FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CÁLCULO I

TEMA:

Crecimiento poblacional del virus del Ébola en África.

INTEGRANTES:

DELINBEUF MORGAN, Luis Ángel

SALDAÑA ESQUERRE, Kevin Enrique

QUIPUSCOA CABRERA, José Jhosmedes

TORRES VELÁSQUEZ, Julio Winston

BETANCOURT MENA, Santiago

CUSTODIO REINOSO, Jessica

DOCENTE:Miguel Valverde Morales.

TRUJILLO - PERÚ

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo titulado “Crecimiento poblacional del virus del Ébola en África”, fue desarrollado a base de datos adquiridos mediante funciones exponenciales, entre otros.

En este documento se analiza el incremento poblacional de las personas infectadas con el virus del Ébola y en cuánto tiempo podría llegar a colonizarse en todo el país si es que no se encuentra una vacuna inmediata.

En el Capítulo I se habla sobre la realidad problemática que se presenta, la hipótesis y los objetivos de estudio definidos.

En el Capítulo II se detalla el Marco Teórico, en el cuál se toma en cuenta ciertas definiciones acerca de funciones exponenciales, los cuales nos ayudarán a apreciar de mejor manera la resolución del problema del crecimiento poblacional del Ébola.

En el Capítulo III, se detalla el Desarrollo del Proyecto. En ella se hace el estudio completo con ayuda de datos reales de los infectados con el virus del Ébola y a partir de ellos llegar a conclusiones y resultados.

CAPÍTULO I

PLAN DE INVESTIGACIÓN

CAPÍTULO I: PLAN DE INVESTIGACIÓN

1.1 SITUACIÓN PROBLEMÁTICA

El Ébola es una enfermedad infecciosa ocasionada por un virus y que produce fiebre y

hemorragias. Afecta a humanos y primates (monos, gorilas y chimpancés). La primera

vez que se identificó a esta enfermedad fue en el año 1976 con varios casos que se

dieron en Zaire y Sudán. 1

El nombre de este virus se debe al río Ébola, situado en Zaire y donde se produjeron

brotes de esta enfermedad. Existen cinco variantes de este virus que tiene una alta tasa

de mortalidad entre los que se ven infectados. Entre el 50% y 95% de los que se han

visto afectados han muerto, se trasmite a los humanos por el contacto con animales

infectados y de persona a persona por el contacto con la sangre y los fluidos corporales

y el tiempo de incubación es de dos a veintiún días. 2

Los murciélagos de la fruta parece ser que son la fuente de la infección, pero también

habrían sido los monos los causantes del contagio a humanos. La Organización Mundial

de la Salud, para evitar el contagio recomienda evitar el contacto con los monos y

comer su carne cruda, así como tener contacto estrecho con enfermos infectados por

el virus. 3Actualmente no existe ningún tratamiento ni vacuna contra el Ébola, que por

el momento solo se ha detectado en África, aunque existe el riesgo que se extienda por

otros continentes. Los primero síntomas son fiebre altas que pueden llegar a 40º, junto

con fuerte dolores de cabeza, músculos y garganta y sensación de intensa debilidad.

Estos dolores suelen ser seguidos de vómitos y diarreas, erupciones cutáneas, mal

funcionamiento de los riñones e hígado, así como hemorragias internas y externas. 4

Desde hace unas semanas se conoce el brote de varios casos de Ébola, según la ONG

Médicos Sin Fronteras, que trabaja para frenar la epidemia. El Ébola es una amenaza 1 Centros para el Control y la prevención de enfermedades (CDC, por sus siglas en inglés)http://www.cdc.gov/media/releases/2014/s1015-airline-notification.html2 http://cincodias.com/cincodias/2014/10/20/economia/1413801786_702072.html3 Dpto. de Salud de Texas http://www.dshs.state.tx.us/news/releases/20141015.aspx4Organización Mundial de la Salud (OMS) http://www.who.int/csr/disease/ebola/en/

para la salud global y es considerado asimismo que podría ser utilizado como arma

biológica.

1.2 PROBLEMA

¿Cómo se puede calcular el tiempo que le tomaría al virus del Ébola en infectar todo el

continente africano?

1.3 HIPÓTESIS

Para calcular el tiempo en el que le tomará al virus del Ébola infectar África, se usará el

uso de funciones exponenciales y el uso de funciones del crecimiento poblacional.

1.4 OBJETIVOS

1.4.1 Objetivo General

Determinar el tiempo exacto en que el virus del Ébola infectará todo el

continente Africano y hallar la fórmula para hallar ese crecimiento.

