Proyecciones
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GEOMETRÍA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA DESCRIPTIVA INTRODUCCIÓN: INTRODUCCIÓN: Proyecciones Proyecciones L T H V A a a ’ 1 a’
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GEOMETRÍA GEOMETRÍA DESCRIPTIVADESCRIPTIVA
INTRODUCCIÓN:INTRODUCCIÓN:
ProyeccionesProyeccionesL
TH
V
A
a
a’1
a’
2
Proyección OrtogonalProyección Ortogonal
La proyección ortogonal de un punto A sobre un plano P, es el punto a a que se encuentra en la intersección del plano P con su perpendicular bajada desde A.
A
a
P
3
La proyección ortogonal de un segmento es menor o a lo sumo igual al segmento.Se cumple que:
ab = AB cos
A
B
a b
P
4
Aquí vemos que la proyección ortogonal por sí sola no sirve para representar un objeto de modo que se pueda posteriormente “leer”, es decir reconocer el objeto proyectado.La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es única. P
5
Proyección PolarProyección PolarEsta proyección se obtiene mediante una recta que pasa por el punto dado y por un punto fijo, fuera del plano de proyección, llamado polo ().Esta proyección es única
.
.A
a
P
6
En la proyección polar, las imágenes pueden ser mayores menores o iguales al original, dependiendo de las posiciones relativas del plano, polo y figura original.
P
7
Geometría Descriptiva Geometría Descriptiva AcotadaAcotada
Los puntos de igual altura o cota se unen mediante curvas de nivel.Aquí podemos apreciar la forma de una montaña de 2000 m. de altura.
500
10001500
2000
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Geometría Descriptiva Geometría Descriptiva DiédricaDiédrica
La Geometría Descriptiva Diédrica fue creada por Gaspard Monge a fines del siglo XVIII.Resuelve el problema de representar en dos dimensiones objetos del espacio tridimensional, de modo que se pueda “leer” su exacta dimensión, forma y ubicación espacial.
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Planos de ProyecciónPlanos de Proyección
Cada punto del espacio se proyecta sobre dos planos de proyección: el Plano Horizontal de proyección H y el Plano Vertical de Proyección V. La intersección de ambos planos se llama Línea de Tierra, LT.
L
T
H
V
10
Los Planos de Proyección forman cuatro ángulos diedros rectos, que se enumeran en forma análoga a los cuadrantes del sistema cartesiano. Como los planos son infinitos, el espacio queda dividido en estos 4 diedros.Siempre nos considera-remos ubicados en el Primer diedro.
L
T
H
V
Primer diedroSegundo diedro
Tercer diedro Cuarto diedro
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La Línea de Tierra divide a cada Plano de Proyección en dos semi-planos, como se indica en la figura.El primer diedro está limitado por los semi-planos HA y VS.Solo lo que está en el primer diedro es visible.Los elementos de los otros diedros son invisibles.
L
T
H
V
HorizontalAnterior
HorizontalPosterior
VerticalSuperior
Vertical Inferior
12
¿Cómo se proyecta un ¿Cómo se proyecta un punto?punto?
Cada punto (en este caso en el 1er diedro) se proyecta ortogonalmen-te sobre ambos Planos de Proyección.Se obtiene así la proyección horizontal ay la proyección vertical a’1.
Pero aún estamos en 3 dimensiones...
L
T
H
V
A
a
a’1
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AbatimientoAbatimientoMediante un abatimiento se hace girar el plano V en torno a LT y en sentido anti horario, hasta que coincida con el plano H.La proyección vertical a’1 pasa ahora a denominarse a’.Las proyecciones a y a’ quedan ahora en un mismo plano y se encuentran unidas por una perpendicular a LT llamada línea de referencia. La línea de referencia se representa por segmentos cortos (2 a 3 mm).
L
T
H
V
A
a
a’1
a’
14
DepuradoDepurado
El resultado del abatimiento se conoce como depurado.Queda dividido en dos partes por LT La parte sobre LT contiene a las proyecciones que se encuentran en VS y HP.La parte bajo LT contiene a las proyecciones que se encuentran en HA y VI.
a’
a
L T
0
VSHP
HAVI
15
Coordenadas de un Coordenadas de un puntopunto
Un punto en el espacio tiene 3 coordenadas:
Cota: es la distancia del punto al plano H.
Alejamiento: es la distancia del punto al plano V.
Distancia: que mide la distancia del punto a un plano virtual, perpendicular a ambos planos de proyección.
Este plano virtual determina en LT el origen o punto cero.
16
a’
a
L T
cota
alejamiento
0
distanciaL
T
H
V
A
a
a’1
a’
cota
alejamiento
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En el depurado las coordenadas se miden de la siguiente manera:La cota se mide, en la línea de referencia, entre LT y la proyección vertical del punto.El alejamiento se mide en la línea de referencia, entre LT y la proyección horizontal del punto.La distancia se mide en LT desde el 0 hasta la línea de referencia. Positiva a la derecha, negativa a la izquierda.
a’
a
L T
cota
alejamiento
0
distancia
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Signos de Cota y Signos de Cota y AlejamientoAlejamiento
Si el punto está por arriba de H, la cota es positiva.Si es punto está por debajo de H, la cota es negativa.Si el punto está justo en H la cota es 0.
Si el punto está delante de V, el alejamiento es positivo.Si el punto está detrás de V, el alejamiento es negativo.Si el punto está justo en V, el alejamiento es 0.
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Signos de Cota y Signos de Cota y AlejamientoAlejamiento
L
T
H
V
Cota +
Alejamiento +
Cota +
Alejamiento -
Cota -
Alejamiento +
Cota -
Alejamiento
-
20
Primer diedroPrimer diedro
a’
a
L T
0
L
T
H
V
A
a
a’1
a’
21
Segundo diedroSegundo diedro
L T
0
b
b’
L
T
H
V
B
b b’
b’1
22
Tercer diedroTercer diedro
L T
0
c
c’L
T
H
V
C c’1
c c’
23
Cuarto diedroCuarto diedro
L
T
H
V
Dd’1
d’ d
L T
0
d’
d
24
A(3,5,2) B(7,3,-4) C(10,-2,-5) D(13,-3,4)
L T
a'
a
b
b'
c
c' d'
d
1er diedro 2º diedro 3er diedro
4º diedro
25
Horizontal AnteriorHorizontal Anterior
L
T
H
V
Aaa’ a’
a
L T
0
26
Horizontal PosteriorHorizontal Posterior
L
T
H
V
B
bb’ L T
0
b
b’
27
Vertical SuperiorVertical Superior
c’
cL T
0
L
T
H
V
c’1 C
c’ c
28
Vertical InferiorVertical Inferior
d’
L T
0 d
L
T
H
V
d’1
D
d’d
29
Línea de TierraLínea de Tierra
e’
eL T
0
L
T
H
V
ee’
E
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Planos BisectoresPlanos Bisectores
El bisector de un diedro es un semiplano que lo divide en dos diedros iguales. Los planos bisectores son:El 1er Bisector que divide en 45° al 1er y 3er diedros.El 2° Bisector que divide en 45° al 2° y 4°.Todos los puntos de los planos bisectores tienen cota y alejamiento de la misma magnitud.
Primer BisectorSegundo bisector
31
Puntos en los Puntos en los bisectoresbisectores
V
H
A
B
C
D
a’
a
b b’c
c’
d d’
L T
