradas.

- Raíces non exactas. Expresión decimal.

- Expresións radicais: transformación e operacións. Xerarquía de operacións.

3. Números decimais e racionais.

- Transformación de fraccións en decimais e viceversa.

- Números decimais exactos e periódicos. Fracción xeratriz.

- Operacións con fraccións e decimais. Cálculo aproximado e redondeo. Cifras significativas. Erro

absoluto e relativo.

4. Investigación de regularidades, relacións e propiedades que aparecen en conxuntos de números. Expresión

usando linguaxe alxébrica.

5. Sucesións numéricas. Sucesións recorrentes. Progresións aritméticas e xeométricas.


84

6. Polinomios. Expresións alxébricas.

- Transformación de expresións alxébricas.

- Igualdades notables.

- Operacións elementais con polinomios.

- Ecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita.

- Resolución polo método alxébrico e gráfico de ecuacións de primeiro e segundo grao.

7. Resolución de ecuacións sinxelas de grao superior a dous.

8. Resolución de problemas mediante a utilización de ecuacións de primeiro e segundo grao e de sistemas

de ecuacións.

BLOQUE 3. Xeometría

1. Xeometría do plano.

- Rectas e ángulos no plano. Relacións entre os ángulos definidos por dúas rectas que se cortan.

- Lugar xeométrico: mediatriz dun segmento, bisectriz dun ángulo.

- Polígonos. Circunferencia e círculo. Perímetro e área.

- Teorema de Tales. División dun segmento en partes proporcionais.

- Teorema de Pitágoras. Aplicación á resolución de problemas.

- Movementos no plano: translacións, xiros e simetrías.

2. Xeometría do espazo.

- Poliedros, poliedros regulares. Vértices, arestas e caras. Teorema de Euler.

- Planos de simetría nos poliedros.

- A esfera. Interseccións de planos e esferas.

3. O globo terráqueo. Coordenadas xeográficas e fusos horarios. Lonxitude e latitude dun punto.

4. Uso de ferramentas tecnolóxicas para estudar formas, configuracións e relacións xeométricas.

BLOQUE 4. Funcións

1. Análise e descrición cualitativa de gráficas que representan fenómenos do ámbito cotián e doutras

materias.

2. Análise dunha situación a partir do estudo das características locais e globais da gráfica correspondente.

3. Análise e comparación de situacións de dependencia funcional dadas mediante táboas e enunciados.

4. Utilización de modelos lineais para estudar situacións procedentes dos diferentes ámbitos de coñecemento

e da vida cotiá, mediante a confección da táboa, a representación gráfica e a obtención da expresión

alxébrica.

5. Expresións da ecuación da recta.

6. Funcións cuadráticas. Representación gráfica. Utilización para representar situacións da vida cotiá.

BLOQUE 5. Estatística e probabilidade

1. Estatística.

- Fases e tarefas dun estudo estatístico. Poboación, mostra. Variables estatísticas: cualitativas, discretas

e continuas.

- Métodos de selección dunha mostra estatística. Representatividade dunha mostra.

- Frecuencias absolutas, relativas e acumuladas. Agrupación de datos en intervalos.

- Gráficas estatísticas.


85

- Parámetros de posición. Cálculo, interpretación e propiedades. Parámetros de dispersión. Diagrama de

caixa e bigotes.

- Interpretación conxunta da media e a desviación típica.

2. Experiencias aleatorias. Sucesos e espazo mostral.

- Cálculo de probabilidades mediante a regra de Laplace.

- Diagramas de árbore sinxelos.

- Utilización da probabilidade para tomar decisións fundamentadas en diferentes contextos.

Temporalización - 3º ESO Matemáticas orientadas as ensinanzas académicas

TRIMESTRE IDENTIFICACIÓN XENÉRICA DOS CONTIDOS

CORRESPONDENCIA

COAS LECCIÓNS DO

LIBRO DE TEXTO

PRIMEIRO

Fraccións e decimais

Potencias e raíces. Notación científica

Problemas aritméticos

A linguaxe alxébrica

1

2

3

5 SEGUNDO

Ecuacións


Progresións

Funcións e gráficas

Funcións lineais e cuadráticas

6

7

4

8

9 TERCEIRO

Problemas métricos no plano

Figuras no espazo

Movementos no plano. Frisos e mosaicos

Táboas e gráficos estatísticos

Parámetros estatísticos

Azar e probabilidade

10

11

12

13

14

15

Desenvolvemento por unidades:

Unidade 1: 1. PRESENTACIÓN DA UNIDADE

Título: Fraccións e decimais

Descrición da unidade

Os alumnos e as alumnas que chegan a este curso fano cunha gran cantidade de coñecementos sobre os

números, os seus usos e a súa operatoria: conceptos, procedementos, destrezas, xunto a erros, frustracións

e, se cadra, certo aburrimento de volver unha e outra vez ás mesmas cousas. Con esta unidade preténdese

asentar e reforzar moitos destes coñecementos, afondar nalgúns e darlles sentido práctico a todos eles. E,

se fose posible, achegar ao alumnado confianza e boa disposición de ánimo para estas tarefas.

As fraccións, o seu significado e o seu uso adoita ser algo razoablemente aprendido neste nivel. Non así a

súa operatoria, na que segue aparecendo gran cantidade de deficiencias. Comezaremos, de todos os xeitos,

revisando o concepto de fracción para, apoiándonos nel, construír o de número racional.

Lembrando o concepto de fracción como operador, os estudantes adoitan calcular sen dificultade a fracción

dunha cantidade, pero convén insistir no proceso inverso: calcular a cantidade total, coñecendo a parte.

Repasaremos tamén os conceptos relativos ás fraccións equivalentes e as súas propiedades, asegurando a


86

comprensión e o manexo áxil da redución a común denominador. Suxírese aquí alternar o cálculo mental,

nos casos sinxelos, co cálculo escrito, cando se manexan números grandes.

O paso de fracción a decimal, e viceversa, especialmente o paso de decimal periódico a fracción, é un dos

contidos típicos deste curso. Volveremos atoparnos con el na unidade 4 (progresións), pois, por

exemplo,0, 14 = 0,14 + 0,0014 +0,000014 +... é a suma dunha progresión xeométrica de razón 0,01.

A peculiaridade (como fraccións, como decimais) dos números racionais, así como a existencia de

irracionais, completan o tratamento teórico.

É moi importante insistir e fomentar o cálculo mental, tanto cos números enteiros como cos fraccionarios,

que tanto axuda a desenvolver a axilidade mental e a confianza.

A maioría dos alumnos e as alumnas seguramente xa utilizaría unha calculadora, pero este é o momento en

que deben coñecela en profundidade, empezando polos usos máis elementais, e valorar o seu enorme

potencial no complexo tratamento de fraccións e números mixtos.

Temporalización

Setembro

2. OBXECTIVOS DIDÁCTICOS

1. Coñecer os números fraccionarios, operar con eles e utilizalos para a resolución de problemas.

2. Coñecer os distintos tipos de números decimais e a súa relación coas fraccións.

3. CONTIDOS DA UNIDADE - CRITERIOS DE AVALIACIÓN - ESTÁNDARES DE APRENDIZAXE

AVALIABLES - COMPETENCIAS CLAVE

Contidos Criterios

de avaliación

Estándares de aprendizaxe

avaliables CC

Números racionais. Expresión

fraccionaria

- Números enteiros.

- Fraccións.

- Fraccións propias e impropias.

- Simplificación e comparación.

- Operacións con fraccións. A

fracción como operador.

- Representación dos números

fraccionarios na recta numérica.

1. Coñecer os

números

fraccionarios, a

relación entre

fraccionarios e

decimais e

representalos sobre

a recta.

1.1. Representa aproximadamente

fraccións sobre a recta e

descompón unha fracción

impropia en parte enteira mais

unha fracción propia.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

CEC

1.2.Simplifica e compara fraccións.

1.3. Pasa unha fracción a número

decimal e un número decimal

a fracción.

1.4. Calcula a fracción dunha

cantidade. Calcula a cantidade

coñecendo a fracción

correspondente.


87

Números decimais e fraccións

- Representación aproximada dun

número decimal sobre a recta.

- Tipos de números decimais:

exactos, xornais e outros.

- Paso de fracción a decimal.

- Paso de decimal exacto e decimal

periódico a fracción.

2. Realizar operacións

con números

racionais.

2.1. Realiza operacións

combinadas con números

racionais.

2.2. Compara números decimais e

realiza operacións

combinadas con decimais.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP

Resolución de problemas con

números decimais e fraccionarios

3. Resolver

problemas con

números enteiros,

decimais e

fraccionarios.

3.1 Resolve problemas para os que

se necesitan a comprensión e

o manexo da operatoria con

números fraccionarios.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

4. SELECCIÓN DE EVIDENCIAS PARA CONSEGUIR OS ESTANDARES DE APRENDIZAXE.

Libro do alumno (LA)

Estándares de aprendizaxe avaliables Selección de evidencias

1.1. Representa aproximadamente fraccións sobre a

recta e descompón unha fracción impropia en

parte enteira mais unha fracción propia.

- Actividade do LA para representar unha fracción

sobre unha recta e descompoñer fraccións

impropias en propias.

1.2. Simplifica e compara fraccións. - Actividade do LA para simplificar e comparar

fraccións.

1.3. Pasa unha fracción a número decimal e un

número decimal a fracción.

- Actividade do LA para transformar un número

decimal en fracción e viceversa.

1.4. Calcula a fracción dunha cantidade. Calcula a

cantidade coñecendo a fracción correspondente.

- Actividade do LA para calcular a fracción como

operador e para calcular a cantidade coñecida a

fracción.

2.1. Realiza operacións combinadas con números

racionais.

- Actividade do LA para realizar operacións

combinadas con fraccións.

2.2. Compara números decimais e realiza operacións

combinadas con decimais.


combinadas con números decimais e ordenalos.

3.1. Resolve problemas para os que se necesitan a

comprensión e o manexo da operatoria con

números fraccionarios.

- Actividade do LA para resolver problemas con

fraccións.

- Actividade do LA da sección: «Obradoiro de

matemáticas».

5. TAREFAS Tarefa 1: Lemos «Fraccións e decimais» e traballamos os textos que se propoñen.

- Lemos os textos, de forma cooperativa, e extraemos as ideas principais destes.

- Realizamos as actividades que se propoñen no LA para reforzar os contidos históricos formulados.

- Anticipamos algúns conceptos da unidade.


88

Tarefa 2: Números racionais.

- Lembramos o conxunto de números naturais e enteiros co LA

- Presentamos o conxunto de números racionais e a letra pola que se designa baseándonos no texto e na

representación gráfica que se achega no LA.

- Realizamos as actividades do LA

- Lembramos como se simplifican fraccións, que son fraccións equivalentes e como se poden comparar

traballando os exemplos propostos no LA.


Tarefa 3: Operacións con fraccións.

- Revisamos como se opera con fraccións (sumar e restar, multiplicar e dividir), así como, cabe lembrar, tamén a

prioridade das operacións, tendo en conta os exemplos que se mostran no LA.


- Lembramos como se calcula a fracción dunha cantidade. Para iso proponse traballar os exemplos do LA no

encerado e resolver a dúbidas que poidan ir xurdindo de forma xeral.

- Realizamos as actividades do LA.

Tarefa 4: Números decimais.

- Lembramos tamén, utilizando a táboa do LA, os tipos de números decimais que existen. É conveniente que os

alumnos a copien no seu caderno.


- Explicamos como se obtén a expresión decimal dunha fracción e como se pode previamente descubrir que tipo

de expresión decimal se vai obter dependendo dos factores que teña o denominador, unha vez simplificada a

fracción, utilizando os exemplos propostos no LA.

- Os estudantes realizan un esquema-resumo no seu caderno.


Tarefa 5: Paso de decimal a fracción.

- Explicamos como se pasa de decimal a fracción dependendo do tipo de número decimal que se teña.

- Explicamos os exemplos do LA.

- Os estudantes realizan un esquema cos pasos que cómpre seguir en cada un dos casos tratados.


Tarefa 6: Exercicios e problemas.

- Traballamos de forma conxunta a sección «Exercicios e problemas resoltos» do LA, onde se poñen de manifesto

as actividades «tipo» que traballan os contidos da unidade.

- Realizamos as actividades «Exercicios e problemas» que se suxiren no

Tarefa 7: Obradoiro de matemáticas.

- Lemos as diferentes seccións e realizamos as investigacións e as preguntas propostas no LA.

- Realizamos a Autoavaliación

Unidade 2:

1. PRESENTACIÓN DA UNIDADE

Título: Potencias e raíces. Notación científica


Nesta unidade proséguese o repaso e a ampliación das técnicas operatorias emprendidas na unidade

anterior.

As potencias de expoñente positivo e as súas propiedades xa son coñecidas de cursos anteriores. Aquí

complétanse e amplíanse coas de expoñente cero ou negativo. As aplicacións das propiedades das potencias

á simplificación de expresións adoitan presentar dificultades e convén tratalas pausadamente para lograr a

súa asimilación.


89

O coñecemento e a interpretación da lectura e a escritura da notación científica, en documentos escritos e

na calculadora, abren posibilidades para o cálculo e para o manexo de información no campo científico.

Defínese finalmente o concepto de raíz enésima dun número, asociado ao de potencia enésima, e aplícase

ao cálculo de raíces exactas, nas que se obtén un número racional, e de raíces non exactas, que xa podemos

identificar con números irracionais.

Non é obxectivo deste curso facer un estudo completo dos radicais. Só se presentan algunhas regras sobre

o seu manexo, para que o alumnado non cometa erros ao atopalos.

Temporalización

Outubro


1. Coñecer as potencias de expoñente enteiro e as súas propiedades e aplicalas nas operacións onde

interveñan.

2. Coñecer o concepto de raíz enésima dun número e aplicalo ao cálculo de raíces exactas.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Potenciación

- Potencias de expoñente

enteiro. Propiedades.

- Operacións con potencias de

expoñente enteiro e base

racional. Simplificación.

1. Coñecer as potencias

de expoñente enteiro

e aplicar as súas

propiedades nas

operacións con

números racionais.

1.1. Calcula potencias de

expoñente enteiro e expresa

un número como potencia de

expoñente enteiro.

1.2. Calcula e simplifica

expresións aritméticas

aplicando as propiedades

das potencias de expoñente

enteiro.

1.3. Resolve operacións

combinadas nas que

aparecen expresións con

potencias de expoñente

enteiro.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

Raíces exactas

- Raíz cadrada, raíz cúbica.

Outras raíces.

- Obtención da raíz enésima

exacta dun número

descompoñéndoo en factores.

2. Coñecer o concepto

de raíz enésima dun

número racional e

calcular raíces

exactas de números

racionais.

2.1. Calcula raíces exactas de

números racionais

xustificando o resultado

mediante o concepto de raíz

enésima.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

Radicais

- Conceptos e propiedades.

- Simplificación de radicais.

3. Coñecer algunhas

propiedades dos

radicais e aplicalas na

simplificación en

casos sinxelos.

3.1. Simplifica radicais en casos

sinxelos. CCL,

CMCT,

CD,

CAA


90

Notación científica

- Notación científica para

números moi grandes ou moi

pequenos.

- Operacións en notación

científica.

- A notación científica na

calculadora.

4. Coñecer e manexar a

notación científica.

4.1. Utiliza a notación científica

para expresar números

grandes ou pequenos e

expresa con todas as súas

cifras un número escrito en


4.2. Realiza operacións con

números en notación

científica.

4.3. Utiliza a calculadora para

operar en notación

científica.

4.4. Resolve problemas

utilizando la notación

científica.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

Números racionais e irracionais

- Números racionais.

- Números irracionais.

5. Recoñecer números

racionais e

irracionais.

5.1. Clasifica números de

distintos tipos identificando,

entre eles, os irracionais. CCL,

CMCT,

CAA



1.1. Calcula potencias de expoñente enteiro e

expresa un número como potencia de expoñente

enteiro.

- Actividades do LA para calcular potencias de

expoñente enteiro.

1.2. Calcula e simplifica expresións aritméticas

aplicando as propiedades das potencias de

expoñente enteiro.

- Actividades do LA para que, aplicando as

propiedades das potencias, permita calcular e

simplificar diferentes expresións con estas.

1.3. Resolve operacións combinadas nas que

aparecen expresións con potencias de expoñente

enteiro.

- Actividades do LA para realizar operacións

combinadas de potencias.

2.1. Calcula raíces exactas de números racionais

xustificando o resultado mediante o concepto de

raíz enésima.

- Actividades do LA para calcular raíces exactas de

números racionais descompoñendo os seus

radicandos previamente.

3.1. Simplifica radicais en casos sinxelos. - Actividades do LA para simplificar radicais.

4.1. Utiliza a notación científica para expresar

números grandes ou pequenos e expresa con

todas as súas cifras un número escrito en


- Actividades do LA para expresar diferentes

cantidades en notación científica.


91

4.2. Realiza operacións con números en notación

científica.

- Actividades do LA para operar con diferentes

cantidades expresadas en notación científica.

4.3. Utiliza a calculadora para operar en notación

científica.

- Actividades do LA para aprender a manexar a

calculadora cando teñamos que traballar con

números en notación científica.

4.4. Resolve problemas utilizando a notación

científica.

- Actividades do LA para resolver problemas nos

que interveñen cantidades expresadas en


5.1. Clasifica números de distintos tipos

identificando, entre eles, os irracionais.

- Actividades do LA para clasificar números

irracionais.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos «Potencias e raíces» e traballamos os textos que se propoñen.




Tarefa 2: Potenciación.

- Lembramos o que é unha potencia e cales son as súas propiedades máis importantes, poñendo como

exemplos destas os propostos do LA .

- Os estudantes realizan no seu caderno un cadro-resumo das propiedades para reforzalas.

- Traballamos de forma específica as potencias con expoñente cero ou negativo coa definición e os

exemplos propostos do LA .

- Realizamos o desenvolvemento das actividades resoltas no encerado para resolver as posibles dúbidas

que poidan xurdir de forma conxunta.


Tarefa 3: Notación científica.

- Explicamos cando un número está expresado en notación científica e as vantaxes deste tipo de notación.

- Realizamos, de forma oral, as actividades propostas na marxe do LA sobre cálculo mental para comprobar

de forma rápida se os estudantes comprenderon o concepto.

- Explicamos como se opera con números en notación científica baseándonos nos exemplos propostos do

LA .


- Explicamos como se len, escriben e interpretan e como se opera con números en notación científica na

calculadora, facéndolle notar ao estudante a importancia de coñecer a súa propia calculadora xa que cada

unha pode ter un algoritmo diferente para a lectura ou introdución destas cantidades.

- Realizamos de forma conxunta os exercicios resoltos do LA .


Tarefa 4: Raíces e radicais.

- Lembramos a definición de potencia e raíz e a relación entrambas as dúas.

- Resolvemos no encerado os exercicios resoltos propostos do LA .


- Explicamos que é un radical e algunhas regras para o manexo destes, tomando como exemplos os

propostos do LA . - Os estudantes copian no seu caderno as regras traballadas na clase.


Tarefa 5: Números racionais e irracionais.

- Lembramos o concepto de número racional e introducimos o concepto de irracional.

- Os estudantes elaboran no seu caderno un esquema cos tipos de números que coñecen, a súa definición


92

e un par de exemplos de cada tipo.

- Explicamos o exercicio resolto proposto do LA .



- Traballamos de forma conxunta a sección «Exercicios e problemas resoltos» do LA, onde se poñen de

manifesto as actividades «tipo» que traballan os contidos da unidade.

- Realizamos as actividades «Exercicios e problemas» que se suxiren do


- Lemos as diferentes seccións e realizamos as investigacións e preguntas propostas no LA.

- Realizamos a Autoavaliación.

Unidade 3:


Título: Problemas aritméticos


Ao facer medicións ou estimacións ou ao resolver problemas da vida cotiá, case nunca se obtén un resultado

exacto; e en todos eses casos utilizamos números aproximados, moitas veces sen ser conscientes diso. Por

esta razón, comezamos esta unidade, na que imos resolver problemas aritméticos, coas ideas básicas sobre

aproximacións, cifras significativas e erros cometidos. Preténdese que o alumnado sexa consciente do erro

cometido ao dar o resultado aproximado dun problema calquera.

Nos conceptos de erro absoluto e erro relativo, máis que aplicar as definicións, poñeremos atención a como

se controlan, coa orde da última cifra significativa utilizada no caso do erro absoluto ou coa cantidade de

cifras significativas no caso do erro relativo.

Os conceptos básicos relativos á proporcionalidade e ás porcentaxes son xa coñecidos polos estudantes.

Nesta unidade, ademais de lembralos, preténdese afondar en todos eles mediante a súa aplicación en

situacións e problemas contextualizados. O avance localizarase, polo tanto, na dificultade e complexidade

das situacións e problemas abordados, máis que no desenvolvemento de cuestións teóricas.

Comezaremos lembrando os métodos de redución á unidade e a regra de tres en problemas de

proporcionalidade simple e deterémonos en analizar varios problemas-modelo de proporcionalidade

composta, priorizando a detección dos distintos tipos de proporcionalidade directa-inversa que aparecen en

cada caso e mostrando os procedementos de resolución para cada un.

Na unidade préstase especial atención á resolución de certos problemas clásicos: reparticións proporcionais,

mesturas, móbiles. A axilidade na súa resolución debe ser consecuencia, máis que da memorización dos

procedementos asociados á súa resolución, á familiarización con eles polo seu uso reiteradamente razoado.

Na segunda parte da unidade revísanse as distintas formas de considerar as porcentaxes (proporción,

fracción, número decimal) e propóñense distintos problemas relacionados con eles (porcentaxe simple,

aumentos e diminucións porcentuais...). O avance céntrase na resolución de problemas nos que é necesario

calcular a cantidade inicial, o tanto por cento aplicado, a variación porcentual, etc. E tamén nos

procedementos de cálculo rápido mediante o produto e cociente polo índice de variación.

Os contidos da unidade teñen significado en multitude de situacións da vida cotiá. O obxectivo consiste en

ofrecer modelos con recursos e procedementos que poidan ser transferidos polos estudantes na

interpretación e resolución das devanditas situacións.

Temporalización

Outubro


93


1. Aproximar unha cantidade a unha orde determinada e ser consciente do erro cometido.

2. Manexar con soltura as porcentaxes e resolver problemas con eles.

3. Resolver problemas aritméticos (proporcionalidade, reparticións, mesturas, móbiles).



Contidos Criterios

de avaliación Estándares de aprendizaxe

avaliables CC

Números aproximados

- Redondeo. Cifras

significativas.

- Erros. Erro absoluto e erro

relativo.

- Relación da cota de erro

cometido coas cifras

significativas da expresión

aproximada.

1. Expresar unha

cantidade cun

número adecuado

de cifras

significativas e

valorar o erro

cometido.

1.1. Utiliza un número razoable

de cifras significativas para

expresar unha cantidade.

1.2. Aproxima un número a

unha orde determinada,

recoñecendo o erro

cometido.

1.3. Compara o erro relativo de

dúas cantidades.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

Problemas de proporcionalidade

- Problemas tipo de

proporcionalidade simple.

- Problemas tipo de

proporcionalidade composta.

2. Resolver

problemas de

proporcionalidade

simple e

composta.

2.1. Resolve problemas de



proporcionalidade

composta.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

Problemas clásicos

- Problemas de reparticións.

- Problemas de mesturas.

- Problemas de movementos.

3. Resolver

problemas

aritméticos

clásicos.


reparticións proporcionais.


mesturas.


movementos.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

Cálculo con porcentaxes

- Problemas de porcentaxes.

- Cálculo da parte, do total e do

tanto por cento aplicado.

- Problemas de aumentos e

diminucións porcentuais.

- Cálculo da cantidade final, da

inicial e do índice de

variación.

- Encadeamento de variacións

4. Manexar con

soltura as

porcentaxes e

resolver

problemas con

elas.

4.1. Relaciona porcentaxes con

fraccións e con números

decimais, calcula a

porcentaxe dunha

cantidade e a cantidade

inicial dada a porcentaxe e

acha a porcentaxe que

representa unha parte.


aumentos e diminucións

porcentuais.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


94

porcentuais.

- Interese composto.

4.3. Resolve problemas nos que

se encadean aumentos e




1.1. Utiliza un número razoable de cifras

significativas para expresar unha cantidade.

- Actividades do LA para discernir cantas cifras

decimais se consideran razoables para expresar

certas cantidades.

1.2. Aproxima un número a unha orde determinada,

recoñecendo o erro cometido.

- Actividades do LA para aproximar cantidades a

certa orde de unidades, recoñecendo o erro da

aproximación realizada.

1.3. Compara o erro relativo de dúas cantidades. - Actividades do LA para comparar erros relativos.

2.1. Resolve problemas de proporcionalidade

simple.

- Actividades do LA para resolver problemas de



composta.



3.1. Resolve problemas de reparticións

proporcionais.


reparticións proporcionais.

3.2. Resolve problemas de mesturas. - Actividades do LA para resolver problemas de

mesturas.

3.3. Resolve problemas de movementos. - Actividades do LA para resolver problemas de

movementos.

4.1. Relaciona porcentaxes con fraccións e con

números decimais, calcula a porcentaxe dunha

cantidade e a cantidade inicial dada a

porcentaxe e acha a porcentaxe que representa

unha parte.


porcentaxes.

4.2. Resolve problemas de aumentos e diminucións

porcentuais.


aumentos e diminucións porcentuais.

4.3. Resolve problemas nos que se encadean



aumentos e diminucións porcentuais encadeados.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos «Problemas aritméticos» e traballamos os textos que se propoñen.



- Os estudantes buscan información sobre os matemáticos que aparecen nos textos e comparten cos seus

compañeiros a información ao respecto.


Tarefa 2: Aproximacións e erros.

- Xustificamos a conveniencia de, en ocasións, utilizar cantidades aproximadas en vez de exactas.

- Introducimos o concepto de «cifras significativas» baseándonos no texto proposto no LA e o caso destas


95

en números expresados en notación científica.

- Explicamos que son o erro absoluto e relativo e desenvolvemos no encerado os problemas resoltos para

analizar, en gran grupo, os posibles erros que puidesen xurdir.


Tarefa 3: A proporcionalidade nos problemas aritméticos.

- Lembramos cando consideramos que un problemas é de proporcionalidade simple, tanto directa como

inversa, e explicamos o método de resolución de ambos os dous desenvolvendo os exemplos propostos

no LA, que mostra a técnica de «Redución á unidade» e a utilización da «Regra de tres».


Tarefa 4: Problemas clásicos.

- Explicámoslles aos estudantes como se resolven determinados tipos de problemas:

- Problemas de reparticións proporcionais.

- Problemas de mesturas.

- Problemas de movementos (velocidades e similares).

- Para iso, explicamos cando se considera un problema de cada un dos tipos que se presentan e, coa axuda

dos problemas resoltos no LA, explícase cales son os pasos que cómpre seguir para a resolución destes.


Tarefa 5: Cálculos con porcentaxes.

- Lembrámoslles aos estudantes como se calcula o tanto por cento dunha cantidade, cal é a súa notación e

a fracción equivalente a cada porcentaxe, presentando os exemplos do LA.

- Baseándonos nos exemplos propostos no LA, lembrámoslles aos estudantes como se obtén o tanto por

cento correspondente a unha proporción.


- A partir do exemplo do LA, no que se presenta unha situación na que se dá un aumento porcentual,

explicamos como se resolve este tipo de problemas introducindo o concepto de «Índice de variación».

- A partir do exemplo do LA, no que se presenta unha situación na que se dá unha diminución porcentual,

explicamos como se resolve este tipo de problemas reforzando o concepto de «Índice de variación».


- Explicámoslles aos estudantes, mediante o exemplo proposto no LA, como se calcula a cantidade inicial

coñecendo a variación porcentual e a cantidade final. Para reforzar este tipo de problemas

desenvolveremos no encerado as actividades resoltas.


- Propoñemos un problema no que se produza un encadeamento de variacións porcentuais (ver LA) e

resolvémolo calculando o índice de variación total.

- Presentamos os problemas resoltos e resolvemos as posibles dúbidas que poidan xerar.


Tarefa 6: Xuro composto.

- Presentámoslle ao estudante que é o xuro composto intentando que el mesmo deduza a fórmula para iso.

Se non se dá o caso, proponse e explícase.





- Os estudantes realizarán, en grupo, un díptico cos tipos de problemas vistos na unidade e unha explicación

pertinente de como se resolve cada un deles.






96

Unidade 4:


Título: Progresións


Nesta unidade estúdanse as sucesións como conxunto de números dados en certa orde e, como caso

particular, as progresións aritméticas e as xeométricas.

Evitamos a definición formal de sucesión porque o principal obxectivo é a busca de regularidades

numéricas mediante a observación e a reflexión.

Un aspecto para ter en conta é a nomenclatura propia deste tema, coa que os estudantes se atopan, moi

posiblemente, por primeira vez. Referímonos á utilización de subíndices para designar os termos dunha

sucesión e á expresión alxébrica do termo xeral.

A unidade comeza exemplificando o concepto de sucesión e introducindo a nomenclatura e a notación que

se vai empregar, e continúa coa busca da lei de formación dalgunhas sucesións e a expresión alxébrica do

seu termo xeral en casos moi sinxelos. Non é obxectivo desta unidade a obtención do termo xeral de

calquera sucesión, agás no caso das progresións. Os estudantes serán capaces, tamén, de construír unha

sucesión a partir da fórmula do devandito termo. Trabállanse e móstranse, ademais, algúns exemplos de

sucesións recorrentes.

Pásase despois ao estudo das progresións aritméticas, fixando o concepto de diferenza e xustificando os

procedementos para obter o termo xeral e a suma de n termos consecutivos.

Por último, iníciase o estudo das progresións xeométricas coas que convén traballar a fondo o concepto de

razón, o termo xeral e a suma de n termos consecutivos.

Consideramos unha ampliación moi interesante a suma dos infinitos termos dunha progresión xeométrica

con | r |<1.

Temporalización

Novembro


1. Coñecer e manexar a nomenclatura propia das sucesións e familiarizarse coa busca de regularidades

numéricas.

2. Coñecer e manexar con soltura as progresións aritméticas e xeométricas e aplicalas a situacións

problemáticas.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Sucesións

- Termo xeral.

-Obtención de termos dunha

sucesión dado o seu termo

xeral.

1. Coñecer e

manexar a

nomenclatura

propia das

sucesións e

familiarizarse

1.1. Escribe un termo concreto

dunha sucesión dada mediante

o seu termo xeral, ou de forma

recorrente.

1.2. Obtén o termo xeral dunha

sucesión dada polos seus

CCL,

CMCT,

CAA,

CEC


97

-Obtención do termo xeral

coñecendo algúns termos.

- Forma recorrente.

-Obtención de termos dunha

sucesión dada en forma

recorrente.

- Obtención da forma recorrente a

partir dalgúns termos da sucesión.

coa busca de

regularidades

numéricas.

primeiros termos (casos moi

sinxelos).

Progresións aritméticas

-Concepto. Identificación.

-Relación entre os distintos

elementos dunha progresión

aritmética.

- Obtención dun deles a partir dos

outros.

-Suma de termos consecutivos

dunha progresión aritmética.

2. Coñecer e

manexar con

soltura as

progresións

aritméticas.

2.1. Recoñece as progresións

aritméticas e calcula a súa

diferenza, o seu termo xeral e

obtén un termo calquera.

2.2. Calcula a suma dos primeiros

termos dunha progresión

aritmética.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

Progresións xeométricas

- Concepto. Identificación.

-Relación entre os distintos

elementos dunha progresión

xeométrica.

-Obtención dun deles a partir dos

outros.

-Suma de termos consecutivos

dunha progresión xeométrica.

-Suma dos infinitos termos dunha

progresión xeométrica con | r | <1.

3.Coñecer e

manexar con soltura

as progresións

xeométricas.

3.1. Recoñece as progresións

xeométricas, calcula a súa razón e o

seu termo xeral e obtén un termo

calquera.

3.2. Calcula a suma dos primeiros

termos dunha progresión

xeométrica.

3.3. Calcula a suma dos infinitos

termos dunha progresión xeométrica

con | r | <1.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

-Resolución de problemas de

progresións

4.Aplica as

progresións

aritméticas e

xeométricas á

resolución de

problemas.

4.1. Resolve problemas, con

enunciado, de progresións

aritméticas.

4.2. Resolve problemas, con

enunciado, de progresións

xeométricas.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC



1.1. Escribe un termo concreto dunha sucesión dada

mediante o seu termo xeral, ou de forma

recorrente.

- Actividades do LA para escribir o termo concreto

dunha progresión a partir do seu termo xeral ou a

súa forma recorrente.


98

1.2. Obtén o termo xeral dunha sucesión dada polos

seus primeiros termos (casos moi sinxelos).

- Actividades do LA para escribir o termo xeral

dunha sucesión dados os seus primeiros termos.

2.1. Recoñece as progresións aritméticas e calcula a

súa diferenza, o seu termo xeral e obtén un

termo calquera.

- Actividades do LA para recoñecer unha progresión

aritmética e calcular os seus diferentes elementos.

2.2. Calcula a suma dos primeiros termos dunha

progresión aritmética.

- Actividades do LA para calcular a suma dos n

primeiros termos dunha progresión aritmética.

3.1. Recoñece as progresións xeométricas, calcula a

súa razón, o seu termo xeral e obtén un termo

calquera.

- Actividades do LA para recoñecer unha progresión

xeométrica e calcular os seus diferentes elementos.


progresión xeométrica.

- Actividades do LA para calcular a suma dos n

primeiros termos dunha progresión xeométrica.

3.3. Calcula a suma dos infinitos termos dunha

progresión xeométrica con | r | < 1. - Actividades do LA para calcular a suma dos

infinitos termos dunha progresión xeométrica

cando | r |<1.

4.1. Resolve problemas, con enunciado, de

progresións aritméticas.


que interveñen progresións aritméticas.

4.2. Resolve problemas, con enunciado, de

progresións xeométricas.


que interveñen progresións xeométricas.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos «Progresións» e traballamos os textos que se propoñen.


- Os estudantes buscarán información sobre Fibonacci e sobre outros aspectos da vida cotiá diferentes aos

formulados nesta sección onde tamén estea presente a súa sucesión e presentarase ao resto de

compañeiros.



Tarefa 2: Sucesións.

- Presentamos o que é unha sucesión e, baseándonos nos exemplos sinxelos propostos no LA, invitamos

os estudantes, como se dun xogo se tratase, a continuar a serie e adiviñar os elementos sucesivos desta.


- Introducimos o concepto de «termo xeral» así como da súa notación.

- Baseándonos na sucesión de Fibonacci explicar que é unha sucesión recorrente e as diferenzas destas

coas traballadas ata o momento.


Tarefa 3: Progresións aritméticas.

- Presentamos unhas series de números que se corresponden con progresións aritméticas do LA. Os

estudantes deberán descubrir que teñen en común todas elas para categorizalas dentro do mesmo tipo de

progresións, así, será máis doado entender a definición de progresión aritmética.

- Os estudantes copiarán no seu caderno a definición textual.


- Explicamos, baseándonos no exemplo do LA, como se obtén o termo xeral dunha progresión aritmética.


99

- Introducimos a suma dos termos dunha progresión aritmética poñendo como exemplo a suma dos dez

primeiros números naturais e sobre a base desta demostraremos a fórmula para a suma dos n primeiros

termos. - Realizamos as actividades do LA.

Tarefa 4: Progresións xeométricas.

- Presentamos unhas series de números que se corresponden con progresións xeométricas do LA. Os

estudantes deberán descubrir que teñen en común todas elas para categorizalas dentro do mesmo tipo de

progresións, así, será máis doado entender a definición de progresión xeométrica.

- Os estudantes copiarán no seu caderno a definición textual.


- Explicamos, baseándonos no exemplo do LA, como se obtén o termo xeral dunha progresión xeométrica.

- Demostramos a fórmula da suma dos n primeiros termos dunha progresión xeométrica e desenvolvemos

os exemplos propostos no LA. - Realizamos as actividades do LA

- Facémoslles notar aos estudantes que, se 0 <r <1 (r positivo e menor que 1), os termos da progresión

decrecen aproximándose a cero, co que se fai especialmente interesante calcular a suma dos seus termos.

Obtemos a súa fórmula para este suposto. - Realizamos as actividades do LA

Tarefa 5: Progresións xeométricas sorprendentes.

- Os estudantes, en grupos cooperativos de 4 persoas, elixirán unha das sucesións presentadas e

investigarán sobre elas, presentando ao resto de compañeiros os coñecementos adquiridos sobre estas.




- Os estudantes realizarán, en grupo, un díptico cos tipos de problemas vistos na unidade e unha explicación

pertinente de como se resolve cada un deles.

- Realizamos as actividades «Exercicios e problemas» que se suxiren no LA




Unidade 5:


Título: A linguaxe alxébrica


Nesta unidade comézase o estudo da álxebra lembrando e ampliando orientacións e procedementos que se

deron nos cursos anteriores.

As dificultades que os alumnos e as alumnas atopan nesta materia están relacionadas, fundamentalmente,

co uso e o significado das letras como símbolos que representan unha situación abstracta. Pero esta é a

grande utilidade da álxebra: poder representar cunha soa letra un conxunto de valores e manexalos de forma

sinxela.

Despois da introdución, na primeira epígrafe xustifícase a necesidade da linguaxe alxébrica, lémbrase o

significado dalgúns termos (monomio, polinomio...) e tamén a diferenza entre identidade e ecuación.

As páxinas seguintes céntranse nas definicións, na terminoloxía asociada a monomios e polinomios, nas

súas operacións e nas súas propiedades.

O dominio das operacións básicas, suma e produto, entre monomios e polinomios, incluíndo a extracción


100

de factor común, así como o desenvolvemento e recoñecemento de identidades notables, debe servir para

convencer o alumnado de que a transformación de expresións alxébricas complexas noutras idénticas, pero

máis sinxelas, é un dos métodos máis eficaces no traballo matemático.

Estúdase o cociente de polinomios e a regra de Ruffini. A súa utilización para a transformación dun

polinomio en produto de factores, unido á extracción de factor común e as identidades notables, aplicarase

á simplificación de fraccións alxébricas. Este apartado adoita ter certa dificultade e, por iso, é recomendable

que o profesorado seleccione as actividades que lle parezan máis axeitadas ao nivel da clase, sen esquecer

que esta parte se completará no curso próximo.

Ao longo da unidade insístese nalgunhas operacións que aparecen con frecuencia na resolución de

ecuacións (redución a común denominador, etc.) e serán de grande utilidade na seguinte unidade.

Temporalización

Novembro Decembro


1. Coñecer os conceptos e a terminoloxía propios da álxebra.

2. Operar con expresións alxébricas.

3. Traducir situacións da linguaxe natural á alxébrica.



Contidos Criterios


avaliables CC


- Tradución da linguaxe natural á

alxébrica, e viceversa.

- Expresións alxébricas: monomios,

polinomios, fraccións alxébricas,

ecuacións, identidades...

- Coeficiente e grao. Valor numérico.

- Monomios semellantes.

Operacións con monomios e

polinomios

- Operacións con monomios: suma e

produto.

- Suma e resta de polinomios.

- Produto dun monomio por un

polinomio.

- Produto de polinomios.

- Factor común. Aplicacións.

Identidades

- As identidades como igualdades

alxébricas certas para valores

calquera das letras que interveñen.

- Distinción entre identidades e

1. Coñecer e

manexar os

conceptos e a

terminoloxía

propios da

álxebra.

1.1. Coñece os conceptos de

monomio, polinomio,

coeficiente, grao, monomios

semellantes, identidade e

ecuación e identifícaos.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC

2. Operar con

expresións

alxébricas.

2.1. Opera con monomios e

polinomios.

2.2. Aplica as identidades notables

para desenvolver e simplificar

unha expresión alxébrica.

2.3. Recoñece o desenvolvemento

de identidades notables e

exprésao como cadrado dun

binomio ou un produto de dous

factores.

2.4. Calcula o cociente e o resto da

división de polinomios.

2.5. Opera con fraccións alxébricas

sinxelas.

2.6. Simplifica fraccións alxébricas

sinxelas.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


101

ecuacións. Identificación dunhas e

outras.

- Identidades notables: cadrado

dunha suma, cadrado dunha

diferenza e suma por diferenza.

- Utilidade das identidades para

transformar expresións alxébricas

noutras máis sinxelas, máis

cómodas de manexar.

- Cociente de polinomios. Regra de

Ruffini.

Fraccións alxébricas

- Similitude das fraccións alxébricas

coas fraccións numéricas.

- Simplificación e redución a común

denominador de fraccións

alxébricas sinxelas.

- Operacións (suma, resta, produto e

cociente) de fraccións alxébricas

sinxelas.

3. Traducir

situacións da

linguaxe natural

á alxébrica.

3.1. Expresa en linguaxe alxébrica

unha relación dada por un

enunciado.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC,

CEC



1.1. Coñece os conceptos de monomio, polinomio,

coeficiente, grao, monomios semellantes,

identidade e ecuación e identifícaos.

- Actividades do LA para lembrar os conceptos que se

van traballar durante a unidade e utilizalos de forma

conveniente.

2.1. Opera con monomios e polinomios. - Actividades do LA para operar con monomios e

polinomios.

2.2. Aplica as identidades notables para desenvolver

e simplificar unha expresión alxébrica.

- Actividades do LA para aplicar as identidades

notables en diferentes situacións.

2.3. Recoñece o desenvolvemento de identidades

notables e exprésao como cadrado dun binomio

ou un produto de dous factores.

- Actividades do LA para desenvolver unha identidade

notable como cadrado dun binomio ou produto de

dous factores.

2.4. Calcula o cociente e o resto da división de

polinomios.

- Actividades do LA para escribir o termo concreto

dunha progresión a partir do seu termo xeral ou a súa

forma recorrente.

2.5. Opera con fraccións alxébricas sinxelas. - Actividades do LA para operar con fraccións


2.6. Simplifica fraccións alxébricas sinxelas. - Actividades do LA para simplificar fraccións

alxébricas.

3.1. Expresa en linguaxe alxébrica unha relación

dada por un enunciado.

- Actividades do LA para traducir enunciados á

linguaxe alxébrica.


102

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos «A linguaxe alxébrica» e traballamos os textos que se propoñen.


- Os estudantes buscarán información sobre Diofanto de Alexandría, Al-Jwarizmi, Vieta e Descartes (cada

grupo sobre un deles) e presentarana ao resto de compañeiros.



Tarefa 2: Expresións alxébricas.

- Lembramos o que é unha expresión alxébrica e cales son os conceptos relacionados con esta, baseándonos

nas definicións e exemplos que se propoñen no LA.

- Os estudantes copian no seu caderno as definicións traballas cun exemplo de cada unha delas.

- Lemos en voz alta o exercicio resolto na marxe do LA por se xurdise algunha dúbida poder resolvela de

forma xeral.


Tarefa 3: Monomios.

- Lembramos a definición de monomio e cales son as partes que o compoñen.

- Lembramos como se opera con monomios (sumar e restar, multiplicar e dividir) baseándonos nas

definicións e exemplos propostos no LA.

- Os estudantes copian no seu caderno as definicións traballadas cun exemplo de cada unha delas.


Tarefa 4: Polinomios.

- Lembramos a definición de polinomio e outras definicións relacionadas (grao, valor numérico...)

baseándonos no exposto no LA.

- Os estudantes copian no seu caderno as definicións traballas cun exemplo de cada unha delas.

- Lembramos como se suman e restan polinomios, baseándonos nas definicións e exemplos propostos no

LA.

- Do mesmo xeito traballamos sobre como se multiplica un monomio por un polinomio.


- Lembramos como se multiplican dous polinomios realizando o exemplo proposto no LA no encerado

para resolver, en gran grupo, as posibles dúbidas que poidan xurdir (facer ver que se hai poucos termos

se pode realizar o produto directamente).

- Explicamos os produtos notables, realizando varios exemplos no encerado.

- Os estudantes copian no seu caderno o desenvolvemento das fórmulas dos produtos notables tal e como

se mostran no LA.


Tarefa 5: Identidades.

- Presentamos aos estudantes que é unha igualdade e cales son algunhas das súas utilidades, baseándonos

nos exemplos do LA


- Explicamos como se extrae factor común.


Tarefa 6: Cociente de polinomios.

- Explicamos como se dividen polinomios, baseándonos no exemplo proposto no LA e seguindo os pasos

anotados á marxe.

- Presentamos a regra de Ruffini para dividir un polinomio entre outro da forma (x – a). - Utilizamos os exercicios resoltos do LA para mostrar aos estudantes outra aplicación de Ruffini:

Factorizar un polinomio.


Tarefa 7: Fraccións alxébricas.

- Presentamos aos estudantes o que é unha fracción alxébrica facendo uso dos exemplos propostos no LA.

- Explicamos como se simplifican fraccións alxébricas, como se reducen a común denominador e como se


103

suman e restan fraccións alxébricas sinxelas.

- Resolvemos no gran grupo os exercicios resoltos.

- Explicamos como se multiplican e dividen fraccións alxébricas.

- Resolvemos no gran grupo os exercicios resoltos.





- Os estudantes realizarán un esquema-resumo cos contidos vistos na unidade acompañados dun exemplo

en cada caso.





Unidade 6:


Título: Ecuacións


O principal obxectivo do estudo das ecuacións é a súa aplicación para resolver problemas.

Para iso, cómpre que os estudantes dominen, ademais da linguaxe alxébrica que estudaron na unidade

anterior, as técnicas de resolución de ecuacións de primeiro e segundo grao. Tamén é certo que, antes de

acometer o estudo de tales técnicas, é necesario que comprendan os conceptos de ecuación, solución dunha

ecuación e ecuacións equivalentes, que son a base dos procedementos que imos aplicar.

Unha das dificultades que adoitan atopar os estudantes é o diferente tratamento do signo igual en aritmética

e en álxebra. No igual das ecuacións, a diferenza das operacións aritméticas, hai que manexar

simultaneamente os dous membros.

Cómpre que o alumnado comprenda a situación de equilibrio que achega o signo igual nunha ecuación para

poder asimilar as transformacións que nos permiten pasar dunha ecuación a outra equivalente.

Unha vez dado este paso, deberase practicar moito para chegar a manexar con toda destreza as técnicas que

nos permiten obter a solución dunha ecuación.

Nas ecuacións de segundo grao presentamos a fórmula de resolución, na que evitamos a súa xustificación

pola dificultade que ten para a maioría dos estudantes. É un bo caso de afondamento para aqueles estudantes

que vaian máis adiantados e que atoparán nos recursos dixitais.

Incluímos tamén a discusión do número de solucións segundo o signo do discriminante. As ecuacións

incompletas trátanse cos procedementos específicos, que ilustran moi ben como a resolución de ecuacións

non debe ser algo ríxido.

Na formulación e resolución de problemas, o alumnado deberá adestrar e aplicar destrezas para a

codificación de enunciados en linguaxe alxébrica, recorrendo, ademais, a todas as adquiridas na resolución

de problemas aritméticos: porcentaxes, mesturas...

Temporalización

Decembro Xaneiro:


104


1. Coñecer os conceptos propios das ecuacións.

2. Resolver ecuacións de diversos tipos.

3. Formular e resolver problemas mediante ecuacións.



Contidos Criterios de avaliación

Estándares de aprendizaxe avaliables

CC

Ecuación

- Solución.

- Comprobación de se un número

é ou non solución dunha

ecuación.

- Resolución de ecuacións por

tenteo.

- Tipos de ecuacións.

1. Coñecer os

conceptos propios

das ecuacións.


ecuación, incógnita, solución,

membro, equivalencia de

ecuacións, etc., e identifícaos.

1.2. Busca a solución enteira dunha

ecuación sinxela mediante

tenteo (con ou sen calculadora) e

compróbaa.

1.3. Busca a solución non enteira, de

forma aproximada, dunha

ecuación sinxela mediante

tenteo con calculadora.

1.4. Inventa ecuacións con solucións

previstas.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CEC

Ecuacións de primeiro grao

- Ecuacións equivalentes.

- Transformacións que conservan

a equivalencia.

- Técnicas de resolución de

ecuacións de primeiro grao.

- Identificación de ecuacións sen

solución ou con infinitas

solucións.

Ecuacións de segundo grao

- Discriminante. Número de

solucións.

- Ecuacións de segundo grao

incompletas.


ecuacións de segundo grao.

2. Resolver ecuacións

de diversos tipos.

2.1. Resolve ecuacións de primeiro

grao.

2.2. Resolve ecuacións de segundo

grao completas (sinxelas).


grao incompletas (sinxelas).


grao (complexas). CCL,

CMCT,

CD,

CAA


105

Resolución de problemas

- Resolución de problemas

mediante ecuacións.

3. Formular e resolver

problemas

mediante

ecuacións.

3.1. Resolve problemas numéricos


3.2. Resolve problemas xeométricos



proporcionalidade mediante

ecuacións.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC



1.1. Coñece os conceptos de ecuación, incógnita,

solución, membro, equivalencia de ecuacións,

etc., e identifícaos.

- Actividades do LA para lembrar os conceptos sobre

ecuacións tratados na unidade.

1.2. Busca a solución enteira dunha ecuación sinxela

mediante tenteo (con ou sen calculadora) e

compróbaa.

- Actividades do LA para, por tenteo, atopar a

solución enteira (ou solucións) de ecuacións

propostas.

1.3. Busca a solución non enteira, de forma

aproximada, dunha ecuación sinxela mediante

tenteo con calculadora.

- Actividades do LA para, por tenteo coa calculadora,

atopar a solución non enteira de ecuacións

propostas.

1.4. Inventa ecuacións con solucións previstas. - Actividades do LA para inventar ecuacións con

solucións previstas.

2.1. Resolve ecuacións de primeiro grao. - Actividades do LA para resolver ecuacións de

primeiro grao.

2.2. Resolve ecuacións de segundo grao completas

(sinxelas).

- Actividades do LA para resolver ecuacións de

segundo grao completas sinxelas.

2.3. Resolve ecuacións de segundo grao incompletas

(sinxelas).


segundo grao incompletas sinxelas.

2.4. Resolve ecuacións de segundo grao

(complexas).


segundo grao complexas.

3.1. Resolve problemas numéricos mediante

ecuacións.

- Actividades do LA para resolver problemas

numéricos mediante ecuacións.

3.2. Resolve problemas xeométricos mediante

ecuacións.


xeométricos mediante ecuacións.




proporcionalidade mediante ecuacións.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos «Ecuacións» e traballamos os textos que se propoñen.




Tarefa 2: Ecuacións. Solución dunha ecuación.

- Presentamos, mediante un problema da vida cotiá, o que é unha ecuación, cal é o concepto de «Solución


106

dunha ecuación» e que significa «Resolver unha ecuación».

- Ensinamos aos estudantes, diferentes tipos de ecuacións que existen, facendo uso dos exemplos que se

propoñen no LA.


- Explicamos como podemos resolver ecuacións por tenteo traballando, en gran grupo, os exemplos

propostos no LA.


Tarefa 3: Ecuacións de primeiro grao.

- Lembramos que é unha ecuación de primeiro grao e mostramos os exemplos presentes no LA.

- Presentamos como «ecuacións anómalas» aquelas de primeiro grao que teñen infinitas solucións ou non

presentan solución, e para iso apoiámonos nos exemplos do LA.

- Lembramos o que son ecuacións equivalentes e sinalamos as transformacións que manteñen ás ecuacións

equivalentes.

- Mediante o exemplo proposto no LA, explicamos cales son os pasos para resolver unha ecuación de

primeiro grao.

- Os estudantes copian o exemplo desenvolvido no seu caderno xunto cos pasos xerais para a resolución

xeral das ecuacións de primeiro grao.


Tarefa 4: Ecuacións de segundo grao.

- Presentamos que é unha ecuación de segundo grao e como se resolven mediante a súa fórmula xeral.

- Facemos notar que o número de solucións desta dependerá do valor do discriminante.

- Desenvolveremos os exercicios resoltos no LA no encerado para, se xurdise algunha dúbida, poder

resolvela de carácter xeral.


- Explicamos que, se as ecuacións de segundo grao son incompletas, non é necesario, para a súa resolución,

aplicar a fórmula xeral. Así, mediante os exemplos propostos no LA, explicamos como resolvelas

dependendo se lles falta o termo b ou o termo c.


- Agora que os estudantes xa viron os casos máis sinxelos, introducimos as regras xerais para resolver

calquera ecuación de segundo grao. Para iso, desenvolvemos paso a paso os exercicios resoltos no LA

para, así, poder traballar os diferentes aspectos que nos poden xurdir cando resolvemos unha ecuación de

segundo grao.


Tarefa 5: Resolución de problemas con ecuacións.

- Procedemos a expoñer cales son os pasos que cómpre seguir para resolver un problema mediante

ecuacións. Para iso presentamos diferentes tipos de problemas e os pasos en cada caso: Numéricos,

xeométricos e de proporcionalidade.





- Os estudantes realizarán un esquema-resumo cos contidos vistos na unidade acompañados dun exemplo

en cada caso.






107

Unidade 7:


Título: Sistemas de ecuacións


Os sistemas de ecuacións son unha potente ferramenta para formular e resolver unha ampla gama de

problemas e situacións relacionados coa vida cotiá e con outras partes das matemáticas, como a xeometría

ou o estudo das funcións.

Para utilizar eficazmente esta ferramenta, cómpre que os estudantes saiban o que é un sistema de ecuacións,

o significado da súa solución e sexan capaces de resolvelos con destreza.

Comezamos a unidade estudando as ecuacións con dúas incógnitas como igualdades que se cumpren para

infinitos pares de valores. E que eses pares de valores, representados no plano, coinciden cos puntos dunha

recta.

A representación gráfica das ecuacións lineais con dúas incógnitas e a busca do punto de intersección será

un elemento clave para comprender o concepto do sistema de ecuacións e da súa resolución. Deste xeito, é

doado entender por que algúns sistemas non teñen solución e outros teñen infinitas solucións.

Os métodos de resolución teñen en común a idea de eliminar incógnitas para chegar a unha única ecuación

cunha incógnita única. Neste punto adóitanse detectar erros, como pensar que o sistema queda reducido a

unha soa ecuación e, como consecuencia, abandonar incógnitas ou despexar e substituír na mesma

ecuación.

Estúdanse os métodos algorítmicos de resolución de sistemas: substitución, igualación e redución. O

alumnado debe aprender e dominar cada un deles; cando isto se consiga, tamén deben saber decidir cal é o

que mellor convén aplicar en cada caso.

A unidade remata coa presentación de modelos que atenden ao principal obxectivo: aplicar os sistemas de

ecuacións na resolución de problemas.

Temporalización

Xaneiro Febreiro


1. Resolver sistemas de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas.

2. Formular e resolver problemas mediante sistemas de ecuacións.



Contidos Criterios


avaliables CC

Ecuación con dúas incógnitas

- Representación gráfica.

- Obtención de solucións dunha

ecuación con dúas incógnitas.

Sistemas de ecuacións lineais


1. Coñecer os conceptos

de ecuación lineal

con dúas incógnitas,

as súas solucións;

sistemas de dúas

ecuacións con dúas

incógnitas, así como

as súas

1.1. Asocia unha ecuación con

dúas incógnitas e as súas

solucións a unha recta e aos

puntos desta.

1.2. Resolve graficamente

sistemas de dúas ecuacións

con dúas incógnitas moi

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC


108

Representación mediante

rectas das solucións dunha

ecuación lineal con dúas

incógnitas.

- Sistemas equivalentes.

- Número de solucións.

Representación mediante un

par de rectas dun sistema de

dúas ecuacións lineais con

dúas incógnitas e a súa

relación co número de

solucións.

Métodos de resolución de

sistemas

- Resolución de sistemas de

ecuacións.

- Substitución.

- Igualación.

- Redución.

- Dominio de cada un dos

métodos. Hábito de elixir o

máis adecuado en cada caso.

- Utilización das técnicas de

resolución de ecuacións na

preparación de sistemas con

complicacións alxébricas.



mediante sistemas de ecuacións.

interpretacións

gráficas.

sinxelos e relaciona o tipo

de solución coa posición

relativa das rectas.

2. Resolver sistemas de

dúas ecuacións

lineais con dúas

incógnitas.


problemas mediante

sistemas de

ecuacións.

2.1. Resolve un sistema lineal

de dúas ecuacións con dúas

incógnitas mediante un

método determinado

(substitución, redución ou

igualación).



incógnitas por calquera dos

métodos.



incógnitas que requira

transformacións previas.


numéricos mediante

sistemas de ecuacións.


xeométricos mediante



proporcionalidade

mediante sistemas de

ecuacións.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP

CSC,

CEC



1.1. Asocia unha ecuación con dúas incógnitas e as

súas solucións a unha recta e aos puntos desta.

- Actividades do LA para traballar o concepto de

ecuación con dúas incógnitas, as súas solucións e a

súa representación gráfica.

1.2. Resolve graficamente sistemas de dúas

ecuacións con dúas incógnitas moi sinxelos e

relaciona o tipo de solución coa posición


- Actividades do LA para representar graficamente

un sistema de ecuacións con dúas incógnitas e

estudar o seu tipo de solución.

2.1. Resolve un sistema lineal de dúas ecuacións con

dúas incógnitas mediante un método

determinado (substitución, redución ou

igualación).

- Actividades do LA para resolver sistemas lineais

de dúas ecuacións con dúas incógnitas por

substitución, igualación ou redución.


109


dúas incógnitas por calquera dos métodos.


de dúas ecuacións con dúas incógnitas por calquera

dos métodos traballados na unidade.


dúas incógnitas que requira transformacións

previas.


de dúas ecuacións con dúas incógnitas por calquera

dos métodos traballados na unidade.




numéricos mediante sistemas de ecuacións.




xeométricos mediante sistemas de ecuacións.




proporcionalidade mediante sistemas de

ecuacións.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos «Sistema de ecuacións» e traballamos os textos que se propoñen.




Tarefa 2: Ecuacións con dúas incógnitas. Solucións.

- Presentamos, mediante o exemplo proposto no LA, unha ecuación con dúas incógnitas e algunhas

posibles solucións deste para definir: solución, ecuación lineal e infinitas solucións.

- Representamos a función traballa no gran grupo para que os estudantes descubran a que tipo de

representación dá lugar esta función e que son os puntos desta.

- Desenvolvemos o exercicio resolto no LA.


Tarefa 3: Sistemas de ecuacións lineais.

- Definimos o que é un sistema de ecuacións lineais e a que chamamos solución deste.

- Resolvemos, no gran grupo, os sistemas propostos no exercicio resolto do LA para comprobar se os

valores dados son ou non solución dos sistemas propostos.


Tarefa 4: Sistemas equivalentes.

- Definimos cando dous sistemas de ecuacións son equivalentes, apoiándonos nos exemplos do LA e nas

representacións gráficas que alí se propoñen.

- Desenvolvemos o exercicio proposto.


Tarefa 5: Número de solucións dun sistema lineal.

- Facemos notar que, aínda que en xeral, un sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas ten unha

única solución, non sempre acontece isto. Para iso:

- Proponse que os estudantes representen algún dos sistema propostos no LA no apartado «Sistemas sen

solución», para que, por eles mesmos, poidan comprobar o porqué deste nome.

- Posteriormente definiremos este tipo de sistema como «incompatible».

- Recoméndase que os estudantes representen algún dos sistemas propostos no LA no apartado «Sistemas

con infinitas solucións», para que, por eles mesmos, poidan comprobar o porqué deste nome.

- Posteriormente definiremos este tipo de sistema como «indeterminado».

- Os estudantes realizarán no seu caderno un cadro-resumo cos tipos de sistemas de ecuacións que se pode

encontrar e o número de solucións destes. Xunto a eles, representará graficamente un exemplo en cada

caso.



110

Tarefa 6: Métodos de resolución de sistemas.

- Presentamos o método de «substitución». Para iso, facendo uso do exemplo proposto no LA, imos

resolvendo o sistema e indicando os pasos que seguimos.

- Os estudantes copian no seu caderno o desenvolvemento completo do exemplo e as anotacións dos pasos

seguidos.

- Para reforzar o traballado, resolver no gran grupo o exercido resolto, por se xorden dúbidas, póidanse

resolver á vez.

- Realizamos as actividades do LA- Presentamos o método de «igualación». Para iso, facendo uso do

exemplo proposto no LA, imos resolvendo o sistema e indicando os pasos que seguimos.


seguidos.

- Para reforzar o traballado, resolver no gran grupo o exercido resolto, co fin de que, se xorden dúbidas, se

poidan resolver á vez.


- Presentamos o método de «redución». Para iso, facendo uso do exemplo proposto no LA, imos resolvendo

o sistema e indicando os pasos que seguimos.


seguidos.

- Para reforzar o traballado, resolver no gran grupo o exercido resolto co fin de que, se xorden dúbidas,

póidanse resolver á vez.


- Unha vez que os estudantes xa coñecen e traballaron os diferentes métodos para resolver sistemas de

ecuacións lineais, formulamos unha regra práctica para resolver calquera deles. Antes diso, lembramos

algunhas vantaxes que nos encontramos ao traballalos (ver LA).

- Para traballar eses pasos resolvemos os sistemas do exercicio resolto que se propón no LA.


Tarefa 7: Sistema de ecuacións non lineais.

- Definimos cando un sistema de ecuacións é non lineal e presentamos os exemplos propostos no LA.

- Explicamos que, para resolver este tipo de sistema de ecuacións, non hai un método específico, senón

que abonda con aplicar os traballados anteriormente: substitución, igualación e redución.

- Resolvemos en gran grupo os exemplos propostos (facer notar que pode aparecer, nestes casos, máis

dunha solución).


Tarefa 8: Resolución de problemas mediante sistemas.

- Explicamos os pasos que cómpre seguir cando pretendemos resolver un problema mediante un sistema

de ecuacións.

- Os estudantes copian, no seu caderno, estes pasos.

- Analizamos os exercicios resoltos no gran grupo.





- Os estudantes realizarán un mapa mental que reflicta os conceptos tratados na unidade de forma rigorosa.






111

Unidade 8:


Título: Funcións e gráficas


Ao comezo da ESO iniciamos o estudo elemental das funcións, centrándonos na representación de puntos

no plano cartesiano e na lectura dalgúns puntos nunha gráfica, iniciando a asociación dun enunciado cunha

gráfica e introducindo o vocabulario básico das funcións.

Neste curso ampliamos e precisamos o concepto de función coa definición e a terminoloxía propias, e co

estudo e a descrición de gráficas, tanto de forma cualitativa como cuantitativa.

Para iso, estudaranse os aspectos máis relevantes que debemos observar ante unha gráfica: dominio de

definición, percorrido, crecemento e decrecemento, máximos e mínimos, continuidade, periodicidade e

tendencia, presentándoos de forma intuitiva e tratando de chegar a certo nivel de formalización.

Preténdese tamén que os alumnos e as alumnas aprendan a construír e a analizar gráficas sinxelas a partir

dun enunciado ou dunha táboa de valores.

A unidade complétase coa idea de expresión analítica dunha función, mostrando as vantaxes e algún

inconveniente que ten esta forma de definir unha función fronte ás outras.

Ao rematar a unidade, os alumnos e as alumnas deben ter claro que unha función pode darse mediante un

enunciado, unha táboa de valores, unha gráfica ou unha fórmula, conseguir certa destreza en traballar con

calquera destas expresións e pasar con soltura dunha a outra.

Así mesmo, deben describir unha gráfica con precisión, sinalando os aspectos máis relevantes e utilizando

a terminoloxía adecuada.

Temporalización

Febreiro


1. Interpretar e construír gráficas que correspondan a contextos coñecidos ou a táboas de datos e manexar

os conceptos e a terminoloxía propios das funcións.

2. Indicar a expresión analítica dunha función moi sinxela a partir dun enunciado.



Contidos Criterios


avaliables CC

- Funcións

- Concepto de función.

- Gráfica.

- Variable dependente e

independente.

- Dominio, percorrido.

- Interpretación de funcións

dadas por gráficas.

1. Interpretar e

construír gráficas que

correspondan a

contextos coñecidos

polo alumnado ou a

táboas de datos e

manexar os conceptos

e a terminoloxía

propios das funcións.

1.1. Responde preguntas sobre o

comportamento dunha función

observando a súa gráfica e

identifica aspectos relevantes

desta (dominio, crecemento,

máximos, etc.).

1.2. Asocia enunciados a gráficas de

funcións.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


112

- Crecemento e decrecemento.

- Máximos e mínimos.

- Continuidade e

descontinuidade.

- Tendencia. Periodicidade.

1.3. Constrúe a gráfica dunha

función a partir dun enunciado.

1.4. Constrúe a gráfica dunha

función a partir dunha táboa de

valores.

-Expresión analítica dunha

función

- Expresión analítica asociada a

unha gráfica.

2. Indicar a

expresión

analítica dunha

función moi

sinxela a partir

dun enunciado.

2.1. Indica a expresión analítica

dunha función moi sinxela a

partir dun enunciado.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC



1.1. Responde preguntas sobre o comportamento

dunha función observando a súa gráfica e

identifica aspectos relevantes desta (dominio,

crecemento, máximos, etc.).

- Actividades do LA para traballar os conceptos

sobre funcións vistos na unidade (dominio,

crecemento, máximos, etc.).

1.2. Asocia enunciados a gráficas de funcións. - Actividade do LA para asociar enunciados a

gráficas dadas.

1.3. Constrúe a gráfica dunha función a partir dun

enunciado.

- Actividades do LA para, a partir dun enunciado,

construír a gráfica correspondente.

1.4. Constrúe a gráfica dunha función a partir dunha

táboa de valores.

- Actividades do LA para, a partir dunha táboa de

valores, construír a gráfica correspondente.

2.1. Indica a expresión analítica dunha función moi

sinxela a partir dun enunciado.

- Actividades do LA para, a partir dun enunciado,

indicar a expresión analítica que lle corresponde.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos «Funcións» e traballamos os textos que se propoñen.




Tarefa 2: As funcións e as súas gráficas.

- Partindo do exemplo suxerido no LA, lemos, entre todos, o desenvolvemento deste, no que se introducen,

de forma natural, diferentes conceptos que se van afondar ao longo da unidade.



113

- Definimos formalmente os conceptos: función, variable dependente, variable independente, eixes

cartesianos, eixes de abscisas, eixes de ordenadas e dominio de definición. Para reforzar estes conceptos,

utilizamos os exemplos propostos no LA.


Tarefa 3: Crecemento e decrecemento dunha función.

- A partir do exemplo proposto no LA, explicamos aos estudantes os conceptos de crecente e decrecente.

- Posteriormente, procedemos a definilos formalmente.

- Os estudantes copian no seu caderno as devanditas definicións.


Tarefa 4: Tendencias dunha función.

- A partir do exemplo proposto no LA, facémoslles ver aos estudantes que existen funcións nas que, aínda

que só coñezamos un anaco delas, podemos predicir como se comportarían lonxe do intervalo en que

foron estudadas, porque teñen ramas cunha tendencia moi clara.

- Do mesmo xeito, existen outras que se repiten cada certo período ou intervalo.

- Definimos formalmente «tendencia» e «función periódica» e realizamos as actividades do LA

Tarefa 5: Descontinuidades. Continuidade.

- A partir do exemplo proposto no LA, explicámoslles aos estudantes os conceptos de descontinuidade,

continuidade e continuidade nun tramo.

- Posteriormente, procedemos a definilos formalmente.

- Os estudantes copian no seu caderno as devanditas definicións.


Tarefa 6: Expresión analítica dunha función.

- Facémoslles notar aos estudantes que, aínda que ata o momento case todas as funcións que viron viñeron

dadas ou pola súa gráfica ou por un enunciado, en xeral, atoparémonos con funcións dadas mediante unha

fórmula. Esta permítenos relacionar de forma exacta as dúas variables.

- Traballaremos os exemplos do LA.









Unidade 9:


Título: Funcións lineais e cuadráticas


O estudo sistemático das funcións lineais e unha introdución ás funcións cuadráticas completa o bloque de

funcións que se estudará neste curso.

Xa se coñecen as rectas dentro do contexto dos sistemas de ecuacións lineais, onde os puntos dunha recta se

miraban como solucións dunha ecuación con dúas incógnitas. Nesta unidade, as rectas son estudadas como

funcións nas que a cada valor de x corresponde un único valor de y.

Debe quedar moi claro o significado e a obtención da pendente dunha recta, tanto se esta vén dada de forma

abstracta pola súa ecuación, na que miramos o coeficiente do x cando o y está despexado, como cando a

recta representa situacións concretas: enunciados de tipo económico (custo), físico (velocidade) ou outros.


114

A idea de que a pendente representa a variación (aumento ou diminución) de y por unidade de x lévanos a

considerar as rectas como funcións de crecemento ou decrecemento constante. Debe ser automática a

obtención da pendente a partir de dous puntos calquera da recta.

Débese adquirir gran destreza no uso das distintas formas da expresión analítica dunha recta, tanto para

representala a partir da súa ecuación como para obter a súa ecuación a partir da súa representación gráfica,

de dous puntos calquera dela ou da súa pendente e un punto.

Desta forma enriquécese a asociación enunciado-gráfica, que traballamos na unidade anterior, coa de

enunciado-expresión analítica e gráfica-expresión analítica cando as funcións son lineais.

Aínda que as funcións cuadráticas se estudarán con profundidade no próximo curso, neste iniciamos o

alumnado no seu manexo e interpretación co fin de ampliar a gama de funcións cuxa expresión analítica

controlan e para poder tratar analítica e graficamente non só problemas de movementos uniformes, senón

tamén de movementos uniformemente acelerados.

Esta unidade debe servirnos tamén para repasar algunhas das ferramentas aritméticas e alxébricas

adquiridas anteriormente, como, por exemplo, problemas de proporcionalidade directa, tradución da

linguaxe verbal á alxébrica e a resolución de ecuacións de primeiro e segundo grao.

Temporalización

Febreiro Marzo


1. Manexar con soltura as funcións lineais, representándoas, interpretándoas e aplicándoas en diversos

contextos.

2. Representar funcións cuadráticas.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Función de proporcionalidade

- Situacións prácticas ás que

responde unha función de

proporcionalidade.

- Ecuación y = mx.

- Representación gráfica dunha

función de proporcionalidade dada

pola súa ecuación.

- Obtención da ecuación que

corresponde á gráfica.

A función y = mx + n


responde.


función y = mx + n.


1. Manexar con soltura

as funcións lineais,

representándoas,

interpretándoas e

aplicándoas en

diversos contextos.

1.1. Representa funcións

lineais a partir da súa

ecuación.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

1.2. Acha a ecuación dunha

recta coñecendo un

punto e a súa pendente

ou dous puntos desta.


recta observando a súa

gráfica.

1.4. Obtén a función lineal

asociada a un enunciado,

analízaa e represéntaa.


enunciado mediante o

estudo conxunto de dúas

funcións lineais.


115

corresponde a unha gráfica.

Formas da ecuación dunha recta

- Punto-pendente.

- Que pasa por dous puntos.

- Representación da gráfica a partir

da ecuación, e viceversa.

Resolución de problemas nos que

interveñan funcións lineais

Estudo conxunto de dúas funcións

lineais

Función cuadrática

- Representación gráfica. Parábola.

Cálculo do vértice, puntos de corte

cos eixes, puntos próximos ao

vértice.

- Resolución de problemas nos que

interveñan ecuacións cuadráticas.

- Estudo conxunto dunha recta e

dunha parábola.

2. Representar funcións

cuadráticas.


cuadráticas facendo un

estudo completo delas

(vértice, cortes cos

eixes...).

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

2.2. Calcula, analiticamente e

graficamente, os puntos

de corte entre unha

parábola e unha recta.



1.1. Representa funcións lineais a partir da súa

ecuación.

- Actividades do LA para representar funcións

lineais a partir da súa ecuación.

1.2. Acha a ecuación dunha recta coñecendo un

punto e a súa pendente ou dous puntos desta.

- Actividades do LA para calcular a ecuación da

recta dada a pendente e un punto polo que pasa ou

dados dous puntos desta.

1.3. Acha a ecuación dunha recta observando a súa

gráfica.

- Actividades do LA para calcular a ecuación da

recta dada a súa gráfica.

1.4. Obtén a función lineal asociada a un

enunciado, analízaa e represéntaa.

- Actividades do LA para, dado un enunciado,

asocialos a unha función lineal, analizala e

representala.

1.5. Resolve problemas de enunciado mediante o

estudo conxunto de dúas funcións lineais.


mediante o estudo conxunto de dúas funcións

lineais.

2.1. Representa funcións cuadráticas facendo un

estudo completo delas (vértice, cortes cos

eixes...).

- Actividades do LA para representar funcións

cuadráticas de forma completa.

2.2. Calcula, analiticamente e graficamente, os

puntos de corte entre unha parábola e unha

recta.

- Actividades do LA para os puntos de corte dunha

parábola e unha recta de forma gráfica e analítica.


116

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos «Funcións lineais e cuadráticas» e traballamos os textos que se propoñen.




Tarefa 2: Función de proporcionalidade y = mx. - No LA propóñense tres exemplos de funcións nas que as dúas variables son proporcionais e se poden

extraer mediante os mesmos que son funcións que se representan mediante rectas e teñen unha expresión

analítica da forma y =mx, onde m éa pendente. - Lemos o exercicio resolto suxerido no LA.


- Para representar unha función deste tipo, teremos en conta as suxestións do LA: É unha recta e pasa polo

punto (0, 0), co que para iso, só será necesario obter outro punto.

- Se desexamos obter a ecuación da recta a partir da súa representación gráfica, abondará con calcular a

súa pendente. Así, definimos a pendente como a variación que experimenta o y cando o x aumenta unha

unidade, e apoiámonos nos exemplos gráficos do LA. - Realizamos as actividades do LA

Tarefa 3: A función y = mx + n. - A partir do exemplo proposto no LA, introducimos os estudantes no concepto de función afín, y=mx +

n, resaltando as súas características (m é a pendente e n é a ordenada na orixe). - Posteriormente, faremos notar que acontece se m= 0.

- Presentamos os exercicios resoltos propostos no LA.


Tarefa 4: Recta da que se coñecen un punto e a pendente.

- Presentámoslles aos estudantes a fórmula que nos permite calcular a ecuación da recta dada a súa

pendente e un punto polo que pasa.

- Os estudantes copian esta fórmula no seu caderno.

- Resolvemos no gran grupo os exercicios resoltos para solucionar as posibles dúbidas que poidan xurdir

ao respecto.

- Facémoslles notar aos estudantes, apoiándonos nos exercicios resoltos, que tamén é posible calcular a

ecuación da recta dada a súa representación gráfica.


Tarefa 5: Recta que pasa por dous puntos.

- Presentámoslles aos estudantes a fórmula que nos permite calcular a pendente dunha recta dados dous

puntos polos que pasa. A partir de aquí, e coa fórmula da ecuación da recta punto-pendente vista no

apartado anterior, pódese calcular a ecuación da recta de forma sinxela.

- Os estudantes copian esta fórmula no seu caderno.

- Resolvemos no gran grupo os exercicios resoltos para solucionar as posibles dúbidas que poidan xurdir

ao respecto.


Tarefa 6: Aplicacións da función lineal. Problemas de movementos.

- Existen múltiples aplicacións da función lineal. Neste apartado centrarémonos nos problemas de

movementos. Para iso, preséntanse catro exemplos no LA dados por enunciados e acompañados da súa

representación gráfica e da súa expresión analítica asociada.


Tarefa 7: Estudo conxunto de dúas funcións.

- Para realizar o estudo de dúas funcións de forma conxunta, representaranse nos mesmos eixes de

coordenadas, facendo notar a importancia para a súa interpretación do seu punto de corte (no caso de que

exista). Se este non se observa de forma clara, pódese proceder a resolver o sistema de ecuacións que

resulta das dúas ecuacións das rectas.

- Para que os estudantes entendan como se interpreta o estudo conxunto de dúas rectas, lemos e explicamos,


117

en gran grupo, o exercicio resolto proposto no LA.


Tarefa 8: Parábolas e funcións cuadráticas.

- Para traballar o concepto de parábola, propoñemos os exemplos suxeridos no LA onde se mostras

diferentes situacións da vida cotiá que se poden describir mediante esta función.

- Empezamos presentando a parábola y= x2, extraendo as súas características máis importantes. - A partir do exemplo anterior, preséntase a función cuadrática na súa forma xeral,

y = ax2 + bx + c, con a ≠ 0, así como as súas características máis importantes, apoiándonos nas

representacións gráficas propostas no LA. - Realizamos as actividades do LA - A continuación, expóñense os pasos para representar este tipo de funcións. Mentres explicamos os pasos,

imos seguindo o exemplo resolto no LA para orientar nestes.


Tarefa 9: Exercicios e problemas




Tarefa 10: Taller de matemáticas.



Unidade 10:


Título: Problemas métricos no plano


Con esta unidade ábrese o bloque de xeometría. Lémbranse e refórzanse conceptos e procedementos xa

coñecidos e inícianse outros:

- Figuras planas. Retómanse, mediante o seu uso en distintos apartados da unidade, algunhas propiedades

de polígonos e circunferencia.

- Ángulos nos polígonos e na circunferencia.

- Semellanza, cun tratamento específico da semellanza de triángulos.

- Teorema de Pitágoras e as súas aplicacións. Entre estas, destácase, como novidade, a súa utilización

alxébrica: relaciónanse dous triángulos rectángulos para, alxebricamente, obter unha ou dúas lonxitudes

descoñecidas.

- O concepto de lugar xeométrico iníciase recorrendo a figuras coñecidas (mediatriz, bisectriz,

circunferencia) e aplícase a outras; especialmente, ás tres cónicas.

- Un repaso das áreas de figuras planas complétase con dúas novidades:

- A fórmula de Herón para achar a área dun triángulo a partir dos seus tres lados.

- As áreas da elipse e o segmento de parábola.

A visión xeométrica e o cálculo entrelázanse para mellorar a competencia dos alumnos en xeometría.

Temporalización

Marzo


118


1. Coñecer as relacións angulares nos polígonos e na circunferencia.

2. Coñecer os conceptos básicos da semellanza e aplicalos á resolución de problemas.

3. Dominar o teorema de Pitágoras e as súas aplicacións.

4. Coñecer o concepto de lugar xeométrico e aplicalo á definición das cónicas.

5. Calcular áreas de figuras planas.



Contidos Criterios


avaliables CC

Ángulos na circunferencia

- Ángulo central e inscrito nunha

circunferencia.

- Obtención de relacións e

medidas angulares baseadas en

ángulos inscritos.

Semellanza

- Semellanza de triángulos.

Criterio: igualdade de dous

ángulos.

- Obtención dunha lonxitude

nun triángulo a partir da súa

semellanza con outro.

Teorema de Pitágoras

- Aplicacións.

- Obtención da lonxitude dun

lado dun triángulo rectángulo

do que se coñecen os outros

dous.

- Identificación do tipo de

triángulo (acutángulo,

rectángulo, obtusángulo) a

partir dos cadrados dos seus

lados.

- Aplicación alxébrica:

Obtención dunha lonxitude

dun segmento mediante a

relación de dous triángulos

rectángulos.

- Identificación de triángulos

1. Coñecer as relacións

angulares nos

polígonos e na

circunferencia.

1.1. Coñece e aplica as relacións

angulares nos polígonos.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC

1.2. Coñece e aplica as relacións

dos ángulos situados sobre a

circunferencia.

2. Coñecer os

conceptos básicos da

semellanza e

aplicalos á

resolución de

problemas.

2.1. Recoñece figuras

semellantes e utiliza a razón

de semellanza para resolver

problemas.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

2.2. Coñece o teorema de Tales e

utilízao para resolver

problemas.

3. Dominar o teorema

de Pitágoras e as

súas aplicacións.

3.1. Aplica o teorema de

Pitágoras en casos directos.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


Pitágoras en casos máis

complexos.

3.3. Recoñece se un triángulo é

rectángulo, acutángulo ou

obtusángulo coñecendo os

seus lados.


de lugar xeométrico

e aplicalo á

definición das

cónicas.

4.1. Coñece e aplica o concepto

de lugar xeométrico.

4.2. Identifica os distintos tipos

de cónicas e caracterízaas

como lugares xeométricos.

5. Calcular áreas de

figuras planas.

5.1. Calcula áreas de polígonos

sinxelos.

CCL,

CMCT,


119

rectángulos en figuras planas

variadas.

Lugares xeométricos

- Concepto de lugar xeométrico

e recoñecemento como tal

dalgunhas figuras coñecidas

(mediatriz dun segmento,

bisectriz dun ángulo,

circunferencia, arco capaz...).

- As cónicas como lugares

xeométricos.

- Debuxo (representación) de

cónicas aplicando a súa

caracterización como lugares

xeométricos, coa axuda de

papeis con tramas adecuadas.

Áreas de figuras planas

- Cálculo de áreas de figuras

planas aplicando fórmulas, con

obtención dalgún dos seus

elementos (teorema de

Pitágoras, semellanza...) e

recorrendo, se se necesitase, á

descomposición e a

recomposición.

5.2. Calcula a área dalgunhas

figuras curvas.

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC 5.3. Calcula áreas de figuras

planas descompoñéndoas en

polígonos ou curvas

sinxelas.



1.1. Coñece e aplica as relacións angulares nos

polígonos.

- Actividades do LA para presentar e aplicar

relacións angulares en polígonos.

1.2. Coñece e aplica as relacións dos ángulos

situados sobre a circunferencia.

- Actividades do LA para coñecer e aplicar as

relacións dos ángulos situados sobre a

circunferencia.

2.1. Recoñece figuras semellantes e utiliza a razón

de semellanza para resolver problemas.

- Actividades do LA para traballar coa razón de

semellanza.

2.2. Coñece o teorema de Tales e utilízao para

resolver problemas.

- Actividades do LA para aplicar o teorema de Tales

en diversas situacións da vida cotiá.

3.1. Aplica o teorema de Pitágoras en casos

directos.

- Actividades do LA para aplicar o teorema de

Pitágoras en casos sinxelos.

3.2. Aplica o teorema de Pitágoras en casos máis

complexos.

- Actividades do LA para aplicar o teorema de

Pitágoras en casos máis complexos.

3.3. Recoñece se un triángulo é rectángulo,

acutángulo ou obtusángulo coñecendo os seus

- Actividades do LA para recoñecer a forma dun

triángulo.


120

lados.

4.1. Coñece e aplica o concepto de lugar

xeométrico.

- Actividades do LA para aplicar o concepto de lugar

xeométrico.

4.2. Identifica os distintos tipos de cónicas e

caracterízaas como lugares xeométricos.

- Actividades do LA para definir diferentes cónicas

como o lugar xeométrico que as caracteriza.

5.1. Calcula áreas de polígonos sinxelos. - Actividades do LA para calcular a área de

polígonos sinxelos.

5.2. Calcula a área dalgunhas figuras curvas. - Actividades do LA para calcular a área de figuras

curvas.

5.3. Calcula áreas de figuras planas

descompoñéndoas en polígonos ou curvas

sinxelas.

- Actividades do LA para calcular a área de figuras

que previamente se deben descompoñer noutras.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos «Problemas métricos no plano» e traballamos os textos que se propoñen.


- Realizamos as actividades que se propoñen no LA para reforzar os contidos históricos considerados e os

relativos a cónicas.


Tarefa 2: Relacións angulares.

- Partindo de que os ángulos dun triángulo calquera suman 180° e de que un polígono de n lados se pode

descompoñer en n- 2 triángulos, convídase os estudantes a deducir canto suman os ángulos interiores dun

polígono de n lados, e polo tanto, canto vale cada un deles se é regular. Para iso, suxírese que proben con

diferentes polígonos de 4, 5, 6... lados progresivamente.

- Os estudantes copian no seu caderno as fórmulas que deduciron. O profesor escribe as fórmulas

definitivas no encerado por se algún alumno ou alumna non o fixo de forma correcta.

- Definimos ángulo central e ángulo inscrito nunha circunferencia, apoiándonos visualmente dos exemplos

do LA.

- Facémoslles ver aos estudantes diferentes relacións entre ángulos que se suxiren no LA.

- Facémoslles notar aos estudantes o caso particular no que o ángulo está inscrito nunha semicircunferencia.


Tarefa 3: Semellanza de triángulos.

- Repasamos o concepto de triángulos semellantes visto en cursos anteriores tendo en conta a relación dos

seus lados e dos seus ángulos.

- Explicamos cando dous triángulos están en posición de Tales e facémoslles ver aos estudantes que, neste

caso, os triángulos son semellantes.

- Explicamos cal é o criterio que utilizaremos para saber se dous triángulos son semellantes e analizamos,

entre todos, o exercicio resolto, para afianzar estes contidos.


Tarefa 4: Teorema de Pitágoras: Aplicacións.

- Lembramos o teorema de Pitágoras e unha das súas demostracións xeométricas que suxire o LA.

- Repasamos nalgunha das súas aplicacións vistas en cursos anteriores:

- Calcular un lado descoñecido coñecidos os outros dous.

- Coñecer a forma do triángulo.


- Lemos os exercicios propostos sobre a aplicación de Pitágoras no caso do cálculo dun segmento noutras

figuras xeométricas.


121


Tarefa 5: Aplicación alxébrica do Teorema de Pitágoras.

- Presentámoslles aos estudantes os exemplos suxeridos no LA, no que, grazas á aplicación alxébrica do

teorema de Pitágoras, podemos descubrir diferentes medidas incluídas en figuras xeométricas.


Tarefa 6: Aplicacións da función lineal. Problemas de movementos.

- Existen múltiples aplicacións da función lineal. Neste apartado centrarémonos nos problemas de

movementos. Para iso, preséntanse catro exemplos no LA dados por enunciados e acompañados da súa

representación gráfica e da súa expresión analítica asociada.


Tarefa 7: Lugares xeométricos.

- Definimos a que chamamos lugar xeométrico.

- Definimos mediatriz e bisectriz como o lugar xeométrico que son. Ilustrámonos para iso coas

representacións do LA.

- Definimos que é o arco capaz.


Tarefa 8: As cónicas como lugares xeométricos.

- Partindo de superficies cónicas, vemos como, a partir de diferentes cortes nestas, se xeran superficies de

distinta índole.

- Os estudantes escriben no seu caderno a cónica que resulta de cada un dos cortes realizados coa súa

definición.

- Revisar os exercicios resoltos onde se remarcan algunhas das propiedades destas cónicas.

Tarefa 9: Áreas dos polígonos.

- Repasamos as fórmulas que nos permiten calcular a área dos polígonos máis usuais cos estudantes.

- Introducimos como se pode calcular a área dun triángulo calquera, coñecidos os seus tres lados.

- Revisamos os exemplos do LA.


Tarefa 10: Áreas de figuras curvas.

- Presentamos as fórmulas para calcular a área das figuras curvas máis usuais e exemplos de cada unha

delas.









Unidade 11:


Título: Figuras no espazo


Esta unidade dedícase ao tratamento dos corpos xeométricos no espazo: análise, descrición, clasificación,

medición das súas lonxitudes e cálculo de superficies e volumes.

O alumnado xa coñece a nomenclatura dos corpos xeométricos, e traballou ademais cos seus

desenvolvementos. Tamén coñece o concepto de medida do volume, así como as unidades do SMD para a

devandita magnitude. Non obstante, todas estas aprendizaxes están aínda en proceso de construción, sen


122

que se poidan dar por consolidados.

Non se trata, polo tanto, dunha unidade de repaso, senón de aprendizaxe, consolidación e avance sobre algo

xa iniciado.

Comezaremos revisando o concepto de poliedro, avanzando na análise e nas relacións entre os seus

elementos e lembrando a súa clasificación. Faremos o mesmo cos corpos de revolución. Presentaremos os

poliedros regulares e afondaremos nas súas relacións de dualidade. Describiremos a formación de poliedros

semirregulares mediante truncamento dos regulares. Analizaremos simetrías. Realizaremos medicións

indirectas de lonxitudes e superficies, axudándonos dos coñecementos aprendidos en xeometría plana;

especialmente, do teorema de Pitágoras. Formularemos algúns procedementos xerais para o cálculo de

volumes. Por último, aplicaremos algúns dos contidos xeométricos traballados para estudar a esfera

terrestre, as coordenadas xeográficas e as consecuencias que se derivan dos movementos de rotación e

translación da Terra.

Para a aprendizaxe ao longo de toda a unidade, recoméndase a manipulación de modelos e representacións

tanxibles dos corpos xeométricos, a construción e despregamento de desenvolvementos, o debuxo a man

alzada, e, en xeral, calquera recurso que apoie a imaxinación espacial e facilite a visualización das figuras

obxecto de estudo.

Temporalización

Abril


1. Coñecer os poliedros e os corpos de revolución e calcular as súas áreas e os seus volumes.

2. Coñecer e identificar as coordenadas terrestres.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Poliedros e corpos de revolución

- Poliedros regulares.

-Propiedades. Características.

Identificación. Descrición.

-Teorema de Euler.

-Dualidade. Identificación de

poliedros duais. Relacións entre

eles.

-Poliedros semirregulares.

Concepto. Identificación.

-Obtención de poliedros

semirregulares mediante

truncamento de poliedros regulares.

Planos de simetría e eixes de xiro

-Identificación dos planos de

simetría e dos eixes de xiro

(indicando a súa orde) dun corpo

1. Coñecer os

poliedros e os

corpos de

revolución.

1.1. Asocia un

desenvolvemento plano

a un poliedro ou a un

corpo de revolución. CCL,

CMCT,

CAA,

SIEP,

CEC

1.2. Distingue poliedros

duais doutros e coñece

as relacións entre eles.

1.3. Identifica poliedros

regulares e

semirregulares.

2. Calcular áreas e

volumes de figuras

espaciais.

2.1. Calcula áreas de

poliedros e corpos de

revolución.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

2.2. Calcula volumes de


revolución.


123

xeométrico.

Áreas e volumes

- Cálculo de áreas (laterais e totais)

de prismas, pirámides e troncos de

pirámide.

- Cálculo de áreas (laterais e totais)

de cilindros, conos e troncos de

cono.

- Cálculo de áreas de zonas esféricas

e casquete esférico mediante a

relación cun cilindro circunscrito.

-Cálculo de volumes de figuras

espaciais.

-Aplicación do teorema de Pitágoras

para obter lonxitudes en figuras

espaciais (ortoedros, pirámides,

conos, troncos, esferas...).

Coordenadas xeográficas

- A esfera terrestre.

- Meridianos. Paralelos. Ecuador.

Polos. Hemisferios.

- Coordenadas xeográficas.

- Lonxitude e latitude.

- Fusos horarios.

2.3. Calcula áreas e volumes

de figuras espaciais

formadas por poliedros

e corpos de revolución.

SIEP,

CEC

3. Coñecer e identificar

as coordenadas

xeográficas.

Lonxitude e

latitude.

3.1. Asocia a lonxitude e

latitude dun lugar coa

súa posición na esfera

terrestre e viceversa.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC,

SIEP



1.1. Asocia un desenvolvemento plano a un

poliedro ou a un corpo de revolución.

- Actividades do LA para asociar un

desenvolvemento plano a un poliedro ou a un

corpo de revolución.

1.2. Identifica poliedros duais doutros e coñece as

relacións entre eles.

- Actividades do LA para identificar poliedros duais

doutros e coñecer as relacións entre eles.

1.3. Identifica poliedros regulares e

semirregulares.

- Actividades do LA para identificar poliedros

regulares e semirregulares.

2.1. Calcula áreas de poliedros e corpos de

revolución.

- Actividades do LA para calcular áreas de poliedros


2.2. Calcula volumes de poliedros e corpos de

revolución.

- Actividades do LA para calcular volumes de

poliedros e corpos de revolución.

2.3. Calcula áreas e volumes de figuras espaciais

formadas por poliedros e corpos de

revolución.

- Actividades do LA para calcular áreas e volumes

de figuras espaciais que se poden descompoñer en

poliedros e/ou corpos de revolución.

3.1. Asocia a lonxitude e latitude dun lugar coa

súa posición na esfera terrestre e viceversa.

- Actividades do LA para identificar a lonxitude e

latitude dun lugar na esfera terrestre e viceversa.


124

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos «Corpos xeométricos» e traballamos os textos que se propoñen.


- Realizamos as actividades que se propoñen no LA para reforzar os contidos históricos considerados e os

relativos ao método arquimediano.


Tarefa 2: Poliedros regulares e semirregulares.

- Lembramos a definición de poliedro regular.

- Os estudantes copian a definición no seu caderno e debuxan os cinco únicos que hai, poñendo o seu nome

e as súas características máis importantes (caras, vértices e arestas). Ver imaxes do LA.

- Introducimos o concepto de poliedro dual, apoiándonos na imaxe do LA e do cadro onde aparecen a

relación entre caras, vértices e arestas dos poliedros duais.

- Os estudantes copian no seu caderno a devandita definición e debuxan cada poliedro regular xunto co

seu dual e o número de caras, vértices e arestas de cada un deles para que se aprecie, rapidamente, a súa

relación.


- Presentámoslles aos estudantes a fórmula de Euler que relaciona os vértices, caras e arestas de calquera

poliedro convicto.

- Apoiamos a relación co exemplo do LA.

- Pedímoslles aos estudantes que debuxen no seu caderno un par de poliedros calquera e comproben se

cumpren a fórmula de Euler.

- Definimos poliedro semirregular.

- Os estudantes copian a definición no seu caderno e debuxan algún dos exemplos propostos no LA.

Despois comproban se cumpre a fórmula de Euler.


Tarefa 3: Truncando poliedros.

- Repasamos o concepto de triángulos semellantes visto en cursos anteriores tendo en conta a relación dos

seus lados e dos seus ángulos.

- Explicamos cando dous triángulos están en posición de Tales e facémoslles ver aos estudantes que, neste

caso, os triángulos son semellantes.

- Explicamos cal é o criterio que utilizaremos para saber se dous triángulos son semellantes e analizamos,

entre todos, o exercicio resolto, para afianzar estes contidos.


Tarefa 4: Teorema de Pitágoras: Aplicacións.

- Explicamos aos estudantes o concepto de «truncar» e poñemos como exemplos os propostos no LA.

- Notar que diferenciamos entre truncar poliedros regulares mediante planos que pasan polos puntos

medios das arestas adxacentes ou deixando parte das arestas a distancias adecuadas dos vértices.


Tarefa 5: Planos de simetría dunha figura.

- Presentamos aos estudantes os planos de simetría dalgunhas figuras importantes, como o cubo, o cilindro

e algúns prismas.

- Os estudantes, vendo as imaxes que se presentan no LA, deben descubrir o número de simetrías de cada

unha destas figuras.


Tarefa 6: Eixes de xiro dunha figura.

- Definimos que é un eixe de xiro.

- Presentamos aos estudantes os eixes de xiro do cubo e do tetraedro.

- Os estudantes debuxan no seu caderno estas figuras e os seus eixes de xiro, coa orde correspondente de

cada un deles.



125

Tarefa 7: Superficie dos corpos xeométricos.

- Lembramos as fórmulas para o cálculo de superficies de:

- Poliedro.

- Cilindro.

- Cono.

- Tronco de cono.

- Esfera.

- Resolvemos paso a paso os exercicios resoltos para que, se xorde algunha dúbida, se poida resolver á vez

no gran grupo.


- Realizamos, mediante un programa informático, unha presentación que inclúa os corpos vistos nesta

última epígrafe cos seus elementos máis importantes e as fórmulas que permiten calcular a superficie de

cada un deles.

Tarefa 8: Volume dos corpos xeométricos.

- Lembramos as fórmulas para o cálculo de volumes de:

- Prismas e cilindros.

- Pirámides e conos.

- Esfera.

- Zona esférica.

- Analizamos paso a paso os exercicios resoltos para que, se xorde algunha dúbida, poida ser aclarada á

vez no gran grupo.


- Completamos a presentación realizada na tarefa anterior coas fórmulas que permiten calcular o volume

destes corpos.

Tarefa 9: Coordenadas xeográficas.

- A partir de considerar que a Terra é unha esfera e o seu movemento de rotación, defínense determinados

conceptos para comprender o sentido de coordenada xeográfica (polos, meridianos, paralelos, ecuador...)

- Definimos as coordenadas xeográficas dun lugar como a súa lonxitude e a súa latitude, e apoiámonos nas

imaxes que se presentan no LA.

- Os estudantes realizarán un mapa mental que lles permita observar dun só golpe de vista os contidos

relativos a esta epígrafe.

- Definimos o que é un fuso horario e o porqué destes.

- Revisamos os exemplos do LA.









Unidade 12:


Título: Movementos no plano. Frisos e mosaicos


Nesta unidade estúdanse as transformacións xeométricas e analízanse con detalle as transformacións

elementais no plano, así como algunhas das súas composicións máis significativas.


126

Iníciase a unidade presentando o concepto xeral de transformación e deseguido particularízase para as

transformacións nas que nos imos centrar: os movementos no plano, diferenciando movementos directos e

inversos.

Entre os movementos, estudaranse con detalle as translacións, os xiros e as simetrías axiais, observando as

súas características, os elementos que as determinan e os elementos invariantes en cada un. Tamén se

revisarán algunhas composicións entre elas (translación con simetría axial, dúas simetrías axiais, etc.), que

sacarán á luz relacións interesantes que as ligan.

Finalmente analizaranse algúns mosaicos, orlas e rosetóns, extraídos do ámbito da arquitectura ou do

mundo da arte, que cos novos coñecementos lles permitirá aos estudantes valorar e apreciar a súa beleza.

Como principio metodolóxico xeral para toda a unidade, proponse que o alumnado constrúa as figuras e as

súas imaxes transformadas, utilizando os instrumentos de debuxo, e que investiguen, a partir deste traballo,

as propiedades das transformacións realizadas.

Temporalización:

Abril Maio


1. Aplicar un ou máis movementos a unha figura xeométrica.

2. Coñecer as características e as propiedades dos distintos movementos e aplicalas á resolución de

situacións problemáticas.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Transformacións xeométricas

- Nomenclatura.

- Identificación de movementos xeométricos

e distinción entre directos e inversos.

Translacións

- Elementos dobres dunha translación.


interveñen figuras trasladadas e

localización de elementos invariantes.

Xiros

- Elementos dobres nun xiro.

- Figuras con centro de xiro.

- Localización do «ángulo mínimo» en

figuras con centro de xiro.


interveñen figuras xiradas. Localización de

elementos invariantes.

Simetrías axiais

- Elementos dobres nunha simetría.

- Obtención do resultado de achar o simétrico

dunha figura. Identificación de elementos

1. Aplicar un ou

máis

movementos a

unha figura

xeométrica.

1.1. Obtén a transformada

dunha figura mediante

un movemento concreto.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


dunha figura mediante a

composición de dous

movementos.

2. Coñecer as

características

e as

propiedades

dos distintos

movementos e

aplicalas á

resolución de

situacións

problemáticas.

2.1. Recoñece figuras dobres

en certa transformación

ou identifica o tipo de

transformación que dá

lugar a certa figura

dobre.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

2.2. Recoñece a

transformación (ou as

posibles

transformacións) que

levan dunha figura a

outra.


127

dobres na transformación.

- Figuras con eixe de simetría.

Composición de transformacións

- Translación e simetría axial.

- Dúas simetrías con eixes paralelos.

- Dúas simetrías con eixes concorrentes.

Mosaicos, orlas e rosetóns

- Significado e relación cos movementos.

- «Motivo mínimo» dunha destas figuras.

- Identificación de movementos que deixan

invariante un mosaico, un friso (ou orla) ou

un rosetón. Obtención do «motivo

mínimo».



1.1. Obtén a transformada dunha figura mediante un

movemento concreto.

- Actividades do LA para obter a transformada dunha

figura mediante un movemento dado.

1.2. Obtén a transformada dunha figura mediante a

composición de dous movementos.

- Actividades do LA para obter a transformada dunha

figura mediante a composición de dous

movementos.

2.1. Recoñece figuras dobres en certa

transformación ou identifica o tipo de

transformación que dá lugar a certa figura

dobre.

- Actividades do LA para recoñecer figuras dobres en

certa transformación ou identificar o tipo de

transformación que dá lugar a certa figura dobre.

2.2. Recoñece a transformación (ou as posibles

transformacións) que leva dunha figura a outra.

- Actividades do LA para recoñecer a transformación

que leva dunha figura outra.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos a introdución «Transformacións xeométricas» e traballamos os textos que se propoñen.


- Realizamos as actividades que se propoñen no LA.


Tarefa 2: Transformacións xeométricas.

- A partir dos exemplos propostos no LA (rede de portería de fútbol e espello que deforma obxectos)

definimos o que é unha transformación xeométrica.

- Introducimos o concepto de punto dobre e figura dobre, facendo fincapé na utilización da notación

adecuada.

Tarefa 3: Movementos no plano.

- Partindo do exemplo proposto no LA (unha tarxeta con figuras debuxadas), introducimos unha

transformación especial, o movemento, diferenciando entre dous tipos:

- Movemento directo.

- Movemento inverso.

- Os estudantes debuxarán no seu caderno unha tarxeta con dúas figuras. A partir de aquí, realizarán un

movemento directo e un inverso. O seu compañeiro será o encargado de supervisar se os movementos


128

son correctos.


Tarefa 4: Estudo de translacións.

- Definimos o concepto de translación, pero antes diso faise necesario que os estudantes entendan o que é

un vector e como se suman vectores.

- A partir de aquí, defínese de xeito formal o que é unha translación, coa axuda das imaxes suxeridas no

LA.


- Facemos notar que unha translación é un movemento directo e que un elemento dobre é unha translación.


Tarefa 5: Estudo dos xiros.

- Definimos formalmente o que é un xiro e cales son as súas características (movemento directo, elementos

dobres...).

- Presentámoslles aos estudantes diferentes figuras con centro de xiro.

- Os estudantes buscarán imaxes da vida cotiá que conteñan elementos con centro de xiro. Deberán

debuxalas e indicar a orde de cada un e calcular o ángulo mínimo de coincidencia mediante este.


Tarefa 6: Simetrías axiais.

- Definimos o que é unha simetría de eixe e cales son as súas características (movemento inverso, todos os

puntos son dobres) e para iso apoiámonos nos gráficos que se presentan no LA.


Tarefa 7: Composición de movementos.

- Definimos que é unha composición de movementos.

- Os estudantes copian no seu caderno a definición e os exemplos suxeridos no LA para reforzala.

- Por ser especialmente interesante, traballamos a composición de simetrías axiais.


Tarefa 8: Mosaicos, orlas e rosetóns.

- Definimos o que é un mosaico e mostramos os que se ilustran no LA.

- Diferenciamos entre:

- Mosaicos regulares.

- Mosaicos semirregulares.


- Completamos a presentación realizada na tarefa anterior coas fórmulas que permiten calcular o volume

destes corpos.

- Definimos o que é un friso ou unha orla e mostramos os que se ilustran no LA.

- Definimos o que é un rosetón e mostramos os que se ilustran no LA.









Unidade 13:


Título: Táboas e gráficos estatísticos


129


A linguaxe estatística (táboas, gráficas, parámetros...) adquiriu no mundo actual grande importancia para

transmitir e interpretar información. Esta é a causa de que, actualmente, a estatística estea presente en todos

os cursos da ESO.

Neste nivel, o alumnado xa coñece as táboas e as gráficas e ten algunhas nocións do proceso que se segue

en estatística. Nesta unidade repásanse os conceptos e os procedementos coñecidos, afóndase neles e

compleméntanse con outros.

Os contidos deste curso son:

Aspectos teóricos:

- Significado de individuo, poboación e mostra. Idea clara do papel que xogan as mostras: conxunto de

individuos con cuxo estudo se pretende obter información aproximada sobre o comportamento de toda a

poboación.

- Variables estatísticas. Tipos e a súa relación co tratamento gráfico que se lles pode dar.

- Idea clara (aínda que sinxela) dos distintos pasos que hai que dar para elaborar unha estatística.

Tratamento gráfico:

- Distintos tipos de gráficos estatísticos, oportunidade do uso de cada un deles e tipo de información que

achegan.

Temporalización:

Maio


1. Coñecer os conceptos de poboación, mostra, variable estatística e os tipos de variables estatísticas.

2. Confeccionar e interpretar táboas de frecuencias e gráficos estatísticos.

3. Resolver problemas estatísticos sinxelos.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Poboación e mostra

- Utilización de diversas fontes para

obter información de tipo

estatístico.

- Determinación de poboacións e

mostras dentro do contexto do

alumnado.

Variables estatísticas

- Tipos de variables estatísticas.

- Distinción do tipo de variable

(cualitativa ou cuantitativa,

discreta ou continua) que se usa en

1. Coñecer os

conceptos de

poboación, mostra,

variable estatística

e os tipos de

variables

estatísticas.


poboación, mostra,

variable estatística e os

tipos de variables

estatísticas.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

2. Confeccionar e

interpretar táboas

de frecuencias e

gráficos

2.1. Elabora táboas de

frecuencias absolutas,

relativas, acumuladas e

de porcentaxes e

CCL,

CMCT,

CD,


130

cada caso.

Tabulación de datos

- Táboa de frecuencias (datos illados

ou acumulados).

- Confección de táboas de

frecuencias a partir dunha masa de

datos ou dunha experiencia

realizada polo alumnado.

- Frecuencias: absoluta, relativa,

porcentual e acumulada.

