Proyecto Fin de Carrera Ingeniería...

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i Equation Chapter 1 Section 1 Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Aeronáutica “Cálculo de las tensiones en el borde de la entalla bajo carga proporcionalAutor: Carmen Pérez Saavedra Tutor: Carmen Madrigal Sánchez Dept. Ingeniería Mecánica y de Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2015

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Equation Chapter 1 Section 1

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

“Cálculo de las tensiones en el borde de la entalla bajo

carga proporcional”

Autor: Carmen Pérez Saavedra

Tutor: Carmen Madrigal Sánchez

Dept. Ingeniería Mecánica y de Fabricación

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

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Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

“Cálculo de las tensiones en el borde de la entalla

bajo carga proporcional”

Autor:

Carmen Pérez Saavedra

Tutor:

Carmen Madrigal Sánchez

Profesora Ayudante Doctora

Dept. de Ingeniería mecánica y de Fabricación

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

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Proyecto Fin de Carrera: “Cálculo de las tensiones en el borde de la entalla bajo carga

proporcional”

Autor: Carmen Pérez Saavedra

Tutor: Carmen Madrigal Sánchez

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes

miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2015

El Secretario del Tribunal

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A mi familia y amigos.

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Agradecimientos

En primer lugar quiero agradecer a mi tutora Carmen Madrigal Sánchez, quien ha sido mi guía durante este camino, y quien ha tenido la paciencia, y ha brindado el apoyo necesario durante el mismo.

Y especialmente a mi familia y amigos más cercanos, por apoyarme siempre y sin los que habría sido imposible pasar todos éstos años.

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Resumen

El objetivo de este proyecto será el estudio de las tensiones en el borde de la entalla de una probeta

sometida a distintos estados de carga realizando dos análisis principales, uno en estado puramente

elástico y otro en estado elasto-plástico.

A lo largo del proyecto se desarrollará todo el camino seguido hasta la obtención de las gráficas y

resultados representativos del problema.

Para la realización de este proyecto se hará uso del programa ABAQUS tanto como para el estudio

en si, como para la representación de la mayoría de resultados. De igual forma y como soporte se

hará uso de programas como MATLAB para la exposición de resultados.

Y por último, una vez obtenido todo el conjunto de datos se realizará un análisis de los mismos.

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Índice

AGRADECIMIENTOS VII

RESUMEN VIII

ÍNDICE IX

ÍNDICE DE TABLAS IX

ÍNDICE DE FIGURAS IX

NOTACIÓN IXI

1 INTRODUCCIÓN Y CONTENIDOS 14

1.1 INTRODUCCIÓN 14 1.2 ALCANCE Y OBJETIVOS 19 1.3 MEDIOS EMPLEADOS 19

2 ANÁLISIS DE TENSIONES POR ELEMENTOS FINITOS 21

2.1 MATERIAL Y PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 21 2.2 INTRODUCCIÓN A ABAQUS 22 2.3 DEFINICIÓN DEL MODELO UTILIZANDO LA HERRAMIENTA ABAQUS 28 2.4 HERRAMIENTAS PARA LA VISUALIZACIÓN DE RESULTADOS 33

3 ANÁLISIS ELÁSTICO DE TENSIONES Y DEFORMACIONES EN EL BORDE DE LA ENTALLA 34

4 ANÁLISIS PLÁSTICO DE TENSIONES Y DEFORMACIONES EN EL BORDE DE LA ENTALLA 41

4.1 MÉTODO GENERALIZADO PARA ESTIMAR TENSIONES Y DEFORMACIONES PLÁSTICAS EN EL BORDE DE LA

ENTALLA 4.1.1 APROXIMACIÓN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 41 4.2 RESULTADOS 43

CONCLUSIONES 45

BIBLIOGRAFÍA 46

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Índice de Tablas

Tabla 2.1-1. Propiedades del material 21

Tabla 2.2-1. Definición de esfuerzos 22

Tabla 2.2-2. Unidades utilizadas 28

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Índice de Figuras

Figura 1.1-1. Ejemplos de fallo por fatiga. 15

Figura 1.1-2. Modos de apertura de grieta 17

Figura 1.1-3. Relación longitud de grieta y el rango de tensiones 18

Figura 2.1-1. Curva de tensión-deformación para 2024-T3 bajo diferentes condiciones de carga. 21

Figura 2.2-1. Sistema cartesiano de coordenadas 22

Figura 2.2-2. Jerarquía de análisis en ABAQUS 24

Figura 2.2-3. Pantalla de inicio de preprocesador 24

Figura 2.2-4. Cuadro de diálogo Create Part 25

Figura 2.2-5. Pantalla de inicio del visualizador 26

Figura 2.2-6. Query information 27

Figura 2.3-1. Probeta a estudio 28

Figura 2.3-2. Probeta cilíndrica 28

Figura 2.3-3. Create Partition 29

Figura 2.3-4. Partition realizado en la probeta 30

Figura 2.3-5. Vista general del mallado 30

Figura 2.3-6. Mallado en el borde de la entalla 31

Figura 2.3-7. Constrain en el extremo superior 31

Figura 2.3-8. Constrain en el extremo inferior 32

Figura 2.4-1. Create Path 33

Figura 2.4-2. Path. Node list 33

Figura 3-1. Path en el espesor y radial desde el borde de entalla 34

Figura 3-2. Resultados para von Mises, max. principal, y tensión tangencial máxima carga pura torsión 35

Figura 3-3. Resultados tensionales sobre el espesor de la entalla para carga pura axial (a) y torsional (b) 37

Figura 3-4. Resultados tensionales tomados radialmente desde el borde de la entalla para carga pura axial (a)

y torsional (b) 38

Figura 3-5. Resultados para la distribución de tensiones equivalentes de von Mises alrededor del borde de la

entalla en la superficie exterior de la probeta 39

Figura 3-6. Factor de concentración de tensiones equivalentes frente a ratio de tensión axial nominal y

tensión tangencial. Localización de las tensiones máximas 40

Figura 4.1-1. Definición de las tensiones y deformaciones en el borde de la entalla 42

Figura 4.2-1. Estimación de la regla de Neuber comparada con los resultados de FEA para tensión normal

frente a tensión equivalente tanto para tracción como para torsión 44

Figura 4.2-1. Estimación de la regla de Neuber comparada con los resultados de FEA para deformación

normal frente a deformación equivalente tanto para tracción como para torsión 45

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Notación

σ = Tensión

ε = Deformación

σp = Tensión equivalente

εp = Deformación equivalente

Kt = Factor de concentración de tensiones

Ktq = Factor de concentración de tensiones equivalente

λ = Ratio de tensiones

S = Tensión nominal

S* = Tensión nominal modificada

e* = Deformación nominal modificada

E = Módulo de Young

ν = Coeficiente de Poisson

G = Módulo elástico transversal

γ = Tensión tangencial

K = Coeficiente resistencia al endurecimiento

n = Exponente resistencia al endurecimiento

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1 INTRODUCCIÓN Y CONTENIDOS

1.1 Introducción

Podríamos tomar como definición de Fatiga (Pook 1983): "fallo de un metal sometido a carga

repetitiva o variable de cualquier otra forma, pero cuyo valor máximo no es lo suficientemente alto

como para causar fallo si se aplica individualmente".

