Proyecto E. Math

Estudios Matemáticos NM Evaluación interna

Primeros exámenes: 2006

Material de ayuda al profesor

Programa del Diploma

Organización del Bachillerato Internacional

Buenos Aires Cardiff Ginebra Nueva York Singapur

Primeros exámenes: 2006


Material de ayuda al profesor deEstudios Matemáticos NM

Evaluación interna

586

Impreso en el Reino Unido por Anthony Rowe Ltd (Chippenham, Wiltshire)

Publicada en marzo de 2005

por la Organización del Bachillerato InternacionalPeterson House, Malthouse Avenue, Cardiff Gate

Cardiff, Wales GB CF23 8GLReino Unido

Tel.: + 44 29 2054 7777Fax: + 44 29 2054 7778Sitio web: www.ibo.org

© Organización del Bachillerato Internacional, 2005

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Material de ayuda al profesor de Estudios Matemáticos NM: evaluación interna

Versión en español del documento publicado en marzo de 2005 con

el título Mathematical studies SL: internal assessment—teacher support material

Índice


Introducción 1

Ventajas del trabajo del proyecto 2

Habilidades y estrategias 5

Elección de un tema 8

Integración en la programación del curso 15

Uso de medios tecnológicos 24

Supervisión de los alumnos 25

Ejemplos de proyectos 32

Criterios de evaluación 127

Evaluación de proyectos 135

Preguntas frecuentes 141

© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 1

Introducción


Los primeros exámenes del nuevo programa de Estudios Matemáticos Nivel Medio (NM) se realizarán en mayo de 2006.

Esta publicación complementa la guía de Estudios Matemáticos NM, publicada en abril de 2004, que contiene el programa y los requisitos para la evaluación de todo el curso. Cuando ha sido conveniente se han reproducido aquí extractos de la guía para facilitar la referencia. En esta publicación se ofrecen sugerencias y orientación para la implementación del componente de evaluación interna, el proyecto. No se han reproducido aquí el reglamento general ni los procedimientos relacionados con la evaluación interna pero pueden encontrarse en la sección correspondiente del Vademécum.

El componente de evaluación interna en esta asignatura se implementa en forma de un proyecto: un trabajo escrito basado en la investigación personal llevada a cabo por el alumno que conlleva la obtención, el análisis y la evaluación de datos. Los alumnos pueden elegir entre una amplia variedad de tipos de proyectos, por ejemplo, modelos matemáticos, investigaciones, aplicaciones y estudios estadísticos. El trabajo del proyecto deberá integrarse dentro de la programación del curso para que los estudiantes tengan la oportunidad de adquirir las destrezas necesarias para realizar un buen proyecto. Se espera también que los alumnos reciban para este trabajo orientación y supervisión individuales por parte del profesor.

El profesor de Estudios Matemáticos se enfrenta a una tarea interesante y exigente. Esta publicación contiene material aportado por profesores para ayudar a otros profesores y tiene como finalidad ofrecer ideas y prestar apoyo de diversas maneras. Por ejemplo, ofrece sugerencias sobre temas adecuados, técnicas para integrar el proyecto en la programación del curso y modos de supervisar a los alumnos. También incluye ejemplos de proyectos calificados siguiendo los criterios de evaluación.

IBO agradecerá a los profesores los comentarios que deseen hacer sobre esta publicación, así como las ideas que deseen aportar para la enseñanza de la asignatura, que puedan resultar útiles para otros profesores de colegios que imparten el Programa del Diploma. Los comentarios deben dirigirse a los responsables de asignaturas del Grupo 5 en las oficinas de IBO en Cardiff (Reino Unido).

2 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005


Ventajas del trabajo del proyecto

IntroducciónEsta sección describe de qué manera los alumnos pueden beneficiarse de la realización del trabajo del proyecto. Para comenzar, se analizan los objetivos generales y específicos de la asignatura, que son los mismos para todas las asignaturas de matemáticas del Grupo 5. Se discute después el propósito del proyecto y se finaliza con un resumen de las ventajas de realizar este trabajo.

Objetivos generalesEn la guía de Estudios Matemáticos NM se enumeran los siguientes objetivos generales del Grupo 5:

Todas las asignaturas del Grupo 5 tienen como meta permitir a los alumnos:

• apreciar las perspectivas multiculturales e históricas de todas las asignaturas de este grupo

• disfrutar de los cursos y llegar a apreciar la elegancia, las posibilidades y la utilidad de las asignaturas

• desarrollar el pensamiento lógico, crítico y creativo

• desarrollar una comprensión de los principios y la naturaleza de la asignatura

• emplear y perfeccionar sus capacidades de abstracción y generalización

• ejercitar la paciencia y la perseverancia en la resolución de problemas

• valorar las consecuencias derivadas de los avances tecnológicos

• aplicar destrezas a distintas situaciones y a la evolución de éstas

• comunicarse con claridad y confianza en diversos contextos.

Estos objetivos generales indican al profesor el tipo de experiencias que debería intentar ofrecer a cada uno de sus alumnos. Se espera que los alumnos tengan oportunidades de apreciar la dimensión internacional de las matemáticas y la multiplicidad de sus perspectivas culturales e históricas. Todo ello puede lograrse mediante discusiones cuando surjan temas relacionados con estos aspectos, y a través de referencias a la información de contexto adecuada. El proyecto ofrece amplias oportunidades para esto.

La mayoría de estos objetivos generales se logra a través de objetivos específicos que se evalúan formalmente como parte de la asignatura, sea en los exámenes, en el proyecto, o en ambos. Estos objetivos específicos se enumeran a continuación y, entre ellos, aparecen resaltados en negrita los que son especialmente aplicables al trabajo del proyecto.



Objetivos específicosEn la guía de Estudios Matemáticos NM se enumeran los siguientes objetivos específicos. Los que aparecen en negrita se evalúan a través del componente de la evaluación interna.

Se espera que los alumnos que hayan seguido cualquiera de los cursos de matemáticas del Grupo 5 conozcan y utilicen ciertos conceptos y principios matemáticos. En concreto, han de ser capaces de:

• leer, interpretar y resolver un problema dado utilizando términos matemáticos adecuados

• organizar y representar la información y los datos en forma de tablas, gráficas y diagramas

• conocer y usar la terminología y la notación adecuadas

• formular un razonamiento matemático y exponerlo con claridad

• seleccionar y utilizar técnicas y estrategias matemáticas adecuadas

• demostrar la comprensión tanto del significado de los resultados como de su coherencia

• reconocer modelos y estructuras en situaciones diversas y hacer generalizaciones

• reconocer las aplicaciones prácticas de las matemáticas y demostrar su comprensión

• utilizar como herramientas matemáticas los instrumentos tecnológicos apropiados

• demostrar la comprensión de los modelos matemáticos y saber utilizarlos apropiadamente.

Criterios de evaluaciónLos criterios de evaluación del proyecto han sido desarrollados para abordar estos objetivos.

La descripción detallada de los criterios de evaluación se encuentra en la guía de Estudios Matemáticos NM y se reproduce en este documento para facilitar la referencia.



Propósito del proyectoAdemás de servir para evaluar formalmente los objetivos de la asignatura, el trabajo del proyecto proporciona a los alumnos oportunidades de adquirir competencias en áreas que pueden enriquecer tanto su educación como su desarrollo personal. Todo ello se describe en el apartado correspondiente a la evaluación interna de la guía de Estudios Matemáticos NM y se reproduce aquí para facilitar la referencia.

Los objetivos específicos del proyecto son:

• que los estudiantes desarrollen una perspectiva propia acerca de la naturaleza de las matemáticas, así como la capacidad para plantearse sus propias preguntas sobre la disciplina

• animar a los alumnos a emprender un trabajo matemático y llevarlo a cabo

• que los alumnos sean capaces de adquirir confianza para desarrollar estrategias que les permitan abordar problemas y situaciones nuevas

• proporcionar a los estudiantes oportunidades para que desarrollen sus propias técnicas y destrezas, y que alumnos con diversas aptitudes, intereses y vivencias puedan llegar a sentir satisfacción personal con el estudio de las matemáticas

• que los estudiantes sean capaces de percibir las matemáticas como una disciplina integrada y no como destrezas y conocimientos fragmentados y separados en compartimentos estancos

• que los estudiantes descubran la relación entre las matemáticas y otras áreas de interés, así como sus aplicaciones

• proporcionar a los estudiantes oportunidades de exponer con confianza lo que saben y lo que son capaces de hacer.

Resumen de las ventajas del trabajo del proyectoExisten cuatro ventajas destacables en el trabajo del proyecto. Este trabajo ofrece un marco adecuado para:

• lograr los objetivos generales de la asignatura

• alcanzar la mayoría de los objetivos específicos de la asignatura

• recompensar a los estudiantes por su compromiso personal con el trabajo del proyecto

• contribuir al crecimiento y al desarrollo personal del alumno.


Habilidades y estrategias


IntroducciónPara la mayoría de los alumnos de Estudios Matemáticos NM y tal vez para un número importante de profesores, el proyecto representa una tarea enorme. Por tanto, puede resultar útil concebirlo como la suma de partes discretas más pequeñas, cada una de las cuales requiere habilidades y estrategias especiales. Generalmente es poco realista esperar que los alumnos tengan estas habilidades específicas o sean capaces de seguir determinadas estrategias al comenzar este curso.

Muchas de las habilidades y estrategias que a continuación se describen pueden incorporarse a la programación del curso aplicándolas a diversas situaciones dentro y fuera de la clase. De este modo, los alumnos pueden practicar ciertas habilidades y aprender a seguir las estrategias apropiadas en un entorno más estructurado, antes de pasar a trabajar independientemente en sus proyectos.

Esta sección describe muchas de las habilidades y estrategias requeridas, y da referencias a los profesores sobre otras partes de este documento que pueden ser de ayuda como punto de partida para el desarrollo de las mismas.

Habilidades y estrategias necesarias

PreparaciónElección de un tema• Identificar un tema apropiado

• Delimitar un tema para convertirlo en una cuestión más específica

• Desarrollar una tarea adecuada, que esté bien enfocada y bien definida

• Expresar la tarea claramente

Estas ideas se desarrollan más ampliamente en la sección que trata específicamente sobre la elección de un tema.

Formulación de un plan• Descripción de los límites de la tarea

• Descripción de las variables relacionadas con la tarea

• Construcción de un modelo del plan para emprender la tarea, o un bosquejo del mismo

Estas ideas se desarrollan más ampliamente en la sección que trata sobre la integración del proyecto en la programación del curso.



Información/mediciones• Describir el tipo de datos requeridos

• Describir datos que son pertinentes y apropiados para la tarea

• Organizar modos de recopilar los datos, por ejemplo:

- llevar a cabo encuestas y cuestionarios

- realizar recuentos

- implementar pruebas o mediciones

- llevar a cabo experimentos

- elaborar diagramas, modelos, etc.

