Prueba Ecuaciones Diferenciales
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Universidad P´ ublica de El Alto Carrera de Ingenier´ ıa Civil Primer Semestre 2014 La Paz - Bolivia. Docente: . Examen FINAL de Ecuaciones Diferenciales Jueves 10 de Julio del 2014 C.I. ............................. Firma ............................. Puntaje: 25 Puntos Paterno .................... Materno .................... Nombres .................... ① (5 puntos). [Ecuaci´ on Diferencial Exacta] Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en la forma P (x, y )dx + Q(x, y )dy =0, comprueba su exactitud y resuelve si es exacta: 2xye x 2 y + y 2 e xy 2 +1 dx + x 2 e x 2 y +2xye xy 2 - 2y dy =0. ② (5 puntos). [factor integrante] Calcula la soluci´ on general de las siguientes ecuaciones diferen- ciales buscando un factor integrante adecuado para el siguiente ejercicio xy ′ + y log x = y log y + y. ③ (5 puntos). [Ecuaci´ on de Bernoulli] Consideramos a una constante positiva y α una funci´ on positiva de t en [0, 1) y considere siguiente ecuaci´ on de Bernoulli P ′ - aP = aα(t)P 2 . (a). Suponga que P (0) = P 0 > 0, encuentre P (t) para t> 0. (b). Suponiendo que el limite l´ ım t→∞ e −at t a α(s)e as ds = L existe, encuentre l´ ım t→∞ P (t). ④ (5 puntos). [M´ etodo de variaci´ on de par´ ametros] La ecuaci´ on diferencial para un determinado circuito es: L d 2 q dt 2 + R dq dt + q C = e(t) donde R es la resistencia (en ohmios), L es la autoinducci´ on (en henrios) y C es el condensador (en faradios). Adem´ as, sabemos que R, L, C > 0. (a) Escribe la soluci´ on de la ecuaci´ on homog´ enea en funci´ on de los valores de R, L, C . Sugerencia: Observe que hay tres casos posibles R 2 - 4 L C > 0, R 2 - 4 L C =0 y R 2 - 4 L C < 0 (b) Resuelve el problema para L =0,4, C =0,025, R = 10 y e(t) = sin(t), y condiciones iniciales q (0) = 1, q ′ (0) = 0. ⑤ (5 puntos). [Ecuaci´ on diferencial de segundo orden.] Una ecuaci´ on de la forma t 2 x ′′ + atx ′ + bx =0, donde a y b son n´ umeros reales es una ecuaci´ on de Euler. Demuestra que el cambio de variable in- dependiente s = ln t transforma transforma una ecuaci´ on de Euler en una lineal de coeficientes con- stantes para la nueva variable dependiente y (s)= x(e s ). Aplica lo anterior para resolver la ecuaci´ on t 2 x ′′ - 4tx ′ - 6x =0 para t> 0.
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Universidad Publica de El Alto Carrera de Ingeniera Civil
Primer Semestre 2014 La Paz - Bolivia.
Docente: .
Examen FINAL de Ecuaciones Diferenciales Jueves 10 de Julio del 2014
C.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puntaje: 25 Puntos
Paterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Materno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5 puntos). [Ecuacion Diferencial Exacta] Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en laforma P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, comprueba su exactitud y resuelve si es exacta:
(2xyex
2y + y2exy2
+ 1)dx+
(x2ex
2y + 2xyexy2
2y)dy = 0.
(5 puntos). [factor integrante] Calcula la solucion general de las siguientes ecuaciones diferen-ciales buscando un factor integrante adecuado para el siguiente ejercicio xy + y log x = y log y + y.
(5 puntos). [Ecuacion de Bernoulli] Consideramos a una constante positiva y una funcionpositiva de t en [0, 1) y considere siguiente ecuacion de Bernoulli P aP = a(t)P 2. (a). Suponga que
P (0) = P0 > 0, encuentre P (t) para t > 0. (b). Suponiendo que el limite lmt
eat t
a
(s)eas ds = L
existe, encuentre lmt
P (t).
(5 puntos). [Metodo de variacion de parametros] La ecuacion diferencial para un determinadocircuito es:
Ld2q
dt2+R
dq
dt+
q
C= e(t)
donde R es la resistencia (en ohmios), L es la autoinduccion (en henrios) y C es el condensador (enfaradios). Ademas, sabemos que R,L, C > 0. (a) Escribe la solucion de la ecuacion homogenea en funcion
de los valores de R,L, C. Sugerencia: Observe que hay tres casos posibles R2 4L
C> 0, R2 4
L
C= 0 y
R2 4L
C< 0 (b) Resuelve el problema para L = 0,4, C = 0,025, R = 10 y e(t) = sin(t), y condiciones
iniciales q(0) = 1, q(0) = 0.
(5 puntos). [Ecuacion diferencial de segundo orden.] Una ecuacion de la format2x + atx + bx = 0,
donde a y b son numeros reales es una ecuacion de Euler. Demuestra que el cambio de variable in-dependiente s = ln t transforma transforma una ecuacion de Euler en una lineal de coeficientes con-stantes para la nueva variable dependiente y(s) = x(es). Aplica lo anterior para resolver la ecuaciont2x 4tx 6x = 0 para t > 0.