Diversos artículos y libros estiman que al menos la mitad de los fallos mecánicos son debidos a un

proceso de fatiga. La mayoría de estos fallos se produce de manera inesperada, llegando a provocar

situaciones de gran riesgo. Afectan a muy diversos elementos, desde microchips o huesos hasta las

grandes estructuras.

Figura 1.1-1. Ejemplos de fallo por fatiga.

El fallo por fatiga es consecuencia de la aparición de pequeñas grietas en el material y de su

posterior crecimiento a través del mismo reduciendo su capacidad portante hasta provocar la

rotura. La comprensión de los mecanismos que conducen al fallo por fatiga es de vital importancia

para un correcto diseño de los diversos elementos ingenieriles.

Los primeros fallos importantes debido a tensiones cíclicas se producen en la industria ferroviaria

sobre 1840, fecha sobre la cual se acuña también el término fatiga, introducido para describir fallos

producidos por cargas repetitivas.

En Alemania, entre los años 1850 y 1870 August Wöhler realiza ensayos de fatiga en laboratorio

relacionados con fallos en ejes de ferrocarriles. Se considera el primer estudio sistemático sobre

fatiga. Así como también introduce el concepto de curva S-N y de límite de fatiga. Su trabajo fue

ampliado por otros autores como Gerber que estudia la influencia de la tensión media o

Bauschinger que muestra como el límite elástico se modificaba tras aplicar cargas de signo

opuesto, que le llevó a definir conceptos como el endurecimiento y ablandamiento en metales.

A principios del siglo XX, Ewing y Humfrey emplean el microscopio óptico para estudiar la

naturaleza del proceso de fatiga. Observan bandas de deslizamiento y la formación de grietas así

como su evolución con el número de ciclos.

En 1920 Griffith, publica sus resultados sobre fractura frágil en vidrios encontrando que su

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resistencia dependía del tamaño de las grietas existentes en el sólido y estableciendo así las bases

de la Mecánica de fractura. En 1937 Neuber, estudia el efecto del gradiente de tensiones en entallas

e introduce el concepto de volumen elemental, en el que considera que la tensión media en un

pequeño volumen en el borde de la entalla es más importante que el valor máximo de tensión en la

entalla. En el año 1945 Miner formula el criterio lineal de acumulación de daño por fatiga basado

en los trabajos de Palmgren. Actualmente se conoce como la regla de Palmgren-Miner. En estos

años investigadores como Weibull introducen parámetros estadísticos que permitieron el estudio

probabilístico de la fatiga.

En los años 50 Irwin implanta el concepto de Factor de Intensidad de Tensiones, considerándose la

base de la Mecánica de Fractura Elástica Lineal y las posteriores teorías de crecimiento de grieta

basadas en el campo de tensiones elástico alrededor de la grieta.

En los años 60 varios autores analizaron el comportamiento a bajo número de ciclos. Se estudió la

fatiga controlada por deformaciones y Manson y Coffin proponen una relación entre la amplitud

de deformación plástica y la vida a fatiga. Estas ideas junto al desarrollo de la regla de Neuber

componen las bases del análisis de fatiga por deformación en la entalla. También en los años 60

Paris muestra que la velocidad de crecimiento de grieta podía ser descrita usando el rango de

variación del Factor de Intensidad de Tensiones.

En 1970 Elber analiza la importancia del cierre de grieta en el proceso de crecimiento de la misma.

Propuso que el factor que controlaba el crecimiento no era el rango del factor de intensidad de

tensiones real sino un rango del factor de intensidad de tensiones efectivo.

En los años 80 y 90 diversos autores estudian el problema de la fatiga multiaxial y Brown y Miller

propusieron el método del plano crítico. También se estudia el problema de grietas pequeñas, en

las que la velocidad de crecimiento era superior a la predicha con la ley de Paris. En 1985

Hoffmann y Seeger estudian la aproximación de fórmulas válidas para tensiones en nodos

uniaxiales a estados de tensiones multiaxiales estableciendo una relación entre la carga aplicada y

la tensión y deformación equivalentes. Para ello aplican la teoría de la plasticidad en combinación

con un supuesto acerca de la tensión o la deformación.

En los últimos años el desarrollo la tecnología computacional ha permitido un gran avance en la

simulación de cargas reales, el análisis de grandes sólidos con elementos finitos y la creación de

nuevos modelos de estimación de vida a fatiga.

El estudio de la fatiga es fundamentalmente un análisis del crecimiento ante carga cíclica de las

grietas en un material. La rotura por fatiga de un componente o de una máquina implica un

mecanismo que lleva a que un pequeño defecto del material se propague hasta una grieta

provocando el fallo final. La formación de las microgrietas iniciales a partir de las que se inicia el

proceso de fatiga se produce generalmente en defectos de la superficie del material, tales como

marcas superficiales, arañazos, inclusiones, etc. En un caso sencillo de carga cíclica en tracción-

compresión la grieta recorre unos cuantos granos en la dirección cercana a la de máxima tensión

tangencial, unos 45º respecto a la carga aplicada, constituyendo lo que se denomina la Etapa I de la

propagación de la grieta. Tras atravesar varios granos la grieta continua propagándose en el plano

perpendicular a la carga, constituyendo la Etapa II del crecimiento de grieta. En esta segunda etapa

la microestructura pierde su preponderancia y el proceso puede ser descrito con mecánica continua.

La Etapa I junto a la Etapa II constituyen el proceso completo de crecimiento de grieta. Es difícil

definir cuándo se produce la transición de una etapa a otra y el periodo de vida que ocupa cada una

de ellas. Es errónea la creencia de que sólo la Etapa II es decisiva en la

evolución de una grieta. Para cargas diferentes a las de tracción-compresión es frecuente observar

una preponderancia de la Etapa I e incluso que una Etapa II de crecimiento inicial derive en un

crecimiento de grieta según la Etapa I.

En la actualidad existen tres formas de análisis con las que se cubren prácticamente todos los

casos de comportamiento a fatiga. Las diferencias entre ellos estriban en el tamaño de la grieta y en

el campo de tensiones-deformaciones en el borde de grieta. Estos tres tipos son:

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Mecánica de la fractura elástica-lineal (MFEL)

Mecánica de la fractura elasto-plástica (MFEP)

Mecánica de la fractura microestructural (MFM)

Las técnicas de la mecánica de la fractura elástica-lineal (MFEL) se basan en relacionar la

velocidad del crecimiento de grieta con el campo tensional elástico lineal en el borde de grieta.

