Prueba de Hipótesis
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Prueba de Hipótesis Prueba de Hipótesis Tema 3 Tema 3
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Prueba de Hipótesis. Tema 3. Prueba de Hipótesis. Hipótesis estadística : afirmación acerca de una característica desconocida de una población. Basado en la información que proporciona la muestra. Prueba de Hipótesis. - PowerPoint PPT Presentation
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Prueba de HipótesisPrueba de Hipótesis
Tema 3Tema 3
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Prueba de HipótesisPrueba de Hipótesis
Hipótesis estadísticaHipótesis estadística:: afirmación acerca de afirmación acerca de una característica desconocida de una poblaciónuna característica desconocida de una población
Basado en la información que proporciona la Basado en la información que proporciona la muestramuestra
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Prueba de HipótesisPrueba de Hipótesis
Una compañía que tiene actualmente el 10% del mercado lanza una campaña de mercadeo. Al final de la campaña, realiza una encuesta para evaluar si su participación en el mercado se ha incrementado.
Una máquina de embotellado está fijada para llenar automáticamente cada botella con 355 ml. de refresco. Para revisar si la máquina necesita ser reajustada, un inspector de control de calidad examina una muestra aleatoria de botellas recién llenadas.
Definición del ParámetroEstablecimiento de hipótesis
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Para poder concluir si nuestra afirmación es cierta o no, debemos realizar una prueba de hipótesis y así decidir, a partir de una muestra aleatoria, si existe suficiente evidencia experimental que apoye la hipótesis.
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Componentes de una prueba de hipótesisComponentes de una prueba de hipótesis
• Parámetro de interés
• Hipótesis nula y la alternativa
• Errores tipo I y tipo II
• Nivel de significancia de la prueba
• Región de rechazo
• Estadístico de prueba - Valor P
• Conclusión
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Identificación del parámetro de interésIdentificación del parámetro de interés
La proporción de clientes que comprarían el producto de la compañía luego que finalice la campaña
El volumen promedio (en ml.) por botella.
Los tests de hipótesis pueden hacerse sobre parámetros de la distribución normal (media, varianza) y también proporciones.
Campaña de mercadeo
Embotelladora
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Ho : La hipótesis que no deseamos abandonar salvo que exista suficiente evidencia en su contra
Ha : También es llamada hipótesis de estudio. Es normalmente la hipótesis que se desea probar con base en la información contenida en la muestra.
Establecimiento de la hipótesis nula y la alternativaEstablecimiento de la hipótesis nula y la alternativa
Ho: p= 0.1Ha: p> 0.1
Ho: μ=355Ha: μ≠355
Campaña de mercadeo Embotelladora
Test Test Unilateral Unilateral (de una (de una cola)cola)
Test Test Bilateral (de Bilateral (de dos colas)dos colas)
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Se le pregunta a N personas sobre el producto o Se le pregunta a N personas sobre el producto o se llenan N botellasse llenan N botellas
Se compara la proporción o la media de las Se compara la proporción o la media de las botellas con el límite botellas con el límite LL preestablecido. preestablecido.
L
parámetro
Región de aceptación Región de rechazo
¿Cómo decidir?¿Cómo decidir?
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Error tipo I y tipo IIError tipo I y tipo II
El rechazo de la hipótesis nula Ho cuando ésta es verdadera
La aceptación de la hipótesis nula cuando ésta es falsa
Error Tipo I
Error Tipo II
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Error tipo I y tipo IIError tipo I y tipo IISe rechaza H0
siendo verdadera H0
Se acepta H0, cuando es
verdadera Ha
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Campaña de mercadeo Embotelladora
Error tipo I Error tipo II Ejemplo
Concluir que la proporción del mercado se ha incrementado, cuando en realidad no es así
Concluir que la proporción del mercado no se ha incrementado, cuando en realidad sí es así
Campaña de mercadeo
Concluir que la media por botella no es 355 ml, cuando en realidad sí lo es
Concluir que la media por botella es igual a 355 ml, cuando en realidad la media por botella es diferente a esta cifra
Embotelladora
Ho: p= 0.1Ha: p> 0.1
Ho: μ=355Ha: μ≠355
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Error de Primer TipoError de Primer Tipo Es el más importante de los errores involucrados Es el más importante de los errores involucrados
Es el error que no se desea cometer y se controla Es el error que no se desea cometer y se controla
asignándole una probabilidad baja, asignándole una probabilidad baja, αα
No es una decisión estadísticaNo es una decisión estadística
Ho es rechazada si y solo si el riesgo de cometer Ho es rechazada si y solo si el riesgo de cometer
un error de tipo I no es más que un error de tipo I no es más que αα
Nivel de significaciónNivel de significación = error de tipo I = = error de tipo I = αα
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¿Cómo decidir?¿Cómo decidir?Decisión
Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa
Hip
ótes
is
Nul
a
Acierto Error de primer
tipo
Rea
lidad
Hip
ótes
is
Alt
erna
tiva
Error de segundo tipo
Acierto
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¿Culpable o Inocente?¿Culpable o Inocente?
