Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Aeronáutica (Plan...

Proyecto Fin de CarreraIngeniería Aeronáutica (Plan 06)

Representación del conocimiento sobre el Análisis por Envoltura de Datos (DEA) usando mapas de conceptos

Autor: Sandra Fernández Coleto

Tutor: Sebastián Lozano Segura

Dep. Organización Industrial y Gestión de Empresas IEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Aeronáutica (Plan 06)

Representación del conocimiento sobre el Análisis por Envoltura de Datos (DEA) usando mapas de

Autor: Sandra Fernández Coleto

Sebastián Lozano Segura

Dep. Organización Industrial y Gestión de Empresas IEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015


Dep. Organización Industrial y Gestión de Empresas I Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Aeronáutica


conceptos

Autor:

Sandra Fernández Coleto

Tutor:

Sebastián Lozano Segura

Profesor catedrático

Dep. de Organización Industrial y Gestión de Empresas I

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

Proyecto Fin de Carrera: Representación del conocimiento sobre el Análisis por Envoltura de Datos (DEA) usando mapas de conceptos

Autor: Sandra Fernández Coleto Tutor: Sebastián Lozano Segura

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2013

El Secretario del Tribunal

A mis padres

Agradecimientos

Me gustaría dar las gracias en primer lugar a mis padres. No solo por su esfuerzo durante mis años de universidad, también por la educación y los valores que me han inculcado desde pequeña y sin los que hoy día no habría logrado nada de esto.

También me gustaría agradecer a mis amigos ingenieros y arquitectos con los que he vivido estos años de trabajo de cerca. Gracias por vuestros consejos, por vuestras risas y por haberos convertido en un apoyo y una fuente de aprendizaje personal durante este tiempo.

Por último dar las gracias a mi tutor Sebastián Lozano por su ayuda durante la realización de este proyecto. Tanto por la total disposición como por las facilidades que me ha brindado dada mi situación durante la realización del mismo.

.

Sandra Fernández Coleto

Alumna de la Escuela Técnica superior de Ingeniería

Sevilla, 2015

Resumen

Los mapas de conceptos se presentan como una potente estrategia de aprendizaje. Su carácter visual y organizado permite representar nuevos conceptos de manera clara y fácilmente integrable dentro de la estructura cognitiva de cada individuo. Desgranan jerárquicamente los términos clave de un tema y usan relaciones entre los mismo para construir un mapa de conocimiento que favorece el aprendizaje significativo.

Por otro lado, la metodología de Análisis Envolvente de Datos constituye una técnica de evaluación de la eficiencia de procesos industriales empleada en numerosas empresas y estudios. Esto se debe a su carácter no paramétrico y ser especialmente adecuada para organizaciones multiproducto con gran diversidad de recursos y objetivos. Los modelos DEA obtienen un valor de la eficiencia de cada unidad a partir de la estimación de una frontera de referencia, la cual está constituida por las mejores unidades productivas de la muestra. A su vez, ofrece opciones de mejora para que las unidades ineficientes puedan alcanzar su mejor actuación.

Con todo ello, en el presente proyecto se estudian con detalle los modelos fundamentales en el Análisis Envolvente de Datos, con diferentes orientaciones, tecnología y métrica. Toda la teoría es desarrollada a través de mapas conceptuales mediante el software libre CMapTools.

Abstract

Conceptual maps are presented as a very strong learning strategy. Their visual and organized aspect allows representing new concepts in such a way that they can be easily integrated in each individual’s cognitive structure. Moreover, conceptual maps present the most important terms of a particular topic and establish relationships between them in order to build a knowledge map and to ease the significant apprenticeship.

What is more, the DEA methodology consists of a technique to evaluate the efficiency of industrial processes, and it is implemented in several companies and research studies. Such a diverse use of this technique is due to the fact that DEA has a non-parametric behavior, and it is especially suitable for multi-products organizations with a huge variety of resources and goals. DEA models obtain a certain value of each unit’s efficiency from an estimation of a reference boundary, which is made of the best productive units of the sample. Improvement options are offered in order to allow the best performance of the inefficient units.

As a conclusion, it is important to remark that this project analyzes in detail the most important DEA models, providing different technology, metric and orientation. The open source software CMapTools is used to develop all the theoretical concepts through conceptual maps.

Índice

Agradecimientos ix

Resumen xi

Abstract xiii

Índice xv

Índice de figuras xvii

Índice de tablas xix

Notación xxi

1. Motivación xxiii

2. Introducción 25

2.1. Análisis Envolvente de Datos 25

2.1.1. La unidad de producción 25

2.1.2. Análisis Envolvente de Datos: Objetivos y utilidades 27

2.1.3. Reseña histórica 27

2.2. Mapa conceptual 28

2.2.1. Aprendizaje significativo. Origen del mapa conceptual 28

2.2.2. Construcción de Mapas de Conceptos 29

3. La Técnica DEA 31

3.1. Caracterización de los modelos DEA 31

3.1.1. Conjunto de posibilidades de producción 31

3.1.2. Tecnología y Retornos de Escala 32

3.1.3. Orientación y métrica del modelo 34

3.1.4. El significado de los pesos 36

xvi

3.2. Modelos con retorno de escala constantes 36

3.2.1. Modelos DEA-CCR en forma Fraccional 36

3.2.2. Modelos DEA-CCR con orientación de entrada 38

3.2.3. Modelos DEA-CCR con orientación de salida. 41

3.3. Modelos con retornos de escala variables 44

3.3.1. Modelos DEA-BCC con orientación de entrada 44

3.3.2. Modelos DEA-BCC con orientación de salida 46

3.4. Modelos FDH (Free Disposal Hull) 47

3.4.1. Modelos FDH con orientación de salida 47

3.4.2. Modelos FDH con orientación de entrada 49

3.5. Otros modelos DEA 50

3.5.1. Modelos aditivos 50

3.5.2. Modelos multiplicadores 51

3.5.3. Modelos con Restricciones en los Pesos 52

3.5.4. Modelos basados en la supereficiencia 53

3.5.5. Modelos basados en la eficiencia cruzada 54

3.5.6. Modelos con inputs y outputs no controlables 56

3.5.7. Modelos no radiales 57

3.5.8. Modelos no orientados 57

4. Mapas de Conceptos sobre DEA 59

4.1. Mapa DEA de Alto Nivel 62

4.2. Mapas sobre Conceptos Básicos en DEA 65

4.2.1. Mapa sobre el concepto Decision Making Unit 65

4.2.2. Mapa sobre los conceptos Entradas y Salidas 70

4.2.3. Mapa sobre el concepto Eficiencia 73

4.2.4. Mapa sobre los conceptos Conjunto de Posibilidades de Producción y Frontera Eficiente 78

4.2.5. Mapa sobre el concepto de Orientación y Métrica en DEA 84

4.3. Mapas sobre los modelos DEA 88

4.3.1. Mapa de conceptos sobre Modelos Fraccionales 89

4.3.2. Mapa de conceptos sobre Modelos Lineales con formulación primal 94

4.3.3. Mapa de conceptos sobre modelos lineales con formulación dual 101

5. Conclusión 125

Referencias 127

Índice de figuras

Figura 2- 1 Decision making unit 26

Figura 2- 2 Ejemplo de Mapa de Conceptos 28

Figura 3- 1 Frontera eficiente: Ejemplo con dos salidas y una entrada 32

Figura 3- 2 Frontera eficiente para Tecnología CRS y VRS 33

Figura 3- 3 Tecnología FDH para una entrada y salida 34

Figura 3- 4 Orientación de modelos 35

Figura 3- 5 Reducción Radial y No Radial 35

Figura 3- 6 Solución proporcionada para el modelo CCr input 41

Figura 3- 7 Solución proporcionada por el modelo CCR Output 43

Figura 3- 8 Modelo CCR output para una caso de una entrada y dos salidas 43

Figura 3- 9 Modelo BCC Input para el caso de una entrada y una salida 45

Figura 3- 10 Valor del intercepto 46

Figura 3- 11 solución FDH para dos salidas y una entrada 48

Figura 3- 12 FDH Input orientado con dos entradas 49

Figura 3- 13 Modelo aditivo para BCC con una entrada y una salida 51

Figura 3- 14 Modelo basado en supereficiencia para dos entradas y una salida 53

Figura 3- 15 Proyección sobre aristas: Múltiples soluciones 54

Figura 4 - 2 Mapa sobre los Estilos 61

Figura 4 - 3 Mapa DEA de Alto Nivel 63

Figura 4 - 4 Mapa sobre El Concepto: Decision Making Unit 67

Figura 4 - 5 Mapa sobre los conceptos: Entradas y Salidas 70

xviii

Figura 4 - 6 Mapa sobre el concepto: Eficiencia 73

Figura 4 - 7 Mapa sobre los conceptos: Tecnología y Frontera eficiente 79

Figura 4 - 8 Mapa Tecnología y Frontera Eficiente 79

Figura 4 - 9 Mapa sobre los conceptos: Orientación y Métrica 85

Figura 4 - 10 Mapa sobre Modelos Fraccionales 90

Figura 4 - 11 Mapa sobre Modelos Lineales formulación Primal 95

Figura 4 - 12 Mapa sobre MOdelos LIneales con Formulación Dual 102

Figura 4 - 13 Mapa sobre Modelos con tecnología FDH 112

Figura 4 - 14 Mapa sobre modelos No Orientados Radiales 116

Figura 4 - 15 Mapa sobre Modelos No Orientados No Radiales 116

Figura 4 - 16 Mapa sobre Modelos Aditivos y Multiplicadores 118

Figura 4 - 17 Mapa sobre Modelos con Restricciones en los pesos 119

Figura 4 - 18 Mapa sobre Modelos con Supereficiencia 120

Figura 4 - 19 Mapa sobre modelos con salidas/entradas no controlables 121

Figura 4 - 20 Mapa sobre modelos con Eficiencia Cruzada 122

Índice de tablas

Tabla 1-3 Tiendas de instrumentos: entradas y salidas 38

Notación

DEA Data EnvelopmentAnalysis

DMU DecisionMakingUnit

CPP Conjunto de Posibilidades de Producción CRS Retorno de Escala Constante

VRS Retorno de Escala Variable

FDH Free Disposal Hull

DEA-CCR Data Envelopment Analysis Charnes Cooper Rhodes

DEA-BCC Data Envelopment Analysis Banker Charles Cooper

IRS Retorno de Escala Creciente

DRS Retorno de Escala Decreciente

s.a Sujeto a

1. MOTIVACIÓN

os mapas conceptuales se presentan como una novedosa estrategia de aprendizaje y recurso didáctico en el campo de la enseñanza. Procuran el aprendizaje significativo y entran en conflicto con técnicas dirigidas a la memorización y el aprendizaje mecánico. Gracias a su carácter visual y el modo en que relacionan, describen y asocian los conceptos, van adquiriendo una merecida popularidad como

herramienta de gran utilidad en el ámbito educacional.

Desde mi propia experiencia académica, a lo largo de los años de educación secundaria y universitaria he podido experimentar por un lado diferentes técnicas de aprendizaje y recibir, al mismo tiempo, diversas herramientas didácticas por parte del profesorado. En los últimos años ha aparecido una notable tendencia hacia las clases basadas en diapositivas. Desde un punto de vista personal considero que dos de los principales hándicaps que presenta esta herramienta son, en primer lugar, la falta de visión global de la materia, es decir, en qué punto nos encontramos con respecto al resto de conceptos y cuáles son las relaciones con los mismos, lo que considero de gran utilidad para asimilar nuevas ideas. En segundo lugar, las diapositivas tampoco permiten identificar aquellos conceptos clave o establecer una jerarquía de importancia de forma clara y directa.

Considero estos dos aspectos claves para la facilitación y la eficacia del aprendizaje, siendo ello la principal motivación que me ha conducido hasta este proyecto. Con él, pretendo plasmar las ventajas y oportunidades que ofrecen los mapas de conceptos en el ámbito educativo a través de su aplicación en la teoría de Análisis por Envoltura de Datos.

La herramienta empleada para el modelado de los mapas conceptuales es el software libre CMapTools. Éste ofrece un amplio abanico de posibilidades, con potentes herramientas de edición de los mapas, además de un aprendizaje intuitivo para su manejo. A su vez, permite ser enlazado y compartido en servidores en línea Cmaps.

Por último, la propuesta del tutor sobre la aplicación de los mismos en el Análisis por Envoltura de Datos me resultó atractiva, ya que se trata de uno de los módulos más importantes desarrollados en algunas de las asignaturas relacionadas con la Organización Industrial, además de una herramienta de evaluación de procesos industriales de carácter potente. Área de la ingeniería hacia la que me gustaría orientar mi futuro laboral.

L

(...)Me di cuenta que tenía que evolucionar; aprender cosas

nuevas para no quedarme atrás. Me di cuenta y me rebelé.

-Jaime Sabines-

2. INTRODUCCIÓN

l presente proyecto desarrolla la teoría de Análisis Envolvente de Datos (DEA) a través de mapas conceptuales. Por ello, resulta de interés una primera aproximación que sitúe al lector tanto en el entorno

de los modelos DEA como en la idea del aprendizaje significativo. Ambos conceptos serán desarrolladas con detenimiento en capítulos posteriores.

2.1. Análisis Envolvente de Datos

Siempre ha sido de interés conocer cuánto de bien está trabajando una empresa u organización. La medición de esa eficiencia se basa en comparar la actuación real de la empresa con respecto a un óptimo. Lo lógico sería comparar lo que hace la empresa con lo que debería haber hecho para maximizar su beneficio. Sin embargo, esto no es posible dado que no se tiene un conocimiento perfecto del mundo en el que se desenvuelve ésta y no se conoce con exactitud ni la tecnología, ni algunas restricciones que pueden afectar a la obtención del máximo beneficio. Por lo tanto, lo mejor que se puede hacer es comparar lo que hace con lo que hacen otras firmas parecidas. Farrell (1957) es el precursor de estudios basados en esta idea. Dicho autor determina empíricamente, mediante cálculos algebraicos, una frontera eficiente, definida por la actuación de las mejores empresas observadas, que servirá como referencia para medir la eficiencia relativa de cada firma al compararse con dicha frontera.

El cálculo empírico de la frontera eficiente se puede realizar mediante aproximaciones paramétricas y no paramétricas. Las aproximaciones de tipo paramétrico utilizan programación matemática para estimar los parámetros de la frontera dándole a ésta previamente una forma funcional concreta. Mientras que, el enfoque no paramétrico realiza supuestos sobre las propiedades de la tecnología de producción que permiten definir, con el apoyo de los datos de actividades realmente observadas, el conjunto de procesos productivos factibles. Por lo tanto, mediante esta segunda aproximación no es necesario asumir una forma funcional concreta de la frontera, suponiendo esto una ventaja valiosa.

Entre las posibles técnicas no paramétricas puede destacarse el método DEA por dos razones fundamentales: su mayor estandarización (con relación a otros métodos) así como porque permite considerar múltiples entradas y salidas. En un análisis DEA se realizan dos procesos simultáneamente mediante el uso de algoritmos de programación lineal: la obtención de la frontera eficiente y la estimación de la ineficiencia.

2.1.1. La unidad de producción

La unidad productiva, Decision Making Unit (DMU), hace referencia a cualquier tipo de empresa, organización, escuela o en definitiva, proceso productivo que implique el consumo de unos recursos, "inputs" o entradas, para la obtención de unos resultados, "outputs" o salidas. El término "decision" se debe a la capacidad decisoria de estas unidades de producción sobre la cantidad de cada uno de los recursos involucrados o de los resultados producidos.

E

Introducción

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FIGURA 2- 1 DECISION MAKING UNIT

Un modelo DEA evalúa y compara un conjunto de n observaciones: DMUj con j=1,…,n. Siendo:

• xij: Entrada o recurso i usado por la unidad j con i=1,…,m.