Ello sólo está justificado en el estudio de crecimiento de grietas grandes, entendiéndose por grieta

grande aquella cuyo tamaño es varias veces mayor que el tamaño microestructural característico

del material (ej. el tamaño de grano) y el tamaño de la zona de deformación plástica delante de

la grieta. Se considera que la grieta se propaga en un medio continuo y homogéneo.

Como consecuencia de las cargas a las que se somete cualquier componente mecánico, es probable

que en el mismo haya presente grietas y que eventualmente alguna de estas se propague hasta el

fallo. Existen algunas herramientas que permiten describir el comportamiento del material ante la

presencia de una grieta. La Mecánica de Fractura Lineal elástica permite describir el campo de

tensiones y deformaciones cercanos al vértice de la grieta.

La mecánica de fractura ha sido estudiada desde hace largo tiempo. Irwin (1957) publicó

soluciones de campo de tensiones en el frente de grieta asociadas con los tres modos principales

de aplicación de carga. Estos tres modos son:

-Modo I: las caras de la grieta se separan una respecto a la otra. También denominado

modo de tracción (tensile mode).

-Modo II: las caras de la grieta deslizan perpendicularmente al borde la misma. También

denominado modo de deslizamiento tangencial en el plano (sliding or in-plane shear mode).

-Modo III: las caras de la grieta deslizan paralelas al borde la misma. También

denominado modo de deslizamiento tangencial fuera del plano (tearing or anti-plane shear mode).

Figura 1.1-2. Modos de apertura de grietas

Cuando el tamaño de la zona plástica alrededor del vértice de la grieta es comparable con el

tamaño de la propia grieta, es decir, cuando se viola la condición de Plastificación a pequeña

escala, el uso del factor de intensidad de tensiones (FIT) no es apropiado para describir el campo

local de tensiones. En este caso, la distribución de tensiones en el frente de la grieta se debe

calcular haciendo uso de la teoría de la plasticidad, cuya aplicación al estudio de la fractura de

materiales se conoce como Mecánica de la Fractura Elasto-Plástica (MFEP).

Como ya ha sido comentado anteriormente el uso de la MFEL requiere que la zona afectada

plásticamente por la grieta sea pequeña con respecto a la propia grieta y que la longitud de la grieta

sea considerablemente mayor que el tamaño microestructural característico del material.

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Estas condiciones no se cumplen si las grietas son muy pequeñas, como es típicamente el caso de

grietas creciendo en componentes de máquinas tales como rodamientos o engranajes en los que,

dada su cuidadosa manufactura, no hay defectos iniciales macroscópicos que actúen como grietas

ya iniciadas, como sería el caso de soldaduras defectuosas en estructuras metálicas. En los

componentes de máquinas citados las grietas son del tamaño de la microestructura del material.

En este caso no puede suponerse que se produzca plasticidad a pequeña escala ni que el material

alrededor de la grieta sea continuo y homogéneo.

Figura 1.1-3. Modos de apertura de grietas

En la Figura 1.1-3 se muestra una relación Log-Log entre la longitud de grieta y el rango de

tensiones mínimo necesario para provocar fallo por fatiga, presentado por primera vez por

Kitagawa y Takahashi (1976).

Uno de los puntos más frecuentes de iniciación de grietas en fatiga son las entallas. Por lo que una

gran cantidad de los modelos existentes han sido inicialmente desarrollados para este tipo de

geometrías.

Su presencia provoca cambios sustanciales en el comportamiento del material en cuanto a

tensiones, deformaciones, plasticidad local, crecimiento de grietas y finalmente en su vida a fatiga.

Desde el inicio de la fatiga el análisis de las entallas es considerado un problema básico y ha

ocupado gran cantidad de estudios teóricos y experimentales.

Existen dos trabajos clásicos, realizados por Neuber y Peterson, que tratan de explicar y predecir el

comportamiento de componentes con entallas sometidos a fatiga. Ambos autores consideraron que

la evolución a fatiga de un sólido entallado no dependía de la tensión máxima en el vértice de la

entalla sino del valor medio de la tensión en un cierto volumen de material ubicado delante de la

entalla. La rotura del material se producía si la tensión en este volumen elemental era superior al

límite de fatiga del material. Neuber propuso simplificar el cálculo de esta tensión media en el

volumen reduciéndolo a la tensión media a lo largo de una línea de una cierta longitud que partía

del vértice. Peterson redujo el cálculo a la tensión en un solo punto a una cierta distancia del

vértice.

Las formulas propuestas por Neuber y Peterson han sido utilizadas con éxito en muchas

aplicaciones ingenieriles aunque presentan algunas limitaciones. Estas expresiones están basadas

en resultados experimentales para aceros y aluminios, de modo que su aplicación a otros tipos de

materiales se debería realizar con cierta precaución.

Por último, para cuerpos con concentraciones de tensiones de geometría arbitraria es difícil

establecer los valores de algunos parámetros de las ecuaciones como el radio o la profundidad de la

entalla.

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1.2 Alcance y Objetivos

Debido a la gran cantidad de componentes ingenieriles que son sometidos a cargas multiaxiales en

sus vidas, el estudio de la fatiga multiaxial de los materiales con entallas es de gran importancia

práctica. Además, debido al relativamente bajo peso del aluminio, es muy usado en industrias

clave como son la automoción o la industria aeroespacial de tal forma que sus aleaciones son muy

usadas en la actualidad. Por tanto vemos como prioritario ser capaz de comprender el

comportamiento ante fatiga multiaxial de este material.

El análisis se divide en dos bloques fundamentales, en el primer estudio imperará el estado elástico

puro y serán aplicadas cargas arbitrarias axiales y de torsión al modelo para evaluar la distribución

de tensiones alrededor de la entalla. En segundo estudio realizado la predicción de tensiones

locales y deformaciones usando la regla de Neuber serán comparadas con los resultados del

análisis usando el métodos de los elementos finitos para comportamiento elástico-plástico.

1.3 Medios Empleados

El método de los elementos finitos (MEF) ha adquirido un importante papel en la resolución de

problemas de ingeniería permitiendo resolver casos que hasta hace poco tiempo, era impensable

resolver por los métodos matemáticos tradicionales de cálculo.

Una de las tareas propias del ingeniero es predecir el comportamiento de los sistemas para

proceder a su diseño de la forma más eficaz y eficiente posible. La solución que teníamos hasta

ahora era crear prototipos del sistema, ensayarlos en el laboratorio y de forma iterativa

modificarlos hasta alcanzar nuestro objetivo. Esta técnica es costosa y suponía además un periodo

largo de desarrollo del producto. Ante esta dificultad, se estudia la posibilidad de crear modelos

matemáticos mediante el uso de conceptos físicos, químicos y matemáticos que definieran el

comportamiento del cuerpo.

