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Roberto Ucar Navarro

54

CAPITULO II

ANALISIS DE LA ESTABILIDAD Y DEL SOPORTE MEDIANTE ANCLAJES EN TALUDES ROCOSOS CONSIDERANDO ROTURA

PLANAR

2.1.- INTRODUCCION

Aplicando el criterio de falla de Mohr-Coulomb, conjuntamente con las

ecuaciones de equilibrio esttico, se ha desarrollado una expresin analtica al

minimizar el factor de seguridad (FS), en la cual se determina la inclinacin

ms crtica de la superficie potencial de deslizamiento para el caso particular de

rotura planar en taludes rocosos.

A la vez se analiza la estabilidad del talud considerando la fuerza ssmica y el

efecto de la presin intersticial actuando sobre el plano de discontinuidad.

Con el apoyo de ejemplos sencillos se aprecia la importancia de esta nueva

metodologa, de gran utilidad en el diseo del soporte artificial mediante tirantes

anclados.


55

Adicionalmente, a travs de grficos tambin se hace hincapi sobre la

variacin del coeficiente de seguridad en funcin de los parmetros ms

influyentes en el clculo de la estabilidad de la masa rocosa.

Por otro lado, al utilizar esta tcnica es posible distinguir tres aspectos

fundamentales en el diseo de taludes en macizos rocosos:

1.- Permite disear excavaciones estables para un factor de seguridad

previamente conocido.

2.- Aplicando una simple expresin matemtica, se determina el plano

potencial de falla ms crtico, y por ende el mnimo factor de seguridad

correspondiente a la mencionada superficie de discontinuidad.

3.- En el caso particular que el talud rocoso sea inestable o con un coeficiente

de seguridad de baja confidencia, se obtiene la fuerza de anclaje por unidad de

longitud de talud, tanto para el caso activo como pasivo, con la finalidad de

elevar el mnimo factor de seguridad previamente determinado, a un nuevo

coeficiente que garantice la estabilidad del macizo rocoso, tal como se podr

apreciar en detalle en el presente captulo a travs de las ecuaciones

desarrolladas y con la ayuda de ejemplos numricos.


56

2.2.- GENERALIDADES

Como se sabe el mecanismo de falla relacionado con la estabilidad de

taludes en macizos rocosos est controlado por estructuras geolgicas tales

como diaclasas, foliacin, estratificacin, as como otras discontinuidades que

conjuntamente con las anteriores son las causantes de que existan deslizamientos

al llevarse a cabo excavaciones en obras civiles y mineras, tanto en la

construccin de presas y obras viales como en las explotaciones a cielo abierto y

subterrneas, con el resultado lamentable en muchas circunstancias de la prdida

de vidas humanas, adems del costo horario adicional que representan las

interrupciones y demoras, conjuntamente con las inversiones cuantiosas que

deben realizar las empresas y organismos competentes encargados de la

remocin de bloques y fragmentos de roca y de la ulterior estabilizacin del

macizo rocoso en caso de que se requiera.

Lgicamente lo dicho anteriormente indica que el ingeniero geotcnico

juega un papel preponderante en la toma de decisiones con la finalidad de poder

garantizar la seguridad de las excavaciones en macizos rocosos.

En estas condiciones, es de fundamental inters conocer los modos de

rotura que ocurren en la roca cuyo movimiento est controlado por

discontinuidades geolgicas, las cuales pueden dividirse en tres tipos:

a) Deslizamiento planar, ver figura (2.1).


57

W ( 1+K )

u ( Presin de poro )O

H WK NT

H1

U

B

q

n

t

,CC

h

AD

Planopotencial de fallaNF

,

v

Figura 2.1 Geometra del talud mostrando las fuerzas y el plano potencial de

deslizamiento (mtodo bidimensional)

b) Rotura por cua ocasionada a travs de dos planos de discontinuidad

dispuestos oblicuamente al plano del talud, en el cual el desplazamiento est

gobernado por la inclinacin y direccin de la recta de interseccin de los dos

planos, ver figura (2.2)


58

Figura 2.2 Rotura por cua

c) Vuelco

Este tipo de rotura se caracteriza por una rotacin de la columna o bloque de roca

sobre su base, bajo el efecto de la accin de la gravedad y de las fuerzas

desarrolladas por las rocas adyacentes o en ciertos casos debido al empuje del

agua al penetrar en las discontinuidades (vase figura 2.3).


59

Plano 2

Planos de talud

Figura 2.3 Disposicin de discontinuidades en rotura por vuelco de bloques

En el caso particular de la rotura planar, el bloque de roca se desliza sobre una

superficie de fractura. Es la ms simple de las formas de rotura, y se produce

cuando existe una discontinuidad dominante en la roca, buzando en sentido

desfavorable.

Las condiciones geomtricas para la ocurrencia de la falla son las siguientes, tal

como lo indican Hoek y Bray [1].


60

1) < <

Donde:

= ngulo que forma el plano de falla con la horizontal (buzamiento

de la discontinuidad)

= inclinacin de la cara del talud con la horizontal

= j = ngulo de friccin interna del macizo rocoso en la superficie de

deslizamiento.

2) El plano de falla debe tener un rumbo aproximadamente paralelo ( 20)

con relacin al plano del talud.

Es importante indicar, tal como lo menciona Salcedo [2], que el trmino falla es

aplicado para este caso en particular en el sentido ingenieril, en lo referente a

movimientos o corrimientos del macizo rocoso, y no a fallas geolgicas.

Por otra parte, en la condicin especfica que no se considere el efecto ssmico y

la presin de poro, se demuestra analticamente que la altura crtica del talud

corresponde cuando =1/2(+), y por supuesto cuando = /2, se obtiene la

bien conocida expresin =(/4+ /2). Igualmente cuando se disean anclajes

como sistemas de estabilizacin puede demostrarse segn Barron et al [3],


61

que el esfuerzo cortante excedente e es un mximo cuando = 1/2 ( + ), al

tomar en cuenta 0=

e .

Para la condicin en la cual exista sobrecarga, fuerzas ssmicas y la

presin intersticial Ucar [4], determin recientemente que el valor e es mximo

en el caso de deslizamiento planar cuando:

( ) ( )( ) ( )

++++++

=

2

1

1

sec.tan.tan.cos.tan.cos.tan.sectan.cos.tan.cos.

)tan(sensenksen

senksen

h

h

Dicha frmula expresada en una forma ms simple es: (2.1)

( ) ( ) 0.

...tan2.cos 1 =++

K

sensensen

Se observa claramente para el caso particular que H1 = 0 (1 = 0) y Kh = 0

(= 0), el ngulo crtico de falla = 1/2 ( + ).

Siendo:

Kh = coeficiente ssmico horizontal

= (1 Kv) Kv = coeficiente ssmico vertical

1 = 1/

1 = w H12 /2 H1 = altura del nivel fritico (ver figura 2.1)

= [q.H + (H2 - H12)/2 ] + sat. H12 /2, kN/m


62

H = altura del talud, m

q = sobrecarga, kN/m2

[ ]22 )1( vh kkk ++= 21

( )vh

kktan+

=1

= peso unitario del macizo rocoso (condicin natural), kN/m3

sat = peso unitario saturado, kN/m3

Los clculos obtenidos en el presente estudio se basan en que la cua de roca se

considera como un cuerpo rgido, analizndose el sistema de fuerzas aplicando el

concepto de equilibrio lmite, conjuntamente con el bien conocido criterio de

rotura de Mohr- Coulomb

Por otro lado, en el mencionado anlisis no se ha tomado en cuenta el efecto del

vuelco, es decir no hay momentos que generen rotacin del bloque por cuanto

se considera que todas las fuerzas pasan por el centro de gravedad de la cua

potencial de falla. En este sentido Hoek y Bray [1] estiman que el error es

pequeo al ignorar los momentos, sin embargo los mencionados autores juzgan

conveniente que el anlisis de estabilidad en taludes rocosos con fuertes

pendientes y planos de discontinuidad con buzamiento elevados, se deber

aplicar la condicin de momentos.


63

En relacin a las fallas por vuelco previamente mencionadas, se presentan en

taludes con planos de discontinuidades que tienen buzamiento muy grande en

sentido contrario al frente del talud.

De acuerdo a Ayala et al [5] en muchos casos se aprecia la existencia de otra

familia de discontinuidades de buzamiento muy suave en el mismo sentido

que el talud y aproximadamente perpendicular a la otra discontinuidad

previamente mencionada, demarcando los bloques y configurando la superficie

de deslizamiento basal por donde ocurre la rotacin o deslizamiento.

El movimiento comprende el vuelco (toppling) de bloques de rocas que tratan de

doblarse y caer por su propio peso, conjuntamente con los empujes debidos a

otros bloques inestables.

La estabilidad puede mejorarse utilizando anclajes en una determinada

direccin logrndose minimizar la fuerza del tirante.

Finalmente es necesario mencionar aunque sea brevemente, la rotura circular

(ver figura 2.4), la cual se caracteriza por aproximarse bastante bien a una

superficie cilndrica cuya seccin transversal se asemeja a un arco de crculo.

Esta clase de deslizamiento ocurre con frecuencia en suelos o macizos

rocosos altamente fracturados sin direcciones predominantes de los planos de

discontinuidad.

Adicionalmente debe cumplirse que las partculas de suelo o roca deben tener

un tamao muy pequeo en comparacin con las dimensiones del talud.


64

2

1

iiR (Cos ) = R Sen

aiiTi

Ni

S( )X

i

S + S = S( X+ X)i iE + E = E( X+ X)i i

C

BE ( ) = EXb ( + )X X

E ( + )X X

S ( + )X XWi

Li

Qiv

iQ

Q ( )X

X = Xi

Qih

i

y(+)

b ( )X

Figura 2.4 Rotura Circular


65

2.3. DESARROLLO ANALITICO - ROTURA PLANAR

A continuacin se describe el procedimiento para determinar la superficie

crtica de deslizamiento y el mnimo coeficiente de seguridad al tomar en cuenta

el peso de la cua WT, las fuerzas ssmicas Fh y Fv, conjuntamente con la

resultante U de las presiones intersticiales que actan sobre la superficie potencial

de rotura, la sobrecarga q y los parmetros C = Cj y = j que gobiernan la

resistencia al corte en el plano de discontinuidad.

