PRUEBA EXAMEN SELECTIVIDAD MATEMATICAS II C2 ACADEMIA:

EJERCICIO 1.- Sea la matriz dada por 𝑀 = #1 𝑎 1𝑎 1 𝑎0 𝑎 1

'

• Determinar para que valores de a la matriz no tiene inversa. • Calcular, si es posible, la matriz inversa para 𝑎 = 0, y en caso de que no sea

posible razonar por que no es posible.

EJERCICIO 2.- Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro b

)𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

−𝑥 + 2𝑦 + 𝑏𝑧 = −3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 𝑏

Encontrar la solución, si existe, para el caso 𝑏 = 2. EJERCICIO 3.- Se sabe que el plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 es perpendicular al segmento AB y que lo divide en dos partes iguales. El punto A es (1,0,0) Halla las coordenadas del punto B y calcula la intersección del segmento AB con el plano.

EJERCICIO 4.- Dados el punto 𝑃(1,0, −2)𝑦𝑙𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑝𝑜𝑟 B2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 72𝑥 − 𝑦 = 5

• Determinar la recta que corta a r, es perpendicular a r y pasa por el punto P. • Halla la distancia entre el punto P y su simétrico Q respecto de la recta r.

EJERCICIO 5.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥!𝑒!". Encontrar sus extremos. EJERCICIO 6.- Un comerciante vende café a 2 euros y 75 céntimos el kilo. El comerciante tiene dos tipos de gastos, el transporte de la mercancía y un impuesto de hacienda. Por cada kilo que vende el transporte le supone un gasto de 25 céntimos de euro. Para calcular los euros que deben de pagarse a hacienda por el impuesto hay que dividir el cuadrado de la cantidad de kilos que se venden entre 1200. Con estos datos calcular el numero de kilos que debe vender el comerciante para que el beneficio se máximo y calcular dicho beneficio máximo. EJERCICIO 7.- Calcular las integrales indefinidas explicando los métodos usados para su resolución.

E𝑥 cos(2𝑥)𝑑𝑥 E𝑑𝑥

𝑥! + 2𝑥 − 3

EJERCICIO 8.- La recta tangente en el punto (4,0) a la función 𝑓(𝑥) =𝑥(4 − 𝑥), la gráfica de la función y el eje OY limitan un recinto del plano en el primer cuadrante. Trazar un esquema gráfico de dicho recinto y calcular su área mediante calculo integral. EJERCICIO 9.- Un juego consiste en el lanzamiento de dos dados de distinto color y en obtener la diferencia de las puntuaciones de ambos dados. Si la diferencia es cero ni se gana pierde, si la diferencia es un numero par distinto de cero se gana y si la diferencia es un numero impar se pierde. Calcula la probabilidad de:

a) Ganar b) Perder c) Empatar d) ¿cómo puedes modificar las reglas del juego para que la probabilidad de ganar y

perder sea igual? EJERCICIO 10.- El servicio de Emergencias del Gobierno Vasco predice que va a hacer temporal en las próximas 48 horas con una probabilidad del 90%. Cuando hay temporal se sabe que la probabilidad de que haya olas mayores de 6 metros es de 50%. Sin temporal la probabilidad de olas de este tipo es del 1%.

a) ¿Cual es la probabilidad de que en las próximas 48 horas se produzcan olas de mas de 6 metros?

b) Sabiendo que ha habido olas de mas de 6 metros ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan producido cuando haya habido temporal?

SOLUCIÓN EJERCICIO 1.- Una matriz no tiene inversa cuando su determinante es igual a cero, por tanto, vamos a calcular el determinante de la matriz y lo igualamos a cero:

I1 𝑎 1𝑎 1 𝑎0 𝑎 1

I = 1 + 𝑎! − 𝑎! − 𝑎! → 1 − 𝑎! = 0 → 𝑎 = ±1

Cuando 𝑎 = ±1 → 𝐿𝑎𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑛𝑜𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎, 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑒𝑙𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑑𝑒𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠, 𝑠𝑖𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒. Ahora debemos de calcular la inversa de M cuando 𝑎 = 0

|𝑀| = 1 Ahora vamos a calcular la matriz de adjunto:

𝑀#$% =

⎝

⎜⎜⎛U1 𝑎𝑎 1U − U𝑎 𝑎

0 1U U𝑎 10 𝑎U

− U𝑎 1𝑎 1U U1 1

0 1U − U1 𝑎0 𝑎U

U𝑎 11 𝑎U − U1 1

𝑎 𝑎U U1 𝑎𝑎 1U ⎠

⎟⎟⎞→ 𝑎 = 0 → 𝑀#$% = #

1 0 00 1 0−1 0 1

'

Ahora tenemos que hacer la traspuesta de la matriz de adjuntos:

Y𝑀#$%Z& = #

1 0 −10 1 00 0 1

'

𝑀'( =1|𝑀| Y𝑀#$%Z

& → 𝑀'( = #1 0 −10 1 00 0 1

'

SOLUCIÓN EJERCICIO 2.- Lo primero que tienes que hacer para poder empezar a resolver este tipo de ejercicios es transformar el sistema en una matriz:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

−𝑥 + 2𝑦 + 𝑏𝑧 = −3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 𝑏

→ #1 1 1 0−1 2 𝑏 −31 −2 −1 𝑏

'

Como siempre, ahora tienes que calcular el determinante de la matriz de coeficientes para sacar los valores con los que harás el estudio:

det(𝐴) = I1 1 1−1 2 𝑏1 −2 −1

I = −2 + 𝑏 + 2 − 2 − 1 + 2𝑏 → 3𝑏 − 3 = 0 → 𝑏 = 1

Ahora como te ha salido un valor al igualar a cero el determinante, tienes dos casos que estudiar;

• 𝑏 ≠ 1 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑒𝑠𝑡𝑒𝑐𝑎𝑠𝑜𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑒𝑟𝑐𝑜𝑚𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑞𝑢𝑒𝑠𝑖𝑒𝑚𝑜𝑟𝑒𝑣𝑎𝑠𝑎𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜

𝑐𝑜𝑛𝑢𝑛𝑆. 𝐶. 𝐷 → 𝑆𝑜𝑙𝑜𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑢𝑛𝑎𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.

Det(𝐴)")) ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 3 𝐷𝑒𝑡(𝐴)")∗ ) ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴∗) = 3

• 𝑏 = 1 Ahora vas a estudiar que ocurre cuando b toma el valor de uno. Recuerda que este valor es el que hace que el determinante sea cero, por tanto,

Det(𝐴)")) = 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) < 3 Ahora tienes que buscar una matriz 2x2 dentro de la matriz de coeficientes que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos. Te he marca en morado la matriz que voy a coger para comprobar que el rango es dos:

det(𝐴!"!) = U 1 1−1 2U = 2 + 1 = 3 ≠ 0 → 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴) = 2

Ahora cuando ya has comprobado que el rango de A es dos, tienes que calcular el rango de la matriz ampliada, para eso tienes que utilizar las dos columnas (Amarillo) que has cogido para hacer el determinante 2x2 de la matriz A y la columna de la ampliada.

det(𝐴)")∗ ) = I1 1 0−1 2 −31 −2 1

I = 2 − 3 + 0 − 0 + 1 − 6 = −6 ≠ 0 → 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐴∗) = 3

Como los rangos son distintos estas trabajando con un sistema incompatible, no tiene soluciones. Para terminar el ejercicio, tienes que resolver el sistema cuando 𝑏 = 2.