Decisión
I nocente Culpable In
ocen
te
Acierto Error de primer
tipo
Rea
lidad
Cul
pable
Error de segundo tipo
Acierto
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Error tipo I y tipo IIError tipo I y tipo II
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¿Culpable o inocente?¿Culpable o inocente?
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Embotelladora Ho: μ=355Ha: μ≠355
Supongamos el nivel de significancia es de un 5% ¿Qué significa esto?
Que no estamos dispuestos a tomar un riesgo mayor al 5% de concluir que la máquina no está operando correctamente (rechazar Ho) cuando en realidad sí lo está haciendo (Ho es cierta).
Nivel de significanciaNivel de significancia
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ad Errores sobre las Errores sobre las distribucionesdistribuciones
m
L
HHoo → μ = μ → μ = μoo
HHaa→ μ = μ→ μ = μaa > μ > μoo
ββ
m
potencia
L μμaa
μμoo
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La compañía JABOLUX está desarrollando un nuevo La compañía JABOLUX está desarrollando un nuevo champú, y está interesada en la altura de la espuma (en champú, y está interesada en la altura de la espuma (en mm). La altura de la espuma tiene una distribución mm). La altura de la espuma tiene una distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de aproximadamente normal, con una desviación estándar de 20 mm. La compañía desea probar Ho: 20 mm. La compañía desea probar Ho: µ µ = 175 mm contra = 175 mm contra H1: H1: µµ > 175 mm, utilizando los resultados obtenidos con 10 > 175 mm, utilizando los resultados obtenidos con 10 muestras.muestras.
a.- Encuentre a.- Encuentre αα la probabilidad del error la probabilidad del error tipo I si la región crítica es m > 185tipo I si la región crítica es m > 185 (m ≡ media muestral)
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α=0.057
ZP
- z
057.0)58.1(
58.1
10
20175185
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b- ¿Cuál es la b- ¿Cuál es la probabilidad de error probabilidad de error tipo II si la verdadera tipo II si la verdadera altura promedio de la altura promedio de la espuma es 197 mm?espuma es 197 mm?
β = 0.0294
ZP
- z
0294.0)8973.1(
8973.1
10
20197185
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β = 0.215
c- ¿Cuál es la c- ¿Cuál es la probabilidad de error probabilidad de error tipo II si la verdadera tipo II si la verdadera altura promedio de la altura promedio de la espuma es 190 mm?espuma es 190 mm?
¿Ud cree que ¿Ud cree que ββ aumentará o aumentará o disminuirá?disminuirá?
¿Qué ocurre con β a medida que el
verdadero valor de la media se acerca a μ0?
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β = 0.785
d- ¿Cuál es la d- ¿Cuál es la probabilidad de error probabilidad de error tipo II si la verdadera tipo II si la verdadera altura promedio de la altura promedio de la espuma es 180 mm?espuma es 180 mm?
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Con n=10
α = 0.0127
Con n=20
e- encuentre ahora la e- encuentre ahora la probabilidad de error tipo I probabilidad de error tipo I si la muestra aumenta a si la muestra aumenta a 20.20.
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f- ¿Cuál es ahora la f- ¿Cuál es ahora la probabilidad de error probabilidad de error tipo II si la verdadera tipo II si la verdadera altura promedio de la altura promedio de la espuma es 197 mm?espuma es 197 mm?
β = 0.0036
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ad ¿Cómo se construye la ¿Cómo se construye la decisión?decisión?
Se toma la curva de la media muestral Se toma la curva de la media muestral de la hipótesis nula Hde la hipótesis nula Hoo
N
z + = L
N
z = L
o
o
2/2
2/1
L2
Región de rechazo
L1
No se rechaza H0 si L1 ≤ m ≤ L2
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ad ¿Cómo se construye la ¿Cómo se construye la decisión?decisión?
