PROYECTO DE ANALISIS NUMERICO

Integrantes:

Juan TenesacaRoberto Rodríguez

Introducción General. - Una ecuación eliptica en derivadas parciales de segundo orden es una ecuación

diferencial parcial del tipo en la cual

la matriz z  es definida positiva.

Un ejemplo de una ecuación diferencial parcial elíptica es la ecuación de Poisson, la ecuación de Laplace,

la ecuación biarmónica y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Las ecuaciones elípticas se diferencian de las parablólicas e hiperbólicas en que éstas últimas son ecuaciones

de evolución y hay un parámetro que se puede identificar como tiempo, mientras que en las elípticas no. Así

por ejemplo, la ecuación de Schödinger independiente del tiempo es elíptica mientras que la dependiente del

tiempo es parabólica.

Planteo y solución del problema. –

Un cable coaxial esta hecho de un conductor interno cuadrado de 0.1 pulgadas y un conductor externo no cuadrado de 0.5 pulgadas. La ecuación de Laplace describe el potencial en el punto de la sección transversal del cable. Suponga que conservamos el conductor interno en 0 volteos e interno en 110 V. Calcule el potencial entre los dos conductores, colocando una cuadricula con espaciamiento horizontal de red h=0.1 pulgadas y con espaciamiento vertical de red k=0.1 pulgadas. En la región

D= {( x , y )∨0<x , y<0.5 }

Aproxime la solución a la ecuación de Laplace en cada punto de la cuadricula y use dos conjuntos de condiciones de la frontera para derivar un sistema lineal a resolver con el método de Gauss – Seidel.

Para la solución del problema, dibujaremos la cuadricula del area transversal del conductor:

X X X X X

X X X X X

X X X X X

X X X X X

X X X X X

Figura 1.1 “Grafico del problema”

Luego definimos la función g(x,y) y f(x,y) de tal manera que podamos modelar las ecuaciones a fin de llevarlas a una matriz y resolver por medio de Gauss – Seidel.

∂2u∂ x2 + ∂

2u∂ y2 =f (x . y )

g ( x , y )=funcionde voltaje

Entonces dado el contexto del problema, podemos definir la función g(x,y) por tramos:

g ( x ,0 )=110

g ( x ,0.5 )=110

g (0 , y )=110

g (0.5 , y )=110

g (0.2 , y )=0 y g (0.3 , y )=0 ;0.2< y<0.3

g ( x ,0.2 )=0 y g ( x ,0.3 )=0 ;0.2<x<0.3

Luego usamos la ecuación general para ecuaciones parciales elípticas aprendida en clases:

2[ hk +1 ]Uij−(U (i+1 ) j+U (i−1 ) j )−( hk)

2

(Ui ( j+1 )+Ui ( j−1 ) )=−h2 f (xi , yj)

Luego al sustituir los valores asignados, obtenemos:

4Uij−U (i+1 ) j−U ( i−1 ) j−Ui ( j+1 )−Ui ( j−1 )=0

Y a continuación empezamos las iteraciones respectivas:

i=1 j= 1

4U11 – U21 – U01 – U12 – U10 = 0

4U11 – U21 - 110 – U12 – 110 = 0

Observación: U01 = 110 porque se encuentra en la región externa del conductor que tiene un potencial constante de 110 V, al igual que U22 tiene un valor de 0V por encontrarse en la región interna del conductor, lo mismo pasara con los nodos que cumplan las mismas condiciones.

4U11 – U21 – U12 = 220 Esta es la primera ecuación del sistema de 16x16 de la misma manera procederemos a plantear las demás ecuaciones del sistema para finalmente resolverlo.

4U 12−U 13−U 11=110 “2da ecuación del sistema”

4U 13−U 14−U 12=110 “3ra ecuación del sistema”

4U 14−U 24−U 13=220“4ta ecuación del sistema”

4U 21−U 31−U 11=110 “5ta ecuación del sistema”

U 12+U 21=0 “6ta ecuación del sistema”

U 13+U 24=0 “7ma ecuación del sistema”

4U 24−U 34−U 14=110 “8va ecuación del sistema”

4U 31−U 41−U 21=110 “9na ecuación del sistema”

U 42+U 33+U 31=0 “10ma ecuación del sistema”

U 43+U 34=0 “11va ecuación del sistema”

4U 34−U 44−U 24=110 “12va ecuación del sistema”

4U 41−U 31−U 42=220 “13va ecuación del sistema”

4U 42−U 43−U 41=110 “14va ecuación del sistema”

4U 43−U 44−U 42=110 “15va ecuación del sistema”

4U 44−U 34−U 43=220 “16va ecuación del sistema”

Este sistema es posible resolverlo mediante 2 programas que actúan de manera independiente, el primero que nos pregunta nodo a nodo y un segundo que es una función la cual tiene 3 variables, una matriz de dimensión nxn , un vector de dimensión nx1 y la tolerancia deseada.

Para resolver, utilizaremos los dos métodos, al poner el sistema de ecuaciones en MATLAB la solución nos queda:

i j Xi Yj V1 4 0.1 0.4 8.82 1 0.2 0.1 664 2 0.4 0.2 66

Luego el código fuente de los programas que nos permitieron resolver el problema son:

function x = GaussSeidel(A,b,varargin) % Implementacion del metodo Gauss-Seidel para la solucion de sistemas% de ecuaciones, tomando como aproximacion inicial x0.%% x = GaussSeidel(A,b,x0=zeros,eps=0.001,nrm=Inf)%% Regresa x, la solucion del sistema Ax=b. El criterio de terminacion es% que norm(x-xAnt,nrm)/norm(x,nrm)<eps.

MAXCICLOS = 1000;MAXPIVOTE = 1;n = size(A,1);x = zeros(n,1);eps = 0.001;nrm = Inf;if length(varargin)>=1 x = varargin{1};endif length(varargin)>=2 eps = varargin{2};endif length(varargin)>=3 nrm = varargin{3};endA = [A b]; if MAXPIVOTE==0 for i=1:n-1 % Encontrar renglon del maximo pivote k = find(abs(A(:,i))==max(abs(A(i:n,i))),1,'last'); if k~=i % Intercambiar renglones rPivote = A(k,:); A(k,:) = A(i,:); A(i,:) = rPivote; end endend b = A(:,n+1);A = A(:,1:n); % Se obtienen el vector c y la matriz Tc = b./diag(A);T = zeros(n);for i=1:n T(i,:) = A(i,:)/A(i,i);endT = -T+eye(n); xAnt = x;j = 0;while 1 j = j+1; if j>MAXCICLOS warning('numero maximo de ciclos excedido') break end for i=1:n x(i) = T(i,:)*x + c(i); end if (norm(x-xAnt,nrm)/norm(x,nrm)<eps) break end xAnt = x;

end

El otro programa es:

clc;clear;n=0;while(n<=0 | n~=fix(n))n=input('Ingrese la dimension de la matriz del sistema de ecuaciones \n');endfor i=1:n for j=1:n fprintf('ingrese el valor de la matriz de la fila %d columna %d', i, j); A(i,j)=input(' '); clc; endendfor i=1:n fprintf('Ingrese el valor constante de la fila %d', i); C(i,1)=input(' '); clc;endX=(inv(A))*C;fprintf('Los valores buscados son: \n');X

Bibliografia:

Analisis numérico, Richard L. Buerden, Septima edición, Editorial M.