Gráficas estatísticas

- Tipos de gráficos. Adecuación ao

tipo de variable e ao tipo de

información:

- Diagramas de barras.

- Histogramas de frecuencias.

- Diagramas de sectores.

- Confección dalgúns tipos de

gráficas estatísticas.

- Interpretación de gráficas

estatísticas de todo tipo.

estatísticos. represéntaas mediante

un diagrama de barras,

un polígono de

frecuencias, un

histograma ou un

diagrama de sectores.

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

2.2. Interpreta táboas e

gráficos estatísticos.

3. Resolver problemas

estatísticos

sinxelos.


estatísticos elaborando e

interpretando táboas e

gráficos. CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC



1.1. Coñece os conceptos de poboación, mostra,

variable estatística e os tipos de variables

estatísticas.

- Actividades do LA para coñecer os conceptos de

poboación, mostra, variable estatística e os tipos de

variables estatísticas.

2.1. Elabora táboas de frecuencias absolutas,

relativas, acumuladas e de porcentaxes e

represéntaas mediante un diagrama de barras,

un polígono de frecuencias, un histograma ou

un diagrama de sectores.

- Actividades do LA para elaborar táboas de

frecuencias e representalas mediante o gráfico

máis adecuado.

2.2. Interpreta táboas e gráficos estatísticos. - Actividades do LA para interpretar táboas e


3.1. Resolve problemas estatísticos elaborando e

interpretando táboas e gráficos.


estatísticos elaborando e interpretando táboas e

gráficos.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos a introdución «Táboas e gráficos estatísticos» e traballamos os textos que se propoñen.




131


Tarefa 2: Poboación e mostra.

- No LA, preséntanse diferentes gráficas relacionadas con problemas da vida cotiá. A partir deles,

defínense os conceptos de:

- Poboación.

- Mostra.

- Individuo.

- Os estudantes copian no seu caderno as devanditas definicións e un exemplo dun estudo estatístico no

que identifiquen estes conceptos.


Tarefa 3: Variables estatísticas.

- A partir de tres imaxes do LA, exemplos de diferentes tipos de variables, presentámoslles aos estudantes

como poden ser os valores que se obteñan ao realizar un estudo estatístico. Así, introducimos o concepto

de tipo de variable estatística.

- Os estudantes copian no seu caderno o cadro explicativo de cada tipo de variable e pon un exemplo en

cada caso.

- Realizamos as Actividades do LA

Tarefa 4: O proceso que segue a estatística.

- Lemos de forma cooperativa o texto que se inclúe no LA, onde se mostra o proceso que segue a estatística

ata que a información que recibimos nos chega mediante gráficas ou táboas.


- Facémoslles notar aos estudantes que, en moitas ocasións, cómpre seleccionar unha mostra para o noso

estudo e, do mesmo modo, que esa mostra sexa válida.

Tarefa 5: Confección dunha táboa de frecuencias.

- Explicámoslles aos estudantes como se tabulan os datos recollidos dun estudo estatístico nunha táboa de

frecuencia, tanto se os datos son illados como se é conveniente agrupalos por intervalos. Para iso,

baseámonos nos exemplos do LA.


- Explicamos os conceptos de frecuencias relativas e porcentaxes apoiándonos no exemplo do LA que se

presenta na marxe deste.

- Os estudantes copian no seu caderno as definicións correctas destes conceptos.

- Do mesmo xeito, introducimos o concepto de frecuencia acumulada e, continuando co exemplo que

estamos traballando, interpretamos os datos que representa esta.

- Os estudantes copian no seu caderno a definición correcta deste concepto.

- Realizamos as Actividades do LA

Tarefa 6: Gráfico adecuado a cada tipo de información.

- Explicámoslles aos estudantes que, dependendo do tipo de variable que queiramos representar, será máis

conveniente utilizar un tipo de gráfico ou outro.

- Presentamos os tipos de gráficos máis usuais, para que tipos de variables en conveniente utilizalos e de

que modo se constrúen.

- Diagrama de barras.

- Histograma de frecuencias.

- Polígono de frecuencias poñen de manifesto as actividades «tipo» que traballan os contidos da unidade.




- Realizamos a autoavaliación

Unidade 14:



132

Título: Parámetros estatísticos


De cursos anteriores, os alumnos e as alumnas coñecen os parámetros de centralización (media, mediana e

moda) e algún parámetro de dispersión (desviación media, percorrido), e saben obtelos a partir dun

conxunto pouco numeroso de datos.

Neste curso afóndase na comprensión do significado dos devanditos parámetros xunto coa desviación típica

e o coeficiente de variación, e apréndese a obtelos sistematicamente a partir de táboas de frecuencias. Os

contidos deste curso son:

Aspectos teóricos:

- Parámetros estatísticos (media e desviación típica). Significado de cada un deles e idea da súa

interpretación conxunta.

- Coeficiente de variación. A súa necesidade.

- Parámetros de posición. Mediana e cuartís.


- Recoñecemento do papel que xoga a desviación típica sobre un diagrama de barras ou un histograma.

- Representación da mediana e os cuartís nun diagrama de caixa e bigotes.

Obtención de parámetros:

- Cálculo manual, paso a paso, a partir da táboa de frecuencias e coa aplicación das fórmulas

correspondentes.

- Obtención con ambos os dous tipos de calculadora.

Interpretación de parámetros:

- Interpretación dos parámetros obtidos ( ),x en cada caso concreto.

- Interpretación conxunta de ambos os dous parámetros. Coeficiente de variación.

- Cálculo e interpretación das medidas de posición a partir dun conxunto de datos soltos, en táboas ou

mediante un diagrama de barras.

Temporalización:

Maio Xuño


1. Coñecer, calcular e interpretar parámetros estatísticos de centralización e dispersión.

2. Coñecer, calcular, representar en diagramas de caixas e bigotes e interpretar os parámetros estatísticos

de posición: mediana e cuartís.

3. Resolver problemas estatísticos sinxelos utilizando os parámetros estatísticos.



Contidos Criterios


avaliables CC

Parámetros de centralización e de

dispersión

1. Coñecer, calcular

e interpretar

parámetros

1.1. Obtén o valor da media e a

desviación típica a partir

dunha táboa de frecuencias

CCL,

CMCT,


133

- Medidas de centralización: a

media.

- Medidas de dispersión: a

desviación típica.

- Coeficiente de variación.

- Cálculo da media e da desviación

típica a partir dunha táboa de

valores.

- Utilización eficaz da calculadora

para a obtención da media e da


- Interpretación dos valores da

media e da desviación típica

nunha distribución concreta.

- Obtención e interpretación do

coeficiente de variación.

Parámetros de posición

- Cálculo da mediana e dos cuartís

a partir de datos soltos ou

recollidos en táboas.

- Elaboración dun diagrama de

caixa e bigotes.

estatísticos de

centralización e

dispersión.

e interpreta o seu

significado. CD,

CAA,

CSYC,

SIEP,

CEC

1.2. Coñece, calcula e interpreta

o coeficiente de variación.

2. Coñecer, calcular,

representar en

diagramas de

caixas e bigotes e

interpretar os

parámetros

estatísticos de

posición: mediana

e cuartís.

2.1. Coñece, calcula, interpreta

e representa en diagramas

de caixa e bigotes a

mediana e os cuartís.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

3. Resolver

problemas

estatísticos

sinxelos

utilizando os

parámetros

estatísticos.


estatísticos sinxelos

utilizando os parámetros

estatísticos.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC



1.1. Obtén o valor da media e a desviación típica

a partir dunha táboa de frecuencias e

interpreta o seu significado.

- Actividades do LA para obter o valor da media e a

desviación típica a partir dunha táboa de

frecuencias e interpretar o seu significado.

1.2. Coñece, calcula e interpreta o coeficiente de

variación.

- Actividades do LA para calcular e interpretar o


2.1. Coñece, calcula, interpreta e representa en

diagramas de caixa e bigotes a mediana e os

cuartís.

- Actividades do LA para traballar con diagramas de

caixa e bigotes a mediana e os cuartís.

3.1. Resolve problemas estatísticos sinxelos

utilizando os parámetros estatísticos


estatísticos elaborando e interpretando táboas e

gráficos.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos a introdución «Parámetros estatísticos» e traballamos os textos que se propoñen.




Tarefa 2: Dous tipos de parámetros estatísticos.

- Presentamos aos estudantes diferentes parámetros estatísticos clasificándoos previamente en dous tipos:


134

- Parámetros de centralización. Baseámonos no LA para nomear, definir e expoñer un exemplo de cada un

deles.

- Media.

- Mediana.

- Moda.


- Parámetros de dispersión. Baseámonos no LA para nomear, definir e expoñer un exemplo de cada un

deles.

- Rango ou percorrido.

- Desviación media

- Varianza.

- Desviación típica.

- Moda.


Tarefa 3: Cálculo da media e a desviación típica en táboas de frecuencias.

- Explicamos aos estudantes a importancia destes parámetros e a necesidade de, ás veces, complementar o

da media coa desviación típica para dotar de sentido o noso estudo e axudarnos a tomar unha decisión

sobre este.

- A partir do exemplo do LA, onde temos unha táboa de frecuencias dunha variable cuantitativa discreta,

procedemos a explicar como calcular a media neste caso e como, seguindo estes pasos, podemos deducir

unha fórmula que nos permita achar a media de forma rápida e efectiva en calquera caso que se nos

presente.


- Presentamos, agora, a fórmula para calcular a desviación típica e achegamos esta explicación co exemplo

do LA.

- Tamén lles explicamos aos estudantes o procedemento cando se trata dunha variable cuantitativa continua

ou expresada en intervalos.


Tarefa 4: Obtención de media e a desviación típica con calculadora.

- Estúdanse, mediante un exemplo, os pasos que hai seguir para introducir eficazmente uns datos na

calculadora (tanto se é descritiva como se non) e conseguir os resultados dos parámetros estatísticos

traballados na unidade. É conveniente que os estudantes realicen os pasos de forma simultánea na súa

calculadora mentres o profesor os explica.


Tarefa 5: Interpretación conxunta da media e a desviación típica.

- Explicámoslles aos estudantes como se complementan estes parámetros, xa que a media nos di onde está

o centro da distribución pero a desviación típica oriéntanos sobre como de afastados da media, como de

dispersos, están os datos.

- Explicamos os exemplos do LA e o exercicio resolto.


- Introducimos le conceptos de «Coeficiente de variación» e apoiámonos no exemplo do LA para explicar

o seu significado e utilidade.


Tarefa 6: Parámetros de posición: mediana e cuartís.

- A partir dun exemplo desenvolvido no LA, introducímoslles aos estudantes os conceptos de 1.º e 3.º

cuartil (en consecuencia, tamén 2.º cuartil).

- Explicamos o exercicio resolto no LA para ilustrar a importancia destes.


- Explicámoslles aos estudantes que existe unha representación gráfica ligada a estes parámetros de

posición: O diagrama de caixa e bigotes.

- Explicamos mediante os exemplos do LA en que consisten e cal é a súa utilidade.


135

- Lemos, entre todos, en exercicio resolto.









Unidade 15:


Título: Azar e probabilidade


O tema de probabilidade aparece no programa de 2.º curso e, polo tanto, os estudantes xa puideron atoparse

coas primeiras aproximacións a este concepto, e practicaron os procedementos relacionados con elas:

asignación intuitiva da probabilidade esperada en sucesos cotiáns (imposible, moi raro, pouco probable,

bastante probable, moi probable, case seguro, seguro), cálculo de probabilidades sinxelas coa regra de

Laplace e obtención aproximada de probabilidades a partir das frecuencias relativas.

Non obstante, a experiencia dinos que é moi frecuente que este tema se deixe de dar para conceder máis

atención a outros. É posible, pois, que para unha boa parte dos estudantes esta sexa a primeira vez que se

atopan co estudo sistemático da probabilidade. Por iso, é recomendable enfocar a aprendizaxe destes

conceptos como se fosen novos, empezando case de cero. Así o fixemos no libro.

Poderiamos dividir os contidos desta unidade do seguinte modo:

Cuestións teóricas: terminoloxía e propiedades do azar.

- Experiencia aleatoria, espazo mostral.

- Suceso aleatorio, suceso seguro.

- Probabilidade dun suceso.

- Lei dos grandes números.

- Lei de Laplace.

- Experiencias compostas.

- Diagrama de árbore.

Cálculo de probabilidades:

- Experiencias con instrumentos regulares e utilización da lei de Laplace para o cálculo de probabilidades

de sucesos.

- Experiencias con instrumentos irregulares e utilización da frecuencia relativa para calcular, de xeito

aproximado, probabilidades de sucesos.

- Experiencias compostas e utilización do diagrama de árbore para calcular probabilidades de sucesos.

Temporalización:

Xuño


136


1. Identificar as experiencias e os sucesos aleatorios, analizar os seus elementos e describilos coa

terminoloxía adecuada.

2. Comprender o concepto de probabilidade e asignar probabilidades a distintos sucesos en experiencias

aleatorias simples.

3. Calcular probabilidades en experiencias compostas coa axuda do diagrama de árbore.



Contidos Criterios


avaliables CC

Sucesos aleatorios

- Sucesos aleatorios e experiencias

aleatorias.

- Nomenclatura: caso, espazo

mostral, suceso...

- Realización de experiencias

aleatorias.

Probabilidade dun suceso

- Idea de probabilidade dun suceso.

Nomenclatura.

- Lei fundamental do azar.

- Formulación e comprobación de

conxecturas no comportamento de

fenómenos aleatorios sinxelos.

- Cálculo de probabilidades de

sucesos a partir das súas

frecuencias relativas. Grao de

validez da asignación en función

do número de experiencias

realizadas.

Lei de Laplace

- Cálculo de probabilidades de

sucesos extraídos de experiencias

regulares a partir da lei de Laplace.

- Aplicación da lei de Laplace en

experiencias máis complexas.

Probabilidades en experiencias

compostas

- Cálculo de probabilidades en

experiencias compostas.

- Diagramas de árbore.

1. Identificar as

experiencias e os

sucesos aleatorios,

analizar os seus

elementos e

describilos coa

terminoloxía

adecuada.

1.1. Distingue, entre varias

experiencias, as que son

aleatorias.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

1.2. Ante unha experiencia aleatoria

sinxela, obtén o espazo

mostral, describe distintos

sucesos e cualifícaos segundo a

súa probabilidade (seguros,

posibles ou imposibles, moi

probable, pouco probable...).

2. Comprender o

concepto de

probabilidade e

asignar

probabilidades a

distintos sucesos en

experiencias

aleatorias simples.

2.1. Aplica a lei de Laplace para

calcular a probabilidade de

sucesos pertencentes a

experiencias aleatorias

regulares (sinxelas). CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

2.2. Aplica a lei de Laplace para

calcular a probabilidade de

sucesos pertencentes a

experiencias aleatorias

regulares (máis complexas).

2.3. Obtén as frecuencias absoluta e

relativa asociadas a distintos

sucesos e, a partir delas, estima

a súa probabilidade.

3. Calcular

probabilidades en

experiencias

compostas coa

axuda do diagrama

de árbore.

3.1. Calcula probabilidades en

experiencias compostas coa

axuda do diagrama de árbore.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC



137


1.1. Distingue, entre varias experiencias, as que son

aleatorias.

- Actividades do LA para distinguir as experiencias

aleatorias das que non o son.

1.2. Ante unha experiencia aleatoria sinxela, obtén o

espazo mostral, describe distintos sucesos e

cualifícaos segundo a súa probabilidade

(seguros, posibles ou imposibles, moi probable,

pouco probable...).

- Actividades do LA para distinguir, nunha experiencia

aleatoria, diferentes sucesos e calcular a súa

probabilidades.

2.1. Aplica a lei de Laplace para calcular a

probabilidade de sucesos pertencentes a

experiencias aleatorias regulares (sinxelas).

- Actividades do LA para aplicar a Lei de Laplace en

experiencias regulares sinxelas.

2.2. Aplica a lei de Laplace para calcular a

probabilidade de sucesos pertencentes a

experiencias aleatorias regulares (máis

complexas).

- Actividades do LA para aplicar a Lei de Laplace en

experiencias regulares máis complexas.

2.3. Obtén as frecuencias absoluta e relativa

asociadas a distintos sucesos e, a partir delas,

estima a súa probabilidade.

- Actividades do LA para obter as frecuencias absoluta

e relativa e estimar a súa probabilidade.

3.1. Calcula probabilidades en experiencias

compostas coa axuda do diagrama de árbore.

- Actividades do LA para calcular probabilidades de

experiencias compostas coa axuda dun diagrama de

árbore.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Lemos a introdución «Azar e probabilidade» e traballamos os textos que se propoñen.




Tarefa 2: Sucesos aleatorios.

- Lembrámoslles aos estudantes cando consideramos que un suceso é aleatorio. Para iso, propoñemos, a

modo ilustrativo, os exemplos que se mostran no LA.

- Convidamos os alumnos e alumnas a suxerir algún suceso e, ao resto do alumnado, a xustificar se é

aleatorio ou non, e por que.

- Baseándonos na experiencia aleatoria que se propón no LA: «Lanzar un dado e observar o que sae»,

lembramos os conceptos que imos traballar na unidade coa súa definición e o exemplo no caso proposto.

- Revisamos o exercicio resolto no gran grupo.


Tarefa 3: Probabilidade dun suceso.

- Definimos o que é a probabilidade dun suceso e cal é a súa notación.

- Facémoslles ver aos estudantes que esta só pode tomar valores comprendido entre 0 e 1 e cal sería en

cada caso a probabilidade relacionada con el.

- Presentamos a lei fundamental do azar. Para iso, partimos de dous exemplos suxeridos no LA. Mediante

estes exemplos podemos observar e deducir a lei dos grandes números.

- Para calcular a probabilidade dun suceso, diferenciamos se a experiencia é regular ou irregular.

- Revisamos, ente todos, os exercicios resoltos do LA.


Tarefa 4: Lei de Laplace para experiencia regulares.

- Coñecemos as suxestións metodolóxicas da PD.


138

- A partir da experiencia aleatoria cun instrumento regular que se presenta no LA, mostrámoslles aos

estudantes en que consiste a lei de Laplace.

- Os estudantes copian no seu caderno a fórmula e inventan un suceso da experiencia proposta, calculando

a súa probabilidade.

- Os estudantes revisan de forma individual os exercicios resoltos.


- Facendo uso dos dous exemplos propostos no LA, facemos ver que, en ocasións, a aplicación da lei de

Laplace non é tan doada, por iso, é conveniente a realización dunha táboa que recolla todos os casos

posibles que se poden dar ao realizar a experiencia aleatoria proposta.


- Ademais dos casos anteriores, se a experiencia é composta, é conveniente realizar un diagrama de árbore.

Presentámoslles aos estudantes os diagramas de árbore correspondentes aos exemplos do LA.






Tarefa 6: Obradoiros de matemáticas.



METODOLOXÍA

Necesitamos adestrar de xeito sistemático os procedementos que conforman os alicerces da materia. Se ben a

finalidade da área é adquirir coñecementos esenciais que se inclúen no currículo básico, o alumnado deberá

desenvolver actitudes conducentes á reflexión e a análise das linguaxes matemáticas, as súas vantaxes e as

implicacións na comprensión da realidade. Para iso necesitamos certo grao de adestramento individual e

traballo reflexivo de procedementos básicos da materia.

Nalgúns aspectos da área, sobre todo naqueles que pretenden o uso sistemático de procesos de método

científico, o traballo en grupo colaborador achega, ademais do adestramento de habilidades sociais básicas

e enriquecemento persoal desde a diversidade, unha ferramenta perfecta para discutir e afondar en contidos

dese aspecto.

Por outro lado, cada alumno parte dunhas potencialidades que definen as súas intelixencias predominantes e

enriquecer as tarefas con actividades que se desenvolvan desde a teoría das intelixencias múltiples facilita

que todos os alumnos poidan chegar a comprender os contidos que pretendemos adquirir para o

desenvolvemento dos obxectivos de aprendizaxe.

Na área de Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas é indispensable a vinculación a contextos reais,

así como xerar posibilidades de aplicación dos contidos adquiridos. Para iso, as tarefas competenciais facilitan

este aspecto, que se podería complementar con proxectos de aplicación dos contidos.

RECURSOS DIDÁCTICOS

Suxerimos o uso dos materiais seguintes:

- O libro do alumnado para a área de Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas 3.º ESO.

- A proposta didáctica para Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas 3.º ESO.

- Os recursos fotocopiables da proposta didáctica, con actividades de reforzo, de ampliación e de avaliación.

- Os cadernos complementarios ao libro do alumnado.

- O libro dixital.

- O CD que acompaña a proposta didáctica.


139

MATEMÁTICAS ORIENTADAS AS ENSINANZAS APLICADAS 3º ESO

OBXECTIVOS 1. Verbalizar o proceso seguido na resolución de problemas. 2. Realizar as comprobacións e os cálculos necesarios no razoamento e resolución de problemas.

3. Analizar situacións de cambio a través de procedementos matemáticos para establecer hipóteses e

predicións. 4. Reformular problemas matemáticos sobre a base doutras situacións e contextos. 5. Realizar procesos de investigación achegando informes de conclusións e resultados. 6. Aplicar as matemáticas a situacións problemáticas cotiás.

7. Desenvolver as habilidades e as actitudes matemáticas. 8. Identificar os bloqueos emocionais ante os bloqueos atopados. 9. Tomar decisións sobre situacións que acontecen na vida cotiá do alumno. 10. Coñecer e utilizar as ferramentas tecnolóxicas pertinentes para realizar cálculos diferentes. 11. Utilizar o cálculo con números racionais para resolver problemas da vida diaria.

12. Manexar o simbolismo para descifrar sucesións numéricas en casos sinxelos. 13. Expresar propiedades ou relacións a través da linguaxe alxébrica. 14. Resolver problemas da vida cotiá utilizando distintas operacións matemáticas, aplicando técnicas

alxébricas e valorando e contrastando os resultados. 15. Identificar as características de figuras planas e corpos xeométricos. 16. Manexar o teorema de Tales na aplicación a medicións en exemplos da vida real. 17. Recoñecer os movementos no plano nas transformacións das figuras.

18. Manexar os centros, os eixes e os planos de simetría con figuras planas e poliedros. 19. Aplicar na localización de puntos as coordenadas gráficas.

20. Representar graficamente as funcións e os elementos que interveñen niso. 21. Recoñecer o modelo lineal nas relacións da vida cotiá para describir fenómenos. 22. Identificar relacións funcionais descritas a través dos parámetros e das características das funcións

cuadráticas.

23. Utilizar gráficas e táboas na elaboración de informes estatísticos. 24. Resumir e comparar datos estatísticos a través do cálculo e da interpretación de parámetros de posición e

dispersión.

25. Analizar a información dos medios de comunicación a través da estatística. 26. Realizar estimacións en experimentos sinxelos calculando probabilidade, frecuencia...


Competencia matemática e competencias básicas en ciencia e tecnoloxía Esta área posibilita en todos e cada un dos seus aspectos a competencia matemática, a partir do coñecemento


envolve os alumnos como instrumento imprescindible no desenvolvemento do pensamento dos alumnos e

compoñente esencial de comprensión.

Os descritores que traballaremos fundamentalmente serán: • Comprometerse co uso responsable dos recursos naturais para promover un desenvolvemento sostible.

• Recoñecer a importancia da ciencia na nosa vida cotiá. • Aplicar métodos científicos rigorosos para mellorar a comprensión da realidade circundante en distintos

ámbitos (biolóxico, xeolóxico, físico, químico, tecnolóxico, xeográfico...). • Manexar os coñecementos sobre ciencia e tecnoloxía para solucionar problemas, comprender o que

acontece arredor nosa e responder preguntas.

• Coñecer e utilizar os elementos matemáticos básicos: operacións, magnitudes, porcentaxes, proporcións,

formas xeométricas, criterios de medición e codificación numérica, etc. • Comprender e interpretar a información presentada en formato gráfico.


140

• Expresarse con propiedade na linguaxe matemática. • Organizar a información utilizando procedementos matemáticos.

• Resolver problemas seleccionando os datos e as estratexias apropiadas. • Aplicar estratexias de resolución de problemas a situacións da vida cotiá.

Comunicación lingüística Para fomentar o seu desenvolvemento desde a área de Matemáticas débese insistir na incorporación do

esencial da linguaxe matemática á expresión habitual e á adecuada precisión no seu uso e, por outra parte, nos

contidos asociados á descrición verbal dos razoamentos e dos procesos.

Para iso, en cada unidade didáctica, adestraremos polo menos un descritor de cada un destes

indicadores. Os descritores que priorizaremos serán: • Comprender o sentido dos textos escritos e orais.

• Expresarse oralmente con corrección, adecuación e coherencia. • Respectar as normas de comunicación en calquera contexto: quenda de palabra, escoita atenta ao

interlocutor... • Utilizar os coñecementos sobre a lingua para buscar información e ler textos en calquera situación. No caso de centros bilingües ou plurilingües que impartan a materia noutra lingua: • Manter conversas noutras linguas sobre temas cotiáns en distintos contextos.

• Utilizar os coñecementos sobre a lingua para buscar información e ler textos en calquera situación.

Competencia dixital A lectura e creación de gráficas, a organización da información en forma analítica e comparativa, a


tecnolóxicas e outros procesos matemáticos contribúen ao desenvolvemento desta competencia.

Para iso, nesta área, traballaremos os seguintes descritores da competencia: • Empregar distintas fontes para a busca de información. • Seleccionar o uso das distintas fontes segundo a súa fiabilidade.

• Utilizar as distintas canles de comunicación audiovisual para transmitir informacións diversas.

• Actualizar o uso das novas tecnoloxías para mellorar o traballo e facilitar a vida diaria.

Conciencia e expresións culturais A achega matemática fai presente en multitude de producións artísticas, así como as súas estratexias e procesos

mentais fomentan a conciencia e a expresión cultural das sociedades. Igualmente o alumno, mediante o

traballo matemático poderá comprender diversas manifestacións artísticas sendo capaz de utilizar os seus

coñecementos matemáticos na creación das súas propias obras. Polo tanto nesta área, traballaremos os seguintes descritores: • Valorar a interculturalidade como unha fonte de riqueza persoal e cultural.

• Apreciar a beleza das expresións artísticas e as manifestacións de creatividade e gusto pola estética no

ámbito cotián.

• Elaborar traballos e presentacións con sentido estético.


A utilización de estratexias persoais de cálculo e de resolución de problemas facilita aceptar outros puntos de

vista, o que é indispensable á hora de realizar un traballo cooperativo e en equipo. Recoñecer e valorar as

achegas alleas enriquece o alumno. Para iso adestraremos os seguintes descritores: • Aplicar dereitos e deberes da convivencia cidadá no contexto da escola.

• Desenvolver capacidade de diálogo cos demais en situacións de convivencia e traballo, e para a resolución

de conflitos.

• Mostrar dispoñibilidade para a participación activa en ámbitos de participación establecidos.


141

Sentido de iniciativa e espírito emprendedor As estratexias matemáticas como a resolución de problemas, que inclúen a planificación, a xestión do tempo


ao desenvolvemento desta competencia. Esta axuda será maior na medida que se fomente actitudes de


que vive o alumno. Os descritores que adestraremos son:

• Optimizar recursos persoais apoiándose nas fortalezas propias. • Ser constante no traballo superando as dificultades. • Contaxiar entusiasmo pola tarefa e confianza nas posibilidades de alcanzar obxectivos. • Atopar posibilidades no contorno que outros non aprecian. • Optimizar o uso de recursos materiais e persoais para a consecución de obxectivos.

Aprender a aprender A autonomía na resolución de problemas en Matemáticas, xunto coa verbalización do proceso de resolución

axuda á reflexión sobre o aprendido, favorecendo esta competencia. Para o desenvolvemento da competencia de aprender a aprender cómpre tamén incidir desde a área nos



Os descritores que adestraremos cos alumnos serán os seguintes: • Identificar potencialidades persoais como aprendiz: estilos de aprendizaxe, intelixencias múltiples,

funcións executivas...

• Aplicar estratexias para a mellora do pensamento creativo, crítico, emocional, interdependente... • Avaliar a consecución de obxectivos de aprendizaxe.

• Tomar conciencia dos procesos de aprendizaxe.


AVALIABLES.

Os contidos da área de Matemáticas agrúpanse en varios bloques.

O alumnado deberá adquirir uns coñecementos e destrezas básicas que lle permitan obter unha cultura

científica; os alumnos e alumnas deben identificarse como axentes activos e recoñecer que das súas actuacións

e coñecementos dependerá o desenvolvemento do seu contorno.



1. Planificación do proceso de resolución de problemas.






resolución, etc.




matemáticos.

- Confianza nas propias capacidades para desenvolver actitudes axeitadas e afrontar as dificultades propias



142


a) A recollida ordenada e a organización de datos.

b) A elaboración e creación de representacións gráficas de datos numéricos, funcionais ou estatísticos.

c) Facilitar a comprensión de propiedades xeométricas ou funcionais e a realización de cálculos de tipo


d) O deseño de simulacións e a elaboración de predicións sobre situacións matemáticas diversas.

e) A elaboración de informes e documentos sobre os procesos levados a cabo e os resultados e conclusións

obtidos.

f) Comunicar e compartir, en ámbitos apropiados, a información e as ideas matemáticas.

BLOQUE 2. Números e álxebra

1. Potencias de números racionais con expoñente enteiro. Significado e uso.

- Potencias de base 10. Aplicación para a expresión de números moi pequenos.

- Operacións con números expresados en notación científica.

2. Raíces cadradas.

- Raíces non exactas. Expresión decimal.

- Expresións radicais: transformación e operacións. Xerarquía de operacións.

3. Números decimais e racionais.

- Transformación de fraccións en decimais e viceversa.

- Números decimais exactos e periódicos. Fracción xeratriz.

- Operacións con fraccións e decimais. Cálculo aproximado e redondeo. Cifras significativas. Erro absoluto

e relativo.

4. Investigación de regularidades, relacións e propiedades que aparecen en conxuntos de números. Expresión

usando linguaxe alxébrica.

5. Sucesións numéricas. Sucesións recorrentes. Progresións aritméticas e xeométricas.

6. Polinomios. Expresións alxébricas:

- Transformación de expresións alxébricas.

- Igualdades notables.

- Operacións elementais con polinomios.

- Ecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita.

- Resolución polo método alxébrico e gráfico de ecuacións de primeiro e segundo grao.

7. Resolución de ecuacións sinxelas de grao superior a dous.

8. Resolución de problemas mediante a utilización de ecuacións de primeiro e segundo grao e de sistemas

de ecuacións.


1. Xeometría do plano.

- Rectas e ángulos no plano. Relacións entre os ángulos definidos por dúas rectas que se cortan.

- Lugar xeométrico: mediatriz dun segmento, bisectriz dun ángulo.

- Polígonos. Circunferencia e círculo. Perímetro e área.

- Teorema de Tales. División dun segmento en partes proporcionais.

- Teorema de Pitágoras. Aplicación á resolución de problemas.

- Movementos no plano: translacións, xiros e simetrías.

2. Xeometría do espazo.

- Poliedros, poliedros regulares. Vértices, arestas e caras. Teorema de Euler.

- Planos de simetría nos poliedros.

- A esfera. Interseccións de planos e esferas.

3. O globo terráqueo. Coordenadas xeográficas e fusos horarios. Lonxitude e latitude dun punto.

4. Uso de ferramentas tecnolóxicas para estudar formas, configuracións e relacións xeométricas.


143

BLOQUE 4. Funcións

1. Análise e descrición cualitativa de gráficas que representan fenómenos do ámbito cotián e doutras materias.

2. Análise dunha situación a partir do estudo das características locais e globais da gráfica correspondente.

3. Análise e comparación de situacións de dependencia funcional dadas mediante táboas e enunciados.

4. Utilización de modelos lineais para estudar situacións provenientes dos diferentes ámbitos de

coñecemento e da vida cotiá, mediante a confección da táboa, a representación gráfica e a obtención da

expresión alxébrica.

5. Expresións da ecuación da recta.

6. Funcións cuadráticas. Representación gráfica. Utilización para representar situacións da vida cotiá.


1. Estatística.

- Fases e tarefas dun estudo estatístico. Poboación, mostra. Variables estatísticas: cualitativas, discretas e

continuas.

- Métodos de selección dunha mostra estatística. Representatividade dunha mostra.

- Frecuencias absolutas, relativas e acumuladas. Agrupación de datos en intervalos.

- Gráficas estatísticas.

- Parámetros de posición. Cálculo, interpretación e propiedades. Parámetros de dispersión. Diagrama de caixa

e bigotes.

- Interpretación conxunta da media e a desviación típica.

2. Experiencias aleatorias. Sucesos e espazo mostral.

- Cálculo de probabilidades mediante a regra de Laplace.

- Diagramas de árbore sinxelos.

- Utilización da probabilidade para tomar decisións fundamentadas en diferentes contextos.

Contidos e temporalización (3º ESO Matemáticas orientadas as ensinanzas aplicadas)

TRIMESTRE IDENTIFICACIÓN XENÉRICA DOS

CONTIDOS

CORRESPONDENCIA

COAS LECCIÓNS DO

LIBRO DE TEXTO

PRIMEIRO

Números naturais, enteiros e decimais

As fraccións

Potencias e raíces

Problemas de proporcionalidade e

porcentaxes.

Estatística

1

2

3

4

14 e 15

SEGUNDO


Ecuacións


Progresións

6

7

8

5

TERCEIRO

Funcións e gráficas

Funcións lineais e cuadráticas

Elementos de xeometría plana

Movementos no plano. Frisos e mosaicos.

9

10

11 e 12

13


144

Desenvolvemento por unidades:

Unidade 1:


Título: Números naturais, enteiros e decimais


Os estudantes que chegan a este curso fano cunha gran cantidade de coñecementos sobre os números, os

seus usos e a súa operatoria: conceptos, procedementos, destrezas, xunto a erros frecuentes, frustracións e,

se cadra, certo aburrimento de volver unha e outra vez ás mesmas cousas. Con esta unidade preténdese

asentar e reforzar moitos destes coñecementos, afondar nalgúns e darlles sentido práctico a todos eles. E,

se fose posible, achegar ao alumnado confianza e boa disposición de ánimo para estas tarefas.

Comezamos lembrando o manexo da prioridade das operacións nas expresións con números naturais. E

tamén algúns conceptos e procedementos relativos á divisibilidade que serán necesarios en unidades

posteriores, especialmente o cálculo do mínimo común múltiplo, ao que se recorrerá na redución de

fraccións a común denominador (unidade 2) e na eliminación dos denominadores dunha ecuación (unidade

7).

Continuamos cunha revisión da operativa con números enteiros, especialmente a simplificación e o cálculo

de expresións con parénteses e operacións combinadas.

Pasamos despois ás operacións con números decimais e á súa aplicación na resolución de problemas,

mostrando con iso a súa utilidade práctica na resolución de situacións cotiás.

No traballo con números decimais deterémonos no significado e conveniencia das aproximacións e na

valoración dos erros cometidos.

E finalizaremos, nun plano máis teórico, na clasificación dos números decimais e na introdución dos

conxuntos dos números racionais e irracionais.

Apuntamos, por último, a importancia de insistir e fomentar o cálculo mental, tanto cos números enteiros

como cos decimais, que tanto axuda a desenvolver a axilidade mental e a confianza na propia competencia

operativa.

Temporalización

Setembro


1. Resolver operacións combinadas con números naturais, enteiros e decimais.

2. Revisar conceptos e procedementos básicos de divisibilidade.

3. Resolver problemas aritméticos con números decimais.

4. Apreciar a oportunidade das aproximacións e realizalas valorando en cada caso o erro cometido.


AVALIABLES - COMPETENCIA CLAVE

Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Números naturais e

números enteiros.

- Operacións

1. Resolver operacións


naturais, enteiros e



naturais.

CCL,

CMCT,

CD,


145

combinadas.

Números decimais.

- Operacións.

- Tipos: exactos,

periódicos, outros.

Números racionais e

irracionais.

decimais. CAA



enteiros.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA



decimais e utiliza o

redondeo para expresar a

solución.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA


combinadas nas que

aparecen números naturais,

enteiros e decimais.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

Divisibilidade.

Números primos e

compostos.

- Criterios de

divisibilidade.

- Descomposición en

factores.

- Cálculo do mínimo

común múltiplo.

2. Calcular o mínimo común

múltiplo de varios

números.

2.1. Calcula o mínimo común

múltiplo de varios números.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

Problemas con números

decimais.


aritméticos con números

decimais.



decimais.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC



decimais obtendo o

resultado a través dunha

expresión con operacións

combinadas.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC

Aproximación de

números enteiros e

decimais.

Erros.

4. Coñecer e redondear os

distintos tipos de números

decimais e valorar os

erros absoluto e relativo

cometidos no redondeo.

4.1. Coñece e redondea os

distintos tipos de números

decimais e valora os erros

absoluto e relativo


CCL,

CMCT,

CD,

CAA


Os estándares de aprendizaxe mostran o grao de consecución dos criterios de avaliación desde a propia


146

descrición e concreción do criterio. Para facilitar o seguimento do desenvolvemento de cada estándar,

buscaremos evidencias dos estudantes que mostren a súa evolución en cada un deles.

Estándares de aprendizaxe avaliables Selección de evidencia (Libro do alumno: LA)

1.1. Resolve operacións combinadas con números

naturais.

- Actividades do LA para resolver operacións

combinadas con números naturais.


enteiros.

- Actividade do LA para resolver operacións

combinadas con números enteiros.


decimais e utiliza o redondeo para expresar a

solución.


combinadas con números decimais e utilizar o

redondeo para expresar a solución.


aparecen números naturais, enteiros e

decimais.


combinadas con números naturais, enteiros e

decimais.

2.1. Calcula o mínimo común múltiplo de varios

números.

- Actividade do LA para calcular o mínimo común

múltiplo de varios números.

3.1. Resolve problemas aritméticos con números

decimais.

- Actividade do LA para resolver problemas

aritméticos con números decimais.

3.2. Resolve problemas aritméticos con números

decimais obtendo o resultado a través dunha

expresión con operacións combinadas.


aritméticos con números decimais, obtendo o

resultado a través dunha expresión con

operacións combinadas.

4.1. Coñece e redondea os distintos tipos de

números decimais e valora os erros absoluto

e relativo cometidos no redondeo.

- Actividade do LA para redondear os números

decimais e valorar os erros absolutos e relativos


5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e operacións con números naturais.

- Lemos o texto introdutorio, de forma cooperativa, e extraemos as ideas principais.

- Explicamos as operacións combinadas a partir dos exemplos do LA.

- Realizamos as actividades propostas do LA.

Tarefa 2: Números enteiros.

- Explicamos e practicamos a suma de números enteiros do mesmo signo, de distinto signo e con

parénteses.

- Explicamos e practicamos a multiplicación e a división de números enteiros.

- Traballamos e practicamos as potencias de números enteiros e as operacións combinadas.


Tarefa 3: Números decimais..

- Lembramos algúns aspectos sobre os números decimais e as súas operacións.

- Traballamos problemas e operacións de cálculo mental nos que interveñen os números decimais.

- Explicamos os diferentes tipos de números decimais (decimal exacto, periódico puro, periódico mixto,

irracionais).

- Explicamos e practicamos as aproximacións e os erros.


Tarefa 4: Realizamos as actividades do apartado Exercicios e problemas.

- Realizamos o conxunto de actividades baixo o título Resolve problemas de «Exercicios e problemas» do

LA.


147

Unidade 2:

Título: As fraccións


As fraccións, o seu significado e o seu uso adoitan ser algo razoablemente aprendido neste nivel. Non así

a súa operatoria, na que seguen aparecendo gran cantidade de deficiencias.

Comezaremos, de todos os xeitos, revisando o concepto de fracción e, apoiándonos nel, construíndo o de

número racional. E deterémonos nos procedementos para o paso de forma fraccionaria a decimal e

viceversa.

Recordando o concepto de fracción como operador, os estudantes adoitan calcular sen dificultade a fracción

dunha cantidade, pero convén insistir no proceso inverso: calcular a cantidade total coñecendo a parte.

Repasaremos tamén os conceptos relativos ás fraccións equivalentes e as súas propiedades, asegurando a

comprensión e o manexo áxil da redución a común denominador. Suxírese aquí alternar o cálculo mental,

nos casos sinxelos, co cálculo escrito cando se manexen números grandes.

Revísanse a continuación os procedementos relativos ás catro operacións para incidir especialmente na

resolución de expresións con operacións combinadas, aspecto no que algúns estudantes adoitan encontrar

dificultades.

A unidade remata coa presentación dalgúns problemas tipo que servirán de modelo e achegarán ideas para

resolver moitas situacións con fraccións en distintos contextos.

É importante insistir e fomentar o cálculo mental, tanto cos números enteiros e fraccionarios como cos

decimais, que tanto axudan a desenvolver a axilidade mental e a confianza na propia competencia operativa.

Temporalización

Outubro


1. Coñecer os números racionais, as súas relacións con outros conxuntos numéricos.

2. Coñecer as fraccións equivalentes e aplicar as súas propiedades.

3. Realizar operacións con números racionais.

4. Resolver problemas con fraccións.



Contidos Criterios


avaliables CC

Fraccións e números

fraccionarios.

- Números racionais.

Forma fraccionaria e

forma decimal.

- A fracción como

operador.

1. Coñecer os números

racionais, a súa

relación cos números

enteiros e cos números

decimais, e

representalos na recta.

1.1. Representa fraccións sobre

a recta, descompón unha

fracción impropia en parte

enteira mais unha fracción

propia.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC

1.2. Pasa unha fracción a forma

decimal e un número

decimal a fracción.

CMCT,

CD,

CAA


148

1.3. Calcula a fracción dunha

cantidade e a cantidade

coñecendo a fracción

correspondente.

CMCT,

CD,

CAA

Equivalencia de

fraccións. Propiedades.

Simplificación.

- Redución de fraccións

a común denominador.

2. Recoñecer e construír

fraccións equivalentes.

Simplificar fraccións.

Comparar fraccións

reducíndoas a común

denominador.

2.1. Simplifica e compara

fraccións reducíndoas a

común denominador. CMCT,

CD,

CAA

Operacións con

fraccións.

- Suma e resta.

- Produto e cociente.

- Fracción dunha

fracción.

- Expresións con

operacións

combinadas.

3. Realizar operacións con

números racionais.

Resolver expresións

con operacións

combinadas.



racionais.

CMCT,

CD,

CAA

Algúns problemas tipo

con fraccións.


con fraccións.


utilizando o concepto de

fracción e as operacións

con números racionais.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP


utilizando as fraccións e

obtendo o resultado a

través dunha expresión con

operacións combinadas.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP



1.1. Representa fraccións sobre a recta,

descompón unha fracción impropia en parte

enteira mais unha fracción propia.

- Actividades do LA para representar fraccións sobre

a recta e descompoñer unha fracción impropia en

parte enteira mais unha fracción propia.

1.2. Pasa unha fracción a forma decimal e un

número decimal a fracción.

- Actividade do LA para converter unha fracción en

número decimal e viceversa.

1.3. Calcula a fracción dunha cantidade e a

cantidade coñecendo a fracción

correspondente.

- Actividade do LA para calcular a fracción dunha

cantidade e a cantidade coñecendo a fracción.

2.1. Simplifica e compara fraccións reducíndoas

a común denominador.

- Actividade do LA para simplificar e comparar

fraccións reducíndoas a común denominador.


149

3.1. Realiza operacións combinadas con

números racionais.


combinadas con números racionais.

4.1. Resolve problemas utilizando o concepto de

fracción e as operacións con números

racionais.


aplicando fraccións e operacións con números

racionais.

4.2. Resolve problemas utilizando as fraccións

e obtendo o resultado a través dunha

expresión con operacións combinadas.


aplicando fraccións e reflectir o resultado a través

dunha expresión con operacións combinadas.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e fraccións, números fraccionarios e números racionais.


- Repasamos o concepto de fracción e explicamos as fraccións propias e impropias.


Tarefa 2: Forma fraccionaria e decimal dos números racionais.

- Repasamos o paso dunha fracción a forma decimal.

- Explicamos o paso de forma decimal a fracción, practicando cada un dos casos posibles: número decimal

exacto, número decimal periódico puro e número decimal periódico mixto.


Tarefa 3: A fracción como operador e equivalencia de fraccións.

- Explicamos e practicamos a fracción dunha cantidade e o proceso inverso, cálculo do total coñecendo a

parte.

- Explicamos as fraccións equivalentes e a súa propiedade.

- Explicamos e comparamos a redución de fraccións a común denominador.

- Explicamos e practicamos as dúas formas de comparar fraccións.


Tarefa 4: Operacións con fraccións.

- Explicamos a suma e a resta de fraccións a partir dos exemplos do LA.

- Explicamos o produto de fraccións utilizando o exemplo do LA.

- Explicamos a fracción doutra fracción e o cociente de fraccións, tamén a partir dos exemplos do LA.

- Realizamos operacións combinadas que recollan o explicado nos apartados anteriores.


Tarefa 5: Problemas con fraccións.

- Lemos, pensamos e resolvemos os problemas prácticos e resoltos do LA, incidindo en que os enunciados

están inspirados en situacións da vida cotiá, onde os alumnos poden ver a practicidade do estudado.


Tarefa 6: Realizamos as Actividades do Apartado Exercicios e problemas.

- Realizamos o esquema conceptual e o resumo «Practica o aprendido» do LA


LA

Unidade 3:


Título: Potencias e raíces


Nesta unidade proséguese o repaso e a ampliación das técnicas operatorias emprendidas na unidade

anterior.


150

As potencias de expoñente positivo e as súas propiedades xa son coñecidas de cursos anteriores. Aquí

complétanse e amplíanse coas de expoñente cero ou negativo. As aplicacións das propiedades das potencias

á simplificación de expresións é algo que aínda adoita presentar dificultades e que convén tratar

pausadamente para lograr a súa asimilación.

Utilizando as potencias de base dez, de expoñentes enteiros positivos e negativos, vese a descomposición

polinómica de números segundo as súas ordes de unidades enteiros e decimais. E isto, xunto á realización

de aproximacións, é o pasos previo á presentación da notación científica como forma abreviada de expresar

números moi grandes ou moi pequenos.

O coñecemento e a interpretación da lectura e a escritura da notación científica, en documentos escritos e

na calculadora, abre posibilidades para o cálculo e o manexo de información no campo científico.

Defínese finalmente o concepto de raíz enésima dun número e aplícase ao cálculo de raíces exactas, onde

se traballa conxuntamente coas potencias.

Non quixemos entrar no estudo dos radicais, pois estes conceptos e procedementos xa os verán de forma

detallada no curso próximo.

Temporalización

Outubro


1. Coñecer as potencias de expoñente enteiro, as súas operacións e as súas propiedades.

2. Coñecer e manexar a notación científica.

3. Coñecer e manexar o concepto de raíz enésima.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Potencias de expoñente

enteiro. Propiedades.

- Operacións con potencias

de expoñente enteiro e

base racional.

1. Coñecer as potencias de

expoñente enteiro e

aplicar as súas

propiedades nas

operacións con

números racionais.

1.1. Calcula potencias de

expoñente enteiro e

expresa un número como

potencia de expoñente

enteiro.

CMCT,

CD,

CAA

1.2. Calcula e simplifica

expresións aritméticas

sinxelas aplicando as

propiedades das potencias

de expoñente enteiro.

CMCT,

CD,

CAA


combinadas nas que

aparecen expresións con


enteiro.

CMCT,

CD,

CAA


151

Notación científica. Para

números moi grandes ou

moi pequenos.

- Operacións en notación

científica.

- A notación científica na

calculadora.



2.1. Utiliza a notación

científica para expresar

números grandes ou

pequenos e expresa con

todas as súas cifras un

número escrito en


CMCT,

CD,

CAA


sinxelas con números en


CMCT,

CD,

CAA


operar en notación

científica.

CMCT,

CD,

CAA


utilizando a notación

científica.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP

Raíz cadrada, raíz cúbica.

- Outras raíces.

3. Coñecer o concepto de

raíz enésima dun

número racional e

calcular raíces exactas

de números racionais.

3.1. Calcula raíces exactas de

números racionais

xustificando o resultado

mediante o concepto de

raíz enésima.

CMCT,

CD,

CAA



1.1. Calcula potencias de expoñente enteiro e

expresa un número como potencia de

expoñente enteiro.

- Actividades do LA para calcular potencias de

expoñente enteiro e expresar un número como

potencia de expoñente enteiro.

1.2. Calcula e simplifica expresións aritméticas

sinxelas aplicando as propiedades das

potencias de expoñente enteiro.

- Actividade do LA para calcular e simplificar

expresións aritméticas aplicando as propiedades

das potencias.


aparecen expresións con potencias de

expoñente enteiro.


combinadas nas que aparecen expresións con


2.1. Utiliza a notación científica para expresar

números grandes ou pequenos e expresa con

todas as súas cifras un número escrito en


- Actividade do LA para utilizar a notación

científica.

2.2. Realiza operacións sinxelas con números en


- Actividade do LA para realizar operacións con

números en notación científica.

2.3. Utiliza a calculadora para operar en notación

científica.

- Actividade do LA para operar en notación

científica utilizando a calculadora.


152

2.4. Resolve problemas utilizando a notación

científica.


utilizando a notación científica.

3.1. Calcula raíces exactas de números racionais

xustificando o resultado mediante o concepto

de raíz enésima.

- Actividade do LA para calcular raíces exactas de

números racionais xustificando o resultado

mediante a raíz enésima.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e potencias.


- Repasamos o concepto de potencia de expoñente positivo, as potencias de base 10 e a descomposición

polinómica de números enteiros.

- Explicamos as propiedades e as operacións das potencias e revisamos os exercicios resoltos do LA.


Tarefa 2: Potencias de expoñente cero ou negativo.

- Repasamos, a partir dalgunha das propiedades das potencias, as potencias de expoñente cero e negativo.

- Explicamos as potencias de base dez de expoñente cero ou negativo.

- Explicamos a descomposición polinómica de números decimais e revisamos os exercicios resoltos do

LA.


Tarefa 3: Notación científica.

- Explicamos a notación científica para números moi grandes e moi pequenos.

- Explicamos as diferentes operacións con números en notación científica.

- Explicamos o uso da calculadora para operar con notación científica e practicamos con ela.


Tarefa 4: Raíces exactas.

- Repasamos as raíces cadradas e cúbicas.

- Aprendemos a interpretar raíces de índice superior a tres.

- Revisamos os exercicios resoltos do LA.





LA

Unidade 4:


Título: Problemas de proporcionalidade e porcentaxes


Os conceptos básicos relativos á proporcionalidade e ás porcentaxes son xa coñecidos polo alumnado.

Nesta unidade, ademais de lembralos, preténdese un afondamento en todos eles mediante a súa aplicación

en situacións e problemas contextualizados. O avance localizarase, polo tanto, na dificultade e

complexidade das situacións e problemas abordados, máis que no desenvolvemento de cuestións teóricas.

Comezaremos lembrando os conceptos de razón e proporción, e xustificando o procedemento para calcular

o termo descoñecido dunha proporción. E a continuación os métodos de redución á unidade e a regra de

tres en problemas de proporcionalidade simple.

Activados os contidos anteriores deterémonos en analizar varios problemas-modelo de proporcionalidade

composta, priorizando a detección dos distintos tipos de proporcionalidade directa-inversa que aparecen en


153

cada caso e mostrando os procedementos de resolución para cada un.

Na segunda parte da unidade revísanse as distintas formas de considerar as porcentaxes (proporción,

fracción, número decimal) e propóñense distintos problemas relacionados con elas (porcentaxes simples,

aumentos e diminucións porcentuais...). O avance céntrase na resolución de problemas nos que cómpre

calcular a cantidade inicial, o tanto aplicado, a variación porcentual, etc. E tamén nos procedementos de

cálculo rápido mediante o produto e cociente polo índice de variación.

Os contidos da unidade teñen significado en multitude de situacións da vida cotiá. O obxectivo consiste en

ofrecer modelos con recursos e procedementos que poidan ser transferidos polo alumnado na interpretación

e resolución das devanditas situacións.

Temporalización

Novembro


1. Coñecer os conceptos de razón, proporción e relación de proporcionalidade.

2. Resolver problemas de proporcionalidade simple e composta.

3. Manexar con soltura as porcentaxes e resolver problemas con elas.



Contidos Criterios

de avaliación Estándares de

aprendizaxe avaliables CC

Razóns e proporcións.

- Cálculo do termo

descoñecido dunha

proporción.

- Proporcionalidade directa e

inversa.

1. Coñecer os

conceptos de razón,

proporción e

relación de

proporcionalidade.

1.1. Calcula un termo

descoñecido dunha

proporción e

completa táboas de

valores directamente

proporcionais ou

inversamente

proporcionais.

CMCT,

CD,

CAA

Problemas tipo de


Problemas tipo de



de

proporcionalidade

simple e composta.


proporcionalidade

simple.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC


proporcionalidade

composta.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC


154

Conceptos de porcentaxe.

- Como proporción.

- Como fracción.

- Como número decimal.

Problemas de tipo de

porcentaxes.

- Cálculo da parte, do total e do

tanto por cento aplicado.

Problemas tipo de aumentos e


- Cálculo da cantidade inicial e

da variación porcentual.


as porcentaxes e

resolver problemas

con elas.

3.1. Relaciona porcentaxes

con fraccións e con

números decimais,

calcula a porcentaxe

dunha cantidade,

calcula a cantidade

inicial dada a

porcentaxe e acha a

porcentaxe que


CMCT,

CD,

CAA


sinxelos de aumentos

e diminucións

porcentuais.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC


nos que se encadean

aumentos e

diminucións

porcentuais.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC



1.1. Calcula un termo descoñecido dunha

proporción e completa táboas de valores

directamente proporcionais ou inversamente

proporcionais.

- Actividades do LA para calcular un termo

descoñecido dunha proporción e completar táboas

de valores directa ou inversamente proporcionais.


simple.

- Actividade do LA para resolver problemas de



composta.



3.1. Relaciona porcentaxes con fraccións e con

números decimais, calcula a porcentaxe

dunha cantidade, calcula a cantidade inicial

dada a porcentaxe e acha a porcentaxe que


- Actividade do LA para relacionar porcentaxes con

fraccións e con números decimais, calcular a

porcentaxe dunha cantidade e viceversa e achar a

porcentaxe que representa unha parte.

3.2. Resolve problemas sinxelos de aumentos e




3.3. Resolve problemas nos que se encadean


- Actividade do LA para resolver problemas nos que

se encadean aumentos e diminucións porcentuais.


155

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e razóns e proporcións.


- Explicamos o que é razón e proporción dun número utilizando exemplos da vida cotiá para facilitar a súa

comprensión.


Tarefa 2: Proporcionalidade simple.

- Explicamos a partir de situacións próximas o concepto de proporcionalidade directa e inversa.

- Revisamos os problemas resoltos do LA para clarificar os conceptos anteriores.


Tarefa 3: Proporcionalidade composta.

- Explicamos os diferentes casos que se poden dar nun suposto ou problema de proporcionalidade

composta: directa-directa, directa-inversa, inversa-inversa.

- Revisamos os problemas solucionados do LA para comprender mellor as diferentes situacións de



Tarefa 4: Porcentaxes.

- Repasamos o cálculo dunha porcentaxe e a súa interpretación revisando os exercicios resoltos do LA.

- Realizamos distintos supostos onde practiquemos o cálculo directo dunha porcentaxe, o cálculo da

cantidade total e o cálculo do tanto por cento.


Tarefa 5: Aumentos e diminucións porcentuais.

- Explicamos o aumento e a diminución porcentual a partir do índice de variación e aplicámolo a diferentes

supostos.

- Revisamos os diferentes problemas resoltos do LA sobre aumento e diminución porcentual, o cálculo da

cantidade inicial e o cálculo da variación porcentual.



- Realizamos o esquema conceptual e o resumo «Practica o aprendido» do


LA .

Unidade 5:


Título: Progresións


Nesta unidade estúdanse as sucesións como conxunto de números dados en certa orde e, como caso

particular, as progresións aritméticas e as xeométricas.

Evitamos a definición formal de sucesión porque o principal obxectivo é a busca de regularidades

numéricas mediante a observación e a reflexión.

Un aspecto que cómpre en conta é a nomenclatura propia deste tema, coa que o alumnado se atopa, moi

posiblemente, por primeira vez. Referímonos á utilización de subíndices para designar os termos dunha

sucesión e á expresión alxébrica do termo xeral.

A unidade comeza exemplificando o concepto de sucesión e introducindo a nomenclatura e notación que

se vai empregar. E continúa coa busca da lei de formación de distintas sucesións e a expresión alxébrica do

seu termo xeral. Os estudantes serán capaces tamén de construír unha sucesión a partir da fórmula do

devandito termo.

Trabállanse tamén e móstranse algúns exemplos de sucesións recorrentes.


156

Pásase despois ao estudo das progresións aritméticas, fixando o concepto de diferenza e xustificando os

procedementos para obter o termo xeral e a suma de n termos consecutivos.

Por último, iníciase o estudo das progresións xeométricas, fixando o concepto de razón e manexando algúns

exemplos nos que se observa o crecemento ou decrecemento. E tamén se traballa a obtención de

determinados termos, con procedementos de busca intuitiva, sen presentar fórmulas.

Temporalización

Novembro


1. Coñecer e manexar a nomenclatura propia das sucesións e familiarizarse coa busca de regularidades

numéricas.

2. Coñecer e manexar con soltura as progresións aritméticas e xeométricas e aplicalas á resolución de

problemas.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

- Sucesións.

- Lei de formación.

- Termo xeral. Expresión

alxébrica.

- Obtención de termos

dunha sucesión dado o

seu termo xeral.

- Sucesións recorrentes.


nomenclatura propia

das sucesións e

familiarizarse coa

busca de

regularidades

numéricas.

1.1. Escribe un termo

concreto dunha

sucesión dada mediante

o seu termo xeral ou de

forma recorrente e

obtén o termo xeral

dunha sucesión dada

polos seus primeiros

termos (casos moi

sinxelos).

CMCT,

CD,

CAA

- Progresións aritméticas.


- Termo xeral dunha


- Suma de termos

consecutivos dunha


- Progresións xeométricas.


- Relación entre os distintos

elementos dunha

progresión xeométrica.

- Calculadora.

- Sumando constante e

factor constante para

xerar progresións.

- Problemas de

2. Coñecer e manexar

con soltura as

progresións

aritméticas e

xeométricas e

aplicalas á resolución

de problemas.

2.1. Recoñece as

progresións aritméticas

e xeométricas, calcula a

súa diferenza, a súa

razón e, no caso das

progresións aritméticas,

o seu termo xeral.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP

2.2. Calcula a suma dos

primeiros termos dunha

progresión aritmética. CMCT,

CD,

CAA


utilizando as


CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,


157

progresións. CSC


utilizando as

progresións

xeométricas.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC



1.1. Escribe un termo concreto dunha sucesión

dada mediante o seu termo xeral ou de

forma recorrente e obtén o termo xeral

dunha sucesión dada polos seus primeiros

termos (casos moi sinxelos).

- Actividades do LA para escribir un termo concreto

dunha sucesión mediante o seu termo xeral ou de

forma recorrente e obter o termo xeral dunha

sucesión dada polos seus primeiros termos.

2.1. Recoñece as progresións aritméticas e

xeométricas, calcula a súa diferenza, a súa

razón e, no caso das progresións

aritméticas, o seu termo xeral.

- Actividade do LA para recoñecer as progresións

aritméticas e xeométricas, calcular a súa diferenza,

a súa razón e, no caso da progresión aritmética, o

seu termo xeral.



- Actividade do LA para calcular a suma dos

primeiros termos dunha progresión aritmética.

2.3. Resolve problemas utilizando as



utilizando as progresións aritméticas.

2.4. Resolve problemas utilizando as

progresións xeométricas.


utilizando as progresións xeométricas.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e sucesións.


- Explicamos o que é unha sucesión e revisamos diferentes exemplos do LA.

- Explicamos o que é o termo xeral dunha sucesión e aprendemos a obtelo nalgunhas sucesións.

- Explicamos o que é unha sucesión definida de forma recorrente e revisamos os problemas resoltos do

LA, para facilitar a súa comprensión.


Tarefa 2: Progresións aritméticas.

- Explicamos o concepto de progresión aritmética e aplicámolo a diferentes exemplos.

- Aprendemos a obter o termo xeral dunha progresión aritmética.

- Explicamos e aplicamos a suma de termos dunha progresión aritmética.


Tarefa 3: Progresións xeométricas.

- Explicamos o concepto de progresión xeométrica e para unha mellor comprensión revisámolo nos


158

exercicios resoltos do LA.

- Explicamos o crecemento das progresións xeométricas e aplicámolo a algún exercicio.





LA

Unidade 6:


Título: A linguaxe alxébrica


Nesta unidade comézase o estudo da álxebra lembrando e ampliando orientacións e procedementos que se

deron nos primeiros cursos.

As dificultades que o alumnado atopa nesta materia están relacionadas, fundamentalmente, co uso e

significado das letras como símbolos que representan unha situación abstracta. Pero esta é a grande

utilidade da álxebra: poder representar cunha soa letra un conxunto de valores e manexalos de forma

sinxela.

Despois da introdución, na segunda páxina xustifícase a necesidade da linguaxe alxébrica, lémbrase o

significado dalgúns termos (monomio, polinomio...) e tamén a diferenza entre identidade e ecuación.

As páxinas seguintes céntranse nas definicións, a terminoloxía asociada a monomios e polinomios, as súas

operacións e as súas propiedades.

O dominio das operacións básicas, suma e produto, entre monomios e polinomios, incluíndo a extracción

de factor común, así como o desenvolvemento e recoñecemento de identidades notables, debe servir para

convencer o alumnado de que a transformación de expresións alxébricas complexas noutras idénticas, pero

máis sinxelas, é un dos métodos máis eficaces no traballo matemático.

Mostrando a utilidade da extracción de factor común e das identidades notables, faise unha introdución á

simplificación das fraccións alxébricas. Este apartado adoita ter certa dificultade, e, por iso, é recomendable

que o profesorado seleccione as actividades que lle parezan máis axeitadas ao nivel da clase, sen esquecer

que esta parte se completará no curso próximo.

Rematamos insistindo nalgunhas operacións que aparecen con frecuencia na resolución de ecuacións

(redución a común denominador, etc.) e que serán de grande utilidade na seguinte unidade.

Temporalización

Decembro


1. Coñecer e manexar os conceptos e a terminoloxía propios da álxebra.

2. Operar con expresións alxébricas.



Contidos Criterios


avaliables CC


159

- A linguaxe alxébrica.

- Tradución da linguaxe

natural á alxébrica, e

viceversa.

- Expresións alxébricas:

monomios, polinomios,

fraccións alxébricas,

ecuacións e identidades.

- Coeficiente e grao. Valor

numérico dun monomio e

dun polinomio.

- Monomios semellantes.


os conceptos e a

terminoloxía

propios da álxebra.

1.1. Traduce á linguaxe alxébrica

enunciados verbais de índole

matemática.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP

1.2. Coñece e identifica os

conceptos de monomio,

polinomio, coeficiente, grao,

parte literal, identidade e

ecuación.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

1.3. Calcula o valor numérico

dun monomio e dun

polinomio.

CMCT,

CD,

CAA

- Operacións con

monomios: suma, produto

e cociente.

- Suma e resta de

polinomios.

- Produto dun monomio por

un polinomio.

- Produto de polinomios.

- Factor común.

- Identidades notables.

Cadrado dunha suma, e

dunha diferenza. Suma por

diferenza.

- Simplificación de

fraccións alxébricas

sinxelas.

- Redución a común

denominador de

expresións alxébricas.

2. Operar con

expresións

alxébricas.

2.1. Opera con monomios e

polinomios.

CMCT,

CD,

CAA

2.2. Coñece o desenvolvemento

das identidades notables,

exprésao como cadrado dun

binomio ou como produto de

dous factores e aplícao para

desenvolver expresións

alxébricas.

CMCT,

CD,

CAA

2.3. Saca factor común dun

polinomio e factoriza

utilizando as identidades

notables.

CMCT,

CD,

CAA

2.4. Simplifica fraccións


CMCT,

CD,

CAA

2.5. Multiplica por un número

unha suma de fraccións

alxébricas con denominador

numérico e simplifica o

resultado.

CMCT,

CD,

CAA



1.1. Traduce á linguaxe alxébrica enunciados

verbais de índole matemática.

- Actividades do LA para traducir a linguaxe

alxébrica enunciados de carácter matemático.


160

1.2. Coñece e identifica os conceptos de

monomio, polinomio, coeficiente, grao,

parte literal, identidade e ecuación.

- Actividade do LA para coñecer e identificar

conceptos alxébricos.

1.3. Calcula o valor numérico dun monomio e

dun polinomio.

- Actividade do LA para calcular o valor numérico

dun monomio e dun polinomio.

2.1. Opera con monomios e polinomios. - Actividade do LA para operar con monomios e

polinomios.

2.2. Coñece o desenvolvemento das identidades

notables, exprésao como cadrado dun

binomio ou como produto de dous factores

e aplícao para desenvolver expresións

alxébricas.

- Actividade do LA para coñecer o desenvolvemento

das identidades notables, expresalo como cadrado

dun binomio ou como produto de dous factores e

aplicalo para o desenvolvemento de expresións

alxébricas.

2.3. Saca factor común dun polinomio e

factoriza utilizando as identidades notables.

- Actividade do LA para sacar factor común dun

polinomio e factorizar utilizando as identidades

notables.

2.4. Simplifica fraccións alxébricas sinxelas. - Actividade do LA para simplificar fraccións


2.5. Multiplica por un número unha suma de

fraccións alxébricas con denominador

numérico e simplifica o resultado.

- Actividade do LA para multiplicar por un número

unha suma de fraccións alxébricas con

denominador numérico e simplificar o resultado.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e expresións alxébricas.


- Explicamos o que é a linguaxe alxébrica a partir de exemplos próximos.

- Expoñemos diferentes tipos de expresións alxébricas, algunhas das cales as estudaremos con máis

detemento neste tema e no seguinte.

- Revisamos o exercicio resolto do LA.


Tarefa 2: Monomios.

- Explicamos o concepto de monomio e vemos diferentes exemplos que faciliten a comprensión.

- Explicamos as operacións con monomios: suma, resta, produto, cociente e potencia.


Tarefa 3: Polinomios.

- Explicamos o concepto de polinomio e vemos diferentes exemplos que faciliten a comprensión.

- Explicamos as operacións con polinomios: suma, resta produto entre monomio e polinomio, produto

entre dous polinomios e sacar factor común.


Tarefa 4: Identidades.

- Explicamos o concepto de identidade e vemos diferentes exemplos que faciliten a comprensión.

- Explicamos o que é unha identidade notable e a utilidade das identidades.





LA


161

Unidade 7:


Título: Ecuacións


O principal obxectivo do estudo das ecuacións é a súa aplicación para resolver problemas.

Para iso, cómpre que o alumnado domine, ademais da linguaxe alxébrica que se estudou na unidade

anterior, as técnicas de resolución de ecuacións de primeiro e segundo grao. Tamén é certo que, antes de

acometer o estudo de tales técnicas, é necesario que comprendan os conceptos de ecuación, solución dunha

ecuación e ecuacións equivalentes, que son a base dos procedementos que imos aplicar.

Unha das dificultades que adoitan atopar os estudantes é o diferente tratamento do signo igual en aritmética

e en álxebra. No igual das ecuacións, a diferenza das operacións aritméticas, hai que manexar

simultaneamente os dous membros.

Cómpre que o alumnado entenda a situación de equilibrio que achega o signo igual nunha ecuación para

poder asimilar as transformacións que nos permiten pasar dunha ecuación a outra equivalente.

Unha vez dado este paso, débese practicar moito para chegar a manexar con toda a destreza as técnicas que

nos permiten obter a solución dunha ecuación.

Tamén é interesante que se atopen con expresións que parecen ecuacións de primeiro grao e que, realmente

non o son porque non teñen termo en x. Non obstante, posto que antes de simplificar non sabemos en que

van quedar, tratarémolas como ecuacións e chegaremos á conclusión de que ou ben non teñen solución ou

teñen infinitas solucións.

Nas ecuacións de segundo grao presentamos a fórmula de resolución, na que evitamos a súa xustificación

pola dificultade que ten para a maioría dos estudantes. É un bo caso de afondamento para aqueles estudantes

que vaian máis adiantados.

Incluímos tamén a discusión do número de solucións segundo o signo do discriminante. As ecuacións

incompletas trátanse cos procedementos específicos, que ilustran moi ben como a resolución de ecuacións

non debe ser algo ríxido.

Na formulación e resolución de problemas o alumnado debe adestrar e aplicar destrezas para a codificación

de enunciados en linguaxe alxébrica, recorrendo, ademais, a todas as adquiridas na resolución de problemas

aritméticos.

Temporalización

Xaneiro


1. Coñecer e manexar os conceptos propios das ecuacións.

2. Resolver ecuacións de primeiro e segundo grao.

3. Resolver problemas mediante ecuacións de primeiro e segundo grao.



Contidos Criterios


avaliables CC

- Ecuación. Solución.

- Resolución por tenteo.

1. Coñecer e manexar os

conceptos propios

1.1. Coñece os conceptos

de ecuación, incógnita CCL,

CMCT,


162

- Tipos de ecuacións. das ecuacións. e solución; e utilízaos

para determinar se un

número é solución

dunha ecuación e para

buscar por tenteo

solucións enteiras de

ecuacións sinxelas.

CD,

CAA,

SIEP

- Ecuacións equivalentes.

- Transformacións que

conservan a equivalencia.

- Ecuación de primeiro grao.

Técnicas de resolución.

- Ecuacións sen solución ou

con infinitas solucións.

- Ecuacións de segundo grao.

- Número de solucións

segundo o signo do

discriminante.

- Ecuacións de segundo grao

incompletas.


ecuacións de segundo grao.


de primeiro e

segundo grao.

2.1. Resolve ecuacións

sinxelas de primeiro

grao.

CMCT,

CD,

CAA

2.2. Resolve ecuacións de

primeiro grao con

fraccións en cuxo

numerador hai unha

suma ou unha resta.

CMCT,

CD,

CAA


sinxelas de segundo

grao.

CMCT,

CD,

CAA

2.4. Resolve ecuacións con

parénteses e

denominadores que

dan lugar a unha

ecuación de segundo

grao.

CMCT,

CD,

CAA




mediante ecuacións

de primeiro e

segundo grao.


numéricos sinxelos


CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC


xeométricos sinxelos


CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC

3.3. Resolve mediante

ecuacións problemas

que impliquen o uso da

relación de

proporcionalidade.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC


163



1.1. Coñece os conceptos de ecuación, incógnita

e solución e utilízaos para determinar se un

número é solución dunha ecuación e para

buscar por tenteo solucións enteiras de

ecuacións sinxelas.

- Actividades do LA para coñecer os conceptos de

incógnita e solución e utilizalos para determinar se

un número é solución dunha ecuación e para buscar

por tenteo solucións enteiras sinxelas.

2.1. Resolve ecuacións sinxelas de primeiro grao. - Actividade do LA para resolver ecuacións sinxelas

de primeiro grao.

2.2. Resolve ecuacións de primeiro grao con

fraccións en cuxo numerador hai unha suma

ou unha resta.

- Actividade do LA para resolver ecuacións de

primeiro grao con fraccións en cuxo denominador

hai unha suma ou unha resta.

2.3. Resolve ecuacións sinxelas de segundo grao. - Actividade do LA para resolver ecuacións sinxelas

de segundo grao.

2.4. Resolve ecuacións con parénteses e

denominadores que dan lugar a unha

ecuación de segundo grao.

- Actividade do LA para resolver ecuacións con

parénteses e denominadores que dan lugar a unha

ecuación de segundo grao.

3.1. Resolve problemas numéricos sinxelos



numéricos mediante ecuacións.

3.2. Resolve problemas xeométricos sinxelos




3.3. Resolve mediante ecuacións problemas que

impliquen o uso da relación de

proporcionalidade.

- Actividade do LA para resolver mediante

ecuacións problemas que impliquen o uso da

relación de proporcionalidade.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e ecuacións.


- Explicamos o que é unha ecuación utilizando algún exemplo.

- Explicamos a resolución por tenteo, as ecuacións equivalentes e as transformacións que manteñen a

equivalencia de ecuacións.


Tarefa 2: Ecuacións de primeiro grao.

- Explicamos o concepto de ecuación de primeiro grao e vémolo nalgún exemplo.

- Estudamos os casos especiais.

- Explicamos os pasos que cómpre seguir para resolver ecuacións de primeiro grao.

- Analizamos os exercicios resoltos do LA.


Tarefa 3: Ecuacións de segundo grao.

- Explicamos o concepto de ecuación de segundo grao e a súa correspondente expresión.

- Analizamos os dous casos de ecuacións incompletas, con b = 0 e c = 0 e explicamos o xeito de resolvelas.

- Aprendemos a resolver unha ecuación completa a partir da fórmula.


Tarefa 4: Resolución de problemas mediante ecuacións.

- Explicamos e sistematizamos os pasos que hai que dar para a resolución de problemas utilizando

ecuacións.


164

- Analizamos os cinco problema resoltos do LA.





LA

Unidade 8:


Título: Sistemas de ecuacións


Os sistemas de ecuacións son unha potente ferramenta para formular e resolver unha ampla gama de

problemas e situacións relacionadas coa vida cotiá e con outras partes da matemática, como a xeometría ou

o estudo das funcións.

Para utilizar eficazmente esta ferramenta, é preciso que os estudantes saiban o que é un sistema de

ecuacións, o significado da súa solución e que sexan capaces de resolvelos con destreza.

Comezamos a unidade estudando as ecuacións con dúas incógnitas como igualdades que se cumpren para

infinitos pares de valores. E que eses pares de valores, representados no plano, coinciden cos puntos dunha

recta.

A representación gráfica das ecuacións lineais con dúas incógnitas e a busca do punto de intersección será

un elemento clave para comprender o concepto do sistema de ecuacións e da súa resolución. Desta forma,

é doado entender por que algúns sistemas non teñen solución e outros teñen infinitas solucións.

Os métodos de resolución teñen en común a idea de eliminar incógnitas para chegar a unha única ecuación

cunha incógnita única. Neste punto adóitanse detectar erros, como pensar que o sistema queda reducido a

unha soa ecuación e, como consecuencia, abandonar incógnitas ou despexar e substituír na mesma

ecuación.

Estúdanse os métodos algorítmicos de resolución de sistemas: substitución, igualación e redución. O

alumnado debe aprender e dominar cada un deles; cando isto se consiga, tamén deben saber decidir cal é o

que mellor convén aplicar en cada caso.

A unidade remata coa presentación de modelos que atenden ao principal obxectivo: aplicar os sistemas de

ecuacións na resolución de problemas.

Temporalización

Febreiro


1. Coñecer os sistemas de ecuacións con dúas incógnitas e o significado das súas solucións.

2. Resolver sistemas de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas.

3. Formular e resolver problemas mediante sistemas de ecuacións.



Contidos Criterios


avaliables CC


165

Ecuacións con dúas

incógnitas.

- Representación.

Sistemas de ecuacións.


conceptos de

ecuación lineal con

dúas incógnitas,

sistema de ecuacións

lineais con dúas

incógnitas e as

solucións de ambos os

dous.

1.1. Representa graficamente un

sistema de ecuacións lineais

con dúas incógnitas e

observando a devandita

representación indica o número

das súas solucións.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CEC

Métodos de resolución:

- Método de substitución.

- Método de igualación.

- Método de redución.

- Regra práctica para

resolver sistemas lineais.


dúas ecuacións lineais

con dúas incógnitas.

2.1. Resolve un sistema de dúas

ecuacións lineais con dúas

incógnitas mediante un método

determinado (substitución,

redución ou igualación...).

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP



incógnitas por calquera dos

métodos e clasifícao segundo o

tipo de solución.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP



incógnitas simplificando

previamente as ecuacións que o

forman.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP

Tradución de enunciados

a sistemas de ecuacións.


con sistemas de ecuacións.


problemas mediante

sistemas de

ecuacións.

3.1. Resolve problemas numéricos


ecuacións.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC

3.2. Resolve problemas xeométricos


ecuacións.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC

3.3. Resolve problemas que

impliquen o uso da relación de

proporcionalidade utilizando os


CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CSC


166



1.1. Representa graficamente un sistema de

ecuacións lineais con dúas incógnitas e

observando a devandita representación

indica o número das súas solucións.

- Actividades do LA para representar graficamente

un sistema de ecuacións lineais con dúas

incógnitas indicando o número de solucións.

2.1. Resolve un sistema de dúas ecuacións lineais

con dúas incógnitas mediante un método

determinado (substitución, redución ou

igualación...).

- Actividade do LA para resolver un sistema de

ecuacións lineais con dúas incógnitas.


con dúas incógnitas por calquera dos

métodos e clasifícao segundo o tipo de

solución.

- Actividade do LA para resolver un sistema de dúas

ecuacións lineais con dúas incógnitas e clasificar o

tipo de solución.


con dúas incógnitas simplificando

previamente as ecuacións que o forman.

- Actividade do LA para resolver un sistema de dúas

ecuacións lineais con dúas incógnitas

simplificando previamente as ecuacións.




numéricos mediante sistemas de ecuacións.




xeométricos mediante sistemas de ecuacións.

3.2. Resolve problemas xeométricos sinxelos




3.3. Resolve problemas que impliquen o uso da

relación de proporcionalidade utilizando os


- Actividade do LA para resolver problemas que

impliquen o uso da relación de proporcionalidade

e utilizar os sistemas de ecuacións.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e ecuacións con dúas incógnitas.


- Explicamos o que é unha ecuación lineal e de dúas incógnitas e a súa expresión.

- Analizamos a forma de solucionar unha ecuación lineal con dúas incógnitas e explicamos a súa

representación gráfica.


Tarefa 2: Sistemas de ecuacións e as súas solucións.

- Explicamos o que é un sistema de ecuacións e o que significa o cálculo da súa solución.

- Revisamos o problema resolto do LA para comprender mellor o que é un sistema de ecuacións e como

interpretar a súa solución.

- Explicamos os sistemas lineais que non teñen solución e aqueles que teñen infinitas solucións.


Tarefa 3: Métodos para solucionar un sistema de ecuacións: método de substitución, método de igualación

e método de redución. Regra práctica para resolver sistemas de ecuacións.

- Explicamos os cinco pasos que cómpre seguir para solucionar un sistema de ecuacións polo método de

substitución e vémolos aplicados no problema resolto do LA.


igualación e vémolos aplicados no problema resolto do LA.


167


redución e vémolos aplicados no problema resolto do LA.

- Estudamos algunhas regras que nos facilitan a resolución de sistemas de ecuacións e vémolas aplicadas

no exercicios resolto do LA.


Tarefa 4: Como traducimos os enunciados a sistemas de ecuacións?

- Explicamos os pasos que convén dar para converter un enunciado nun sistema de ecuacións que facilite

a súa resolución.

- Analizamos os problemas resoltos do LA onde se aplican estes pasos que explicamos.





LA

Unidade 9:


Título: Funcións e gráficas


Nos dous primeiros cursos da ESO iniciamos o estudo elemental das funcións, centrándonos na

representación de puntos no plano cartesiano e na lectura dalgúns puntos nunha gráfica, iniciando a

asociación dun enunciado cunha gráfica e introducindo o vocabulario básico das funcións.

Neste curso ampliamos e precisamos o concepto de función coa definición e a terminoloxía propia, e co

estudo e a descrición de gráficas, tanto de forma cualitativa como cuantitativa.

Para iso, estudaranse os aspectos máis relevantes que debemos observar ante unha gráfica: dominio de

definición, percorrido, crecemento e decrecemento, máximos e mínimos, continuidade, periodicidade e

tendencia, presentándoos de forma intuitiva e tratando de chegar a certo nivel de formalización.

Preténdese tamén que o alumnado aprenda a construír e analizar gráficas sinxelas a partir dun enunciado

ou dunha táboa de valores.

A unidade complétase coa idea de expresión analítica dunha función e coa demostración das vantaxes e

algún inconveniente que ten esta forma de definir unha función fronte ás outras.

Ao rematar a unidade, o alumnado debe ter claro que unha función pode darse mediante un enunciado,

unha táboa de valores, unha gráfica ou unha fórmula, e conseguir certa destreza en traballar con calquera

destas expresións e pasar con soltura dunha a outra.

Así mesmo, deben describir unha gráfica con precisión, sinalar os aspectos máis relevantes e utilizar a

terminoloxía adecuada.

Temporalización:

Febreiro: Marzo:


1. Interpretar e construír gráficas que correspondan a contextos coñecidos ou a táboas de datos e manexar

os conceptos e a terminoloxía propios das funcións.

2. Indicar a expresión analítica dunha función moi sinxela a partir dun enunciado.



168


Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Función

- A gráfica como modo de

representar a relación entre

dúas variables (función).

Nomenclatura.

- Conceptos básicos relacionados

coas funcións.

-Variables independente e

dependente.

- Dominio de definición dunha

función.

- Interpretación de funcións

dadas mediante gráficas.

- Asignación de gráficas a

funcións, e viceversa.

- Identificación do dominio de

definición dunha función á

vista da súa gráfica.

Variacións dunha función

- Crecemento e decrecemento

dunha función.

- Máximos e mínimos nunha

función.

- Determinación de crecementos

e decrecementos, máximos e

mínimos, de funcións dadas

mediante as súas gráficas.

Continuidade

- Descontinuidade e continuidade

nunha función.

- Recoñecemento de funcións

continuas e descontinuas.

Tendencia

- Comportamento a longo prazo.

Establecemento da tendencia

dunha función a partir dun

anaco dela.

- Periodicidade. Recoñecemento

daquelas funcións que

presenten periodicidade.

1. Interpretar e construír

gráficas que

correspondan a

contextos coñecidos

polo alumnado ou a

táboas de datos e

manexar os

conceptos e a

terminoloxía propios

das funcións.

1.1. Responde a preguntas

sobre o comportamento

dunha función

observando a súa

gráfica e identifica

aspectos relevantes

desta (dominio,

crecemento, máximos,

etc.).

CCL,

CMCT,

CD,

CEC,

CAA,

SIEP,

CSC

1.2. Asocia enunciados a

gráficas de funcións.

CCL

CMCT

CD

CAA

1.3. Constrúe a gráfica

dunha función a partir

dun enunciado.

CCL

CMCT

CD

CAA

CEC

SIEP

1.4. Constrúe a gráfica

dunha función a partir

dunha táboa de valores.

CMCT,

CD,

CAA,

CEC,

SIEP

2. Indicar a expresión

analítica dunha

función moi sinxela a

partir dun enunciado.

2.1. Indica a expresión

analítica dunha función

moi sinxela a partir dun

enunciado.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA


169

Expresión analítica

- Asignación de expresións

analíticas a diferentes gráficas,

e viceversa.

- Utilización de ecuacións para

describir gráficas e de gráficas

para visualizar a

«información» contida en

enunciados.



1.1.Responde a preguntas sobre o

comportamento dunha función observando

a súa gráfica e identifica aspectos

relevantes desta (dominio, crecemento,

máximos, etc.).

- Actividades do LA para describir e interpretar

gráficas.

1.2. Asocia enunciados a gráficas de funcións. - Actividade do LA para asociar enunciados a

gráficas de funcións.

1.3. Constrúe a gráfica dunha función a partir

dun enunciado.

- Actividade da web para construír a gráfica dunha

función a partir do enunciado.

1.4. Constrúe a gráfica dunha función a partir


- Actividade do LA para construír a gráfica dunha

función a partir dunha táboa de valores.

2.1. Indica a expresión analítica dunha función

moi sinxela a partir dun enunciado.

- Actividade do LA para expresar de forma analítica

unha función a partir do enunciado.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e as funcións e os seus gráficos.


- Explicamos os elementos relevantes que considerar nunha gráfica: variables (eixes), escala e dominio de

definición.

- Comprendemos e estudamos algunhas definicións relevantes para o desenvolvemento do tema como

variable independente, variable dependente, e representación gráfica.


Tarefa 2: Función crecente ou decrecente? Máximos e mínimos relativos.

- A partir de gráficas que recollen variables relacionadas coa vida cotiá explicamos o que é unha función

crecente, decrecente ou que presente tramos crecentes e decrecentes.

- Explicamos os conceptos de máximo e mínimo relativos e identificámolos nalgún exemplo.


Tarefa 3: Cal é a tendencia dunha función? Continuidade e descontinuidades.

- Explicamos a periodicidade dunha función e definimos as funcións periódicas a través dun exemplo. - Explicamos o que son funcións continuas e descontinuas a través de exemplos e gráficas que facilitan a

comprensión. - Realizamos as actividades do LA Tarefa 4: Expresións analíticas dunha función.

- Explicamos o que é a expresión analítica dunha función a partir de desenvolvemento dun exemplo.


170





LA

Unidade 10:


Título: Funcións lineais e cuadráticas


O estudo sistemático das funcións lineais e unha introdución ás funcións cuadráticas completa o bloque de

funcións que se estudará este curso.

Xa se coñecen as rectas dentro do contexto dos sistemas de ecuacións lineais, onde os puntos dunha recta se

miraban como solucións dunha ecuación con dúas incógnitas. Nesta unidade, as rectas son estudadas como

funcións nas que a cada valor de x corresponde un único valor de y.

Debe quedar moi claro o significado e a obtención da pendente dunha recta, tanto se esta vén dada de forma

abstracta pola súa ecuación, na que miramos o coeficiente do x cando o y está despexado, como cando a

recta representa situacións concretas: enunciados de tipo económico (custo), físico (velocidade) ou outros.

A idea de que a pendente representa a variación (aumento ou diminución) de y por unidade de x lévanos a

considerar as rectas como funcións de crecemento ou decrecemento constante. Debe ser automática a

obtención da pendente a partir de dous puntos calquera da recta.

Débese adquirir gran destreza no uso das distintas formas da expresión analítica dunha recta, tanto para

representala a partir da súa ecuación como para obter a súa ecuación a partir da súa representación gráfica,

de dous puntos calquera dela ou da súa pendente e un punto.

Desta forma enriquécese a asociación enunciado-gráfica, que traballamos na unidade anterior, co de

enunciado-expresión analítica e gráfica-expresión analítica cando as funcións son lineais.

Aínda que as funcións cuadráticas se estudarán con profundidade no próximo curso, neste iniciamos o

alumnado no seu manexo e interpretación co fin de ampliar a gama de funcións cuxa expresión analítica

controlan, e para poder tratar analítica e graficamente non só problemas de movementos uniformes, senón

tamén de movementos uniformemente acelerados.

Esta unidade debe servirnos tamén para repasar algunhas das ferramentas aritméticas e alxébricas

adquiridas anteriormente, como, por exemplo, problemas de proporcionalidade directa, tradución da

linguaxe verbal á alxébrica e a resolución de ecuacións de primeiro e segundo grao.

Temporalización:

Marzo


1. Manexar con soltura as funcións lineais, representándoas, interpretándoas e aplicándoas en diversos

contextos.

2. Representar funcións cuadráticas.




171

Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Función de proporcionalidade


responde unha función de

proporcionalidade.

- Ecuación y = mx.


función de proporcionalidade

dada pola súa ecuación.


corresponde á gráfica.

A función y = mx + n


responde.


función

y = mx + n.


corresponde a unha gráfica.

Formas da ecuación dunha recta

- Punto-pendente.

- Que pasa por dous puntos.

- Representación da gráfica a

partir da ecuación, e viceversa.

Resolución de problemas nos

que interveñan funcións lineais

Estudo conxunto de dúas

funcións lineais


as funcións lineais,

representándoas,

interpretándoas e

aplicándoas en

diversos contextos.


lineais a partir da súa

ecuación.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CEC


recta coñecendo un

punto e a súa pendente

ou dous puntos desta.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP


recta observando a súa

gráfica.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP

1.4. Obtén a función lineal

asociada a un

enunciado, analízaa e

represéntaa.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CEC


enunciado mediante o

estudo conxunto de

dúas funcións lineais.

CL,

CMCT,

CAA,

SIEP,

CSC

Función cuadrática


Parábola. Cálculo do vértice,

puntos de corte cos eixes,

puntos próximos ao vértice.

- Resolución de problemas nos

que interveñan ecuacións

cuadráticas.

- Estudo conxunto dunha recta e

dunha parábola.

2. Representar funcións

cuadráticas.


cuadráticas facendo un

estudo completo delas

(vértice, cortes cos

eixes...).

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CEC

2.2. Calcula,

analiticamente e

graficamente, os

puntos de corte entre

unha parábola e unha

recta.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CEC



172


1.1. Representa funcións lineais a partir da súa

ecuación.

- Actividades do LA para describir e interpretar

gráficas.

1.2. Acha a ecuación dunha recta coñecendo un

punto e a súa pendente ou dous puntos desta.

- Actividade do LA para achar a ecuación dunha

recta coñecendo un punto e a súa pendente ou

dous puntos desta.

1.3. Acha a ecuación dunha recta observando a

súa gráfica.

- Actividade da web para achar a ecuación

dunha recta a partir da súa gráfica.

1.4. Obtén a función lineal asociada a un

enunciado, analízaa e represéntaa.

- Actividade do LA para obter, analizar e

representar unha función lineal a partir dun

enunciado.

1.5. Resolve problemas de enunciado mediante o

estudo conxunto de dúas funcións lineais.

- Actividade do LA para resolver problemas a

partir do estudo conxunto de dúas funcións

lineais.

2.1. Representa funcións cuadráticas facendo un

estudo completo delas (vértice, cortes cos

eixes...).

- Actividade do LA para representar funcións

cuadráticas.

2.2. Calcula, analiticamente e graficamente, os

puntos de corte entre unha parábola e unha

recta.

- Actividade do LA para calcular os puntos de

corte entre unha parábola e unha recta.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e función de proporcionalidade y = mx.


- Explicamos a función de proporcionalidade y = mx a partir dos exercicios resoltos do LA. - Realizamos as actividades propostas do LA.

Tarefa 2: Función y = mx + n. - Explicamos a función y = mx + n e a súa representación gráfica.

- Realizamos as actividades do LA Tarefa 3: Ecuación punto-pendente. - Explicamos como se pode expresar a través da ecuación punto-pendente unha función da que coñecemos

un punto e a súa pendente.

- Revisamos os exercicios resoltos do LA. - Realizamos as actividades do LA Tarefa 4: Recta que pasa por dous puntos. - Explicamos como podemos obter a pendente dunha recta coñecendo dous puntos.

- Revisamos os exercicios resoltos do LA. - Realizamos as actividades do LA Tarefa 5: Problemas de movemento.

- Lemos, pensamos e resolvemos os problemas prácticos e resoltos do LA, incidindo en que os enunciados

están inspirados en situacións da vida cotiá, onde os alumnos poden ver a practicidade do estudado. - Realizamos as actividades do LA Tarefa 6: Estudo conxunto de dúas funcións. - Lemos no libro do alumnado os pasos que hai que seguir para resolver os supostos nos que interveñen

dúas funcións a través do exercicio resolto do LA. - Realizamos as actividades do LA Tarefa 7: Parábolas e funcións cuadráticas.


173

- Explicamos as parábolas e as funcións cuadráticas e as súas respectivas representacións gráficas. - Revisamos o exercicio resoltos do LA.

- Realizamos as actividades do LA Tarefa 8: Realizamos as actividades do apartado Exercicios e problemas. - Realizamos o esquema conceptual e o resumo «Practica o aprendido» do LA - Realizamos o conxunto de actividades baixo o título Resolve problemas de «Exercicios e problemas» do

LA

Unidade 11:


Título: Elementos de xeometría plana


Con esta unidade ábrese o bloque de xeometría. Lémbranse e refórzanse conceptos e procedementos xa

coñecidos e inícianse outros:

- Figuras planas. Retómanse, mediante o seu uso en distintos apartados da unidade, algunhas propiedades

de polígonos e circunferencia.

- Ángulos nos polígonos e na circunferencia.

- Semellanza, cun tratamento específico das escalas de planos e mapas e da semellanza de triángulos e o

teorema de Tales.

- Teorema de Pitágoras e as súas aplicacións. Entre estas, destácase a utilización do teorema de Pitágoras

para calcular lonxitudes e distancias nas figuras planas máis usadas.

- A unidade remata cun repaso das áreas e os perímetros de figuras planas.

- A visión xeométrica e o cálculo entrelázanse para mellorar a competencia do alumnado en xeometría.

Temporalización:

Marzo


1. Coñecer as relacións angulares nos polígonos e na circunferencia.

2. Coñecer os conceptos básicos da semellanza e aplicalos á resolución de problemas.

3. Coñecer o teorema de Pitágoras e as súas aplicacións.

4. Calcular áreas e perímetros de figuras planas.



Contidos Criterios


avaliables CC

Ángulos na circunferencia

- Ángulo central e inscrito nunha

circunferencia.

- Obtención de relacións e

medidas angulares baseadas en

1. Coñecer as

relacións

angulares nos

polígonos e na

circunferencia.

1.1. Coñece e aplica as

relacións angulares nos

polígonos.

CMCT,

CD,

CAA

1.2. Coñece e aplica as

relacións dos ángulos

CMCT,

CD,


174

ángulos inscritos.

Semellanza

- Figuras semellantes. Planos e

mapas. Escalas.

- Obtención de medidas na

realidade a partir dun plano ou

un mapa.

- Semellanza de triángulos.

Criterio: igualdade de dous

ángulos.

- Obtención dunha lonxitude nun

triángulo a partir da súa

semellanza con outro.

- Teorema de Tales. Aplicacións.

Teorema de Pitágoras

- Aplicacións.

- Obtención da lonxitude dun lado

dun triángulo rectángulo do que

se coñecen os outros dous.


triángulo (acutángulo,

rectángulo, obtusángulo) a partir

dos ángulos dos seus lados.

- Identificación de triángulos

rectángulos en figuras planas

variadas.

Áreas e perímetros de figuras

planas

- Cálculo de áreas e perímetros de

figuras planas aplicando

fórmulas, con obtención dalgún

dos seus elementos (teorema de

Pitágoras, semellanza...) e

recorrendo, se se necesitase, á

descomposición e a

recomposición.

situados sobre a

circunferencia.

CAA

2. Coñecer os

conceptos básicos

da semellanza e

aplicalos á

resolución de

problemas.


semellantes e utiliza a

razón de semellanza

para resolver problemas.

CMCT,

CD,

CAA,

SEIP

2.2. Coñece o teorema de

Tales e utilízao para

resolver problemas.

CMCT,

CD,

CAA,

SEIP

3. Coñecer o

teorema de

Pitágoras e as

súas aplicacións.


Pitágoras en casos

directos.

CMCT,

CD,

CAA

3.2. Recoñece se un triángulo

é rectángulo, acutángulo

ou obtusángulo

coñecendo os seus lados.

CMCT,

CD,

CAA


perímetros de

figuras planas.

4.1. Calcula áreas e

perímetros de polígonos

sinxelos.

CMCT,

CD,

CAA

4.2. Calcula a área e o

perímetro dalgunhas

figuras curvas.

CMCT,

CD,

CAA

4.3. Calcula áreas de figuras

planas

descompoñéndoas en

polígonos ou curvas

sinxelas.

CMCT,

CD,

CAA,

SEIP



1.1. Coñece e aplica as relacións angulares nos

polígonos.

- Actividades do LA para aplicar as relacións

angulares nos polígonos.

1.2. Coñece e aplica as relacións dos ángulos

situados sobre a circunferencia.

- Actividade do LA para aplicar as relacións

angulares na circunferencia.


175

2.1. Recoñece figuras semellantes e utiliza a

razón de semellanza para resolver

problemas.

- Actividade da web para recoñecer figuras

semellantes e resolver problemas nos que se

utilice a razón de semellanza.

2.2. Coñece o teorema de Tales e utilízao para

resolver problemas.


aplicando o teorema de Tales.

3.1. Aplica o teorema de Pitágoras en casos

directos.


aplicando o teorema de Pitágoras.

3.2. Recoñece se un triángulo é rectángulo,

acutángulo ou obtusángulo coñecendo os

seus lados.

- Actividade do LA para identificar se un triángulo

é rectángulo, acutángulo ou obtusángulo

coñecendo os seus lados.

4.1. Calcula áreas e perímetros de polígonos

sinxelos.

- Actividade do LA para calcular áreas e perímetros

de polígonos sinxelos.

4.2. Calcula a área e o perímetro dalgunhas

figuras curvas.

- Actividade do LA para calcular a área e o

perímetro dalgunhas figuras curvas.

4.3. Calcula áreas de figuras planas

descompoñéndoas en polígonos ou curvas

sinxelas.

- Actividade do LA para calcular áreas de figuras

planas descompoñéndoas en polígonos ou curvas

sinxelas.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e ángulos nas figuras planas.


- Explicamos os ángulos, tanto nos polígonos coma na circunferencia.


Tarefa 2: Figuras semellantes.

- Explicamos as condicións que se deben de cumprir para que dúas figuras sexan semellantes.

- Observámolo e aplicámolo nas figuras representadas no LA.


Tarefa 3: Planos, mapas e escala.

- Explicamos os conceptos de plano, mapa e escala.

- Aplicámolos nos exemplos do LA.


Tarefa 4: Teorema de Tales.

- Explicamos o teorema de Tales e a súa aplicación na resolución de problemas.

- Analizamos os supostos resoltos do LA.


Tarefa 5: Teorema de Pitágoras.

- Explicamos o teorema de Pitágoras e a súa aplicación na resolución de problemas.

- Analizamos os supostos resoltos do LA.


Tarefa 6: Triángulos rectángulos en figuras planas.

- Identificamos triángulos rectángulos en figuras planas.

- Analizamos os exercicios resoltos do LA.


Tarefa 7: Áreas de polígonos.

- Explicamos como se calcula a área dun rectángulo, paralelogramo, rombo, triángulo, triángulo

rectángulo, trapecio e demais polígonos.


Tarefa 8: Áreas e perímetros dalgunhas figuras curvas.


176

- Explicamos como se calcula a área e o perímetro dun sector circular, dun segmento circular, dunha coroa

circular e dunha elipse.





LA

Unidade 12:


Título: Elementos de xeometría plana


Esta unidade dedícase ao tratamento dos corpos xeométricos no espazo: análise, descrición, clasificación,

medición das súas lonxitudes e cálculo de superficies e volumes.

O alumnado xa coñece a nomenclatura dos corpos xeométricos, e traballou ademais cos seus

desenvolvementos. Tamén coñece o concepto de medida do volume, así como as unidades do SMD para a

devandita magnitude. Non obstante, todas estas aprendizaxes están aínda en proceso de construción, sen

que se poidan dar por consolidados.

Non se trata, polo tanto, dunha unidade de repaso, senón de aprendizaxe, consolidación e avance sobre algo

xa iniciado.

Comezaremos revisando o concepto de poliedro, avanzando na análise e nas relacións entre os seus

elementos e lembrando a súa clasificación. Faremos o mesmo cos corpos de revolución. Presentaremos os

poliedros regulares e afondaremos nas súas relacións de dualidade. Realizaremos medicións indirectas de

lonxitudes e superficies, axudándonos dos coñecementos aprendidos en xeometría plana; especialmente,

do teorema de Pitágoras. Formularemos algúns procedementos xerais para o cálculo de volumes. Por

último, aplicaremos algúns dos contidos xeométricos traballados para estudar a esfera terrestre e as

coordenadas xeográficas e as consecuencias que se derivan dos movementos de rotación e translación da

Terra.

Para a aprendizaxe ao longo de toda a unidade, recoméndase a manipulación de modelos e representacións

tanxibles dos corpos xeométricos, a construción e despregamento de desenvolvementos, o debuxo a man

alzada e, en xeral, calquera recurso que apoie a imaxinación espacial e facilite a visualización das figuras

obxecto de estudo.

Temporalización:

Abril


1. Coñecer os poliedros e os corpos de revolución e calcular as súas áreas e os seus volumes.

2. Coñecer e identificar as coordenadas terrestres.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC


177

Poliedros e corpos de

revolución

- Poliedros regulares.

- Propiedades. Características.

Identificación. Descrición.

- Dualidade. Identificación de

poliedros duais. Relacións

entre eles.

Áreas e volumes

- Cálculo de áreas (laterais e

totais) de prismas e

pirámides.

- Cálculo de áreas (laterais e

totais) de cilindros, conos e

esferas.

- Cálculo de áreas e volumes

de figuras espaciais.

- Aplicación do teorema de

Pitágoras para obter

lonxitudes en figuras

espaciais.

Coordenadas xeográficas

- A esfera terrestre.

- Meridianos. Paralelos.

Ecuador. Polos. Hemisferios.

- Coordenadas xeográficas.

- Lonxitude e latitude.

- Fusos horarios.

1. Coñecer os poliedros

e os corpos de

revolución.

1.1. Asocia un

desenvolvemento plano a

un poliedro ou a un corpo

de revolución.

CMCT,

CD,

CAA,

SEIP

1.2. Identifica poliedros duais

doutros e coñece as


CMCT,

CD,

CAA


volumes de figuras

espaciais.

2.1. Calcula áreas de poliedros


CMCT,

CD,

CAA

2.2. Calcula volumes de


revolución.

CMCT,

CD,

CAA

2.3. Calcula áreas e volumes de

figuras espaciais formadas

por poliedros e corpos de

revolución.

CMCT,

CD,

CAA

3. Coñecer e identificar

as coordenadas

xeográficas.

Lonxitude e latitude.

3.1. Identifica as coordenadas

xeográficas a puntos da

esfera terrestre.

CMCT,

CD,

CAA,

SEIP



1.1. Asocia un desenvolvemento plano a un

poliedro ou a un corpo de revolución.

- Actividades do LA para asociar un

desenvolvemento plano a un poliedro ou a un

corpo de revolución.

1.2. Identifica poliedros duais doutros e coñece as


- Actividade do LA para identificar poliedros duais

doutros.

2.1. Calcula áreas de poliedros e corpos de

revolución.

- Actividade do LA para calcular áreas de poliedros


2.2. Calcula volumes de poliedros e corpos de

revolución.

- Actividade da web para calcular volumes de

poliedros e corpos de revolución.


178

2.3. Calcula áreas e volumes de figuras espaciais

formadas por poliedros e corpos de

revolución.

- Actividade do LA para calcular áreas e volumes

de figuras espaciais.

3.1. Identifica as coordenadas xeográficas con

puntos da esfera terrestre.

- Actividade do LA para identificar coordenadas

xeográficas en puntos da esfera terrestre.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e poliedros e corpos de revolución.


- Explicamos os conceptos de poliedro e corpo de revolución.


Tarefa 2: Prismas.

- Explicamos o desenvolvemento e o cálculo da área e do volume dun prisma.

- Analizamos o exercicio resolto do LA.


Tarefa 3: Pirámides.

- Explicamos o desenvolvemento e o cálculo da área e do volume dunha pirámide.



Tarefa 4: Poliedros regulares.

- Explicamos as condicións que se deben cumprir para que unha figura sexa considerada poliedro e

explicamos os poliedros duais.


Tarefa 5: Cilindros.

- Explicamos o desenvolvemento e o cálculo da área e do volume dun cilindro.



Tarefa 6: Conos.

- Explicamos o desenvolvemento e o cálculo da área e do volume dun cono.



Tarefa 7: Esferas.

- Explicamos o cálculo da área e do volume dunha esfera.



Tarefa 8: Coordenadas xeográficas.

- Explicamos os conceptos de lonxitude e latitude.

- Identificamos coordenadas xeográficas en puntos da esfera terrestre.





LA

Unidade 13:


Título: Movementos no plano. Frisos e mosaicos



179

Nesta unidade estúdanse as transformacións xeométricas e analízanse con detalle as transformacións

elementais no plano, así como algunhas das súas composicións máis significativas.

Iníciase a unidade presentando o concepto xeral de transformación e, deseguido, particularízase para as

transformacións nas que nos imos centrar: os movementos no plano, diferenciando movementos directos e

inversos.

Entre os movementos, estudaranse con detalle as translacións, os xiros e as simetrías axiais, observando as

súas características, os elementos que as determinan e os elementos invariantes en cada un. Tamén se

revisarán algunhas composicións entre elas (translación con simetría axial, dúas simetrías axiais, etc.), que

sacarán á luz relacións interesantes que as ligan.

Finalmente, analizaranse algúns mosaicos, orlas e rosetóns, extraídos do ámbito da arquitectura ou do

mundo da arte, que cos novos coñecementos permitirán aos estudantes valorar e apreciar a súa beleza.

Como principio metodolóxico xeral para toda a unidade, proponse que o alumnado constrúa as figuras e as

súas imaxes transformadas, utilizando os instrumentos de debuxo, e que investiguen, a partir deste traballo,

as propiedades das transformacións realizadas.

Temporalización:

Abril Maio


1. Aplicar un ou máis movementos a unha figura xeométrica.

2. Coñecer as características e as propiedades dos distintos movementos e aplicalas á resolución de




Contidos Criterios


avaliables CC

Transformacións xeométricas

- Nomenclatura.

- Identificación de movementos

xeométricos e distinción entre

directos e inversos.

Translacións

- Elementos dobres dunha translación.


interveñen figuras trasladadas e

localización de elementos

invariantes.

Xiros

- Elementos dobres nun xiro.