• ykj: Salida o resultado k correspondiente a la unidad j con k=1,…,p.

• X: Matriz de entradas (n x m) es decir, con tantas filas como DMU's y tantas columnas como variables de entrada consideradas.

• Y: Matriz de salidas (n x p) es decir, con tantas filas como DMU's y tantas columnas como variables de salida consideradas.

La expresión de productividad introducida por Farrell (1957) para una determinada unidad, es un cociente entre los resultados que obtiene y los recursos involucrados, de modo que da una visión de cómo se están aprovechando esos recursos:

�� = ��ó� �� = � �� (2-1)

Este cociente sería suficiente para evaluar la productividad de una unidad que solo tiene una variable de entrada y una variable de salida, sin embargo, la complejidad del problema aumenta considerablemente para aquellos casos de múltiples inputs y outputs.

Un primer paso necesario es la elección de los factores a considerar cuando se evalúa la productividad de una unidad. Es decir, dado un proceso productivo, cuáles son los recursos que realmente permiten obtener el resultado y quienes constituyen el conjunto de resultados que representan la producción obtenida.

Una vez identificados, una segunda etapa consiste en cuantificar el grado de utilización que se ha hecho de cada recurso durante el proceso productivo. Apareciendo otra dificultad adicional al existir recursos difícilmente mesurables.

En definitiva, la evaluación de la productividad requiere un planteamiento inicial en el que se razone qué factores se han escogido y cuáles son los criterios de medida asignados a los mismos.

Concluida esta primera parte se pasaría al cálculo de la productividad en sí, la cual, pese a depender de muchas variables, es un escalar. Sin embargo, decir que una DMU tiene una productividad determinada no es indicativo de que el resultado sea positivo o negativo a no ser que se tenga un valor de referencia.

Por ello, la metodología DEA, compara la productividad de unidades semejantes, naciendo así el concepto de la Eficiencia Relativa de una unidad "j" respeto a otra similar "0":

�� = �� (0-2)

Dependiendo de la unidad de referencia que se utilice se pueden distinguir distintos tipos de eficiencia:

Representación del conocimiento sobre Análisis por Envolvente de Datos (DEA) usando mapas de conceptos

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• Eficiencia global: cuando se escoge como referencia la unidad de mayor productividad de entre todas las posibles.

• Eficiencia técnica: cuando se escoge como referencia la unidad de mayor productividad de entre las unidades que tiene un tamaño similar, es decir, las unidades con entradas y salidas del mismo orden de magnitud.

Acorde con esta definición, una unidad tiene comportamiento eficiente si su productividad es igual a la de la unidad de mejor actuación. En caso contrario, la unidad se considera no eficiente. La metodología DEA permite identificar Unidades Eficientes y Unidades No Eficientes y realizar una evaluación de la ineficiencia incluyendo posibilidades de mejora.

2.1.2. Análisis Envolvente de Datos: Objetivos y utilidades

DEA es una técnica de medición de la eficiencia basada en la obtención de una superficie envolvente (frontera eficiente o función de producción empírica) a partir del conjunto de observaciones que se considere, DMU's, sin la estimación de ninguna función de producción, es decir, sin necesidad de conocer ninguna forma de relación funcional entre salidas y entradas.

De forma que las unidades que determinan la Frontera Eficiente se denominan Unidades Eficientes y aquellas que no permanecen sobre la misma son consideradas Unidades Ineficientes.

DEA permite la evaluación de la eficiencia relativa de cada una de las Unidades Ineficientes mediante la distancias entre éstas y su proyección sobre la Frontera Eficiente.

Las Unidades Eficientes siguen para la metodología de Análisis Envolvente de Datos el criterio de Pareto-Koopmans que dice lo siguiente: una unidad de decisión es eficiente, si y sólo si no es posible mejorar algunos de sus outputs o inputs sin empeorar algunos de los otros outputs o inputs (Cooper, Li, Seiford, et al, 2001).

Para la dirección empresarial la utilidad de DEA pasa por el apoyo que da a la hora de programar tareas como:

• La reasignación de los recursos disponibles desde las unidades menos eficientes hacia las más eficientes.

• El establecimiento de objetivos de eficiencia concretos para cada unidad.

• El control de las variaciones de eficiencia obtenidos por estas unidades a lo largo del tiempo.

• La identificación de unidades a las que recompensar por la obtención de buenos resultados.

2.1.3. Reseña histórica

Es en 1957 cuando M. J. Farrell con su trabajo "The measurement of productive efficiency" provoca un cambio substancial en las técnicas existentes para medir la eficiencia. Farrell resumía toda la información del proceso productivo en una única isocuanta, y así, podía ofrecer una descomposición parcial de la eficiencia de las unidades productivas en sus componentes técnicos y asignativos. Todas las unidades que quedasen sobre la isocuanta serían unidades eficientes. En contraposición, las unidades que no se encontrasen sobre la isocuanta, serían unidades no eficientes. La cuantía de ineficiencia vendría dada por su distancia radial a la isocuanta.

Esta isocuanta o función de producción que Farrell utiliza en su estudio, correspondería a la hoy llamada frontera de eficiencia.

El problema del modelo de Farrell era conocer el valor de la isocuanta, es decir conocer la función de producción. Solventar este problema proponía dos corrientes de investigación, una correspondiente a la vía paramétrica y la otra a la vía no paramétrica. Siendo ésta última la que conduce a Charles, Cooper y Rhodes hasta el Análisis Envolvente de Datos.

Cierto es que la historia del análisis envolvente de datos comienza con la tesis de Edward Rhodes en la Universidad de Carnegie Mellon. E. Rhodes, bajo la supervisión de W. W. Cooper, realizaba una evaluación del Program Follow Through, un programa educacional para estudiantes desaventajados llevado a cabo en colegios públicos de Estados Unidos. Más específicamente, este programa medía las actuaciones de los

Introducción

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colegios en términos de salidas (outputs), tales como, "incremento de la autoestima de los niños desaventajados" y de entradas (inputs) necesarias para conseguir las salidas, tales como, "tiempo que las madres dedican a leer con sus hijos".

El desafío por estimar la eficiencia técnica relativa de los colegios, utilizando múltiples entradas y salidas, llevó a la primera formulación del ratio CCR (Charnes, Cooper y Rhodes) iniciando lo que posteriormente se denominó DEA, así como a la primera publicación que introducía el concepto "Measuring the efficiency of decision making units" (Charnes, Cooper y Rhodes, 1978). CCR utilizaron el método de optimización de programación matemática para generalizar la medida de la eficiencia técnica, entre una única entrada para conseguir una sola salida (un input, un output), propuesta por Farell (1957), y de este modo establecer una medida de la eficiencia para múltiples entradas y salidas. Para ello se basaron en la construcción de una única entrada y salida virtuales. Así DEA empezó como una nueva herramienta científica de dirección, para analizar la eficiencia técnica de las unidades de decisión del sector público.

2.2. Mapa conceptual

2.2.1. Aprendizaje significativo. Origen del mapa conceptual

Los mapas conceptuales son instrumentos de representación de conocimientos sencillos y prácticos, que permiten transmitir con claridad mensajes conceptuales complejos y facilitar tanto el aprendizaje como la enseñanza. Representan los conceptos y las relaciones explicitas entre ellos usando palabras de enlace, con una estructura en forma jerárquica en la que los conceptos más generales están en la raíz del árbol y a medida que vamos descendiendo por el mismo se van mostrando conceptos más específicos.

FIGURA 2- 2 EJEMPLO DE MAPA DE CONCEPTOS

Tienen su origen en 1972 en el transcurso del programa de investigación de Novak en la Universidad de Cornell quien se dedicó a seguir y entender los cambios en el conocimiento de las ciencias en niños.

Este programa se basó en la psicología del aprendizaje de David Ausubel. La idea fundamental en la psicología cognitiva de Ausubel es que el aprendizaje ocurre por asimilación de nuevos conceptos y proposiciones en una estructura conceptual y proposicional ya existente. A esta estructura de conocimiento que tiene el aprendiz también se le conoce como la estructura cognitiva del individuo.


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Debido a la necesidad de encontrar una mejor manera de comprensión conceptual para los niños, surgió la idea de representar el conocimiento en forma de mapas de conceptos, análogos a su estructura cognitiva.

Los mapas conceptuales se basan en el aprendizaje significativo, el cual requiere de tres condiciones según Ausubel:

• El material que se va a aprender debe ser conceptualmente claro y presentado con un lenguaje y ejemplos que puedan relacionarse al conocimiento previo del aprendiz. Los mapas conceptuales pueden ser útiles para lograr esta condición.

• El aprendiz debe poseer conocimiento previo relevante.

• El aprendiz debe escoger aprender significativamente: intentar incorporar nuevos significados dentro de su conocimiento previo, en lugar de simplemente memorizar definiciones de conceptos. Las estrategias didácticas que enfatizan el relacionar nuevo conocimiento con el conocimiento ya existente en el aprendiz fomentan este tipo de aprendizaje.

Aunque a primera vista los mapas conceptuales parecen ser sólo una forma de representación gráfica de información, el entender las base y su uso apropiado lleva al usuario a ver que es una herramienta verdaderamente profunda y poderosa en la que se premian, por un lado, el cuidado en organizar los conceptos representados por palabras, y por otro, la elección de las proposiciones o ideas formuladas mediante enunciados de enlace bien escogidos.

2.2.2. Construcción de Mapas de Conceptos

En la construcción de un Mapa de conceptos se pueden identificar los siguientes hitos:

1. Selección de los conceptos claves con los que se va a trabajar. Nunca se pueden repetir conceptos más de una vez en una misma representación.

2. Agrupación de los conceptos cuya relación sea próxima y ordenación desde los más generales y abstractos hasta los más concretos y específicos.

3. Determinación de la jerarquización. Situar en la parte más alta del mapa los términos más generales, en la parte baja los subtemas y en un tercer nivel los aspectos más específicos de cada subtema.

4. Uso de una simbología gráfica correcta. Además de la jerarquía en el gráfico el formato geométrico que encierra los conceptos (ovalo, rectángulo, polígono...) se puede emplear como otro aspecto identificativo de la categoría de la idea.

5. Conexión de los conceptos mediante una palabra enlace que define la relación entre éstos. La conexión se representa mediante una línea acabada en flecha que indica la dirección de la lectura y crea de este modo una proposición con significado.

6. Los mapas conceptuales permiten la adición de etiquetas o palabras enlace y de ejemplos bajo las etiquetas de los conceptos.

7. Revisión del mapa para comprobar que las proposiciones tienen sentido y existe una buena estructura global clara y de fácil entendimiento.

Es importante reconocer que un mapa conceptual nunca está terminado. Después de que se construye un mapa preliminar, siempre es necesario re-trabajar este mapa. Otros conceptos pueden ser agregados, demostrando de esta manera su carácter de aprendizaje significativo: incorporación de nuevas ideas en la estructura cognitiva que ya tiene el individuo.

Introducción

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3. LA TÉCNICA DEA

ste capítulo desarrolla exhaustivamente los conceptos de carácter teórico que requiere la creación de un mapa conceptual sobre la metodología DEA. En una primera parte se presentan los términos básicos del Análisis Envolvente de Datos. Ello permitirá al lector, en un siguiente punto, adentrarse de forma gradual en

los distintos modelos que surgen y su interpretación.

3.1. Caracterización de los modelos DEA

3.1.1. Conjunto de posibilidades de producción

La medida de la eficiencia con DEA implica dos pasos básicos:

• La construcción del conjunto de posibilidades de producción.

• La estimación de la máxima expansión posible de las salidas, o de la mínima contracción posible de las entradas de la unidad dentro del conjunto de posibilidades de producción.

Así pues, el conjunto de posibilidades de producción o tecnología, CPP, está constituido por los procesos productivos tecnológicamente factibles. Las hipótesis DEA para determinar dicho conjunto son:

1. Envoltura: Las observaciones pertenecen al conjunto de posibilidades de producción. {�� ′� = (#, %) ∪ (�� } 2. Free Disposability o Ineficiencia: Libertad o gratuidad para derrochar o desechar. Si una observación

pertenece al conjunto de posibilidades de producción, todos los puntos que consumen más y producen menos son posibles. {(#, %) ∪ (�� → (+,, -,) ∪ (�� ., · # ≤ +, ; ., · % ≥ -, , ∃., ≥ 0}

3. Convexidad: si dos procesos productivos pertenecen al CPP, todas sus combinaciones lineales convexas también pertenecen al CPP. {[(+, -), (+6, -6 )] ∪ (�� → [8 · (+, -) + (1 − 8) · (+6, -6 )] ∪ (�� 8 ≥ 0}

4. Rendimientos a escala constantes o escalabilidad: es posible re-escalar la actividad de cualquier proceso productivo perteneciente a CPP. {(+, -) ∪ (�� → (8 · +, 8 · -) ∪ (�� 8 ≥ 0}

El conjunto de posibilidades queda envuelto por la frontera de posibilidades de producción que en ciertas zonas será frontera eficiente y en otras no.

E

La Técnica DEA

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Es importante hacer distinción entre estos términos. La frontera eficiente está constituida por aquellas unidades eficientes o de mejor práctica observada. Estas unidades se caracterizan porque no es posible aumentar su producción sin aumentar alguno de los recursos consumidos o, en caso contrario, disminuir el consumo de una entrada sin aumentar el consumo de otra para mantener una salida constante. Sin embargo, ambas actuaciones son posibles para unidades ineficientes, puesto que como su nombre indica, su comportamiento siempre es mejorable.

En la Figura 3- 1se ha representado, para un nivel de producción fijo y, el conjunto de posibilidades en función de los valores de los recursos empleados x1 y x2.

Las unidades observadas son A, B, C, E, F. Resulta gráficamente intuitivo que las de mejor práctica, por tanto las eficientes, son las unidades situadas en los vértices E y F. Pues son aquellas que consumiendo menos entradas obtienen la misma salida que el resto.

FIGURA 3- 1 FRONTERA EFICIENTE: EJEMPLO CON DOS SALIDAS Y UNA ENTRADA

Por tanto, la frontera eficiente viene determinada por el segmento EF y la frontera de posibilidades de producción estará constituida por ésta última y las prolongaciones paralelas a los ejes.

Remarcando el hecho de que dichas prolongaciones no son eficientes, se puede identificar que son una clara ilustración del axioma de ineficiencia anteriormente expuesto, por el cual, si para un nivel (x1,x2) de entradas se obtiene una salida y, para (x1',x2) con x1'>x1 y x2=x2 también es posible dicho output.

Sin embargo sobre la frontera eficiente ninguna unidad que se sitúe puede aumentar el consumo de uno de sus recursos sin disminuir el del otro para mantener el nivel de la salida.

3.1.2. Tecnología y Retornos de Escala

Atendiendo a las hipótesis definidas en la sección anterior, se pueden distinguir entre tres posibles tecnologías o CPP:

• FDH o Free Disposal Hull: Aplica las hipótesis de "Envoltura" y "Free Disposability".

• VRS o Retorno Variable de Escala: Bajo las hipótesis "Envoltura", "Free Disposability", y "Convexidad".

• CRS o Retorno Constante de Escala: Asume las cuatro hipótesis, "Envoltura", "Free Disposability", "Convexidad" y "Escalabilidad".

Se entiende por Retorno Constante de Escala considerar que cualquier unidad puede alcanzar la productividad de las eficientes, independientemente de su tamaño. Por tanto la eficiencia que se calcula en el estudio es la global, ya que todas las DMU's tienen como unidades de referencia a las de mayor productividad de entre todas las posibles.