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0−𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = −3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 2

→ 𝐶𝑜𝑚𝑜𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜𝑒𝑛𝑒𝑙𝑐𝑎𝑠𝑜𝑏 ≠ 1 → 𝑆. 𝐶. 𝐷

→ 𝐶𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟

𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶𝑍 = 𝑈𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝐴 = #1−11'; 𝐵 = #

122'; 𝐶 = #

12−1' 𝑦𝑈 = #

0−32'

Para dar las soluciones del sistema vamos a utilizar la regla de Cramer:

𝑥 =|𝑈𝐵𝐶||𝐴𝐵𝐶| =

I0 1 1−3 2 22 −2 −1

I

I1 1 1−1 2 21 −2 −1

I=33 = 1

𝑦 =|𝐴𝑈𝐶||𝐴𝐵𝐶| =

I1 0 1−1 −3 21 2 −1

I

I1 1 1−1 2 21 −2 −1

I=03 = 0

𝑧 =|𝐴𝐵𝑈||𝐴𝐵𝐶| =

I1 1 0−1 2 −31 −2 2

I

I1 1 1−1 2 21 −2 −1

I=−33 = −1

SOLUCIÓN EJERCICIO 3.- Como el plano es perpendicular a la recta AB eso quiere decir que el vector director de la recta coincide con el vector normal del plano. También conocemos un punto de la recta, el punto A, por tanto, podemos crear la recta perpendicular al plano y que pasa por A.

𝑑+rrrr⃗ = (1,1,1) = 𝑛r⃗

𝑟: )𝑥 = 1 + 𝑡𝑦 = 𝑡𝑧 = 𝑡

Sabiendo cual es la recta, ahora tenemos que calcular la intersección de la recta con el plano, de esta forma obtendremos el punto medio del segmento AB.

1 + 𝑡 + 𝑡 + 𝑡 = 4 → 3𝑡 = 3 → 𝑡 = 1

𝐸𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 → )𝑥 = 2𝑦 = 1𝑧 = 1

Sabiendo el punto de intersección, que además actúa como punto medio, podemos calcular B , ya que es el punto simétrico de A respecto del punto de intersección (punto medio).

𝑃𝑀 =𝑃 + 𝑃′2 → 𝑃, = 2𝑃𝑀 − 𝑃 → 𝑃, = 2(2,1,1) − (1,0,0) → 𝑃, = (3,2,2)

SOLUCIÓN EJERCICIO 4.- Para poder crear una recta que sea perpendicular a r y pase por el punto 𝑃 tenemos que hacer el siguiente planteamiento. Tenemos que crear el plano que es perpendicular a la recta que nos dan en el enunciado. Para eso, sabiendo el vector director de la recta que es paralelo al vector normal del plano que queremos crear y que por tanto son proporcionales, podemos utilizar como vector normal, el director de la recta. Para hallar el vector normal, es decir, el director de la recta tenemos que hacer la siguiente operación, ya que la recta nos la dan en su forma implícita.

𝑑+rrrr⃗ = 𝑛r⃗ = w𝚤 𝚥 𝑘r⃗2 1 −42 −1 0

w = −4𝚤 − 8𝚥 − 4𝑘r⃗ → (−4,−8,−4) → (1,2,1)

Ahora, como ya sabemos el vector normal y el punto por el que pasa el plano; 𝐴(𝑥 − 𝑥-) + 𝐵(𝑦 − 𝑦.) + 𝐶(𝑧 − 𝑧.) = 0

1(𝑥 − 1) + 2(𝑦 − 0) + 1(𝑧 + 2) = 0 → 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 Sabiendo cual es el plano, calculamos el punto de intersección. Con el punto 𝑃 y el punto de intersección podremos crear finalmente la recta que es perpendicular a la recta que nos dan y que pase por el punto 𝑃. Para la intersección, necesitamos la recta en paramétricas y el plano en su ecuación general: Para poder representar la recta en su ecuación paramétrica necesitamos un punto, ya que el vector director ya lo hemos calculado. Le damos un valor a una de las incógnitas (𝑥, 𝑦, 𝑧). En este caso 𝑦 = 1

B2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 72𝑥 − 𝑦 = 5 → |2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 7

2𝑥 − 1 = 5 → 2𝑥 = 6 → 𝑥 = 3

2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 7 → 2(3) + 1 − 4𝑧 = 7 → 𝑧 = 0 El punto de la recta es (3,1,0) con este punto y el vector director 𝑑+rrrr⃗ = (1,2,1) →

)𝑥 = 3 + 𝑡𝑦 = 1 + 2𝑡𝑧 = 𝑡

Hacemos la intersección:

𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 → 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 1 = 0.𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 → )𝑥 = 3 + 𝑡𝑦 = 1 + 2𝑡𝑧 = 𝑡

3 + 𝑡 + 2(1 + 2𝑡) + 𝑡 + 1 = 0 → 3 + 𝑡 + 2 + 4𝑡 + 𝑡 + 1 = 0 → 6𝑡 = −6 → 𝑡 = −1

Sabiendo el valor de 𝑡,→ 𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 → )𝑥 = 3 − 1

𝑦 = 1 + 2(−1)𝑧 = −1

→

𝑀(2,−1,−1) Finalmente sabiendo el punto de intersección, creamos la recta:

𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 → 𝑃𝑀rrrrrr⃗ = (2, −1,−1) − (1,0, −2) = (1,−1,1)

𝑛r⃗ 𝑑𝑟rrrr⃗

La recta; )𝑥 = 1 + 𝑡𝑦 = −𝑡

𝑧 = −2 + 𝑡

Para hacer el siguiente apartado tenemos muchos cálculos avanzados, solo tenemos que calcular el simétrico de 𝑃 respecto de la recta, en este caso respecto de 𝑀:

𝑃, = 2𝑀 − 𝑃 → 𝑃, = (4,−2,−2) − (1,0, −2) = (3,−2,0) La distancia entre dos puntos es el modulo del vector que se crea con ellos:

𝑃𝑃,rrrrrrr⃗ = (3, −2,0) − (1,0, −2) = (2,−2,2) }𝑃𝑃,rrrrrrr⃗ } = ~(2)! + (−2)! + (2)! = √12𝑢

SOLUCIÓN EJERCICIO 5.-

𝑓,(𝑥) = 2𝑥𝑒!" + 𝑥!𝑒!"2 → 𝑓,(𝑥) = 𝑒!"(2𝑥 + 2𝑥!) Ahora debes de igualar a cero la primera derivada para saber los puntos que serán los máximos y mínimos (extremos) de la función.

𝑓,(𝑥) = 0 → 𝑒!"(2𝑥 + 2𝑥!) = 0 → )𝑒!" = 0 → 𝑁𝑜𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

(2𝑥 + 2𝑥!) = 0 → 2𝑥(1 + 𝑥) = 0 → | 𝑥 = 0𝑥 = −1

𝑓,(−2) > 0 → 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒(−∞,−1)

𝑓, �−12� < 0 → 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒(−1,0)

𝑓,(1) > 0 → 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒(0,∞) Teniendo en cuenta el crecimiento y decrecimiento de la función, podemos afirmar lo siguiente:

𝑥 = −1 → 𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝑂𝑥 = 0 → 𝑀𝐼𝑁𝐼𝑀𝑂

−1 0

SOLUCIÓN EJERCICIO 6.- Para realizar los cálculos en este tipo de ejercicios, tenemos que diferenciar los ingresos de los gastos para saber cuales son los beneficios del comerciante:

𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 → 2,75𝑥 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠𝑑𝑒𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 → 0,25𝑥

𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠𝑑𝑒ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎 →𝑥!

1200

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑥 → 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑘𝑖𝑙𝑜𝑠 Por tanto, para escribir la ecuación que representa los beneficios:

𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 − 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠

𝐵𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 = 2,75𝑥 − (0,25𝑥 +𝑥!

1200) Ahora para calcular los beneficios máximos debemos de derivar la expresión e igualarla a cero:

𝐵,(𝑥) = 2,75 − �0,25 +2𝑥1200�

𝐵,(𝑥) = 0 → 2,75 − �0,25 +2𝑥1200� = 0 →

3300 − 300 − 2𝑥 = 0 → −2𝑥 = −3000 → 𝑥 = 1500 1500 son los kilos que se tienen que vender para que los beneficios sean máximos. Dicho máximo lo tenemos que calcular y seria:

𝐵(1500) = 2,75(1500) − �0,25(1500) +(1500)!