Dicho modelo es un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas representan magnitudes que permiten

describir el comportamiento del cuerpo. Para poder predecir el comportamiento del mismo, se

deben resolver las ecuaciones de manera cuantitativa. Estas ecuaciones tienen difícil manejo y es

aquí donde surge el método de los elementos finitos.

El método de los elementos finitos (MEF) permite realizar un modelo matemático de cálculo del

sistema más fácil y económico así como una resolución más sencilla de las ecuaciones

tradicionales.

El MEF es, sin embargo, un método no exacto de cálculo debido a todas las hipótesis básicas de

las que parte el mismo. Este método es conocido desde hace bastante tiempo, pero ha sido en los

últimos años cuando ha sufrido un gran desarrollo gracias a los avances tecnológicos e

informáticos, existiendo en la actualidad gran número de programas a disposición del usuario que

permiten realizar cálculos con elementos finitos. Hay que tener en cuenta que para manejar estos

programas de manera correcta es necesario un profundo conocimiento, no sólo del material con el

que se trabaja, sino también de los principios del MEF. Sólo así se podrá garantizar que los

resultados obtenidos con este método se ajustan a la realidad.

El principal medio utilizado ha sido ABAQUS FEA. El software de elementos finitos conocido

como ABAQUS fue desarrollado a finales de la década de los setenta por David Hibbitt, Dr. Bengt

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Karlsson y P. Sorensen. Hoy en día, ABAQUS se utiliza en diversos sectores industriales tales

como el nuclear, automóvil, aeroespacial, eólico, biomedicina e industrias de consumo.

El conjunto ABAQUS FEA dispone de los siguientes módulos:

ABAQUS/CAE

ABAQUS/Standard

ABAQUS/Explicit

ABAQUS/CFD

ABAQUS/CAE constituye una herramienta eficaz y muy avanzada para crear modelos de

elementos finitos de forma interactiva, visualizar resultados de los análisis y la automatización de

procesos mediante scripts o subrutinas en lenguaje Python.

Los usuarios de ABAQUS/CAE pueden crear el modelo de elementos finitos a partir de geometría

creada en el propio programa o importarla directamente a partir de los formatos CAD más

comunes, o bien directamente de otros software de elementos finitos, como por ejemplo Nastran.

Se ha usado la versión Abaqus 6.13, siendo ésta la última versión disponible en el mercado hasta el

momento. Para el modelaje de la probeta se utiliza el producto Abaqus/CAE donde se puede

realizar también la visualización de los resultados o bien utilizar el Abaqus/Viewer.

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2 ANÁLISIS DE TENSIONES POR

ELEMENTOS FINITOS

2.1 Material y procedimiento experimental

La aleación de aluminio 2024-T3, es un material muy común en la industria aeroespacial desde

1930 y será nuestro material a estudio. Las propiedades mecánicas de este material fueron

generadas experimentalmente mediante una serie de pruebas de deformación. Estas pruebas fueron

realizadas bajo cargas repetitivas axiales y cíclicas, así como bajo cargas de torsión en fase y 90º

desfasadas para axial-torsión combinados. Estos estudios fueron realizados por N. Gates y A.

Fatemi y los encontramos en su estudio "Notched fatigue behavior and stress analysis under

multiaxial states of stress".

Un endurecimiento cíclico se puede observar en la figura siguiente en el rango de tensiones y

deformaciones en el que estudiaremos el material.

Figura 2.1-1. Curva de tensión-deformación para 2024-T3 bajo diferentes condiciones de carga.

Asimismo, la tabla que mostramos a continuación contiene los datos experimentales de las

propiedades del material.

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Tabla 2.1-1. Propiedades del material

2.2 Introducción a ABAQUS

El primer paso para comenzar un análisis con el programa ABAQUS es definir el modelo. La

forma de comunicarnos con ABAQUS es un archivo de datos de entrada que puede ser creado

usando un editor de texto o desde el preprocesador gráfico del programa en el módulo CAE.

Tomamos la segunda opción de forma que debemos generar nuestro modelo en el preprocesador,

para ello comenzamos a componer la probeta cilíndrica teniendo en cuenta que el sistema

coordenado usado por el programa de elementos finitos es el sistema cartesiano, cuya convención

de signos positivos es la mostrada en la figura siguiente:

Figura 2.2-1. Sistema cartesiano de coordenadas

ABAQUS ofrece los resultados de las componentes de esfuerzos y deformaciones en su sistema

coordenado de referencia. La convención usada es:

0.2% Límite elástico,

Límite de rotura, 95 MPa

Módulo elástico, E 73.7 GPa

Módulo de cizalladura, G 27.4 GPa

Coeficiente elástico de Poisson, (calculado) 0.343

Alargamiento a rotura 19.5%

Coeficiente de resistencia cíclica axial, 770 MPa

Exponente de endurecimiento cíclico axial, n' 0.090

Coeficiente de resistencia cíclica a cizalladura, 394 MPa

Exponente de endurecimiento cíclico a cizalladura, 0.088

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σ11 Esfuerzo en la dirección 1

σ 22 Esfuerzo en la dirección 2

σ 33 Esfuerzo en la dirección 3

τ12 Esfuerzo cortante en el plano 1-2

τ 13 Esfuerzo cortante en el plano 1-3

τ 23 Esfuerzo cortante en el plano 2-3

Tabla 2.2-1. Definición de esfuerzos

El programa no ofrece ninguna opción para especificar las unidades a utilizar. Por lo tanto, todas

las unidades deben ser consistentes entre si y pertenecer al mismo sistema de unidades. Por

ejemplo, para el sistema internacional de unidades, las dimensiones más comunes vendrán

expresadas en:

DIMENSIÓN INDICADOR UNIDAD (SI)

Masa M Kilogramo (kg)

Longitud L Metro (m)

Tiempo T Segundo (s)

Fuerza F Newton (N)

Tabla 2.2-2. Unidades utilizadas

Además en ABAQUS las rotaciones son expresadas en radianes y los ángulos en grados.

Las direcciones 1,2 y 3 dependen del tipo de elemento finito a elegir. Para elementos sólidos

corresponden con las direcciones espaciales globales, es decir, 1=X, 2=Y, 3=Z.

El archivo de entrada para ABAQUS contiene todos los datos necesarios para el análisis. Antes de

comenzar el mismo, ABAQUS comprobará todos estos datos, configurados con los distintos

módulos que ofrece el programa y nos informará de los erros existentes. Los datos que necesita el

modelo para comenzar el análisis pueden ser introducidos a través de los distintos módulos que

ofrece el preprocesador.