Dichas fuerzas pueden expresarse como sigue:

Fuerza Ssmica Horizontal = hThT

hh kWagWamF .. ===

(2.2)

Fuerza Ssmica Vertical = vkWT .

Adicionalmente g

ak hh = y hh kkvk 4

3 a 21

(dependiendo de la distancia

epicentral)*

( ) seccotcot2

21 = w

HU

U = Fuerza total debida al agua actuando sobre el plano de discontinuidad

( ) ( )

sec.

seccotcot 11

==

sensensenU (2.3)

* A. Malaver (1995), Sismos Destructores en Venezuela en el Perodo 1970-1990, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales, Universidad Central de Venezuela, Vol. 33, No. 3, pp. 25-34.


66

Siendo 2. 21

1Hw = (2.4)

El peso total de la cua de falla de acuerdo a la figura (2.1) es:

( ) ( ) ( ) ( ) cotcot..21cotcot

2 12

1 +++= HqHHBCADHW satT

(2.5)

Observndose adems que:

( ) cotcot1 = HAD y ( ) cotcot = HBC (2.6)

Sacando factor comn a

sen.sen

)sen()cot(cot = , resulta:

( ) ( )

++= HqHHHW satT

2122

1 21

2cotcot (2.7)

( )

++

= HqHHH

sensensenW satT

21

221 2

12.

)(

Es decir:

( )

=

sen.sensen

TW (2.8)


67

Siendo:

( ) HqHHHsat ++= 21221 21

2, kN/ m (Factor de peso) (2.9)

Al aplicar la condicin de equilibrio, se obtiene:

Fn =0 N + U Rcos ( + ) = 0 (2.10)

Ft = 0 T Rsen( + ) = 0 (2.11)

A travs de la figura (2.5) la inclinacin () que forma la resultante (R) con la

vertical se determina mediante la frmula:

( )vhk

ktan+

=1

(2.12)

A la vez, la expresin que define el coeficiente de seguridad al aplicar el criterio

de rotura de Mohr-Coulomb es:

3

1movilizada Fuerza

resistente mxima Fuerzatan..

==

+=

T

Nsen

HC

FS (2.13)


68

Al sustituir (2.10) y (2.11) en (2.13) resulta:

( )[ ]

( ) 31

tancos.

=

+

++=

senR

URsen

HC

FS (2.14)

Siendo R la resultante de las fuerzas actuantes

( )[ ]2222 1 vhT kkWR += (2.15)

( ) kWkkWR TvhT .1 22 =++= (2.16)

( )[ ] 2/122 1 vh kkk ++= (2.17) C = C j , es la cohesin, o resistencia al corte cuando tensin normal es nula,

medida en el plano de discontinuidad.

Al dividir por R la ecuacin (2.14), se obtiene:

( )

( )

+

++

=sen

RU

senRHC

FStancos.

(2.18)


69

RSen(

+

)

RCos( + )

W ( 1 + K )T V

K Wh T

RT

t

N

U

n

W (1+K )TR v

K Wh Ttan

K h(1 + K ) v

R

Figura 2.5 Fuerzas ssmicas actuando sobre la superficie potencial de rotura


70

Al reemplazar (2.8) en (2.16) queda:

( ) kR .sen.sen

sen

= (2.19)

Por otro lado, como previamente se ha indicado, la fuerza debida al agua

corresponde:

( )1secsen.sen

sen

=U (2.20)

y

2

21

1Hw =

(Factor debido al agua) (2.21)

Reemplazando R y U/R en la ecuacin (2.18) se obtiene:

( ) ( )

( )

+

++

=sen

kksensenHC

FStanseccos. 1

(2.22)

Llamando:


71

=k

k 11 y sen

..

2 = kHCk

La ecuacin anterior se transforma:

( )( )[ ]

( )

+

++

=sen

sec.cossen 1

2 tankk

FS (2.23)

En este punto es importante resaltar, tal como lo menciona Salcedo [6], que al

analizar la estabilidad de taludes en macizos rocosos, es fundamental

caracterizar la roca en funcin de los factores geolgicos y los procedimientos

de campo conjuntamente con los ensayos de laboratorio, tales como las pruebas

de corte directo a lo largo de las discontinuidades.

Adicionalmente es primordial entender los criterios de resistencia al corte

bajo el entorno de esfuerzos establecidos, definiendo a la vez los mecanismos

de rotura para la utilizacin de los mtodos de anlisis correspondientes.

Este anlisis detallado permitir conocer:

a) La resistencia al corte de las discontinuidades planas lisas.

b) La resistencia al corte de las discontinuidades rugosas.

c) La resistencia al corte de discontinuidades rellenas de suelo.


72

En la prctica, lo importante es determinar la resistencia al cizallamiento del

macizo rocoso, tomando en cuenta que la rotura se producir en un gran

porcentaje a travs de estructuras geolgicas o planos de debilidad, y en otra parte

menor por los "puentes de roca" que producirn una cohesin.

La determinacin de esta cohesin depender del nmero de familias que

presentan planos de fracturas y su continuidad, la cual es fundamental y difcil de

determinar.

Muchas veces juega un papel preponderante el criterio y la experiencia, y la

ayuda en muchos casos de un anlisis regresivo o retrospectivo en taludes

fallados.

Por otro lado, existen tambin procedimientos que permiten cuantificar en una

forma aproximada su resistencia sin efectuar ensayos de corte en el macizo

rocoso, vlidos para clculos de estabilidad de taludes, considerndolos

globalmente en toda su extensin, permitiendo as calcular los parmetros que

gobiernan la resistencia al corte C = Cj y = j.

Estos mtodos son empricos y su forma de aplicacin para caracterizar la roca

en el campo es sencilla a travs de los ndices de calidad de la roca basados en la


73

clasificacin geomecnica, tales como el ndice RMR (rock Mass Rating) de

Bieniawski [7], del South Council for Scientific and Industrial Research, y el

ndice Q de Barton, et al [8], del Norwegian Geotechnical Institute.

Recientemente Hoek y Brown [9] han desarrollado una metodologa para calcular

grficamente la resistencia al corte en macizos rocosos a travs del ndice GSI

(Geological Strength Index) y los parmetros m y s del bien conocido criterio de

rotura propuesto por lo mencionados investigadores [10], en el cual determinan

los parmetros de corte equivalentes C y (ver apndice A).

A la vez Ucar [11] explica en dicho apndice un procedimiento analtico con la

finalidad de obtener con mayor exactitud los parmetros equivalentes y por ende

la resistencia al cizallamiento de la roca para un conocido campo de tensiones

utilizando la envolvente de falla no lineal obtenida por Ucar [12] conjuntamente

con el criterio emprico de rotura de Hoek y Brown [10].

Cabe destacar, que todas las clasificaciones geomecnicas determinan la calidad

de la roca dividindola en dominios estructurales, es decir, en sectores delimitados

por discontinuidades geolgicas, dentro de las cuales la estructura puede

considerarse aproximadamente homognea.


74

La estructura del macizo toma en cuenta el conjunto de fallas, diaclasas, pliegues,

foliacin y dems defectos mecnicos que caracterizan una determinada regin, en

la que existen geolgicamente diferentes dominios estructurales claramente

definidos y diferenciados entre s.

En este sentido, se recomienda leer los libros Discontinuity Analysis for Rock

Engineering por S. Priest [13] y Mohr Circles, Stress Paths and Geotechnics por

R. Parry [14].

Igualmente dos artculos presentados por A. Palmstrm [15] sobre caracterizacin

de macizos rocosos empleando el ndice de masa rocosa RMi (The Rock Mass

Index). En resumen los parmetros involucrados en las frmulas (2.22) y (2.23)

se especifican en la tabla anexa:

TABLA No. 2.1

PARAMETROS INVOLUCRADOS PARA DETERMINAR (FS)

( )[ ] kkkk vh .WR , 1 T2/122 =++=

( )

.

k ,sensen

sen W,2

11T

21

1 kHw =

=

=

( )

senkHCHqHHHsat .k ,.

21

2 22

122

1 =

++=

( ) ,1 vhk

ktan+

= Kv = negativo cuando la fuerza ssmica es hacia arriba


75

La ecuacin (2.23) puede tambin expresarse de la forma siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )

+

++

+=

senk

sensenkFS sectan.

tantan

12 (2.24)

El mnimo factor de seguridad se obtendr al considerar 0=

FS , es decir:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

( )( )

+

+

+++

2

2

222

tansec.tancoscos.

sensensensenk

( ) ( )( )

0cossectansectan 21 =

+++

sen

senk (2.25)

Al simplificar y considerando que:

[cos(+)sen(-)-sen(+)cos(-)] = { sen[(-)-(-)] = sen(-2-) }

Resulta:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

+

++

+

2

22

222

cos

sencossensen

2.sen. tank

( ) ( )( )

0sen

cossen.sec..21

=

+

++

tantank (2.26)


76

( )( )

( ) ( ) 0coscos

sectan.tan2. 122 =

++

sensenk

sensenk

(2.27)

Quedando finalmente:

( )( ) ( ) ( )[ ] 0tancos.cos..sec.tan.2. 2

122 =

++++

sensenksen

senk

(2.28)

( )( )

( ) 02cossectantan2 2122 =++

k

sensenk (2.29)

2.3.1.- Aplicacin Prctica

Ejemplo No. 1

Se desea calcular el factor de seguridad de una excavacin en roca, en funcin de

sus caractersticas geomtricas y parmetros resistentes, considerando adems los

siguientes factores determinantes en la estabilidad del macizo rocoso como son

la presiones intersticiales actuando sobre el plano potencial de deslizamiento , la

sobrecarga y el efecto ssmico.