- Figuras con centro de xiro.

- Localización do «ángulo mínimo» en

figuras con centro de xiro.


interveñen figuras xiradas.

Localización de elementos

1. Aplicar un ou

máis

movementos a

unha figura

xeométrica.



un movemento

concreto.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CEC



a composición de dous

movementos.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP,

CEC

2. Coñecer as

características e

as propiedades

dos distintos

movementos e

aplicalas á

resolución de


dobres en certa

transformación ou

identifica o tipo de

transformación que dá

lugar a certa figura

dobre.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP


180

invariantes.

Simetrías axiais

- Elementos dobres nunha simetría.

- Obtención do resultado de achar o

simétrico dunha figura.

Identificación de elementos dobres

na transformación.

- Figuras con eixe de simetría.

Composición de transformacións

- Translación e simetría axial.

- Dúas simetrías con eixes paralelos.

- Dúas simetrías con eixes

concorrentes.

Mosaicos, orlas e rosetóns

- Significado e relación cos movementos.

- «Motivo mínimo» dunha destas

figuras.

- Identificación de movementos que

deixan invariante un mosaico, un friso

(ou orla) ou un rosetón. Obtención do

«motivo mínimo».

situacións

problemáticas. 2.2. Recoñece a

transformación (ou as

posibles

transformacións) que

levan dunha figura a

outra.

CMCT,

CD,

CAA,

SIEP



1.1. Obtén a transformada dunha figura

mediante un movemento concreto.

- Actividades do LA para obter a transformada

dunha figura mediante un movemento.

1.2. Obtén a transformada dunha figura

mediante a composición de dous

movementos.

- Actividade do LA para obter a transformada

dunha figura mediante a composición de dous

movementos.

2.1. Recoñece figuras dobres en certa

transformación ou identifica o tipo de

transformación que dá lugar a certa figura

dobre.

- Actividade da web para recoñecer figuras dobres

en certa transformación ou identificar o tipo de

transformación que dá lugar a certa figura dobre.

2.2. Recoñece a transformación (ou as posibles

transformacións) que levan dunha figura a

outra.

- Actividade do LA para recoñecer a

transformación que levan dunha figura outra.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución e transformacións xeométricas.


- Explicamos o concepto de transformación xeométrica e os movementos no plano.


Tarefa 2: Translacións.

- Explicamos os vectores e o concepto de translación.


Tarefa 3: Xiros.


181

- Explicamos os xiros a partir dos gráficos do LA.


Tarefa 4: Simetrías axiais.

- Explicamos as simetrías a partir dos gráficos do LA.


Tarefa 5: Composición de movementos.

- Explicamos a composición de movementos a partir dos gráficos do LA.


Tarefa 6: Mosaicos, orlas e rosetóns.

- Explicamos os conceptos de mosaico, orla e rosetón a partir das ilustracións do LA.



- Realizamos o esquema conceptual e o resumo «Practica o aprendido» do


LA

Unidade 14:


Título: Táboas e gráficos estatísticos


A linguaxe estatística (táboas, gráficas, parámetros...) adquiriu no mundo actual grande importancia para

transmitir e interpretar información. Esta é a causa de que, actualmente, a estatística estea presente en todos

os cursos da ESO.

Neste nivel, o alumnado xa coñece as táboas e as gráficas e ten algunhas nocións do proceso que se segue

en estatística. Nesta unidade repásanse os conceptos e os procedementos coñecidos, afóndase neles e

compleméntanse con outros.


Aspectos teóricos:

- Significado de individuo, poboación e mostra. Idea clara do papel que xogan as mostras: conxunto de

individuos con cuxo estudo se pretende obter información aproximada sobre o comportamento de toda a

poboación.

- Variables estatísticas. Tipos e a súa relación co tratamento gráfico que se lles pode dar.

- Idea clara (aínda que sinxela) dos distintos pasos que hai que dar para elaborar unha estatística.


- Distintos tipos de gráficos estatísticos, oportunidade do uso de cada un deles e tipo de información que

achegan.

Temporalización:

Maio


1. Coñecer os conceptos de poboación, mostra, variable estatística e os tipos de variables estatísticas.

2. Confeccionar e interpretar táboas de frecuencias e gráficos estatísticos.

3. Resolver problemas estatísticos sinxelos.




182

Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Poboación e mostra

- Utilización de diversas fontes para

obter información de tipo estatístico.

- Determinación de poboacións e

mostras dentro do contexto do

alumnado.

Variables estatísticas

- Tipos de variables estatísticas.

- Distinción do tipo de variable

(cualitativa ou cuantitativa, discreta

ou continua) que se usa en cada caso.

Tabulación de datos

- Táboa de frecuencias (datos illados

ou acumulados).

- Confección de táboas de frecuencias

a partir dunha masa de datos ou

dunha experiencia realizada polo

alumnado.

- Frecuencias absoluta, relativa,

porcentual e acumulada.

Gráficas estatísticas

- Tipos de gráficos. Adecuación ao tipo

de variable e ao tipo de información:

- Diagramas de barras.

- Histogramas de frecuencias.

- Diagramas de sectores.

- Confección dalgúns tipos de gráficas

estatísticas.

- Interpretación de gráficas estatísticas

de todo tipo.

1. Coñecer os

conceptos de

poboación,

mostra, variable

estatística e os

tipos de

variables

estatísticas.


poboación, mostra,

variable estatística e os

tipos de variables

estatísticas.

CL,

CMCT,

CD

2. Confeccionar e

interpretar

táboas de

frecuencias e

gráficos

estatísticos.

2.1. Elabora táboas de

frecuencias absolutas,

relativas, acumuladas e

de porcentaxes e

represéntaas mediante

un diagrama de barras,

un polígono de

frecuencias, un

histograma ou un

diagrama de sectores.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SEIP,

CEC

2.2. Interpreta táboas e


CL,

CMCT,

CD

3.Resolver

problemas

estatísticos

sinxelos.


estatísticos elaborando

e interpretando táboas e

gráficos.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SEIP,

CSC,

CEC



1.1. Coñece os conceptos de poboación, mostra,

variable estatística e os tipos de variables

estatísticas.

- Actividades do LA para comprender os conceptos

de poboación, mostra, variable estatística e os tipos

de variables estatísticas.


183

2.1. Elabora táboas de frecuencias absolutas,

relativas, acumuladas e de porcentaxes e

represéntaas mediante un diagrama de

barras, un polígono de frecuencias, un

histograma ou un diagrama de sectores.

- Actividade do LA para elaborar táboas e gráficos

estatísticos.

2.2. Interpreta táboas e gráficos estatísticos. - Actividade da web para interpretar táboas e

gráficos estatísticos

3.1. Resolve problemas estatísticos elaborando

e interpretando táboas e gráficos.


estatísticos.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución.


- Facemos unha introdución sobre a utilidade que ten a estatística e como nos chegan as estatísticas hoxe

en día.


Tarefa 2: Poboación, mostra e variables estatísticas.

- Explicamos os conceptos de poboación, mostra e variable estatística e á súa vez distinguimos os diferentes

tipos de variables estatísticas.


Tarefa 3: O proceso que se segue en estatística.

- Explicamos os diferentes pasos que se seguen en estatística incidindo no importante papel da mostra.


Tarefa 4: Confección dunha táboa de frecuencias.

- Explicamos o xeito de confeccionar unha táboa con datos illados, con datos agrupados en intervalos, con

frecuencias relativas e porcentaxes e con frecuencias acumuladas.


Tarefa 5: Gráficos estatísticos.

- Explicamos diferentes gráficos estatísticos, como o diagrama de barras, o histograma de frecuencias,

polígono de frecuencias e diagrama de sectores.





LA.

Unidade 15:


Título: Parámetros estatísticos


De cursos anteriores, o alumnado coñece os parámetros de centralización (media, mediana e moda) e algún

parámetro de dispersión (desviación media, percorrido), e sabe obtelos a partir dun conxunto pouco

numeroso de datos.

Neste curso afóndase na comprensión do significado dos devanditos parámetros xunto coa desviación típica

e o coeficiente de variación, e apréndese a obtelos sistematicamente a partir de táboas de frecuencias.


Aspectos teóricos:


184

- Parámetros estatísticos (media e desviación típica). Significado de cada un deles e idea da súa

interpretación conxunta.

- Coeficiente de variación. A súa necesidade.

- Parámetros de posición. Mediana e cuartís.


- Recoñecemento do papel que xoga a desviación típica sobre un diagrama de barras ou un histograma.

- Representación da mediana e os cuartís nun diagrama de caixa e bigotes.

Obtención de parámetros:

- Cálculo manual, paso a paso, a partir da táboa de frecuencias e coa aplicación das fórmulas

correspondentes.

- Obtención con ambos os dous tipos de calculadora.

Interpretación de parámetros: (𝑥, 𝜎)

- Interpretación dos parámetros obtidos en cada caso concreto. - Interpretación conxunta de ambos os dous parámetros. Coeficiente de variación.

- Cálculo e interpretación das medidas de posición a partir dun conxunto de datos soltos, en táboas ou

mediante un diagrama de barras.

Temporalización:

Xuño


1. Coñecer, calcular e interpretar parámetros estatísticos de centralización e dispersión.

2. Coñecer, calcular, representar en diagramas de caixas e bigotes e interpretar os parámetros estatísticos

de posición: mediana e cuartís.

3. Resolver problemas estatísticos sinxelos utilizando os parámetros estatísticos.



Contidos Criterios


avaliables CC

Parámetros de centralización

e de dispersión

- Medidas de centralización: a

media.

- Medidas de dispersión: a


- Coeficiente de variación.

- Cálculo da media e da

desviación típica a partir


1. Coñecer, calcular e

interpretar

parámetros

estatísticos de

centralización e

dispersión.

1.1. Obtén o valor da media e

da desviación típica a partir

dunha táboa de frecuencias

e interpreta o seu

significado.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SEIP

1.2. Coñece, calcula e interpreta

o coeficiente de variación.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SEIP


185

- Utilización eficaz da

calculadora para a obtención

da media e da desviación

típica.

- Interpretación dos valores da

media e da desviación típica

nunha distribución concreta.

- Obtención e interpretación

do coeficiente de variación.

Parámetros de posición

- Cálculo da mediana e dos

cuartís a partir de datos

soltos ou recollidos en

táboas.

- Elaboración dun diagrama de

caixa e bigotes.

2. Coñecer, calcular,

representar en

diagramas de caixas

e bigotes e

interpretar os

parámetros

estatísticos de

posición: mediana e

cuartís.

2.1. Coñece, calcula, interpreta

e representa en diagramas

de caixa e bigotes a

mediana e os cuartís.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

SEIP,

CEC



utilizando os

parámetros

estatísticos.



utilizando os parámetros

estatísticos.

CL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SEIP



1.1. Obtén o valor da media e da desviación típica

a partir dunha táboa de frecuencias e

interpreta o seu significado.

- Actividades do LA para calcular a media e a

desviación típica a partir dunha táboa de

frecuencias e interpretar o seu significado.

1.2. Coñece, calcula e interpreta o coeficiente de

variación.

- Actividade do LA para calcular e interpretar o


2.1. Coñece, calcula, interpreta e representa en

diagramas de caixa e bigotes a mediana e os

cuartís.

- Actividade da web para calcular, interpretar e

representar a mediana e os cuartís en diagramas

de caixa e bigotes.

3.1. Resolve problemas estatísticos elaborando e

interpretando táboas e gráficos.

- Actividade do LA para solucionar problemas

estatísticos.

5. TAREFAS

Tarefa 1: Introdución.


- Facemos unha introdución que reflicta a utilidade da estatística empregando exemplos próximos aos

alumnos.


Tarefa 2: Parámetros estatísticos.

- Explicamos a utilidade dos parámetros estatísticos e os diferentes tipos de parámetros estatísticos: de

centralización (media, mediana e moda) e de dispersión (percorrido, desviación media, varianza e

desviación típica).


Tarefa 3: Cálculo e interpretación da media e a desviación típica.

- Explicamos o cálculo da media e a desviación típica en táboas de frecuencias e a súa interpretación

conxunta.

- Explicamos o cálculo da media e da desviación típica coa calculadora.



186

Tarefa 4: Parámetros de posición, mediana e cuartís.

- Explicamos o cálculo e a interpretación da mediana e os cuartís e a súa representación nun diagrama de

caixas e bigotes.





LA

CRITERIOS METODOLÓXICOS E ESTRATEXIAS DIDÁCTICAS XERAIS NA ÁREA

Traballar de xeito competencial na aula supón un cambio metodolóxico importante; o docente pasa a ser un

xestor de coñecemento do alumnado e o alumno ou alumna adquire un maior grao de protagonismo.

En concreto, na área de Matemáticas:

Necesitamos adestrar de xeito sistemático os procedementos que conforman os alicerces da materia. Malia

que a finalidade da área é adquirir coñecementos esenciais que se inclúen no currículo básico, o alumnado

deberá desenvolver actitudes conducentes á reflexión e análise das linguaxes matemáticas, as súas vantaxes e

as implicacións na comprensión da realidade. Para iso necesitamos certo grao de adestramento individual e

traballo reflexivo de procedementos básicos da materia.

Nalgúns aspectos da área, sobre todo naqueles que pretenden o uso sistemático de actividades grupais, o

traballo en grupo colaborador achega, ademais do adestramento de habilidades sociais básicas e

enriquecemento persoal desde a diversidade, unha ferramenta perfecta para discutir e afondar en contidos dese

aspecto.

Por outro lado, cada alumno parte dunhas potencialidades que definen as súas intelixencias predominantes,

enriquecer as tarefas con actividades que se desenvolvan desde a teoría das intelixencias múltiples facilita

que todos os alumnos poidan chegar a comprender os contidos que pretendemos adquirir para o


Na área de Matemáticas é indispensable a vinculación a contextos reais, así como xerar posibilidades de

aplicación dos contidos adquiridos. Para iso, as tarefas competenciais facilita este aspecto, que se podería

complementar con proxectos de aplicación dos contidos.



• O libro do alumnado para a área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 3.º.

• A proposta didáctica para Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 3.º.

• Os recursos fotocopiables da proposta didáctica, con actividades de reforzo, de ampliación e de avaliación.

• Os cadernos complementarios ao libro do alumnado.

• O libro dixital.

• A web do profesorado.

• A web do alumnado e da familia.

ATENCIÓN Á DIVERSIDADE 3º ESO

Para atender á diversidade dos alumnos e alumnas de 3º de ESO, tendo en conta o pouco tempo que lle

corresponde ás Matemáticas no currículo actual intentaremos concibir diferentes actividades que se podan

facer fora da aula. Tendo en conta os diferentes niveis de coñecementos estableceremos actividades básicas

de reforzo, e actividades de ampliación e profundización.

Contamos tamén con grupo de alumnos/as que aínda que se atopan no curso cos demais compañeiros/as non

teñen superadas as matemáticas do ciclo anterior. Son estes alumnos/as os que maior atención necesitan, aínda

que o tempo non permita dedicarlles atención na clase.

Por iso faremos unha serie de cadernillos para que intenten superar o nivel anterior, que lles serán entregados

polo profesor ou profesora do curso e devoltos polo alumno para ser corrixidos polo profesor.


187

Sección Bilingüe

Para o curso 2020-2021 continuamos coa sección bilingüe para 3º ESO de Matemáticas en Inglés, aprobada

pola Consellería de Educación, e que ten como

Obxectivos:

Desenvolver os contidos do currículo da materia de Matemáticas, de acordo á programación desta

materia para este curso.

Reforzar a aprendizaxe do inglés a través da incorporación parcial e progresiva desta lingua como

vehículo de comunicación na materia de Matemáticas de 3º da ESO.

Impulsar un modelo educativo cada vez máis coherente co referente europeo, avanzando no uso da

lingua inglesa como vehículo de aprendizaxe xunto á lingua materna.

Facilitar a aprendizaxe da terminoloxía científica en inglés, ademais de en galego e castelán.

Mellorar a comunicación escrita e oral de temas científicos tanto en inglés como en galego, reforzando

as aprendizaxes da lingua inglesa nos diferentes contextos, pois está demostrado que a utilización

frecuente dunha lingua estranxeira desenvolve as capacidades para aprender outras, facilita a

adquisición de novas aprendizaxes, axuda a conceptuar e obriga ao alumnado a reflexionar sobre a

propia lingua.

Dar un paso adiante para que os nosos alumnos poidan estar á altura das esixencias do mundo laboral

ou de estudios superiores cando rematen a súa ensinanza secundaria.

Aumentar a motivación dos alumnos e a súa fluidez na utilización da lingua inglesa.

Fomentar a cooperación entre o alumnado.

Coñecer e valorar positivamente a diversidade lingüística e cultural.

Reforzar a autoestima do alumnado.

Asentar a Sección Bilingüe en 3º da ESO, para ofrecer ós alumnos/as do noso centro unha mellor oferta

educativa.


188

4º ESO

MATEMÁTICAS ORIENTADAS ÁS ENSINANZAS ACADÉMICAS

OBXECTIVOS DA ÁREA

A área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Académicas de 4.º ESO contribuirá a desenvolver nos

alumnos e alumnas as capacidades que lles permitan:

- Resolver problemas utilizando os recursos e as estratexias necesarios para iso, e indicando o proceso seguido

en cada caso.

- Facer predicións utilizando padróns, regularidades e leis matemáticas en distintos contextos matemáticos.

- Xerar variacións nos problemas xa resoltos co fin de afondar neles.

- Realizar procesos de investigación achegando informes de resultados e conclusións.

- Aplicar as matemáticas á vida cotiá.

- Utilizar diferentes estratexias na resolución de problemas da vida cotiá.


- Desenvolver a resiliencia na resolución de situacións novas.

- Afrontar a toma de decisións como un proceso de crecemento persoal e de orientación cara ao futuro, e





- Utilizar de forma adecuada os diferentes tipos de números para resolver problemas da vida cotiá, aplicando


- Traducir eficazmente enunciados de problemas relacionados coa vida cotiá á linguaxe alxébrica.

- Dominar o manexo razoado de polinomios e fraccións alxébricas.

- Utilizar ecuacións, inecuacións e sistemas para resolver problemas matemáticos en contextos da vida real.

- Representar relacións cuantitativas e cualitativas a través de diferentes tipos de funcións e interpretar os

resultados obtidos a partir de táboas, gráficas...

- Coñecer os conceptos básicos da semellanza e aplicalos á resolución de problemas.

- Resolver problemas trigonométricos utilizando as razóns trigonométricas fundamentais e as súas relacións.

- Afondar no coñecemento de configuracións xeométricas sinxelas a través da xeometría analítica plana.

- Analizar e interpretar datos estatísticos extraídos a partir dos diferentes medios de comunicación.

- Utilizar diferentes medios de representación estatística en distribucións unidimensionais.

- Coñecer e utilizar algunhas estratexias combinatorias básicas, e utilizalas para resolver problemas.

- Resolver problemas de probabilidade simple e composta utilizando adecuadamente a lei de Laplace, táboas

de continxencia, diagramas de árbore...


Na área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Académicas incidiremos no adestramento de todas as

competencias de xeito sistemático facendo fincapé nos descritores máis afíns a ela.


189


Esta área posibilita en todos e cada un dos seus aspectos a competencia matemática, a partir do coñecemento


envolve os alumnos e as alumnas como instrumento imprescindible no desenvolvemento do seu pensamento

e compoñente esencial de comprensión.

Así, ademais dos descritores da competencia que se traballan puntualmente nas unidades, destacamos os

seguintes:



a noso arredor e responder preguntas.



- Comprender e interpretar a información presentada en formato gráfico.

- Expresarse con propiedade na linguaxe matemática.


- Resolver problemas seleccionando os datos e as estratexias apropiadas.



Para fomentar o seu desenvolvemento desde a área de Matemáticas débese insistir na incorporación do

esencial da linguaxe matemática á expresión habitual e a adecuada precisión no seu uso. Por outra parte,

trabállase especificamente nos contidos asociados á descrición verbal dos razoamentos e dos procesos.

Destacamos os descritores seguintes: - Comprender o sentido dos textos escritos e orais.



interlocutor...

- Manexar elementos de comunicación non verbal, ou en diferentes rexistros, nas diversas situacións

comunicativas.

- Utilizar os coñecementos sobre a lingua para buscar información e ler textos en calquera situación.

Competencia dixital

A lectura e a creación de gráficas, a organización da información en forma analítica e comparativa, a


tecnolóxicas e outros procesos matemáticos, contribúen ao desenvolvemento desta competencia.

Nesta área traballaremos os seguintes descritores da competencia:

- Seleccionar o uso das distintas fontes segundo a súa fiabilidade.

- Actualizar o uso das novas tecnoloxías para mellorar o traballo e facilitar a vida diaria.

- Aplicar criterios éticos no uso das tecnoloxías.

- Utilizar as distintas canles de comunicación audiovisual para transmitir informacións diversas.


A achega matemática faise presente en multitude de producións artísticas, así como as súas estratexias e

procesos mentais fomentan a conciencia e a expresión cultural das sociedades. Igualmente, o alumnado,

mediante o traballo matemático, poderá comprender diversas manifestacións artísticas sendo capaz de utilizar

os seus coñecementos matemáticos na creación das súas propias obras.


190

Nesta área traballaremos os seguintes descritores: - Valorar a interculturalidade como unha fonte de riqueza persoal e cultural.

- Expresar sentimentos e emocións mediante códigos artísticos.

- Apreciar a beleza das expresións artísticas e as manifestacións de creatividade, e gusto pola estética no

ámbito cotián.



A utilización de estratexias persoais de cálculo e de resolución de problemas facilita compartir estas para

aceptar outros puntos de vista, o que é indispensable á hora de realizar un traballo cooperativo e en equipo.

Recoñecer e valorar as achegas alleas enriquece o estudante.

Adestraremos os seguintes descritores: - Desenvolver a capacidade de diálogo cos demais en situacións de convivencia e traballo e para a resolución

de conflitos.

- Concibir unha escala de valores propia e actuar conforme a ela.

- Involucrarse ou promover accións cun fin social.

- Mostrar dispoñibilidade para a participación activa en ámbitos de participación establecidos.



As estratexias matemáticas como a resolución de problemas, que inclúen a planificación, a xestión do tempo


ao desenvolvemento desta competencia. Esta axuda será maior na medida que se fomenten actitudes de


que vive o alumnado.

Os descritores que adestraremos son: - Asumir as responsabilidades encomendadas e dar conta delas.

- Contaxiar entusiasmo pola tarefa e ter confianza nas posibilidades de alcanzar obxectivos.

- Configurar unha visión de futuro realista e ambiciosa.

- Xerar novas e diverxentes posibilidades desde coñecementos previos dun tema.


- Asumir riscos no desenvolvemento das tarefas ou os proxectos.

- Encontrar posibilidades no ámbito que outros non aprecian.

Aprender a aprender

A autonomía na resolución de problemas en Matemáticas, xunto coa verbalización do proceso de resolución,

axuda á reflexión sobre o aprendido, favorecendo esta competencia.

Para o desenvolvemento da competencia de aprender a aprender cómpre tamén incidir desde a área nos



Traballaremos os seguintes descritores de xeito prioritario: - Xestionar os recursos e as motivacións persoais en favor da aprendizaxe.

- Aplicar estratexias para a mellora do pensamento creativo, crítico, emocional, interdependente...


- Planificar os recursos necesarios e os pasos que se deben realizar no proceso de aprendizaxe.


191

- Seguir os pasos establecidos e tomar decisións sobre os pasos seguintes en función dos resultados

intermedios.





O currículo da área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Académicas agrúpase en varios bloques. Os

contidos, os criterios de avaliación e os estándares de aprendizaxe formúlanse para 4.º de Educación

Secundaria. Na súa redacción, respectarase a numeración dos criterios de avaliación e dos estándares de aprendizaxe tal e





- Planificación do proceso de resolución de problemas.





comprobación e interpretación das solucións no contexto da situación, busca doutras formas de resolución,

etc.

- Proposta de investigacións matemáticas escolares en contextos numéricos, xeométricos, funcionais,



matemáticos.

- Confianza nas propias capacidades para desenvolver actitudes adecuadas e afrontar as dificultades propias


- Utilización de medios tecnolóxicos no proceso de aprendizaxe para:

a) a recollida ordenada e a organización de datos.

b) a elaboración e creación de representacións gráficas de datos numéricos, funcionais ou estatísticos.

c) facilitar a comprensión de propiedades xeométricas ou funcionais e a realización de cálculos de tipo


d) o deseño de simulacións e a elaboración de predicións sobre situacións matemáticas diversas.

e) a elaboración de informes e documentos sobre os procesos levados a cabo e os resultados e conclusións

obtidos.

f ) comunicar e compartir, en ámbitos apropiados, a información e as ideas matemáticas.

BLOQUE 2 Números e álxebra

- Recoñecemento de números que non poden expresarse en forma de fracción.

- Números irracionais.

- Representación de números na recta real. Intervalos.

- Potencias de expoñente enteiro ou fraccionario e radicais sinxelos. Interpretación e uso dos números reais

en diferentes contextos elixindo a notación e a aproximación adecuadas en cada caso.


192

- Potencias de expoñente racional.

- Operacións e propiedades.

- Xerarquía de operacións.

- Cálculo con porcentaxes. Xuro simple e composto.

- Logaritmos. Definición e propiedades.

- Manipulación de expresións alxébricas. Utilización de igualdades notables.

- Introdución ao estudo de polinomios.

- Raíces e factorización.

- Ecuacións de grao superior a dous.

- Fraccións alxébricas. Simplificación e operacións.

- Resolución de problemas cotiáns e doutras áreas de coñecemento mediante ecuacións e sistemas.

- Inecuacións de primeiro e segundo grao. Interpretación gráfica. Resolución de problemas.


- Medidas de ángulos no sistema sesaxesimal e en radiáns.

- Razóns trigonométricas. Relacións entre elas. Relacións métricas nos triángulos.

- Aplicación dos coñecementos xeométricos á resolución de problemas métricos no mundo físico: medida de

lonxitudes, áreas e volumes.

- Iniciación á xeometría analítica no plano: coordenadas; vectores; ecuacións da recta; paralelismo;

perpendicularidade.

- Semellanza. Figuras semellantes. Razón entre lonxitudes, áreas e volumes de corpos semellantes.

- Aplicacións informáticas de xeometría dinámica que faciliten a comprensión de conceptos e propiedades

xeométricas.

BLOQUE 4. Funcións

- Interpretación dun fenómeno descrito mediante un enunciado, táboa, gráfica ou expresión analítica. Análise

de resultados.

- A taxa de variación media como medida da variación dunha función nun intervalo.

- Recoñecemento doutros modelos funcionais: aplicacións a contextos e situacións reais.


- Introdución á combinatoria: combinacións, variacións e permutacións.

- Cálculo de probabilidades mediante a regra de Laplace e outras técnicas de reconto.

- Probabilidade simple e composta. Sucesos dependentes e independentes.

- Experiencias aleatorias compostas. Utilización de táboas de continxencia e diagramas de árbore para a

asignación de probabilidades.

- Probabilidade condicionada.

- Utilización do vocabulario adecuado para describir e cuantificar situacións relacionadas co azar e a

estatística.

- Identificación das fases e as tarefas dun estudo estatístico.

- Gráficas estatísticas: distintos tipos de gráficas. Análise crítica de táboas e gráficas estatísticas nos medios

de comunicación. Detección de falacias.

- Medidas de centralización e dispersión: interpretación, análise e utilización.

- Comparación de distribucións mediante o uso conxunto de medidas de posición e dispersión.

- Construción e interpretación de diagramas de dispersión. Introdución á correlación.


193

Temporalización 4ºESO- Matemáticas orientadas as ensinanzas académicas


CONTIDOS

CORRESPONDENCIA COAS

LECCIÓNS DOLIBR O DE

TEXTO

PRIMEIRO

Números Reais

Polinomios e fraccións alxébricas

Ecuacións, inecuacións e sistemas

1

2

3

SEGUNDO

Funcións. Características

Funcións elementais

Semellanza. Trigonometría

Xeometría analítica

4

5

6 e 7

8

TERCEIRO

Estatística

Distribucións bidimensionais Combinatoria e Probabilidade

9

10

11 e 12


Unidade 1:


Título: Números reais


O estudo dos números irracionais ten interese teórico e é fundamental para a totalidade dos estudantes. O

mesmo lle acontece á recta real como ámbito numérico, que contén a totalidade dos números que se utilizan.

O manexo dos radicais, manualmente e con calculadora, é básico para os estudantes deste curso. Non obstante,

cremos que poden darse diferentes niveis de destreza segundo as aptitudes e a proxección académica dos

distintos estudantes.

Os números reais, a pesar do seu nome, desempeñan un papel máis teórico que práctico. Nas aplicacións dos

números á realidade, abonda con utilizar unhas poucas cifras decimais.

Ademais das definicións habituais, relaciónase o erro (absoluto ou relativo) coas cifras significativas que se

utilizan. O estudo da notación científica completa a visión do apartado anterior.

Tense un primeiro contacto cos logaritmos: a súa definición e algunhas propiedades para comprender o uso

que se fai deles e a súa presenza nas calculadoras.

Temporalización

Setembro Outubro


Coñecer os distintos conxuntos numéricos que configuran o conxunto dos números reais e dominar os

conceptos e os procedementos cos que se manexan (decimais, notación científica, radicais, logaritmos).



Contidos Criterios


avaliables CC


194

Números decimais

- Expresión decimal dos números

aproximados. Cifras

significativas.

- Redondeo de números.

- Asignación dun número de cifras

acorde coa precisión dos cálculos

e co que estea a expresar.

- Erro absoluto e erro relativo.

- Cálculo dunha cota do erro

absoluto e do erro relativo

cometidos.

- Relación entre erro relativo e o

número de cifras significativas

utilizadas. A notación científica

- Lectura e escritura de números en

notación científica. - Manexo da calculadora para a

notación científica. Números non racionais.

Expresión decimal

- Recoñecemento dalgúns

irracionais. Xustificación da

irracionalidade de 2 3,

Os números reais. A recta real

- Representación exacta ou

aproximada de distintos tipos de

números sobre R.

- Intervalos e semirrectas.

Nomenclatura.

Raíz n-ésima dun número.

Radicais

- Propiedades.

- Expresión de raíces en forma

exponencial, e viceversa.

- Utilización da calculadora para

obter potencias e raíces calquera.

- Propiedades dos radicais.

Simplificación. Racionalización

de denominadores.

Noción de logaritmo

- Cálculo de logaritmos a partir da

súa definición.

1. Manexar con destreza a

expresión decimal dun

número e a notación

científica e facer

aproximacións, así

como coñecer e

controlar os erros

cometidos.

1.1. Domina a expresión decimal dun

número ou dunha cantidade e

calcula ou acouta os erros absoluto

e relativo nunha aproximación.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC

1.2. Realiza operacións con cantidades

dadas en notación científica e

controla os erros cometidos (sen

calculadora).

1.3. Usa a calculadora para anotar e

operar con cantidades dadas en

notación científica, e controla os

erros cometidos.


reais, os distintos

conxuntos de números e

os intervalos sobre a

recta real.

2.1. Clasifica números de distintos

tipos.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSIEE,

CCEC

2.2. Coñece e utiliza as distintas

notacións para os intervalos e a súa



raíz dun número, así

como as propiedades

das raíces, e aplicalos

na operatoria con

radicais.

3.1. Utiliza a calculadora para o cálculo

numérico con potencias e raíces. CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CCEC

3.2. Interpreta e simplifica radicais.

3.3. Opera con radicais.

3.4. Racionaliza denominadores.

4. Manexar expresións

irracionais na

resolución de

problemas.

4.1. Manexa con destreza expresións

irracionais que xurdan na


CCL,

CMCT,

CAA,

CSIEE

5. Coñecer a definición de

logaritmo e relacionala

coas potencias e as súas

propiedades.

5.1. Calcula logaritmos a partir da

definición e das propiedades das

potencias.

4. SELECCIÓN DE EVIDENCIAS PARA CONSEGUIR OS ESTANDARES




O cadro seguinte suxire unha selección dalgunhas destas posibles evidencias. Os docentes poderán

substituílas por outras que consideren máis relevantes para o desenvolvemento do seu grupo.


195


1.1. Domina a expresión decimal dun número ou unha

cantidade e calcula ou acouta os erros absoluto e relativo

nunha aproximación.

- Actividades de RF sobre expresións decimais e

cálculo dos erros absoluto e relativo cometidos ao

facer unha aproximación.

1.2. Realiza operacións con cantidades dadas en notación

científica e controla os erros cometidos (sen

calculadora).

- Actividades do LA para operar en notación

científica.

- Exercicios do LA para calcular o erro.

1.3. Usa a calculadora para anotar e operar con cantidades

dadas en notación científica, e controla os erros

cometidos.

- Actividades do LA para utilizar notación científica.

- Exercicios do LA para calcular os erros absoluto e

relativo cometidos ao facer unha aproximación.

2.1. Clasifica números de distintos tipos. - Actividades do LA para recoñecer os distintos tipos

de números.

2.2. Coñece e utiliza as distintas notacións para os intervalos

e a súa representación gráfica.

- Actividade do LA para comparar, clasificar e

representar números, intervalos e semirrectas

(páxina 17).

3.1. Utiliza a calculadora para o cálculo numérico con

potencias e raíces.

- Actividades da web e do LA para o cálculo de

potencias e raíces con calculadora.

3.2. Interpreta e simplifica radicais. - Exercicios da páxina 20 do LA.

3.3. Opera con radicais. - Exercicios de aplicación do libro (páxina 20).

3.4. Racionaliza denominadores. - Exercicio de racionalización de denominadores da

páxina 21 do LA.

4.1. Manexa con destreza expresións irracionais que xurdan

na resolución de problemas.

- Exercicios da sección «Resolve problemas» do LA.

5.1. Calcula logaritmos a partir da definición e das

propiedades das potencias.

- Actividades de logaritmos do LA (páxinas 26 e 30).

5. TAREFAS

Tarefa 0: Coñecemos os números reais

- Lemos os textos propostos e extraemos as ideas principais destes.


Tarefa 1: Números irracionais. - Presentamos os exemplos de números irracionais do LA.

- Investigamos na web algúns datos e curiosidades sobre números irracionais.


Tarefa 2: Números reais: a recta real.

- Lembramos como se representan números sobre unha recta e aplicamos os coñecementos previos á

representación de todos os números reais.

- Aplicamos algún teorema coñecido á representación de números reais.

- Aplicamos os coñecementos para realizar as actividades do LA


Tarefa 3:Tramos na recta real: intervalos e semirrectas.

- Lembramos os conceptos de intervalo e semirrecta, así como os distintos tipos de intervalos e representámolos

graficamente.


Tarefa 4: Raíces e radicais.


196

- Repasamos o concepto de radical.

- Comparamos a forma de expresar un radical coa súa correspondente expresión exponencial e aplicamos ambas

as dúas formas á resolución dos exercicios do LA.

- Aprendemos a racionalizar denominadores e realizamos as actividades do LA.

- Reforzamos as operacións con radicais cos exercicios da web.


Tarefa 5: Números aproximados. Erros. Notación científica.

- Comprendemos e diferenciamos os conceptos de erro absoluto e erro relativo, así como a súa relación coas

cifras significativas dun número.

- Analizamos os exemplos do LA e contrastámolos coa teoría.

- Entendemos a notación científica.

- Realizamos as actividades propostas no LA

Tarefa 6: Logaritmos. - Comprendemos o concepto de logaritmo.

- Analizamos as propiedades dos logaritmos.

- Seguimos, paso a paso, os exercicios resoltos.

Tarefa 7: Exercicios e problemas. - Traballamos de forma cooperativa algúns «Exercicios e problemas resoltos» do LA (por exemplo, utilizando

a estrutura Think pair share).

- Realizamos unha selección de actividades da sección «Exercicios e problemas» do LA.

Tarefa 8: Taller de Matemáticas.



Unidade 2.


Título: Polinomios e fraccións alxébricas


Neste curso afóndase na álxebra aprendida no terceiro curso. Nesta unidade, os estudantes retoman os

polinomios, a súa nomenclatura e as súas operacións. O cociente de polinomios enriquécese coa regra de

Ruffini, de grande interese práctico.

O fundamental desta unidade é o estudo teórico e práctico da divisibilidade de polinomios:

- A regra de Ruffini permítenos comprobar con facilidade se un binomio de primeiro grao, x – a, é ou non

divisor dun polinomio e achéganos o cociente e, se é caso, o resto. - A identificación de polinomios irredutibles e a súa similitude cos números primos.

- O cálculo do máximo común divisor e do mínimo común múltiplo de dous polinomios.

- E a aplicación da divisibilidade de polinomios á simplificación de fraccións alxébricas e á redución a común

denominador para sumalas.

Polo menos os mellores estudantes deberían reflexionar sobre o paralelismo entre a divisibilidade de

polinomios e a numérica.

Temporalización

Outubro


- Dominar o manexo razoado de polinomios e fraccións alxébricas, resaltando na divisibilidade dos

primeiros e na súa descomposición en factores.



Contidos Criterios


avaliables CC


197

Polinomios

- Terminoloxía básica para o estudo de

polinomios.

Operacións con monomios e

polinomios

- Suma, resta e multiplicación.

- División de polinomios. División

enteira e división exacta.

- Técnica para a división de

polinomios.

- División dun polinomio por x‒a.

Valor dun polinomio para x‒a.

Teorema do resto.

- Utilización da regra de Ruffini para

dividir un polinomio por x‒a e para

obter o valor dun polinomio cando x

vale a. Factorización de polinomios

- Factorización de polinomios. Raíces.

- Aplicación reiterada da regra de

Ruffini para factorizar un

polinomio, localizando as raíces

enteiras entre os divisores do termo

independente.

Divisibilidade de polinomios

- Divisibilidade de polinomios.

Polinomios irredutibles,

descomposición factorial, máximo

común divisor e mínimo común

múltiplo.

- Máximo común divisor e mínimo

común múltiplo de polinomios.


- Fraccións alxébricas.

Simplificación. Fraccións

equivalentes.

- Obtención de fraccións alxébricas

equivalentes a outras dadas con

igual denominador, por redución a

común denominador.

- Operacións (suma, resta,

multiplicación e división) de

fraccións alxébricas.

1. Manexar con destreza

a expresión decimal

dun número e a

notación científica e

facer aproximacións,

así como coñecer e

controlar os erros

cometidos.

1.1. Realiza sumas, restas e

multiplicacións de polinomios.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

1.2. Divide polinomios e pode utilizar

a regra de Ruffini se é oportuno.

1.3. Resolve problemas utilizando o

teorema do resto.

1.4. Factoriza un polinomio con varias

raíces enteiras.

2. Dominar o manexo

das fraccións

alxébricas e as súas

operacións.

2.1. Simplifica fraccións alxébricas. CCL,

CMCT,

CD,

CSIEE 2.2. Opera con fraccións alxébricas.

3. Traducir enunciados á

linguaxe alxébrica.

3.1. Expresa alxebricamente un

enunciado que dea lugar a un

polinomio ou a unha fracción

alxébrica.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC

4. SELECCIÓN DE EVIDENCIAS




O cadro seguinte suxire unha selección dalgunhas destas posibles evidencias. Os docentes poderán substituílas


198

por outras que consideren máis relevantes para o desenvolvemento do seu grupo.


1.1. Realiza sumas, restas e multiplicacións de polinomios. - Actividades de operacións con polinomios da

páxina 49 do LA.

1.2. Divide polinomios e podendo utilizar a regra de Ruffini

se é oportuno.

- Actividades de aplicación da regra de Ruffini das

páxinas 38 e 49 do LA.

1.3. Resolve problemas utilizando o teorema do resto. - Problemas de aplicación do teorema do resto das


1.4. Factoriza un polinomio con varias raíces enteiras. - Exercicios e problemas de factorización de

polinomios do LA (páxinas 45 e 50).

2.1. Simplifica fraccións alxébricas. - Actividades do LA para simplificar fraccións

alxébricas (páxinas 46, 50 e 51).

2.2. Opera con fraccións alxébricas. - Actividades do LA para operar con fraccións

alxébricas (páxinas 47 e 51).

3.1. Expresa alxebricamente un enunciado que dea lugar a

un polinomio ou a unha fracción alxébrica.

- Problemas do LA e reflexión sobre a teoría para

traducir enunciados a operacións con polinomios

(páxina 53).

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución polinomios e fraccións alxébricas.

- Lemos os textos utilizando estratexias de traballo cooperativo como a «Lectura compartida» e extraemos deles

ideas e preguntas.


- Poñemos en común coñecementos previos de álxebra en xeral, e de monomios e polinomios en particular.

Tarefa 1: Polinomios. Operacións.

- Repasamos a terminoloxía básica sobre polinomios.

- Lembramos as operacións básicas con polinomios.

- Realizamos operacións con polinomios combinando o traballo individual, o cooperativo e a resolución de

dúbidas en posta en común.


Tarefa 2: Regra de Ruffini.

- Lembramos, mediante a resolución de exercicios e de forma cooperativa, os coñecementos sobre a regra de

Ruffini.

- Aprendemos quen foi Paolo Ruffini e a importancia das súas achegas ás Matemáticas.

- Relacionamos a división de polinomios co valor numérico dun polinomio mediante o teorema do resto.


- Analizamos de forma conxunta os exercicios resoltos no LA.


Tarefa 3: Raíz dun polinomio. Busca de raíces.

- Definimos a raíz dun polinomio.

- Explicamos os criterios para buscar as raíces dun polinomio.

- Describimos os pasos para coñecer as raíces dun polinomio.


Tarefa 4: Factorización de polinomios.

- Lembramos que é factorizar un número e o relacionámolo coa factorización de polinomios.

- Describimos os pasos necesarios para factorizar un polinomio e aplicámolo a exemplos.


Tarefa 5: Divisibilidade de polinomios.


199

- Relacionamos os conceptos de múltiplo e divisor dun polinomio cos conceptos de múltiplo e divisor dun

número.

- Comprendemos que é un polinomio irredutible.

- Traballamos con exercicios o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo de dous polinomios.


Tarefa 6: Fraccións alxébricas.

- Lembramos o concepto de fracción alxébrica.

- Aplicamos os coñecementos de factorización de polinomios á simplificación de fraccións alxébricas e a

obtención de fraccións irredutibles.

- Relacionamos as fraccións alxébricas equivalentes coas fraccións equivalentes numéricas.

- Comparamos o procedemento de redución de fraccións alxébricas a común denominador co aplicado para

fraccións numéricas.

- Analizamos as operacións con fraccións alxébricas cos exercicios resoltos.



- Analizamos de forma cooperativa algúns «Exercicios e problemas resoltos» do LA (por exemplo, utilizando

a estrutura «Lapis ao centro») e formulamos á clase as dúbidas que xurdan.


- Realizamos un esquema conceptual e un resumo.




Unidade 3:


Título: Ecuacións, inecuacións e sistemas Descrición da unidade

En cursos anteriores, os estudantes aprenderon e practicaron tanto ecuacións de primeiro e de segundo grao

como sistemas lineais. Na súa maioría, deberon adquirir unha boa base, tanto nos aspectos conceptuais como

procedementais. Neste curso, non obstante, convén reforzar eses coñecementos, cos que a súa aplicación a

métodos máis complexos poderá realizarse de forma case imperceptible.

Nas páxinas iniciais revísase o concepto de ecuación, fundamentalmente mediante a resolución de ecuacións

por tenteo. Debemos resaltar o enorme interese que ten que os estudantes resolvan por tenteo (mentalmente

ou coa axuda da calculadora) ecuacións de diversos tipos: refórzase a idea de ecuación e de solución (pois no

tenteo se busca explicitamente un número que verifique a igualdade); desvincúlase a resolución de ecuacións

da aplicación de algoritmos pechados (pois en cada ecuación o tenteo se pode realizar de forma distinta); e,

fundamentalmente, confírelle ao estudante que a practica con frecuencia a convicción de que pode afrontar

calquera ecuación, por estraña que sexa, de maneira que acadará a súa solución de forma exacta ou

aproximada.

O repaso da resolución de ecuacións de segundo grao abre o camiño a ecuacións doutros tipos: bicadradas,

coa incógnita no denominador, con radicais cuadráticos...

O mesmo cabe dicir dos sistemas: sabendo en que consiste un sistema de ecuacións e dominando a resolución

de ecuacións diversas, pódense afrontar ecuacións de tipos similares. O alumnado debe poñer atención á

multiplicidade de solucións que aparecen e á validez (ou non) de cada unha delas.

Complétase a unidade coa presentación e a resolución (gráfica e alxébrica) de inecuacións e sistemas de

inecuacións cunha incógnita.

Temporalización

Novembro


200


- Interpretar e resolver con destreza ecuacións de diversos tipos, sistemas de ecuacións lineais con dúas

incógnitas e inecuacións cunha incógnita. Aplicar estas destrezas á resolución de problemas.



Contidos Criterios


avaliables CC

Ecuacións

- Ecuacións de segundo grao completas

e incompletas. Resolución.

- Ecuacións bicadradas. Resolución. - Ecuacións co x no denominador.

Resolución.

- Ecuacións con radicais. Resolución.


- Resolución de sistemas de ecuacións

mediante os métodos de substitución,

igualación e redución.

- Sistemas de primeiro grao. - Sistemas de segundo grao.

- Sistemas con radicais. -Sistemas con variables no

denominador.

I Inecuacións

- Inecuacións cunha incógnita.

- Resolución alxébrica e gráfica.

Interpretación das solucións dunha

inecuación. Sistemas de inecuacións


inecuacións. - Representación das solucións de

inecuacións por medio de intervalos. Resolución de problemas

- Resolución de problemas por

procedementos alxébricos.

1. Resolver con destreza

ecuacións de distintos

tipos e aplicalas á

resolución de

problemas.


grao e bicadradas.

CCL,

CMCT,

CD,

CSIEE,

CCEC

1.2. Resolve ecuacións con radicais e

ecuacións coa incógnita no

denominador.

1.3. Recoñece a factorización como

recurso para resolver ecuacións.

1.4. Formula e resolve problemas


2. Resolver con destreza

sistemas de ecuacións

e aplicalos á

resolución de

problemas.

2.1. Resolve sistemas de ecuacións

lineais. CCL,

CMCT,

CAA,

CSC

2.2. Resolve sistemas de ecuacións

non lineais.



3. Interpretar e resolver

inecuacións e

sistemas de

inecuacións cunha

incógnita.

3.1. Resolve e interpreta

graficamente inecuacións e

sistemas de inecuacións lineais

cunha incógnita. CCL,

CMCT,

CSIEE,

CCEC

3.2. Resolve e interpreta inecuacións

non lineais cunha incógnita.


mediante inecuacións ou

sistemas de inecuacións.








1.1. Resolve ecuacións de segundo grao e bicadradas. - Actividades do LA para resolver ecuacións de

segundo grao e bicadradas, das páxinas 58, 59 e 71.


201

1.2. Resolve ecuacións con radicais e ecuacións coa

incógnita no denominador.

- Actividades de resolución de ecuacións con

radicais, das páxinas 60 e 71.

1.3. Recoñece a factorización como recurso para resolver

ecuacións.

- Actividades de ecuacións para resolver por

factorización das páxinas 62 e 71 do LA.

1.4. Formula e resolve problemas mediante ecuacións. - Problemas do LA (páxinas 73 e 74).

2.1. Resolve sistemas de ecuacións lineais. - Actividades para resolver sistemas de ecuacións

lineais, da páxina 63 do LA.

2.2. Resolve sistemas de ecuacións non lineais. - Actividades para resolver sistemas de ecuacións

non lineais, das páxinas 64 e 65 do LA.

2.3. Formula e resolve problemas mediante sistemas de

ecuacións.

- Problemas do LA (páxinas 73 e 74).

3.1. Resolve e interpreta graficamente inecuacións e

sistemas de inecuacións lineais cunha incógnita.

- Actividades para resolver alxébrica e graficamente

inecuacións e sistemas de inecuacións, das páxinas

67 e 69 do LA.

3.2. Resolve e interpreta inecuacións non lineais cunha

incógnita.

- Actividades da páxina 69 do LA para resolver

inecuacións non lineais.

3.3. Formula e resolve problemas mediante inecuacións ou

sistemas de inecuacións.

- Problemas do LA (páxina 74).

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo de ecuacións, inecuacións e sistemas.

- Lemos os textos utilizando estratexias de traballo cooperativo como a «O padrón roto» e extraemos deles ideas

e preguntas.

- Resolvemos as cuestións formuladas no LA para reforzar os contidos históricos propostos.

- Poñemos en común coñecementos previos de ecuacións.

Tarefa 1: Ecuacións.

- Repasamos a metodoloxía para resolver ecuacións de segundo grao co libro e coas propostas da web.

- Aplicamos o método aprendido para resolver ecuacións bicadradas.

- Comprendemos como se resolven ecuacións coa incógnita no denominador, relacionándoo coas fraccións

alxébricas do tema anterior.

- Analizamos os exercicios resoltos de ecuacións con radicais e deducimos o mecanismo para resolvelas.

- Deducimos como se resolven ecuacións exponenciais e logarítmicas a partir da análise dos exercicios resoltos.

- Explicamos como se poden resolver algunhas ecuacións por medio da factorización.

- Reforzamos o aprendido coas actividades propostas na web.


Tarefa 2: Sistemas de ecuacións lineais.

- Lembramos que son os sistemas de ecuacións e os métodos para resolvelos.




Tarefa 3: Sistemas de ecuacións non lineais.

- Aplicamos os coñecementos adquiridos para resolver sistemas de ecuacións lineais aos sistemas de ecuacións

non lineais.




Tarefa 4: Inecuacións cunha incógnita.


202

- Traballamos en parellas a explicación do que é unha inecuación. Explicámolo e formulamos as dúbidas á

clase.

- Observamos e analizamos as gráficas do LA.

- Discutimos en grupo como se resolve graficamente unha inecuación.

- Comparamos e relacionamos a solución gráfica dunha inecuación coa súa solución alxébrica.

- Comprendemos que significa resolver un sistema de inecuacións e analizamos, como exemplo, o exercicio

resolto do LA.




- Analizamos de forma cooperativa algúns «Exercicios e problemas resoltos» do LA (por exemplo, utilizando

a estrutura «Lapis ao centro») e formulamos á clase as dúbidas que xurdan.


Tarefa 6: Taller de Matemáticas



Unidade 4:


Título: Funcións. Características Descrición da unidade

Neste curso, os estudantes traen unha bagaxe bastante completa do concepto de función, as distintas formas

en que se nos presentan, os aspectos máis relevantes destas, os útiles para ser analizadas (crecemento, máximos

e mínimos, descontinuidades, etc.), así como algunhas destrezas para a interpretación de funcións dadas

mediante as súas gráficas. Polo tanto, esta primeira unidade do bloque de funcións debe ser considerada, case

integramente, como repaso.

Adoita ser necesario vixiar que o alumnado separe a idea de función da de «expresión analítica». Por iso se

comeza lembrando a unidade que as funcións poden vir dadas, ademais de pola súa expresión analítica (unha

«fórmula»), por un enunciado, unha gráfica ou unha táboa de valores.

A expresión analítica é a máis precisa. A gráfica é a máis clara. Por iso, neste curso comézase, e nos próximos

abundarase niso, a transformar en gráfica as funcións dadas mediante expresións analíticas.

É conveniente que os estudantes reforcen o concepto de función (apartado 1), así como algunhas das súas

características máis relevantes (epígrafes 3, 4, 5 e 6). Todo iso, dentro do posible, tratado sobre funcións

extraídas do mundo real.

Préstase unha especial atención á taxa de variación media como medida do crecemento dunha función nun

intervalo. E relaciónase explicitamente coa velocidade media nunha función tempo → distancia percorrida.

Temporalización

Novembro Decembro


- Dominar o concepto de función, coñecer as características máis relevantes e as distintas formas de expresar

as funcións.



Contidos Criterios


avaliables CC


203

Concepto de función

- Distintas formas de presentar

unha función: representación

gráfica, táboa de valores e

expresión analítica ou fórmula.

- Relación de expresións gráficas e

analíticas de funcións.

Dominio de definición


función. Restricións ao dominio

dunha función.

- Cálculo do dominio de definición

de diversas funcións.

Descontinuidade e continuidade

- Descontinuidade e continuidade

dunha función. Razóns polas que

unha función pode ser

descontinua.

- Construción de descontinuidades.

Crecemento

- Crecemento, decrecemento,

máximos e mínimos.

- Recoñecemento de máximos e

mínimos.

Taxa de variación media

- Taxa de variación media dunha

función nun intervalo.

- Obtención sobre a representación

gráfica e a partir da expresión

analítica.

- Significado da T.V.M. nunha

función espazo-tempo.

Tendencias e periodicidade

- Recoñecemento de tendencias e

periodicidades.

1. Dominar o concepto

de función, coñecer as

características máis

relevantes e as

distintas formas de

expresar as funcións.

1.1. Dada unha función representada

pola súa gráfica, estuda as súas

características máis relevantes

(dominio de definición, percorrido,

crecemento e decrecemento,

máximos e mínimos,

continuidade...).

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

CSIEE,

CCEC

1.2. Representa unha función da que se

dan algunhas características

especialmente relevantes.

1.3. Asocia un enunciado cunha gráfica.

1.4. Representa unha función dada pola

súa expresión analítica obtendo,

previamente, unha táboa de

valores.

1.5. Acha a T.V.M. nun intervalo dunha

función dada graficamente, ou ben

dada mediante a súa expresión

analítica.

1.6. Responde preguntas concretas

relacionadas con continuidade,

tendencia, periodicidade,

crecemento... dunha función.








1.1. Dada unha función representada pola súa gráfica,

estuda as súas características máis relevantes

(dominio de definición, percorrido, crecemento e

decrecemento, máximos e mínimos, continuidade...).

- Actividades do LA e dos RF para estudar as

características dunha función. Por exemplo,

exercicios da páxina 82.

1.2. Representa unha función da que se dan algunhas

características especialmente relevantes.

- Actividades para representar funcións do LA e

dos recursos web.


204

1.3. Asocia un enunciado cunha gráfica. - Actividades de relación entre enunciado e gráfica

da páxina 96 do LA. Actividades da web.

1.4. Representa unha función dada pola súa expresión

analítica obtendo, previamente, unha táboa de

valores.

- Actividades para representar gráficas a partir

dunha táboa, do LA (páxina 94) e dos RF.

1.5. Acha a T.V.M. nun intervalo dunha función dada

graficamente, ou ben dada mediante a súa expresión

analítica.

- Actividades do LA e recursos dixitais para achar

a T.V.M. dunha función nun intervalo.

1.6. Responde a preguntas concretas relacionadas con

continuidade, tendencia, periodicidade,


- Preguntas sobre características concretas dunha

función, das páxinas 95 e 96 do LA.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo de funcións

- Lemos os textos utilizando estratexias de traballo cooperativo, como a «A lectura compartida», e extraemos

deles ideas e preguntas.

- Realizamos a actividade proposta para comprender o desenvolvemento do pensamento matemático na historia

e a utilidade das gráficas para o método científico.

- Poñemos en común coñecementos previos de ecuacións.

Tarefa 1: Conceptos básicos de funcións

- Repasamos o concepto de función e os elementos que a definen.

- Aplicamos estes conceptos a algúns exemplos de situacións cotiás, científicas ou sociais.

- Resumimos nun mapa mental as maneiras en que se pode presentar unha función: gráfica, enunciado, táboa

de valores ou fórmula. Achegamos imaxes e exemplos.


Tarefa 2: Como se presentan as funcións

- Analizamos de forma conxunta o exercicio resolto no LA.



Tarefa 3: Dominio de definición

- Lemos en parellas o texto do LA e explicámolo mutuamente.

- Analizamos de forma conxunta o exercicio resolto do LA.

- Buscamos exemplos de funcións con distintos dominios.


Tarefa 4: Funcións continuas. Descontinuidades

- Describimos as gráficas que se presentan no LA e deducimos o concepto de continuidade dunha función a

partir delas.

- Analizamos os exemplos propostos e pensamos máis exemplos de funcións descontinuas.


Tarefa 5: Crecemento, máximos e mínimos

- Describimos as gráficas que se presentan no LA e deducimos os conceptos traballados a partir delas.

- Analizamos o exercicio resolto e pensamos en exemplos de funcións crecentes, decrecentes...


Tarefa 6: Tendencia e periodicidade

- Analizamos os dous primeiros exercicios resoltos no LA e propoñemos exemplos de funcións con algunha

tendencia clara.

- Analizamos o terceiro exercicio resolto no LA e buscamos exemplos de funcións periódicas.

- Lemos os exercicios propostos e compartimos cun compañeiro ou cunha compañeira as dúbidas que se nos

formulan.



205


- Analizamos de forma cooperativa unha selección dos «Exercicios e problemas resoltos» do LA (por exemplo,

utilizando a estrutura «1-2-4») e formulamos á clase as dúbidas que xurdan.





Unidade 5:


Título: Funcións elementais Descrición da unidade

O curso vindeiro, en Bacharelato, o alumnado deberá comezar a representar funcións «facendo preguntas á

súa expresión analítica» (cales son os seus puntos singulares, cales son as súas ramas infinitas...?). Para iso

necesitará unha forte base de análise, fundamentalmente límites e derivadas. Antes dese momento debe

familiarizarse cunha serie de funcións tipo (lineais, cuadráticas, radicais, de proporcionalidade inversa,

exponenciais, logarítmicas...) moi frecuentes, non só na actividade matemática, senón tamén noutras ciencias

naturais e sociais.

As funcións lineais foron abundantemente tratadas nos dous cursos anteriores. Non obstante, a súa enorme

importancia teórica e práctica, así como a facilidade con que se esquecen dalgúns aspectos do seu tratamento,

aconséllannos volver insistir nelas, prestando unha atención especial ás funcións dadas mediante tramos de

rectas.

Dedícase unha atención moi especial á representación de funcións cuadráticas, de modo que as peculiaridades

do seu tratamento gráfico se relacionen cos valores dos coeficientes da súa ecuación.

As funcións exponenciais estúdanse tanto para unha base maior que 1 (función crecente) como menor que 1

(función decrecente).

As funcións logarítmicas estúdanse como recíprocas das exponenciais, e préstase especial atención aos

logaritmos, que se obteñen a partir da súa definición.

Temporalización

Xaneiro


1. Coñecer gráfica e analiticamente diversas familias de funcións. Manexar destramente algunhas delas

(lineais, cuadráticas...).

2. Interpretar e representar funcións definidas a anacos.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Función lineal

- Función lineal. Pendente dunha

recta.

- Tipos de funcións lineais.

Función de proporcionalidade e

función constante.

- Obtención de información a

partir de dúas ou máis funcións

lineais referidas a fenómenos


as funcións lineais.

1.1. Representa unha función lineal a

partir da súa expresión analítica.

CCL,

CMCT,

CD,

CSIEE,

CCEC

1.2. Obtén a expresión analítica dunha

función lineal coñecendo a súa

gráfica ou algunha das súas

características.

1.3. Representa funcións definidas «a

anacos».


206

relacionados entre si.

- Expresión da ecuación dunha

recta coñecidos un punto e a

pendente.

Funcións definidas a anacos

- Funcións definidas mediante

«anacos» de rectas.

Representación.

- Obtención da ecuación

correspondente a unha gráfica

formada por anacos de rectas.

Funcións cuadráticas

- Representación de funcións

cuadráticas. Obtención da

abscisa do vértice e dalgúns

puntos próximos ao vértice.

Métodos sinxelos para

representar parábolas.

- Estudo conxunto de rectas e

parábolas.

- Interpretación dos puntos de

corte entre unha función lineal e

unha cuadrática.

Funcións radicais

Funcións de proporcionalidade

inversa

- A hipérbole.

Funcións exponenciais

Funcións logarítmicas

- Obtención de funcións

logarítmicas a partir de

funcións exponenciais.

1.4. Obtén a expresión analítica dunha

función definida «a anacos» dada

graficamente.

2. Coñecer e manexar con

soltura as funcións

cuadráticas.

2.1. Representa unha parábola a partir

da ecuación cuadrática

correspondente.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CCEC

2.2. Asocia curvas de funcións

cuadráticas ás súas expresións

analíticas.

2.3. Escribe a ecuación dunha parábola

coñecendo a súa representación

gráfica en casos sinxelos.

2.4. Estuda conxuntamente as funcións

lineais e as cuadráticas (funcións

definidas «a anacos», intersección

de rectas e parábolas).

3. Coñecer outros tipos de

funcións, asociando a

gráfica coa expresión

analítica.

3.1. Asocia curvas a expresións

analíticas (proporcionalidade

inversa, radicais, exponenciais e

logaritmos). CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC

3.2. Manexa con soltura as funcións de

proporcionalidade inversa e as

radicais.

3.3. Manexa con soltura as funcións

exponenciais e as logarítmicas.

3.4. Resolve problemas de enunciado

relacionados con distintos tipos de

funcións.

4. Interpretar e representar

funcións definidas «a

anacos».

4.1. Representa unha función dada «a

anacos» con expresións lineais ou

cuadráticas.

CMCT,

CD,

CAA








1.1. Representa unha función lineal a partir da súa

expresión analítica.

- Actividades do LA para representar unha función

lineal a partir da súa fórmula (páxinas 102 e 114).

1.2. Obtén a expresión analítica dunha función lineal

coñecendo a súa gráfica ou algunha das súas

características.

- Actividades do LA para obter a fórmula dunha

función a partir da súa gráfica.

1.3. Representa funcións definidas «a anacos». - Actividades de representación de funcións

definidas «a anacos», das páxinas 103 e 114 do LA.


207

1.4. Obtén a expresión analítica dunha función definida

«a anacos» dada graficamente.

- Actividades para ofrecer a expresión analítica

dunha función definida «a anacos» dada a súa

representación gráfica (páxinas 103 e 114 do LA).

2.1. Representa unha parábola a partir da ecuación

cuadrática correspondente.

- Actividades de representación gráfica de funcións

cuadráticas, das páxinas 105 e 113 do LA.

2.2. Asocia curvas de funcións cuadráticas ás súas

expresións analíticas.

- Actividades de relación entre expresión analítica e

gráfica en funcións cuadráticas do LA e dos RD.

2.3. Escribe a ecuación dunha parábola coñecendo a súa

representación gráfica en casos sinxelos.

- Actividades de dedución de ecuacións dunha

parábola a partir da súa representación gráfica do

LA e dos RF.

2.4. Estuda conxuntamente as funcións lineais e as

cuadráticas (funcións definidas «a anacos»,

intersección de rectas e parábolas).

- Actividades da páxina 115 do LA para estudar

funcións lineais e cuadráticas conxuntamente.

3.1. Asocia curvas a expresións analíticas

(proporcionalidade inversa, radicais, exponenciais e

logaritmos).


diversas nas páxinas 108 a 111 do libro.

3.2. Manexa con soltura as funcións de proporcionalidade

inversa e as radicais.

- Actividades do LA para a representación e o estudo

de funcións inversas e radicais das páxinas 108 e

109.

3.3. Manexa con soltura as funcións exponenciais e as

logarítmicas.


diversas nas páxinas 109 a 111 do LA.

3.4. Resolve problemas de enunciado relacionados con

distintos tipos de funcións.

- Problemas das páxinas 116 e 117 do LA.

4.1. Representa unha función dada «a anacos» con

expresións lineais ou cuadráticas.


dadas «a anacos» das páxinas 103, 106 e 114 do LA

e actividades dos RD.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo de funcións.

- Coñecemos as suxestións metodolóxicas xerais, os coñecementos previos necesarios e as posibles dificultades

do tema.

- Lemos os textos utilizando estratexias de traballo cooperativo, como «Think pair share», e extraemos deles

ideas e preguntas.

- Realizamos as actividades propostas para comprender a importancia das funcións e a súa evolución.

- Repasamos todo o que lembramos do estudo das funcións.

Tarefa 1: Distintos tipos de funcións lineais

- Repasamos as funcións lineais.

- Comprendemos a idea dunha función definida «a anacos» e como describila analiticamente e representala

nunha gráfica.

- Lemos o exercicio resolto e escribimos no caderno o que non entendemos.


Tarefa 2: Parábolas e funcións cuadráticas

- Analizamos de forma conxunta as representacións gráficas do LA e a súa relación coas conclusións que

presenta.

- Escribimos no caderno os pasos para representar unha función cuadrática e aplicámolos ao exercicio resolto.

- Estudamos os pasos utilizados nos problemas resoltos sobre rectas e parábolas.



208

Tarefa 3: Funcións con valor absoluto

- Observamos as gráficas do libro e relacionámolas coas expresións alxébricas.

- Analizamos as afirmacións teóricas e aplicámolas aos exemplos presentados.


Tarefa 4: Funcións de proporcionalidade inversa

- Describimos as gráficas que se presentan no LA e posteriormente lemos a descrición do texto.

- Comprendemos o concepto de proporcionalidade inversa e o exercicio resolto.


Tarefa 5: Funcións radicais

- Observamos as representacións gráficas das funcións radicais.

- Comprendemos a descrición da representación gráfica das funcións radicais segundo o signo de x e dos valores

de a e b.

- Analizamos e comprendemos os pasos para representar estas funcións no exercicio resolto.


Tarefa 6: Funcións exponenciais

- Observamos as representacións gráficas de funcións exponenciais.

- Comprendemos a descrición da representación gráfica das funcións exponenciais segundo o valor de a. - Analizamos e comprendemos os pasos para representar estas funcións no exercicio resolto.


Tarefa 7: Funcións logarítmicas

-- Observamos as representacións gráficas de funcións logarítmicas.

- Comprendemos a descrición da representación gráfica das funcións logarítmicas.

- Analizamos e comprendemos os pasos para representar estas funcións no exercicio resolto.



- Analizamos de forma cooperativa unha selección de «Exercicios e problemas resoltos» do LA (por exemplo,

utilizando a estrutura 1-2-4) e formulamos á clase as dúbidas que xurdan.





Unidade 6


Título: Semellanza. Aplicacións Descrición da unidade

Nesta unidade repásanse algúns dos contidos que se viron no segundo curso desta etapa de ESO e afóndase

neles.

A semellanza volve presentarse nas súas tres vertentes:

- Sabemos que dúas figuras son semellantes e queremos obter consecuencias diso. A versión máis habitual, máis

cotiá, é a de tomar e contemplar unha foto ou, simplemente, mirar a televisión. A visión dunha figura

semellante á realidade somérxenos nela de xeito automático. Outra forma máis elaborada de utilizar unha

relación de semellanza, que sabemos que se dá, é valerse dun plano, dun mapa ou dunha maqueta, non só para

coñecer a forma do modelo real, senón para calcular distancias e superficies reais a partir da súa imaxe a

escala.

- Queremos construír unha figura semellante a outra. Á parte das fotografías e das fotocopias, existen métodos

máis matemáticos que están baseados na homotecia.

- Probar que dúas figuras son semellantes. Dúas figuras son semellantes se todos os seus segmentos son

proporcionais. En tal caso, todos os seus ángulos son iguais. Os estudantes non deben confundir todos os

segmentos con todos os lados referidos a un polígono: aos polígonos esixímoslles proporcionalidade de lados

e igualdade de ángulos, pero sería suficiente se os seus lados e as súas diagonais fosen proporcionais. Non


209

obstante, probar que todos os segmentos son proporcionais é imposible (son infinitos). Por iso se recorre á

triangulación e, en definitiva, desembócase en probar a semellanza de triángulos.

Na unidade, polo tanto, dedícase a maior atención á semellanza de triángulos:

- Criterios de semellanza de triángulos.

- Teoremas do cateto e da altura.

Temporalización

Febreiro


- Coñecer os conceptos básicos da semellanza e aplicalos á resolución de problemas



Contidos Criterios


avaliables CC

Figuras semellantes

- Similitude de formas. Razón de semellanza.

- A semellanza en ampliacións e reducións.

Escalas. Cálculo de distancias en planos e

mapas.

- Propiedades das figuras semellantes:

igualdade de ángulos e proporcionalidade

de segmentos.

Rectángulos de proporcións interesantes

- Follas de papel A4 ( 2 ).

- Rectángulos áureos (Φ).

Semellanza de triángulos

- Relación de semellanza. Relacións de

proporcionalidade nos triángulos. Teorema

de Tales.

- Triángulos en posición de Tales.

- Criterios de semellanza de triángulos.

Semellanza de triángulos rectángulos

- Criterios de semellanza.

Aplicacións da semellanza

- Teoremas do cateto e da altura.

- Problemas de cálculo de alturas, distancias,

etc.

- Medición de alturas de edificios utilizando

a súa sombra.

- Relación entre as áreas e os volumes de dúas

figuras semellantes.

1. Coñecer os

conceptos básicos

da semellanza e

aplicalos á

resolución de

problemas.

1.1. Manexa os planos, os mapas

e as maquetas (incluída a

relación entre áreas e

volumes de figuras

semellantes).

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

CSIEE,

CCEC

1.2. Aplica as propiedades da

semellanza á resolución de

problemas nos que

interveñan corpos

xeométricos.

1.3. Aplica os teoremas do cateto

e da altura á resolución de

problemas.








210


1.1. Manexa os planos, os mapas e as maquetas (incluída a

relación entre áreas e volumes de figuras semellantes).

- Actividades de escalas e de aplicación de

semellanzas a mapas, planos e maquetas, do LA e

dos RF.

1.2. Aplica as propiedades da semellanza á resolución de

problemas nos que interveñan corpos xeométricos.

- Problemas de aplicación de semellanza, do LA e dos

RF.

1.3. Aplica os teoremas do cateto e da altura á resolución

de problemas.

- Exercicios e problemas de aplicación dos teoremas

do cateto e da altura dos RF e das páxinas 136, 137

e 188 do LA.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo da semellanza e as súas aplicacións

- Lemos os textos utilizando estratexias de traballo cooperativo, como «1-2-4», e extraemos deles ideas e

preguntas.

- Resolvemos as cuestións propostas para comprender algunhas aplicacións da semellanza ao longo da historia.

- Lembramos os coñecementos previos sobre semellanza.

Tarefa 1: Semellanza

- Buscamos figuras semellantes arredor nosa.

- Investigamos sobre o uso de escalas en distintos ámbitos da nosa vida cotiá.

- Lemos os exercicios resoltos e, en parellas cooperativas, explícanse ao compañeiro ou compañeira.


Tarefa 2: Semellanza de triángulos

- Recordamos o teorema de Tales e a súa aplicación aos triángulos.

- Investigamos na web a proposta de ampliación sobre o teorema de Tales.

- Realizamos un esquema resumo dos criterios de semellanza de triángulos no caderno.

- Debuxamos exemplos de triángulos semellantes.


Tarefa 3: Semellanza de triángulos rectángulos

- Aplicamos os criterios de semellanza do punto anterior aos triángulos rectángulos.

- Comprendemos os teoremas do cateto e da altura, e aplicámolos a triángulos debuxados por nós.

- Analizamos e comprendemos o exercicio resolto.


Tarefa 4: Aplicacións da semellanza de triángulos

- Lemos detidamente os exemplos propostos e deducimos a xeneralización a partir destes.


Tarefa 5: Semellanza de rectángulos. Aplicacións

- A partir do exemplo dunha folla de papel A4, definimos rectángulos semellantes.

- Comprendemos que é un rectángulo áureo e relacionámolo co número áureo visto na unidade 1.

- Establecemos os pasos para comprobar se un rectángulo é áureo.










211

Unidade 7:


Título: Trigonometría Descrición da unidade

A tanxente dun ángulo é a relación entre o cateto oposto e o cateto adxacente dun triángulo rectángulo e todos

os triángulos semellantes a el. Isto é o que se quere poñer de manifesto coa situación de partida: coñécese a

lonxitude dun pau e a da súa sombra; a relación entre eles é a mesma que a da altura de calquera das moitas

árbores que hai nese campo horizontal e a súa sombra.

Neste exemplo de partida, que se propón na segunda páxina da unidade, resólvense triángulos a partir da

semellanza, xa que convén que o inicio na trigonometría se realice a partir dela.

Unha vez coñecidas as definicións das razóns trigonométricas, é desexable que os estudantes calculen

algunhas delas mediante o método gráfico para afianzar o concepto. Tamén é moi útil o uso do cuadrante

goniométrico para visualizar as razóns trigonométricas de ángulos agudos.

Dado que as razóns trigonométricas fundamentais teñen grande importancia teórica e práctica, convén que os

estudantes recorran á calculadora, tanto para achar as razóns trigonométricas dun ángulo como para achar un

ángulo do que se coñece unha das súas razóns. Deste modo pódense achar, a partir dunha delas, as demais.

Non debemos deixar no esquecemento o interese, tanto teórico como práctico, que ten obter e aprender as

razóns trigonométricas de ángulos de amplitudes 30°, 45° e 60°.

A resolución de triángulos rectángulos é a culminación desta unidade. Cunha boa formulación, permiten

resolver (estratexia da altura) calquera tipo de triángulo.

Incluímos as razóns trigonométricas de ángulos calquera para, con elas, facilitar a construción das funcións

trigonométricas. Outro tanto dicimos da medida dun ángulo en radiáns, que só ten interese para a definición

das funcións circulares. Aquí definimos concisamente estas funcións, deixando o seu desenvolvemento

profundo para Bacharelato.

Temporalización

Febreiro


- Coñecer as razóns trigonométricas, manexalas con soltura e utilizalas para a resolución de triángulos.



Contidos Criterios


avaliables CC

Razóns trigonométricas

- Razóns trigonométricas dun

ángulo agudo: seno, coseno e

tanxente.

- Cálculo gráfico das razóns

trigonométricas dun ángulo agudo

nun triángulo rectángulo.

- Razóns trigonométricas de

ángulos calquera. Circunferencia

goniométrica.

Relacións

- Relación entre as razóns

trigonométricas do mesmo ángulo

1. Manexar con soltura as

razóns trigonométricas e as

relacións entre elas.

1.1. Obtén as razóns

trigonométricas dun ángulo

agudo dun triángulo

rectángulo, coñecendo os

lados deste. CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CCEC

1.2. Coñece as razóns

trigonométricas (seno, coseno

e tanxente) dos ángulos máis

significativos (0°, 30, 45,

60, 90).


212

(relacións fundamentais).

- Razóns trigonométricas dos

ángulos máis frecuentes (30°, 45°

e 60°).

- Aplicación das relacións

fundamentais para calcular, a

partir dunha das razóns

trigonométricas dun ángulo, as

dúas restantes.

Calculadora

- Obtención das razóns

trigonométricas dun ángulo por

medio de algoritmos ou usando

unha calculadora científica.

- Uso das teclas trigonométricas da

calculadora científica para o

cálculo das razóns trigonométricas

dun ángulo calquera, para coñecer

o ángulo a partir dunha das razóns

trigonométricas ou para obter

unha razón trigonométrica

coñecendo xa outra.

Resolución de triángulos

rectángulos

- Distintos casos de resolución de

triángulos rectángulos.

- Cálculo de distancias e ángulos.

Estratexia da altura

- Estratexia da altura para a

resolución de triángulos non

rectángulos.

Funcións trigonométricas

- O radián. Definición e

equivalencia en graos

sesaxesimais.

- Construción das funcións

trigonométricas.

1.3. Obtén unha razón

trigonométrica dun ángulo

agudo a partir doutra,

aplicando as relacións

fundamentais.

1.4. Obtén unha razón

trigonométrica dun ángulo

calquera coñecendo outra e un

dato adicional.


trigonométricas dun ángulo

calquera debuxándoo na

circunferencia goniométrica e

relacionándoo con algún do

primeiro cuadrante.

2. Resolver triángulos. 2.1. Resolve triángulos

rectángulos.

CCL,

CMCT,

CD,

CSIEE

2.2. Resolve triángulos

oblicuángulos mediante a

estratexia da altura.








1.1. Obtén as razóns trigonométricas dun ángulo agudo dun

triángulo rectángulo, coñecendo os lados deste.

- Actividades do LA para a obtención de razóns

trigonométricas (páxinas 144 e 158).


213

1.2. Coñece as razóns trigonométricas (seno, coseno e

tanxente) dos ángulos máis significativos (0, 30, 45,

60, 90).

- Actividades de cálculo de razóns trigonométricas

dos RF e da páxina 147 do LA.

1.3. Obtén unha razón trigonométrica dun ángulo agudo a

partir doutra, aplicando as relacións fundamentais.

- Actividades do LA e dos RF para o cálculo de

razóns trigonométricas de ángulos agudos.

1.4. Obtén unha razón trigonométrica dun ángulo calquera

coñecendo outra e un dato adicional.

- Actividades de cálculo de razóns trigonométricas

de calquera tipo de ángulo das páxinas 154 e 159

do LA.

1.5. Obtén as razóns trigonométricas dun ángulo calquera

debuxándoo na circunferencia goniométrica e

relacionándoo con algún do primeiro cuadrante.

- Actividades de cálculo de razóns trigonométricas a

partir da circunferencia goniométrica da páxina

153 do LA e dos recursos web.

2.1. Resolve triángulos rectángulos. - Actividades de aplicación de cálculos

trigonométricos á resolución de triángulos

rectángulos da páxina 150 do LA.

2.2. Resolve triángulos oblicuángulos mediante a estratexia

da altura.

- Actividades de aplicación da estratexia da altura

para a resolución de triángulos oblicuángulos da

páxina 151 do LA.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo da trigonometría

- Lemos os textos utilizando estratexias de traballo cooperativo como «Crebacabezas» e extraemos deles ideas

e preguntas.

- Resolvemos as cuestións propostas para comprender a orixe da trigonometría e as súas aplicacións.

- Anticipamos posibilidades e dificultades do tema.

Tarefa 1: Razóns trigonométricas dun ángulo agudo

- Coñecemos e definimos as razóns trigonométricas básicas.

- Traballamos o cálculo gráfico das razóns trigonométricas.

- Razoamos que as razóns trigonométricas dependen só do ángulo.

- Aplicamos un equipo para calcular razóns trigonométricas.

- Realizamos as actividades do LA,

Tarefa 2: Relacións trigonométricas fundamentais

- Lembramos o teorema de Pitágoras.

- Lemos con atención os exercicios resoltos, aplicando neles as relacións entre as razóns trigonométricas.

- Localizamos no gráfico do LA as razóns trigonométricas dos ángulos de 30º, 45º e 60º.

- Describimos os pasos para o seu cálculo.


Tarefa 3: Utilización da calculadora en trigonometría

- Aprendemos como utilizar a calculadora para o cálculo das razóns trigonométricas.

- Practicamos coa nosa calculadora.

- Ampliamos na web os nosos coñecementos sobre a unidade de medida de ángulos: o radián.

- Reforzamos os coñecementos realizando os cálculos propostos na web.

- Aplicamos o aprendido no uso da calculadora para o cálculo dunha razón a partir doutra coñecida.


Tarefa 4: Resolución de triángulos rectángulos

- Expoñemos que significa resolver un triángulo rectángulo e os datos mínimos que temos que coñecer para

poder facelo.

- Lemos en grupos de tres os exercicios resoltos. Formulamos unha pregunta e intentamos explicala no grupo.

Se queda algunha dúbida, resolvémola na posta en común.


Tarefa 5: Resolución de triángulos oblicuángulos


214

- Lemos individualmente os problemas resoltos do LA.

- Reflexionamos sobre eles coas propostas á marxe no LA.

- Deducimos a estratexia da altura a partir dos problemas expostos.


Tarefa 6: Razóns trigonométricas de 0º a 360º

- Definimos circunferencia goniométrica e determinamos como se sitúan os ángulos sobre ela.

- Identificamos os pasos para calcular o seno, o coseno e a tanxente de calquera ángulo usando a circunferencia

goniométrica.

- Reflexionamos sobre o signo que terá cada razón segundo o cuadrante da circunferencia no que se atope.

- Verificamos os pasos no exercicio resolto.

- Reforzamos o cálculo de razóns trigonométricas mediante a circunferencia goniométrica coas actividades

propostas na web.


Tarefa 7: Ángulos de medidas calquera. Razóns trigonométricas

- Extrapolamos os pasos aprendidos para o cálculo de razóns trigonométricas a calquera ángulo, mesmo de

valor negativo.

- Aplicamos a secuencia de pasos na calculadora ao cálculo trigonométrico de ángulos de diversas medidas.


Tarefa 8: Funcións trigonométricas. O radián

- Definimos o radián como unha unidade de medida de ángulos.

- Relacionamos o radián con unidades de medida de ángulos coñecidas.

- Definimos as funcións trigonométricas.

- Aplicamos os coñecementos á realización das actividades do LA.








Unidade 8:


Título: Xeometría analítica Descrición da unidade

Na unidade 5 deste libro realízase un repaso completo das funcións lineais, cuxo estudo se comezou no

segundo curso de ESO e se completou no terceiro. Polo tanto, pódese dar por certo que estes alumnos e

alumnas dominan razoablemente as ecuacións das rectas en todas as súas formas.

Nesta unidade deberán volver tratar con tales ecuacións, agora desde un punto de vista xeométrico: posicións

relativas de dúas rectas, paralelismo, perpendicularidade (esta é a razón pola que, neste libro, os bloques de

contidos Xeometría e Funcións cambiaron a súa orde tradicional: cremos que conviña completar o estudo das

funcións lineais antes de utilizalas xeometricamente).

Aínda que neste nivel non son necesarios, a xeometría analítica pode valerse dos vectores. Por iso, comezamos

a unidade definindo e aprendendo a manexar os vectores. Servíronnos de axuda para construír os seguintes

conceptos e relacións:

- A obtención do punto medio dun segmento, do simétrico dun punto respecto doutro, a comprobación de se

tres puntos están aliñados ou o cálculo da distancia entre dous puntos son aplicacións inmediatas da igualdade

ou da semellanza de triángulos, ou ben do teorema de Pitágoras.

- O estudo das posicións relativas de dúas rectas (paralelismo, perpendicularidade, punto de corte) é unha

aplicación inmediata do coñecemento que xa se ten das súas ecuacións.

- Obtense a ecuación dunha circunferencia como aplicación da distancia entre dous puntos. Non obstante, só se


215

pretende que os estudantes expresen unha circunferencia de centro (a, b) e raio r así:

(x‒a)2+ (y‒b)2=r2.

e que a recoñezan como tal cando a atopen deste xeito.

Temporalización

Marzo


- Introducirse na xeometría analítica coa axuda dos vectores. Resolver problemas de incidencia, paralelismo,

perpendicularidade e obter distancias.



Contidos Criterios


avaliables CC

Vectores no plano

- Operacións.

- Vectores que representan puntos.

Relacións analíticas entre

puntos aliñados

- Punto medio dun segmento.

- Simétrico dun punto respecto a

outro.

- Aliñación de puntos.

Ecuacións de rectas

- Ecuacións de rectas baixo un

punto de vista xeométrico.

- Forma xeral da ecuación dunha

recta.

- Resolución de problemas de

incidencia (pertence un punto a

unha recta?), intersección

(punto de corte de dúas rectas),

paralelismo e

perpendicularidade.

Distancia entre dous puntos

- Cálculo da distancia entre dous

puntos.

Ecuación dunha circunferencia

- Obtención da ecuación dunha

circunferencia a partir do seu

centro e o seu raio.

- Identificación do centro e do

raio dunha circunferencia dada

pola súa ecuación:

(x‒a)2+ (y‒b)2=r2

1. Utilizar os vectores para

resolver problemas de

xeometría analítica.

1.1. Acha o punto medio dun

segmento.

CMCT,

CD,

CSIEE,

CCEC

1.2. Acha o simétrico dun punto

respecto doutro.

1.3. Acha a distancia entre dous

puntos.

1.4. Relaciona unha circunferencia

(centro e raio) coa súa ecuación.

2. Manexar con soltura as

distintas formas da

ecuación dunha recta e

resolver con elas

problemas de intersección,

paralelismo e

perpendicularidade.

2.1. Obtén a intersección de dúas

rectas definidas nalgunhas das

súas múltiples formas.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC


paralelismo e

perpendicularidade.






216




1.1. Acha o punto medio dun segmento. - Actividades do LA para achar o punto medio dun

segmento (páxina 170).

1.2. Acha o simétrico dun punto respecto doutro. - Actividade do LA para achar o simétrico dun punto

con respecto a outro (páxina 170).

1.3. Acha a distancia entre dous puntos. - Actividades do LA e dos RF para achar a distancia

entre dous puntos (páxina 178).

1.4. Relaciona unha circunferencia (centro e raio) coa súa

ecuación.

- Actividades do LA sobre a ecuación dunha

circunferencia (páxina 179).

2.1. Obtén a intersección de dúas rectas definidas

nalgunhas das súas múltiples formas.

- Actividades para obter o punto de intersección de

dúas rectas (páxina 177).

2.2. Resolve problemas de paralelismo e

perpendicularidade.

- Problemas das páxinas 183 a 185 do LA sobre

paralelismo e perpendicularidade.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo da xeometría analítica


do tema.

- Lemos o texto proposto para iniciar o tema e investigamos sobre os matemáticos que presenta e a súa

contribución ao desenvolvemento desta ciencia.

- Resolvemos o exercicio formulado e consideramos a utilidade dos vectores.

- Predicimos aprendizaxes e dificultades da unidade.

Tarefa 1: Vectores no plano

- Identificamos os elementos que definen un vector.

- Comprobamos no exercicio resolto os elementos característicos.


Tarefa 2: Operacións con vectores

- Comprendemos como realizar as operacións de multiplicación por un número, suma e resta de vectores.

- Observamos as representacións gráficas das operacións no LA.

- Explicamos a combinación lineal de vectores e analizamos os pasos dados no exercicio resolto.


Tarefa 3: Vectores que representan puntos

- A partir da observación reflexiva dos exercicios resoltos, identificamos vectores que representan puntos.

- Aplicamos este concepto á realización das actividades propostas no LA.

Tarefa 4: Punto medio dun segmento

- Definimos o punto medio dun segmento a partir dos exercicios resoltos e aplicamos este concepto á resolución

dos exercicios do LA.

Tarefa 5: Puntos aliñados

- Comprobamos, nos exercicios resoltos, que os vectores son paralelos e que os puntos están aliñados, e

comparámolo coa explicación teórica.

- Realizamos os exercicios do LA.

Tarefa 6: Ecuacións da recta

- Utilizando a estrutura de «Grupos de expertos», cada persoa dun grupo de catro únese con outras persoas a

ler, entender e explicar:

- Ecuación vectorial dunha recta

- Ecuacións paramétricas dunha recta


217

- Ecuación dunha recta en forma continua

- Ecuación explícita dunha recta

Os expertos explican aos seus compañeiros e compañeiras o tipo de ecuación que traballaron, ilustrándoo con

exemplos.

- O grupo revisa os exercicios resoltos e formula as dúbidas ao profesorado.

- Realizamos as actividades propostas no LA.

Tarefa 7: Rectas. Paralelismo e perpendicularidade

- Relacionamos a ecuación dunha recta coa súa pendente e aprendemos a buscar rectas paralelas e

perpendiculares.

- Analizamos os exercicios resoltos para comprobar o aprendido.

- Ampliamos os coñecementos cos contidos propostos na web.


Tarefa 8: Rectas paralelas aos eixes de coordenadas

- Identificamos o tipo de función que corresponde tanto a rectas paralelas ao eixe X como a rectas paralelas ao

eixe Y.

- Comprendemos os exercicios resoltos.

- Aplicamos os coñecementos á realización das actividades do LA.

Tarefa 9: Posicións relativas de dúas rectas

- Relacionamos a resolución gráfica de sistemas de ecuacións co procedemento para coñecer a posición relativa

de dúas rectas.

- Verificamos este método nos exercicios resoltos.

- Aplicamos os coñecementos á realización das actividades do LA

Tarefa 10: Distancia entre dous puntos

- Contrastamos a teoría cos exercicios resoltos.


Tarefa 11: Ecuación dunha circunferencia

- Utilizamos o cálculo de vectores para deducir a ecuación dunha circunferencia.

- Comprobamos os pasos nos exercicios resoltos.









Unidade 9:


Título: Estatística Descrición da unidade

Con esta unidade comezamos un novo bloque: estatística e probabilidade. Non é a primeira vez que estes

estudantes se atopan coa estatística; xa en terceiro de ESO (e en cursos anteriores) se familiarizaron cos

conceptos básicos, como a idea de poboación e mostra, as variables estatísticas, o proceso que se segue en

estatística, a confección dunha táboa de frecuencias e algúns parámetros estatísticos (media, mediana, moda,

percorrido, desviación media, varianza, desviación típica e coeficiente de variación, e algunhas medidas de

posición).

Nesta unidade repásanse os conceptos anteriores, lémbranse as nocións xerais (idea de poboación, mostra,

variables estatísticas...) e introdúcense as dúas ramas da estatística: estatística descritiva e estatística

inferencial.

Continúa a unidade cun repaso das táboas de frecuencias e dalgúns parámetros estatísticos (media, varianza,


218

desviación típica e coeficiente de variación).

Hai un afondamento no tratamento estatístico de datos agrupados en intervalos. É importante que comprendan

a necesidade de agrupar os datos en intervalos cando a variable é continua, ou cando o número de valores que

toma a variable é moi grande. Nestes casos, deberán ser capaces de decidir que intervalos convén tomar para

distribuír os datos que se teñan.

Estúdanse as medidas de posición (mediana, cuartís e centís ou percentís) e a súa contribución á representación

gráfica mediante o diagrama de caixa.

Finalmente, dedícase un apartado a reflexionar sobre as mostras, as precaucións que hai que tomar no proceso

de mostraxe e o tipo de conclusións que se poden obter dunha mostra.

É importante que os estudantes aprendan a calcular os parámetros estatísticos, pero, sobre todo, deben saber

interpretalos.

Para a obtención dos parámetros, aínda que convén que saiban facelo construíndo as táboas, tamén deben ser

capaces de utilizar a calculadora en modo SD.

Temporalización Abril


1. Revisar os métodos da estatística e completalos co cálculo de parámetros de posición en distribucións con

datos agrupados.

2. Coñecer o papel da mostraxe, cales son os seus pasos e que tipo de conclusións se conseguen.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Estatística. Nocións xerais

- Individuo, poboación, mostra,

caracteres, variables

(cualitativas, cuantitativas,

discretas, continuas).

- Estatística descritiva e

estatística inferencial.

Gráficos estatísticos

- Identificación e elaboración de


Táboas de frecuencias

- Elaboración de táboas de

frecuencias.

- Con datos illados.

- Con datos agrupados sabendo

elixir os intervalos.

Parámetros estatísticos

- Media, desviación típica e


- Cálculo de x e , coeficiente

de variación para unha

distribución dada por unha

táboa (no caso de datos

agrupados, a partir das marcas

de clase), con e sen a axuda da

1. Resumir nunha táboa de

frecuencias unha serie de

datos estatísticos e facer

un gráfico adecuado para a

súa visualización.

1.1. Constrúe unha táboa de

frecuencias de datos illados e

represéntaos mediante un

diagrama de barras.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

1.2. Dado un conxunto de datos e a

suxestión de que os agrupe en

intervalos, determina unha

posible partición do percorrido,

constrúe a táboa e representa

graficamente a distribución.

1.3. Dado un conxunto de datos,

recoñece a necesidade de

agrupalos en intervalos e, en

consecuencia, determina unha

posible partición do percorrido,

constrúe a táboa e representa


2. Coñecer os parámetros

estatísticos x e ,

calculalos a partir dunha

táboa de frecuencias e

interpretar o seu

significado.

2.1. Obtén os valores de x e , a partir

dunha táboa de frecuencias (de

datos illados ou agrupados) e

utilízaos para analizar

características da distribución.

CCL,

CMCT,

CD,

CSC,

CSIEE 2.2. Coñece o coeficiente de variación

e válese del para comparar as

dispersións de dúas


219

calculadora con tratamento

SD.

- Medidas de posición: mediana,

cuartís e centís.

- Obtención das medidas de

posición en táboas con datos

illados.

- Obtención das medidas de

posición dunha distribución

dada mediante unha táboa con

datos agrupados en intervalos,

utilizando o polígono de

frecuencias acumuladas.

Diagramas de caixa


distribución a partir das súas

medidas de posición:

diagrama de caixa e bigotes.

Nocións de estatística

inferencial

- Mostra: aleatoriedade, tamaño.

- Tipos de conclusións que se

obteñen a partir dunha mostra.

distribucións.

3. Coñecer e utilizar as

medidas de posición.

3.1. A partir dunha táboa de

frecuencias de datos illados,

constrúe a táboa de frecuencias

acumuladas e, con ela, obtén

medidas de posición (mediana,

cuartís, centís).

CMCT,

CD,

CAA,

CSIEE


frecuencias de datos agrupados

en intervalos, constrúe o

polígono de porcentaxes

acumuladas e, con el, obtén

medidas de posición (mediana,

cuartís, centís).

3.3. Constrúe o diagrama de caixa e

bigotes correspondente a unha

distribución estatística.

3.4. Interpreta un diagrama de caixa e

bigotes dentro dun contexto.

4. Coñecer o papel da

mostraxe e distinguir

algúns dos seus pasos.

4.1. Recoñece procesos de mostraxe

correctos e identifica erros

noutros onde os haxa.

CCL,

CMCT,

CD,

CSC,

CSIEE








1.1. Constrúe unha táboa de frecuencias de datos illados e

represéntaos mediante un diagrama de barras.

- Exemplo do LA para construír unha táboa de

frecuencias a partir duns datos e representalos

mediante un diagrama de barras (páxina 194).

1.2. Dado un conxunto de datos e a suxestión de que os

agrupe en intervalos, determina unha posible partición

do percorrido, constrúe a táboa e representa


- Actividades do LA da páxina 195 para construír

táboas e representar distribucións de datos,

agrupándoos en intervalos.

1.3. Dado un conxunto de datos, recoñece a necesidade de

agrupalos en intervalos e, en consecuencia, determina

unha posible partición do percorrido, constrúe a táboa

e representa graficamente a distribución.

- Actividades do LA (páxina 209) para agrupar datos

en intervalos, construír táboas e representar a

distribución correspondente.

2.1. Obtén os valores de x e a partir dunha táboa de

frecuencias (de datos illados ou agrupados) e utilízaos

para analizar características da distribución.

- Actividades das páxinas 197 e 209 do LA para obter

parámetros estatísticos a partir dunha serie de

datos.


220

2.2. Coñece o coeficiente de variación e válese del para

comparar as dispersións de dúas distribucións.

- Actividades da páxina 197 do LA e as ofrecidas na

web.

3.1. A partir dunha táboa de frecuencias de datos illados,

constrúe a táboa de frecuencias acumuladas e, con ela,

obtén medidas de posición (mediana, cuartís, centís).

- Actividade dos RF e do LA (páxina 199) para

construír táboas de frecuencias acumuladas e obter


3.2. A partir dunha táboa de frecuencias de datos agrupados

en intervalos, constrúe o polígono de porcentaxes

acumuladas e, con el, obtén medidas de posición

(mediana, cuartís, centís).

- Actividades da páxinas 201 e 202 do LA para obter

polígonos de porcentaxes acumuladas e medidas de

posición a partir de datos agrupados en intervalos.

3.3. Constrúe o diagrama de caixa e bigotes correspondente

a unha distribución estatística.

- Exercicios de construción de diagramas de caixas

e bigotes da páxina 203 do LA.

3.4. Interpreta un diagrama de caixa e bigotes dentro dun

contexto.

- Actividade da páxina 203 do LA para interpretar

diagramas de caixas e bigotes.

4.1. Recoñece procesos de mostraxe correctos e identifica

erros noutros onde os haxa.

- Actividades do LA (páxina 204) para recoñecer

procesos de mostraxe correctos e incorrectos.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo de estatística


do tema, coa PD.

- Lemos o texto proposto e extraemos tres ideas sobre a evolución da estatística.

- Contestamos as cuestións formuladas no exercicio proposto e investigamos sobre este experimento na web.

- Resolvemos o exercicio.

- Lembramos coñecementos previos de estatística.

Tarefa 1: A estatística e os seus métodos


- Resumimos e organizamos os conceptos de estatística e as fases dun estudo estatístico nun mapa mental.

- Propoñemos algúns exemplos de aplicacións estatísticas.

Tarefa 2: Táboas de frecuencias


- Comparamos as táboas con datos illados e as táboas con datos agrupados, a súa elaboración e aplicacións.

- Reflexionamos sobre as vantaxes e as desvantaxes das táboas con datos agrupados co «Observa» da marxe do

LA.

- Identificamos, co exercicio resolto, os pasos para elaborar unha táboa e unha gráfica a partir dun conxunto de

datos.


Tarefa 3: Parámetros estatísticos: x e . - Coñecemos as suxestións metodolóxicas da PD.

- Copiamos no caderno os principais parámetros estatísticos, a súa fórmula para calculalos e algún exemplo.

- Reflexionamos sobre a utilidade de cada un dos parámetros estatísticos.

- Resumimos e describimos, baseándonos no exercicio resolto, os pasos para calcular os parámetros estatísticos.

- Identificamos o procedemento para calcular os parámetros estatísticos con calculadora.

- Aplicamos este procedemento á realización das actividades propostas no LA.

Tarefa 4: Parámetros de posición para datos illados


- Definimos os parámetros de posición.

- Reflexionamos sobre a súa utilidade e o seu uso en exemplos concretos.

- Realizamos unha táboa de frecuencias acumuladas e obtemos os percentís a partir dela.


221

- Aplicamos os conceptos aos exercicios propostos no LA.

Tarefa 5: Parámetros de posición para datos agrupados


- Traballamos os parámetros de posición en táboas con datos agrupados.

- Representamos datos nun polígono de frecuencias acumuladas.

- Aprendemos a ler un polígono de porcentaxes acumuladas.

- Aprendemos a calcular percentís a partir dun polígono de porcentaxes acumuladas, tomando como base a

análise do exercicio resolto.


Tarefa 6: Diagramas de caixa


- Observamos e describimos os diagramas de caixa para representar unha distribución estatística.

- Distinguimos os pasos para elaborar diagramas de caixa.

- Identificamos estes pasos nos exercicios resoltos.


Tarefa 7: Estatística inferencial


- Razoamos a necesidade de recorrer a mostras para estudos estatísticos.

- Comprendemos os criterios para a elección da mostra e aplicámolos a exemplos.

- Reflexionamos sobre as conclusións que se poden extraer dunha mostra.

- Relacionamos o tamaño da mostra e o nivel de confianza elaborando as actividades propostas na web.



- Analizamos de forma cooperativa unha selección de «Exercicio e problemas resoltos» do LA (por exemplo,






Unidade 10:


Título: Distribucións bidimensionais Descrición da unidade

Na estatística unidimensional, os datos (valores dunha variable) aparecen, despois de ser tratados

convenientemente, en táboas de valores. A partir delas fanse representacións gráficas (barras, histogramas,

sectores...) coas cales se visualiza a distribución, ou obtéñense parámetros que resumen de xeito conciso

características importantes da distribución.

Analogamente, na estatística bidimensional, os datos (pares de valores correspondentes a dúas variables que

se relacionan) danse en táboas, a partir das cales se constrúe a representación gráfica (nubes de puntos) coa

que se visualiza o grao de relación entre as variables. E, tamén a partir da táboa, obtéñense os parámetros

(correlación, regresión) cos que se resumen as principais características da distribución.

Neste curso, o alumnado debe iniciarse nas distribucións bidimensionais. Por iso só manexará táboas con

poucos valores e afarase a interpretalas de xeito visual a partir de nubes de puntos. Deste modo aprenderá os

significados de correlación (positiva, negativa, máis ou menos forte) e recta de regresión. E, se o docente o

cre oportuno, aprenderá a valorar de forma aproximada unha correlación, a partir da nube de puntos, e valerase

dunha calculadora con modo LR para calcular os parámetros.

Enfrontamos o estudante con dous tipos de situacións:

1. Distribucións moi concretas dadas mediante táboas de valores (case sempre cun contexto) que poden ser

representadas graficamente (e, polo tanto, analizadas visualmente), e cuxos parámetros poden ser calculados,

se se desexa.


222

2. Distribucións descritas, cuxa análise apela ás concepcións ou os recordos dos estudantes. Por exemplo:

estatura e número de calzado nun colectivo de nenos de 6 a 10 anos. Neste caso non hai poboación concreta

e, polo tanto, nin se pode representar nin hai datos sobre os que calcular. Simplemente se pretende que os

estudantes pensen que cabe esperar e, se cadra, discutan sobre iso.

A experiencia dinos que esta forma de tratar as distribucións bidimensionais dá lugar a unha aprendizaxe

pracenteira, no que os estudantes comparten as súas concepcións con afección e entusiasmo, e que deixa ideas

claras (aínda que sinxelas).

Temporalización

Abril Maio


1. Coñecer as distribucións bidimensionais, identificar as súas variables, representalas e valorar a correlación de

forma aproximada.



Contidos Criterios


avaliables CC

Relación funcional e

relación estatística

Dúas variables

relacionadas

estatisticamente

- Nube de puntos

- Correlación.

- Recta de regresión.

O valor da correlación

A recta de regresión para

facer previsións

- Condicións para poder

facer estimacións.

- Fiabilidade.

1. Coñecer as distribucións

bidimensionais,

identificar as súas

variables, representalas e

valorar a correlación de

forma aproximada.

1.1. Identifica unha distribución

bidimensional nunha situación

dada mediante enunciado, sinala

as variables e estima o signo e, a

grandes trazos, o valor da

correlación.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

CSIEE,

CCEC

1.2. Dada unha táboa de valores,

representa a nube de puntos

correspondente, traza de forma

aproximada a recta de regresión e

estima o valor da correlación.








1.1. Identifica unha distribución bidimensional nunha

situación dada mediante enunciado, sinala as variables

e estima o signo e, a grandes trazos, o valor da

correlación.

- Actividades do LA para identificar a distribución

bidimensional en enunciados.

1.2. Dada unha táboa de valores, representa a nube de

puntos correspondente, traza de forma aproximada a

recta de regresión e estima o valor da correlación.

- Actividades do LA e dos RF para representar nubes

de puntos, trazar a recta de regresión e estimar o

valor da correlación.


223

5. TAREFAS Tarefa 0: Introdución ao estudo de distribucións binomiais

- Lemos o texto proposto para iniciar o tema e investigamos sobre os científicos que presenta e a súa

contribución ao desenvolvemento da estatística.

- Observamos no exemplo proposto as relacións funcionais e estatísticas entre variables.

- Resolvemos o exercicio proposto.

Tarefa 1: Distribucións bidimensionais

- A partir das gráficas representadas, deducimos as ideas de nube de puntos, correlación e recta de regresión na

representación de dúas variables.

- Verificamos estes conceptos estudando a súa aplicación nos exercicios resoltos.

- Aplicamos os conceptos aos exercicios propostos no LA.

Tarefa 2: O valor da correlación

- Deducimos o concepto de coeficiente de correlación a partir da observación das gráficas e o valor de r en cada

caso. - Distinguimos o valor da correlación do valor da pendente da recta de regresión.

- Comprobamos a comprensión deste concepto lendo e entendendo o exercicio resolto.


Tarefa 3: A recta de regresión para facer estimacións

- Por parellas, lense os exemplos e explícanse ao compañeiro ou compañeira.

- Conxuntamente, realizamos os exercicios propostos a continuación.

- Deducimos as condicións de fiabilidade das estimacións.









Unidade 11:


Título: Combinatoria Descrición da unidade

Nesta unidade estúdase a combinatoria, que se ocupa de contar agrupacións realizadas con diferentes criterios.

Este tipo de problemas de conteo, pola súa propia natureza, interesaron aos seres humanos desde os tempos

máis remotos.

Con esta unidade perséguese que os estudantes se vallan de certas técnicas ou métodos eficaces para formar e

contar agrupacións en situacións diversas, e coñezan os modelos clásicos de agrupamento (variacións,

permutacións e combinacións) e os manexen e apliquen con soltura na resolución de problemas.

Para conseguir este obxectivo, iníciase a unidade presentando dúas estratexias de pensamento útiles e eficaces

para formar agrupacións, describir posibilidades nun problema de reconto e, sobre todo, para razoar cantas

hai: a estratexia do produto e o diagrama en árbore. Chamámoslles estratexias de pensamento porque son

técnicas ou métodos que axudan a pensar con eficacia sobre un gran número de problemas deste tipo.

Cremos que non hai un método mellor que outro e deben ser os propios alumnos e alumnas, ante un problema

concreto, os que elixan a forma de pensamento que mellor lles axude a resolvelo.

Agora ben, no desenvolvemento da unidade formulamos que é moi conveniente que os estudantes se enfronten

cunha boa colección de problemas utilizando exclusivamente as estratexias de pensamento e o sentido común,

antes de mostrarlles os distintos modelos clásicos de agrupacións.

A información contida nas marxes, xunto a cada modelo (variacións con repetición, variacións ordinarias,

permutacións e combinacións), debe ser o resumo ao que os alumnos e as alumnas chegarán despois de


224

reflexionar sobre o que teñen en común os problemas similares e razoar sobre a fórmula que permite calcular

o seu número.

A maior dificultade preséntasenos cando queremos contar aqueles casos nos que non inflúe a orde. É necesario

xustificar en casos concretos e paso a paso o porqué da técnica utilizada: contar como se influíse a orde e

dividir polo número de veces que se contou cada agrupación.

Desta forma chegarán a comprender a razón de contar as combinacións Cm, n como o cociente entre as

variacións Vm, n e as permutacións Pn.

