PROYECTO FIN DE CARRERA INGENIERÍA AERONÁUTICA...

PLANIFICACIÓN EFICIENTE DEL VUELO DE

QUADROTORS PARA RECOGIDA DE DATOS

DE SENSORES INALÁMBRICOS

AUTOR: JAIME MONJE DE LA CALZADA

TUTOR: JOSÉ RAMIRO MARTÍNEZ DE DIOS

PROYECTO FIN DE CARRERA

INGENIERÍA AERONÁUTICA

Dep. de Ingeniería de Sistemas y Automática

Escuela Superior de Ingenieros

Universidad de Sevilla

Agradecimientos

El presente proyecto está dedicado a todas aquellas personas que me animaron a

seguir adelante durante el camino gracias a su ánimo. Entre ellas: Mi familia, mis compañeros

de clase B.G, mis compañeros de residencia de la planta cuarta izquierda, mis amigos del café

Esi, el grupo de Ceuta y mis compañeros de Barcelona. Gracias a todas ellas por todos los

buenos momentos pasados y sus ánimos que me dieron fuerza.

Índice

1 Introducción 1 1.1. Antecedentes históricos

1.1.1. Evolución de configuración del quadrotor 11 1.1.2. Evolución de los UAVs 14

1.2. Contexto del proyecto 15 1.3. Objetivos 17 1.4. Estructura del documento 18

2 Modelado y control del Quadrotor 19 2.1. Introducción 19 2.2. Modelo del vehículo no tripulado 27 2.3. Control del quadrotor 27

2.3.1. Control de las variables acopladas X-θ 28 2.3.2. Control de las variables acopladas Y-ɸ 29 2.3.3. Control de la variable Z 31 2.3.4. Control de la variable ψ 32

2.4. Conclusiones 33

3 Planificación 34 3.1. Introducción 34

3.1.1. Representación de los ejes del quadrotor 34 3.1.2. Representación de los de la antena 35

3.2. Planificación de trayectorias rectilíneas ejes 36 3.2.1. Expresiones de la trayectoria recilínea 36 3.2.1.1 Xi < Xf 38 3.2.1.2 Xi > Xf 39 3.2.1.2 Xi =Xf 40 3.2.1.2 Yi =Yf 42 3.2.2. Algoritmo 43 3.2.3. Selección de dos puntos para cada recta 44

3.3. Planificación de trayectorias circunferenciales unidas mediante trayectorias rectilíneas 47 3.3.1. Obtención de parámetros de la circunferencia 48 3.3.2. Ecuaciones paramétricas de la circunferencia 51 3.3.3. Velocidad angular del quadrotor 51 3.3.4. Elección del radio de curvatura de vuelo 53 3.3.5. Selección de circunferencias 56 3.3.6. Calculo de tiempos de trayectorias 59

3.3.7. Algoritmo 61

3.4. Comparación de ambos métodos 83 3.5. Conclusiones 87

4 Experimentos 88 4.1. Introducción 88 4.2. Descripción del sistema 88 4.3. Experimentos de control 90

4.3.1. Errores 90 4.3.1.1 Error en el control X-θ 90 4.3.1.2 Error en el control Y-ɸ 91 4.3.1.3 Errores del controlador del subsistema Z 93 4.3.1.4 Errores del controlador del subsistema ψ 94 4.3.2. Efecto del ruido 95 4.3.2.1 Efecto del ruido en el subsistema X-θ 95 4.3.2.2 Efecto del ruido en el subsistema Y-ɸ 99 4.3.2.3 Efecto del ruido en el subsistema Z 102 4.3.2.4 Efecto del ruido en el subsistema ψ 105

4.4. Experimentos de planificación 107 4.4.1. Experimentos de planificación para distintas distribuciones de sensores 107 4.4.2. Efecto de la altura 112 4.4.2.1 Z=20 metros 113 4.4.2.2 Z=30 metros 114 4.4.2.3 Z=40 metros 115 4.4.2.4 Conclusión 116 4.4.3. Efectos de la velocidad 117 4.4.4. Efectos del ruido 118

5 Conclusiones 121 5.1. Conclusiones 121 5.2. Ampliaciones del proyecto 123

Referencias 125

Índice de Figuras

Ilustración 1.1. Oehmichen No.2 11

Ilustración 1.2. Bothezat helicopter 12

Ilustración 1.3. Convertawings 12

Ilustración 1.4. Quad Tiltrotor 13

Ilustración 1.5. Firebee 14

Ilustración 1.6. UAV con cámara 15

Ilustración 1.7. Quadrotor 16

Ilustración 2.1. Arquitectura del quadrotor 19

Ilustración 2.2. Sistemas y grados de libertad del vehículo 20

Ilustración 2.3. Subsistemas del quadrotor 23

Ilustración 2.4. Estructura cascada de X y θ 27

Ilustración 2.5. Estructura cascada de ф e Y 27

Ilustración 2.6. Señal deseada y obtenida por control de X 29

Ilustración 2.7. Señal deseada y obtenida por control de Y 30

Ilustración 2.8. Señal deseada y obtenida por control de Z 31

Ilustración 2.9. Señal deseada y obtenida por control de ψ 32

Ilustración 3.1. Ejes del quadrotor 35

Ilustración 3.2. Representación de la antena 35

Ilustración 3.3. Distribución de la velocidad en un tramo rectilíneo 37

Ilustración 3.4. Recta que representa el caso Xi<Xf 38

Ilustración 3.5. Recta que representa el caso Xi>Xf 39

Ilustración 3.6. Recta que representa el caso Xi<Xf 41

Ilustración 3.7. Recta que representa el caso Yi<Yf 42

Ilustración 3.8. Unión de tramos de trayectorias rectilíneas 43

Ilustración 3.9. Algoritmo que ordena los puntos según la cercanía de unos con otros 46

Ilustración 3.10. Algoritmo que define circunferencias 50

Ilustración 3.11. Distribución de velocidades angulares a lo largo de la circunferencia 52

Ilustración 3.12. Circunferencias en el plano Z=0 53

Ilustración 3.13. Relación de d’ y R’ para w= 3 deg/s 54

Ilustración 3.14. Relación de d’ y R’ para w= 5 deg/s 55

Ilustración 3.15. Criterio de distancia elegido 56

Ilustración 3.16. Representación del movimiento en las trayectorias 57

Ilustración 3.17. Criterio en el caso de que queden dos puntos sin asignar circunferencia 58

Ilustración 3.18. Criterio en el caso de que quede un punto sin asignar circunferencia 59

Ilustración 3.19. Serie de trayectorias con tiempos asociados 59

Ilustración 3.20. Serie de trayectorias con recta que une el último punto 60

Ilustración 3.21. Serie de trayectorias con las trayectorias que unen los dos últimos punto 61

Ilustración 3.22. Algoritmo que calcula el primer punto de la circunferencia 65

Ilustración 3.23. Algoritmo que calcula el segundo punto de la circunferencia 67

Ilustración 3.24 Algoritmo que calcula el tercer punto de la circunferencia 69

Ilustración 3.25. Algoritmo que calcula el radio de curvatura de vuelo y la velocidad angular 71

Ilustración 3.26. Algoritmo que calcula el vector Ks que indica los puntos que están dentro de la

circunferencia. 73

Ilustración 3.27. Algoritmo que calcula los nuevos vectores excluyendo puntos que ya han formado

circunferencias. 75

Ilustración 3.28. Algoritmo que calcula los parámetros en el que caso de que queden dos puntos

restantes 78

Ilustración 3.29. Algoritmo que calcula los parámetros de la recta que lleva a la primera

circunferencia 80

Ilustración 3.30. Algoritmo que calcula los parámetros de las diferentes rectas que unen a las

circunferencias 82

Ilustración 3.31. Gráfica de simulación para el primer ejemplo con el primer método 83

Ilustración 3.32. Gráfica de la simulación para el primer ejemplo con el segundo método 84

Ilustración 3.33. Gráfica de la simulación para el segundo ejemplo con el segundo método 85

Ilustración 3.34. Gráfica de la simulación para el segundo ejemplo con el primer método 86

Ilustración 4.1 Esquema del Sistema 88

Ilustración 4.2. Estructura cascada de X y θ 89

Ilustración 4.3. Estructura cascada de ф e Y 89

Ilustración 4.4. Salida de X 90

Ilustración 4.5. Salida de θ 91

Ilustración 4.6. Salida de Y 92

Ilustración 4.7. Salida de Φ 92

Ilustración 4.8. Salida de Z 93

Ilustración 4.9. Salida de ψ 94

Ilustración 4.10. Ruido del sistema X- θ 95

Ilustración 4.11. Salida X sin ruido 96

Ilustración 4.12. Salida θ sin ruido 96

Ilustración 4.13. Salida del lazo interno para una varianza de 97

Ilustración 4.14. Salida X para una varianza de 97

Ilustración 4.15. Salida del lazo interno para una varianza de 98

Ilustración 4.16. Salida para una varianza de 98

Ilustración 4.17. Ruido en el subsistema Y-Φ 99

Ilustración 4.18. Salida Y sin ruido 99

Ilustración 4.19. Salida Φ sin ruido 100

Ilustración 4.20. Salida Φ del subsistema Y e Φ para una varianza de 100

Ilustración 4.21. Salida Y del subsistema Y e Φ para una varianza de 101

Ilustración 4.22. Salida Φ del subsistema Y e Φ para una varianza de 101

Ilustración 4.23. Salida Y del subsistema Y e Φ para una varianza de 102

Ilustración 4.24. Salida Z sin ruido 103

Ilustración 4.25. Salida Z para un ruido gaussiano de 0.01 103

Ilustración 4.26. Salida Z para un ruido gaussiano de 0.1 104

Ilustración 4.27. Salida ψ sin ruido 105

Ilustración 4.28. Salida ψ para ruido gaussiano de 1 106



Ilustración 4.31.Posición del quadrotor cuando la señal incide en los sensores 107

Ilustración 4.32. Circunferencias asociadas a cada sensor 108

Ilustración 4.33. Distribución de puntos ejemplo II 109

Ilustración 4.34. Circunferencias asociadas a cada sensor ejemplo II 109

Ilustración 4.35. Distribución de puntos ejemplo III 110

Ilustración 4.36. Circunferencia asociadas a sensores ejempo III 111

Ilustración 4.37. Efecto de la altura a 20 metros 113



Ilustración 4.40. Posición del quadrotor cuando la señal incide en los sensores 117

Ilustración 4.41. Distribución de sensores en los que se analizará el ruido 119

1 INTRODUCCIÓN

1.1 Antecedentes históricos 1.1.1 Evolución de configuración del quadrotor

A principios del siglo XX, el científico francés Charles Richet creó el primer modelo

de quadrotor, aunque su pequeño modelo no consiguió volar. Pero su alumno Breguet fue el

primero en construir un quadrotor pilotado.

Dicho vehículo estaba constituido por cuatro motores con cuatros palas que eran

movidos por un motor Antoinette de 8 cilindros de 40 HP. Un simple sistema de poleas movía

las hélices, sin embargo, en el primer vuelo , no se consiguió mover más de un metro y medio

del suelo.

En 1920, Etienne Oehmichen creó Oehmichen No.2 (Ilustración 1.1) que era un

helicóptero de cuatro rotores y ochos hélices, impulsados por un motor. Este helicóptero

presentaba rotores bípala cuyo ángulo era variable. Para estabilizar lateralmente, cinco de las

palas giraban en el plano horizontal, para la dirección, se usaba la hélice montada en la nariz,

mientras que para la propulsión hacia delante, se usaba el par restante de las hélices. Esta

aeronave presentaba una gran capacidad de control y una buena estabilidad para su época.

Ilustración 1.1 Oehmichen No.2

12 | P á g i n a

Durante 1922, George de Bothezat e Ivan Jerome desarrollaron una aeronave

(Ilustración 1.2) formada por cuatro rotores de seis palas, situados en el extremo de una

estructura en forma de X. Fue el primero en usar hélice de paso colectivo. El control de la

orientación y del ángulo de guiñada se realizaba mediante dos pequeñas hélices de paso

variable. A pesar de su viabilidad, presentaba poca potencia, era mecánicamente complejo y

tenía problemas de fiabilidad.