H = 30,00 m

H1 = 20,00 m

= 76

= j = 30 Parmetros de corte minorados C = Cj = 295 kN/m2


77

= 24 kN/m3 sat = 25 kN/m3

q = 300 kN/m2 Kh = 0,20 y Kv = 0,10

En el diseo de taludes, estructuras de retencin y en los diferentes proyectos de

obras de tierra es prctica comn que los parmetros de corte deben ser reducidos

mediante un factor de minoracin tal como lo menciona Recomendations

Clouterre[16].

En estas condiciones la resistencia al corte toma la forma:

+

=

tanCn

c

Los factores parciales de seguridad recomendados segn el Project Clouterre son:

c = 1,50 = 1,30

Las razones de tomar en cuenta estos factores de minoracin son:

1. La existencia de desigualdades importantes entre los parmetros resistentes

del suelo o roca en la zona en estudio.


78

2. Evitar cualquier consecuencia perjudicial para la estructura, como resultado

que un sector del terreno se determinen resistencias locales inferiores al

compararse con los valores caractersticos del material.

3. La resistencia al corte de la masa de suelo o roca es extremadamente

sensitiva a los parmetros de corte, es especial la cohesin.

A travs de la tabla No. 2.1 se obtiene:

K = 1.1180, 00 K1 = 0,0894

K2 = 0,3840 1 = 2.000,00 kN/m,

= 10,30 = 20.000,00 kN/m

Al utilizar la ecuacin (2.29) la inclinacin del plano ms crtico es 45,00,

y el correspondiente mnimo factor de seguridad considerando la frmula

(2.23) es FS=1,22.

Igualmente, a travs de la figura (2.6) se aprecia la variacin del factor de

seguridad en funcin del ngulo potencial de falla , utilizando los par metros

arriba indicados conjuntamente con la ecuacin (2.23), obtenindose nuevamente

que (FS)mnimo = 1,22 cuando = 45.

Por otro lado las figuras (2.7) y (2.8) muestran la variacin de FS en funcin de

y H, considerando el caso particular que la inclinacin del plano de falla ()

permanece constante.


79

FS

1,8

1,6

1,4

1,2

1,015 30 45 60 75 90

Figura 2.6 Variacin del factor de seguridad (FS) en funcin de la inclinacin

del plano de falla


80

H (m)10090807060504030

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

FS

Figura 2.7 Variacin del factor de seguridad (FS) en funcin de la altura del

talud (H), siendo la inclinacin del plano de rotura constante


81

908580757065600.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

FS

FS= - 0,0222,89

Figura 2.8 Variacin del factor de seguridad (FS) en funcin de la inclinacin

del talud , considerando que el ngulo del plano de rotura es

constante.


82

Ejemplo No. 2

Consideremos una seccin de un talud en un importante tramo vial en el que

aflora una roca arenisca la cual se caracteriza por presentar los siguientes valores:

H = 30,00 m , H1 = 0,00 m

= 76 , talud 1/4: 1(v)

= 25,00 kN/m3

sat = 26,50 KN/m3

q = 0

C = Cj = 200,00 KN/m2

= j = 35,00

Kh = 0,30 y

Kv = - 0,15 (La fuerza ssmica vertical tiende a levantar la cua potencial de

falla, es decir est dirigida hacia arriba en el sentido positivo del eje de las

ordenadas).

Tomando en cuenta dichos parmetros, y utilizando nuevamente la tabla (2.1),

resulta:

( )[ ] [ ] 90,085,03,01 222/122 =+=++= vh KKK

/00,250.112

2mkNH ==


83

Adicionalmente no se ha considerado la sobrecarga (q = 0) y la altura del nivel

fretico (H1 = 0), por lo tanto se obtiene:

02

21

1 ==Hw

011 == K

k

5750,07690,0/00,250.11

00,30/00,200. 22 =

== sen

mkNmmkNsen

KHCk

Utilizando las ecuaciones (2.29) y (2.24) los valores de la inclinacin del plano

de falla ms crtico y el mnimo factor de seguridad son respectivamente:

= crtico = 40,44

(FS) = (FS)mnimo = 1,55 (estable)

Nuevamente, otro de los aspectos que es necesario analizar, es la variacin del

factor de seguridad con respecto al ngulo al aplicar la ecuacin 2.23

As, manteniendo todos los dems factores constantes y dndole diferentes

valores a , se obtiene la figura (2.9) con su respectiva tabla de datos, en el que

se aprecia que el mnimo factor de seguridad, para este caso, corresponde al

ngulo () crtico previamente calculado.


84

Del mismo modo, mediante grficos, tambin es posible investigar la

variacin del coeficiente de seguridad mnimo (FSmin) en funcin de los factores

H, , C, K y H1, ver figuras (2.9), (2.10), (2.11), (2.12), (2.13) y (2.14) en donde

se observa que los parmetros antes mencionados no afectan en igual medida

a la estabilidad del macizo rocoso, notndose una mayor sensibilidad del factor

de seguridad ante la variacin de la altura del talud (H), de la cohesin del macizo

rocoso (C = Cj) y del ngulo de inclinacin de la cara del talud ().

Tambin otra de las acotaciones que podemos hacer en relacin con los

grficos son las siguientes:

a) Al disminuir la cohesin, se aprecia un aumento de y el

correspondiente descenso del factor de seguridad (ver grfico No. 2.12).

b) De manera diferente es el comportamiento en el grfico No. 2.10, en el

cual se observa que al aumentar H se eleva el valor de y disminuye el

coeficiente de seguridad.

c) En la figura (2.11) existe una relacin prcticamente lineal entre FS y ,

y como era de esperar al aumentar se incrementa , y por ende disminuye el

factor de seguridad FS.


85

FS

1,90

1,85

1,80

1,75

1,70

1,65

1,60

1,55FS =

20 25 30 35 40 45 50 55(grados)

(4 0 ,4 4 )

FS

25 1,773035

40,44455055 1,86

1,661,571,551,581,65

Figura 2.9 Variacin del factor de seguridad en funcin del ngulo potencial de

deslizamiento.


86

30 40 50 60 70 80H(m)

= 48,52= 47,88

= 47,20

= 46,46

= 45,66

= 44,80

= 43,86

= 41,00

= 40,44

FS

1,6

1,5

1,4

1,3

1,2

1,1

1,0

0,9

0,8

75 0,820,8570

65605550

45403530

H(m) FS

(mnimo)

1,551,381,261,161,071,000,950,90

Figura 2.10 Variacin del mnimo factor de seguridad en funcin de la altura del

talud.


87

(grados)90807060

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

= 50,00

= 46,49

= 43,11

= 40,79

FS - 0.0253,445

= 36,5

= 8,00

= 3,00

90858075706560

FS

(min)

1,951,851,691,571,46

1,351,25

2,0

1,9

FS

Figura 2.11 Variacin del mnimo factor de seguridad en funcin del ngulo de

inclinacin de la cara del talud .


88

Figura 2.12 Variacin del mnimo factor de seguridad respecto a al cohesin del

macizo rocoso


89

Figura 2.13 Variacin del mnimo factor de seguridad en funcin de la altura del

nivel fretico H 1.


90

0,9 0,95 1 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,301,2

1,3

1,4

1,5

1,.6

1,7

1,6

1,9

2,0

2,1

2,2FS

= 43.54= 43.54

= 44.06= 38.22

= 40.55 = 44.81

= 42.74

= 45.01

= 45.84Kv (positivo)

Kv (negativo)

KhKvK

FS

0,10-0,050,96

1,92

45,01

0,20-0,10 0,92

1,73

42,74

0,30

-0,150,90

1,55

40,55

0,40-0,20

0,89

1,38

38,22

0,10 0,20 0,30 0,400,05 0,10 0,15 0,201,05 1,12 1,19 1,26

1,81 1,58 1,39 1,2445,84 44,81 44,06 43,54

K= K +(1+Kv)2h2

Figura 2.15 Variacin del mnimo factor de seguridad en funcin del factor del

sismo.


91

d) A travs del grfico (2.13) se puede distinguir que no hay una variacin

muy marcada del ngulo , el cual aumenta levemente al incrementarse la

altura del nivel fretico H1. Sin embargo, el coeficiente de seguridad decrece en

un 31% al pasar del estado seco a la condicin ms desfavorable cuando H1

alcanza la altura del talud, es decir H1 = H, y por lo tanto la fuerza U debida a las

presiones hidrostticas es mxima.

e) En cuanto a la variacin de FS que se produce por el efecto ssmico

actuando sobre la masa deslizante, la fuerza resultante R, cuyo valor aumenta al

acrecentarse el factor ssmico K, y disminuir el ngulo , es ms influyente que

el ngulo , el cual forma dicha resultante ( ) k

sensensenR

=

, con la

vertical.

En definitiva se concluye que FS, decrece ms rpidamente con R que con la

funcin sen( + ), tal como se aprecia a travs del denominador de la

ecuacin (2.14).

Por lo tanto, la condicin ms desfavorable ocurre cuando la fuerza ssmica

vertical (Kv) est dirigida en el mismo sentido que el peso de la masa potencial

de deslizamiento. En estas circunstancias, la figura (2.14) muestra la variacin de

FS en funcin del coeficiente ssmico K, tomando en cuenta Kv positivo y

negativo.


92

2.3.2. Anlisis de la Estabilidad Aplicando el Criterio de Rotura de Hoek y

Brown

En el Apndice (B) se analiza la estabilidad de taludes aplicando el criterio de

rotura de Hoek y Brown [10] conjuntamente con las ecuaciones de equilibrio

esttico desarrolladas en el apartado 2.3. A travs de esta alternativa se determina

con un aceptable rango de aproximacin el coeficiente de seguridad para el caso

particular de rotura planar.

Este nuevo procedimiento, el cual considera la envolvente no lineal obtenida por

Ucar [11] al aplicar el mencionado criterio de rotura, permite llevar a cabo

importantes comparaciones con la curva de resistencia intrnseca lineal de Mohr-

Coulomb.

2.3.3. Determinacin del Mnimo Factor de Seguridad en Taludes Rocosos

con Grietas de Traccin.