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En CRS se consideran como posibles unidades, es decir, tecnologías admisible, todas aquellas que verifiquen: <=>? = @(+,, -,): ∃., ≥ 0, ., · # ≤ +, ; ., · % ≥ -,B

Siendo ., un vector con tantas componentes como DMU's haya, X la matriz de entradas, con tantas filas como DMU's y tantas columnas como variables de entrada consideradas, e Y la matriz de salidas, análoga a X pero conteniendo los Outputs para cada unidad.

La representación del conjunto para una entrada y una salida se recoge en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., formando parte del mismo todas las unidades que se encuentran sobre y bajo la línea punteada. Dicha línea constituye la frontera eficiente para este tipo de modelos. La unidad B es aquella que presenta una mayor productividad y se considera como ya hemos comentado, la unidad de referencia para el resto, independientemente de sus tamaños.

FIGURA 3- 2 FRONTERA EFICIENTE PARA TECNOLOGÍA CRS Y VRS

Se consideran que existen Retornos de Escala Variables cuando algunas unidades de tamaño diferente al de las eficientes pueden no ser capaces de conseguir la productividad de éstas. Así pues, el estudio se realiza usando la eficiencia técnica, es decir, refiriendo cada DMU a unidades de mayor productividad entre las de su tamaño.

De la misma manera que antes el conjunto de posibilidades admisibles para la tecnología VRS es:

<C>? = D(+,, -,): ∃., ≥ 0, E .� = 1F�GH ; ., · # ≤ +, ; ., · % ≥ -,I

Representado gráficamente en la Figura 3- 2 por el conjunto de unidades pertenecientes y bajo la línea continua. Haciendo referencia a secciones anteriores se observa que los segmentos AB, BC, CD constituyen la frontera eficiente del modelo con rendimiento de escala variable. Mientras que los segmentos paralelos a los ejes, situados en los extremos, son solo frontera de producción admisible.

A su vez, para una tecnología con rendimientos de escala variables, se puede diferenciar entre rendimiento de escala creciente y decreciente.

• Se dice que la tecnología exhibe rendimiento de escala creciente, IRS, cuando el incremento porcentual de los Outputs es mayor que el incremento porcentual de los recursos.

• Por el contrario, se habla de rendimientos de escala decrecientes, DRS, cuando el incremento porcentual de los Outputs es menor que el incremento porcentual de los Inputs.

En la Figura 3- 2 el segmento AB representaría aquellas unidades con rendimiento de escala creciente, mientras que los segmentos BC, CD serían decrecientes.

Por último, los modelos FDH (Free Disposal Hull) son aquellos donde las posibles unidades admisibles que pueden ser analizadas corresponden a los elementos del siguiente conjunto:

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<JKL = M(+,, -,): ∃., ≥ 0, ., · # ≤ +, ; ., · % ≥ -, ; E .N = 1�N=1 ; .N ∈ {0,1}P

Como puede observarse sólo una de las componentes del vector (.H, .Q,...,.F) será uno y las restantes cero. Así que las unidades se proyectarán siempre sobre una de las unidades existentes. En este caso no existe frontera eficiente como tal, sino un conjunto de observaciones de mejor práctica sobre las cuales se proyectan el resto.

Véase la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., en la que las unidades eficientes sobre las que se proyectará el resto son las DMU1,2,3 y 4, mientras que los segmentos que unen a éstas no dejan de ser CPP pero no frontera eficiente.

FIGURA 3- 3 TECNOLOGÍA FDH PARA UNA ENTRADA Y SALIDA

3.1.3. Orientación y métrica del modelo

Existen dos orientaciones definidas:

• Input Orientados o Modelos con Orientación de Entrada: buscan, dado el nivel de Outputs, la máxima reducción proporcionar en el vector de Inputs siempre que formen parte del conjunto de posibilidades de producción. Es decir, alcanzar la productividad de la unidad de referencia a costa de disminuir los recursos empleados. Una unidad no es eficiente si es posible disminuir cualquier Input sin alterar sus Outputs.

• Outputs Orientados o Modelos con Orientación de Salida: buscan, dado el nivel de Inputs, el máximo incremento proporcional de los Outputs, permaneciendo dentro de la frontera de posibilidades de producción. Es decir, que la unidad alcance la productividad de la eficiente con la que se compara a cambio de aumentar la salida que produce. En este sentido, una unidad no puede ser caracterizada como eficiente si es posible incrementar cualquier Output sin alterar sus Inputs.

En la Figura 3- 4 se ha representado bajo el supuesto de frontera de rendimientos constantes de escala, la observación A con una única entrada y una única salida. Gráficamente se identifica claramente como unidad ineficiente al encontrarse bajo la frontera, es decir, existen observaciones con mejor comportamiento y por tanto la posibilidad de mejorar el suyo.


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FIGURA 3- 4 ORIENTACIÓN DE MODELOS

Desde el punto de vista de un modelo con orientación de entrada (1), la Unidad A podría reducir la cantidad de recurso consumido x y seguir produciendo la misma cantidad B, es decir, debería tomar como referencia la mejor práctica: Unidad A1. En este caso de modelo con orientación de entrada la eficiencia de la Unidad

vendría dada por la distancia (1) en forma del cociente: � = RSHRS

De igual forma, al considerar la evaluación de la eficiencia a través de modelos con orientación de salida (2), la Unidad A seria calificada como ineficiente. Esta Unidad podría, consumiendo la misma cantidad, C, producir

una mayor cantidad de Output. En este caso la eficiencia de la Unidad A vendría dada por el cociente � = =S=SQ.

Como puede observarse en la Figura 3- 4, cabe la posibilidad de considerar una tercera opción, correspondiente a los denominados modelos no orientados (también llamados Input-Output orientados), en los que tanto entradas como salidas son controlables, y buscan simultáneamente la reducción Input y expansión Output.

Cuando se proyecta una unidad sobre la frontera eficiente para obtener una medida de su eficiencia también se pueden distinguir dos situaciones: proyección radial y no radial, ambas representadas en laFigura 3- 5.

Se trata de un problema de una salida y dos entradas para el que se ha representado las unidades observadas dado un nivel de producción fijo y.

FIGURA 3- 5 REDUCCIÓN RADIAL Y NO RADIAL

La unidad A solo necesita una reducción radial para proyectarse sobre la frontera eficiente, línea BC, y obtener la proporción de entradas actuales que deben utilizarse para conseguir su eficiencia.

Sin embargo, para la unidad D, una reducción radial da lugar al valor D' que no se sitúa sobre la frontera eficiente. Es necesaria una reducción rectangular a lo largo de la recta paralela al eje hasta llegar a la unidad B. Por tanto en este caso, el modelo ofrecerá dos resultados, una proporción en la que ambas entradas deben reducirse, y otro denominado "holgura", proporción en la que además debe reducirse la entrada x1 para que la unidad D sea realmente eficiente.

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En definitiva, un modelo radial consta de un mismo factor, TU, de reducción para ambas entradas. Por lo que requiere del concepto de “holgura” para aquellos casos como D. Sin embargo, un modelo no radial consta de un factor de reducción para cada entrada, TVU,y por tanto se ajustará a la frontera eficiente directamente.

3.1.4. El significado de los pesos

Como se había comentado previamente, el analista se encuentra con la dificultad de tener que agrupar recurso y resultados que pueden tener muy distinta naturaleza y en consecuencia, unidades de medida diferentes que deben ser unidas en una misma expresión de productividad.

Para solucionar este problema aparecen los conceptos de entrada y salida virtual: agregación de las salidas y entradas escaladas mediante un peso para que el resultado sea adimensional e independiente de la escala utilizada.

Por lo que, si denotamos como:

• xij a la entrada o recurso i usado por la unidad j • ykj a la salida o resultado k correspondiente a la unidad j.

Se obtienen las expresiones:

�� = E �V�W

VGH · +V� (3-1)

� �� = E �X� · -X�Y

XGH (3-2)

Sea uij el peso que tiene la entrada i, es decir, la ponderación que tiene esa entrada con respecto al resto para la unidad de producción j. Teniendo en cuenta que existen un total de m entradas.

De igual modo vkj es el peso que tiene la salida k de entre las p salidas totales para la unidad de producción j, es decir, la contribución de ese Output a la eficiencia relativa de la unidad.

Estos pesos forman parte de la solución del problema y su significado se verá reflejado con mayor claridad a medida que se vayan definiendo los distintos modelos.

Con todos estos conceptos se pasa a abordar los modelos de Análisis Envolvente de Datos más fundamentales.

3.2. Modelos con retorno de escala constantes

Con todos los conceptos previamente descritos se pueden abordar los modelos DEA más fundamentales. Este capítulo versa sobre aquellos con retorno de escala constantes, es decir, aquellos donde la unidad de referencia es la de mayor productividad entre las observadas.

3.2.1. Modelos DEA-CCR en forma Fraccional

El modelo fraccional permite obtener un conjunto óptimo de pesos, �XU, �VU, que maximizan la eficiencia relativa de la Unidad J bajo estudio. Dicha eficiencia está definida como el cociente entre la suma ponderada de Outputs y la suma ponderada de Inputs.

La función objetivo está sujeta a n+2 restricciones. Las n primeras obligan a que ninguna unidad observada pueda tener una eficiencia mayor que uno para los pesos que maximizan la eficiencia de la Unidad J. Es decir, cada vez que se buscan unos pesos que garanticen una eficiencia máxima para la unidad bajo estudio, debe asegurarse al mismo tiempo que ninguna DMU del problema tenga un valor de eficiencia inadmisible empleando los mismos.


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El problema analíticamente se expresa de la siguiente forma.

� + Z�U = ∑ �XU · -XUYXGH∑ �VU · +VUWVGH \

s.a.

∑ �XU · -X�YXGH∑ �VU · +V�WVGH ≤ 1

�XU, �VU ≥ ]; ^ = 1, . . . `; � = 1, . . . �

(3-3)

Con las dos últimas restricciones se obliga a los pesos a que nunca puedan ser nulos, siendo ] un número real estrictamente positivo. Este valor representa una constante no-arquimediana menor que cualquier número real positivo.

El modelo consiste en n problemas de maximización, como el anteriormente representado, correspondientes a cada una de las unidades observadas cuya eficiencia se quiere evaluar. De la resolución se obtienen los valores de eficiencia de las mismas y los pesos correspondientes que la hacen máxima. En cuanto a los pesos óptimos, debe tenerse en cuenta que los valores de éstos diferirán de una unidad a otra, puesto que el modelo debe ser resuelto para cada una de las n unidades, cada una buscará su posible mejor actuación en función de los valores que toman sus entradas y salidas.

Si la eficiencia obtenida no vale la unidad la observación se considera ineficiente. En ese caso, las unidades que con los mismos pesos asignados a la unidad ineficiente, que está siendo evaluada, resulten ser eficientes se denominarán Peers (pares de referencia). Estos Peers constituyen el conjunto de referencia eficiente de la unidad en estudio, es decir, constituyen la referencia para su mejora.

Una vez resueltos los n problemas planteados se obtendrá un subconjunto E formado por las unidades DMUr que han resultado ser eficientes al resolverse el modelo, es decir, cumplirán la igualdad:

∑ �Xa · -XaYXGH∑ �Va · +VaWVGH = 1 (3-4)

El modelo ratio se denomina así por ser la función objetivo un cociente, lo cual dificulta el cálculo al no ser lineal.

Ejemplo 1-3 Un individuo desea evaluar la eficiencia de seis tiendas de instrumentos y para ello dispone de información relativa a dos inputs: x1=Número de empleados y x2=Depreciación del inmovilizado, y dos outputs: y1=Número de instrumentos vendidos y y2=Número de órdenes de reparación recibidas en taller.

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Tabla 1-3 Tiendas de instrumentos: entradas y salidas

A B C D E F

Empleados x1 8 11 14 12 11 18

Depreciación del inmovilizado x2 8 15 12 13 18 20

Instrumentos vendidos y1 14 25 8 25 40 24

Ordenes de reparacióny2 20 42 30 8 22 30

De acuerdo con la forma fraccional del modelo DEA-CCR la eficiencia para la tienda A vendría dada según el siguiente planteamiento:

� +b,c�S = 14 · �H + 20 · �Q8 · �H + 8 · �Q

s.a. 14 · �H + 20 · �Q8 · �H + 8 · �Q ≤ 1 25 · �H + 8 · �Q12 · �H + 13 · �Q ≤ 1

25 · �H + 42 · �Q11 · �H + 15 · �Q ≤ 1 40 · �H + 22 · �Q11 · �H + 18 · �Q ≤ 1

8 · �H + 30 · �Q14 · �H + 12 · �Q ≤ 1 24 · �H + 30 · �Q18 · �H + 20 · �Q ≤ 1

�H, �Q, �H, �Q ≥ ]

3.2.2. Modelos DEA-CCR con orientación de entrada

El modelo DEA-CCR en forma fraccional puede ser linealizado siguiendo la transformación lineal de Charnes y Cooper (1962). Los cocientes que aparecen en el modelo pueden sustituirse por expresiones lineales asumiendo las siguientes consideraciones:

• Si (�VU,�XU) son pesos solución del modelo ratio, también lo son ( · �VU, � · �XU). Esto implica que el modelo tiene un grado de libertad a la hora de elegir la solución del problema, el cual se puede eliminar mediante la restricción:

E �VU · +V�W

VGH = 1

• Maximizar un cociente manteniendo el denominador constante consiste en maximizar el numerador.

• Si el cociente es menor que la unidad es debido a que el numerador es menor que el denominador.

De modo que el problema lineal queda de la siguiente forma:

� + E �XU · -XUY

XGH

s.a.

E �XU · -X�Y

XGH − E �VU · +V�W

VGH ≤ 0 N = 1, … , �

(3-5)


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E �VU · +VUW

VGH = 1

�XU, �VU ≥ ]; ^ = 1, . . . `; � = 1, . . . �

El problema pasa a tener n+1 restricciones: n correspondientes a linealizar que todas las eficiencias deben ser igual o menor a la unidad, la otra restricción asegura que se maximiza la eficiencia cuando se hacen máximas las salidas y consigue que exista una única solución posible para los pesos. Además, la restricción adicional es lo que hace que el modelo tenga orientación de entrada, ya que establece como medida de referencia de la eficiencia la entrada virtual.

A su vez existen s+p cotas correspondientes a los pesos.

Sin embargo, este modelo no suele ser utilizado para obtener las medidas de eficiencia sino que se emplea su dual por razones de operatividad y ahorro de tiempo. Como los duales tienen menos restricciones que los primales es más sencillo y corto calcular sus soluciones.

Recordando que existe una variable del dual por cada restricción del primal y una restricción dual por cada variable del primal el modelo DEA-CCR Input orientado queda con la siguiente expresión:

�� TU − ] · jE XY

XGH + E �VW

VGH k

sa.

E .� · +V�F

�GH = TU · +VU − �V � = 1, … , �

E .� · -X�F

�GH = -XU + X ^ = 1, … , `

.� ≥ 0 ∀N; �V, X ≥ 0; TU ��

(3-6)

A este modelo se le conoce como modelo forma de envolvente. Nótese que las n variables .� son las correspondientes a las n primeras restricciones del primal y TU es variable asociada a la restricción que normaliza las entradas. Por ultimo X, �V son las denominadas variables de holgura de outputs e inputs respectivamente, correspondientes a las p+m cotas.

Interpretando las ecuaciones del dual se observa que las restricciones establecen una combinación lineal entre la unidad evaluada (+VU , -XU) y las restantes observaciones(+V�, -X�). El resultado es la unidad virtual(TU ·+VU − �V, -XU + X). Entendiendo por unidad virtual aquella que no existe pero en la que se podría transformar la DMUJ modificando sus entradas o salidas. (+VU , -XU) → (TU · +VU − �V, -XU + X)

Al minimizarse TU, se reducen equiproporcionalmente (reducción radial) las componentes de las entradas, TU · +VU, hasta llegar al punto que, con las mismas salidas, obtiene la mínima cantidad de recursos necesarios como combinación lineal de las unidades en estudio. Nótese aquí la orientación de entrada del modelo.

