PROYECTO NÓVELES MAESTROS Área Magisterial de la

Dirección de Formación y Perfeccionamiento Docente

GEOMETRÍA: PROBLEMAS

Prof. Ana CabreraI.F.D. Florida

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

EL RADIO DEL CÍRCULO

Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del círculo

SOLUCIÓN

Dado que la diagonal de 8 cm. tiene la misma longitud que el radio del círculo, la respuesta es 8 cm.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

EL LADO DEL ROMBO

En una plaza circular de R=9 m. se quiere construir un estanque de forma rómbica, según la figura.

¿Cuánto mide el lado del rombo?

SOLUCIÓN

Basta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectángulo.         Por lo tanto, son iguales en longitud. Lado del rombo = 9 m.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES

¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las dos diagonales de las

caras del cubo?

SOLUCIÓN

60°. Basta observar de que se trata de un triángulo equilátero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

CIRCUNFERENCIAS SECANTES

Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q. El segmento PQ mide 3 cm. Por uno de los puntos (O) donde se cortas las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN?

SOLUCIÓN

MN = 6 centímetros. Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN, obtenemos los puntos R y S. Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ,

surge la respuesta.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

EL ÁNGULO OBTUSO

. ¿Cuánto mide el ángulo obtuso ABC? A, B y C son los puntos medios

de los lados.

SOLUCIÓN

120°. Sólo hace falta terminar de dibujar el hexágono regular ABCDEF.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

EL ÁNGULO EXTERIOR

En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50

¿Cuál es la medida del ángulo x?

.

SOLUCIÓN

Puesto que es isósceles: B = C = (180°-A)/2 = 130°/2 = 65°.

Por lo tanto: x= 180°-C = 180°- 65° = 115°.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS

A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse

cuadrados como muestra la figura adjunta.

Sabiendo que el área del cuadrado inscrito es de cuatro unidades de

superficie, ¿qué área tiene el cuadrado mayor?

.

SOLUCIÓN

Hagámoslo girar 45 hasta la posición que muestra la figura siguiente.

Se observa que el área del cuadrado mayor es el doble que la del inscrito;

es decir, 8 unidades.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

NUEVE ÁNGULOS

Calcula el valor de todos los ángulos de la figura sabiendo que el ángulo 1

vale 70.

.

SOLUCIÓNEl ángulo 2 mide 20°. Por tratarse de un triángulo isósceles (dos lados son radios) los ángulos 4 y 5 son iguales. La suma de los ángulos 2, 3 y 4 es 90°, pues el ángulo total abarca el diámetro. De estas dos condiciones se obtiene que la suma de los ángulos 2 y 4 es igual al ángulo 7. Y el ángulo 7 es igual a dos veces el ángulo 4. De donde el ángulo 2 es la mitad del ángulo 7. Por tanto el ángulo 7 mide 40°, los ángulos 4 y 5 miden 20° cada uno, el ángulo 6 mide 140°, el ángulo 7 mide 50° y los ángulos 8 y 9 son rectos

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

DE UN SOLO TRAZO, ¿POSIBLE O IMPOSIBLE?

Un vértice es impar si de el parten un número impar de caminos. Un vértice es par si de el parten un número par de caminos.

El problema es imposible si en la red hay más de dos vértices impares. Es posible: a) Cuando todos los vértices son pares, y entonces el punto de

partida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay más de dos vértices impares, y entonces el recorrido comienza por uno de ellos y termina en el

otro.

.

SOLUCIÓN Se pueden dibujar de un solo trazo los de la fila superior. Es imposible para los de la fila inferior.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

LOS TRES CUADRADOS.

Tenemos tres cuadrados iguales dispuestos como se muestra en la figura. Usando solamente geometría elemental (no trigonometría) demostrar que el

ángulo C es igual a la suma de los ángulos A y B.

.

SOLUCIÓN La siguiente construcción muestra la solución del problema

SOLUCIÓNEsta otra construcción también muestra la solución del problema. Los triángulos APO y OQR son semejantes, por lo que los ángulos A y O son iguales. Y como C=B+O, C=B+A.

SOLUCIÓNUsando trigonometría: tgA=1/3, tgB=1/2, tgC=1.

tg(A+B) = ... = 1 = tgC. Luego A+B=C.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

POSAVASOS Y SERVILLETA.

Tenemos un posavasos circular y una servilleta cuadrada. Hallar el centro del posavasos con la ayuda únicamente de la servilleta y un lápiz.

.

SOLUCIÓN

Colocamos uno de los vértices de la servilleta sobre cualquiera de los puntos de la circunferencia del posavasos.

El ángulo definido por ABC es un ángulo recto, luego el segmento AC es un diámetro de la circunferencia. Trazamos con un lapicero la línea AC y repetimos la misma operación

eligiendo como B cualquier otro punto del perímetro del posavasos. Una vez trazado el segundo diámetro ya está

hallado el centro de la circunferencia.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS

En la figura adjunta, ¿cuánto mide B?.

SOLUCIÓN

B puede tener cualquier valor. Sean x e y las dos partes en que se divide B, x la mayor. x/6 = B/10 x = 6B/10 y/6 = B/15 y = 6B/15 Como B = x+y. Sustituyendo: B = 6B/10 + 6B/15; o bien: B = 3B/5 + 2B/5. Igualdad que siempre se cumple para cualquier valor de B.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS y CUADRILÁTEROS

En la figura adjunta el triángulo rectángulo tiene el vértice en centro del cuadrado. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

SOLUCIÓN

Observe que los triángulos sombreados de la figura son iguales por ser el triángulo rectángulo. El área

de la sombra es la cuarta parte del área del cuadrado.

Es decir, 36/4 = 9.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

La Mediana

Probar que cada mediana de un triángulo es menor que el promedio de los lados adyacentes. En la figura adjunta, probar que x < (a+b)/2.

SOLUCIÓN

Sólo hay que repetir un triángulo igual al primitivo, opuesto por la base, como se muestra en la figura adjunta.

Es evidente que la diagonal de un cuadrilátero no puede ser mayor que la suma de dos lados consecutivos. Dividiendo por dos la diagonal queda la mediana del triángulo, que por tanto no puede ser igual o mayor que la semisuma de los mismos

lados.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

Área

Las áreas rayadas de la luna y el triángulo, ¿son iguales?

SOLUCIÓN

Sí, son iguales. Veamos: (AB)2 = R2 + R2 = 2R2 Área del cuadrante = PiR2/4 Área del triángulo = R2/2 Área del segmento de arco AB = PiR2/4 - R2/2 Área de la luna = Pi(AB)2/8 - (PiR2/4 - R2/2) = PiR2/4 - PiR2/4 + R2/2 = R2/2.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

SUPERFICIE

La zona sombreada representa un lago. ¿Cuál es la superficie del lago? Los terrenos que lo limitan son cuadrados.

SOLUCIÓN

El lago es un triángulo rectángulo. Para hallar su área, basta saber la longitud de los catetos: Área = 5x12/2 = 30 m².