Temporalización

Maio


1. Coñecer e utilizar algunhas estratexias combinatorias básicas (como o diagrama en árbore), así como os

modelos de agrupamento clásicos (variacións, permutacións, combinacións) e utilizalos para resolver

problemas.



Contidos Criterios


avaliables CC

A combinatoria

- Situacións de combinatoria.

- Estratexias para enfocar e resolver

problemas de combinatoria.

- Xeneralización para obter o número total de

posibilidades nas situacións de

combinatoria.

O diagrama en árbore

- Diagramas en árbore para calcular as

posibilidades combinatorias de diferentes


Variacións con e sen repetición

- Variacións con repetición. Identificación e

fórmula.

- Variacións ordinarias. Identificación e

fórmula.

Permutacións

- Permutacións ordinarias como variacións de

n elementos tomados de n en n. Combinacións

- Identificación de situacións problemáticas

que poden resolverse por medio de

combinacións. Fórmula.

- Números combinatorios. Propiedades.

Resolución de problemas combinatorios

- Resolución de problemas combinatorios por

calquera dos métodos descritos ou outros

propios do estudante.

1. Coñecer os

agrupamentos

combinatorios

clásicos

(variacións,

permutacións,

combinacións) e as

fórmulas para

calcular o seu

número, e aplicalos

á resolución de

problemas

combinatorios.


variacións (con ou sen

repetición).

CCL,

CMCT,

CD,

CSC,

CSIEE


permutacións.


combinacións.


combinatoria nos que,

ademais de aplicar unha

fórmula, debe realizar algún

razoamento adicional.

2. Utilizar estratexias

de reconto non

necesariamente

relacionadas cos

agrupamentos

clásicos.


convén utilizar un diagrama

en árbore.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CCEC


convén utilizar a estratexia do

produto.

2.3. Resolve outros tipos de

problemas de combinatoria.




225






1.1. Resolve problemas de variacións (con ou sen

repetición).

- Actividades do LA para a resolución de

problemas de variacións (páxinas 239 e 240).

1.2. Resolve problemas de permutacións. - Actividades do LA para a resolución de

problemas de permutacións (páxina 240).

1.3. Resolve problemas de combinacións. - Actividades do LA para a resolución de

problemas de combinacións (páxinas 241 e 242).

1.4. Resolve problemas de combinatoria nos que, ademais

de aplicar unha fórmula, debe realizar algún

razoamento adicional.

- Actividades que requiren razoamento adicional

para ser resoltas, no LA (páxinas 246 e 247) e nos

RF.

2.1. Resolve problemas nos que convén utilizar un

diagrama en árbore.

- Actividades para realizar con diagramas de

árbore, do LA (páxina 237) e da web.

2.2. Resolve problemas nos que convén utilizar a

estratexia do produto.

- Actividades de aplicación da estratexia do

produto, do LA (234 e 235) e dos RF.

2.3. Resolve outros tipos de problemas de combinatoria. - Problemas de combinatoria, en xeral, das páxinas

245 a 247 do LA.

5.TAREFAS Tarefa 0: Introdución ao estudo da combinatoria

- Lemos os textos propostos e extraemos tres ideas significativas sobre a historia da combinatoria.

- Investigamos en Internet a biografía e as achegas dos científicos mencionados nos textos.

- Realizamos as actividades propostas para afondar nos contidos históricos formulados.

- Contestamos as cuestións formuladas e resolvemos a actividade proposta.

Tarefa 1: Estratexias baseadas no produto

- A partir da lectura dos exemplos considerados, deducimos en que consiste contar utilizando a estratexia da

cuadrícula.

- Aplicamos a estratexia da cuadrícula a cuadrículas tridimensionais e deducimos en que consiste a estratexia

xeral.

- A partir da lectura e da interpretación dos exemplos, deducimos en que consiste contar certas agrupacións

utilizando a estratexia do diagrama en árbore.

- Mencionamos exemplos para os que poden ser útiles as estratexias aprendidas.

- Reforzamos estas estratexias aplicándoas aos exercicios propostos na web.

- Aplicamos os conceptos aos exercicios propostos no LA

Tarefa 2: Variacións e permutacións (inflúe a orde)

- Lemos os exemplos de variacións con repetición e deducimos a fórmula descrita.

- Identificamos os datos importantes deste tipo de variacións no resumo da marxe.

- Comprendemos o significado de cada elemento da fórmula.

- Comparamos as variacións ordinarias coas variacións con repetición e establecemos as diferenzas.

- Identificamos os elementos característicos das variacións ordinarias.

- Comprendemos a súa fórmula.

- Aplicamos o concepto de permutación a exemplos da vida ordinaria.

- Distinguimos os elementos dunha permutación.


226

- Afondamos nas técnicas de conteo con variacións e permutacións na web.

- Aplicamos estes conceptos á resolución de exercicios prácticos do LA.

Tarefa 3: Cando non inflúe a orde. Combinacións

- A partir dos exemplos, establecemos as diferenzas entre combinacións, variacións e permutacións.

- Comprendemos a estratexia para calcular posibilidades a partir do resumo da marxe.

- Aplicamos esta estratexia a outro tipo de problemas propostos na web.

- Realizamos os exercicios prácticos propostos no LA.








Unidade 12.


Título: Cálculo de probabilidade Descrición da unidade

Con esta unidade amplíase o estudo sistemático do azar e a probabilidade que os estudantes viron en diferentes

cursos da ESO. O alumnado desta idade ten madureza dabondo para saber se unha experiencia é aleatoria ou

non, se é regular ou irregular e para valorar a probabilidade dun suceso elemental.

Se cadra, non obstante, persisten algúns erros preconceptuais, como crer que os resultados obtidos nun

experimento aleatorio inflúen no seguinte. É difícil asimilar que, aínda dispoñendo dun bo número de

resultados previos, non poidamos predicir o resultado da experiencia seguinte.

As definicións dos conceptos básicos: sucesos elementais, tipos de sucesos, relacións e operacións entre eles,

acompáñanse de exemplos resoltos e propostos que axudan a unha mellor comprensión destes. Estes conceptos

permítennos unha primeira aproximación á teoría de conxuntos e ás leis da lóxica, pero sen esquecer que o

que se pretende é que os alumnos e as alumnas os manexen con eficacia conceptual sen caer na formalización

e a nomenclatura excesivas.

Coas propiedades da probabilidade e a lei de Laplace para sucesos equiprobables complétase o estudo das

cuestións teóricas, a terminoloxía e as propiedades do azar.

O cálculo de probabilidades, obxecto fundamental da unidade, comeza cunha revisión e afondamento da lei

de Laplace. O reconto de casos convén facelo de xeito directo, por medio dalgunha técnica.

O tratamento que lles damos ás experiencias compostas consiste en descompoñelas en experiencias simples

sobre as que consideramos se un resultado inflúe ou non no seguinte.

Temporalización

Xuño


1. Coñecer as propiedades dos sucesos e as súas probabilidades.

2. Calcular probabilidades en experiencias compostas utilizando diagrama en árbore e táboas de dobre entrada.



Contidos Criterios


avaliables CC


227

Sucesos aleatorios

- Relacións e operacións con

sucesos.

Probabilidades


- Propiedades das

probabilidades.

Experiencias aleatorias

- Experiencias irregulares.

- Experiencias regulares.

- Lei de Laplace.

Experiencias compostas

- Extraccións con e sen

reposición.

- Composición de experiencias

independentes. Cálculo de

probabilidades.

- Composición de experiencias

dependentes. Cálculo de

probabilidades.

- Aplicación da combinatoria ao

cálculo de probabilidades.

Táboas de continxencia

1. Coñecer as características

básicas dos sucesos e das

regras para asignar

probabilidades.

1.1. Aplica as propiedades dos sucesos

e das probabilidades. CCL,

CMCT,

CD

2. Resolver problemas de

probabilidade composta,

utilizando o diagrama en

árbore cando conveña.


experiencias independentes.

CCL,

CMCT,

CD,

CSC,

CSIEE


experiencias dependentes.

2.3. Interpreta táboas de continxencia e

utilízaas para calcular

probabilidades.

2.4. Resolve outros problemas de

probabilidade.

3. Aplicar a combinatoria ao

cálculo de probabilidades.

3.1. Aplica a combinatoria para resolver

problemas de probabilidades

sinxelos. CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC


problemas de probabilidade máis

complexos.








1.1. Aplica as propiedades dos sucesos e das

probabilidades.

- Actividades da web e das páxinas 255 e 266 do LA para o

cálculo de probabilidade de sucesos simples.


independentes.


cálculo de probabilidade de sucesos independentes.


dependentes.


cálculo de probabilidade de sucesos dependentes.

2.3. Interpreta táboas de continxencia e utilízaas

para calcular probabilidades.

- Actividades da web, do LA (páxinas 263 e 267) e dos RF para

interpretar táboas de continxencia e calcular probabilidades.

2.4. Resolve outros problemas de probabilidade. - Problemas de cálculo de probabilidades das páxinas 267, 268

e 269 do LA e dos RF.


problemas de probabilidades sinxelos.

- Problemas do LA e dos RF para aplicar a combinatoria ao

cálculo de probabilidades sinxelas.


228


problemas de probabilidade máis complexos.

- Problemas do LA (páxina 269) e dos RF nos que se pode

aplicar a combinatoria para o cálculo de probabilidades en

casos algo complexos.

5. TAREFAS Tarefa 0: Introdución ao estudo do cálculo de probabilidades

- Lemos o texto proposto e propoñemos unha idea e unha pregunta sobre a orixe do estudo da probabilidade.

- Buscamos información na web sobre os matemáticos mencionados e as súas achegas ao desenvolvemento

desta ciencia.

- Razoamos a proposta que nos propón o problema.

- Formulamos preguntas que nos gustaría responder a través do estudo desta unidade.

Tarefa 1: Sucesos aleatorios

- Realizamos un esquema ou un mapa mental repasando todos os conceptos e as definicións coñecidos

relacionados coa probabilidade.

- Repasamos algunhas operacións entre dous sucesos.

- Reforzamos os conceptos dun suceso e o seu contrario coas actividades da web.


Tarefa 2: Probabilidade dos sucesos. Propiedades

- Copiamos no caderno as propiedades da probabilidade.

- Lemos os exemplos e verificamos as propiedades aprendidas.

- Practicamos co exercicio proposto no LA.

Tarefa 3: Probabilidades en experiencias simples

- Vemos a diferenza entre experiencias irregulares e experiencias regulares.

- Lembramos a lei de Laplace.

- Analizamos, de forma cooperativa, como se realizan os cálculos de probabilidades nos exercicios resoltos.

- Reforzamos o cálculo de probabilidades sinxelas coas actividades da web.


Tarefa 4: Probabilidades en experiencias compostas

- Contrastamos a diferenza entre experiencias compostas dependentes e independentes.

- Reforzamos coas actividades propostas na web.


Tarefa 5: Composición de experiencias independentes

- Lembramos o que son as experiencias independentes.

- Entendemos a forma de calcular probabilidades nunha composición de experiencias independentes.

- Identificamos os pasos nos exercicios resoltos.

- Reforzamos o cálculo cos exercicios propostos na web.


Tarefa 6: Composición de experiencias dependentes

- Recordamos o que son experiencias dependentes.

- Entendemos a forma de calcular probabilidades nunha composición de experiencias dependentes.

- Identificamos os pasos para calcular estas probabilidades nos exercicios resoltos.

- Reforzamos o cálculo de probabilidades cos exercicios propostos na web.


Tarefa 7: Táboas de continxencia

- Describimos as táboas de continxencias e o seu uso.

- Utilizamos a folla de cálculo proposta na web para traballar con táboas de continxencia.

- Reforzamos o uso de táboas de continxencia coas actividades propostas na web.






229





CRITERIOS METODOLÓXICOS E ESTRATEXIAS DIDÁCTICAS

Traballar de xeito competencial na aula supón un cambio metodolóxico importante; o docente pasa a ser un

xestor de coñecemento do alumnado e o alumno ou alumna adquire un maior grao de protagonismo.

En concreto, na área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Académicas:

A área de Matemáticas é unha materia das denominadas instrumentais, polo que no traballo de aula o docente

manexa dous obxectivos fundamentais: a consecución de obxectivos curriculares a través dos contidos de

currículo e o desenvolvemento de habilidades que favorezan a aprendizaxe dos estudantes noutras áreas.

Neste proceso é necesario o adestramento individual e o traballo reflexivo de procedementos básicos da

materia: a resolución de problemas, o cálculo, a comparación e o manexo de datos..., aspectos que son

obviamente extrapolables a outras áreas e contextos de aprendizaxes.

Nalgúns aspectos da área, fundamentalmente naqueles que perseguen as habilidades de traballo en equipo e a

resolución conxunta de problemas, o traballo en grupo colaborador achega, ademais do adestramento de

habilidades sociais básicas e o enriquecemento persoal desde a diversidade, unha plataforma inmellorable para

adestrar a competencia comunicativa.

Desde o coñecemento da diversidade da aula e en resposta ás múltiples intelixencias predominantes nos

estudantes, o desenvolvemento de actividades desde a teoría das intelixencias múltiples facilita que todos os

alumnos e as alumnas poidan chegar a comprender os contidos que pretendemos que adquiran para o


Na área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Académicas é indispensable a vinculación a contextos reais

e a aplicación dos conceptos máis abstractos para entender a utilidade das ferramentas matemáticas no día a

día. Para iso, as tarefas competenciais propostas facilitarán este aspecto e permitirán a contextualización de

aprendizaxes en situacións cotiás e próximas aos estudantes.


Suxerimos o uso dos materiais seguintes: - O libro do alumnado para a área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Académicas de 4.º ESO.

- A proposta didáctica para Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Académicas de 4.º ESO.



- O libro dixital.

- A web do profesorado.

- A web do alumnado e da familia.


230

4º ESO -MATEMÁTICA ORIENTADAS AS ENSINANZAS APLICADAS

OBXECTIVOS

A área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Aplicadas de 4.º ESO contribuirá a desenvolver nos alumnos

e as alumnas as capacidades que lles permitan:

- Resolver problemas utilizando os recursos e as estratexias necesarios para iso, e indicar o proceso seguido

en cada caso.

- Facer predicións utilizando padróns, regularidades e leis matemáticas en distintos contextos matemáticos.

- Xerar variacións nos problemas xa resoltos co fin de afondar neles.

- Realizar procesos de investigación achegando informes de resultados e conclusións.

- Aplicar as matemáticas á vida cotiá.


- Desenvolver a resiliencia na resolución de situacións novas.

- Afrontar a toma de decisións como un proceso de crecemento persoal e de orientación cara ao futuro, e





- Utilizar de forma adecuada os diferentes tipos de números para resolver problemas da vida cotiá, aplicando


- Utilizar as magnitudes e as unidades de medida adecuadas en cada situación ao enfrontarse a un problema

matemático.

- Dispoñer de recursos para analizar e manexar situacións problemáticas e aplicar procedementos específicos

para resolvelas.

- Traducir eficazmente enunciados de problemas relacionados coa vida cotiá á linguaxe alxébrica.

- Manexar razoadamente polinomios e fraccións alxébricas.

- Utilizar ecuacións e sistemas para resolver problemas en contextos da vida real.

- Representar relacións cuantitativas e cualitativas a través de diferentes tipos de funcións e interpretar os

resultados obtidos a partir de táboas, gráficas...

- Coñecer os conceptos básicos sobre semellanza, teorema de Pitágoras, áreas de figuras planas e áreas e

volumes de corpos xeométricos, e aplicalos á resolución de problemas.

- Describir, utilizando un vocabulario adecuado, situacións extraídas de contextos comunicativos da realidade

sobre o manexo do azar e a estatística.

- Analizar e interpretar datos estatísticos extraídos de diferentes medios de comunicación.

- Utilizar diferentes medios de representación estatística en distribucións unidimensionais.

- Coñecer as distribucións bidimensionais, representalas e valorar a correlación.

- Resolver problemas de probabilidade simple e composta utilizando adecuadamente a Lei de Laplace, táboas

de dobre entrada, diagramas de árbore...


231


Na área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Aplicadas incidiremos no adestramento de todas as competencias de

xeito sistemático facendo fincapé nos descritores máis afíns a ela.


Esta área posibilita en todos e cada un dos seus aspectos a competencia matemática, a partir do coñecemento dos contidos

e a súa variedade de procedementos de cálculo, análise, medida e estimación da realidade que envolve os alumnos e as

alumnas, como instrumento imprescindible no desenvolvemento do seu pensamento e compoñente esencial de

comprensión.

Así, ademais dos descritores da competencia que se traballan puntualmente nas unidades, destacamos os seguintes:

- Aplicar métodos científicos rigorosos para mellorar a comprensión da realidade circundante en distintos ámbitos

(biolóxico, xeolóxico, físico, químico, tecnolóxico, xeográfico...). - Tomar conciencia dos cambios producidos polo ser humano no ámbito natural e as repercusións para a vida futura. - Comprometerse co uso responsable dos recursos naturais para promover un desenvolvemento sostible. - Recoñecer a importancia da ciencia na nosa vida cotiá. - Coñecer e utilizar os elementos matemáticos básicos: operacións, magnitudes, porcentaxes, proporcións, formas

xeométricas, criterios de medición e codificación numérica, etc. - Comprender e interpretar a información presentada en formato gráfico. - Expresarse con propiedade na linguaxe matemática. - Organizar a información utilizando procedementos matemáticos. - Aplicar estratexias de resolución de problemas a situacións da vida cotiá.


Para fomentar o seu desenvolvemento desde a área de Matemáticas débese insistir na incorporación do esencial da

linguaxe matemática á expresión habitual e a adecuada precisión no seu uso. Por outra parte, trabállase especificamente

nos contidos asociados á descrición verbal dos razoamentos e dos procesos.

Destacamos os descritores seguintes:

- Compoñer creativamente distintos tipos de textos con sentido literario. - Entender o contexto sociocultural da lingua, así como a súa historia, para un mellor uso desta. - Producir textos escritos de diversa complexidade para o seu uso en situacións cotiás ou en materias diversas. - Comprender o sentido dos textos escritos e orais. - Expresarse oralmente con corrección, adecuación e coherencia. - Respectar as normas de comunicación en calquera contexto: quenda de palabra, escoita atenta ao interlocutor... - Manexar elementos de comunicación non verbal, ou en diferentes rexistros, nas diversas situacións comunicativas. - Utilizar os coñecementos sobre a lingua para buscar información e ler textos en calquera situación.

Competencia dixital

A lectura e a creación de gráficas, a organización da información en forma analítica e comparativa, a modelización da

realidade, a introdución á linguaxe gráfica e estatística, o uso de calculadoras e ferramentas tecnolóxicas e outros procesos

matemáticos, contribúen ao desenvolvemento desta competencia.

Nesta área traballaremos os seguintes descritores da competencia:

- Seleccionar o uso das distintas fontes segundo a súa fiabilidade. - Actualizar o uso das novas tecnoloxías para mellorar o traballo e facilitar a vida diaria. - Aplicar criterios éticos no uso das tecnoloxías. - Utilizar as distintas canles de comunicación audiovisual para transmitir informacións diversas.


A achega matemática faise presente en multitude de producións artísticas e as súas estratexias e procesos mentais

fomentan a conciencia e a expresión cultural das sociedades. Igualmente, o alumnado, mediante o traballo matemático,

poderá comprender diversas manifestacións artísticas e será capaz de utilizar os seus coñecementos matemáticos na

creación das súas propias obras.


232

Nesta área traballaremos os seguintes descritores:

- Valorar a interculturalidade como unha fonte de riqueza persoal e cultural. - Expresar sentimentos e emocións mediante códigos artísticos. - Apreciar a beleza das expresións artísticas e as manifestacións de creatividade e gusto pola estética no ámbito cotián. - Elaborar traballos e presentacións con sentido estético.


A utilización de estratexias persoais de cálculo e de resolución de problemas facilita compartir estas para aceptar outros

puntos de vista, o que é indispensable á hora de realizar un traballo cooperativo e en equipo. Recoñecer e valorar as

achegas alleas enriquece o estudante.

Adestraremos os seguintes descritores:

- Desenvolver a capacidade de diálogo cos demais en situacións de convivencia e traballo, e para a resolución de

conflitos. - Concibir unha escala de valores propia e actuar conforme a ela. - Involucrarse ou promover accións cun fin social. - Mostrar dispoñibilidade para a participación activa en ámbitos de participación establecidos. - Recoñecer riqueza na diversidade de opinións e ideas.


As estratexias matemáticas como a resolución de problemas, que inclúen a planificación, a xestión do tempo e dos

recursos, a valoración dos resultados e a argumentación para defender o proceso e os resultados, axudan ao

desenvolvemento desta competencia. Esta axuda será maior na medida que se fomenten actitudes de confianza e de

autonomía na resolución de situacións abertas e problemas relacionados coa realidade concreta que vive o alumnado.

Os descritores que adestraremos son:

- Asumir as responsabilidades encomendadas e dar conta delas. - Contaxiar entusiasmo pola tarefa e ter confianza nas posibilidades de acadar obxectivos. - Configurar unha visión de futuro realista e ambiciosa. - Xerar novas e diverxentes posibilidades desde coñecementos previos dun tema. - Actuar con responsabilidade social e sentido ético no traballo. - Asumir riscos no desenvolvemento das tarefas ou dos proxectos. - Atopar posibilidades no contorno que outros non aprecian.

Aprender a aprender

- A autonomía na resolución de problemas en Matemáticas, xunto coa verbalización do proceso de resolución, axuda á

reflexión sobre o aprendido, favorecendo esta competencia. - Para o desenvolvemento da competencia de aprender a aprender é tamén necesario incidir desde a área nos contidos

relacionados coa autonomía, a perseveranza, a sistematización, a mirada crítica e a habilidade para comunicar con

eficacia os resultados do propio traballo. - Traballaremos os seguintes descritores de xeito prioritario: - Xestionar os recursos e as motivacións persoais en favor da aprendizaxe. - Aplicar estratexias para a mellora do pensamento creativo, crítico, emocional, interdependente... - Desenvolver estratexias que favorezan a comprensión rigorosa dos contidos. - Planificar os recursos necesarios e os pasos que se deben realizar no proceso de

aprendizaxe. - Seguir os pasos establecidos e tomar decisións sobre os pasos seguintes en función dos resultados intermedios. - Avaliar a consecución de obxectivos de aprendizaxe. - Tomar conciencia dos procesos de aprendizaxe.


233



O currículo da área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Aplicadas agrúpase en varios bloques. Os

contidos, os criterios de avaliación e os estándares de aprendizaxe formúlanse para 4.º de Educación

Secundaria. Na súa redacción respectarase a numeración dos criterios de avaliación e dos estándares de aprendizaxe tal e




BLOQUE 1: Procesos, métodos y actitudes matemáticas - Planificación del proceso de resolución de problemas.

- Estrategias y procedimientos puestos en práctica:

a) Uso del lenguaje apropiado (gráfico, numérico, algebraico, estadístico y probabilístico)

b) Reformulación del problema

c) Resolución de subproblemas

d) Análisis inicial de caso particulares sencillos

e) Búsqueda de regularidades y leyes

- Reflexión sobre los resultados:

a) Revisión de las operaciones utilizadas.

b) Asignación de unidades a los resultados.

c) Comprobación e interpretación de las soluciones en el contexto adecuado.

d) Búsqueda de otras formas de resolución.

e) Planteamiento de otras preguntas.

-Planteamiento de investigaciones matemáticas escolares en contextos numéricos, geométricos, funcionales,

estadísticos y probabilísticos.

-Práctica de procesos de modelización matemática, en contextos de la realidad cotidiana y contextos

matemáticos.

-Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias

del trabajo científico.

-Utilización de los medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para:

a) La recogida ordenada y la organización de datos.

b) La elaboración y creación de representaciones gráficas de datos numéricos, funcionales o estadísticos.

c) Facilitar la comprensión de propiedades geométricas o funcionales y la realización de cálculos de tipo

numérico, algebraico o estadístico.

d) El diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situaciones matemáticas diversas.

e) La elaboración de informes sobre los procesos llevados a cabo, los resultados y las conclusiones

obtenidas.

f) Difundir y compartir, en entornos apropiados, la información y las ideas matemáticas.

BLOQUE 2:

Números

- Números reales: Distinción de números racionales e irracionales y representación en la recta real.

- Interpretación y utilización de los números reales y las operaciones en diferentes contextos, eligiendo

la notación y precisión más adecuadas en cada caso.

- Utilización de la calculadora para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica.

- Cálculos aproximados.

- Intervalos. Significado y diferentes formas de expresión.

- Proporcionalidad directa e inversa. Aplicación a la resolución de problemas de la vida cotidiana.

- Los porcentajes en la economía. Aumentos y disminuciones porcentuales. Porcentajes sucesivos.


234

- Interés simple y compuesto.

Álgebra

- Polinomios: raíces y factorización.

- Utilización de identidades notables.

- Resolución de ecuaciones y sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

- Resolución de problemas cotidianos mediante ecuaciones y sistemas.

BLOQUE 3:

Geometría

- Figuras semejantes.

- Teoremas de Tales y Pitágoras.

- Aplicación de la semejanza para la obtención indirecta de medidas.

- Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos semejantes.

- Resolución de problemas geométricos en el mundo físico: medida y cálculo de longitudes, áreas y

volúmenes de diferentes cuerpos.

- Uso de aplicaciones informáticas de geometría dinámica que faciliten la comprensión de conceptos y

propiedades geométricas.

BLOQUE 4: Funciones

- Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica.

- Estudio de otros modelos funcionales y descripción de sus características, usando el lenguaje

matemático apropiado.

- Aplicación en contextos reales.

- La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo.

BLOQUE 5: Estadística y probabilidad.

Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación.

Interpretación, análisis y utilidad de los parámetros de centralización y dispersión.

Comparación de distribuciones mediante el uso conjunto de parámetros de posición y dispersión.

Coeficiente de variación.

Construcción e interpretación de diagramas de dispersión.

Introducción a la correlación.

Azar y probabilidad.

Frecuencia de un suceso aleatorio.

Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace.

Probabilidad simple y compuesta.

Sucesos dependientes e independientes.


235

Temporalización (4º ESO Matemáticas Aplicadas)


CONTIDOS CORRESPONDENCIA COAS LECCIÓNS DO LIBRO DE TEXTO

PRIMEIRO

Números enteiros e racionais

Números decimais

Números reais


Expresións alxébricas

1

2

3

4

5

SEGUNDO

Ecuacións




6

7

8

9

TERCEIRO

Xeometría

Estatística

Distribucións bidimensionais

Probabilidade

10

11

12

13


Unidade 1:


Título

Números enteiros e racionais


O carácter orientador que debe ter a ESO leva consigo a necesidade de facilitar que, neste último curso,

os alumnos e as alumnas poidan coñecer como son as matemáticas que se van atopar posteriormente,

tanto no ámbito académico, onde esta materia pode non ser esencial, como no mundo profesional ou

laboral. Por iso cremos que, nesta opción orientada ás ensinanzas aplicadas, debe prevalecer o papel

instrumental, cultural e de razoamento.

O obxectivo desta unidade é repasar, aclarar, reforzar e dar sentido práctico ao coñecemento sobre os

números naturais, enteiros e racionais. Así, ao longo de toda ela, xunto ao repaso de coñecementos teóricos,

toma especial relevancia a presenza de modelos de problemas resoltos con significado no contorno dos

alumnos e as alumnas.

Os números naturais son os que mellor dominan, pero non é estraño atopar estudantes que non adquiriron

destreza dabondo nas operacións con enteiros. Os aspectos básicos nos que hai que insistir son: a orde en

Z, o cálculo mental e as regras de operativa, uso de parénteses e xerarquía das operacións.

Os números fraccionarios, o seu significado e a súa utilidade para medir é algo xa aprendido en cursos

anteriores. É na súa operatoria onde adoitan aparecer diferenzas. Insistirase niso. A tecla de fracción na

calculadora pode ser un bo recurso, non só para substituír o cálculo manual de expresións complicadas,

senón para entender a simplificación e a equivalencia entre fracción e número decimal.

O significado das potencias de expoñente negativo merece unha atención especial, dado o pouco intuitivo


236

do concepto, antes de empezar a utilizar a tecla xy da calculadora para obter calquera potencia. É desexable

que os alumnos e as alumnas cheguen a operar e simplificar expresións con potencias aplicando as

propiedades destas.

Lembramos unha vez máis a importancia de motivar e convencer os estudantes do uso racional da

calculadora, sabendo cando convén recorrer a ela e o absurdo da súa dependencia para facer cálculos que

se poden obter mentalmente sen máis que saber o seu significado; por exemplo:

181, (3 7) 2, 3

2− +

Temporalización

Setembro


1. Manexar con destreza as operacións con números naturais, enteiros e fraccionarios.

2. Resolver problemas aritméticos con números enteiros e fraccionarios.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Números naturais e enteiros

- Operacións. Regras.

- Manexo destro nas

operacións con números

enteiros.

- Valor absoluto.

Números racionais

- Representación na recta.

- Operacións con fraccións.

- Simplificación.

- Equivalencia.

Comparación.

- Suma. Produto. Cociente.

- A fracción como operador.

Potenciación

- Potencias de expoñente

enteiro. Operacións.

Propiedades.

- Relación entre as potencias

e as raíces.



aritméticos.

1. Operar con destreza con

números positivos e

negativos en operacións

combinadas.



enteiros.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CCEC

2. Manexar fraccións: uso e

operacións. Coñecer e

aplicar a xerarquía das

operacións e o uso das

parénteses.

2.1. Realiza operacións con

fraccións. CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC

3. Operar e simplificar con


enteiro.

3.1. Realiza operacións e

simplificacións con potencias

de expoñente enteiro.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSIEE


numéricos con números

enteiros e fraccionarios.


combinatoria sinxelos

(que non requiren coñecer

as fórmulas das

agrupacións

combinatorias clásicas).


deba utilizar números enteiros

e fraccionarios. CMCT,

CD,

CAA,

CSIEE



237







1.1. Realiza operacións combinadas con

números enteiros.

- Actividades de operacións combinadas con números

enteiros das páxinas 14 e 21 do LA.

2.1. Realiza operacións con fraccións. - Exercicios de operacións con fraccións das páxinas 17 e

21 do LA.

3.1. Realiza operacións e simplificacións con


- Actividades para operar con potencias de expoñente

enteiro das páxinas 20 e 21 do LA e actividades da web.

4.1. Resolve problemas nos que deba utilizar

números enteiros e fraccionarios.

- Problemas do LA (páxinas 15, 19, 22 e 23) e da web, nos

que se utilizan números enteiros e fraccionarios.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Coñecemos os números enteiros e racionais - Lemos os textos propostos e extraemos as ideas principais destes.

Tarefa 1: Números naturais

- Lembramos coñecementos previos dos números naturais.

- En grupos de tres persoas, cada unha le detidamente un dos problemas resoltos e explícallelo aos seus

compañeiros ou compañeiras.

- Repetimos a estratexia cos problemas de conteos, prestando especial atención ás estratexias utilizadas.


Tarefa 2: Números enteiros

- Lembramos como se representan números sobre unha recta e o significado dos números negativos.

- Repasamos as operacións combinadas con números enteiros.

- Aplicamos as operacións á resolución de problemas con números enteiros.


Tarefa 3: Números racionais e fraccións

- Poñemos en común os coñecementos previos sobre números racionais.

- Repasamos o mecanismo para simplificar fraccións e obter fraccións equivalentes cos exemplos, e

aplicámolo aos exercicios da marxe.

- Lembramos as operacións básicas con fraccións e comprobamos co exercicio resolto.

- Aplicamos as operacións á resolución de problemas con números racionais.

- Revisamos as estratexias para resolver problemas de fraccións traballando en equipo os problemas

resoltos.


- Reforzamos a resolución de problemas con fraccións realizando as actividades propostas na web.

Tarefa 4: Potencias de expoñente enteiro

- Repasamos as potencias e os elementos que conforman esta operación.

- Observamos as propiedades das potencias no resumo da marxe e comprobamos a súa aplicación aos

exercicios resoltos.

- Reforzamos as operacións con potencias cos exercicios da web.





238

- Realizamos a proposta da sección «Curiosidades matemáticas».

Unidade 2.


Título

Números decimais


A importancia desta unidade é evidente: os números decimais utilizámolos cotiamente, tanto no noso

sistema monetario coma en calquera outro de medida. Aínda que os estudantes os coñecen e os manexan

con soltura, cómpre reflexionar e afondar sobre eles para chegar a conseguir que relacionen os números

decimais coas fraccións, que manexen con soltura a aproximación e o control do erro cometido, así como

a notación científica, manualmente e coa calculadora.

Ao comezo da unidade faise un superficial repaso das vantaxes do noso sistema de numeración decimal:

facilidade de expresión, lectura e comparación de números, a utilización do redondeo como a aproximación

que máis se achega ao número ata certa orde, e mostra con claridade a magnitude do erro cometido.

Se consideramos toda fracción como unha división indicada, ao efectuala xorden os distintos tipos de

decimais exactos ou periódicos.

O paso de decimal periódico a fracción non é fácil e por iso está exposto coas indicacións suficientes para

que se comprenda e xustifique. Aplicándoo nun bo número de casos, os estudantes chegarán a utilizalo de

forma case automática e sen que pareza unha receita misteriosa. Non obstante, o obxectivo fundamental é

que saiban que todo decimal periódico pode expresarse como fracción e que existen outros decimais non

periódicos que non poden poñerse en forma fraccionaria.

O dominio das aproximacións decimais é outro aspecto fundamental. A presenza e a utilización dos

decimais ilimitados, periódicos ou non, e de números enteiros con moitas cifras, lévanos a aprender cantas

cifras convén tomar para expresar, razoablemente e con eficacia, certa cantidade.

Esta idea enlaza co uso da notación científica, coa que os estudantes se atoparían xa na calculadora. É

necesario insistir na súa interpretación, xa que, na maioría dos modelos,

non aparece a base 10 e, por iso, os alumnos e as alumnas tenden a confundir o resultado coa

potencia 325 en lugar de 3 · 1025. A tecla EXP é un bo recurso

para esta aprendizaxe. Secuencias como 8.25 EXP 7 +/−= ; 10 EXP 7= 108 ; 532.9 EXP 12= 5.32914 ou

outras similares son un bo elemento de reflexión para entender la notación científica.

O produto, cociente e potencias de números en notación científica son sinxelos. En canto á suma ou a resta,

hai que ter en conta que só ten sentido facela cando a magnitude dos números é moi próxima, xa que, noutro

caso, o resultado é practicamente igual á orde do maior.

Temporalización

Outubro 2. OBXECTIVOS DIDÁCTICOS

1. Manexar con destreza os números decimais, as súas relacións coas fraccións, as súas aproximacións e

os erros cometidos nelas.

2. Coñecer a notación científica e efectuar operacións con axuda da calculadora.



Contidos Criterios Estándares de aprendizaxe avaliables CC


239

de avaliación

Expresión decimal dos

números

- Vantaxes: escritura, lectura,

comparación

Números decimais e

fraccións. Relación

- Paso de fracción a decimal.

- Paso de decimal exacto a

fracción.

- Paso de decimal periódico a

fracción.

- Periódico puro.

- Periódico mixto.

Números aproximados

- Erro absoluto. Cota.

- Erro relativo. Cota.

Redondeo de números

- Asignación dun número de

cifras acorde coa precisión

dos cálculos e co que estea a

expresar.

- Cálculo dunha cota do erro

absoluto e do erro relativo

cometidos.

A notación científica

- Lectura e escritura de


científica.

- Relación entre erro relativo e

o número de cifras

significativas utilizadas.

- Manexo da calculadora para

a notación científica.

1. Manexar con

destreza a

expresión dos

números

decimais e

coñecer as súas

vantaxes

respecto a outros

sistemas de

numeración.

1.1. Domina a expresión decimal dun

número ou dunha cantidade.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC

1.2. Coñece e diferencia os distintos

tipos de números decimais, así

como as situacións que os

orixinan.

2. Relacionar os

números

fraccionarios coa

súa expresión

decimal.

2.1. Acha un número fraccionario

equivalente a un decimal exacto

ou periódico.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSIEE

3. Facer

aproximacións

adecuadas a cada

situación e

coñecer e

controlar os

erros cometidos.

3.1. Aproxima cantidades á orde de

unidades adecuada e calcula ou

acouta os erros absoluto e relativo

en cada caso.

CMCT,

CD,

CAA,

CSIEE

4. Coñecer a

notación

científica e

efectuar

operacións

manualmente e

con axuda da

calculadora.

4.1. Interpreta e escribe números en

notación científica e opera con

eles.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CCEC

4.2. Usa a calculadora para anotar e

operar con cantidades dadas en

notación científica, e relaciona os

erros coas cifras significativas

utilizadas.








1.1. Domina a expresión decimal dun número ou

dunha cantidade.

- Actividades do LA (páxina 34) e dos RF de

expresións decimais.


240

1.2. Coñece e diferencia os distintos tipos de

números decimais, así como as situacións que

os orixinan.

- Actividades de cálculos con números decimais da

páxina 34 do LA.

2.1. Acha un número fraccionario equivalente a un

decimal exacto ou periódico.

- Actividades da web e das páxinas 27 e 34 do LA e

para relacionar números fraccionarios e decimais.

3.1. Aproxima cantidades á orde de unidades

adecuada e calcula ou acouta os erros absoluto

e relativo en cada caso.

- Exercicio da páxina 28 para estimar o número de

cifras significativas e preguntas de cálculo do erro

das páxinas 29 e 30 do LA.

4.1. Interpreta e escribe números en notación

científica e opera con eles.

- Actividades do LA para utilizar números en notación

científica (páxina 31).

4.2. Usa a calculadora para anotar e operar con

cantidades dadas en notación científica, e

relaciona os erros coas cifras significativas

utilizadas.

- Actividades de cálculo con números escritos en

notación científica das páxinas 32 e 33 do LA, dos

RF e da web.

5. TAREFAS Tarefa 0: Coñecemos os números decimais - Lemos os textos propostos e extraemos as ideas principais destes utilizando algunha rutina de pensamento

(por exemplo «Leo-Penso-pregúntome»).

Tarefa 1: Importancia do sistema de numeración decimal

- Comparamos o sistema de numeración decimal con outros sistemas de numeración, como o romano.

- Analizamos as vantaxes da numeración decimal e propoñemos algúns exemplos distintos aos do libro.

Tarefa 2: Tipos de números decimais

- Representamos os distintos tipos de números decimais nun mapa mental, achegando exemplos e

símbolos.


Tarefa 3: De decimal a fracción

- En grupos de tres persoas, traballamos o paso dos distintos tipos de números decimais a fracción coa

estrutura cooperativa de «Grupos de expertos».

- Reforzamos o paso de números decimais a fracción realizando as actividades propostas na web.


Tarefa 4: Utilización de cantidades aproximadas

- Comprendemos os conceptos de cifra significativa, erro absoluto, erro relativo, redondeo e cota de erro.

- Contrastamos os conceptos aprendidos cos exercicios resoltos.

- Reforzamos o cálculo de erros cos exercicios da web.


Tarefa 5: A notación científica

- Repasamos como se escriben os números en notación científica.

- Aplicamos a notación científica a exemplos cotiáns.

- Practicamos con exercicios de potencias de base 10 da actividade proposta na web.

- Observamos como se opera con números expresados en notación científica e a súa aplicación aos

exercicios resoltos.

- Practicamos cos exercicios de notación científica e a operación suma cos exercicios da web.

- Identificamos na calculadora a secuencia de teclas que hai que utilizar para realizar cálculos con notación

científica.





- Recompilamos actividades para o portfolio do alumnado.


241

Unidade 3:


Título

Números reais


A pesar do seu nome, os números reais xogan un papel máis teórico que práctico, pois, como vimos na

unidade anterior, nas aplicacións dos números á realidade abonda con utilizar unhas poucas cifras decimais.

De maneira que, nesta unidade, nos ocuparemos, fundamentalmente, de aspectos teóricos dos números.

Comézase atendendo á súa clasificación: enteiros, fraccionarios, irracionais... A concepción dos irracionais

como números que non poden expresarse como cociente de dous enteiros pode atinxir, para estes alumnos

e alumnas, unha significación histórica e anecdótica: os irracionais existen, a súa existencia supuxo un

choque para os antigos gregos e coñecemos algúns: , 2, 3 Xunto cos irracionais, enchen a recta,

dando lugar aos números reais.

O manexo dos intervalos (abertos, pechados, semiabertos) e das semirrectas, a súa nomenclatura e

significado, son destrezas que estes estudantes deben dominar, así como o significado das raíces n-ésimas

e a forma exponencial destas. E, sobre todo, a utilización da calculadora para obter a expresión decimal de

calquera raíz. Unha vez máis insistiremos no importante que resulta saber cantas cifras decimais se deben

manexar en función do contexto no que se estea a traballar.

As propiedades dos radicais, ademais de ter interese teórico, serven para poder manexalos eficientemente.

Simplificar, operar, extraer fóra da raíz, racionalizar... son, en definitiva, manipulacións cuxo obxectivo é

manter o resultado final da forma máis elegante e cómoda de expresar («matematicamente correcta»). Non

obstante, desde un punto de vista práctico, e coa axuda da calculadora, pódense obter as expresións

decimais dos radicais e operar, sinxelamente, con eles.

Con isto queremos dicir que, para aqueles alumnos e alumnas que non han de seguir estudando

matemáticas, podería ser moi razoable prescindir de todo o correspondente á manipulación de radicais, e

animalos a que simplifiquen o proceso, pasando deseguida ás súas expresións decimais.

Temporalización

Outubro


1. Coñecer os números reais, os distintos conxuntos de números e os intervalos sobre a recta real.

2. Coñecer o concepto de raíz dun número, así como as propiedades das raíces, e aplicalos na operatoria

con radicais.



Contidos Criterios

de avaliación Estándares de aprendizaxe avaliables CC

Números non racionais

- Expresión decimal.

- Recoñecemento dalgúns

irracionais

( )2, , , .

1. Coñecer os

números reais,

os distintos

conxuntos de

números e os

intervalos sobre

1.1. Clasifica números de distintos tipos. CCL,

CMCT,

CD,

CSIEE,

CCEC


numérico con raíces.


242

Os números reais

- A recta real.

- Representación exacta ou

aproximada de números de

distintos tipos sobre R.

Intervalos e semirrectas

- Nomenclatura.

- Expresión de intervalos ou

semirrectas coa notación

adecuada.

Raíz n-ésima dun número

- Propiedades.

- Notación exponencial.

- Utilización da calculadora

para obter potencias e raíces

calquera.

Radicais


- Utilización das propiedades

con radicais. Simplificación.

Racionalización de

denominadores.

a recta real.

2. Utilizar distintos

recursos para

representar

números reais

sobre a recta

numérica.

2.1. Representa números reais

apoiándose no teorema de Tales e

no teorema de Pitágoras.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CCEC

2.2. Representa números reais coa

aproximación desexada.

3. Coñecer e

manexar a

nomenclatura

que permite

definir

intervalos sobre

a recta numérica.

3.1. Define intervalos e semirrectas na

recta real. CCL,

CMCT,

CAA

4. Coñecer o

concepto de raíz

dun número.

4.1. Traduce raíces á forma exponencial

e viceversa. CMCT,

CD,

CAA,

CSIEE

4.2. Calcula raíces manualmente e coa

calculadora.

5. Coñecer as

propiedades das

raíces e aplicalas

na operatoria

con radicais.

5.1. Interpreta e simplifica radicais. CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CCEC

5.2. Opera con radicais.

5.3. Racionaliza denominadores.








1.1. Clasifica números de distintos tipos. - Actividades do LA e os RF para recoñecer os distintos

tipos de números (por exemplo, exercicios 2 e 3 da

páxina 47 do LA).


numérico con raíces.

- Actividades da web e do LA para o cálculo de raíces con

calculadora (por exemplo os da páxina 47 do LA).

2.1. Representa números reais apoiándose no

teorema de Tales e no teorema de

Pitágoras.

- Exercicios da web e das páxinas 41 e 47 do LA sobre

representación de números reais.


243

2.2. Representa números reais coa

aproximación desexada.

- Exercicios da web e das páxinas 41 e 47 do LA para

representar números reais.

3.1. Define intervalos e semirrectas na recta

real.

- Actividades do LA para definir intervalos e semirrectas

(páxinas 43 e 47).

4.1. Traduce raíces á forma exponencial e

viceversa.

- Actividades do LA para expresar de forma exponencial

raíces (por exemplo, exercicio 1 da páxina 44 do LA).

4.2. Calcula raíces manualmente e coa

calculadora.

- Actividades do LA para calcular raíces (por exemplo,

exercicios 2 e 3 da páxina 44).

5.1. Interpreta e simplifica radicais. - Exercicios das páxinas 46 e 48 do LA e exercicios da

páxina web.

5.2. Opera con radicais. - Actividades do LA para operar con radicais: páxinas 46,

48 e 49, e actividades propostas na web.

5.3. Racionaliza denominadores. - Exercicios de racionalización de denominadores. Por

exemplo, o exercicio 6 da páxina 46 do LA e os

exercicios propostos nos RF.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Coñecemos os números reais


Tarefa 1: Números irracionais - Presentamos os exemplos de números irracionais do LA.

- Investigamos na web datos e curiosidades sobre números irracionais.

Tarefa 2: Números reais: a recta real - Lembramos como se representan números sobre unha recta e aplicamos os coñecementos previos á

representación dos números reais.

- Relacionamos teoremas coñecidos coa representación de números sobre a recta real.

- Practicamos cos exercicios de representación de números na recta real da web e do LA.

Tarefa 3: Tramos da recta real: intervalos e semirrectas

- Lembramos os conceptos de intervalo e semirrecta, os distintos tipos de intervalos, e representámolos

graficamente.


Tarefa 4: Raíces e radicais - Repasamos o concepto de raíz e radical, e os elementos que forman parte desta

operación.

- Comparamos as expresións escritas da radicación en forma de radical ou en forma exponencial e

aplicamos ambas as dúas formas aos exercicios do LA.

- Lembramos as propiedades das potencias coas actividades da web.


Tarefa 5: Operacións con radicais - Lembramos como se opera con radicais, observamos as propiedades das operacións con radicais e a súa

aplicación nos exemplos.

- Identificamos os pasos que hai que realizar para eliminar os radicais do denominador.

- Reforzamos as operacións con radicais cos exercicios da web.


Tarefa 6: Exercicios e problemas - Realizamos unha selección de actividades da sección «Exercicios e problemas» do LA.


Unidade 4:


244


Título



Nesta unidade revísanse algúns conceptos relacionados coa proporcionalidade e afóndase nos procesos para a

súa aplicación á resolución de certos problemas aritméticos cos que se atoparán os alumnos e as alumnas na

análise e interpretación da realidade cotiá: orzamentos, investimentos, compras a prazos, rebaixas, reparticións,

estimación de beneficios, previsión de tempos en viaxes, etc. Estamos falando de matemáticas prácticas para a

vida.

En cada unha das epígrafes que estruturan a unidade, seleccionouse unha serie de

problemas tipo que serven para activar os conceptos e os procedementos que dan contido ao tema.

O obxectivo é que os estudantes, a través dos exemplos, tomen conciencia dos devanditos contidos e os

incorporen de forma significativa, xeneralizándoos e sendo capaces de transferilos para a súa aplicación

noutras situacións e contextos.

No plano conceptual revísanse:

- As relacións de proporcionalidade directa e inversa.

- A idea de porcentaxe: como fracción, como número decimal e como proporción.

- O xuro bancario, simple e composto.

No plano dos procedementos insístese e afóndase en:

- O método de redución á unidade para a resolución de situacións de proporcionalidade.

- A regra de tres simple (directa e inversa) e composta.

- O cálculo con porcentaxes (cálculo da parte, do total ou da porcentaxe, aumentos e diminucións

porcentuais, etc.).

- O prezo do diñeiro en situacións de depósitos e préstamos (xuro simple e xuro composto).

- Os procesos que facilitan a resolución de problemas relativos a mesturas e reparticións proporcionais.

- Os procedementos para a resolución de problemas relativos a velocidades e tempos (encontros,

persecucións e alcances, etc.).

Gran parte destes contidos presentouse xa en cursos anteriores e pesa neles tanto o conceptual coma o

procedemental. O afondamento dependerá do grao de dificultade con que se aborden: complexidade do

enunciado, tipo de números manexados nos datos, interpretación das solucións, expresión e presentación

dos procesos, etc.

Temporalización

Novembro


1. Aplicar procedementos específicos para a resolución de problemas relacionados coa proporcionalidade

e as porcentaxes.

2. Dispoñer de recursos para analizar e manexar situacións de mesturas, reparticións, desprazamentos de

móbiles, enchedura e baleirado...




245

Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Magnitudes directa e

inversamente proporcionais

- Método de redución á

unidade.

- Regra de tres.

- Proporcionalidade

composta.


proporcionalidade simple e

composta.

Reparticións directa e

inversamente proporcionais

Porcentaxes

- Cálculo de porcentaxes.

- Asociación dunha

porcentaxe a unha fracción

ou a un número decimal.


porcentaxes.

- Cálculo do total, da parte

e do tanto por cento.

-Aumentos e

Diminucións porcentuais.

Xuro bancario

- O xuro simple como un caso

de proporcionalidade

composta. Fórmula.

- Xuro composto.

Outros problemas

aritméticos

- Mesturas, móbiles,

encheduras e baleirado.

1. Aplicar

procedementos

específicos para a

resolución de

problemas

relacionados coa

proporcionalidade.


proporcionalidade simple,

directa e inversa, mentalmente,

por redución á unidade e

manualmente, utilizando a

regra de tres.

CCL,

CMCT,

CD,

SEIP,

CCEC 1.2. Resolve problemas de


2. Coñecer e aplicar

procedementos

para a resolución

de situacións de

reparticións

proporcionais.


reparticións directa e

inversamente proporcionais.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSIEE

3. Aplicar

procedementos

específicos para

resolver

problemas de

porcentaxes.

3.1. Calcula porcentaxes (cálculo da

parte dado o total, cálculo do

total dada a parte).

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC


porcentaxes: cálculo do total,

da parte ou do tanto por cento.


aumentos e diminucións

porcentuais.

3.4. Resolve problemas con

porcentaxes encadeadas.

4. Comprender e

manexar

situacións

relacionadas co

diñeiro (xuro

bancario).

4.1. Resolve problemas de xuro

simple. CCL,

CMCT,

CD,

SEIP,

CCEC

4.2. Resolve problemas sinxelos de

xuro composto.

5. Dispoñer de

recursos para

analizar e manexar

situacións de

mesturas,

reparticións,

desprazamentos de

móbiles,

encheduras e

baleirado...


mesturas.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA


velocidades e tempos

(persecucións e encontros, de

enchedura e baleirado).



246








simple, directa e inversa, mentalmente,

por redución á unidade e manualmente,

utilizando a regra de tres.

- Actividades dos RF e das páxinas 51 e 64 do LA para

resolver problemas de proporcionalidade.


composta.

- Problemas das páxinas 52 e 64 do LA e da web de


2.1. Resolve problemas de reparticións

directa e inversamente proporcionais.

- Problemas de reparticións das páxinas 53, 65 e 66 do LA.

3.1. Calcula porcentaxes (cálculo da parte

dado o total, cálculo do total dada a

parte).

- Problemas de cálculo de porcentaxes dos RF e das páxinas

54, 64 e 65 do LA.

3.2. Resolve problemas de porcentaxes:

cálculo do total, da parte ou do tanto por

cento.

- Problemas de porcentaxes do LA; por exemplo, das

páxinas 55 e 65.

3.3. Resolve problemas de aumentos e


- Problemas de aumentos e diminucións porcentuais das

páxinas 56, 57 e 65 do LA.

3.4. Resolve problemas con porcentaxes

encadeadas.

- Problemas de porcentaxes encadeados das páxinas 58 e 66

do LA.

4.1. Resolve problemas de xuro simple. - Problemas de xuro simple do LA (páxinas 59 e 65).

4.2. Resolve problemas sinxelos de xuro

composto.

- Problemas de aplicación de xuro composto das páxinas 60

e 65 do LA.

5.1. Resolve problemas de mesturas. - Problemas de mesturas das páxinas 61 e 66 do LA e

problemas propostos na web.

5.2. Resolve problemas de velocidades e

tempos (persecucións e encontros, de

enchedura e baleirado).

- Problemas de velocidades e tempos das páxinas 61 e 63

do LA e actividades da web.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Coñecemos os problemas aritméticos


Tarefa 1: Proporcionalidade simple - Lembramos o que son magnitudes directa e inversamente proporcionais.

- Repasamos o mecanismo da regra de tres directa e inversa.

- Aplicamos os conceptos repasados aos problemas propostos na web e no LA.

Tarefa 2: Proporcionalidade composta - Razoamos a diferenza entre proporcionalidade simple e composta.

- Identificamos as posibles combinacións que poden aparecer en proporcións compostas.


247

- Aplicamos o aprendido a problemas propostos na web e no LA.

Tarefa 3: Reparticións proporcionais

- Analizamos os dous exemplos propostos de reparticións directa e inversamente proporcionais e os pasos

que se seguen para a súa realización.


Tarefa 4: Cálculos de porcentaxes - Entendemos que as porcentaxes son unha proporción e que se poden expresar tamén como fracción ou

como número decimal.

- Calculamos mentalmente as porcentaxes da marxe do LA.

- Distinguimos as situacións que nos pode formular un problema de porcentaxes: cálculo do total, cálculo

da porcentaxe, cálculo da cantidade inicial.

- Lemos e comprendemos os pasos executados para resolver problemas de aumentos e diminucións

porcentuais.

- Identificamos os pasos que convén dar para resolver problemas de porcentaxes encadeadas.


Tarefa 5: Depósitos e préstamos - Coñecemos os termos usados en aritmética mercantil.

- Analizamos os problemas resoltos e contrastamos as dúbidas cun compañeiro ou compañeira.

- Identificamos os pasos para resolver os problemas de xuro composto e comparámolos cos pasos aplicados

nos exercicios resoltos.


Tarefa 6: Outros problemas aritméticos - Aplicamos os razoamentos e os procedementos aprendidos a outras situacións de proporcionalidade

directa e inversa, como mesturas, móbiles...

- Reforzamos a resolución de problemas aritméticos coas actividades propostas na web.




Unidade 5:


Título

Expresións alxébricas


Esta unidade é a primeira das tres que lle imos dedicar neste curso ao estudo da álxebra.

Unha boa parte dos contidos que se manexan xa son coñecidos de cursos anteriores.

Os dous primeiros apartados da unidade céntranse en lembrar os monomios e os polinomios, a súa

terminoloxía básica e as súas operacións. Todo iso é coñecido, agás a división de polinomios, que esixirá

un tratamento máis pausado e reiterado.

Como un caso particular de división, introdúcese a regra de Ruffini e, aínda que sen nomealo, o teorema

do resto, que servirá de base para o procedemento que permite buscar as raíces dun polinomio.

Lémbranse tamén os produtos notables e a extracción de factor común que, xunto coas raíces dun

polinomio, permitirán traballar na súa factorización. E todo iso aplicarase na simplificación de expresións

alxébricas.

Por último, dedícase un apartado á preparación para resolver ecuacións mediante a realización de

actividades nas que se propón simplificar expresións ou traducir á linguaxe alxébrica un enunciado, tarefas


248

fundamentais para as próximas unidades.

Destacamos o carácter fundamentalmente procedemental da unidade, na que predomina a operativa. Isto

supón que no proceso de aprendizaxe se debe primar a práctica reiterada de exercicios que permitan adquirir

axilidade e seguridade no cálculo alxébrico.

Temporalización

Novembro Decembro


1. Diferenciar os distintos tipos de expresións alxébricas e operar con elas, especialmente as relacionadas

coa redución e a resolución de ecuacións.

2. Coñecer a regra de Ruffini e as súas aplicacións. Factorizar polinomios. Coñecer a regra de Ruffini e

as súas aplicacións. Factorizar polinomios.



Contidos Criterios


avaliables CC

Monomios. Terminoloxía

- Valor numérico.

- Operacións con

monomios: produto,

cociente, simplificación.

Polinomios

- Valor numérico dun

polinomio.

- Suma, resta,

multiplicación e división

de polinomios.

Regra de Ruffini para

dividir polinomios entre

monomios do tipo x – a

- Raíces dun polinomio.

Factorización de

polinomios

- Sacar factor común.

- Identidades notables.

- A división exacta como

instrumento para a

factorización (raíces do

polinomio).

Preparación para a

resolución de ecuacións e

sistemas

- Expresións de primeiro

grao.


monomios, a súa terminoloxía

e as súas operacións.

1.1. Recoñece e nomea os

elementos dun monomio. CCL,

CMCT,

CD,

CAA 1.2. Opera con monomios.


polinomios, a súa

terminoloxía e as súas

operacións.

2.1. Suma, resta, multiplica e

divide polinomios. CCL,

CMCT,

CD,

CAA

3. Coñecer a regra de Ruffini e as

súas aplicacións.

3.1. Divide polinomios aplicando

a regra de Ruffini.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC

3.2. Utiliza a regra de Ruffini

para calcular o valor

numérico dun polinomio

para un valor dado da

indeterminada.

3.3. Obtén as raíces enteiras dun

polinomio.

4. Factorizar polinomios. 4.1. Factoriza polinomios

extraendo factor común e

apoiándose nas identidades

notables.

CCL,

CMCT,

CD,

SEIP,

CCEC

4.2. Factoriza polinomios

buscando previamente as

raíces.

5. Manexar con destreza as

expresións que se requiren

para formular e resolver

5.1. Manexa con destreza

expresións de primeiro grao,

dadas alxebricamente ou

CCL,

CMCT


249

- Expresións de segundo

grao.

- Expresións non

polinómicas.

ecuacións ou problemas que

dean lugar a elas.

mediante un enunciado.

5.2. Manexa con destreza

expresións de segundo grao,

dadas alxebricamente ou


5.3. Manexa algúns tipos de

expresións non polinómicas

sinxelas, dadas

alxebricamente ou mediante

un enunciado.








1.1. Recoñece e nomea os elementos dun

monomio.

- Actividades da web e das páxinas 71 e 84 do LA para

recoñecer os elementos dun monomio.

1.2. Opera con monomios. - Exercicios de operacións con monomios das páxinas 73 e

84 do LA.

2.1. Suma, resta, multiplica e divide polinomios. - Exercicios de operacións con polinomios das páxinas 74,

75 e 84 do LA e outros exercicios dos RF.

3.1. Divide polinomios aplicando a regra de

Ruffini.

- Actividades de aplicación da regra de Ruffini das páxinas

76 e 85 do LA.

3.2. Utiliza a regra de Ruffini para calcular o valor

numérico dun polinomio para un valor dado

da indeterminada.

- Actividades de aplicación da regra de Ruffini das páxinas

77 e 85 do LA e da web.

3.3. Obtén as raíces enteiras dun polinomio. - Actividades para obter raíces enteiras dun polinomio da

páxina 79 do LA.

4.1. Factoriza polinomios extraendo factor común

e apoiándose nas identidades notables.

- Exercicios e problemas de factorización de polinomios do

LA (páxinas 81, 84 e 85).

4.2. Factoriza polinomios buscando previamente

as raíces.

- Exercicios de factorización de polinomios das páxinas 81

e 85 do LA e exercicios dos recursos web.

5.1. Manexa con destreza expresións de primeiro

grao, dadas alxebricamente ou mediante un

enunciado.

- Exercicios da páxina 85 e problemas das páxinas 86 e 87

do LA.

5.2. Manexa con destreza expresións de segundo

grao, dadas alxebricamente ou mediante un

enunciado.

- Exercicios da páxina 85 e problemas das páxinas 86 e 87

do LA para resolver problemas mediante expresións

alxébricas de segundo grao.

5.3. Manexa algúns tipos de expresións non

polinómicas sinxelas, dadas alxebricamente

- Exercicios e problemas das páxinas 85, 86 e 87 do LA para

resolver problemas a partir de expresións non


250

ou mediante un enunciado. polinómicas.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Coñecemos as expresións alxébricas - Lemos os textos utilizando estratexias de traballo cooperativo como a «Lectura compartida» e extraemos


- Poñemos en común coñecementos previos de álxebra, monomios e polinomios.

Tarefa 1: Monomios, polinomios e outras expresións alxébricas

- Lembramos que son os monomios e os elementos que os forman.

- Repasamos polinomios, fraccións alxébricas e outras expresións alxébricas.

- Reforzamos a simplificación de expresións non polinómicas coas actividades da web.

- Traducimos enunciados a linguaxe alxébrica coas actividades propostas na web.

- Realizamos as actividades propostas no LA,

Tarefa 2: Monomios. Operacións

- Lembramos as operacións básicas con monomios.

- Verificamos o aprendido revisando os exemplos do LA.


Tarefa 3: Polinomios. Operacións

- Lembramos as operacións básicas con polinomios: suma, resta, produto e división.

- Identificamos os procedementos para realizar cada unha delas.

- Realizamos operacións con polinomios coas actividades do LA, combinando o traballo individual, o

cooperativo e a resolución de dúbidas cunha posta en común.

Tarefa 4: Regra de Ruffini

- Recordamos os coñecementos previos sobre a regra de Ruffini.


- Reforzamos a práctica da división de polinomios usando a regra de Ruffini cos exemplos e os exercicios

da web.

- Aprendemos a aplicar a regra de Ruffini para calcular o valor dun polinomio.


Tarefa 5: Raíz dun polinomio

- Definimos que é a raíz dun polinomio.

- Explicamos os criterios para buscar as raíces dun polinomio.

- Describimos os pasos para coñecer as raíces dun polinomio e identificámolos nos exercicios resoltos.


Tarefa 6: Factorización de polinomios

- Relacionamos a factorización de números coa factorización de polinomios.

- Describimos os pasos necesarios para factorizar un polinomio aplicando a regra de Ruffini e aplicámolos

a exemplos.

- Lembramos que son as identidades notables e a utilidade de coñecelas e manexalas para factorizar

polinomios.

- Reforzamos a factorización de polinomios coas actividades da web.


Tarefa 7: Preparación para ecuacións e inecuacións

- Analizamos os pasos para resolver axilmente operacións con polinomios de primeiro e segundo grao.

- Realizamos unha selección dos exercicios do LA para ganar axilidade nas operacións con polinomios.





251

Unidade 6:


Título

Ecuacións


Despois de revisar na unidade anterior o manexo dos polinomios, nesta, coa resolución de ecuacións,

atopamos unha importante aplicación de todo o que se estudou.

A simplificación de expresións alxébricas, así como a factorización, son ferramentas fundamentais á hora

de resolver ecuacións.

Comeza a unidade facendo unha reflexión sobre o que é unha ecuación e en que consiste resolvela. Vese,

no primeiro apartado, que hai ecuacións nas que resulta moi sinxelo atopar algunha solución por tenteo, «a

ollo». Porén, noutros casos non é así, e xorde a necesidade de ter un método de resolución que sexa válido

para calquera ecuación das que nos vaiamos encontrar nun problema determinado.

Así, pasamos a lembrar como se resolvían as ecuacións de primeiro e segundo grao, e as súas aplicacións

para resolver problemas.

Nas últimas páxinas aténdese a outros tipos de ecuacións, pero que se poden resolver coas ferramentas que

xa se posúen. Así, atopámonos con ecuacións que se dan factorizadas; ou con radicais; ou co x no

denominador. Pensamos que, para os alumnos e as alumnas desta opción orientada ás Ensinanzas Aplicadas

de 4.° de ESO, non resulta especialmente relevante o nome que teñan estas ecuacións; máis ben concíbense

como un paso máis na resolución, aproveitando o que xa saben, pois, na maioría dos casos propostos, a súa

resolución acabará desembocando en ecuacións de primeiro ou segundo grao.

Nas ecuacións co x no denominador só se tratarán casos moi sinxelos, tendo en conta o nivel no que se

traballaron as fraccións alxébricas.

Temporalización

Xaneiro


1. Resolver con destreza ecuacións de distintos tipos e aplicalas á resolución de problemas



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Ecuacións

- Ecuación e identidade.

- Solucións.

- Resolución por tenteo.

- Ecuación de primeiro grao.

Ecuacións de primeiro grao

- Técnicas de resolución.

1. Diferenciar ecuación e

identidade.

Recoñecer as

solucións dunha

ecuación.

1.1. Diferencia unha ecuación

dunha identidade e

recoñece se un valor é

solución dunha ecuación.

CCL,

CMCT,

CD,

CSIEE,

CCEC 1.2. Resolve ecuacións por

tenteo.

2. Resolver ecuacións de

primeiro grao e


primeiro grao sinxelas. CCL,


252

- Simplificación,

transposición.

Eliminación de

denominadores.

- Aplicación á resolución de

problemas.

Ecuacións de segundo grao

- Resolución de ecuacións de

segundo grao, completas e

incompletas. Utilización da

fórmula.

Outros tipos de ecuacións

- Factorizadas.

- Con radicais.

- Co x no denominador.



aplicalas na

resolución de

problemas.


primeiro grao con

parénteses e

denominadores.

CMCT,

CAA,

CSC

2.3. Resolve problemas coa

axuda das ecuacións de

primeiro grao.

3. Identificar as

ecuacións de segundo

grao, resolvelas e

utilizalas para

resolver problemas.


segundo grao incompletas.

CCL,

CMCT,

CSIEE,

CCEC


segundo grao, na forma

xeral, aplicando a fórmula.


segundo grao máis

complexas.

3.4. Utiliza as ecuacións de

segundo grao na



que se presentan

factorizadas,

ecuacións con

radicais, co x no

denominador...


radicais ou coa incógnita

no denominador

(sinxelas), ou ecuacións

factorizadas.

CCL,

CMCT,

CSIEE,

CCEC








1.1. Diferencia unha ecuación dunha identidade e

recoñece se un valor é solución dunha ecuación.

- Actividades 1 e 2 da páxina 89 do LA.

1.2. Resolve ecuacións por tenteo. - Exercicios 1 e 2 da páxina 89 e exercicios da

páxina 100 do LA.

2.1. Resolve ecuacións de primeiro grao sinxelas. - Actividades de resolución de ecuacións de

primeiro grao sinxelas, como as das páxinas 91 e

100 do LA.

2.2. Resolve ecuacións de primeiro grao con

parénteses e denominadores.


primeiro grao con parénteses e denominadores

das páxinas 91 e 100.


253

2.3. Resolve problemas coa axuda das ecuacións de

primeiro grao.

- Problemas de ecuacións de primeiro grao das

páxinas 92, 93, 101 e 102 do LA.

3.1. Resolve ecuacións de segundo grao incompletas. - Exercicio 2 da páxina 94 e outros exercicios das


3.2. Resolve ecuacións de segundo grao, na forma

xeral, aplicando a fórmula.

- Exercicio 1 da páxina 8 e outros exercicios das


3.3. Resolve ecuacións de segundo grao máis

complexas.

- Exercicios de ecuacións de segundo grao da web

e das páxinas 95 e 101 do LA.

3.4. Utiliza as ecuacións de segundo grao na


- Problemas de aplicación de ecuacións de

segundo grao das páxinas 96, 97, 102 e 103 do

LA.

4.1. Resolve ecuacións con radicais ou coa incógnita

no denominador (sinxelas), ou ecuacións

factorizadas.

- Actividades para resolver ecuacións con radicais,

coa incógnita no denominador ou ecuacións

factorizadas das páxinas 98, 99 e 101 do LA.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo de ecuacións, inecuacións e sistemas

- Lemos os textos utilizando estratexias de traballo cooperativo, como «O padrón roto», e extraemos deles

ideas e preguntas.

- Poñemos en común coñecementos previos de ecuacións. Tarefa 1: Identidades e ecuacións

- Lembramos o concepto de ecuación e comprobámolo nos exemplos e no exercicio

resolto. - Realizamos as actividades do LA

Tarefa 2: Resolución de ecuacións de primeiro grao

- Identificamos os pasos para resolver ecuacións de primeiro grao.

- Recoñecemos os pasos nos exercicios resoltos. - Reforzamos a resolución de ecuacións de primeiro grao coas actividades propostas na

web. - Comprendemos e explicámoslle a un compañeiro ou compañeira as estratexias utilizadas nos problemas

resoltos.

- Realizamos as actividades do LA Tarefa 3: Ecuacións de segundo grao

- Distinguimos as ecuacións de segundo grao completas das incompletas e razoamos a forma de resolvelas.

- Exercitamos o cálculo resolvendo mentalmente as ecuacións da marxe. - Ampliamos os nosos coñecementos aprendendo a resolver ecuacións bicadradas cos exercicios propostos

na web. - Comprendemos e explicámoslle a un compañeiro as estratexias utilizadas nos problemas de ecuacións de

segundo grao resoltos. - Realizamos as actividades do LA e da web. Tarefa 4: Outros tipos de ecuacións

- Coñecemos outros tipos de ecuacións e buscamos estratexias coñecidas (factorización, eliminación de

denominadores e raíces) para resolvelas.

- Observamos e comprendemos estas estratexias nos exercicios resoltos. - Adestramos a resolución de ecuacións con radicais facendo os exercicios propostos na

web. - Realizamos as actividades do LA Tarefa 5: Exercicios e problemas


254

- Realizamos unha selección de actividades da sección «Exercicios e problemas» do LA. - Realizamos a proposta da sección «Curiosidades matemáticas».

Unidade 7:


Título



Co estudo desta unidade conclúese a parte de álxebra correspondente a este curso.

Non é a primeira vez que estes alumnos e alumnas se atopan cos sistemas de ecuacións: xa en cursos

anteriores se estudaron, e apareceron noutras materias (Física, Tecnoloxía...). Polo tanto, saben que son

unha ferramenta de grande utilidade na proposta e a resolución de moitos problemas.

Empezamos a unidade lembrando o que é unha ecuación lineal con dúas incógnitas e vendo que teñen

infinitas solucións que, se consideramos como puntos do plano, representan unha recta.

Ao tomar dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas e buscar a solución común a ambas as dúas, temos un

sistema no que cada ecuación se representa mediante unha recta. Desta forma resulta doado entender que

algúns sistemas non teñen solución e outros teñen infinitas, aínda que a maioría dos sistemas lineais que

imos considerar ten solución única: o punto de corte das rectas asociadas.

Para resolvelos alxebricamente, repasaremos os métodos xa coñecidos: substitución, igualación e redución.

É importante que os estudantes dominen cada un destes métodos e saiban decidir cal é o que mellor convén

en cada caso.

Afondando na resolución de sistemas, formúlanse algúns exemplos nos que se requiren transformacións

previas, e tamén algúns con ecuacións non lineais.

Despois chegamos ao obxecto fundamental, que é a aplicación dos sistemas á resolución

de problemas. Presentando algúns modelos resoltos, preténdese que os estudantes, ao analizalos, adquiran

pautas de actuación e sexan capaces de transferilas a novos

problemas.

Temporalización

Febreiro


1. Identificar os distintos tipos de sistemas de ecuacións lineais e coñecer os procedementos de

resolución: gráfico e alxébricos.

2. Aplicar os sistemas de ecuacións na resolución de problemas.



Contidos Criterios


avaliables CC


255

Ecuación lineal con dúas

incógnitas

- Solucións. Interpretación

gráfica.

- Representación gráfica

dunha ecuación lineal con

dúas incógnitas e

identificación dos puntos da

recta como solución da

inecuación.

Sistemas de ecuacións lineais

- Solución dun sistema.

Interpretación gráfica.

- Sistemas compatibles,

incompatibles e

indeterminados.

Métodos alxébricos para a

resolución de sistemas

lineais

- Substitución

- Igualación

- Redución.

Sistemas de ecuacións non

lineais

- Resolución.



ecuacións

1. Recoñecer as

ecuacións lineais,

completar táboas de

solucións e

representalas

graficamente.

1.1. Recoñece as ecuacións

lineais, exprésaas en forma

explícita e constrúe táboas

de solucións. E

represéntaas.

CCL,

CMCT,

CD,

CSIEE,

CCEC

2. Identificar os sistemas

de ecuacións lineais, a

súa solución e os seus

tipos.

2.1. Identifica os sistemas

lineais. Recoñece se un par

de valores é ou non

solución dun sistema.

CCL,

CMCT,

CD,

CSIEE,

CCEC


sistemas lineais moi

sinxelos e relaciona o tipo

de solución coa posición


3. Coñecer e aplicar os

métodos alxébricos

de resolución de

sistemas. Utilizar en

cada caso o máis

adecuado.

3.1. Resolve alxebricamente

sistemas lineais, aplicando

o método adecuado en

cada caso.

CCL,

CMCT,

CSIEE,

CCEC 3.2. Resolve sistemas lineais

que requiren



ecuacións non lineais

sinxelos.

4.1. Resolve sistemas de

ecuacións non lineais

sinxelos.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC

5. Aplicar os sistemas de

ecuacións como

ferramenta para

resolver problemas.

5.1. Formula e resolve

problemas mediante


CCL,

CMCT,

CAA,

CSIEE,

CSC








1.1. Recoñece as ecuacións lineais, exprésaas en

forma explícita e constrúe táboas de solucións.

E represéntaas.

- Actividades para identificar ecuacións lineais,

construír táboas e representalas, das páxinas

105 e 114 do LA. Actividades dos RF.

2.1. Identifica os sistemas lineais. Recoñece se un

par de valores é ou non solución dun sistema.

- Exercicios das páxinas 106 e 114 do LA para

identificar sistemas lineais e recoñecer posibles


256

solucións do sistema.

2.2. Resolve graficamente sistemas lineais moi

sinxelos e relaciona o tipo de solución coa

posición relativa das rectas.

- Actividades das páxinas 106 e 114 do LA e

exercicios propostos na web para resolver

graficamente sistemas de ecuacións lineais

sinxelos.

3.1. Resolve alxebricamente sistemas lineais

aplicando o método adecuado en cada caso.


actividades propostas na web para resolver


3.2. Resolve sistemas lineais que requiren


- Exercicios da páxina 109 do LA e actividades

dos RF sobre sistemas de ecuacións que

requiren transformacións previas.

4.1. Resolve sistemas de ecuacións non lineais

sinxelos.

- Actividades de sistemas de ecuacións non

lineais das páxinas 110 e 115 do LA.

5.1. Formula e resolve problemas mediante sistemas

de ecuacións.

- Problemas para resolver mediante sistemas de

ecuacións das páxinas 111, 112, 113, 115, 116 e

117 do LA, e problemas dos RD.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo dos sistemas de ecuacións

- Lemos os textos e extraemos deles ideas e preguntas. - Lembramos os coñecementos previos sobre sistemas de ecuacións.

Tarefa 1: Ecuacións lineais con dúas incógnitas

- Lembramos como son as ecuacións lineais con dúas incógnitas e a súa representación gráfica. - Coñecemos casos especiais de ecuacións lineais con dúas incógnitas e observamos a súa representación

gráfica.

- Realizamos as actividades do LA Tarefa 2: Sistemas de ecuacións lineais

- Lembramos que é un sistema de ecuacións lineais.

- Clasificamos os sistemas de ecuacións segundo o número de solucións que teñan. - Observamos e describimos a forma das súas representacións gráficas.

- Realizamos as actividades do LA Tarefa 3: Resolución de sistemas de ecuacións

- Lembramos os tres métodos para resolver sistemas de ecuacións.

- Comprendemos a aplicación dos métodos analizando os exercicios resoltos. - Practicamos os métodos de resolución de sistemas de ecuacións cos exercicios da web, os do LA

Tarefa 4: Sistemas de ecuacións lineais máis complexos

- Aplicamos todas as estratexias coñecidas para resolver ecuacións complexas aos sistemas de ecuacións.

- Identificamos os pasos para resolver sistemas máis complexos. - Verificamos eses pasos no exercicio resolto. - Poñemos en práctica os pasos realizando os exercicios propostos no LA Tarefa 5: Sistemas non lineais

- Aplicamos os coñecementos adquiridos para resolver sistemas de ecuacións lineais aos sistemas de

ecuacións non lineais. - Analizamos de forma conxunta os exercicios resoltos no LA. - Reforzamos o aprendido coas actividades propostas na web. - Realizamos as actividades do LA Tarefa 6: Resolución de problemas mediante sistemas


257

- Identificamos as estratexias para traducir enunciados a sistemas de ecuacións e resolver os problemas

mediante a estrutura de traballo cooperativo «Grupo de expertos». Explicamos as estratexias aos

membros do grupo. - Reforzamos a tradución de enunciados a sistemas de ecuacións coas actividades propostas na web. - Resolvemos os problemas propostos na web. - Realizamos as actividades do LA Tarefa 7: Exercicios e problemas


Unidade 8:


Título



Neste curso, os estudantes traen unha bagaxe bastante completa do concepto de función, as distintas formas

en que se nos presentan, os aspectos máis relevantes destas, útiles para ser analizadas (crecemento,

máximos e mínimos, descontinuidades, etc.), así como algunhas destrezas para a interpretación de funcións

dadas mediante as súas gráficas. Polo tanto, esta primeira unidade do bloque de funcións debe ser

considerada, case integramente, como repaso.

Adoita ser necesario vixiar que o estudante separe a idea de función da de «expresión analítica». Por iso se

comeza a unidade lembrando que as funcións poden vir dadas, ademais de pola súa expresión analítica

(unha «fórmula»), por un enunciado, unha gráfica ou unha táboa de valores.

A expresión analítica é a máis precisa. A gráfica é a máis clara. Por iso, neste curso comézase, e nos

próximos afondarase niso, a transformar en gráfica as funcións dadas mediante expresións analíticas.

Cómpre que os estudantes reforcen o concepto de función (apartado 1), así como algunhas das súas

características máis relevantes (epígrafes 3, 4, 5 e 6). Todo iso, dentro do posible, tratado sobre funcións

extraídas do mundo real.

Préstase unha especial atención á taxa de variación media como medida do crecemento dunha función nun

intervalo. E relaciónase explicitamente coa velocidade media nunha función tempo →distancia percorrida.

Temporalización

Febreiro Marzo


1. Dominar o concepto de función, coñecer as características máis relevantes e as distintas formas de

expresar as funcións.



Contidos Criterios

de avaliación

Estándares de



258

Concepto de función

- Distintas formas de presentar

unha función: representación

gráfica, táboa de valores e

expresión analítica ou fórmula.

- Relación de expresións

gráficas e analíticas de

funcións.

Dominio de definición


función. Restricións ao

dominio dunha función.

- Cálculo do dominio de

definición de diversas

funcións.

Descontinuidade e

continuidade

- Descontinuidade e

continuidade dunha función.

Razóns polas que unha función

pode ser descontinua.

- Construción de

descontinuidades.

Crecemento

- Crecemento, decrecemento,

máximos e mínimos.

- Recoñecemento de máximos e

mínimos.


- Taxa de variación media dunha

función nun intervalo.

- Obtención sobre a

representación gráfica e a

partir da expresión analítica.

- Significado da T.V.M. nunha

función espazo-tempo.

Tendencias e periodicidade

- Recoñecemento de tendencias

e periodicidades.

1. Dominar o concepto

de función, coñecer

as características

máis relevantes e as

distintas formas de

expresar as

funcións

1.1. Dada unha función

representada pola súa

gráfica, estuda as súas

características máis

relevantes (dominio

de definición,

percorrido,

crecemento e

decrecemento,

máximos e mínimos,

continuidade...).

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

CSIEE,

CCEC

1.2. Representa unha

función da que se dan

algunhas

características

especialmente

relevantes.

1.3. Asocia un enunciado

cunha gráfica.


función dada pola súa

expresión analítica

obtendo, previamente,

unha táboa de valores.

1.5. Acha a T.V.M. nun

intervalo dunha

función dada

graficamente, ou ben

mediante a súa


1.6. Responde preguntas

concretas

relacionadas con

continuidade,

tendencia,

periodicidade,

crecemento... dunha

función.








259


1.1. Dada unha función representada pola súa

gráfica, estuda as súas características máis

relevantes (dominio de definición, percorrido,

crecemento e decrecemento, máximos e

mínimos, continuidade...).

- Actividades do LA e dos RF para estudar as

características dunha función. Por exemplo,

exercicios das páxinas 121 e 129 do LA.

1.2. Representa unha función da que se dan

algunhas características especialmente

relevantes.

- Actividades dos recursos web e da páxina 124 do

LA para representar funcións.

1.3. Asocia un enunciado cunha gráfica. - Actividades de relación entre enunciado e gráfica

da páxina 129 do LA, e actividades da web.

1.4. Representa unha función dada pola súa

expresión analítica obtendo, previamente,

unha táboa de valores.

- Actividades dos RF e da páxina 129 do LA para

representar gráficas de funcións a partir dunha

táboa.

1.5. Acha a T.V.M. nun intervalo dunha función

dada graficamente, ou ben mediante a súa


- Actividades da páxina 126 do LA e dos recursos

dixitais para achar a T.V.M. dunha función nun

intervalo.

1.6. Responde preguntas concretas relacionadas

con continuidade, tendencia, periodicidade,


- Preguntas sobre características concretas dunha

función das páxinas 127, 128 e 131 do LA, e

actividades da web.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo das funcións - Lemos os textos e elaboramos un mapa mental sobre a evolución do concepto de función e os matemáticos

que contribuíron a iso.

Tarefa 1: Conceptos básicos

- Repasamos o concepto de función e os elementos que a definen. - Aplicamos estes conceptos a algúns exemplos de situacións cotiás, científicas ou sociais.

- Reforzamos o cálculo do dominio dunha función coas actividades da web.

- Realizamos as actividades do LA. Tarefa 2: Como se presentan as funcións

- Resumimos nun mapa mental as maneiras en que se pode presentar unha función: gráfica, enunciado,

táboa de valores ou fórmula. Achegamos imaxes e exemplos. - Elaboramos en grupo un mapa mental sobre as diversas formas de presentar unha función con exemplos

e representacións simbólicas. - Realizamos as actividades do LA Tarefa 3: Funcións continuas. Descontinuidades

- Describimos as gráficas que se presentan no LA e deducimos o concepto de continuidade dunha función

a partir delas. - Analizamos os exemplos propostos e pensamos máis exemplos de funcións descontinuas. - Realizamos as actividades do LA

Tarefa 4: Crecemento, máximos e mínimos

- Describimos as gráficas que se presentan no LA e deducimos os conceptos de crecemento, máximos e

mínimos dunha función a partir delas. - Analizamos os exemplos propostos e pensamos máis exemplos de funcións con distintos crecementos. - Realizamos as actividades do LA Tarefa 5: Taxa de variación media (T.V.M.)

- Lemos o concepto de taxa de variación media para comprendelo.


260

- Comprobamos a comprensión da T.V.M. dunha función nun intervalo aplicándoo aos problemas resoltos. - Afianzamos este concepto cos exercicios e os exemplos da web.

- Realizamos as actividades do LA Tarefa 6: Tendencia

- Comprendemos a tendencia dunha función e relacionámola co límite. - Analizamos os problemas resoltos. - Realizamos as actividades do LA

Tarefa 7: Periodicidade

- Definimos periodicidade a partir do exemplo proposto no LA. - Buscamos exemplos de funcións cuxos valores se repitan de forma periódica. - Investigamos máis exemplos na web. - Calculamos o período dunha función periódica nas actividades propostas na web.

- Realizamos as actividades do LA. Tarefa 8: Exercicios e problemas



Unidade 9:


Título



O estudante deste nivel debe familiarizarse cunha serie de funcións tipo (lineais, cuadráticas, radicais, de

proporcionalidade inversa, exponenciais...), moi frecuentes, non só na actividade matemática, senón tamén

noutras ciencias naturais e sociais.

As funcións lineais foron abundantemente tratadas nos dous cursos anteriores. Non obstante, a súa enorme

importancia teórica e práctica, así como a facilidade con que se esquecen dalgúns aspectos do seu

tratamento, aconséllannos volver insistir nelas, prestando unha atención especial ás funcións dadas

mediante tramos de rectas.

Dedícase unha atención moi especial á representación de funcións cuadráticas, de modo que as

peculiaridades do seu tratamento gráfico se relacionen cos valores dos coeficientes da súa ecuación.

As funcións exponenciais estúdanse tanto para unha base maior que 1 (función crecente) como menor que

1 (función decrecente).

Temporalización

Marzo


1. Coñecer gráfica e analiticamente diversas familias de funcións. Manexar destramente algunhas delas

(lineais, cuadráticas...).



Contidos Criterios


avaliables CC


261

Función lineal

- Función lineal. Pendente

dunha recta.

- Tipos de funcións

lineais. Función de

proporcionalidade e

función constante.

- Obtención de

información a partir de

dúas ou máis funcións

lineais referidas a

fenómenos relacionados

entre si.

- Expresión da ecuación

dunha recta coñecidos

un punto e a pendente.

Funcións cuadráticas

- Representación de

funcións cuadráticas.

Obtención da abscisa do

vértice e dalgúns puntos

próximos ao vértice.

Métodos sinxelos para

representar parábolas.

Funcións radicais

Funcións de

proporcionalidade

inversa

- A hipérbole.

Funcións exponenciais


as funcións lineais.

1.1. Representa unha función

lineal a partir da súa

expresión analítica. CCL,

CMCT,

CD,

CSIEE,

CCEC

1.2. Obtén a expresión analítica

dunha función lineal

coñecendo a súa gráfica ou

algunha das súas

características.


con soltura as


2.1. Representa unha parábola

a partir da ecuación

cuadrática correspondente. CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CCEC

2.2. Asocia curvas de funcións

cuadráticas ás súas


2.3. Escribe a ecuación dunha

parábola coñecendo a súa

representación gráfica en

casos sinxelos.

3. Coñecer outros tipos

de funcións,

asociando a gráfica

coa expresión

analítica.

3.1. Asocia curvas a expresións

analíticas

(proporcionalidade

inversa, radicais e

exponenciais).

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC

3.2. Manexa con soltura as

funcións de

proporcionalidade inversa

e as radicais.

3.3. Manexa con soltura as



enunciado relacionados

con distintos tipos de

funcións.








1.1. Representa unha función lineal a partir da súa


- Actividades do LA para representar unha función

lineal a partir da súa fórmula (páxinas 134 e 141).


262

1.2. Obtén a expresión analítica dunha función lineal

coñecendo a súa gráfica ou algunha das súas

características.

- Actividades do LA para obter a fórmula dunha

función a partir da súa gráfica (páxina 135 e

exercicio 3 da páxina 141).

2.1. Representa unha parábola a partir da ecuación

cuadrática correspondente.

- Actividades das páxinas 137 e 141 (8, 9 e 10) do

LA e actividades da web para facer a

representación gráfica de funcións cuadráticas.

2.2. Asocia curvas de funcións cuadráticas ás súas


- Actividades do LA (páxina 137 e 141) e dos RD

sobre relación entre expresión analítica e

representación gráfica de funcións cuadráticas.

2.3. Escribe a ecuación dunha parábola coñecendo a

súa representación gráfica en casos sinxelos.

- Actividades do LA (páxina 137) e dos RF para

deducir a ecuación dunha parábola a partir da súa


3.1. Asocia curvas a expresións analíticas

(proporcionalidade inversa, radicais e

exponenciais).

- Actividades da páxina 142 do LA.

3.2. Manexa con soltura as funcións de

proporcionalidade inversa e as radicais.

- Actividades do LA (páxinas 138, 139 e 142) para

o estudo de funcións de proporcionalidade

inversa e radicais.

3.3. Manexa con soltura as funcións exponenciais. - Actividades das páxinas 140 e 142 do LA e

exercicios da web sobre funcións exponenciais.

3.4. Resolve problemas de enunciado relacionados

con distintos tipos de funcións.

- Problemas da páxina 143 do LA.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo de funcións elementais - Lemos os textos utilizando estratexias de traballo cooperativo, como «Think pair share», e extraemos


- Repasamos os coñecementos previos de funcións.

Tarefa 1: Funcións lineais

- Deducimos que é unha función lineal a partir de exemplos cotiáns propostos no libro e outros propostos

polos estudantes.

- Describimos o gráfico da marxe e explicamos a partir del o concepto de función lineal.

- Reforzamos a representación de funcións lineais facendo as actividades da web.

- Repasamos o concepto de pendente e o estudo de rectas realizando os exercicios da web.

- Obtemos a ecuación dunha recta a partir dun punto e a pendente, fixándonos nos pasos do exercicio

resolto.


Tarefa 2: Funcións cuadráticas. Parábolas

- Analizamos de forma conxunta as representacións gráficas do libro e a súa relación coas conclusións que

presenta.

- Escribimos no caderno os pasos para representar unha función cuadrática e identificámolos no exercicio

resolto.

- Ampliamos os coñecementos investigando nos recursos dixitais.


Tarefa 3: Funcións de proporcionalidade inversa - Describimos as gráficas que se presentan no LA e posteriormente lemos a descrición do texto.

- Comprendemos as características das funcións de proporcionalidade inversa e o exercicio resolto.


263

- Ampliamos os coñecementos traballando as translacións de hipérboles na proposta web.


Tarefa 4: Funcións radicais - Observamos as representacións gráficas de funcións radicais.

- Comprendemos as características das funcións radicais e o exercicio resolto.

- Representamos graficamente funcións radicais facendo as actividades propostas na web.


Tarefa 5: Funcións exponenciais - Observamos as representacións gráficas de funcións exponenciais e comparámolas coa súa

correspondente táboa de valores.

- Diferenciamos as funcións exponenciais crecentes e decrecentes, e entendemos as súas diferenzas.

- Aplicamos os nosos coñecementos sobre as funcións exponenciais aos exercicios da

web.





Unidade 10:


Título

Xeometría


Os programas relativos á xeometría correspondentes a este curso non avanzan significativamente respecto

ao xa visto, con reiteración, nos dous cursos anteriores; e parte deles tamén en niveis precedentes.

Entendemos, polo tanto, que os alumnos e as alumnas que cursan esta opción xa coñecen o fundamental do

programa e que o obxectivo desta unidade é manter, actualizar, dar maior significado e, se é necesario,

completar lagoas. O afondamento, se é o caso, residirá na complexidade dos problemas e as propostas que

se aborden nela, sen avanzar en contidos.

Tendo en conta o anterior, valoramos que non tiña sentido desenvolver o programa por medio da exposición

teórica (redúcese ao mínimo), que resultaría redundante respecto aos cursos pasados, achegando escasa

motivación aos estudantes.

Así, presentamos unha unidade para desenvolver de forma activa mediante a realización de propostas e

situacións con significado no ámbito cotián. Non se trata de problemas tipo resoltos, senón de propostas a

realizar, con axudas, cuxa resolución debe remover os coñecementos dos estudantes, favorecendo a

creación de relacións novas, facéndoos pensar e aplicar o que saben e buscar cando sexa necesario aquilo

que non lembran. É dicir, imos ao práctico, actualizando, rendibilizando e potenciando todos os

coñecementos de xeometría aprendidos nos niveis anteriores.

Os contidos céntranse nas principais ferramentas que ofrece a xeometría para a resolución de situacións

cotiás:

- Teorema de Pitágoras.

- A relación de semellanza.

- Procedementos para o cálculo de áreas e volumes das figuras xeométricas.

Cremos que o valor das actividades propostas está en que esixen decidir, en cada caso, cales desas

ferramentas son necesarias ou máis adecuadas para chegar á solución. É dicir, como adoita acontecer nas

situacións cotiás non académicas.


264

As actividades permiten distintas dinámicas: explicación do profesorado, resolución individual, abordaxe

en grupo, etc., que xestionará o profesorado segundo o seu criterio e obxectivos en cada momento.

Temporalización

Abril


1. Efectuar unha revisión extensa, no nivel práctico, de diversos contidos xeométricos previamente

adquiridos: teorema de Pitágoras, semellanza, áreas de figuras planas, e áreas e volumes de corpos

xeométricos.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

O teorema de Pitágoras e

as súas aplicacións

- Enunciado aritmético.

- Enunciado xeométrico.

Semellanza

- Figuras semellantes.

Propiedades.

- Razón de semellanza.

Escala.

- Reducións e

ampliacións.

- Semellanza de

triángulos.

- Teorema de Tales.

- Razón entre as áreas e

entre os volumes de


As figuras planas

- Clasificación e análise.

- Cálculo de áreas.

Fórmulas e outros

recursos.

Os corpos xeométricos

- Clasificación e análise.

- Cálculo de áreas e

volumes. Fórmulas e

outros recursos.

1. Coñecer o teorema de

Pitágoras e aplicalo

no cálculo indirecto

de distancias.

1.1. Calcula o lado dun cadrado

coñecendo a diagonal.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC

1.2. Calcula a altura dun

triángulo equilátero ou o

apotema dun hexágono

regular coñecendo o

lado.

1.3. Calcula distancias en

situacións e figuras nas

que aparecen triángulos

rectángulos.

2. Recoñecer as figuras

semellantes e as súas

propiedades.

Interpretar planos e

mapas.

2.1. Reduce e amplía figuras

cunha razón de semellanza

dada.

CCL,

CMCT,

CD,

CSIEE,

CCEC

2.2. Identifica a razón de

semellanza entre dúas

figuras que gardan esa

relación.

2.3. Utiliza os procedementos

da proporcionalidade

aritmética para o cálculo

de distancias, en figuras

semellantes.

2.4. Interpreta planos e mapas.

2.5. Relaciona as áreas e os

volumes de figuras

semellantes, coñecendo a

relación de semellanza.


265

3. Manexar as fórmulas

e os procedementos

para medir a área de

figuras planas,

combinándoos coas

ferramentas que

ofrece a relación de

semellanza e o

teorema de Pitágoras.

3.1. Calcula a superficie dun

terreo, dispoñendo do

plano e a escala. CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CCEC


esixen o cálculo de áreas

combinando distintos

recursos: fórmulas das

figuras planas, teorema de

Pitágoras, relacións de

semellanza...

4. Manexar as fórmulas

e os procedementos

para medir a

superficie e o volume

de figuras de tres

dimensións,

combinándoos coas

ferramentas que

ofrece a relación de

semellanza e o



esixen medir a superficie e

o volume de figuras

xeométricas ou reais,

combinando distintos

recursos: fórmulas,

teorema de Pitágoras,

relacións de semellanza...

CCL,

CMCT,

CD,

CSC,

CSIEE








1.1. Calcula o lado dun cadrado coñecendo a

diagonal. - Actividades do LA (páxinas 148, 164 e 165) e

dos RF para calcular o lado dun cadrado

coñecendo a diagonal.

1.2. Calcula a altura dun triángulo equilátero ou o

apotema dun hexágono regular coñecendo o

lado.

- Actividades das páxinas 149 e 165 do LA para

calcular a altura dun triángulo equilátero

coñecendo o seu lado, e aplicalo ao cálculo do

apotema de hexágonos regulares.

1.3. Calcula distancias en situacións e figuras nas

que aparecen triángulos rectángulos. - Actividades da web e das páxinas 149 e 164 do

LA para calcular distancias aplicando o


2.1. Reduce e amplía figuras cunha razón de

semellanza dada. - Actividades do LA e da web para reducir ou

ampliar figuras aplicando a razón de

semellanza (por exemplo, na páxina 150 do

LA).

2.2. Identifica a razón de semellanza entre dúas

figuras que gardan esa relación. - Exercicios para identificar a razón de

semellanza na páxina 150 do LA.


266

2.3. Utiliza os procedementos da proporcionalidade

aritmética para o cálculo de distancias, en


- Exercicios para calcular distancias utilizando a

proporcionalidade aritmética (páxina 151 do

LA).

2.4. Interpreta planos e mapas. - Actividades para interpretar planos e mapas

nas páxinas 158 e 164 do LA.

2.5. Relaciona as áreas e os volumes de figuras

semellantes, coñecendo a relación de

semellanza.

- Problemas de relación entre áreas e volumes

de figuras semellantes das páxinas 157, 165 e

166 do LA.

3.1. Calcula a superficie dun terreo, dispoñendo do

plano e a escala. - Problemas da páxina 158 do LA e problemas

dos RD para calcular superficies.

3.2. Resolve problemas que esixen o cálculo de

áreas combinando distintos recursos: fórmulas

das figuras planas, teorema de Pitágoras,

relacións de semellanza...

- Problemas nos que hai que utilizar diversos

recursos para calcular áreas no LA (páxinas

160 e 161) e nos RF.

4.1. Resolve problemas que esixen medir a

superficie e o volume de figuras xeométricas ou

reais, combinando distintos recursos: fórmulas,

teorema de Pitágoras, relacións de semellanza...

- Problemas do LA (páxina 162), dos RD e dos

RF nos que hai que combinar a utilización de

distintos recursos para determinar volumes e

superficies.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo da Xeometría

- Lemos os textos e compartimos as ideas e as preguntas utilizando estratexias de traballo cooperativo,

como «1-2-4».

- Resumimos e organizamos nun mapa mental todos os coñecementos previos sobre Xeometría. Tarefa 1: O teorema de Pitágoras

- Repasamos o teorema de Pitágoras. - Lemos o exercicio resolto e explicámosllo a un compañeiro ou compañeira.

- Resolvemos unha selección dos problemas do LA. Tarefa 2: Semellanza - Describimos as figuras do libro e deducimos a definición de figura semellante. - Aplicamos a razón de semellanza á resolución dos problemas do libro. - Investigamos na web que é un pantógrafo e o uso que se lle dá. Tarefa 3: Semellanza de triángulos - Lembramos o teorema de Tales e a súa aplicación á resolución de triángulos. - Investigamos na web a visualización do teorema de Tales. - Realizamos as actividades do LA

Tarefa 4: Unha proporción interesante: a proporción cordobesa - Lemos en que consiste a proporción cordobesa, debuxamos octógonos regulares de distintas dimensións

e, medindo, calculamos a relación entre o raio e o lado de cada octógono. - Observamos os debuxos do triángulo e o rectángulo cordobeses, e respondemos razoadamente a pregunta

que se considera no LA. - Realizamos as actividades do LA. Tarefa 5: Áreas e volumes de figuras semellantes

- Aplicamos a razón de semellanza ao cálculo de áreas e volumes de figuras semellantes. - Identificamos os pasos para a resolución de problemas no exercicio resolto. - Usamos estes procedementos para o cálculo de áreas e volumes.


267

- Reforzamos o cálculo de lonxitudes, áreas e volumes de figuras semellantes coas actividades propostas

na web.

- Investigamos na web o cálculo de áreas en triángulos en posición de Tales e a axuda para resolver

problemas con triángulos semellantes no espazo. Tarefa 6: Exercicios e problemas - Realizamos unha selección de actividades da sección «Exercicios e problemas» do LA. - Realizamos a proposta da sección «Curiosidades matemáticas».

Unidade 11:


Título

Estatística


Con esta unidade comezamos un novo bloque: estatística e probabilidade. Non é a primeira vez que estes

estudantes se atopan coa estatística; xa en terceiro de ESO (e en cursos anteriores) se familiarizaron cos

conceptos básicos, como a idea de poboación e mostra, as variables estatísticas, o proceso que se segue en

estatística, a confección dunha táboa de frecuencias e algúns parámetros estatísticos (media, mediana,

moda, percorrido, desviación media, varianza, desviación típica e coeficiente de variación).

Nesta unidade repásanse os conceptos anteriores e inclúense algúns novos, como as medidas de posición.

Lémbranse as nocións xerais (idea de poboación, mostra, variables estatísticas...) e introdúcense as dúas

ramas da estatística: estatística descritiva e estatística inferencial.

Continúa a unidade cun repaso das táboas de frecuencias e dalgúns parámetros estatísticos (media, varianza,

desviación típica e coeficiente de variación).

Hai un afondamento no tratamento estatístico de datos agrupados en intervalos. É importante que

comprendan a necesidade de agrupar os datos en intervalos cando a variable é continua, ou cando o número

de valores que toma a variable é moi grande. Nestes casos, deberán ser capaces de decidir que intervalos

convén tomar para distribuír os datos que se teñan.

Estúdanse as medidas de posición (mediana, cuartís e centís ou percentís) e a súa contribución á

representación gráfica mediante o diagrama de caixa.

É importante que os estudantes aprendan a calcular os parámetros estatísticos, pero, sobre todo, deben saber

interpretalos.

Para a obtención dos parámetros, aínda que convén que saiban facelo construíndo as táboas, tamén deben

ser capaces de utilizar a calculadora en modo SD.

Finalmente, dedícase un apartado a reflexionar sobre as mostras e as razóns polas que pode ser necesario

recorrer a elas.

Temporalización

Maio


1. Revisar os métodos da estatística e afondar na práctica de cálculo e interpretación de parámetros.

Coñecer o papel da mostraxe.




268

Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Estatística. Nocións

xerais

- Individuo, poboación,

mostra, caracteres,

variables (cualitativas,

cuantitativas, discretas,

continuas).

- Estatística descritiva e

estatística inferencial.

Gráficos estatísticos

- Identificación e

elaboración de gráficos

estatísticos.

Táboas de frecuencias

- Elaboración de táboas de

frecuencias.

- Con datos illados.

- Con datos agrupados

sabendo elixir os

intervalos.

Parámetros

estatísticos

- Media, desviación típica

e coeficiente de

variación.

- Cálculo de y ,x

coeficiente de

variación para unha

distribución dada por

unha táboa (no caso de

datos agrupados, a

partir das marcas de

clase), con e sen axuda

da calculadora con

tratamento SD.

- Medidas de posición:

mediana, cuartís e

centís.

- Obtención das

medidas de posición

en táboas con datos

illados.

Diagramas de caixa

1. Resumir nunha táboa

de frecuencias unha

serie de datos

estatísticos e facer un

gráfico adecuado para

a súa visualización.

1.1. Constrúe unha táboa de

frecuencias de datos

illados e represéntaos

mediante un diagrama de

barras.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

1.2. Dado un conxunto de datos

e a suxestión de que os

agrupe en intervalos,

determina unha posible

partición do percorrido,

constrúe a táboa e

representa graficamente a

distribución.

1.3. Dado un conxunto de

datos, recoñece a

necesidade de agrupalos en

intervalos e, en

consecuencia, determina

unha posible partición do

percorrido, constrúe a

táboa e representa

graficamente a

distribución.

2. Coñecer os

parámetros

estatísticos y ,x

calculalos a partir

dunha táboa de

frecuencias e

interpretar o seu

significado.

2.1. Obtén os valores da partir

dunha y x táboa de

frecuencias (de datos

illados ou agrupados) e

utilízaos para analizar

características da

distribución.

CCL,

CMCT,

CD,

CSC,

CSIEE 2.2. Coñece o coeficiente de

variación e válese del para

comparar as dispersións de

dúas distribucións.

3. Coñecer e utilizar as



frecuencias de datos

illados, constrúe a táboa de

frecuencias acumuladas e,

con ela, obtén medidas de

posición (mediana, cuartís,

centís).

CMCT,

CD,

CAA,

CSIEE 3.2. Constrúe o diagrama de

caixa e bigotes

correspondente a unha



269


dunha distribución a

partir das súas medidas

de posición: diagrama

de caixa e bigotes.

Nocións de estatística

inferencial

- Mostra: aleatoriedade,

tamaño.

3.3. Interpreta un diagrama de

caixa e bigotes dentro dun

contexto.

4. Coñecer o papel da

mostraxe e distinguir

algúns dos seus pasos.

4.1. Recoñece procesos de

mostraxe correctos e

identifica erros noutros

onde os haxa.

CCL,

CMCT,

CD,

CSC,

CSIEE








1.1. Constrúe unha táboa de frecuencias de datos

illados e represéntaos mediante un

diagrama de barras.

- Actividades do LA (páxina 173) para construír

unha táboa de frecuencias e representar os datos

mediante diagramas de barras.

1.2. Dado un conxunto de datos e a suxestión de

que os agrupe en intervalos, determina unha

posible partición do percorrido, constrúe a

táboa e representa graficamente a

distribución.

- Actividades do LA, na páxina 181, para

determinar a partición do percorrido, construír

unha táboa e representar graficamente os datos.

1.3. Dado un conxunto de datos, recoñece a

necesidade de agrupalos en intervalos e, en

consecuencia, determina unha posible

partición do percorrido, constrúe a táboa e

representa graficamente a distribución.

- Actividades do LA (páxina 181) e da PD para

establecer intervalos, determinar unha posible

partición do percorrido, construír unha táboa e

representar graficamente os datos.

2.1. Obtén os valores de y x

a partir dunha

táboa de frecuencias (de datos illados ou

agrupados) e utilízaos para analizar

características da distribución.


actividades dos RD para obter os parámetros

estatísticos dunha serie de datos.

2.2. Coñece o coeficiente de variación e válese

del para comparar as dispersións de dúas

distribucións.

- Actividades sobre o coeficiente de variación da

web e da páxina 175 do LA.

3.1. A partir dunha táboa de frecuencias de datos

illados, constrúe a táboa de frecuencias

acumuladas e, con ela, obtén medidas de

posición (mediana, cuartís, centís).

- Actividades dos RF, dos RD e do LA (páxinas

176 e 181) para construír táboas de frecuencias

acumuladas e obter medidas de posición.

3.2. Constrúe o diagrama de caixa e bigotes

correspondente a unha distribución

estatística.

- Exercicios de construción de diagramas de

caixa e bigotes das páxinas 179 e 182 do LA.


270

3.3. Interpreta un diagrama de caixa e bigotes

dentro dun contexto.

- Actividade da páxina 182 do LA para interpretar

diagramas de caixa e bigotes.

