Proyectos fin de carreraHerramienta de visualizacin de aspectos cohomolgicos en imgenes 3D

Computacin de Cup-i productos

IntroduccinPreliminares:- Considerable desarrollo en los ltimos aos.- Aplicacin en campos tan dispares como el de los Efectos Especiales y Diagnstico de Enfermedades.- Base matemtica: Topologa. Informacin sobre la estructura y comportamiento de las imgenes.- Posibilita diversos procesos sobre ellas:- Clasificacin de objetos- Recuento y etiquetado - Deteccin y seguimiento de bordes- Rellenado - Adelgazamiento- Segmentacin- ...

IntroduccinPreliminares:

Aplicacin en medicina. - Procesos mdicos que obtienen imgenes 3D del cuerpo humano.- Los rganos biolgicos varan su forma pero no su topologa. Ej: corazn.

Necesidad del estudio matemtico de la imagen:- Parmetros topolgicos.- Comportamiento y estructura.- Operaciones cohomolgicas.

IntroduccinObjetivos- Estudio matemtico a mano muy lento y costoso.- Necesidad de herramientas de apoyo.

- Dirigido a los investigadores en topologa tridimensional.- mbito didctico.

IntroduccinDescripcin del proyecto- Mtodo de visualizacin de aspectos homolgicos y cohomolgicos en imgenes 3D.- Implementacin de productos cup e i-cup.Flujo de proceso de imgenes:- Creacin de la imagen (complejos simpliciales).- Adelgazamiento topolgico.- Clculo de productos cup.- Visualizacin de resultados.

Conceptos bsicosRelacin entre objetos matemticos y algebraicos

- Objetos reales y objetos matemticos: necesidad de un paralelismo.

- El concepto bsico de q-smplice:

0 smplice:

1 smplice:

2 smplice:

3 smplice:

Base MatemticaRelacin con las imgenes

- Definicin de la imagen mediante q-smplices

- Descomposicin de una pirmide en q-smplices

Elementos de la representacinCaras de un q-smplice

El Operador Cara

Simplice compartido

Smplice desnudo

Elementos de la representacin (II)-Complejo Simplicial

- Smplice maximal

- Dimensin del Complejo simplicial

Representacin de objetos 3DRepresentaciones clsicas

- Por complejos simpliciales.- Por voxeles:- Divisin del espacio en unidades cbicas y regulares.- No permite smplices.

- Tetradrica:- No divide el espacio en unidades rgidas.- Utiliza una serie de tetraedros definidos por el espacio.- Caso particular de la representacin por complejos simpliciales.

Representacin de objetos 3DRepresentaciones clsicas

- Por superficies:- No aporta informacin sobre el volumen.- Utiliza las superficies que rodean al objeto.- Representacin muy habitual.

Representacin de objetos 3DRepresentacin hbridaDescomposicin del voxel en tetraedrosEspacio dividido en unidades iguales y regulares (voxel)

Representacin por matriz de voxeles tetraedrizados

Unidades de dibujo: tetraedros y sub-smplices de ellos

Representacin de objetos 3DNumeracin de los vrtices del voxel

Representacin de objetos 3DEliminacin del tetraedro (1,2,4,6)

Representacin de objetos 3DEliminacin del tetraedro (1,4,5,6)

Representacin de objetos 3DEliminacin del tetraedro (1,3,4,5)

Representacin de objetos 3DEliminacin del tetraedro (4,5,6,8)

Representacin de objetos 3DEliminacin del tetraedro (3,4,5,8)

Representacin de objetos 3DSubdivisin de un voxel. Condiciones de la divisin:

- Completa: Tetraedros encajan para completar el cubo sin huecos.- Mnima: Menor nmero de tetraedros. - Normal: Matriz normal. Interseccin de dos tetraedros de la matriz debe ser vaca o un smplice comn.

Representacin de objetos 3DPaso a complejo

- Transformacin de matriz de voxeles tetraedrizados a representacin simplicial.- Conexin con la herramienta de clculo de operaciones cohomolgicas.- Procedimiento:Por cada voxel, se aaden los smplices que tenga definido al complejo total.

Adelgazamiento topolgicoCaractersticas

- Se aplica justo despus de crear la imagen- Modifica la imagen geomtricamente.- Obtiene una versin simplificada al mximo- No altera la topologa de la imagen (n de componentes, agujeros y huecos).- Los resultados cohomolgicos no dependen de si la imagen est adelgazada.