1.4.2 Objetivos Específicos

Utilizar la teoría de funciones exponenciales para hallar la tasa de mortalidad del continente Africano en los próximos años.

Aplicar la teoría del crecimiento poblacional.

Usar los conocimientos adquiridos en el curso de Cálculo I

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO

2.1 FUNCIONES6

En matemáticas, una función se usa para representar la forma en que una cantidad

depende de otra.

Veamos un ejemplo. En diciembre de 2000 las temeraturas en Chicago eran

inusualmente bajas en las vacaciones de invierno. Las máximas temperaturas diarias

durante los días 19 al 28 de diciembre aparecen en la tabla 1.1

Tabla 1.1 Temperaturas máximas diarias en Chicago, 19 al 28 de diciembre de 2000

Fecha(diciembre 2000) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Temperatura máxima (°F) 20 17 19 7 20 11 17 19 17 20

Aun cuando nunca hayamos pensado en que algo tan impredecible como la

temperatura sea una función, la temperatura es una función de la fecha, porque cada

día da lugar a una y sólo a una temperatura máxima. No hay fórmula para la

temperatura (de lo contrario, no necesitaríamos del servicio meteorológico); sin

embargo, la temperatura satisface la definición de una función: cada fecha, t, tiene una

temperatura de salida única, H, relacionada con ella.

2.1.1 Definición

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x del conjunto A

exactamente un elemento y del conjunto B. el elemento y se denomina imagen (o

valor) de x mediante f, y se indica f(x). El conjunto A se denomina dominio de f, y el

conjunto B se denomina rango de f y el conjunto f(A) se denomina recorrido de f.

Ejemplo:

6 Cálculo. Larson R. Edwards B. H. Mc Graw Hill. Novena edición, página 19

TABLA 1.2

FUENTE: CÁLCULO DIFERENCIAL PARA ING. – PEARSON 2006

FIGURA 1

FUENTE: CÁLCULO DIFERENCIAL PARA ING. – PEARSON 2006

Ejemplo.-

Si A = {1, 3, 5} y B = {3, 5, 7, 9, 11} y su correspondencia es el doble más uno.

FIGURA 2

FUENTE: CÁLCULO APLICADO – MC GRAW HILL

Entonces f(x) = 2x + 1

En efecto:

f(1) = 2 • 1 + 1 = 3

f(3) = 2 • 3 + 1 = 7

f(5) = 2 • 5 + 1 = 11

Tenemos

Dominio = {1, 3, 5}

Codominio = {3, 5, 7, 9, 11}

Ámbito (rango o recorrido) = {3, 7, 11}

2.1.2 GRÁFICAS7

En campos como ciencia, ingeniería y negocios, a menudo se usa una función para

describir los fenómenos. A fin de interpretar y utilizar datos, es útil representar estos

datos en forma de gráfica. En el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares,

A B

1

3

5

3

5

7

9

11

la gráfica de una función f es la gráfica del conjunto de pares ordenados (x, f ( x))

,

donde x está en el dominio de f . En el plano xy , un par ordenad o (x, f ( x))

Es un punto, de modo que la gráfica de una función es un conjunto de puntos. Si una

función se define por medio de una ecuación y f (x), entonces la gráfica de f es la

gráfica de la ecuación. Para obtener los puntos sobre la gráfica de una ecuación y f (x)

, escogemos prudentemente números x1, x2, x3,... en su dominio, calculamos trazamos

los puntos correspondientes, y luego unimos estos puntos con una curva suave (en caso

de ser posible).

GRÁFICA 1

FUENTE: CÁLCULO DE UNA VARIABLE. DENNIS G. ZILL WARREN S. WRIGHT

GRÁFICA 2

FUENTE: CALCULO DIFERENCIAL PARA ING. – PEARSON 2006

GRÁFICA 3

FUENTE: CÁLCULO DIFERENCIAL PARA ING. – PEARSON 2006

2.2 Terminología5

Una función suele delimitarse con el dominio y recorrido o rango de la función.

