Universidad Mayor de San AndresFacultad de Ciencias Puras y NaturalesCarrera de InformaticaLa Paz - Bolivia.

Dr. Mario Chavez Gordillo PhD

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30 puntos

Primer Examen Parcial de Calculo III Sabado 30 de Abril de 2011

Solucionario, Fila A

(1) Resolver la siguiente ecuacion diferencial en y(x), usando cambios de variables que le per-mitan usar sus conocimientos sobre ecuaciones de primer orden x3yy + 2x2y2 1 = 0.Solucion. Ordenamos la ecuacion para poder identificarla

dy

dx+2x2y2

x3y=

1

x3y,

dy

dx+2

xy =

1

x3y1,

luego es una ecuacion de Bernoulli, hacemos el cambio de variable

u = y1(1) = y2 , 2ydy

dx=

du

dx

multiplicando por 2y a ambos de la ecuacion esta se reduce a

2ydy

dx+4

xy2 =

2

x3,

du

dx+4

xu =

2

x3

Ocupamos el factor integrante exp

(p(x) dx

)= exp

(4

1

xdx

)= e4 lnx = x4.

Multiplicando la ecuacion por x4, tenemos

x4du

dx+ 4x3 u = 2x

es decir,d

dx

[x4u]= 2x

Integrando, obtenemosx4u = x2 + C

es decir, u =1

x2+C

x4, donde C es una constante arbitraria. Ahora, volviendo a las variables

originales u = y2 obtenemos

y2 =1

x2+

C

x4

DSolve[(x3)y[x]y[x] + 2(x2)(y[x])2 1 == 0, y[x], x]{{y[x] > 1/x2 + C[1]/x4}, {y[x] >1/x2 + C[1]/x4}}

(2) Encuentre la velocidad de un cohete que inicialmente posee una masa m0 como funcion deltiempo de vuelo, mientras se encuentra cercano a la tierra que expele gases product de al com-bustion a una velocidad constante c con respecto al cohete, con constante de proporcionalidaddel roce viscoso k y consumo de combustible de razon con razon constante , sabiendo quesatisface la ecuacion diferencial

dv

dt+

k

m0 t v = g +c

m0 tCon v(0) = v0 y g constante de gravedad de la tierra.

Solucion. Calculamos primero el factor integrante

exp

(P (t) dt

)= exp

(k

m0 t dt)= e

kln |m0t|

= eln |m0t| k= (m0 t)

k =

1

(m0 t)k

y lo aplicamos a la ecuacion

dv

dt+

k

m0 t v = g +c

m0 t1

(m0 t)k

dv

dt+

1

(m0 t)k

k

m0 t v =1

(m0 t)k

(g + c

m0 t)

d

dx

[1

(m0 t)k

v

]= g

(m0 t)k

+c

(m0 t)k+1

Integrando llegamos a

1

(m0 t)k

v =

(g(m0 t)

k + c(m0 t)

k1)dt

1

(m0 t)k

v =

(gu k + cu k1

)( 1

)du

1

(m0 t)k

v =g

(m0 t)k+1

k+ 1

c(m0 t) k

k

+ C

v =g

(m0 t) k

+ 1

c 1 k

+ C(m0 t)k =

g

k (m0 t) +c

k+ C(m0 t)

k

ahora evaluamos la condicion inicial

v(0) = v0,g

k (m0) +c

k+ C(m0)

k = v0

entonces la solucion particular del problema es

v(t) =g

k (m0 t) +c

k+ C(m0 t)

k .

DSolve[v[t]+(k/(mbt))v[t] == g+((bc)/(mbt)), v[t], t]{{v[t] > b

2c+ gkm bk(c+ gt)(b k)k + (m+ bt)

k/bC[1]}}

(3) Resuelva la ecuaciondy

dx= ay by3, a > 0, b > 0.

Solucion. Ordenamos la ecuacion para poder identificarla

dy

dx ay = by3.

