Proyecto III - Procesamiento Digital de Señales - Final

PROYECTO III

Laura Rodríguez PérezJohan Sebastián Peña Campos

Daissy Carola Toloza Cano

2 2 D E N O V I E M B R E2 0 1 3

P R O C E S A M I E N T O D I G I T A L D E S E Ñ A L E S

Investigue los coeficientes del filtro QMF correspondiente al wavelet de Daubechies-2.

En el ámbito de las ciencias aplicadas usualmente se representa una señal física mediante una función del tiempo s(t ) o en el dominio de la frecuencia por su Transformada de Fourier s(w). Las mismas contienen exactamente la misma información sobre la señal, respondiendo a enfoques distintos y complementarios. Por lo tanto, la información en uno de los dominios puede recuperarse a partir de la información desplegada en el otro. Esto plantea el problema de las representaciones en tiempo-frecuencia.

La transformada wavelet pertenece a una serie de técnicas de análisis de señal denominadas comúnmente análisis multi-resolución. Lo que significa que es capaz de variar la resolución de los parámetros que analiza (escala, concepto relacionado con la frecuencia y tiempo) a lo largo del análisis.

WTx (τ , a )= 1√a ∫−∞

∞

x ( t )h( t−τa )dtLa principal característica de este método es que permite conocer qué

frecuencias componen una señal en cada instante con las siguientes resoluciones:

Para las altas frecuencias consigue una buena resolución en el tiempo que permite su exacta localización temporal, aún a cambio de perder resolución en frecuencia.

Para las componentes de bajas frecuencias lo más relevante es conocer su frecuencia aún a costa de perder resolución temporal.

Las wavelets son familias de funciones que se emplean como funciones de análisis, examinan a la señal de interés para obtener sus características de espacio, tamaño y dirección. Existen diferentes wavelets que tienen definiciones establecidas, sin embargo la elección de un tipo de wavelet depende de la aplicación específica que se le vaya a dar; en este proyecto se hace uso de la transformada wavelet con filtro Daubechies-2 (LÓPEZ M. ,2011).

La transformada wavelet con filtro Daubechies puede tener orden N, dependiendo del número de momentos de desvanecimiento que se deseen, N es un entero positivo y denota el número de coeficientes del filtro que tiene esa wavelet.

La respuesta impulso de Daubechies del filtro análisis pasa bajas

El primer miembro de la familia Daubechies es el banco de filtros de Haar. En el segundo miembro de la familia Daubechies (Figura 1) el filtro de análisis pasa altas tiene un factor de (1−z−1)2. Ahora filtro pasa altas del lado

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de análisis es de la forma z−DH 0 (−z−1), donde H 0(z ) es el filtro pasa bajas del

lado de análisis. Así H 0(z ) debe tener un factor de (1+z−1 )2.

Figura 1. Estructura del filtro QMF de Daubechies-2

Cabe recordar que en la familia Daubechies el número de coeficientes del filtro es siempre par. Así que para el segundo miembro de la longitud del filtro de la familia Daubechies será de 4 y un orden será de 3. Así H 0(z ) tiene 3 ceros. Dos de ellos ya se han especificado para estar en z=−1.

El filtro desarrollado (Daubechies 2) cuenta con cuatro coeficientes. Los coeficientes del filtro pasa – bajas, h0(n) para el filtro de cuatro coeficientes de Daubechies está dado por (LÓPEZ J. , 2010) (PARAMESWARIAH, 2003):

h (n )=[ (1+√3 ) ] , (3+√3 ) , (3−√3 ) , (1−√3 )

8

Por lo tanto,

h0 h1 h2 h30,34150635 0,59150635 0,15849365 −0,09150635

Basado en los coeficientes, exprese las respuestas impulsos de los filtros de análisis y síntesis del banco QMF.