Ilustración 1.2 Bothezat helicopter

Posteriormente en 1956, la empresa Convertawings diseñó un prototipo (Ilustración 1.3)

de mayor tamaño para uso civil y militar, y que disponía de dos motores que accionaban los

cuatro rotores. En este modelo, no se usaba un rotor de cola, sin embargo, el control se realizaba

mediante la variación de velocidad de cada rotor. Esta forma es la que se establecería en el

diseño actual de los quadrotors.

Ilustración 1.3 Convertawings

Más tarde, Curtis-Wright diseñó un quadrotor para el ejército americano, Curtiss-Wright

VZ-7, en el que el control también era debido a la variación de velocidad de los rotores.

13 | P á g i n a

A finales de los 90, Bell y Boing trabajaron conjuntamente en el quadrotor tripulado, Quad

Tiltrotor (Ilustración 1.4), que tenía dos modalidades de funcionamiento: uno que presentaba el

vuelo vertical con los rotores paralelos al suelo y otro que permitía el vuelo de avance.

Ilustración 1.4 Quad Tiltrotor

14 | P á g i n a

1.1.2 Evolución de UAVs

El origen de estos vehículos se remonta al siglo XIX, cuando se usó un UAV, formado

por un globo que cargaba bombas, durante un ataque de Austria a la ciudad de Viena.

Durante la guerra de secesión americana (1861-1865), ambos bandos también usaron

estos vehículos en forma de globos cargados. Sin embargo, la exactitud y fiabilidad de los

movimientos de estos vehículos eran pequeñas en ese momento.

El desarrollo más profundo de estos vehículos, fue durante la Primera Guerra Mundial y

la Segunda Guerra Mundial en aplicaciones militares. En este tiempo, EEUU creó el prototipo,

Operación Afrodita. Eran B-17 cargados de explosivos y que se estrellaban contra un objetivo

mediante control remoto.

Más tarde, durante la Guerra Fría, EEUU desarrolló vehículos no tripulados para

espionaje y reconocimiento. El primero de ellos fue Firebee (Ilustración 1.5) usado en la

República Comunista de China.

Ilustración 1.5 Firebee

En la Guerra de Vietnam, los vehículos ya contaban con reconocimientos de cámara de

día. E incluso al poco tiempo, dichas aeronaves ya podían disponer de cámaras nocturnas, y de

mejoras de tanto de comunicación como de electrónica.

Actualmente, está en auge el desarrollo y uso de estos vehículos tanto para ámbitos

militares como para ámbitos civiles.

15 | P á g i n a

1.2 Contexto del proyecto

Los UAVs son aeronaves no tripuladas que se usan cada vez más tanto en uso civil como

militar, ya que presentan menor peso, menores dimensiones, e inferiores costes que las

aeronaves tripuladas. Además pueden moverse en entornos complejos sin pérdidas humanas.

Algunas de las aplicaciones más comunes para estos vehículos son las siguientes:

Aplicaciones militares: Se utiliza principalmente para misiones de espionaje, y en

labores militares, ya que evitan las pérdidas humanas.

Supervisión: Especialmente en supervisión de edificios y obras civiles. Para realizar

esta operación, el vehículo dispone de cámara de video (Ilustración 1.6) para

observación y vigilancia.

En ocasiones el tráfico terrestre y aéreo se supervisa mediante UAVs.

Ilustración 1.6 UAV con cámara

Fotografía Aérea: Mediante fotografía aérea y grabación de video, se puede obtener

rápidamente información de un terreno. También, se pueden usar en el ámbito

cinematográfico para grabar diferentes ángulos.

Reconocimiento de accidentes y desastres: Estos vehículos permiten el acceder a zonas

difíciles de llegar, donde han habido accidentes nucleares o desastres naturales.

También, pueden hacer una valoración aérea de un accidente de tráfico.

Agricultura: En algunas ocasiones, los UAVs llevan equipados fertilizantes y pesticidas

que son pulverizados durante el vuelo.

Se pueden distinguir dos tipos de UAVs:

Despegue Vertical: Ala Rotativa y auto-sustentados.

Despegue no vertical: Ala flexible y ala fija.

16 | P á g i n a

Los Helicópteros y los Quadrotors forman parte del grupo de los UAVs de despegue

vertical y ala rotativa.

Los quadrotors presentan más sencillez mecánica que los helicópteros, ya que el control

de ellos se realiza a través de la variación de la velocidad de sus rotores, mientras que en los

helicópteros, el control se realiza variando el ángulo de paso de la pala, manteniendo la

velocidad de giro constante. Sin embargo, el control es más complejo en los quadrotors,

debido al efecto de acoplamiento de la dinámica de los rotores.

Un quadrotor (Ilustración 1.7) es una aeronave que se mueve y se eleva gracias a los

cuatros rotores que están instalados en una estructura con forma de cruz.

Ilustración 1.7 Quadrotor

Dos de sus cuatros rotores giran en sentido antihorario, y los otros dos en el sentido

horario. Esta configuración permitirá que el quadrotor pueda realizar cualquier maniobra.

Otra ventaja del quadrotor, es el uso de motores eléctricos en lugar de motores de

combustión, ya que contaminan menos el aire en lugares tales como interiores de edificios.

Sin embargo, este tipo de motores limitan el tiempo de funcionamiento, siendo su

autonomía de 15 a 20 minutos.

17 | P á g i n a

1.3 Objetivos

El objetivo de este proyecto es planificar eficientemente el vuelo de un quadrotor para

que la señal de su antena llegue a los distintos sensores inalámbricos de un terreno.

Para ello, se parte de la hipótesis de que la antena del quadrotor se encuentra situada en

eje –Z, y que para cumplir el objetivo el vuelo se realizará a altura constante.

Dada una serie de coordenadas en donde se encuentran los diferentes sensores

inalámbricos, se deberá planificar diferentes trayectorias para que la señal de la antena llegue a

todos los sensores inalámbricos. También, se tendrá que estudiar el orden en que la señal de la

antena pasará por cada punto donde se encuentra un sensor, ya que esto permitirá reducir el

tiempo que se tarda en cumplir la misión,si se eligen adecuadamente.

Para cumplir el objetivo, en primer lugar, se desarrollará un modelo cinemático y

dinámico del quadrotor, que posteriormente, se linealizará.

Una vez linealizado este modelo, se buscará un controlador para cada una de las

variables controlables.

Las dos planificaciones que se desarrollarán serán las siguientes:

Una planificación que consistirá en buscar trayectorias rectilíneas en las que el

quadorotor pasará por encima de todos los puntos donde se encuentran los sensores.

Para minimizar el tiempo empleado en cumplir el objetivo, el vehículo empezará su

recorrido por el punto del sensor más cercano al origen, y de ahí en adelante, el

quadrotor irá hacia el punto del sensor más cercano al último punto del sensor por el

que pasó.

Una planificación que empleará tanto trayectorias circunferenciales como rectilíneas.

Por cada tres puntos donde están situados los sensores, se buscará una trayectoria

circunferencial del quadrotor, que permitirá que la señal de la antena pase por esos

puntos. Los tres puntos que se elegirán para buscar el vuelo circunferencial del

quadrotor serán aquellos que presenten menor distancia entre ellos.

Una vez desarrolladas las planificaciones, se realizarán diferentes experimentos para

comprobar la robustez, así como la influencia que tendrían la altura o la velocidad en las

planificaciones anteriores.

Las herramientas que se usarán para realizar lo expuesto anteriormente, serán MATLAB

y SIMULINK. Con dichas herramientas, se podrán conocer la posición del quadrotor a lo

largo del tiempo de forma gráfica, representar las trayectorias circunferenciales, conocer la

posición que tendrá el quadrotor en el espacio cuando la antena cumpla el objetivo, además

de los errores que presentarían.

18 | P á g i n a

1.4 Estructura del documento

En primer lugar, en el Capítulo 2, se desarrollará un modelo cinemático y dinámico del

quadrotor. Más tarde, este modelo se linealizará, y posteriormente, se buscará un control para

cada una de las variables de control.

A continuación, en el Capítulo 3, se detallarán las diferentes planificaciones que

permitirán cumplir el objetivo. Para cada una de las planificaciones que se estudiarán, se

analizarán todos los casos posibles de trayectorias que se puedan optar dentro de ellas. Además,

se representarán los diagramas de flujo de los algoritmos más importantes que se han usado en

el desarrollo de estas planificaciones y se mostrarán varios ejemplos con el fin de comparar

dichas simplificaciones.

Posteriormente, en el Capítulo 4, se realizarán distintos tipos de experimentos mediante

simulación para determinar si el sistema es robusto, y conocer cómo afectaría el cambio de

altura y el cambio de velocidad del vehículo.

Para finalizar, en el Capítulo 5, se expondrán las diferentes conclusiones extraídas del

proyecto así como las posibles líneas de mejora del mismo.

19 | P á g i n a

2 MODELADO Y CONTROL DEL

QUADROTOR

2.1. Introducción

En el siguiente capítulo se desarrollará un modelo para el movimiento del quadrotor,

respecto de un sistema de referencia cuyo origen estaría en el suelo. Posteriormente dicho modelo se

linealizará y se simplificará para disminuir el grado de dificultad, así como para reducir el máximo

acoplamiento posible de las variables que intervienen en el sistema.

Una vez obtenido el modelo simplificado se procederá a obtener los parámetros de control

que mejor se adapten en el sistema simplificado. Se ha optado por un control discreto en lugar de un

control analógico debido a que este es más rápido y es el más utilizado en la actualidad.

2.2. Modelo del vehículo no tripulado

Un quadrotor es un vehículo no tripulado cuya arquitectura se basa en dos brazos

inextensibles y perpendiculares en cuyos extremos se puede encontrar un motor eléctrico (dos por

cada brazo). Dicha estructura se puede observar en la Ilustración 2.1.

Ilustración 2.1 Arquitectura del quadrotor

El movimiento de este vehículo es debido a la diferencia de la velocidad que generan los

cuatros rotores, cuyos componentes son motores eléctricos y hélices.

El mecanismo del quadrotor consiste en:

: un par para generar movimiento de balance debido al desequilibrio de las

fuerzas F2 y F4.

: un par para generar movimiento de cabeceo debido al desequilibrio de las fuerzas

20 | P á g i n a

F1 y F3.

: un par para generar movimiento de guiñada debido al desequilibrio del conjunto

de fuerzas (F1 y F3) y ( F2 y F4) ya que giran en sentido contrario los rotores 1 y 3 de

2 y 4

U: un empuje total que produce el desplazamiento perpendicular al plano del rotor y

es debido a la suma de las cuatro fuerzas que generan los rotores.

En la Ilustración 2.2 se puede observar las diferentes fuerzas y pares que generan

cada rotor, así como los grados libertad que intervienen en el modelo

Se pueden distinguir dos sistemas de referencia:

Un sistema de referencia ligado a los ejes cuerpo del vehículo, 𝐵= {𝑂B XB YB ZB}, en

el cuál los ejes XB y YB coinciden con la dirección de los dos brazos, mientras que el eje ZB

está situado en un eje perpendicular al plano del rotor. El origen de dicho sistema OB coincide

con el centro de masas del vehículo no tripulado.

Un sistema de referencia inercial, W= {𝑂W XW YW ZW}, fijo con respecto a tierra.

Ilustración 2.2 Sistemas y grados de libertad del vehículo

A continuación se procederá a obtener el modelo matemático del sistema. Para ello

se utilizarán las siguientes hipótesis:

El vehículo no tripulado se considera un sólido rígido.

El quadrotor presenta geometría simétrica por lo que su tensor de inercia será

diagonal.

21 | P á g i n a

Se han despreciado efectos de dinámicas traslacionales, el efecto suelo, las fuerzas y

momentos aerodinámicos y los efectos giroscópicos.

Para el modelo matemático se usará el enfoque de Lagrange-Euler, el cual puede

verse detallado en [1].