N
Xz o
/0
zα/2
Estadístico de prueba (para la media)
Región de rechazo(región crítica)
-zα/2
No se rechaza H0 si -zα/2 ≤ z0 ≤ zα/2
Test BilateralTest Bilateral
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¿Cómo se construye la ¿Cómo se construye la decisión?decisión?
zα
Región de rechazo(región crítica)
Se rechaza H0 si z0 ≤ -zα
Test Test UnilateralUnilateral
Región de rechazo(región crítica)
Se rechaza H0 si z0 ≥ zα
-zα
Cola Cola Inferior. Ej: Inferior. Ej: μμ <10 <10
Cola Cola Superior. Ej: Superior. Ej: μμ >10 >10
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Antes de tomar un curso de lectura rápida, a María le tomaba en promedio 85 segundos leer la página de un libro. Para medir la efectividad del curso, María decide tomarse el tiempo que tarda leyendo. Suponga que tarde 13 minutos y 40 segundos leer 10 páginas de un libro.
a) Defina el parámetro de interésb) Establezca Ho y Ha c) En el contexto de este problema, ¿qué significa cometer un error
tipo I? ¿y tipo II?d) Asumiendo que las 10 páginas son representativas delmaterial de lectura de María, y la desviación estándardel tiempo que le toma a María leer una página es 14 segundos, puede concluir de esto que el curso ha incrementado su velocidad de lectura? Considere un5% de nivel de significancia.
Ejemplo de Prueba de hipótesis relativa a la Ejemplo de Prueba de hipótesis relativa a la media de una población (varianza conocida).media de una población (varianza conocida).
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El departamento de infraestructura de la Gobernación del Estado Zulia El departamento de infraestructura de la Gobernación del Estado Zulia piensa reparar 25 kilómetros de la Circunvalación 1, utilizando para ello piensa reparar 25 kilómetros de la Circunvalación 1, utilizando para ello un material más eficiente que el actual. Una consideración importante un material más eficiente que el actual. Una consideración importante es el volumen de carga pesado sobre la autopista. Las estaciones de es el volumen de carga pesado sobre la autopista. Las estaciones de control de peso del estado informan que el número medio de camiones control de peso del estado informan que el número medio de camiones pesados que viajan por un tramo de 25 kilómetros es de 72 por hora. pesados que viajan por un tramo de 25 kilómetros es de 72 por hora. Sin embargo, como la sección de la autopista por reparar se encuentra Sin embargo, como la sección de la autopista por reparar se encuentra cerca de varias fábricas, la división de ingeniería piensa que el volumen cerca de varias fábricas, la división de ingeniería piensa que el volumen de tráfico de carga es mayor que el valor medio informado para toda la de tráfico de carga es mayor que el valor medio informado para toda la autopista. A fin de comprobar la validez de su teoría, el departamento autopista. A fin de comprobar la validez de su teoría, el departamento vigila la autopista durante 50 periodos de una hora seleccionados vigila la autopista durante 50 periodos de una hora seleccionados aleatoriamente durante todo el mes. Suponga que la aleatoriamente durante todo el mes. Suponga que la media del tráfico de carga pesado fue de 74.1 y la media del tráfico de carga pesado fue de 74.1 y la desviación estándar (real) es 13.3. ¿Apoyan desviación estándar (real) es 13.3. ¿Apoyan estos datos la teoría del departamento? Utilice estos datos la teoría del departamento? Utilice αα=0.10=0.10
Ejemplo de Prueba de hipótesis relativa a la Ejemplo de Prueba de hipótesis relativa a la media de una población (varianza conocida).media de una población (varianza conocida).
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Si el número medio μ de camiones de carga que viajan por el tramo de 25 kilómetros en cuestión es en realidad de 78 por hora, ¿qué probabilidad hay de que el procedimiento de prueba no detecte esto? Es decir ¿qué probabilidad β hay de que no rechacemos H0:μ=72 si en realidad μ es igual a 78?
Ejemplo de Prueba de hipótesis relativa a la Ejemplo de Prueba de hipótesis relativa a la media de una población (varianza conocida).media de una población (varianza conocida).
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El peso medio de una muestra aleatoria de 81 personas de La Concepción es de 63,6 kg. Se sabe que la desviación típica poblacional es de 6 kg. Con un nivel de significación del 0,05% ¿hay suficiente evidencia para rechazar la afirmación de que el peso medio poblacional es de 65 kg?
Ejemplo de Prueba de hipótesis relativa a la Ejemplo de Prueba de hipótesis relativa a la media de una población (varianza conocida).media de una población (varianza conocida).