La DMUJ se compara con esta unidad virtual, la cual puede obtener el mismo nivel de salidas o incluso superior al de la unidad J, véase que se suma un valor de holgura X, utilizando menos recursos que los actualmente empleados por ésta en el caso de que TU sea inferior a la unidad o la variable de holgura �V sea distinta de cero.

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Por otro lado las variables .� se denominan "intensidades". Esta variable solo toma valor en caso de que la unidad sea ineficiente, aquellos subíndices para los que éste coeficiente tome valor identifica que unidades son los pares o "Peers" del resto de observaciones de los que la unidad ineficiente es combinación lineal. Gráficamente se podría considerar como la proximidad entre la unidad J y las variables de las que es combinación lineal.

En conclusión, se entiende por unidad eficiente aquella para la cual se verifican: TU = 1 .� = 0 .U = 1 �V = X = 0

Esta solución corresponde a considerar que la DMUJ es combinación lineal de ella misma, no habiendo ninguna otra unidad que produzca las mismas o mas salidas utilizando los mismos o menos recursos.

Si TU = 1 - �V = X ≠ 0 para alguna entrada o para alguna salida, se produce una proyección paralela al eje correspondiente a la variable de holgura que no es nula (reducción rectangular o no radial).

El problema dado en el modelo (3-6), se resuelve mediante un método de dos etapas que asegura la determinación de todas las posibles holguras Input y Output e implica la resolución de dos problemas para cada Unidades:

Primera etapa: El objetivo de este primer paso es determinar el valor óptimo de θ, es decir, la máxima reducción proporcional que tendría que producirse en los Inputs de la unidad objeto de estudio.

��TU

sa.

E · +V�F

�GH = TU · +VU � = 1, … , �

E .� · -X�F

�GH = -XU ^ = 1, … , `

.� ≥ 0 ∀N; TU ��

(3-7)

Segunda etapa: A partir del óptimo T obtenido en la etapa 1 se ajustan los Inputs (Tn∗ · +�n) y se procede a minimizar las holguras Inputs y Outputs para mover no radialmente el punto proyectado en la etapa1, a un punto sobre la envolvente eficiente que satisfaga la condición de optimalidad de Pareto-Koopmans.

�� − ] · jE XY

XGH + E �VW

VGH k

sa.

E .� · +V�F

�GH = TU∗ · +VU − �V � = 1, … , �

(3-8)


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E .� · -X�F

�GH = -XU + X ^ = 1, … , `

.� ≥ 0 ∀N; �V, X ≥ 0

Gráficamente para el caso de una entrada y una salida la solución del problema con orientación de entrada realiza una reducción de las entradas de las unidades ineficientes como se muestra en la Figura 3- 6. Las proyecciones representan la unidad en la que debería convertirse cada DMUJ para que fuese considerada eficiente. Es un problema de retornos de escala constantes como se observa al tomarse como referencia unidad de mayor eficiencia D, la cual se proyecta sobre sí misma.

FIGURA 3- 6 SOLUCIÓN PROPORCIONADA PARA EL MODELO CCR INPUT

Para analizar el significado gráfico de las variables del dual se recurre a un problema de dos entradas y una salida como el representado en la Figura 3- 5. Como se había comentado previamente la frontera eficiente la constituye el segmente que une los puntos B y C correspondiente al plano que pasa por el origen y por dichas unidades. Mientras que la envolvente del conjunto es la línea quebrada constituida por la frontera eficiente y los hiperplanos paralelos a los ejes tal y como se había comentado en secciones anteriores.

En el caso de la unidad A la solución del problema vendría dada por un valor TS equivalente a la distancia AA' y que representa la proporción de entradas actuales que deben utilizarse para conseguir la eficiencia. Las variables .R - .=son las únicas intensidades no nulas y constituyen el "peer" o par de unidades del cual A es combinación lineal. Por último las holguras son nulas ya que solo es necesaria una reducción radial para proyectarse sobre la frontera.

Por el contrario la unidad D obtiene como valores de intensidad no nulos únicamente el correspondiente a la unidad B, es decir, .R , y tiene un valor no nulo para la holgura �Q correspondiente a la salida x2 , cuyo valor corresponde con la distancia D'B o proyección rectangular realizada por la unidad para terminar de proyectarse sobre la frontera eficiente.

3.2.3. Modelos DEA-CCR con orientación de salida.

De forma análoga se puede optar por linealizar el modelo fraccional minimizando el denominador y manteniendo el numerador constante, lo que es análogo a buscar el máximo de los productos obtenidos para los recursos dados.

El modelo linear similar al anterior queda con la expresión (3-9).

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�� E �VU · +VUW

VGH

sa.

E �XU · -X�Y


VGH ≤ 0 N = 1, … , �

E �XU · -XUY

XGH = 1

�XU, �VU ≥ ]; ^ = 1, . . . `; � = 1, . . . �

(3-9)

Como diferencia principales al modelo con orientación de entrada, en primer lugar se encuentra la interpretación de la función objetivo, que para el modelo con orientación de salida representa el inverso de la eficiencia relativa de la unidad J, y por tanto siempre será mayor o igual a uno.

Por otro lado al establecerse como referencia la salida virtual igual a uno, además de eliminar el grado de libertad que el modelo fraccional posee para los pesos, se consigue la orientación de salida del mismo. De este modo en el problema dual la variable referente a la amplificación radial que debe producirse en las salidas para proyectar la unidad en la frontera eficiente será la que venga dada por esta restricción.

De nuevo, es en el problema expresado en su forma dual donde se advierten las consideraciones gráficas. Así pues, construyendo el problema dual se obtiene de forma similar al caso anterior:

� +pU + ] · jE XY

XGH + E �VW

VGH k

sa.

E .� · +V�F

�GH = +VU − �V � = 1, … , �

E .� · -X�F

�GH = pU · -XU + X ^ = 1, … , `

.� ≥ 0 ∀N; �V, X ≥ 0; pU ��

(3-10)

De este modo la función objetivo busca maximizar la amplificación radial de los outputs, pU · -XU, manteniendo constantes los recursos empleados. Para el caso de una entrada y una salida la resolución del problema equivale a la proyección que se muestra en la Figura 3- 7 sobre la frontera eficiente para un retorno de escalas constante.


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FIGURA 3- 7 SOLUCIÓN PROPORCIONADA POR EL MODELO CCR OUTPUT

Al igual que en el modelo anterior, los valores que toman las variables en el caso de ser una unidad eficiente son: pU = 1 .� = 0 .U = 1 �V = X = 0

Esta solución corresponde a considerar que el punto es combinación lineal de el mismo, se proyecta sobre si.

Así pues, las restricciones establecen de nuevo una combinación lineal entre la Unidad J y el resto de observaciones bajo estudio, pero en este caso al maximizar pU, las componentes de salidas aumentan hasta llegar al punto en que, con las mismas entradas, se obtiene la mayor salir admisible basada en una combinación lineal del resto de unidades. (+VU , -XU) → (+VU − �V, pU · -XU + X)

De la misma forma que para el modelo con orientación de entrada, el significado de las variables del dual toma mayor sentido para un caso de varias entradas o salidas. En este caso, en la¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.se representa un problema con dos salidas y una entrada.

FIGURA 3- 8 MODELO CCR OUTPUT PARA UNA CASO DE UNA ENTRADA Y DOS SALIDAS

Las unidades eficientes son A y E, constituyendo el segmento que las une la frontera eficiente, y las rectas paralelas a los ejes de accisa el resto de frontera de posibilidades de producción.

El resto de unidades bajo la frontera se calificarán como ineficientes, tomando pU un valor mayor que la unidad para todas e igual al porcentaje en el que se pueden aumentar equiproporcionalmente las dos salidas manteniendo el mismo nivel de consumo de recurso. En el caso de la Unidad D, la proyección radial derivada

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del producto pK · -XK da lugar a la Unidad D', la cual no es eficiente. Por ello el valor de las holgura correspondiente a la salida y2, X, es positivo y equivale a la proyección rectangular que se realiza sobre la recta paralela a dicho eje hasta obtener la proyección sobre E. Por tanto, es esta última unidad la que constituye el par del cual D es combinación lineal. Lo cual se refleja en el valor no nulo del parámetro .q en este problema.

Por otro lado la Unidad B requiere únicamente una reducción radial para proyectarse sobre la frontera eficiente, siendo nulos los valores de las holguras y distintos de cero los valores .q y .S, los cuales constituyen el par o "peer" del cual es combinación la misma.

3.3. Modelos con retornos de escala variables

Este capítulo está dedicado al modelo DEA-BCC, así denominado por haber sido desarrollado por Banker, Charnes y Cooper (1989). Si el modelo DEA-CCR estudiado en el capítulo anterior consideraba rendimientos constantes a escala, el modelo DEA-BCC relaja este supuesto, que en gran parte de las ocasiones resulta excesivamente restrictivo, permitiendo que la tipología de rendimiento a escala que en un momento determinado caracterice la tecnología sea variable, de modo que las unidades se comparen con aquellas de un tamaño similar.

3.3.1. Modelos DEA-BCC con orientación de entrada

El modelo BBC es en realidad una extensión del modelo CCR, por lo que la formulación es prácticamente similar introduciendo algunas restricciones adicionales.

Partiendo del modelo en forma de envolvente para retornos de escala constantes con orientación de entrada, añadir una restricción que iguale el sumatorio de las componentes del vector (.H, .Q, … , .F) a la unidad, equivale a proyectar las unidades sobre un hiperplano formado por aquellas unidades más productivas de igual tamaño a la unidad bajo estudio.

El modelo queda expresado analíticamente de la siguiente manera:

��TU − ] · jE XY

XGH + E �VW

VGH k

sa.

E .� · +V�F

�GH = TU · +VU − �V � = 1, … , �

E .� · -X�F

�GH = -XU + X ^ = 1, … , `

E .� = 1F�GH

.� ≥ 0 ∀N; �V, X ≥ 0; TU ��

(3-11)

Es decir, mientras que en los modelos DEA-CCR el punto de proyección es una combinación lineal de unidades eficientes que permanecen sobre una cara de la envolvente eficiente, en los modelos DEA-BCC dicho punto de proyección es una combinación lineal convexa. La restricción de convexidad asegura que la unidad proyectada es de tamaño similar a la Unidad J bajo estudio y no es una extrapolación de otra unidad combinada que opera en una escala de diferente tamaño.


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Por tanto, para este caso, aparecerán unidades observadas que no eran eficientes en el anterior modelo y que sin embargo en este sí lo son. De ahí que la frontera eficiente, que ahora pasará a denominarse frontera eficiente técnica, la constituya un mayor número de unidades observadas.

La unidad evaluada será calificada como eficiente, según la definición de Pareto-Koopmans, si y solo si en la solución óptima se toman los siguiente valores: TU = 1 .� = 0 .U = 1 �V = X = 0

Todas las consideraciones que se hicieron con el modelo de retornos de escala constantes referentes a las proyecciones sobre la frontera y significados de las variable siguen siendo válidas en este. Quedando clara la orientación del modelo al permitirse únicamente la reducción radial para las entradas, TU · +VU.

La nueva forma que adquiere el problema para el caso de retornos de escala variables y una única salida y entrada se refleja en la Figura 3- 9.

FIGURA 3- 9 MODELO BCC INPUT PARA EL CASO DE UNA ENTRADA Y UNA SALIDA

De nuevo se pueden apreciar conceptos previamente explicados como la diferencia entre frontera eficiente y frontera de posibilidades de producción. Siendo la primera la línea quebrada formada por los segmentos AB, BC y CD.

También es fácilmente observable como las unidades F y G solo requieren de una reducción radial, mientras que, en el caso de E, la variable de holgura, s, toma el valor que representa la distancia E'A equivalente a la reducción rectangular adicional.

Para estos modelos el concepto de "peer" toma un mayor significado al existir una cantidad mayor de observaciones eficientes. Se designa "peer group" al conjunto de unidades eficientes de la que la proyección de una determinada unidad es combinación lineal. Para el caso de la unidad F, su "peer group" son las unidades A y B.

Haciendo referencia a otros conceptos explicados como los retornos de escala (véase sección 3.1.2), se identifica a la unidad A operando con retornos de escala crecientes, IRS, a la unidad C con retornos de escala decrecientes, DRS, y a B con retornos de escalas constantes, CRS, puesto que es la unidad de mayor productividad de entre las observadas.

Una explicación más visual para los retornos de escala puede ser obtenida al plantear el dual del anterior problema:

� + E �XU · -XUY

XGH + rU

sa.

(3-12)

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E �XU · -X�Y


VGH + rU ≤ 0 N = 1, … , �

E �VU · +VUW

VGH = 1

�XU, �VU ≥ ]; rU ��; ^ = 1, . . . `; � = 1, . . . �

Si se compara con el problema dado en el modelo (3-12) con el modelo (3-5), se observa cómo la definición de la medida de eficiencia bajo el supuesto de rendimientos variables a escala es similar a aquella que supone rendimientos constantes. La diferencia entre una y otra estriba en que en el segundo caso al valor del producto ponderado (output virtual) se le suma un término constante, rn. Este valor rU es el valor del intercepto en el eje de salidas (y) de la proyección de cada segmento (o cara) que define la frontera, como puede verse en la Figura 3- 10.

FIGURA 3- 10 VALOR DEL INTERCEPTO

De manera que si en la solución óptima del modelo (3-12) para la DMUJ:

• rn> 0 para todas las soluciones óptimas, prevalecen rendimientos crecientes de escala.

• rn = 0 para cualquier solución óptimas, prevalecen rendimientos constantes a escala.

• rn< 0 para todas las soluciones óptimas, prevalecen rendimientos decrecientes a escala.

En definitiva, los rendimientos de escala pueden ser estudiados usando DEA al estimar el signo de la constante rn. 3.3.2. Modelos DEA-BCC con orientación de salida

Si la orientación del problema es de salida, se obtendría un modelo análogo al anterior.


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� +pU + ] · jE XY

XGH + E �VW

VGH k

sa.

E .� · +V�F

�GH = +VU − �V� = 1, … , �

E .� · -X�F

�GH = pU · -XU + X ^ = 1, … , `

E .� = 1F�GH

.� ≥ 0 ∀N; �V, X ≥ 0; pU ��

(3-13)

La frontera eficiente obtenida es similar a la de la Figura 3- 9, pero las proyecciones se realizan primero amplificando de forma radial las salidas, y si es necesario, como en ocasiones anteriores, se proyecta además de forma rectangular usando las holguras óptimas.

Dado que las consideraciones hechas en los modelos anteriores son análogas para éste, se omitirá en este caso los comentarios sobre los posibles resultando, por no suponer estos un aporte de significado adicional.

3.4. Modelos FDH (Free Disposal Hull)

Previamente se había definido como modelos Free Disposal Hull aquellos que se basan en los axiomas de Envoltura y Free Disposability. Esto implica que dicha tecnología está compuesta por todas las observaciones de las que consta el problema además de aquellas unidades que requieren menos recursos para una misma salida o producen mayores resultados consumiendo menos (Véase la sección 3.1.2 en la que se comentaban con mayor profundidad estos conceptos).

3.4.1. Modelos FDH con orientación de salida

El modelo en el caso de orientación de salida es:

� +pU

sa.