La formulación de Lagrange-Euler tiene la siguiente expresión:

(

)

donde se puede distinguir:

, la coordenada generalizada

, la energía cinética total

, la energía potencial total

, las fuerzas o pares generalizados producidos por pares o fuerzas no conservativas

Las coordenadas generalizadas son las siguientes:

[ ]

siendo:

[ ] es la posición del centro de masas con respecto al sistema de referencia

inercial.

[ ] son los ángulos asociados a los ejes del vehículo YB XB y ZB

respectivamente.

Aplicando Lagrange-Euler como aparece detallado en [1], se obtienen las siguientes

expresiones:

Para el movimiento traslacional:

siendo el vector unitario del eje ZB.

Para el movimiento rotacional:

22 | P á g i n a

A continuación se muestran las vectores y matrices que intervienen en las

expresiones anteriores :

[

( )

( )

]

[

]

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )( ) ( )( )

23 | P á g i n a

( )

Observando las expresiones anteriores se llega a las siguientes

conclusiones:

Las ecuaciones del subsistema traslacional dependen de los ángulos de cabeceo,

balanceo y guiñada.

Las ecuaciones del subsistema de rotación no están acopladas con los grados de

libertad de la posición, pero existen términos no lineales como cosenos, senos o

derivadas de los mismos.

Se obtiene por tanto dos subsistemas como se puede observar en la Ilustración 2.3:

Un subsistema de rotación cuyas entradas son los tres pares de control y cuyas

salidas son los ángulos de cabeceo, balanceo y guiñada.

Un subsistema de traslación cuyas entradas son los tres ángulos anteriores y el

empuje total y cuyas salidas son las tres posiciones del centro de gravedad del

vehículo en el espacio.

Ilustración 2.3 Subsistemas del quadrotor

24 | P á g i n a

Para simplificar las expresiones anteriores se procederá a linealizar en torno a

y También se usará la aproximación de ángulos pequeños.

Aplicando lo anterior, se obtienen las siguientes expresiones simplificadas y

linealizadas:

[

]

[

]

( )

( )

( )

25 | P á g i n a

( )

( )

( )

Sustituyendo en las expresiones anteriores se obtiene:

[

( ) ] [

( ) ]

[

( ) ] [

( ) ]

[

( ) ] [

( ) ]

Aplicando transformada de Laplace en las ecuaciones anteriores:

-( - - )

( )

( )

26 | P á g i n a

Utilizando la hipótesis de pequeños ángulos se puede despreciar los productos de

ángulos al cuadrado, dando lugar a:

En las expresiones simplificadas anteriores se puede observar que cada ángulo

está desacoplado del resto.

Si se aplica la transformada de Laplace y la hipótesis de pequeños ángulos para

el sistema de traslación se obtiene:

Dadas las ecuaciones anteriores se pueden tomar las siguientes conclusiones:

El subsistema de orientación está desacoplado del subsistema de traslación.

La posiciones X e Y están acopladas con los ángulos y respectivamente.

La posición Z no está acoplada con ninguna otra variable.

De los seis grados de libertad sólo se pueden controlar cuatro de ellos.

27 | P á g i n a

2.3. Control del quadrotor

A continuación se procederá a obtener los parámetros de control del modelo

obtenido.

El sistema del quadrotor presenta cuatro variables acopladas:

La posición X con el ángulo .

La posición Y con el ángulo .

Para las variables anteriores se utilizará la estructura cascada como se puede

observar en la Ilustración 2.4 y la Ilustración 2.5.

Ilustración 2.4 Estructura cascada de X y

Ilustración 2.5 Estructura cascada de

28 | P á g i n a

El control se ha realizado de forma discreta con un tiempo de muestreo ya que es típico de un quadrotor.

Para discretizar el integrador se ha optado por el método de Euler hacia atrás:

La ley de control de cada sistema viene dada por las siguientes expresiones:

(

)

(

)

(

)

siendo:

: la variable de entrada discretizada.

: el error discretizado.

: el tiempo de integración.

: el tiempo de derivación.

K: es un subíndice que indica el retraso de la variable.

2.3.1. Control de las variables acopladas X y

Para la variable X se ha obtenido que el controlador más óptimo es un PD con los siguientes parámetros:

29 | P á g i n a

Para la orientación se ha obtenido un PID con los siguientes parámetros:

A continuación se muestra en la Ilustración 2.6 con una referencia de una

circunferencia de radio 100, la superposición de la señal deseada y la señal obtenida

con control de la variable X.

Ilustración 2.6 Señal deseada y obtenida por control de X

2.3.2 Control de las variables acopladas Y e

En este caso la posición Y tendrá el siguiente controlador PD:

30 | P á g i n a

Para la orientación se ha obtenido un PID con los siguientes parámetros:

En la Ilustración 2.7 se representa para la referencia de una parábola, la

superposición de la señal deseada y la señal obtenida con control de la variable Y.

Ilustración 2.7 Señal deseada y obtenida por control de Y

31 | P á g i n a

2.3.3. Control de la variable Z

La variable Z presenta un controlador PID

En la Ilustración 2.8 se puede observar la superposición de la señal deseada y

obtenida para una referencia lineal.

Ilustración 2.8 Señal deseada y obtenida por control de Z

32 | P á g i n a

2.3.4. Control de la variable

Para finalizar la variable presenta un controlador PID

A continuación en la Ilustración 2.9 se muestra la superposición de la señal

deseada y obtenida para una referencia lineal.

Ilustración 2.9 Señal deseada y obtenida por control de

33 | P á g i n a

2.4. Conclusiones

A lo largo de este capítulo se han obtenido las siguientes conclusiones:

El modelo matemático del vehículo no tripulado es complejo debido a que presenta

términos nos lineales y hay un gran acoplamiento entre sus variables.

Se han obtenido dos subsistemas diferenciados: una para la orientación que depende

de los pares, y cuyas salidas son los ángulos de cabeceo, balanceo y guiñada, y otro

para la posición cuyas salidas son las posiciones X,Y y Z que depende del empuje

total final y de los ángulos anteriores.

Se ha linealizado y simplificado el modelo matemático para reducir el grado de

dificultad de este.

Tras linealizar y simplificar se han obtenido dos pares de variables acopladas (X, ) y

(Y, ).

Sólo podrán controlarse cuatro variables simultáneamente en el sistema del

quadrotor una vez linealizado y simplificado.

Se ha optado por controlar de forma discreta ya que es más rápido que de forma

analógica y es la que más de utiliza.

Se ha seleccionado un tiempo de muestreo de 0.05 segundos ya que es el típico de un

quadrotor.

Para las posiciones X e Y se ha seleccionado un controlador PD, mientras que para

el resto de variables se ha optado por controladores PID.

34 | P á g i n a

3 PLANIFICACIÓN

3.1. Introducción

En el siguiente capítulo se procederá al estudio de planificación de la trayectoria para

cumplir el objetivo de que la señal de la antena cubra los distintos sensores del suelo.

En el capítulo anterior, se afirmó mediante las ecuaciones del vehículo no tripulado, que no

es posible controlar la posición X y el ángulo θ, o el ángulo ф y la posición Y simultáneamente

debido al acoplamiento que existe en las ecuaciones del vehículo no tripulado.

Para cumplir el objetivo deseado, se partirá de las siguientes simplificaciones e hipótesis:

Las variables que se controlarán serán las posiciones: X, Y, Z y el ángulo de guiñada.

El vehículo no tripulado se moverá en todo momento a altura constante.

La antena del quadrotor estará situada en un eje perpendicular a la planta del vehículo y que

pasa por su centro de gravedad.

La antena se considerará rígida en el quadrotor, por lo que se moverá según lo haga el

vehículo que la contiene.

Por todo lo anterior, se realizarán los siguientes tipos de planificaciones:

Planificación de trayectorias rectilíneas.

Planificación de trayectoria circunferenciales unidas mediantes trayectorias rectilíneas.

A lo largo de este capítulo se desarrollarán las planificaciones anteriores, y se compararán

para conocer cuál es la más rápida y/o precisa.

3.1.1 Representación de los ejes del quadrotor

35 | P á g i n a

Para conocer el movimiento que tendrá el vehículo a lo largo de su trayectoria, se

representará en cada punto de la trayectoria: la posición y la orientación de los ejes en MATLAB.

Para obtener la orientación de los ejes en cada punto de la trayectoria se usará la matriz de

Euler:

(

)

En la Ilustración 3.1 aparecen los ejes representados en un punto:

Ilustración 3.1. Ejes del quadrotor

3.1.2 Representación de los ejes de la antena

La antena del vehículo tripulado, situada en el eje –Z, será representada de la misma

forma en que ha sido representados los ejes como se observa en la ilustración 3.2.

Ilustración 3.2. Representación de la antena

36 | P á g i n a

3.2. Planificación de trayectorias rectilíneas

Una primera opción para cumplir el objetivo de que la señal de la antena pase todos los

sensores será mediante la planificación de trayectorias rectilíneas.

Cuando el quadrotor se mueve en línea recta a velocidad constante, se puede observar

que la antena estará prácticamente en el eje –Z.

Debido a lo anterior, se buscarán trayectorias rectas para que el quadrotor vuele por los

puntos a los que se quiere orientar la antena, ya que las proyecciones del centro de gravedad del

quadrotor coincidirán con los puntos que la señal de la antena incide en el suelo.

La planificación de este tipo de trayectoria se realizará calculando los distintos tiempos

que tarda el quadrotor en recorrer cada recta para ir de un punto a otro.

3.2.1 Expresiones de la trayectoria rectilínea

A continuación, se indicarán las ecuaciones que se usarán en el algoritmo para

planificar estas trayectorias y calcular los distintos tiempos.

La ecuación de la trayectoria de la posición x vendrá dada por la siguiente expresión:

siendo:

v: la velocidad con la que se mueve el vehículo en el eje x.

:la posición inicial de x.

La coordenada x estará relacionada con la coordenada y mediante la siguiente ecuación:

37 | P á g i n a

Estas expresiones dependerán de si son mayores, menores o iguales las coordenadas del

punto del sensor donde se quiere ir con respecto a las coordenadas del sensor por donde acaba

de pasar el quadrotor.

Para que el cambio de cada trayectoria que va de un punto hacia otro punto , sea suave, el quadrotor empezará con una velocidad v=0.1 m/s e irá aumentando su

velocidad en los primeros tramos hasta alcanzar la velocidad deseada que se mantendrá

constante hasta llegar a los últimos tramos donde el vehículo frenará su velocidad a v= 0.1 m/s.

Esto puede verse reflejado en la Ilustración 3.3.

Ilustración 3.3. Distribución de la velocidad en un tramo rectilíneo.

En la figura, se puede observar tres tramos:

Primer tramo( : El quadrotor va primero a una velocidad de 0.25 m/s en los

primeros 0.25 metros(de ), en los siguientes 0.25 metros aumentará la velocidad

a 0.5 m/s de( ) , A continuación en los posteriores 0.5 metros la velocidad será de

1 m/s( ) .A partir del instante , la velocidad aumentará cada vez que

transcurra un metro hasta que alcance la velocidad, , lo que dará comienzo al tramo

intermedio .

Tramo intermedio ( - - : Este tramo dura un tiempo , e irá a la

velocidad a la que se dese que vuele, .

Tramo final ( - - : En este tramo la velocidad del quadrotor disminuirá

realizando un proceso inverso al que se hizo en el primer tramo, hasta llegar a los

últimos 0.25 metros donde su velocidad será de 0.1 m/s.

Al final de cada tramo ( ) la velocidad será de 0.1 m/s, lo que hará posible que el

vehículo tripulado pueda cambiar a otra trayectoria rectilínea sin presentar un aumento

brusco en los ángulos de cabeceo y balanceo.

38 | P á g i n a

A continuación, se presentará diferentes ejemplos de lo anterior distinguiendo

diferentes situaciones según si las coordenadas iniciales son menores, mayores o iguales

a las coordenadas finales

3.2.1.1 Xi<Xf

El caso en que Xi<Xf viene representado en ilustración 3.4.