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Valor pValor p El mínimo nivel de significación para el cual los El mínimo nivel de significación para el cual los
datos observados indican que se tendría que datos observados indican que se tendría que rechazar la hipótesis nularechazar la hipótesis nula
Si el valor-p es “suficientemente pequeño” es Si el valor-p es “suficientemente pequeño” es decir menor que el nivel de significación decir menor que el nivel de significación rechazamos la hipótesis nula rechazamos la hipótesis nula
Es el valor que reportan los paquetes Es el valor que reportan los paquetes
estadísticosestadísticos
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Si rechazamos Ho con una muestra como la obtenida, Si rechazamos Ho con una muestra como la obtenida, la probabilidad de cometer un error de tipo I es la probabilidad de cometer un error de tipo I es exactamente igual al valor p.exactamente igual al valor p.
es el máximo riesgo que estamos dispuestos a tomar de es el máximo riesgo que estamos dispuestos a tomar de cometer un error tipo I. Si el riesgo actual (valor p) es menor cometer un error tipo I. Si el riesgo actual (valor p) es menor que que , entonces tomamos el riesgo de rechazar Ho., entonces tomamos el riesgo de rechazar Ho.
Valor pValor p
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También puede verse como el nivel de significación que tendría el test si el límite de decisión coincidiera con el estadístico de decisión (la media muestral, por ejemplo)
Valor p
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Nos dice cuán factible es observar una muestra como la Nos dice cuán factible es observar una muestra como la actual si Ho es cierto. actual si Ho es cierto.
Valor grande de p La muestra observada es bastante compatible con Ho.
Valor pequeño de p Es poco probable que la muestra observada venga de una población donde Ho se cumple.
Valor pValor p
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Región de rechazo
L m
Esta media está tan alejada de la 0, que solo el 2% de las veces se produce un desvío tan grande como éste.
Valor pValor p
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L m
El 10% de las veces ocurre que la media sea m.
Región de rechazo
Valor pValor p
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Valor pValor p Para una prueba de cola superior Para una prueba de cola superior (donde Ha está
expresada usando el signo >), mientras más grande , mientras más grande zz00, más fuerte es la evidencia contra H, más fuerte es la evidencia contra H00..
Valor p = P(Z>zValor p = P(Z>z00))
Para una prueba de cola inferior Para una prueba de cola inferior (donde Ha está expresada usando el signo <), mientras más , mientras más pequeño zpequeño z00, más fuerte es la evidencia contra H, más fuerte es la evidencia contra H00..
Valor p = P(Z<-zValor p = P(Z<-z00))
Para una prueba de dos colas Para una prueba de dos colas (donde Ha está expresada usando el signo ≠), mientras más alejado , mientras más alejado está zestá z00 del 0, más fuerte es la evidencia contra H del 0, más fuerte es la evidencia contra H00..
Valor p = 2P(Z>|zValor p = 2P(Z>|z00|)|)
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El Ministerio de la Juventud de Argentina maneja el dato de que El Ministerio de la Juventud de Argentina maneja el dato de que la edad a la que los hijos se independizan de sus padres es una la edad a la que los hijos se independizan de sus padres es una variable normal con media 29 años y desviación típica 3 años. variable normal con media 29 años y desviación típica 3 años. Aunque la desviación típica no plantea dudas, sí se sospecha Aunque la desviación típica no plantea dudas, sí se sospecha que la media ha descendido, sobre todo por la política de ayuda que la media ha descendido, sobre todo por la política de ayuda al empleo que ha llevado a cabo el Gobierno. Así, de un estudio al empleo que ha llevado a cabo el Gobierno. Así, de un estudio reciente sobre 100 jóvenes que se acaban de independizar, se reciente sobre 100 jóvenes que se acaban de independizar, se ha obtenido una media de 28,1 años de edad. ha obtenido una media de 28,1 años de edad. a.- Con un nivel de significación del 1%, ¿ puede defenderse que a.- Con un nivel de significación del 1%, ¿ puede defenderse que la edad media no ha disminuido, frente a que sí lo ha hecho la edad media no ha disminuido, frente a que sí lo ha hecho como parecen indicar los datos? Plantea el contraste o test de como parecen indicar los datos? Plantea el contraste o test de hipótesis y resuélvelo. hipótesis y resuélvelo. b.- ¿Cuál es el valor p de esta prueba? b.- ¿Cuál es el valor p de esta prueba? c.- ¿Cuáles serían los resultados si la mediac.- ¿Cuáles serían los resultados si la media muestral hubiese sido 28,5 años?muestral hubiese sido 28,5 años?
Prueba de hipótesis relativa a la media de una Prueba de hipótesis relativa a la media de una población (varianza conocida).población (varianza conocida).
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En un esfuerzo por reducir el congestionamiento de tráfico, las autoridades regionales han promovido campañas en las cuales se anima a las personas a que usen un solo vehiculo en las horas pico (la idea de “car pools”). Para medir la efectividad de la campaña, se midió la velocidad de 40 vehículos, en la av. Libertador durante las horas pico. El promedio fue de 15 km/h con una desviación estándar de 7 km/h. Puede concluirse que la velocidad se ha incrementado luego de las campañas? Hace 10 meses, antes de que se comenzara con estas campañas, la velocidad promedio de los vehículos en la av. Libertador durante las horas pico era de 12 km/h. (Para realizar la prueba utilice =5%)
Prueba de hipótesis relativa a la media de una Prueba de hipótesis relativa a la media de una población (varianza conocida).población (varianza conocida).