Vista la importancia que tiene el efecto de las grietas de traccin sobre la

estabilidad de taludes, se ha desarrollado una metodologa (ver apndice C), en la

cual la superficie potencial de deslizamiento est constituida por dos bloques con

inclinaciones diferentes. La parte superior colindante con la cresta del talud

caracterizada por la presencia de una grieta de traccin la cual se ha considerado


93

vertical para simplificar el problema, y la parte inferior cuya geometra est

formada por una superficie de discontinuidad de inclinacin con la horizontal.

En estas condiciones se obtiene la profundidad mxima de la grieta de traccin, el

ngulo crtico y el mnimo factor de seguridad del talud investigado.

Se demuestra igualmente la importancia de este mtodo al comparar los

resultados con los otros procedimientos analticos previamente indicados en el

apartado 2.3 y en el apndice (B).

2.4.- METODO APROXIMADO PARA OBTENER EL FACTOR DE

SEGURIDAD DINAMICO EN FUNCION DEL ESTATICO

En muchos casos el ingeniero necesita conocer en una forma aproximada como

disminuye el coeficiente de seguridad al tomar en cuenta las fuerzas ssmicas

que actan sobre el macizo rocoso. Esto permitir analizar y tomar las medidas

necesarias que garanticen la estabilidad del talud, contrarrestando as dicho efecto

ssmico.

A travs de la ecuacin (2.22) se aprecia que el factor de seguridad dinmico

puede expresarse de la forma siguiente:


94

( ) ( )( )

( )

+

++

=

tancot1cos

tan.

cos1

1

senK

Ksen

senHC

KFS d (2.30)

(FS)d = factor de seguridad dinmico

( ) ( )( )

+

+

=

sensen

senHC

KFS d

tanseccos

tan.cot1cos1

1

( )[ ]++

senK tancoscos (2.31)

Se aprecia que el primer trmino dentro de las llaves corresponde al factor

de seguridad esttico (K = 1). Por lo tanto es posible escribir:

( ) ( ) ( )( )[ ]

++

+=

senKFS

KFS ed

tancoscostan.cot1cos

1 (2.32)

Siendo (FS)e el factor de seguridad esttico.


95

Adems se observa que:

( )( )

( )cos

111

12/1

2

22 v

v

hv

KK

KKK +=

+

++= (2.33)

Tomando en cuenta esta ltima expresin, y realizando los correspondientes

cambios trigonomtricos, la ecuacin del factor de seguridad dinmico se

transforma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } senKKFSKFS evd+

++= 1coscottan

tan.cot1.11

(2.34)

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]{ }vvvdKKFS

KFS e ++++

= 1tancottancot.cot11

1

La ecuacin anterior puede evaluarse tomando en cuenta la variacin de (FS)

en funcin de , y considerando a la vez que el ngulo es conocido y

constante.

Lgicamente crtico = f(, , , 1, ), por lo tanto para determinar el mnimo

factor de seguridad dinmico en funcin del esttico, el problema se complica


96

por cuanto a ambos coeficientes de seguridad le corresponde un plano de falla

crtico de inclinacin que difieren en magnitud.

Una forma muy aproximada y grosamente de resolver el problema es

considerando que la variable cot en la ecuacin del coeficiente de seguridad

(FS)d , se le determine su valor medio es decir:

( ) =2

1

cot1cot12

dpromedio

Tomando como lmites aproximados 1 = 30 y 2 = 60 se obtiene:

( ) [ ] 1ln6cot 6030 = senpromedio

Resultando finalmente:

( ) ( ) ( ) [ ]{ }vhevhdKKFS

KKFS

++ tan

11

(2.35)


97

La tabla No. 2.2 muestra los resultados utilizando la ecuacin (2.35), los cuales se

aproximan bastante bien al compararse con los valores correctos obtenidos a

travs de la ecuacin (2.23).

TABLA No. 2.2

COMPARACION DE RESULTADOS ENTRE EL (FS) OBTENIDO POR METODOS APROXIMADOS MEDIANTE LA ECUACION (2.35) Y

FS, SEGUN LA ECUACION (2.23), UTILIZANDO LOS DATOS DEL EJEMPLO No. 2.

Kh Kv K crtico (FS)min (FS)d 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40

0,00 -0,05 -0,10 -0,15 -0,20

1,00 0,96 0,92 0,90 0,89

0,00 6,00

12,52 19,44 26,56

47,17 45,01 42,74 40,55 38,22

2,11=(FS)e 1,92 1,73 1,55 1,38

- - 1,90 1,71 1,53 1,37

0,10 0,20 0,30 0,40

0,05 0,10 0,15 0,20

1,05 1,12 1,19 1,16

5,44 10,30 14,62 18,43

45,84 44,81 44,06 43,54

1,81 1,58 1,39 1,24

1,80 1,56 1,37 1,22

2.5.- CALCULO DE LA FUERZA DEL ANCLAJE CONSIDERANDO EL

CASO ACTIVO Y PASIVO

Los anclajes pueden ser activos, es decir se someten a traccin antes de que ocurra

o exista cualquier movimiento de la masa rocosa sobre la estructura. Esto genera

la reaccin inmediata de las fuerzas tangenciales resistentes de la roca

adyacentes al miembro estructural (barra o cables) para resistir dicha fuerza de

traccin.


98

Lo anterior indica que la fuerza del tirante Fa reduce las fuerzas perturbadoras

o actuantes, al ejercer una accin estabilizadora desde el mismo momento

de su puesta en tensin.

En el caso pasivo los anclajes no se tensan y actan exactamente como una

fuerza resistente, es decir dichos anclajes entran en accin oponindose al

deslizamiento cuando el macizo rocoso ha comenzado a moverse.

En funcin de la fuerza pasiva desarrollada Fp , se deduce que la componente

normal del anclaje Np = Fpcos( - ) multiplicada por su coeficiente de

rozamiento interno = tan acta similar a la fuerza de friccin que opone

la roca sobre el plano de discontinuidad.

Adicionalmente la componente tangencial Tp = Fp sen( - ) interviene en

forma equivalente a la fuerza cohesiva de la roca.

Bajo estas condiciones el tirante comienza a absorber las fuerzas de traccin,

justamente al iniciarse el movimiento o desplazamiento de la masa de suelo o

roca.


99

Por otro lado, tomando en cuenta lo mencionado previamente se deducen ciertas

ventajas de los anclajes activos con relacin a los pasivos, tal como lo menciona

Ayala et al [5].

a) Los anclajes activos permiten utilizar la resistencia intacta del terreno, por

cuanto el desplazamiento de la masa rocosa conduce a una disminucin de los

parmetros de corte.

Adicionalmente dicho movimiento puede llegar a producir la rotura del

elemento que sirve de proteccin al tirante contra la corrosin, justamente en el

instante en que la resistencia del anclaje es completamente requerida.

b) Los anclajes pasivos entran en traccin al oponerse a la expansin o

dilatancia que se produce en los planos de discontinuidad del macizo rocoso

cuando se inicia el desplazamiento a travs de dicho planos, dependiendo a la

vez de la existencia de las rugosidades.

Por consiguiente la efectividad de un anclaje pasivo depender principalmente de

la magnitud de la dilatancia, la cual est relacionada con el tamao y las

durezas de las rugosidades. Esto implica que en taludes constituidos por rocas

blandas con planos de discontinuidad relativamente lisos, los anclajes pasivos

son menos efectivos.


100

En relacin a este relevante tema, es oportuno mencionar la discusin y

comentarios sobre estos conceptos, que tuvieron lugar en la sesin No. 1, Design

of Rock Slopes and Foundations en el "Sixteeth Symposium on Rock

Mechanics y celebrado en la Universidad de Minnesota en Septiembre de 1975

[17].

Igualmente se recomienda al lector el apndice tres, "Factor of Safety for

Reinforced Rock Slopes", del excelente libro Rock Slope Engineering por Hoek

y Bray [1], conjuntamente con Seegmiller, B. [18] a travs del artculo "Artificial

Support of Rock Slopes" ( Third International Conference on Stability in

Surface Mining Society of Mining Engineers of AIME ).

2.5.1.- Caso Activo

Al observar la figura (2.15) conjuntamente con la (2.5), y aplicando

nuevamente las condiciones de equilibrio resulta:

=++= 0)-sen(Fa-)Rcos(-UN ,0 nF (2.36)

=++= 0)-cos(Fa)sen(R-T ,0 tF (2.37) Siendo:

Fa = fuerza activa del tirante

= ngulo de inclinacin del anclaje con la horizontal


101

TaNa

Fa

SYo

h

H

PI

OP = S

0,15 H(mnimo)

Zona de anclajeJ

k

y

Figura 2.15

)(cos = aa FT y = (senFN aa ) , corresponden respectivamente a la

componente tangencial y normal del anclaje actuando sobre el plano de

discontinuidad


102

Observando la disposicin del anclaje indicado en la figura (2.15), y de acuerdo

al sistema de ejes coordenados escogido, el cual est ubicado en el primer

cuadrante, es positivo cuando el barreno perforado o anclaje estn dirigidos

hacia arriba, y cuyo trmino en ingls es "up dip".

Al reemplazar N y T en la ecuacin (2.13), se obtiene el factor de seguridad en la

condicin activa (FS) , es decir:

( )( ) ( )[ ]( ) ( )+

+++=

cos

tan.cos.

FasenR

senFaURsen

HC

FS a (2.38)

Por otro lado en la frmula (2.14) se aprecia que el factor de seguridad previo al

refuerzo es:

( )[ ]( )

+

++==

senR

URsen

HC

FStancos.

3

1

Lo anterior implica que la expresin (2.38) se transforma:

( ) ( )( )+

=

cos

tan.

3

1FasenFaFS a (2.39)


103

Al despejar Fa, queda:

( )[ ]( ) ( ) ( )

( )[ ]( )

=

+

=f

FSFSsenFS

FSF a

aa

a 3313

tancos/

(2.40)

Siendo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tancos +== senFSff aa (2.41)

Sustituyendo 3 = R sen(+) y llamando (FS) = [FS)a - FS], la ecuacin

anterior indicada en forma adimensional es:

( )( )( )=+ fFS

senRFa

(2.42)

Lgicamente habr un valor de la funcin f(), en la cual Fa ser un mnimo, y

por ende f() ser un mximo.