- buscar datos en fuentes fiables (por ejemplo: estadísticas, Internet)

- usar medios tecnológicos para generar los datos

• Decidir qué cantidad de datos resulta adecuada

• Tener presentes las fuentes de error y los problemas relacionados

• Tomar en cuenta la fiabilidad de diversos métodos de recopilación de datos y de materiales

• Organizar datos de modo que después se puedan analizar


Procedimientos matemáticos• Seleccionar y usar técnicas matemáticas pertinentes a la tarea

• Seleccionar y usar instrumentos tecnológicos apropiados (por ejemplo: una calculadora de pantalla gráfica, paquetes de programas de computador), asegurándose de demostrar la comprensión de los procesos matemáticos correspondientes (esto se desarrolla más ampliamente en la sección sobre el uso de los medios tecnológicos)

• Usar tablas, gráficas y diagramas claramente etiquetados para ilustrar mejor los procesos matemáticos

• Expresar los resultados con un grado apropiado de precisión

• Usar las unidades de medida del SI (Sistema Internacional)

Interpretación y discusión de resultados• Interpretar los resultados obtenidos

• Resumir con palabras la información presentada en una tabla, o representada mediante gráficas o diagramas

• Comparar los resultados obtenidos a partir de diferentes conjuntos de datos, o de resultados obtenidos de diferentes maneras partiendo del mismo conjunto de datos

• Utilizar los resultados obtenidos para generalizar o hacer conjeturas y, a partir de ello, sacar conclusiones pertinentes

• Comentar las posibles fuentes de error dentro del proyecto

• Describir la naturaleza restrictiva del proyecto

• Describir los posibles supuestos que se hayan utilizado

• Discutir la validez de los procesos empleados y de los resultados obtenidos en general



Validez• Discutir si las matemáticas utilizadas son adecuadas

• Discutir las limitaciones de los procedimientos utilizados y las conclusiones extraídas

• Reflexionar de modo crítico sobre el proceso en general

Estructura y comunicación• Registrar las acciones en cada etapa del desarrollo del proyecto

• Expresar las ideas con claridad

• Usar apropiadamente el lenguaje y la representación matemáticos

• Concentrarse en la tarea, evitar desviarse a otras áreas y eludir las cuestiones no pertinentes

• Estructurar las ideas de manera lógica

• Redactar el texto de manera que resulte fluido

• Revisar el documento en busca de posibles errores de ortografía y gramática


Compromiso• Iniciar discusiones con los profesores o con los compañeros sobre el trabajo del proyecto

• Contribuir de forma crítica, pero constructiva, en las discusiones de clase sobre el trabajo del proyecto

• Organizar una serie de metas parciales y finales ajustadas a plazos personales

• Usar los comentarios del profesor para hacer mejoras

• Reconocer los puntos fuertes y débiles personales

• Apreciar los valores académicos asociados con la realización de un proyecto

• Mantener la honestidad y la integridad

Estas ideas se desarrollan más ampliamente en la sección sobre la supervisión de los alumnos.



Elección de un tema

IntroducciónEsta sección se centra en la importancia de la elección de un tema que ofrezca una vía de investigación productiva, que implique el uso de procesos matemáticos pertinentes y que capte el interés y el entusiasmo del alumno.

En particular, las dos primeras partes de la sección ofrecen sugerencias de temas apropiados mediante:

• la enumeración de títulos de proyectos adecuados que se presentaron en el pasado

• la descripción de cuatro buenos proyectos.

La tercera parte proporciona sugerencias para ayudar a los alumnos a encontrar un tema adecuado, y la cuarta ofrece sugerencias sobre la manera de desarrollar las ideas iniciales para convertirlas en temas adecuados y la forma en que los profesores pueden inducir a los alumnos a centrar mejor sus ideas mediante el debate dirigido.

Títulos de proyectos adecuadosLa siguiente lista ofrece los títulos de algunos buenos proyectos presentados en el pasado por los alumnos. Algunos títulos son más descriptivos que otros, y en la mayoría de los casos se ha mantenido la redacción original.

Relacionados con la estética• Cálculo de la belleza: la proporción áurea

• Preferencias en los colores

• La iluminación natural del aula: Diseño arquitectónico

• Ilusiones

• ¿Muestra el espejo la imagen exacta?

• Aplicaciones de la papiroflexia a las matemáticas

• Sombras y altura

Negocios y finanzas• Estudio comparativo de acciones, bienes inmuebles, bonos y depósitos

• Análisis de los cambios del mercado de valores

• Compra de un automóvil: opciones de pago

• Desarrollo económico y niveles de renta

• Préstamos hipotecarios

• Gestión de un club de baile y restaurante

• Fluctuaciones del yen frente al dólar



Comida y bebida• Estudio sobre la relación entre el consumo de calorías y el sexo de las personas

• ¿Cenar fuera o en casa?

• Las comidas en la escuela secundaria

• Estudio sobre los caramelos

• El problema de las galletas: el sabor es lo que importa

• El funcionamiento de una tienda de golosinas

Salud y buena condición física• El desayuno en los distintos niveles escolares

• El cáncer de mama y de útero: estudio étnico

• La distribución de la droga

• La mortalidad infantil

• Investigación sobre los tiempos de reacción

• Estudio comparativo de la capacidad pulmonar, la edad, el peso y la grasa corporal

Naturaleza y recursos naturales• Análisis del costo y la utilidad del gas frente a la electricidad en una familia media

• Cálculo de horas de salida y puesta del sol

• Los terremotos

• Los koalas de las islas de Australia y Nueva Guinea

• Especies en extinción: roedores (Leporillus conditor)

• La calidad del agua de la zona

• Agua, vino y rosas

La gente• La agresividad

• Características de los reclusos

• Discriminación por razón de sexo

• Matrimonios

• Percepción del tiempo

• Psicología de la memoria

• Número de votantes



Títulos basados en el colegio• Los adolescentes y el consumo de alcohol

• El deporte femenino en los distintos niveles escolares

• Los estudiantes zurdos

• Rendimiento de los alumnos de la zona frente a los alumnos extranjeros

• En busca del sonido ideal

• Deporte y nacionalidad

Deportes• La velocidad del bateo con relación al peso corporal

• El saque de esquina eficaz en hockey

• Factores que afectan al rendimiento atlético

• Altura, peso y rendimiento en natación

• ¿Qué alcance tienen las pelotas de tenis?

• Resistencia del sedal

• Tiempos de interrupción en los partidos de la liga nacional de fútbol

• ¿Llegarán las mujeres a ganar a los hombres en natación?

Viajes y transporte• Viajes aéreos: la distancia en relación con el precio

• Relación calidad precio en los vehículos

• Habilidades en la conducción

• Precios de la gasolina

• Uso del cinturón de seguridad

• Flujo de tráfico en una zona urbana

• Seguridad del transporte en el centro de las ciudades

• Las prisas y los hábitos de conducción



Varios• Astronomía

• Pesos medios de los cachorros en las primeras semanas

• El color de las palabras

• Contando hierbas

• Precios de las llamadas telefónicas internacionales

• Memoria

• La práctica hace la perfección

• Predicción del tiempo de enfriamiento

• La distancia más corta

• Funciones de onda en frecuencias extremas

• Árboles generadores

• Topografía y distancias

• Juegos de computador y tiempos de respuesta

• Volúmenes esféricos



Descripciones de buenos proyectosEste apartado proporciona descripciones detalladas de cuatro buenos proyectos presentados por alumnos en el pasado.

Habilidades en la conducciónObtención de datos• Los datos fueron recopilados por medio de un cuestionario. En total fueron 153 estudiantes los que

contestaron a un cuestionario donde se les preguntaba el sexo, si habían aprobado el examen teórico y si habían aprobado el examen práctico.

Procedimientos matemáticos e interpretación de resultados• Se utilizó un diagrama de datos agrupados para reflejar los datos, y después se transformó

cuidadosamente en tablas. Se calcularon los porcentajes, se dibujaron las gráficas de sectores y se utilizó la prueba de chi cuadrado para comprobar si aprobar el examen teórico era independiente del sexo y también si lo era aprobar el examen práctico.

• El alumno demostró una clara comprensión de los procesos matemáticos implicados y justificó claramente el uso de los mismos.

• Los resultados demostraron que existía una clara diferencia entre los resultados del examen práctico según el sexo de las personas, pero que los resultados del examen teórico eran independientes del mismo.

Investigación sobre los tiempos de reacciónObtención de datos• Utilizando una regla de 30 cm, el alumno se aseguró de que los dedos pulgar e índice de la mano

derecha (o izquierda en caso de ser zurdo) de cada participante se mantuviesen a una distancia de cinco centímetros y que el brazo estuviese doblado en ángulo recto. Sosteniendo la regla a la altura del pulgar, se pidió a cada participante que agarrara la regla en el momento en que se dejase caer. Este proceso se repitió tres veces y se calculó el tiempo medio de reacción para cada participante. El mismo proceso se repitió después con cada participante utilizando la otra mano.

Procedimientos matemáticos e interpretación de resultados• Los datos se organizaron en tablas y se representaron mediante gráficas de barras y diagramas de

dispersión. Se calculó la media y la desviación típica de los datos para ambas manos. Se calculó el coeficiente de correlación momento-producto de Pearson para averiguar si existía una relación entre los tiempos de reacción de ambas manos.


• Sorprendentemente, los resultados mostraron que el tiempo medio de reacción de la mano izquierda (la derecha en los zurdos) sólo era levemente menor que el de la derecha (izquierda en los zurdos). Se demostró una correlación positiva débil entre los tiempos de reacción de ambas manos.



Optimización del volumen de los recipientesGeneración de datos• Se obtuvieron las medidas de diversos recipientes con formas de troncos de cono utilizando los radios

y las alturas. Se calcularon las superficies y los volúmenes de los troncos; se utilizaron las medidas de cilindros con volúmenes iguales a los de los troncos y se calcularon diversas razones.

Procedimientos matemáticos e interpretación de resultados• Se utilizaron figuras similares para calcular la altura total de los conos. Para calcular las longitudes de

las generatrices se utilizó el teorema de Pitágoras. Se utilizaron las fórmulas del volumen y la superficie del cono para hallar el volumen y la superficie de los troncos de cono, y las fórmulas del volumen y la superficie del cilindro para hallar las dimensiones de los cilindros. Se dibujaron diagramas claros y los datos obtenidos se organizaron en tablas. Se elaboraron diagramas de dispersión y se calcularon los coeficientes de correlación de rango de Spearman.


• Los resultados mostraron una correlación muy fuerte entre la razón superficie/volumen de los troncos de conos y la de los cilindros, pero no así entre la razón superficie/volumen de los troncos de conos y la razón entre los radios.

Construcción de modelos para las funciones periódicas: investigación sobre el movimiento de un salto con cuerda elásticaGeneración de datos• Los datos se obtuvieron de forma experimental utilizando un detector sónico de movimiento (CBRTM) y

una calculadora de pantalla gráfica. Para construir el modelo del movimiento se utilizaron una pesa de 200 gramos y una cuerda elástica de 70 cm de longitud. El detector sónico de movimiento se conectó a la calculadora de pantalla gráfica y registró el movimiento correspondiente a la función para la que se quería construir el modelo. La calculadora de pantalla gráfica recogió esta información en forma de una gráfica. Las gráficas sirvieron como datos de origen para el experimento.

Procedimientos matemáticos e interpretación de resultados• Los datos se organizaron en tablas y se elaboraron gráficas. Se necesitaba encontrar un modelo

sinusoidal que se ajustase a los datos. La ecuación que se utilizó fue . Se utilizaron diversos puntos de la curva para calcular los valores de a, k, c y d. Debido a que los valores máximos eran cada vez menores, para calcular el valor de a se utilizó la regresión exponencial con la calculadora de pantalla gráfica.

• Se introdujo la expresión resultante en la calculadora de pantalla gráfica y se obtuvo la gráfica para los valores experimentales. El resultado fue satisfactorio. Las curvas eran muy similares, aunque no exactamente iguales.

El proceso de búsqueda de un tema apropiadoPara la mayoría de los alumnos, la parte más difícil del proyecto consiste en hallar un tema apropiado. En consecuencia se sugiere que, tan pronto como los alumnos estén listos para comenzar a trabajar en sus proyectos, el profesor dedique dos o tres semanas de clases a guiarlos, individualmente, en este difícil proceso. Los alumnos ya deberían tener una o dos ideas generales cuando se entrevisten por primera vez con su profesor.

Al comienzo del proceso, el profesor deberá discutir con sus alumnos el aspecto general de la evaluación ya que ello puede en parte ayudar a dirigir el flujo de ideas y, en última instancia, a centrar el proyecto.