E .� · +V�F

�GH = +VU − �V � = 1, … , �

E .� · -X�F

�GH = pU · -XU + X ^ = 1, … , `

E .� = 1F�GH

.� ∋ {0,1}

(3-14)

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�V, X ≥ 0; pU ��

De esta forma aparecen un conjunto D(J) de unidades DMU's que dominan a la unidad J, es decir, que son las candidatas a ser su proyección. Este conjunto D(J) está formado por aquellas observaciones de mejor práctica que consumen menos recursos y producen mayores salidas: �(n) = @N: +V� ≤ +VU , ∀�; -X� ≤ -XU, ∀^B Como la función objetivo no repara en las holguras, sólo importa en la resolución la amplificación radial. La representación de la resolución del modelo anterior, con una sola entrada y una sola salida, en el caso de orientación de salida, se expuso en Figura 3- 3.

En ésta, la línea quebrada representada es el límite del conjunto TFDH anteriormente expuesto. Las unidades que dominan a DMU5 son DMU2 y DMU3, que son las únicas candidatas a ser su proyección. La resolución del problema consiste en realizar la proyección radial, y luego la proyección rectangular que consiga terminar en una unidad del conjunto D(J).

El caso de dos salidas (y1,y2) y una entrada (x) no se puede representar, a no ser que las entradas sean las mismas para todas las unidades, ya que el modelo FDH es con retorno de escala variable. Considerando tal suposición, se puede observar la resolución del modelo de forma gráfica en la Figura 3- 11.

FIGURA 3- 11 SOLUCIÓN FDH PARA DOS SALIDAS Y UNA ENTRADA

Se pueden observar los casos de las unidades A y C. Se efectúa la amplificación radial de las salidas y posteriormente se proyecta de forma rectangular sobre la unidad D(J) correspondiente. El caso de la unidad C es más particular porque la proyección radial se efectúa sobre el punto C’ de la frontera, por lo que la proyección se realizará indistintamente sobre B ó E.

La resolución del modelo puede realizarse de forma sencilla partiendo de la restricción:

E .� · -X�F

�GH = pU · -XU

Una pU admisible debe cumplir:

pU = ∑ .� · -X�F�GH-XU

Por lo que el problema puede solucionarse basándose en un algoritmo que busca el más pequeño de estos cocientes, es decir, aquella unidad eficiente cuyo nivel de salidas diste menos de las salidas de J:


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pU∗ = � +�∈K(U) t��XGH,…,Y u-X�-XUvw 3.4.2. Modelos FDH con orientación de entrada

La formulación del problema para orientación de entrada se obtiene de manera similar. En este caso aplicando la reducción radial en las entradas se obtiene: ��TU

sa.

E .� · +V�F

�GH = TU · +VU − �V� = 1, … , �

E .� · -X�F

�GH = -XU + X ^ = 1, … , `

E .� = 1F�GH

.� ∋ {0,1}

�V, X ≥ 0; TU��

(3-15)

El caso de dos entradas y una salida se puede representar gráficamente siempre que todas unidades tengan la misma cantidad de salida. Con esta suposición, la resolución sería la mostrada en la Figura 3- 12.

FIGURA 3- 12 FDH INPUT ORIENTADO CON DOS ENTRADAS

De nuevo se observa que la unidad E puede ser proyectada sobre C ó D. El conjunto de DMU's que dominan a B y E son: D(B)={A,C} y D(E)={C,D}.

El algoritmo de resolución a aplicar en este caso es el siguiente:

TU∗ = ��∈K(U) t� +VGH,…,W u+X�+XUvw Para llegar a este algoritmo, se procede con el mismo razonamiento expuesto para la orientación de salida, el cual carece de interés volver a exponer.

La Técnica DEA

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3.5. Otros modelos DEA

3.5.1. Modelos aditivos

Los modelos hasta ahora estudiados hacían distinción entre orientación de salida y orientación de entrada. Sin embargo el modelo aditivo combina ambas orientaciones en un único planteamiento analítico.

El modelo aditivo no obtiene la solución del problema basándose en la proyección radial sobre la frontera eficiente, a diferencia de los anteriores, utiliza una métrica basada en la maximización de las holguras por lo que solo realizará reducciones rectangulares.

Así pues, si se elimina la variable que realiza la reducción (ampliación) radial de las entradas (salidas) para el caso de retornos de escala variables, se obtiene que:

� + jE XY

XGH + E �VW

VGH k

sa.

E .� · +V�F

�GH = +VU − �V� = 1, … , �

E .� · -X�F

�GH = -XU + X ^ = 1, … , `

E .� = 1F�GH

.� ≥ 0 ∀N; �V, X ≥ 0;

(3-14)

Este planteamiento equivale a la segunda etapa de la resolución en los modelos orientados, en la cual se busca la maximización de las holguras. La frontera eficiente obtenida por el modelo aditivo será idénticamente igual a la que se podría obtener con éstos, la diferencia estriba en el valor de la eficiencia debido al uso de una métrica diferente.

Es claro que este modelo emplea el cálculo del exceso de recursos empleados y el defecto de productos obtenidos para llegar a la proyección de la unidad sobre la frontera eficiente. Este concepto queda mejor ilustrado con laFigura 3- 13.


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FIGURA 3- 13 MODELO ADITIVO PARA BCC CON UNA ENTRADA Y UNA SALIDA

La unidad observada F muestra claramente el concepto al realizar simultáneamente una reducción de las entradas y una ampliación de las salidas basándose en los valores de las holguras.

Para el caso de retornos de escalas constantes el planteamiento del problema es el mismo, solo será necesario eliminar la restricción ∑ .� = 1F�GH .

3.5.2. Modelos multiplicadores

Se trata de un modelo no radial, al igual que el aditivo las proyecciones sobre la frontera eficiente se basan en los valores proporcionados por las holguras. Pero además incorpora la peculiaridad adicional de que las salidas y entradas virtuales, en lugar de ser sumas ponderadas, como ocurre en los modelos descritos hasta ahora, van a estar formadas por multiplicandos.

La formulación obtenida será el resultado de aplicar el modelo aditivo a los logaritmos de las variables originales. De este modo el planteamiento para el problema primal del modelo viene dado por:

� + jE ℎXyY

XGH + E ℎVzW

VGH k

sa.

E .� · log +V�F

�GH = log +VU − ℎVz� = 1, … , �

E .� · log -X�F

�GH = log -XU + ℎXy ^ = 1, … , `

E .� = 1F�GH

.� ≥ 0 ∀N; ℎXy, ℎVz ≥ 0;

(3-15)

La frontera eficiente en este modelo es logarítmica lineal a trozos. Igual que ocurría para el caso del modelo aditivo la eficiencia queda representado en otra métrica por lo que los valores obtenidos de eficiencia son diferentes.

La Técnica DEA

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3.5.3. Modelos con Restricciones en los Pesos

En lugar de permitir que la DMU evaluada incorpore en su medida de eficiencia los pesos que le resultan más favorables, es posible establecer restricciones en los mismos. En este sentido, existen varios tipos de acotaciones:

• Limitaciones absolutas aplicadas sobre los pesos.- Limitación inferior y superior a cada una de las unidades presentes en el problema: 8X ≤ �XU ≤ ~X �V ≤ �VU ≤ pV

• Limitaciones relativas aplicadas sobre los pesos virtuales.- No restringen los valores de los pesos directamente, sino la proporción entre todos:

8X ≤ �XU · -X�∑ �X6U · -X6�YX6 ≤ ~X

�V ≤ �VU · +V�∑ �V6U · +V6�WV6 ≤ pV • Limitaciones relativas aplicadas sobre los pesos.- Si existe una relación que debe cumplirse entre los

diferentes pesos. Por ejemplo, si es el caso de que las entradas o salidas tienen grados de importancia relativos.

8X ≤ �XU�HU ≤ ~X

�V ≤ �VU�HU ≤ pV Véase el caso en que se desean comparar unidades eficientes imponiendo restricciones absolutas en los pesos. El modelo es el siguiente:

�� ~ − 8

s.a:

E �XU · -X�Y


VGH ≤ 0 ∀N ≠ n

E �XU · -XUY

XGH − E �VU · +VUW

VGH = 0 E �VU · +VUW

VGH = 1

8 ≤ �XU ≤ ~ ^ = 1, … , ` 8 ≤ �VU ≤ ~ � = 1, … , �

(3-16)

En primer lugar se observa como la restricción ∑ �XU · -X�YXGH − ∑ �VU · +V�WVGH = 0 obliga a que solo se consideren unidades eficientes. La función objetivo del modelo busca el rango de valores que pueden tomar los pesos de una unidad eficiente para que lo siga siendo. Puede considerarse que una unidad eficiente es de mayor calidad cuanto mayor sea dicho rango de valores.


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3.5.4. Modelos basados en la supereficiencia

Andersen y Petersen proponen un método de clasificación de las unidades eficientes consistente en comparar la Unidad que está siendo evaluada (Unidad J) con una combinación lineal de todas las otras unidades de la muestra, de forma que ésta es excluida.

Si se escoge el modelo con rendimientos de escalas constantes y orientación de entrada y se modifica de acuerdo con dicha consideración de la siguiente forma:

� + E �XU · -XUY

XGH

sa.

E �XU · -X�Y


VGH ≤ 0 ∀N ≠ n

E �VU · +VUW

VGH = 1

�XU, �VU ≥ ] ^ = 1, … , `; � = 1, … , �

(3-17)

Puede observarse que la única diferencia estriba en excluir en la primera restricción a la unidad J. Esto conlleva a que sea posible obtener puntuaciones de eficiencia superiores a la unidad para aquellas unidades eficientes, de ahí el nombre del modelo. Las unidades que son ineficientes no se ven afectadas por esta modificación y por tanto el valor obtenido es el mismo que para el modelo original.

Por tanto, y como se ilustra en la Figura 3- 14, según el modelo original, con orientación de entrada y tecnología CRS, la frontera eficiente estaría constituida por las unidades B, C y D, además de los segmentos que las unen.

En cambio, para el mismo modelo modificado bajo la consideración de supereficiencia, si la unidad en estudio es la C, la frontera eficiente pasa a estar formada por el segmento BD y dichas unidades.

FIGURA 3- 14 MODELO BASADO EN SUPEREFICIENCIA PARA DOS ENTRADAS Y UNA SALIDA

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La eliminación de una unidad eficiente, como C, del conjunto de referencia hace que ésta deje de formar parte de la frontera eficiente, la cual a su vez se situará por encima. Por tanto, es posible incrementar radialmente su vector de Inputs para poder proyectarla como C' sobre la nueva frontera.

La distancia radial CC' que separa la unidad de la nueva frontera eficiente indicará en qué medida puede incrementar proporcionalmente su vector de Inputs mientras conserva la eficiencia. De esta forma las unidades eficientes obtienen tanteos de eficiencia superiores a la uno y es posible establecer una clasificación de las mismas.

En la Figura 3- 14 también se aprecia cómo la eliminación de una unidad ineficiente, E, no afecta a los puntos de referencia de la frontera y la proyección sobre ésta continuaría siendo la misma.

3.5.5. Modelos basados en la eficiencia cruzada

En primer lugar, resulta indispensable comenzar definiendo el concepto de eficiencia cruzada. Se puede observar para los modelos anteriores, que cuando una unidad es analizada, se le permiten escoger los pesos que maximizan su eficiencia, de tal forma que las eficiencias de las demás unidades son calculadas a partir de estos pesos. De este modo se puede definir la matriz de eficiencias:

��HH �HQ ⋯ �HF�QH⋮ �QQ⋮ …⋱ �QF⋮�UH⋮�FH

�UQ⋮�FQ⋯⋱…

�UF⋮�FF��

De modo que en la columna J están las eficiencias de las unidades del problema cuando ha sido la unidad J la que ha escogido los pesos. A los elemento de la diagonal, �VV, se les denomina self appraisal, y corresponden a las eficiencias que se obtenían se obtenían en los anteriores modelos para cada unidad analizada. A los restantes elementos de la matriz, �V�,se les denomina peer appraisal.

Es claro que existen casos en los que los pesos que maximizan la eficiencia de cada unidad no son únicos. Si consideramos que los pesos son los vectores directores del hiperplano sobre el que se proyecta la unidad y la unidad se proyecta sobre una arista, existen infinitos planos sobre el que proyectarse, y por tanto infinitos pesos admisibles con la máxima eficiencia.

En la Figura 3- 15 se puede observar gráficamente el caso de la unidad DMU4 donde cualquiera de los planos que pasa por la arista DMU2 son soluciones de pesos para los que se obtiene un mismo valor de eficiencia:

FIGURA 3- 15 PROYECCIÓN SOBRE ARISTAS: MÚLTIPLES SOLUCIONES

Para elegir una entre las posibles soluciones alternativas aparecen los que se conocen como modelos agresivos. Su nombre se debe a que se escogen los pesos que perjudiquen lo más posible a las eficiencias de las restantes unidades.


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A continuación se presentan dos modelos de este tipo, en ambos es necesario obtener la eficiencia de la unidad a analizar, denotada por �UU∗ , mediante cualquiera de los modelos anteriormente vistos.

El modelo Blanket Aggression consiste en minimizar la eficiencia media de las unidades manteniendo fija la de la unidad bajo estudio. De forma matemática se tendría:

�� E ��U��U

s.a: ��U ≤ 1 ∀N ≠ n �UU = �UU∗ ��N� �XU, �VU ≥ ]

(3-18)

Siendo ��U = ∑ c��·��∑ b��·�� es evidente la no linealidad de este modelo. Es posible asumir las mismas

consideraciones que se habían empleado en los modelos anteriores para obtener una expresión lineal del mismo:

�� E jE �XU · -X�Y


VGH k��U

s.a:

E �XU · -X�Y


VGH ≤ 0 ∀N ≠ n

E �XU · -XUY

XGH − �UU∗ · E �VU · +VUW

VGH = 0 �XU, �VU ≥ ] ^ = 1, … , `; � = 1, … , �

(3-19)

Otro modelo agresivo es el denominado Targetted Aggressionen el que se busca perjudicar a cada unidad particular j’ . Se presenta a continuación:

�� 6U

s.a: ��U ≤ 1 ∀N ≠ n �UU = �UU∗ ��N� �XU, �VU ≥ ]

(3-20)

Al igual que en el caso anterior la expresión lineal de dicho modelo viene dada por:

�� E �XU · -X�6Y

XGH

(3-21)

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s.a:

E �VU · +V�6W

VGH = 1

E �XU · -X�Y


VGH ≤ 0 ∀N ≠ n

E �XU · -XUY

XGH − �UU∗ · E �VU · +VUW

VGH = 0 �XU, �VU ≥ ] ^ = 1, … , `; � = 1, … , �

3.5.6. Modelos con inputs y outputs no controlables

Hasta ahora, en todo momento se ha hecho referencia a variables sobre las que se tenía control: se puede aumentar/disminuir la cantidad de recursos/productos.

Sin embargo, existen factores que intervienen en el proceso productivo que no son controlables por el gestor y, por tanto, no pueden ser variados a discreción de éste. Esto conduce a considerar la posibilidad de realizar una partición de Inputs y Outputs, al distinguir entre variables discrecionales (D) y no-discrecionales o fijadas exógenamente (ND), de tal forma que: # = #K ∪ #�K; #K ∩ #�K = ∅ (��`��) % = %K ∪ %�K; %K ∩ %�K = ∅ (��`��)

Si se considera la presencia de entradas discrecionales y no discrecionales en un modelo con retornos de escalas constantes y orientación de entrada, la forma dual del modelo modificado será:

��TU − ] · j E XY

X∃��+ E �V

WV∃��

k

sa.

E .� · +V�F

�GH = TU · +VU − �V ∀ �∃#K

E .� · -X�F

�GH = -XU + X ^ = 1, … , `

E .� · +V�F

�GH = +VU − �V ∀ �∃#�K

.� ≥ 0 ∀N; �V, X ≥ 0; TU ��

(3-22)

Como se puede observar de la formulación, la variableTU no afecta a las entradas nodiscrecionales. Además, las únicas holguras que son maximizadas en la función objetivo son las pertenecientes a los conjuntos discrecionales. Esto significa que no se hace proyección radial ni rectangular de los recursos o productos que no se pueden modificar.