Efectuando ( ) ( ) 0' == f

ddf , y considerando a la vez que , y (FS)a son

constantes resulta:


104

( ) ( ) ( ) ( ) 0tancos' == senFSf a (2.43)

Al simplificar se obtiene:

( ) ( )aFS tantan = (2.44)

De prrafos anteriores se sabe que una de las condiciones de la rotura planar es

que > , por lo tanto el valor de ( )

=

aFStanarctan siempre ser

positivo, lo que indica que la inclinacin ptima del anclaje est dirigida hacia

arriba en (sentido ascendente).

Desde el punto de vista prctico y constructivo se dificultan las labores de

instalacin de la barra o cables de acero al tratar de colocarlas dentro del

barreno en contra de la gravedad, igualmente ocurre con la inyeccin de la

lechada o mortero de cemento.

Seegmiller [18], recomienda que una forma de evitar el mencionado

obstculo es colocar el anclaje buzando hacia abajo (down dip) con valores del

ngulo = a = - 5 a -10 de forma que la fuerza del tirante se incremente poco


105

con la relacin a la mnima fuerza de traccin obtenido en funcin del ngulo

ptimo = a.

A pesar que no es la solucin ideal el ingeniero geotcnico, prefiere esta ltima

alternativa, la cual es fcilmente ejecutable en el campo.

Expresando f() = f( a ) en funcin de tan ( - ), se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] tantancos += aFSf (2.45)

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] 2/12tan1

tantan

+

+=

aFSf (2.46)

Por otro lado a travs de la ecuacin (2.44), se aprecia que el valor ptimo de

corresponde cuando tan( - ) = tan/(FS)a , logrndose determinar el

mximo valor de f() = f(a), al reemplazar dicho valor en (2.46), por lo

tanto:

( )[ ]( ) ( )

( )

( )[ ] 21

222/1

2

2

2

max tantan1

tan

+=

+

+= a

a

aa

a FS

FS

FSFS

f imo (2.47)


106

Resultando por tanto, segn (2.42) :

( )( )

( )( )[ ] 2122

min

tan

+

=+ a

a

FS

FSsenRF ima (2.48)

2.5.2.- Aplicacin Prctica

A travs de la ecuacin (2.40) se ha construido la figura No. (2.16), la cual

muestra la variacin de Fa en funcin de , utilizando los datos del ejemplo

No. 1, para un nuevo factor de seguridad activo (FS)a.

Por lo tanto a travs del mencionado ejemplo se tiene:

FS = 1,22 (coeficiente de seguridad previo al anclaje)

= critico = 45

= 10,30 , K = 1,118 , = 76 , = 30 y = 20.000,00 kN/m

( ) 118,1./00,000.2045.76

31..

mkNsensen

senKsensen

senR

=

=

R = 16.785,02 kN/m

(FS) = 1,50, coeficiente de seguridad activo, el cual se incrementa debido al

reparto de tensiones que se generan a travs del tirante anclado dentro del macizo

rocoso obtenindose por un lado un aumento en la resistencia al cizallamiento de

la roca, y por otro como consecuencia de la sustraccin de las fuerzas

tangenciales actuantes.


107

Angulo de inclinacin

(-ve) -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 (+v )

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

(Fa)x10 ,KN/m2

e

FUER

ZA

DE

A NC L

A JE

Figura 2.16 Variacin de la fuerza activa Fa en funcin de la inclinacin del

tirante anclado . El ngulo es positivo hacia arriba (up dip )


108

Al tomar en cuenta (2.42) se obtiene el valor ptimo de , es decir:

( ) 385,050,130tan45tan ==

= a = 24

Utilizando la ecuacin (2.42) la relacin Fa / R sen( + ) = Fa / 3 , es la

siguiente:

( ) 174,030tan2121cos.5,128,0

=+

=+ sensenR

Fa

Es decir, se requiere una mnima fuerza del tirante para alcanzar un (FS)a=1,50 ,

del 17,4% de las fuerzas tangenciales movilizadas. Por tanto:

Fa = 0,174 . 16.785,00 kN/m . sen55,3

Fa 2.400,00 kN/m de longitud de talud

Finalmente es importante destacar, que a travs de la ecuacin (2.38), el anclaje

activo ejerce dos acciones beneficiosas para garantizar la estabilidad de la masa

rocosa potencialmente deslizante.

Primeramente, su componente tangencial Ta paralela al plano de discontinuidad

se resta a las fuerzas que tienden a provocarlo, y por otra parte, la componente

normal a dicho plano Na = Fa sen( - ) aumenta la resistencia al corte de la

discontinuidad.


109

Por lo tanto en la expresin que define el nuevo coeficiente de seguridad activo

(FS)a, resulta en una disminucin del denominador y en un aumento en el

numerador.

La tabla 2.3, muestra igualmente la variacin de Fa en funcin de , al emplear la

ecuacin Fa = R sen( + ) (FS)/f().

En la mencionada tabla se observa para el caso particular que la inclinacin del

anclaje = -20, la fuerza :(Fa)=-20 = 1,388 . (Fa)=24

Es decir (Fa)=-20 = 1,388 . 2.400,00 KN/m 3.331,00 kN/m.

TABLA 2.3

VARIACION DE LA FUERZA DEL TIRANTE ANCLADO Fa EN

FUNCION DE D,

UTILIZANDO LA ECUACION (2.42)

(Fa)activo, KN/m f(ptimo)/f() 40 35 30

= a = 24 (ptimo) 20 15 10 5 0

2.508,00 2.446,00 2.414,00

2.400,00 = (Fa)mnima 2.414,00 2.431,00 2.477,00 2.542,00 2.628,00

1,045 1,019 1,006 1,000 1,006 1,013 1,032 1,059 1,095

-5

-10 -15 -20

2.741,00 2.897,00 3.091,00 3.331,00

1,142 1,100 1,288 1,388


110

2.5.3.- Determinacin de la Separacin entre Anclajes Requerida para

Garantizar la Estabilidad.

El rea de accin de cada tirante anclado, as como el nmero requerido para

estabilizar la masa rocosa, se determinan partiendo del hecho que se conocen las

caractersticas del anclaje tales como dimetro, tipo de acero, carga admisible o

traccin admisible Ta, (service load o design load). Igualmente el lmite

elstico del acero Tg (Ta = 0,6Tg) que corresponde al 0,1% de deformacin, y

la tensin de bloqueo Tb, (Ta = Tb - prdidas por relajacin del acero,

deformacin del suelo o roca, etc.).

Bajo estas condiciones, el nmero de anclajes N en funcin de la longitud total

del talud Lt Fa y Ta, se obtiene mediante la siguiente igualdad:

FaLt = NTa (2.49)

Para Fa en kN/m , Lt en m y Ta en kN

=

a

taT

LFN (2.50)


111

Al mismo tiempo, es posible escribir en funcin del rea del talud a estabilizar,

la expresin:

(Sc Sf ) N = Lt (H/sen) (2.51)

Siendo Sc la separacin en metros de los anclajes entre una misma hilera

(separacin lateral entre columnas) y Sf la distancia en metros entre filas.

Eliminado (N) a travs de (2.50) y (2.51) y considerando adems que S = Sc = Sf

resulta:

=

senH

tLaT

tLaFS 2 (2.52)

Por tanto:

=

aFaT

senHS

(2.53)


112

Tomando en cuenta nuevamente el problema No. 1, en el cual H = 30,00 m,

=76, Fa = 2.400,00 kN/m y sabiendo adems que Ta = 410 kN, barra 32DY,

ST 85/105, se obtiene:

mmkN

kNsen

mS 30,2/00,400.2

00,41076

00,302/1

=

=

De dicho resultado y anlisis se aprecia que los anclajes deben colocarse sobre

una cuadrcula de 2,30 m por 2,30 m, con una carga admisible de trabajo

igual a Ta = 410,00 kN.

2.5.4.- Caso Pasivo

Tal como se mencion en el prrafo (2.6), en los anclajes pasivos no se

pretensa la armadura metlica posterior a su instalacin.

El anclaje reacciona al entrar en traccin al iniciarse el movimiento del terreno,

produciendo un incremento de los esfuerzos normales sobre la superficie

potencial de rotura, y por ende un aumento de la resistencia al corte en dicha

superficie.

En base a lo previamente mencionado, tanto la componente de la fuerza normal

del anclaje Np = Fp sen ( - ) como la correspondiente componente

tangencial Tp = Fpcos( - ) son dependientes de la fuerza pasiva Fp, la cual

justamente se desarrolla al ocurrir el movimiento de la masa rocosa, generando a


113

la vez un aumento de volumen, el cual est relacionado con la presencia de

rugosidades.

En estas condiciones, la ecuacin (2.14) que representa el factor de seguridad

FS=1 /3 previo al refuerzo, se transforma para el caso pasivo como sigue:

( )

++=

3

1 tan

pp NTFS p (2.54)

Reemplazando Tp y Np por su valor, queda:

( ) ( ) ( )[ ]3

1 tancos

++=

senFFS pp (2.55)

Al despejar Fp, se obtiene:

( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

( )

=+

=

fFSFS

senFS

F ppp3313

tancos/

(2.56)

Siendo:

( ) ( ) ( ) ( ) tancos +== senpff (2.57)


114

Sustituyendo 3 = Rsen( + )(FS) = [(FS)p - FS] y expresando en forma

adimensional la ecuacin (2.56), resulta:

( )( )( )=+ fFS

senRFp

(2.58)

Nuevamente el mnimo valor de Fp se obtendr al considerar ( ) 0=

ddf , es

decir: ( ) ( ) ( ) 0tancos' == senf (2.59)

Simplificando (2.59) se transforma:

tan( - ) = tan (2.60)

Por lo tanto,

( - ) = (2.61)

y

= p = ( - ) (2.62)

Al reemplazar el ptimo valor de = p =( - ) en la ecuacin previamente

conocida f() = cos( - ) + sen( - )tan, resulta:

( )[ ] ( )

cos

1cos

cos2

=+==senff mximop


115

Esto implica que la mnima fuerza a desarrollarse en el anclaje para el caso pasivo

se obtiene al reemplazar ( ) ( )[ ]cos

1max

==imop

ff en la ecuacin (2.56), es

decir:

( )( )

( )FSRFp minima

=

+cos

sen (2.63)

Con el objeto de equiparar ambos casos, se tomar en cuenta nuevamente el

ejemplo No. 1, para determinar la mnima fuerza para el caso pasivo Fp.