Ejemplos de mapas mentales para desarrollar ideasLos siguientes esquemas son ejemplos del modo en que se podría desarrollar en el aula la búsqueda de un tema.

Aumento de cada una de lasacciones

Jugar en el mercado de valores

Hacerdinero

Depósitos e inversiones

Aumento de las inversiones

Depósitos y tipos de interés

Aumento de cuentas corrientes o de ahorro

¿Cuánto tiempo lleva que una inver-sión duplique su valor?

Negocios

¡¡Esta idea tiene posibilidades!!

clasifi cación

resultadosjugadores

regresión

peso y altura medios

probabilidad de ganar un torneo


Deporte favorito: tenis

equipos construcción de modelos

probabilidad de que entre la primera pelota / de ganar. Probabilidad condicionada


posible uso de un laboratorio electrónico

(CBL)

Copa David velocidad de servicio

¿¿Quizás??

¿¿Quizás??


Integración en la programación del curso


IntroducciónEl proyecto debe ser algo más que un trabajo con vistas a la evaluación; debe ser una experiencia docente y de aprendizaje a través de la cual los alumnos:

• desarrollen su capacidad de relacionar las matemáticas con la vida real

• desarrollen una percepción personal sobre la naturaleza de las matemáticas

• desarrollen la capacidad de plantear sus propias preguntas acerca de las matemáticas y responderlas por sí mismos

• logren apreciar las relaciones de las matemáticas con otras áreas de interés y sus aplicaciones a las mismas.

Al integrar el trabajo del proyecto en la programación del curso, se pretende que los beneficios para los alumnos incluyan:

• un uso más eficaz del tiempo

• un desarrollo cognitivo que se refleje en el desarrollo del trabajo del proyecto

• la asimilación gradual de habilidades y estrategias específicas del proyecto al ponerlas sistemáticamente en práctica.

De los muchos enfoques posibles del trabajo del proyecto los que sugerimos aquí ofrecen dos amplias perspectivas: la incorporación del trabajo en los temas del programa y el uso de un planteamiento más directo que supone desarrollar formalmente habilidades directamente relacionadas con el trabajo del proyecto.

Esta sección se divide en tres apartados principales:

• planteamientos del trabajo del proyecto, usando el contenido del programa de estudios como medio para desarrollar las habilidades pertinentes y de concentrarse directamente en el proyecto

• planificación a corto y largo plazo

• ideas para la docencia en relación con el programa de estudios y el proyecto.



Planteamientos del trabajo del proyecto

Temas del programa de estudiosLa enseñanza del programa de estudios proporciona muchas maneras de desarrollar buenos proyectos. Los siguientes son algunos ejemplos de posibles planteamientos.

Aplicaciones de las matemáticas a la vida realDebería ponerse el máximo énfasis posible en las aplicaciones de las matemáticas a la vida real, tanto sus conceptos como sus técnicas, siempre que corresponda. Ello permite que los alumnos profundicen en las áreas de las que pueden extraer un tema apropiado para el trabajo del proyecto. Por ejemplo, una actividad llevada a cabo fuera de la clase, tal como usar la razón de la tangente para hallar las alturas de edificios y de árboles, puede ayudar a los alumnos a comprender cómo pueden usar las matemáticas para obtener información sobre el entorno.

Nivel de matemáticas requeridoEl nivel de matemáticas que describe el programa de estudios ilustra claramente el nivel de matemáticas requerido en el proyecto. Los alumnos lo apreciarán así si los problemas usados para desarrollar su competencia en una determinada técnica se relacionan con situaciones prácticas siempre que sea posible.

Pertinencia de los resultadosSe debe animar a los alumnos a que reflexionen sobre sus resultados, a que estén dispuestos a explicar su importancia y a comparar los resultados obtenidos, siempre que sea apropiado. Este es un ejercicio particularmente útil en estadística, donde las comparaciones de parámetros estadísticos tales como la media, la desviación típica y el rango intercuartil en el caso de dos o más conjuntos de datos sirven para profundizar la comprensión de estos conceptos.

Aprendizaje mediante la investigaciónCuando el profesor plantea el aprendizaje a través de la investigación, los alumnos tienen más oportunidades de buscar patrones y relaciones en las matemáticas. Además, tanto las investigaciones cerradas como las abiertas ayudan a los estudiantes a desarrollar un sentido de la estructura en la redacción del texto, al enfrentarlos a una tarea, la obtención o generación de datos y la formulación posterior de conclusiones. Un ejemplo sencillo es investigar el efecto de hacer variar el valor del coeficiente a en la función .

Enfoque directo en el trabajo del proyectoMientras que algunas habilidades relacionadas con el proyecto pueden trabajarse a través de la enseñanza del programa, otras necesitan que se les dedique un tiempo específico.

Comprensión de los criterios de evaluaciónUn modo de familiarizar a los alumnos con los criterios de evaluación y los requisitos del proyecto podría consistir en entregarles copias de proyectos anteriores y pedirles que los evalúen según cada uno de los criterios. Para cada criterio deberán ser capaces de justificar el nivel de logro específico que le han asignado. Es muy importante que el profesor haya realizado este proceso con anterioridad. El nivel de logro asignado por cada uno de los alumnos se muestra después a los demás y se discute en clase. Finalmente, el profesor les hace saber el nivel de logro que él le había otorgado previamente, junto con una explicación convincente.

Elección del temaLa elección del tema constituye un gran desafío para algunos alumnos. Sin embargo, si el profesor relaciona constantemente los temas del programa con las situaciones de la vida real, a los alumnos les resultará más fácil elegir un tema apropiado. Si el concepto del proyecto se introduce al principio del curso, los alumnos



tendrán más tiempo para considerar y discutir varios temas. A su vez, ello les permitirá desarrollar, refinar, reconsiderar o rechazar algunas ideas.

Enunciado de la tareaLos alumnos necesitan entender con claridad la naturaleza del tema para definir adecuadamente la tarea. Se les puede ayudar en esta actividad animándolos a que piensen en el tema elegido en forma de pregunta a investigar. La tarea puede entonces enunciarse pensando cómo se puede contestar esa pregunta.

Información/medicionesLa obtención de datos es fundamental en todo proyecto. Puede ser útil discutir los diferentes aspectos de la obtención de datos intentando responder a las preguntas que aparecen a continuación. Los datos recopilados en su forma original deben incluirse en todos los proyectos.

¿Qué se entiende por “datos”?Los datos pueden presentarse en varias formas, tales como:

• distancias y ángulos en un ejercicio de dibujar mapas

• tiempos y alturas de las mareas que se trasladarán a coordenadas para un ejercicio de funciones trigonométricas

• números de calzado y estatura para un ejercicio de correlación

• diagramas sobre redes en un ejercicio de rutas de transporte entre ciudades.

¿Qué cantidad de datos se necesita?La cantidad de datos que se requiere depende de la tarea, tal como lo demuestran los siguientes ejemplos.

• Un ejercicio sobre el trazado del mapa de un terreno requerirá ángulos y distancias en número suficiente para situar todos los vértices del área.

• La cantidad de datos necesarios para una actividad basada en tiempos y alturas de las mareas dependerá de los parámetros del ejercicio. Si la finalidad es observar las variaciones diarias en altura, habrá que tomar medidas cada hora durante un período determinado. Si el ejercicio tiene que ver con las variaciones estacionales, entonces podría ser suficiente con tomar las medidas una vez por día.

• Los datos necesarios para un ejercicio de correlación entre el número de calzado y la estatura deberían extraerse de un grupo de personas tan amplio como sea posible, teniendo en cuenta factores tales como la edad.

• El número de carreteras representadas en una red para el caso de un ejercicio basado en el flujo de tráfico, dependerá de la naturaleza específica de la tarea. Por ejemplo, si el ejercicio tiene que ver con el movimiento de vehículos pesados deberán aparecer en la red todas las carreteras utilizadas por esos vehículos.

• Los alumnos deben saber que todos los valores esperados en un test de chi cuadrado han de ser mayores que 5.

¿Dónde se pueden obtener los datos?Se debe ayudar a los alumnos a descubrir las fuentes de datos que tienen a su disposición. Por ejemplo, pueden:

• tomar medidas usando diversos instrumentos de medida, tales como reglas, cintas métricas, compases, transportadores, balanzas e instrumentos electrónicos

• obtener datos mediante encuestas y cuestionarios

• obtener información de tablas publicadas, tales como horarios y tablas de amortización de deudas

• buscar en Internet



• consultar fuentes que publican datos estadísticos

• tomar fotografías

• generar datos investigando diferentes situaciones, tales como la construcción de formas geométricas

• llevar a cabo experimentos.

Diseñar un cuestionarioEl diseño de cuestionarios que permitan obtener toda la información necesaria requiere el desarrollo de ciertas destrezas. Las siguientes sugerencias pueden servir de ayuda a los alumnos para elaborar sus cuestionarios.

Las preguntas deben:

• estar redactadas de forma clara y cortés

• ser pocas

• permitir que cualquier persona a quien se pregunte pueda contestarlas

• permitir que la respuesta sea fácil y precisa, por ejemplo, sí o no, un número, un lugar, un nombre

• permitir que se responda sinceramente y de buen grado

• ser consideradas discretas.

Siempre debe identificarse al autor del cuestionario y explicarse la finalidad para la cual se busca la información. Resulta aconsejable probar primero el cuestionario con un grupo pequeño, de modo que sea posible perfeccionar las preguntas antes de plantear el cuestionario a un grupo más grande.

Una actividad de clase podría consistir en pedir a los alumnos que diseñen un cuestionario en grupos y lo prueben después con el resto de los alumnos, para apreciar así los tipos de problemas que pueden surgir.

Procedimientos matemáticosEs importante que los alumnos comprendan que solamente deben emplear técnicas que guarden relación con la tarea elegida. En consecuencia, los profesores deberán siempre hacer hincapié en la pertinencia de cada técnica e inducir a los alumnos a hacerse ciertas preguntas, tales como:

• ¿Es apropiado usar esta técnica?

• ¿Qué información va a proporcionar?

• ¿Se puede usar otra técnica?

• ¿Cuál es la mejor técnica para esta situación?

Formulándose estas preguntas en el contexto del proyecto y anotando las razones por las cuales han elegido una técnica, los estudiantes podrán demostrar su comprensión de los conceptos pertinentes. Esto resulta especialmente importante cuando los estudiantes usan paquetes de programas de computador o calculadoras de pantalla gráfica.

Debe tenerse en cuenta que el uso de distintos tipos de gráficas para representar los mismos datos y obtener la misma información no constituye una variedad de técnicas matemáticas.

Interpretación de resultadosA lo largo del curso se debe animar a los alumnos a que reflexionen sobre el significado de los resultados que obtienen y que analicen qué conclusiones se pueden extraer. También se debe insistir en que comprueben si el conjunto de los resultados y las conclusiones extraídas de ellos son coherentes con el análisis.



ValidezLos alumnos han de prestar especial atención al concepto de validez. Se les puede proporcionar ejemplos de proyectos en los que el análisis ya se ha completado, para pedirles que interpreten los resultados y discutan luego sobre la validez de los procedimientos utilizados.

Los alumnos deben plantearse las siguientes preguntas.

• ¿Los procedimientos utilizados son apropiados y pertinentes en relación con el proyecto?

• ¿Cuáles son las limitaciones, en el contexto del proyecto, de los distintos procedimientos utilizados?

• ¿Qué mejoras se podrían haber tenido en cuenta?

Una sugerencia de mejora obvia podría ser la de obtener una mayor cantidad de datos. Sin embargo, por sí sola, sin ir acompañada de una reflexión más amplia, no siempre es suficiente para incrementar la puntuación asignada al alumno en el criterio E.