4.1. Recoñece procesos de mostraxe correctos e

identifica erros noutros onde os haxa.

- Actividades do LA (páxina 182) para recoñecer

procesos de mostraxe correctos e incorrectos.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo de estatística - Lemos o texto proposto e extraemos tres ideas sobre a evolución da estatística. - Lembramos coñecementos previos de estatística. Tarefa 1: Conceptos básicos

- Resumimos e organizamos os conceptos de estatística e as fases dun estudo estatístico nun mapa mental. - Formulamos algúns exemplos de aplicacións estatísticas.

Tarefa 2: Táboas de frecuencias

- Comparamos táboas con datos illados e táboas con datos agrupados, a súa elaboración e as súas

aplicacións. - Reflexionamos sobre as vantaxes e as desvantaxes das táboas con datos agrupados a partir do «Observa»

da marxe do LA.

- Identificamos os pasos para elaborar unha táboa e unha gráfica a partir dun conxunto de datos co exercicio

resolto.


Tarefa 3: Parámetros estatísticos: y X

- Copiamos no caderno os principais parámetros estatísticos, a súa fórmula e algún

exemplo. - Reflexionamos sobre a utilidade de cada un dos parámetros estatísticos a partir do exemplo da marxe.

- Resumimos e describimos os pasos para calcular os parámetros estatísticos no exercicio resolto.

- Identificamos o procedemento para calcular os parámetros estatísticos con calculadora. - Aplicamos este procedemento á realización das actividades propostas no LA, Tarefa 4: Parámetros de posición

- Definimos os parámetros de posición. - Reflexionamos sobre a súa utilidade e o seu uso en exemplos concretos.

- Reforzamos o cálculo de cuartís e percentís facendo as actividades da web. - Analizamos o exercicio resolto e aprendemos a calcular os percentís a partir de frecuencias e porcentaxes

acumuladas. - Realizamos o exercicio do LA. Tarefa 5: Diagramas de caixa

- Observamos e describimos os diagramas de caixa para representar unha distribución estatística. - Distinguimos os pasos para elaborar diagramas de caixa.

- Identificamos estes pasos nos exercicios resoltos. - Realizamos as actividades propostas no LA

Tarefa 6: Estatística inferencial

- Razoamos a necesidade de recorrer a mostras para estudos estatísticos. - Realizamos as actividades do LA, Tarefa 7: Exercicios e problemas



Unidade 12:


271


Título



Na estatística unidimensional, os datos (valores dunha variable) aparecen, despois de

seren tratados convenientemente, en táboas de valores. A partir delas fanse representacións gráficas (barras,

histogramas, sectores...) coas cales se visualiza a distribución ou se

obteñen parámetros que resumen de xeito conciso características importantes da

distribución.

Analogamente, na estatística bidimensional, os datos (pares de valores correspondentes a dúas variables

que se relacionan) danse en táboas, a partir das cales se constrúe a representación gráfica (nubes de puntos)

coa que se visualiza o grao de relación entre as variables. E, tamén a partir da táboa, obtéñense os

parámetros (correlación, regresión) cos que se resumen as principais características da distribución.

Neste curso, o estudante debe iniciarse nas distribucións bidimensionais. Por iso só manexará táboas con

poucos valores e afarase a interpretalas de xeito visual a partir de nubes de puntos. Deste xeito aprenderá

os significados de correlación (positiva, negativa, máis ou menos forte) e recta de regresión. E, se o docente

o cre oportuno, aprenderá a valorar de forma aproximada unha correlación a partir dunha nube de puntos.

Enfrontamos o estudante con dous tipos de situacións:

1. Distribucións moi concretas dadas mediante táboas de valores (case sempre cun contexto) que poden

ser representadas graficamente (e, polo tanto, analizadas visualmente) e cuxos parámetros poden ser

calculados, se se desexa.

2. Distribucións descritas, cuxa análise apela ás concepcións ou aos recordos dos estudantes. Por exemplo:

«estatura» e «número de calzado» nun colectivo de nenos de 6 a 10 anos. Neste caso non hai poboación

concreta e, polo tanto, nin se pode representar nin hai datos sobre os que calcular. Simplemente se

pretende que os estudantes pensen que cabe esperar e, se cadra, discutan sobre iso.

A experiencia dinos que esta forma de tratar as distribucións bidimensionais dá lugar a unha aprendizaxe

pracenteira, na que os estudantes comparten as súas concepcións con afección e entusiasmo, e que deixa

ideas claras (aínda que sinxelas).

Temporalización

Maio


1. Coñecer as distribucións bidimensionais, identificar as súas variables, representalas e valorar a

correlación de forma aproximada.



Contidos Criterios


avaliables CC


272

Relación funcional e

relación estatística

Dúas variables

relacionadas

estatisticamente

- Nube de puntos.

- Correlación.

- Recta de regresión.

O valor da correlación

A recta de regresión para

facer previsións

- Condicións para poder

facer estimacións.

- Fiabilidade.

1. Coñecer as

distribucións

bidimensionais,

identificar as súas

variables,

representalas e

valorar a correlación

de forma aproximada.

1.1. Identifica unha

distribución bidimensional

nunha situación dada

mediante enunciado,

sinala as variables e estima

o signo e, a grandes trazos,

o valor da correlación.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

CSIEE,

CCEC

1.2. Dada unha táboa de

valores, representa a nube

de puntos correspondente,

traza de forma aproximada

a recta de regresión e

estima o valor da

correlación.








1.1. Identifica unha distribución bidimensional

nunha situación dada mediante enunciado,

sinala as variables e estima o signo e, a

grandes trazos, o valor da correlación.

- Actividades do LA para identificar, a partir dun

enunciado, unha distribución bidimensional. Por

exemplo, as das páxinas 187 e 188.

1.2. Dada unha táboa de valores, representa a

nube de puntos correspondente, traza de

forma aproximada a recta de regresión e

estima o valor da correlación.

- Actividades do LA (páxinas 189, 190 e 191) e

dos RF para representar nubes de puntos, trazar a

recta de regresión e estimar o valor da

correlación.

5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo de distribucións bidimensionais

- Lemos o texto proposto para iniciar o tema e investigamos sobre os científicos que presenta e a súa

contribución ao desenvolvemento da estatística. Tarefa 1: Dúas variables relacionadas. Correlación

- A partir das gráficas representadas, deducimos as ideas de nube de puntos, correlación e recta de regresión

na representación de dúas variables. - Observamos as gráficas do LA e deducimos como pode variar a correlación.

- Afondamos observando na web diagramas de dispersión con diferentes graos de correlación. - Ampliamos o estudo da correlación entre dúas variables coas explicacións propostas na web. - Verificamos estes conceptos analizando a súa aplicación nos exercicios resoltos.

- Aplicamos os conceptos aos exercicios propostos no LA e na web.


273

Tarefa 2: O valor da correlación

- Deducimos o concepto de coeficiente de correlación a partir da observación das gráficas e o valor de r

en cada caso. - Distinguimos o valor da correlación do valor da pendente da recta de regresión. - Comprobamos a comprensión deste concepto lendo e entendendo o exercicio resolto. - Realizamos as actividades do LA. Tarefa 3: A recta de regresión para facer estimacións

- En parellas, cada estudante le un dos exemplos e explícallo ao compañeiro ou compañeira. - Realizamos os exercicios propostos a continuación conxuntamente. - Deducimos as condicións de fiabilidade das estimacións. - Realizamos as actividades propostas no LA. Tarefa 4: Exercicios e problemas


Unidade 13:


Título

Probabilidade


Con esta unidade amplíase o estudo sistemático do azar e a probabilidade que os estudantes viron en

diferentes cursos da ESO. O alumnado desta idade ten madureza dabondo para saber se unha experiencia é

aleatoria ou non, se é regular ou irregular e para valorar a probabilidade dun suceso elemental.

É posible, non obstante, que persistan algúns erros preconceptuais, como crer que os resultados obtidos nun

experimento aleatorio inflúen no seguinte. É difícil asimilar que, aínda dispoñendo dun bo número de

resultados previos, non poidamos predicir o resultado da experiencia seguinte.

As definicións dos conceptos básicos: sucesos elementais, tipos de sucesos, relacións e operacións entre

eles, acompáñanse de exemplos resoltos e propostos que axudan a unha mellor comprensión destas. Estes

conceptos permítennos unha primeira aproximación á teoría de conxuntos e as leis da lóxica, pero sen

esquecer que o que se pretende é que os alumnos e as alumnas os manexen con eficacia conceptual sen caer

na formalización e a nomenclatura excesivas.

Coas propiedades da probabilidade e a lei de Laplace para sucesos equiprobables complétase o estudo das

cuestións teóricas, a terminoloxía e as propiedades do azar.

O cálculo de probabilidades, obxecto fundamental da unidade, comeza cunha revisión e afondamento da

lei de Laplace. O reconto de casos convén facelo de modo directo, por medio dalgunha técnica.

O tratamento que lles damos ás experiencias compostas consiste en descompoñelas en experiencias simples

sobre as que consideramos se un resultado inflúe ou non no

seguinte.

Temporalización

Xuño


1. Coñecer as propiedades dos sucesos e as súas probabilidades.

2. Calcular probabilidades en experiencias compostas utilizando diagrama en árbore e táboas de dobre


274

entrada.



Contidos Criterios


avaliables CC

Sucesos aleatorios

- Relacións e operacións con

sucesos.

Probabilidades


- Propiedades das

probabilidades.

Experiencias aleatorias

- Experiencias irregulares.

- Experiencias regulares.

- Lei de Laplace.

Experiencias compostas

- Extraccións con e sen

reposición.

- Composición de

experiencias independentes.

Cálculo de probabilidades.

- Composición de


Cálculo de probabilidades.


1. Coñecer as

características básicas

dos sucesos e das

regras para asignar

probabilidades.

1.1. Aplica as propiedades dos

sucesos e das

probabilidades.

CCL,

CMCT,

CD


de probabilidade

composta, utilizando

o diagrama en árbore

cando conveña.


experiencias

independentes.

CCL,

CMCT,

CD,

CSC,

CSIEE



2.3. Interpreta táboas de

continxencia e utilízaas

para calcular

probabilidades.

2.4. Resolve outros problemas

de probabilidade.








1.1. Aplica as propiedades dos sucesos e das

probabilidades.

- Actividades da web e das páxinas 197 e 206 do

LA para o cálculo de probabilidades de sucesos

simples.


independentes.

- Actividades da web e da páxina 207 do LA para

o cálculo de probabilidades de sucesos

independentes.


275


dependentes.

- Actividades da web e das páxinas 203 e 207 do

LA para o cálculo de probabilidades de sucesos

dependentes.

2.3. Interpreta táboas de continxencia e utilízaas


- Actividades da web, do LA (páxina 205) e dos

RF para traballar con táboas de continxencia.

2.4. Resolve outros problemas de probabilidade. - Problemas dos RF e da páxina 208 e 209 do LA


5. TAREFAS

Tarefa 0: Introdución ao estudo da probabilidade - Lemos o texto proposto e propoñemos unha idea e unha pregunta sobre a orixe do estudo da

probabilidade. - Buscamos información na web sobre os matemáticos mencionados e as súas achegas ao desenvolvemento

desta ciencia. - Formulamos preguntas que nos gustaría responder a través do estudo desta unidade. Tarefa 1: Obtención de probabilidades: experimentación ou cálculo matemático?

- Distinguimos entre experiencias regulares e irregulares.

- Reflexionamos sobre o exemplo proposto no LA. Tarefa 2: Sucesos aleatorios

- Definimos suceso aleatorio.

- Copiamos no caderno a nomenclatura para describir un suceso aleatorio e aplicámola a un exemplo. - Practicamos cos exercicios propostos no LA e na web.

Tarefa 3: Probabilidade dun suceso

- Definimos a probabilidade dun suceso.

- Deducimos a «lei dos grandes números» a partir da observación reflexiva dos

exemplos.

- Experimentamos coa experiencia proposta na web. - Lemos o texto da web «É posible dar leis que regulen o azar?». - Analizamos de forma cooperativa como se realizan os cálculos de probabilidades nos exercicios resoltos.

- Realizamos as actividades do LA Tarefa 4: Lei de Laplace para experiencias regulares

- Recordamos a lei de Laplace e a súa aplicación. - Analizamos de forma cooperativa os exercicios resoltos.

- Reforzamos o cálculo de probabilidades facendo os exercicios de iniciación e cálculo da web. - Realizamos as actividades do LA Tarefa 5: Experiencias compostas. Diagramas en árbore

- Contrastamos a diferenza entre experiencias compostas dependentes e independentes.

- Definimos as experiencias independentes e entendemos a forma de calcular a probabilidade dun resultado. - Identificamos os pasos no exercicio resolto. - Reforzamos o cálculo cos exercicios propostos na web.

- Explicamos as experiencias dependentes e entendemos a dependencia entre sucesos. - Determinamos os pasos para calcular estas probabilidades nos exercicios resoltos. - Aplicamos o diagrama de árbore ás experiencias dependentes e verificamos os pasos no exercicio resolto. - Reforzamos o cálculo cos exercicios propostos na web. - Realizamos as actividades do LA

Tarefa 6: Táboas de continxencia

- Describimos as táboas de continxencias e o seu uso.


276

- Relacionamos proporcións e probabilidade utilizando os exemplos da marxe. - Utilizamos a folla de cálculo proposta na web para traballar con táboas de continxencia.

- Buscamos exemplos de probabilidades condicionadas. - Reforzamos o uso de táboas de continxencia coas actividades propostas na web. - Realizamos as actividades do LA, Tarefa 7: Exercicios e problemas



CRITERIOS METODOLÓXICOS E ESTRATEXIAS DIDÁCTICAS XERAIS PARA UTILIZAR NA

ÁREA

A área de Matemáticas é unha materia das denominadas instrumentais, polo que no traballo de aula o docente

manexa dous obxectivos fundamentais: a consecución de obxectivos curriculares a través dos contidos de

currículo e o desenvolvemento de habilidades que favorezan a aprendizaxe dos estudantes noutras áreas.

Neste proceso é necesario o adestramento individual e o traballo reflexivo de procedementos básicos da

materia: a resolución de problemas, o cálculo, a comparación e o manexo de datos..., aspectos que son

obviamente extrapolables a outras áreas e contextos de aprendizaxes.

Nalgúns aspectos da área, fundamentalmente naqueles que perseguen as habilidades de traballo en equipo e a

resolución conxunta de problemas, o traballo en grupo colaborador achega, ademais do adestramento de

habilidades sociais básicas e o enriquecemento persoal desde a diversidade, unha plataforma inmellorable para

adestrar a competencia comunicativa.

Desde o coñecemento da diversidade da aula e en resposta ás múltiples intelixencias predominantes nos

estudantes, o desenvolvemento de actividades desde a teoría das intelixencias múltiples facilita que todos os

alumnos e as alumnas poidan chegar a comprender os contidos que pretendemos que adquiran para o


Na área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Aplicadas é indispensable a vinculación a contextos reais

e a aplicación dos conceptos máis abstractos para entender a utilidade das ferramentas matemáticas no día a

día. Para iso, as tarefas competenciais propostas facilitarán este aspecto e permitirán a contextualización de

aprendizaxes en situacións cotiás e próximas aos estudantes.



- O libro do alumnado para a área de Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Aplicadas de 4.º ESO.

- A proposta didáctica para Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Aplicadas de 4.º ESO.



- O libro dixital.

- A web do profesorado.

- A web do alumnado e da familia.


277

ATENCIÓN Á DIVERSIDADE

A atención á diversidade contemplase dende dous puntos de vista. Por unha banda ofrecese unha grande

variedade de contextos non matemáticos que poden servir de motivación e punto de partida a distintos alumnos

e alumnas, ben polo seu diferente interese, ben pola distinta familiarización que teñan co contexto. Por outra parte, aténdese á diversidade no plantexamento das actividades. Propóñense actividades básicas de

reforzo e actividades de ampliación e profundización para atender os distintos niveis de coñecementos.

SECCIÓN BILINGÜE

Para o curso 2020-2021 continuamos coa sección bilingüe para 4º da ESO de Matemáticas orientadas as

ensinanzas académicas en Inglés, aprobada pola Consellería de Educación no curso 2009-2010, e que ten

como obxectivos: - Desenvolver os contidos do currículo da materia de Matemáticas, de acordo á

- programación desta materia para este curso. - Reforzar a aprendizaxe do inglés a través da incorporación parcial e progresiva desta - lingua como vehículo de comunicación na materia de Matemáticas Académicas de 4º da ESO. - Impulsar un modelo educativo cada vez máis coherente co referente europeo,

- avanzando no uso da lingua inglesa como vehículo de aprendizaxe xunto á lingua - materna. - Facilitar a aprendizaxe da terminoloxía científica en inglés, ademais de en galego e

- castelán. - Mellorar a comunicación escrita e oral de temas científicos tanto en inglés como en

- galego, reforzando as aprendizaxes da lingua inglesa nos diferentes contextos, pois - está demostrado que a utilización frecuente dunha lingua estranxeira desenvolve as - capacidades para aprender outras, facilita a adquisición de novas aprendizaxes, axuda

- a conceptuar e obriga ao alumnado a reflexionar sobre a propia lingua.

- Dar un paso adiante para que os nosos alumnos poidan estar á altura das esixencias do - mundo laboral ou de estudios superiores cando rematen a súa ensinanza secundaria. - Aumentar a motivación dos alumnos e a súa fluidez na utilización da lingua inglesa.

- Fomentar a cooperación entre o alumnado. - Coñecer e valorar positivamente a diversidade lingüística e cultural.

- Reforzar a autoestima do alumnado. - Asentar a Sección Bilingüe no segundo ciclo da ESO, para ofrecer ós alumnos/as do - noso centro unha mellor oferta educativa.


278

1º BACHARELATO

OBXECTIVOS XERAIS

- Asimilar conceptos e procedementos propios das matemáticas, que garantan unha adecuada

incorporación a estudios superiores. - Aplica-los coñecementos matemáticos a diferentes situacións características da actividade cotiá,

científica e tecnolóxica, formulándoas en termos das linguaxes matemáticas. - Adapta-los coñecementos matemáticos na resolución de problemas, comprobando e - discutindo as solucións obtidas.

- Utilizar e contrastar estratexias, propias das matemáticas, na formación de hipóteses, - formulación de problemas, experimentación. - Interpretar con precisión, tanto na linguaxe oral como escrita, situacións relativas ós - fenómenos científico-técnicos susceptibles de tratamento matemático, mediante o uso dun vocabulario

especifico.

- Utiliza-los coñecementos matemáticos para manter unha actitude crítica coas mensaxes ou

informacións difundidas desde diferentes ámbitos.

- Facer un uso racional dos recursos tecnolóxicos.

1º BACHARELATO- MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CCSS I OBXECTIVOS

A medida que as matemáticas foron ensanchando e diversificando o seu obxecto e a súa perspectiva, creceu a

súa valoración como un instrumento indispensable para interpretar a realidade, así como unha forma de

expresión de distintos fenómenos sociais, científicos e técnicos. Convértense así nun imprescindible vehículo

de expresión e adquiren un carácter interdisciplinario que debe impregnar o seu proceso de ensinanza-

aprendizaxe.

Mirar a realidade social nas súas diversas manifestacións económicas, artísticas, humanísticas, políticas, etc.,

desde unha perspectiva matemática e acometer desde ela os problemas que considera, implica desenvolver a

capacidade de simplificar e abstraer para facilitar a comprensión; a habilidade para analizar datos, entresacar

os elementos fundamentais do discurso e obter conclusións razoables; rigor nas argumentacións pero, sobre

todo, autonomía para establecer hipóteses e contrastalas, e para deseñar diferentes estratexias de resolución

ou extrapolar os resultados obtidos a situacións análogas.

Para logralo, resulta tan importante a creatividade como manter unha disposición aberta e positiva cara ás

matemáticas que permita percibilas como unha ferramenta útil á hora de interpretar con obxectividade o

mundo que nos rodea. Unha perspectiva que adquire o seu verdadeiro significado dentro dunha dinámica de

resolución de problemas que debe caracterizar de principio a fin o proceso de ensinanza-aprendizaxe desta

materia.

Neste contexto, a forte abstracción simbólica, o rigor sintáctico e a esixencia probatoria que definen o saber

matemático, deben ter nesta materia unha relativa presenza. Pola súa banda, as ferramentas tecnolóxicas

ofrecen a posibilidade de evitar tediosos cálculos que pouco ou nada achegan ao tratamento da información,

permitindo abordar con rapidez e fiabilidade os cambiantes procesos sociais mediante a modificación de

determinados parámetros e condicións iniciais. Non por iso debe deixar de traballarse a fluidez e a precisión

no cálculo manual simple, onde os estudantes adoitan cometer frecuentes erros que lles poden levar a falsos

resultados ou inducilos a confusión nas conclusións.

Tanto desde un punto de vista histórico coma desde a perspectiva do seu papel na sociedade actual, poucas

materias se prestan coma esta a tomar conciencia de que as matemáticas son parte integrante da nosa cultura.

Por iso, as actividades que se consideren deben favorecer a posibilidade de aplicar as ferramentas matemáticas


279

á análise de fenómenos de especial relevancia social, tales como a diversidade cultural, a saúde, o consumo, a

coeducación, a convivencia pacífica ou o respecto ao ambiente.

Converter a sociedade da información en sociedade do coñecemento require capacidade de busca selectiva e

intelixente da información e extraer dela os seus aspectos máis relevantes, pero supón ademais saber dar

sentido a esa busca. Por iso, sen menoscabo da súa importancia instrumental, hai que resaltar tamén o valor

formativo das matemáticas en aspectos tan importantes como a busca da beleza e a harmonía, o estímulo da

creatividade ou o desenvolvemento daquelas capacidades persoais e sociais que contribúan a formar cidadáns

autónomos, seguros de si mesmos, decididos, curiosos e emprendedores, capaces de afrontar os retos con

imaxinación e abordar os problemas con garantías de éxito.

O amplo espectro de estudos aos que dá acceso o bacharelato de Humanidades e Ciencias Sociais obriga a

formular un currículo da materia que non se circunscriba exclusivamente ao campo da economía ou a

socioloxía, dando continuidade aos contidos do ensino obrigatorio. Por iso, e cun criterio exclusivamente

propedéutico, a materia, dividida en dous cursos, estrutúrase en torno a tres eixes: Aritmética e Álxebra,

Análise, e Probabilidade e Estatística. Os contidos do primeiro curso adquiren a dobre función de fundamentar

os principais conceptos da análise funcional e ofrecer unha base sólida á economía e á interpretación de

fenómenos sociais nos que interveñen dúas variables. No segundo curso establécense de forma definitiva as

achegas da materia a este bacharelato sobre a base do que será o seu posterior desenvolvemento na

Universidade ou nos ciclos formativos da Formación Profesional. A estatística inferencial ou a culminación

no cálculo infinitesimal das achegas da análise funcional son un bo exemplo diso.

A resolución de problemas ten carácter transversal e será obxecto de estudo relacionado e integrado no resto

dos contidos. As estratexias que se desenvolven constitúen unha parte esencial da educación matemática e

activan as competencias necesarias para aplicar os coñecementos e habilidades adquiridas en contextos reais.

A resolución de problemas debe servir para que o alumnado desenvolva unha visión ampla e científica da

realidade, para estimular a creatividade e a valoración das ideas alleas, a habilidade para expresar as ideas

propias con argumentos adecuados e o recoñecemento dos posibles erros cometidos.

Por último, é importante presentar a matemática como unha ciencia viva e non como unha colección de regras

fixas e inmutables. Detrás dos contidos que se estudan hai un longo camiño conceptual, un construto

intelectual de enorme magnitude, que foi evolucionando a través da historia ata chegar ás formulacións que

agora manexamos.

O ensino das Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais no bacharelato terá como finalidade o

desenvolvemento das seguintes capacidades:

- Aplicar a situacións diversas os contidos matemáticos para analizar, interpretar e valorar fenómenos sociais,

co obxecto de comprender os retos que formula a sociedade actual.

- Adoptar actitudes propias da actividade matemática como a visión analítica ou a necesidade de verificación.

Asumir a precisión como un criterio subordinado ao contexto, as apreciacións intuitivas como un argumento

que contrastar e a apertura a novas ideas como un reto.

- Elaborar xuízos e formar criterios propios sobre fenómenos sociais e económicos, utilizando tratamentos

matemáticos. Expresar e interpretar datos e mensaxes, argumentando con precisión e rigor e aceptando

discrepancias e puntos de vista diferentes como un factor de enriquecemento.

- Formular hipóteses, deseñar, utilizar e contrastar estratexias diversas para a resolución de problemas que

permitan enfrontarse a situacións novas con autonomía, eficacia, confianza en si mesmo e creatividade.

- Utilizar un discurso racional como método para abordar os problemas: xustificar procedementos, encadear

unha correcta liña argumental, achegar rigor aos razoamentos e detectar inconsistencias lóxicas.

- Facer uso de variados recursos, incluídos os informáticos, na busca selectiva e o tratamento da información

gráfica, estatística e alxébrica nas súas categorías financeira, humanística ou doutra índole, interpretando

con corrección e profundidade os resultados obtidos dese tratamento.

- Adquirir e manexar con fluidez un vocabulario específico de termos e notacións matemáticos. Incorporar


280

con naturalidade a linguaxe técnica e gráfica a situacións susceptibles de ser tratadas matematicamente.

- Utilizar o coñecemento matemático para interpretar e comprender a realidade, establecendo relacións entre

as matemáticas e o ámbito social, cultural ou económico e apreciando o seu lugar, actual e histórico, como

parte da nosa cultura.

CONTRIBUCIÓN DA AREA AO DESENVOLVEMENTO DAS COMPETENCIAS CLAVE

Tal e como se describe na LOMCE, todas as áreas ou materias do currículo deben participar no

desenvolvemento das distintas competencias do alumnado. Estas, de acordo coas especificacións da lei, son:

1.º Comunicación lingüística.

2.º Competencia matemática e competencias básicas en ciencia e tecnoloxía.

3.º Competencia dixital.

4.º Aprender a aprender.

5.º Competencias sociais e cívicas.

6.º Sentido de iniciativa e espírito emprendedor.

7.º Conciencia e expresións culturais.

No proxecto de Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais para 1.º de Bacharelato, tal e como suxire a lei,

potenciouse o desenvolvemento das competencias de comunicación lingüística, competencia matemática e

competencias básicas en ciencia e tecnoloxía; ademais, para alcanzar unha adquisición eficaz das

competencias e a súa integración efectiva no currículo, incluíronse actividades de aprendizaxe integradas que

permitirán ao alumnado avanzar cara aos resultados de aprendizaxe de máis dunha competencia ao mesmo

tempo. Para valoralos, utilizaranse os estándares de aprendizaxe avaliables, como elementos de maior

concreción, observables e medibles, poñeranse en relación coas competencias clave, permitindo graduar o

rendemento ou o desempeño alcanzado en cada unha delas.

A materia de Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais I utiliza unha terminoloxía formal que permitirá ao

alumnado incorporar esta linguaxe ao seu vocabulario, e utilizala nos momentos adecuados coa suficiente

propiedade. Así mesmo, a comunicación dos resultados das actividades e/ou problemas e outros traballos que

realicen favorece o desenvolvemento da competencia en comunicación lingüística.

A competencia matemática e competencias básicas en ciencia e tecnoloxía son as competencias

fundamentais da materia. Para desenvolver esta competencia, o alumnado aplicará estratexias para definir

problemas, resolvelos, deseñar pequenas investigacións, elaborar solucións, analizar resultados, etc. Estas

competencias son, polo tanto, as máis traballadas na materia.

A competencia dixital fomenta a capacidade de buscar, seleccionar e utilizar información en medios dixitais,

ademais de permitir que o alumnado se familiarice cos diferentes códigos, formatos e linguaxes nos que se

presenta a información científica (datos estatísticos, representacións gráficas, modelos xeométricos...). A

utilización das tecnoloxías da información e a comunicación na aprendizaxe das ciencias para comunicarse,

solicitar información, retroalimentala, simular e visualizar situacións, para a obtención e o tratamento de datos,

etc., é un recurso útil no campo das matemáticas que contribúe a mostrar unha visión actualizada da actividade

científica.

A adquisición da competencia de aprender a aprender fundaméntase nesta materia no carácter instrumental

de moitos dos coñecementos científicos. Ao mesmo tempo, operar con modelos teóricos fomenta a

imaxinación, a análise, os dotes de observación, a iniciativa, a creatividade e o espírito crítico, o que favorece

a aprendizaxe autónoma. Ademais, ao ser unha materia progresiva, o alumnado adquire a capacidade de

relacionar os contidos aprendidos durante anteriores etapas co que vai ver no presente curso e no próximo.


281

Esta materia favorece o traballo en grupo, onde se fomenta o desenvolvemento de actitudes como a

cooperación, a solidariedade e o respecto cara ás opinións dos demais, o que contribúe á adquisición das

competencias sociais e cívicas. Así mesmo, o coñecemento científico é unha parte fundamental da cultura

cidadá que sensibiliza dos posibles riscos da ciencia e a tecnoloxía e permite formarse unha opinión

fundamentada en feitos e datos reais sobre o avance científico e tecnolóxico.

O sentido de iniciativa e espírito emprendedor é básico á hora de levar a cabo o método científico de forma

rigorosa e eficaz, seguindo a consecución de pasos desde a formulación dunha hipótese ata a obtención de

conclusións. É necesaria a elección de recursos, a planificación da metodoloxía, a resolución de problemas e

a revisión permanente de resultados. Isto fomenta a iniciativa persoal e a motivación por un traballo organizado

e con iniciativas propias.


procesos mentais fomentan a conciencia e expresión cultural das sociedades. Igualmente o alumno, mediante

o traballo matemático poderá comprender diversas manifestacións artísticas sendo capaz de utilizar os seus

coñecementos matemáticos na creación das súas propias obras.

Contidos e temporalización. Matemáticas aplicadas ás CCSS I


CONTIDOS CORRESPONDENCIA COAS

LECCIÓNS DO LIBRO DE TEXTO PRIMEIRO

Números reais

Álxebra


1

3

4

SEGUNDO

Funcións exponenciais, logarítmicas e

trigonométricas.

Límites de funcións, continuidade e ramas

infinitas.

Iniciación ao cálculo de derivadas.

Aplicacións.

5

6

7

TERCEIRO


Distribucións de probabilidade de variable

discreta.

Distribucións de probabilidade de variable

continua.

Aritmética mercantil.

8

9

10

2


Unidade 1:


Título

Números reais


Os contidos desta unidade son coñecidos, practicamente na súa totalidade, ao comezar este curso. Aquí

revísanse e afóndase neles, poñendo a énfase, fundamentalmente, nos aspectos procedementais básicos para

a formación matemática do alumnado.


282

Nesta unidade predominan os contidos procedementais fronte aos conceptuais. Estes últimos limítanse,

case exclusivamente, aos distintos tipos de números e ao seu proceso de aparición. En consecuencia, a gran

cantidade de procedementos que se traballa na unidade (representación de números na recta real, manexo

da notación científica, uso dos radicais...) fai preciso que o alumnado asuma un papel eminentemente activo

no proceso de aprendizaxe.

Optouse por evitar as dificultades excesivas, preferindo unha aprendizaxe efectiva de contidos

razoablemente sinxelos, pero importantes e básicos.

Posiblemente sexa este o momento oportuno para comezar a facer un uso case sistemático da calculadora,

aínda que sempre de forma racional. Débese facer fincapé, tanto en indicacións para o manexo da

calculadora coma nas situacións nas que convén usala e para que (como elemento comprobador, para buscar

aproximacións a certos resultados, para evitar cálculos tediosos...).

A principal razón de ser desta unidade de repaso é a cantidade de dúbidas e dificultades que arrastra gran

parte do alumnado cando alcanza este nivel. Sendo así, a unidade pode servir como revisión e repaso de

toda unha serie de coñecementos que serán sumamente importantes ao longo da aprendizaxe matemática

posterior.

O manexo destro dos intervalos en R, dos radicais e dos logaritmos é básico para estes estudantes.

Consideramos que a presentación dalgúns irracionais importantes e, en particular, do número áureo, é

especialmente interesante. Permite unha introdución dos números reais que, por razóns históricas e

estéticas, nos parece motivadora e adecuada para este nivel.

2. TEMPORALIZACIÓN

3.ª e 4.ª semanas de setembro e a metade da 1.ª semana de outubro.


Coñecer os conceptos básicos do campo numérico (recta real, potencias, raíces, logaritmos, factoriais e

números combinatorios) e aplicar as súas propiedades ao cálculo e á resolución de problemas.

4. CONTIDOS DA UNIDADE / CRITERIOS DE AVALIACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAXE

AVALIABLES/ COMPETENCIAS CLAVE

Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Distintos tipos de números

- Os números enteiros,

racionais e irracionais.

- O papel dos números

irracionais no proceso de

1. Coñecer e utilizar

símbolos e operacións

básicas de teoría de

conxuntos.

1.1. Expresa e interpreta

diferentes enunciados

empregando a

terminoloxía usada nos

conxuntos.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC.


283

ampliación da recta

numérica.

Recta real

- Correspondencia de cada

número real cun punto da

recta, e viceversa.

- Representación sobre a

recta de números

racionais, dalgúns

radicais e,

aproximadamente, de

calquera número dado

pola súa expresión

decimal.


Representación.

Radicais

- Forma exponencial dun

radical.


Logaritmos

- Definición e propiedades.

- Utilización das

propiedades dos

logaritmos para realizar

cálculos e para

simplificar expresións.


- Manexo destro da


Calculadora

- Utilización da calculadora

para diversos tipos de

tarefas aritméticas,

xuntando a destreza do

seu manexo coa

comprensión das

propiedades que se

utilizan.


básicos do campo

numérico (recta real,

potencias, raíces,

logaritmos...).

2.1. Dados varios números,

clasifícaos nos distintos

campos numéricos.

2.2. Interpreta raíces e

relaciónaas coa súa

notación exponencial.

2.3. Coñece a definición de

logaritmo, interprétaa en

casos concretos e utiliza

as súas propiedades.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC.

3. Dominar as técnicas

básicas do cálculo no

campo dos números reais.

3.1. Expresa cun intervalo un

conxunto numérico no

que intervén unha

desigualdade con valor

absoluto.

3.2. Opera correctamente con

radicais.

3.3. Opera con números “moi

grandes” ou “moi

pequenos” valéndose da

notación científica e

acoutando o erro

cometido.


obter potencias, raíces,

resultados de operacións

con números en notación

científica e logaritmos.


aritméticos.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC.

5. COMPETENCIAS / DESCRITORES / DESEMPEÑOS

Competencia Descritor Desempeño

Competencia en comunicación

lingüística

Utilizar o vocabulario adecuado,

as estruturas lingüísticas e as

normas ortográficas e gramaticais

para elaborar textos escritos e

Define e emprega correctamente

conceptos relacionados co campo

dos números reais, así como cos

números radicais, logaritmos,

expresados en notación científica,


284

orais. etc.

Comprender o sentido dos textos

escritos e orais.

Redacta informes breves acerca das

propiedades da unión e intersección

de intervalos, operacións con

radicais, logaritmos, números


etc.

Competencia matemática e

competencias básicas en

ciencia e tecnoloxía

Coñecer e utilizar os elementos

matemáticos básicos: operacións,

magnitudes, porcentaxes,

proporcións, formas xeométricas,

criterios de medición e

codificación numérica.

Recoñece a necesidade de traballar

con diferentes tipos de números e

coas súas abreviaturas e utiliza

expresións que os conteñen.

Expresarse con propiedade na

linguaxe matemática.

Entende a conveniencia dunha

linguaxe universal matemática así

como a necesidade de operar de xeito

unificado con cada tipo de números,

sabendo aplicar as diferentes

propiedades de xeito efectivo.

Manexar os coñecementos sobre

ciencia e tecnoloxía para

solucionar problemas,

comprender o que acontece a noso

arredor e responder preguntas.

Aplica os coñecementos adquiridos

para resolver problemas da vida

cotiá na que se fai necesaria a

ampliación do campo numérico cos

tipos de números tratados nesta

unidade.

Competencia dixital

Manexar ferramentas dixitais para

a construción de coñecemento.

Utiliza os recursos incluídos en

www.anayadigital.com ou na web

para obter información sobre a

representación dos números reais na

recta numérica.

Actualizar o uso das novas

tecnoloxías para mellorar o

traballo e facilitar a vida diaria.

Utiliza a calculadora de forma

adecuada coñecendo como sacarlle o

máximo partido a esta mentres opera

cos números traballados na unidade.

Competencia para aprender a

aprender

Planificar os recursos necesarios e

os pasos que cómpre realizar no

proceso de aprendizaxe.

Organiza a información nun

resumo/cadro para organizar as

propiedades traballadas dos

diferentes tipos de números.

Avaliar a consecución de

obxectivos de aprendizaxe.

Resume as ideas principais da

unidade e realiza as actividades

finais da unidade para autoavaliar os


285

coñecementos adquiridos.


Aprender a comportarse desde o

coñecemento dos distintos

valores.

Valora a importancia do

desenvolvemento da ciencia ao

longo do tempo.

Recoñecer riqueza na diversidade

de opinións e ideas.

Respecta as opinións expresadas

polos compañeiros nas actividades

cooperativas.

Sentido de iniciativa e espírito

emprendedor

Actuar con responsabilidade

social e sentido ético no traballo.

Planifica o seu traballo, mostra

iniciativa e interese por coñecer e

traballar a rigorosidade matemática.

Optimizar recursos persoais

apoiándose nas fortalezas propias.

Utiliza os seus coñecementos

previos na materia e as súas

fortalezas á hora de enfrontarse a

calquera tarefa dificultosa.

Conciencia e expresións

culturais

Apreciar os valores culturais do

patrimonio natural e da evolución

do pensamento científico.

Recoñece a importancia das distintas

manifestacións nas que se mostraron

os contidos matemáticos ao longo da

historia.

Unidade 2:


Título

Aritmética mercantil


Desta unidade consideramos especialmente importante a adquisición dos automatismos que permitan obter

aumentos e diminucións porcentuais (apartado 1), así como a súa aplicación ao cálculo de xuros bancarios

(apartado 3), tanto en anos coma en meses ou días. Estes apartados podemos consideralos de repaso, pois

víronse reiteradamente en cursos anteriores. Non obstante, xustifícase a súa presenza pola súa enorme

importancia e pola necesidade de que se adquira destreza de cálculo que permita manexar estes conceptos

de xeito automático.

O concepto de TAE (apartado 4), de grande actualidade, é sinxelo e paga a pena traballalo. Outro tanto

acontece co significado dos pagamentos mensuais (ou anuais, ou trimestrais) necesarios para amortizar un

préstamo: cada mensualidade serve para pagar os xuros xerados no último mes pola cantidade debida e

para amortizar parte da débeda. O valor da mensualidade debe ser tal que a última salde por completo o

debido. O apartado 5 explica este proceso e ofrece exemplos nos que se ve mes a mes.

No apartado 7 dedúcese a fórmula das anualidades (ou mensualidades). Non obstante, pensamos que pode

prescindirse del, pois, ademais de presentar dificultades teóricas notables e non figurar entre as prescricións

dos programas oficiais, rara vez necesitamos calcular unha mensualidade (si necesitamos comprobar se a

mensualidade que se nos impón responde á cantidade adecuada). Acaso podería ensinarse a fórmula e a súa

utilización en casos concretos.


286

Por último, co apartado 8 péchase a unidade explicando o tipo de produtos que adoitan ofrecer os bancos,

cunha breve exposición sobre os máis frecuentes.

2. TEMPORALIZACIÓN

2.ª, 3.ª e 4.ª semanas de outubro.


1. Dominar o cálculo con porcentaxes para resolver problemas de aritmética mercantil.


AVALIABLES / COMPETENCIAS CLAVE

Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Cálculo de aumentos e

diminucións porcentuais

- Índice de variación.

- Cálculo da cantidade

inicial coñecendo a

cantidade final e a

variación porcentual.

Xuros bancarios

- Períodos de

capitalización.

- Taxa anual equivalente

(TAE). Cálculo da TAE

en casos sinxelos.

- Comprobación da validez

dunha anualidade (ou

mensualidade) para

amortizar certa débeda.

Progresións xeométricas

- Definición e

características básicas.

- Expresión da suma dos n

primeiros termos.

Anualidades de

amortización

- Fórmula para a obtención

de anualidades e

mensualidades.

Aplicación.

1. Dominar o cálculo

con porcentaxes.

1.1. Relaciona a cantidade

inicial, a porcentaxe

aplicada (aumento ou

diminución) e a

cantidade final na

resolución de

problemas.

1.2. Resolve problemas nos

que haxa que encadear

variacións porcentuais

sucesivas.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP


de aritmética

mercantil.

2.1. En problemas sobre a

variación dun capital

ao longo do tempo,

relaciona o capital

inicial, o rédito, o

tempo e o capital final.

2.2. Descubre o capital

acumulado mediante

pagamentos periódicos

(iguais ou non)

sometidos a certo xuro.

2.3. Calcula a anualidade

(ou mensualidade)

correspondente á

amortización dun

préstamo.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC



287


Competencia en

comunicación lingüística


escritos e orais.

Entende os exemplos propostos no

libro de texto onde se explica o

significado dos pagamentos

necesarios para amortizar un

préstamo.

Respectar as normas de

comunicación en calquera

contexto: quenda de palabra,

escoita atenta ao interlocutor...

Mantén unha escoita activa nas

explicacións da aula por parte do

profesorado e nas intervencións

realizadas polos compañeiros e

compañeiras.

Producir textos escritos de diversa

complexidade para o seu uso en

situacións cotiás ou de materias

diversas.

Propón problemas referidos á vida

cotiá sobre aritmética mercantil.








criterios de medición e codificación

numérica, etc.

Utiliza os conceptos tratados na

unidade de forma adecuada e as



ciencia e tecnoloxía para solucionar

problemas, comprender o que

acontece a noso arredor e responder

a preguntas.

Manexa con soltura os coñecementos

previos sobre a materia, así como os

adquiridos na unidade e noutras áreas,

que lle permiten contesta as preguntas

que se lle suxiren.

Recoñecer a importancia da ciencia

na nosa vida cotiá.

Recoñece a importancia que ten a

aritmética mercantil na vida cotiá e

como o seu estudo facilita a

comprensión de conceptos hoxe en día

moi comúns.

Competencia dixital


tecnoloxías para mellorar o traballo

e facilitar a vida diaria.

Utiliza a calculadora e/ou follas de

cálculo para facilitarlle os cálculos e,

en consecuencia, o seu traballo.

Empregar distintas fontes para a

busca de información.

Utiliza a web de Anaya, onde dispón

de diferentes presentacións,

simulacións e actividades interactivas

para buscar e/ou ampliar contidos da

unidade.

Aprender a aprender Desenvolver estratexias que

favorezan a comprensión rigorosa

Realiza un mapa mental dos seus

coñecementos previos sobre

porcentaxes, aumentos/diminucións


288

dos contidos. porcentuais e cálculo de xuros

bancarios para sentar as bases dos

coñecementos necesarios para

desenvolver os restantes ítem da

unidade.

Competencias sociais e

cívicas

Desenvolver capacidade de diálogo

cos demais en situacións de

convivencia e traballo e para a

resolución de conflitos.

Dialoga cos seus compañeiros cando

traballa en grupo favorecendo a

convivencia neste.

Sentido de iniciativa e

espírito emprendedor

Xerar novas e diverxentes

posibilidades desde coñecementos

previos do tema.

Resolve problemas de aritmética

mercantil que el mesmo propón,

calcula a mensualidade que

corresponde, descubre o capital

acumulado mediante pagamentos

periódicos sometidos a certo xuro, etc.

Atopar posibilidades no contorno

que outros non aprecian.

Atopa, no seu contorno máis próximo,

situacións que se poden resolver

mediante os contidos traballados na

unidade.


culturais




Recoñece a importancia da evolución

da aritmética que favoreceu o

desenvolvemento, á súa vez, doutras

disciplinas aplicadas.

Unidade 3:


Título

Álxebra


Aínda que é posible que coñezan a regra de Ruffini desde 4.º de ESO, é case seguro que a maior parte do

alumnado deste nivel necesita insistir nela; sobre todo nas súas aplicacións:

- Cálculo do valor numérico dun polinomio para x = a.

- Factorización de polinomios.

Ademais de ter claros os conceptos, é fundamental que os estudantes adquiran destreza na descomposición

factorial de polinomios, así como nas operacións con fraccións alxébricas.

O paralelismo entre a divisibilidade no campo dos polinomios e no dos números enteiros, e entre as

fraccións alxébricas e as numéricas, ademais de ser conceptualmente importante, achega un recurso

didáctico moi válido, pois o coñecemento que o alumnado ten sobre estes aspectos numéricos serve como

organizador da aprendizaxe dos correspondentes conceptos e procedementos alxébricos.

Nestes niveis, máis que explicacións teóricas de conceptos relacionados coas ecuacións, que o alumnado

xa coñece, o que precisa é exercitarse no uso destas técnicas e na oportunidade da súa utilización. Por iso,


289

debe tomar o protagonismo da súa aprendizaxe e realizar os exercicios que se propoñen ao longo da

unidade. Neste proceso seralle de grande axuda, para aclarar as súas dúbidas, os «exercicios resoltos» que

se lle ofrecen.

A amplísima oferta de exercicios e problemas que se expón ao final da unidade permitirá ao profesorado

seleccionar propostas acordes coas necesidades de cada estudante.

As dificultades que con tanta frecuencia ten o alumnado para traducir á linguaxe alxébrica son debidas, en

parte, á falta de adestramento na resolución dos correspondentes problemas aritméticos.

O tratamento do método de Gauss pode consistir nunha aproximación a este, que se abordará con gran

detalle no curso próximo. Por iso, só se tratan sistemas de tres ecuacións con tres incógnitas. Nelas

practícase a esencia do método e prepáranse os estudantes para o curso próximo.

Prestouse unha atención especial á resolución gráfica de sistemas de inecuacións lineais con dúas incógnitas

como preparación básica para a programación lineal, que é contido fundamental no 2.° curso. Non obstante,

teñen suficiente interese en si mesmos como para que sexan útiles e formativos para os que non cursen esta

materia en 2.° de Bacharelato.

2. TEMPORALIZACIÓN

1.ª, 2.ª e 3.ª semanas de novembro.


1. Dominar o manexo de polinomios e fraccións alxébricas e as súas operacións.

2. Resolver con destreza ecuacións e sistemas de ecuacións e aplicalos á resolución de problemas.

3. Interpretar e resolver inecuacións e sistemas de inecuacións.


AVALIABLES / COMPETENCIAS CLAVE

Contidos Criterios

de avaliación

Estándares de


Regra de Ruffini

- División dun polinomio

por x – a. - Teorema do resto.

- Utilización da regra de

Ruffini para dividir un

polinomio entre x – a e

para obter o valor

numérico dun polinomio

para x =a.

Factorización de polinomios

- Descomposición dun

polinomio en factores.


1. Dominar o manexo

de polinomios e as

súas operacións.

1.1. Aplica con soltura a

mecánica das

operacións con

polinomios.


utilizando o teorema

do resto.

1.3. Factoriza un

polinomio con varias

raíces enteiras.

CCL,

CMCT,

CAA,

SIEP

2. Dominar o manexo

das fraccións

alxébricas e as súas

operacións.


alxébricas.

2.2. Opera con fraccións

alxébricas.

CCL,

CMCT,

CAA,

SIEP.


290

- Manexo da operatoria con


Simplificación.

Resolución de ecuacións

- Ecuacións de segundo

grao e bicadradas.

- Ecuacións con radicais.

- Ecuacións polinómicas de

grao maior que dous.

- Ecuacións exponenciais.

- Ecuacións logarítmicas.

Sistema de ecuacións


ecuacións de calquera tipo

que poidan desembocar en

ecuacións das nomeadas

nos puntos anteriores.

- Método de Gauss para

sistemas lineais.

Inecuacións cunha e dúas

incógnitas

- Resolución alxébrica e

gráfica de ecuacións e

sistemas de inecuacións

cunha incógnita.

- Resolución gráfica de

ecuacións e sistemas de

inecuacións lineais con

dúas incógnitas.

Problemas alxébricos

- Tradución á linguaxe

alxébrica de problemas

dados mediante

enunciado e a súa

resolución.

3. Resolver con

destreza ecuacións

de distintos tipos e

aplicalas á

resolución de

problemas.


segundo grao e

bicadradas.


con radicais e coa

incógnita no

denominador.


exponenciais e

logarítmicas.

3.4. Válese da

factorización como

recurso para resolver

ecuacións.


problemas mediante

ecuacións.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP

4. Resolver con

destreza sistemas de

ecuacións e aplicalos

na resolución de

problemas.


ecuacións de

primeiro e segundo

graos e interprétaos

graficamente.


ecuacións con

radicais e fraccións

alxébricas

«sinxelos».


ecuacións con

expresións

exponenciais e

logarítmicas.

4.4. Resolve sistemas

lineais de tres

ecuacións con tres

incógnitas mediante

o método de Gauss.


problemas mediante

sistemas de

ecuacións.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP


291

5. Interpretar e resolver

inecuacións e

sistemas de

inecuacións.

5.1. Resolve e interpreta

graficamente

inecuacións e

sistemas de

inecuacións cunha

incógnita (sinxelos).

5.2. Resolve inecuacións

de segundo grao.


inecuacións lineais e

sistemas de

inecuacións lineais


CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC




lingüística

Manexar elementos de

comunicación non verbal, ou en

diferentes rexistros, nas diversas

situacións comunicativas.

Traduce de xeito adecuado da

linguaxe verbal á alxébrica e valora

de forma positiva este rexistro como

elemento de comunicación

universal.




diversas.

Inventa problemas referidos á vida

cotiá que necesitan da resolución

dunha ecuación ou un sistema de

ecuacións para a súa solución

definitiva.




Comprender e interpretar a

información presentada en

formato gráfico.

Asocia o número de solucións

obtidas ao resolver un sistema de

ecuacións coa súa respectiva





linguaxe universal matemática, así

como a necesidade da prioridade de

operacións universal, sabendo

aplicala de xeito efectivo.

Aplicar estratexias de resolución

de problemas a situacións da vida

cotiá.

Aplica de forma adecuada os

coñecementos adquiridos na

unidade para resolver problemas

transformándoos previamente á

linguaxe alxébrica de forma


292

rigorosa, feito que lle permite

comprender mellor a realidade que o

rodea.

Competencia dixital




Manexa a súa calculadora e/ou

programas de cálculo de forma

adecuada coñecendo as ordes

precisas que lle axudan e lle facilitan

o seu traballo.

Aprender a aprender

Desenvolver estratexias que


dos contidos.

Organiza a información nun mapa

mental que reflicte os conceptos

tratados na unidade de forma

rigorosa.








Aprender a comportarse desde o

coñecemento dos distintos

valores.



longo do tempo.


emprendedor

Ser constante no traballo

superando as dificultades.

Supera con dedicación e esforzo os

resultados adversos que poida obter

e volve traballar sobre o problema

en cuestión ata que o resolve.


culturais

Apreciar a beleza das expresións

artísticas e das manifestacións de

creatividade e gusto pola estética

no ámbito cotián.

Inventa representacións de sistemas

lineais de ecuacións de dúas ou tres

incógnitas e/ou inecuacións dunha

incógnita e, a partir delas, atopa as

ecuacións ou inecuacións que as

orixinan.

Unidade 4:


Título



Para iniciarnos na Análise é imprescindible facer unha posta ao día do que de funcións se aprendeu na ESO.

Empézase lembrando os conceptos básicos: función, dominio, percorrido, as diversas formas de definir

unha función e as razóns que restrinxen o dominio de definición.

A continuación repásase unha serie de familias de funcións (lineais, cuadráticas, de proporcionalidade


293

inversa e radicais) e as funcións definidas mediante «anacos» das anteriores.

Un curso máis dedícase unha atención moi especial ao manexo da recta, ao significado da pendente e á

obtención da súa expresión analítica. A importancia destas destrezas xustifica a reiteración no seu

tratamento. Aquí complétase cun pequeno estudo da interpolación lineal e cuadrática.

Merece unha atención especial a parábola, a súa identificación a partir da expresión analítica e a

representación a partir do seu vértice e do signo do coeficiente de x2. Ao igual que se tratou a interpolación

lineal na sección de funcións lineais, nesta sección estúdase a interpolación parabólica. Apréndese a

calcular a ecuación da parábola que pasa por tres puntos mediante un sistema de ecuacións e polo método

de Newton. E, con ela, realízase a interpolación.

É frecuente que os estudantes atopen dificultades na obtención do dominio de definición dunha función

debido á carencia de destrezas alxébricas.

Tamén adoita presentar dificultades a percepción das asíntotas das funcións de proporcionalidade inversa,

pero esta aprendizaxe supón unha boa base para o futuro tratamento das ramas infinitas de funcións máis

complexas.

Nas funcións definidas «a anacos» hai que prestar especial atención ás limitacións impostas a cada unha

das curvas que interveñen. A destreza na representación e interpretación deste tipo de funcións permitirá a

definición de novas funcións, como «parte enteira», «parte decimal» e «valor absoluto», que atopamos

nalgunhas situacións ligadas ao mundo real e achegará, máis adiante, un soporte para a comprensión das

ideas de límite e continuidade.

Obtéñense outras funcións relacionadas coas elementais mediante pequenas modificacións das súas

expresións analíticas, f(x) + k, – f(x), f(–x), f(x + a), |f(x)|. O dominio das técnicas polas que se transforma

a gráfica dunha función ao efectuar estas modificacións amplía considerablemente a gama de funcións

recoñecibles a simple vista e axuda a destacar as características esenciais da gráfica.

A familiarización do alumnado coas distintas curvas que se van estudar desencadéase propoñéndolle asociar

gráficas a expresións analíticas, facendo uso tanto do coñecemento previo que delas teñan como da

obtención dalgúns dos seus puntos, con ou sen axuda da calculadora.

Con todo iso, preténdese achegar e consolidar unha bagaxe de coñecementos básicos que implican unha

notable familiaridade coas funcións de máis uso, o cal é interesante por si mesmo e, ademais, resultará

indispensable para poder construír os conceptos básicos da análise que se verán a continuación: límites e

derivadas.

2. TEMPORALIZACIÓN

4.ª semana de novembro e 1.ª e 2.ª semanas de decembro.


1. Coñecer as características de funcións elementais, asociar as súas expresións analíticas ás súas gráficas

e recoñecer as transformacións que se producen nestas como consecuencia dalgunhas modificacións

na súa expresión analítica.



Contidos Criterios


avaliables CC


294


- Conceptos asociados:

variable real, dominio de

definición, percorrido...

- Obtención do dominio de

definición dunha función

dada pola súa expresión

analítica.

As funcións lineais

- Representación das

funcións lineais.

Interpolación e

extrapolación lineal

- Aplicación da

interpolación lineal á

obtención de valores en

puntos intermedios entre

outros dous.

As funcións cuadráticas



- Obtención da expresión

analítica a partir da

gráfica de funcións

cuadráticas.

Interpolación e

extrapolación parabólica

- Aplicación da

interpolación parabólica á

obtención de valores en

puntos intermedios entre

outros dous.

As funcións de

proporcionalidade inversa


funcións de

proporcionalidade

inversa.



gráfica de funcións de

proporcionalidade

inversa.

As funcións radicais



de dominio de

definición dunha

función e obtelo a

partir da súa


1.1. Obtén o dominio de

definición dunha



1.2. Recoñece e expresa con

corrección o dominio e

o percorrido dunha

función dada

graficamente.

1.3. Determina o dominio

dunha función tendo en

conta o contexto real do

enunciado.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

2. Coñecer as familias

de funcións

elementais e asociar

as súas expresións

analíticas coas

formas das súas

gráficas.

2.1. Asocia a gráfica dunha

función lineal ou

cuadrática á súa



función radical ou de

proporcionalidade

inversa á súa expresión

analítica.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

CEC

3. Dominar o manexo

de funcións

elementais, así como

das funcións

definidas «a

anacos».

3.1. Obtén a expresión

dunha función lineal a

partir da súa gráfica ou

dalgúns elementos.

3.2. Realiza con soltura

interpolacións e

extrapolacións lineais e

parabólicas e aplícaas á

resolución de

problemas.

3.3. A partir dunha función

cuadrática dada,

recoñece a súa forma e

posición e represéntaa.


función radical dada

pola súa expresión

analítica.


función de

proporcionalidade

inversa dada pola súa



definidas «a anacos»

(só lineais e

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

CEC


295

funcións radicais.



gráfica dalgunhas

funcións radicais sinxelas.

Funcións definidas a anacos



anacos».

- Funcións «parte enteira» e

«parte decimal».

Transformacións de

funcións

- Representación gráfica de

ƒ(x) +k, –ƒ(x), ƒ(x+ a),

ƒ(–x) e |ƒ(x)| a partir da

de y = ƒ(x).

cuadráticas).


analítica dunha función

dada por un enunciado

(lineais e cuadráticas).

4. Recoñecer as

transformacións que

se producen nas

gráficas como

consecuencia

dalgunhas

modificacións nas

súas expresións

analíticas.

4.1. Representa

y= ƒ(x) ± k ou

y= ƒ(x ± a) ou

y= – ƒ(x) a partir da

gráfica de y= ƒ(x).

4.2. Representa y = |ƒ(x)| a

partir da gráfica de y =

ƒ(x).

4.3. Obtén a expresión de y

= |ax+b| identificando

as ecuacións das rectas

que a forman.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

CEC




lingüística

Expresarse oralmente con

corrección, adecuación e

coherencia.

Exprésase con coherencia e

corrección cando explica como

desenvolveu unha actividade da

unidade.


comunicación non verbal ou en



Realiza representacións gráficas

para facerse entender cando se

comunica na aula co profesor ou cos

compañeiros e compañeiras.

Utilizar os coñecementos sobre a

lingua para buscar información e

ler textos en calquera situación.


previos da lingua para ler textos,

expresións ou gráficos nos que

interveñen funcións elementais e/ou


296

as súas expresións analíticas.





información presentada en formato

gráfico.

Asocia ás diferentes funcións

traballadas na unidade as súas

representacións gráficas e

viceversa.



Utiliza a notación adecuada cando

realiza as actividades, sendo os

procedementos claros e eficaces.



solucionar problemas, comprender

o que acontece ao seu arredor e

responder preguntas.

Utiliza os seus coñecemento previos

sobre matemáticas para comprender

algunhas funcións novas (parte

enteira, parte decimal, valor

absoluto...) que se encontran ligadas

a situacións do mundo real.

Competencia dixital




Utiliza a calculadora e outros

programas informáticos para

facilitarlle os cálculos e

representacións e rendibilizar o seu

traballo.

Utilizar as distintas canles de

comunicación audiovisual para

transmitir informacións diversas.

Representa funcións en diferentes

canles de comunicación audiovisual

(lapis e papel, imaxes fixas, vídeos,

GeoGebra…).

Aprender a aprender

Aplicar estratexias para a mellora

do pensamento creativo, crítico,

emocional, interdependente...

Aplica destrezas de pensamento

creativo para construír funcións

transformadas.


os pasos a realizar no proceso de

aprendizaxe.

É consciente de como é o seu

proceso de aprendizaxe e de que é o

que necesita para aprender,

planificando con anterioridade que

recursos necesita para que o

devandito proceso sexa efectivo.


Desenvolver a capacidade de

diálogo cos demais en situacións

de convivencia e traballo e para a


Comunícase cos compañeiros de

forma activa cando se desenvolven

situacións de traballo común na

aula.


emprendedor



Atopa, no seu contorno máis

próximo, situacións que se poden

reflectir mediante as funcións

traballadas na unidade.

Conciencia e expresións Elaborar traballos e presentacións Representa diferentes funcións de


297

culturais con sentido estético. forma adecuada e presta especial

atención aos detalles.

Unidade 5:


Título

Funcións exponenciais, logarítmicas e trigonométricas


Esta unidade é, en certo modo, prolongación da anterior: continúase coa descrición de familias de funcións

básicas.

Aínda que é certo que as funcións trigonométricas non aparecen explicitamente no programa, cremos que

son o mellor modelo para, neste nivel, introducir e estudar as funcións periódicas. Ademais, posiblemente

sexa este o campo no cal o concepto de periodicidade atopa a súa aplicación máis habitual.

A función logarítmica preséntase a partir da exponencial. Esta formulación obriga ao estudo da función

inversa e, polo tanto, ao de función composta. Estes conceptos son introducidos de xeito gradual,

prestándolles a debida atención, tendo en conta o útiles que resultarán cando se aprendan as regras de

derivación.

Tanto para as funcións trigonométricas como para as logarítmicas, cremos suficiente un tratamento

superficial destas: centrámonos en ser capaces de asociar, en cada caso, a forma dunha curva coa expresión

analítica correspondente, apoiándonos para iso na obtención de valores coa calculadora.

Da función exponencial necesítase, non obstante, un coñecemento máis profundo. E iso por unha razón

fundamental: a gran cantidade de situacións nas que as Ciencias Sociais fan uso desta idea para modelizar

fenómenos reais (estudo do crecemento dunha poboación, asignación de probabilidades a partir de

distribucións estatísticas, etc.).

A comprensión das funcións trigonométricas pode facerse difícil debido, sobre todo, aos escasos ou nulos

coñecementos trigonométricos que atesoura o alumnado cando chega a este curso. Por iso, o estudo debe

facerse con parsimonia dabondo.

A operación da composición de funcións presenta para a maioría de estudantes grandes dificultades. É

habitual que o alumnado teña a sensación de que se trata dun concepto doado, cando en realidade non o

domina. Por iso, é necesario insistir sobre esta idea, realizando multitude de exemplos.

O recoñecemento dunha función como composta doutras resulta fundamental para, posteriormente, aplicar

a regra da cadea na obtención de derivadas, posiblemente, unha das principais ferramentas do cálculo

diferencial.

Optamos por introducir a unidade presentando a orixe destas funcións e mostrando unha serie de fenómenos

reais e sinxelos que describen con exactitude varias das funcións que se van estudar. Pensamos que, unha

vez máis, as situacións cotiás nas que de forma natural aparecen as matemáticas, son a mellor forma de

motivar os estudantes para un estudo serio e profundo.

2. TEMPORALIZACIÓN

2.ª, 3.ª e 4.ª semanas de xaneiro.


298


1. Coñecer as funcións exponencial e logarítmica como funcións recíprocas e asociar as súas gráficas coa

expresión analítica que lle corresponde.

2. Coñecer as funcións trigonométricas e asociar a súa gráfica á súa expresión analítica.



Contidos Criterios


avaliables CC

Composición de funcións

- Obtención da función

composta doutras dúas

dadas polas súas


Función inversa ou

recíproca doutra

- Trazado da gráfica

dunha función,

coñecida a da súa

inversa.

- Obtención da

expresión analítica de

f -1(x), coñecida f(x).

As funcións exponenciais



As funcións logarítmicas


funcións logarítmicas.

As funcións

trigonométricas


funcións

trigonométricas.

1. Coñecer a

composición de

funcións e as inversas,

e manexalas.

1.1. Dadas as expresións

analíticas de dúas

funcións, acha a

función composta de

ambas as dúas.

1.2. Recoñece unha función

dada como

composición doutras

dúas coñecidas.

1.3. Dada a representación

gráfica de

y= f0(x), dá o valor de

f -1(a) para valores

concretos da.

Representa

y= f-1(x).

1.4. Acha a función inversa

dunha dada.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

2. Coñecer as funcións

exponenciais e

logarítmicas e asociar

as súas expresións

analíticas coas formas

das súas gráficas.

2.1. Dada a gráfica dunha

función exponencial

ou logarítmica,

asígnalle a súa

expresión analítica e

describe algunhas das

súas características.

2.2. Dada a expresión

analítica dunha

función exponencial,

represéntaa.


analítica dunha

función logarítmica,

represéntaa.


CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

CEC


299

analítica dunha

función exponencial,

dada por un

enunciado.

3. Coñecer as funcións

trigonométricas e

asociar as súas

expresións analíticas

coas formas das súas

gráficas.


función

trigonométrica,

asígnalle a súa

expresión analítica e

describe algunha das

súas características.


analítica dunha

función

trigonométrica,

represéntaa.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC




lingüística



coherencia.

Exprésase de forma correcta cando

intervén na aula utilizando

expresións coherentes e adecuadas

para cada ocasión.




diversas.

Explica, por escrito, de forma

adecuada como asociou a diferentes

funcións exponenciais e logarítmicas

as súas expresións analíticas coas

formas das súas gráficas.






explicacións e correccións da clase,

preguntado dúbidas pertinentes de

forma clara e respectando a quenda

de palabra.









codificación numérica, etc.

Utiliza os conceptos tratados na

unidade de forma adecuada e as




formato gráfico.

Identifica e representa doadamente

as gráficas das funcións

trigonométricas elementais: seno,


300

coseno e tanxente.

Organizar a información

utilizando procedementos

matemáticos.

Pregúntase, previamente a

enfrontarse á representación gráfica

dunha función: que tipo de función é,

que debe calcular para a súa

representación...

Competencia dixital




www.anayadigital.com ou na web

para complementar os contidos da

unidade e ampliar o seu

coñecemento.




Manexa a súa calculadora utilizando

de forma adecuada algunhas das súas

funcións, descoñecidas ata o

momento, pero esenciais nesta

unidade.

Aprender a aprender

Seguir os pasos establecidos e

tomar decisións sobre os seguintes

en función dos resultados

intermedios.

Coñece o significado de

composición de funcións e aplícao

de forma efectiva para obter a

función composta doutras dúas

dadas polas súas expresións

analíticas, de maneira que, se o

resultado final non é o correcto,

revisa os pasos intermedios para

localizar, por el mesmo, o erro e

modifícao.



Realiza as actividades finais da

unidade e utilízaas para autoavaliar

os coñecementos adquiridos.


Evidenciar preocupación polos

máis desfavorecidos e respecto

aos distintos ritmos e

potencialidades.

Axuda aos compañeiros e

compañeiras que presentan algunha

dificultade na consecución dos

obxectivos do tema de forma

espontánea.


emprendedor


posibilidades desde coñecementos

previos do tema.

Compón unha función coa súa

inversa para comprobar que a

inversa que calculara previamente é

correcta.


culturais

Apreciar a beleza das expresións

artísticas e das manifestacións de

creatividade e gusto pola estética

no ámbito cotián.

Representa diferentes funcións

(exponenciais, logarítmicas,

trigonométricas...) de forma

adecuada coidando todos os detalles


301

destas.

Unidade 6:


Título

Límites de funcións, continuidade e ramas infinitas


A idea gráfica, tanto de continuidade e descontinuidade como dos distintos tipos de límites e ramas infinitas,

é sinxela e clara. O paso da idea gráfica á obtención de métodos analíticos polos que se recoñezan estas

características das funcións a partir das súas expresións analíticas é o contido fundamental desta unidade.

O estudante debe ser consciente do proceso seguido:

- Se a función se nos dá graficamente, apreciamos nela unha serie de características: continuidade,

descontinuidades e os seus tipos, límites nun punto e a súa relación coa continuidade, límites no infinito

e ramas infinitas.

- Estas evidencias gráficas dan lugar a métodos analíticos cos que se pode obter información sobre as

devanditas características a partir da expresión analítica da función.

Con que fin seguimos ese proceso? Pois, se é doado apreciar tales características sobre a gráfica, para que

ir buscalas nas expresións analíticas, onde resulta difícil e laborioso achalas? Aínda que a resposta é obvia,

debemos subliñala: habitualmente, as funcións dánsenos analítica e non graficamente.

Destacamos, como especialmente importantes, estas consideracións didácticas:

- O resultado que afirma «todas as funcións definidas polas súas expresións analíticas elementais (é dicir,

todas as que coñecemos ata agora) son continuas en todos os puntos nos que están definidas», permítenos

obter como obvios infinidade de límites nos que non existe indeterminación.

- O interese de recorrer á calculadora para dilucidar o signo nos seguintes casos: algúns límites infinitos

cando x→a pola dereita ou pola esquerda, ou o signo da diferenza entre unha función e a súa asíntota

para situar respecto a esta a rama infinita.

- «O protagonismo dunha función polinómica, cando x→+ ou x→−, desempéñao o seu termo de maior

grao». Esta sinxela afirmación resulta sumamente fecunda para o cálculo de límites no infinito nos que

interveñan expresións polinómicas. É desexable que os estudantes o entendan á perfección, e automaticen

o seu uso. E, no posible, que o fagan extensivo a outro tipo de funcións.

- Posto que neste nivel só veremos asíntotas oblicuas en funcións racionais, consideramos que abonda con

aprender a obtención destas mediante o cálculo alxébrico do cociente P(x): Q(x).

Non é nos procesos matemáticos onde adoitan acharse as maiores dificultades dos estudantes, senón na

correcta interpretación destes e o papel que desempeñan na representación gráfica de funcións. Unha forma

de ir suavizando esta dificultade é, cremos, interpretar graficamente todo resultado analítico que se obteña.

2. TEMPORALIZACIÓN

1.ª, 2.ª e 3.ª semanas de febreiro.



302

1. Coñecer os distintos tipos de límites, identificalos sobre a gráfica dunha función, calculalos

analiticamente e interpretar o seu significado.

2. Identificar a continuidade ou a descontinuidade dunha función nun punto.

3. Aplicar o cálculo de límites ao estudo das ramas infinitas de funcións polinómicas e racionais, e á súa

representación.



Contidos Criterios


avaliables CC

Continuidade.

Descontinuidades

- Recoñecemento sobre

a gráfica da causa da

descontinuidade

dunha función nun

punto.

- Decisión sobre a

continuidade ou

descontinuidade

dunha función.

Límite dunha función

nun punto


das distintas

posibilidades de

límites nun punto.

- Cálculo de límites nun

punto:

- De funcións

continuas no punto.

- De funcións

definidas a anacos.

- De cociente de

polinomios.

Límite dunha función en

+ ou en −


das distintas

posibilidades de

límites cando x→+ e

cando x→−. - Cálculo de límites no

infinito:

- De funcións

polinómicas.

- De funcións inversas

1. Coñecer o

significado analítico

e gráfico dos

distintos tipos de

límites e

identificalos sobre

unha gráfica.


función, recoñece o valor

dos límites cando

+x,→−x,→

x→ a− ,x→ a+,

x→ a.

1.2. Interpreta graficamente

expresións do tipo =

→)(xflím

x ( e+son,− ou un

número), así como os

límites laterais nun punto.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC

2. Adquirir certo

dominio do cálculo

de límites sabendo

interpretar o

significado gráfico

dos resultados

obtidos.

2.1. Calcula o límite nun punto

dunha función continua.


dunha función racional na

que se anula o

denominador e non o

numerador e distingue o

comportamento pola

esquerda e pola dereita.



que se anulan numerador

e denominador.

2.4. Calcula os límites cando x

→+ ou

x →−, de funcións

polinómicas.

2.5. Calcula os límites cando x

→+ ou

x→−,de funcións

racionais.

2.6. Calcula o límite de

funcións «a anacos» nun

punto e cando

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC


303

de polinómicas.

- De funcións racionais. x→+ ou x→−


de función continua

e identificar a

continuidade ou

descontinuidade

dunha función nun

punto.


función recoñece se en

certo punto é continua ou

discontinua e, neste

último caso identifica a

causa da descontinuidade.

3.2. Estuda a continuidade

dunha función dada «a

anacos».

3.3. Estuda a continuidade

dunha función racional

dada a súa expresión

analítica.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC

4. Coñecer os distintos

tipos de ramas

infinitas (ramas

parabólicas e ramas

que se cinguen a

asíntotas verticais

horizontais e

oblicuas).

4.1. Acha as asíntotas verticais

dunha función racional e

representa a posición da

curva respecto a elas.

4.2. Estuda e representa as

ramas infinitas dunha

función polinómica.

4.3. Estuda e representa o

comportamento dunha

función racional cando

x→+ e x→−.

(Resultado: ramas

parabólicas).


comportamento dunha


x→+x→−.

(Resultado: asíntota

horizontal).


comportamento dunha


x→+ e x→−.

(Resultado: asíntota

oblicua).

4.6. Acha as asíntotas e as

ramas infinitas dunha

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


304

función racional e sitúa a

curva con respecto a elas.

4.7. Estuda e representa as

ramas infinita en funcións

exponenciais e

logarítmicas.




lingüística






explicacións e nas correccións da

clase, preguntado dúbidas

pertinentes de forma clara e

respectando a quenda de palabra.


escritos e orais.

Comprende, baseándose nos seus

coñecementos previos, a que tende o

límite dun función cando tende a +∞

ou a -∞ se a ve representada.

Utilizar o vocabulario adecuado,

as estruturas lingüísticas e as

normas ortográficas e gramaticais


orais.


conceptos relacionados cos

coñecementos adquiridos na unidade

utilizándoos de xeito adecuado para

expresarse, tanto de forma oral como

escrita.










Coñece e utiliza de forma correcta os

elementos matemáticos básicos

necesarios para a unidade:

continuidade, descontinuidade,

límite, ramas, asíntotas...




realiza as actividades e os

procedementos son claros e eficaces.

Resolver problemas

seleccionando os datos e as

estratexias apropiadas.

Utiliza adecuadamente as técnicas

aprendidas para calcular os

elementos que se lle piden en cada

problema proposto.



formato gráfico.

Comprende e interpreta, en funcións

polinómicas e racionais

representadas, por que son dunha

determinada as súas ramas infinitas e

non doutra.


305

Competencia dixital

Seleccionar o uso das distintas

fontes segundo a súa fiabilidade.

Avalía as fontes consultadas segundo

a súa fiabilidade e reflexiona sobre a

conveniencia de utilizar a

información extraída destas.


a construción de coñecementos.


www.anayadigital.com e na web

para complementar e/ou ampliar

información sobre a unidade.

Aprender a aprender



dos contidos.

Realiza un mapa mental previo á

unidade cos contidos que posúe

acerca das funcións para, deste xeito,

saber con certeza cal é o

coñecemento co que parte e que

necesita reforzar para enfrontarse a

esta unidade.











potencialidades.

Axuda aos compañeiros que

presentan algunha dificultade na

consecución dos obxectivos do tema

de forma espontánea.


emprendedor

Mostrar iniciativa persoal para

iniciar ou promover accións

novas.

Inventa, de forma espontánea,

pequeno cambios nas funcións coas

que traballa para estudar como

cambia o comportamento das súas

asíntotas.


culturais

Elaborar traballos e presentacións

con sentido estético.

Representa as ramas infinitas en

funcións exponenciais e logarítmicas

con todos os detalles para que non

haxa lugar a ningunha confusión.

Unidade 7:


Título

Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións


A introdución histórica presentada nas páxinas iniciais ten unha especial relevancia para o estudo da

unidade, porque os problemas resoltos por Newton e Leibnitz no século XVII son basicamente os mesmos

http://www.anayadigital.com/


306

que imos utilizar para introducir o concepto de derivada.

Na entrada da unidade o problema Movemento dunha partícula é moi adecuado para aproximarnos á idea

de cambio e variación nun intervalo e nun instante, antes de definir formalmente a TVM e a TVI.

Ademais desta actividade pode ser moi útil comezar coa seguinte:

Sobre un papel cuadriculado e nuns eixes coordenados debúxase unha gráfica. Nun dos seus puntos de

abscisa a trázase a recta tanxente. Áchase a súa pendente, m, tomando como referencia a cuadrícula.

Poñeremos: : f '(a) =m. É dicir, antes de dar ningunha definición de derivada, identifícase, de forma práctica,

a derivada dunha función nun punto coa pendente da recta tanxente á súa gráfica nese punto.

A realización de varios exercicios coma este serve para que o alumnado saiba a onde se dirixe cando dá os

pasos para achar a derivada mediante o límite do cociente incremental, e para destacar que a pendente ou

inclinación da recta tanxente á curva nun punto representa a rapidez de cambio instantáneo. Así pois, canto

maior é a inclinación da recta tanxente nun punto, maior é a rapidez de cambio do valor da función nas

proximidades do punto.

O desenvolvemento desta unidade desde o apartado 1 ao 5 é, por completo, tradicional: expóñense os

elementos teóricos e prácticos necesarios para que o alumnado domine os conceptos de derivada dunha

función nun punto e de función derivada, para que aprenda as regras de derivación, etc.

Nas aplicacións da función derivada centrarémonos nos aspectos seguintes:

- Ecuación da recta tanxente a unha curva nun punto.

- Obtención dos puntos singulares dunha función.

- Intervalos de crecemento e decrecemento dunha función.

A unidade remata co estudo e a representación de funcións. Para iso debemos aproveitar os coñecementos

adquiridos sobre límites (continuidade, ramas infinitas) e derivadas para afrontar o fin principal para o que

se aprenden: a construción de gráficas. Danse os pasos necesarios para representar sistematicamente dúas

grandes familias de funcións: polinómicas e racionais. A súa aprendizaxe será fundamental para completalo,

sen problemas, o próximo curso coa representación doutras funcións.

Preséntanse tamén algúns problemas sobre a optimización de funcións en casos sinxelos, que o curso

próximo se estudará con detemento.

2. TEMPORALIZACIÓN

4.ª semana de febreiro e 1.ª, 2.ª e 3.ª semanas de marzo.


1. Coñecer e aplicar a definición de derivada dunha función nun punto e interpretala graficamente.

2. Utilizar a derivación para achar a ecuación da recta tanxente a unha curva nun punto, obter os puntos

singulares e os intervalos de crecemento.

3. Integrar todas as ferramentas básicas da análise na representación de funcións e dominar a representación

de funcións polinómicas e racionais.




307

Contidos Criterios de

avaliación


avaliables CC

Taxa de derivación media

- Cálculo da TVM dunha

función para distintos

intervalos.

- Cálculo da TVM dunha

función para intervalos moi

pequenos e asimilación do

resultado á variación nese

punto.

Derivada dunha función nun

punto

- Obtención da variación nun

punto mediante o cálculo da

TVM da función para un

intervalo variable h e

obtención do límite da

expresión correspondente

cando h → 0.

Función derivada doutra

- Regras de derivación.

- Aplicación das regras de

derivación para achar a

derivada de funcións.

Aplicacións das derivadas

- Acha o valor dunha función

nun punto concreto.

- Obtención da recta tanxente

a unha curva nun punto.

- Cálculo dos puntos de

tanxente horizontal dunha

función.

Representación de funcións


polinómicas de grao

superior a dous.


racionais.

1. Coñecer a

variación dunha

función nun

intervalo (TVM) e

a variación nun

punto (derivada)

como pendente da

recta secante ou

tanxente,

respectivamente.

1.1. Acha a taxa de

variación media

dunha función nun

intervalo e interprétaa.

1.2. Calcula a derivada

dunha función nun

punto achando a

pendente da recta

tanxente trazada nese

punto.


dunha función nun

punto a partir da

definición.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC

2. Coñecer as regras

de derivación e

utilizalas para

achar a función

derivada doutra.

2.1. Acha a derivada dunha

función sinxela.


función na que

interveñen potencias

non enteiras, produtos

e cocientes.


función composta.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

3. Utilizar a

derivación para

achar a recta

tanxente a unha

curva nun punto,

os máximos e

mínimos dunha

función, os

intervalos de

crecemento, etc.

3.1. Acha a ecuación da

recta tanxente a unha

curva.

3.2. Localiza os puntos

singulares dunha

función polinómica ou

racional, decide se son

máximos ou mínimos

e represéntaos.

3.3. Determina os tramos

onde unha función

crece ou decrece.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

4. Coñecer o papel

que desempeñan as

ferramentas

básicas da análise

(límites,

derivadas...) na

representación de

funcións e dominar

a representación


función da que se lle

dan todos os datos

máis relevantes

(ramas infinitas e

puntos singulares).

4.2. Describe con

corrección todos os

datos relevantes

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


308

sistemática de

funcións

polinómicas e

racionais.

dunha función dada

graficamente.


función polinómica de

grao superior a dous.


función racional con

denominador de

primeiro grao e ramas

asintóticas.



denominador de

primeiro grao e unha

rama parabólica.



denominador de

segundo grao e unha

asíntota horizontal.




lingüística






explicacións e as correccións da







diversas.

Realiza un esquema-resumo onde

explica, coas súas palabras, como

representar funcións de forma

sistemática.

Manter unha actitude favorable

cara á lectura.

Realiza a lectura comprensiva dos

textos científicos expostos na

unidade e mostra interese por ler

textos complementarios

recomendados polo profesor.






solucionar problemas,

comprender o que acontece

arredor nosa e responder a

preguntas.

Utiliza a introdución histórica

presentada na unidade para unha

mellor comprensión da relevancia

que ten o estudo das derivadas na

actualidade.


309

Resolver problemas



Selecciona a estratexia máis

adecuada para enfrontarse a un

problema dependendo do tipo de

función que sexa.



Exprésase co vocabulario adecuado

e de forma correcta utilizando os

conceptos da unidade.

Competencia dixital





para reforzar e/ou ampliar os


unidade.




Utiliza a calculadora para a

aprendizaxe do uso dalgunhas

funcións descoñecidas, que é

esencial neste curso, destacando

positivamente as actividades

interactivas de GeoGebra incluídas

na web da editorial, que permite a

visualización dinámica e a

manipulación das gráficas.

Aprender a aprender


os pasos a realizar no proceso de

aprendizaxe.


resumo/cadro para achar a recta

tanxente a unha curva nun punto, os

máximos e mínimos dunha función,

os intervalos de crecemento, etc.

Tomar conciencia dos procesos de

aprendizaxe.

Reflexiona sobre como aprendeu o

papel que desempeñan as

ferramentas básicas da análise

(límites, derivadas...) na

representación de funcións e isto

faille dominar a representación

sistemática de funcións polinómicas

e racionais.


Aplicar dereitos e deberes da

convivencia cidadá no contexto da

escola

Coñece cales son os seus deberes na

aula aplícaos, favorecendo a

convivencia na aula.


emprendedor



Traballa de forma constante e non se

rende ante calquera dificultade que

poida xurdir.


culturais Mostrar respecto cara ao

patrimonio cultural mundial nas

Recoñece a importancia de Newton

e Leibniz no desenvolvemento da


310

súas distintas vertentes (artístico-

literaria, etnográfica, científico-

técnica...), e cara ás persoas que

contribuíron ao seu

desenvolvemento.

matemática actual.

Unidade 8:


Título



A visión intuitiva é básica para unha boa aprendizaxe das distribucións bidimensionais:

- A cada individuo dunha poboación estatística asócianselle dous valores correspondentes a dúas variables,

x e y. Consideradas como coordenadas, dan lugar a un punto (x, y) nun diagrama de eixes cartesianos. O

conxunto de todos os puntos correspondentes á totalidade dos individuos (nube de puntos) permite

visualizar a relación entre as dúas variables: correlación.

- A forma da nube de puntos informa sobre o tipo de correlación: máis ou menos forte, positiva ou negativa.

- A recta que se adapta á nube de puntos, recta de regresión, marca a tendencia na variación dunha variable

respecto á outra.

Cos problemas que se propoñen para empezar, preténdese facer ver en que consiste a correlación, que pode

ser positiva ou negativa, e que a partir da nube de puntos se visualizan moitos matices desa relación. O

primeiro apartado insiste nesa liña pola que, a partir da percepción gráfica da correlación, se chega ás ideas

clave e á nomenclatura básica. De agora en diante, matematízase o proceso: obtéñense fórmulas para medir

a correlación e para obter a recta de regresión.

Para o cálculo dos parámetros, é fundamental o bo manexo da calculadora no modo LR (ou o modo que a

súa calculadora use para distribucións bidimensionais). Debe intentarse que o alumnado o consiga sen que

deixe de ter claro o que obtén en cada momento. Suxerimos a seguinte forma de proceder na presentación,

tanto de exercicios propostos para a casa como nos exames:

- A partir da táboa de valores para as dúas variables, o estudante cubrirá, facendo os cálculos

correspondentes, as primeiras filas (unha, dúas, tres como máximo). É a forma de demostrar que o sabe

facer.

- Despois, preguntando á calculadora, poñerá a suma das distintas columnas para o cálculo dos parámetros,

ponse a fórmula correspondente e substitúense as expresións polos valores situados na táboa.


311

En definitiva, aínda que o valor de cada parámetro o achega a calculadora, o alumnado debe mostrar que o

sabe obter e expoñer os pasos necesarios para iso.

As táboas de dobre entrada móstranse como curiosidade e acompáñanse coa forma de representar

graficamente a distribución nestes casos, así como o seu tratamento coa calculadora.

2. TEMPORALIZACIÓN

1.ª, 2.ª e 3.ª semanas de abril.


1. Coñecer as distribucións bidimensionais, representalas (a partir de datos dados en táboas ou mediante

táboas de dobre entrada), analizalas polo seu coeficiente de correlación e obter as ecuacións das rectas

de regresión dunha distribución bidimensional para realizar estimacións. Saber valerse da calculadora

para almacenar datos e calcular estes parámetros.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Dependencia estatística e

dependencia funcional

- Estudo de exemplos.

Distribucións

bidimensionais

- Representación dunha

distribución

bidimensional mediante

unha nube de puntos.

Visualización do grao de

relación que hai entre as

dúas variables.

Correlación. Recta de

regresión

- Significado das dúas

1. Coñecer as

distribucións

bidimensionais,

representalas e

analizalas mediante

o seu coeficiente de

correlación. Saber

valerse da

calculadora para

almacenar datos e

calcular estes

parámetros.

1.1. Representa mediante

unha nube de puntos

unha distribución

bidimensional e avalía

o grao e o signo da

correlación que hai

entre as variables.

Interpreta nubes de

puntos.

1.2. Coñece (con ou sen

calculadora), calcula e

interpreta a covarianza

e o coeficiente de

correlación dunha

distribución

bidimensional.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


312

rectas de regresión.

- Cálculo do coeficiente de

correlación e obtención

da recta de regresión

dunha distribución

bidimensional.

- Utilización da

calculadora en modo LR

para o tratamento de

distribucións

bidimensionais. - Utilización das

distribucións

bidimensionais para o

estudo e interpretación

de problemas

sociolóxicos científicos

ou da vida cotiá.

Táboas de dobre entrada

- Interpretación.

Representación gráfica.

- Tratamento coa

calculadora.

2. Coñecer e obter as

ecuacións (con e sen

calculadora) das

rectas de regresión

dunha distribución

bidimensional e

utilizalas para

realizar

estimacións.

2.1. Obtén (con ou sen

calculadora) a

ecuación a recta de

regresión de y sobre x

e válese dela para

realizar estimacións,

tendo en conta a

fiabilidade dos

resultados.

2.2. Coñece a existencia de

dúas rectas de

regresión, obtenas e

representa e relaciona

o ángulo que forman

co valor da

correlación.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


nos que os datos

veñen dados en

táboas de dobre

entrada.


que os datos veñen

dados en táboas de

dobre entrada.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP




lingüística



coherencia.

Exprésase de forma adecuada cando

se refire a contidos da unidade,

presentando coherencia no seu

diálogo. (Correlación, covarianza,

coeficiente de regresión...).

Compoñer distintos tipos de textos

creativamente con sentido

literario.

Compón un texto explicando os

resultados do seu estudo

bidimensional unha vez calculadas a

recta de regresión de y sobre x e a de

x sobre y.




Aplicar métodos de análises

rigorosas para mellorar a

comprensión da realidade

circundante en distintos ámbitos

(biolóxico, xeolóxico, físico,

químico, tecnolóxico,

xeográfico...).

É metódico cando se enfronta ao

estudo bidimensional dun problema

da vida cotiá.


313



formato gráfico.

Interpreta correctamente unha nube

de puntos e asocia a esta o valor do

coeficiente de correlación

aproximado.



cotiá.

Aplica as estratexias estudadas na

unidade á hora de resolver

problemas.

Competencia dixital

Elaborar e publicitar información

propia derivada de información

obtida a través de medios

tecnolóxicos.

Elabora un díptico cos contidos da

unidade mediante un programa

informático e preséntao aos seus

compañeiros.




Aprende a utilizar a calculadora en

modo LR para o tratamento de

distribucións bidimensionais.

Aprender a aprender

Identificar potencialidades

persoais como aprendiz: estilos de

aprendizaxe, intelixencias

múltiples, funcións executivas...

Pensa sobre como, ao longo do

curso, foron os seus estilos de

aprendizaxe e realiza unha reflexión

diso para ser consciente de como

aprende mellor e que necesita

reforzar para próximos cursos.


Desenvolver capacidade de

diálogo cos demais en situacións

de convivencia e traballo e para a


Comunícase cos seus compañeiros

de forma activa cando se

desenvolven situacións de traballo

común na aula.


emprendedor

Asumir as responsabilidades

encomendadas e dar conta delas.

Asume cales son as súas

responsabilidades cando realiza un

traballo en grupo e plasma nel cales

foron estas e cal foi o grao de

consecución destas.

Xestionar o traballo do grupo

coordinando tarefas e tempos.

Coordina adecuadamente o tempo e

as tarefas de cada compoñente

cando realiza actividades grupais.


culturais




Recoñece a importancia da

evolución da estatística

unidimensional a bidimensional xa

que esta última favorece o estudo e

interpretación de problemas

sociolóxicos científicos ou da vida

cotiá.

Unidade 9:


314


Título

Distribucións de probabilidade de variable discreta


Na primeira epígrafe da unidade, Cálculo de probabilidades, realízase un repaso de toda a probabilidade

dos cursos anteriores co cálculo de probabilidades en experiencias compostas dependentes e independentes.

Este apartado é imprescindible para entender e calcular as probabilidades P [x = k] dos sucesos puntuais

nas distribucións binomiais.

Nos apartados 2 e 3 preséntanse as distribucións de probabilidade comparándoas coas distribucións

estatísticas ou distribucións de frecuencias. Debe quedar claro que nas distribucións de frecuencia de

variable discreta, a probabilidade asignada a cada valor se representa pola altura dunha barra, mentres que

nas de variable continua, a probabilidade nun intervalo se representa mediante a área do rectángulo

correspondente.

Tamén é importante entender as definicións dos parámetros e nunha distribución de probabilidade de

variable discreta como idealización dos correspondentes parámetros nas distribucións estatísticas, pasando

das frecuencias relativas fi/N ás probabilidades, pi.

Nas páxinas introdutorias preséntase o aparato de Galton como elemento motivador do que, en páxinas

posteriores, será a distribución binomial. Resulta útil, didacticamente, a referencia ao aparato de Galton, e

razoar sobre el tal como se fai no texto. O paralelismo co «número de caras que se obtén ao lanzar n

moedas» serve para facer a transferencia a distribucións bidimensionais con p 1/2, pois as moedas

poderían ser chatolas ou calquera outro instrumento aleatorio.

A relación do aparato de Galton co triángulo de Tartaglia (a similitude non é só conceptual, senón ata

xeométrica: teñen a mesma forma) permite comprender e obter de xeito sinxelísimo os coeficientes de pk e

qn – k para k = 0, 1..., n, no cálculo da probabilidade P [x = k].

2. TEMPORALIZACIÓN

4.ª semana de abril e 1.ª e 2.ª semanas de maio.


1. Calcular probabilidades en experiencias compostas.

2. Coñecer e manexar as distribucións de probabilidade de variable discreta e obter os seus parámetros.

3. Coñecer a distribución binomial, utilizala para calcular probabilidades e obter os seus parámetros.

4. CONTIDOS DA UNIDADE / CRITERIOS DE AVALIACIÓN / ESTÁNDARES DE

APRENDIZAXE AVALIABLES/ COMPETENCIAS CLAVE

Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC


315

Sucesos aleatorios e leis da

probabilidade

- Cálculo de probabilidades en

experiencias compostas

dependentes e

independentes.

- Diagramas de árbore.

Distribucións da probabilidade

de variable discreta

- Parámetros.

- Cálculo dos parámetros μe

σdunha distribución de

probabilidade de variable

discreta, dada mediante unha

táboa ou por un enunciado.

Distribución binomial

- Experiencias dicotómicas.

- Recoñecemento de

distribucións binomiais.

- Cálculo de probabilidades

nunha distribución binomial.

- Parámetros μ e σ dunha

distribución binomial.

- Axuste dun conxunto de datos

a unha distribución binomial.

1. Calcular

probabilidades en

experiencias

compostas.



independentes.



dependentes, utilizando,

nalgúns casos, diagramas de

árbore.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC


as distribucións de

probabilidade de

variable discreta e

obter os seus

parámetros.

2.1. Constrúe e interpreta a táboa

dunha distribución de


discreta e calcula os seus

parámetros.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

CEC

3. Coñecer a

distribución

binomial, utilizala

para calcular

probabilidades e

obter os seus

parámetros.

3.1. Recoñece se certa experiencia

aleatoria pode ser descrita, ou

non, mediante unha

distribución binomial,

identificando nela n e p.

3.2. Calcula probabilidades nunha

distribución binomial e acha

os seus parámetros.

3.3. Aplica o procedemento para

decidir se os resultados de

certa experiencia se axustan,

ou non, a unha distribución

binomial.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP,

CEC




lingüística


comunicación non verbal, ou en



Representa mediante diagramas de

árbore probabilidades de


dependentes para axudarse a

explicar mellor, e valora de forma

positiva este rexistro como

elemento de comunicación

universal.


316

Utilizar os coñecementos sobre a

lingua para buscar información e

ler textos en calquera situación.


previos sobre a lingua para ler e

extraer a información relevante dos

textos científicos que se presentan

na unidade.


escritos e orais.

Comprende as explicacións do

profesor que realiza sobre a unidade

e retén a información pertinente

para traballar con elas e responder ás

cuestións que consideran.










Coñece e calcula de forma adecuada

os parámetros μ e σ dunha

distribución de probabilidade de

variable discreta e dunha

distribución binomial.



formato gráfico.

Comprende e interpreta a táboa

dunha distribución de probabilidade

de variable discreta e a

representación dunha distribución

binomial.




o que acontece arredor nosa e

responder preguntas.

Utiliza os coñecementos que posúe

sobre o triángulo de Tartaglia para

axudarse a comprender o aparato de

Galton e así poder responder de

xeito sinxelo preguntas sobre

probabilidades.

Competencia dixital

Comprender as mensaxes que

veñen dos medios de

comunicación.

Comprende exemplos en diferentes

medios audiovisuais que se lle

presentan que se poden referenciar

como distribucións bidimensionais

con p 1/2.



Manexa a calculadora de forma áxil,

facendo uso dalgunhas funcións

descoñecidas ata o momento pero,

que lle permiten unha mellor

comprensión do seu traballo así

como a axilización deste.

Aprender a aprender



dos contidos.

Elabora un mapa conceptual sobre

os seus coñecementos previos sobre

o cálculo de probabilidades para ter

claro cales son os coñecementos dos

que parte e cales debe reforzar para

enfrontarse á unidade de forma


317

positiva.


Recoñecer riqueza na diversidade

de opinións e ideas.


polos compañeiros nas actividades

cooperativas.


emprendedor



Relaciona de forma espontánea

situacións da vida cotiá con

distribucións da probabilidade de

variable discreta e distribucións

binomiais e calcula os seus

parámetros.


culturais

Mostrar respecto cara ao

patrimonio cultural mundial nas

súas distintas vertentes (artístico-

literaria, etnográfica, científico-

técnica...), e cara ás persoas que

contribuíron ao seu

desenvolvemento.

Recoñece a importancia que tiveron

matemáticos de diversos séculos no

desenvolvemento da matemática

actual.

Unidade 10:


Título

Distribucións de probabilidade de variable continua


Para a comprensión das distribucións de probabilidade de variable continua resultan eficaces as actividades

do Resolve da unidade: procurar que a distribución de probabilidade encerre exactamente 100 cadradiños

propicia asimilar que o que importa nestas distribucións é a área correspondente ao intervalo. Con ela estase

en disposición de entender o papel que desempeña a función de densidade na descrición dunha

probabilidade de variable continua. O cálculo de probabilidades a partir da función de densidade realízase

para funcións uniformes ou de crecemento constante nas que as probabilidades son áreas de rectángulos ou

de trapecios.

A curva normal é moi importante, pois son multitude as distribucións que se rexen por ela, como se comenta

no texto do libro. O proceso que se segue neste serve para familiarizar o alumnado con ela antes de comezar

a utilizar as táboas. Procédese a unha detallada utilización da repartición de áreas nos intervalos ( – , μ

+ ), ( – 2, + 2) e ( – 3, + 3), a partir da cal o significado das táboas e a súa aplicación ao

cálculo de probabilidades calquera se ve como algo natural e sinxelo.

Pode completarse cunha actividade de aula, na que participen os estudantes: «Imos estudar as estaturas de

todos os soldados dun rexemento. Sabemos que se distribúen segundo unha curva normal. Cales poden ser

a súa media e a súa desviación típica?». Supoñamos que, tras discutir algún tempo, se acorda que =165

cm e = 5 cm. Isto significaría que só o 0,13% mediría máis de 165 +3 · 5 =180. É dicir, pouco máis do 1

por mil. Non é razoable: hai que buscar outros parámetros... Cando se chegue a uns parámetros que parezan

razoables, por exemplo, =170 cm e = 6 cm, poderanse responder preguntas do tipo: que porcentaxe de

soldados mide menos de 164 cm? E entre 176 cm e 182 cm? E máis de 182 cm?, coidando que as referencias


318

que se utilicen sexan do tipo + K, para K= 0, 1, 2, 3.

Obsérvese que, desta forma, ademais de familiarizarse coas distribucións normais, o alumno está a tipificar

sen nin sequera se decatar de que o fai. (É dicir, está explicando a variable xen «número de desviacións

típicas que se separa da media»: (x– )/). Así, cando o deba facer para valores calquera da variable, verao

como algo moi razoable.

A posibilidade do paso dunha binomial B (n, p) a unha normal N (np ) faise evidente coas gráficas que

hai no libro. Para o cálculo de probabilidades neste caso é imprescindible lembrar que a valores puntuais

na binomial, x= k, lle corresponden intervalos na normal, x [k– 0,5;k+ 0,5], tal como se lembra e aplica

no libro de texto.

Para finalizar a unidade, estúdase un procedemento co que se pode apreciar de forma subxectiva se unha

serie de datos obtidos experimentalmente se axustan a unha normal.

2. TEMPORALIZACIÓN

3.ª e 4.ª semanas de maio e 1.ª semana de xuño.


1. Coñecer as distribucións de probabilidade de variable continua e usalas para calcular probabilidades.

2. Coñecer a distribución normal, interpretar os seus parámetros e utilizala para calcular probabilidades.

3. Coñecer e aplicar a posibilidade de utilizar a distribución normal para calcular probabilidades dalgunhas

distribucións binomiais.


AVALIABLES COMPETENCIAS CLAVE

Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Distribucións de


continua

- Peculiaridades.

- Cálculo de probabilidades a

partir da función de

densidade.

- Interpretación dos

1. Coñecer as

distribucións de

probabilidade de

variable continua e

usalas para calcular

probabilidades.

1.1. Interpreta a función de

probabilidade (ou

función de densidade)

dunha distribución de

variable continua e

calcula ou estima

probabilidades a partir

dela.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


319

parámetros μ e σe en

distribucións de


continua, a partir da súa

función de densidade,

cando esta vén dada

graficamente.

Distribución normal


utilizando as táboas da

normal N (0, 1). - Obtención dun intervalo ao

que corresponde unha

determinada probabilidade.

- Distribucións normais

N (μ, σ). Cálculo de

probabilidades.

A distribución binomial

aproxímase á normal

- Identificación de

distribucións binomiais que

se poidan considerar

razoablemente próximas a

distribucións normais, e

cálculo de probabilidades

nelas por paso á normal

correspondente.

Axuste

- Axuste dun conxunto de

datos a unha distribución

normal.

2. Coñecer a

distribución normal,

interpretar os seus

parámetros e utilizala

para calcular

probabilidades.

2.1. Manexa con destreza a

táboa da normal N(0,

1) e utilízaa para

calcular

probabilidades.

2.2. Coñece a relación que

existe entre as

distintas curvas

normais e utiliza a

tipificación da

variable para calcular

probabilidades nunha

distribución N(μ, σ).

2.3. Obtén un intervalo ao

que corresponde unha

probabilidade

previamente

determinada.

2.4. Aplica o

procedemento para

decidir se os

resultados de certa

experiencia se

axustan, ou non, a

unha distribución

normal.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

3. Utilizar a distribución

normal, cando

corresponda, para

achar probabilidades

dalgunhas

distribucións

binomiais.

3.1. Dada unha

distribución binomial,

recoñece a

posibilidade de

aproximala por unha

normal, obtén os seus

parámetros e calcula


dela.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC




lingüística

Manter unha actitude favorable

cara á lectura.

Efectúa a lectura comprensiva dos

textos e exemplos resoltos do libro e

extrae as ideas principais.



coherencia.

Exprésase de forma correcta cando

intervén na aula utilizando

expresións coherentes e adecuadas

para cada ocasión.


320







o que acontece a noso arredor e

responder a preguntas.

Manexa os seus coñecementos

previos sobre a distribución

binomial B(n, p) e aplícaos para

solucionar problemas relativos a

unha normal N(np √𝑛𝑝𝑞).




realiza as actividades e os seus

procedementos son claros e

eficaces.



cotiá.

Aplica e valora positivamente o

procedemento co que se pode

apreciar de forma subxectiva se

unha serie de datos obtidos

experimentalmente se axustan a

unha normal.

Competencia dixital






facilitarse os cálculos e

representacións e rendibilizar o seu

traballo.



Avalía as fontes consultadas

segundo a súa fiabilidade e

reflexiona sobre a conveniencia de

utilizar a información extraída

destas.

Aprender a aprender

Aplicar estratexias para a mellora

do pensamento creativo, crítico,

emocional, interdependente...

Aplica diferentes estratexias para, a

partir dos exemplos suxeridos polo

profesor, tipificar.

Tomar conciencia dos procesos de

aprendizaxe.

Reflexiona sobre como aprendeu os

contidos correspondentes á unidade

para mellorar a súa aprendizaxe

posterior.



máis desfavorecidos e respecto aos

distintos ritmos e potencialidades.

Axuda de forma espontánea aos

compañeiros que presentan algunha

dificultade para aplicar as destrezas

desenvolvidas na unidade.


emprendedor


encomendadas e dar conta delas.

Responsabilízase das tarefas que se

lle asignan e explica,

posteriormente, cales foron e como

se enfrontou a elas.

Conciencia e expresións Valorar a interculturalidade como

unha fonte de riqueza persoal e


interacción con outros para


321

culturais cultural. favorecer os diferentes puntos de

vista e enriquecer a visión da

unidade.

METODOLOXÍA

Os materiais que se presentan como base para o texto de Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais I do curso

1.º de Bacharelato están realizados a partir da experiencia dos autores en clases con alumnos e alumnas desas

idades e desde o coñecemento do novo currículo oficial de Matemáticas.

A extensión do programa deste curso obriga a prestar unha atención moi coidadosa ao equilibrio entre as súas

distintas partes:

- breves introducións que centran e dan sentido e respaldo intuitivo ao que se fai,

- desenvolvementos concisos,

- procedementos moi claros,

- unha gran cantidade de exercicios ben elixidos, secuenciados e clasificados.

As dificultades encadéanse coidadosamente, procurando arrancar “do que o alumnado xa sabe”. A redacción

é clara e sinxela, e inclúense uns “problemas complementarios” que lle permitirán enfrontarse por si mesmo

ás dificultades.

Factores que inspiran este proxecto

Toda programación didáctica trata de ter en conta diversos factores para responder a determinadas concepcións

do ensino e a aprendizaxe. Destacamos, a continuación, os factores que inspiran a nosa programación:

a) O nivel de coñecementos dos alumnos e as alumnas ao rematar o segundo ciclo do Ensino Secundario

Obrigatorio

Na actualidade, está unanimemente estendida entre a comunidade de educadores e educadoras a premisa

de que todo ensino que pretenda ser significativo debe partir dos coñecementos previos dos alumnos e as

alumnas. Dese modo, partindo do que xa saben, poderemos construír novas aprendizaxes que conectarán

coas que xa teñen de cursos anteriores ou do que aprenden fóra da aula, ampliándoas en cantidade e, sobre

todo, en calidade.

b) Ritmo de aprendizaxe de cada alumno ou alumna

Cada persoa aprende a un ritmo diferente. Os contidos deben estar explicados de tal maneira que permitan

extensións e gradación para a súa adaptabilidade.

c) Preparación básica para un alumnado de humanidades

Os alumnos e as alumnas destes bacharelatos requiren unha formación conceptual e procedemental básica:

unha boa bagaxe de procedementos e técnicas matemáticas, unha sólida estrutura conceptual e unha

razoable tendencia a buscar certo rigor no que sabe, en como se aprende e en como se expresa.

Unha concepción construtivista da aprendizaxe

Dende a perspectiva construtivista da aprendizaxe en que se basea o noso currículo oficial e,

consecuentemente, este proxecto, a realidade só adquire significado na medida que a construímos. A

construción do significado implica un proceso activo de formulación interna de hipótese e a realización de

numerosas experiencias para contrastalas coas hipóteses. Se hai acordo entre estas e os resultados das

experiencias, “comprendemos”; se non o hai, formulamos novas hipóteses ou abandonamos. As bases sobre


322

as que se asenta esta concepción das aprendizaxes están a demostrar que:

1. Os conceptos non están illados, senón que forman parte de redes conceptuais con certa coherencia interna.

2. Os alumnos e as alumnas non saben manifestar, a maioría das veces, as súas ideas.

3. As ideas previas e os erros conceptuais déronse e séguense dando, frecuentemente, en alumnos e alumnas

da mesma idade noutros lugares.

