Pruebas de Acceso a las de Castilla y León Nº páginas 2 · CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE...
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Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Nuevo currículo
Texto para los Alumnos
Nº páginas 2
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas , PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- a) Discútase el sistema , en función del valor de a. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−++=++
=−+
1)1(302
2
azyaxazyxzayx
(2,25 puntos) b) Para el valor , hállese, si procede, la solución del sistema. (0,75 puntos) 1=a PR-2.- a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
, sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. (2 puntos) 21)( xexf −=
b) Esbócese la gráfica de f y calcúlese . (1 punto) ∫3
1 )( dxxxf
CUESTIONES
C-1.- Sea A una matriz de columnas y determinante 4. Sea B otra matriz
de determinante 2. Si C es la matriz de columnas 22× 21 ,CC
22× 21 CC + y , calcúlese el determinante de la matriz . (1 punto)
23C1−C⋅B
C-2.- Calcúlese la distancia del origen al plano π que pasa por y contiene a la recta
)0,2,1(Azyxr =−=+≡ 3/)1(2/)2( . (1 punto)
C-3.- Calcúlese xx exx )ln(lim
+∞→. (1 punto)
C-4.- Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que
para se verifica: 0>x 21)(arctg)2(arctg
xxxx+
<− . (1 punto)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/ 2005. Pág. 1 de 2
PRUEBA B
PROBLEMAS PR-1.- a) Determínese el punto simétrico de )7,1,3( −−A respecto de la recta
21
231 +=
−=+≡
zyxr .
(2 puntos) b) Hállese la distancia entre A y r. (1 punto) PR-2.- Sea , )ln()( xexf x += ),0( ∞∈x . a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas.
(1,5 puntos)
b) Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ 1 ,21 y esbócese la gráfica
de f. (1,5 puntos)
CUESTIONES
C-1.- Dadas las matrices , , hállense las matrices X que
satisfacen . (1 punto)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
001001001
A
2A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
223012001
C
CAXC +=+
C-2.- Dados el punto y la recta )1,5,3( −A4
122
1 +=+=
−≡
zyxr , hállese el punto B
perteneciente a r tal que el vector de extremos A y B es paralelo al plano π de ecuación . (1 punto) 0523 =++− zyx
C-3.- Estúdiese, según los valores de los números reales α y β , la continuidad de la función f definida por
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠++
=0 si
0 si 1)( /1
x
xe
xxf x
β
α. (1 punto)
C-4.- Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones
2xy = , 2
2xy = , xy 2= . (1 punto)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/ 2005. Pág. 2 de 2
IES Mediterráneo de Málaga Examen Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
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CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas , PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Sean r y s las rectas dadas por:
. ⎩⎨⎧
=+=+
≡⎩⎨⎧
=+=−
≡32
2,
322
zxyx
syz
myxr
a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. (1,5 puntos) b) Para , hállese la ecuación del plano que contiene a r y s. (1,5 puntos) 1=m PR-2.- Considérense las funciones . Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. (3 puntos)
xx exgexf −−== )( ,)(
CUESTIONES C-1.- Hállense las matrices cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad: A
. (1 punto) AA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1101
1101
C-2.- Calcúlese la distancia del punto ( )1,1,1P a la recta . (1 punto) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==
+−=≡
λ
λ
zyx
r 022
C-3.- Calcúlese el valor de 20
))2ln(cos(limx
xx→
. (1 punto)
C-4.- Hállese el área del recinto limitado por la parábola y la recta . (1 punto)
2xy −= 32 −= xy
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2006. Pág. 1 de 2
IES Mediterráneo de Málaga Examen Junio 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2006. Pág. 2 de 2
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales . ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
424)1(
32
azyxzyazyx
a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. (2 puntos) b) Resuélvase el sistema para a=2. (1 punto)
PR-2.- Dada la función 11)(
+−
=xxxf , se pide:
a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. (2 puntos) b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas . 0,0 == yx
(1 punto)
CUESTIONES
C-1.- Dadas las matrices y , hállese
razonadamente la matriz B sabiendo que
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
111101011
P⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
200010001
A
ABP = . (1 punto) C-2.- Hállese la distancia entre el plano π , que pasa por los puntos A(2,0,-1), B(0,0,0) y C(1,1,2), y el plano β de ecuación 0625 =−+− zyx . (1 punto) C-3.- Sea . Determínense a, b, c y d para que la recta
sea tangente a la gráfica de f en el punto dcxbxaxxf +++= 23)(
01 =+y )1,0( − , y la recta sea tangente a la gráfica de f en el punto
02 =−− yx)1,1( − . (1 punto)
C-4.- Determínense los valores de a y b para los cuales 1)(sen
)cos(1lim 2
2
0=
−++→ x
xbxaxx
.