Otros ejemplos de sugerencias para mejoras podrían incluir una discusión sobre pruebas estadísticas alternativas, especulaciones sobre otras funciones para construir un modelo con los datos, menciones a otras técnicas de regresión, o tal vez regresiones definidas por partes. Por ejemplo, podría ser que unos datos que parecen comportarse de forma lineal en un gran intervalo de valores, lo hicieran de forma más bien cuadrática fuera de los mismos. Tal vez una función de forma sinusoidal tenga una amplitud que varíe lentamente y que no se haya tenido en cuenta en el modelo sugerido. Es posible conseguir puntuaciones más altas con especulaciones sobre funciones que varíen en amplitud o en frecuencia, o sobre funciones amortiguadas. No es necesario implementar tales mejoras, pero conocer esas posibilidades puede mejorar la calificación en el criterio E.

Estructura y comunicaciónEs necesario tener en cuenta que la redacción de un proyecto requiere ciertas destrezas, que se pueden ir desarrollando gradualmente proponiendo a los alumnos la redacción de investigaciones o tareas más cortas con un formato similar al del proyecto, pero más sencillo.

También puede resultar útil considerar ciertas secciones como preguntas. Por ejemplo:

• Enunciado de la tarea: ¿cuál es la finalidad de la investigación?

• Plan: ¿cómo voy a enfocar la investigación?

• Conclusión: ¿qué dicen los datos y el análisis sobre la tarea original?

A medida que avanza el curso, el nivel de complejidad de estas preguntas deberá ir en aumento, de modo que, cuando vayan a redactar sus proyectos, los alumnos hayan alcanzado el nivel requerido.

Se debe fomentar el uso de la notación y la terminología matemática adecuadas en todo momento.

Referencias y bibliografíaLos alumnos deben tener en cuenta que el uso directo o indirecto de frases ajenas (en formatos escritos, orales o electrónicos) debe mencionarse adecuadamente, así como cualquier material visual utilizado en el proyecto que provenga de otras fuentes. El incumplimiento de este requisito será considerado plagio y, como tal, constituirá un caso de conducta fraudulenta.

La bibliografía o lista de referencias sólo debe incluir aquellos trabajos (por ejemplo, libros y publicaciones periódicas) que el alumno haya consultado durante su trabajo en el proyecto. Se debe aplicar de modo sistemático una forma aceptada de reflejar las citas y la documentación de las fuentes. Los principales sistemas de documentación se clasifican en dos grupos: sistemas de paréntesis dentro del texto y sistemas de notas numeradas. Se puede utilizar cualquiera de ellos, siempre que se realice de forma clara y sistemática.



Cualquier trabajo consultado, con independencia de que ya se haya citado como referencia, se debe incluir en la lista de la bibliografía. En la bibliografía se debe especificar: el autor o autores, título, lugar y fecha de publicación y nombre de la editorial, y ha de ajustarse sistemáticamente a una de las formas normalizadas de enumerar fuentes. Algunos ejemplos podrían ser:

MIGUEL DE GUZMÁN, JOSÉ CÓLERA y ADELA SALVADOR, Matemáticas para Bachillerato 1, Editorial Grupo Anaya, Madrid ,1990.

Servicio de hidrografía naval. Armada Argentina. Tabla de mareas- Predicciones de las pleamares y bajamares. Puerto de Buenos Aires [en línea] 2004 (citado el 1/11/04). Disponible en Internet en la dirección http://www.hidro.gov.ar/Oceanografia/Tmareas/R_Mareas.asp.

LEJARRAGA H, ORFILA G, Estándares de peso y estatura para niñas y niños argentinos desde el crecimiento hasta la madurez, Arch. argent. pediatr 1987; 85: 209-222.

Omanet-Educación interactiva. Miscelánea - “Los números” [en línea]. Disponible en http://www.oma.org.ar/omanet/misc/index.htm. (citado el 1/11/04). Correo electrónico: [email protected].

Obsérvese que no deben incluirse direcciones de correo electrónico personales.

Planificación del profesorLa integración del proyecto en la programación del curso requiere por parte del profesor un importante trabajo de planificación, que se puede abordar fundamentalmente desde dos puntos de vista.

Planificación a largo plazoEl objetivo de la planificación a largo plazo es situar el trabajo del proyecto dentro de la perspectiva de toda la asignatura. Deberá tenerse en cuenta:

• la secuencia de las unidades de enseñanza a lo largo del curso

• los temas que son más fácilmente aplicables al trabajo del proyecto

• lugares apropiados en los que se pueden incluir actividades relacionadas con el proyecto

• los recursos disponibles

• el papel que jugará el proyecto en la evaluación del colegio, si corresponde.

Una vez que se hayan considerado estos y otros aspectos importantes, se deberá establecer una distribución del tiempo que tenga también en cuenta la secuencia de actividades relacionadas con el trabajo del proyecto. Esta distribución podría incluir la introducción al trabajo del proyecto y las fechas de entrega del enunciado de la tarea y del plan, así como de la obtención de la información pertinente o las mediciones, de los primeros borradores de los proyectos y de la presentación final de los mismos.

Planificación a corto plazoEl objetivo de la planificación a corto plazo es centrarse en temas específicos dentro del programa de estudios de un modo más detallado. Se debe ponderar la relación de cada tema con la realidad cotidiana y considerar si algunas de las habilidades relacionadas con el trabajo del proyecto se pueden desarrollar en el contexto de ese tema.

Ello supone un largo proceso que requiere mucha reflexión. Las indicaciones para la docencia que se ofrecen a continuación proporcionan algunas posibilidades.



Ideas para la docencia en relación con el programa de estudiosLa finalidad de estas ideas es:

• relacionar el contenido matemático del programa con el mundo real

• usar en la clase ejemplos de la vida real o simulaciones

• estructurar el trabajo de modo que se desarrollen las habilidades asociadas al trabajo del proyecto.

Conjuntos, lógica y probabilidadEjemplo 1: Creación de modelos usando conjuntosEsta actividad emplea los conjuntos como un modelo para registrar cómo los alumnos se trasladan al colegio. Se comienza por dibujar un gran diagrama de Venn, tal como ilustramos a continuación, donde cada conjunto representa un medio de transporte.

Los alumnos escriben su nombre en la zona correspondiente. Luego se puede dibujar un segundo diagrama que muestre el número de alumnos en cada subconjunto. Se pueden entonces hacer preguntas hipotéticas como: “Si hay una huelga de autobuses, ¿cuántos alumnos no podrían ir al colegio?”.

Esta actividad puede extenderse a toda la población escolar haciendo circular un cuestionario o usando las

técnicas de entrevista.

Ejemplo 2: Probabilidad experimental y monedas sesgadasSe pide a los alumnos que lancen 50 veces una moneda y tomen nota del número de caras y de cruces que obtienen en una tabla de distribución de frecuencias. A continuación, se pega un trozo de goma en un lado de la moneda, en una posición descentrada.

Después de lanzar de nuevo la moneda así manipulada 50 veces, se registran los resultados en una tabla de distribución de frecuencias. Se pide entonces a los alumnos que comparen los resultados y saquen conclusiones.

AUTOBÚS A PIE

AUTOMÓVIL

U



Geometría y trigonometríaEjemplo: Medir la altura de edificiosAntes de llevar a los alumnos al exterior, se debe discutir el método de resolución que utiliza la razón de la tangente, y se debe dibujar un diagrama que ilustre las medidas que habrá que tomar.

Se sugiere que los alumnos dibujen una tabla para tomar nota de sus mediciones y cálculos con encabezamientos similares a los que damos a continuación.

Nombre del edificio

Distancia a la base del edificio

Ángulo de elevación, θ

Valor de y Valor de x Altura del edificio

Los alumnos pueden entonces salir a realizar la tarea.

Esta actividad puede usarse para suscitar un buen número de las cuestiones más importantes que se relacionan con el trabajo del proyecto, tales como la recopilación de datos o las fuentes de error. Una vez finalizada esta tarea, se debe pedir a los estudiantes que discutan sobre las posibles fuentes de error (por ejemplo, la precisión de los instrumentos utilizados para hacer sus mediciones o si el suelo era o no horizontal). Luego se les puede animar a dar otro paso y comentar sobre la validez de los resultados obtenidos.

EstadísticaEjemplo: Comparación de parámetros estadísticosSi es posible, se proporciona a los alumnos los resultados de una prueba realizada en dos clases diferentes. A través de un debate, los estudiantes deben decidir si es apropiado agrupar los datos de ambos conjuntos y, si lo es, cómo debe hacerse. Se discute entonces sobre las tres medidas de tendencia central en relación con la información que cada una de ellas nos ofrece. La que se haya considerado más apropiada se calcula luego en cada conjunto de datos. Después se repite este proceso con las medidas de dispersión. Finalmente, se representa cada conjunto de datos en distintas formas gráficas apropiadas, por ejemplo, histogramas, diagramas de tallo y hoja, diagramas de caja y bigote, y gráficas de frecuencias acumuladas.

Luego se puede pedir a los alumnos que comparen los dos conjuntos de datos en relación con los procesos realizados.

Edificio



FuncionesEjemplo 1: Investigación de la función cuadrática Esta actividad se puede realizar utilizando una calculadora de pantalla gráfica. La finalidad de la misma es investigar las consecuencias de cambiar, uno a la vez, los coeficientes en la función cuadrática

.

Se considera la función , y se pide a los alumnos que completen una tabla como la siguiente (dejando suficiente espacio para las gráficas).

Valor de a Dibuje la gráfica de Efecto del cambio de a

1

-1

2

-2

½

-½

Comentario general:

Se debe repetir después el proceso con y con . Una vez completada la tabla, los alumnos deberían ser capaces de predecir la forma de la gráfica de cualquier función concreta de este tipo.

Esta actividad se puede repetir con otro tipo de funciones, tales como: y .

Ejemplo 2: Alturas y horas de las mareasLos alumnos deben recopilar datos sobre las alturas y horas de las mareas a lo largo de un período de 24 horas. Después pueden presentar cuidadosamente estos datos en una gráfica, donde el tiempo venga representado en el eje horizontal y la altura en el eje vertical.

Se puede pedir entonces a los alumnos que describan la gráfica en función de:

• el número de horas entre las mareas altas

• la altura de la marea más alta en ese período

• la altura de la marea más baja en ese período.

Finalmente, los alumnos pueden intentar hallar un modelo para la parte de la gráfica entre la primera marea alta y la segunda marea alta mediante una función trigonométrica.

Matemáticas financierasEjemplo: Pedir préstamosSe pide a los alumnos que investiguen la solicitud de préstamos de una cantidad determinada de dinero en varias instituciones financieras.

Para cada una de las instituciones financieras, deberán determinar los pagos mensuales del préstamo en los supuestos de que se haga a uno, dos y cinco años, y calcular el interés pagado por cada préstamo en cada supuesto.



Uso de medios tecnológicos

IntroducciónUno de los objetivos específicos de todas las asignaturas del Grupo 5 es “el uso como herramientas matemáticas de instrumentos tecnológicos apropiados”. En la asignatura de Estudios Matemáticos NM, el proyecto ofrece muchas oportunidades para que se alcance este objetivo. Para la evaluación externa, el uso de medios tecnológicos se limita a las calculadoras de pantalla gráfica. Sin embargo, en el proyecto no existen limitaciones de ese tipo.

Ejemplos de medios tecnológicosEs importante que tanto profesores como alumnos tengan presente que el término “tecnológico”, tal como se emplea en los objetivos generales y específicos del Grupo 5, puede aplicarse a:

• el uso de cualquier tipo de calculadora, incluido el laboratorio electrónico (CBL)

• el uso de programas de computador para dar forma y presentar el trabajo (por ejemplo, procesadores de texto, hojas de cálculo, paquetes gráficos)

• el uso de programas de computador para llevar a cabo procesos matemáticos (por ejemplo, paquetes estadísticos o programas de álgebra y cálculo)

• el uso de computadores para acceder a datos o información o para almacenar datos (por ejemplo Internet, registro de datos).