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3.5.7. Modelos no radiales

Tal y como se había comentado en la sección ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. existen dos posibilidades de proyección sobre la frontera eficiente en relación a la proporción de recursos consumidos o bien, de aumento en las salidas.

Se entiende por reducción radial, cuando todas las salidas/entradas se aumentan/reducen en la misma proporción al proyectarse sobre la frontera eficiente.

Por el contrario, una reducción no radial distingue entre las diferentes entradas o salidas y realiza proyecciones sobre la frontera aplicando un coeficiente de reducción diferente para cada una de éstas.

El problema para retornos de escalas variables y orientación de salida se formula como:

�� 1� E TVW

VGH − ] · E XY

XGH

sa.

E .� · +V�F

�GH = TV · +VU � = 1, … , �

E .� · -X�F

�GH = -XU + X ^ = 1, … , `

E .� = 1F�GH

.� ≥ 0 ∀N; X ≥ 0; TV ≤ 1

(3-24)

El coeficiente de reducción para cada entrada queda representado por TV, donde i=1,...,m.

A diferencia de los problemas que aplicaban reducción radial, cuyo resultado era un único valor TU, los problemas no radiales obtienen m valores distintos en la evaluación de la Unidad J.

El planteamiento del problema no radial con orientación de salida para una tecnología VRS resulta trivial tras los conceptos que contiene este capítulo y carece de sentido hacer un mayor hincapié en el desarrollo del mismo.

3.5.8. Modelos no orientados

Hasta ahora se han planteado únicamente modelos con una orientación, o bien de entrada, o bien de salida. Pero, como se muestra en la Figura 3- 4, existe la posibilidad de que el modelo no tenga orientación, y por tanto se reduzcan inputs y outputs simultáneamente.

A su vez, se puede adoptar una métrica radial o no, apareciendo dos posibilidades en este tipo de planteamiento.

Los modelos DEA no orientados con métrica radial son aquellos en los que se produce una variación proporcional de las entradas y salidas simultáneamente. Es decir, al mismo tiempo que se reducen todos los recursos en una misma cantidad se aumentan todas las salidas en igual proporción hasta proyectar la unidad sobre la frontera eficiente. El modelo con retorno de escala constante es el siguiente:

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� + 8U − ] · jE XY

XGH + E �VW

VGH k

sa.

E .� · +V�F

�GH = �1 − 8U� · +VU − �V � = 1, … , �

E .� · -X�F

�GH = �1 + 8U� · -XU + X ^ = 1, … , `

.� ≥ 0 ∀N; �V, X ≥ 0; 8U ≥ 0

(3-25)

En primer lugar se puede observar la no orientación, que queda representada por el coeficiente 8, el cual aparece reduciendo los inputs con el producto �1 − 8U� · +VU , en la misma medida que aumenta los outputs mediante �1 + 8U� · -XU.

Al mismo tiempo, el hecho de que exista un único valor de 8n para todas las variables de entrada y salida de la Unidad J bajo estudio muestra el carácter radial del modelo.

En contraposición, existe la posibilidad de un planteamiento no orientados con métrica no radial en DEA.

Entonces se reducen y amplifican las salidas y entradas respectivamente, pero los valores para cada variable son diferentes. Es decir, existen m coeficientes de reducción, ~�, que se aplican sobre los distintos recursos de la Unidad J bajo estudio, y p coeficientes de amplificación, 8^, que se aplican sobre cada una de las salidas de la misma. Esto se puede expresar de la siguiente forma:

� + 1� + � · jE 8XY

XGH + E ~VW

VGH k

sa.

E .� · +V�F

�GH = (1 − ~V) · +VU � = 1, … , �

E .� · -X�F

�GH = (1 + 8X) · -XU ^ = 1, … , `

.� ≥ 0 ∀N; 8X , ~V ≥ 0

(3-26)


59

4. MAPAS DE CONCEPTOS SOBRE DEA

ste capítulo pretende aplicar la teoría sobre el aprendizaje significativo en la metodología Análisis Envolvente de Datos. Una vez familiarizado con los puntos teóricos de las secciones anteriores, la

elaboración de los mapas conceptuales a continuación expuestos, tienen como objetivo ejemplificar esta estrategia de aprendizaje para el lector.

En primer lugar, se establece una jerarquía no solo a nivel de mapa, en la cual a simple vista se identifican los términos raíz de aquellos más específicos situados en niveles inferiores. Sino que también aparece una jerarquía entre los propios mapas, distinguiendo entre el mapa de "alto nivel" y los mapas que derivan de éste, es decir, mapas de segundo y tercer nivel.

Por tanto, antes de iniciar la explicación acerca de la construcción y elaboración de los mapas a través de la teoría del Análisis por Envoltura de Datos, resulta de interés aclaratorio mostrar una estructura de como a su vez se puede establecer un árbol jerarquizado de los propios mapas.

La Figura 4 - 1 ilustra una guía de conceptos que recoge los títulos de los mapas que en las siguientes secciones se van a explicar detalladamente y las relaciones entre los mismo.

E

Mapas de Conceptos sobre DEA

60

60

Figura 4 - 1 Mapa Guía


61

Cada una de las cajas contiene un enlace que conduce a otra estructuras explicativas más específicas:

Una primera ventana muestra el nombre del mapa, en este caso "CPP_Tecnología", y una segunda ventana flotante recoge una breve descripción del mismo.

Esta organización de ideas en estratos de distinta importancia es posible gracias al amplio abanico de edición que permite la herramienta CMapTools. Cada nivel presenta unas características diferenciables en forma, color y tamaño, que añaden al concepto un valor extra.

La Figura 4 - 2 recoge los criterios que se han tenido en cuenta en torno a la edición de mapas. Por un lado los colores y tipo de caligrafía asignados según el nivel de importancia, por otro las formas y grosores.

FIGURA 4 - 2 MAPA SOBRE LOS ESTILOS

La localización de los conceptos en el mapa también define a los mismos. Existen dos patrones que se van a repetir a lo largo del proyecto.

Por un lado se han modelado los mapas con forma de árbol jerárquico. Este sitúa las ideas generales en la parte superior, descendiendo por estratos diferenciables hasta las ideas más específicas y aclaratorios.


62

62

A la vez también aparece un patrón circular con centro la idea raíz, de modo que la importancia de las ideas es inversamente proporcional a la distancia al mismo.

En las siguientes secciones se explicarán con detenimiento los mapas elaborados y se expondrán tanto los criterios asumidos para su construcción, como las interrelaciones y estructuras desarrolladas.

Al mismo tiempo quedará de manifiesto la versatilidad didáctica del software, el cual permite adjuntar documentos, navegar a través de mapas, enlazar web con información extra y asignar imágenes que complementan y aclaran.

4.1. Mapa DEA de Alto Nivel

Este mapa recoge los conceptos base de los cuales emanan el resto de términos. Como núcleo de todo el entramado de ideas, debe tener una estructura clara y simple, que represente sin lugar a dudas los pilares fundamentales que sujetan la teoría DEA.

Para ello, se ha fijado un filtro muy estricto, reduciendo al mínimo el número de términos y construyendo relaciones muy básicas, tal y como se puede observar en Figura 4 - 3.


63

FIGURA 4 - 3 MAPA DEA DE ALTO NIVEL


64

64

A primera vista, destacan el concepto DEA, Eficiencia y Modelos. Su tamaño y color verde oscuro los sitúan como ideas principales. Como muestra la siguiente imagen, tienen la función de definir y permiten introducir otros conceptos fundamentales: Métrica, Orientación, CPP, Superficie Envolvente, DMU y Proyección DMU.

Estos últimos tienen todos el mismo objetivo: establecer criterios de clasificación dentro de los modelos DEA. Se puede observar que se encuentran a una misma altura, y que al igual que antes, todos comparten formato tanto caligrafía como línea de contorno.

Este esqueleto de conocimiento lógicamente solo puede conducir hacia un último y tercer estrato más específico que contiene las clasificaciones en sí. Apareciendo la posibilidad de modelos con orientación de entrada, salida o no orientados; modelos con métrica radial o no; y tecnologías VRS, CRS o FDH en torno a las que se plantea el problema.

A su vez también realiza una clasificación dentro de los dos conceptos en torno a los que gira DEA: Superficie Envolvente y Decision Making Units.


65

Como se puede observar por el símbolo en la parte inferior de los nodos, en el segundo nivel aparecen insertados otros mapas. A través de estos enlaces, se acceden a aquellos que podrían calificarse de segundo nivel y que definen con mayor detalle cada uno de los términos recogidos en éste.

4.2. Mapas sobre Conceptos Básicos en DEA

A continuación se presenta con detalle los mapas con base teórica en la sección 3.1, en la cual se recogen los conceptos básicos e introductorios en el Análisis Envolvente de Datos.

4.2.1. Mapa sobre el concepto Decision Making Unit

Uno de los primeros conceptos de los que se habló durante la introducción de este proyecto fue Decision Making Unit.

Las DMU's se entienden como procesos productivos, es decir, constituyen el objeto de análisis y por tanto uno de los primeros conceptos a presentar para entender términos más importantes como es el de Eficiencia.

Véase una ampliación de las interrelaciones entre los mismos correspondiente a la Figura 4 - 3:


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66

En la Figura 4 - 4 se muestra el mapa de conceptos para DMU. En el mismo se resaltan dos conceptos clasificatorios que también aparecen en la imagen anterior: Unidad eficiente y Unidad no eficiente. Por tanto, es intuitivo que se trata de dos ideas clave en el Análisis Envolvente de Datos.


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FIGURA 4 - 4 MAPA SOBRE EL CONCEPTO: DECISION MAKING UNIT


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Claramente una parte del mapa tiene como objetivo definir el concepto DMU y situarlo respecto al resto de conceptos importantes de la teoría:

En esta parte entra en juego dos nuevos conceptos generales que se desarrollan detenidamente en secciones posteriores: Entradas y Salidas.

El lector puede identificar como la relación de los Procesos Productivos es directa con la Eficiencia y clave para el entendimiento de la misma.

Por otro lado, la otra parte claramente diferenciable del mapa se centra en la clasificación de las unidades de decisión. Para ello resulta imprescindible introducir nuevos términos como el de "Peers", "Frontera Eficiente", "Unidad de Referencia" y "Proyección Eficiente". Todos ellos constituyen la base que permite diferenciar entre una unidad eficiente y no:


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En la imagen anterior se deben señalar tres aspectos. En primer lugar aparece un link con los conceptos de orientación y métrica a través del concepto "Posibilidad de mejoras". Éste hace referencia a las "Mejoras" que pueden llevarse a cabo para transformar una unidad no eficiente en una unidad eficiente.

En segundo lugar se introducen una serie de conceptos como "Frontera Eficiente" y "Unidad de referencia" que van cobrando un papel fundamental en esta metodología. Tanto es así, que constituyen la definición de unidad eficiente.

Por último, entra en juego el concepto "CPP" , es decir, Conjunto de Posibilidades de Producción, también conocido como tecnología. Un mapa insertado nos conecta con la idea, sin embargo, es necesario abordar de manera anticipada este término para poder identificar cuando una unidad es eficiente sea cual sea la tecnología escogida. Para ello, se insertan una serie de imágenes:

En las mismas se habla de cuando una unidad es eficiente y cuando no dependiendo de la tecnología escogida. En este punto de desarrollo solo se pretende que quede constancia de como ésta influye en el número de procesos considerados como eficientes. Pero para entender en mayor profundidad será necesario acceder al mapa de tecnologías "CPP considerado" anteriormente mencionado.

Todas estas ideas van acercando al lector hasta los conceptos. Pero es necesario seguir avanzando poco a poco entre estos mapas básicos para conocer al completo los mismos


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4.2.2. Mapa sobre los conceptos Entradas y Salidas

Los conceptos Entrada y Salida aparecen en la Figura 4 - 4 complementando el término de DMU, por tanto resulta de interés comenzar a definir los mismos antes de abordar temas más complejos.

En la Figura 4 - 5 aparece también otro termino general importante ligado a las entradas y a las salidas que son los Pesos. Estos representan la contribución de las mismas en el proceso productivo.

FIGURA 4 - 5 MAPA SOBRE LOS CONCEPTOS: ENTRADAS Y SALIDAS

Para comenzar a profundizar en el tema, resulta útil desplegar la imagen adjunta al concepto DMU del anterior mapa. La extracción de la Figura 4 - 5 que se muestra a continuación tiene como objetivo realzar los conceptos que definen "Entradas" y "Salidas" e introducir su notación matemática para ir poco a poco profundizando en el objetivo de todo este despliegue de ideas básicas: formular los modelos que permiten la resolución de problemas utilizando Análisis Envolvente de Datos.


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Se observa que existen múltiples valores de entradas y salidas con valores diferentes según estén asociados a una DMU u otra. Todos ellos se recogen en la matriz de entrada y matriz de salida. Esta información se desarrolla de la siguiente forma para las entradas:


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Y para las salidas:

Por otro lado se aborda la idea general de "Pesos". Según la clasificación en la Figura 4 - 5, existen pesos asociados a cada una de las entradas y pesos asociados a cada una de las salidas de las distintas unidades DMU's.

Como muestra el mapa, la idea es poder generar una salida y entrada virtual que consideren a su vez todas las salidas y todas las entradas a través del empleo de los pesos mediante un sumatorio. Ello permite generar una definición de productividad análoga a la que existe en el caso de una única entrada y una única salida.

De ahí surge la necesidad de definir los pesos, es decir, de la necesidad de poder definir un término capaz de cuantificar la productividad, y por tanto su eficiencia, de un proceso que depende de múltiples factores y obtiene más de un producto.

Es importante aclarar que esta definición de productividad no es sino un mero puente para introducir el verdadero concepto en torno al cual gira DEA y que es la Eficiencia:


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Como se observa en otra extracción realizada de la Figura 4 - 5 la eficiencia compara la productividad de una unidad cualquiera respecto a las de referencia. Pero en realidad este cociente se simplifica al establecer como unitaria la eficiencia de cualquier unidad que se tome como referente.

4.2.3. Mapa sobre el concepto Eficiencia

Enlazando con lo comentado en la anterior sección y recordando que este capítulo pretende ubicar aspectos básicos en nuestro esquema cognitivo para entender los modelos de Análisis Envolvente de Datos, se define uno de los conceptos más importantes: La Eficiencia.

La Figura 4 - 6 muestra su correspondiente mapa de conceptos el cual contiene términos que han aparecido previamente y que se van consolidando en significado, como son DMU y Proyección de una DMUj.

FIGURA 4 - 6 MAPA SOBRE EL CONCEPTO: EFICIENCIA


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Hay que insistir en la versatilidad y fácil navegación sobre términos que ofrece la herramienta CMapTools. Ésta queda de manifiesto al poder conectar el mapa de Eficiencia con los mapas de DMU, Tecnología y Orientación simplemente pulsando sobre el icono que estos conceptos incluyen.

Al mismo tiempo aparece la posibilidad de insertar conceptos como "Nodo anidado". En este caso se realiza con los conceptos de Eficiencia Técnica y Eficiencia Global. La doble flecha que incluyen las ventanas permite desplegar el concepto en otra de mayor tamaño que contiene información extra en formato de mapa pero con centro estos términos:

La estructura en ambos se repite y su definición se ve reforzada por una serie de imágenes. Centrando la atención en la Eficiencia Técnica, la imagen insertada en el concepto "DMU's de igual tamaño" ilustra un ejemplo de cómo las unidades solo se comparan con aquellas que tienen las mismas características:


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Los comentarios incluidos reflejan como dependiendo de la orientación del modelo se toman unas unidades u otras como referencia, "Peers".