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ad Error tipo II y selección del tamaño de la Error tipo II y selección del tamaño de la muestra. Curvas características de operaciónmuestra. Curvas características de operación
0
d
Los sistemas de escape de emergencia para tripulaciones de aeronaves son impulsados por un combustible sólido. Una de las características importantes de este producto es la rapidez de combustión. Las especificaciones requieren que la rapidez promedio de combustión sea 50 cm/s. Se sabe que la desviación estándar de esta rapidez es σ=2 cm/s. El experimentador decide especificar la probabilidad para el error tipo I en 0,05 y toma una muestra de n=25. Supóngase que se está interesado en la probabilidad de error tipo II si la verdadera rapidez promedio de combustión es 51 cm/s.
5.02
1
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Curvas características de operaciónCurvas características de operación
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Curvas características de operaciónCurvas características de operación
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ad Error tipo II y selección del tamaño de la Error tipo II y selección del tamaño de la muestra. Curvas características de operaciónmuestra. Curvas características de operación
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d
Supóngase que se quiere diseñar la prueba de tal manera que, si el verdadero valor de la rapidez promedio de combustión difiere tanto como 1 cm/s del valor de 50 cm/s, la prueba detecte este hecho con una probabilidad de 0.90.
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)(
a
ZZN
Error tipo II y selección del tamaño de la Error tipo II y selección del tamaño de la muestramuestra
2
0
2/ )(
a
ZZN
Test de una colaTest de una cola
Test de dos colasTest de dos colas
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ad Test sobre la media Test sobre la media Desviación estándar Desviación estándar
desconocidadesconocidaAlternativa
Región de aceptación Valor p
μa > μo Est < T1-α,N-1 1- P(TN-1<Est)
μa < μo Est > Tα,N-1 P(TN-1<Est)
μa μo Tα/2,N-1< Est <T1-α/2,N-1 2(1- P(TN-1<|Est|))
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Se hizo un estudio de una muestra de 25 Se hizo un estudio de una muestra de 25 expedientes de enfermos crónicos atendidos expedientes de enfermos crónicos atendidos como pacientes externos. El número medio de como pacientes externos. El número medio de consultas por paciente fue de 4.8 y la consultas por paciente fue de 4.8 y la desviación estándar de la muestra fue de 2. desviación estándar de la muestra fue de 2. ¿Es posible concluir a partir de estos datos que ¿Es posible concluir a partir de estos datos que la media de la población es mayor que cuatro la media de la población es mayor que cuatro visitas por paciente? Suponga que la visitas por paciente? Suponga que la probabilidad de cometer un error de tipo I es probabilidad de cometer un error de tipo I es de 0.05.de 0.05.
Prueba de hipótesis relativa a la media de Prueba de hipótesis relativa a la media de una población (varianza desconocida).una población (varianza desconocida).
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Prueba de hipótesis de proporcionesPrueba de hipótesis de proporciones
npp
ppz
/)1( 00
00
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ad
Hace dos años, una de cada cinco personas que compraban en Hace dos años, una de cada cinco personas que compraban en
AMAZON vía internet eran compradores que utilizaban por primera AMAZON vía internet eran compradores que utilizaban por primera
vez este medio. En un estudio reciente, de 250 ventas, 39 fueron vez este medio. En un estudio reciente, de 250 ventas, 39 fueron
realizadas por personas que por primera vez compraban vía realizadas por personas que por primera vez compraban vía
internet. internet. ¿Es diferente el porcentaje de personas que ¿Es diferente el porcentaje de personas que
compran por primera vez vía internet, al porcentaje que compran por primera vez vía internet, al porcentaje que
representaban hace dos años? Realice una prueba de representaban hace dos años? Realice una prueba de
hipótesis con un hipótesis con un αα = 10%. = 10%.
a)a) Defina el parámetro de interésDefina el parámetro de interés
b)b) Establezca H0 y Ha Establezca H0 y Ha
c)c) En el contexto de este problema, ¿qué significa cometer un error En el contexto de este problema, ¿qué significa cometer un error
tipo I? ¿y tipo II?tipo I? ¿y tipo II?
d)d) Diga su conclusiónDiga su conclusión
Ejemplo de Prueba de hipótesis de Ejemplo de Prueba de hipótesis de proporcionesproporciones
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ad
El gobernador del Zulia afirma que tiene el apoyo de al menos el
80% de los pobladores de Isla de Toas. Alguien del partido
contrario quiere probar que lo que dice el actual gobernador
es falso. Para hacer esto, organiza y aplica una encuesta en
la cual se le pregunta a 1040 habitantes de esta isla:
“¿Apoya usted al actual gobernador?”. 807 personas
responden “Sí”. ¿Tiene la persona suficiente evidencia para
refutar lo que dice el gobernador? Realice la prueba
utilizando un α = 5% y al 1%.