Uso adecuado La utilización de distintos tipos de medios tecnológicos puede variar de un colegio a otro, de una clase a otra en el mismo colegio y entre los alumnos de una misma clase. Es razonable, aunque no imprescindible, esperar que los estudiantes, al elaborar sus proyectos, utilicen en alguna medida medios tecnológicos.

Es posible que algunos alumnos quieran emplear instrumentos tecnológicos de diversas maneras, y ello debe fomentarse. Al mismo tiempo, dada la facilidad con que algunos alumnos pueden acceder a la tecnología, es importante que el concepto de uso “apropiado” de la tecnología se entienda por parte tanto de los profesores como de los alumnos. A continuación enumeramos tres maneras de guiar a los alumnos para que hagan un uso más apropiado de la tecnología.

• Los alumnos pueden usar medios tecnológicos para realizar procesos matemáticos y estadísticos relativamente complejos (por ejemplo, operaciones con matrices, determinar coeficientes de correlación y ecuaciones de regresión) en lugar de realizar los cálculos a mano paso a paso. En estos casos, es especialmente importante que demuestren su comprensión de la técnica utilizada explicando el procedimiento matemático implicado e interpretando los resultados dentro del contexto de la tarea.

• Hay que disuadir a los alumnos de utilizar técnicas complejas que no entienden, aunque los resultados se puedan obtener apretando un botón.

• Los estudiantes han de comprender que deben elegir solamente aquellas técnicas que son apropiadas para la tarea. Puede ser inapropiado aplicar una amplia variedad de técnicas a un único conjunto de datos. Por ejemplo, hallar tres medidas de tendencia central (media, mediana y moda) en general no es apropiado ya que, en la mayoría de los contextos, una de ellas tiene mayor significación que las otras dos.


Supervisión de los alumnos


IntroducciónNo se pretende que los alumnos emprendan la redacción de proyectos por sí solos. Se espera que los profesores ofrezcan orientación de varias maneras, entre ellas:

• enseñando habilidades específicas asociadas al trabajo del proyecto

• destinando tiempo de clase a la discusión del trabajo del proyecto, ya sea entre el alumno y el profesor o entre los mismos alumnos

• dirigiendo a los alumnos a fuentes de información adecuadas

• guiando a los alumnos para que tengan en cuenta líneas de investigación más productivas cuando sea necesario

• ofreciendo apoyo a cada alumno para que solucione problemas particulares.

También es responsabilidad de los profesores asegurarse, tanto como sea posible, de que el trabajo presentado ha sido realizado por el alumno. Sin embargo, esta tarea no es difícil si se ha realizado un seguimiento del desarrollo del proceso en todas sus etapas.

Esta sección se concentra en:

• las responsabilidades del profesor

• el papel del profesor al planificar el trabajo del proyecto

• el desarrollo de una distribución del tiempo para los estudiantes

• la orientación que se debe proporcionar a los estudiantes y la comprobación de la autenticidad de su trabajo.

En esta sección se incluyen una serie de posibles impresos que profesores y estudiantes pueden usar para tomar nota y formalizar cierto número de etapas al redactar los proyectos. No es obligatorio usar estos impresos. Un grupo de profesores experimentados los han sugerido por haber encontrado que resultaban muy útiles.

Responsabilidades del profesorEl profesor tiene cinco responsabilidades principales:

• aconsejar a los alumnos en la elección de temas apropiados

• proporcionar a los alumnos oportunidades de que adquieran las destrezas relacionadas con el trabajo del proyecto

• animar y apoyar a los alumnos en la investigación y en la redacción de los proyectos

• proporcionar a los alumnos comentarios sobre el trabajo realizado en las distintas etapas del proyecto

• asegurarse, en lo posible, de que cada proyecto sea un trabajo de creación personal del alumno.



PlanificaciónUna parte esencial del curso es la realización de un proyecto, y tanto los alumnos como los profesores lo perciben a veces como la parte más exigente. Es posible que en la formación matemática previa de los alumnos haya pocos elementos que les puedan servir para la planificación, el desarrollo y la redacción de un proyecto. Mucho depende de la medida en que los cursos anteriores hayan permitido que los alumnos desarrollaran habilidades adecuadas y confianza en sí mismos.

Por lo tanto, es esencial comenzar pronto con la planificación del proyecto. Es necesario establecer de modo estricto plazos de entrega para las diferentes etapas, de preferencia consensuados entre profesores y alumnos. En concreto, es necesario establecer plazos para la entrega de:

• el título del proyecto y una breve descripción de la tarea, haciendo un resumen del propósito del proyecto junto con las estrategias y técnicas que se van a emplear

• la información o los datos que se han recopilado o generado

• el primer bosquejo del proyecto

• el proyecto terminado.

Para motivar y recompensar a los alumnos, se les debe otorgar puntos por la entrega puntual de todas las etapas. Ello se puede reflejar en el nivel de logro conseguido en el criterio G (Compromiso), en el que los descriptores tienen en cuenta claramente los procedimientos apropiados que hay que seguir y los plazos de entrega que hay que cumplir.

Distribución del tiempoA continuación, se presenta una posible distribución del tiempo para que los alumnos completen sus proyectos. Se basa en un plan de 17 semanas y puede situarse al comienzo del segundo año del curso. De forma alternativa, los profesores pueden considerar interesante alargar la etapa de la obtención de datos (semanas 5-7) de modo que incluya el período entre el primer y el segundo año del curso.

Esta distribución del tiempo es sólo un ejemplo: los profesores establecerán una distribución que se ajuste a los calendarios escolares de sus colegios y a las necesidades de sus alumnos.

Semana 1Los alumnos completan el impreso A, “Planificación inicial”, y lo entregan al profesor.

Semanas 2-3Se organizan encuentros individuales con el profesor para discutir el tema elegido y el plan para llevar a cabo la investigación. Durante este tiempo, la clase trabajará en tareas de grupo relacionadas con el trabajo del proyecto (por ejemplo, examinando proyectos anteriores, evaluándolos, y diseñando y poniendo a prueba cuestionarios).

Semana 4Los estudiantes presentarán una parte del trabajo, que incluirá una descripción de la tarea y un plan sobre el modo en que pretenden llevarla a cabo.

Semanas 5-7Durante este tiempo los alumnos se dedicarán a obtener o generar los datos y la información relacionados con el proyecto. Se asignará tiempo de trabajo en casa y tiempo de clase que se dedicará a la discusión general y a contestar preguntas específicas.



Semanas 8-10Los alumnos deben llevar a cabo el análisis de los datos durante este período. Igual que antes, se asignará tiempo de trabajo en casa y tiempo de clase para la discusión general y la respuesta a preguntas específicas.

Semana 11En esta semana se marcará la fecha límite para la entrega al profesor del primer borrador del proyecto.

Semanas 12-13Se organizarán encuentros individuales con los alumnos durante el tiempo de clase, para discutir el contenido de sus proyectos hasta este momento. Puede prestarse especial atención a la valoración del proyecto en función de la validez de los procesos matemáticos empleados, los resultados obtenidos y las conclusiones que se pueden sacar. También se debe hacer referencia a los criterios de evaluación, de modo que los estudiantes identifiquen las partes de su proyecto que son susceptibles de mejora. Para este propósito se puede usar el impreso B, “Comentarios para el alumno”.

Semanas 14-15Durante este período se requerirá a los estudiantes que terminen sus proyectos. Como regla general, el profesor debe estar disponible para discutir cualquier problema que pueda surgir en el último momento.

Semana 16Esta es la semana que marca el término para la presentación de la versión final.

Semana 17A discreción del profesor, esta semana puede dedicarse a que los alumnos lleven a cabo correcciones de última hora, numeración de páginas, formato, etc.

Semana 18: presentación del proyecto finalEs posible que los profesores deseen llevar un registro del trabajo de cada alumno durante este período de 18 semanas. A este propósito se ha diseñado el impreso C, que puede ser usado por los profesores para anotar la fecha y el estado del trabajo completado hasta ese momento. A continuación se ofrece un ejemplo (las fechas se dan en la forma día/mes/año).

Alumno Descripción de la tarea

Obtención de datos Análisis

Juan 3/10/05 tema discutido

10/10/05 hay que afinar la descripción de la tarea

17/10/05 tarea bien definida

3/11/05 recopilación de datos insuficiente

10/11/05 más datos recopilados pero, por ahora, no están bien estructurados

María 3/10/05 no hay ideas para un tema

10/10/05 las ideas discutidas hasta este momento no sirven

17/10/05 se ha decidido por un área de temas



Orientación y autoría originalNo se espera que los alumnos completen sus proyectos sin ayuda u orientación alguna del profesor. De un total de 150 horas de clase, 20 horas se destinan al trabajo del proyecto. Parte de este tiempo puede emplearse en actividades individuales o de grupo en las que los alumnos aprendan algunas de las habilidades relacionadas con el trabajo del proyecto. Esto puede conseguirse, por ejemplo, pidiendo a los estudiantes que completen mini-proyectos o permitiendo que trabajen en grupos en una investigación específica. Sin embargo, un número importante de horas del total de 20 deberá reservarse para que los alumnos trabajen en sus proyectos definitivos.

Al supervisar a los alumnos durante todo el proceso, los profesores podrán tener una idea clara del progreso que consigue cada uno y discutir con ellos la procedencia de cualquier material nuevo que aparezca, o al que se refieran, en sus proyectos. A menudo los alumnos no se dan cuenta de cuándo es permisible usar material escrito por otros o cuándo han de buscar ayuda de otras fuentes. Es por ello que la discusión abierta, en las primeras etapas, es una buena manera de evitar estos posibles problemas. Sin embargo, si los profesores no están seguros de si una parte del trabajo ha sido realizada por el alumno deberán emplear diversos métodos para verificarlo. Algunos de ellos pueden ser:

• la discusión con el alumno

• pedir al alumno que explique los métodos usados y que resuma los resultados y las conclusiones

• pedir al alumno que repita parte del análisis empleando datos distintos

• invitar al alumno a que haga una presentación de su proyecto en la clase.



Impresos para alumnos y profesores

Estudios Matemáticos NM: El proyecto

Planificación inicial

Impreso A

Este impreso deberá completarse y entregarse al profesor antes de:

Nombre:

1 Área de interés

2 Tema

3 Razón de la elección

4 Enunciado de la tarea

5 Planificación general

6 Método de obtención de datos

(Por ejemplo, se usarán: entrevistas, observaciones, cuestionarios, construcción de diagramas, juegos, experimentación. Origen: el colegio, la propia casa, tiendas, viajes, periódicos, revistas, libros, bibliotecas, fotografías, televisión, video, Internet.)

7 Procesos matemáticos que probablemente se van a usar en el análisis

(Por ejemplo, se usarán: sucesiones y series aritméticas, sucesiones y series geométricas, desigualdades, ecuaciones conjuntos, diagramas de Venn, lógica, tablas de verdad teorema del seno, teorema del coseno, triángulos, cuadriláteros, polígonos, círculos, cubos, paralelepípedos, cilindros, prismas, esferas, propiedades geométricas, aplicaciones trigonométricas, vectores diagramas de dispersión, rectas de ajuste óptimo, tablas de frecuencias, gráficas de sectores, gráficas de barras, histogramas de frecuencias, histogramas de densidad de frecuencias, tablas de frecuencias acumuladas, curvas de frecuencias acumuladas, percentiles, media, mediana, moda, desviación típica probabilidad funciones: lineales, definidas por intervalos, cuadráticas, trigonométricas, exponencialescambios de divisas, interés simple, interés compuesto, tablas de préstamos, planes de ahorro programación lineal.)