Al considerar = 45 y = 30, el ngulo ptimo que forma el anclaje con

la horizontal es segn (2.62) p = ( - ) = 15, y al considerar (2.63):

( )

( ) 242,028,030cosmin ==

+ senR

Fimap

Esto implica, al compararse con el caso activo que la fuerza requerida es 1,39

veces mayor.

Por otro lado, si se examina la relacin entre Fa y Fp a travs de las ecuaciones

(2.42) y (2.58), se obtiene:


116

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

+

+=

=

tancos

tancos

aaa

p

a

p

senFSsen

ff

FpFa p (2.64)

Al observar dicha ecuacin se aprecia que para valores de a = p , se obtiene

que f(a) >f(p), y por lo tanto Fa ser menor que Fp, lo que resulta en una

economa al considerar el caso activo, pues implica menos perforacin, menos

armadura metlica, reduccin en la lechada de cemento, etc.

Por supuesto la resistencia desarrollada por los anclajes pasivos es ms difcil

de interpretar que los activos debido a la expansin o dilatancia que se produce

en la discontinuidad.

En este sentido el Canad Centre for Mineral and Energy Technology

(CANMET) en el captulo 6 del Pit Slope Manual [19] explica que la fuerza

desarrollada en la barra o cordones de acero como consecuencia de la dilatacin

al utilizar la conocida Ley de Hooke es

=

LAEFp e , siendo A, el rea de

la armadura metlica, E, su mdulo de elasticidad ( 200 x 106 kPa), e

corresponde a la expansin y L la longitud tensionada como resultado de la

dilatancia.


117

Lgicamente se aprecia lo complicado y difcil de calcular e y L con precisin.

Por el contrario la resistencia suministrada por los anclajes activos est mucho

ms definida, proporcionando una fuerza definida a travs de un soporte ms

seguro y eficaz.

2.6.- DETERMINACION DE LA LONGITUD DEL ANCLAJE

La longitud de un anclaje inyectado se determina conociendo la longitud de

interseccin entre el anclaje y la superficie potencial de deslizamiento de la masa

de suelo o roca, que corresponde al tramo PI de la figura (2.15).

Adicionalmente debe considerarse la longitud mnima JI que garantice que la

zona de anclaje se encuentre localizada en la roca estable, es decir toda su

longitud debe quedar por detrs de la zona potencial de rotura. Esta condicin es

de gran importancia, sobre todo en los anclajes inferiores.

De acuerdo al Canadian Foundation Engineering Manual [20], esta longitud

medida a lo largo de la perforacin es de un 15% de la profundidad de la

excavacin o altura del talud (H).

En base a lo previamente indicado la longitud ( )JIPILL += corresponde a la zona libre, y es la parte en que la armadura se encuentra independizada del

terreno que la rodea, de forma que pueda deformarse con plena libertad al

ponerse en tensin.


118

Por otro lado a travs de la figura (2.15) se observa que la longitud libre del

anclaje es la distancia entre la cabeza del anclaje y el inicio del tramo

inyectado.

Finalmente la zona de anclaje SLJK = , es la parte solidaria a la masa de suelo o

de roca, encargada de transferir los esfuerzos al terreno, y corresponde a la

longitud del miembro inyectado del anclaje.

De acuerdo a la mencionada figura se observa:

( ) ( )= sensenOPPI (2.65)

hOP =sen

Es decir:

( )( )

=

sensen

senhPI (2.66)

Quedando por tanto:


119

( ) ( )( ) SSL LHhLLL +

+

=+= 15,0sensen

sen

(2.67)

Siendo h, la cota del anclaje en metros, medida a partir del pie del talud, ver figura

(2.15).

Como se sabe la longitud de la zona del anclaje viene definida por la adherencia

cemento - acero y cemento - roca (o suelo), escogindose para fines de

diseo la de mayor longitud.

Si se considera la condicin ms crtica el contacto cemento - roca, la cual

corresponde al caso ms general, tal como se analiz en el captulo anterior, la

longitud del bulbo o del anclaje LS viene expresada a travs de la ecuacin

=

rup

qS

FL

/ (2.68)

Siendo:

q = 1,40 a 2,00 = factor de mayoracin de la carga aplicada (vara dependiendo

del tipo de riesgo y si es temporal o permanente).

F = fuerza de traccin en el anclaje, kN


120

Tomando en cuenta que es necesario obtener la mayor economa en el soporte, es

aconsejable aplicar en el diseo la condicin en la cual F = Ta (traccin

admisible).

p = dimetro de perforacin (barreno), m

u = resistencia al corte en la interfase cemento - roca (adhesin + friccin), la

cual para fines prcticos se considera uniformemente distribuida,

MPa.

Muchos autores se refieren como resistencia adherente o "Bond" (trmino en

ingls).

r = factor de seguridad, el cual acta como elemento de minoracin o reduccin

con respecto a la resistencia al corte en el contacto bulbo-terreno. Dicho

valor vara entre 1,30 a 1,50 dependiendo de la categora del anclaje

(temporal o permanente).

Ballivi y Martin [21], mencionan que las normas canadienses recomiendan

cu 101

= o 'cf (el que resulte menor), siendo c y '

cf la resistencia a la

compresin de la roca (condicin intacta) y de la lechada de cemento

respectivamente.

Considerando que la roca del ejemplo No. 1, se encuentra muy diaclasada (con

separacin entre 10 15 cm) y meteorizada, siendo adems la resistencia


121

promedio c = 8,00 MPa, el valor de LS empleando un coeficiente mayoracin

de q = 1,80, p = 7,50 cm, Ta = 410 kN y un factor de minoracin r = 1,5,

resulta por lo tanto de acuerdo a la ecuacin (2.68):

( )mmkNm

kNLS 00,687,5/10

00,1500,8075,0

00,41080,123

=

=

Utilizando la primera hilera de anclajes se observa a travs de la figura 2.15 que

la separacin OP = S = 2,30 m con respecto al pie del talud, siendo la ordenada

analizada igual a h = S sen = 2,30 sen76 = 2,23 m.

Por lo tanto, la longitud total de la mencionada hilera al considerar los valores

de = 76 ; = 45 ; = - 10 y H = 30 m, se obtiene segn la ecuacin (2.67)

como a continuacin se indica:

( )( )

++

+

= 00,600,3015,010454576

7623,2 m

sensen

senmL

L = (1,45 + 4,50 + 6,00) m 12,00 m (primera hilera)


122

REFERENCIAS

1.- HOEK, E. y BRAY, J. (1981), "Rock Slope Engineering", The Institution of Mining and Metallurgy, London 358 p.

2.- SALCEDO, D. (1978), "El Uso de las Proyecciones Hemisfricas como

Tcnica de Prediccin y Anlisis de Problemas Relativos a Estabilidad de Taludes en Macizos Rocosos", Escuela de Geologa y Minas, Facultad de Ingeniera, U.C.V., 78 p.

3.- BARRON, K. COATS, F. y GYENGE, M., (1971), "Artificial Support of

Rock Slopes", Department of Energy, Mines and Resources Mines Branch, Ottawa, 144 p.

4.- UCAR, R. (1988), "New Design Methods of Ground Anchoring", PhD

Thesis, Mc Gill University, Montreal, Canada, 288 p. 5.- AYALA, L. et al (1987), "Manual de Taludes", Instituto Geolgico y

Minero de Espada, 450 p. 6.- SALCEDO, D., (1983), "Macizos Rocosos: Caracterizacin,

Resistencia al Corte y Mecanismos de Rotura", Conferencia 25 Aniversario Sociedad Venezolana de Mecnica de Suelos e Ingeniera de Fundaciones, pp 143-215.

7.- BIENIAWSKI, Z. T., (1976), "Rock Mass Clasification in Rock

Engineering", Proceedings of The Symposium on Exploration for Rock Engineering, Vol. 1, A.A. Balkema, Rotterdam, pp 97-106.

8.- BARTON, N. LIEN, R. y LUNDE, J., (1974), "Engineering Clasification

of Rock Masses for the Design of Tunnel Support", Rock Mechanics, Vol. 6, No. 4, pp 189-236.

9.- HOEK, E. Y BROWN, T. (1998) Practical Estimates of Rock Mass

Strength, International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, Volume 34, No. 8, pp 1165-1186.

10.- HOEK, E. y BROWN, T. (1986), Empirical Strength Criterion for Rock

Masses, Journal of the Geotechnical Engineering Division, Vol 106, pp 1.013-1.035.


123

11.- UCAR, R. (2000), Diseo del Sostenimiento de Tneles a travs de la Energa de Distorsin Almacenada en el Terreno, Ingeo Tneles, Volumen 3, Entorno Grfico, S.L, Madrid, Espaa.

12.- UCAR, R. (1986), Determination of Shear Failure Envelope in Rock

Masses, Journal of the Geotechnical Engineering Division, Vol 112, No. 3, pp 303-315.

13.- PRIEST, S. (1993), Discontinuity Analysis for Rock Engineering,

Chapman & Hall, 473 p. 14.- PARRY, R. (1995), Mohr Circles, Stress Paths and Geotechnics, E & FN

SPON, 230 p. 15.- PALMSTRM, A. (1998), Characterizing Rock Masses by the RMi for

Use in Practical Rock Engineering, Tunnelling and Underground Space Technology, Part 1: The Development of the Rock Mass Index (RMi), Volumen II, No. 2, pp 175-188, Part 2: Some Practical Applications of the Rock Mass Index (RMi), Volume II, No. 3, pp 287-304.

16.- Recomendations Clouterre (English Traslation) (1991), Soil Nailing

Recommendations for Design, Calculating, Constructing and Support Systems Using Soil Nailing, Report No. FHWA-SA-93-026, Federal Highway Administration, Washington DC, 302 p.