Para lograr que la señal de salida sea una copia de la señal original, el sistema descrito anteriormente (Figura 1) debe cumplir con las condiciones de reconstrucción perfecta (ecuación I) y de antialiasing (ecuación II):

H 0 (f )G0 ( f )+H1 ( f )G1 ( f )=2 (I)

H 0( f−12 )G0 ( f )+H 1( f−12 )G1 ( f )=0(II)

Despejando cada ecuación se obtienen las ecuaciones de diseño de los filtros de cada componente del sistema expresados en función del primer filtro de análisis (pasa-bajas):

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Filtro de análisis pasa-altas:

Dominio de la frecuencia Dominio del tiempo

H 1 (f )=H 0(f−12 ) h1 (n )=h0(n)ej2π n

2

h1 (n )=h0(n) (−1 )n (III)

Filtro de síntesis pasa-bajas:


G0( f )=H 1( f−12 ) g0 (n )=h1(n) (−1 )n

Sustituyendo (III) en (IV):g0 (n )=h0(n) (−1 )2n

g0 (n )=h0(n)

(IV)

Filtro de síntesis pasa-altas:


G1 ( f )=−H 0( f−12 ) g1 (n )=−h0 (n ) (−1 )n

g1 (n )=h0 (n ) (−1 )n+1

Se había obtenido que la función de transferencia del filtro de síntesis pasa-bajos era:

H 0 ( z )=0.4829+0.8364 z−1+0.2241 z−2−0.129 z−3

Haciendo H ( f )=H ( z )|z=e j 2 πf

Entonces, los coeficientes del filtro de análisis pasa bajas son (Figura 2 y Figura 3):

H 0 (f )=0,34150635+0,59150635e− j2πf+0,15849365e− j4 πf−0,09150635 e− j6πf

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Figura 2. Respuesta al impulso del filtro de análisis Ho

Figura 3. Respuesta en frecuencia del filtro de síntesis Ho

Los coeficientes del filtro de análisis pasa altas son (Figura 4 y Figura 5):

H 1 (f )=0,34150635−0,59150635 e− j2πf+0,15849365e− j 4πf+0,09150635e− j6πf

Figura 4. Respuesta al impulso del filtro de análisis H1

Figura 5. Respuesta en frecuencia del filtro de síntesis H1

Los coeficientes del filtro de síntesis pasa bajas son (Figura 6 y Figura 7):

G0 ( f )=0,34150635+0,59150635e− j2πf+0,15849365e− j4 πf−0,09150635 e− j6πf

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Figura 6. Respuesta al impulso del filtro de análisis G0

Figura 7. Respuesta en frecuencia del filtro de síntesis G0

Los coeficientes del filtro de síntesis pasa altas son (Figura 8 y Figura 9):

G1 ( f )=−0,34150635+0,59150635e− j2 πf−0,15849365e− j4πf−0,09150635e− j6πf

Figura 8. Respuesta al impulso del filtro de análisis G1

Figura 9. Respuesta en frecuencia del filtro de síntesis G1

Verifique teóricamente que las condiciones de reconstrucción perfecta y libre de aliasing se cumplen.

A continuación se presenta el análisis para verificar la condición de reconstrucción perfecta:

(|H 0|2+|H 1|

2=2)

H 0=a+be− j2πf+c e− j4 πf−d e− j6 πf

H 0¿=a+be j2πf+c e j4πf−d e j6πf

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H 0H 0¿=a2+abe j2 πf+ac e j4πf−ad e j6πf

b2+bce j2πf−bd e j4πf+abe− j2πf c2−cde j2πf+cbe− j2πf+ace− j4πf d2−cd e− j2πf−bd e− j4πf−ad e− j6πf H 0H 0

¿=(a2+b2+c2+d2)+ (ab+bc−cd ) e j2πf+ (ac−bd ) e j4 πf−ad e j6 πf+ (ab+cb−cd )e− j2πf+(ac−bd ) e− j 4πf−ad e− j6πf

H 1=a−b e− j2πf+c e− j4 πf+d e− j6πf

H 1¿=a−be j2πf+c e j4 πf+d e j6πf

H 1H 1¿=a2−abe j2 πf+ace j4πf+ad e j6 πf

b2−bc e j2 πf−bd e j4 πf−ab e− j2πf c2+cd e j2πf−cbe− j2πf+ace− j4πf d2+cd e− j2 πf−bd e− j4 πf+ad e− j6πf

H 1H 1¿=(a2+b2+c2+d2 )− (ab+bc−cd ) e j2 πf+ (ac−bd ) e j4 πf+ad e j6πf− (ab+cb−cd )e− j2πf+(ac−bd ) e− j 4πf+ad e− j6 πf

H 0H 0¿+H 1H 1

¿=2 (a2+b2+c2+d2 )+2 (ac−bd ) e j4 πf+2 (ac−bd ) e− j4 πf

Sustituyendo:

a=ho=0,34150635 b=h1=0,59150635 c=h2=0,15849365 d=−h3=0,09150635

Y como:ac=bd=0,05412659

Los términos de la ecuación anterior: 2 (ac−bd ) e j4 πf+2 (ac−bd ) e− j4 πf se cancelan, por lo tanto:

H 0H 0¿+H 1H 1

¿=2 (a2+b2+c2+d2 )≅ 1

El resultado de esta ecuación no es igual a 2 como se planteó al inicio, ya que estos coeficientes han sido previamente escalizados.