Estudios Matemáticos NM: El proyecto

Comentarios para el alumno

Impreso B

Nombre:

Título del proyecto:

Fecha de entrega:

A Introducción:

B Información/mediciones:

C Procedimientos matemáticos:

D Interpretación de resultados:

E Validez:

F Estructura y comunicación:

G Compromiso:



Estu

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Ejemplos de proyectos

IntroducciónEsta sección contiene proyectos seleccionados entre los muchos presentados como muestras para moderación en una convocatoria de exámenes pasada. Los proyectos fueron evaluados utilizando los criterios de evaluación vigentes (ver la sección sobre criterios de evaluación).

Los mismos son los trabajos originales de los alumnos y no se ha corregido ni modificado en modo alguno la ortografía, la gramática ni ningún otro aspecto.

Título

Ejemplo 1 Los microorganismos ¿crecen exponencialmente?

Ejemplo 2 Proyecto para la optimización de resultados en un proceso productivo

Ejemplo 3 Área curvilínea

Ejemplo 4 La Matemática de la forma de los libros

Ejemplo 5 ¿Cuán posible es mi victoria en el juego de la generala?



Ejemplo 1



Ejemplo 1 (continuación)



Ejemplo 2



Ejemplo 3



Ejemplo 4



Ejemplo 5


Criterios de evaluación


Cómo se evalúa el proyectoCada proyecto se debe evaluar según los siguientes siete criterios:

Criterio A Introducción

Criterio B Información/mediciones

Criterio C Procedimientos matemáticos

Criterio D Interpretación de resultados

Criterio E Validez

Criterio F Estructura y comunicación

Criterio G Compromiso

Las descripciones de los niveles de logro en cada uno de los siete criterios de evaluación aparecen en la guía de Estudios Matemáticos Nivel Medio y se reproducen aquí para facilitar la referencia. En la guía también se incluyen instrucciones para aplicar los criterios. Es especialmente importante notar que cada nivel de logro representa el requisito mínimo para que se otorgue dicho nivel.

La nota final de cada proyecto es la suma de los puntos obtenidos en cada criterio. La nota final máxima es 20.



Niveles de logro

Criterio A: introducciónEn este contexto, la palabra “tarea” se define como “lo que el alumno se dispone a hacer” y la palabra “plan” como “la manera en que se dispone a hacerlo”. Al principio de cada proyecto debe incluirse un enunciado o una breve descripción de la tarea. Todos los proyectos deben tener un título claro.

Nivel de logro Descriptor

0 El alumno no presenta un enunciado claro de la tarea.

En el proyecto, no se indica lo que el alumno se propone realizar o ha realizado.

1 El alumno presenta un enunciado claro de la tarea.

Para conseguir este nivel se debe indicar de forma explícita en qué consiste la tarea.

2 El alumno presenta un título, un enunciado claro de la tarea y una descripción precisa del plan.

No es necesario exponer el plan con todo detalle, pero se debe describir cómo se va a ejecutar la tarea.



Criterio B: información/medicionesEn este contexto, las mediciones realizadas incluyen las obtenidas por medio de un computador, la observación, la investigación, la predicción a partir de un modelo matemático, o la experimentación.

La información de carácter matemático incluye las figuras geométricas y los datos obtenidos de forma empírica o a partir de fuentes externas. Esta lista no es excluyente y la información matemática no se reduce únicamente a datos para análisis estadísticos.


0 El alumno no aporta información o mediciones pertinentes.

No se ha hecho ninguna tentativa de recopilar información o realizar mediciones pertinentes.

1 El alumno aporta información o mediciones pertinentes.

Se puede otorgar este nivel incluso si existe un defecto grave en los medios utilizados para obtener la información, por ejemplo, un cuestionario incorrecto o una encuesta mal realizada.

2 La información o las mediciones pertinentes que presenta el alumno están organizadas de forma apropiada para su análisis o son suficientes tanto en cantidad como en calidad.

Se ha realizado una tentativa satisfactoria de estructurar la información o las mediciones de modo que queden preparadas para el proceso de análisis, o éstas son adecuadas tanto en cantidad como en calidad.

3 La información o las mediciones pertinentes que presenta el alumno están organizadas de forma apropiada para su análisis y son suficientes tanto en cantidad como en calidad.

Este nivel no se puede alcanzar si las mediciones o la información son insuficientes en cantidad o demasiado simples (por ejemplo, son de un solo tipo), pues evidentemente no se podrían estructurar. Debe, por tanto, tenerse en cuenta que dentro de este descriptor existe un mínimo supuesto que se refiere a la cantidad y, sobre todo, a la calidad (en función de la profundidad y la amplitud) de la información o las mediciones que se aportan.



Criterio C: procedimientos matemáticosCuando se presenten diagramas, se espera que los alumnos utilicen una regla cuando sea necesario y no ofrezcan simplemente un bosquejo. Un dibujo a mano alzada no se considerará un procedimiento matemático correcto. Si se utilizan medios tecnológicos, se espera que el alumno muestre una comprensión clara de los procedimientos matemáticos utilizados.


0 El alumno no intenta desarrollar ningún procedimiento matemático.

Este nivel corresponde a los casos de alumnos que han copiado procedimientos de un libro sin ningún intento de utilizar la información que ellos mismos han recopilado o generado.

A los proyectos que se limitan a presentar hechos históricos, por ejemplo, les corresponde este nivel.

1 El alumno desarrolla procedimientos matemáticos simples.

Se consideran procedimientos simples aquellos que un estudiante medio de Estudios Matemáticos podría llevar a cabo fácilmente, por ejemplo, porcentajes, áreas de figuras planas, funciones lineales y cuadráticas (representación gráfica y análisis de las mismas), gráficas de barras, gráficas de sectores, media estadística, desviación típica o probabilidad simple. Para alcanzar este nivel no es necesario que la representación sea exhaustiva ni que los cálculos estén libres de error.

2 Los procedimientos matemáticos simples utilizados son correctos en su mayor parte o en su totalidad, o el alumno intenta utilizar al menos un procedimiento complejo.

Ejemplos de procedimientos complejos son el cálculo de volúmenes de pirámides y conos, el análisis de funciones trigonométricas y exponenciales, la optimización, el contraste estadístico de hipótesis y la probabilidad compuesta. Para alcanzar este nivel no es necesario que los cálculos de procedimientos complejos estén libres de error.

3 El alumno desarrolla al menos un procedimiento complejo, y todos los procedimientos utilizados son precisos en su mayor parte o en su totalidad.

La palabra clave en este descriptor es “preciso”. Se acepta que no es necesario comprobar todos los cálculos para asignar este nivel de logro y basta con revisar algunos de ellos al azar. Un pequeño número de errores aislados no debe descalificar al alumno para obtener este nivel.

Sin embargo, el uso incorrecto de fórmulas o errores sistemáticos en la utilización de los datos sí lo descalificaría.

4 El alumno desarrolla al menos un procedimiento complejo, los procedimientos utilizados son precisos en su mayor parte o en su totalidad y son todos pertinentes.

Para conseguir este nivel, los procedimientos matemáticos deben ser pertinentes y deben utilizarse de modo coherente.

5 El alumno desarrolla correctamente una serie de procedimientos matemáticos complejos.

Para conseguir este nivel, se espera que el alumno haya desarrollado una serie de procedimientos matemáticos coherentes. Los procedimientos pueden ser todos relativos a una sola área de las matemáticas como, por ejemplo, la geometría. Las mediciones, la información o los datos con un alcance limitado no permitirán al alumno conseguir este nivel.



Criterio D: interpretación de resultadosEl uso de los términos “interpretaciones” y “conclusiones” se refiere muy concretamente a las explicaciones sobre lo que las matemáticas utilizadas nos permiten deducir una vez procesados los datos o la información originales. El análisis de las limitaciones y la validez de los procedimientos se evalúa en otro criterio.


0 El alumno no realiza ninguna interpretación ni extrae conclusiones.

Se otorga este nivel cuando claramente no existen interpretaciones ni conclusiones en ninguna parte del proyecto, o cuando se ofrece una interpretación completamente errónea sin referencia a ninguno de los resultados obtenidos.

1 El alumno presenta al menos una interpretación o una conclusión.

Para este nivel sólo es necesario que exista un mínimo indicio de interpretaciones o conclusiones. Se puede alcanzar este nivel si se plantea la necesidad de interpretar los resultados y existe una tentativa de hacerlo, aunque sólo se llega a conclusiones erróneas.

2 El alumno presenta al menos una interpretación o una conclusión coherente con los procedimientos matemáticos utilizados.

Para alcanzar este nivel, se requiere al menos una interpretación o una conclusión. Se debe utilizar un procedimiento de coherencia y, en consecuencia, no se trata de ver aquí si los procedimientos son correctos o pertinentes: el único requisito es la coherencia.

3 El alumno presenta un análisis exhaustivo de interpretaciones y conclusiones que son coherentes con los procedimientos matemáticos utilizados.

Para alcanzar este nivel, el alumno ha de presentar un análisis pertinente de los resultados obtenidos y de las conclusiones extraídas. En este contexto, la palabra “exhaustivo” debe entenderse en el sentido de ofrecer un análisis riguroso y pormenorizado de las interpretaciones, según el nivel de comprensión que razonablemente se puede esperar de un alumno de Estudios Matemáticos NM.

Este nivel de logro no se puede otorgar si el proyecto es demasiado sencillo y ofrece pocas posibilidades de realizar una interpretación sustancial. Tampoco se conseguirá si aparecen demasiadas interpretaciones o conclusiones incorrectas.



Criterio E: validezSe establece una diferencia importante entre validez e interpretaciones y conclusiones. La validez se refiere a si las matemáticas utilizadas han sido adecuadas para el tratamiento de la información recopilada y si contenían alguna limitación que restringiese su aplicación al proyecto. También se debe juzgar con este criterio cualquier limitación o reserva formulada por el alumno sobre las conclusiones e interpretaciones. Aquí las consideraciones son independientes de si son correctas o no las interpretaciones y conclusiones concretas a las que se haya llegado.


0 El alumno no hace ningún comentario sobre los procedimientos matemáticos utilizados o sobre las interpretaciones o conclusiones establecidas.

El alumno no ha intentado valorar (como opuesto a interpretar) el proyecto para determinar la validez de los procedimientos matemáticos o el modelo utilizados.

1 El alumno ha intentado comentar los procedimientos matemáticos utilizados, o las interpretaciones o conclusiones establecidas.

El alumno demuestra que es consciente de la posibilidad de que la validez de algunos de los resultados sea limitada e intenta analizar las razones de tales limitaciones.

Se obtiene este nivel de logro si se expresa un mero reconocimiento de la necesidad de obtener más información o mediciones, pero sin realizar una valoración. Si se cree que la validez no tiene importancia, se debe justificar esta opinión con, por lo menos, algún argumento aceptable.

2 El alumno ha realizado un intento considerable de comentar tanto los procedimientos matemáticos utilizados como las interpretaciones o conclusiones presentadas.

Se analiza ampliamente la validez de las técnicas utilizadas, así como el reconocimiento de cualquier limitación que pudiese darse y, al menos, una sugerencia realista para superarla. Expresiones tales como “tendría que haber utilizado más información o mediciones”, sin mayor aclaración, no son suficientes para obtener el máximo de puntos en este criterio. Si el alumno considera que la validez no tiene importancia, debe justificarlo plenamente, y sólo puede conseguir este nivel de logro si el argumento es razonable.

Si el análisis expuesto sobre la validez es claramente merecedor del nivel 1 y, además, está respaldado con sugerencias razonables sobre una posible ampliación del proyecto, entonces se puede considerar otorgar este nivel, aunque tales sugerencias no serán suficientes si no se analiza de alguna forma la validez.