17.- DESIGN METHODS IN ROCK MECHANICS, (1975), "Session 2, Slopes

and Foundations, General Discussion, Proceedings,. Sixteenth Symposium on rock Mechanics, Published by American Society of Civil Engineers, pp 63-68.

18.- SEEGMILLER, B. L., 1982, "Artificial Support of Rock Slopes". 3rd Int.

Conf. on Stability in Surface Mining, Soc. of Mining Engineers, AIME, pp 249-288.

19.- CANADA CENTRE FOR MINERAL AND ENERGY

TECHNOLOGY, CANMET, (1977), Pit Slope Manual, Captulo 6, Mechanical Support, 111 p.

20.- CANADIAN GEOTECHNICAL SOCIETY, 1985, "Canadian Foundation

Engineering Manual", 2nd Edition, Vancouver, 3.c, 460 p. 21.- BALLIVY, G. y MARTIN, A., (1984). "The Dimensioning of Grouted

Anchors" Proceedings of the Int. Symposium on Rock Bolting, Edited by Ove Stephansson, A.A. Balkema, Rotterdam, pp.353-365.


124

APNDICES


125

APENDICE A

1. DETERMINACION DE LA RESISTENCIA AL CORTE EN MACIZOS

ROCOSOS APLICANDO EL CRITERIO EMPIRICO DE ROTURA DE

HOEK Y BROWN

A continuacin se describe la nueva hiptesis de rotura propuesta por Hoek y

Brown tanto en roca intacta como en macizos que exhiben caractersticas

predominantes de diaclasamiento y metereorizacin.

A travs de innumerables ensayos de laboratorio, conjuntamente con los

fundamentos tericos que existen sobre fractura y propagacin de grietas en roca,

Hoek y Brown [1], hallaron una nueva hiptesis emprica de rotura estableciendo

la siguiente relacin entre los esfuerzos principales 1 y 3, es decir:

2/13

31

++= sm

cc

En forma adimensional (A.1)

2/1331

++= sm

ccc


126

Donde:

1 = esfuerzo principal mayor en la rotura

3= esfuerzo principal menor en la rotura

c = resistencia a la compresin simple de la roca intacta

m,s = constantes que dependen de las propiedades de la roca

El parmetro (m) controla la curvatura entre los esfuerzos principales, mientras

que (s) regula la localizacin de la curva entre 1 y 3.

En la tabla A.1, se pueden apreciar los diferentes valores de m y s, dependiendo

del grado de diaclasamiento y de meteorizacin del macizo.

La resistencia a la compresin simple de la roca intacta c se obtiene al tomar en

cuenta que no existe confinamiento lateral (3 = 0), y que adems s = 1,

resultando a travs de (A.1) que 1 = c.

Cuando el macizo presenta planos de fracturas, s < 1. Por lo tanto la resistencia a

la compresin de la masa rocosa cm es una fraccin de c, como podr apreciarse

ms adelante.


127

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuacin (A.1) y despejando 3 resulta:

( ) 2/1212213 4421

2 ccccsmmm ++

+= (A.2)

Tomando la raz no positiva de ( )2122 44 ccc smm ++ ya que 3 corresponde al esfuerzo principal menor, se tiene por tanto:

( ) 2/1212213 4421

2 ccccsmmm ++

+= (A.3)

La resistencia de la traccin t se determina al considerar 1 = 0, as la ecuacin

anterior toma la forma:

( )

+==2/12

3 42smmct

(A.4)

A travs de (A.1) y (A.4) se aprecian los lmites de s, es decir:

s = 1, 1 = c roca intacta

s = 0, 3 = t = 0 roca muy fracturada

De lo anterior resulta, que para otros estados intermedios del macizo rocoso, (s) se

encontrara dentro del entorno 0 < s < 1.


128

El valor de m en roca intacta puede hallarse midiendo el ngulo que forma la

superficie de falla con la direccin del esfuerzo principal menor 3.

Como se observa en la figura (A.2) la magnitud de () se determina mediante la

siguiente expresin:

2/1

2/13

2/1

3

1

2

1tan

+

+=

=

sm

m

c

(A.5)

Considerando que:

s = 1 roca intacta

3 = 0 ensayo de compresin sin confinar

Resulta:

+=

212 mtan (A.6)

m = 2 (tan2-1) (A.7)

Por otra parte, Ucar [2] aplicando dicho criterio, determin analticamente la

solucin exacta de la envolvente de rotura, es decir la ecuacin que gobierna la


129

resistencia al corte , conjuntamente la tensin normal n tal como se especifica

a continuacin:

=

i

ic

senm

tan1

8 (A.8)

i = inclinacin de la envolvente de falla. Se conoce tambin como ngulo de

friccin interna instantneo (ver figura A.1).

+=24i = ngulo entre la superficie de falla y la direccin del esfuerzo

principal menos 3.

+

+

=

msmsen

senm

cii

cn 163

21

8 2

(A.9)

Los valores de m y s en funcin de RMR, pueden obtenerse de acuerdo a Hoek y

Brown [3] mediante la siguiente expresin cuando la roca ha sido correctamente

excavada mediante voladura controlada (sin ser perturbada), y cuando ha sido

perturbada.


130

1,00 (roca perturbada)

=

mi I

RMRmm14

100exp Im = (A10)

2,00 (roca no perturbada) m i = valor de m en la condicin intacta, ver tabla anexa.

1,00 (roca perturbada)

=

sIRMRs

6100exp Is = (A.11)

1,50 (roca no perturbada)

Recientemente dichos autores [4], han propuesto determinar m y s en funcin de

un nuevo ndice de calidad de la roca, conocido como ndice de resistencia

geolgica GSI (Geological Strength Index), por considerar que se obtienen

valores ms reales (vase tabla A.2).

Al tomar en cuenta este nuevo ndice resulta:

=

28100exp. GSImm i

(A.12)

=

9100exp GSIs


131

Utilizando los grficos A3 y A4 desarrollados por Hoek y Brown o empleando

las ecuaciones derivadas por Ucar en este apndice los valores equivalentes de

cohesin y ngulo de friccin se obtienen fcilmente.

Cabe destacar que los grficos obtenidos por Hoek y Brown para determinar los

mencionados parmetros, se basan en que el esfuerzo principal menor vara entre

3/c = 0 a 3/c = .

En este sentido, lo ms lgico y correcto es emplear un rango de 3/c el cual se

ajuste lo mejor posible a las condiciones de campo.

De acuerdo a Hoek, Kaiser y Bawden [5], el ndice de resistencia geolgica

(Geological Strength Index ) GSI = RMR76, para valores de RMR76 > 18 y por

otra parte ,GSI = (RMR89 5), cuando la calidad del macizo rocoso RMR89 > 23.


132

Tabla A.1.- Valores tpicos de los parmetros del criterio de rotura de

Hoek y Brown.


133

1

33

1

1

C

C

C

t 12

m 2 4 S1 2

t

t t

3

m SC31 3C

m

ESFUERZO

PRINCIPAL

MENOR

ESFU

ERZO

PRIN

CIPA

L

MAY

OR

C

+= +

Figura A.1 Relacin entre los esfuerzos principales de acuerdo al criterio

de rotura de Hoek y Brown [1]


134

Figura A2. Envolvente de rotura por cizallamiento representada a travs

del diagrama de Mohr


135

Tabla A.2 ndice de Resistencia Geolgica GSI, segn Hoek y Brown [4]

GEOLOGICAL STRENGTH INDEX

de la superficie de la masa rocosa, seleccionar el intervaloA partir de la descripcin de la estructura y las condiciones

apropiado de esta grfica. Estimar el valor promedio del Geological Strength Index (GSI) de dicho intervalo. No intentar ser tan preciso. 42 Escoger un rango de GSI de 36 a es ms aceptable que fijar un GSI = 38. Tambin es importante reconocer que el criterio de Hoek-Brown deberaser aplicada solamente en macizos rocosos donde el tamaode los bloques o fragmentos es pequeo comparado con eltamao de la excavacin a ser evaluada. Cuando el tamaode los bloques individuales es aproximadamente mayor

a un cuarto de la dimensin de la excavacin, generalmente la falla estara controlada por la estructura y el criterio de Hoek-Brown no debera ser utilizado

EXTRUCTURA

INTACTAS O MASIVAS - rocas intactas o rocasmasiva in situ con pocas discontinuidadesseparadas ampliamente.

FRACTURADA.- Macizo rocoso poco perturbadoconsistente de bloques cbicos formados por tressistemas ortogonales de discontinuidades, muybin unidos estre s.

Perturbado consistente de bloques angulares unidos MUY FRACTURADA.- Macizo rocoso parcialmente

entre s, formados por cuatro o ms sistemas dediscontinuidades

plegado y/o fallado con bloques angulares formadosFRACTURADA / PERTURBADA - macizo rocoso

por la interseccin de varios sistemas dediscontinuidades

Fracturado con mezcla de fragmentos angulares

DESINTEGRADA - macizo rocoso alternante

y redondeados, pobremente unidos entre s

FOLIADA/LAMINADA - macizo rocoso foliado, plegado

y cizallado tectnicamente. La esquistosidad prevalece

Discontinuidades, completamente carente de bloques.

CO

ND

ICIO

N D

E L

A S

UPE

RFI

CIE

DISMINUCIN EN CALIDAD DE SUPERFICIEM

UY

BU

EN

A

Muy

rug

osa

, sup

erfic

ies s

in m

eteo

riza

cin

BU

ENA

Rug

osa,

lige

ram

ente

met

eori

zada

, sup

erfic

ies

tei

das d

e x

ido

ME

DIA

Plan

a, m

oder

adam

ente

met

eori

zada

, sup

erfic

ie

alte

rada

s

MA

LA

Esp

ejos

de

falla

, sup

erfic

ies m

uy m

eteo

riza

das

con

relle

nos d

e ar

cilla

bla

nca

MU

Y M

AL

A

Esp

ejos

de

falla

, sup

erfic

ies m

uy m

eteo

riza

das

con

relle

nos d

uros

o d

e fr

agm

ento

s ang

ular

es

90

80

N/A N/A N/A

70

60

50

40

30

20

10

5N/AN/A

DIS

MIN

UC

IN

EN

LA

UN

IN

DE

LO

S B

LO

QU

ES D

E R

OC

A


136

55

50

45

40

35

30

25

20

15

1010 20 30 40 50 60 70 80 90

5

7

10

131620253035mi

Ang

ulo

de f

ricci

n in

tern

a, g

rado

s

Indice de calidad de Resistencia Geolgica GSI.

