Proyectos fin de carrera

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Proyectos fin de carrera. Herramienta de visualización de aspectos cohomológicos en imágenes 3D Computación de Cup-i productos. Introducción. Preliminares: - Considerable desarrollo en los últimos años. - PowerPoint PPT Presentation

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  • Proyectos fin de carreraHerramienta de visualizacin de aspectos cohomolgicos en imgenes 3D

    Computacin de Cup-i productos

  • IntroduccinPreliminares:- Considerable desarrollo en los ltimos aos.- Aplicacin en campos tan dispares como el de los Efectos Especiales y Diagnstico de Enfermedades.- Base matemtica: Topologa. Informacin sobre la estructura y comportamiento de las imgenes.- Posibilita diversos procesos sobre ellas:- Clasificacin de objetos- Recuento y etiquetado - Deteccin y seguimiento de bordes- Rellenado - Adelgazamiento- Segmentacin- ...

  • IntroduccinPreliminares:

    Aplicacin en medicina. - Procesos mdicos que obtienen imgenes 3D del cuerpo humano.- Los rganos biolgicos varan su forma pero no su topologa. Ej: corazn.

    Necesidad del estudio matemtico de la imagen:- Parmetros topolgicos.- Comportamiento y estructura.- Operaciones cohomolgicas.

  • IntroduccinObjetivos- Estudio matemtico a mano muy lento y costoso.- Necesidad de herramientas de apoyo.

    - Dirigido a los investigadores en topologa tridimensional.- mbito didctico.

  • IntroduccinDescripcin del proyecto- Mtodo de visualizacin de aspectos homolgicos y cohomolgicos en imgenes 3D.- Implementacin de productos cup e i-cup.Flujo de proceso de imgenes:- Creacin de la imagen (complejos simpliciales).- Adelgazamiento topolgico.- Clculo de productos cup.- Visualizacin de resultados.

  • Conceptos bsicosRelacin entre objetos matemticos y algebraicos

    - Objetos reales y objetos matemticos: necesidad de un paralelismo.

    - El concepto bsico de q-smplice:

    0 smplice:

    1 smplice:

    2 smplice:

    3 smplice:

  • Base MatemticaRelacin con las imgenes

    - Definicin de la imagen mediante q-smplices

    - Descomposicin de una pirmide en q-smplices

  • Elementos de la representacinCaras de un q-smplice

    El Operador Cara

    Simplice compartido

    Smplice desnudo

  • Elementos de la representacin (II)-Complejo Simplicial

    - Smplice maximal

    - Dimensin del Complejo simplicial

  • Representacin de objetos 3DRepresentaciones clsicas

    - Por complejos simpliciales.- Por voxeles:- Divisin del espacio en unidades cbicas y regulares.- No permite smplices.

    - Tetradrica:- No divide el espacio en unidades rgidas.- Utiliza una serie de tetraedros definidos por el espacio.- Caso particular de la representacin por complejos simpliciales.

  • Representacin de objetos 3DRepresentaciones clsicas

    - Por superficies:- No aporta informacin sobre el volumen.- Utiliza las superficies que rodean al objeto.- Representacin muy habitual.

  • Representacin de objetos 3DRepresentacin hbridaDescomposicin del voxel en tetraedrosEspacio dividido en unidades iguales y regulares (voxel)

    Representacin por matriz de voxeles tetraedrizados

    Unidades de dibujo: tetraedros y sub-smplices de ellos

  • Representacin de objetos 3DNumeracin de los vrtices del voxel

  • Representacin de objetos 3DEliminacin del tetraedro (1,2,4,6)

  • Representacin de objetos 3DEliminacin del tetraedro (1,4,5,6)

  • Representacin de objetos 3DEliminacin del tetraedro (1,3,4,5)

  • Representacin de objetos 3DEliminacin del tetraedro (4,5,6,8)

  • Representacin de objetos 3DEliminacin del tetraedro (3,4,5,8)

  • Representacin de objetos 3DSubdivisin de un voxel. Condiciones de la divisin:

    - Completa: Tetraedros encajan para completar el cubo sin huecos.- Mnima: Menor nmero de tetraedros. - Normal: Matriz normal. Interseccin de dos tetraedros de la matriz debe ser vaca o un smplice comn.

  • Representacin de objetos 3DPaso a complejo

    - Transformacin de matriz de voxeles tetraedrizados a representacin simplicial.- Conexin con la herramienta de clculo de operaciones cohomolgicas.- Procedimiento:Por cada voxel, se aaden los smplices que tenga definido al complejo total.

  • Adelgazamiento topolgicoCaractersticas

    - Se aplica justo despus de crear la imagen- Modifica la imagen geomtricamente.- Obtiene una versin simplificada al mximo- No altera la topologa de la imagen (n de componentes, agujeros y huecos).- Los resultados cohomolgicos no dependen de si la imagen est adelgazada.