Criterio F: estructura y comunicaciónEl término “estructura” se refiere fundamentalmente a la organización de la información, operaciones e interpretaciones en el sentido de presentar el proyecto como una secuencia lógica de razonamientos y actividades, comenzando con la descripción de la tarea y el plan, y terminando con las conclusiones y limitaciones.

El término “comunicación” se refiere principalmente al uso correcto y eficaz de la notación matemática y a la elección adecuada de representaciones mediante diagramas y tablas. No se pretende que la ortografía, la gramática y la sintaxis sean perfectas, y estas características no se juzgarán al asignar un nivel para este criterio. Sin embargo, se recomienda encarecidamente a los profesores que corrijan y ayuden a los alumnos en los aspectos lingüísticos del trabajo. Los proyectos muy pobres desde el punto de vista lingüístico también tienen menos probabilidades de destacar en lo relativo a este criterio.


0 El alumno no ha realizado ningún intento de estructurar el proyecto.

Es de esperar que no haya muchos alumnos que merezcan este nivel.

1 El alumno ha intentado estructurar el proyecto o ha utilizado la notación y la terminología adecuadas.

Debe existir un desarrollo lógico del proyecto o un uso correcto de la notación y la terminología adecuadas.

2 El alumno ha intentado estructurar el proyecto y ha utilizado la notación y la terminología adecuadas.

Debe existir un desarrollo lógico del proyecto y un uso correcto de la notación y la terminología adecuadas.

3 El alumno presenta un proyecto bien estructurado y su exposición es coherente.

Para conseguir este nivel, el proyecto debe estar bien redactado y contener comentarios a pie de página y una bibliografía, cuando corresponda.



Criterio G: compromisoEl proyecto debe basarse en el continuo intercambio de opiniones entre el alumno y el profesor. El alumno habrá de ser consciente de las expectativas del profesor desde el principio del proyecto, y cada nivel de logro otorgado debe estar justificado por un comentario escrito del profesor a la hora de la calificación. Los ejemplos ofrecidos a continuación para cada nivel del criterio están orientados al profesor, y éste habrá de utilizar su propio juicio para asignar los niveles.


0 El alumno mostró poco o ningún compromiso.

Por ejemplo, el alumno no participó en discusiones de clase sobre el proyecto, no presentó las entregas parciales requeridas o no cumplió con muchos de los plazos de entrega establecidos.

1 El alumno mostró un nivel de compromiso satisfactorio.

Por ejemplo, el alumno participó en discusiones de clase sobre el trabajo del proyecto, cumplió con la mayoría de los plazos establecidos, discutió algo sobre su proyecto por iniciativa del profesor pero no aprovechó todas las oportunidades que se le ofrecieron para desarrollarlo y mejorarlo.

2 El alumno mostró un nivel de compromiso pleno.

Por ejemplo, el alumno participó activamente en los debates de clase, demostró iniciativa en las discusiones sobre su proyecto con el profesor o con el resto de los alumnos así como en el subsiguiente trabajo de naturaleza más personal, o demostró una absoluta comprensión de todos los pasos del desarrollo de su proyecto.

Para obtener el mayor nivel de logro en este criterio, es imprescindible que el alumno haya sobresalido en varios de los aspectos que se muestran a continuación. Esta lista no es exhaustiva y se recomienda a los profesores que añadan sus propias expectativas.

El alumno:

• participó activamente en todas las etapas del desarrollo del proyecto

• demostró comprensión de los conceptos vinculados a su proyecto

• participó en actividades de clase sobre el trabajo del proyecto

• demostró iniciativa

• demostró perseverancia

• demostró conocimiento y perspicacia

• se organizó debidamente para cumplir con los plazos de entrega establecidos con el profesor.


Evaluación de proyectos


IntroducciónLa finalidad de esta sección es demostrar los niveles generales requeridos e ilustrar cómo deberán otorgarse los niveles de logro de cada criterio. La evaluación la llevó a cabo un equipo de examinadores y de profesores experimentados, de modo que cada proyecto se evaluó más de una vez y se consiguió acuerdo sobre el nivel que se debía otorgar. Los comentarios y las calificaciones para los criterios A a F corresponden al equipo de examinadores. No obstante, se debe tener presente que los comentarios y las calificaciones para el criterio G corresponden al profesor de cada alumno.

Los proyectos evaluados en esta sección se encuentran en la sección “Ejemplos de proyectos”, y fueron presentados como muestras para moderación en la convocatoria de mayo de 2003.

Tal vez los profesores deseen evaluar los proyectos por sí mismos antes de leer el resto de esta sección para comparar su nivel de puntuación frente al de los examinadores.

La siguiente tabla resume los niveles de logro otorgados para cada criterio.

Criterio A B C D E F G Total

Ejemplo 1 2 3 4 3 2 3 2 19

Ejemplo 2 2 3 5 3 1 3 2 19

Ejemplo 3 2 3 5 3 0 3 2 18

Ejemplo 4 2 2 5 3 2 1 1 16

Ejemplo 5 1 2 2 2 1 1 1 10

Máximo nivel de logro

2 3 5 3 2 3 2 20



Ejemplo 1 Los microorganismos ¿crecen exponencialmente?

Evaluación


Nivel de logro otorgado

2 3 5 3 0 3 1 17


2 3 5 3 2 3 2 20

Comentarios del moderadorCriterio A: introducciónEl alumno le puso título al proyecto, enuncia claramente la tarea a realizar y describe cómo lo va a ejecutar en forma precisa.

Criterio B: información/medicionesLos datos recogidos y generados son pertinentes y suficientes.

Criterio C: procedimientos matemáticosLos procedimientos utilizados son precisos. Faltaría un poco de conexión cuando presenta la función logística.

Criterio D: interpretación de resultadosTodas las conclusiones son coherentes y completas.

Criterio E: validezDiscute la validez del proceso.

Criterio F: estructura y comunicación Comunica claramente todas sus acciones. El lenguaje es apropiado.

Criterio G: compromisoCumplió con los plazos, aceptando todas las sugerencias y correcciones. Trabajó en forma constante y entusiasta.



Ejemplo 2Proyecto para la optimización de resultados en un proceso productivo

Evaluación



2 3 5 3 1 3 2 19


2 3 5 3 2 3 2 20

Comentarios del moderadorCriterio A: introducciónEl proyecto tiene título. Además el alumno enuncia claramente la tarea y explica el plan en forma precisa y con un buen enfoque.

Criterio B: información/medicionesLa información recogida y generada resulta adecuada, organizada y suficiente.

Criterio C: procedimientos matemáticosEl alumno desarrolló correctamente una serie de procedimientos matemáticos apropiados, coherentes y con precisión.

Criterio D: interpretación de resultadosLas conclusiones fueron analizadas en forma exhaustiva, coherentes y con precisión.

Criterio E: validezEl alumno ha intentado comentar los procedimientos matemáticos utilizados.

Criterio F: estructura y comunicación El proyecto está muy bien escrito. El lenguaje matemático utilizado es apropiado.

Criterio G: compromisoEl alumno mostró mucho compromiso con el trabajo, participando, consultando, aceptando correcciones y respetando plazos de entrega.



Ejemplo 3Área curvilínea

Evaluación



2 3 5 3 0 3 2 18


2 3 5 3 2 3 2 20

Comentarios del moderadorCriterio A: introducciónEl alumno le puso título al proyecto. Además enuncia claramente lo que va a hacer y cómo lo va a realizar.

Criterio B: información/medicionesLas mediciones realizadas son suficientes en cantidad y calidad, y están muy bien organizadas.

Criterio C: procedimientos matemáticosEl alumno desarrolla en forma correcta una serie de procesos matemáticos complejos. Todo lo realizado es pertinente y coherente.

Criterio D: interpretación de resultadosEl resultado consiste en la obtención de una fórmula, la cual es analizada y además le permite obtener una conclusión final.

Criterio E: validezNo hay ningún comentario sobre los procedimientos utilizados ni una posible extensión del trabajo.

Criterio F: estructura y comunicaciónMuy bien estructurado, claro y coherente.

Criterio G: compromisoSe organizó de modo tal de cumplir con los plazos de entrega. Además, mostró iniciativa para la diagramación.



Ejemplo 4La Matemática de la forma de los libros

Evaluación



2 2 5 3 2 1 1 16


2 3 5 3 2 3 2 20

Comentarios del moderadorCriterio A: introducción En el proyecto figuran explícitamente la tarea y el plan a realizar.

Criterio B: información/mediciones Organiza en forma apropiada los datos obtenidos para su posterior análisis. Se puede cuestionar la calidad de los datos.

Criterio C: procedimientos matemáticos Hace uso preciso de técnicas estadísticas.

Criterio D: interpretación de resultadosObtiene conclusiones en forma exhaustiva, las que son coherentes con lo realizado.

Criterio E: validezHace observaciones sobre la validez de los procesos matemáticos utilizados.

Criterio F: estructura y comunicaciónBien estructurado. Se tomó nota en cada etapa. Se cometieron errores al pasar el trabajo: al largo se lo llamó “x” y en los datos figura como ancho y viceversa. Sin embargo, esto no invalida el trabajo realizado, pero sí su comunicación.

Criterio G: compromisoEl compromiso del alumno fue bueno. Cumplió en forma satisfactoria con todo lo propuesto.



Ejemplo 5¿Cuán posible es mi victoria en el juego de la generala?

Evaluación



1 2 2 2 1 1 1 10


2 3 5 3 2 3 2 20

Comentarios del moderadorCriterio A: introducciónLa tarea fue enunciada pero no hubo una descripción precisa del plan. El plan fue desarrollado a lo largo del proceso.

Criterio B: información/medicionesLos datos fueron bien organizados para el posterior análisis.

Criterio C: procedimientos matemáticos Los procesos matemáticos usados son simples, apropiados y correctos en su mayor parte. Sin embargo, hay errores importantes que opacan el desempeño general.

Criterio D: interpretación de resultadosLas interpretaciones hechas son coherentes con el análisis.

Criterio E: validezEl alumno ha intentado hacer un breve comentario sobre los procedimientos matemáticos utilizados.

Criterio F: estructura y comunicaciónExiste un desarrollo lógico del proyecto, aunque se cometen algunos errores graves de simbología.

Criterio G: compromisoSu compromiso fue satisfactorio.


Preguntas frecuentes


IntroducciónLas respuestas a las preguntas que se plantean en esta sección fueron elaboradas por un equipo de profesores experimentados. No se presentan con una intención preceptiva; sin embargo, pueden resultar de gran utilidad para los profesores con poca o ninguna experiencia.

El Centro pedagógico en línea (CPEL)Los profesores deben tener presente que todas las dudas sobre el trabajo del proyecto se pueden plantear en los foros de debate de matemáticas en el Centro pedagógico en línea (CPEL), donde podrán obtener el consejo de profesores experimentados y del consejero pedagógico en línea.

Preguntas¿Cuál es el mejor modo de preparar a los alumnos para el trabajo del proyecto?Lo mejor es que los alumnos comiencen a comprender los requisitos inherentes al trabajo de investigación, y por tanto del proyecto, antes de que comience el curso, si ello es posible. Las investigaciones matemáticas y, en menor grado, los proyectos se pueden incorporar a las clases de preparación para el comienzo del curso. Sin embargo, en general se trabaja con alumnos que no han tenido ninguna experiencia en el trabajo de proyectos. En este documento existe una sección que ofrece sugerencias sobre la integración del trabajo del proyecto en las clases.