(1 punto)
IES Mediterraneo de Málaga Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
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CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Sea el plano 052 =−−+≡ zyxπ y la recta zyxr ==≡ . Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano.(1 punto) b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular a π (1 punto) c) Hallar el punto simétrico de P(-1 , 3 , 3) respecto a π (1 punto)
PR-2.- Sea f la función dada por 1
)( 2 −=
xxxf .
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica (2 puntos) b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2 (1 punto)
CUESTIONES
C-1.- Hallar para que valores de a es inversible y calcular la inversa de
A para a = 0 (1 punto)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
aaa
A1
34
C-2.- Calcular ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+→ xxx
11ln1lim
0. (1 punto)
C-3.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son : , y (1 punto)
)0,1,1(A )0,1,2( −B)0,4,2(C
C-4.- Demostrar que la curvas ( ) ( )x
xgyxsenxf 1== se cortan en algún punto del
intervalo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
25,2 ππ (1 punto)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2007.
IES Mediterraneo de Málaga Junio 2007 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/2007.
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Sean las matrices ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
352
220
,100010000
,227
,321
EyDCBA
a) Hallar la matriz ABT, donde BT indica la matriz traspuesta de B.¿ Es invertible? (1 punto) b) Hallar el rango de la matriz AT D(0’5 puntos)
c) Calcular que verifique la ecuación (ABT + C)M = E(1’5 puntos) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
zyx
M
PR-2.- Sea la función ( ) xexxf −+= a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas (2 puntos) b) Demostrar que existe algún número real c tal que c + e-c = 4 (1 punto)
CUESTIONES
C-1.- Hallar a y b para que la función ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
=>+
=
0
00ln
)(
xsix
xsenxsib
xsixxaxf
π, sea continua en
toda (1 punto) ℜ
C-2.- Dadas las rectas , hallar un punto de cada una de
ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas (1 punto) ⎩⎨⎧
==
≡⎩⎨⎧
=+=−+
≡52
720
yx
syyxzyx
r
C-3.- Discutir en función de a el sistema (1 punto) ⎩⎨⎧
=−=+
1ayxaayax
C-4.- Hallare el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones
(1 punto) 63,42 −=−= xyxy
IES Mediterráneo de Málaga Junio de 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
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CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. DATOS O TABLAS (SI HA LUGAR): Podrá utilizarse una calculadora “de una línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni de las prestaciones gráficas. OPTATIVIDAD: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos problemas, PR-1 y PR-2, y cuatro cuestiones, C-1, C-2, C-3 y C-4. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS PRUEBAS, A ó B, Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA EN EL ORDEN QUE DESEE.
PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el plano 42 =++≡ azayxπ y la recta ⎩⎨⎧
=−+=++
≡3222
zyxzyx
r
a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos (1 punto) b) Para , calcular la recta que pasa por P(1 , 0 , -1), es paralela al plano 2=a π y se apoya en la recta r. (2 puntos)
PR-2.- Sea 2
ln)(x
xxf = con ( )∞+∈ ,0x . Se pide:
a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica (2 puntos) b) Calcular .(1 punto) ∫ dxxf )(
CUESTIONES
C-1.- Calcular 23
2
0
)2(limxxxsen
x ++→ (1 punto)
C-2.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función n el punto x = 0 sea perpendicular a la recta y + x = 3 (1 punto)
axxxf += 3)( e
C-3.- Sean las matrices . Calcula la matriz A sabiendo que
A2 = B y A3 = C (1 punto)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
58813
2335
CyB
C-4.- Sabiendo que tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A(1 , 1 , 2), B(1 , 1 , 4) y C(3 , 3 , 6), hallar el área del mismo(1 punto)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/ 2005. Pág. 1 de 2
IES Mediterráneo de Málaga Junio de 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 3/ 2005. Pág. 2 de 2
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Se considera el sistema donde a es un parámetro real ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+
−=+−
222
1
azxazy
zyx
a) Discutir el sistema en función del valor de a (1,5 puntos) b) Resolver el sistema para a = 0 (0,5 puntos) c) Resolver el sistema para a = 1 (1 punto)
PR-2.- Dada( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−
>=02
0)(2
2
xsixx
xsix
xsenxf ,se pide:.
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x) (2 puntos)
b) Calcular ( )∫π
π
22 dxxfx (1 punto)
CUESTIONES
C-1.- Calcular las asíntotas de la función ( )14
12)( 2
2
+−
=xxxf (1 punto)
C-2.- Calcular el rango de la matriz . (1 punto)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−
1423604233115131
C-3.- Demostrar que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (1 , 2) (1 punto)
053 =−+ xx
C-4.- Dada la recta , calcular el punto P de la recta r tal que la perpendicular a r por P pase por el punto (1 , -1).(1 punto)
22 =+≡ yxr
IES Mediterráneo de Málaga Junio de 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti
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PRUEBA A
PROBLEMAS
PR-1.- Sea r las recta que pasa por los puntos A(1 , 1 , 1) y B(3 , 1 , 2) y sea s la recta de
ecuaciones . Se pide: ⎩⎨⎧
=−=−
≡02y1z2x
s
a) Estudiar su posición relativa (1’5 puntos) b) Si fuera posible, calcular su punto de intersección.(0’5 puntos) c) Calcular, si existe, un plano que las contenga. (1 punto) PR-2.- Sea la función 2xx)x(f 2 −−= . a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica (1’5 puntos) b) Demostrar que no es derivable en x = 2 (0’5 puntos) c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x = - 2 y x = 0 (1 punto)
CUESTIONES
C-1.- Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det[(-2).A] = 32. Calcular el tamaño de la matriz A (1 punto)
C-2.- Calcular la matriz X que verifica AX = BBt donde ,
siendo Bt la matriz traspuesta de B. (1 punto)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=213010
By23
12A
C-3.- Hallar la distancia desde el punto A(1 , 3 , -2) a la recta (1 punto) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
λ−=λ+−=λ+=
≡21z
1y32x
s
C-4.- Calcular ∫ −dx
x11
2 (1 punto)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 5/ 2009. Pág. 1 de 2
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MATEMÁTICAS II. Propuesta 5/ 2009. Pág. 2 de 2
PRUEBA B
PROBLEMAS
PR-1.- Sea el sistema de ecuaciones lineales .Se pide: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−λ=+λ
=−
3z2xzy
5yx
a) Discutirlo en función del parámetro ℜ∈λ (2 puntos) b) Resolverlo cuando sea compatible (1 punto) PR-2.- Un campo de atletismo de 400 m de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible (3 puntos)
CUESTIONES
C-1.- Calcular la distancia entre las rectas 4
3z3
2y2xsy4zx71yx3
r −=
−=−≡
⎩⎨⎧
−=−−=−
≡
(1 punto)
C-2.- Resolver la ecuación 01xxx
x1xxxx1x
=+
++
. (1 punto)
C-3.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ( )xxlnxf = en su
dominio de definición (1 punto) C-4.- Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la
función y el eje OX es de 42 axy +−=3
256unidades de superficie (1 punto)
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti
Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Texto para los Alumnos
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INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los calculos.