Mtodos

- Colapsos simpliciales- Tetraedros simples (implementado).

Adelgazamiento topolgicoMtodo por tetraedros simples

- Representacin tetradrica de la imagen de entrada.- Tetraedro simple: Aquel cuya eliminacin no altera la topologa de la imagen. Anlisis complejo de un tetraedro simple.Proceso:- Se analizan todos los tetraedros.- Se eliminan aquellos que sean simples.- Mltiples iteraciones.

Adelgazamiento topolgicoAdelgazamiento orientado

- Proceso alternativo al adelgazamiento total.- No analiza todos los tetraedros, slo los vistos en la direccin del adelgazamiento- Infinitas direcciones de adelgazamiento (parametrizacin)- Implementadas slo 6 direcciones.- Efecto paso a paso

Adelgazamiento topolgicoAdelgazamiento orientado. Direcciones implementadas:

Productos CUPEquivalencia entre espacios topolgicos

- Definicin del problema- Homeomorfismos- Invariantes: los grupos de cohomologa

Qu es un Cociclo?

- Significado topolgico- Estructura

Productos CUP

El producto CUP

- Qu es el producto CUP?

- Qu aporta el producto CUP?

- La implementacin algortmica

Productos CUPUn ejemplo de distincin de espacios

Paso 1: Identificacin de los espacios

Espacio del Toroide (X)Espacio de la Esfera Wedge (Y)

Productos CUPProducto CUP para el Toro

- Eleccin de cociclos u y v: representantes de H1(X)

- Ejecucin de los productos cup entre u y v:

[u] cup [v]= w representante de H2(X)[u] cup [u]=0[v] cup [v]=0[v] cup [u]= -[w]

Productos CUPProducto CUP para la esfera Wedge

- Eleccin de cociclos u y v: representantes de H1(X)

- Ejecucin de los productos cup entre u y v:

[u] cup [v]= 0[u] cup [u]=0[v] cup [v]=0[v] cup [u]=0

MorfitNecesidad de representar en 3D

- Tratamiento de imgenes 3D- Se necesitan rutinas de dibujo en 3 dimensiones.

Opciones:- Desarrollar todas las rutinas (muy costoso)- Conseguir una librera gratuita (opcin escogida)

Librera escogida: Morfit:- Librera gratuita de funciones 3D- Completa

MorfitMundos

- Unidad espacial de trabajo- Espacio tridimensional sin lmite definido- Anlogo a un papel para un dibujante.

Sistema de coordenadas

3 ejes cartesianos:- Eje x: transversal.- Eje y: horizontal.- Eje z: vertical.

MorfitCmaras

- Captan el mundo desde distintas perspectivas.- Influyen en el renderizado.- Renderizado: Representacin 2D de un modelo 3D desde un punto de vista.- El renderizado se realiza desde el punto de vista de una cmara.

Permiten simular movimiento:- Asociacin de una cmara a un observador.- Moviendo la cmara por el mundo se simula el movimiento del observador- til para ver la imagen desde todos los puntos de vista.

MorfitObjetos bsicos

- Polgonos.- Todos los modelos Morfit estn formados por polgonos.- Problemas al representar los objetos geomtricos.

Iluminacin

- Aumenta el realismo de la representacin- Permite apreciar el volumen de los objetos

MorfitDibujo de los smplices

- Deben hacerse usando slo polgonos.

Vrtices

- Modelo ideal: esfera. Necesita muchos polgonos = ineficiencia.- Modelo escogido: cubo con centro en el vrtice.

MorfitModelo de un vrtice

MorfitSegmento

- Modelo ideal: cilindro con eje coincidente con el segmento. Mismo problema que la esfera.

- Modelo usado: prisma con eje coincidente con el segmento. Presenta un efecto poco esttico: unin de dos segmentos.

MorfitSegmento

Solucin al efecto poco esttico:utilizacin de prismas afilados.- Parte de un prisma normal.- Se afila desde una cierta distancia de los segmentos.- La unin de segmentos queda ms suave.

MorfitTringulo

- Constituye un polgono por s mismo.- Puede ser representado directamente por Morfit.

Tetraedro

- Objeto puramente tridimensional, con volumen- Volumen no representable en Morfit- Se representa mediante su superficie = los tetraedros que forma su borde.

AplicacionesEditMatCal-CUP

Fin de la presentacinMuchas gracias por su inters