    Mtodos

    - Colapsos simpliciales- Tetraedros simples (implementado).

  • Adelgazamiento topolgicoMtodo por tetraedros simples

    - Representacin tetradrica de la imagen de entrada.- Tetraedro simple: Aquel cuya eliminacin no altera la topologa de la imagen. Anlisis complejo de un tetraedro simple.Proceso:- Se analizan todos los tetraedros.- Se eliminan aquellos que sean simples.- Mltiples iteraciones.

  • Adelgazamiento topolgicoAdelgazamiento orientado

    - Proceso alternativo al adelgazamiento total.- No analiza todos los tetraedros, slo los vistos en la direccin del adelgazamiento- Infinitas direcciones de adelgazamiento (parametrizacin)- Implementadas slo 6 direcciones.- Efecto paso a paso

  • Adelgazamiento topolgicoAdelgazamiento orientado. Direcciones implementadas:

  • Productos CUPEquivalencia entre espacios topolgicos

    - Definicin del problema- Homeomorfismos- Invariantes: los grupos de cohomologa

    Qu es un Cociclo?

    - Significado topolgico- Estructura

  • Productos CUP

    El producto CUP

    - Qu es el producto CUP?

    - Qu aporta el producto CUP?

    - La implementacin algortmica

  • Productos CUPUn ejemplo de distincin de espacios

    Paso 1: Identificacin de los espacios

    Espacio del Toroide (X)Espacio de la Esfera Wedge (Y)

  • Productos CUPProducto CUP para el Toro

    - Eleccin de cociclos u y v: representantes de H1(X)

    - Ejecucin de los productos cup entre u y v:

    [u] cup [v]= w representante de H2(X)[u] cup [u]=0[v] cup [v]=0[v] cup [u]= -[w]

  • Productos CUPProducto CUP para la esfera Wedge

    - Eleccin de cociclos u y v: representantes de H1(X)

    - Ejecucin de los productos cup entre u y v:

    [u] cup [v]= 0[u] cup [u]=0[v] cup [v]=0[v] cup [u]=0

  • MorfitNecesidad de representar en 3D

    - Tratamiento de imgenes 3D- Se necesitan rutinas de dibujo en 3 dimensiones.

    Opciones:- Desarrollar todas las rutinas (muy costoso)- Conseguir una librera gratuita (opcin escogida)

    Librera escogida: Morfit:- Librera gratuita de funciones 3D- Completa

  • MorfitMundos

    - Unidad espacial de trabajo- Espacio tridimensional sin lmite definido- Anlogo a un papel para un dibujante.

    Sistema de coordenadas

    3 ejes cartesianos:- Eje x: transversal.- Eje y: horizontal.- Eje z: vertical.

  • MorfitCmaras

    - Captan el mundo desde distintas perspectivas.- Influyen en el renderizado.- Renderizado: Representacin 2D de un modelo 3D desde un punto de vista.- El renderizado se realiza desde el punto de vista de una cmara.

    Permiten simular movimiento:- Asociacin de una cmara a un observador.- Moviendo la cmara por el mundo se simula el movimiento del observador- til para ver la imagen desde todos los puntos de vista.

  • MorfitObjetos bsicos

    - Polgonos.- Todos los modelos Morfit estn formados por polgonos.- Problemas al representar los objetos geomtricos.

    Iluminacin

    - Aumenta el realismo de la representacin- Permite apreciar el volumen de los objetos

  • MorfitDibujo de los smplices

    - Deben hacerse usando slo polgonos.

    Vrtices

    - Modelo ideal: esfera. Necesita muchos polgonos = ineficiencia.- Modelo escogido: cubo con centro en el vrtice.

  • MorfitModelo de un vrtice

  • MorfitSegmento

    - Modelo ideal: cilindro con eje coincidente con el segmento. Mismo problema que la esfera.

    - Modelo usado: prisma con eje coincidente con el segmento. Presenta un efecto poco esttico: unin de dos segmentos.

  • MorfitSegmento

    Solucin al efecto poco esttico:utilizacin de prismas afilados.- Parte de un prisma normal.- Se afila desde una cierta distancia de los segmentos.- La unin de segmentos queda ms suave.

  • MorfitTringulo

    - Constituye un polgono por s mismo.- Puede ser representado directamente por Morfit.

    Tetraedro

    - Objeto puramente tridimensional, con volumen- Volumen no representable en Morfit- Se representa mediante su superficie = los tetraedros que forma su borde.

  • AplicacionesEditMatCal-CUP

  • Fin de la presentacinMuchas gracias por su inters