Ejemplo de Prueba de hipótesis de Ejemplo de Prueba de hipótesis de proporcionesproporciones
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ad
Paso fundamental:
Verificar que el estadístico satisface la condición de la hipótesis alternativa (lo que queremos probar). Si no lo satisface no hay que hacer prueba de hipótesis, simplemente no se rechaza la hipótesis nula.
Prueba de hipótesis sobre las medias de dos distribuciones normales
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Prueba de hipótesis sobre las medias de dos distribuciones normales. Muestras
grandes.
221
)12()11( 22
212
nn
snsnsp
21
)(22
21
0210
ns
ns
s
Dxxz
p
Punto(s) crítico(s): zα o zα/2
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El porcentaje de grasa corporal puede ser un buen indicador del estado El porcentaje de grasa corporal puede ser un buen indicador del estado metabólico energético y la salud general de un individuo. En un estudio de metabólico energético y la salud general de un individuo. En un estudio de porcentaje de grasa corporal de estudiantes en Venezuela se seleccionaron porcentaje de grasa corporal de estudiantes en Venezuela se seleccionaron al azar y de forma independiente dos grupos de estudiantes saludables del al azar y de forma independiente dos grupos de estudiantes saludables del sexo masculino inscritos en liceos públicos y privados del país. Se midió el sexo masculino inscritos en liceos públicos y privados del país. Se midió el porcentaje de grasa corporal en cada uno, con los resultados que se porcentaje de grasa corporal en cada uno, con los resultados que se resumen abajo. ¿La información de la muestra proporciona suficiente resumen abajo. ¿La información de la muestra proporciona suficiente información para llegar a la conclusión de que el porcentaje de grasa información para llegar a la conclusión de que el porcentaje de grasa corporal en liceístas saludables del sexo masculino que van a liceos corporal en liceístas saludables del sexo masculino que van a liceos privados difiere de la media correspondiente a estudiantes que van a liceos privados difiere de la media correspondiente a estudiantes que van a liceos públicos? Utilice un nivel de significancia del 5%.públicos? Utilice un nivel de significancia del 5%.
Liceos privadosLiceos privados Liceos públicosLiceos públicosn1 = 193n1 = 193 n2 = 188n2 = 188m1 = 12.07m1 = 12.07 m2 = 11.04m2 = 11.04s1 = 3.04s1 = 3.04 s2 = 2.63s2 = 2.63
Prueba de hipótesis sobre las medias de dos distribuciones normales. Muestras
grandes.
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221
)12()11( 22
212
nn
snsnsp
21
11
)( 0210
nns
Dxxt
p
Punto(s) crítico(s): tα,n1+n2-2 o tα/2,n1+n2-2
Prueba de hipótesis sobre las medias de dos distribuciones normales. Muestra pequeña. Caso 1:
σ12=σ2
2
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Se analizan dos catalizadores para determinar la forma en que afectan el rendimiento promedio de un proceso químico. De manera específica, el catalizador 1 es el que se está empleando en este momento, pero el catalizador 2 también es aceptable. Debido a que el catalizador 2 es más económico, éste puede adoptarse siempre y cuando no cambie el rendimiento del proceso. Se hace una prueba en una planta piloto; los resultado se muestran en la tabla. ¿Existe alguna diferencia entre los rendimientos promedio? Utilice α =0.05 y suponga que las varianzas son iguales.