4. Os esquemas conceptuais que traen os e as estudantes son persistentes, e non é doado modificalos.

Todo iso ten como consecuencias, que deben ser tomadas en consideración polo profesorado, polo menos, as

seguintes:

- Que o alumnado sexa consciente de cal é a súa posición de partida.

- Que se lle faga sentir a necesidade de cambiar algunhas das súas ideas de partida.

- Que se propicie un proceso de reflexión sobre o que se vai aprendendo e unha autoavaliación para que sexa

consciente dos progresos que vai realizando.

Así pois, o noso modelo de aprendizaxe, que se basea no construtivismo, ten en conta os coñecementos previos

dos estudantes, o campo de experiencias no que se moven e as estratexias interactivas entre eles e co

profesorado.

Contidos do proxecto e aspectos metodolóxicos

Di Polya que non hai máis que un método de ensinanza que sexa infalible: se o profesor se aburre coa súa

materia, toda a clase se aburrirá irremediablemente coa materia. Expresa, como elementos dunha metodoloxía

que compartimos, algúns detalles como os seguintes: Deixa que os estudantes fagan conxecturas antes de

darlles ti apresuradamente a solución; déixaos descubrir por si mesmos tanto como sexa posible; deixa que os

estudantes fagan preguntas; déixaos que dean respostas. Custe o que custe, evita responder a preguntas que

ninguén formulase, nin sequera ti mesmo.”

O estilo que cada profesor ou profesora dea ás súas clases determina o tipo de coñecementos que o alumno

constrúe. Neste sentido, hai un modo de “facer nas clases” que xera aprendizaxes superficiais e memorísticas,

mentres que noutros casos se producirán aprendizaxes con maior grao de comprensión e profundidade.

De acordo co famoso parágrafo 243 do informe Cockcroft, que tantas repercusións está tendo nos últimos

tempos, deberiamos “equilibrar” as oportunidades para que nunha clase de Matemáticas haxa:

- Explicacións a cargo do profesor.

- Discusións entre profesor e alumnos e entre os propios alumnos.

- Traballo práctico apropiado.

- Consolidación e práctica de técnicas e rutinas fundamentais.

- Resolución de problemas, incluída a aplicación das Matemáticas a situacións da vida diaria.

- Traballos de investigación.

Utilizaremos en cada caso o máis adecuado dos procedementos anteriores para lograr a mellor aprendizaxe

dos alumnos sobre feitos, algoritmos e técnicas, estruturas conceptuais e estratexias xerais. Calquera

planificación da ensinanza ou calquera metodoloxía que inclúa de forma equilibrada os catro aspectos, poderá

valorarse como un importante avance respecto á situación actual. Ata este momento, veuse insistindo moito

no dominio case exclusivo de algoritmos e técnicas, o que, efectivamente, produce resultados de certo tipo a

curto prazo, pero que anula moitos aspectos de comprensión, non favorece, ou obstaculiza, o desenvolvemento

de estruturas conceptuais e, en definitiva, non fai nada por favorecer o desenvolvemento de estratexias xerais.

Por outra parte, hai capacidades en Matemáticas que non se desenvolven dominando con soltura algoritmos


323

e técnicas. Trátase de capacidades máis necesarias no momento actual e, con toda seguridade, no futuro.

Referímonos á resolución de problemas, elaboración e comprobación de conxecturas, abstracción,

xeneralización... Por outra parte, ademais de ser capacidades máis necesarias, a realidade das clases demostra

que os alumnos “o pasan mellor” cando se lles propoñen actividades para desenvolvelas nas aulas; é dicir,

cando actúan como o fan os matemáticos.

Non se pon en dúbida o feito de que se requiren certos algoritmos e rutinas en Matemáticas. Só se pretende

poñer énfase en que non son o máis importante, e, desde logo, non son o único que debemos facer nas clases.

Na actualidade, numerosos documentos, actas de congresos e libros de recente publicación avogan por un

ensino das Matemáticas onde haxa moito de descubrimento de conceptos, regularidades e leis por parte do

alumno e menos de retransmisión a cargo do profesor. Máis de conflito durante a aprendizaxe e menos de

acumulación de técnicas, algoritmos e conceptos “cociñados” previamente polo profesor.

Sería bo que, ante a formulación de cuestións polo profesor, os alumnos puidesen dar respostas rápidas que

facilitasen coñecer a situación de partida, e permitilos logo contrastala co resultado final, para que poidan

apreciar os seus “progresos”. É esta un xeito de ir xerando confianza. Unha vez elaboradas as primeiras

hipóteses de traballo, a discusión co profesor poñerá de manifesto o acertado do pensamento e a reformulación

das conclusións, se procede.

Lembraremos a concepción das Matemáticas expresada por Jeremy Kilpatrick (ICMI-5, 1985, Adelaida): “As

Matemáticas son unha cuestión de ideas que un estudante constrúe na súa mente (e isto é algo que só o

estudante pode facer por si mesmo). Estas ideas veñen de experiencias... e non están previamente codificadas

en linguaxe natural. Novas ideas son construídas sobre as ideas que o estudante xa ten na mente,

combinándoas, revisándoas, etc., a miúdo dun xeito metafórico. A aprendizaxe efectiva require non meramente

facer algo, senón tamén reflexión sobre o que se fixo despois de que o fixeches...”

Esta concepción traerá como consecuencias, entre outras, que:

a) A aprendizaxe deberá empezar con experiencias das que xurdirán ideas.

b) Non deberiamos empezar co que os alumnos teñen que facer, co que teñen que aprender..., senón

propoñendo algunha cuestión, formulando algunha situación ou tarefa para ser realizada.


Suxerimos a utilización dos materiais seguintes:

- Libro do alumnado para Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais I. - Web do alumnado para Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais I; esta web inclúe:

- Recursos xerais que poden utilizarse ao longo do curso: exercicios complementarios, lecturas

interesantes relacionadas cos contidos, follas de cálculo, GeoGebra, etc.

- Recursos para cada unidade, con contidos de repaso, actividades, proxectos de traballo, autoavaliacións,

problemas guiados, autoavaliacións inicial e final, resumos e enlaces a programas para xerar contidos.

- Web do profesorado para Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais I. Esta web, ademais de ofrecer todos

os recursos incluídos na web do alumnado, inclúe outros expresamente destinados aos docentes, como o

solucionario de todas as actividades propostas no libro do alumnado, bibliografía comentada, direccións de

Internet comentadas e diversas ferramentas dixitais para o exercicio da actividade docente.


324

MATEMÁTICAS I

OBXECTIVOS

O desenvolvemento desta materia contribuirá a que as alumnas e os alumnos adquiran as seguintes

capacidades:

- Comprender e aplicar os conceptos e procedementos matemáticos a situacións diversas que permitan

avanzar no estudo das propias matemáticas e doutras ciencias, así como na resolución razoada de

problemas procedentes de actividades cotiás e diferentes ámbitos do saber.

- Considerar as argumentacións razoadas e a existencia de demostracións rigorosas sobre as que se basea o

avance da ciencia e da tecnoloxía, mostrando unha actitude flexible, aberta e crítica ante outros xuízos e

razoamentos.

- Utilizar as estratexias características da investigación científica e as destrezas propias das matemáticas

(formulación de problemas, planificación e ensaio, experimentación, aplicación da indución e dedución,

formulación e aceptación ou rexeitamento das conxecturas, comprobación dos resultados obtidos) para

realizar investigacións e en xeral explorar situacións e fenómenos novos.

- Apreciar o desenvolvemento das matemáticas como un proceso cambiante e dinámico, con abundantes

conexións internas e intimamente relacionado co doutras áreas do saber.

- Empregar os recursos achegados polas tecnoloxías actuais para obter e procesar información, facilitar a

comprensión de fenómenos dinámicos, aforrar tempo nos cálculos e servir como ferramenta na resolución

de problemas.

- Utilizar o discurso racional para formular acertadamente os problemas, xustificar procedementos, encadear

coherentemente os argumentos, comunicarse con eficacia e precisión, detectar incorreccións lóxicas e

cuestionar aseveracións carentes de rigor científico.

- Mostrar actitudes asociadas ao traballo científico e á investigación matemática, tales como a visión crítica,

a necesidade de verificación, a valoración da precisión, o interese polo traballo cooperativo e os distintos

tipos de razoamento, o cuestionamento das apreciacións intuitivas e a apertura a novas ideas.

- Expresarse verbalmente e por escrito en situacións susceptibles de ser tratadas matematicamente,

comprendendo e manexando representacións matemáticas.

CONTRIBUCIÓN DA AREA ÁO DESENVOLVEMENTO DAS COMPETENCIAS CLAVE










No proxecto de Matemáticas I, tal e como suxire a lei, potenciouse o desenvolvemento das competencias de

comunicación lingüística, competencia matemática e competencias básicas en ciencia e tecnoloxía; ademais,

para alcanzar unha adquisición eficaz das competencias e a súa integración efectiva no currículo incluíronse

actividades de aprendizaxe integradas que permitirán ao alumnado avanzar cara aos resultados de aprendizaxe

de máis dunha competencia ao mesmo tempo. Para valoralos, utilízanse os estándares de aprendizaxe

avaliables, como elementos de maior concreción, observables e medibles, poñeranse en relación coas

competencias clave, permitindo graduar o rendemento ou o desempeño alcanzado en cada unha delas.


325

A materia de Matemáticas I utiliza unha terminoloxía formal que permitirá ao alumnado incorporar esta

linguaxe ao seu vocabulario, e utilizalo nos momentos axeitados con propiedade abonda. Así mesmo, a

comunicación dos resultados das actividades e/ou problemas e outros traballos que realicen favorece o

desenvolvemento da competencia en comunicación lingüística. A competencia matemática e competencias básicas en ciencia e tecnoloxía son as competencias



competencias son, xa que logo, as máis traballadas na materia. A competencia dixital fomenta a capacidade de buscar, seleccionar e utilizar información en medios dixitais,

ademais de permitir que o alumnado se familiarice cos diferentes códigos, formatos e linguaxes nos que se

presenta a información científica (datos estatísticos, representacións gráficas, modos xeométricos...). A


recadar información, retroalimentala, simular e visualizar situacións, para a obtención e o tratamento de datos,


científica.

A adquisición da competencia de aprender a aprender fundaméntase nesta materia no carácter instrumental

de moitos dos coñecementos científicos. Ao mesmo tempo, operar con modos teóricos fomenta a imaxinación,

a análise, os dotes de observación, a iniciativa, a creatividade e o espírito crítico, o que favorece a aprendizaxe

autónoma. Ademais, ao ser unha materia progresiva, o alumnado adquire a capacidade de relacionar os

contidos aprendidos durante anteriores etapas co que vai ver no presente curso e no próximo. Esta materia favorece o traballo en grupo, onde se fomenta o desenvolvemento de actitudes como a



cidadá que sensibiliza dos posibles riscos da ciencia e da tecnoloxía e permite formar unha opinión

fundamentada en feitos e datos reais sobre o avance científico e tecnolóxico. O sentido de iniciativa e espírito emprendedor é básico á hora de levar a cabo o método científico de forma






procesos mentais fomentan a conciencia e expresión cultural das sociedades. Igualmente, o alumno,

mediante o traballo matemático poderá comprender diversas manifestacións artísticas sendo capaz de utilizar

os seus coñecementos matemáticos na creación das súas propias obras


A Matemática é unha disciplina que require para o seu desenvolvemento unha gran lóxica interna. Esa

mesma lóxica é aplicable á secuenciación de contidos para a súa aprendizaxe. Non por casualidade o

primeiro dos bloques nos que dividimos a materia no primeiro curso é o correspondente á Aritmética á

Álxebra: nel poñemos as bases á linguaxe matemática e ao que podemos, ou non, facer cos números.

Ao ir encamiña esta modalidade de Bacharelato, Ciencias e Tecnoloxía, a futuros estudos científico-técnicos,

empezamos a sentar as bases de todos os campos das matemáticas. Así, comézase a estudar, de forma máis

rigorosa que en ocasións precedentes, o campo dos números reais, de gran importancia posterior, afóndase

na trigonometría e no estudo de funcións, formalízase a xeometría e capacítase o alumno, ofrecéndolle unha

base científica para a crítica de informacións estatísticas.

Como complemento ao estudo dos contidos que permiten ao estudante alcanzar as capacidades propostas

como obxectivos, desenvolvementos un tema inicial dedicado á resolución de problemas. Non hai mellor

forma de iniciar un libro de matemáticas que facendo matemáticas: consellos útiles, estratexias que se deben

ou poden seguir, liñas de razoamento, crítica ante as solucións... son elementos que os alumnos e as alumnas

aprenderán e utilizarán durante todo o curso.


326



- Algúns consellos para resolver problemas.

- Etapas na resolución de problemas.

- Análise dalgunhas estratexias para resolver problemas.

I. ARITMÉTICA E ÁLXEBRA

Números reais

- Linguaxe matemática: conxuntos e símbolos.

- Os números racionais.

- Os números irracionais.

- Os números reais. A recta real.

- Valor absoluto dun número real.


- Radicais. Propiedades.

- Logaritmos. Propiedades.

- Expresión decimal dos números reais.

- Aproximación. Cotas de erro.

- Notación científica.

- Factoriais e números combinatorios.

- Binomio de Newton.

Sucesións

- Concepto de sucesión.

- Algunhas sucesións importantes.

- Límite dunha sucesión.

- Algúns límites importantes.

Álxebra

- Factorización de polinomios.

- Fraccións alxébricas.

- Ecuacións de segundo grao e bicadradas.

- Ecuacións con fraccións alxébricas.


- Ecuacións exponenciais e logarítmicas.

- Sistemas de ecuacións.

- Método de Gauss para sistemas lineais.

- Inecuacións e sistemas de inecuacións cunha incógnita, lineais e cuadráticas.

- Inecuacións e sistemas de inecuacións lineais con dúas incógnitas.

II. TRIGONOMETRÍA E NÚMEROS COMPLEXOS


- Razóns trigonométricas dun ángulo agudo.


327

- Razóns trigonométricas de ángulos calquera.

- Ángulos fóra do intervalo 0° a 360°.

- Trigonometría con calculadora.

- Relacións entre as razóns trigonométricas dalgúns ángulos.

- Resolución de triángulos rectángulos.

- Estratexia da altura para resolver triángulos oblicuángulos.

- Resolución de triángulos calquera. Teorema dos senos e teorema do coseno.

Funcións e fórmulas trigonométricas

- Fórmulas trigonométricas.

- Ecuacións trigonométricas.

- Unha nova unidade para medir ángulos: o radián.

- Funcións trigonométricas ou circulares.

Números complexos

- En que consisten os números complexos? Representación gráfica.

- Operacións con números complexos en forma binómica.

- Propiedades das operacións con números complexos.

- Números complexos en forma polar.

- Paso de forma polar a binómica, e viceversa.

- Operacións con números complexos en forma polar.

- Fórmula de Moivre.

- Radicación de números complexos.

- Descricións gráficas con números complexos.

III. XEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Vectores

- Os vectores e as súas operacións.

- Coordenadas dun vector.

- Operacións con coordenadas.

- Produto escalar de vectores. Propiedades.

- Expresión analítica do produto escalar en bases ortonormais.

- Módulo dun vector nunha base ortonormal.


- Puntos e vectores no plano.

- Vector que une dous puntos. Puntos aliñados.

- Punto medio dun segmento. Simétrico dun punto respecto a outro.

- Ecuacións dunha recta: vectorial, paramétricas, continua, explícita, implícita.

- Feixe de rectas.

- Paralelismo e perpendicularidade.

- Posicións relativas de dúas rectas.

- Ángulo de dúas rectas.


328

- Cálculo de distancias: entre dous puntos, dun punto a unha recta.

Lugares xeométricos. Cónicas

- Lugares xeométricos.

- Estudo da circunferencia.

- Posicións relativas dunha recta e unha circunferencia.

- Potencia dun punto a unha circunferencia.

- Eixe radical de dúas circunferencias.

- As cónicas como lugares xeométricos.

- Estudo da elipse (elementos, excentricidade, ecuación reducida).

- Estudo da hipérbole (elementos, excentricidade, ecuación reducida).

- Estudo da parábola (elementos, ecuación reducida).

- Tanxentes ás cónicas.

IV. ANÁLISE


- As funcións describen fenómenos reais.

- Concepto de función, dominio e percorrido.

- Familias de funcións elementais: lineais, cuadráticas, raíz, proporcionalidade inversa, exponenciais,

logarítmicas.

- Funcións definidas “a anacos”.

- Funcións interesantes: “parte enteira”, “parte decimal”, “valor absoluto”.

- Transformacións elementais de funcións: translacións, simetrías, estiramentos e contraccións.

- Composición de funcións.

- Función inversa ou recíproca doutra.

- Funcións arco.

Límites de funcións. Continuidade e ramas infinitas

- Continuidade. Tipos de descontinuidades.

- Límite dunha función nun punto. Continuidade.

- Cálculo do límite dunha función nun punto.

- Comportamento dunha función cando x→+.

- Cálculo do límite dunha función cando x→+.

- Comportamento dunha función cando x→ –.

- Ramas infinitas. Asíntotas.

- Ramas infinitas nas funcións racionais.

- Ramas infinitas nas funcións trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.

Derivadas

- Crecemento dunha función nun intervalo.

- Crecemento dunha función nun punto.

- Derivada.

- Obtención da derivada a partir da expresión analítica.


329

- Función derivada doutra.

- Regras para obter as derivadas dalgunhas funcións sinxelas (constante, identidade, potencia).

- Regras para obter as derivadas de funcións trigonométricas e as súas recíprocas, exponenciais e

logarítmicas.

- Regras para obter as derivadas de resultados operativos (constante por función, suma, produto, cociente).

- Regra da cadea.

- Utilidade da función derivada (puntos singulares, optimización, a derivada aplicada ao cálculo de límites).

- Representación de funcións polinómicas.

- Representación de funcións racionais.

V. ESTATÍSTICA


- Nubes de puntos.

- Correlación. Regresión.

- Correlación lineal.

- Parámetros asociados a unha distribución bidimensional: centro de gravidade, covarianza, coeficiente de

correlación.

- Recta de regresión. Método dos mínimos cadrados.

- Hai dúas rectas de regresión.

- Táboas de continxencia.

Contidos e temporalización (Matemáticas I )


CONTIDOS CORRESPONDENCIA COAS

LECCIÓNS DO LIBRO DE TEXTO PRIMEIRO

Números reais

Álxebra



1

3

4

5 SEGUNDO

Números complexos

Sucesións


Límites de funcións. Continuidade e

ramas infinitas

Iniciación ao cálculo de derivadas.

Aplicacións.

6

2

10

11

12

TERCEIRO

Vectores




7 8 9 13


330


Unidade 1:


Título Números reais


Os contidos desta unidade son coñecidos, practicamente na súa totalidade, ao comezar este curso. Aquí

revísanse e afóndase neles, poñendo a énfase, fundamentalmente, nos aspectos procedementais básicos

para a formación matemática do alumnado.

Nesta unidade predominan os contidos procedementais fronte aos conceptuais. Estes últimos limítanse,

case exclusivamente, aos distintos tipos de números e ao seu proceso de aparición. En consecuencia, a

gran cantidade de procedementos que se traballa na unidade (representación de números na recta real,

manexo da notación científica, uso dos radicais...) precisa que o alumnado asuma un papel

eminentemente activo no proceso de aprendizaxe.

Optouse por evitar as dificultades excesivas, preferindo unha aprendizaxe efectiva de contidos

razoablemente sinxelos, pero importantes e básicos.

Posiblemente sexa este o momento oportuno para comezar a facer un uso case sistemático da calculadora,

aínda que sempre de forma racional. Débese facer fincapé, tanto en indicacións para o manexo da

calculadora coma nas situacións nas que convén usala e para que (como elemento comprobador, para

buscar aproximacións a certos resultados, para evitar cálculos tediosos...).

A principal razón de ser desta unidade de repaso é a cantidade de dúbidas e dificultades que arrastra gran

parte do alumnado cando alcanza este nivel. Sendo así, a unidade pode servir como revisión e repaso de

toda unha serie de coñecementos que serán sumamente importantes ao longo da aprendizaxe matemática

posterior.

O manexo destro dos intervalos en R, dos radicais, dos logaritmos, dos factoriais e dos números

combinatorios é básico para estes estudantes de Ciencias.

Consideramos que a presentación dalgúns irracionais importantes e, en particular, do número áureo, é

especialmente interesante. Permite unha introdución dos números reais que, por razóns históricas e

estéticas, nos parece motivadora e adecuada para este nivel.

Remata o tratamento da aritmética facendo unha revisión dos factoriais e dos números combinatorios e a

súa aplicación ao binomio de Newton.

Temporalización

3.ª e 4.ª semanas de setembro e a metade da 1.ª semana de outubro.


Coñecer os conceptos básicos do campo numérico (recta real, potencias, raíces, logaritmos, factoriais e

números combinatorios) e aplicar as súas propiedades ao cálculo e á resolución de problemas.

3. CONTIDOS DA UNIDADE / CRITERIOS DE AVALIACIÓN / ESTÁNDARES DE APRENDIZAXE AVALIABLES/ COMPETENCIAS CLAVE

Contidos Criterios Estándares de aprendizaxe CC


331

de avaliación avaliables

Distintos tipos de

números

- Os números enteiros,

racionais e

irracionais.

- O papel dos números

irracionais no

proceso de

ampliación da recta

numérica.

Recta real

- Correspondencia de

cada número real cun

punto da recta, e

viceversa.

- Representación sobre

a recta de números

racionais, dalgúns

radicais e,

aproximadamente, de

calquera número

dado pola súa

expresión decimal.

- Intervalos e

semirrectas.

Representación.

Radicais

- Forma exponencial

dun radical.

- Propiedades dos

radicais.

Logaritmos

- Definición e

propiedades.

- Utilización das

propiedades dos

logaritmos para

realizar cálculos e

para simplificar

expresións.


- Manexo destro da


Factoriais e números

combinatorios

- Definición e


básicos do campo

numérico (recta real,

potencias, raíces,

logaritmos, factoriais

e números

combinatorios).

1.1. Dados varios números,

clasifícaos nos distintos

campos numéricos.

1.2. Interpreta raíces e

relaciónaas coa súa

notación exponencial.


logaritmo e interprétaa

en casos concretos.


factoriais e números

combinatorios e utilízaa

para cálculos concretos.

CCL,

CMCT,

CAA,

SIEP,

CEC

2. Dominar as técnicas

básicas do cálculo no

campo dos números

reais.

2.1. Expresa cun intervalo

un conxunto numérico

no que intervén unha

desigualdade con valor

absoluto.

2.2. Opera correctamente

con radicais.

2.3. Opera con números

“moi grandes” ou “moi

pequenos” valéndose

da notación científica e

acoutando o erro

cometido.

2.4. Aplica as propiedades

dos logaritmos en

contextos variados.

2.5. Opera con expresións

que inclúen factoriais e

números combinatorios

e utiliza as súas

propiedades.

2.6. Resolve exercicios nos

que aparece o binomio

de Newton.

2.7. Utiliza a calculadora

para obter potencias,

raíces, factoriais,

números

combinatorios,

resultados de

operacións con

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


332

propiedades.

- Utilización das

propiedades dos

números

combinatorios para

realizar recontos.

- Binomio de Newton.

Calculadora

- Utilización da

calculadora para

diversos tipos de

tarefas aritméticas,

xuntando a destreza

do seu manexo coa

comprensión das

propiedades que se

utilizan.


científica e logaritmos.



Competencia en


Utilizar o vocabulario

adecuado, as estruturas

lingüísticas e as normas

ortográficas e gramaticais

para elaborar textos

escritos e orais.


conceptos relacionados co campo

dos números reais, así como cos

números radicais, logaritmos,


factoriais, etc.

Comprender o sentido dos

textos escritos e orais.

Redacta informes breves acerca

das propiedades da unión e

intersección de intervalos,

operacións con radicais,

logaritmos, números expresados

en notación científica, factoriais e

combinatorios, etc.




Coñecer e utilizar os

elementos matemáticos

básicos: operacións,


proporcións, formas

xeométricas, criterios de

medición e codificación

numérica.

Recoñece a necesidade de

traballar con diferentes tipos de

números e coas súas abreviaturas

e utiliza expresións que os

conteñen.


333

Expresarse con propiedade

na linguaxe matemática.


linguaxe universal matemática así

como a necesidade de operar de

xeito unificado con cada tipo de

números, sabendo aplicar as

diferentes propiedades de xeito

efectivo.

Manexar os coñecementos

sobre ciencia e tecnoloxía

para solucionar

problemas, comprender o

que acontece arredor nosa

e responder preguntas.

Aplica os coñecementos

adquiridos para resolver

problemas da vida cotiá, na que

se fai necesaria a ampliación do

campo numérico cos tipos de

números tratados nesta unidade.

Competencia dixital

Manexar ferramentas

dixitais para a construción

de coñecemento.


www.anayadigital.com ou na

web, para obter información

sobre a representación dos

números reais na recta numérica e

para poder ver a relación entre o

binomio de Newton e o triángulo

de Tartaglia.


tecnoloxías para mellorar

o traballo e facilitar a vida

diaria.

Utiliza a calculadora de forma

adecuada coñecendo como sacar

o máximo partido a esta mentres

opera cos números traballados na

unidade.

Competencia para aprender a aprender

Planificar os recursos

necesarios e os pasos que

cómpre realizar no

proceso de aprendizaxe.


resumo / cadro para organizar as


diferentes tipos de números.


obxectivos de

aprendizaxe.



finais da unidade para autoavaliar

os coñecementos adquiridos.


Aprender a comportarse

desde o coñecemento dos

distintos valores.



longo do tempo.

Recoñecer riqueza na

diversidade de opinións e

ideas.


polos compañeiros nas

actividades cooperativas.



Actuar con

responsabilidade social e

Planifica o seu traballo, mostra

iniciativa e interese por coñecer e

traballar a rigorosidade


334

sentido ético no traballo. matemática.

Optimizar recursos

persoais apoiándose nas

fortalezas propias.



fortalezas á hora de enfrontarse a

calquera tarefa dificultosa.


culturais

Apreciar os valores

culturais do patrimonio

natural e da evolución do

pensamento científico.

Recoñece a importancia das

distintas manifestacións nas que

se mostraron os contidos

matemáticos ao longo da historia.

Unidade 2:


Título Sucesións


Esta unidade serve de ponte entre a superficial idea das sucesións que poidan traer os estudantes,

adquirida en 3.º de ESO ao estudar as progresións, e o tratamento algo máis formal que terán en 2.º de

Bacharelato, onde se prestará especial atención ao estudo dos límites (concepto e cálculo).

As sucesións trátanse con pouca profundidade, dándolles un carácter máis cultural que técnico. Por

exemplo, a sucesión de Fibonacci con algunha das súas moitas versións (número de parellas de coellos

nunha curiosa escalada de fertilidade, rectángulos cuxas dimensións se parecen cada vez máis á do

rectángulo áureo, tratado na unidade anterior).

Tras un conciso repaso das progresións aritméticas e xeométricas estúdanse brevemente as sucesións de

potencias, especialmente as dos cadrados e a dos cubos, coas fórmulas para sumar os seus primeiros

termos.

É claro que, neste nivel, a introdución do concepto do límite debe apoiarse sobre a idea intuitiva de

achegamento dos valores da sucesión a certo número. (Para os matemáticos de varios séculos, incluídos

entre eles xenios eminentes, esta foi idea máis que suficiente para o seu quefacer ben rigoroso e efectivo).

A representación gráfica dalgunhas sucesións serve para asentar e mellorar esta idea intuitiva de límite

absolutamente abondo para estes alumnos e alumnas.

A calculadora introdúcese no contexto das sucesións de modo moi natural. É unha práctica moi

aconsellable enfrontarse ao cálculo do límite dunha sucesión, facendo unha conxectura sobre se a

sucesión o terá ou non e, en caso de que o teña, cal será. Experimentar coa calculadora pódenos

proporcionar de modo rápido e doado a elaboración, así como a confirmación, de conxecturas.

2. TEMPORALIZACIÓN

1.ª e 2.ª semanas de outubro.


1. Descubrir e describir o criterio polo que foi formada certa sucesión.


335

2. Calcular a suma dos termos dalgúns tipos de sucesións.

3. Estudar o comportamento dunha sucesión para termos avanzados e decidir o seu límite.


Contidos Criterios



Sucesión

- Termo xeral.

- Sucesión recorrente.

- Algunhas sucesións

interesantes.

Progresión aritmética

- Diferenza dunha


- Obtención do termo xeral

dunha progresión

aritmética dada mediante

algúns dos seus

elementos.

- Cálculo da suma de n

termos.

Progresión xeométrica

- Razón.

- Obtención do termo xeral

dunha progresión

xeométrica dada

mediante algúns dos seus

elementos.

- Cálculo da suma de n

termos. - Cálculo da suma dos

infinitos termos nos casos

nos que |r| <1.

Sucesións de potencias

- Cálculo da suma dos

cadrados ou dos cubos de

n números naturais

consecutivos.

Límite dunha sucesión

- Sucesións que tenden a a

l, +, – ou que oscilan.

- Obtención do límite

dunha sucesión mediante

o estudo do seu

comportamento para

termos avanzados:

1. Descubrir e

describir o criterio

polo que foi

formada certa

sucesión.

1.1. Obtén termos xerais

de progresións.

1.2. Obtén termos xerais

doutros tipos de

sucesións.

1.3. Dá o criterio de

formación dunha

sucesión recorrente.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP, CEC

2. Calcular a suma dos

termos dalgúns

tipos de sucesións.

2.1. Calcula o valor da

suma de termos de

progresións.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP, CEC

3. Estudar o

comportamento

dunha sucesión para

termos avanzados e

decidir o seu límite.

3.1. Descobre o límite

dunha sucesión ou

xustifica que carece

del.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP, CEC


336

- Coa axuda da

calculadora.

- Reflexionando sobre as

peculiaridades da

expresión aritmética do

seu termo xeral.

- Algúns límites

interesantes:

(1+ 1/n)ⁿ - Cociente de dous termos

consecutivos da sucesión

de Fibonacci. 5. COMPETENCIAS / DESCRITORES / DESEMPEÑOS





Comprende os textos que se

presentan na unidade e extrae a

información adecuada para

traballar con eles e responder

as cuestións que se formulan.



coherencia.

Exprésase de forma adecuada

cando se refire a contidos da

unidade, presentando

coherencia no seu diálogo.

(Sucesión, termo, progresión

aritmética, progresión

xeométrica, límite, etc.).






explicacións da aula por parte

do profesor e nas intervencións

realizadas polos compañeiros.





matemáticos básicos:

operacións, magnitudes,

porcentaxes, proporcións,

formas xeométricas, criterios

de medición e codificación

numérica, etc.

Recoñece a necesidade de

traballar cunha codificación

numérica universal adecuada

que permita traballar dunha

forma máis sinxela con

sucesións.



formato gráfico.

Comprende a idea de límite

que se reflicte na

representación gráfica

dalgunhas sucesións que se

presentan.


337



Utiliza a notación adecuada

cando realiza as actividades e

os procedementos utilizados

son claros e eficaces.

Competencia dixital

Empregar distintas fontes para

a busca de información.

Utiliza diferentes recursos para

obter información sobre a

sucesión de Fibonacci, en

especial, nos casos do número

de parellas de coellos nunha

escalada de fertilidade e sobre

os rectángulos cuxas

dimensións se parecen cada

vez máis á do rectángulo áureo,

nomeando a información

extraída de cada unha deles.




Manexa a súa calculadora de

forma adecuada e áxil para

comprobar conxecturas sobre a

existencia ou non do límite

dunha sucesión.

Aprender a aprender

Seguir os pasos establecidos e

tomar decisións sobre os

seguintes en función dos

resultados intermedios.

Coñece as fórmulas para

calcular a suma dos termos

dalgúns tipos de sucesións e

aplícaas de forma efectiva de

maneira que, se o resultado

final non é o correcto, revisa os

pasos intermedios para

localizar, por el mesmo, o erro.





finais desta para autoavaliar os



cívicas



ideas.

Respecta a forma de resolución

das actividades expresadas

polos compañeiros sempre e

cando sexa correcta

matematicamente.




potencialidades.

Axuda de forma espontánea os

compañeiros que presentan

algunha dificultade para aplicar

as destrezas desenvolvidas na

unidade.


espírito emprendedor Optimizar recursos persoais

apoiándose nas fortalezas


previos en sucesións e as súas


338

propias. fortalezas á hora de enfrontarse

a calquera tarefa dificultosa.


culturais


patrimonio cultural mundial

nas súas distintas vertentes

(artístico-literaria, etnográfica,

científico-técnica...), e cara ás

persoas que contribuíron ao seu

desenvolvemento.

Recoñece a importancia que

tiveron matemáticos de

diversos séculos no

desenvolvemento da

matemática actual.


Título

Álxebra


É certo que case todos os contidos da unidade son coñecidos polos estudantes, pero á maioría destes

vénlles moi ben facer un repaso sistemático destes procedementos. Ademais, atopan grandes dificultades

cando son eles os que deben formular as ecuacións dun problema. Por esta razón, e polo carácter

instrumental da materia, básico para todo estudo matemático superior, queda xustificado que se lle volva

poñer atención ata chegar a un verdadeiro dominio destes contidos.

Nestes niveis, máis que explicacións teóricas de conceptos, que xa coñecen, o que precisan os alumnos e

as alumnas é exercitarse no uso destas técnicas. Por iso, deben asumir o protagonismo da súa aprendizaxe

e realizar os exercicios que consideran ao longo da unidade. Neste proceso seranlles de grande axuda,

para aclarar as súas dúbidas, os «exercicios resoltos» que se lles ofrecen.

A amplísima oferta de exercicios e problemas que figura ao final da unidade permitirá aos profesores

seleccionar propostas acordes coas necesidades de cada estudante. As dificultades, que con tanta

frecuencia teñen para traducir á linguaxe alxébrica, son debidas, en parte, á falta de adestramento na

resolución dos correspondentes problemas aritméticos.

O tratamento do método de Gauss, presente nos novos programas oficiais, pode consistir nunha

aproximación a este, que se abordará con gran detalle no curso próximo. Por iso, só se tratan sistemas de

tres ecuacións con tres incógnitas. Nelas practícase a esencia do método e prepáranse os alumnos e as

alumnas para o curso próximo.

2. TEMPORALIZACIÓN



1. Dominar o manexo das fraccións alxébricas e das súas operacións.

2. Resolver con destreza ecuacións e sistemas de ecuacións de distintos tipos e aplicalos á resolución

de problemas, e interpretar e resolver inecuacións e sistemas de inecuacións.


339


Contidos Criterios de avaliación Estándares de aprendizaxe avaliables

CC

Factorización de

polinomios

- Factorización dun

polinomio a partir da

identificación das súas

raíces enteiras.


- Operacións con


Simplificación.

- Manexo destro das

técnicas alxébricas

básicas.

Ecuacións

- Ecuacións de segundo

grao.

- Ecuacións bicadradas.

- Ecuacións con fraccións

alxébricas.


- Ecuacións exponenciais.

- Ecuacións logarítmicas.

Sistema de ecuacións

- Resolución de sistemas

de ecuacións de calquera

tipo que poidan

desembocar en

ecuacións das nomeadas.

- Método de Gauss para

resolver sistemas lineais

3 3.

Inecuacións

- Resolución de

inecuacións e sistemas

de inecuacións cunha

incógnita.


de inecuacións lineais




alxébrica de problemas

1. Dominar o manexo

das fraccións

alxébricas e das

súas operacións.


alxébricas.

1.2. Opera con fraccións

alxébricas.

CCL,

CMCT,

CAA,

SIEP

2. Resolver con

destreza ecuacións

de distintos tipos e

aplicalas á

resolución de

problemas.

2.1. Calcula o valor da suma

de termos de

progresións.


radicais e coa incógnita

no denominador.

2.3. Válese da factorización

como recurso para

resolver ecuacións.


exponenciais e

logarítmicas.


problemas mediante

ecuacións.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP

3. Resolver con

destreza sistemas de

ecuacións e

aplicalos á

resolución de

problemas.

3.1. Resolve sistemas con

ecuacións de primeiro e

segundo graos e

interprétaos

graficamente.


ecuacións con radicais e

fraccións alxébricas

(sinxelos).


ecuacións con

expresións

exponenciais e

logarítmicas.

3.4. Resolve sistemas

lineais de tres ecuacións

con tres incógnitas

mediante o método de

Gauss.


problemas mediante


CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP

4. Interpretar e 4.1. Resolve e interpreta CCL,


340

dados mediante

enunciado.

- Formulación e

resolución de problemas

mediante ecuacións e


resolver inecuacións

e sistemas de

inecuacións.

graficamente

inecuacións e sistemas

de inecuacións cunha

incógnita.


inecuacións lineais con

dúas incógnitas.

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC





comunicación non verbal, ou

de diferentes rexistros, nas

diversas situacións

comunicativas.

Traduce de xeito adecuado da

linguaxe verbal á alxébrica e

valora de forma positiva este

rexistro como elemento de

comunicación universal.

Producir textos escritos de

diversas complexidades para

o seu uso en situacións cotiás

ou en materias diversas.

Inventa problemas referidos á

vida cotiá que necesitan a

resolución dunha ecuación ou

un sistema de ecuacións para o

seu resultado definitivo.






formato gráfico.

Asocia o número de solucións

obtidas ao resolver un sistema

de ecuacións coa súa

respectiva representación

gráfica.




linguaxe universal matemática,

así como a necesidade da

prioridade de operacións

universal, sabendo aplicala de

xeito efectivo.

Aplicar estratexias de

resolución de problemas a

situacións da vida cotiá.

Aplica de forma adecuada os


unidade para resolver

problemas, transformándoos

previamente á linguaxe

alxébrica de forma rigorosa,

feito que lle permite

comprender mellor a realidade

que o rodea.

Competencia dixital Actualizar o uso das novas


traballo e facilitar a vida

Manexa a súa calculadora e/ou

programas de cáclulo de forma

adecuada coñecendo as ordes


341

diaria. precisas que lle axudan e

facilitan o seu traballo.

Aprender a aprender


favorezan a comprensión

rigorosa dos contidos.


mapa mental que reflicte os

conceptos tratados na unidade

de forma rigorosa.

Avaliar a consecución de obxectivos de aprendizaxe.

Resume as ideas principais da unidade e realiza as actividades finais desta para autoavaliar os coñecementos adquiridos.


cívicas

Aprender a comportarse desde o coñecemento dos distintos valores.

Valora a importancia do desenvolvemento da ciencia ao longo do tempo.



Ser constante no traballo superando as dificultades.

Supera con dedicación e esforzo os resultados adversos que poida obter e volve traballar sobre o problema en cuestión ata que o resolve.


culturais

Apreciar a beleza das expresións artísticas e das manifestacións de creatividade e gusto pola estética no ámbito cotián.

Inventa representacións de

sistemas de ecuacións de

dúas ou tres incógnitas e, a partir delas, atopa as ecuacións que as orixinan.


Título



Esta unidade constitúe unha extensión natural do bloque de trigonometría correspondente a 4.º de ESO.

Por iso convén comezar cun recordatorio das razóns trigonométricas dun ángulo agudo nun triángulo

rectángulo, a súa utilidade para relacionar lados e ángulos, as relacións fundamentais entre elas e a súa

aplicación para resolver triángulos rectángulos. Todo este proceso completarase co estudo das razóns

trigonométricas para ángulos calquera e as relacións entre algúns deles.

Cremos que o estudante debería memorizar (é dicir, aplicar automaticamente despois de entendelos con

claridade) os seguintes resultados:

- Proxección dun segmento: A'B' = AB cos .

- Altura dun triángulo: h = a sen .

- A área dun triángulo: A = (1/2) a b sen .

A destreza na resolución de triángulos rectángulos e o que iso implica lévanos á resolución de triángulos


342

oblicuángulos. Este paso realízase de forma natural se, antes de entrar nos teoremas dos senos e do

coseno, se aprende a aplicar a estratexia da altura: utilizando unicamente as ferramentas anteriores,

pódense resolver triángulos oblicuángulos sen máis que trazar unha das alturas.

Cremos que sería moi interesante que os alumnos soubesen resolver triángulos calquera seguindo este

método antes de aprender a manexar os teoremas que se aprenden nos apartados seguintes, os cales, en

definitiva, se obteñen aplicando a estratexia da altura dun triángulo calquera.

As fórmulas –ou grupos de fórmulas– que forman os teoremas dos senos e do coseno, serven para a

resolución de triángulos calquera de xeito automático. É importante que o alumno, antes de aplicalos,

sexa moi consciente de cales son os catro elementos que relacionan cada unha das igualdades para, así,

acudir á que necesita para resolver cada problema concreto. Por exemplo:

Coñecemos os dos lados e o ángulo oposto a un deles, é dicir, a, b, A, e queremos coñecer o ángulo

formado por a e b, es dicir, C .

Para iso, empezamos por achar o ángulo B (o teorema dos senos relaciona a, b, A e B). Unha vez

coñecidos B , acharemos C , así:

C = 180° – ( A + B)

A representación gráfica de cada modelo de triángulo que se resolve teórica ou, practicamente ademais de

ser imprescindible para razoar xeometricamente, axuda a entender por que nalgunhas situacións hai dúas

solucións ou non hai solución.

O bo manexo da calculadora é tamén crucial en todo este proceso.

2. TEMPORALIZACIÓN

1.ª, 2.ª e 3.ª semanas de novembro.


1. Coñecer o significado das razóns trigonométricas de ángulos agudos, o teorema dos senos e o teorema

do coseno e aplicalos á resolución de triángulos directamente ou como consecuencia da formulación

de problemas xeométricos, técnicos ou de situacións cotiás.



CC

Razóns trigonométricas

dun ángulo agudo

- Definición de seno,

coseno e tanxente dun

ángulo agudo nun

triángulo rectángulo.

- Relación entre as razóns

trigonométricas.

- Cálculo dunha razón a

partir doutra dada.

1. Coñecer o

significado das

razóns

trigonométricas de

ángulos agudos,

aplicalas á

resolución de

triángulos

rectángulos e

relacionalas coas

razóns

1.1. Resolve triángulos

rectángulos.

1.2. Calcula unha razón

trigonométrica a partir

doutra.

1.3. Válese de dous

triángulos rectángulos

para resolver un

oblicuángulo

(estratexia da altura).

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP,

CEC


343

- Obtención coa

calculadora das razóns

trigonométricas dun

ángulo e do que

corresponde a unha

razón trigonométrica.

Razóns trigonométricas de

ángulos calquera

- Circunferencia

goniométrica.

- Representación dun

ángulo, visualización e

cálculo das súas razóns

trigonométricas na

circunferencia

goniométrica.

- Relacións das razóns


ángulo calquera cun do

primeiro cuadrante.


ángulos coñecendo unha

razón trigonométrica.

- Utilización da

calculadora con ángulos

calquera.

trigonométricas de

ángulos calquera.



ángulo calquera

relacionándoo cun do

primeiro cuadrante.

2. Coñecer o teorema

dos senos e o do

coseno e aplicalos á

resolución de

triángulos calquera.

2.1. Resolve un triángulo

oblicuángulo do que se

coñecen elementos que

o definen (dous lados e

un ángulo, dous

ángulos e un lado, tres

lados...).

2.2. Resolve un triángulo

oblicuángulo definido

mediante un debuxo.

2.3. A partir dun enunciado,

debuxa o triángulo que

describe a situación e

resólveo.

2.4. Ao resolver un

triángulo, recoñece se

non existe solución, se

a solución é única, ou

se pode haber dúas

solucións.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP,

CEC


- Resolución de

triángulos rectángulos.

- Aplicación da estratexia

da altura para resolver

triángulos non

rectángulos.

- Teoremas dos senos e do

coseno.

- Aplicación dos teoremas

dos senos e do coseno á

resolución de

triángulos.



Competencia en




Comprende os textos que se

presentan na unidade e extrae a

información pertinente destes.


344




escoita atenta ao interlocutor.





compañeiras.



en diferentes rexistros, nas


comunicativas.

Realiza debuxos que

representan os enunciados dos

problemas propostos para

expresar os datos que ten, os

que lle piden e os intermedios

que necesitaría coñecer.






para solucionar problemas,


arredor nosa e responder

preguntas.

Manexa con soltura os

coñecementos previos sobre a

materia, así como os

adquiridos na unidade e

noutras áreas que lle permiten

contestar as preguntas que se

lle suxiren.



formato gráfico.

Advirte da información

representada mediante un

gráfico e interprétaa

correctamente para a posterior

solución dun problema ou

cuestión formulada.

Resolver problemas



Soluciona de xeito efectivo os

problemas que se lle presentan,

seleccionando previamente os

datos necesarios e a estratexia

máis adecuada en cada caso.

Competencia dixital




diaria.

Utiliza a calculadora e/ou a

folla de cálculo para realizar

cálculos e/ou comprobar

operacións coñecendo as teclas

adecuadas que lle permiten

operar nas unidades de

medidas adecuadas.

Manexar ferramentas dixitais

para a construción de

coñecemento.


www.anayadigital.com e na

web para reforzar e/ou ampliar

os coñecementos adquiridos na

unidade.

Competencia para

aprender a aprender

Aplicar estratexias para a

mellora do pensamento

creativo, crítico, emocional e


adquiridos sobre trigonometría

para inventar problemas


345

interdependente. intermedios que lle permiten

resolver os problemas

propostos.


necesarios e os pasos a

realizar no proceso de

aprendizaxe.

É coñecedor de como mellorar

a súa aprendizaxe e para iso

organiza os recursos que

necesita para enfrontarse a un

novo contido e cales son os

pasos no proceso deste.


cívicas


diálogo cos demais en

situacións de convivencia e

traballo e para a resolución

de conflitos.

Dialoga cos compañeiros e

compañeiras cando se presenta

unha situación de conflito na

aula.


convivencia cidadá no

contexto da escola.

Coñece cales son os seus

deberes na aula e aplícaos,

favorecendo a convivencia.



Atopar posibilidades no

contorno que outros non

aprecian.

Relaciona con facilidade o seu

propio contorno con exemplos

prácticos sobre os problemas

que se lle propoñen,

facilitando a comprensión dos

enunciados a resolver.


coordinando tarefas e

tempos.

Coordina adecuadamente o

tempo e as tarefas de cada

compoñente cando realizan, de

forma conxunta, actividades

grupales.


culturais

Elaborar traballos e

presentacións con sentido

estético.

Resolve triángulos de

diferentes tipos e problemas

trigonométricos calquera

realizando a súa representación

gráfica, na que coida todos os

detalles.

Apreciar os valores culturais

do patrimonio natural e da

evolución do pensamento

científico.

Recoñece a importancia dos

estudos sobre triángulos ao

longo da historia e como estes

favoreceron na evolución do

pensamento científico.



346

Título



Na primeira parte desta unidade preténdese desenvolver habilidades no manexo e a aplicación das

fórmulas trigonométricas. Non se trata de que os estudantes memoricen unha serie de igualdades, senón

que deduzan unhas a partir doutras e as utilicen na simplificación de expresións trigonométricas,

demostración de identidades e resolución de ecuacións. Todo iso de forma gradual e sen esquecer a

dificultade que ten o tratamento alxébrico das fórmulas trigonométricas neste nivel.

A obtención das fórmulas trigonométricas resulta doada partindo da seguinte fórmula: sen ( + ) = sen

cos + cos sen.

A demostración da fórmula anterior, tal como vén no libro, é clásica e difícil. Pero pode ser substituída

por estoutra, que é como un crebacabezas (despois de copiar e recortar, pódense recompoñer coas pezas

unha ou outra das figuras).

Para o estudo das funcións trigonométricas, que é o propósito fundamental da unidade, temos que definir

o radián. A diferenza doutros manuais destes niveis, onde graos e radiáns se utilizan simultaneamente

desde os primeiros momentos, aquí só se introduce o radián para que sirva de base ás funcións

trigonométricas. O motivo é claro: para todo tipo de aplicacións (astronomía, topografía, etc.), os ángulos

mídense en graos, minutos e segundos sesaxesimais. O radián só ten razón de ser como medio para

describir as funcións trigonométricas.

Malia que isto aínda non poden sabelo, os alumnos e as alumnas, si deben coñecer que o radián só é útil

para xerar as funcións circulares. Con este fin, resulta moi útil a construción gráfica da función seno, coa

que se aprecia claramente o significado do radián.

Consideramos fundamental que o alumnado se vaia familiarizando coas medidas en radiáns dos ángulos

de 0°, 30°, 45°, 60° e 90° e os ángulos asociados a eles, así como as súas razóns trigonométricas.

A extensión periódica das funcións trigonométricas é doada conceptualmente (o seno dun ángulo que se

obtén partindo de e dando varias voltas completas é, obviamente, igual ao seno de ).

A resolución de ecuacións trigonométricas sinxelas é un bo exercicio para repasar e dar sentido ás

propiedades das funcións trigonométricas e ao significado de ecuación.

2. TEMPORALIZACIÓN

4.ª semana de novembro e 1.ª e 2.ª semanas de decembro.


1. Coñecer e aplicar as fórmulas trigonométricas fundamentais.


347

2. Dominar o concepto de radián e as características e gráficas da funcións trigonométricas.


Contidos Criterios



Fórmulas

trigonométricas

- Razóns trigonométricas

do ángulo suma, da

diferenza de dous

ángulos, do ángulo

dobre e do ángulo

metade.

- Sumas e diferenzas de

senos e cosenos.


expresións

trigonométricas

mediante

transformacións en

produtos.

Ecuacións

trigonométricas

- Resolución de

ecuacións

trigonométricas.

O radián

- Relación entre graos e

radiáns.

- Utilización da

calculadora en modo

RAD.

- Paso de graos a

radiáns, e viceversa.

As funcións

trigonométricas

- Identificación das

funcións

trigonométricas seno,

coseno e tanxente.


funcións seno, coseno

e tanxente.

1. Coñecer as fórmulas

trigonométricas

fundamentais (suma e

resta de ángulos,

ángulo dobre, ángulo

metade e suma e

diferenza de senos e

cosenos) e aplicalas a

cálculos diversos.

1.1. Utiliza as fórmulas

trigonométricas (suma,

resta, ángulo dobre...)

para obter as razóns

trigonométricas

dalgúns ángulos a

partir doutros.

1.2. Simplifica expresións

con fórmulas

trigonométricas.

1.3. Demostra identidades

trigonométricas.


trigonométricas.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC

2. Coñecer a definición

de radián e utilizalo

para describir as

funcións

trigonométricas.

2.1. Transforma en radiáns

un ángulo dado en

graos, e viceversa.

2.2. Recoñece as funcións

trigonométricas dadas

mediante as súas

gráficas.

2.3. Representa calquera

das funcións

trigonométricas (seno,

coseno ou tanxente)

sobre uns eixes

coordenados, en cuxo

eixe de abscisas se

sinalaron as medidas,

en radiáns, dos ángulos

máis relevantes.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC



348





coherencia.

Exprésase de forma correcta

cando intervén na aula

utilizando expresións

coherentes e adecuadas para

cada ocasión.




ou de materias diversas.

Demostra fórmulas

trigonométricas utilizando as

propiedades matemáticas

traballadas na unidade que

logo aplica en diversas

situacións.




escoita atenta ao

interlocutor...


explicacións e nas correccións

da clase, preguntado dúbidas


respectando a quenda de

palabra.


Coñecer e utilizar os elementos matemáticos básicos: operacións, magnitudes, porcentaxes, proporcións, formas xeométricas, criterios de medición e codificación numérica, etc.

Utiliza os conceptos tratados na unidade de forma adecuada e as relacións entre eles.

Comprender e interpretar a información presentada en formato gráfico.

Identifica e representa doadamente as gráficas das funcións elementais: seno, coseno e tanxente.

Organizar a información utilizando procedementos matemáticos.

Pregúntase, previamente a enfrontarse a unha

demostración: que ten, que

quere demostrar, que necesita para iso...

Competencia dixital



coñecemento.



web para complementar os

contidos da unidade e ampliar

o seu coñecemento.


349




diaria.

Manexa a súa calculadora de

forma adecuada coñecendo as

teclas para introducir medidas

en graos e radiáns e pasar

dunha a outra.

Aprender a aprender

Seguir os pasos establecidos

e tomar decisións sobre os



Coñece as propiedades dos

ángulos e aplícaas de forma

efectiva para realizar

demostracións, de maneira

que, se o resultado final non é

o correcto, revisa os pasos

intermedios para localizar, por

el mesmo, o erro e o modifica.




unidade e utilízaas para

autoavaliar os coñecementos

adquiridos.


cívicas

Evidenciar preocupación

polos máis desfavorecidos e

respecto aos distintos ritmos

e potencialidades.


compañeiras que presentan

algunha dificultade na

consecución dos obxectivos do

tema de forma espontánea.




posibilidades desde

coñecementos previos do

tema.

Resolve relacións

trigonométricas que el mesmo

propón para comprobar a súa

veracidade tendo en conta os

seus coñecementos previos e

os adquiridos na unidade.


culturais

Apreciar a beleza das

expresións artísticas e das

manifestacións de

creatividade e gusto pola

estética no ámbito cotián.

Representa funcións

trigonométricas de forma

adecuada, sen obviar detalles

que poidan levar a confusión,

así como modificacións delas

mesmas para comprobar que é

o que sucede (–sen α, 2 cos α,

etc.).


Título

Números complexos



350

A historia sobre a orixe dos números complexos e o seu desenvolvemento é un elemento moi motivador

para a presentación desta unidade. A necesidade dos números complexos xorde, xa desde os séculos XV e

XVI, do desexo de resolver certo tipo de ecuacións cuadráticas. Grandes matemáticos como Leibnitz,

Euler e Gauss están ligados ao desenvolvemento destes números.

Este argumento (desexo de resolver certo tipo de ecuacións) motiva o paso dos números reais a «algo que

vai máis alá». Seguindo con esta liña, convén facer propostas sinxelas ao alumnado, como a seguinte,

para que así se familiaricen cos números complexos:

«Chama i 1− a, considera as expresións a + bi como números que poden operarse como os reais e, cando

o necesites, ten en conta que i2= –1».

Deste xeito, poderán efectuar sumas, restas e multiplicacións de forma natural, chegando sempre a un

resultado da forma a + bi.

Para a división requírese un pequeno empuxón adicional: Expresa o denominador da forma a + bi e

multiplica numerador e denominador por a–bi».

Deste modo, os estudantes poden abordar, por si sós, as operacións aritméticas entre complexos postos en

forma binómica.

A partir de aquí, continúase coa representación gráfica, a expresión dos números en forma polar, o paso

de forma binómica a polar, e viceversa, e sorprende a sinxeleza das operacións produto, cociente e

potenciación cando os números que interveñen están postos en forma polar.

A radicación presenta maiores dificultades, pero enriquece notablemente o panorama de operacións no

campo complexo. A representación gráfica das raíces resulta fermosa e simplificadora.

Para resolver ecuacións ou sistemas no campo complexo é útil, novamente, a recomendación de que os

estudantes actúen como se estivesen no campo dos números reais e, cando o necesiten, teñan en conta que

i2=−1. Polo demais, aplícanse aquí todos os consellos válidos para resolver ecuacións e sistemas en R:

22 4

02

b b acaz bz c z

a

− −+ + = → =

Como sabemos, se b2− 4ac 0, hai dúas raíces cadradas de b2− 4ac e, polo tanto, hai dúas solucións da

ecuación.

Hai outro tipo de ecuacións: as que proceden de problemas nos que se require calcular os valores que

deben tomar certos parámetros para que o resultado dunhas operacións sexa un complexo con certas

características. Para resolver este tipo de problemas, só se require saber operar e lembrar que dous

complexos postos en forma binómica son iguais se coinciden as súas partes reais e tamén as súas partes

imaxinarias.

Ao longo da unidade, un bo número de cuestións do tipo verdadeiro ou falso? axudarán a fixar as novas

definicións e os novos conceptos que se van estudando nela.

2. TEMPORALIZACIÓN

2.ª e 3.ª semanas de xaneiro.


1. Coñecer os números complexos, as súas representacións gráficas, os seus elementos e as súas

operacións.


351


Contidos Criterios



Números complexos

- Unidade imaxinaria.

Números complexos en

forma binómica.


de números complexos.

- Operacións con números

complexos en forma

binómica.

- Propiedades das

operacións con números

complexos.

Números complexos en

forma polar

- Módulo e argumento.

- Paso de forma binómica

a forma polar e

viceversa.

- Produto e cociente de

complexos en forma

polar.

- Potencia dun complexo.

- Fórmula de Moivre.

- Aplicación da fórmula de

Moivre en

trigonometría.

Radicación de números

complexos

- Obtención das raíces n-

ésimas dun número

complexo.


Ecuacións no campo dos

complexos

- Resolución de ecuacións

en C.

Aplicación dos números

complexos á resolución de

problemas xeométricos


complexos, as súas

representacións

gráficas, os seus

elementos e as súas

operacións.


combinadas de

números complexos

postos en forma

binómica e representa

graficamente a

solución.

1.2. Pasa un número

complexo de forma

binómica a polar, ou

viceversa, represéntao

e obtén o seu oposto e

o seu conxugado.


nos que deba realizar

operacións aritméticas

con complexos e para

o cal deba dilucidar se

se expresan en forma

binómica ou polar.

Válese da


nalgún dos pasos.

1.4. Calcula raíces de

números complexos e

interprétaas

graficamente.

1.5. Resolve ecuacións no

campo dos números

complexos.

1.6. Interpreta e representa

graficamente

igualdades e

desigualdades ente

números complexos.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC



352





Entende o sentido dos textos

que se presentan na unidade.

Manter unha actitude

favorable cara á lectura.

Efectúa a lectura comprensiva

da inicial e extrae as ideas

principais.



coherencia.


cando intervén na aula a

propósito dos contidos da

unidade mantendo a

coherencia no seu discurso.











numérica, etc.

Recoñece e asocia o valor de i,

considerando a expresión

a + bi e as súas operacións, así

como a súa forma polar.



formato gráfico.

Comprende a representación

dos números imaxinarios e

interprétaa adecuadamente nun

eixe de coordenadas.

Aplicar métodos de análise

rigorosos para mellorar a


circundante en distintos

ámbitos (biolóxico,

xeolóxico, físico, químico,

tecnolóxico, xeográfico...).


adquiridos na unidade,

respecto aos números

completos, para ampliar o

campo dos números reais e

poder resolver ecuacións de

segundo grao que no campo

dos reais non tiñan solución.

Competencia dixital

Seleccionar o uso das

distintas fontes segundo a súa

fiabilidade.



reflexiona sobre a

conveniencia de utilizar a

información extraída destas.



coñecemento.



web para complementar a

información da unidade e

ampliar o seu coñecemento.

Aprender a aprender Xerar estratexias para Organiza a información nun



353

aprender en distintos

contextos de aprendizaxe.

mapa conceptual para reflectir

os contidos tratados na unidade

de forma rigorosa e favorecer a

súa aprendizaxe.




unidade para autoavaliar os



cívicas



contexto da escola.








de conflitos.

Dialoga cos compañeiros e

compañeiras cando se presenta

unha situación de conflito na

aula.





Traballa de forma adecuada e

constante durante toda a

unidade e non diminúen os

seus esforzos malia

encontrarse con erros ou

dificultades.


culturais



estético.

Realiza as representacións

gráficas das raíces coidando

todos os detalles de forma que

resulta fermosa e

simplificadora.


Título

Vectores


Nesta unidade dedicarémonos, en exclusiva, aos vectores, deixando para a seguinte a súa utilización na

xeometría analítica do plano.

Para a aprendizaxe das operacións con vectores e o seu significado, é moi formativo o seu manexo

gráfico en tramas cuadriculadas e doutros tipos (triangulares, hexagonais...). O traballo coas operacións

con vectores (suma, produto por un número) dá lugar á busca dunha combinación lineal de dous ou máis

vectores cuxo resultado sexa outro vector dado. É importante que o alumnado vexa, de forma práctica, a

multiplicidade de posibilidades que hai cando os vectores compoñentes son máis de dous, e a unicidade

de resultados cando os vectores de partida son só dous.

Procuramos que a versión que aquí se ofrece de base sexa do máis sinxela: dous vectores cos cales se

pode poñer calquera outro como combinación lineal deles (é dicir, dous vectores con distintas direccións).


354

O alumnado debe familiarizarse co produto escalar de vectores e con algunhas das súas propiedades,

especialmente a que permite caracterizar a perpendicularidade e a obtención do módulo dun vector e o

coseno dun ángulo. Ademais, é conveniente que reflexione sobre o feito de que con esta operación se

controlan, por primeira vez, as relacións métricas entre vectores (perpendicularidade, ángulo, módulo).

2. TEMPORALIZACIÓN

4.ª semana de xaneiro e 1.ª semana de febreiro.


1. Coñecer os vectores e as súas operacións e utilizalos para a resolución de problemas xeométricos.



CC


355

Vectores. Operacións

- Definición de vector:

módulo, dirección e

sentido. Representación.

- Produto dun vector por

un número.

- Suma e resta de

vectores.

- Obtención gráfica do

produto dun número por

un vector, do vector

suma e do vector

diferenza.

Combinación lineal de

vectores

- Expresión dun vector

como combinación

lineal doutros.

Concepto de base

- Coordenadas dun vector

respecto dunha base.

- Representación dun

vector dado polas súas

coordenadas en certa

base.

- Recoñecemento das

coordenadas dun vector

representado en certa

base.

- Operacións con vectores

dados graficamente ou

polas súas coordenadas.

1. Coñecer os vectores

e as súas operacións

e utilizalos para a

resolución de

problemas

xeométricos.

1.1. Efectúa combinacións

lineais de vectores

graficamente e

mediante as súas

coordenadas.

1.2. Expresa un vector

como combinación

lineal doutros dous,

graficamente e

mediante as súas

coordenadas.

1.3. Coñece e aplica o

significado do produto

escalar de dous

vectores, as súas

propiedades e a súa

expresión analítica

nunha base

ortonormal.

1.4. Calcula módulos e

ángulos de vectores

dadas as súas

coordenadas nunha

base ortonormal e

aplícao en situacións

diversas.

1.5. Aplica o produto

escalar para identificar

vectores

perpendiculares, dadas

as súas coordenadas

nunha base

ortonormal.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC


356

Produto escalar de dous

vectores

- Propiedades.

- Expresión analítica do

produto escalar nunha

base ortonormal.

- Aplicacións: módulo dun

vector, ángulo de dous

vectores,

ortogonalidade.

- Cálculo da proxección

dun vector sobre outro.

- Obtención de vectores

unitarios coa dirección

dun vector dado.

- Cálculo do ángulo que

forman dous vectores.

- Obtención de vectores

ortogonais a un vector

dado.

- Obtención dun vector

coñecendo o seu módulo

e o ángulo que forma

con outro.









orais.

Define e emprega

correctamente conceptos

relacionados cos


unidade: módulo, dirección,

sentido, produto dun vector

por un escalar... coidando as

normas ortográficas e

gramaticais.




escoita atenta ao

interlocutor...




realizadas polas compañeiras e

polos compañeiros.




ou de materias diversas.

Inventa problemas referidos á

vida cotiá que necesitan do

cálculo de módulos e ángulos

de vectores dadas as súas

coordenadas.


357






formato gráfico.

Comprende e sabe interpretar

graficamente o produto dun

número por un vector, do

vector suma e do vector

diferenza, así como un vector

dado polas súas coordenadas

en certa base.





os seus procedementos son

claros e eficaces.



matemáticos.

Extrae a información

importante e organízaa para

utilizar o procedemento máis

adecuado en cada caso.

Competencia dixital




diaria.

Investiga na web sobre

programas para debuxar

vectores que lle facilitan, de

forma visual, a comprensión

de certos conceptos: base

ortogonal, vectores

perpendiculares...

Aprender a aprender


persoais como aprendiz:

estilos de aprendizaxe,

intelixencias múltiples,

funcións executivas.

É consciente sobre como

aprende e utiliza o seu

autocoñecemento para

mellorar na súa práctica

académica.



creativo, crítico, emocional,

interdependente...

Aplica destrezas de

pensamento para mellorar a

súa creatividade e o seu

espírito crítico fronte aos

contidos da unidade.


cívicas





de conflitos.

Dialoga coas compañeiras e

cos compañeiros cando se

presenta unha situación de

conflito na aula.




coordinando tarefas e

tempos.

Organiza de forma adecuada o

traballo que realiza en grupo.





fortalezas a hora de


358

propias. enfrontarse a calquera tarefa

dificultosa.


culturais



estético.

Resolve operacións e

problemas con vectores

realizando a súa representación

gráfica, na que coida todos os

detalles.


Título



Os vectores son unha magnífica ferramenta para o manexo da xeometría analítica:

- Resultan moi útiles para a obtención de puntos que cumpran certas propiedades: punto medio dun

segmento, punto simétrico doutro respecto dun terceiro, cuarto punto dun paralelogramo do que se

coñecen tres... Afondando nesa liña, pódese obter, por exemplo, o baricentro dun triángulo.

- A ecuación vectorial dunha recta é unha forma sinxela e clara de describila. A partir dela obtéñense as

ecuacións paramétricas, que, en definitiva, consisten na descrición vectorial mediante coordenadas. E

destas pásase á ecuación implícita, que xa é habitual para estes estudantes.

Non obstante, é necesario que o alumnado afiance as súas destrezas no manexo das distintas expresións

da recta sen ligalas aos vectores, pois a introdución destes novos elementos pode entrar en conflito coas

expresións que xa se coñecían de anos atrás (pendente, ordenada na orixe, punto-pendente...). En

definitiva, convén ter cautela para evitar que a introdución dos vectores, en lugar de mellorar as destrezas

no manexo de rectas, entorpeza as que xa se posuían.

2. TEMPORALIZACIÓN

2.ª e 3.ª semanas de febreiro.


1. Coñecer e dominar as técnicas da xeometría analítica plana.


Contidos Criterios


avaliables CC

Sistema de referencia no

plano

- Coordenadas dun punto.

Aplicacións dos vectores a

1. Coñecer e dominar

as técnicas da

xeometría analítica

plana.

1.1. Acha o punto medio

dun segmento e o

simétrico dun punto

respecto doutro.

1.2. Utiliza os vectores e as

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,


359


- Coordenadas dun vector

que une dous puntos,

punto medio dun

segmento...

Ecuacións da recta

- Vectorial, paramétricas e

xeral.

- Paso dun tipo de

ecuación a outro.

Aplicacións dos vectores a

problemas métricos

- Vector normal.

- Obtención do ángulo de

dúas rectas a partir das

súas pendentes.

- Obtención da distancia

entre dous puntos ou

entre un punto e unha

recta.

- Recoñecemento da

perpendicularidade.

Posicións relativas de

rectas

- Obtención do punto de

corte de dúas rectas.

- Ecuación explícita da

recta. Pendente.

- Forma punto-pendente

dunha recta.

- Obtención da pendente

dunha recta. Recta que

pasa por dous puntos.

- Relación entre as

pendentes de rectas

paralelas ou

perpendiculares.

- Obtención dunha recta

paralela (ou

perpendicular) a outra

que pasa por un punto.

- Feixe de rectas.

súas relacións para

obter un punto a partir

doutros (baricentro dun

triángulo, cuarto vértice

dun paralelogramo,

punto que divide un

segmento nunha

proporción dada...).

1.3. Obtén distintos tipos de

ecuacións dunha recta a

partir dalgúns dos seus

elementos (dous puntos,

punto e pendente, punto

e vector dirección...) ou

doutras ecuacións.

1.4. Estuda a posición

relativa de dúas rectas

e, de ser o caso, acha o

seu punto de corte

(dadas con diferentes

tipos de ecuacións).

1.5. Dadas dúas rectas

(expresadas con

diferentes tipos de

ecuacións) establece

relacións de paralelismo

ou perpendicularidade e

calcula o ángulo que

forman.

1.6. Calcula o ángulo entre

dúas rectas (dadas con

diferentes tipos de

ecuacións).

1.7. Calcula a distancia

entre dous puntos ou

dun punto a unha recta.

1.8. Resolve exercicios

relacionados cun feixe

de rectas.


xeométricos utilizando

ferramentas analíticas.

CSC,

SIEP,

CEC




360




Comprende de forma

autónoma os textos que se lle

presentan na unidade, así

como os exemplos resoltos do

libro ou os propostos polo

profesor.





comunicativas.

Utiliza de forma áxil

representacións gráficas para

expresar o que quere dicir.











numérica, etc.

Coñece e sabe calcular de

forma adecuada diferentes

elemento traballados na

unidade: punto medio dun

segmento, punto simétrico,

baricentro...

Recoñecer a importancia da

ciencia na nosa vida cotiá.

Recoñece a importancia que

ten a aplicación dos vectores a

problemas métricos para os

xeométricos que, doutro modo,

non se poderían realizar.





os seus procedementos son

claros e eficaces.

Competencia dixital

Empregar distintas fontes

para a busca de información.

Busca información para

reforzar e/ou ampliar contidos

da unidade en diferentes

fontes, nomeándoas en todo

momento.


comunicación audiovisual

para transmitir informacións

diversas.

Utiliza diferente medios

audiovisuais para transmitir

información sobre os contidos

da unidade (gráficos en tramas

diversas, programas

informáticos...).


361

Aprender a aprender




Realiza un mapa mental sobre

os seus coñecementos previos

de rectas (pendente, ordenada

na orixe, punto-pendente...)

para que non entren en

contradición cos contidos que

vai traballar esta unidade

respecto a vectores.





Coñece como se pasa dunha

forma da recta a outra e aplica

o procedemento seguindo os

pasos adecuados, aínda que, se

o resultado final non é o

correcto, revisa os intermedios

para localizar, por el mesmo, o

erro.


cívicas



contexto da escola.







posibilidades desde

coñecementos previos do

tema.

Resolve problemas nos que

interveñen diferentes rectas

inventadas por el e realiza un

estudo exhaustivo sobre a súa

posicións relativas (punto de

corte, ángulo que forman...).


culturais

Valorar a interculturalidade

como unha fonte de riqueza

persoal e cultural.


interacción con outros para

favorecer os diferentes puntos

de vista e enriquecer a visión

da unidade.


Título



A aprendizaxe das cónicas pode ter moito de cultural e de lúdico. Nese sentido, repartimos algunhas

pinceladas nas marxes e en distintos apartados.

No aspecto puramente xeométrico (é dicir, xeometría non analítica) pode sacárselle partido á idea inicial:

as cónicas como resultado de intersecar un plano cunha superficie cónica. Ademais das catro familias de

cónicas atoparémonos–ao situar o plano a todas as súas posibles posicións– con puntos, rectas, pares de

rectas... Como o profesor xa sabe, neste contexto adoitan ser chamadas cónicas dexeneradas.


362

Cremos especialmente interesante resaltar problemas de lugares xeométricos, especialmente aqueles nos

que, de antemán, se descoñece a figura que van formar.

Por exemplo:

- Puntos cuxa suma de cadrados de distancias a dous puntos fixos é constante (trátase dunha

circunferencia).

- Puntos cuxa diferenza de cadrados de distancias a dous puntos fixos é constante(trátase dunha recta

perpendicular ao segmento que une os puntos).

O seguinte razoamento permite xerar problemas de lugares xeométricos relacionados coas cónicas.

Sabemos que unha parábola é o lugar xeométrico dos puntos, P, cuxa distancia a un fixo, foco, F, coincide

coa súa distancia a unha recta fixa, directriz d. É dicir:

Esta expresión pódese poñer así:

Cabe preguntarse cal é o lugar xeométrico dos puntos, P, do plano que cumpren a condición?

A resposta é moi interesante:

- Se 0 <K<1, o lugar xeométrico é unha elipse.

- Se K>1, é unha hipérbole.

En ambos os dous casos, K é a súa excentricidade. A propiedade pode expresarse en forma xeral así: o

lugar xeométrico dos puntos P que cumpren a condición:

2. TEMPORALIZACIÓN

4.ª semana de febreiro e 1.ª semana de marzo.


1. Obter analiticamente lugares xeométricos.

2. Resolver problemas para os que se requira dominar a fondo a ecuación da circunferencia.

3. Coñecer os elementos característicos de cada unha das outras tres cónicas (elipse, hipérbole, parábola):

eixes, focos, excentricidade..., e relacionalos coa súa correspondente ecuación reducida.


Contidos Criterios


avaliables CC

Estudo analítico dos 1. Obter

analiticamente


dun lugar xeométrico CCL,

CMCT,


363

lugares xeométricos

- Resolución de

problemas de lugares

xeométricos,

identificando a figura

resultante.

Ecuación da circunferencia

- Características dunha

ecuación cuadrática en x

e y para que sexa unha

circunferencia. - Obtención da ecuación

dunha circunferencia a

partir do seu centro e o

seu raio.

- Obtención do centro e

do raio dunha

circunferencia a partir da

súa ecuación.

- Estudo da posición

relativa dunha recta e

unha circunferencia.

- Potencia dun punto a

unha circunferencia.

Estudo analítico das

cónicas como lugares

xeométricos

- Elementos

característicos (eixes,

focos, excentricidade).

- Ecuacións reducidas.

Obtención da ecuación

reducida dunha cónica


cónica e dos seus

elementos a partir da súa

ecuación reducida.

lugares

xeométricos.

plano definido por

algunha propiedade, e

identifica a figura de que

se trata.

CD,

CAA,

CEC

2. Resolver

problemas para

os que se requira

dominar a fondo

a ecuación da

circunferencia.


circunferencia

determinada por algúns

dos seus elementos ou

obtén os elementos (centro

e raio) dunha

circunferencia dada pola

súa ecuación.

2.2. Acha a posición relativa

dunha recta e unha

circunferencia.

2.3. Resolve exercicios nos

que teña que utilizar o

concepto de potencia dun

punto respecto a unha

circunferencia ou de eixe

radical.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC

3. Coñecer os

elementos

característicos de

cada unha das

outras tres

cónicas (elipse,

hipérbole,

parábola): eixes,

focos,

excentricidade...,

e relacionalos coa

súa

correspondente

ecuación

reducida.

3.1. Representa unha cónica a

partir da súa ecuación

reducida (eixes paralelos

aos eixes coordenados) e

obtén novos elementos

dela.

3.2. Describe unha cónica a

partir da súa ecuación non

reducida e represéntaa.


cónica dada mediante a

súa representación gráfica

e obtén algúns dos seus

elementos característicos.


cónica dados algúns dos

seus elementos.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC







escoita atenta ao

Mantén unha escoita activa,

tanto nas explicacións da aula

por parte do profesor como nas


compañeiras e cando intervén,


364

interlocutor... faino respectando a quenda de

palabra.



coherencia.


cando intervén na aula

mantendo coherencia no seu

discurso.



Efectúa a lectura comprensiva

dos textos que se presentan nas

marxes e en distintos apartados

e extrae as ideas principais.

Competencia matemática

e competencias básicas

en ciencia e tecnoloxía



Entende como foi

evolucionando a ciencia grazas

ás diversas formulacións que

fixo o home ao longo da historia

e como se xerou multitude de

problemas ao pensar no lugar

xeométrico.








numérica, etc.

Coñece os elementos

característicos de circunferencia,

elipse, hipérbole e parábola, e

cal é a súa ecuación reducida.



formato gráfico.

Coñece e identifica que cónica

ou elementos se forma como

resultado de intersecar un plano

cunha superficie cónica.

Competencia dixital



coñecementos.



web para reforzar e/ou ampliar

os seus coñecementos sobre as

cónicas.

Elaborar e publicitar

información propia derivada

da obtida a través de medios

tecnolóxicos.

Elabora un tríptico sobre como

se forman as diferentes cónicas

traballadas na unidade e cales

son as ecuacións que as

caracterizan mediante un

programa informático.

Aprender a aprender




Organiza os contidos nun

esquema-resumo de maneira que

lle permite observar, dun simple


365

golpe de vista, todos os contidos

traballados na unidade.



Autoavalíase despois de realizar

as actividades de autoavaliación

e reflexiona sobre os resultados

obtidos.


cívicas





de conflitos.

Dialoga coas compañeiras e os

compañeiros cando traballa en

grupo favorecendo a

convivencia neste.



Contaxiar entusiasmo pola

tarefa e confianza nas

posibilidades de alcanzar

obxectivos.

Anima os compañeiros cando se

lles presentan dificultades.


culturais


expresións artísticas e das

manifestacións de



Representa diferentes lugares

xeométricos e busca elementos

da vida cotiá que se

correspondan con eles.


Título



Para iniciarnos na Análise é imprescindible facer unha posta ao día do que sobre funcións se aprendeu na

ESO.

Empézase lembrando os conceptos básicos: función, dominio, percorrido, as diversas formas de definir

unha función e as razóns que restrinxen o dominio de definición.

A continuación repásase unha serie de familias de funcións (lineais, cuadráticas, de proporcionalidade

inversa, radicais, exponenciais, logarítmicas) e as definidas mediante «anacos» das anteriores.

Obtéñense outras funcións relacionadas coas elementais mediante pequenas modificacións das súas

expresións analíticas, que se manifestan visiblemente nas súas gráficas mediante translacións,

estiramentos, simetrías ou contraccións: f(x) + k, -f(x), f(–x), f(x + a), |f(x)|. Con todo iso, preténdese

achegar e consolidar unha bagaxe de coñecementos básicos que implican unha notable familiaridade coas

funcións de máis uso, o cal é interesante por si mesmo e, ademais, resultará indispensable para poder

construír os conceptos básicos da análise que se verán a continuación: límites e derivadas.

Merece unha atención especial:

- A parábola, a súa identificación partindo da expresión analítica e a representación a partir do seu vértice

e do signo do coeficiente de x2.


366

- As funcións de proporcionalidade inversa e as radicais achegan peculiaridades nos seus dominios de

definición e nas súas ramas infinitas.

- O dominio das técnicas polas que se transforma a gráfica dunha función ao efectuar pequenas

modificacións na súa expresión analítica amplía a gama de funcións recoñecibles a simple vista e axuda

a destacar as características esenciais da gráfica.

- A destreza na representación e interpretación de funcións definidas «a anacos» permitirá a expresión de

novas funcións, como «parte enteira», «parte decimal» e «valor absoluto», que atoparemos nalgunhas

situacións ligadas ao mundo real e achegará, máis adiante, un soporte para a comprensión das ideas de

límite e continuidade.

- O estudo da composición de funcións e a función inversa ou recíproca dunha función son unha

ferramenta nova para obter outras funcións e para afondar no estudo dalgunhas das xa coñecidas como

a exponencial e a logarítmica.

- A definición das funcións arco, como funcións inversas das trigonométricas, debe ser motivo para que

estas (que foron estudadas en trigonometría) se repasen dentro do ámbito das funcións. Se os estudantes

comprenden que a función arcsen podería ser definida tomando un tramo decrecente, no canto do tramo

crecente polo que se optou, entenderá, no seu momento, por que na súa derivada aparece un dobre signo

[D(arcsen x) = ]e por que optamos polo signo +. Algo similar cabería dicir da función

arccos x.

2. TEMPORALIZACIÓN

2.ª e 3.ª semanas de marzo.


1. Coñecer as características de funcións elementais, asociar as súas expresións analíticas ás súas gráficas

e recoñecer as transformacións que se producen nestas como consecuencia dalgunhas modificacións

na súa expresión analítica.

2. Coñecer a composición de funcións e a función inversa dunha dada.


Contidos Criterios


avaliables CC

Funcións elementais.

Composición e función

inversa

- Dominio de definición

dunha función.

- Obtención do dominio

de definición dunha





anacos».


dominio de definición

dunha función e

obtelo a partir da súa


1.1. Obtén o dominio de

definición dunha función

dada pola súa expresión

analítica.

1.2. Recoñece e expresa con

corrección o dominio

dunha función dada

graficamente.

1.3. Determina o dominio

dunha función tendo en

conta o contexto real do

enunciado.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA


367

- Funcións cuadráticas.

Características.


funcións cuadráticas, e

obtención da súa


- Funcións de

proporcionalidade

inversa.

Características.


funcións de

proporcionalidade

inversa, e obtención da

súa expresión

analítica.

- Funcións radicais.

Características.


funcións radicais, e

obtención da súa


- Funcións exponenciais.

Características.


funcións exponenciais,

e recoñecemento como

exponencial dalgunha

función dada pola

gráfica.

- Funcións logarítmicas.

Características.


funcións logarítmicas,

e recoñecemento como

logarítmica dalgunha


gráfica.

- Funcións arco.

Características.

- Relación entre as

funcións arco e as

trigonométricas.

- Composición de

funcións.

- Obtención da función

2. Coñecer as familias de

funcións elementais e

asociar as súas

expresións analíticas

coas formas das súas

gráficas.


función lineal ou

cuadrática á súa



función radical ou de

proporcionalidade

inversa á súa expresión

analítica.


función exponencial ou

logarítmica á súa



función elemental á súa


CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC. CEC

3. Dominar o manexo de

funcións elementais,

así como das funcións

definidas «a anacos».

3.1. Obtén a expresión dunha

función lineal a partir da

súa gráfica ou dalgúns

elementos.

3.2.A partir dunha función

cuadrática dada,

recoñece a súa forma e a

súa posición e

represéntaa.

3.3. Representa unha función

exponencial e unha

función logarítmica

dadas pola súa expresión

analítica.


dunha función cuadrática

ou exponencial a partir

da súa gráfica ou dalgúns

dos seus elementos.


definidas «a anacos» (só

lineais e cuadráticas).


dunha función dada por

un enunciado (lineais,

cuadráticas e

exponenciais).

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

CEC

4. Recoñecer as

transformacións que

se producen nas

gráficas como

4.1. Representa

y=f(x) ± k,

y=f(x ± a) e

y= – f(x) a partir de la

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,


368

composta doutras dúas

dadas.

Descomposición

dunha función nos

seus compoñentes.

- Función inversa ou

recíproca doutra.

- Trazado da gráfica

dunha función

coñecida a da súa

inversa.


analítica de f –1(x),

coñecida f(x).

Transformacións de

funcións

- Coñecendo a


de e f(x),=obtención

das de

y=f(x) +k,

y=k f(x), y=f(x+a),

y=f(–x), y= |f(x)|.

consecuencia

dalgunhas

modificacións nas

súas expresións

analíticas.

gráfica de

y=f(x).

4.2.Representa y= |f(x)| a partir

da gráfica de

y=f(x)..

4.3. Obtén a expresión de y =

|ax+b| identificando as

ecuacións das rectas que

a forman.

CSYC,

CEC

5. Coñecer a composición

de funcións e as

relacións analíticas e

gráficas que existen

entre unha función e a

súa inversa ou

recíproca.

5.1. Compón dúas ou máis

funcións.

5.2. Recoñece unha función

como composta doutras

dúas, en casos sinxelos.


función, representa a da

súa inversa e obtén

valores dunha a partir

dos da outra.


da inversa dunha función

en casos sinxelos.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP,

CEC



Competencia en




coherencia.

Exprésase con coherencia e

corrección cando explica como

desenvolveu unha actividade

da unidade.





comunicativas.

Realiza representacións

gráficas para facerse entender

cando se comunica na aula co

profesor ou cos compañeiros.

Utilizar os coñecementos

sobre a lingua para buscar

información e ler textos en

calquera situación.


previos da lingua para ler

textos, expresións ou gráficos

nos que interveñen funcións

elementais e/ou as súas







formato gráfico.

Asocia ás diferentes funcións

traballadas na unidade as súas

representacións gráficas e

viceversa.


369



Utiliza a notación axeitada

cando realiza as actividades,

sendo os procedementos claros

e eficaces.






preguntas.

Utiliza os seus coñecemento

previos sobre matemáticas

para comprender algunha

funcións novas (parte enteira,

parte decimal, valor

absoluto...) que se atopan

ligadas a situacións do mundo

real.

Competencia dixital




diaria.



facilitarse os cálculos e

representacións e rendibilizar

o seu traballo.



para transmitir informacións

diversas.

Representa funcións en

diferentes canles de


(lapis e papel, imaxes fixas,

vídeos, GeoGebra...).

Competencia para

aprender a aprender




interdependente...

Aplica destrezas de

pensamento creativo para

construír funcións

transformadas ou compostas.



cómpre realizar no proceso

de aprendizaxe.

É consciente de como é o seu

proceso de aprendizaxe e de

que é o que necesita para

aprender, planificando con

anterioridade que recursos

necesita para que o devandito

proceso sexa efectivo.


cívicas





de conflitos.

Comunícase cos compañeiros

e compañeiras de forma activa

cando se desenvolven

situacións de traballo común

na aula.





aprecian.

Atopa no seu contorno máis

próximo situacións que se

poden reflectir mediante as

funcións traballadas na

unidade.


370


culturais



estético.

Representa diferentes funcións

de forma adecuada e prestando

especial atención aos detalles.


Título

Límites de funcións. Continuidade e ramas infinitas


A idea gráfica, tanto de continuidade e descontinuidade como dos distintos tipos de límites e ramas

infinitas, é sinxela e clara. O paso á obtención de métodos analíticos polos que se recoñezan estas

características das funcións a partir das súas expresións analíticas é o contido fundamental desta unidade.

O estudante debe ser consciente do proceso seguido:

- Se a función se nos dá graficamente, apreciamos nela unha serie de características: continuidade,

descontinuidades e os seus tipos, límites nun punto e a súa relación coa continuidade, límites no infinito

e ramas infinitas.

- Estas evidencias gráficas dan lugar a métodos analíticos cos que se pode obter información sobre as

devanditas características a partir da expresión analítica da función.

Con que fin seguimos ese proceso? Pois, se é doado apreciar tales características sobre a gráfica, para que

ir a buscalas nas expresións analíticas, onde resulta difícil e laborioso achalas? Aínda que a resposta é

obvia, debemos subliñala: habitualmente, as funcións dánsenos analítica e non graficamente.

Destacamos como especialmente importantes estas consideracións didácticas:

- O resultado que afirma «todas as funcións definidas polas súas expresións analíticas elementais (é dicir,

todas as que coñecemos ata agora) son continuas en todos os puntos nos que están definidas»

permítenos obter como obvios infinidade de límites nos que non existe indeterminación.

- O interese de recorrer á calculadora para dilucidar o signo nos seguintes casos: algúns límites infinitos

cando x → a pola dereita ou pola esquerda, ou o signo da diferenza entre unha función e a súa asíntota

para situar respecto a esta a rama infinita.

- «O protagonismo dunha función polinómica, cando x→+∞ ou x→ -∞, o desempeña o seu termo de

maior grao». Esta sinxela afirmación resulta sumamente fecunda para o cálculo de límites no infinito

nos que interveñan expresións polinómicas. É desexable que os estudantes o entendan á perfección, e

automaticen o seu uso. E, no posible, o fagan extensivo a outro tipo de funcións.

- Os límites de funcións racionais cando x→ +∞ ou x→ -∞, que o alumnado debe calcular

automaticamente tendo en conta o grao do numerador e do denominador e o valor dos coeficientes de

maior grao en ambos os dous.

- Posto que neste nivel só veremos asíntotas oblicuas en funcións racionais, consideramos que abonda

con aprender a obtención destas mediante o cálculo alxébrico do cociente P(x): Q(x). Non obstante

engádese a definición con límites para aqueles estudantes que queiran saber un pouco máis.

Non é nos procesos matemáticos onde adoitan acharse as maiores dificultades dos estudantes, senón na

correcta interpretación destes e o papel que desempeñan na representación gráfica de funcións. Unha

forma de ir suavizando esta dificultade é, cremos, interpretar graficamente todo resultado analítico que se

obteña.


371

2. TEMPORALIZACIÓN

2.ª, 3.ª e 4.ª semanas de abril.


1. Coñecer os distintos tipos de límites, identificalos sobre a gráfica dunha función, calculalos

analiticamente e interpretar o seu significado.

2. Identificar a continuidade ou a descontinuidade dunha función nun punto.

3. Aplicar o cálculo de límites ao estudo das ramas infinitas de funcións polinómicas e racionais e á súa

representación.


Contidos Criterios


avaliables CC

Continuidade.

Descontinuidades

- Dominio de definición

dunha función.

- Recoñecemento sobre

a gráfica da causa da

descontinuidade

dunha función nun

punto.

- Decisión sobre a

continuidade ou

descontinuidade

dunha función.


nun punto


das distintas

posibilidades de

límites nun punto.

- Cálculo de límites nun

punto:

Defuncións continuas

no punto.

De funcións definidas

a anacos.

De cociente de

polinomios.


en+ ou en – - Representación gráfica

das distintas

1. Coñecer o significado

analítico e gráfico

dos distintos tipos de

límites e

identificalos sobre

unha gráfica.

1.1. Dada a gráfica dunha función

recoñece o valor dos límites

cando

x→+, x→ –,

x→a–, x→a+ ,

x→a.

1.2. Interpreta graficamente

expresións do tipotipo

límx®a

f (x) = b ( e

son +, – o un número),

así como os límites laterais.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC

2. Adquirir certo dominio

do cálculo de límites

sabendo interpretar o

significado gráfico

dos resultados

obtidos.


dunha función continua.

2.2.Calcula o límite nun punto


que se anula o denominador

e non o numerador e

distingue o comportamento

pola esquerda e pola

dereita.



que se anulan numerador e

denominador.

2.4. Calcula os límites cando

x→+ ou

x→ – de funcións

polinómicas. 2.5. Calcula os límites cando

x→+ ou

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC


372

posibilidades de

límites cando x e→+

cando x.→ - Cálculo de límites:

De funcións

polinómicas.

De funcións inversas

de polinómicas.

De funcións racionais.

Ramas infinitas asíntotas

- Obtención das ramas

infinitas dunha

función polinómica

cando x.→ - Obtención das ramas

infinitas dunha

función racional

cando x → c–,

x →c+, x→+ e

x → –.

x→ – de funcións

racionais.

2.6. Calcula o límite de funcións

definidas «a anacos», nun

punto calquera ou cando

x→+ ou

x→ –.


función continua e

identificar a

continuidade ou a

descontinuidade

dunha función nun

punto.

3.1. Dada a gráfica dunha función

recoñece se en certo punto é

continua ou descontinua e

neste último caso identifica

a causa da descontinuidade.

3.2. Estuda a continuidade dunha

función dada «a anacos».

3.3. Estuda a continuidade de

funcións racionais dadas

pola súa expresión analítica.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC

4. Coñecer os distintos

tipos de ramas

infinitas (ramas

parabólicas e ramas

que se cinguen a

asíntotas verticais

horizontais e

oblicuas) e dominar

a súa obtención en

funcións

polinómicas e

racionais.

4.1.Acha as asíntotas verticais

dunha función racional e



4.2. Estuda e representa as ramas

infinitas dunha función

polinómica.


comportamento dunha


x→+ e x→ (Resultado:

ramas parabólicas).


comportamento dunha


x→+ e x→. (Resultado:

asíntota horizontal).


comportamento dunha


x→+ e x→ (Resultado:

asíntota oblicua).

4.6. Acha as ramas infinitas dunha

función racional e



4.7. Estuda e representa as ramas

infinitas en funcións

trigonométricas,

exponenciais e logarítmicas

sinxelas.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP, CEC


373






contexto: quenda de

palabra, escoita atenta ao

interlocutor...


explicacións e as correccións da






Comprende, baseándose nos

seus coñecementos previos, a

que tende o límite dunha función

cando tende a +∞ ou a -∞ cando

a ve representada.





para elaborar textos escritos

e orais.


conceptos relacionados cos


unidade utilizándoos de xeito

adecuado para expresarse, tanto

de forma oral como escrita.











numérica, etc.

Coñece e utiliza de forma

correcta os elementos

matemáticos básicos necesarios

para a unidade: dominio,

continuidade, descontinuidade,

límite, ramas, asíntotas...




cando realiza as actividades e os

procedementos son claros e

eficaces.

Resolver problemas



Utiliza adecuadamente as

técnicas aprendidas para calcular

os elementos que se lle piden en

cada problema proposto.



formato gráfico.

Comprende e interpreta, en

funcións polinómicas e racionais

representadas, por que son

dunha determinada as súas

ramas infinitas e non doutra.


374

Competencia dixital


distintas fontes segundo a

súa fiabilidade.



reflexiona sobre a conveniencia

de utilizar a información

extraída destas.

Manexar ferramentas

dixitais para a construción

de coñecemento.



para complementar e/ou ampliar

información sobre a unidade.

Aprender a aprender




Realiza un mapa mental previo á

unidade cos contidos que posúe

a propósito das funcións para,

deste xeito, saber con certeza cal

é o coñecemento co que parte e

que necesita reforzar para

enfrontarse a esta unidade.





finais da unidade para

autoavaliar os coñecementos

adquiridos.


cívicas


polos máis desfavorecidos

e respecto aos distintos

ritmos e potencialidades.


compañeiras que presentan

algunha dificultade na

consecución dos obxectivos do

tema de forma espontánea.



Mostrar iniciativa persoal

para comezar ou promover

accións novas.

Inventa, de forma espontánea,

pequenas modificacións nas

funcións coas que traballa para

estudar como cambia o

comportamento das súas

asíntotas.


culturais



estético.

Representa funcións

polinómicas e racionais e as súas

asíntotas cando todos os detalles

para que non haxa lugar a

confusión ningunha.


Título

Iniciación ao cálculo de derivadas. Aplicacións



375


A introdución histórica presentada nas páxinas iniciais ten unha especial relevancia para o estudo da

unidade, porque os problemas resoltos por Newton e Leibnitz no século XVII son basicamente os mesmos

que imos utilizar para introducir o concepto de derivada.

Na entrada da unidade o problema Movemento dunha partícula é moi adecuado para aproximarnos á idea

de cambio e variación nun intervalo e nun instante, antes de definir formalmente a TVM e a TVI.

Ademais desta actividade pode ser moi útil comezar coa seguinte:

Sobre un papel cuadriculado e nuns eixes coordenados debúxase unha gráfica. Nun dos seus puntos de

abscisa a trázase a recta tanxente. Áchase a súa pendente, m, tomando como referencia a cuadrícula.

Poñeremos: f'(a) = m. É dicir, antes de dar ningunha definición de derivada, identifícase, de forma

práctica, a derivada dunha función nun punto coa pendente da recta tanxente á súa gráfica nese punto.

A realización de varios exercicios coma este serve para que o alumno saiba a onde se dirixe cando dá os

pasos para achar a derivada mediante o límite do cociente incremental e para destacar que a pendente ou

inclinación da recta tanxente á curva nun punto representa a rapidez de cambio instantáneo. Así pois,

canto maior é a inclinación da recta tanxente nun punto, maior é a rapidez de cambio do valor da función

nas proximidades do punto.

O desenvolvemento desta unidade desde o apartado 1 ao 5 é, por completo, tradicional: expóñense os

elementos teóricos e prácticos necesarios para que o alumnado domine os conceptos de derivada dunha

función nun punto e de función derivada, para que aprenda as regras de derivación, etc.

Nas aplicacións da función derivada, centrarémonos nos aspectos seguintes:

- Ecuación da recta tanxente a unha curva nun punto.

- Obtención dos puntos singulares.

- Crecemento e decrecemento nun punto e nun intervalo.

A unidade remata co apartado 6 dedicado ao estudo e a representación de funcións. Para iso debemos

aproveitar os coñecementos adquiridos sobre límites (continuidade, ramas infinitas) e derivadas para

afrontar o fin principal: a construción de gráficas. Danse os pasos necesarios para representar

sistematicamente dúas grandes familias de funcións, polinómicas e racionais. A súa aprendizaxe será

fundamental para completalo, sen problemas, o próximo curso coa representación doutras funcións.

Preséntanse tamén algúns problemas sobre a optimización de funcións e a regra de L'Hôpital para o

cálculo de límites en casos sinxelos, que o curso próximo trataremos con profundidade.

Nos exercicios e problemas resoltos inclúense problemas sobre a derivada dunha función definida «a

anacos», o estudo do seu derivabilidade e a existencia de «puntos angulosos», e o cálculo de parámetros

para que unha función sexa continua e derivable.

2. TEMPORALIZACIÓN

1.ª, 2.ª e 3.ª semanas de maio.


1. Coñecer e aplicar a definición de derivada dunha función nun punto e interpretala graficamente.

2. Utilizar a derivación para achar a ecuación da recta tanxente a unha curva nun punto, obter os puntos

singulares e os intervalos de crecemento.

3. Integrar todas as ferramentas básicas da análise na representación de funcións e dominar a


376

representación de funcións polinómicas e racionais.



Contidos Criterios




- Cálculo da TVM

dunha función para

distintos intervalos.

- Cálculo da TVM

dunha función para

intervalos moi

pequenos e

asimilación do

resultado á variación

nese punto.

Derivada dunha función

nun punto

- Obtención da variación

nun punto mediante o

cálculo da TVM da

función para un

intervalo variable h e

obtención do límite da

expresión

correspondente cando

h→ 0.

Función derivada

doutras. Regras de

derivación

- Aplicación das regras

de derivación para

achar a derivada de

funcións.

1. Coñecer a definición de

derivada dunha

función nun punto,

interpretala

graficamente e aplicala

para o cálculo de casos

concretos.

1.1. Acha a taxa de

variación media

dunha función nun

intervalo e interprétaa.


dunha función nun

punto a partir da

definición.

1.3. Aplicando a definición

de derivada acha a

función derivada

doutra.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CEC

2. Coñecer as regras de

derivación e utilizalas

para achar a función

derivada doutra.


función sinxela.


función na que

interveñen potencias

non enteiras, produtos

e cocientes.


función composta.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA

3.Utiliza a derivación para

achar a recta tanxente a

unha curva nun punto,

os máximos e os

mínimos dunha

función, os intervalos

de crecemento...

3.1. Acha a ecuación da


curva.

3.2. Localiza os puntos

singulares dunha

función polinómica

ou racional e

represéntaos.

3.3. Determina os tramos

onde unha función

crece ou decrece.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA


377

Aplicacións das

derivadas

- Acha o valor dunha

función nun punto

concreto.

- Obtención da recta

tanxente a unha curva

nun punto.

- Cálculo dos puntos de

tanxente horizontal

dunha función.

Representación de

funcións


funcións polinómicas

de grao superior a

dous.


funcións racionais.

4. Coñecer o papel que

desempeñan as

ferramentas básicas da

análise (límites,

derivadas...) na

representación de

funcións e dominar a

representación

sistemática de funcións

polinómicas e

racionais.


función da que se

coñecen os datos máis

relevantes (ramas

infinitas e puntos

singulares).

4.2. Describe con corrección

todos os datos

relevantes dunha

función dada

graficamente.


función polinómica de

grao superior a dous.



denominador de


rama asintótica.



denominador de


rama parabólica.



denominador de

segundo grao e unha

asíntota horizontal.



denominador de

segundo grao e unha

asíntota oblicua.



denominador de

segundo grao e unha

rama parabólica.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

SIEP,

CEC






contexto: quenda de

palabra, escoita atenta ao

interlocutor...


explicacións e correccións da





378


diversas complexidades

para o seu uso en situacións

cotiás ou de materias

diversas.

Realiza un esquema-resumo

onde explica, coas súas palabras,

como representar funcións de

forma sistemática.



Realiza a lectura comprensiva

dos textos científicos expostos

na unidade e mostra interese por

ler textos complementarios

recomendados polo profesor.









preguntas.

Utiliza a introdución histórica

presentada na unidade para unha

mellor comprensión da

relevancia que ten o estudo das

derivadas na actualidade.

Resolver problemas



Selecciona a estratexia máis

adecuada para enfrontarse a un

problema dependendo do tipo de

función que sexa.



Exprésase co vocabulario

adecuado e de forma correcta

utilizando os conceptos da

unidade.

Competencia dixital


para a busca de

información.



para reforzar e/ou ampliar os


unidade.




diaria.

Utiliza a calculadora para a

aprendizaxe do uso dalgunhas

funcións descoñecidas, que é

esencial neste curso, destacando

positivamente as actividades

interactivas de GeoGebra

incluídas na web da editorial,

que permite a visualización

dinámica e a manipulación das

gráficas.

Aprender a aprender



cómpre realizar no proceso

de aprendizaxe.


resumo/cadro para organizar as


números naturais.


379

Tomar conciencia dos

procesos de aprendizaxe.

Reflexiona sobre como aprendeu

os contidos correspondentes ás

magnitudes de lonxitude,

capacidade e peso para seguir,

da mesma forma, a súa

aprendizaxe respecto ás medidas

de superficie.


cívicas

Aplicar dereitos e deberes

da convivencia cidadá no

contexto da escola.



favorecendo a convivencia nela.





Traballa de forma constante e

non se rende ante calquera

dificultade que poida xurdir.


culturais




(artístico-literaria,

etnográfica, científico-

técnica...), e cara ás persoas

que contribuíron ao seu

desenvolvemento.

Recoñece a importancia de

Newton e Leibnitz no

desenvolvemento da matemática

actual.


Título



A visión intuitiva é básica para unha boa aprendizaxe das distribucións bidimensionais:

- A cada individuo dunha poboación estatística asócianselle dous valores correspondentes a dúas

variables, x e y. Consideradas como coordenadas, dan lugar a un punto (x, y) nun diagrama de eixes

cartesianos. O conxunto de todos os puntos correspondentes á totalidade dos individuos (nube de

puntos) permite visualizar a relación entre as dúas variables: correlación.

- A forma da nube de puntos informa sobre o tipo de correlación: máis ou menos forte, positiva ou

negativa.

- A recta que se adapta á nube de puntos, recta de regresión, marca a tendencia na variación dunha

variable respecto á outra.

Cos problemas que se propoñen para empezar preténdese facer ver en que consiste a correlación, que

pode ser positiva ou negativa, e que a partir da nube de puntos se visualizan moitos matices desa relación.

O primeiro apartado insiste nesa liña pola que, a partir da percepción gráfica da correlación, se chega ás

ideas clave e á nomenclatura básica. De agora en diante, matematízase o proceso: obtéñense fórmulas

para medir a correlación e para obter a recta de regresión.

Para o cálculo dos parámetros, é fundamental o bo manexo da calculadora no modo LR (ou o modo que a


380

túa calculadora use para distribucións bidimensionais). Debe intentarse que o alumnado o consiga sen que

deixe de ter claro o que obtén en cada momento. Suxerimos a seguinte forma de proceder na

presentación, tanto de exercicios propostos para a casa coma nos exames:

- A partir da táboa de valores para as dúas variables, o estudante cubrirá, facendo os cálculos

correspondentes, as primeiras filas (unha, dúas, tres como máximo). É a forma de demostrar que o sabe

facer.

- Despois, preguntando á calculadora, poñerá a suma das distintas columnas para o cálculo dos

parámetros, ponse a fórmula correspondente e substitúense as expresións polos valores situados na

táboa.

En definitiva, aínda que o valor de cada parámetro o achega a calculadora, o alumnado debe mostrar que

o sabe obter e que expón os pasos necesarios para iso.

As táboas de dobre entrada móstranse como curiosidade e acompáñanse coa forma de representar

graficamente a distribución nestes casos, así como o seu tratamento coa calculadora. Non obstante, este

contido queda fóra do que se pretende neste curso.

2. TEMPORALIZACIÓN

4.ª semana de maio e 1.ª semana de xuño.


1. Coñecer as distribucións bidimensionais representalas (a partir de datos dados en táboas ou mediante

táboas de dobre entrada), analizalas polo seu coeficiente de correlación e obter as ecuacións das

rectas de regresión dunha distribución bidimensional para realizar estimacións. Saber valerse da

calculadora para almacenar datos e calcular estes parámetros.


Contidos Criterios




381

Dependencia estatística e

dependencia funcional

- Estudo de exemplos.

Distribucións

bidimensionais

- Representación dunha

distribución

bidimensional mediante

unha nube de puntos.

Visualización do grao de

relación que hai entre as

dúas variables.

Correlación. Recta de

regresión

- Significado das dúas

rectas de regresión.

- Cálculo do coeficiente

de correlación e

obtención da recta de

regresión dunha

distribución

bidimensional.

- Utilización da

calculadora en modo LR

para o tratamento de

distribucións

bidimensionais. - Utilización das

distribucións

bidimensionais para o

estudo e interpretación

de problemas

sociolóxicos científicos

ou da vida cotiá.

Táboas de dobre entrada

- Interpretación.


- Tratamento coa

calculadora.

1. Coñecer as

distribucións

bidimensionais

representalas e

analizalas mediante

o seu coeficiente de

correlación. Saber

valerse da

calculadora para

almacenar datos e

calcular estes

parámetros.

1.1. Representa mediante

unha nube de puntos

unha distribución

bidimensional e avalía

o grao e o signo da

correlación que hai

entre as variables.

Interpreta nubes de

puntos.

1.2. Coñece (con ou sen

calculadora), calcula e

interpreta a covarianza

e o coeficiente de

correlación dunha

distribución

bidimensional.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP,

CEC

2. Coñecer e obter as

ecuacións (con e sen

calculadora) das

rectas de regresión

dunha distribución

bidimensional e

utilizalas para

realizar estimacións.

2.1. Obtén (con ou sen

calculadora) a

ecuación, a recta de

regresión de Y sobre X

e válese dela para

realizar estimacións,

tendo en conta a

fiabilidade dos

resultados.