1200 � = 1875€

SOLUCIÓN EJERCICIO 7.-

• ∫𝑥 cos(2𝑥)𝑑𝑥 = "∙123!"!

− ∫ (!𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 = "∙123!"

!− (

!∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝑥

2 +𝑐𝑜𝑠2𝑥4 + 𝑘

𝑢 = 𝑥𝑑𝑣 = cos 2𝑥 𝑑𝑥 →

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑣 =12𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

• ∫ $""!4!"')

Como el exponente de abajo es mas grande que el exponente de arriba, tenemos que igualar a cero el denominador para sacar las raíces:

𝑥! + 2𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = | 1−3 1

𝑥! + 2𝑥 − 3 =𝐴

(𝑥 − 1) +𝐵

(𝑥 + 3) → 1 = 𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 − 1)

Þ 𝑥 = 1 → 1 = 4𝐴 → 𝐴 = (5 𝑥 = −3 → 1 = −4𝐴 → 𝐵 = − (

5

E𝑑𝑥

𝑥! + 2𝑥 − 3 = E14

(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 +E−14

(𝑥 + 3) 𝑑𝑥 =14 ln

|𝑥 − 1| −14 ln

|𝑥 + 3| + 𝑘

SOLUCIÓN EJERCICIO 8.- Lo primero que debemos de hacer es calcular la recta tangente para tener su expresión analítica.

𝑦 − 𝑓(𝑥.) = 𝑓′(𝑥.)(𝑥 − 𝑥.) 𝑓(4) = 4(4 − 4) = 0 𝑓,(𝑥) = 4 − 2𝑥 𝑓,(4) = −4

Sustituimos toda esta información en la función (amarillo) y obtendremos la expresión de la recta tangente a la función en el punto (0,4)

𝑦 − 𝑓(𝑥.) = 𝑓′(𝑥.)(𝑥 − 𝑥.) → 𝑦 − 0 = −4(𝑥 − 4) → 𝑦 = −4𝑥 + 16 Ahora con la recta tangente, el eje OY y la función tenemos que crear el área del cual después con las integrales haremos el calculo. Para representar la recta tangente, con una tabla de valores será suficiente. Para representar la función, haremos el calculo de su vértice, o lo que es lo mismo, el calculo de su máximo o mínimo. Y una pequeña tabla de valores con los puntos de corte con los ejes, es decir, punto de corte con el eje;

𝑂𝑋(𝑦 = 0); 𝑂𝑌(𝑥 = 0) Como podemos comprobar la integral estará definida entre el cero y el cuatro. Por tanto,

E −4𝑥 + 16 − [𝑥(4 − 𝑥)]𝑑𝑥 = E 𝑥! − 8𝑥 + 16𝑑𝑥 =𝑥)

3 − 4𝑥! + 16𝑥�.

5

=5

.

5

.

�4)

3 − 4(4)! + 16(4)� − (0) =643 𝑢

!

SOLUCIÓN EJERCICIO 9.- Observa como el numero total de casos que se pueden dar son 36, solo tienes que contar el numero de casos verdes para saber cual es la probabilidad de ganar:

𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟) =1236

Para calcular la probabilidad de perder, solo tienes que contar el numero de casos naranjas:

𝑃(𝑃𝑒𝑟𝑑𝑒𝑟) =1836

Para saber cual es la probabilidad de empatar, tienes que contar el numero de ceros:

𝑃(𝐸𝑚𝑝𝑎𝑡𝑎𝑟) =636

Para terminar, con decir que la probabilidad de empatar la vas a considerar como ganar de esta forma tendrías la misma probabilidad de ganar y de perder, es decir, par y cero es ganar, impar es perder. SOLUCIÓN EJERCICIO 10.-

𝑃(𝑂𝑙𝑎𝑠 + 6) = 0,9 ∙ 0,5 + 0,1 ∙ 0,1 =

𝑃(𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜𝑟𝑎𝑙/𝑂𝑙𝑎𝑠 + 6) =0,9 ∙ 0,5

0,9 ∙ 0,5 + 0,1 ∙ 0,1 =

1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 6 5 4 3 2 1 0