Ilustración 3.4. Recta que representa el caso Xi<Xf

39 | P á g i n a

A continuación, se muestran algunos ejemplos:

Si :

Si - - :

Si - - :

3.2.1.2 Xi>Xf

Si la coordenada X del punto siguiente es inferior a la del punto anterior, como se

puede observar en la ilustración 3.5, se usarán las siguientes expresiones en el algoritmo:

Ilustración 3.5. Recta que representa el caso Xi>Xf

40 | P á g i n a

. Si :

. Si - - :

3.2.1.3 Xi=Xf

En el caso de que las coordenadas X de dos puntos seguidos coincidan, como aparece

en la Ilustración 3.6, las ecuaciones a implementar serán:

41 | P á g i n a

Ilustración 3.6. Recta que representa el caso Xi=Xf

Si :

Si :

42 | P á g i n a

3.2.1.4 Yi=Yf

El último caso a implementar en el algoritmo es en el cual los dos puntos donde se

desea que pase el vehículo no tripulado tengan la misma Y, como aparece en la Ilustración 3.7

Ilustración 3.7. Recta que representa el caso yi<yf

Si :

Si :

43 | P á g i n a

3.2.2 Algoritmo

El algoritmo para calcular la trayectoria consta de los siguientes pasos:

Elegir los dos puntos por los que pasa cada una de las rectas.

Seleccionar de que tipo es cada recta (creciente, decreciente, paralela al eje Y o paralela

al eje X).

En cada tramo recto calcular los tiempos en los que se produce los cambios de

velocidad, así como el tiempo en el que se llega al punto final del tramo.

Los tiempos obtenidos serán guardados en un vector.

Una vez iniciada la simulación, el código seleccionará el cambio de recta, de velocidad

y de parámetros según entre que tiempos de los almacenados está el tiempo de la

simulación.

A continuación, se hará un ejemplo práctico de este algoritmo. Para ello, se usará la

siguiente ilustración 3.8 que representa los diferentes tramos rectos por los que vuela el

vehículo, y las coordenadas por las que se quiere que pase el quadrotor (puntos rojos).

Ilustración 3.8. Unión de tramos de trayectorias rectilíneas

44 | P á g i n a

Inicialmente, se calculan los parámetros de cada recta y se almacenan en un vector:

[ ]

[ ]

Se puede observar que en el algoritmo los parámetros tomarán el valor cero en los

tramos donde las variables X o Y sean constantes.

Después se calcularán los tiempos de llegada al final de cada recta y se almacenarán en

un vector:

[ ]

Posteriormente, se elegirá el tipo de recta y sus ecuaciones según entre que intervalos

del vector tiempos está el tiempo de simulación.

Ejemplos:

Si : La recta elegida será la primera con los parámetros y .

Si : La recta elegida será la tercera.

Si : La recta elegida será la sexta con los parámetros y .

Durante cada tramo recto el ángulo de guiñada se mantendrá constante y será el que

proporcione que la trayectoria forme 45 ˚con los ejes del vehículo.

3.2.3 Selección de dos puntos para cada recta

Para minimizar el tiempo en el que vehículo cumple el objetivo, cada tramo recto estará formado por

los dos puntos que presenten menor distancia entre ellos.

Este proceso se realiza mediante el siguiente algoritmo en el que x e y son los vectores de

puntos por donde debe pasar la señal antena. Este vector incluye las coordenadas del origen de

referencia.

Este proceso se puede observar en el algoritmo de la ilustración 3.9

45 | P á g i n a

No

Sí

No

Sí

Inicio

Leer x,y,n

𝑣𝑚𝑖𝑛 ← 𝑑 ; 𝑑𝑠 ← ∞

𝑦𝑠𝑎𝑣𝑒 ← 𝑦𝑠 ; 𝑥𝑠𝑎𝑣𝑒 ← 𝑥𝑠

𝑦𝑠 ← 𝑦𝑣𝑚𝑖𝑛 ; 𝑥𝑠 ← 𝑥𝑣𝑚𝑖𝑛

𝑦𝑣𝑚𝑖𝑛 ← 𝑦𝑠𝑎𝑣𝑒 ; 𝑥𝑣𝑚𝑖𝑛

← 𝑥𝑠𝑎𝑣𝑒

𝑠 ← ; 𝑑 ← ∞

;;

r b í l ó

¿ 𝑠 𝑛?

𝑑𝑘 ← 𝑠𝑞𝑟𝑡 𝑥𝑘 − 𝑥𝑠− ^ 𝑦𝑘 − 𝑦𝑠− ^

¿ 𝑘 𝑛?

𝑘 ← 𝑘

𝑠 ← 𝑠

fin

𝑘 ← 𝑠

46 | P á g i n a

x Vector que contiene la coordenada X. Dato

y Vector que contiene la coordenada de Y .Dato

k Contador. Variable auxiliar

s Contador. Variable auxiliar

n Dimensión del vector x e y. Dato

d Resultado. Vector de distancia.

min(d) Función que calcula un vector cuya primera componente es el valor más pequeño del

vector y la segunda componente es el índice del vector. Su argumento es el vector de

distancia.

dk Componente k-ésima del vector d.

ysave Variable auxiliar para almacenar la componente s del vector y.

xsave Variable auxiliar para almacenar la componente s del vector x.

Ilustración 3.9. Algoritmo que ordena los puntos según la cercanía de unos con otros.

47 | P á g i n a

3.3 Planificación de trayectorias circunferenciales unidas mediantes trayectorias rectilíneas.

Durante este apartado se va analizar la posibilidad de cumplir el objetivo mediante

trayectorias circunferenciales unidas con tramos rectilíneos.

Para este tipo de planificación, se usará la propiedad de que una circunferencia está

constituida por tres puntos.

A continuación, se explicarán diferentes cálculos a tener en cuenta en el algoritmo y

finalmente se desarrollará dicho código.

48 | P á g i n a

3.3.1 Obtención de parámetros de la circunferencia

En esta planificación, será necesario obtener la ecuación de la circunferencia dado tres

puntos.

Para ello, se utilizarán las siguientes ecuaciones:

√

En el siguiente diagrama de flujo (Ilustración 3.10) ,se calculan los parámetros de una

circunferencia dados tres puntos:

49 | P á g i n a

No

Sí

Inicio del cálculo de R,xc,yc,x0,y0

como generadorcircu(x,y)

𝑘 ←

¿𝑘 ?

𝑘 ← 𝑘

𝑐𝑘 ← − 𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘 𝑦𝑘 ∙ 𝑦𝑘

𝑎𝑘 ← 𝑥𝑘

𝑎𝑘 ← 𝑦𝑘

𝑎𝑘 ←

𝑥𝑐 ← −𝑏

𝑦𝑐 ← −𝑏

𝑅 ← 𝑠𝑞𝑟𝑡 −𝑏 𝑥𝑐𝑥𝑐 𝑦𝑐𝑦𝑐

𝑥 𝑥𝑐 − 𝑅

𝑦 𝑦𝑐

Cálculo de la matriz B

A*B=C

fin

50 | P á g i n a

x Argumento.Vector de posición x de puntos que forman la circunferencia.

y Argumento.Vector de posición y de puntos que forman la circunferencia.

Primer vector columna de la matriz A que contiene el vector x.

Primer vector columna de la matriz A que contiene el vector y.

Primer vector columna de la matriz A que contiene un vector de unos.

c Resultado. Vector C.

B Resultado. Vector B.

xc Resultado de la función generadorcircu(x,y). Centro x de la circunferencia

yc Resultado de la función generadorcircu(x,y).Centro y de la circunferencia

R Resultado de la función generadorcircu(x,y).Radio de la circunferencia.

x0 Resultado de la función generadorcircu(x,y).

x0 Resultado de la función generadorcircu(x,y).

Ilustración 3.10. Algoritmo que define circunferencias

51 | P á g i n a

3.3.2 Ecuaciones paramétricas de la circunferencia

Las circunferencias que recorrerá el vehículo no tripulado serán implementadas en el código

mediante sus expresiones paramétricas:

( l ⁄ )

( l ⁄ )

La circunferencia será recorrida en sentido horario y a partir del punto que tenga menor

valor de X e Y, por lo que se usarán las siguientes ecuaciones:

l l

( l

⁄ )

( l

⁄ )

siendo:

: velocidad angular que lleva el vehículo.

l : ángulo que indica la posición anterior por la que paso el vehículo.

l : parámetro que aparece en las ecuaciones de las circunferencias y que indica la

posición de la circunferencia en que se encuentra el vehículo.

3.3.3 Velocidad angular del quadrotor

Si el quadrotor realiza una trayectoria circunferencial, su velocidad angular inicial será de

0.01 deg/s e irá aumentando hasta llegar a la velocidad angular deseada . A partir de este instante,

el quadrotor mantendrá dicha velocidad angular durante 360 deg para que la señal de la antena

llegue a todos los puntos deseados. Al final del trayecto, cuando el vehículo haya terminado de dar

una vuelta con la velocidad angular deseada ( - , el quadrotor disminuirá su velocidad angular

hasta que sea w= 0.01 deg/s.

En la Ilustración 3.11, se representa el perímetro de la circunferencia:

52 | P á g i n a

Ilustración 3.11. Distribución de velocidades angulares a lo largo de la circunferencia

Según entre que tiempos esté el tiempo de simulación, se tendrán los siguientes parámetros:

Si : La velocidad angular será de 0.01 deg/s.



Si - : La velocidad angular será de - deg/s.

Si : el quadrotor habrá recorrido n grados de la circunferencia y la velocidad

angular será la máxima indicada por el algoritmo, deg/s.

Si : el vehículo habrá dado una vuelta completa a la circunferencia volviendo al

punto inicial a la velocidad máxima indicada en el algoritmo deg/s

Si - : En este caso el dron ha dado una vuelta completa y ha girado n grados más,

a partir de este tiempo la velocidad angular pasa de deg/s a - deg/s

Si - - : La velocidad angular será de 0.02 deg/s.

Si - : La velocidad angular será de 0.01 deg/s.

Se puede deducir de lo anterior:

De a : la velocidad angular aumentará hasta la que se dese que vuele, .

De a - : El quadrotor dará una vuelta completa a la velocidad angular deseada, ,

para que la señal de la antena pasa por donde los sensores que están asociados a esa

circunferencia.

De - a : El vehículo no tripulado disminuirá su velocidad angular hasta 0.01 deg/s ,

para que no sea brusco el cambio que experimente sus ángulos cuando empiece a

realizar una trayectoria rectilínea.

La velocidad angular a la que se quiere que vuele el quadrotor vendrá dada por las

siguientes expresiones:

r

r

53 | P á g i n a

siendo:

: la velocidad a la que vuela el quadrotor.

la velocidad angular del vehículo no tripulado.

: El radio de vuelo.

3.3.4 Elección del radio de curvatura de vuelo

Si el quadrotor realiza una trayectoria circunferencial de radio R, el lugar geométrico de

todos los puntos donde incide la antena será otra circunferencia del mismo centro, y cuyo radio

dependerá de la velocidad del vehículo, la altura y el ángulo de guiñada.

Durante la trayectoria circunferencial, el ángulo de guiñada elegido será el que haga que la

distancia que hay entre el centro de la circunferencia en el plano Z=0, y el punto donde

incide la antena en el suelo sea lo mayor posible.

Para cumplir el objetivo de que la señal de la antena llegue a los sensores inalámbricos, se

buscará el radio de vuelo necesario que haga que el radio de la circunferencia formada por los

puntos que la señal de antena incide en el suelo , sea el de la circunferencia que pase por las

coordenadas donde se encuentran los sensores inalámbricos.

Para visualizar lo anterior, se usará la Ilustración3.12, donde la línea de color azul representa

la circunferencia formada por la proyección de los puntos de centro de gravedad del vehículo (R') y

la de color rojo el lugar geométrico de los puntos que la señal de la antena incide en el suelo (Rp').

Ilustración 3.12.Circunferencias en el plano Z=0

54 | P á g i n a

En el gráfico anterior se puede observar que es la distancia que hay entre la

proyección del centro de gravedad de un punto, y el punto donde la señal de la antena incide en

ese momento para un ángulo de guiñada que haga que la distancia que hay entre el centro de la

circunferencia y el punto donde incide la señal de la antena sea lo mayor posible.