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Figura 2.2-2. Jerarquía de análisis en ABAQUS

Al abrir el preprocesador gráfico del programa, aparece la siguiente pantalla:

Figura 2.2-3. Pantalla de inicio del preprocesador

En la parte superior aparece el menú desplegable de ABAQUS. A la izquierda de la pantalla de diseño

del preprocesador gráfico está el menú propio de cada módulo. Para cambiar de módulo, basta elegir

el módulo que se desee en el menú desplegable Module dentro del menú de ABAQUS. En la parte

inferior de la pantalla se encuentra la línea de comandos del programa. A través de ella el programa

nos comunicará los pasos a seguir, los errores, las órdenes en proceso y órdenes ejecutadas, etc.

Archivo de entrada para el análisis

Módulo Elementos

Módulo Material

Módulo ensamblaje

Módulo cargas

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Para crear el modelo, el primer paso es entrar en el módulo Part para crear la geometría del modelo a

analizar. El preprocesador de ABAQUS entra directamente en este módulo y pinchando

posteriormente en el menú desplegable de ABAQUS en Part y después en Create o bien, en el botón

. Así se accede a la ventana de Create Part mostrada en la siguiente figura donde se deben

elegir las características de nuestro modelo. En esta ventana se debe elegir el tamaño aproximado de la

ventana de trabajo. Este paso es importante porque puede deformar la manera en que el programa

entiende las unidades que estamos utilizando.

Figura 2.2-4. Cuadro de diálogo Create Part

Una vez definida la geometría, podemos trabajar con los siguientes módulos: El módulo Properties

sirve para definir las características de los materiales y asignarlas al modelo. Al igual que antes se

puede acceder a la misma en el menú desplegable de ABAQUS o con los iconos del menú propio

del módulo. El botón Create material nos permite definir los materiales y sus características.

Con el botón Create Section creamos secciones que se podrán aplicar sobre las partes del

modelo para adjudicarles las características de los materiales creados y con el botón Assing section

asignamos esas secciones a las partes del modelo.

En el módulo Assembly se pueden unir las distintas partes del modelo y definirlas como Instances.

Para este fin se dispone del botón Instance part , que permite crear las Instances con la

opción de hacerlas dependientes o independientes, para realizar el mallado del modelo de una

forma u otra.

El siguiente módulo es Step. En este módulo se crea el paso de análisis que debe adecuarse al

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análisis que se desea realizar. Con el botón Create Step se crea el paso y con los botones

Create field output y Create history output le indicamos al programa las salidas

necesarias para nuestro análisis, es decir, las variables incógnita de nuestro problema.

En el módulo Interaction se definen los contactos y uniones entre las distintas partes del modelo.

Con los botones Create interaction y Create constraint se pueden definir esas uniones

en los menús desplegables asociados a cada uno.

En el módulo que nos encontramos a continuación, Load, podremos crear las cargas a las que va a

estar sometido el sistema y las condiciones de contorno. Los botones Create Load y Create

boundary condition crean las cargas y las condiciones de contorno.

En el módulo Mesh se crea la malla de nodos para analizar el sistema. Con el botón Seed part

instance o Seed edges se puede mallar el modelo por partes o caras, respectivamente.

Cuando los botones tienen una flecha en su esquina inferior derecha como es el caso de éstos dos

botones, significa que es un botón despegable que tiene más opciones ocultas. En el caso de los

dos que estamos comentando la opción oculta es borrar la malla efectuada. Con este módulo se

puede elegir el tamaño de la malla, es decir, la distancia entre nodos. Con el botón Assign mesh

controls y Assign element type se pueden definir las características de los elementos,

como su forma, el tipo de integración, etc.

El siguiente módulo es el previo al análisis, y se denomina Job. En él se debe crear el archivo de

datos en el que Abaqus escribirá los resultados del análisis. Con el botón Create Job se crea ese

archivo de escritura y se seleccionan las variables de ese análisis, así como con el botón Job

manager se accede a la pantalla que permite ver qué trabajos hay disponibles. Se puede comenzar

el análisis pulsando en el botón Submit. Si es un paso dinámico, con varias partes en el mismo

paso, es posible ver el avance del mismo pinchando en el botón Monitor.

Mientras el programa esté calculando, en la columna de Status aparecerá el mensaje Running. Una

vez el programa termina el análisis, lanza un mensaje en la columna Status de la ventana Job

manager y en la línea de comandos. Si hay algún error, normalmente ABAQUS aborta el Job

enviando un mensaje, Aborted. Si el programa ha terminado el análisis sin errores y ofrece el

mensaje Completed, se pueden visualizar los resultados pulsando el botón Results o bien

cambiando el módulo a Visualization. Dentro de este módulo, el aspecto del visualizador del

programa es:

Figura 2.2-5. Pantalla de inicio de visualizador

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En el menú del visualizador, se debe elegir la variable que queremos ver representada. Estas variables

a su vez tienen subvariables, por ejemplo, la variable S (Strain) se subdivide en otras variables, como

lo son los esfuerzos en las distintas direcciones o la tensión equivalente de von Mises.

Para poder ver la representación gráfica por colores de la variable elegida, se debe pinchar en el botón

Plot contours en su opción deformada o sin deformación. Para obtener el valor de la variable en un

nodo concreto, se debe hacer clic en el botón Query information, que despliega la ventana mostrada

abajo.

Figura 2.2-6. Query information

Seleccionando la opción Probe values, se puede elegir el nodo deseado por coordenadas o

directamente sobre la imagen. También ofrece otras opciones, como escribir un archivo de datos con

los valores nodales de una línea trazada sobre el dibujo, Stress linealization.

El programa ofrece múltiples posibilidades habiendo sido resumidas aquí algunas de ellas. A lo largo

del proyecto iremos viendo alguna de estas posibilidades.

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2.3 Definición del modelo utilizando la herramienta ABAQUS

Generaremos en el entorno ABAQUS una probeta cilíndrica de D=34.5mm de diámetro exterior y

D=25.4mm de diámetro interior, con una longitud de H=180mm.

Para ello creamos una "Parte" en ABAQUS que será un modelo en tres dimensiones, deformable,

así como un sólido de revolución. Tenemos en cuenta también que la probeta a estudio tiene un

orificio central de D=3.2mm. Dicho orificio se realiza utilizando la herramienta Cut Extrude con el

apoyo de un plano auxiliar que nos permitirá dibujar un Sketch del mismo para posteriormente

realizar la extrusión.

Figura 2.3-1. Probeta a estudio

El resultado de generar la probeta base en ABAQUS será:

Figura 2.3-2. Probeta cilíndrica

La pieza que queremos ensayar será de aluminio 2024-T3 cuyas propiedades se han comentado

con anterioridad.