Prueba de hipótesis sobre las medias de dos distribuciones normales. Muestra pequeña. Caso 1:
σ12=σ2
2
Cataliz. 1 Cataliz. 2
91,5 89,19
94,18 90,95
92,18 90,46
95,39 93,21
91,79 97,19
89,07 97,04
94,72 91,07
89,21 92,75
92.2692.26 92.7392.73
2.382.38 2.982.98
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Observaciones ApareadasObservaciones Apareadas Cuando se miden dos variables sobre las Cuando se miden dos variables sobre las
mismas unidades experimentalesmismas unidades experimentales Los tamaños muestrales son igualesLos tamaños muestrales son iguales
Crear la variable Z = Y - XCrear la variable Z = Y - X Se reduce el análisis de la diferencias de medias Se reduce el análisis de la diferencias de medias
al estudio de si la media de la variable Z es 0al estudio de si la media de la variable Z es 0 Las pruebas se reducen a las pruebas de una Las pruebas se reducen a las pruebas de una
población si se considera como nueva variable la población si se considera como nueva variable la diferencia de las variables que se desea diferencia de las variables que se desea compararcomparar
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Observaciones ApareadasObservaciones Apareadas
n
Ddt
d /0
H0: (μ1-μ2)=D0
Ha: (μ1-μ2)>D0 o Ha: (μ1-μ2)<D0
H0: (μ1-μ2)=D0
Ha: (μ1-μ2)≠D0
1, ntt
1, ntt
1,2/ ntt
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Se pueden utilizar dos pruebas analíticas diferentes para determinar el Se pueden utilizar dos pruebas analíticas diferentes para determinar el nivel de impureza en aleaciones de acero. Se prueban ocho nivel de impureza en aleaciones de acero. Se prueban ocho especimenes con ambos procedimientos. De acuerdo a los resultados especimenes con ambos procedimientos. De acuerdo a los resultados obtenidos, ¿existe suficiente evidencia para concluir que ambas obtenidos, ¿existe suficiente evidencia para concluir que ambas pruebas dan el mismo nivel de impureza promedio, utilizando pruebas dan el mismo nivel de impureza promedio, utilizando αα = = 0.010.01??
Ejemplo de Prueba de hipótesis de diferencia de Ejemplo de Prueba de hipótesis de diferencia de medias: Muestras apareadasmedias: Muestras apareadas
Espécimen Prueba 1 Prueba 2
1 1,2 1,4
2 1,3 1,7
3 1,5 1,5
4 1,4 1,3
5 1,7 2
6 1,8 2,1
7 1,4 1,7
8 1,3 1,6
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Diez individuos participan en un Diez individuos participan en un programa de modificación de programa de modificación de hábitos alimenticios diseñado hábitos alimenticios diseñado para estimular la pérdida de para estimular la pérdida de peso. En la tabla, se muestra el peso. En la tabla, se muestra el peso de cada participante antes peso de cada participante antes y después de haber participado y después de haber participado en el programa. ¿Existe en el programa. ¿Existe evidencia que apoye la evidencia que apoye la afirmación de que este afirmación de que este programa reduce el peso programa reduce el peso promedio en al menos 10 libras? promedio en al menos 10 libras? Utilice Utilice αα = 0.05. = 0.05.
Ejemplo de Prueba de hipótesis de diferencia de Ejemplo de Prueba de hipótesis de diferencia de medias: Muestras apareadasmedias: Muestras apareadas
Sujeto Antes Después
1 195 187
2 213 195
3 247 221
4 201 190
5 187 175
6 210 197
7 215 199
8 246 221
9 294 278
10 310 285
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Alternativa Región de aceptación Valor p
σ2 > σo
2 Est < α,N-11-FCHI(Est,N-1)
σ2 < σo
2 Est > α,N-1 FCHI(Est,N-1)
σ2 σo2 α/2,N-1< Est < α/2,N-1
2(1-FCHI(|Est|,N-1))
20
22 )1(
sn
Prueba de hipótesis de la varianza de una población
Supuesto:Supuesto: La población de la que se escogió la muestra aleatoria tiene una distribución aproximadamente normal
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ad
Se registraron los valores de Se registraron los valores de
hemoglobina (g%) de una muestra de hemoglobina (g%) de una muestra de
21 niños que formaban parte de un 21 niños que formaban parte de un
estudio de leucemia aguda. La estudio de leucemia aguda. La
varianza de las observaciones fue de varianza de las observaciones fue de
5. ¿Proporcionan estos datos 5. ¿Proporcionan estos datos
suficiente evidencia para indicar que suficiente evidencia para indicar que
la varianza de la población es mayor la varianza de la población es mayor
que 4? Sea que 4? Sea =0.05.=0.05.
Prueba de hipótesis de la varianza de una población
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ad
Tenemos una máquina de llenado de botellas, en la cual, al tomar una muestra de 20 botellas, se obtiene una varianza muestral para el volumen de llenado de s2=0.0153 (onzas de fluido)2. Si la varianza del volumen de llenado es mayor que 0.01 (onzas de fluido)2, entonces existe una proporción inaceptable de botellas que serán llenadas con una cantidad menor de líquido. ¿Existe evidencia en los datos muestrales que sugiera que el fabricante tiene un problema de llenado de las botellas? Utilice =0.05.