La distancia d’ dependerá de la velocidad angular de la circunferencia y de la altura.

En la ilustración 3.13 y en la ilustración 3.14 , se puede observar como evolucionaría la

distancia d’ en función del radio de vuelo del quadrotor para una altura y una velocidad

angular determinada.

Ilustración 3.13. Relación de d’ y R’ para w= 3 deg/s

55 | P á g i n a

Ilustración 3.14. Relación de d’ y R’ para w= 5 deg/s

Observando los gráficos anteriores, se puede deducir que la relación

es prácticamente

constante para una altura y una velocidad angular determinada. Por esta razón, se supondrá está

relación conocida para varias velocidades angulares y alturas en el algoritmo de planificación.

A partir de las siguientes ecuaciones, se obtiene el radio de vuelo necesario :

(

)

56 | P á g i n a

3.3.5 Selección de circunferencias

Para elegir las circunferencias por las que va a volar el quadrotor, se pueden usar los

siguientes métodos:

Buscar las circunferencias que pasen por el mayor número de puntos.

Seleccionar las circunferencias constituidas por los tres puntos más cercanos.

El primer método es más largo y tedioso que la segunda alternativa, por lo que ha optado

por desarrollar el segundo método que será desarrollado a lo largo de este capítulo.

En este método se cumplirá el criterio que se puede observar siguiente ilustración 3.15.

Ilustración 3.15.Criterio de distancia elegido

57 | P á g i n a

El primer punto que formará la circunferencia será el que esté a menos distancia

( ) de la anterior circunferencia , o del eje de referencia si es el de la primera

circunferencia formada.

El segundo punto que formará la circunferencia será que el que tenga menos

distancia respecto del primer punto .

El tercer punto que forma la circunferencia será el que tenga menor la media

(

) entre la distancia al primer punto y al segundo

punto .

Se deberá comprobar que el tercer punto no esté alineado con los dos anteriores. En el caso

de que esté alineado se cogerá el siguiente punto que tenga menor la media entre la distancia

al primer y al segundo punto.

Una vez formada la circunferencia con los tres puntos anteriores, se comprobará si los otros

puntos restantes pasan por esta circunferencia para que no participe en el proceso de

obtención del resto de circunferencias.

Todas las circunferencias formadas estarán unidas mediantes trayectorias rectas como queda

reflejado en la Ilustración.3.16. El quadrotor pasará primero por la circunferencia formada por los

puntos { } y luego por la formada por los puntos { }

Ilustración 3.16.Representación del movimiento en las trayectorias

58 | P á g i n a

Se formará una circunferencia cuyo centro estará en la mediatriz de la distancia que hay

entre esos dos puntos .(Ilustración 3.17)

Ilustración 3.17. Criterio en el caso de que queden dos puntos sin asignar circunferencia

Si se han formado todas las circunferencias y queda un punto restante:

Se unirá mediante una trayectoria recta: ese punto y la última circunferencia por la que

vuela el quadrotor (Ilustración 3.18)

59 | P á g i n a

Ilustración 3.18.Criterio en el caso de que quede un punto sin asignar circunferencia

3.3.6 Cálculo de tiempos de trayectorias.

Una vez obtenidas las circunferencias y las rectas que cumplen el objetivo, se procede a

calcular los diferentes tiempos que se tarda en llegar a cada tipo de trayectoria. Según entre que

valores de estos tiempos esté el tiempo de simulación , se podrá seleccionar la trayectoria adecuada a

ese momento.

En la Ilustración 3.19 aparece una serie de trayectorias con su tiempo asignado:

Ilustración 3.19. Serie de trayectorias con tiempos asociados

60 | P á g i n a

Se elegirá el tipo trayectoria según los tiempos entre los que esté el tiempo de

simulación:

Ejemplos:

Si : La ecuaciones elegidas serán las asociadas a la primera recta.

Si : La ecuaciones elegidas serán las asociadas a la primera

circunferencia.

Si : La ecuaciones elegidas serán las asociadas la segunda recta.

Si : La ecuaciones elegidas serán las asociadas a la última

circunferencia.

El tiempo a calcular será el de llegar a una circunferencia o a una recta según sea par o

no el índice k de su componente del tiempo:

Si es par: Es el de llegada de la siguiente recta.

Si es impar: Es el de llegada de la siguiente circunferencia.

Las expresiones para calcular el tiempo que se tarda en cada trayectoria son las siguientes:

Tiempo en llegar a la nueva circunferencia :

Tiempo en llegar a la nueva recta:

←

En el caso de que falte un punto al que no le ha sido asignado una circunferencia: Este

punto será unido a la última circunferencia mediante una trayectoria recta, y el parámetro

auxiliar activadorleft1 pasará a tomar el valor 1, como se indica en la Ilustración 3.20. Esto dará

lugar a un aumento del vector de tiempos, que ahora contendrá el tiempo que se tarda en llega a

este último punto.

Ilustración 3.20.Serie de trayectorias con recta que une el último punto

61 | P á g i n a

En el caso de que falten dos puntos por asignar una circunferencia: Estos puntos

formarán una circunferencia y se unirán a la anterior circunferencia mediante una recta como se

indica en la siguiente ilustración 3.21.

Si esto ocurriera el valor de activadorleft2 pasaría de ser cero a uno, lo que indicaría que

el vector de tiempos aumentaría para tener en cuenta está ultima circunferencia.

Ilustración 3.21.Serie de trayectorias con las trayectorias que unen los dos últimos punto

3.3.7 Algoritmo A continuación, se desarrollará el algoritmo que implementará lo expuesto en los

apartados anteriores. Dicho algoritmo consta de los siguientes pasos:

Calcular inicialmente el número de circunferencias (grupo de tres puntos) que existen.

Calcular el punto más cercano al eje de referencia P1.( Ilustración 3.22)

Calcular el punto más cercano al punto anterior P2.( Ilustración 3.23)

Calcular el punto que tenga la menor media en la distancia a los puntos anteriores a P3.

(Ilustración 3.24)

Comprobar que el tercer punto no está alineado con los dos anteriores.

En caso de estar alineado, se cogerá como P3 el siguiente punto que tenga menor media

en la distancia a los puntos anteriores.

Una vez seleccionado los tres puntos, se obtendrán los parámetros de la circunferencia

que pasa por esos puntos: , . , .

A continuación, se calcula la velocidad angular de la circunferencia, así como el radio

de vuelo . (Ilustración 3.25)

Se comprueba si algún punto pertenece a la circunferencia calculada. (Ilustración 3.26)

Se crea un nuevo vector de puntos en el que se excluye los puntos que pertenecen a la

circunferencia calculada anteriormente. (Ilustración 3.27)

62 | P á g i n a

Se calcula de nuevo el número de circunferencias que pueden formar los puntos del

nuevo vector, y se repiten los mismos pasos hasta que el vector de puntos sea menor

que tres.

Si el vector de puntos es de dimensión dos, se calculará la distancia entre eso dos puntos

y el radio de la nueva circunferencia que será la mitad de esa distancia. A continuación

se calculará el radio de vuelo asociado a la nueva circunferencia . El centro de la

circunferencia se calculará con las siguientes expresiones: (Ilustración 3.28)

( )

( )

63 | P á g i n a

Si el vector de punto es de dimensión uno, se guardarán las coordenadas de ese

punto, el cual más tarde se unirá mediante una trayectoria recta a la última circunferencia.

Cuando se haya llegado a la última circunferencia posible, se habrá finalizado este código.

Las salidas de este código serían un vector , , y los siguientes valores si los

hubiera : , , .

Se calculan los puntos , , que son los puntos en los que se cambia de trayectoria

circunferencial a trayectoria recta.

Una vez calculadas todas las circunferencias, se obtendrá la trayectoria de la recta que lleva

hacia esas circunferencias. Para ello se calculan los parámetros m y n de cada recta.

(Ilustración 3.29).

Los primeros parámetros m1 y n1 serán los de la recta que une el origen de coordenadas con

la primera circunferencia y se tendrá en cuenta si la recta es paralela a algunos de los ejes.

El resto de rectas que se calcularán serán entre los puntos de la circunferencia que presentan

menor valor de x: . Esto se puede observar en la (Ilustración 3.30)

A continuación. se calculan los diferentes tiempos en que se recorre cada tramo y se

almacenan en un vector.

Para finalizar, se seleccionará el tipo de trayectoria según entre que valores del vector de

tiempo esté el tiempo de simulación.

64 | P á g i n a

No

Sí

Sí No

Inicio del cálculo del primer

punto que forme parte de la

circunferencia

𝑘 ←

¿𝑘 𝑛?

𝑘 ← 𝑘

𝑣𝑚𝑖𝑛 ← 𝑑

𝑘 ← 𝑣𝑚𝑖𝑛

Leer x,y,n,x0,y0,m

𝑑𝑘 ← 𝑠𝑞𝑟𝑡 𝑥𝑘 − 𝑥 𝑚− ^ 𝑦𝑘 − 𝑦 𝑚− ^

¿𝑚 ?

𝑑𝑘 ← 𝑠𝑞𝑟𝑡 𝑥𝑘 ^ 𝑦𝑘 ^

fin

65 | P á g i n a

x Vector que contiene la coordenada X. Dato.

y Vector que contiene la coordenada de Y .Dato.

k Contador. Variable auxiliar.

n Dimensión del vector x e y. Dato.

m Índice de circunferencia formada. Dato.

d Resultado. Vector distancia respecto a anterior circunferencia o eje de referencia.


vector d y la segunda componente es el índice del vector. Su argumento es el vector de

distancia.

k1 Índice de la posición del primer punto de la circunferencia en el vector x o y.

x0 Vector que contiene las coordenadas X de menor valor de cada circunferencia.

y0 Vector que contiene las coordenadas Y del menor valor X de cada circunferencia.

Ilustración 3.22 .Algoritmo que calcula el primer punto de la circunferencia

66 | P á g i n a

No

Sí

Inicio del cálculo del segundo


circunferencia

𝑘 ←

¿𝑘 𝑛?

𝑘 ← 𝑘

𝑑𝑘 ← ∞




Leer x,y,n,k1

𝑑𝑘 ← 𝑠𝑞𝑟𝑡 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘 ^ 𝑦𝑘 − 𝑦𝑘 ^

fin

67 | P á g i n a


y Vector que contiene la coordenada de Y. Dato.




d Resultado. Vector distancia de puntos respecto al primero.


vector d y la segunda componente es el índice del vector. Su argumento es el vector

de distancia.

k2 Índice de la posición del segundo punto de la circunferencia en el vector x o y.

Ilustración 3.23.Algoritmo que calcula el segundo punto de la circunferencia

68 | P á g i n a

No

Sí

Inicio del cálculo del tercer


circunferencia

𝑘 ←

¿𝑘 𝑛?

𝑘 ← 𝑘

𝑑𝑘 ← ∞

𝑑𝑘 ← ∞




Leer x,y,n,k1,k2

𝑑 𝑘 ← 𝑠𝑞𝑟𝑡 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘 ^ 𝑦𝑘 − 𝑦𝑘 ^

𝑑 𝑘 ← 𝑠𝑞𝑟𝑡 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘 ^ 𝑦𝑘 − 𝑦𝑘 ^

𝑑 𝑘 ← 𝑑 𝑘 𝑑 𝑘

⁄

Comprobar si el punto está en línea recta con los dos

anteriores y si el caso es afirmativo pasará su distancia

𝑑 𝑘 a ser infinita

fin

69 | P á g i n a

Ilustración 3.24.Algoritmo que calcula el tercer punto de la circunferencia


y Vector que contiene la coordenada Y .Dato.




d13 Resultado. Vector distancia respecto del primer punto que forma la circunferencia

d23 Resultado. Vector distancia respecto del segundo punto que forma la circunferencia

d3 Resultado. Vector que calcula la media entre las distancias al primer y segundo punto.


vector d y la segunda componente es el índice del vector. Su argumento es el vector de

distancia.

k2 Índice de la posición del segundo punto de la circunferencia en el vector x o y. Dato.

k3 Índice de la posición del tercer punto de la circunferencia en el vector x o y.