El dominio de una función puede describirse de manera explícita implícita. El

dominio implícito es el conjunto de todos los números reales para los que está

definida la ecuación, mientras que un dominio definido explícitamente es el que

se da junto con la función. Por ejemplo, la función dada por:

5 Cálculo. Larson R. Edwards B. H. Mc Graw Hill. Novena edición, página 19x= 1

x2−4, 4 ≤ x ≤5

FIGURA 3

FUENTE: CÁLCULO DIFERENCIAL PARA ING. – PEARSON 2006

FUENTE: CÁLCULO APLICADO – MC GRAW HILL

La figura 3 denota que una función es una regla de correspondencia que

asocia a cada objeto de un conjunto llamado dominio (conjunto inicial) un

valor único de f(x) de un segundo conjunto, que es un conjunto de valores así

obtenidos se llama rango (conjunto final).

Tiene un dominio definido de manera explícita dado por {x :4 ≤ x ≤5 }

Los conjuntos dominio y rango, se pueden definir de la siguiente manera:

o El dominio es un valor único f(X) de un segundo conjunto. Por ejemplo: Un

conjunto de personas de su clase de Calculo 1.

o El rango es el subconjunto de valores obtenidos. Por ejemplo: El conjunto

de calificaciones { 15;10;20;04;19}

FIGURA 4

2.3 Clasificación de funciones:

Esta clasificación obedece a la forma que está relacionados los elementos del

dominio y rango de dicha función:

Denotación:

f : Df → Rf

2.3.1. Función inyectiva (uno a uno)

Una función f : Df → Rf es inyectiva o uno a uno y se denota 1 – 1, si a

diferentes elementos del dominio le corresponden diferentes elementos del

dominio le corres´ponden diferentes elementos de rango. Es esta función, para

dos valores X1 y Y 2 de su dominio se cumple que:

X1 ≠ Y 2→ f ( X 1) ≠ f (X2)

Para comprobar analíticamente si una función es 1 1− se despeja, cuando esto

es posible, la variable independiente "X" en términos de la variable

dependiente "Y" y se comprueba que para cada valor de " " y exista un solo

valor de " X".

Ejemplo: Sea M el conjunto de mujeres con hijos, H el conjunto de los hijos y f la función

que asocia a cada mujer con su hijo primogénito. Es una función inyectiva.

La figura 3 denota que una función es una regla de correspondencia que

asocia a cada objeto de un conjunto llamado dominio (conjunto inicial) un

valor único de f(x) de un segundo conjunto, que es un conjunto de valores así

obtenidos se llama rango (conjunto final).

FIGURA 5

Gráfica de una función inyectiva

Una función es inyectiva basta con comprobar que toda recta paralela al eje "X "

corta a la gráfica de la función en un solo punto.

Sea la función f : R → R dada por f ( X )=X 2.

Para comprobar gráficamente que una función es inyectiva basta con

comprobar que toda recta paralela al eje " " x corta a la gráfica de la función en

un solo punto.

Ejemplo:

Sea la función f : [−π2

,π2 ]→ R ;f ( x )=cos x . Si se gráfica se observa que no es

inyectiva. Sin embargo, si se cambia su dominio y ahora se define como:

f : [0 , π ] → R ; F ( x )=cos x

FUENTE: Cifras y Signos

2.3.2. Función Suprayectiva (sobre):

Una función es suprayectiva o sobre si todo elemento de su rango es imagen de por lo

menos un elemento de su Dominio, lo que se expresa como:

f : Df → Rf

Si ∀b∈C f existe a∈Df tal que f ( a )=b entonces f es sobre.

Sea la función f ( x )=3 x+1 definida como f : R → R → . En este caso se ve que todo

número real es imagen de algún otro número real bajo la función f. Esto significa que el

recorrido es igual al rango y por lo tanto la función dada es suprayectiva o sobre.

Una función f: X → Y es una función sobreyectiva si:

(f) =Y

Esto significa que todo elemento y ∈ Y es la imagen de al menos un elemento x A. ∈

Es decir, la imagen de f coincide con el conjunto final.

Gráfica de una función Suprayectiva:

Una función es suprayectiva basta con comprobar que toda recta paralela al eje "X "

corta a la gráfica de la función en un solo punto.

Ejemplo:

Veamos si la función f: R → R , donde f(x) = x2 + 1, es suprayectiva:

2.3.3. Función biyectiva: Una función es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, y la relación

entre los elementos del dominio y los del codominio es biunívoca.

Una función puede ser:

Una función f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo:

Veamos si la función f: R → R , donde f(x) = 3x - 2, es biyectiva.

2.3.4. Función inversa: Sea f una función biyectiva. Entonces su función inversa es f−1 y está definida por la

siguiente condición:

( x , y )∈ f −1 sí solo sí ( x , y )∈ f

Si en una función biyectiva se cambian "X" por "Y " y" " por "y " y “x”, y se despeja la

nueva variable dependiente "Y ", la relación resultante es una nueva función que se

llama “función inversa” y se denota con f−1.