Hasta ahora no se ha introducido el concepto de orientación, no obstante resulta intuitivo identificar a lo que se están refiriendo con la información extra incluida en los conceptos de "Orientación de entrada" y "Orientación de salida".

Si se evalúa la eficiencia técnica con una orientación de entrada, correspondiente al ejemplo anterior, se obtendrían los siguientes resultados:


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Los valores x e y son corresponden a las entradas y salidas de una serie de DMU's que solo tienen una entrada y una salida. Por otro lado los términos x' e y' son las proyecciones de la unidad sobre la frontera. En el caso ahora visto, al tener orientación de entrada se proyecta la entrada y se mantiene constante la salida.

Como la tabla de datos muestra, las unidades con mejor comportamiento son B y D. Sin embargo, al tratarse de eficiencia técnica, como ya se ha mencionado en los comentarios del gráfico, el resto de unidades se va a comparar con aquellas de igual tamaño que tengan mejor comportamiento para obtener las proyecciones: C', E' y G'. A su vez, la última columna de la ventana de ejemplo contiene el valor de eficiencia técnica de las unidades E, C y G respecto a las de mejor actividad B y D con orientación de entrada.

Si se habla de orientación de salida, la proyección eficiente de aquellas unidades que no tienen un comportamiento óptimo se obtiene variando la salida y manteniendo constante la entrada. Al ser eficiencia técnica se sigue tomando como referencia siempre aquellas unidades de mejor comportamiento pero igual tamaño. Los resultados en este caso son:

Por el contrario, puede ocurrir que no se repare en el tamaño de las observaciones, y que independientemente de cuál sea todas se comparen con respecto a aquellas que han demostrado mejor comportamiento. En este caso se habla de eficiencia absoluta y las proyecciones se obtienen con respecto a una frontera diferente de la que se estaba tratando en los ejemplos hasta ahora mostrados.

A nivel ilustrativo, y hasta que se desarrollen los conceptos de Frontera Eficiente y Conjunto de Posibilidades de Producción en secciones posteriores, el nodo anidado de Eficiencia Global muestra las diferencias de este tipo de evaluación de la eficiencia de las unidades respecto a la Eficiencia Técnica. Al igual que antes se ejemplifica tanto para orientación de salida como de entrada.

Por tanto, las mismas observaciones evaluadas globalmente respecto a las de mejor actuación y con una orientación de entrada ofrecen los siguientes resultados:


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Mediante una circunferencia verde se han marcado aquellas unidades que tienen un mejor comportamiento absoluto. Por otro lado, en la gráfica, las coordenadas en rojo muestran la proyección de aquellas unidades no eficientes, que se encuentran por debajo de la frontera. Esta proyección es resultado de reducir las entradas manteniendo la cantidad de producto obtenido y de asumir la hipótesis de eficiencia global: si las unidades B y D pueden tener ese ratio de eficiencia, independientemente del tamaño el resto de unidades también podrá.

La evaluación del mismo problema pero con una orientación de salida conduce a:

Como se puede observar, el concepto de Análisis Envolvente de Datos comienza a tomar forma con ejemplos sencillos. No obstante aun quedan por desarrollar términos claves antes de comenzar a definir los modelos matemáticos en sí.


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4.2.4. Mapa sobre los conceptos Conjunto de Posibilidades de Producción y Frontera Eficiente

Tal y como muestra el Mapa de Alto Nivel de la Figura 4 - 3, dos conceptos base del conocimiento sobre DEA son la Tecnología, también conocida como Conjunto de Posibilidades de Producción, y la Frontera Eficiente.

Hasta el momento, se han nombrado en algunas ocasiones, por lo que el lector puede tener una leve idea de su significado. Sin embargo tras esta sección se coloca la pieza que completa el esquema sobre la teoría básica del Análisis Envolvente de Datos.


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FIGURA 4 - 7 MAPA SOBRE LOS CONCEPTOS: TECNOLOGÍA Y FRONTERA EFICIENTE


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La Figura 4 - 8 contiene varios conceptos identificados por su formato como de elevada importancia. Éstos constituyen la clasificación de las raíces del mapa: Tecnología y Frontera eficiente. Pero debido al papel que juegan en la definición de los modelos se ha decidido destacarlos al nivel de los demás.

Por un lado se realiza una definición de Tecnología como el conjunto de procesos factibles y se relaciona con el término DMU.

Para la clasificación de este conjunto de posibilidades de producción es necesario desarrollar una cuatro hipótesis, puesto que, dependiendo de las que se asuman se puede hablar de una tecnología u otra.

En relación a las hipótesis de Convexidad y Escalabilidad se tiene que:

Para las hipótesis de ineficiencia y envoltura se han añadido las ventanas explicativas:

Cada una de ellas contiene una frase aclaratoria sobre el espacio designado. De modo que dependiendo de la cantidad de hipótesis que se asuman el espacio es más amplio o menos y por tanto la frontera eficiente tiene una forma u otra. De esta forma quedan definidos tres conjuntos posibles:


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La Tecnología CRS asume las cuatro hipótesis, como consecuencia considera el conjunto de posibilidades más amplio de las tres. Sin embargo su frontera es la que presenta un valor de referencia de la eficiencia más exigente al basarse en el elemento que mejor actuación tiene independientemente de su tamaño:

A través de un nodo anidado se termina por incluir toda la información que la define: un gráfico correspondiente a un ejemplo práctico y la notación matemática del conjunto.

De igual modo, la Tecnología VRS, caracterizada por basarse en la eficiencia técnica y por tanto considerar el tamaño de las unidades observadas para compararlas entre sí, asume tres de las cuatro hipótesis, definiendo el siguiente espacio y frontera:


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Como la captura anterior muestra, el espacio de posibilidades considerado es menor, sin embargo los requisitos para alcanzar la eficiencia no son tan elevados y se adaptan a las características de las observaciones. Apareciendo en consecuencia mayor cantidad de DMU's eficientes.

Por último, la Tecnología FDH solo asume las hipótesis de ineficiencia y envoltura. Como resultado no aparece una frontera en sí misma para tomar como referencia. En este caso las referencias son las mejores actuaciones directamente, sin construir un espacio envolvente eficiente. Es el conjunto más pequeño pero a la par el más flexible a la hora de considerar como eficientes unidades:


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El otro concepto importante que se aborda en este mapa es el de Frontera Eficiente. Su definición complementa a la de tecnología, ya que las unidades que constituyen la frontera son también unidades del Conjunto de Posibilidades de Producción.

La siguiente imagen es una captura del mapa que contiene como dato extra una gráfica. En la misma se muestra un ejemplo de tecnología y frontera eficiente destacada en rojo.

El ejemplo, que corresponde a un modelo con dos entradas y una salida, se desarrolla a través de un nodo anidado. El caso ilustrado muestra los recursos consumidos por las diferentes unidades para obtener una misma producción. Por tanto, aquellas que requieren menos tendrán una mejor actuación, serán las eficientes: E y F. La línea de conexión entre ambas termina por definir el concepto frontera eficiente. Sin embargo, es importante diferenciarla de la frontera no eficiente:


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4.2.5. Mapa sobre el concepto de Orientación y Métrica en DEA

Antes del cierre de esta sección, es necesario detallar un último concepto básico. Recapitulando y situando al lector respecto a la estructura de alto nivel, este último término hace referencia a la Orientación y Métrica utilizada en el modelo para la resolución del problema:

La Figura 4 - 9 se centra en estos dos conceptos. La decisión de que compartan mapa parte de su significado complementario a la hora de definir un modelo. Son dos características intrínsecamente unidas y que representan el modo de actuación a la hora de resolver el problema.

La estructura generada se subdivide en dos patrones con formato de árbol jerarquizado por lo que se escala dos veces a un nivel mas especifico y aclaratorio.


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FIGURA 4 - 9 MAPA SOBRE LOS CONCEPTOS: ORIENTACIÓN Y MÉTRICA


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Se aprecia que ambos conceptos generales giran en torno a la idea "Mejoras". Ésta aparece como siguiente término principal y define a ambos, ya que la métrica a modo aclaratorio (tercer nivel) resulta ser la forma en que se aplican estas ideas.

Por tanto y en base a lo anteriormente dicho, en este mapa se puede diferenciar una lado altamente definitorio, de otro altamente clasificatorio:

Como se observa en la parte definitoria aparecen conceptos más específicos, como el de Eficiencia que tiene un mapa anclado, y que por tanto se van a desarrollar posteriormente con mayor profundidad.

Los estilos asociados a esta parte giran en torno a la aclaración y la definición, por lo que no pretenden llamar la atención al lector o fijarse como esqueleto básico en esta construcción.

Sin embargo, la parte clasificatoria enmarca conceptos principales en torno a los tipos de métrica y orientación que el lector debe tener claros y bien diferenciados antes de continuar.

Por ello los estilos empleados resaltan su importancia y los colocan como términos para ir fijando en el mapa cognitivo. A su vez, esta parte está reforzada por imágenes que ilustran por un lado la diferencia entre métrica radial y no radial:


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La imagen se ancló al concepto métrica y en la misma se incluye una explicación de las posibles reducciones o ampliaciones que se pueden realizar en las entradas y salidas respectivamente, de modo que se aprecie cuál es la diferencia entre actuar radialmente y no hacerlo.

Por otro lado también se distingue entre modelos con orientación de entrada, salida y no orientados. En cada caso se incluye una imagen respectivamente, por ejemplo, consultando las que se adjuntan en orientación de entrada y salida se obtiene la siguiente información extra a través de dos ventanas emergentes:


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En cuanto a los modelos no orientados:

Se puede apreciar que todas las ventanas de imagen contienen una sección de comentarios. En esta se describe con detalle el ejemplo garantizando al lector el conocimiento sin lugar a dudas.

4.3. Mapas sobre los modelos DEA

Esta sección tiene como objetivo desarrollar cada uno de los modelos de los que se habló anteriormente. Llegados a este punto el lector debe tener claramente localizados en su estructura cognitiva cada uno de los términos básicos descritos.

El proyecto se inicia en la segunda etapa, y más importante, del aprendizaje significativo sobre el Análisis Envolvente de Datos. Es decir, si lo descrito hasta este punto está totalmente consolidado en el mapa de conocimiento, tanto la formulación de los modelos será trivial como su asimilación totalmente intuitiva y lo que es más destacable, prescindirá del uso de la memoria.

El punto que a continuación se aborda es simplemente la aplicación de todo lo aprendido hasta el momento, por tanto no deja de ser una mera metamorfosis de conocimiento, sin que aparezca ningún concepto nuevo.

Es decir, se trata de construir nuevos mapas de conceptos, utilizando los conceptos introducidos y reorganizando todas esas relaciones, por tanto una verdadera prueba de aprendizaje.

Los modelos pueden tener una formulación u otra. Como ya se ha discutido ésta se elegirá en función de la cantidad de datos observados, las características de los mismos y los resultados que se quieran mostrar:


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La imagen anterior muestra una extracción del mapa de alto nivel referente a lo mencionado. Por tanto se pueden distinguir Modelos Lineales de Modelos Fracciónales. A su vez los primeros ofrecen dos tipos de formulación Dual o Primal.

4.3.1. Mapa de conceptos sobre Modelos Fraccionales

En primer lugar se va a describir el Modelo Fraccional, ya que partiendo de este y mediante transformaciones de linealización se obtienen el resto.

La Figura 4 - 10 contiene el mapa sobre estos modelos:


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FIGURA 4 - 10 MAPA SOBRE MODELOS FRACCIONALES


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El mapa sigue un patrón circular en jerarquía, a mayor distancia al centro mas aclaratorio son los conceptos y de menos peso definiendo la idea general.

Las dos ideas que destacan a simple vista es que el modelo tiene Función Objetivo y Restricciones. Se verá como este patrón se repite en posteriores formulaciones lo que facilita el aprendizaje.

La imagen adjunta junto con los conceptos que derivan de "Función Objetivo" aclaran su cometido:

De igual modo, las restricciones, que pueden ser de dos tipos, se expresan como:


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En la anterior imagen se muestra las relativas a los pesos, sin embargo también existen restricciones que afectan a la eficiencia:

Con estas tres pautas se puede construir el modelo completo, el cual se inserta en el nodo principal.

La siguiente imagen intenta unificar las anteriores. Los nodos que aparecen a su alrededor emanan del concepto "Modelo Fraccional". El objetivo de los mismos es aclarar que el problema corresponde a una única unidad, DMU J, es decir, ese mismo problema debe repetirse n veces para cada DMU j.


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Por tanto la resolución completa conduce a n soluciones, una por cada observación. A la vez, cada solución está compuesta por m pesos asociados a las entradas, p pesos asociados a las salidas y un valor de la eficiencia asociado a la unidad en concreto:

Para cerrar el concepto y como aclaración final se incluye un ejemplo práctico para una tienda de instrumentos:


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4.3.2. Mapa de conceptos sobre Modelos Lineales con formulación primal

La necesidad de resolver el problema de Análisis por Envolvente de Datos requiere de una linealización del modelo fraccional que disminuya el coste operacional. Ésta actúa directamente sobre las restricciones y la función objetivo del problema.

Además este problema lineal se puede plantear con una formulación primal o dual según las características del mismo. En esta sección se comenzará por el caso primal ya que resulta más intuitivo y muestra claramente las hipótesis asumidas en la transformación fraccional a lineal.

Al igual que en el caso fraccional la resolución completa aborda n problemas diferentes correspondientes a cada una de las unidades DMU j:

Las soluciones que se obtienen para cada observación son p pesos correspondientes a las salidas y m para las entradas. Con estos se consigue maximizar la función objetivo satisfaciendo las restricciones y por tanto identificar tanto las unidades que tienen mejor comportamiento como las posibilidades de mejora para aquellas que no.


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FIGURA 4 - 11 MAPA SOBRE MODELOS LINEALES FORMULACIÓN PRIMAL


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En relación a la "Tecnología" se ha de introducir un parámetro en el modelo que la identifique:

La nomenclatura adoptada y el significado se encuentra sobre el concepto "Parámetro de Tecnología":

Esta primera imagen presenta la denotación e identifica los valores que puede tomar con las diferentes tecnologías.

En la siguiente captura se ilustra gráficamente el concepto:


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De mismo modo que la linealización, este parámetro también aparece sobre las restricciones y la función objetivo:

La restricción de eficiencia establece que siempre debe ser menor o igual que uno. En una tecnología VRS los requisitos que ha de cumplir una unidad para ser eficiente son menos exigentes que en el caso CRS. Ello se ilustra claramente a continuación, ya que en el caso con retornos variables de escala aparece un parámetro que asegura el cumplimiento de la desigualdad, sin embargo, no ocurre lo mismo para retornos de escalas constantes.


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Sin embargo la restricción en los pesos permanece idéntica al caso fraccional:

Por otro lado, la función objetivo tal y como hemos comentado también varía en función de la tecnología asumida:


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Clicando tal y como muestra la imagen anterior podemos ver como se formula la función objetivo para el caso de un modelo con orientación de entrada y tecnología CRS:

En el caso de VRS aparece el parámetro:

A su vez, considerar un modelo con orientación de entrada tiene unas implicaciones extra que se traducen a modo de restricción sobre las entradas virtuales:

Análogamente, todo lo expuesto hasta este punto también se puede extrapolar para los modelos con orientación de salida. Donde en caso de tecnología CRS la función objetivo es:


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La imagen anterior también contiene la restricción adicional que marca que se trata de un problema output orientado.

Por tanto hasta el momento aparecen dos indicadores tanto de la tecnología como de la orientación en este tipo de modelos. Un parámetro y una restricción adicional respectivamente identificará como se está abordando el problema.

Todo estos conceptos se cohesionan en los modelos que aparecen en la base del mapa y que pretenden cerrar el boceto trazado hasta ahora. Cada uno de ellos permite acceder a la formulación correspondiente donde son fácilmente identificables las ideas anteriores.