70 | P á g i n a

No

Sí

No Sí

Inicio de obtención de velocidad

angular y radio de vuelo para una

circunferencia del quadrotor

𝑠 ←

𝑘 ←

¿𝑘 𝑛?

Leer R,n,w,v,relacionrd

𝑅𝑛 𝑅𝑝/

𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑟𝑑

¿𝑤𝑛 ≥ 𝑤𝑠?

𝑘 ← 𝑘

𝑠 ← 𝑠

𝑅 ← 𝑅𝑛

𝑤 ← 𝑤𝑠

𝑤𝑛 ← 𝑣

𝜋

𝑤𝑛 ← 𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟 𝑤𝑛

fin

71 | P á g i n a

Ilustración 3.25 Algoritmo que calcula el radio de curvatura de vuelo y la velocidad

angular

Rp Radio que forman los puntos que inciden la antena en el suelo. Dato.

R Radio de vuelo del quadrotor.

w Vector de velocidades angulares de mayor a menor y cuyos valores son

enteros.

relacionrd Vector decreciente que contiene la relación R/d con respecto a su

velocida angular.

v Velocidad de vuelo del quadrotor

k Contador.

s Contador.

floor(x) Función que cálculo la parte entera de un valor numérico y cuyo

argumento es x.

n Número de componentes del vector w y relacionrd.

Rn Variable auxiliar para almacenar datos.

wn Variable auxiliar para almacenar datos.

72 | P á g i n a

No

Sí

No

Sí s

Inicio del cálculo del vector Ks que

contiene los puntos que están dentro

de la circunferencia

𝑘 ←

¿𝑘 𝑛?

𝑘 ← 𝑘

Leer x,y,n,m,xc,yc,R

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟 ← 𝑥𝑘 − 𝑥𝑐𝑚 𝑦𝑘 − 𝑦𝑐𝑚 − 𝑅𝑚

𝑘𝑠𝑘 ←

¿ 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟 𝑎𝑏𝑠 − ?

𝑖𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒 ← 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒

𝑘𝑠𝑘 ← 𝑘

fin

73 | P á g i n a

Ilustración 3.26 .Algoritmo que calcula el vector Ks que indica los puntos que están dentro

de la circunferencia.




xc Posición x del centro de la circunferencia .

yc Posición y del centro de la circunferencia .

R Radio de la circunferencia. Dato.

compr Comprobador de si un punto está dentro de la circunferencia. Variable entera.

inside Número de puntos que están dentro de la circunferencia,

Ks Resultado. Vector nulo, en el que el valor de la componente coincidirá con su

índice, y con el índice del vector x o y , del punto que pertenece a la

circunferencia.

m Índice del número de la circunferencia. Dato.


74 | P á g i n a

No

Sí

Sí No

Inicio de la obtención del nuevo

vector xp yp excluyendo los puntos

de las circunferencias ya formadas

𝑠 ←

𝑘 ←

¿𝑘 𝑛?

Leer x,y,ks,n

𝑙 ← 𝑘 − 𝑠

¿𝑘 𝑘𝑠?

𝑘 ← 𝑘

𝑠 ← 𝑠 𝑥𝑝𝑙 ← 𝑥𝑘

𝑦𝑝𝑙 ← 𝑦𝑘

fin

75 | P á g i n a

Ilustración 3.27.Algoritmo que calcula los nuevos vectores excluyendo puntos que ya han

formado circunferencias.





s Contador. Variable auxiliar.

l Contador. Variable auxiliar.

Ks Resultado. Vector nulo, en el que el valor de la componente coincidirá con su

índice, y con el índice del vector x o y del punto que pertenece a la circunferencia.

Dato.

xp Resultado. Nuevo vector x en el que se excluyen los puntos que ya han formado

circunferencias.

yp Resultado. Nuevo vector x en el que se excluyen los puntos que ya han formado

circunferencias.

76 | P á g i n a

Inicio del cálculo de la

circunferencia en el caso de que

queden dos puntos

Leer x,y,R_d

𝑑 ← 𝑠𝑞𝑟𝑡 𝑥 − 𝑥 ^ 𝑦 − 𝑦 ^

𝑅𝑙 ← 𝑑 ⁄

𝑅 ← 𝑅𝑙 ∙ ( 𝑅_𝑑⁄ )

−

𝑣𝑚𝑎𝑥 ← 𝑥

𝑣𝑚𝑖𝑛 ← 𝑥

𝑥𝑐𝑙 ←(𝑥 𝑣𝑚𝑎𝑥 − 𝑥 𝑣𝑚𝑖𝑛 )

𝑥 𝑣𝑚𝑖𝑛

𝑦𝑐𝑙 ←(𝑦 𝑣𝑚𝑎𝑥 − 𝑦 𝑣𝑚𝑖𝑛 )

𝑦 𝑣𝑚𝑖𝑛

𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟_𝑙𝑒𝑓𝑡 ←

𝑅𝑚 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟_𝑙𝑒𝑓𝑡 ← 𝑅

𝑥𝑐𝑚 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟_𝑙𝑒𝑓𝑡 ← 𝑥𝑐𝑙

𝑦𝑐𝑚 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟_𝑙𝑒𝑓𝑡 ← 𝑦𝑐𝑙

fin

77 | P á g i n a



R_d Relación

. Dato.

d Resultado. Distancia que hay entre dos puntos.

Rl Índice de la posición del segundo punto de la circunferencia en el vector x

o y. Dato.

R2 Resultado. Radio de vuelo.

xcl Resultado. Posición x del centro de la circunferencia.

ycl Resultado. Posición y del centro de la circunferencia.

min(d) Función que busca componente mínima de un vector.

max(d) Función que busca la componente máxima de un vector.

vmin Vector, cuya primera componente es el valor más pequeño x o y, y la

segunda la componente

vmax Vector, cuya primera componente es el valor máximo del vector x o y, y la

segunda la componente

Activador_left2 Variable auxiliar indica que quedan solo dos puntos.

78 | P á g i n a

Ilustración 3.28.Algoritmo que calcula los parámetros en el que caso de que queden dos

puntos restantes

79 | P á g i n a

Sí No

No Sí

Leer x0,y0

Inicio del cálculo de los parámetros

de la recta que llevan a la primera

circunferencia

¿ 𝑥 ?

𝑚 ←

𝑛 ← 𝑚 ←

𝑦

𝑥

𝑛 ← −𝑚 ∙ 𝑥 𝑦

¿𝑦 ?

𝑚 ←

𝑛 ←

fin

80 | P á g i n a

Ilustración 3.29.Algoritmo que calcula los parámetros de la recta que lleva a la primera

circunferencia

x0 Vector que contiene las coordenadas X de menor valor de cada circunferencia. Dato.

y0 Vector que contiene las coordenadas Y del menor valor X de cada circunferencia. Dato.

m1 Resultado. Pendiente de la primera recta.

n1 Resultado. Parámetro n de la primera recta.

81 | P á g i n a

No

Sí

Sí No

No Sí

Leer x0,y0,xf,yfnc,m1,n1

Inicio del cálculo de parámetros de

las rectas que conectan con el resto

de circunferencias

𝑘 ←

¿𝑘 𝑛𝑐?

¿ 𝑥 𝑘 𝑥𝑓𝑘− ?

𝑚𝑘 ←

𝑛𝑘 ← 𝑚𝑘 ←

𝑦 𝑘−𝑦𝑓𝑘−

𝑥 𝑘−𝑥𝑓𝑘−

𝑛𝑘 ← −𝑚𝑘 ∙ 𝑥 𝑘 𝑦 𝑘

¿ 𝑦 𝑘 𝑦𝑓𝑘− ?

𝑚𝑘 ←

𝑛𝑘 ←

𝑘 ← 𝑘

fin

82 | P á g i n a

Ilustración 3.30 .Algoritmo que calcula los parámetros de las diferentes rectas que unen a

las circunferencias

x0 Vector que contiene las coordenadas X de menor valor de cada circunferencia. Dato.

y0 Vector que contiene las coordenadas Y del menor valor X de cada circunferencia. Dato.

m1 Pendiente de la primera recta. Dato.

n1 Resultado. Parámetro n de la primera recta. Dato.

m Resultado. Vector de pendientes de las diferentes rectas.

n Resultado. Vector de parámetros n de las diferentes rectas.


nc Número de circunferencias. Dato.

xf Vector que contiene las coordenadas x del punto de la circunferencia en el que se cambia a

tramo recto.

yf Vector que contiene las coordenadas y del punto de la circunferencia en el que se cambia a

tramo recto.

83 | P á g i n a

3.4 Comparación de ambos métodos

A continuación, se procederá a hacer dos ejemplos mediante los dos métodos expuestos

anteriormente presentando su tiempo y los errores numéricos que existen:

El primer ejemplo será para una velocidad de 20 m/s, una altura de 30 metros y con las

siguientes coordenadas para los sensores:

Usando en el primer método se tarda en cumplir el objetivo: un tiempo de 90 segundos.

En la ilustración 3.31 se puede observar como los ejes del quadrotor están encima de los

puntos por donde tiene que pasar el vehículo. En el gráfico, la línea verde será la ruta por donde

pasa el vehículo, los puntos negros del plano Z=0 serán los puntos donde se encuentran los sensores

y los asteriscos azules del plano Z=0 representan los puntos de incidencia de la señal de la antena

más cercanos a ellos.

Ilustración 3.31.Gráfica de simulación para el primer ejemplo con el primer método

84 | P á g i n a

Los errores vendrán dados por la distancia que hay entre los asteriscos azules y los círculos

negros:

rr r

Mediante el segundo método, se tardar un tiempo de 75 segundos en cumplir el objetivo, y

se puede observar en la Ilustración 3.32.

Ilustración 3.32. Gráfica de la simulación para el primer ejemplo con el segundo método

Los errores mediante este método son los siguientes:

rr r

85 | P á g i n a

El siguiente ejemplo será con los siguientes vectores de coordenadas para los sensores

a una velocidad de 20 m/s y a una altura de 30 metros:

Usando el segundo método el tiempo que se tarda en cumplir el objetivo es de 240

segundos. (Ilustración 3.33)

Ilustración 3.33.Gráfica de la simulación para el segundo ejemplo con el segundo método

86 | P á g i n a

Los errores que presenta el método serán los siguientes:

rr r

rr r

rr r

Si se usa el primer método se tarda en cumplir el objetivo 143.3684 segundos

aproximadamente. (Ilustración 3.34)

Siendo los errores:

rr r

Ilustración 3.34 .Gráfica de la simulación para el segundo ejemplo con el primer método

87 | P á g i n a

Se puede deducir que en el primer ejemplo, el método rectilíneo es más lento en cumplir el

objetivo que con el método que mezcla tramos circunferenciales y rectos. Sin embargo para el

segundo ejemplo es mucho más rápido el primer método que el segundo.

3.5 Conclusiones

A lo largo de este capítulo, se han desarrollado diferentes tipos de planificaciones para que

se cumpla el objetivo de que la señal de la antena del quadrotor pasé por los puntos donde están

situados los sensores de manera eficiente.

La primera alternativa consiste en usar trayectorias rectilíneas para de ir de un punto a otro.

En este método se ha elegido el orden de los puntos de los sensores de forma que haya la menor

distancia posible entre cada punto.

En la segunda alternativa el vuelo del quadrotor para cumplir el objetivo será mediante

tramos rectilíneos y circunferenciales. El criterio de este método será que las circunferencias

seleccionadas sean las constituidas por los tres puntos, donde están situados los sensores, más

cercanos.

Se ha deducido que dependiendo de la distribución de las coordenadas de los sensores, es

más eficiente un método u otro.

88 | P á g i n a

4 EXPERIMENTOS

4.1 Introducción

A lo largo de este capítulo, se realizará una descripción del sistema, y se desarrollarán una

serie de experimentos tanto de control como de planificación, con los que se analizará la robustez

del sistema, así como la influencia que tiene la altura o la velocidad del vehículo en el sistema.