A continuación se presenta el análisis para verificar la condición de antialiasing:

(H 1G0+H 0G1=0 )

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H 0=a+be− j2πf+c e− j4 πf−d e− j6 πf

H 1=a−b e− j2πf+c e− j4 πf+d e− j6πf

G0=a+be− j2πf+c e− j4 πf−d e− j6 πf

G1=−a+be− j2 πf−c e− j4 πf−de− j6 πf

H 1G 0=a2+abe− j2πf+ace− j 4πf−ad e− j6πf

−ab e− j2πf−b2 e− j4πf−bc e− j6πf+bd e− j8 πf +ace− j 4πf+bc e− j6πf+c2e− j8 πf−cd e− j10 πf

+ade− j6 πf+bd e− j8πf+cde− j10πf−d2 e− j12πf

H 1G 0=a2+(2ac−b2 )e− j4 πf+(2bd+c2 )e− j8πf−d2 e− j12πf

H 0G1=−a2+abe− j2πf−ac e− j4 πf−ad e− j6 πf −ab e− j2πf+b2e− j 4πf−bce− j6πf−bd e− j8 πf

−ac e− j4 πf+bc e− j6πf−c2e− j8πf−cd e− j10πf +ade− j6 πf−bd e− j8 πf+cd e− j10πf+d2 e− j12πf

H 0G1=−a2+(b2−2ac )e− j 4πf−(2bd+c2 )e− j8πf+d2 e− j12πf

H 1G 0+H 0G1=0

−a2+(b2−2ac )e− j 4πf−(2bd+c2 )e− j8πf+d2 e− j12 πf+a2+(2ac−b2 )e− j4 πf+(2bd+c2 )e− j8πf−d2e− j12 πf=0 0=0

Por lo tanto se comprueban las condiciones de reconstrucción perfecta y libre aliasing.

Sobre una señal de audio de prueba, realice una descomposición de al menos 5 niveles. Cada nivel implica una descomposición usando los filtros de análisis QMF, y sus correspondientes down samplers. En este

punto, es obligatoria la implementación de dos rutinas de Matlab: [sl,sh]=análisis(s) y sr=síntesis(sl,sh), que descomponen y

reconstruyen en un nivel.

El sistema que se debe sintetizar a partir del punto anterior tiene como estructura básica los sistemas diádicos de análisis y síntesis mostrados en la Figura 10.

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Figura 10. Filtros QMF de análisis y síntesis

Teniendo como base la Figura anterior, se realizan los 5 niveles como se muestran en la siguiente estructura (Figura 11):

Figura 11. Descomposición y reconstrucción de una señal utilizando 5 niveles

A continuación se procede a realizar las funciones de análisis ([sl,sh]=análisis(s)) y síntesis (sr=síntesis(sl,sh)) generadas en Matlab que tiene como función la descomposición y reconstrucción de la señal:

%% function [sl,sh]= analisis(s)%% Función Análisis% Descompone la señal en un nivel% Parámetros de entrada% s = señal de audio previamente capturada% Parámetros de salida% sh = señal de salida del filtro pasa altas% sl = señal de salida del filtro pasa bajas%% Filtros de analisish0=[0.3415 0.5915 0.1585 -0.0915];h1=[0.3415 -0.5915 0.1585 0.0915];

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N = 2;%% Etapa filtrado s0=filter(h0,1,s);s1=filter(h1,1,s);%% Etapa de diezmadosl=downsample(s0,N);sh=downsample(s1,N);end

%function [sr]= sintesis(sl,sh)%% Funcion sintesis% Devuelve la funcion reconstruida% Parámetros de entrada% sl: señal de bajas frecuencias% sh: señal de altas frecuencias% Parámetro de salida% sr: señal reconstruida%% Coeficientes de los filtros de sintesisg0=[0.3415 0.5915 0.1585 -0.0915];g1=[-0.3415 0.5915 -0.1585 -0.0915];N = 2;%% Etapa de interpolacións0=upsample(sl,N);s1=upsample(sh,N);%% Etapa de filtrados01=filter(g0,1,s0);s11=filter(g1,1,s1);%% Reconstrucciónsr=s01+s11;end

Para la realización de esta prueba se escoge un archivo de audio, el cual corresponde a una señal de voz con la palabra “periodograma” de una duración de 2 segundos, muestreada a 11.050kHz (Figura 12).