2.2. Coñece a existencia de

dúas rectas de

regresión, obtenas e

representa, e relaciona

o ángulo entrambas as

dúas co valor da

correlación.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP,

CEC


nos que os datos

veñen dados en

táboas de dobre

entrada.


que os datos veñen

dados en táboas de

dobre entrada.

CCL,

CMCT,

CD,

CAA,

CSYC,

SIEP



Comunicación

lingüística



coherencia.

Exprésase de forma adecuada

cando se refire a contidos da

unidade, presentando coherencia

no seu diálogo. (Correlación,


382

covarianza, coeficiente de

regresión...).

Compoñer distintos tipos de

textos creativamente con

sentido literario.

Compón un texto explicando os

resultados do seu estudo

bidimensional unha vez

calculadas a recta de regresión

de Y sobre X e a de X sobre Y.

Competencia

matemática e



Aplicar métodos de análises

rigorosas para mellorar a



ámbitos (biolóxico, xeolóxico,

físico, químico, tecnolóxico,

xeográfico...).

É metódico cando se enfronta ao

estudo bidimensional dun

problema da vida cotiá.



formato gráfico.

Interpreta correctamente unha

nube de puntos e asocia a esta o

valor do coeficiente de

correlación aproximado.




Aplica as estratexias estudadas

na unidade á hora de resolver

problemas.

Competencia dixital

Elaborar e publicitar

información propia derivada

da obtida a través de medios

tecnolóxicos.

Elabora un díptico cos contidos

da unidade mediante un

programa informático e

preséntao aos seus compañeiros

e compañeiras.




diaria.

Aprende a utilizar a calculadora

en modo LR para o tratamento

de distribucións bidimensionais.

Aprender a aprender


persoais como aprendiz: estilos

de aprendizaxe, intelixencias

múltiples, funcións

executivas...

Pensa sobre como, ao longo do

curso, foron os seus estilos de

aprendizaxe e realiza unha

reflexión sobre iso, para ser

consciente de como aprende

mellor e que necesita reforzar

para próximos cursos.


cívicas




traballo e para a resolución de

conflitos.

Comunícase cos seus

compañeiros de forma activa

cando se desenvolven situacións

de traballo común na aula.


383




encomendadas e dar conta

delas.

Asume cales son as súas

responsabilidades cando realiza

un traballo en grupo e plasma

nel cales foron estas, así como o

grao de consecución destas.


coordinando tarefas e tempos.

Coordina adecuadamente o

tempo e as tarefas de cada

compoñente cando realiza

actividades grupais.


culturais




científico.


evolución da estatística

unidimensional a bidimensional

xa que esta última favorece o

estudo e interpretación de

problemas sociolóxicos

científicos ou da vida cotiá.

METODOLOXÍA

Os materiais que se presentan como base para o texto de Matemáticas do curso 1.º de Bacharelato de Ciencias

e Tecnoloxía están realizados a partir da experiencia dos autores en clases con alumnos e alumnas de esas



distintas partes:

- breves introducións que centran e dan sentido e apoio intuitivo ao que se fai,




As dificultades encadéanse coidadosamente, procurando arrancar “do que o alumno xa sabe”. A redacción é

clara e sinxela, e inclúense uns “problemas complementarios” que lles permitirán enfrontarse por si mesmos

ás dificultades




- Discusións entre profesor e alumnos e entre os propios alumnos.






384



- Libro do alumnado para Matemáticas I. - Web do alumnado para Matemáticas I; esta web inclúe:



- Recursos para cada unidade, con contidos de repaso, actividades, proxectos de traballo, autoavaliacións,

problemas guiados, autoavaliacións inicial e final, resumos e enlaces a programas para xerar contidos.

- Web do profesorado para Matemáticas I. Esta web, ademais de ofrecer todos os recursos incluídos na web

do alumnado, inclúe outros expresamente destinados aos docentes, como o solucionario de todas as

actividades propostas no libro do alumnado, bibliografía comentada, enderezos de Internet comentados e

diversas ferramentas dixitais para o exercicio da actividade docente


385

2º BACHARELATO

2º BACHARELATO-MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CCSS II

OBXECTIVOS XERAIS PARA A MATERIA DE MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS

SOCIAIS

- Aplicar a situacións diversas os contidos matemáticos para analizar, interpretar e valorar fenómenos sociais,

co obxecto de comprender os retos que formula a sociedade actual.

- Adoptar actitudes propias da actividade matemática como a visión analítica ou a necesidade de verificación.

Asumir a precisión como un criterio subordinado ao contexto, as apreciacións intuitivas como un argumento

a contrastar e a apertura a novas ideas como un reto.

- Elaborar xuízos e formar criterios propios sobre fenómenos sociais e económicos, utilizando tratamentos

matemáticos. Expresar e interpretar datos e mensaxes, argumentando con precisión e rigor e aceptando

discrepancias e puntos de vista diferentes como un factor de enriquecemento.

- Formular hipóteses, deseñar, utilizar e contrastar estratexias diversas para a resolución de problemas que

permitan enfrontarse a situacións novas con autonomía, eficacia, confianza en si mesmo e creatividade.

- Utilizar un discurso racional como método para abordar os problemas: xustificar procedementos, encadear

unha correcta liña argumental, achegar rigor aos razoamentos e detectar inconsistencias lóxicas.

- Facer uso de variados recursos, incluídos os informáticos, na busca selectiva e o tratamento da información

gráfica, estatística e alxébrica nas súas categorías financeira, humanística ou doutra índole, interpretando

con corrección e profundidade os resultados obtidos dese tratamento.

- Adquirir e manexar con fluidez un vocabulario específico de termos e notacións matemáticos. Incorporar

con naturalidade a linguaxe técnica e gráfica a situacións susceptibles de ser tratadas matematicamente.

- Utilizar o coñecemento matemático para interpretar e comprender a realidade, establecendo relacións entre

as matemáticas e o ámbito social, cultural ou económico e apreciando o seu lugar, actual e histórico, como

parte da nosa cultura.

COMO CONTRIBÚE A MATERIA Á CONSECUCIÓN DAS COMPETENCIAS










No proxecto de Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais para 2.º de Bacharelato, tal e como suxire a lei,

potenciouse o desenvolvemento das competencias de comunicación lingüística, competencia matemática e

competencias básicas en ciencia e tecnoloxía; ademais, para alcanzar unha adquisición eficaz das

competencias e a súa integración efectiva no currículo, incluíronse actividades de aprendizaxe integradas que

permitirán ao alumnado avanzar cara aos resultados de aprendizaxe de máis dunha competencia ao mesmo

tempo. Para valoralos, utilizaranse os estándares de aprendizaxe avaliables, como elementos de maior

concreción, observables e medibles, poñeranse en relación coas competencias clave, permitindo graduar o


386

rendemento ou o desempeño alcanzado en cada unha delas.

A materia de Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais II utiliza unha terminoloxía formal que permitirá ao

alumnado incorporar esta linguaxe ao seu vocabulario, e utilizalo nos momentos adecuados coa suficiente

propiedade. Así mesmo, a comunicación dos resultados das actividades e/ou problemas e outros traballos que

realicen favorece o desenvolvemento da competencia en comunicación lingüística.






ademais de permitir que o alumnado se familiarice cos diferentes códigos, formatos e linguaxes nas que se





científica.

A adquisición da competencia para aprender a aprender fundaméntase nesta materia no carácter

instrumental de moitos dos coñecementos científicos. Ao mesmo tempo, operar con modelos teóricos fomenta

a imaxinación, a análise, os dotes de observación, a iniciativa, a creatividade e o espírito crítico, o que favorece



Esta materia favoréceo traballo en grupo, onde se fomenta o desenvolvemento de actitudes como a










A achega matemática está presente en multitude de producións artísticas, así como as súas estratexias e

procesos mentais fomentan a conciencia e expresión cultural das sociedades. Igualmente o alumnado,

mediante o traballo matemático poderá comprender diversas manifestacións artísticas sendo capaz de utilizar

os seus coñecementos matemáticos na creación das súas propias obras

SECUENCIACIÓN DE CONTIDOS

A Matemática é unha disciplina que require para o seu desenvolvemento unha gran lóxica interna. Esa mesma

lóxica é aplicable á secuenciación de contidos para a súa aprendizaxe. Non por casualidade o primeiro dos

bloques nos que dividimos a materia no primeiro curso é o correspondente á Aritmética e á Álxebra: nel

establecemos as bases da linguaxe matemática.

Cabe destacar o gran protagonismo que se dá neste proxecto á Estatística (bloque III), ao ser esta a parte das

Matemáticas que máis frecuentemente se utiliza nas ciencias sociais. Ademais, dótanse os alumnos e as


387

alumnas de ferramentas básicas para o estudo e representación das funcións.

Como complemento ao estudo dos contidos que permiten ao estudante alcanzar as capacidades propostas como

obxectivos, desenvolvemos un tema inicial dedicado á resolución de problemas. Non hai mellor forma de

iniciar un curso de matemáticas que facendo matemáticas: consellos útiles, estratexias que se deben ou poden

seguir, liñas de razoamento, crítica ante as solucións... son elementos que os alumnos e as alumnas aprenderán

e utilizarán durante todo o curso.

CONTIDOS DE 2.º DE BACHARELATO


- Algúns consellos para resolver problemas.

- Etapas na resolución de problemas.

- Análise dalgunhas estratexias para resolver problemas.

I. ÁLXEBRA

Sistemas de ecuacións. Método de Gauss

- Sistemas de ecuacións lineais.

- Posibles solucións dun sistema de ecuacións lineais.

- Sistemas graduados.

- Método de Gauss.

- Discusión de sistemas de ecuacións.

Álxebra de matrices

- Nomenclatura. Definicións.

- Operacións con matrices.

- Propiedades das operacións con matrices.

- Matrices cadradas.

- n-uplas de números reais.

- Rango dunha matriz.

- Forma matricial dun sistema de ecuacións.

Resolución de sistemas mediante determinantes.

- Determinantes de orde dous.

- Determinantes de orde tres.

- Menor complementario e adxunto.

- Desenvolvemento dun determinante polos elementos dunha liña.

- O rango dunha matriz a partir dos seus menores.

- Criterio para saber se un sistema é compatible.

- Regra de Cramer.

- Sistemas homoxéneos.

- Discusión de sistemas mediante determinantes.

- Cálculo da inversa dunha matriz.


388

Programación lineal

- En que consiste a programación lineal? Algúns exemplos.

- Programación lineal para dúas variables. Enunciado xeral.

II. ANÁLISE

Límites de funcións. Continuidade

- Idea gráfica dos límites de funcións.

- Sinxelas operacións con límites.

- Indeterminacións.

- Comparación de infinitos. Aplicación aos límites cando x → ± .

- Cálculo de límites cando x → +.

- Cálculo de límites cando x → −


- Cálculo de límites cando x → c.

Derivadas. Técnicas de derivación

- Derivada dunha función nun punto.

- Función derivada.



- Recta tanxente a unha curva.

- Crecemento e decrecemento dunha función nun punto.

- Máximos e mínimos relativos dunha función.

- Información extraída da segunda derivada.

- Optimización de funcións.


- Elementos fundamentais para a construción de curvas.

- O valor absoluto na representación de funcións.



- Representación doutros tipos de funcións.

Integrais

- Primitivas. Regras básicas para o seu cálculo.

- Área baixo unha curva. Integral definida dunha función.

- Función “área baixo unha curva”.

- Cálculo da área entre unha curva e o eixe X.

- Cálculo da área comprendida entre dúas curvas.


389

III. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE


- Experiencias aleatorias. Sucesos.

- Frecuencia e probabilidade.

- Lei de Laplace.

- Probabilidade condicionada. Sucesos independentes.

- Probas compostas.

- Probabilidade total.

- Probabilidades “a posteriori”. Fórmula de Bayes.

As mostras estatísticas

- O papel das mostras.

- Como deben ser as mostras?

- Tipos de mostraxes aleatorias.

- Técnicas para obter unha mostra aleatoria dunha poboación finita.

- Mostras e estimadores.

Inferencia estatística. Estimación da media

- Distribución normal. Repaso de técnicas básicas.

- Intervalos característicos.

- Distribución das medias mostrais.

- En que consiste a estatística inferencial?

- Intervalo de confianza para a media.

- Relación entre nivel de confianza, erro admisible e tamaño da mostra.

Inferencia estatística. Estimación dunha proporción

- Distribución binomial. Repaso de técnicas básicas para a mostraxe.

- Distribución das proporcións mostrais.

- Intervalo de confianza para unha proporción ou unha probabilidade.

- En que consiste un test de hipóteses estatístico?


390

Temporalización - Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais II


CONTIDOS DATAS

APROXIMADAS

PRIMEIRO



Resolución de sistemas mediante

determinantes


Ata o 1 de decembro

SEGUNDO





Integrais

Do 1 de decembro

ata o 15 de marzo

TERCEIRO




Inferencia estatística. Estimación dunha

proporción

Do 15 de marzo ao

10 de maio


Unidade 1:


Título


Descrición da unidade O estudante deste nivel, antes de comezar a estudar as técnicas que aquí se dan, sabe resolver ecuacións e

sistemas. Os métodos que espontaneamente utiliza son os que coñece desde terceiro de secundaria:

substitución, redución... e con eles pode resolver sistemas de varias ecuacións e varias incógnitas.

É importante, e así pretendemos reflectilo no texto, que o estudante considere perfectamente válidos todos

os métodos que coñece e vexa os novos como unha mellora natural daqueles. Por iso presentamos o método

de Gauss como unha xeneralización do método de redución, que permite chegar a un sistema de ecuacións

no cal cada ecuación ten unha incógnita menos que a anterior e, polo tanto, se pode resolver graduadamente.

É moi importante que os alumnos e as alumnas distingan os diferentes tipos de sistemas de ecuacións:

incompatibles ou compatibles e, dentro destes, determinados ou indeterminados. E que saiban recoñecer

como é cada un dos que se lle presentan. Para iso resulta moi útil a referencia xeométrica; rectas para as

ecuacións con dúas incógnitas e planos para as de tres. O feito de que os estudantes non coñezan a xeometría

analítica do espazo non supón ningunha traba para a interpretación xeométrica dunha ecuación lineal con

tres incógnitas como un plano e a relación que hai entre os distintos tipos de sistemas de ecuacións lineais


391

con tres incógnitas e as posicións en que poden estar dous ou máis planos.

A resolución de sistemas de ecuacións, xunto coa adquisición de ideas moi claras sobre o tipo de sistema

de que se trata (compatible, incompatible...), culmínase coa discusión de sistemas dependentes dun

parámetro, onde hai que xuntar destrezas na aplicación de técnicas e o dominio de conceptos.

Volveremos a isto, con mellores ferramentas, na unidade 3, onde se poderán utilizar determinantes.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 3.ª e a 4.ª semanas de setembro.


1. Resolver sistemas de ecuacións lineais polo método de Gauss, interpretar xeometricamente as súas

solucións para 2 e 3 incógnitas e aplicar estes coñecementos á resolución de problemas alxébricos.



Contidos Criterios

de avaliación

Estándares de



lineais



manteñen a equivalencia.

- Sistema compatible,

incompatible, determinado,

indeterminado.

- Interpretación xeométrica

dun sistema de ecuacións

con 2 ou 3 incógnitas

segundo sexa compatible

ou incompatible,

determinado ou

indeterminado.

Sistemas graduados

- Transformación dun

sistema noutro equivalente

graduado.

Método de Gauss

- Estudo e resolución de

sistemas polo método de

Gauss.


dependentes dun parámetro

- Concepto de discusión dun

sistema de ecuacións.

1. Dominar os conceptos

e a nomenclatura

asociados aos sistemas

de ecuacións e as súas

solucións (compatible,

incompatible,

determinado,

indeterminado...), e

interpretar

xeometricamente

sistemas de 2 e 3

incógnitas.

1.1. Recoñece se un

sistema é

incompatible ou

compatible e, neste

caso, se é

determinado ou

indeterminado.

CAA,

CMCT,

CCL,

CSC 1.2. Interpreta

xeometricamente

sistemas lineais de

2, 3 ou 4 ecuacións

con 2 ou 3

incógnitas.

2. Coñecer e aplicar o

método de Gauss para

estudar e resolver


lineais.


ecuacións lineais

polo método de

Gauss. CMCT,

CCL,

CSC

2.2. Discute sistemas de

ecuacións lineais

dependentes dun

parámetro polo

método de Gauss.


alxébricos mediante


3.1. Expresa

alxebricamente un

enunciado mediante

un sistema de

ecuacións, resólveo

CAA,

CMCT,

CCL


392

- Aplicación do método de

Gauss á discusión de

sistemas dependentes dun

parámetro.


mediante ecuacións

- Tradución a sistema de

ecuacións dun problema,

resolución e interpretación

da solución.

e interpreta a

solución dentro do

contexto do

enunciado.


Competencia Descriptor Desempeño




Resolver problemas



- Integra os coñecementos

previos sobre álxebra e

resolución de problemas e

aplícaos para resolver

problemas de sistemas de

ecuacións lineais.

Competencia en




- Identifica os datos e deduce

a situación problemática

formulada polo problema da

lectura do enunciado.

Competencia dixital



coñecemento.

- Realiza os exercicios

propostos en formato dixital

para amplicar e consolidar

coñecemento.


culturais








desenvolvemento.

- Identifica e aprecia as

contribucións históricas das

distintas civilizacións ao

desenvolvemento da álxebra.


cívicas



ideas.

- Ten en conta as ideas dos

seus compañeiros e

compañeiras e considéraas

para resolver exercicios de

distinto xeito á que

formulara inicialmente.


393




tarefa e ter confianza nas


obxectivos.

- Asume a resolución dun

problema como un reto

persoal e transmite a súa

motivación aos seus

compañeiros e compañeiras

por conseguir a solución.

Competencia para

aprender a aprender


necesarios e os pasos que se

deben realizar no proceso de

aprendizaxe.

- Elabora un plan persoal para

abordar cada exercicio ou

problema, e explícao

argumentadamente.

Unidade 2:


Título



Na unidade anterior aparecen as matrices como forma de expresar sinteticamente un sistema de ecuacións.

As transformacións que nelas se realizan para despexar as incógnitas (método de Gauss) non son operacións

de matrices, senón transformacións en sistemas de ecuacións.

Nesta unidade preséntanse as matrices como datos estruturados e, a continuación, afóndase nelas definindo

unhas operacións que responden a útiles manipulacións que permiten obter resultados perfectamente

identificables a partir dos datos dun problema.

A suma e o produto por un número defínense de forma natural. Non obstante, o produto de matrices parece

máis artificioso. Por iso se lle dedica máis espazo e atención, tanto para aprender o seu proceso de obtención

(o produto dun vector fila por un vector columna prepara eficazmente o procedemento do produto de dúas

matrices calquera) como o significado que ten este produto en diversos contextos.

As propiedades das operacións están cargadas de contido teórico, prescindible para os estudantes menos

interesados. É necesario, non obstante, insistir na non conmutatividade do produto e nas repercusións que

trae á hora de despexar unha matriz incógnita nunha ecuación matricial.

O mesmo método de Gauss que utilizamos na unidade anterior para transformar un sistema de ecuacións

lineais noutro equivalente a el, pero graduado, serviranos agora para obter a inversa dunha matriz cadrada.

Na unidade 3 aprenderase a calculala coa axuda dos determinantes. Cada profesor ou profesora decidirá se

aos seus estudantes lles mostra un método, outro ou ambos os dous.

O estudo do rango dunha matriz será moi útil para a discusión de sistemas de ecuacións. Para realizalo de

forma adecuada, foi necesario falar das n-uplas de números reais como vectores e da súa dependencia ou

independencia lineal.

Nesta unidade, o cálculo do rango realízase mediante o método de Gauss. Na próxima unidade

aprenderemos a facelo coa axuda dos determinantes.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 1.ª e a 2.ª semanas de outubro.



394

1. Coñecer as matrices, as súas operacións e aplicacións e utilizalas para resolver problemas.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Matrices

- Conceptos básicos:

matriz fila, matriz

columna, dimensión,

matriz cadrada,

trasposta, simétrica,

triangular...

Operacións con matrices

- Suma, produto por un

número, produto.

Propiedades.

- Resolución de

ecuacións matriciais.

Matrices cadradas

- Matriz unidade.

- Matriz inversa doutra.

- Obtención da inversa

dunha matriz polo

método de Gauss.

n-uplas de números reais

- Dependencia e


- Obtención dunha

n-upla combinación

lineal doutras.

- Constatación de se un

conxunto de n-uplas é

LD ou LI.

Rango dunha matriz

- Obtención do rango

dunha matriz por

observación dos seus

elementos (en casos

evidentes).

- Cálculo do rango dunha

matriz polo método de

Gauss.


eficazmente as

matrices, as súas

operacións e as súas

propiedades.


combinadas con

matrices (elementais). CCL,

CAA,

CMCT,

CSIEE

1.2. Calcula a inversa

dunha matriz polo

método de Gauss.


matriciais.


de rango dunha matriz

e calculalo mediante o

método de Gauss.

2.1. Calcula o rango dunha

matriz numérica.

CAA,

CMCT,

CSIEE,

CD


matriz que depende

dun parámetro.

2.3. Relaciona o rango

dunha matriz coa

dependencia lineal das

súas filas ou das súas

columnas.



matrices e as súas

operacións.

3.1. Expresa un enunciado

mediante unha

relación matricial e,

nese caso, resólveo e

interpreta a solución

dentro do contexto do

enunciado. CCL,

CAA,

CMCT,

CSIEE



395







- Integra e utiliza con

precisión novos termos

matemáticos.

Competencia en




- Segue de xeito autónomo e

comprende os pasos dos

exercicios guiados de

aplicación de conceptos

novos para el.

Competencia dixital



coñecemento.

- Emprega os recursos dixitais

facilitados ou busca outros

por iniciativa propia, para

facilitar a comprensión de

novos contidos.


culturais



estético.

- Coida a presentación estética

e a orde na realización de

exercicios.


cívicas

Mostrar dispoñibilidade para

a participación activa en

ámbitos de participación

establecidos.

- Mostra interese pola

unidade, participa de xeito

voluntario e realiza

preguntas de aclaración ou

afondamento.



Ser constante no traballo,


- Móstrase perseverante na

realización dos exercicios da

álxebra de matrices.

Competencia para

aprender a aprender

Xerar estratexias para



- Desenvolve estratexias

persoais para abordar temas

ou contidos novidosos.

Unidade 3:


Título

Resolución de sistemas mediante determinantes

Descrición da unidade Os contidos desta unidade (os determinantes e as súas aplicacións) non entran propiamente no programa

de Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais. Polo tanto, pódese prescindir dela. Non obstante, coñecendo

o desexo dunha boa parte do profesorado, incluímola para achegar unhas ferramentas coas que se consegue

maior potencia e eficacia no estudo dos sistemas de ecuacións.

Na segunda páxina motívase o estudo dos determinantes pola relación entre a compatibilidade dun sistema

de dúas ecuacións con dúas incógnitas e o feito de que o valor do correspondente determinante de orde

dous sexa, ou, non distinto de cero.


396

Estas postas en situación, que consisten en animar os estudantes a que, cos seus propios medios e unha

pequena axuda, cheguen a resultados básicos que despois serán expostos con maior xeneralidade, son de

gran valor didáctico.

No desenvolvemento da unidade prepárase o estudante para calcular determinantes de ordes 2 e 3. A

propiedade que permite desenvolver un determinante polos elementos dunha liña prepara para o cálculo de

determinantes de orde 4.

Os determinantes aplicaranse ao cálculo do rango dunha matriz, á aplicación do teorema de Rouché, á regra

de Cramer (só sistemas 2 2 ou 3 3) e ao cálculo da inversa dunha matriz cadrada.

Prescindiuse, no posible, de xustificacións teóricas, poñendo a énfase na aplicación práctica, para achegar

aos alumnos e alumnas maior potencia á hora de resolver sistemas de ecuacións.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 3.ª e a 4.ª semanas de outubro.


1. Coñecer os determinantes e o seu cálculo e aplicalos ao manexo das matrices (rango, inversa) e á

resolución de sistemas de ecuacións (Rouché, Cramer).



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Determinantes de ordes dous

e tres

- Determinantes de orde dous

e de orde tres. Propiedades.

- Cálculo de determinantes de

orde tres pola regra de

Sarrus.

Determinantes de orde catro

- Menor dunha matriz. Menor

complementario e adxunto

dun elemento dunha matriz

cadrada. Propiedades.

- Desenvolvemento dun

determinante de orde catro

polos elementos dunha liña.

Rango dunha matriz

mediante determinantes

- O rango dunha matriz como

a máxima orde dos seus

menores non nulos.

- Determinación do rango

1. Coñecer os

determinantes, o

seu cálculo e a

súa aplicación á

obtención do

rango dunha

matriz.

1.1. Calcula determinantes

de ordes 2 2 e

3 3.

CCL,

CAA,

CMCT,

CSIEE.

1.2. Recoñece as

propiedades que se

utilizan en igualdades

entre determinantes

(casos sinxelos).


matriz.

1.4. Discute o rango dunha

matriz dependente dun

parámetro.

2. Calcular a

inversa dunha

matriz mediante

determinantes.

Aplicalo á

resolución de

ecuacións

matriciais.

2.1. Recoñece a existencia

ou non da inversa dunha

matriz e calcúlaa de ser

o caso. CSIEE,

CAA,

CMCT 2.2. Expresa matricialmente

un sistema de ecuacións

e, se é posible, resólveo


397

dunha matriz a partir dos

seus menores.

Teorema de Rouché


Rouché á discusión de


Regra de Cramer

- Aplicación da regra de

Cramer á resolución de

sistemas determinados.



sistemas indeterminados.

Sistemas homoxéneos


homoxéneos.

Discusión de sistemas


Rouché e da regra de Cramer

á discusión e resolución de

sistemas dependentes dun

parámetro.

Cálculo da inversa dunha

matriz

- Expresión da inversa dunha

matriz a partir dos adxuntos

dos seus elementos. Cálculo.

achando a inversa da

matriz dos coeficientes.

3. Coñecer o

teorema de

Rouché e a regra

de Cramer e

utilizalos para a

discusión e

resolución de

sistemas de

ecuacións.


Rouché para dilucidar

como é un sistema de

ecuacións lineais con

coeficientes numéricos.

CAA,

CCL,

CSIEE,

CD

3.2. Aplica a regra de

Cramer para resolver un


lineais con solución

única.

3.3. Estuda e resolve, se é o

caso, un sistema de


coeficientes numéricos.

3.4. Discute e resolve un


dependente dun

parámetro.








- Escribe matrices e

determinantes de xeito

correcto e distingue con

claridade a súa

nomenclatura.

Competencia en




coherencia.

- Explica con precisión os

pasos realizados para

resolver un sistema.

Competencia dixital

Aplicar criterios éticos no

uso das tecnoloxías.

- Fai uso dos recursos dixitais

(calculadora, web...) con

criterio e poñéndoos ao

servizo da aprendizaxe.


398


culturais




científico.

- Identifica as achegas

históricas do uso de

determinantes na resolución

de sistemas lineais.


cívicas




e potencialidades.

- Respecta os ritmos de

aprendizaxe alleos e traballo

na aula.



Dirimir a necesidade de

axuda en función da

dificultade da tarefa.

- Intenta resolver as

dificultades ou dúbidas que

xorden na realización dos

exercicios de xeito

autónomo.

Competencia para

aprender a aprender

Xestionar os recursos e as

motivacións persoais en

favor da aprendizaxe.

- Emprega as súas

motivacións persoais para

afrontar as tarefas

complexas con actitude

positiva.

Unidade 4:


Título



Os problemas de programación lineal que trataremos neste curso seguen unha pauta moi parecida:

enúnciase unha situación na que aparecen dúas variables suxeitas a certas restricións dadas de forma

explícita ou implícita, e certa magnitude que se quere conseguir que sexa máxima ou mínima (óptima,

segundo os termos do problema). A resolución é tamén repetitiva: as restricións dan lugar a un recinto plano

cuxos puntos son as verdadeiras posibilidades de actuación. Pero só un deles (ou algúns, en certos casos)

dan lugar ao óptimo buscado.

Por iso, decidimos comezar a unidade co estudo moi detallado dun problema que, co obxecto de facelo

máis intelixible para os estudantes, o escollemos de forma diofántica (é dicir, que só admite solucións

enteiras). Coa resolución deste problema, e doutros moi similares, xorden todas as peculiaridades dos

problemas de programación lineal con dúas incógnitas que, a continuación, se expoñen de forma xeral.

Hai poucos exercicios e problemas propostos antes do final da unidade. Esta diferenza notable respecto ao

resto de unidades do libro débese á peculiaridade do tema que se trata: cremos que o mellor xeito de

entender o proceso é que o estudante repita razoadamente os exercicios cuxa resolución serve de

explicación do procedemento utilizado e resolva de forma autónoma, moi concienciudamente, algún deles.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 1.ª e a 2.ª semanas de novembro.


1. Coñecer os fins e métodos da programación lineal e aplicalos á resolución de sinxelos problemas con


399

dúas variables.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Elementos básicos

- Función obxectivo.

- Definición de

restricións.

- Rexión de validez.

Representación gráfica

dun problema de

programación lineal


das restricións mediante

semiplanos.


do recinto de validez

mediante intersección

de semiplanos.

- Situación da función

obxectivo sobre o

recinto de validez para

encontrar a solución

óptima.

Álxebra e programación

lineal


alxébrica de enunciados

susceptibles de ser

interpretados como

problemas de

programación lineal e a

súa resolución.

1. Dados un sistema de

inecuacións lineais e

unha función

obxectivo, G,

representar o recinto de

solucións factibles e

optimizar G.

1.1. Representa o

semiplano de

solucións dunha

inecuación lineal ou

identifica a inecuación

que corresponde a un

semiplano.

CCEC,

CCL,

CAA,

SEIP,

CMCT

1.2. A partir dun sistema

de inecuacións,

constrúe o recinto de

solucións e

interprétaas como

tales.

1.3. Resolve un problema

de programación

lineal con dúas

incógnitas descrito de

forma meramente

alxébrica.



dados mediante un

enunciado,

enmarcando a solución

dentro deste.



dados mediante un

enunciado sinxelo. CD,

CMCT,

CCL,

CAA



dados mediante un

enunciado algo

complexo.









- Contextualiza a aprendizaxe

do tema en situacións reais,

encontra exemplos e

aplicacións próximos.


400

Competencia en




- Identifica os datos relevantes

do problema e expresa coas

súas propias palabras a

situación problemática.

Competencia dixital



coñecemento.

- Reforza e consolida a

aprendizaxe con ferramentas

dixitais.


culturais








desenvolvemento.

- Identifica aplicacións reais e

achegas á vida cotiá da

programación lineal.


cívicas





de conflitos.

- Mostra unha actitude

dialogante e aberta ante

ideas diferentes para

resolver os problemas

formulados.





propias.

- Identifica e pon en xogo de

xeito eficaz as súas

fortalezas no contexto da


Competencia para

aprender a aprender



pasos seguintes en función

dos resultados intermedios.

- Segue os pasos establecidos

na formulación dun

problema e avalía a

coherencia e achega de cada

paso, adaptando o método de

xeito pertinente conforme a

cada situación.

Unidade 5:


Título



En primeiro curso, estes estudantes aprenderon as nocións básicas sobre límites e continuidade de funcións.

Neste curso afiánzanse os coñecementos anteriores e afóndase algo neles.

É fundamental que o cálculo numérico de límites vaia acompañado dunha idea clara do que se está a facer.

Por iso se insiste na visión gráfica destes: as páxinas iniciais dedícanse, exclusivamente, a afianzar a

asociación da expresión correcta de cada tipo de límite coa súa imaxe gráfica. Ademais, nos distintos

apartados, insístese na descrición verbal do significado dos límites.

Non nos pareceu necesario (nin conveniente) que estes estudantes de Ciencias Sociais afonden no rigor

matemático. Por iso, omitimos as definicións rigorosas dos límites, conformándonos coa súa descrición


401

intuitiva.

No cálculo de límites chegouse algo máis alá do que viron no primeiro curso: estúdanse os conceptos de

«infinitos da mesma orde» e de «infinitos de orde superior a outro», co fin de facilitar o cálculo de límites

inmediatos nos que se operen expresións infinitas. Para iso sistematizáronse os resultados máis importantes

das operacións con límites (finitos ou infinitos).

Ademais dos límites de cocientes de polinomios víronse os límites de diferenzas de fraccións alxébricas e

dalgunhas potencias elementais. Non entramos nas indeterminacións do tipo ( )(1) .

Nas aplicacións dos límites á continuidade conformámonos co imprescindible. Cremos importante resaltar

algunhas consideracións didácticas que xa defendemos en primeiro curso:

- O resultado que afirma que «todas as funcións definidas polas súas expresións analíticas elementais (é

dicir, todas as que coñecemos ata agora) son continuas en todos os puntos nos que están definidas» nos

permite obter como obvios infinidade de límites nos que non existe indeterminación.

- Pódese recorrer á calculadora para dilucidar o signo de límites infinitos cando x →a pola dereita ou pola

esquerda.

- «O protagonismo dunha función polinómica, cando x→+ou x→−, desempéñao o seu termo de maior

grao». Esta sinxela afirmación resulta sumamente fecunda para o cálculo de límites no infinito con

expresións polinómicas. É desexable que os estudantes o entendan á perfección, automaticen o seu uso

e, no posible, o fagan extensivo a outro tipo de funcións.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 3.ª e 4.ª semanas de novembro.


1. Revisar os conceptos e procedementos ligados aos límites de funcións e amplialos con novas técnicas.

2. Afondar na continuidade de funcións co teorema de Bolzano e as propiedades que deste se derivan.



Contidos Criterios

de avaliación

Estándares de


Límite dunha

función

- Límite dunha función

cando x→+, x→− ou

x→a


- Límites laterais.

- Operacións con límites

finitos.

Expresións infinitas

- Infinitos da mesma orde.

1. Comprender o

concepto de límite nas

súas distintas versións

de modo que se asocie

a cada un deles unha


adecuada.

1.1. Representa

graficamente límites

descritos

analiticamente. CAA,

CMCT,

CCEC 1.2. Representa

analiticamente

límites de funcións

dadas graficamente.

2. Calcular límites de

diversos tipos a partir

da expresión analítica

da función.

2.1. Calcula límites

inmediatos que só

requiren coñecer os

resultados operativos

e comparar infinitos.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC,


402

- Infinito de orde superior a

outro.

- Operacións con

expresións infinitas.

Cálculo de límites

- Cálculo de límites

inmediatos (operacións

con límites finitos

evidentes ou comparación

de infinitos de distinta

orde).

- Indeterminación.

Expresións

indeterminadas.

- Cálculo de límites cando

x→+ o x→−:

- Cocientes de polinomios

ou doutras expresións

infinitas.

- Diferenzas de


- Potencias.


x→a–, x→a+, x→a:

- Cocientes.

- Diferenzas.

- Potencias sinxelas.

Continuidade.

Descontinuidades

- Continuidade nun punto.

Causas de

descontinuidade.

- Continuidade nun

intervalo.


(x→+ ou x→−)

de cocientes, de

diferenzas e de

potencias.

CSIEE


(x→c) de cocientes,

de diferenzas e de

potencias

distinguindo, se o

caso o esixe, cando

x→c+ e cando

x→c−.


de continuidade nun

punto, relacionándoo

coa idea de límite, e

identificar a causa da

descontinuidade.

Estender o concepto á

continuidade nun

intervalo.

3.1. Recoñece se unha

función é continua

nun punto ou, se non

o é, a causa da

descontinuidade.

CMCT,

CD,

CAA,

CSC,

CSIEE

3.2. Determina o valor

dun parámetro para

que unha función

definida «a anacos»

sexa continua no

«punto de empalme».






Resolver problemas



- Aplicar con rigor as

estratexias traballadas na

aula para resolver os

exercicios formulados,

seleccionando a máis

adecuada en cada momento

con criterio.


403

Competencia en




- Entende as indicacións e

explicacións orais no cálculo

de límites e estudo de

continuidade e aplícaas

cando corresponde.

Competencia dixital



fiabilidade.

- Reflexiona sobre cales son

as súas fontes de

información e establece

criterios propios para

discernir a súa fiabilidade.


culturais



estético.

- Coida a presentación dos

exercicios en canto a

limpeza e claridade, o que

facilita a comprensión dos

contidos traballados neles.


cívicas



persoal e cultural.

- Identificar as achegas de

diversas culturas e de

científicos no

desenvolvemento da

disciplina de análise

matemática.





- Identifica as achegas para a

súa aprendizaxe que

propoñen os problemas

guiados do tema.

Competencia para

aprender a aprender






- Desenvolve e aplica

estratexias para realizar un

menor número de erros no

desenvolvemento dos

exercicios á hora de calcular

límites ou estudar a

continuidade dunha función.

Unidade 6:


Título



A unidade comeza asentando a definición de derivada mediante o límite do cociente incremental, definindo

as derivadas laterais e relacionando derivabilidade con continuidade.

Complétase este primeiro apartado co estudo da derivabilidade das funcións definidas a anacos nos puntos

de “empalme”. Esta cuestión, aínda que enfocada de forma moi práctica, ten unha clara implicación teórica

pois vese con nitidez que para que unha función sexa derivable nun punto, en primeiro lugar debe ser

continua nel e, ademais, as súas derivadas laterais deben coincidir.


404

Despois, defínense a función derivada e as derivadas sucesivas. A nomenclatura Df para referirnos á

derivada de f é útil cando a función vén dada pola súa expresión analítica. O apóstrofo (') serve para

modificar o nome (f' é outra función que «se deriva», que provén de f) e non é razoable utilizalo como

operador. É dicir, aínda que ás veces o utilicemos, non é formalmente correcto poñer (3x2 – 5x + 1)' cando

se desexa derivar esa expresión; debe poñerse D(3x2 – 5x +1).

E por último, repásanse as regras de derivación que xa se coñecían do curso anterior. Agora móstranse de

forma máis sistemática e, sobre todo, practícanse moi abundantemente. Preténdese que o estudante se sinta

capaz de achar a función derivada de calquera función elemental. De feito, na práctica da derivación irase

moito máis alá do que estes alumnos e alumnas poidan necesitar.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 1.ª e a 2.ª semanas de decembro.


1. Revisar o concepto e ampliar os métodos para o cálculo das derivadas de funcións.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC


nun punto

- Taxa de variación

media.

- Derivada dunha función

nun punto.

Interpretación.

Derivadas laterais.

- Obtención da derivada

dunha función nun

punto a partir da

definición.

- Estudo da

derivabilidade dunha

función nun punto

estudando as derivadas

laterais.

Derivabilidade das


anacos»

- Estudo da


función definida a

anacos no punto de

empalme.


asociados á derivada

dunha función:

derivada nun punto,

derivadas laterais,

función derivada...


función á da súa

función derivada.

CCL,

CD,

CMCT,

CAA


función nun punto a

partir da definición

(límite do cociente

incremental).

1.3. Estuda a


función definida «a

anacos», recorrendo ás

derivadas laterais no

«punto de empalme».




derivada doutra.


función na que

interveñen potencias,

produtos e cocientes. CCL,

CD,

CMCT,

CAA


función composta.


405

- Obtención da súa

función derivada a

partir das derivadas

laterais.

Función derivada

- Derivadas sucesivas.


aproximada da función

derivada doutra dada

pola súa gráfica.

Regras de derivación

- Regras de derivación

das funcións elementais

e dos resultados

operativos.

5. COMPETENCIAS / DESCRIPTORES / DESEMPEÑOS







- Utiliza con precisión e

corrección a nomenclatura e

simboloxía matemática das

derivadas.

Competencia en





escoita atenta ao

interlocutor...

- Respecta as normas de

comunicación nas

interaccións cos seus


na aula (respecta a quenda

de palabra, diríxese con

respecto ao alumnado, o ton

empregado é adecuado...).

Competencia dixital



coñecemento.

- Utiliza os recursos dixitais

para adestrar e afianzar o

cálculo de derivadas.


culturais



estético.

- Coida a orde nos seus

exercicios e valórao.


cívicas




e potencialidades.

- Axuda aos seus compañeiros

e compañeiras a resolver as

súas dificultades no cálculo

de derivadas, ben na

aplicación de fórmulas, ben

na simplificación alxébrica

de resultados.





- Acepta a aprendizaxe como

un reto e é constante no seu


406

esforzo.

Competencia para

aprender a aprender




- Elabora e aplica estratexias

de creación propia para

deducir e lembrar as

fórmulas das funcións

derivadas.

Unidade 7:


Título



As primeiras aplicacións da derivada que se ven nesta unidade son sinxelas e xa coñecidas polos estudantes.

Revísanse, complétanse e fundaméntanse con certo rigor os seguintes contidos:

- Recta tanxente a unha curva nun punto.

- Intervalos de crecemento e decrecemento.

- Máximos e mínimos relativos. Unha vez identificados os puntos de derivada nula, recórrese ao signo de

f en puntos moi próximos (á esquerda e á dereita de cada un deles) para descubrir o tipo de punto singular

do que se trata'.

Ademais, estúdase a información que se pode obter da segunda derivada: concavidade, convexidade e

puntos de inflexión.

Para finalizar a unidade, trabállase a optimización de funcións. Ao alumnado debe quedarlle moi claro que

unha función definida nun intervalo (e sono a maioría das funcións que se pretenden optimizar) pode

alcanzar o máximo, o mínimo ou ambos os dous nos extremos deste. Non adoita ser necesario recorrer á

segunda derivada para descubrir se certo punto singular é máximo ou mínimo. Consideracións do tipo: «A

función é derivable. A súa derivada só se anula en c, e f(c) é maior que o valor de f nos extremos do intervalo.

Polo tanto, f(c) é máximo», son absolutamente suficientes para caracterizar máximos ou mínimos.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 2.ª e a 3.ª semanas de xaneiro.


1. Aplicar as derivadas para obter información sobre aspectos gráficos das funcións (crecemento,

concavidade...) e para optimizar funcións.



Contidos Criterios Estándares de aprendizaxe CC


407

de avaliación avaliables

Aplicacións da primeira

derivada

- Obtención da tanxente a

unha curva nun dos seus

puntos.

- Identificación de puntos

ou intervalos nos que a

función é crecente

(decrecente).

- Obtención de máximos

e mínimos relativos.

Aplicacións da segunda

derivada

- Identificación de puntos

ou intervalos nos que a

función é cóncava ou

convexa.

- Obtención de puntos de

inflexión.

Optimización de

funcións

- Cálculo dos extremos

dunha función nun

intervalo.

- Optimización de

funcións definidas


1. Achar a ecuación da


curva nun dos seus

puntos.

1.1. Dada unha función,

acha a ecuación da

recta tanxente nun dos

seus puntos.

CAA,

CMCT,

CCL

2. Coñecer as

propiedades que

permiten estudar

crecementos,

decrecementos,

máximos e mínimos

relativos, tipo de

curvatura, etc., e

sabelas aplicar en

casos concretos.


sabe decidir se é

crecente ou

decrecente, cóncava

ou convexa, nun punto

ou nun intervalo,

obtén os seus

máximos e mínimos

relativos e os seus

puntos de inflexión.

CAA,

CCL,

CSIEE,

CD

3. Dominar as estratexias

necesarias para

optimizar unha

función.

3.1. Dada unha función

mediante a súa

expresión analítica ou

mediante un

enunciado, encontra

en que casos presenta

un máximo ou un

mínimo.

CAA,

CCL,

CSIEE,

CD






Aplicar métodos científicos







- Elabora hipóteses sobre a

función despois dun estudo

analítico desta.

Competencia en




coherencia.

- Describe con claridade as

características da función

estudada utilizando

derivadas.


408

Competencia dixital



coñecemento.

- Apóiase nos recursos dixitais

facilitados ou buscados por

el mesmo para afondar nas

aplicacións da derivada ao

estudo dunha función.


culturais


expresións artísticas e as

manifestacións de



- Aprecia e goza da estética

que presenta a resolución de

problemas, como unha

argumentación lóxica e unha

exposición de xeito

ordenado.


cívicas



ideas.

- Acepta de bo grao outras

opinións ou ideas sobre os

problemas que está a realizar

e integra as súas achegas no

seu método de traballo.




posibilidades desde

coñecementos previos dun

tema.

- Integra coñecementos

previos na resolución de

exercicios.

Competencia para

aprender a aprender



- Realiza autoavaliacións

adaptadas ao seu nivel de

coñecementos de xeito

crítico e construtivo.

Unidade 8:


Título



En unidades anteriores, e tamén durante o curso pasado, aprendeuse unha serie de ferramentas para

construír curvas. Nesta unidade retómanse, sistematízanse e danse pautas para a súa utilización racional.

Na segunda páxina da unidade proponse un par de exercicios para reforzar a asociación entre a forma dunha

curva e a descrición dos seus elementos (asíntotas e outras ramas infinitas, puntos singulares, puntos de

inflexión, cortes cos eixes...) mediante límites e mediante valores da función, da súa derivada e da súa

segunda derivada. Este tipo de exercicios son moi útiles porque o estudante afianza o coñecemento do papel

que xoga cada unha destas técnicas analíticas na representación de gráficas. Así, cando deban utilizalas con

este fin, terán moi claro que buscan en cada momento e que conseguen con cada resultado. A práctica deste

tipo de exercicios pódese prolongar do seguinte modo: cada estudante inventa unha gráfica e debúxaa.

Descríbea mediante límites e valores de f e f'. Intercambia descricións cun compañeiro ou compañeira e

esmérase en debuxar a que se lle deu descrita. Despois xúntanse e comparan cada gráfica. Se coinciden,

ben. Se non coinciden, onde está o erro, na descrición ou na interpretación? É esta unha interesante forma

de autocorrixirse. Na maior parte dos casos non adoita ser necesaria a arbitraxe do profesor ou profesora.

Na primeira epígrafe formula como representar unha función que vén dada pola súa expresión analítica. Os

trazos da curva vanse perfilando «facéndolle preguntas» á función. Para iso posúese unha serie de


409

ferramentas cuxo coñecemento é como o panel no que o artesán sitúa todos os seus instrumentos: ten moi

claro cales son e para que serve cada un, pero rara vez terá que botar man de todos eles (para cada tarefa

requirirá, só, algunhas ferramentas). Do mesmo xeito, as alumnas e os alumnos deben acostumarse a

reflexionarse antes de empezar a súa tarefa (a representación dunha curva concreta), preguntándose cales

son as súas características e, polo tanto, que instrumentos deben utilizar e en que orde. Coa práctica irán

adquirindo «oficio».

Un adestramento especial nalgúns tipos de funcións (polinómicas, racionais, trigonométricas, con radicais,

exponenciais...) iranos familiarizando coas peculiaridades de cada unha delas.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 4.ª semana de xaneiro e a 1.ª semana de febreiro.


1. Coñecer o papel que desempeñan as ferramentas básicas da análise na representación de funcións e

dominar a representación sistemática de funcións polinómicas, racionais, trigonométricas, con radicais,

exponenciais...



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Ferramentas básicas


curvas

- Dominio de definición,

simetrías, periodicidade.

- Ramas infinitas:

asíntotas e ramas

parabólicas.

- Puntos singulares,

puntos de inflexión,

cortes cos eixes...

Representación de

funcións


funcións polinómicas.



- Representación doutros

tipos de funcións.


desempeñan as


análise (límites,

derivadas...) na

representación de


representación


polinómicas, racionais,

con radicais,

exponenciais,

trigonométricas...


polinómicas.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSC.


racionais.


trigonométricas.


exponenciais.

1.5. Representa outros

tipos de funcións.




410






formato gráfico.

- Describe con precisión as

características dunha función

representada e aplica este

coñecemento no proceso

inverso para a súa

representación.

Competencia en







orais.

- Expresa con corrección

lingüística e claridade cada

paso realizado no estudo

dunha función para a súa

representación e describe o

proceso coa súa propia

linguaxe.

Competencia dixital



- Utiliza as correccións das

autoavaliacións e os

exercicios en formato dixital

para realizar unha avaliación

crítica das súas

aprendizaxes.


culturais




científico.

- Aprecia a evolución das

matemáticas de

representación de funcións e

o impacto que iso tivo no

desenvolvemento doutras

disciplinas.


cívicas

Concibir unha escala de

valores propia e actuar

conforme a ela.

- Demostra ter un hábito de

traballo, entrega as súas

tarefas, realiza as actividades

encomendadas, mostrando

sentido de responsabilidade

e non por obriga.






- Identifica con antelación as

necesidades de recursos e

apoios que vai necesitar para

realizar os exercicios

propostos.

Competencia para

aprender a aprender




- Solicita axuda aos seus


ou ao profesorado só despois

de intentar resolver as

dificultades por si mesmo,

consultar o texto, buscar

información...

Unidade 9:



411

Título

Integrais


Nesta unidade preténdese introducir as integrais desde dous puntos de vista:

- Concepto e cálculo de primitivas como proceso inverso á derivación.

- Integral como área baixo a gráfica correspondente a unha función.

E, sobre todo, a conexión entre ambas as dúas vertentes, que se concreta no teorema fundamental do cálculo

e a regra de Barrow.

A actividade que presentamos na segunda páxina, («Dous trens»), serve para ver a relevancia da área baixo

a gráfica dunha función. Está concibida de maneira que, en principio, pareza que se produce un

comportamento estraño (por que diminúe a súa velocidade o tren rápido e, non obstante, o outro non?),

pero, tras analizar a situación, todo cadra: o tren de pasaxeiros percorre en dúas horas a mesma distancia

que o de mercadorías en tres horas. É dicir, ambos os dous diminúen a velocidade no mesmo lugar (a 240

km da saída) e durante o mesmo tramo (15 km). Polo tanto, pódese facer a hipótese de que hai obras na

vía, o cal obriga ambos os dous trens a reducir a súa marcha. A magnitude que serve para aclarar as cousas,

distancia percorrida, é a área baixo a curva velocidade.

O desenvolvemento da unidade comeza coa iniciación ao cálculo de primitivas, epígrafe coa que se

pretende que se aprenda a obter primitivas inmediatas (∫cosx = sen x), case inmediatas (∫cos (ax + b) = (1/a)

sen (ax + b)) e de expresións compostas, recoñecendo a derivada da función sobre a que actúa o factor

integrado (∫cos (3x – 5) = sen (3x – 5) = ...).

Co apartado seguinte preténdese que o alumnado:

- Comprenda o papel que desempeña a área baixo unha curva en moitas funcións concretas.

- Se familiarice coa función área baixo a curva, F(x), e as relacións coa función inicial, f(x).

- Chegue, pois, á convicción de que F' (x) = f(x).

Unha vez adquirido o coñecemento intuitivo ao que nos referimos no parágrafo anterior, xa se pode

enunciar o teorema fundamental do cálculo. A regra de Barrow é unha consecuencia inmediata e, para os

estudantes, un instrumento sinxelo e eficaz para o cálculo de áreas, coas súas correspondentes aplicacións.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 2.ª e a 3.ª semanas de febreiro.


1. Coñecer as integrais na súa dobre vertente, primitivas e integral definida. Relacionalas mediante o

teorema fundamental do cálculo e dominar sinxelos procedementos para a obtención de primitivas e

para calcular áreas.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC


412

Primitiva dunha

función

- Cálculo de primitivas

de funcións elementais.

- Cálculo de primitivas

de funcións compostas.

Área baixo unha curva

- Relación analítica entre

a función e a área

baixo a curva.

- Identificación da

magnitude que

representa a área baixo

a curva dunha función

concreta. (Por

exemplo: baixo unha

función v-t, a área

significa v · t, é dicir,

espazo percorrido.)

Teorema fundamental

do cálculo

- Dada a gráfica dunha

función y=f (x), elixir

correctamente, entre

varias, a gráfica de

y=F (x), sendo

( ) ( )= x

aF x f x dx

.

- Construción

aproximada da gráfica

de ( )

x

af x dx

a partir

da gráfica de y=f (x).

Regra de Barrow


Barrow para o cálculo

automático de integrais

definidas.

Área encerrada por

unha curva

- O signo da integral.

Diferenza entre

“integral” e “área

encerrada pola curva”.

- Cálculo da área

encerrada entre unha

curva, o eixe X e dúas

1. Coñecer o concepto e a

nomenclatura das

primitivas (integrais

indefinidas) e dominar a

súa obtención (para

funcións elementais e

algunhas funcións

compostas).

1.1. Acha a primitiva

(integral indefinida)

dunha función

elemental. CAA,

CCL,

CMCT,

CCEC


dunha función na que

deba realizar unha

substitución sinxela.

2. Coñecer o proceso de

integración e a súa

relación coa área baixo

unha curva.

2.1. Asocia unha integral

definida á área dun

recinto sinxelo.

CAA,

CCL,

CSIEE,

CMCT,

CD

2.2. Coñece a regra de

Barrow e aplícaa ao

cálculo das integrais

definidas.

3. Dominar o cálculo de

áreas comprendidas

entre dúas curvas e o

eixe X nun intervalo.

3.1. Acha a área do recinto

limitado por unha

curva e o eixe X nun

intervalo.

CD,

CAA,

CCEC,

CSC,

CSIEE

3.2. Acha a área

comprendida entre

dúas curvas.


413

abscisas. - Cálculo da área

encerrada entre dúas

curvas.








- Emprega a simboloxía

matemática da unidade con

precisión, aplicando

coñecementos previos e

novos sobre o tema.

Competencia en




coherencia.

- Explica os pasos realizados

na resolución de exercicios

de cálculo de integrais ou

resolución de problemas de

áreas con precisión e

coherencia.

Competencia dixital



coñecemento.

- Utiliza os recursos dixitais á

súa disposición para adestrar

as estratexias de integración

de funcións.


culturais



estético.

- Coida a orde e a estética na

realización dos exercicios

(sitúa os símbolos de

integración á altura

adecuada, escribe con

claridade...).


cívicas



ideas.

- Respecta e aprecia diversas

maneiras de abordar os

exercicios propostos e

comparte as súas ideas.





- Persiste no cálculo de

integrais superando

bloqueos e dificultades e

non abandona o exercicio

sen intentar outros camiños

para a resolución.

Competencia para

aprender a aprender




- Elabora estratexias persoais

para a resolución de

integrais e exponas

razoadamente.

Unidade 10:


414


Título



Na páxina introdutoria proponse calcular a probabilidade dun suceso (que unha moeda toque raia ao caer

sobre unha cuadrícula) co fin de que se obteña por dous camiños distintos:

- Mediante experimentación (danse datos para que o estudante só realice a experiencia se ten unha expresa

curiosidade por facelo).

- Mediante un cálculo matemático (casos favorables partido por casos posibles).

Cremos importante que os alumnos e as alumnas deste nivel saiba que a probabilidade real dun suceso só

se pode descubrir mediante experimentación. A lei de Laplace (ou a xeneralización desta que se realiza na

resolución deste problema) é só aplicable a casos ideais. Cando a aplicamos a dados, moedas, naipes, urnas,

estamos supoñendo que son correctos, é dicir, ideais.

Nos primeiros apartados fundaméntase teoricamente o cálculo de probabilidades: álxebra de sucesos e

estudo das leis da probabilidade inspiradas nas propiedades das frecuencias relativas.

Os mellores estudantes poderán demostrar axiomaticamente a cadea de teoremas que se enuncian (T1 a

T7).

A probabilidade condicionada, coa súa aplicación ás táboas de continxencia, sucesos dependentes e

independentes, a fórmula da probabilidade total e a fórmula de Bayes completan o percorrido teórico desta

unidade.

O máis importante desta, cremos, é a resolución de problemas de probabilidade polo método que sexa, con

tal de que se faga de xeito comprensivo. Para iso, hai gran cantidade de problemas resoltos e propostos,

tanto ao longo do desenvolvemento teórico como ao final deste.

Hai moitos problemas de probabilidade, de aparencia moi complexa, que quedan notablemente

simplificados se a experiencia global se considera descomposta nunha secuencia de experiencias sinxelas

cuxas probabilidades son moi fáciles de obter. Para iso, resulta moi útil o diagrama en árbore, cuxo uso

permite resolver con facilidade problemas que, en principio, parecen moi complicados.

Deste xeito chégase mesmo a resolver razoadamente, de forma intuitiva, os típicos problemas de

probabilidades «a posteriori» sen coñecer sequera a fórmula de Bayes. Se se segue este proceso, a

formalización ou non da fórmula correspondente dependerá do desexo de pechar teoricamente a unidade,

pero non da necesidade da fórmula para resolver os problemas.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 4.ª semana de febreiro e a 1.ª semana de marzo.


1. Coñecer os conceptos de probabilidade condicionada, dependencia e independencia de sucesos,

probabilidade total e probabilidade «a posteriori» e utilizalos para calcular probabilidades.



Contidos Criterios Estándares de CC


415

de avaliación aprendizaxe avaliables

Sucesos


- Recoñecemento e obtención

de sucesos complementarios

incompatibles, unión de

sucesos, intersección de

sucesos...

- Propiedades das operacións

con sucesos. Leis de

Morgan.

Lei dos grandes números

- Frecuencia absoluta e

frecuencia relativa dun

suceso.


Lei dos grandes números.

- Propiedades da

probabilidade.

- Xustificación das

propiedades da

probabilidade.

Lei de Laplace

- Aplicación da lei de Laplace

para o cálculo de

probabilidades sinxelas.

- Recoñecemento de

experiencias nas que non se

pode aplicar a lei de Laplace.

Probabilidade condicionada

- Dependencia e

independencia de dous

sucesos.


condicionadas.

Fórmula da probabilidade

total


totais.

Fórmula de Bayes

- Cálculo de probabilidades «a

posteriori».


- Posibilidade de visualizar

graficamente procesos e

relacións probabilísticos:

1. Coñecer e aplicar a

linguaxe dos sucesos

e a probabilidade

asociada a eles así

como as súas

operacións e

propiedades.

1.1. Expresa mediante

operacións con

sucesos un

enunciado. CCL,

CAA,

CMCT,

CD

1.2. Aplica as leis da

probabilidade para

obter a

probabilidade dun

suceso a partir das

probabilidades

doutros.

2. Coñecer os

conceptos de

probabilidade

condicionada,

dependencia e

independencia de

sucesos,

probabilidade total e

probabilidade «a

posteriori» e

utilizalos para

calcular

probabilidades.

2.1. Aplica os conceptos

de probabilidade

condicionada e

independencia de

sucesos para achar

relacións teóricas

entre eles.

CCL,

CAA,

CMCT,

CD

2.2. Calcula

probabilidades

formuladas

mediante

enunciados que

poden dar lugar a

unha táboa de

continxencia.

2.3. Calcula

probabilidades

totais ou «a

posteriori»

utilizando un

diagrama en árbore

ou as fórmulas

correspondentes.


416

táboas de continxencia.

- Manexo e interpretación das

táboas de continxencia para

formular e resolver algúns

tipos de problemas de

probabilidade.

Diagrama en árbore



relacións probabilísticos.

- Utilización do diagrama en

árbore para describir o

proceso de resolución de

problemas con experiencias

compostas. Cálculo de

probabilidades totais e

probabilidades «a

posteriori».











preguntas.

- Define de xeito crítico e

argumentado a súa visión

persoal sobre o azar e o

cálculo de probabilidades

aplicado a contextos reais,

pon exemplos e dá razóns

para apoiar os seus

argumentos.

Competencia en




- Reformula os enunciados

dos problemas coas súas

propias palabras mostrando

comprendelos.

Competencia dixital



- Mostra ter criterio para o uso

adecuado das ferramentas

tecnolóxicas ao servizo da


probabilidade.


culturais








desenvolvemento.

- Coñece os autores máis

relevantes na historia do

cálculo de probabilidades, as

súas achegas e motivacións

para traballar esta disciplina.


417


cívicas




e potencialidades.

- Mostra unha actitude

respectuosa ante os distintos

ritmos de aprendizaxe e

traballo que se dan na clase.



Asumir riscos no

desenvolvemento das tarefas

ou os proxectos.

- Afronta os problemas de

probabilidade como un reto

asumindo riscos á hora de

inicar os procesos de

resolución, utilizando

estratexias diverxentes ou

ideas propias.

Competencia para

aprender a aprender



- Verbaliza os seus logros e

bloqueos na resolución de

exercicios, problemas e na

comprensión de contidos de

probabilidade.

Unidade 11:


Título



Nesta unidade aproxímase o alumnado ao papel que xogan as mostras no proceso de inferencia estatística.

Hai un primeiro achegamento, de tipo conceptual, no que, con exemplos e situacións concretas, se propicia

a comprensión das características das mostras:

- O papel que desempeñan as mostras como «indicios» do que acontece na poboación.

- Por que é interesante (e con frecuencia imprescindible) recorrer a unha mostra para ter información da

poboación?

- É posible conseguir unha notable calidade de información sobre a poboación a partir dunha mostra, con

tal de que sexa representativa.

- Importancia da aleatoriedade na elección dos elementos da mostra. Distintos tipos de mostraxe aleatoria.

Uso da calculadora (tecla RAN) para «sortear» números.

A continuación procédese a un tratamento máis sistemático e procedemental sobre a mostraxe e os seus

tipos:

- Mostraxe aleatoria simple.

- Mostraxe aleatoria sistemática.

- Mostraxe aleatoria estratificada.

Preténdese que os estudantes deseñen mostraxes en situacións concretas, valéndose da calculadora (ou o

ordenador) para sortear números.

2. TEMPORALIZACIÓN


418

A 2.ª e a 3.ª semanas de marzo.


1. Coñecer o papel das mostras, o seu tratamento e o tipo de conclusións que delas poden obterse para a

poboación.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC

Poboación e mostra

- O papel das mostras.

- Por que se recorre ás

mostras? Identificación,

en cada caso, dos

motivos polos que un

estudo se analiza a

partir dunha mostra en

vez de sobre a

poboación ao completo.

Características

relevantes dunha mostra

- Tamaño. Constatación

do papel que xoga o

tamaño da mostra.

- Aleatoriedade.

Distinción de mostras

aleatorias doutras que

non o son.

Mostraxe. Tipos de

mostraxe aleatoria

- Mostraxe aleatoria

simple.


sistemática.


estratificada.

- Utilización dos números

aleatorios para obter ao

azar un número de entre

N.

1. Coñecer o papel das

mostras, as súas

características, o

proceso da mostraxe e

algúns dos distintos

modos de obter

mostras aleatorias

(sorteo, sistemático,

estratificado).

1.1. Identifica cando un

colectivo é poboación

ou é mostra, razoa por

que se debe recorrer a

unha mostra nunha

circunstancia concreta,

comprende que unha

mostra debe ser

aleatoria e dun tamaño

adecuado ás

circunstancias da

experiencia.

CCL,

CMCT,

CAA

1.2. Describe, calculando

os elementos básicos,

o proceso para realizar

unha mostraxe por

sorteo, sistemático ou

estratificado.




419









preguntas.

- Utiliza de xeito argumentado

os coñecementos sobre

mostras estatísticas para

realizar críticas sobre

procesos estatísticos reais.

Competencia en




coherencia.

- Utiliza a linguaxe con

precisión e corrección

lingüística para responder

aos exercicios propostos.

Competencia dixital




diaria.

- Busca e manexa recursos

dixitais por iniciativa propia

que faciliten o proceso

estatístico.


culturais








desenvolvemento.

- Percibe a importancia da

estatística no contexto actual

e as achegas á ciencia na súa

evolución histórica.


cívicas

Coñecer as actividades

humanas, adquirir unha idea

da realidade histórica a partir

de distintas fontes, e

identificar as implicacións

que ten vivir nun Estado

social e democrático de

dereito referendado por unha

constitución.

- Aplica os coñecementos

estatísticos á comprensión e

análise dos procesos de

participación democrática.




posibilidades desde


tema.

- Realiza achegas sobre os

exercicios e contidos de

xeito orixinal e con

propostas creativas.

Competencia para

aprender a aprender



- Móstrase consciente dos

seus coñecementos

adquiridos e dos non

adquiridos en relación coa

unidade.

Unidade 12:


Título




420

Nesta unidade danse os primeiros pasos na inferencia estatística estimando a media dunha poboación a

partir dunha mostra.

Toda a inferencia estatística deste nivel se apoia na distribución normal. Por iso, é fundamental que se

domine con absoluta soltura. A unidade comeza cunha revisión das técnicas para calcular probabilidades

en distribucións normais, prestando unha atención moi especial á obtención de intervalos característicos,

que van resultar claves para todo tipo de situacións.

A distribución das medias das mostras de certo tamaño (teorema central do límite) é o resultado no que se

apoiará a estimación das medias. Trabállase con el a varios niveis:

- Intuitivamente. Na páxina inicial estúdase o comportamento das medias das puntuacións obtidas ao lanzar

un, dous, tres ou catro dados. É unha forma estupenda de aproximarse ao teorema central do límite desde

unha situación moi coñecida

- Conceptualmente. Enúnciase o teorema e reflexiónase sobre as súas consecuencias.

- Procedementalmente. A partir de poboacións concretas analízanse as distribucións das súas medias

mostrais e obtéñense intervalos característicos 𝑥para.

Finalmente chégase á parte principal da unidade: a obtención de intervalos de confianza para μ a partir

dunha mostra, e o cálculo do tamaño da mostra a partir da cal se pretende realizar unha estimación con

certas condicións.

A novidade e complexidade do tema obrigounos a non afondar nas repercusións que ten o substituír a

desviación típica poboacional, σ, cando é descoñecida, pola desviación típica mostral, s.

2. TEMPORALIZACIÓN

As 2.ª, 3.ª e 4.ª semanas de abril.


1. Tomando como base a curva normal e o coñecemento teórico da distribución das medias mostrais,

realizar inferencias estatísticas sobre o valor da media dunha poboación a partir dunha mostra.



Contidos Criterios

de avaliación

Estándares de



- Manexo destro da

distribución normal.

- Obtención de intervalos

característicos.

Teorema central do

límite

- Comportamento das

medias das mostras de

tamaño n: teorema

1. Coñecer as

características da

distribución normal,

interpretar os seus

parámetros e utilizala

para calcular

probabilidades con

axuda das táboas.

1.1. Calcula

probabilidades

nunha distribución

N( ) . CAA,

CCL,

CMTC

1.2. Obtén o intervalo

característico

( k)

correspondente a

certa

probabilidade.


421

central do límite. - Aplicación do teorema

central do límite para a

obtención de intervalos

característicos para as

medias mostrais.

Estatística inferencial

- Estimación puntual e

estimación por intervalo.

. Intervalo de confianza.

. Nivel de confianza.

- Descrición de como

inflúe o tamaño da

mostra nunha

estimación: como varían

o intervalo de confianza

e o nivel de confianza.

Intervalo de confianza

para a media

- Obtención de intervalos

de confianza para a

media.

Relación entre o tamaño

da mostra, o nivel de

confianza e a cota de erro

- Cálculo do tamaño da

mostra que debe

utilizarse para realizar

unha inferencia con

certas condicións de erro

e de nivel de confianza.


teorema central do

límite para describir o

comportamento das

medias das mostras de

certo tamaño extraídas

dunha poboación de

características

coñecidas.

2.1. Describe a

distribución das

medias mostrais

correspondentes a

unha poboación

coñecida (con n

30 ou ben coa

poboación

normal), e calcula

probabilidades

relativas a elas.

CCL,

CAA,

SIEP,

CSYC,

CMCT 2.2. Acha o intervalo

característico

correspondente ás

medias de certo

tamaño extraídas

de certa poboación

e correspondente a

unha

probabilidade.

3. Coñecer, comprender

e aplicar a relación

que existe entre o

tamaño da mostra, o

nivel de confianza e o

erro máximo

admisible na

construción de

intervalos de

confianza para a

media.

3.1. Constrúe un

intervalo de

confianza para a

media coñecendo a

media mostral, o

tamaño da mostra e

o nivel de

confianza. SIEP,

CSYC,

CMCT 3.2. Calcula o tamaño

da mostra ou o

nivel de confianza

cando se coñecen

os demais

elementos do

intervalo.








- Analiza procesos estatísticos

de actualidade con

argumentos matemáticos.

Competencia en







- Describe por escrito con

claridade e corrección os

pasos que cómpre realizar

nun exercicio.


422

orais.

Competencia dixital

Comprender as mensaxes que

veñen dos medios de

comunicación.

- Realiza un comentario

crítico das noticias dos

medios de comunicación con

contido estatístico, pon

exemplos de actualidade e

aplica os contidos

traballados en contextos

diversos.


culturais




científico.

- Aprecia o valor do rigor

matemático na comprensión

do mundo actual.


cívicas



conforme a ela.

- Elabora opinións e criterios

propios en relación á

estatística e o seu uso en

contextos actuais.



Optimizar o uso de recursos

materiais e persoais para a

consecución de obxectivos.

- Emprega coñecementos e

recursos adaptados ao seu

nivel de coñecementos para

resolver os exercicios e

problemas propostos.

Competencia para

aprender a aprender



- Autoavalía con sentido

crítico e construtivo os seus


Unidade 13:


Título

Inferencia estatística. Estimación dunha proporción


O desenvolvemento desta unidade é similar ao da anterior, dándose aquí os pasos necesarios para estimar

proporcións dunha poboación a partir dunha mostra.

Comézase, na segunda páxina, vendo unha serie de situacións nas que se relaciona a proporción de

individuos con certa característica nunha poboación coa correspondente proporción na mostra. Estes

exemplos xustifican a necesidade de dominar a distribución binomial para proceder a este estudo.

Polo tanto, a primeira epígrafe da unidade é a revisión da distribución binomial e de como, en certos casos,

se aproxima a unha normal.

Como consecuencia (segunda epígrafe), para unha poboación coñecida, as proporcións mostrais, en certos


423

casos, distribúense de forma aproximadamente normal, o que permite obter intervalos característicos que

respondan a esixencias xustificadas.

Deste modo estase en condicións de dar o paso contrario: a partir dunha mostra sobre a que se calcula unha

proporción, estimar a proporción da poboación mediante un intervalo de confianza. Tamén aquí nos vemos

obrigados a evitar algunhas xustificacións ou a simplificar algúns procesos:

- Na construción dos intervalos de confianza, posto que a proporción da poboación, p, non é coñecida (é,

precisamente, o que se está a estimar), recorremos á da mostra.

- Aínda que as posibles proporcións mostrais seguen unha distribución discreta (por tomar valores 0/n, 1/n,

2/n..., n/n), tratámolas como «normais» sen efectuar ningún tipo de axuste.

Esperamos que estas simplificacións parezan razoables pois, aínda así, xa é moito o esforzo que deben

realizar os estudantes para abranguer toda esta materia.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 1.ª, 2.ª e 3.ª semanas de maio.


1. Tomando como base a distribución binomial e a súa aproximación á curva normal, deducir a

distribución de proporcións mostrais e, a partir dela, inferir unha proporción (ou unha probabilidade)

nunha poboación a partir dunha mostra.



Contidos Criterios

de avaliación


avaliables CC


- Aproximación á

normal.

- Cálculo de

probabilidades nunha

distribución binomial

mediante a súa

aproximación á normal

correspondente.

Distribución de

proporcións mostrais

- Obtención de

intervalos

característicos para as

proporcións mostrais.

Intervalo de confianza

para unha proporción

(ou unha

probabilidade)

1. Coñecer as

características da

distribución binomial

B (n, p), a obtención

dos parámetros, e

e a súa similitude

cunha normal

( ),N np npq cando

n · p 5.

1.1. Dada unha distribución

binomial, recoñece a

posibilidade de

aproximala por unha

normal, obtén os seus

parámetros e calcula


dela.

CCL,

CAA,

CSC,

CMCT


e aplicar as

características da

distribución das

proporcións mostrais

e calcular

probabilidades

relativas a elas.

2.1. Describe a distribución

das proporcións mostrais

correspondente a unha

poboación coñecida e

calcula probabilidades

relativas a ela.

CSIEE,

CAA,

CCEC,

CSC 2.2. Para certa probabilidade,

acha o intervalo

característico

correspondente das


424

- Obtención de

intervalos de confianza

para a proporción.

- Cálculo do tamaño da

mostra que debe

utilizarse para realizar

unha inferencia sobre

unha proporción con

certas condicións de

erro máximo admisible

e de nivel de

confianza.

proporcións en mostras

de certo tamaño.


e aplicar a relación

que existe entre o

tamaño da mostra, o

nivel de confianza e o

erro máximo

admisible na

construción de

intervalos de

confianza para

proporcións e

probabilidades.

3.1. Constrúe un intervalo de

confianza para a

proporción (ou a

probabilidade)coñecendo

unha proporción mostral,

o tamaño da mostra e o

nivel de confianza.

CAA,

CCEC,

CD,

CSC,

CMCT 3.2. Calcula o tamaño da

mostra ou o nivel de

confianza cando se

coñecen os demais

elementos do intervalo.








matemáticos.

- Crea táboas a partir de datos

e interpreta correctamente as

dadas.

Competencia en




coherencia.

- Expresa cun discurso fluído

e correcto desde o punto de

vista lingüístico a análise da

solución dos problemas e a

súa interpretación.

Competencia dixital



coñecemento.

- Afonda nos contidos do tema

a partir das ferramenta

dixitais propostas.


culturais



estético.

- Coida a realización de

gráficos ou táboas con

sentido de orde e estética.


cívicas



conforme a ela.

- Desenvolve o sentido crítico

á hora de elaborar unha

opinión a partir do

coñecemento matemático de

procesos.





aprecian.

- Vincula as aprendizaxes a

situacións persoais e atopa

oportunidades para

aplicalos.


425

Competencia para

aprender a aprender




interdependente...

- Encontra relación entre os

contidos traballados e outros

ámbitos.

METODOLOXÍA

Os materiais que se presentan como base para o texto de Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais II do curso

2.º de Bacharelato están realizados a partir da experiencia dos autores en clases con alumnos e alumnas desas



distintas partes:





As dificultades encadéanse coidadosamente, procurando arrancar “do que o alumnado xa sabe”. A redacción é

clara e sinxela, e inclúense uns “problemas complementarios” que permitirán ao alumnado enfrontarse por si

mesmo ás dificultades.

Factores que inspiran este proxecto

Toda programación didáctica trata de ter en conta diversos factores para responder a determinadas concepcións

da ensinanza e a aprendizaxe. Destacamos, a continuación, os factores que inspiran a nosa programación:

a) O nivel de coñecementos dos alumnos e as alumnas ao rematar o primeiro curso de Bacharelato

Na actualidade, está unanimemente estendida entre a comunidade de educadores a premisa de que todo

ensino que pretenda ser significativo debe partir dos coñecementos previos dos alumnos e as alumnas.

Dese xeito, partindo do que xa saben, poderemos construír novas aprendizaxes que conectarán coas que

xa teñen de cursos anteriores ou do que aprenden fóra da aula, ampliándoos en cantidade e, sobre todo, en

calidade.

b) Ritmo de aprendizaxe de cada alumno ou alumna

Cada persoa aprende un ritmo diferente. Os contidos deben estar explicados de tal maneira que permitan

extensións e gradación para a súa adaptabilidade.

c) Preparación básica para un alumnado de humanidades

Os alumnos e as alumnas destes bacharelatos requiren unha formación conceptual e procedemental básica:

unha boa bagaxe de procedementos e técnicas matemáticas, unha sólida estrutura conceptual e unha

razoable tendencia a buscar certo rigor no que sabe, en como se aprende e en como se expresa.

Unha concepción construtivista da aprendizaxe

Desde a perspectiva construtivista da aprendizaxe en que se basea o noso currículo oficial e,

consecuentemente, este proxecto, a realidade só adquire significado na medida que a construímos. A

construción do significado implica un proceso activo de formulación interna de hipóteses e a realización de

numerosas experiencias para contrastalas coas hipóteses. Se hai acordo entre estas e os resultados das

experiencias, “comprendemos”; se non o hai, formulamos novas hipóteses ou abandonamos. As bases sobre

as que se asenta esta concepción das aprendizaxes están a demostrar que:

1. Os conceptos non están illados, senón que forman parte de redes conceptuais con certa coherencia interna.

2. Os alumnos e as alumnas non saben manifestar, a maioría das veces, as súas ideas.


426

3. As ideas previas e os erros conceptuais déronse e séguense dando, frecuentemente, en alumnos da mesma

idade noutros lugares.

4. Os esquemas conceptuais que traen os estudantes son persistentes, e non é doado modificalos.

Todo iso ten como consecuencias, que deben ser tomadas en consideración polo profesorado, polo menos, as

seguintes:

- Que o alumnado sexa consciente de cal é a súa posición de partida.

- Que se lle faga sentir a necesidade de cambiar algunhas das súas ideas de partida.

- Que se propicie un proceso de reflexión sobre o que se vai aprendendo e unha autoavaliación para que sexa

consciente dos progresos que vai realizando.

Así pois, o noso modelo de aprendizaxe, que se basea no construtivismo, ten en conta os coñecementos previos

dos estudantes, o campo de experiencias no que se moven e as estratexias interactivas entre eles e co

profesorado.

Contidos do proxecto e aspectos metodolóxicos

Di Polya que non hai máis que un método de ensino que sexa infalible: se o docente se aburre coa súa materia,

toda a clase se aburrirá irremediablemente coa materia. Expresa, como elementos dunha metodoloxía que

compartimos, algúns detalles como os seguintes: Deixa que os estudantes fagan conxecturas antes de darlles

ti apresuradamente a solución; déixaos descubrir por si mesmos tanto como sexa posible; deixa que os

estudantes fagan preguntas; déixaos que dean respostas. Custe o que custe, evita responder preguntas que

ninguén formulase, nin sequera ti mesmo.”

O estilo que cada profesor ou profesora dea ás súas clases determina o tipo de coñecementos que o alumnado

constrúe. Neste sentido, hai un modo de “facer nas clases” que xera aprendizaxes superficiais e memorísticas,

mentres que noutros casos se producirán aprendizaxes con maior grao de comprensión e profundidade.




- Discusións entre profesor e alumnado e entre o propio alumnado.





Utilizaremos en cada caso o máis adecuado dos procedementos anteriores para lograr a mellor aprendizaxe

dos alumnos e alumnas sobre feitos, algoritmos e técnicas, estruturas conceptuais e estratexias xerais. Calquera

planificación do ensino ou calquera metodoloxía que inclúa de forma equilibrada os catro aspectos, poderá

valorarse como un importante avance respecto á situación actual. Ata este momento, veuse insistindo moito

no dominio case exclusivo de algoritmos e técnicas, o que, efectivamente, produce resultados de certo tipo a

curto prazo, pero que anula moitos aspectos de comprensión, non favorece, ou obstaculiza, o desenvolvemento

de estruturas conceptuais e, en definitiva, non fai nada por favorecer o desenvolvemento de estratexias xerais.

Por outra parte, hai capacidades en Matemáticas que non se desenvolven dominando con soltura algoritmos

e técnicas. Trátase de capacidades máis necesarias no momento actual e, con toda seguridade, no futuro.

Referímonos á resolución de problemas, elaboración e comprobación de conxecturas, abstracción,

xeneralización... Por outra parte, ademais de ser capacidades máis necesarias, a realidade das clases demostra

que os alumnos e alumnas “o pasan mellor” cando se lles propoñen actividades para desenvolvelas nas aulas;

é dicir, cando actúan como o fan os matemáticos.


427

Non se pon en dúbida o feito de que se requiren certos algoritmos e rutinas en Matemáticas. Só se pretende

poñer énfase en que non son o máis importante, e, desde logo, non son o único que debemos facer nas clases.

Na actualidade, numerosos documentos, actas de congresos e libros de recente publicación avogan por un

ensino das Matemáticas onde haxa moito de descubrimento de conceptos, regularidades e leis por parte do

alumnado e menos de retransmisión a cargo do docente. Máis de conflito durante a aprendizaxe e menos de

acumulación de técnicas, algoritmos e conceptos “cociñados” previamente.

Sería bo que, ante a formulación de cuestións polo docente, o alumnado puidera dar respostas rápidas que

facilitasen coñecer a situación de partida, e permitirlles logo contrastala co resultado final, para que poidan

apreciar os seus “progresos”. É este un xeito de ir xerando confianza. Unha vez elaboradas as primeiras

hipóteses de traballo, a discusión co docente poñerá de manifesto o acertado do pensamento e a reformulación

das conclusións, se procede.

Lembraremos a concepción das Matemáticas expresada por Jeremy Kilpatrick (ICMI-5, 1985, Adelaida): “As

Matemáticas son unha cuestión de ideas que un estudante constrúe na súa mente (e isto é algo que só o

estudante pode facer por si mesmo). Estas ideas veñen de experiencias... e non están previamente codificadas

en linguaxe natural. Novas ideas son construídas sobre as ideas que o estudante xa ten na mente,

combinándoas, revisándoas, etc., a miúdo dun xeito metafórico. A aprendizaxe efectiva require non meramente

facer algo, senón tamén reflexión sobre o que se fixo despois de que o fixeches...”

Esta concepción traerá como consecuencias, entre outras, que:

a) A aprendizaxe deberá empezar con experiencias das que xurdirán ideas.

b) Non deberiamos empezar co que os alumnos e alumnas teñen que facer, co que teñen que aprender..., senón

propoñendo algunha cuestión, formulando algunha situación ou tarefa para ser realizada.

RECURSOS DIDÁCTICOS Suxerimos a utilización dos materiais seguintes:

- Libro do profesorado de consulta para Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais II.

- Web do alumnado e da familia para Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais II; esta web inclúe:



- Recursos para cada unidade, con contidos de repaso, problemas

- Web do profesorado para Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais II. Esta web, ademais de ofrecer todos

os recursos incluídos na web do alumnado, inclúe outros expresamente destinados aos docentes, como o

solucionario de todas as actividades propostas no libro do alumnado, direccións de Internet comentadas


428

2º BACHARELATO-MATEMÁTICAS II

OBXECTIVOS XERAIS PARA A MATERIA DE MATEMÁTICAS

- Comprender e aplicar os conceptos e procedementos matemáticos a situacións diversas que permitan

avanzar no estudo das propias matemáticas e doutras ciencias, así como na resolución razoada de problemas

procedentes de actividades cotiás e diferentes ámbitos do saber.

- Considerar as argumentacións razoadas e a existencia de demostracións rigorosas sobre as que se basea o

avance da ciencia e a tecnoloxía, mostrando unha actitude flexible, aberta e crítica ante outros xuízos e

razoamentos.

- Utilizar as estratexias características da investigación científica e as destrezas propias das matemáticas

(proposta de problemas, planificación e ensaio, experimentación, aplicación da indución e dedución,

formulación e aceptación ou rexeitamento das conxecturas, comprobación dos resultados obtidos) para

realizar investigacións e en xeral explorar situacións e fenómenos novos.

- Apreciar o desenvolvemento das matemáticas como un proceso cambiante e dinámico, con abundantes

conexións internas e intimamente relacionado co doutras áreas do saber.

- Empregar os recursos achegados polas tecnoloxías actuais para obter e procesar información, facilitar a

comprensión de fenómenos dinámicos, aforrar tempo nos cálculos e servir como ferramenta na resolución

de problemas.

- Utilizar o discurso racional para formular acertadamente os problemas, xustificar procedementos, encadear

coherentemente os argumentos, comunicarse con eficacia e precisión, detectar incorreccións lóxicas e

cuestionar aseveracións carentes de rigor científico.

- Mostrar actitudes asociadas ao traballo científico e á investigación matemática, como a visión crítica, a

necesidade de verificación, a valoración da precisión, o interese polo traballo cooperativo e os distintos tipos

de razoamento, o cuestionamento das apreciacións intuitivas e a apertura a novas ideas.

- Expresarse verbalmente e por escrito en situacións susceptibles de ser tratadas matematicamente,

comprendendo e manexando representacións matemáticas.

COMO CONTRIBÚE A MATERIA Á CONSECUCIÓN DAS COMPETENCIAS



1.º Comunicación lingüística. 2.º Competencia matemática e competencias básicas en ciencia e tecnoloxía.

3.º Competencia dixital. 4.º Aprender a aprender. 5.º Competencias sociais e cívicas.

6.º Sentido de iniciativa e espírito emprendedor. 7.º Conciencia e expresións culturais.

No proxecto de Matemáticas II, tal e como suxire a lei, potenciouse o desenvolvemento das competencias de

comunicación lingüística, competencia matemática e competencias básicas en ciencia e tecnoloxía; ademais,

para alcanzar unha adquisición eficaz das competencias e a súa integración efectiva no currículo, incluíronse

actividades de aprendizaxe integradas que permitirán ao alumnado avanzar cara aos resultados de aprendizaxe

de máis dunha competencia ao mesmo tempo. Para valoralos, utilizaranse os estándares de aprendizaxe

avaliables, como elementos de maior concreción, observables e medibles, poñeranse en relación coas

competencias clave, permitindo graduar o rendemento ou o desempeño alcanzado en cada unha delas.


429

A materia de Matemáticas II utiliza unha terminoloxía formal que permitirá ao alumnado incorporar esta

linguaxe ao seu vocabulario, e utilizalo nos momentos adecuados coa suficiente propiedade. Así mesmo, a

comunicación dos resultados das actividades e/ou problemas e outros traballos que realicen favorece o

desenvolvemento da competencia en comunicación lingüística.






ademais de permitir que o alumnado se familiarice cos diferentes códigos, formatos e linguaxes nas que se





científica.

A adquisición da competencia para aprender a aprender fundaméntase nesta materia no carácter

instrumental de moitos dos coñecementos científicos. Ao mesmo tempo, operar con modelos teóricos fomenta

a imaxinación, a análise, os dotes de observación, a iniciativa, a creatividade e o espírito crítico, o que favorece



Esta materia favoréceo traballo en grupo, onde se fomenta o desenvolvemento de actitudes como a











procesos mentais fomentan a conciencia e expresión cultural das sociedades. Igualmente o alumno, mediante

o traballo matemático poderá comprender diversas manifestacións artísticas sendo capaz de utilizar os seus

coñecementos matemáticos na creación das súas propias obras

SECUENCIACIÓN DE CONTIDOS

A Matemática é unha disciplina que require para o seu desenvolvemento unha gran lóxica interna. Esa mesma

lóxica é aplicable á secuenciación de contidos para a súa aprendizaxe. Non é por casualidade que o primeiro

dos bloques nos que dividimos a materia no primeiro curso é o correspondente á Aritmética e á Álxebra: nel

poñemos as bases á linguaxe matemática e ao que podemos ou non facer cos números.

Ao ir encamiñada esta modalidade de Bacharelato, Ciencias e Tecnoloxía, a futuros estudos científico-


430

técnicos, empezamos a sentar as bases de todos os campos das matemáticas. Así, comézase a estudar, de forma

máis rigorosa que en ocasións precedentes, o campo dos números reais, de grande importancia posterior,

afóndase na trigonometría e no estudo de funcións, formalízase a xeometría e capacítase o alumno,

ofrecéndolle unha base científica, para a crítica de informacións estatísticas.

Como complemento ao estudo dos contidos que permiten ao estudante alcanzar as capacidades propostas como

obxectivos, desenvolvemos un tema inicial dedicado á resolución de problemas. Non hai mellor forma de

iniciar un libro de matemáticas que facendo matemáticas: consellos útiles, estratexias que se deben ou poden

seguir, liñas de razoamento, crítica ante as solucións... son elementos que os alumnos e as alumnas aprenderán

e utilizarán durante todo o curso.

CONTIDOS DE 2.º DE BACHARELATO- Matemáticas II

BLOQUES DE CONTIDO:

I. ÁLXEBRA


- Nomenclatura. Definicións.

- Operacións con matrices.

- Propiedades das operacións con matrices.

- Matrices cadradas.

- Complementos teóricos para o estudo de matrices.

- Rango dunha matriz.

Determinantes



- Determinantes de orde calquera.

- Menor complementario e adxunto.

- Desenvolvemento dun determinante polos elementos dunha liña.

- Método para calcular determinantes de orde calquera.

- O rango dunha matriz a partir dos seus menores.

- Outro método para obter a inversa dunha matriz.


- Sistemas de ecuacións lineais.

- Posibles solucións dun sistema de ecuacións lineais.

- Sistemas graduados.

- Método de Gauss.

- Discusión de sistemas de ecuacións.

- Un novo criterio para saber se un sistema é compatible.

- Regra de Cramer.

- Aplicación da regra de Cramer a sistemas calquera.

- Sistemas homoxéneos.

- Discusión de sistemas mediante determinantes.

- Forma matricial dun sistema de ecuacións.


431

II. XEOMETRÍA

Vectores no espazo

- Operacións con vectores.

- Expresión analítica dun vector.

- Produto escalar de vectores.

- Produto vectorial.

- Produto mixto de tres vectores.

Puntos, rectas e planos no espazo

- Sistema de referencia no espazo.

- Aplicacións dos vectores a problemas xeométricos.

- Ecuacións da recta.

- Posicións relativas de dúas rectas.

- Ecuacións do plano.

- Posicións relativas de planos e rectas.

- A linguaxe das ecuacións: variables, parámetros,...

Problemas métricos

- Direccións de rectas e planos.

- Medida de ángulos entre rectas e planos.

- Distancias entre puntos, rectas e planos.

- Medidas de áreas e volumes.

- Lugares xeométricos no espazo.

III. ANÁLISE


- Idea gráfica dos límites de funcións.

- Un pouco de teoría: aprendamos a definir os límites.

- Sinxelas operacións con límites.

- Indeterminacións.

- Comparación de infinitos. Aplicación aos límites cando x → ±∞.

- Cálculo de límites cando x → +∞.

- Cálculo de límites cando x → -∞.


- Cálculo de límites cando x → c.

- Unha potente ferramenta para o cálculo de límites.

- Continuidade nun intervalo.

Derivadas

- Derivada dunha función nun punto.

- Función derivada.


- Derivada dunha función coñecendo a da súa inversa.


432

- Derivada dunha función implícita.

- Derivación logarítmica.

- Obtención razoada das fórmulas de derivación.

- Diferencial dunha función.


- Recta tanxente a unha curva.

- Crecemento e decrecemento dunha función nun punto.

- Máximos e mínimos relativos dunha función.

- Información extraída da segunda derivada.

- Optimización de funcións.

- Dous importantes teoremas.

- Aplicacións teóricas do teorema do valor medio.

- Teorema de Cauchy e regra de L'Hôpital.


- Elementos fundamentais para a construción de curvas.

- O valor absoluto na representación de funcións.



- Representación doutros tipos de funcións.

Cálculo de primitivas

- Primitivas. Regras básicas para o seu cálculo.

- Expresión composta de integrais inmediatas.

- Integración “por partes”.

- Integración de funcións racionais.

A integral definida

- Área baixo unha curva.

- Unha condición para que unha función sexa integrable na, [b].

- Propiedades da integral.

- A integral e a súa relación coa derivada.

- Regra de Barrow.

- Cálculo de áreas mediante integrais.

IV. PROBABILIDADE


- Experiencias aleatorias. Sucesos.


- Lei de Laplace.

- Probabilidade condicionada. Sucesos independentes.

- Probas compostas.


433

- Probabilidade total.

- Probabilidades “a posteriori”. Fórmula de Bayes.

Distribucións de probabilidade

- Distribucións estatísticas.

- Distribucións de probabilidade de variable discreta.

- A distribución binomial.

- Distribucións de probabilidade de variable continua.

- A distribución normal.

- A distribución binomial aproxímase á normal.

Temporalización - Matemáticas II TRIMESTRE DATAS APROXIMADAS IDENTIFICACIÓN XENÉRICA DOS

CONTIDOS PRIMEIRO

Ata o 1 de decembro


Derivadas



Integrais

A integral definida

SEGUNDO

Do 1 de decembro ata o

15 de marzo


Distribucións de probabilidade


Determinantes


TERCEIRO

Do 15 de marzo ao 10 de

maio

Vectores no espazo


Problemas métricos

Desenvolvemento por unidades Unidade 1:


Título: Álxebra de matrices


Nesta unidade preséntanse as matrices como datos estruturados e, a continuación, afóndase nelas definindo

unhas operacións que responden a útiles manipulacións coas que se conseguen resultados perfectamente

identificables a partir dos datos dun problema.

A suma e o produto por un número defínense de forma natural. Non obstante, o produto de matrices parece

máis artificioso. Por iso se lle dedica máis espazo e atención, tanto para aprender o seu proceso de obtención

(o produto dun vector fila por un vector columna prepara eficazmente o procedemento do produto de dúas

matrices calquera) como o significado que ten este produto en diversos contextos.


434

As propiedades das operacións están cargadas de contido teórico. Na súa maior parte poderían prescindir

destas os estudantes menos interesados. É necesario, non obstante, insistir na non conmutatividade do

produto e nas repercusións que trae á hora de despexar unha matriz incógnita nunha ecuación matricial.

O cálculo da inversa dunha matriz cadrada polo método de Gauss é bonito e interesante, aínda que menos

eficaz que o proceso que se aprenderá na unidade 2. Por iso, a utilización do método de Gauss para achar

a inversa dunha matriz pode quedar como algo anecdótico e ocasional.

O estudo do rango dunha matriz será moi útil para a discusión de sistemas de ecuacións. Para realizalo de

forma adecuada foi necesario falar das n-uplas de números reais como vectores e da súa dependencia ou

independencia lineal, adiantándonos así a un contido sobre o que se insistirá na unidade 4.

Nesta unidade, o cálculo do rango realízase mediante o método de Gauss. Na próxima unidade

aprenderemos a facelo coa axuda dos determinantes.

2. TEMPORALIZACIÓN

3.ª e 4.ª semanas de setembro.


1. Coñecer as matrices, as súas operacións e aplicacións, e utilizalas para resolver problemas.


Contidos Criterios



Matrices

- Conceptos básicos: vector

fila, vector columna,

dimensión, matriz cadrada,

trasposta, simétrica,

triangular...

Operacións con matrices

- Suma, produto por un

número, produto.

Propiedades.

Matrices cadradas

- Matriz unidade.

- Matriz inversa doutra.

- Obtención da inversa dunha

matriz polo método de Gauss.

- Resolución de ecuacións

matriciais.

n-uplas de números reais

- Dependencia e independencia

lineal. Propiedade

fundamental.


eficazmente as

matrices, as súas

operacións e as súas

propiedades.


combinadas con

matrices. CMCT,

CAA


de rango dunha matriz

e calculalo mediante o

método de Gauss.


matriz numérica.

CMCT,

CAA,

CSIEE

2.2. Relaciona o rango

dunha matriz coa

dependencia lineal das

súas filas ou as súas

columnas.



matrices e as súas

operacións.

3.1. Expresa un enunciado

mediante unha

relación matricial,

resólveo e interpreta a

solución dentro do

contexto do

enunciado.

CCL,

CMCT,

CD


435

- Obtención dunha

n-upla combinación lineal

doutras. - Constatación de se un

conxunto de n-uplas é LD ou

LI.

Rango dunha matriz

- Obtención do rango dunha

matriz por observación dos

seus elementos (en casos

evidentes).

- Cálculo do rango dunha

matriz polo método de Gauss.

- Discusión do rango dunha

matriz dependente dun

parámetro.




competencias básicas en ciencia e

tecnoloxía

Resolver problemas



- Escribe de xeito razoado

cada paso nos exercicios

realizados.


lingüística



- Segue o desenvolvemento

dos problemas guiados de

xeito autónomo, realizando

os pasos enunciados.

Competencia dixital



- Busca información suxerida

no tema a través de diversas

fontes de información,

seleccionando esta sobre a

base da fonte consultada.





científico.

- Analiza criticamente a

achega das distintas

civilizacións á historia da

álxebra.





traballo, e para a resolución

de conflitos.

- Móstrase receptivo ás ideas

dos demais, aínda que non

coincidan coa súa.


emprendedor


posibilidades desde


tema.

- Desenvolve diversas

estratexias propias para

afrontar unha situación

problemática.

Competencia para aprender a Avaliar a consecución de - Autoavalía os seus


436

aprender obxectivos de aprendizaxe. exercicios e aprendizaxes de

xeito eficaz, non cometendo

os mesmos erros en traballos

posteriores.

Unidade 2:


Título: Determinantes Descrición da unidade

Na segunda páxina da unidade motívase o estudo dos determinantes pola relación entre a compatibilidade

dun sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas e o feito de que o valor do correspondente determinante

de orde dous sexa ou non distinto de cero. É unha preparación moi útil para as definicións posteriores.

O obxectivo desta unidade é que o estudante calcule determinantes de calquera orde e os aplique na

obtención do rango dunha matriz. Para iso, a secuencia didáctica que se seguiu é a seguinte:

- Determinantes de orde dous. Cálculo. Propiedades descritas e xustificadas da forma máis xeral posible

co fin de que abran o camiño ás mesmas propiedades en determinantes de ordes superiores.

- Determinantes de orde tres. Regra de Sarrus, poñendo atención a que participan todos os posibles

produtos de tres factores, un de cada fila e de cada columna. Propiedades, novamente xustificadas.

- Determinantes de orde n. Faise mención a como se decide o signo de cada produto de n factores mediante

as permutacións dos subíndices e á paridade do número de investimentos en cada permutación. Aínda

que é dunha complexidade superior á que se require neste curso, pareceunos adecuado que os estudantes

consideren o proceso e os mellores poidan afondar nel. A continuación, dáse e xustifícase a regra que

permite “facer ceros” nunha liña e “desenvolver” o determinante polos elementos da devandita liña.

- Aplicación do cálculo de determinantes e a comprensión das súas propiedades para achar o rango dunha

matriz.

Nos exercicios (resoltos, guiados e propostos) dedicamos unha atención moi especial á aplicación das

propiedades dos determinantes para efectuar simplificacións ou para xustificar igualdades.

2. TEMPORALIZACIÓN



1. Coñecer o significado dos determinantes e as súas propiedades, calcular o seu valor e aplicalos á

obtención do rango dunha matriz.


Contidos Criterios



Determinantes de ordes dous e

tres


Propiedades.

1. Dominar o

automatismo para

o cálculo de

determinantes.

1.1. Calcula o valor

numérico dun

determinante ou obtén

a expresión dun

determinante

CMCT,

CD


437


Propiedades.

- Cálculo de determinantes de

orde tres pola regra de Sarrus.

Determinantes de

orde n

- Menor dunha matriz. Menor

complementario e adxunto dun

elemento dunha matriz cadrada.

Propiedades.

- Desenvolvemento dun

determinante polos elementos

dunha liña.

- Cálculo dun determinante

“facendo ceros” nunha das súas

liñas.

- Aplicacións das propiedades

dos determinantes no cálculo

destes e na comprobación de

identidades.

Rango dunha matriz mediante

determinantes

- O rango dunha matriz como a

máxima orde dos seus menores

non nulos.

- Determinación do rango dunha

matriz a partir dos seus

menores.

Cálculo da inversa dunha

matriz

- Expresión da inversa dunha

matriz a partir dos adxuntos dos

seus elementos.

- Cálculo da inversa dunha matriz

mediante determinantes.

33 con algunha letra.

2. Coñecer as

propiedades dos

determinantes e

aplicalas para o

cálculo destes.

2.1. Obtén o

desenvolvemento (ou

o valor) dun

determinante no que

interveñen letras,

facendo uso razoado

das propiedades dos

determinantes.

CCL,

CMCT

2.2. Recoñece as

propiedades que se

utilizan nas

igualdades entre

determinantes.

3. Coñecer a

caracterización do

rango dunha

matriz pola orde

dos seus menores,

e aplicala a casos

concretos.

3.1. Acha o rango dunha

matriz numérica

mediante

determinantes. CMCT,

CSIEE 3.2. Discute o valor do

rango dunha matriz na

que intervén un

parámetro.

4. Calcular a inversa

dunha matriz

mediante

determinantes.

4.1. Recoñece a existencia

ou non da inversa

dunha matriz e

calcúlaa no seu caso.

CMCT,

CAA

2. 5. COMPETENCIAS / DESCRITORES / DESEMPEÑOS







- Utiliza os termos precisos para

referirse a obxectos ou

conceptos matemáticos.


lingüística






- Escribe con corrección

gramatical e ortográfica nos

exercicios escritos.


438

orais.

Competencia dixital



coñecemento.

- Utiliza a calculadora científica

con soltura, introducindo os

datos da operación de xeito

correcto.


culturais



ideas.

- Respecta os distintos ritmos de

traballo na aula.


cívicas

Mostrar dispoñibilidade para

a participación activa en

ámbitos de participación

establecidos.

- Realiza achegas pertinentes de

xeito voluntario e oportuno na

aula.


emprendedor



- Mostra perseveranza na

resolución de exercicios e

problemas, non abandonando á

primeira dificultade que

encontra.


aprender




- Integra aprendizaxes de cursos

pasados no desenvolvemento

dos contidos da unidade, dando

conta deles.

Unidade 3:


Título



O estudante deste nivel, antes de comezar a estudar as técnicas que aquí se dan, sabe resolver ecuacións e

sistemas. Os métodos que espontaneamente utiliza son os que coñece desde terceiro de secundaria:

substitución, redución... e con eles pode resolver sistemas de varias ecuacións e varias incógnitas.

É conveniente, e así pretendemos reflectilo no texto, que o estudante considere perfectamente válidos todos

os métodos que coñece e vexa os novos como unha mellora natural daqueles. Por iso presentamos o método

de Gauss como unha xeneralización do método de redución, que permite chegar a un sistema de ecuacións

no cal cada ecuación ten unha incógnita menos que a anterior e, polo tanto, se pode resolver graduadamente.

É moi importante que o estudante distinga os diferentes tipos de sistemas de ecuacións: incompatibles ou

compatibles e, dentro destes, determinados ou indeterminados. E que saiba recoñecer como é cada un dos

que se lle presentan. Para iso resulta moi útil a referencia xeométrica; rectas para as ecuacións con dúas

incógnitas e planos para as de tres. O feito de que os estudantes non coñezan a xeometría analítica do espazo

non supón ningunha traba para a interpretación xeométrica dunha ecuación lineal con tres incógnitas como

un plano, e a relación que hai entre os distintos tipos de sistemas de ecuacións lineais con tres incógnitas,

así como as posicións en que poden estar dous ou máis planos.

Aínda que o método de Gauss serve para decidir sobre a compatibilidade dun sistema, co teorema de

Rouché, que se presenta a continuación, afróntase esta casuística de forma moito máis eficiente,

apoiándonos nos rangos das matrices que interveñen.


439

A demostración da regra de Cramer realizámola para sistemas 4 4. Pareceunos que é suficiente para

apreciar todos os matices do proceso, evitando a complicada notación que esixe a versión n n.

Unha vez que os estudantes se familiaricen coa regra de Cramer e a súa aplicación á resolución de

ecuacións, aprenderán a escoller entre este método ou o de Gauss para resolver sistemas.

Entendemos, e así o facemos ver no texto, que:

- Para resolver sistemas de ecuacións con coeficientes numéricos, con frecuencia é preferible o método de

Gauss.

- Para discutir sistemas de ecuacións dependentes dun ou máis parámetros, case sempre é preferible

recorrer aos determinantes, en maior medida cantas máis veces apareza o parámetro (ou os parámetros).

2. TEMPORALIZACIÓN



1. Utilizar as matrices e os determinantes para interpretar os sistemas de ecuacións e resolvelos mediante

diversos métodos. Facer uso dos sistemas na resolución de problemas.


Contidos Criterios




lineais



manteñen a equivalencia.

- Sistema compatible,

incompatible, determinado,

indeterminado.

- Interpretación xeométrica

dun sistema de ecuacións

con dous ou tres incógnitas

segundo sexa compatible

ou incompatible,

determinado ou

indeterminado.

Método de Gauss

- Estudo e resolución de

sistemas polo método de

Gauss.

Teorema de Rouché



e a nomenclatura

asociados aos sistemas

de ecuacións e as súas

solucións (compatible,

incompatible,

determinado,

indeterminado), e

interpretalos

xeometricamente para

2 e 3 incógnitas.

1.1. Coñece o que

significa que un

sistema sexa

incompatible ou

compatible,

determinado ou

indeterminado, e

aplica este

coñecemento para

formar un sistema de

certo tipo ou para

recoñecelo.

CMCT,

CCL

1.2. Interpreta

xeometricamente

sistemas lineais de 2,

3 ou 4 ecuacións con

2 ou 3 incógnitas.


método de Gauss para

estudar e resolver


lineais.


ecuacións lineais polo

método de Gauss. CMCT,

CEC


440

Rouché á discusión de


Regra de Cramer



sistemas.

Sistemas homoxéneos


homoxéneos.

Discusión de sistemas


Rouché e da regra de

Cramer á discusión e a


dependentes dun ou máis

parámetros.

Expresión matricial dun



ecuacións dados en forma

matricial.


mediante ecuacións

- Tradución a sistema de

ecuacións dun problema,

resolución e interpretación

da solución.

3. Coñecer o teorema de

Rouché e a regra de

Cramer e utilizalos

para a discusión e a


de ecuacións.


Rouché para dilucidar

como é un sistema de


coeficientes

numéricos.

CMCT,

SIEE

3.2. Aplica a regra de

Cramer para resolver

un sistema de

ecuacións lineais,

2 2 ou 3 3, con

solución única.

3.3. Cataloga como é

(teorema de Rouché)

e resolve, se é o caso,

un sistema de


coeficientes

numéricos.

3.4. Discute e resolve un


dependente dun

parámetro.