OPCIÓN A
E1.- Dadas la parábola 2x31y = , y la recta y = 9, hallar las dimensiones y el área del
rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola (2’5 puntos)
E2.- Dada la función 1x1x)x(f
−+
= , se pide
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y las asíntotas (1’5 puntos)
b) Calcular el área de la región limitado por la gráfica de la función ( )xxf)x(g = , el eje OX y
las rectas x = 2 , x = 4 (1 punto)
E3.- Dadas las matrices : ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
010321
Dy642
531C,
m10010001
B
a) Para que valores de m existe B-1. Para m = 1, calcular B-1 (1’5 puntos) b) Para m = 1 hallar la matriz X tal que X.B + C = D (1 punto) E4.- Se considera las rectas dadas por las ecuaciones:
az
21y
32xs,
2zyx21zyx
r =+
=−
≡⎩⎨⎧
=−+=+−
≡ con ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .
a) Halla el valor del parámetro a para que r y s sean perpendiculares (1’5 puntos) b) Hallar la recta t paralela a r y que pasa por el punto de s cuya coordenada es z = 0 (1 punto)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 6/2010.
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Colisiones) Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 6/2010.
OPCIÓN B
E1.- Calcular b y c sabiendo que la función ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
>+
≤++=
0xsix
1xln0xsicbxx
xf2
es derivable en
el punto x = 0 (2’5 puntos)
E2.- Calcular la siguiente integral dx2x3x2
1
2∫−
+− (2’5 puntos)
E3.- Discutir según los valores del parámetro a, y resolver cuando sea posible:
(2’5 puntos) ( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
=+−+=−+
=+
aazy1ax0z1ay
1zx
E4.- Dadas la rectas ⎩⎨⎧
=−=−
≡−
==−
≡4zy20yx2
ty2
1zy3
1xs , se pide halla la
perpendicular a s y a t y la distancia entre ambas rectas (2’5 puntos)
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti
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MATEMÁTICAS II
Texto para los Alumnos
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INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los calculos.
OPCIÓN A
E1.-a) Dadas las funciones ( ) ( ) x1xgyxlnxf −== , hallar el recinto plano limitado por las rectas x = 1, x =2 y las gráficas de f(x) y g(x) (2 puntos) b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él (0’5 puntos) E2a) Si el termino independiente de un polinomio p(x) es – 5 y el valor que toma p(x) para x = 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0 , 3]. Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen (1’5 puntos)
b) Calcular dxxsen1
xcos2∫ +
(1 punto)
E3.- a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3 x 3 que verifica B2 = 16.I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B (1’5 puntos)
b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación (1 punto) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛200100
X2010
E4.- Se considera la recta con ⎩⎨⎧
=−=+−
≡4zay
0azyxr ℜ∈a , y el plano 02zyx =−++≡π .
a) Halla todos los valores de a para los que r es paralela a π (1 punto) b) Para a = 2 hallar la distancia de r a π (1 punto) c) Para a = 1 hallar la distancia de r a π (0’5 puntos)
MATEMÁTICAS II. Propuesta 5/2010.
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2010 (Ordinario) Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 5/2010.
OPCIÓN B
E1.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/ m2 y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo (2’5 puntos)
E2.- Hallar el valor de a para que se verifique que ( )xsenxxlim
1x2ax2lim 2
32
0x
5x
x
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
→
+
+∞→
E3.- Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: , ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−+=+−
az3yx1zayx
a1azyx2
a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a (2 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (0’5 puntos)
E4.- Dados el punto P(1 , 1 , -1), la recta 3z4
6yxr −=+
=≡ y el plano
, se pide: 012z6x6 =−+≡πa) Halla el punto simétrico de P respecto del plano π (1’5 puntos)
b) Hallar los puntos Q de r que distan 2
1unidades de longitud de π (1 punto)
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 4/2011.
Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Texto para los Alumnos
Nº páginas 2
INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
OPCIÓN A
E1.- Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función f(x) = x3 – x +1, el eje de ordenadas y la recta tangente a la grafica de f en x = 1 (2’5 puntos) E2.- a) Estudiar si la función [ ] ℜ→2,0:f dada por
( )
≤<−+−
≤≤=
2x1si1x27x
23
1x0sixxf 2 ,verifica la hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar
dicho teorema (1’5 puntos)
b) Calcular ( )
( )xsenxxex2coslim
x
0x ⋅−−
→(1 punto)
E3.- a) Calcular el rango de la matriz
=
16151413121110987654321
A (1’5 puntos)
b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 x 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y el de B2 (1 punto)
E4.- a) Determinar la posición relativa de la recta
=−=−
≡0x2z1xy
r y el plano 0yx =−≡π .
(1’5 puntos) b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene a r (1 punto)
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2011 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 4/2011.
OPCIÓN B
E1.- Sea ( )1x
3x3xxf2
−+−
=
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas (2 puntos) b) Esbozar su gráfica (0’5 puntos) E2.- a) Hallar los parámetros reales a y b para los que la función
( )( )
≤+
>−
=0xsibx
0xsix
axxsenxf
2
2 es continúa en ℜ (1’5 puntos)
b) Calcular ( ) dx
xxln
2∫ (1 punto)
E3.- Discutir y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores
del parámetro m:
+=++=−−=++
1mzmyx30zyx1zyx
(2’5 puntos)
E4.- a) Hallar la recta r que pasa por el punto A(1 , - 1 , 0) , esta contenida en el plano
0yx =+≡π y corta a la recta zyxs ==≡ (1’5 puntos) b) Hallar la distancia del punto B(2 , - 2 , 2) a la recta s (1 punto)
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 1/2012.
Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Texto para los Alumnos
Nº páginas 2
INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2’5 puntos Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
OPCIÓN A
E1.- .- Sea ( ) te11tf+
=
a) Calcular ( )∫ dttf (1’5 puntos)
b) Sea ( ) ( ) dttfxgx
0∫= . Calcular
( )xxglim
0x→ (1 punto)
E2.- Dada la función ( )x1
aexfx2
+= , se pide
a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0, valga 2 (0’5 puntos) b) Para a = 1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos (1 punto) c) Para a = 1, hallar sus asíntotas (1 punto)
E3.- Se considera el sistema de ecuaciones
( )( )( ) ( )( ) ( )
+−=+++−=+++−=++
2a1aazyx2a1azayx2a1azyax
3
2
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a (1’5 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1 (1 punto) c) Resolver el sistema para a = -2 (1 punto)
E4.- Se consideran las rectas 11z
1y
32xs;
23z
21y
1xr
−+
==−
≡−
=−−
=≡ .
a) Justificar, razonadamente, que ambas rectas se cruzan (1 punto) b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas (1’5 puntos) b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene a r (1 punto)
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 1/2012.
OPCIÓN B
E1.-
a) Calcular dx3x2x
12∫ ++
(1’5 puntos)
b) Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función f(x) = ax3 + 2x2 +3 en los puntos de abcisa x = 1 y x = -1 sean perpendiculares (1 punto) E2.- Se considera la función f(x) = ex + ln x, ( )∞∈ ,0x donde ln denota logaritmo neperiano a) Estudia la monotonía y las asíntotas de f(x) (1 punto) b) Demostrar que la ecuación x2ex – 1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0 , 1] (0’75 puntos) c) Deducir que f presenta un punto de inflexión en c. Esbozar la gráfica de f (0’75 puntos) E3.- Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2 – 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M -1 en términos de M e I (1’25 puntos)
b) Hallar las matrices M de la forma
abba
que cumplen la ecuación M2 – 2M = 3I
(1’25 puntos) E4.- Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2 , 1 , 3) y Q(1 , 3 , 1); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(- 4 , 7 , - 6) a) Calcular la ecuación de la recta r (0’5 puntos) b) Calcular la ecuación que contiene al cuadrado (1 punto) c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices (1 punto)
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 1/2012.