Algunos alumnos parecen no ser capaces de presentar ninguna idea. ¿Qué debe hacer el profesor en estos casos?Es responsabilidad del profesor orientar a los alumnos en este difícil proceso de elegir un tema. Debe considerarse como la etapa más importante del proyecto y hay que prestarle gran atención. Incluso los alumnos que han generado temas necesitarán que se los guíe para asegurarse de que la dirección que toman será en último término la adecuada al espíritu del proyecto. Los ejemplos de esquemas para desarrollar ideas pueden servir de ayuda a todos los alumnos en cualquier etapa del proceso de selección del tema. Para los pocos alumnos con una falta total de creatividad o motivación a la hora de elegir incluso un tema general que les interese, habrá que disponer de una recopilación previa de ideas. Es muy probable que estos alumnos carezcan de entusiasmo para el proyecto en general, y por ello puede ser eficaz la elección de un tema que les conduzca a un resultado más directo.



¿Hay algún tema en particular que convenga evitar?Los profesores deben recordar que el proyecto ha de tener contenido matemático. Las crónicas sobre la historia de las matemáticas o los ensayos sobre la teoría del conocimiento matemático no son apropiados. Sin embargo esto no significa que los alumnos no puedan incluir información histórica o filosófica para complementar las ideas de su proyecto.

En ocasiones, un alumno comienza con un tema que parece que va a generar una cantidad significativa de contenido matemático, pero en determinado punto diverge hacia un tipo de redacción o ensayo que no cumple los objetivos del proyecto. Así pues, es importante supervisar el trabajo de los alumnos a lo largo de todo el desarrollo del proyecto.

Con algunos temas, tanto profesores como alumnos deben proceder con prudencia. Hay temas que en apariencia ofrecen una rica variedad de investigaciones matemáticas, pero que pueden exceder fácilmente el nivel de un estudiante medio, dando como resultado un proyecto superficial o de trabajo fundamentalmente descriptivo con un contenido matemático muy elemental. Los temas donde se ha observado que suele suceder esto son los de Proporción Áurea y Fractales, aunque puede haber otros. Ello no quiere decir que se deba desviar de tales proyectos a los estudiantes más capaces, pero es necesario sopesar correctamente esas capacidades.

¿Es necesario usar un formato determinado para el proyecto?No se requiere ningún formato en particular. Los alumnos pueden escribir a mano el texto de sus proyectos así como dibujar las gráficas o las tablas total o parcialmente a mano, o usando un procesador de textos. En los últimos años los estudiantes han usado diversos medios tecnológicos (por ejemplo, hojas de cálculo) para presentar los datos, construir tablas y gráficas y llevar a cabo cálculos (véase la sección sobre el uso de los medios tecnológicos).

¿Los alumnos deben emplear materiales de fuentes externas?No hay obligación de utilizar fuentes externas. Sin embargo, es frecuente que los alumnos necesiten obtener material de otras fuentes (por ejemplo, para obtener datos o para usar fórmulas). En estos casos, deben citar estas fuentes y enumerarlas en la bibliografía.

¿Puede un estudiante usar para su proyecto datos que ya han sido usados para otro trabajo del Programa del Diploma evaluado internamente (por ejemplo, la monografía, el trabajo de campo llevado a cabo en el Grupo 3, o experimentos realizados en el Grupo 4)?Los alumnos pueden usar datos de trabajos presentados en otras asignaturas siempre que se analicen de una forma totalmente diferente. Sin embargo, es bastante improbable que los datos obtenidos para una finalidad particular se presten a ser tratados de forma diferente. Así que convendrá animar a los alumnos a que consideren cuidadosamente si es apropiado o no usar estos datos existentes, ya que en la mayoría de los casos no resultan adecuados.

¿Cuál es el mejor modo de motivar a los alumnos que trabajan poco o nada en su proyecto?El argumento obvio que se puede ofrecer a cualquier alumno que no se muestre dispuesto a trabajar y progresar en su proyecto es resaltar el posible impacto que ello tendrá en la evaluación, ya que representa un 20% de la calificación final. Esto significa que, en cierta medida, el alumno puede obtener la calificación que se proponga. Desde el punto de vista pedagógico, quizás no sea ésta la mejor forma de motivar a los estudiantes, pero puede ser una buena manera de persuadirlos para conseguir que inicien el trabajo. Si un alumno se niega a hacer ningún tipo de trabajo, tal vez una reunión con el alumno mismo, sus padres, el profesor y el coordinador del BI sea lo aconsejable. En esa reunión sería apropiado revisar las consecuencias de no presentar un proyecto. Se debe hacer saber claramente a los estudiantes que no podrán obtener el diploma del BI si no presentan el proyecto.

También puede ser útil desarrollar una política del colegio o del departamento respecto a los proyectos, de modo que las orientaciones, las fechas de entrega previstas, las expectativas, las consecuencias, etc. queden claras tanto para los alumnos como para los padres desde el principio del curso.



¿Qué plazo pueden fijar los profesores para terminar el trabajo del proyecto?Una posibilidad es elaborar un calendario con plazos y fechas límite. Una vez que los alumnos estén preparados para empezar a trabajar en los proyectos, los profesores deben exigir que los terminen en un período de unas 18 semanas. Esto, evidentemente, variará de un alumno a otro y de un proyecto a otro.

Profesores y alumnos han de ser flexibles a la hora de establecer la planificación de las etapas del proyecto. Algunas de ellas pueden necesitar más tiempo, dependiendo de la naturaleza de la tarea.

¿Cuál es la mejor manera de supervisar el trabajo de los alumnos?Como ya se ha mencionado, será útil contar con un calendario de plazos para el proyecto. También es importante que, a medida que se acercan las fechas límite, el profesor disponga de tiempo para revisar el trabajo de los alumnos. Puede ser de ayuda elaborar una lista de comprobación de tareas y preparar un breve comentario con el fin de mantener canales de comunicación abiertos entre los alumnos y el profesor.

Sería mejor que los mismos estudiantes tomasen nota del progreso realizado llevando diarios semanales. Los profesores pueden leer los diarios y hacer un breve comentario. Puede también ser útil hacer que los estudiantes intercambien sus diarios para fomentar la discusión o la crítica del trabajo durante el tiempo de clase.

¿Cuánto tiempo deberá emplear el alumno en el trabajo para el proyecto?Esto obviamente variará de un estudiante a otro. Algunos alumnos pueden hacer más que otros en un mismo período. Puede ser útil tener presente que la asignatura de Estudios Matemáticos está diseñada para ser impartida en 150 horas (no períodos clase). De esas 150 horas, 20 se destinan a trabajar los proyectos en clase. Una parte importante de esas 20 horas puede emplearse en cuestiones generales de clase (por ejemplo, revisar las políticas y procedimientos, explicar los criterios de evaluación, revisar el progreso, elegir los temas). Por tanto, se puede suponer que, en promedio, cada alumno debe dedicar de 5 a 10 horas del tiempo de clase a su proyecto en particular. Si además reserva para el mismo hasta una hora semanal fuera del tiempo de clase durante un período de 18 semanas, es probable que en total dedique alrededor de entre 20 y 28 horas al trabajo del proyecto. En todo caso, es sensato seguir de cerca este tiempo siempre que sea posible, no sólo en el caso de aquellos alumnos que intentan trabajar en su proyecto el menor tiempo posible, sino también en el de los hiperactivos que querrán destinar a él una cantidad excesiva de tiempo, posiblemente a expensas de otras obligaciones del colegio o personales.

¿Se puede recomendar una fecha fija para la finalización del proyecto?Naturalmente, esto variará de un colegio a otro dependiendo de varios factores, sin mencionar otros plazos impuestos dentro del Programa del Diploma (por ejemplo, trabajos de clase, monografías, informes de laboratorio). Los profesores han de destinar también suficiente tiempo para el proceso de evaluación. La fecha límite fijada por IBO para la entrega de muestras de trabajo para su moderación es en abril para los colegios con convocatoria en mayo, y en octubre para los colegios con convocatoria en noviembre. Por tanto, es bastante razonable que los profesores exijan la presentación de los proyectos finales entre seis y ocho semanas antes de esa fecha. Contar con una fecha anticipada para la entrega también permite ser indulgente con aquellos alumnos que seguramente sufrirán algún desastre de último momento (por ejemplo, “el disquete de mi proyecto se borró”).

Algunos profesores no entienden muy bien cómo aplicar los descriptores a la evaluación de los proyectos. ¿Existe algún tipo de orientación al respecto?Los profesores deben intentar asistir a un taller de Estudios Matemáticos antes de evaluar los proyectos de sus alumnos. Generalmente, el coordinador del Programa del Diploma dispone de información sobre los talleres, pero también se puede hallar en sitio web público de IBO (www.ibo.org). Otra posibilidad sería pedir consejo a un profesor de otro colegio que ya tenga experiencia.

Si es posible, los profesores deberían buscar ayuda dentro de su propio departamento o colegio al evaluar los proyectos de sus alumnos. Contar con una segunda opinión de un profesor experto puede resultar muy útil.



¿Cómo podrán saber los profesores si sus evaluaciones han sido satisfactorias o adecuadas?Terminada la convocatoria de exámenes, se envía a todos los colegios un impreso con información sobre la evaluación en dicha convocatoria. Normalmente, este impreso proporciona comentarios sobre el contenido de los proyectos, interpretación de los criterios de evaluación y temas administrativos o de procedimiento. También se da una indicación del estándar de calificación.

¿Existen disponibles recursos y orientación sobre el trabajo del proyecto para los profesores que no están seguros de lo que deben hacer?En el Centro pedagógico en línea (CPEL), se pueden encontrar muchos recursos enviados por profesores con experiencia. También es útil leer el apartado sobre la evaluación interna que aparece en los informes de las asignaturas de las convocatorias anteriores. Estos últimos también se pueden encontrar en la página de matemáticas del CPEL.

¿Cuánta ayuda pueden proporcionar los profesores a los alumnos?Los profesores deben señalar los errores y orientar a los estudiantes hacia vías de trabajo productivas, pero no han de proporcionar demasiadas indicaciones.

¿Se penaliza a los alumnos por utilizar procedimientos matemáticos no incluidos en el programa de estudios?No, siempre que los procedimientos utilizados sean pertinentes y precisos.

¿Pueden presentar todos los alumnos de una clase proyectos sobre el mismo tema?No. De hecho ni siquiera dos estudiantes pueden presentar proyectos sobre el mismo tema. Los profesores no pueden asignar una única tarea a toda la clase. El proyecto está concebido como un trabajo personal exclusivo de cada alumno: los alumnos no deben colaborar en ningún aspecto del trabajo de su proyecto.

¿Cuál se sugiere que sea la extensión del proyecto en número de palabras?En general, el proyecto no debe exceder las 2.000 palabras sin contar los diagramas, las gráficas, los apéndices y la bibliografía. Sin embargo, lo importante es la calidad del trabajo matemático y de los procedimientos utilizados y no la cantidad de palabras.

¿Qué se entiende por “procedimiento matemático complejo”?Algunos ejemplos de procedimientos complejos son: volúmenes de pirámides y conos, análisis de funciones exponenciales y trigonométricas, optimización, pruebas estadísticas, probabilidad compuesta y otros procedimientos de nivel similar. Sin embargo, el nivel de comprensión que se pone de manifiesto en la explicación es el que puede determinar si las matemáticas utilizadas se consideran complejas o no. Por ejemplo, el uso de la calculadora de pantalla gráfica en una prueba de chi cuadrado, sin ir acompañado de una discusión sobre el procedimiento matemático implícito, no se consideraría complejo.

Si el colegio tiene un gran número de alumnos (o varias clases) que hacen el proyecto, ¿todos los trabajos deben ser calificados por el mismo profesor?El proyecto lo debe calificar el profesor que ha supervisado la clase. Sin embargo, los profesores deben tener en cuenta que la moderación se aplica al colegio y no personalmente a ellos. Por tanto, es de suma importancia que los profesores colaboren y coincidan en los estándares de calificación. En el Vademécum se ofrece orientación al respecto.

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