Esta ecuacion es del tipo Bernoulli con n = 3. Luego, empecemos haciendo el cambio devariable

z = y13 = y2, 2y3 dydx

=dz

dx. (1)

A continuacion, multiplicamos los dos miembros de la ecuacion por 2y3 y obtenemos lasiguiente forma equivalente

2y3 dydx

+ 2ay2 = 2b.

reemplazando (1) en esta ecuacion esta se reduce a

dz

dx+ 2az = 2b.

Se obtuvo una ecuacion lineal en z, procediendo en consecuencia se tiene: P (x) = 2a, Q(x) =

2b. Buscando el factor integrante (x) = exp

(P (x) dx

)= exp

(2adx

)= e2ax.

Multiplicando la ecuacion por x2, tenemos

e2axdz

dx+ 2aze2ax = 2be2ax

es decir,d

dx

[e2axz

]= 2be2ax

Integrando, obtenemos

z e2ax =

(2be2ax

)dx+ C

z e2ax =b

ae2ax + C

z =b

a+ Ce2ax

Revirtiendo el cambio de variable y2 =b

a+Ce2ax. Este resultado puede expresarse tambien

como:1

y2=

b

a+ Ce2ax. Obteniendose mediante el inverso:

y2 =1

b

a+ Ce2ax

=a

b+ Cae2ax=

ae2ax

be2ax + Ca.

(4) Una taza de cafe inicialmente tiene una temperatura de 800C y a los 5 minutos tiene unatemperatura 600C. Transcurridos 5 minutos adicionales, su temperatura es de 500C. Deter-minar la temperatura ambiente. Sugerencia: Sabemos que segun la ley de enfriamiento de

Newton la velocidad con la que la temperatura cae esdT

dt= k(Taire T ).

Solucion. Segun la ley emprica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que seenfra un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio quele rodea, que es la temperatura ambiente. Si T (t) representa la temperatura del objeto en

el momento t, Taire es la temperatura constante del medio que lo rodea ydTdt

es la rapidezcon que se enfra el objeto, la ley de Newton del enfriamiento se traduce en el enunciadomatematico

dT

dt= k(Taire T ) (2)

en donde k es una constante de proporcionalidad. Como supusimos que el objeto se enfra,se debe cumplir que

Taire < T

, en consecuencia, lo logico es que k > 0.

Transponiendo terminos,dT

Taire T = kdx, integrandodT

Taire T =kdt,

dT

T Taire =kdt

se obtiene ln(T Taire) = kt+ C, de donde se obtiene

T Taire = eCkt, T = Taire + eCkt

A partir de nuestros deducimos el siguiente sistema de ecuacionesTaire + e

C = 80Taire + e

C5k = 60Taire + e

C10k = 50

{80 eC + eC5k = 6080 eC + eC10k = 50

{eC(e5k 1) = 20eC(e10k 1) = 30

e5k 1e10k 1 =

2

3

3(e5k 1) = 2(e10k 1)3e5k 3 = 2e10k 2

2e10k 3e10k + 1 = 0(2e5k 1)(e5k 1) = 0

De donde e5k = 1/2, e5k = 1. De la ecuacion e5k = 1/2 obtenemos que ek = 51/2.

Por tanto k = 1/5 ln(1/2). Por otra parte de la ecuacion e5k = 1 obtenemos que k = 0.Supongamos que e5k = 1/2, de aqu eC(1/2 1) = 20, eC = 40 de donde C = ln 40. Portanto Taire = 80 eC = 80 40 = 40. As finalmente

T = Taire + eCkt = 40 + 40ekt = 40 + 40

(51/2)t

(5) Hallar la ecuacion de una curva, para la cual, la longitud del segmento, interceptado por lanormal en cualquiera de sus puntos en el eje de ordenadas, es igual a la distancia desde estepunto al origen de coordenadas.

Solucion.

(y +

x

y y)2

+ x2 = x2 + y2,

(x

y

)2= y2,

x

y= y x = yy,

x2

2=y2

2+ c

Cada problema vale 6 puntosEn el cuadro de la derecha colocar el inicial del apellido paterno