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Renombramos el material como "2024-T3" y modificamos las propiedades tanto para el análisis

elástico, como para el plástico especificando así la ley constitutiva del material.

Este material debemos asignarlo a la probeta. Para ello crearemos una sección intermedia de

forma que el modelo quede constituido por la parte creada en primer lugar en un primer nivel, y

la sección intermedia en un segundo nivel que contendrá al material. Esta sección será del tipo

sólido-homogéneo.

Realizamos en primer lugar dos particiones circulares alrededor del orificio de forma que al

realizar el mallado podamos refinarlo cerca de la entalla y obtener mejores resultados.

A su vez realizamos dos particiones más, una transversal a 0º y otra a 45º que nos servirán

posteriormente en la visualización de los resultados para poder diferencias los casos de aplicación

de carga de tracción y torsión.

Para realizar éstas particiones usamos el elemento Tools-Partition donde podremos observar las

siguientes pantalla:

Creamos en primer lugar dos Planar Shell a una distancia relativa de forma que no nos moleste

en el diseño de nuestra probeta. Para ello usamos la herramienta Shape y creamos dos

circunferencias de distinto radio que posteriormente extrusionaremos.

Una vez realizado este paso, realizamos la Partition que será de tipo Cell y Extrude/Sweep patch,

de forma que seleccionando en el paso siguiente la segunda opcion realizaremos un Sweep patch

de las dos circunferencias creadas con anterioridad. Para realizar las dos particiones transversales

realizamos en este caso una Partition del tipo Use Datum Plane. Para ello necesitaremos un

plano de referencia que podremos crear con la orientación deseada pulsando en el botón

El resultado de ambas particiones será:

Figura 2.3-3. Create Partition

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Figura 2.3-4. Partition realizado en la probeta

El mallado (Mesh) de nuestra pieza va a ser generado usando elementos tetraédricos cuadráticos

de 10 nodos (C3D10) para toda la probeta, siendo el mismo refinado en las áreas críticas, es

decir, en los orificios centrales a un espaciado de 0.05mm. El resultado del mismo lo mostramos

en las siguientes figuras:

Figura 2.3-5. Vista general del mallado

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Figura 2.3-6. Mallado en el borde de la entalla.

Para la aplicación de las condiciones de contorno se ha tomado la decisión de no aplicar cargas

directamente sobre la probeta sino utilizar la herramienta Constraint, de esta forma la probeta no se

ve deformada excesivamente por los agarres de la misma, asimilándose más a la realidad.

Para hacerlo, se crean dos Coupling Kinematics Constraints, como se muestran a continuación, de

forma que toda la superficie de los extremos de la probeta deban su movimiento a un único punto

en cada caso que será un Reference Point. Para crearlos pulsamos el botón y lo hacemos

sobre el mismo eje de la probeta pero alejados de la misma. Tendremos que crear también un

sistema de referencia cilíndrico que será el que usaremos para esta operación.

Una vez creados ambos puntos, ya podemos crear la dependencia de las superficies con los

mismos, de tal forma que para el caso de tracción, uno de ellos no tendrá ningún movimiento libre

y el otro permitirá el movimiento radial y acimutal en coordenadas cilíndricas; en el caso de

torsión, ambos puntos tendrán los mismos grados de libertad, estará permitido el movimiento

acimutal así como el movimiento en la coordenada vertical en un sistema cilíndrico, porque

aplicaremos la misma carga en ambos extremos. Para los casos de tracción-torsión, usaremos una

combinación de éstos dos casos.

Figura 2.3-7.Constraint en extremo superior

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Figura 2.3-8. Constraint en extremo inferior

Así de esta forma aplicaremos en ambos casos las condiciones de contorno sobre los puntos de

referencia. Para el caso de tracción, aplicaremos un desplazamiento en el RP-2 en el sentido Y

cartesiano (U2). Para el caso de torsión aplicaremos una rotación en positivo en un extremo y

negativo en el contrario alrededor del eje Y cartesiano (UR2).

Para nuestro análisis hemos necesitado exclusivamente un Step que renombramos como D1.

Por tanto ya podemos ejecutar nuestro Job y obtener los resultados deseados.

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2.4 Herramientas para la visualización de los resultados

Para encontrar los resultados que nos muestren con exactitud lo que estamos buscando

necesitamos hacer uso de la herramienta de Abaqus: Abaqus Viewer como comentamos con

anterioridad. A él podemos acceder directamente desde las extensiones que nos propone ABAQUS

o desde la misma ventana del CAE en la que estamos trabajando.

Posteriormente necesitaremos el uso de la herramienta Path que nos permitirá obtener los

resultados en "caminos de puntos" concretos de nuestra probeta. Pulsando dicho botón

obtendremos la siguiente ventana:

Figura 2.4-1. Create Path

Tanto para el path circular como para los dos paths lineales usaremos el tipo lista de nodos, de

manera que tendremos que seleccionar uno por uno los nodos que integrarán nuestro camino. De

esta forma el análisis será más exacto que si elegimos para el path alrededor de la entalla un tipo

circular que puede no ajustarse perfectamente a los nodos y no representar gran parte de ellos.

Una vez creado los caminos de nodos, a continuación utilizaremos la herramienta Create XY Data

que nos representará los valores de las tensiones en este caso escogidas para cada uno de los

puntos que conforman el camino de nodos.

Esta herramienta también nos permite operar con los conjuntos de datos obtenidos siéndonos este

aspecto muy útil para normalizar las tensiones con los valores nominales de tensión.

Figura 2.4-2. Path. Node list

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3 ANÁLISIS ELÁSTICO DE TENSIONES Y

DEFORMACIONES EN EL BORDE DE LA

ENTALLA

El primero de los análisis realizados, para las condiciones comentadas con anterioridad, en el caso

de un sistema puramente elástico y cargas puramente axiales y de torsión arbitrarias aplicadas al

modelo con el objetivo de evaluar la distribución de tensiones elásticas alrededor de la entalla.

La distribución de tensión será evaluada en tres segmentos en la vecindad de la entalla:

circunferencialmente alrededor de la misma y sobre la superficie exterior, sobre la profundidad de

la entalla en la localización de las máximas tensiones (Von Mises, Máximo Principal y Tensión

tangencial máxima), y radialmente desde la entalla en la localización de las máximas tensiones.

Figura 3-1.Path en el espesor y radial desde el borde de entalla

La figura 3-2 muestra la distribución de von Mises, máximo principal y tensión tangencial

máxima en la circunferencia que define la entalla en la cara exterior del espécimen tanto para carga

pura de tracción como para carga de torsión. Las tensiones están normalizadas por sus

correspondientes valores nominales de tensión, adquiridos de zonas alejadas de la entalla donde

sus efectos son apenas imperceptibles, para así poder mostrar el factor de concentración de

tensiones de cada componente de tensión.