La denotación de la función inversa: El dominio de f se convierte en el recorrido de f−1 y

el recorrido de f en el dominio def−1, esto es:

Df = R f−1 y Rf =D f−1

Ejemplo: Halla f(x) = 3x + 2.

1) Primero vemos si es inyectiva:

f(x1) = f(x2) 3x1 + 2= 3x2 + 2 3x1 = 3x2 x1 = x2⇒ ⇒ ⇒

2) En segundo lugar, despejamos la variable x de la ecuación: y = f(x)

3) Por último, intercambiamos las variables:

2.4 Tipos de funciones:2.4.1. Funciones algebraicasEn las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable

independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y

radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas linealesSi se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas linealesSi no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso

efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Gráfica de una función lineal

2.4.1. Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f(x) = ax2 + bx +c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos

siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy

sencillas:

f(x) = x2

f(x) = -x2

Gráfica:

ObtenciónEl vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el

punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos.

Como toda función cuadrática pasa por el punto (0, c) y el simétrico de éste tiene de

abscisa x = -b/a, la del vértice será Xv = -b/2a. La ordenada Yv se calcula sustituyendo el

valor de Xv en la ecuación de la función.

Intersección de la parábola con los ejes:

Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el

punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c)

Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0,

para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c =

0.

Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres

situaciones distintas:

Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola

cortará al eje OX en dos puntos.

Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará

al eje OX en un punto (que será el vértice).

Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales yla parábola no cortará al eje

OX.

2.3 Funciones Exponenciales6:

La función exponencial es de la forma:

f ( x )=bx

Donde: b>0 , b≠1 , y x es cualquier numeroreal .

En lo cual el número a se llama base de la función y la variable x es el exponente. Por

ejemplo la función 10x que, cuando x es un entero, se utiliza para representar los

números en el sistema decimal.

Gráfica de una función exponencial:

Ejemplo.-

La función exponencial con base 2 es la función:

f ( x )=3x

Con dominio (−∞,+∞) los

valores def ( x ) para valores

seleccionados de x son:

o f (1 )=31=¿ 3

o f (0 )=30=1

o f (−1 )=3−1=13

o f (−2 )=3−2=19

6 Cálculo aplicado. Larson R. Edwards B. H. Mc Graw Hill. Novena edición

2.4 Crecimiento y decrecimiento exponenciales7.

El crecimiento exponencial surge cuando la tasa de crecimiento de un sistema es

proporcional en cada instante de tiempo al tamaño del sistema en ese tiempo. Si x(t) es

el tamaño en el instante t, entonces la tasa de variación de x es:

dxdt

=± kx (t)

Con el signo + para crecimiento y – para decrecimiento. El factor de proporcionalidad k

se llama constante de proporcionalidad. La solución de la ecuación es:

x (t )=x0 e±kt

Donde x0es el tamaño en el instante t=0. Como ejemplo, consideramos un sistema

cuyo tamaño x se dobla tras cada intervalo de tiempo T, k (ln2)/ t , donde ln2 es el

logaritmo natural de 2.

2.4.1. Aplicación en negocios8:

Si 800 dólares se invierten al 6% de interés compuesto anual, ¿Cuál es su valor total

después de 10 años?

Datos:

P=800

7 Cálculo aplicado. Larson R. Edwards B. H. Mc Graw Hill. Novena edición8 Matemática. Peterson, John C. Mc Graw Hill. Segunda edición, página 19

Solució n :s=p (1+r )t

s=800(1+0.06)10

s=800(1.7908)

s=1432.68

Despuésde 10 años , el valor totalde estainversion esde 1432.68

r= 0.06

t= 10

2.4.2. Aplicación en el crecimiento y decrecimiento9:

En un cultivo hay inicialmente 500 bacterias; y después de 4 horas hay 8000. Si

suponemos que estas bacterias crecen exponencialmente ¿Cuántas abra acabo de 10

horas?

Datos:

P0 = 500

Pf = 8000

t0=4

t1= 10

9 Matemática. Peterson, John C. Mc Graw Hill. Segunda edición, página 19

Solución:8000=500 (e )k 4

16=(e)k 4No obstante, en el ejemplo nos piden determiner y cuanto t=10. P=500 (e¿¿k 4)¿

P=500 (1024)P= 512 000Despu é sde10 h oras , el nú merode bacteriasaumento de500 a 512 000