101

En el caso de un modelo VRS con orientación de entrada:

4.3.3. Mapa de conceptos sobre modelos lineales con formulación dual

Esta sección puede considerarse como un concepto más específico que deriva de todo lo anteriormente estructurado en mapas. Se trata de una idea de tercer nivel, no menos importante, pero que requiere para su entendimiento el desarrollo previo de conceptos más genéricos.


102

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En la Figura 4 - 12 se recoge el mapa que versa sobre modelos lineales con formulación dual para resolver problemas a través del Análisis por Envoltura de Datos.

FIGURA 4 - 12 MAPA SOBRE MODELOS LINEALES CON FORMULACIÓN DUAL


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Este mapa tiene una estructura circular en la que a mayor distancia radial del centro aumenta el contenido específico y aclaratorio de las ideas.

De forma análoga y con el objetivo de crear un patrón repetitivo que facilite el aprendizaje al lector, vuelven a aparecer los conceptos de "Función Objetivo" y "Restricciones".

Por otro lado, aparecen términos propios de la formulación dual como son "Holguras" y "Parámetros de reducción/ampliación".

Profundizando en esto último, se puede observar como la función objetivo liga estos dos conceptos y busca optimizar las holguras y los parámetros de reducción y ampliación para obtener la proyección eficiente de las observaciones. Es decir, buscar la forma de mejorar el comportamiento de las unidades de producción usando estos dos términos.

El concepto de "Orientación" se vuelve más intuitivo con la formulación dual, ya que, si se trata de orientación de entrada se habla de función objetivo con parámetro reductor de las entradas. De igual modo, si la orientación es de salida el parámetro del problema amplía la salidas.

Los parámetros asociados en cada caso y que la función objetivo busca minimizar o maximizar son:


104

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Por otro lado, la forma en la que éstos directamente intervienen en las entradas o en las salidas es a través de las restricciones:

La anterior imagen muestra el caso de modelos con orientación de entrada radiales y no radiales. Ilustrando en primer lugar como los recursos se ven afectados y por otro como se define la métrica radial y no radial.

Mientras que en los modelos radiales aparece un único valor de reducción que afecta a todas las entradas y existen holguras para éstas. En los modelos no radiales cada entrada se reduce en una cantidad diferente y el papel de las holguras en los recursos desaparece al perder su valor.


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En el caso de modelos con orientación de salida los parámetros que juegan un papel importante son las holguras de los productos obtenidos y el término que las amplía:

Resulta intuitiva la necesidad de definir "Holgura" para que también cobre sentido las anteriores definiciones:


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106

En este mapa para la formulación dual de los modelos lineales también aparecen conceptos muy familiares como los "Peers" y "Eficiencia". Que junto con las "Holguras" constituyen la solución del problema:

En el caso de los "Peers" un nodo anidado permite el desarrollo en detalle del significado del parámetro y su introducción en los modelos duales:


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Por otro lado la "Eficiencia" también queda definida en un nodo que presenta sus parámetros. Para ir interrelacionando conceptos del esquema aparecen las designaciones empleadas tanto para las amplificaciones como para las reducciones.

Se puede observar que los objetivos del problema anteriormente presentados son las eficiencias. De modo que el lector va familiarizándose con los parámetros hasta el momento escogidos y construyendo el mapa de relaciones mentalmente:


108

108

Volviendo a la solución del problema y recapitulando hacia conceptos más generales, aparece de nuevo la búsqueda de "Proyección Eficiente". Es decir, la resolución de este problema obtiene las oportunidades de mejora de aquellas observaciones que no alcanzan la eficiencia utilizando estos tres conceptos anteriormente definidos para crear combinaciones lineales de Unidades Eficientes, también eficientes:


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En este punto, es necesario conocer como se identifica una Unidad Eficiente cuando se resuelve un modelo lineal con formulación dual. Por tanto el siguiente paso a realizar en el mapa es la introducción de estos conceptos:


110

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Hasta este punto el único término que queda por definir en la formulación dual antes de presentar los diferentes modelos es la "Tecnología" o "Conjunto de Posibilidades de Producción".

Como en las anteriores ocasiones ésta se identifica con las restricciones, es decir, el conjunto de posibilidades que se considere será más o menos amplio en función de las limitaciones que pongamos a los parámetros. En este caso los parámetros afectados son los "Peers" ya que marcan las unidades con mejor comportamiento a tomar como referencia y en consecuencia, construyen la frontera eficiente.

En primer lugar, se observa que el término "Tecnología" incorpora un mapa adjunto que conecta directamente con el mapa de la Figura 4 - 8 Mapa Tecnología y Frontera Eficiente. Además las imágenes contenidas en "Tecnología CRS" y "Tecnología VRS" muestran la primera restricción para los Peers en ambos casos:

En el caso de tratarse de "Tecnología FDH" la primera limitación que se marca para los "Peers" es:

Sin embargo existe una última restricción que claramente diferencia entre unas y otras. Es la denominada "Restricción en los Peers" que se incorpora solamente en el caso de VRS y FDH:

Ya una vez particularizados todos los conceptos generales para una formulación Lineal y Dual se pueden abordar cada uno de los modelos que derivan de la misma. En función de cuáles sean las características de las observaciones interesarán unos planteamientos u otros para resolver el problema utilizando DEA.

En primer lugar y partiendo de la formulación más básica se encuentran los "Modelos con Orientación de Salida Radiales":


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En el caso de tecnologías con retorno de escala variables y constantes, la formulación es directa tras lo anteriormente desarrollado. Las imágenes enlazadas a ambos términos permiten identificar cada uno de los parámetros y restricciones:

Sin embargo en el caso de modelos con una tecnología FDH se creado un mapa que muestra en detalle las particularidades de los mismos.

La ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. representa el mapa para modelos con tecnología FDH y formulación dual. Lo hace tanto para orientación de entrada y como para orientación de salida.

En el mismo aparecen ideas ya mencionadas anteriormente con el objetivo de ubicar lo nuevo en el mapa mental que el lector ha ido construyendo:


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FIGURA 4 - 13 MAPA SOBRE MODELOS CON TECNOLOGÍA FDH


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La formulación tanto para orientación de salida como para orientación de entrada se despliega en las respectivas imágenes adjuntas a los conceptos:

Una de las particularidades de los modelos con formulación dual y tecnología FDH es la posibilidad de resolución directa mediante un algoritmo. Esto convierte problema en algo trivial:

Por último se ejemplifica la resolución del problema para ambas orientaciones con un ejemplo que mantiene respectivamente el nivel de salida o entrada constantes:


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Volviendo a la Figura 4 - 12, otros modelos básicos con formulación dual son los que tienen métrica radial y orientación de entrada:

El caso de tecnología FDH ha sido ya desarrollado en la Figura 4 - 13. A su vez, los planteamientos para retornos de escala constante y variable, al igual que con la orientación de salida, resultan directos llegados a este punto:


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Un paso más comienza con la formulación de modelos no orientados. Los cuales a su vez pueden presentar una métrica radial o no.

Sus particularidades vienen marcadas por cada una de las ideas que han ido presentándose hasta el momento. Se trata simplemente de combinar las restricciones y los parámetros que marcan la orientación y la métrica de la forma que interesa a la resolución y acorde con lo que se ha explicado.

Para conseguir una mayor claridad y consolidación se ha generado un mapa patrón que explica tanto el modelo no orientado con métrica radial:


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FIGURA 4 - 14 MAPA SOBRE MODELOS NO ORIENTADOS RADIALES

Como el modelo no orientado con métrica no radial:

FIGURA 4 - 15 MAPA SOBRE MODELOS NO ORIENTADOS NO RADIALES


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Las dos últimas figuras incluyen dentro del concepto general de cabecera una imagen con un modelo de ejemplo respectivamente. En ambos se trata de una tecnología con retornos constantes de escala.

En ambos los modelos se van desglosando a la par que los conceptos en otras imágenes que ilustran a estos últimos.

Por último y como cierre de esta sección se desarrollan "Otros" modelos que presentan variaciones más concretas:

Comenzando por los modelos aditivos la Figura 4 - 16 muestra el mapa correspondiente.


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FIGURA 4 - 16 MAPA SOBRE MODELOS ADITIVOS Y MULTIPLICADORES

En los conceptos cabecera de la estructura se adjuntan imágenes que contienen la formulación de los modelos. Además en el caso del modelo aditivo se incluye un ejemplo que ilustra como la resolución se basa en las holguras:

El siguiente caso es el de Modelos con Restricciones en los Pesos, cuyo mapa se ilustra en la Figura 4 - 17.


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FIGURA 4 - 17 MAPA SOBRE MODELOS CON RESTRICCIONES EN LOS PESOS

En este caso los pesos presentan una limitación extra a los modelos convencionales. Existen tres posibilidades claramente diferenciadas en la siguiente captura:


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A la formulación completa del modelo se puede acceder en la imagen superior del mapa para el caso de retornos variables de escala tal y como se expresó en la sección 3.5.3.

Continuando con los modelos de Supereficiencia la Figura 4 - 18 ilustra las dos ideas principales que los definen.

FIGURA 4 - 18 MAPA SOBRE MODELOS CON SUPEREFICIENCIA

Es importante que ambas queden claras por lo que se incluye un ejemplo con explicaciones que ilustran uno de los casos para los que se obtendría una eficiencia de valor mayor al unitario:

También puede ocurrir que o bien las salidas o bien las entradas no sean controlables, es decir, no puedan actuarse sobre las mismas, i reduciéndolas ni ampliándolas. En ese caso el modelo a utilizar es aquel que diferencia entre ambas: Modelos con salidas y entradas no controlables.


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FIGURA 4 - 19 MAPA SOBRE MODELOS CON SALIDAS/ENTRADAS NO CONTROLABLES

Cada uno de los conceptos principales queda aclarado a través de los documentos adjuntos en la cabecera del mapa:

A su vez también se puede acceder a la formulación del modelo para una tecnología CRS tal y como se ilustró en la sección 3.5.6.

Por último y para finalizar con la sección se presentan los Modelos con Eficiencia Cruzada. Los cuales se emplean para aquellos casos en los que exista más de una solución posible.


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FIGURA 4 - 20 MAPA SOBRE MODELOS CON EFICIENCIA CRUZADA


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En este último caso aparece un nuevo concepto que es la matriz de eficiencia cuyos elementos son:

Los dos planteamientos posibles para este modelo, diferenciados por su agresividad en la resolución son:

Por último destacar uno de los puntos fuertes del software: la posibilidad de insertar enlaces web que permiten al lector del mapa acceder directamente a información relacionada con los conceptos de gran utilidad.

En el mapa de la Figura 4 - 12 aparece un icono que conecta con tres recursos web de interés:


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5. CONCLUSIÓN

l desarrollo de la metodología de Análisis Envolvente de Datos a través de los mapas de conceptos ha resultado un aprendizaje doble a lo largo de este proyecto.

En primer lugar se presenta el requisito indispensable de profundizar en la teoría sobre DEA. Partiendo de conocimientos previos adquiridos en asignaturas de Organización Industrial durante la carrera, he realizado una labor de ampliación de los mismos y comprensión mediante ejemplos prácticos y gráficos.

Esta tarea ha sido enfocada desde el comienzo desde un punto de vista de aprendizaje significativo. Es decir, tras analizar mi esquema cognitivo relacionado con la materia, he ido leyendo y entendiendo a la par que identificando conceptos claves simultáneamente. Esta lista de conceptos conduce a una valoración de la importancia de los mismos para su posterior jerarquización. El objetivo de este trabajo paralelo es ir construyendo los nuevos nodos a añadir en el mapa inicial de conocimientos que tenía sobre DEA.

Todo la labor anteriormente descrita constituye una estrategia de aprendizaje muy alejada de la memorización. Esta se consolidará con la construcción de los mapas. Ya que la creación de interrelaciones entre los nodos exige la completa asimilación del significado de cada uno de los términos.

En definitiva, el proceso de síntesis junto con los requisitos visuales y de comprensión de un mapa bien elaborado solo se puede conseguir si se ha comprendido a la perfección la teoría. Comprensión que se solidifica en conocimiento durante todo el trabajo de elaboración de los mismos.

Mi propia experiencia, plasmada primero con un desarrollo teórico y después con el resultado del aprendizaje significativo en forma de mapa de conceptos, me lleva a reafirmarme en la idea inicial que motivó esté proyecto: la fuerza de los mapas conceptuales como herramienta didáctica frente a los métodos de enseñanza tradicionales. No solo como alternativa a las diapositivas para el profesorado sino también como elemento de evaluación del alumno. Siempre teniendo en cuenta que no existe un único mapa, pero que dentro de las infinitas posibilidades, el buen mapa es aquel que exige un conocimiento pleno.

En segundo lugar, este proyecto también ha supuesto un aporte con el manejo del software CMapTools. Esta herramienta, con un amplio abanico de edición y creación de mapas, puede ser aplicada en cualquier ámbito y tema. Lo cual se presenta como una alternativa atractiva para reportar o realizar explicaciones sobre conceptos más abstractos.

Por último, he de destacar el interés del Análisis Envolvente de Datos como potente herramienta de estudio de eficiencia y de comportamiento relativo entre procesos industriales. Lo cual resulta un valor añadido en la elaboración de este trabajo, puesto que su empleo aparece en muchos estudios de mercado e industrias entorno a la organización y dirección de empresas, ámbito en el cual me gustaría desarrollarme profesionalmente.

Como conclusión, me gustaría señalar que el proceso empírico de aprendizaje significativo plasmado en este proyecto fin de carrera tiene como finalidad demostrar la posibilidad de otras estrategias de estudio frente a la memorización. A la par que ofrecer un enfoque alternativo al planteamiento teórico del Análisis Envolvente de Datos.

E

Conclusión

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REFERENCIAS

[1] Cooper, William W., Seiford, Lawrence M., Tone, Kaoru. Data Envelopment Analysis.

[2] Gabriel Villa Caro. Apuntes. Fundamentos del Análisis por Envoltura de Datos.

[3] Vicente Coll Serrano, Olga Maria Blasco Blasco. Evaluación de la Eficiencia mediante el Analisis Envolvente de Datos.

[4] J.E Beasley. Or-notes. http://people.brunel.ac.uk/~mastjjb/jeb/or/dea.html.

[5] Francisco Pedraja Chaparro, Javier Salinas Jimenez, Peter Smith. Revista. La restricción de las ponderaciones en el análisis envolvente de datos: Una fórmula para mejorar la evaluación de la eficiencia. http://www.fundacionsepi.es/revistas/paperArchive/May1994/v18i2a6.pdf.

[6] Juan Aparicio Baeza. Artículo de investigación operativa. Una introducción al análisis envolvente de datos. http://www.seio.es/BEIO/files/BEIOVol23n1_IO_JAparicio.pdf

[7] Gabriel Villa Caro. Tesis doctoral. Análisis por envoltura de datos (DEA). Nuevos modelos y aplicaciones.

[8] http://www.deafrontier.net/deaintro.html

[9] http://cmap.ihmc.us/.

[10] Francisco de Asís Díez Martín. El análisis de la eficiencia de los departamentos universitarios. El caso de la Universidad de Sevilla.

[11] http://cmap.ihmc.us/docs/theory-of-concept-maps-spanish

[12] http://blog.educastur.es/cuate/2006/06/29/mapas-conceptuales-con-cmap-tools/

[13] Joseph. D. Novak & Alberto J. Cañas. Construyendo sobre nuevas ideas constructivistas y la herramienta CMapTools para crear un nuevo modelo para la educación.

[14] http://www.educar.org/articulos/usodemapas.asp.

[15] Juan Guillermo Villegas R. Análisis Envolvente de Datos. Introducción y herramientas publicas para su utilización.

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