Pruebas de Acceso a las Universidades
de Castilla y León
MATEMÁTICAS II
Texto para los Alumnos
Nº páginas 2
INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios en el orden que desee. 2.- CALCULADORA.- Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admiten memoria para texto ni representaciones gráficas) CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN DE LA PRUEBA: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2’5 puntos Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben de figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
OPCIÓN A
E1.- Sea las matrices
=
−=
=
121
41
3,1
2CyB
aA
a) Calcular, cuando sea posible, C . Bt , Bt . C y B . C (0’75 puntos) b) Hallar a para que el sistema CByAx ⋅=⋅+⋅ 4 de tres ecuaciones y dos incógnitas x e y sea compatible determinado, y resolverlo para ese valor de a (1’75 puntos) E2.- Sean los puntos A(1 , 2 , -1) , P(0 , 0 , 5) , Q(1 , 0 , 4) y R(0 , 1 , 6) a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector es doble que la segunda (1’75 puntos) b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R (0’75 puntos)
E3.- Sea la función ( )
<≤≤+
=xsixcxsibxxaxf
1ln10
. Hallar a, b y c sabiendo que f(x) es
continua en ( )∞,0 , la recta tangente a f(x) en el punto de abcisa 161
=x es paralela a la recta
y = -4x + 3, y se cumple ( ) 21
=∫ dxxfe
(2’5 puntos)
E4.- a) Estudiar el crecimiento de la función ( ) 33 23 −+= xxxf (1 punto)
b) Probar que la ecuación 033 23 =−+ xx tiene exactamente tres raíces reales (1’5 puntos)
IES Mediterráneo de Málaga Junio 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti
MATEMÁTICAS II. Propuesta 1/2012.
OPCIÓN B
E1.- Sea la matriz
−−
=a
aA
1002002
a) ¿Para qué valores de a la matriz es inversible? (0’5 puntos) b) Estudiar el rango según los valores de a (0’5 puntos)
c) Hallar a para que cumpla AA ⋅=−
411 (1’5 puntos)
E2.- Sean los puntos P(1 , 4 , -1) , Q(0 , 3 , -2) y la recta
=−=
≡4
1zy
xr
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por P, por un punto R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y R (1’5 puntos) b) Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano 03 =−−≡ yxπ (1 punto)
E3.- Sea la función ( )22
+−
=xxxf
a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento (1 punto) b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta y = 1, la gráfica de la función f(x), el eje OY y la recta x = 2; calcular el área de dicho recinto (1’5 puntos) E4.- Determinar, de entre los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máxima (2’5 puntos)
MATEMÁTICAS II-Propuesta 5/2014. Página 1 de 2
INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee.
2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para
texto ni representaciones gráficas).
CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos.
Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y
propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se
aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y
en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la
argumentación lógica y los cálculos.
OPCIÓN A
E1.- Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los
valores del parámetro m :
122
1
mymx
mmyx
ymx
(2,5 puntos)
E2.- Sea el plano que pasa por los puntos (1, 1,1)A , (2,3,2)B , (3,1,0)C y r la recta dada
por 7 6 3
2 1 2
x y zr
.
a) Calcular el ángulo que forman la recta r y el plano . (1 punto)
b) Calcular los puntos de r que distan 6 unidades del plano . (1,5 puntos)
E3.- Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto
)0,1(P , que tiene por tangente en el punto de abscisa 0x la recta de ecuación 12 xy , y
que su integral entre 0 y 1 vale 3. (2,5 puntos)
E4.- Sea la función 2
)( xexf . Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento,
extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)
Pruebas de acceso a enseñanzas
universitarias oficiales de grado
Castilla y León
MATEMÁTICAS II
EJERCICIO
Nº Páginas: 2
MATEMÁTICAS II-Propuesta 5/2014. Página 2 de 2
OPCIÓN B
E1.- Sea la matriz
65
43
21
aaa
aaa
aaa
A .
a) Discutir su rango en función de los valores de a . (1,5 puntos)
b) Para 1a , resolver la ecuación matricial
0
0
0
tA X
, siendo tA la matriz traspuesta de A.