Los experimentos de planificación se centrarán en la planificación que mezcla trayectorias

rectas y circunferenciales ya que es la más compleja.

4.2 Descripción del sistema

En la Ilustración 4.1 se puede observar el sistema completo:

Ilustración 4.1. Esquema del Sistema

En el esquema anterior se puede distinguir los siguientes bloques:

PLANIFICADOR: En este bloque se calcularán los valores de referencia X, Y

e Z, para que el vehículo cumpla el objetivo.

SUBSISTEMA DE X Y CABECEO: Este subsistema se puede observar en la

Ilustración 4.2.

89 | P á g i n a

Ilustración 4.2. Estructura cascada de X y

SUBSISTEMA DE BALANCEO E Y: En la Ilustración 4.3 se puede ver

reflejado este subsistema.

Ilustración 4.3 Estructura cascada de

SUBSISTEMA DE Z

PLANIFICADOR DE LA GUIÑADA: Este bloque consiste en la obtención

del ángulo de guiñada que cumpla en el objetivo. En el caso de que se realice

una trayectoria circunferencial, el ángulo de guiñada será el que haga que el

punto de incidencia de la señal de la antena esté más alejado del centro de la

circunferencia proyectado en el plano Z=0.

SUBSISTEMA DE GUIÑADA

REPRESENTAR VALORES: En este bloque, se calcularán los puntos de

incidencia de la señal en la antena en el suelo y se representará gráficamente el

movimiento de la antena en ese instante.

90 | P á g i n a

4.3 EXPERIMENTOS DE CONTROL

4.3.1 ERRORES

A lo largo de este apartado, se analizarán los errores de los diferentes controladores.

4.3.1.1 Errores en el control de X y

Dada una referencia de X recta, se obtienen las siguientes salidas del subsistema X- :

(Ilustración 4.4 e Ilustración 4.5).

Ilustración 4.4 Salida de X

91 | P á g i n a

Ilustración 4.5 Salida de θ

Para el control de X se obtiene un error cuadrático medio de:

y para el control de :

4.3.1.2 Errores en el control de Y e Φ

A continuación, se representan las salidas del subsistema de Y e Φ, para una referencia de

Y sinoidal. (Ilustración 4.6 e Ilustración 4.7).

92 | P á g i n a

Ilustración 4.6 Salida de Y

Ilustración 4.7 Salida de Φ

93 | P á g i n a

El error cuadrático medio del control en Y es:

y el error cuadrático medio para Φ es:

4.3.1.3 Errores del controlador del subsistema Z

Para una referencia del subsistema Z de valor 20 constante, se obtiene la siguiente señal

como salida del subsistema: (Ilustración 4.8).

Ilustración 4.8 Salida de Z

El error cuadrático medio del controlador en el subsistema Z es:

94 | P á g i n a

4.3.1.4 Errores del controlador del subsistema Ψ

Si en el subsistema de guiñada , se introduce una referencia de valor 3 constante, se

obtendrá como salida la siguiente gráfica (Ilustración 4.9).

Ilustración 4.9 Salida de Ψ

El error cuadrático medio del controlador del subsistema ψ es:

Se puede afirmar que en todos los subsistemas anteriores el control elegido es el

adecuado ya que se obtienen valores de errores cuadráticos pequeños, y por tanto se conseguirá

la señal deseada.

95 | P á g i n a

4.3.2 EFECTO DEL RUIDO

En esta sección, se estudiará como afectará el ruido a cada uno de los subsistemas.

4.3.2.1 Efecto del ruido en el subsistema X y

En primer lugar, se analizará el efecto de un ruido gaussiano en el lazo interno del

subsistema X y θ (Ilustración 4.10).

Ilustración 4.10 Ruido del sistema X- θ

En las siguientes gráficas, se representan las variables de salida en el caso de que no

haya ruido (Ilustración 4.11 e Ilustración 4.12) y para ruidos gaussianos del lazo interno con

diversas varianzas (De Ilustración 4.13 a Ilustración 4.16).

96 | P á g i n a

Ilustración 4.11 Salida sin ruido


97 | P á g i n a

Ilustración 4.13 Salida del lazo interno para una varianza de

Ilustración 4.14 Salida para una varianza de

98 | P á g i n a

Ilustración 4.15 Salida del lazo interno para una varianza de

Ilustración 4.16 Salida para una varianza de

99 | P á g i n a

Observando las figuras anteriores, se puede deducir que el sistema X-θ será poco

sensible al ruido gaussiano del lazo interno.

4.3.2.2 Efecto del ruido en el subsistema de Y e Φ

Se va a analizar el efecto de un ruido gaussiano en el lazo interno del subsistema Y-Φ

(Ilustración 4.17).

Ilustración 4.17 Ruido en el subsistema Y-Φ

A continuación, se representan las variables de salida para el caso en que no haya ruido

(Ilustración 4.18 e Ilustración 4.19) y para ruidos gaussianos de diferentes varianzas (De Ilustración 4.20 a Ilustración 4.23)


100 | P á g i n a

Ilustración 4.19 Salida Φ sin ruido

Ilustración 4.20 Salida Φ del subsistema Y e Φ para una varianza de

101 | P á g i n a

Ilustración 4.21 Salida Y del subsistema Y e Φ para una varianza de

Ilustración 4.22 Salida Φ del subsistema Y e Φ para una varianza de

102 | P á g i n a

Ilustración 4.23 Salida Y del subsistema Y e Φ para una varianza de

Al igual que ocurría en el sistema acoplado anterior, se puede afirmar que el sistema es

poco sensible al ruido del lazo interno.

4.3.2.3 Efecto del ruido en el subsistema Z

A continuación, se representan las salidas del subsistema Z en el caso de que no haya

ruido (Ilustración 4.24), y en el caso de que existan ruidos de diferentes varianzas para una

referencia determinada (De Ilustración 4.25 a Ilustración 4.26).

103 | P á g i n a

Ilustración 4.24 Salida z sin ruido

Ilustración 4.25 Salida Z para un ruido gaussiano de 0.01

104 | P á g i n a

Ilustración 4.26 Salida Z para un ruido gaussiano de 0.1

Observando las gráficas, se puede afirmar que el ruido puede ser sensible en el sistema a

partir de una varianza de 0.1.

105 | P á g i n a

4.3.2.4 Influencia del ruido en el subsistema de guiñada

Se han obtenido las siguientes gráficas de la variable de salida del subsistema de

guiñada para el caso en que no intervenga ruido (Ilustración 4.27) y para el caso en el que haya

ruidos gaussianos de diferentes varianzas (De Ilustración 4.28 a Ilustración 4.30)

Ilustración 4.27 Salida ψ sin ruido

Ilustración 4.28 Salida ψ para ruido gaussiano de 1

106 | P á g i n a



Se puede deducir que a partir de una varianza de valor 20 es importante el efecto del

ruido en el subsistema.

107 | P á g i n a

4.4. EXPERIMENTOS DE PLANIFICACIÓN

4.4.1 EXPERIMENTOS DE PLANIFICACIÓN PARA DISTINTAS

DISTRIBUCIONES DE SENSORES

Ejemplo I

En el siguiente ejemplo se pueden observar dos concentraciones de puntos donde están

situados los sensores (Ilustración 4.31):

Ilustración 4.31 Posición del quadrotor cuando la señal incide en los sensores

Si se aplica la planificación que mezcla trayectorias rectilíneas y circunferenciales, se

obtiene que el quadrotor tiene que realizar cinco trayectorias circunferenciales para recoger los

datos de todos los sensores.

En la Ilustración 4.32, se puede observar que la circunferencia que tiene el mayor radio

está asociado a dos puntos pertenecientes al grupo concentrado de sensores más cercanos al

origen y a un punto de la concentración de sensores que están más alejada del origen.

108 | P á g i n a

Ilustración 4.32 Circunferencias asociadas a cada sensor

rr r

rr r

rr r

rr r

rr r

109 | P á g i n a

Ejemplo II

En este ejemplo (Ilustración 4.33), los puntos de sensores por los que debe pasar la señal de la

antena son los siguientes:

Ilustración 4.33 Distribución de puntos ejemplo II

Aplicando la planificación desarrollada, se volverán a tener cinco circunferencias como pasó en el

ejemplo I, pero en este caso no hay ninguna circunferencia que comparta puntos de ambas

concentraciones (Ilustración 4.34).

110 | P á g i n a

Ilustración 4.34 Circunferencias asociadas a cada sensor ejemplo II

rr r

rr r

rr r

rr r

rr r

Ejemplo III

En el siguiente ejemplo, se puede observar tres sensores cercanos que están alineados y

otro sensor más alejado (Ilustración 4.35).

Ilustración 4.35 Distribución de puntos ejemplo III

En este caso, se puede observar en la Ilustración 4.36 que aunque los tres puntos más

cercanos son los que están alineados, la circunferencia que deberá realizar el quadrotor será la

asociada a los dos primeros puntos alineados y al punto que no está alineado.

111 | P á g i n a

Al tercer punto alineado irá el quadrotor mediante una trayectoria rectilínea tras haber

realizado la trayectoria circunferencial.

Ilustración 4.36 Circunferencia asociadas a sensores ejempo III

Los errores en este caso serán:

rr r

rr r

112 | P á g i n a

4.4.2 EFECTO DE LA ALTURA

A continuación, se va analizar cómo influye la altura en la planificación que mezcla

trayectorias rectilíneas y curvilíneas. Para ello, se realizarán simulaciones a diferentes alturas

con las siguientes coordenadas:

{ }

En este caso el radio de la circunferencia que pasa por todos estos puntos es de 127.48

metros y deberá coincidir con el radio, , que forman los puntos que incide la señal de la

antena cuando se está realizando una maniobra circunferencial a un determinado radio de vuelo,

R.

En el capítulo 3, se vio que el radio de vuelo, R, que cumpla el objetivo dependerá de la

altura y de la velocidad angular del vehículo, ya que la relación R/d’ permanece prácticamente

constante para una altura y una velocidad angular determinada.

La relación entre R y vendrá dada por la siguiente expresión:

donde K es un valor conocido, que dependerá de la altura y la velocidad angular del

quadrotor.

La velocidad angular y el radio de vuelo mantendrán la siguiente relación:

Para analizar el efecto de la altura, se supondrá que la velocidad del quadrotor es

/ , quedando las siguientes expresiones que dependen de la velocidad angular y el

radio de vuelo, y donde K es conocida para una velocidad angular determinada:

113 | P á g i n a

4.4.2.1 Z= 20 metros

Para esta altura, el radio de vuelo necesario para cubrir todos los puntos sería de

121.445 metros y la velocidad angular es de 9 deg/s como se puede observar en la Ilustración

4.37.

Ilustración 4.37 Efecto de la altura a 20 metros

En este caso se tarda en cumplir el objetivo un tiempo de 70.6 segundos y se obtienen

los siguientes errores para cada uno de los cuatros puntos donde está situados los sensores:

rr r

114 | P á g i n a

4.4.2.2 Z= 30 metros

A una altura de 30 metros, el radio de vuelo que cubriría todos los puntos sería de

118.64 metros y la velocidad angular es de 9 deg/s como queda reflejado en la Ilustración 4.38.


El quadrotor cumplirá el objetivo en 73.79 segundos en estas condiciones y el método

presentará los siguientes errores:

rr r

115 | P á g i n a

4.4.2.3 Z= 40 metros

Si la altura es de 40 metros, el radio de la circunferencia que cubrirá todos los puntos

será de 113.53 metros y la velocidad angular es de 10 deg/s, como aparece en la Ilustración

4.39.


En este caso se cumplirá el objetivo en 76.45 segundos, presentando los siguientes

errores:

rr r

116 | P á g i n a

4.4.2.4 Conclusión

En el siguiente cuadro, quedan representando los resultados del ejemplo anterior para

varias alturas:

Altura(m) Tiempo(s) en

cumplir el

objetivo

Radio de

vuelo (m) wt (deg/s) K (wt, h)

20 70.6 121.445 9 0.9527

30 73.79 118.64 9 0.9307

40 76.45 113.53 10 0.8906

En este ejemplo, se puede observar que a medida que aumenta la altura disminuye el

radio de vuelo necesario para realizar el objetivo, pero aumenta el tiempo de cumplir el

objetivo.