Ejemplo de Prueba de hipótesis sobre la Ejemplo de Prueba de hipótesis sobre la varianzavarianza
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ad
Prueba de hipótesis de la varianza de una población
Un supervisor de control de calidad en una enlatadora sabe que la cantidad exacta contenida en cada lata varía, pues hay ciertos factores imposibles de controlar que afectan la cantidad de llenado. El llenado medio por lata es importante, pero igualmente importante es la variación σ2 de la cantidad de llenado. Si es grande, algunas latas contendrán muy poco, y otras, demasiado. Suponga que la desviación estándar de la cantidad de llenado debe ser menor a 0.1 onzas. El supervisor escoge al azar 10 latas y pesa el contenido de cada una, obteniendo los siguientes pesos (en onzas):
7.96 7.90 7.98 8.01 7.97 7.96 8.03 8.02 8.04 8.02
¿Esta información proporciona pruebas suficientes de que la desviación estándar de las mediciones de llenado es menor que 0.1 onza?
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bilid
adPrueba de hipótesis de la varianza de dos
poblaciones
FF
s
sF
s
sF
H
H
H
:rechazo deRegión
:prueba de aEstadístic
1:
1:
1:
21
22
22
21
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1
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21
1
22
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0
2/
22
21
1
22
21
0
:rechazo deRegión menor muestral Varianzamayor muestral Varianza
:prueba de aEstadístic
1:
1:
FF
F
H
H
Prueba de dos colas
Prueba de una cola
Distribución F con v1,v2 grados de libertad; donde v1= n1-1 grados de libertad de la muestra en el numerador y v2 = n2-1 grados de libertad de la muestra en el denominador
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ad
Se efectuó una prueba para determinar el nivel de angustia de una muestra de pacientes varones y de una muestra de pacientes mujeres poco antes de practicarles la misma intervención quirúrgica. Los tamaños de las muestras y las varianzas calculadas a partir de los puntajes obtenidos son los siguientes:
Mujeres Varonesn = 16 n = 21s2 = 3.04 s2 = 2.63
Proporcionan estos datos suficiente evidencia para indicar que, en las poblaciones representadas, los puntajes obtenidos por las mujeres son más variables que los obtenidos por los hombres?. Sea =0.05
Prueba de hipótesis de la varianza de dos poblaciones
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Pruebas de Ajuste de Pruebas de Ajuste de DistribucionesDistribuciones
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ad Test de Kolmogorov para el Test de Kolmogorov para el Ajuste de Distribuciones Ajuste de Distribuciones
Muestrales Muestrales
Es utilizada para decidir si una Es utilizada para decidir si una muestra viene de una población muestra viene de una población con una distribución específica.con una distribución específica.
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ad Test de Kolmogorov para el Test de Kolmogorov para el Ajuste de Distribuciones Ajuste de Distribuciones
Muestrales Muestrales Alcance:Alcance: Distribuciones continuas, donde los parámetros Distribuciones continuas, donde los parámetros
estén totalmente identificados.estén totalmente identificados. Compara la distribución empírica F(x) con la Compara la distribución empírica F(x) con la
teórica F*(x) mediante el estadístico de teórica F*(x) mediante el estadístico de KolmogorovKolmogorov
Hipótesis nulaHipótesis nula Los valores muestrales XLos valores muestrales X11,.....,X,.....,XNN, provienen de la , provienen de la
distribución teórica F*(x).distribución teórica F*(x). Hipótesis alternativa:Hipótesis alternativa:
Los valores muestrales XLos valores muestrales X11,.....,X,.....,XNN, no provienen de , no provienen de la distribución teórica F*(x).la distribución teórica F*(x).
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ad
● Ordenar los datos
● Probabilidad acumulada en cada elemento: F(xk) = k/n
● Estadístico de prueba:Dn = Max |F(x) – F*(x)| x
donde F(x) es la función de distribución acumulada muestral y F*(x) es la función de distribución acumulada teórica.
nDn
Distribución de Kolmogorov
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bilid
ad
● Ordenar los datos
● Probabilidad acumulada en cada elemento: F(xk) = k/n
● Estadístico de prueba: Dn = Max |F(x) – F*(x)| x
donde F(x) es la función de distribución acumulativa muestral y F*(x) es la función de distribución acumulativa teórica.
Región de rechazoRegión de aceptación
K
nDn
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bilid
ad
● El estadístico es independiente de la distribución. El valor crítico depende de y de n.
● Se compara P con .
Dif
P
● ¿Qué pasaría si nuestra diferencia más alta fuese 0?
1
0
0
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Test de Independencia y Test de Independencia y Correlación.Correlación.
Para probar independencia entre variables continuas se realiza Para probar independencia entre variables continuas se realiza
un test acerca de si el coeficiente de correlación un test acerca de si el coeficiente de correlación ρρ es nulo. es nulo.
yx
Y)COV(X, = Y)CORR(X, =