De estas gráficas podemos deducir que la localización de las máximas tensiones para todos los

tipos considerados se encuentra a 0º para carga axial y a 45º para torsión. Sabiendo estas

localizaciones, la distribución de tensiones sobre el espesor de la entalla y radialmente desde el

mismo pueden ser evaluadas donde las tensiones son mayores.

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Figura 3-2. Resultados para von Mises, max. principal, y tensión tangencial máxima carga pura axial y de torsión

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La figura 3-3 muestra la distribución de las componentes de tensión a lo largo del espesor de la

entalla como se muestra en la figura 3-1, para cargas puramente axiales y torsionales. En el estado

analizado anteriormente mostrábamos como la distribución de tensiones alrededor de la entalla

circunferencialmente nos conducían a deducir cuáles eran las zonas de máxima tensión.

Para ambos tipos de cargas, los máximos valores para todas las tensiones hemos comprobado

además que se encuentran justo en la mitad del espesor de nuestra probeta. Esto es en parte debido

a un aumento de la restricción impuesta a esa región por el material elástico que la rodea. Esto

podría traer problemas de limitaciones en el movimiento de dicha sección y causar una

acumulación de tensiones en dicha zona del espesor. Sin embargo, el tamaño de la entalla y el

espesor de la probeta usado en este estudio han sido cuidadosamente elegidos para mantener una

predominancia de tensión plana en el borde de la entalla. Inevitablemente aún tomando estas

precauciones, la tensión de von Mises en la mitad de espesor es un 7% superior a las tensiones

mayores esperadas en dicha superficie para cargas axiales y un 6% mayor para cargas torsionales.

En la figura 3-3 (a) debemos observar que la curva "sigmay" se oculta detrás de la curva "max

principal" al ser coincidentes.

(a)

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Figura 3-3.Resultados tensionales sobre el espesor de la entalla para carga pura axial (a) y torsional (b). Las

tensiones están normalizadas por los valores nominales de tensión.

Finalmente, la distribución de tensiones moviéndose radialmente desde el borde de la entalla en la

cara externa del espécimen la mostramos en la figura 3-4.

De nuevo los valores se han tomado en un en una ubicación de 0º para el caso de tracción y 45º

para el caso de torsión. Como podemos observar en las figuras, la tensión de von Mises es igual a

la tensión máxima en el borde de la entalla confirmándose así un estado uniaxial de tensiones

alrededor de la entalla. Esta condición es la esperada debido a las condiciones de contorno de

superficie libre que predominan y que permiten una tensión normal, pero no esfuerzos tangenciales

en planos perpendiculares a la curvatura de la entalla. Sin embargo, a medida que la distancia a la

entalla es mayor, el estado de tensiones se hace rápidamente multiaxial.

Esto lo podemos vislumbrar con mayor claridad en la gráfica de carga axial de la figura 3-4 en la

variación de la tensión en la dirección x, perpendicular a la carga aplicada. Esta componente de

tensión alcanza su máximo valor a una distancia del agujero equivalente al 43% del radio del

mismo antes de volver a hacerse cero conforme el efecto de la entalla disminuye. Para el caso de

torsión, el aumento del grado de multiaxialidad lo podemos apreciar en la diferencia entre el

incremento de tensión de von Mises y la tensión máxima principal. Esta diferencia continua

incrementándose más allá del borde de entalla hasta que el efecto de la misma se ha desvanecido

por completo y el estado de tensión es de torsión pura (biaxial).

Cabe señalar que en la mitad del espesor de nuestra muestra las tensiones pueden ser multiaxiales

incluso en la superficie libre de la entalla. Esto es debido a la presencia de tensión en la dirección

del espesor del espécimen como resultado de la restricción de nodos discutida previamente.

(b)

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Figura 3-4. Resultados tensionales tomados radialmente desde el borde de la entalla para carga pura axial (a) y

torsional (b).

Las tensiones están normalizadas por los valores nominales de tensión.

En la figura 3-4 (a) debemos observar que la curva "sigmay" tapa a la curva "max principal" al ser

coincidentes.

(a)

(b)

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En el caso en el que exista una combinación de esfuerzos axiales y de torsión, la superposición de

cada componente de tensión nominal multiplicada por sus respectivo factor de concentración de

tensiones puede ser usada para calcular las tensiones locales elásticas.

La figura (---) muestra la distribución de von Mises, la ubicación de las tensiones máximas, así

como el factor de concentración de tensiones en el borde exterior de la entalla para diferentes ratios

de la tensión axial nominal y la tensión tangencial. Como podemos esperar, a medida que la

tensión axial se incrementa respecto a la tensión tangencial la ubicación de las tensiones máximas

tienden hacia los 0º, y por tanto a medida que se aumenta la tangencial respecto a la tensión axial

esta ubicación tiende a 45º. Además como el ratio de tensión nominal se mueve desde un estado

predominante axial hasta uno predominante tangencial, el factor de concentración de tensiones

equivalente se reduce al mínimo para el caso de torsión pura.

Para mantener la consistencia en la definición de las tensiones nominales en el caso de carga

combinada, el factor de concentración de tensiones está definido como la tensión local de de von

Mises dividida por la tensión nominal de von Mises, mientras que en el caso de torsión pura, se

usará la tensión tangencial nominal.

Figura 3-5. Resultados para la distribución de tensiones equivalentes de von Mises alrededor del borde de la entalla

en la superficie exterior de la probeta.

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Figura 3-6. Factor de concentración de tensiones equivalentes frente a ratio de tensión axial nominal y tensión

tangencial. Localización de las tensiones máximas. Las tensiones están normalizadas aplicando valores nominales

de tensión.

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4 ANÁLISIS PLÁSTICO DE TENSIONES Y

DEFORMACIONES EN EL BORDE DE LA

ENTALLA

4.1 Método generalizado para estimar tensiones y deformaciones plásticas en el borde de la entalla

La relación existente entre la carga aplicada y las tensiones y deformaciones en el borde de la

entalla es fundamental para realizar estudios de la vida a fatiga de los materiales y además nos

permite en este caso conocer el comportamiento plástico de nuestro material en el borde de la

entalla.

Para realizar este análisis debemos basarnos en las siguientes condiciones:

-Carga proporcional

-Conocimiento exhaustivo del estado de tensiones y deformaciones elástico

Frecuentemente este análisis se realiza mediante el uso de fórmulas aproximadas, en este caso, la

solución aproximada requiere dos pasos. En primer lugar una relación entre la carga aplicada y la

tensiones y deformaciones equivalentes en el borde de la entalla. Por ejemplo, una de éstas

fórmulas de aproximación para tensiones uniaxiales se encarga de reemplazar las cantidades σ, ε y

Kt por cantidades equivalentes σq, εq y Ktq basadas en el criterio de von Mises. Para obtener la

solución completa, además es necesario conocer la carga límite plástica.