En el siguiente cuadro, aparece el valor de K para varias alturas y varias velocidades

angulares:

K(wt=1 deg/s) K(wt=4deg/s) K(wt=8deg/s) K(wt=10deg/s) K(wt=12 deg/s)

Z=20 m 0.9933 0.9905 0.9622 0.9421 0.9185

Z=30m 0.9914 0.9857 0.9444 0.9156 0.8826

Z=40m 0.9868 0.9812 0.9272 0.8906 0.8493

117 | P á g i n a

Se puede deducir del cuadro anterior que a medida que aumenta la velocidad angular,

menor será el valor de K, y por tanto menor será el valor de radio de vuelo necesario para

cumplir el objetivo.

También, se puede afirmar que a medida que aumenta la altura mayor será el valor de

K y menor el radio de vuelo necesario para satisfacer el objetivo, ya que habrá más distancia

entre la proyección del centro de gravedad del vehículo en el plano del suelo, y el punto en el

suelo donde está incidiendo la señal de la antena en ese momento.

4.4.3 EFECTOS DE LA VELOCIDAD

A continuación, se va a analizar cómo influye la velocidad en la planificación. Para ello,

se van a realizar varios experimentos con diferentes velocidades.

En esos experimentos, se supondrá que el quadrotor se encuentra a una altura constante

de 30 metros, y las coordenadas de los puntos donde están situados los sensores inalámbricos

serán los siguientes:

{ }

Las maniobras que deberá hacer el quadrotor para cubrir esos puntos será una

circunferencia que cubra los tres primeros ya que son los más cercanos y más tarde se realizará

una trayectoria rectilínea que pasará por el último punto. Esto se puede visualizar en la

Ilustración 4.40.

Ilustración 4.40 Posición del quadrotor cuando la señal incide en los sensores

118 | P á g i n a

En el siguiente cuadro aparecen diferentes velocidades para está simulación junto con el

tiempo que tarda en cumplir el objetivo:

Se puede afirmar observando el cuadro anterior, que a medida que aumenta la velocidad

del vehículo disminuirá el tiempo en cumplir el objetivo.

4.4.4 EFECTOS DE RUIDO

Para finalizar, se analizará la influencia del ruido en la planificación desarrollada. Para ello,

se partirá de la siguiente distribución de puntos:

{ }

Velocidad

(m/s)

Tiempo(s) en

cumplir el

objetivo

20 99.7051

18 100.5061

16 101.5352

14 102.8940

12 104.7536

10 106.42

119 | P á g i n a

Ilustración 4.41 Distribución de sensores en los que se analizará el ruido

Se han obtenido los siguientes resultados para diferentes ruidos gaussianos y diversas

varianzas:

Sin ruido Ruido en Z

Ruido en Z

Ruido en Z

Ruido en Z

Error punto 1 0.3928 0.3928 0.3930 0.3931 0.3931

Error punto 2 0.4158 0.4161 0.4163 0.4168 0.4170

Error punto 3 0.1296 0.1298 0.1301 0.1302 0.1314

Error punto 4 0.0026 0.0026 0.0026 0.0026 0.0026

120 | P á g i n a

Sin ruido Ruido en ψ

Ruido en ψ

Ruido en ψ

Ruido en ψ

Error punto 1 0.3928 0.3937 0.3948 0.3978 0.3998

Error punto 2 0.4158 0.4168 0.4191 0.4263 0.4510

Error punto 3 0.1296 0.1297 0.1297 0.1299 0.1302

Error punto 4 0.0026 0.0026 0.0025 0.0026 0.0027

Sin ruido Ruido en X-θ

Ruido en X-θ

Ruido en X-θ

Ruido en X-θ

Error punto 1 0.3928 0.3928 0.3928 0.3928 0.3927

Error punto 2 0.4158 0.4158 0.4158 0.4158 0.4157

Error punto 3 0.1296 0.1296 0.1296 0.1296 0.1296

Error punto 4 0.0026 0.0026 0.0026 0.0026 0.0027

Sin ruido Ruido en Y-ф

Ruido en Y-ф

Ruido en Y-ф

Ruido en Y-ф

Error punto 1 0.3928 0.3928 0.3929 0.3929 0.3929

Error punto 2 0.4158 0.4158 0.4158 0.4159 0.4157

Error punto 3 0.1296 0.1296 0.1296 0.1296 0.1297

Error punto 4 0.0026 0.0026 0.0026 0.025 0.027

Se puede deducir de los resultados anteriores, que el quadrotor seguirá cumpliendo el

objetivo para diversos ruidos, ya que los errores seguirán siendo igual de pequeños.

121 | P á g i n a

5 CONCLUSIONES

5.1. Conclusiones

El objetivo de este proyecto ha sido planificar de forma eficiente el vuelo de un quadrotor

para que el vehículo cumpla el objetivo de que la señal de su antena pase por las coordenadas donde

se encuentran los sensores inalámbricos de un terreno.

Para realizar lo anteriormente expuesto, en primer lugar se linealizó el modelo cinemático

y dinámico del quadrotor, donde se pudo observar que existían acoplamientos de las variables (X, )

e (Y, ) en las ecuaciones, mientras que la posición Z y el ángulo de guiñada no presentaban

acoplamiento con ninguna variable en dichas expresiones.

Las variables elegidas para ser controladas en este proyecto han sido la posición X Y e

Z, y el ángulo de guiñada. Se ha optado por controlar de manera discreta ya que es más eficaz

que de forma analógica, con un tiempo de muestreo de 0.05 segundos.

Se han considerado en este proyecto, las hipótesis de que el quadrotor se mueve a altura

constante, y que la antena se encuentra en el eje –Z del vehículo.

La primera planificación elegida ha sido aquella en la que el vuelo del quadrotor

consista en trayectorias rectas por las cuales el vehículo llegará a los puntos donde están

situados los sensores y pasara por encima del ellos, ya que si el vuelo es rectilíneo la antena del

quadrotor apuntará hacia abajo. El criterio elegido para seleccionar el orden de sobre cual punto

debe pasar el quadrotor, ha consistido, en primer lugar, ir hacia el punto más cercano el origen,

y de ahí en adelante el quadrotor irá al punto que presente menos distancia con el último por el

que pasó.

La segunda planificación elegida consiste en un vuelo formado por trayectorias

rectilíneas y circunferenciales. Se ha demostrado que si el quadrotor realiza una trayectoria

circunferencial, los puntos que son incididos por la antena en el suelo, formarán parte de otra

circunferencia cuyo centro es el mismo que el de la proyección en el suelo del centro de la

circunferencia con la que vuela el vehículo.

122 | P á g i n a

Los siguientes pasos han formado parte de esta planificación:

Se supone conocida la relación entre el radio de vuelo, y el radio de la circunferencia

que forma los puntos que son incididos por la señal de la antena en el suelo cuando se

está realizando una maniobra circunferencial a una altura y una velocidad angular

determinada.

Utilizando lo anterior, se buscarán circunferencias por la que pase los puntos donde se

encuentren los sensores. Se agruparán en grupo de tres todos los puntos donde está

situados los sensores, y para cada uno de esos grupos se definirá una circunferencia que

pase por ellos.

El criterio elegido para seleccionar los tres puntos de sensores que van a determinar

cada una de las circunferencias, será elegir los puntos que se encuentren más cercanos.

En la elección de estos tres puntos, se ha tenido en cuenta que estos tres puntos no estén

alineados. Si pasará esto, se elegiría el siguiente punto más cercano para formar el

nuevo grupo de tres.

Si alguno de los puntos está dentro de la circunferencia que forma un grupo de tres

puntos diferente al suyo, este punto dejará de formar parte del grupo de tres puntos en el

que se encuentra, y se volverá a realizar una nueva distribución de grupos de tres para

los puntos que a los que todavía no se le ha sido asignado una circunferencia.

Si queda un punto sin asignar circunferencia, el quadrotor irá en línea recta hacia él y

pasará por encima de él, tras recorrer la última circunferencia. De esta manera la señal

llegará a este punto.

Si se han asignado circunferencias a todos los puntos excepto a dos, a estos dos puntos

se le asignará una última circunferencia, cuyo radio será la mediatriz del segmento que

une estos dos puntos.

Mediante varias simulaciones, se ha demostrado que dependiendo de la distribución de

los puntos donde están los sensores, interesará más usar una planificación u otra. También, se

comprobó que los errores con ambos métodos son aceptables.

Mediante una serie de experimentos, se han obtenido las siguientes conclusiones:

Los errores cuadráticos medios son pequeños en cada subsistema y el planificador

cumple el objetivo para diferentes tipos de ruidos.

Para una velocidad angular determinada, al aumentar la altura de vuelo, menor es el

radio de vuelo necesario para el que la señal pasa por todos los puntos deseados.

123 | P á g i n a

Se ha comprobado que al aumentar la velocidad del vehículo, disminuirá el tiempo

empleado en la simulación.

5.2. Ampliaciones del proyecto

Una primera ampliación del proyecto sería combinar las dos planificaciones desarrolladas

en un solo código, de manera que se usará una u otra según interese dada una serie de coordenadas

de sensores.

Una forma de evitar algún obstáculo durante el vuelo del quadrotor, como puede ser un

pájaro, podría ser mediante un cambio de altura. Para ello, sería necesario incluir en el código el

cambio de trayectoria necesario del plano X Y que deberá realizar el vehículo para cumplir el

objetivo en el caso de que cambie la altura en un instante determinado.

Una de las planificaciones que se ha desarrollado en el proyecto, consistía en que el

quadrotor realizaba trayectorias circunferenciales, para que la señal de la antena pasara por tres

sensores del terreno. De forma similar, sería interesante estudiar la posibilidad de que el quadrotor

hiciera una trayectoria elíptica que permitiera que la señal de la antena llegará a cuatros sensores, ya

que un elipse está definida por cuatro puntos.

Desde el punto de vista de control, una posible ampliación sería usar técnicas de control más

avanzadas para que mejore el comportamiento de control en caso de que haya otras perturbaciones

externas, como ráfagas de viento. En los sistemas acoplados, se tendría que estudiar y corregir el

efecto de un ruido en el lazo externo, porque dicho ruido puede afectar a la variable de salida del

lazo interno.

Sería importante incluir el efecto del viento en las expresiones del sistema y comprobar si el

planificador seguiría cumpliendo el objetivo.

Para facilitar el uso del programa al usuario, se podría crear una interfaz gráfica, GUI, que

permitiría al usuario modificar parámetros y/o indicar las coordenadas de sensores de forma

cómoda, en lugar de tener que abrir ficheros.

124 | P á g i n a

REFERENCIAS

[1] Ponds, Paul & Mahony, Robert & Corke, Peter; Modelling and Control of a Quad-Rotor

Robot, Australian National University, Brisbane, 2006.

[2] Mahony, Robert & Kumar, Vijay & Corke, Peter; Multirotor Aerial Vehicles: Modeling,

Estimation and Control of Quadrotor; Robotics & Automation Magazine, Vol. 19

No.3, 2012.

[3] A. Tayebi and S. McGilvray. Attitude stabilization of a four-rotor aerial robot. 43rd IEEE

Conference on Decision and Control. December 14-17, 2004. Atlantis, Paradise Island,

Bahamas.

[4] S. Bouabdallah and R. Siegwart. Advances in Unmanned Aerial Vehicles, chapter 6 -

Design and Control of a Miniature Quadrotor, pages 171–210. Springer, Netherlands,

2007.

[5] Vianna Raffo, Guilherme; Robust Control Strategies for a QuadRotor Helicopter, Tesis

doctoral, Universidad de Sevilla, 2011.

125 | P á g i n a

PROYECTO FIN DE CARRERA INGENIERÍA AERONÁUTICA...

Documents

Transcript of PROYECTO FIN DE CARRERA INGENIERÍA AERONÁUTICA...