Figura A.3. Valores del ngulo de friccin interna equivalente i en

funcin del ndice GSI y mi segn Hoek y Brown [4],

correspondiente al intervalo 0 c

3 0,25


137

353025201613

7

10

5

im

2010 30 40 50 60 70 80 900.008

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.08

0.10

0.20

Coh

esi

n/R

esis

tenc

ia a

la c

ompr

esi

n si

mpl

e de

la r

oca

inta

cta

Figura A.4. Valores de la relacin cohesin equivalente /resistencia a la

compresin simple (C/ c ) en funcin del ndice GSI y mi ,

definidos en el intervalo 0 c

3 0,25


138

2. DETERMINACION DE LOS PARAMETROS DE CORTE

EQUIVALENTES C Y EN FUNCION DE LOS COEFICIENTES m y s

DEL CRITERIO EMPIRICO DE ROTURA DE HOEK Y BROWN.

Empleando la ecuacin (A.1) la pendiente de la curva que vincula 1 y 3 al

aplicar el criterio emprico de rotura de Hoek y Brown es:

2/133

1

2

1

+

+=

sm

m

c

(A.13)

Tomando en cuenta que = 3/c, el valor promedio de la pendiente en el

intervalo [1, 2] puede representarse a travs de la ecuacin:

++

=

2

1

.5,01)(

1

123

1

d

smm

promedio (A.14)

Llamando a la pendiente promedio tan, en integrando se convierte en:

( )2

1

11tan12

+

+=

sms

(A.15)


139

En estas condiciones es recomendable considerar 1 = 3/c = 0 y 2 variable.

Lgicamente el coeficiente 2 debe determinarse en funcin del estado tensional

existente en el macizo rocoso.

Por lo tanto:

++= 111tan 2

2

sms (A.16)

Si 2 = , la ecuacin anterior toma la forma:

++= sms

441tan (A.17)

Al aplicar el bien conocido criterio de rotura de Mohr-Coulomb, la relacin entre

los esfuerzos principales es:

1 = 3 . K + c (A.18)

Siendo:

( )

+

=+=

sensenK

112/45tan2 = pendiente de la lnea de resistencia intrnseca.


140

Al considerar que tan = K, la ecuacin (A.17) puede expresarse en funcin de

en el intervalo cerrado 0 3/c mediante la ecuacin:

++=+ sms

441)2/45(tan2 (A.19)

De esta forma es posible estimar aproximadamente el ngulo de friccin interna

equivalente aplicando el criterio de rotura de Hoek y Brown, empleando un

conocido rango de valores de la tensin principal menor 3.

El valor de la cohesin a travs de la tangente a la envolvente de rotura se obtiene

considerando que:

=

3

131

3

121

C (A.20)

Utilizando (A.1) y su derivada

3

1

, el valor promedio de la cohesin

equivalente es:

+

+

+

=

1

2

221

122

12 coscosln

162

45tan.tan

245tan.tan

ln16)(

180

m

msmC

c

(A.21)


141

Los valores de 1 y 2 se determinan empleando la ecuacin (A.5), es decir:

2/1

2/13

2/1

3

1

2

1tan

+

+=

=

sm

m

c

(A.22)

Siendo:

= (45 + i/2) = ngulo que forma el plano de falla con la direccin del esfuerzo

principal menor 3.

Por tanto:

( )( )

++=+ 2/1

2

2145tan

smm

i

(A.23)

En estas circunstancias si 031 =

==

c

y

==

c

32 se obtiene:


142

( )

+=+

sm

212/45tan 1

2 , cuando 1 = 3/c = 0

(A.24)

( )

++=+

smm

22

2

212/45tan

Para el caso particular que 2 = 3/c = , resulta:

( )

++=+

smm

412/45tan 2

2

Otra forma ms expedita es utilizando de acuerdo a Ucar [2] la siguiente ecuacin

entre los esfuerzos principales:

( ) 2'1231 += (A.25)

Al reemplazar (A.1) y (A.8) en la ecuacin anterior y tomando en cuenta adems

que in

tandd

=

=' , resulta:

ii

i

cc

senmsm

sec

tan1

823

=+ (A.26)


143

Al simplificar la ecuacin anterior se transforma:

++==

msm

msensen

c

i

34

(A.27)

Por tanto:

Si 031 =

=

c

y 413

2 =

=

c

Resulta:

+=

msm

4sen 1

(A.28)

++=

msmm

42sen 2

Siendo adems:

=

s

senm

mc

23 11

41

(A.29)


144

Una vez conocidos los parmetros de corte equivalentes C y =i , el valor de la

resistencia a la compresin simple de la masa rocosa cm puede calcularse a travs

de la conocida expresin:

cm = 2 C tan(45 + /2)

La cual es equivalente a escribir: (A.30)

)2/45tan(2

+

=

cc

cm C

Hoek [6] en una forma aproximada ha determinado la siguiente ecuacin:

GSI

c

cm e .038,0022,0=

(A.31)

De una manera ms general la ecuacin (A.1) puede expresarse en la forma:

asm

ccc

++=

331 (A.32)

Siendo:

=

20065,0 GSIa , si GSI 30 (A.33)


145

Cuando GSI 30, a =1/2

Por lo tanto, si (3/c) vara entre 0 a , se obtiene:

++=+= a

assmK

441)2/45(tan2 (A.34)

Si GSI = 20 s = 0

Por otro lado, un procedimiento aproximado para obtener la cohesin dentro del

intervalo 0 3/c es a travs de las frmulas:

( )

+

++

++

11

4)1(1

3212 a

assm

amK

KC

c (A.35)

Si a = 1/2, se obtiene:

( )

+

+

2/32/3

432

3212 ssm

mK

KC

c (A.36)


146

Adicionalmente, como una primera aproximacin es recomendable considerar que

1 = 3/c = 0, debindose calcular 2 en funcin de la tensin principal mayor 1

o normal n.

Tomando en cuenta por ejemplo que se conoce (n/c) los pasos a seguir para

obtener 2 son los siguientes:

1. Representar la ecuacin (A.9) en funcin de i como a continuacin se

indica:

021sensen 23 =+ ii (A.37)

238

2+

+

= sm

m cn

(A.38)

La solucin de (A.37) es segn Ucar [2]:

+

+

= 1

34

4271arccos

31cos2

3 3

isen (A.39)

2. Una vez determinado i = 2 , calcular 2 = (3/c) a travs de la ecuacin

(A.29).


147

3. En estas condiciones se obtiene:

=

= s

senm

mc

2

2

32 1

14

1

(A.40)

Finalmente, conociendo 2 a travs de la ecuacin A.16 y tomando en cuenta que

tan = tan2 (45 + /2), se obtiene el valor de para el rango establecido de

tensiones.

Empleando A.27 se determinan 1 y 2. Con dichos valores y los coeficientes m y

s, conjuntamente con la frmula (A.21) se calcula la resistencia a cero esfuerzo

normal (C/c) en funcin del conocido campo de tensiones.

2.1. Aplicacin Prctica

Con el objeto de apreciar el procedimiento de clculo, a continuacin se lleva a

cabo el siguiente ejemplo en un talud con una altura bastante significativa de

50,00 m, en una roca ignimbrita (tobas soldadas o aglomeradas aunque de origen

piroplstico estn constituidas casi exclusivamente por material magmtico). Este

tipo de macizo rocoso aflora en las zonas de cimentacin de los puentes sobre el

Ro Virilla y Ro Grande, correspondiente al proyecto Ciudad Coln-Orotina en

San Jos de Costa Rica.


148

El ndice de calidad de la roca y otras propiedades son las siguientes:

GSI = 34 m = 1,70 mi = 18 s = 0,00065 c = 18,50 MPa = 20,00 KN/m3

Partiendo del hecho que se conoce previamente el campo de tensiones el cual

acta sobre el macizo rocoso, resulta:

a) 031 =

=

c

(cresta del talud)

Al aplicar (A.27), se tiene:

+=

+=

70,100065,0470,1

4sen 1 ms

m

1 = 70,63 n/c = 0,0088 (utilizando la ecuacin A.9)

b) 40,0

Hn

(base del talud) n= 0,40 . 0,020MN/m3 . 50,00 m

n = 0,40 MPa y 022,0=

c

n


149

Mediante las ecuaciones (A.38) y (A.37), se obtiene que i = 2 = 50,97.

Por lo tanto, al aplicar (A.40) el valor de 2 es:

=

= 00065,01

97,50sen1

470,1

70,11 23

2c

2 = 0,00838

Una vez conocida dicha relacin, el ngulo promedio de friccin interna

equivalente se determina a travs de (A.16), tomando en cuenta adems la

expresin tan = tan2 (45+/2), es decir:

( ) ( )

++=+ 100838,0

00065,070,11

00838,000065,012/45tan2

( ) 52,122/45tan2 =+ = 58,43

El paso final es determinar la cohesin equivalente (resistencia al corte a cero

esfuerzo normal) en funcin de 1 = 70,63 y 2 = 50,97. Al considerar (A.21) y

operar con varios decimales, resulta:

( )

=

898672,1ln106632,0

644975,22352944,42ln

1670,1

)66,19(180

c

C


150

( ){ }641155,0106632,0)626100,0(106250,0)66,19(

180

=

c

C

00537,0=

c

C

C = 0,00537 . 18,50 MPa 0,10 MPa

2.1.1. Anlisis de la Estabilidad de Taludes utilizando el Ajuste de los Parmetros

de Corte Equivalentes Determinados Mediante Mnimos Cuadrados.

En esta seccin se desea encontrar la mejor recta, es decir la mejor funcin con la

forma

tanC

c

n

cc

+

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