En el segundo paso las tensiones y deformaciones principales en el borde de la entalla serán

relacionadas con los valores obtenidos del primer paso σq, y εq. En este paso debemos asumir que

las direcciones principales de tensión permanecen invariables durante la aplicación de las cargas.

Para resolver el conjunto de ecuaciones que obtendremos de estos pasos, dos de las seis tensiones y

deformaciones principales han de ser conocidas. Normalmente sólo la tensión normal a la

superficie exterior de la entalla es conocida, con lo que una hipótesis al menos debe ser realizada

sobre la tensión o deformación en la dirección 2. Considerando el hecho de que el gradiente de

tensión que prevalece cerca del borde de la entalla causa restricciones geométricas se sugiere

asumir una relación constante del ratio de deformaciones en las direcciones 1 y 2, igual en la

región elástica-plástica al ratio de carga elástica. Situación que nos daría la hipótesis necesaria para

resolver las ecuaciones.

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Figura 4.1-1. Definición de las tensiones y deformaciones en el borde de la entalla

4.1.1 Aproximación de tensiones y deformaciones

En esta sección, la predicción de las tensiones y deformaciones locales usando la regla de

Neuber serán comparadas con los resultados obtenidos mediante el método de los elementos

finitos (FEA) simulados en ABAQUS. En primer lugar aplicaremos la regla de Neuber para casos

de carga axial pura y carga de torsión pura.

Para todos los casos considerados, la regla de Neuber será aplicada según la forma de Hoffmann y

Seeger que se expresa:

Los términos señalados con (*), tensión ( ) y deformación ( ) nominal son correcciones

realizadas para cargas nominales inelásticas basadas en el nivel de carga plástica límite para un

material perfectamente elástico-plástico. Este término no será considerado en el siguiente análisis

ya que todas las tensiones nominales aplicadas son elásticas.

Para todos los casos que describiremos a continuación el factor de concentración de tensiones

equivalente , usado en la regla de Neuber ha sido obtenido del análisis elástico realizado con

anterioridad de la siguiente forma:

(Ec.1)

(Ec.2)

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Donde:

Siendo S la tensión nominal que representaremos frente a nuestras variables a estudio.

Además, el resultado de la tensión y la deformación en el borde de la entalla, y

respectivamente, son también cantidades equivalente basadas en la tensión de von Mises.

Para el caso en el que estamos aplicando únicamente carga axial, calcularemos la tensión y

deformación en el borde de la entalla teniendo en cuenta la fórmula de Neuber anteriormente

descrita así como la relación existente entre la tensión y la deformación.

Para tomar esta relación entre la tensión y la deformación, haremos uso de la relación de

Ramberg–Osgood:

De tal forma que combinando ambas ecuaciones obtenemos los datos para Neuber de tensión y

deformación en el borde de la entalla.

Para el caso de torsión, la relación utilizada será de igual forma la de Ramberg–Osgood, expresada

en este caso como sigue:

Debemos tener en cuenta que los valores de K y n son diferentes en ambas ecuaciones, viniendo

éstos datos definidos en la tabla 2.1-1.

4.2 Resultados

Debemos notar que en los siguientes análisis, las tensiones y deformaciones locales equivalentes

de Neuber serán comparadas directamente con las derivadas del método de los elementos finitos.

Mostramos ahora la comparación de la predicción de la regla de Neuber para tensiones y

deformaciones locales frente a la tensión nominal y de las tensiones y deformaciones generadas del

método de los elementos finitos para carga puramente axial (λ=0) y carga pura de torsión (λ=∞).

En ambos casos la correlación es muy buena aunque los datos en el borde de la entalla predichos

por Neuber tienden a estar un poco por encima.

(Ec.4)

(Ec.3)

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4.2-1. Estimación de la regla de Neuber comparada con los resultados de FEA para tensión nominal frente a

tensión equivalente tanto para tracción como para torsión.

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4.2-2. Estimación de la regla de Neuber comparada con los resultados de FEA para deformación nominal

frente a deformación equivalente tanto para tracción como para torsión.

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5 CONCLUSIONES

Basado en el análisis y los datos presentados en este estudio podemos llegar a las siguientes

conclusiones

(1) La ubicación de las máximas tensiones medidas alrededor del borde de la entalla, se

encuentran a 0º para cargas axiales y a 45º para cargas torsionales.

(2) Las tensiones de von Mises son alrededor de un 7% mayores en la mitad del espesor de la

entalla que las tensiones más altas para carga axial y un 6% para cargas torsionales. Aunque el

espécimen a estudio, las dimensiones de la entalla así como las del espesor han sido expresamente

tomadas para que el estado de tensiones que se produce en el borde de la entalla sea de tensión

plana, es inevitable que esto suceda en mayor o menor medida.

Estos datos podrían ser de relevancia para la realización de un posible estudio de fatiga lo que

plantearía un dilema en la elección de la ubicación para obtener el historial de tensiones y

deformaciones para el análisis de fatiga.

(3) La tensión de von Mises es igual a la tensión máxima principal en el borde de la entalla lo que

nos lleva a confirmar la uniaxialidad del estado de tensiones alrededor de la entalla. Sin embargo a

medida que nos alejamos del borde de la entalla las tensiones pasan a ser multiaxiales. Este estado

se sigue incrementando hasta que llegamos, en el caso de torsión, a un estado biaxial de pura

torsión en el que la entalla ya no influye en el mismo.

(4) Para un estado de tensiones derivado de la aplicación combinada de cargas axiales y

torsionales, concluimos que conforme vamos combinando las cargas de forma que la carga axial

disminuya y como consecuencia de ello la tensión tangencial aumente la localización de las

tensiones máximas tiende a 45º. Si ocurre al contrario, las tensiones máximas tienden a estar cerca

de los 0º. Situación que concuerda a la perfección con la ubicación calculada para las cargas por

separado ya que se aplica el principio de superposición.

(5) La aproximación de la regla de Neuber se aproxima con bastante exactitud a los resultados

del análisis mediante el método de los elementos finitos (FEA) para cargas axiales y torsionales.

De la comparación de ambas podemos concluir que las estimaciones sobre la tensión local está

dentro de un margen de diferencia del 4% mientras que la de las deformaciones están dentro de un

25% de margen de diferencia. Es importante tener en cuenta que los altos niveles de tensión

considerados en este análisis están muy por encima de los que existen en aplicaciones típicas.

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6 BIBLIOGRAFÍA

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Ramberg W, Osgood WR. Description of curves by three parameters. NACA technical

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