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Figura 12. Señal de audio de entrada

Descomposición en 5 niveles dela señal de audio

Utilizando la función análisis generada en el punto anterior, se realiza la descomposición en 5 niveles de la señal de audio como se muestra a continuación:

Para el primer nivel de descomposición (nivel 1) se tienen dos salidas, una generada por el filtro pasa-altas y la otra por el filtro pasa-bajas. En las siguientes figuras se observa las dos bandas del nivel 2 y la señal en el nivel 1.

Figura 13. Señal original, y salidas de Banda 0 y Banda 1

Figura 14. Detalle de las señales.

Cabe especificar que se utiliza un sistema de notación donde la banda inferior (banda 0) pertenece a la banda de más baja frecuencia, la banda 1 a la banda inmediata superior, así hasta la banda n, siendo esta la de mayor frecuencia.

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Figura 15. Señal de Banda 1 Nivel 1 Figura 16. Señal de Banda 0 Nivel 1

Para el segundo nivel de descomposición:



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Tercer nivel:




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Cuarto nivel:

Figura 29. Señal de Banda 3 Nivel 4






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Con este proceso de descomposición de la señal original, a medida que se va aumentando de nivel, se van eliminando dos muestras por cada muestra que se mantiene; por esta razón, el intervalo de tiempo entre muestras consecutivas será mayor a cada nivel, disminuyendo la frecuencia de muestreo a la mitad en cada uno.

Reconstruya la señal eliminando, por ejemplo, todos los detalles del último nivel de descomposición. Compare la señal reconstruida con la

señal original.

A partir de las 32 bandas de salida del sistema de descomposición desarrollado en el punto anterior, se realiza la reconstrucción de la señal original utilizando la función de síntesis generada previamente.

Los resultados se muestran a continuación:




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A medida que aumentan los niveles durante el proceso de reconstrucción, se va observando la disminución en el intervalo de tiempo entre muestras, ya que las etapas de interpolación añaden dos muestras por cada muestra anterior que se tenía. Debido a esto la frecuencia de trabajo va a aumentando al doble en cada nivel.

A continuación se muestran los resultados obtenidos al eliminar el último detalle de la señal (banda 31 del nivel 5 de descomposición) y realizar la síntesis de las 32 bandas:

Figura 77. Detalle de la señal Original y reconstruida

En las gráficas anteriores se observa el desfase esperado entre la señal original y la reconstruida. Igualmente al reproducir la señal original y la reconstruida no se observan cambios, esto es debido a que el nivel eliminado

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pertenece a una frecuencia alta que no aporta mucha información para los umbrales auditivos humanos.

A raíz de esto, se decidió eliminar adicionalmente la banda 8 para realizar la comparación gráfica y auditiva entre los dos resultados. En las gráficas siguientes muestran la señal reconstruida con respecto al original:

Figura 78. Señal Original y Reconstruida

Figura 79. Detalle de la Señal reconstruida

En este caso se pudo comprobar que al reproducir la señal reconstruida hubo un cambio respecto a la original, debido a que la banda que se eliminó

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se encuentra en el rango de las frecuencias que aporta información útil auditivamente.

BIBLIOGRAFÍA

LÓPEZ, J. (07 de 12 de 2010). Tesis de maestría: Diseño de una técnica para adquisición y análisis de señales electrocardiográficas. Obtenido de Repositorio Electrónico del Instituto Politécnico Nacional: http://tesis.bnct.ipn.mx:8080/dspace/bitstream/123456789/10402/1/126.pdf

LÓPEZ, M. (25 de 11 de 2011). Clasificador difuso de señales acústicas ambientales basado en análisis de componentes independientes. Recuperado el 26 de Octubre de 2013, de Repositorio Digital Institucional (RDI). Instituto Politécnico Nacional: http://www.repositoriodigital.ipn.mx/bitstream/handle/123456789/16075/Clasificador%20Difuso%20ICA.pdf?sequence=1

PARAMESWARIAH, C. (26 de 03 de 2003). Understanding wavelet analysis and filters for engineering applications. (G. N. Cázares, Trad.) doi:ISBN 970-10-5628-0

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