4. Resolver

matricialmente

sistemas n n mediante

a obtención da inversa

da matriz dos

coeficientes.

4.1. Expresa

matricialmente un


e, se é posible,

resólveo achando a

inversa da matriz dos

coeficientes.

CMCT,

CAA




5.1. Expresa

alxebricamente un

enunciado mediante

un sistema de

ecuacións, resólveo e

interpreta a solución

dentro do contexto do

enunciado.

CMCT,

CCL









- Identifica as achegas da álxebra

na resolución de problemas

matemáticos e na evolución da


441



preguntas.

disciplina historicamente.


lingüística



- Consulta os recursos da materia

e amplía os seus coñecementos.

Competencia dixital



coñecemento.

- Utiliza os recursos dixitais

facilitados para enriquecer a

súa aprendizaxe.


culturais




científico.

- Utiliza pensamento matemático

para axudarse a codificar as

situacións problemáticas e

valora o seu uso.


cívicas




e potencialidades.

- Ofrécese para axudar aos

compañeiros e compañeiras a

resolver dúbidas.


emprendedor




obxectivos.

- Expresa confianza nas

posibilidades de resolución de

problemas e transmítea ás súas

compañeiras e compañeiros.


aprender




- Transfire coñecementos

anteriores sobre resolución de

ecuacións aos novos contidos

da unidade.

Unidade 4:


Título

Vectores no espazo


Comézase a xeometría analítica construíndo todas as ferramentas vectoriais que se utilizarán nas unidades

posteriores: manexo dos vectores mediante as súas coordenadas e os produtos escalar, vectorial e mixto,

coas súas interesantes e útiles aplicacións xeométricas.

Na presentación lembramos algúns resultados xeométricos e trigonométricos básicos para o resto da

unidade: volume dun paralelepípedo a partir das súas arestas e os ángulos que forman, e diagonal dun

ortoedro.

Lembramos as operacións con vectores e o seu significado xeométrico e introducimos as súas coordenadas,

para o cal os estudantes repasan os conceptos de dependencia e independencia lineal, así como o de base.

Ao produto escalar e ao produto vectorial de dous vectores dedicámoslles, a cada un deles, un apartado. É

de corte teórico, no que se define e se interpreta o produto, e enúncianse e demostran as súas propiedades.

En ambos os dous casos, un apartado difícil. Os estudantes menos preparados poderían ser eximidos das

demostracións e deixar que dedicasen a súa atención a entender o que significa cada unha das propiedades.

Aínda que breve, é moi práctico e útil o apartado dedicado ao produto mixto. Con el remata a unidade.


442

2. TEMPORALIZACIÓN

A 1.ª e 2.ª semanas de novembro.


1. Coñecer os vectores do espazo tridimensional e as súas operacións, e utilizalos para a resolución de

problemas xeométricos.


Contidos Criterios


avaliables CC

Vectores

no espazo

- Operacións. Interpretación

gráfica.

- Combinación lineal.

- Dependencia e


- Base. Coordenadas.

Produto escalar de vectores

- Propiedades.

- Expresión analítica.

- Cálculo do módulo dun

vector.

- Obtención dun vector coa

dirección doutro e módulo

predeterminado.

- Obtención do ángulo

formado por dous vectores.

- Identificación da

perpendicularidade de dous

vectores.

- Cálculo do vector e

proxección dun vector

sobre a dirección doutro.

Produto vectorial de

vectores

- Propiedades.


- Obtención dun vector

perpendicular a outros

dous.

- Cálculo da área do

paralelogramo determinado

por dous vectores.

Produto mixto de tres

vectores

1. Coñecer os vectores

do espazo

tridimensional e as

súas operacións, e

utilizalos para a

resolución de

problemas

xeométricos.


elementais (suma e

produto por un número)

con vectores, dados

mediante as súas

coordenadas,

comprendendo e

manexando

correctamente os

conceptos de

dependencia e

independencia lineal, así

como o de base.

1.2. Domina o produto

escalar de dous vectores,

o seu significado

xeométrico, a súa

expresión analítica e as

súas propiedades, e

aplícao á resolución de


(módulo dun vector,

ángulo de dous vectores,

vector proxección dun

vector sobre outro e

perpendicularidade de

vectores).

1.3. Domina o produto

vectorial de dous

vectores, o seu

significado xeométrico,

a súa expresión analítica

e as súas propiedades, e



CCL,

CAA,

CMCT


443

- Propiedades.


- Cálculo do volume dun

paralelepípedo determinado

por tres vectores.

- Identificación de se tres

vectores son linealmente

independentes mediante o

produto mixto.

(vector perpendicular a

outros dous, área do

paralelogramo

determinado por dous

vectores).

1.4. Domina o produto mixto

de tres vectores, o seu

significado xeométrico,

a súa expresión analítica

e as súas propiedades, e



(volume do

paralelepípedo

determinado por tres

vectores, decisión de se

tres vectores son

linealmente

independentes).








básicos.

- Describe con precisión

definicións e relacións

matemáticas entre vectores.


lingüística






orais.

- Explica de xeito coherente e

argumentado o proceso de

resolución dun exercicio

formulado.

Competencia dixital



- Utiliza fontes seleccionadas

de xeito propio para

enriquecer as aprendizaxes.


culturais



estético.

- Presenta os traballos escritos

con orde e limpeza,

mostrando gusto polo

traballo ben feito.


cívicas



contexto da escola.

- Respecta as normas

establecidas no

funcionamento da materia e

da clase por iniciativa

persoal.

Sentido de iniciativa e espírito Dirimir a necesidade de


- Pide axuda despois de

intentar resolver as


444

emprendedor dificultade da tarefa. dificultades na tarefa cos

seus propios medios

(consultando diversas fontes,

revisando exercicios

anteriores ou similares,

revisando exercicios

resoltos...).


aprender

Xestionar os recursos e as

motivacións persoais en

favor da aprendizaxe.

- Vence con recursos persoais

as resistencias cara ao

contido pola súa abstracción

ou dificultade e mostra un

talante receptivo cara á

aprendizaxe.

Unidade 5:


Título



Nesta unidade trátanse, exclusivamente, problemas afíns: incidencia, corte e paralelismo.

Neste contexto, dise que unha figura incide noutra cando está contida nela (de aí a palabra coincidencia —

co-incidencia—, cando cada unha está contida na outra, é dicir, son a mesma figura). Os problemas de

incidencia aluden, pois, a se un punto pertence a unha recta ou a un plano, ou se unha recta está contida

nun plano... Non obstante, a expresión máis usual da palabra é a de “cortar formando un ángulo”. Por

exemplo, un raio de luz incide nunha superficie reflectíndose ou refractándose (ángulo de incidencia,

ángulo de reflexión ou de refracción). E analogamente, úsase a expresión “unha recta incide nun plano”

para indicar que o corta.

Iníciase a unidade construíndo un sistema de referencia do espazo tridimensional a partir dunha base para

os vectores que, case desde o primeiro momento, se supón ortonormal.

Formúlanse problemas que poden resolverse co uso directo dos vectores (aliñación de puntos, punto medio

dun segmento, punto simétrico doutro).

O groso da unidade está dedicado á obtención das distintas formas das ecuacións de rectas e planos, e á súa

utilización en problemas afíns.

Aínda que a perpendicularidade é unha propiedade métrica (non afín), mencionamos que na ecuación

implícita do plano ax + by + cz + d = 0, o vector (a, b, c) é perpendicular a este (vector normal). Pero este

feito non se utiliza ata a unidade seguinte, salvo para caracterizar unha propiedade afín, o paralelismo de

dous planos: dous planos son paralelos cando os seus vectores normais son proporcionais (paralelos).

2. TEMPORALIZACIÓN

A 3.ª e a 4.ª semanas de novembro.


1. Utilizar os vectores para o estudo de rectas e planos. Resolver problemas afíns: inclusión, paralelismo,


445

posicións relativas, etcétera.


Contidos Criterios



Sistema de referencia no

espazo

- Coordenadas dun punto.

- Representación de puntos

nun sistema de referencia

ortonormal.

Aplicación dos vectores a


- Punto que divide a un

segmento nunha razón

dada.

- Simétrico dun punto

respecto a outro.

- Comprobación de se tres ou

máis puntos están aliñados.

Ecuacións dunha recta

- Ecuacións vectorial,

paramétricas, continua e

implícita da recta.

- Estudo das posicións

relativas de dúas rectas.

Ecuacións dun plano

- Ecuacións vectorial,

paramétricas e implícita

dun plano. Vector normal.

- Estudo da posición relativa

de dous ou máis planos.

- Estudo da posición relativa

dun plano e unha recta.

1. Utilizar un sistema de

referencia ortonormal

no espazo e, nel,

resolver problemas

xeométricos facendo

uso dos vectores cando

conveña.

1.1. Representa puntos de

coordenadas sinxelas

nun sistema de

referencia ortonormal.

CMCT,

CAA

1.2. Utiliza os vectores

para resolver algúns

problemas

xeométricos: puntos

de división dun

segmento en partes

iguais, comprobación

de puntos aliñados,

simétrico dun punto

respecto a outro...

2. Dominar as distintas

formas de ecuacións de

rectas e de planos, e

utilizalas para resolver

problemas afíns:

pertenza de puntos a

rectas ou a planos,

posicións relativas de

dúas rectas, de recta e

plano, de dous planos...


afíns entre rectas

(pertenza de puntos,

paralelismo, posicións

relativas) utilizando

calquera das

expresións

(paramétricas,

implícita, continua...).

CCL,

CMCT


afíns entre planos

(pertenza de puntos,

paralelismo...)

utilizando calquera

das súas expresións

(implícita ou

paramétricas).


afíns entre rectas e

planos.




competencias básicas en ciencia

e tecnoloxía





- Infire da experiencia e a

observación de exercicios

básicos, regras ou estratexias

para resolver exercicios de


446




maior complexidade.


lingüística






orais.


lingüística e precisión os

pasos de resolución dun

exercicio.

Competencia dixital




diaria.

- Utiliza recursos dixitais para

traballar e afondar nas tres

dimensións do espazo.




estético.

- Coida as representacións

gráficas necesarias para

comprender os problemas en

canto a claridade e

presentación.





traballo, e para a resolución

de conflitos.

- Mostra actitude dialogante

ante conflitos producidos

por ideas opostas no modo

de resolver un exercicio.


emprendedor



propias.

- Pon en xogo durante os

procesos de aprendizaxe as

súas fortalezas e recursos

persoais, e regula aqueles

aspectos persoais que poden

entorpecer a súa

aprendizaxe.


aprender





funcións executivas.

- Utiliza as súas fortalezas

persoais na aprendizaxe para

comprender e visualizar os

exercicios de de obxectos

matemáticos no espazo.

Unidade 6:


Título: Problemas métricos

Descrición da unidade Na segunda páxina da unidade calcúlanse distancias (entre dous puntos, dun punto a unha recta e dun punto

a un plano) mediante procedementos sinxelos, utilizando o que o estudante aprendeu na unidade anterior.

Unha vez máis utilízanse estas páxinas para mostrarlles aos estudantes que, co que xa saben, poden facer

moitas cousas; e ademais pídeselles que as fagan. Cremos que é unha boa forma de iniciarse nun tema no

que se verán novas e máis sofisticadas técnicas para abordar os problemas métricos.


447

O cálculo de ángulos é sinxelo: abonda que o estudante recoñeza o vector que determina a orientación de

cada figura (recta → vector director, plano → vector normal), utilice o sentido común e aplique a expresión

do coseno do ángulo de dous vectores.

A distancia dun punto a un plano pode acharse razoadamente (obtención da recta r que pasa por P e é

perpendicular a , intersección de r e , etc), e é desexable que o estudante a calcule así nalgún caso.

Pero é imprescindible que memorice a fórmula e acabe aplicándoa automaticamente (debe facérselle ver a

similitude desta fórmula coa da distancia dun punto a unha recta no plano).

A distancia dun punto a unha recta e a de dúas rectas que se cruzan vense no libro do alumnado de tres

formas distintas:

a) Paso a paso, apoiándose noutras figuras intermedias.

b) Recorrendo ao produto vectorial ou ao produto mixto.

c) Creando un vector xenérico (do punto á recta, ou que una as dúas rectas) e obrigando a que sexa

perpendicular á recta ou ás rectas.

Cremos que este terceiro método é moi instrutivo. Non obstante, pode prescindirse del, se o profesorado o

cre conveniente.

Os posibles problemas métricos son moitos e moi variados. Por iso nesta unidade a oferta de exercicios e

problemas resoltos e propostos é especialmente extensa.

Conclúese cunha breve exposición dalgúns lugares xeométricos no espazo, cun tratamento máis detallado

da esfera.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 1.ª e 2.ª semanas de decembro.


1. Utilizar as propiedades dos vectores (produtos escalar, vectorial e mixto) e as ecuacións de rectas e

planos para resolver problemas métricos no espazo: obtención de ángulos, distancias, áreas, volumes...


Contidos Criterios de avaliación Estándares de aprendizaxe

avaliables CC

Ángulos entre rectas e

planos

- Vector dirección dunha

recta e vector normal a

un plano.

- Obtención do ángulo

entre dúas rectas, entre

dous planos ou entre

recta e plano.

Distancia entre

puntos, rectas

1. Obter o ángulo que

forman dúas rectas, unha

recta e un plano ou dous

planos.

1.1. Calcula os ángulos

entre rectas e planos.

Obtén unha recta ou

un plano coñecendo,

como un dos datos, o

ángulo que forma con

outra figura (recta ou

plano).

CMCT,

CCL

2. Achar a distancia entre

dous puntos, dun punto a

unha recta, dun punto a

2.1. Acha a distancia entre

dous puntos ou dun

punto a un plano.

CMCT,

CSIEE


448

e planos

- Cálculo da distancia

entre dous puntos.

- Cálculo da distancia dun

punto a unha recta por

diversos procedementos.

- Distancia dun punto a un

plano mediante a

fórmula.

- Cálculo da distancia

entre dúas rectas por

diversos procedementos.

Área dun triángulo

e volume dun tetraedro

- Cálculo da área dun

paralelogramo e dun

triángulo.

- Cálculo do volume dun

paralelepípedo e dun

tetraedro.

Lugares xeométricos no

espazo

- Plano mediador dun

segmento.

- Plano bisector dun

ángulo diedro.

- Algunhas cuadráticas

(esfera, elipsoide,

hiperboloide,

paraboloide) como

lugares xeométricos.

- Obtención do centro e

do raio dunha esfera

dada mediante a súa

ecuación.

un plano ou entre dúas

rectas que se cruzan. 2.2. Acha a distancia dun

punto a unha recta

mediante o plano

perpendicular á recta

que pasa polo punto,

ou ben facendo uso do

produto vectorial.

2.3. Acha a distancia entre

dúas rectas que se

cruzan, xustificando o

proceso seguido.

3. Achar áreas e volumes

utilizando o produto

vectorial ou o produto

mixto de vectores.

3.1. Acha a área dun

paralelogramo ou dun

triángulo. CMCT,

CAA 3.2. Acha o volume dun

paralelepípedo ou dun

tetraedro.


métricos variados.

4.1. Acha o simétrico dun

punto respecto dunha

recta ou dun plano.

CMCT,

CCEC


xeométricos nos que

interveñan

perpendicularidades,

distancias, ángulos,

incidencia,

paralelismo...

5. Obter analiticamente

lugares xeométricos.


analítica dun lugar

xeométrico espacial

definido por algunha

propiedade, e

identifica a figura de

que se trata.

CMCT,

CSIEE

5.2. Escribe a ecuación

dunha esfera a partir

do seu centro e o seu

raio, e recoñece o

centro e o raio dunha

esfera dada pola súa

ecuación.

5.3. Relaciona a ecuación

dun elipsoide,

hiperboloide ou

paraboloide coa súa



449








- Define con exactitude

matemática os conceptos

xeométricos e noméaos de

xeito preciso.


lingüística




escoita atenta ao

interlocutor...

- Realiza escoita activa nos

momentos de explicación ou

discusión sobre o método de

resolución dun exercicio ou

problema.

Competencia dixital




diaria.

- Busca recursos dixitais por

iniciativa propia para

representar con maior

facilidade os obxectos

xeométricos.


culturais








desenvolvemento.

- Mostra interese por coñecer

a orixe histórica da

xeometría e a súa evolución.


Involucrarse ou promover

accións cun fin social.

- Promove ou acompaña

iniciativas para mellorar as

aprendizaxes sobre o

contido, tendo en conta toda

a clase, e propón melloras na

temporalización ou nos

recursos utilizados.


emprendedor

Encontrar posibilidades no


aprecian.

- Encontra, para a resolución

dos exercicios, posibilidades

novidosas e orixinais.


aprender




interdependente...

- Desenvolve estratexias

persoais para relacionar os

contidos previos sobre o

tema cos novos contidos.

Unidade 7:


Título: Límites de funcións. Continuidade


En primeiro curso, alumnos e alumnas estudaron os elementos básicos de límites e continuidade de


450

funcións. Neste curso afiánzanse os coñecementos anteriores e afóndase en varias liñas:

- Máis rigor nos conceptos.

- Máis amplitude nas técnicas para calcular límites de funcións.

- Maior alcance na idea de continuidade, coa inclusión de varios teoremas (Bolzano, Weierstrass) sobre

funcións continuas nun intervalo.

A pesar de que se cadra non se deba pretender aínda que estes estudantes dominen a nomenclatura e a

precisión de conceptos que levan consigo as definicións rigorosas de límites (dado un ε podemos encontrar

un δ que...), si é razoable que empecen a familiarizarse con elas. Por iso, estas definicións realizáronse en

tres niveis: visión gráfica, descrición intuitiva e enunciado rigoroso. O profesorado decidirá, en cada caso,

o alcance que desexa (ou pode permitirse) dar aos seus estudantes.

O cálculo de límites sistematízase cunha serie de resultados previos: operacións con límites finitos,

comparación de infinitos (infinitos da mesma orde, infinitos de orde superior a outro), operacións con

límites infinitos e tipos de indeterminacións.

Todos estes resultados poden ser moi intuitivos e así procuramos mostralos.

Con estes resultados, ademais da mellora no cálculo de límites indeterminados, débese conseguir que o

estudante vexa de forma case inmediata eses límites nos que é suficiente apreciar resultados obvios entre

límites finitos ou infinitos. Por exemplo:

( ) ( )1

2 3

3 32 1 , 2

xx

x xlím x x lím x

−

→ →− + −

As técnicas para o cálculo de límites complétanse coa regra de L'Hôpital.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 2.ª e a 3.ª semanas de xaneiro.


1. Revisar os conceptos e os procedementos ligados aos límites de funcións e amplialos con novas

técnicas.

2. Afondar na continuidade de funcións co teorema de Bolzano e as propiedades que deste se derivan.




CC


- Límite dunha función

x→+, x→ – ou x→a.


- Límites laterais.

- Operacións con límites

finitos.

Expresións infinitas

- Infinitos da mesma orde.

1. Dominar o

concepto de límite

nas súas distintas

versións,

coñecendo a súa

interpretación

gráfica e o seu

enunciado preciso.

1.1. A partir dunha expresión

do tipo( )

xlímf x

→=

[ pode ser +, –, a–,

a+ ou a; e pode ser +,

– o l] represéntaa

graficamente e describe

correctamente a

propiedade que o

caracteriza (dado un

> 0 existe un ..., ou ben,

CCL,

CMCT


451

- Infinito de orde superior a

outro.

- Operacións con


Cálculo de límites


inmediatos (operacións

con límites finitos

evidentes ou comparación

de infinitos de distinta

orde).

- Indeterminación.

Expresións

indeterminadas.


x→+ ou

x→ –:

- Cociente de polinomios

ou doutras expresións

infinitas.

- Diferenza de expresións

infinitas.

- Potencia. Número e.


x→a–,

x→a+, x→a:

- Cocientes.

- Diferenzas.

- Potencias.

Regra de L'Hôpital


mediante a regra de

L'Hôpital.

Continuidade.

Descontinuidades

- Continuidade nun punto.

Tipos de descontinuidade.

Continuidade nun

intervalo

- Teoremas de Bolzano,

Darboux e Weierstrass.


Bolzano para detectar a

existencia de raíces e para

separalas.

dado k existe h...).

2. Calcular límites de

todo tipo.

2.1. Calcula límites inmediatos

que só requiran coñecer os

resultados operativos e

comparar infinitos.

CMCT,

CAA

2.2. Calcula límites (x→+ ou

x→ –) de cocientes ou de

diferenzas.

2.3. Calcula límites (x→+ ou

x→ –)de potencias.

2.4. Calcula límites (x→c) de

cocientes, distinguindo,

se o caso o esixe, cando

x→c+ e cando x→c–.

2.5. Calcula límites (x→c) de

potencias.


de continuidade

nun punto e os

distintos tipos de

descontinuidades.

3.1. Recoñece se unha función

é continua nun punto ou o

tipo de descontinuidade

que presenta nel.

CMCT,

CSIEE

3.2. Determina o valor dun

parámetro (ou dous

parámetros) para que unha

función definida “a

anacos” sexa continua no

“punto (ou puntos) de

empalme”.

4. Coñecer a regra de

L'Hôpital e aplicala

ao cálculo de

límites.

4.1. Calcula límites aplicando a

regra de L'Hôpital. CCL,

CMCT,

CAA

5. Coñecer o teorema

de Bolzano e

aplicalo para

probar a existencia

de raíces dunha

5.1. Enuncia o teorema de

Bolzano nun caso concreto

e aplícao á separación de

raíces dunha función.

CCL,

CMCT,

CSIEE


452

función.






Resolver problemas



- Aplica con rigor as estratexias

traballadas na aula para

resolver os exercicios

formulados, e selecciona a máis

adecuada en cada momento con

criterios claros.


lingüística



- Entende as indicacións e as

explicacións orais, dá conta

delas e aplícaas cando

corresponde.

Competencia dixital



fiabilidade.

- Investiga cales son as súas

fontes de información e

establece criterios propios para

dirimir a súa fiabilidade.


culturais



estético.

- Coida a presentación dos

exercicios en canto a limpeza e

claridade, o que facilita a

comprensión dos contidos

traballados.




persoal e cultural.

- Identifica as achegas de

diversas culturas e autores no

desenvolvemento da disciplina

de análise matemática.


emprendedor



- Identifica as achegas que

supoñen os problemas guiados

do tema para a súa aprendizaxe.


aprender






- Desenvolve e aplica estratexias

para focalizar a atención na

resolución de exercicios, o que

leva consigo menor número de

erros no desenvolvemento

destes.

Unidade 8:


Título: Derivadas


A unidade comeza asentando os conceptos básicos:

- No primeiro apartado trátase a definición de derivada mediante o límite do cociente incremental,


453

defínense as derivadas laterais e relaciónase derivabilidade con continuidade.

- No segundo apartado defínense función derivada e derivadas sucesivas. A nomenclatura Df para

referirnos á derivada de f é útil cando a función vén dada pola súa expresión analítica. O apóstrofo (')

serve para modificar o nome (f' é outra función que “se deriva”, que provén de f) e non é razoable utilizalo

como operador. É dicir, non é formalmente correcto poñer

(3x2 – 5x + 1)' cando se desexa derivar esa expresión; debe poñerse D(3x2 – 5x +1).

- Despois, a unidade continúa con todo o relativo ás técnicas de derivación. A proposta seguida para a

aprendizaxe destas é o seguinte:

– Posto que o estudante xa se iniciou niso o curso anterior, comezamos agora refrescándolle as regras

coñecidas e ampliándollas con outras novas, recordándolle como se usan e propoñéndolle que as exer-

cite resolvendo un bo número de exercicios.

– Apréndense algunhas técnicas especiais: como calcular a derivada dunha función coñecendo a da súa

recíproca, como se derivan as funcións implícitas e, finalmente, a “derivación logarítmica”.

– Por último, demóstranse todas as regras de derivación.

Consideramos desexable proceder así por dous motivos:

- É preferible que o estudante, antes de demostrar algo, se familiarice con iso, co fin de que teña moi claro

que é o que quere demostrar.

- A orde en que se demostran as regras é moi distinta da orde en que se presentan e se usan: ao poder

utilizar desde os primeiros pasos a derivada dun logaritmo, simplifícanse notablemente moitas das

demostracións.

A unidade remata co estudo da diferencial dunha función. Este concepto e a nomenclatura a el asociada vai

resultar moi útil no manexo das integrais.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 4.ª semana de xaneiro e a 1.ª semana de febreiro.


1. Revisar o concepto e ampliar os métodos para o cálculo das derivadas das funcións.


Contidos Criterios de avaliación Estándares de



nun punto

- Taxa de variación media.


nun punto. Interpretación.

Derivadas laterais.

- Obtención da derivada

dunha función nun punto a

partir da definición.

Función derivada


asociados á derivada

dunha función:

derivada nun punto,

derivadas laterais,

función derivada...

1.1. Asocia a gráfica

dunha función á da

súa función derivada.

CCL,

CMCT,

CAA,

CD

1.2. Acha a derivada

dunha función nun

punto a partir da

definición.

1.3. Estuda a


función definida “a


454

- Derivadas sucesivas.


aproximada da función

derivada doutra dada pola

súa gráfica.

- Estudo da derivabilidade

dunha función nun punto

estudando as derivadas

laterais.

Regras de derivación

- Regras de derivación das

funcións elementais e dos

resultados operativos.

- Derivada da función

inversa doutra.


implícita.

- Derivación logarítmica.

Diferencial dunha función

- Concepto de diferencial

dunha función.

- Aplicacións.

anacos”, recorrendo

ás derivadas laterais

no “punto de

empalme”.




derivada doutra.

2.1. Acha as derivadas de

funcións non triviais.

CCL,

CMCT,

CAA,

CSIEE,

CD

2.2. Utiliza a derivación

logarítmica para achar

a derivada dunha

función que o requira.

2.3. Acha a derivada

dunha función

coñecendo a da súa

inversa.


función implícita.








- Utiliza con precisión e

corrección a nomenclatura

matemática do tema.


lingüística




escoita atenta ao

interlocutor...

- Respecta as normas de

comunicación nas interaccións

coas súas compañeiras e

compañeiros na aula.

Competencia dixital



coñecemento.

- Utiliza os recursos dixitais para

adestrar e afianzar o cálculo de

derivadas.


culturais



estético.

- Coida a orde nos seus exercicios.





e potencialidades.

- Axuda aos seus compañeiros e

compañeiras a resolver as súas

dificultades.


emprendedor



- Acepta a aprendizaxe como un

reto e é constante no seu esforzo.


455


aprender




- Elabora e aplica estratexias de

creación propia para deducir e

lembrar as fórmulas das funcións

derivadas.

Unidade 9:


Título: Derivadas

Descrición da unidade As primeiras aplicacións da derivada que se ven nesta unidade son sinxelas e xa coñecidas polos estudantes.

Neste curso revísanse, complétanse e fundaméntanse con certo rigor:

- Recta tanxente a unha curva nun punto. Recta tanxente desde un punto exterior. Amplíase ao caso de

funcións implícitas.

- Intervalos de crecemento e decrecemento. Para probar que f ' (x0) > 0 f é crecente en x0, hai que recorrer

ao teorema do valor medio e, polo tanto, déixase para o final da unidade. Outro tanto acontece cos puntos

en que a curva é decrecente.

- Máximos e mínimos relativos. Unha vez identificados os puntos de derivada nula, recórrese ao signo de

f ' en puntos moi próximos (á esquerda e á dereita de cada un deles) para descubrir o tipo de punto singular

de que se trata.

Ademais, estúdase a información que se pode obter da segunda derivada: concavidade, convexidade e

puntos de inflexión. As dúas páxinas que tratan estas cuestións dedícanse a visualizar as cadeas de

implicacións seguintes:

f cóncava en a f' crecente en a f'' (a) > 0

f convexa en a f' decrecente en a f'' (a) < 0

Tamén se traballa nesta unidade a optimización de funcións. Ao estudante debe quedarlle moi claro que

unha función definida nun intervalo (e éo a maioría das funcións que se pretenden optimizar) pode alcanzar

o máximo, o mínimo ou ambos os dous nos extremos deste.

Non adoita ser necesario recorrer á segunda derivada para descubrir se certo punto singular é máximo ou

mínimo. Consideracións do tipo: “A función é derivable. A súa derivada só se anula en c e f(c) é maior que

o valor de f nos extremos do intervalo. Polo tanto, f(c) é máximo”, son absolutamente suficientes para

caracterizar máximos ou mínimos.

Os teoremas de Rolle e do valor medio son de grande importancia, sobre todo para poder demostrar algúns

resultados que relacionan o comportamento da primeira ou da segunda derivada coa forma da curva.

Finalmente, a unidade remata coa xustificación da regra de L'Hôpital. As consideracións iniciais do

apartado correspondente van encamiñadas a que o estudante entenda intuitivamente por que cando a

relación entre as pendentes das dúas curvas tende a certo valor, entón o cociente das súas ordenadas tende

ao mesmo valor.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 2.ª e a 3.ª semanas de febreiro.



456

1. Aplicar as derivadas para obter información sobre aspectos gráficos das funcións (crecemento,

concavidade...) e para optimizar funcións.

2. Coñecer os teoremas de Rolle e do valor medio, e explotar as súas posibilidades teóricas.




Aplicacións da primeira

derivada

- Obtención da tanxente a unha

curva nun dos seus puntos.

- Identificación de puntos ou

intervalos nos que a función é

crecente ou decrecente.

- Obtención de máximos e

mínimos relativos.


optimización.

Aplicacións da segunda

derivada

- Identificación de puntos ou

intervalos nos que a función é

cóncava ou convexa.

- Obtención de puntos de

inflexión.

Teoremas de Rolle e do valor

medio

- Constatación de se unha

función cumpre ou non as

hipóteses do teorema do valor

medio ou do teorema de Rolle

e obtención do punto onde

cumpre (se é o caso) a tese.

- Aplicación do teorema do

valor medio á demostración de

diversas propiedades.

Teorema de Cauchy e regra de

L'Hôpital

- O teorema de Cauchy como

xeneralización do teorema do

valor medio.

- Enfoque teórico da regra de

L'Hôpital e a súa xustificación

a partir do teorema de Cauchy.

1. Achar a ecuación da

recta tanxente a

unha curva nun dos

seus puntos.


explícita ou implícita,

acha a ecuación da

recta tanxente nun dos

seus puntos.

CCL,

CMCT,

CAA

2. Coñecer as

propiedades que

permiten estudar

crecementos,

decrecementos,

máximos e mínimos

relativos, tipo de

curvatura, etc., e

sabelas aplicar en

casos concretos.


sabe decidir se é

crecente ou

decrecente, cóncava

ou convexa, obtén os

seus máximos e

mínimos relativos e

os seus puntos de

inflexión.

CCL,

CMCT,

CAA,

CD

3. Dominar as

estratexias

necesarias para

optimizar unha

función.


mediante a súa

expresión analítica ou

mediante un

enunciado, encontra

en que caso presenta

un máximo ou un

mínimo.

CCL,

CMCT,

CSIEE,

CD

4. Coñecer os

teoremas de Rolle e

do valor medio, e

aplicalos a casos

concretos.


Rolle ou o do valor

medio a funcións

concretas, probando

se cumpre ou non as

hipóteses e

descubrindo, se é o

caso, onde se cumpre

a tese.

CCL,

CMCT,

CAA


457













- Enuncia a hipótese do problema

e verifica a través do teorema de

Rolle.


lingüística



- Realiza gráficos e debuxos

exactos tendo en conta o

enunciado do problema.

Competencia dixital



coñecemento.

- Válese de recursos dixitais,

facilitados ou buscados, para

afondar nas aplicacións da

derivada ao estudo dunha

función.


culturais


expresións artísticas e as

manifestacións de

creatividade, e gusto pola


- Aprecia e goza coa estética que

presenta a resolución de

problemas desde unha

argumentación lóxica, e o expón

de xeito ordenada.




ideas.

- Acepta de bo grado outras

opinións ou ideas sobre os

problemas que está realizando.


emprendedor




obxectivos.

- Mostra entusiasmo por resolver

problemas complexos e transmite

o seu entusiasmo ás súas

compañeiras e compañeiros.


aprender



- Realiza autoavaliacións realistas

de xeito crítico e construtivo.

Unidade 10:


Título: Representación de funcións


En unidades anteriores, e tamén durante o curso pasado, aprendéronse unha serie de ferramentas para

construír curvas. Nesta unidade retómanse, sistematízanse e danse pautas para a súa utilización racional.

Na segunda páxina da unidade propóñense exercicios para reforzar a asociación entre a forma dunha curva

e a descrición dos seus elementos (asíntotas e outras ramas infinitas, puntos singulares, puntos de inflexión,

cortes cos eixes...) mediante límites e valores da función, da súa derivada e da súa segunda derivada. Este

tipo de exercicios é moi útil porque o estudante afianza o coñecemento do papel que xoga cada unha destas

técnicas analíticas na representación de gráficas. Así, cando deban utilizalas con este fin, terán moi claro


458

que buscan en cada momento e que conseguen con cada resultado.

A resolución deste tipo de exercicios pódese prolongar do seguinte modo: cada estudante inventa unha

gráfica e debúxaa. Descríbea mediante límites e valores de f e f'. Intercambia descricións cun compañeiro

e esmérase en debuxar a que se lle deu descrita. Despois xúntanse e comparan cada gráfica. Se coinciden,

ben. Se non coinciden, onde está o erro, na descrición ou na interpretación? É esta unha interesante forma

de autocorrixirse. Na maior parte dos casos non adoita ser necesaria a arbitraxe do profesor ou profesora.

No primeiro apartado formúlase como representar unha función que vén dada pola súa expresión analítica.

Os trazos da curva vanse perfilando “facéndolle preguntas” á función. Para iso posúese unha serie de

ferramentas cuxo coñecemento é como o panel no que o artesán sitúa todos os seus instrumentos: ten moi

claro cales son e para que serve cada un, pero rara vez terá que botar man de todos eles (para cada tarefa

requirirá, só, algunhas ferramentas). Do mesmo xeito, as alumnas e os alumnos deben acostumarse a

reflexionarse antes de empezar a súa tarefa (a representación dunha curva concreta) preguntándose cales

son as súas características e, polo tanto, que instrumentos deben utilizar e en que orde. Coa práctica irán

adquirindo “oficio”.

Un adestramento especial nalgúns tipos de funcións (polinómicas, racionais, trigonométricas, con radicais,

exponenciais...) iraos familiarizando coas peculiaridades de cada unha delas. En moitos casos (funcións

con radicais, por exemplo) o máis complicado é identificar as asíntotas oblicuas.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 4.ª semana de febreiro e 1.ª semana de marzo.


1. Coñecer o papel que desempeñan as ferramentas básicas da análise na representación de funcións e

dominar a representación sistemática de funcións polinómicas, racionais, trigonométricas, con radicais,

exponenciais, logarítmicas...




Ferramentas básicas para a

construción de curvas

- Dominio de definición,

simetrías, periodicidade.

- Ramas infinitas: asíntotas e

ramas parabólicas.

- Puntos singulares, puntos

de inflexión, cortes cos

eixes...



polinómicas.


racionais.


calquera.


desempeñan as


análise (límites,

derivadas...) na

representación de


representación


polinómicas, racionais,

trigonométricas, con

radicais, exponenciais,

logarítmicas...


polinómicas.

CCL,

CAA,

CCEC,

CD,

CMCT


racionais.


trigonométricas.


exponenciais.


nas que interveña o

valor absoluto.

1.6. Representa outros

tipos de funcións.


459








formato gráfico.

- Describe as características dunha

función representada e aplica

este coñecemento no proceso

inverso, dando razón matemática

da representación realizada.


lingüística






orais.


lingüística e claridade cada paso

realizado no estudo dunha

función para a súa

representación.

Competencia dixital



- Utiliza as correccións das

autoavaliacións e os exercicios

en formato dixital para realizar

unha verdadeira avaliación, non

copia os resultados.


culturais




científico.

- Aprecia a evolución das

matemáticas para representar

funcións e o impacto que iso tivo

no desenvolvemento doutras

disciplinas.




conforme a ela.

- Realiza os traballos por sentido

de responsabilidade e non por

obriga.


emprendedor




- Identifica con antelación as

necesidades de recursos e apoios

para realizar os exercicios

propostos.


aprender




- Pide axuda ás súas compañeiras e

compañeiros despois de intentar

resolver as dificultades de xeito

autónomo e non o conseguir.

Unidade 11:


Título: Cálculo de primitivas

Descrición da unidade O cálculo de primitivas sinxelas como proceso inverso ao da derivación é doado, pero require por parte de

alumnos e alumnas atención e práctica.

A lista que se propón aos estudantes na segunda páxina da unidade serve para que vaian familiarizándose,


460

ademais de coa idea e o significado, cos pequenos trucos da integración. Pode pretenderse que, con

paciencia e empeño, o alumno ou a alumna alcance a resolvelas todas, sen axuda (ou acaso con pequenas

axudas), aínda que nunca antes de que o intentase seriamente.

A notación diferencial permite tratar adecuadamente e con sentido algúns procedementos básicos para a

integración, como son o cambio de variable e a integración por partes. Con ela pódese manexar de xeito

perfectamente xustificado a notación habitual das integrais.

Os exercicios, abundantes e de todos os niveis, están, como sempre, ao servizo do profesorado, para que

elixa e afonde ata o nivel que desexe.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 2.ª e a 3.ª semanas de marzo.


1. Coñecer e calcular as primitivas de funcións elementais e utilizar os métodos de substitución e “por

partes”, así como o método de integración de funcións racionais, para obter primitivas doutras

funcións.




Primitiva dunha función

- Obtención de primitivas de

funcións elementais.


expresións para facilitar a

súa integración:

( )( )

P x kQ x

x a x a= +

− − – Expresión dun radical

como produto dun nú-

mero por unha potencia

de x.

– Simplificacións trigono-

métricas.

Cambio de variables baixo o

signo integral

- Obtención de primitivas

mediante cambio de

variables: integración por

substitución.

Integración “por partes”

- Cálculo de integrais “por

partes”.

Descomposición dunha


primitiva dunha

función e obter

primitivas das funcións

elementais.


dunha función

elemental ou dunha

función que, mediante

simplificacións

adecuadas, se

transforma en

elemental desde a

óptica da integración.

CMCT,

CAA

2. Dominar os métodos

básicos para a

obtención de

primitivas de funcións:

substitución, “por

partes”, integración de



dunha función

utilizando o método

de substitución.

CCL,

CMCT,

CSIEE


dunha función

mediante a

integración “por

partes”.


dunha función

racional cuxo

denominador non teña

raíces imaxinarias.


461

función racional

- Cálculo da integral dunha

función racional

descompoñéndoa en

fraccións elementais. 5. COMPETENCIAS / DESCRITORES / DESEMPEÑOS







- Utiliza a simboloxía matemática

da unidade con precisión,

integrando os seus coñecementos

previos.


lingüística



coherencia.

- Explica, con precisión e

coherencia, os pasos realizados na

resolución de exercicios.

Competencia dixital



coñecemento.

- Emprega os recursos dixitais para

consolidar e afondar nas

aprendizaxes sobre integración de

funcións.


culturais



estético.

- Coida a orde e a estética na

realización dos exercicios (sitúa os

símbolos de integración á altura

adecuada, escribe con claridade...).




ideas.

- Respecta e aprecia diversas

maneiras de abordar os exercicios

propostos.


emprendedor



- Persiste no cálculo de integrais

vencendo bloqueos e dificultades,

e non abandona o exercicio sen

intentar outros camiños para a súa

resolución.


aprender




- Elabora estratexias persoais para a

resolución de integrais.

Unidade 12:


Título: A integral definida

Descrición da unidade Co problema da segunda páxina e os exemplos da terceira, pretendemos poñer de manifesto unha idea

importante:

- Hai multitude de funcións extraídas do mundo real para as cales a área baixo a curva que as representa

ten unha importante significación práctica. Polo tanto, é interesante saber achar a área baixo a gráfica

dunha función.

Para a boa comprensión da integral definida, consideramos imprescindible que o estudante:


462

- Se familiarice coa función área baixo a curva, F(x), e a relacione coa función inicial, f(x).

- Se convenza intuitivamente de que a rapidez de crecemento de F(x) vén dada, precisamente, por f(x).

- Chegue, pois, á convicción de que F'(x) = f(x).

Unha vez adquirida esta intuición, o teorema fundamental do cálculo pódese enunciar e mesmo demostrar.

A regra de Barrow é unha consecuencia inmediata que, para os estudantes, será un instrumento sinxelo e

eficaz no cálculo de áreas e as súas correspondentes aplicacións.

Finalmente, amplíase o campo das integrais definidas co concepto de integral impropia e o cálculo

dalgunhas delas; e inclúese unha versión sinxela e breve do método para calcular volumes de corpos de

revolución.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 2.ª e a 3.ª semanas de abril.


1. Relacionar o cálculo da área baixo a gráfica dunha función coa primitiva desta.

2. A partir do teorema fundamental do cálculo, deseñar procedementos que permitan calcular áreas e

volumes.


Contidos Criterios de avaliación Estándares de aprendizaxe

avaliables CC

Integral definida

- Concepto de integral

definida. Propiedades.

- Expresión da área dunha

figura plana coñecida

mediante unha integral.

Relación da integral coa

derivada

- Teorema fundamental do

cálculo.

- Regra de Barrow.

Cálculo de áreas e

volumes mediante

integrais

- Cálculo da área entre

unha curva e o eixe X. - Cálculo da área

delimitada entre dúas

curvas.

- Cálculo do volume do

corpo de revolución que

1. Coñecer o concepto, a

terminoloxía, as

propiedades e a

interpretación

xeométrica da integral

definida.

1.1. Acha a integral dunha

( )b

af x dx función,

recoñecendo o recinto

definido entre y =f (x),

x =a, x=b, achando as súas

dimensións e calculando

a súa área mediante

procedementos

xeométricos elementais.

CCL,

CMCT,

CAA

2. Comprender o teorema

fundamental do cálculo

e a súa importancia para

relacionar a área baixo

unha curva cunha

primitiva da función

correspondente.

2.1. Responde a problemas

teóricos relacionados co

teorema fundamental do

cálculo. CMCT,

CSIEE


regra de Barrow para o

3.1. Calcula a área baixo

unha curva entre dúas

abscisas.

CCL,

CMCT,


463

se obtén ao xirar un arco

de curva arredor do eixe

X. - Interpretación e cálculo

dalgunhas integrais

impropias.

cálculo de áreas. 3.2. Calcula a área entre

dúas curvas.

CCEC


fórmula para achar o

volume dun corpo de

revolución.

4.1. Acha o volume do corpo

que se obtén ao xirar un

arco de curva arredor do

eixe X.

CCL,

CMCT,

CD

5. Utilizar o cálculo

integral para achar

áreas ou volumes de

figuras ou corpos

coñecidos a partir das

súas dimensións, ou ben

para deducir as

fórmulas

correspondentes.

5.1. Acha a área dunha

figura plana coñecida

obtendo a expresión

analítica da curva que a

determina e integrando

entre os límites

adecuados. Ou ben,

deduce a fórmula da

área mediante o mesmo

procedemento. CCL,

CMCT,

CSC 5.2. Acha o volume dun

corpo de revolución

coñecido obtendo a

expresión analítica dun

arco de curva

y =f (x) cuxa rotación

arredor do eixe X

determina o corpo, e

calcula ( )

2b

af x dx .





e tecnoloxía



formato gráfico.

- Axúdase das representacións

gráficas para comprender

mellor a teoría e os

problemas.


lingüística






orais.

- Describe e explica con

corrección lingüística e

precisión os pasos que

realiza para resolver un

problema.

Competencia dixital




diaria.

- Busca recursos dixitais que

faciliten a representación

gráfica dos exercicios.

Conciencia e expresións culturais Mostrar respecto cara ao


- Identifica as achegas dos

diversos autores ao


464






desenvolvemento.

desenvolvemento do cálculo

integral e as súas aplicacións

noutros contextos.




ideas.

- Discute as propostas de

resolución dun problema

coas súas compañeiras e

compañeiros, respectando e

integrando as ideas alleas.


emprendedor


posibilidades desde


tema.

- Xera opcións diversas e

orixinais para a resolución

dos exercicios.


aprender



- Móstrase receptivo á

realización das

autoavaliacións propostas e

identifica as achegas á súa

aprendizaxe que posibilita a

realización desta

autoavaliación.

Unidade 13:


Título: Azar e probabilidade


Na páxina introdutoria proponse calcular a probabilidade dun suceso (que unha moeda toque raia ao caer sobre

unha cuadrícula) co fin de que se obteña por dous camiños distintos:

- Mediante experimentación (danse datos para que o estudante só realice a experiencia se ten unha expresa

curiosidade por facelo).

- Mediante un cálculo matemático (casos favorables partido por casos posibles).

Cremos importante que os alumnos e as alumnas deste nivel saiban que a probabilidade real dun suceso só

se pode descubrir mediante experimentación. A lei de Laplace (ou a xeneralización dela que se realiza na

resolución deste problema) é só aplicable a casos ideais. Cando a aplicamos a dados, moedas, naipes, urnas,

estamos supoñendo que son correctos, é dicir, ideais.

Nos primeiros apartados fundaméntase teoricamente o cálculo de probabilidades: álxebra de sucesos e

estudo das leis da probabilidade inspiradas nas propiedades das frecuencias relativas.

Os mellores estudantes poderán demostrar axiomaticamente a cadea de teoremas que se enuncian (T1 a

T7).

A probabilidade condicionada, coa súa aplicación ás táboas de continxencia, sucesos dependentes e

independentes, a fórmula da probabilidade total e a fórmula de Bayes completan o percorrido teórico desta

unidade.

O máis importante desta, cremos, é a resolución de problemas de probabilidade polo método que sexa, con tal


465

de que se faga de xeito comprensivo. Para iso, hai gran cantidade de problemas resoltos e propostos, tanto ao

longo do desenvolvemento teórico como ao final deste.

Hai moitos problemas de probabilidade, de aparencia moi complexa, que quedan notablemente

simplificados se a experiencia global se considera descomposta nunha secuencia de experiencias sinxelas

cuxas probabilidades son moi fácil de obter. Para iso, resulta moi útil o diagrama en árbore, cuxo uso

permite resolver con facilidade problemas que, en principio, parecen moi complicados.

Deste xeito chégase mesmo a resolver razoadamente, de forma intuitiva, os típicos problemas de

probabilidades “a posteriori” sen coñecer sequera a fórmula de Bayes. Se se segue este proceso, a

formalización ou non da fórmula correspondente dependerá do desexo de pechar teoricamente a unidade,

pero non da necesidade da fórmula para resolver os problemas.

2. TEMPORALIZACIÓN

A 4.ª semana de abril e a 1.ª semana de maio.


1. Coñecer os conceptos de probabilidade condicionada, dependencia e independencia de sucesos,

probabilidade total e probabilidade “a posteriori”, e utilizalos para calcular probabilidades.




Sucesos


- Recoñecemento e obtención

de sucesos complementarios

incompatibles, unión de

sucesos, intersección de

sucesos...

- Propiedades das operacións

con sucesos. Leis de Morgan.

Lei dos grandes números

- Frecuencia absoluta e

frecuencia relativa dun

suceso.


Lei dos grandes números.

- Propiedades da

probabilidade.

- Xustificación das propiedades

da probabilidade.

Lei de Laplace

- Aplicación da lei de Laplace

para o cálculo de

probabilidades sinxelas.


linguaxe dos sucesos e

a probabilidade

asociada a eles, así

como as súas

operacións e

propiedades.

1.1. Expresa mediante

operacións con

sucesos un

enunciado. CCL,

CCA,

CMCT,

CD

1.2. Aplica as leis da

probabilidade para

obter a

probabilidade dun

suceso a partir das

probabilidades

doutros.


de probabilidade

condicionada,

dependencia e

independencia de

sucesos, probabilidade

total e probabilidade

“a posteriori”, e

utilizalos para calcular

probabilidades.

2.1. Aplica os conceptos

de probabilidade

condicionada e

independencia de

sucesos para achar

relacións teóricas

entre eles.

CCL,

CCA,

CMCT,

CD 2.2. Calcula

probabilidades

formuladas mediante

enunciados que

poden dar lugar a

unha táboa de


466

- Recoñecemento de

experiencias nas que non se

pode aplicar a lei de Laplace.

Probabilidade condicionada

- Dependencia e independencia

de dous sucesos.


condicionadas.

Fórmula da probabilidade

total


totais.

Fórmula de Bayes

- Cálculo de probabilidades “a

posteriori”.




relacións probabilísticos:

táboas de continxencia.

- Manexo e interpretación das

táboas de continxencia para

formular e resolver algúns

tipos de problemas de

probabilidade.

Diagrama en árbore



relacións probabilísticos.

- Utilización do diagrama en

árbore para describir o

proceso de resolución de

problemas con experiencias

compostas. Cálculo de

probabilidades totais e

probabilidades “a posteriori”.

continxencia.

2.3. Calcula

probabilidades totais

ou “a posteriori”

utilizando un

diagrama en árbore

ou as fórmulas

correspondentes.





e tecnoloxía






preguntas.

- Configura de xeito crítico e

argumentado a súa visión persoal

sobre o azar e o cálculo de

probabilidades aplicado a

contextos reais.

Competencia en comunicación Comprender o sentido dos - Identifica os datos de situacións


467

lingüística textos escritos e orais. problemáticas con facilidade,

extraendo conclusións e

ordenando a información

relevante.

Competencia dixital



- Establece criterios para o uso




probabilidade.









desenvolvemento.

- Coñece os personaxes máis

relevantes na historia do cálculo

de probabilidades, as súas

achegas e motivacións para

traballar esta disciplina.





e potencialidades.


aprendizaxe e traballo que se dan

no tema.


emprendedor

Asumir riscos no


ou os proxectos.

- Aborda os problemas de

probabilidade como un reto,

asumindo riscos á hora de iniciar

os procesos de resolución.


aprender



- Identifica os logros persoais e os

bloqueos xurdidos no

desenvolvemento de contidos do

tema.

Unidade 14:


Título: Distribucións de probabilidade

Descrición da unidade Para o estudo das distribucións de probabilidade son básicos os seguintes coñecementos:

- Ideas claras das distribucións estatísticas. Aínda que na ESO se dedica suficiente atención ás distribucións

estatísticas, agora estes coñecementos poden estar algo esquecidos. Por iso, consideramos imprescindible

comezar cun repaso dos aspectos máis importantes deles. Poñemos a énfase no distinto tratamento que

se lles dá ás distribucións estatísticas de variable discreta, nas que a cada valor da variable se lle asigna

unha frecuencia (graficamente, unha barra), e as distribucións de variable continua (ou de variable

discreta con moitos valores agrupados en intervalos), onde a frecuencia se asigna a un intervalo

(graficamente, un rectángulo cuxa área é proporcional á frecuencia). Repásase o cálculo dos parámetros.

- Cálculo de probabilidades en experiencias compostas. Viuse a fondo na unidade anterior.

- Números combinatorios. Viuse en 4.º de ESO e repásase aquí, coa terminoloxía .

m

n


468

Nas epígrafes 14.2 e 14.4 preséntanse as distribucións de probabilidade comparándoas coas distribucións

estatísticas ou distribucións de frecuencias. Debe quedar claro que nas distribucións de probabilidade de

variable discreta a probabilidade asignada a cada valor se representa pola altura dunha barra, mentres que

nas de variable continua a probabilidade nun intervalo se representa mediante a área contida baixo a curva

no intervalo correspondente, ao igual que sucede nas distribucións de frecuencias correspondentes.

Tamén é importante entender as definicións dos parámetros μ e σ nunha distribución de probabilidade

de variable discreta como idealización dos correspondentes parámetros nas distribucións estatísticas,

pasando das frecuencias relativas fi/N ás probabilidades pi.

A posibilidade do paso dunha binomial B(n, p) a unha normal , ( )N np npq faise evidente coas gráficas que

se mostran no libro do alumno. Para o cálculo de probabilidades neste caso, é imprescindible lembrar que

a valores puntuais na binomial, x = k, lle corresponden intervalos na normal, x' [k – 0,5; k + 0,5].

2. TEMPORALIZACIÓN

A 2.ª e a 3.ª semanas de maio.


1. Coñecer as distribucións de probabilidade de variable discreta e utilizar a distribución binomial para

calcular probabilidades.

2. Coñecer as distribucións de probabilidade de variable continua e utilizar a distribución normal para

calcular probabilidades.

3. Coñecer a posibilidade de utilizar a distribución normal para calcular probabilidades dalgunhas

distribucións binomiais e utilizala eficazmente.




CC

Distribucións estatísticas

- Tipos de variable.

Representación gráfica e

cálculo de parámetros.

- Interpretación de táboas e

gráficas estatísticas.

- Obtención da media e da

desviación típica dunha


Distribución de probabilidade

de variable discreta

- Significado dos parámetros µe

σ.

- Cálculo dos parámetros µe σ

en distribucións de


discreta dadas mediante unha

táboa ou por un enunciado.

1. Coñecer as

distribucións de

probabilidade de

variable discreta e

obter os seus

parámetros.

1.1. Constrúe a táboa

dunha distribución

de probabilidade de

variable discreta e

calcula os seus

parámetros e .

CCL,

CMCT,

CAA

2. Coñecer a

distribución

binomial, utilizala

para calcular

probabilidades e

obter os seus

parámetros.

2.1. Recoñece se certa

experiencia aleatoria

pode ser descrita ou

non mediante unha

distribución

binomial identificar

nela n e p.

CCL,

CMCT,

CSIEE 2.2. Calcula

probabilidades

nunha distribución

binomial e acha os

seus parámetros.


469


- Recoñecemento de

distribucións binomiais,

cálculo de probabilidades e

obtención dos seus

parámetros.

Distribución de probabilidade

de variable continua

- Comprensión das súas

peculiaridades.

- Función de densidade.

- Recoñecemento de

distribucións de variable

continua.

- Cálculo de probabilidades a

partir da función de densidade.



utilizando as táboas da

N (0, 1). - Aproximación da distribución

binomial á normal.

- Identificación de distribucións

binomiais que se poidan

considerar razoablemente

próximas a distribucións

normais e cálculo de

probabilidades nelas por paso

á normal correspondente.

3. Coñecer as

distribucións de

probabilidade de

variable continua.

3.1. Interpreta a función

de probabilidade (ou

función de

densidade) dunha

distribución de

variable continua e

calcula ou estima

probabilidades a

partir dela.

CMCT,

CSC,

CSIEE

4. Coñecer a

distribución

normal, interpretar

os seus parámetros

e utilizala para

calcular

probabilidades.

4.1. Manexa con

destreza a táboa da

N(0, 1) e utilízaa

para calcular

probabilidades.

CMCT,

CAA,

CSIEE

4.2. Coñece a relación

que existe entre as

distintas curvas

normais e utiliza a

tipificación da

variable para

calcular

probabilidades

nunha distribución

N ().

4.3. Obtén un intervalo

centrado na media

ao que corresponda

unha probabilidade

previamente

determinada.

5. Coñecer a

posibilidade de

utilizar a

distribución normal

para calcular

probabilidades

dalgunhas

distribucións

binomiais e

utilizala

eficazmente.

5.1. Dada unha

distribución

binomial recoñece a

posibilidade de

aproximala por unha

normal, obtén os

seus parámetros e

calcula

probabilidades a

partir dela.

CMCT,

CAA,

CD,

CSIEE




competencias básicas en ciencia e

tecnoloxía




- Configura de xeito crítico e

argumentado a súa visión

persoal sobre o azar e o cálculo


470



preguntas.

de probabilidades aplicado a

contextos reais.


lingüística



- Identifica os datos de situacións

problemáticas con facilidade,

extraendo conclusións e

ordenando a información

relevante.

Competencia dixital



- Establece criterios para o uso




probabilidade.









desenvolvemento.

- Coñece os personaxes máis

relevantes na historia do

cálculo de probabilidades, as

súas achegas e motivacións

para traballar esta disciplina.





e potencialidades.


aprendizaxe e traballo que se

dan no tema.


emprendedor

Asumir riscos no


ou os proxectos.

- Aborda os problemas de

probabilidade como un reto,

asumindo riscos á hora de

iniciar os procesos de

resolución.


aprender



- Identifica os logros persoais e

os bloqueos xurdidos no

desenvolvemento de contidos

do tema.

METODOLOXÍA

Os materiais que se presentan como base para o texto de Matemáticas II do curso 2.º de Bacharelato de

Ciencias e Tecnoloxía están realizados a partir da experiencia dos autores en clases con alumnos e alumnas

desas idades e desde o coñecemento do novo currículo oficial de Matemáticas. A extensión do programa deste curso obriga a prestar unha atención moi coidadosa ao equilibrio entre as súas

distintas partes:





As dificultades encadéanse coidadosamente, procurando arrancar “do que o alumnado xa sabe”. A redacción

é clara e sinxela, e inclúense uns “problemas complementarios” que lle permitirán enfrontarse por si mesmo


471

ás dificultades.



- Web do alumnado e a familia para Matemáticas II; esta web inclúe: - Recursos xerais que poden utilizarse ao longo do curso: exercicios complementarios, lecturas


- Recursos para cada unidade, con contidos de repaso, problemas - Web do profesorado para Matemáticas II. Esta web, ademais de ofrecer todos os recursos incluídos na

web do alumnado, inclúe outros expresamente destinados aos docentes, como o solucionario de todas as

actividades propostas no libro do alumnado, direccións de Internet comentadas


472

2º BACHARELATO-MÉTODOS ESTATÍSTICOS E NUMÉRICOS

Contidos e temporalización

TRIMESTRE IDENTIFICACIÓN XENÉRICA DOS CONTIDOS

PRIMEIRO Probabilidade.

Introdución á inferencia estatística.

SEGUNDO Cadeas de Markov.

Series temporais.

TERCEIRO Programación linear.

Métodos numéricos.

Desenvolvemento por trimestres Primeiro trimestre

Probabilidade I. Probabilidade -Experimento aleatorio. -Espazo mostral.

-Sucesos -Probabilidade.

II. Probabilidade condicionada -Experimentos compostos. -Probabilidade condicionada.

-Independencia de sucesos.

-Regra do produto e regra das probabilidades totais. -Teorema de Bayes. III. Distribución de probabilidades

-Variable aleatoria. Variable aleatoria discreta e variable aleatoria continua. -Esperanza e varianza dunha variable aleatoria.

-Distribucións notables: distribución binomial e distribución normal. Inferencia estatística.

I. Introdución á inferencia estatística -Introdución á inferencia estatística. -Conceptos xerais. Métodos de mostraxe. -Estimación puntual. II. Estimación por intervalos de confianza.

-Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal con desviación típica coñecida. -Distribucións: Xi- cadrado y T de Student. -Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal con desviación típica descoñecida. -Intervalo de confianza para a varianza dunha poboación normal. -Intervalo de confianza para unha proporción.

-Selección do tamaño mostral. III. Contrates de hipóteses -Conceptos básicos

-Construción dun contraste de hipóteses.


473

-Tipos de contrastes: Paramétricos -Contraste para a media dunha distribución normal

-Contraste para a varianza dunha distribución normal -Contraste para unha proporción. -Relación entre contrastes de hipóteses e intervalos de confianza. Segundo trimestre Cadeas de Markov

-Noción de cadea de Markov -Grafo asociado a unha cadea de Markov. Matriz de transición. -Transicións en máis dunha etapa. -Tipos de estados. -Distribución estacionaria e distribución límite.

Series temporais I. Series temporais -Procesos estocásticos.

-Covarianza e correlación. Autocorrelación. -Compoñentes dunha serie temporal. -Análise da tendencia e da compoñente estacional. -Variacións cíclicas.

Terceiro trimestre Programación linear.

I. Programación linear. -Forma xeral dun problema de programación linear con dúas variables. Resolución.

-Método gráfico para a resolución dun problema de programación linear. -Problema do transporte. -Forma xeral dun problema de programación linear.

-O problema dual.

Métodos numéricos I. Resolución de ecuacións. -Introdución.

-Erros: acotación e converxencia. Erro absoluto e erro relativo. -Polinomios e ecuacións alxébricas.

-Métodos a estudar: Separación de raíces -De dicotomía ou bisección -Regula Falsi

-Método das tanxentes ou de Newton-Raphson -Método do punto fixo

-Aplicación a resolución de sistemas. II. Interpolación -Polinomios de interpolación

-Interpolación lineal. -Polinomios interpoladores: de Newton, de Lagrange y de Newton para puntos equidistantes. -Polinomio de Taylor. Fórmula de Taylor con resto.

III. Integración numérica. -Métodos de integración numérica: M. dos rectángulos -M. dos trapecios -M. das tanxentes -M. de Simpson


474

Criterios de avaliación na materia de Métodos Estatísticos e Numéricos -Modelar situacións contextualizadas dos mundos científico, tecnolóxico, económico e social utilizando

cadeas de Markov para estudar a súa evolución asignándolle probabilidades os diferentes estados. Inténtase

que os alumnos identifiquen determinados fenómenos coas cadeas de Markov, distinguindo os seus estados e

representándoos , así como calculando as probabilidades correspondentes utilizando operacións con matrices

ou outros métodos. -Tomar decisións ante situacións que se axusten a unha distribución binomial ou normal, asignando

probabilidades ós sucesos correspondentes. Inténtase valorar a capacidade dos alumnos para distinguir entre

aqueles fenómenos ós que lle corresponde una distribución binomial e aqueles outros que se asocian a unha

distribución normal. -Planificar e realizar estudios concretos partindo da elaboración de enquisas, selección da mostra e estudio

estatístico dos datos obtidos. Determinar características da poboación obxecto de estudio e inferir conclusións

dentro dun certo intervalo de confianza. -Analizar de forma crítica informes estatísticos presentes nos medios de comunicación para averiguar se hai

erros ou manipulación na información presentada.

-Analizar e interpretar cuantitativa e cualitativamente series cronolóxicas relacionadas con fenómenos

científicos ou sociais e estudar as súas compoñentes. Valorar a competencia para calcular e utilizar a curva de

tendencia e os índices cíclicos e estacionais como modelos matemáticos que permiten realizar predicións -Resolver problemas de optimización relacionados con fenómenos científicos, tecnolóxicos, económicos ou

sociais enunciados na linguaxe normal, traducíndoos á linguaxe alxébrica e aplicando técnicas de

programación lineal. Interpretar os resultados obtidos segundo o contexto.

-Comprobar a capacidade do alumno/a para utilizar táboas e gráficos para o estudio de situacións empíricas,

axustándoas a unha función coa axuda dos métodos de interpolación e extrapolación. Tamén o alumno será

capaz de analizar relacións entre variables que non se axusten a ningunha fórmula alxébrica. -Aplicar os métodos de cálculo numérico axeitados a resolución de problemas relacionados con fenómenos

científicos, tecnolóxicos, económicos ou sociais enunciados na linguaxe normal, traducíndoos á linguaxe

alxébrica e estudando as relacións funcionais que interveñen en eles. Interpretar os resultados obtidos segundo

o contexto.

Mínimos esixibles na materia de Métodos Estatísticos e Numéricos: ✓ Manexarse có concepto de Probabilidade, Probabilidade Condicionada, e as regras da Probabilidade

total e de Bayes. ✓ Operar e calcular características tanto nas variables aleatorias discretas como nas continuas. Coñecer

as distribucións binomial e normal. ✓ Coñecer o concepto de estimación, mostra, intervalo de confianza e contraste de hipóteses e aplicalo a

distintos casos reais.

✓ Manexar as cadeas de Markov e aplicalas a distintos problemas reais. ✓ Manexarse coas series temporais e analizar a tendencia e as distintas compoñentes.

✓ Plantexar e resolver problemas sinxelos de programación liñar en dúas variables. ✓ Aplicar os distintos métodos numéricos para o cálculo de raíces, interpolación de polinomios e

integración numérica.

Debido a que o horario da materia dispón so de dúas horas semanais e co temario da mesma (que segue sendo

o mesmo que cando eran tres h/sem.) é imposible cumprir todos estes obxectivos, de todas formas profesor/a

e alumnado farán todo o posible por acadar o maior número deles.

Metodoloxía para Bacharelato.

A metodoloxía a empregar nestes cursos de Bacharelato pódese resumir nos seguintes puntos. 1.- Explicacións por parte do profesor/a. 2.- Plantexamento de preguntas por parte dos alumnos/as establecéndose un diálogo profesor-alumno/a.. Deste

xeito o profesor/a tentará conseguir que sexa o propio alumno o que chegue a resposta buscada guiado por el.


475

3.- Resolver exercicios prácticos e problemas sinxelos para continuar con outros onde irá aumentando o grado

de dificultade.

4.- Tratarase de potenciar capacidades dos alumnos, non só de manexo de algoritmos, senón que tamén e

interesante que dominen a resolución de problemas, o plantexamento de conxecturas, a xeneralización e a

abstracción. 5.- Empregarase, cando sexa preciso, a calculadora na aula e os métodos informáticos. Sempre que a marcha

do curso o permita, intentarase deixar a última ou as dúas últimas semanas do curso para facer un repaso xeral,

sobre todo en 2º con vistas ás probas ABAU. Hai que resaltar que tendo en conta os futuros estudios que poden elixir os alumnos/as do Bacharelato de

Ciencias da Natureza e da Saúde (Física, Enxeñería, Matemáticas, etc.) deberán adquirir un nivel de rigor e

de abstracción máis alto cos alumnos de Ciencias Sociais onde será máis importante a investigación e a

aplicación dos coñecementos adquiridos a situacións da vida social e a aplicación de estratexias de resolución

de problemas.


476

Criterios de Avaliación, cualificación e promoción.

Faranse catro avaliacións en 1º e 2º de ESO e tres avaliacións no resto dos grupos ao longo do curso

(Datas provisionais):

- Avaliación Inicial en 1º e 2º de ESO: 22 e 26 de outubro - 1ª avaliación: 2º BACHARELATO: 2 de decembro ESO e 1º BACHARELATO: 14, 16 e 17 de decembro - 2ª avaliación:

2º BACHARELATO: 1 de marzo ESO e 1º BACHARELATO: 10, 11 e 15 de marzo - 3ª avaliación: 2º BACHARELATO: 19 de maio (aproximadamente). ESO e 1º BACHARELATO: a partir do 22 de xuño

A terceira avaliación coincidirá coa final.

Proceso de Avaliación

Consideracións previas:

- Farase, como mínimo, dous exames por avaliación.

- Terase moi en conta a participación, o interese e a actitude fronte á materia amosada polo alumnado na clase. - O profesorado deste Departamento pensa que a avaliación non ten como última finalidade xulgar ás alumnas

e alumnos sen ter en conta as súas circunstancias persoais, os seus problemas, as súas dificultades, etc. Ante

todo, debe servir para mellorar o proceso de aprendizaxe. - Deben ser avaliadas as capacidades desenvolvidas, tanto no conxunto da etapa como na área concreta de

matemáticas.

Convén distinguir os tres tipos de avaliación que se van facer:

1.- Avaliación inicial. Desta maneira teremos información sobre a situación inicial do alumnado no proceso

de ensino-aprendizaxe e, en consecuencia, adaptarémonos ás posibilidades de cada alumno/a.

2.- Avaliación formativa. Desenvolverase ao longo do proceso de ensino-aprendizaxe, para seguir paso a paso

o traballo das alumnas e alumnos e coñecer os seus progresos, as súas dificultades e seguindo, sempre que

sexa posible, unha ensinanza individualizada. 3.- Avaliación final. Farase ao remate do proceso de aprendizaxe (no noso caso, corresponde ao curso).

Analizaremos o grao de consecución, por parte de cada alumno/a, dos obxectivos propostos. Se observásemos

un fallo no proceso de ensino-aprendizaxe tomaranse as medidas correctoras oportunas cara ao curso seguinte.

A continuación presentamos un cadro resume dos tipos de avaliacións:

AV. INICIAL AV. FORMATIVA AV. FINAL

QUE

AVALIAR

Coñecementos previos o

proceso

Progresos, bloqueos ou

dificultades

Tipos e graos de aprendizaxe

establecidos

CANDO

AVALIAR

Ao inicio dunha nova fase de

aprendizaxe

Durante o proceso de

aprendizaxe

Ao remate dunha fase de

aprendizaxe

COMO

AVALIAR

Rexistrar e interpretar

comportamento e respostas

dos alumnos/as ante

determinadas situacións

Rexistro das observacións

nunhas follas, para cada

alumna ou alumna

Observar e rexistrar respostas

ante preguntas referidas a

contidos aprendidos


477

Criterios de avaliación, cualificación e recuperación na ESO

En 1º, 2º, 3º e 4º de ESO tanto na materia de Matemáticas, Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Académicas

como en Matemáticas orientadas ás Ensinanzas Aplicadas de 3º e 4º de ESO realizarase unha observación

sistemática das actividades, a resolución de exercicios e problemas, realización de traballos prácticos, probas

orais e escritas, etc. A nota de cada avaliación será a media ponderada das notas obtidas ao longo do trimestre.

A nota final será a media aritmética das notas obtidas nas tres avaliacións. A nota de cada avaliación obterase facendo unha nota media ponderada entre os exames realizados na

avaliación, as probas de seguimento e o traballo diario.

A cualificación que se outorgará nas sesións das tres avaliacións a cada alumno ou alumna, poderá ser o

resultado de dous tipos de valoracións: a) Para a nota de avaliación terase en conta o resultado das probas escritas que se fagan ao longo do trimestre

(80%). - Por un lado irán facéndose probas de seguimento (40%) semanais/quincenais segundo sexa

conveniente, que terán un peso proporcional á cantidade e á dificultade da materia traballada. Ademais para

non prexudicar o posible alumnado que perda algunha proba por motivos de saúde, tomaranse das n probas

realizadas no trimestre, a media ponderada (P) das (n-2) mellores.

- Ademais realizaranse exames de temas dos que á media (E) aplicaráselle a ponderación

correspondente. (40%) *Polo que respecta os exames e probas que se fagan ao longo do curso, deberán quedar claros para os

alumnos/as tres parámetros:

i) A materia obxecto do exame/proba. (Poderá ser de parte dada dun tema/ dun tema completo ou de máis

dun tema)

ii) A valoración do exame ou proba e dos seus exercicios. (Ponderación e puntuacións) iii) A obtención da cualificación provinte de exames/ probas. (Peso na nota de avaliación) Os exame constarán de cuestións teóricas e exercicios prácticos. A parte teórica será menor nos niveis

inferiores ata adquirir unha certa entidade nos cursos altos.

As probas de seguimento serán case sempre prácticas aínda que poderán facerse pequenas probas teóricas se

o/a profesor/a lle parece oportuno. Poderán ser obxecto desta valoración outras como a realización de

proxectos (individuais ou en grupo), participación en actividades programadas, realización de fichas opcionais

de reforzo ou ampliación. b) Tamén se terán en conta: as chamadas de clase, a realización dun caderno de aula, a realización do traballo

encargado para casa, así como todos os aspectos relativos ao traballo na aula: atención, participación,

interese...(20%)

Resultado da valoración do traballo diario: distinguimos tres seccións e farase a media de tres notas obtidas

a partir da observación e rexistro das devanditas seccións recollidas por cada profesor no seu caderno de aula

correspondente. - Realización de deberes: D

- Realización da libreta de traballo: L

- Participación en clase: C (Neste último apartado as profesoras da sección bilingüe incluirán como

criterio de valoración o uso da lingua inglesa tanto de forma oral como escrita.)

Se por algún motivo algunha destas tres valoracións non se puidera efectuar, será acumulada ás partes si

valoradas repartidas proporcionalmente.

Cada avaliación terá unha recuperación e non se fará a recuperación de exames/ probas parciais.

Tanto no caso de non superar a recuperación da avaliación como se se aproba dito exame, a nota que se

considerará como nota definitiva de avaliación calcularase tendo en conta as notas do trimestre

correspondentes as partes do traballo diario (20%) e o 80% restante será a nota do exame de recuperación.


478

A nota final será a media ponderada das tres avaliacións do curso.

• No caso de que dita media sexa inferior a 5 puntos e teña só unha avaliación suspensa, terá dereito á

recuperación da mesma, a última semana do curso.

• Se se suspenden a 1ª e a 2ª avaliacións e as súas recuperacións respectivas, só no caso de que se aprobe

a 3ª av. terase dereito á recuperación da avaliación con menor nota definitiva, para poder alcanzar ó 5, mediante

o redondeo correspondente da media final.

Notas dos boletíns de avaliación na ESO

Dado que as notas que deben figurar nos boletíns de avaliación teñen que ser expresadas con números naturais

-de 1 ata 10 en ESO- dito valor numérico obterase por truncamento da nota media obtida en cada unha das

avaliacións e por redondeo na avaliación final e na avaliación de setembro.

Todas as notas medias calcularanse coa nota obtida nas diferentes probas realizadas polo alumnado (incluída

a parte decimal) procedendo ao truncamento ou redondeo con posterioridade.

NOTA DE AVALIACIÓN N= 0,4•(E)+ 0,4•(P) +0,2•(D+L+C)/3 Aproximación por truncamento NOTA DEFINITIVA DE AV: Ni= 0,8•(R)+ 0,2•(T) Sen aproximar

NOTA FINAL CURSO: 𝑁𝐶 =𝑁𝐼+𝑁𝐼𝐼+𝑁𝐼𝐼𝐼

3 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑜

cas notas definitivas con todos os decimais (sen redondear nin truncar)

Criterios de avaliación, cualificación e recuperación en Bacharelato

1º de Bacharelato

-Cada avaliación terá cando menos dous exames.

-A nota da avaliación obterase mediante unha media ponderada das probas escritas realizadas durante a

avaliación (90%) e do traballo diario (10%).

Nese 90% distinguiranse as probas de seguimento da materia traballada (20%) que realizaranse

periodicamente a criterio do profesorado que imparte a materia (entre 4 e 6 por trimestre aproximadamente) e

os exames de temas completos (70%) dos que se farán a lo menos dous en cada trimestre, podendo ter un peso

diferente segundo a materia que se avalía. (Nota media de exames=E) Co obxectivo de non prexudicar o alumnado, das n probas de seguimento realizadas no trimestre tomaranse

as (n-1) mellores notas para calcular a media ponderada (xa que poden ter un peso diferente segundo a materia

que entra e as características da proba) de Probas (Nota media de probas=P).

A observación sistemática do traballo diario na clase permitirá mediante rexistro de notas por parte do

profesorado a valoración da nota de traballo diario de avaliación (T).

NOTA DE AVALIACIÓN N= 0,7•(E)+ 0,2•(P) +0,1•(T)

Cada avaliación terá unha recuperación e non se fará a recuperación de exames/ probas parciais.

Tanto no caso de non superar a recuperación da avaliación como se se aproba dito exame, a nota que se

considerará como nota definitiva de avaliación calcularase tendo en conta as notas do trimestre

correspondentes as partes do traballo diario (10%) e o 90% restante será a nota do exame de recuperación.

A nota final será a media das tres avaliacións do curso, no caso de que a media de todo o curso sexa inferior

a 5 puntos terá dereito a recuperar as avaliacións suspensas nun exame final.

𝑁𝐶 =𝑁𝐼 + 𝑁𝐼𝐼 + 𝑁𝐼𝐼𝐼

3

Dada a importancia da nota obtida en Bacharelato para cursar estudos superiores, permitiráselle ao alumnado

presentarse aos exames de recuperación para subir nota, tendo en contra que a nota definitiva da avaliación

calcularase como a media ponderada Ni= 0,9•(R)+ 0,1•(T)


479

2º de Bacharelato Matemáticas Aplicadas ás CCSS II

En cada exame entrará só a materia correspondente a unha das tres partes en Matemáticas Aplicadas ás CCSS

II en que está dividido o curso.

Para Matemáticas Aplicadas ás CCSS II farase, cando menos, un exame teórico-práctico de cada unha destas

partes da materia: Álxebra, Análise e Estatística.

A nota final en Matemáticas Aplicadas ás CCSS será a media das tres partes. Cada unha das partes desta

materia terá unha recuperación. Para calcular a nota final collerase a nota máis alta entre a nota da avaliación

e a da recuperación. No caso de non obter a cualificación de 5 puntos na media das tres partes, farase un exame

final. (calendario de exames finais que fixará Xefatura de estudos.)

Ademais dos exames haberá periodicamente pequenas probas de seguimento que non requirirán toda unha

sesión de clase con exercicios/cuestións da materia que se estea a dar nese período entre proba e proba.

A nota de cada avaliación reflectirá a media ponderada do total das notas das probas realizadas nese trimestre

pesando nesa ponderación un 80% os exames e un 20% as probas de seguimento. Realizaranse ao longo do curso pequenas probas de repaso para todo o alumnado con 2-3 exercicios similares

aos das Probas ABAU coas que poderán subir a nota final se estas teñen cualificación >6 (entre un 0,1-0,25

por proba).

Dada a importancia da nota para cursar estudos posteriores, poderase presentar para subir nota en cada un

dos exames de recuperación e no exame final de curso. Para calcular a nota final collerase a nota máis alta

entre a nota da avaliación e a da recuperación/final, sempre e cando non diminúa a nota en 2 puntos ou máis,

que nese caso farase a media das dúas.

Matemáticas II En cada exame entrará só a materia correspondente a unha das catro partes en Matemáticas II en que está

dividido o curso. Farase, cando menos, un exame teórico-práctico de cada unha destas partes da materia:

Análise Matemática-Cálculo Diferencial, Análise Matemática-Cálculo Integral, Azar e Probabilidade, Álxebra

e Xeometría.

A nota final en Matemáticas II calcularase coa seguinte ponderación das cinco partes: Análise Matemática-

Cálculo Diferencial: 25%; Análise Matemática-Cálculo Integral: 15%; Azar e Probabilidade 15%; Álxebra:

20% e Xeometría: 25%.

Farase unha recuperación de toda a parte de Análise Matemática (agrupándose nun so exame de recuperación

o Cálculo diferencial e o C. Integral). Os bloques de Álxebra e o de Azar e Probabilidade recuperaranse de

maneira conxunta noutro exame de recuperación. Por último farase a recuperación de bloque de Xeometría.

No caso de obter unha nota inferior a 5, na media ponderada, poderase presentar ao exame de repesca na

semana de exames no calendario fixado por Xefatura de estudos. Dada a importancia da nota para cursar estudos posteriores, poderase presentar para subir nota en cada unha

das partes dos exames de recuperación e no exame final, neste último unicamente con unha parte ou ben con

toda a materia: Análise, Azar e Probabilidade, Álxebra e Xeometría.

Para calcular a nota final, en cada bloque collerase a nota máis alta das dúas (exame e recuperación), sempre

e cando non diminúa a nota en 2 puntos ou máis, que nese caso farase a media das dúas. Ademais dos exames haberá periodicamente pequenas probas de seguimento que non requirirán toda unha

sesión de clase con exercicios/cuestións da materia que se estea a dar nese período entre proba e proba. A nota de cada avaliación reflectirá a media ponderada do total das notas das probas realizadas nese trimestre

pesando nesa ponderación un 80% os exames e un 20% as probas de seguimento. Tamén realizaranse ao longo do curso pequenas probas de repaso con exercicios similares aos das Probas

ABAU de materia que xa se traballou con anterioridade co fin de non esquecer as partes do principio. Son

obrigatorias para todo o alumnado e servirán para subir a nota final de xuño (unha vez calculadas todas as

ponderacións) pero só poderán subir a nota final se estas teñen cualificación >6 (entre un 0,1-0,25 por proba). 𝑁 = [(0,25 ⋅ 𝐷 + 0,15 ⋅ 𝐼 + 0,15 ⋅ 𝑃 + 𝑂′2 ⋅ 𝐴 + 0,25 ⋅ 𝑋) · 0,8 + 𝑝𝑠 · 0,2] + ∑𝑝𝑟

N: Nota Final do curso

D: nota do exame de Cálculo Diferencial

I: nota do exame de Cálculo Integral

P: nota do exame de Azar e Probabilidade

A: nota do exame de Álxebra

X: nota do exame de Xeometría

ps: nota media das probas de seguimento pr: suma das décimas acumuladas en

todas as probas de repaso con nota n>6


Dado que as notas que deben figurar nos boletíns de avaliación teñen que ser expresadas con números

naturais -de 0 a 10 en Bacharelato- dito valor numérico obterase por truncamento da nota obtida coa

media ponderada nas avaliacións parciais (1ª e 2ª ) e por redondeo na avaliación final e na avaliación

de setembro. Todas as notas medias se calcularán coa nota obtida nas diferentes probas realizadas polo alumnado

(incluída a parte decimal) procedendo ao truncamento ou redondeo con posterioridade.

Métodos Estatísticos e Numéricos

No referente á parte de Estatística e Probabilidade, os alumnos/as examinaranse mediante unha proba

escrita coa correspondente recuperación. O resto da materia avaliarase a través da realización de

actividades na aula, traballos individuais e/ou grupais e chamadas de clase. Nestas outras partes da

materia a realización de exames é voluntaria e contribúe á valoración da nota. A nota final do curso

será a media das notas das tres avaliacións-

Ponderacións de cada parte na nota de avaliación:

- 1ª avaliación: 80% a nota do exame e un 20% o traballo de clase, saídas ao encerado,

resolución de exercicios, etc.

- 2ª e 3ª avaliación: cada unha das actividades realizadas e dos traballos entregados terá un

peso atendendo á cantidade da materia traballada e á natureza do mesmo. Dito peso será dado a

coñecer polo profesor ao comezo do trimestre.

Notas dos boletíns de avaliación no Bacharelato

Dado que as notas que deben figurar nos boletíns de avaliación teñen que ser expresadas con números

naturais -de 0 a 10 en Bacharelato- dito valor numérico obterase por truncamento da nota real nas

avaliacións parciais (1ª e 2ª ) e por redondeo na avaliación final e na avaliación de setembro.

Todas as notas medias se calcularán coa nota obtida nas diferentes probas realizadas polo alumnado

(incluída a parte decimal) procedendo ao truncamento ou redondeo con posterioridade.

CONVOCATORIAS EXTRAORDINARIAS

Probas de Setembro.

A proba extraordinaria de setembro, será común para tódolos alumnos e alumnas agás para aqueles/as

que tiveran unha Adaptación Curricular do curso non superado. Estará proposta polo Departamento

e entrará nela toda a materia avaliada durante o curso. Na proba de setembro, utilizarase como única valoración a cualificación acadada no exame proposto.

A proba considerarase superada cando se alcance unha puntuación de 5 ou máis puntos.

Matemáticas pendentes. Sistema de recuperación e avaliación.

Tanto para alumnos/as con materias pendentes na ESO como para os que teñan pendentes as materias

de Bacharelato, faranse tres probas eliminatorias durante o curso, coincidindo co calendario de

pendentes que fixe a Xefatura de Estudos, de tal xeito que os alumnos/as podan aprobar toda a materia

en cada unha desas probas. Os alumnos/as serán libres de escoller se se queren presentar ou non a

superar a materia en cada un destes momentos fixados.

Datas probables:

1ª Convocatoria: Novembro

2ª Convocatoria: Febreiro

3ª Convocatoria: Maio

Na ESO o alumnado que teña materia pendente, esta quedará automaticamente aprobada sempre e

cando aprobe a materia de matemáticas do curso no que o alumno/a estea matriculado.

A Xefa do Departamento fará unha reunión presencial ou telemática, no mes de outubro co fin de

informar tanto aos alumnos/as como ás familias de todos os aspectos relativos a pendentes: datas,

fichas de repaso, vías de comunicación/ información (Aula Virtual, SIXA Familias, correo

electrónico), etc.


481

As probas extraordinarias de pendentes de cada curso, serán comúns para tódolos alumnos e alumnas

agás aqueles/as que tiveran unha Adaptación Curricular do curso non superado. Estarán propostas

polo Departamento e poderá entrar nela toda a materia avaliada durante o curso anterior nese nivel. O alumnado con pendentes poderá facer exercicios de repaso propostos a través das Fichas de repaso

e reforzo que estarán colgados na Aula Virtual. Na ESO terase en conta tanto a cualificación acadada

no exame de pendente como a valoración de exercicios entregados por parte do/a profesor/a actual.

A proba considerarase superada cando se alcance unha puntuación de 5 ou máis puntos. Na ESO a

nota do exame poderá subir ata 1 punto pola realización correcta e presentación en tempo e forma das

fichas de repaso. Aconséllase ás alumnas e aos alumnos acudir aos profesores e profesoras do Departamento para

resolver as posibles dúbidas que poidan ter.

Atención ao alumnado que cambia de modalidade en bacharelato

O alumnado que cambia de modalidade en Bacharelato terá a oportunidade de facer o exame

correspondente na proba extraordinaria de setembro e así poderá demostrar que posúe os

coñecementos precisos para poder superar determinadas materias do departamento de Matemáticas

correspondente ao curso actual. En caso de non superar esa proba poderán presentarse ás probas de

pendentes. A Xefa de departamento organizará material de apoio para a súa preparación indicándolles

os procedementos que permitan acreditar os coñecementos requiridos.

MEDIDAS DE ATENCIÓN Á DIVERSIDADE

A educación secundaria obrigatoria organízase de acordo cos principios de educación común e de

atención á diversidade. As medidas de atención á diversidade nesta etapa estarán orientadas a

responder ás necesidades educativas concretas do alumnado e á consecución das competencias

básicas e dos obxectivos da educación secundaria obrigatoria.

En tódolos grupos de alumnos preséntanse diferentes necesidades educativas ás que hai que dar

resposta, para o cal o profesorado debe realizar as correspondentes adaptacións curriculares. É dicir,

non todo o alumnado aprende as mesmas cousas nin o fai tampouco ó mesmo ritmo. Aínda que a

diversidade de casos con que o profesor pode encontrarse nunha clase pode ser moi ampla, quizais

poidan reducirse a dous grupos: un primeiro grupo constituído por aqueles alumnos que presentan

certa dificultade para adquirir os obxectivos propostos para a clase, e un segundo grupo formado

polos alumnos que poden acadar os obxectivos propostos sen dificultade. En particular, para a atención deste primeiro grupo de alumnos non contaremos durante este curso

cos agrupamentos específicos en 1º de ESO e 2º de ESO, polo que manteremos especial colaboración

có Departamento de Orientación (en función da dispoñibilidade horaria da profesora de apoio) para

aqueles alumnos de 1º e 2º de ESO que o necesiten. Por outra parte, propóñense actividades básicas de reforzo e actividades de ampliación en tódolos los

grupos para atender os distintos niveis de coñecementos.

En concreto, para os alumnos/as que, aínda que se atopan no curso cos demais compañeiros/as, non

teñen superadas as matemáticas do curso anterior, facilitaranse unha serie de fichas de repaso e

reforzo para que intenten superar o nivel anterior, estas serán colgadas na Aula Virtual polo profesor

ou profesora do curso e entregadas polo alumno/a, cargando as súas fotos polo mesmo medio ou

entregando as follas persoalmente, para ser corrixidas polo profesor/a. A valoración positiva destas

actividades por parte do profesor/a será tida en conta para superar a materia do curso anterior. (As medidas de atención á diversidade do alumnado de Matemáticas trátanse no correspondente

apartado da programación en cada un dos cursos)


482

Orientacións para redactar exames e traballos

1.-Para redactar exames ou traballos, non se poden utilizar nin lapis nin bolígrafos ou rotuladores con

tinta encarnada nin borrable. 2.-A escrita debe facerse de esquerda a dereita e de arriba a abaixo, deixando marxes a esquerda e a

dereita. No caso que se opte por unha redacción en varias columnas, estas deben estar perfectamente

determinadas: para poder comezar a redacción da segunda columna, debe rematarse a escrita da

primeira e así sucesivamente. 3.- As distintas follas deben estar numeradas. 4.- Na confección de gráficos e táboas debe extremarse a claridade. 5.- A redacción e a ortografía deben ser correctas, aconséllase explicar brevemente os pasos que se

están facendo no desenvolvemento do exame ou traballo.

6.- Débense evitar ó máximo os borróns e as tachaduras. 7.- O desenvolvemento das cuestións matemáticas teñen que seguir unha secuencia lóxica. 8.- As contas e desenvolvementos alxébricos seguirán unha secuencia coherente.

9.- As solucións deben aparecer despois das exposicións e contas, como consecuencia delas, nunca o

principio das preguntas. Poden resaltarse nun recadro. 10.- Non se debe comezar a redacción dunha nova pregunta sen rematar completamente a redacción

da anterior.

11.- Os símbolos matemáticos son de utilización rigorosa; non se pode improvisa-la súa colocación

nin “inventar” símbolos. Non deben faltar nin sobrar. 12.- A persoa que lea ou corrixa os exames ou traballos non pode “supoñer” o que os redactores/as

“queren dicir”. Ben o contrario, os traballos e exames xúlganse unicamente polo que teñen escrito. 13.- Os traballos poden empezar cunha introdución e/ou un esquema daquilo do que van tratar.

14.- Durante o presente curso, os profesores e profesoras do Seminario de Matemáticas procurarán

cos seus alumnos e alumnas respecten os consellos anteriores. Valorarán positiva ou negativamente o

seu cumprimento que terá reflexo nas cualificacións individuais de cada un.

Uso da calculadora

Tendo en conta que no alumnado se quere fomentar o razoamento lóxico-matemático e a aplicación

correcta dos procedementos matemáticos, o uso da calculadora será limitado á conveniencia ou non

dos exercicios e exames a realizar.

- En 1º e 2º ESO non se permitirá o uso da calculadora a diario na clase nin nas probas ou

exames. Só no terceiro trimestre poderá proporse o seu uso nos temas de xeometría ou nos

que se considere oportuno.

- En 3º ESO e 4º ESO, aínda que se permite o uso axeitado da calculadora en xeral ao longo

do curso, nalgunha parte do temario o seu uso non será permitido nos exames ou probas a

indicacións do/a profesor/a.

- En Bacharelato será necesaria unha calculadora científica de calquera dos tipos das per-

mitidas nas probas ABAU (non programable).

En calquera caso a realización dos exercicios, sexa ou non con calculadora, farase de modo que no

proceso de resolución, todos os pasos estean claros e debidamente xustificados e as conclusións ou

resultados ben sinalados.

A decisión sobre en que partes da materia se pode utilizar ou non a calculadora, será comunicada en

cada momento aos alumnos/as por parte do profesorado, previo acordo de todos/as os/as que imparten

a materia no nivel correspondente.

Plan TICs

As Tecnoloxías da Información e a Comunicación son unha moi útil ferramenta de aprendizaxe,

investigación e comunicación que vaise integrando pouco a pouco nas distintas etapas educativas.


483

A utilización das TICs no ensino das Matemáticas pode mellorar a calidade da docencia e axudar a

acadar os obxectivos propostos nesta materia. Permite unha participación máis activa do alumno no

seu aprendizaxe. Trátase de que o alumnado, ao remate da súa etapa educativa, acade unha competencia dixital, dispoña

de habilidades para buscar, procesar e comunicar información e transformala en coñecemento. Dende o curso 2010-2011 a Consellería de Educación procedeu no noso centro a creación das “aulas

Abalar” para o alumnado de 1º e 2º de ESO (aulas con ordenador para cada alumno, ordenador para

o profesor/a, canón e taboleiro dixital e rede wiffi) e o centro colocou canón e taboleiro dixital en

todas as aulas.

Este ano inclúese o centro para 1ºESO o proxecto E-Dixgal onde profesorado e alumnado

desenvolverán a súa actividade educativa diaria nun entorno de “moodel” que lles vai permitir

acceder a contidos dixitais O departamento de Matemáticas utilizará as posibilidades que estas aulas lle ofrecen así como a Aula

Virtual do centro creando acceso a contidos de ampliación e reforzo para cada curso e coa posibilidade

de cargar material complementario de traballo e apoio.

Ademais o Departamento de Matemáticas seguirá incorporando no proceso de aprendizaxe dos seus

alumnos as seguintes ferramentas: - Utilización da calculadora na clase, coa finalidade de aproveitar as súas posibilidades adecuándose

aos coñecementos matemáticos de cada nivel. - Uso da pantalla dixital como complemento das explicacións do profesor, para presentación de temas

concretos, gráficas, esquemas, etc. - Utilización da páxina web do centro para dar difusión a noticias de interese para o alumnado

relacionadas con departamento.

- Uso do correo electrónico para enviar información para os alumnos de Bacharelato. - Por último utilización de internet para buscar información, facilitando os alumnos páxinas web

relacionadas coa materia para que dispoñan de material de consulta.

Plan Lector

Tal e como indica o plan lector elaborado polos responsables da dinamización da biblioteca e asumido

polo Centro, o departamento de Matemáticas incorpora na súa programación dito plan. Este departamento considera que é necesario que os alumnos adquiran unha boa comprensión lectora

sobre todo coa idea de abordar problemas e interpretalos correctamente. No desenvolvemento diario

da materia, nos distintos cursos, xa se intenta este proceso, pero queremos ir un pouco máis alá,

pretendemos facerlle ver ao alumnado que as matemáticas tamén teñen cabida na literatura a través

de certos libros que desenvolven a súa trama arredor das matemáticas, e así intentar que se lles faga

máis atractiva a súa aprendizaxe. É evidente que na elaboración da programación dos departamentos de linguas (Español, Galego,

Inglés, Francés,…) aparecen como elementos fundamentais as lecturas obrigatorias e voluntarias. Se

o departamento de Matemáticas incorpora novas lecturas para o alumnado de carácter obrigatorio,

isto podería supoñer unha carga de traballo excesiva para o alumnado, polo cal o plan lector

continuará, como en anos anteriores, como unha lectura voluntaria. Co fin de ir creando máis opcións

de lectura, recomendaremos dous libros e, ao rematar a súa lectura, os alumnos/as completarán una

guía de lectura proporcionada polo Departamento.

Relación de libros: 1º e 2º ESO: “Malditas matemáticas: Alicia en el país de los números”. Autor: Carlo Frabetti. “El asesinato del profesor de Matemáticas”. Autor Jordi Sierra i Fabra.

“Aventuras matemáticas: En busca del código secreto”. Autor: Constantino Ávila. (Ed. Brief).

3º e 4º ESO:

“El teorema del loro”. Autor: Denis Guedj


484

“El hombre que calculaba”. Autor: Malba Tahan.

“El curioso incidente del perro a medianoche”. Autor: Mark Haddon. (Ed. Salamandra).

Bacharelato:

“La fórmula preferida del profesor.” Autor: Yoko Ogawa. (Editorial Funambulista).

” El curioso incidente del perro a medianoche”. Autor: Mark Haddon. (Ed. Salamandra).

“El diablo de los números”. Autor: Hans Magnus Enzesberger. (Editorial: Siruela).

Accións de contribución ao plan de convivencia

Os profesores/as do Departamento de Matemáticas levarán a cabo as súas actuacións conforme ao

Plan de Convivencia do centro, fomentando, deste modo, o respecto entre os membros da comunidade

educativa.

Se contemplarán, entre outras, as seguintes accións: - Fomentar un clima de tolerancia e diálogo na aula.

- Alertar de posibles comportamentos discriminatorios, co fin de que se tomen as medidas oportunas. - Favorecer o traballo cooperativo entre o alumnado. - Favorecer a inclusión na aula das dinámicas propostas polo Observatorio de Convivencia do centro,

para a mellora da convivencia e a resolución pacífica de conflitos.

Actividades Complementarias e Extraescolares

As actividades extraescolares e complementarias propostas normalmente polo departamento de

Matemáticas para este curso non poden preverse debido á excepcionalidade da situación de pandemia

por COVID-19. Se esta situación cambiase poderíase intentar facer as seguintes:

- Participación no Dia das Matemáticas. - Participación na semana da Ciencia e a Tecnoloxía.

- Posible participación: • No Rallye Matemático para 3º e 4º da ESO.

• Na Olimpíada Matemática para 2º de ESO e na Olimpíada Matemática de Bacharelato. - Outras actividades que poidan xurdir o longo do curso e que sexan de interese.

Procedementos para avaliar a propia programación

Farase un seguimento mensual da programación para a coordinación entre os profesores que impartan

a mesma materia, e por avaliacións para comprobar o grado de cumprimento de dita programación

en cada curso e grupo.

É moi importante, que, para asegurar o éxito do proceso de ensino-aprendizaxe, o profesorado

reflexione, analice e avalíe a súa propia práctica docente, tanto a nivel individual tanto a nivel

colectivo como membro do departamento de matemáticas, do equipo docente da aula e do claustro

de profesores.

Na memoria de fin de curso indicarase o grado de consecución da programación valorando, no caso

de que dita programación non fose cumprida na súa totalidade, as incidencias que puideran acontecer

ao longo do curso como os niveis iniciais de coñecemento insuficiente dos alumnos, a falta de

motivación ou traballo dos alumnos, a perda de horas de clase por distintas razóns…

Considerarase cumprida a programación se o grado de consecución da mesma fose superior ao 75%.

Non se considerará incumprimento da programación a non realización das actividades extraescolares

e complementarias previstas se as causas son a falta de implicación do alumnado, razóns de tipo

económico, ou calquera outra que non sexa responsabilidade do profesorado.

No anexo I inclúese un cuestionario de avaliación da práctica docente para avaliar, tanto o traballo

persoal, como a coordinación do departamento.


485

OUTROS ESCENARIOS POSIBLES QUE IMPIDAN A PRESENCIALIDADE

CLASES SEMIPRESENCIAIS Segundo a organización do centro, a semipresencialidade darase cando haxa alumnado confinado

por motivo da Covid-19 ou situacións similares que impliquen unha ausencia prolongada a clase do

alumnado.

As aulas virtuais utilizaranse, de ser o caso e nos supostos de educación a distancia, para o alumnado

que parcialmente estea en situación de corentena cando non exista suspensión da actividade presencial

no conxunto da aula, sen prexuízo doutras opcións de formación a distancia que se poidan por en

funcionamento.

Todo o profesorado deste departamento ten creado un curso para cada grupo/nivel e asegurarase de

que o seu alumnado coñece o funcionamento do seu curso e da metodoloxía que seguirá no hipotético

caso de ter que realizar o ensino a distancia.

Nos casos en que poida facerse efectiva, promoverase a realización dalgunha sesión a través de Webex

ou plataforma similar para resolver dúbidas e comprobar o grao de adquisición do traballado.

CLASES NON PRESENCIAIS Tal e como ven recollido no Plan de Continxencia do centro, no caso de que se teña interrompido a

suspensión da actividade lectiva como consecuencia da aparición dun abrocho que supoña o cese da

actividade presencial nun aula/etapa educativa/centro (non asistirán ao centro aqueles estudantes,

docentes e outros profesionais que teñan síntomas compatibles con COVID-19, así como aqueles que

se atopen en illamento por diagnóstico de COVID-19, ou en período de corentena domiciliaria por

ter contacto estreito con algunha persoa con síntomas ou diagnosticada de COVID-19).

A autoridade sanitaria, en función do número de contaxios, poderá ordenar o peche dunha ou varias

aulas, dun nivel educativo ou do centro educativo na súa totalidade de conformidade supostos

previstos no Plan de Adaptación á situación COVID no curso 2020-2021. A suspensión da actividade

lectiva presencial suporá a aplicación das normas previstas na presente programación relativas ao

ensino a distancia.

O ensino non presencial será impartido polo profesorado ordinario do alumnado preferentemente a

través da aula virtual de cada grupo. O profesorado realizará o seguimento do alumnado impartindo

os coñecementos da materia de xeito virtual a través dos contidos dispoñibles ben achegados polo

profesorado o ben os que poña a disposición a Consellería.

Dentro das pautas a seguir terase en conta:

• Manter o contacto permanente co alumnado e as súas familias, tanto para coñecer a evolución

do estado de saúde como para continuar co ensino a distancia. Poderá ser a través da

mensaxería da Aula Virtual ou a través do correo electrónico.

• Actualizar a aula virtual do grupo para garantir a continuidade no proceso de ensino

aprendizaxe.

• Igualmente o/a profesor/a poderá poñer tarefas ao alumnado que reforcen o contido da materia

ou a avaliación continua da mesma.

• Resolver dúbidas e comprobar o adquirido telemáticamente.

• Comprobar o grao de adquisición do traballado.

Neste sentido tanto nas posibles situacións de semipresencialidade como nunha suposta situación de

suspensión da actividade lectiva, Todas as tarefas que se remitan a través da Aula Virtual ou por correo

electrónico deben estar feitas polo alumnado e aquelas Fichas ou Probas de seguimento que puideran


486

puntuar na cualificación dun trimestre ou do curso deben constatar que o/a alumno/a as fixo sen axuda

(como se estivera en clase). En todo momento poderase requirirlle que o acredite. En caso de necesitar

máis información ou de que non se teña a certeza de que é o/a propio/a alumno/a quen realizou as

actividades propostas, o profesorado poderá realizar unha proba a través de WebEx ou outra

plataforma axeitada propoñéndolle cuestións e/ou exercicios nos que demostre que o/a alumno/a as

sabe resolver por se mesmo. Polo tanto se copian, poderíase non consideralos como feitos. E, en tal

caso, actuarase de acordo ás NOF, no punto 4.5.1 apto. n) “As condutas inapropiadas durante a

realización de probas, exames ou actividades cualificables por intento de adulterar os resultados da

súa cualificación coa utilización de medios de copia (manual, electrónica, etc.), así como calquera

procedemento de suplantación persoal o da propia proba/exame.” Coa conseguinte medida

correctora no punto 4.5.2 apto. c) “1.Retirada do exame/proba/exercicio; 2.Retirada do mecanismo

de copia (se o alumno/a se negase a entregalo deixarase constancia) 3.A proba/ exame/ exercicio

será cualificada con 0 puntos, con independencia do que teña escrito. Nas programacións dos

diferentes departamentos se especificarán as consecuencias posteriores. Deixarase constancia por

escrito na falta de conduta destas actuacións.”

Asinan este proxecto didáctico os membros do Departamento :

Asdo.: Armesto Ramón, Diego Félix

Asdo.: Calvo Seoane, Lourdes Cristina

Asdo.: Lorenzo González, María del Mar

Asdo.: Martínez Souto, Rosalía

Asdo.: Pérez Amor, Dominga Inmaculada

Asdo.: Pérez Creo, Maria Susana

Asdo.: Pou de los Mozos, Natalia

Asdo.: Rego Sanmartín, María Teresa

Asdo.: Ruiz Soto, Ana

Asdo.: Vázquez Febrero, María del Pilar

Betanzos, Outubro de 2020


Anexo I: Rúbrica de avaliación da práctica docente.

CURSO: ________ GRUPO: ________ EVALUACIÓN

1. COORDINACIÓN DO DEPARTAMENTO DURANTE A AVALIACIÓN

1.1 Número de reunións de coordinación mantidas:

1.2 Índice de asistencia ás mesmas:

1.3 Número de sesións de avaliación celebradas:

1.4 Índice de asistencia ás mesmas:

1.5 Observacións:

2. AXUSTE DA PROGRAMACIÓN DOCENTE

2.1 Número de clases durante o trimestre:

• N.º de clases previstas

• N.º de clases impartidas

• Porcentaxe

2.2 Estándares de aprendizaxe avaliables propostos na avaliación:

• N.º de estándares de aprendizaxe programados traballados

• N.º de estándares de aprendizaxe programados que non se traballaron.

2.3 Estándares ou criterios programados que non se traballaron:

CAUSA SI a) Programación pouco realista respecto ao tempo dispoñible.

b) Perda de clases.

c) Outros (especificar).

2.4 Proposta docente respecto a os estándares de aprendizaxe non traballados:

PROPOSTA ESTÁNDARES a) Traballaranse na seguinte avaliación.

b) Traballaranse mediante traballo para casa.

c) Traballaranse durante o curso seguinte.

d) Non se traballarán.

e) Outros (especificar).

2.5 Organización e metodoloxía didáctica:

INDICADORES VALORACIÓN

4 3 2 1

a) Espazos

b) Tempos

c) Recursos e materiais didácticos

d) Agrupamentos

e) Outros (especificar)

Observacións:

2.5.1 Idoneidade dos instrumentos de avaliación empregados:

2.5.2 Outros aspectos que destacar:

3. CONSECUCIÓN DE ESTÁNDARES DE APRENDIZAXE

3. 1 Porcentaxe de alumnos que obteñen determinada cualificación, respecto ao total de alumnos do grupo

Sobresaliente Notable Ben Suficiente Insuficiente

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Porcentaxe

1ª 2ª 3ª


488

4. GRAO DE SATISFACCIÓN DAS FAMILIAS E DOS ALUMNOS

4.1 Grao de satisfacción dos alumnos co proceso de ensino:

INDICADORES GRAO DE SATISFACCIÓN

4 3 2 1

a) Traballo cooperativo

b) Uso das TIC

c) Materiais e recursos didácticos

d) Instrumentos de avaliación

e) Outros (especificar)

4.2 Propostas de mellora formuladas polos alumnos:

4.3 Grao de satisfacción das familias co proceso de ensino:

INDICADORES GRAO DE SATISFACCIÓN

4 3 2 1

a) Tarefas escolares para casa

b) Actividades complementarias e extraescolares

c) Comunicación do centro coas familias

d) Outros (especificar)

4.4 Propostas de mellora formuladas polas familias:

Proxecto Didáctico DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS...1 grupo de Matemáticas 1º ESO 5 h Total 131 h...

Documents

Transcript of Proxecto Didáctico DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS...1 grupo de Matemáticas 1º ESO 5 h Total 131 h...