(1 punto)
E2.- Calcular la recta contenida en el plano 31 zyx , paralela al plano 02 x , y
que pasa por el punto simétrico de )1,1,1(B respecto de 2 . (2,5 puntos)
E3.- Sea la función ( ) 2f x x .
a) Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,5 puntos)
b) Calcular el punto de la gráfica de ( )f x más cercano al punto )0,4( . (2 puntos)
E4.- Sea la función 2
( )(1 )
x
x
ef x
e
.
a) Calcular un punto de su gráfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje
OX . Escribe la ecuación de la recta tangente. (1 punto)
b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas 0x y
5lnx . (1,5 puntos)
MATEMÁTICAS II‐Propuesta 6/2015. Página 1 de 2
INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
OPCIÓN A
E1. Dada la matriz
101
113
002
m
m
m
A , se pide:
a) Hallar los valores de m para que la matriz 10A tenga inversa. (1,25 puntos)
b) Para 0m , calcular, si es posible, la matriz inversa de A. (1,25 puntos) E2.- a) Calcular la recta que corta perpendicularmente al eje OZ y que pasa por el punto
(1, 2,3)P . (1,25 puntos)
b) Estudiar, en función del parámetro a, la posición relativa de la recta
0
0
y
xr y el plano
1 azyx . (1,25 puntos)
E3.- Determinar los vértices del rectángulo de área máxima que tiene lados paralelos a los ejes de coordenadas y vértices en el borde del recinto delimitado por las gráficas de las
funciones 2)( xxf y 22)( xxg . (2,5 puntos)
E4.- a) Sea )(xg una función continua y derivable en toda la recta real tal que 0)0( g y
2)2( g . Probar que existe algún punto c del intervalo )2,0( tal que 1)(' cg . (1 punto)
b) Hallar la función )(xf que cumple )1ln()(' 2 xxxf y 1)0( f . (1,5 puntos)
Pruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado
Castilla y León MATEMÁTICAS II
EJERCICIO
Nº Páginas: 2
MATEMÁTICAS II‐Propuesta 6/2015. Página 2 de 2
OPCIÓN B
E1.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
myxm
myx
)21(
1, se pide:
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro m. (1,25 puntos)
b) Resolver el sistema en los casos en que la solución no sea única. (0,75 puntos)
c) Calcular los valores de m para que 2,3 yx sea solución. (0,5 puntos)
E2.- a) ¿Puede haber dos vectores u
y v
de 3 tales que 3vu
, 1u
y 2v
?
(1 punto) b) Hallar el valor de a para que exista una recta que pase por el punto (1 ,1 , )P a a a ,
corte a la recta
1
2
z
yxr y sea paralela a la recta
0
0
y
zxs . (1,5 puntos)
E3.- Dada la función ( )ln
xf x
x , determinar su dominio, asíntotas, intervalos de
crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)
E4.- a) Calcular 0
1 1
ln(1 )lim x x x
. (1 punto)
b) Calcular el área del recinto delimitado por las gráficas de las funciones x
xf1
)( ,
2
1)(
xxg y la recta ex . (1,5 puntos)
MATEMÁTICAS II-Propuesta 1/2016. Página 1 de 2
INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
OPCIÓN A
E1.- a) Discutir, en función del valor de m , el sistema de ecuaciones lineales0
2mx y zmy mz+ + =
+ =
y resolverlo para 1m = − . (1,5 puntos)
b) Para 1m = añadir una ecuación al sistema del apartado a) para obtener: en un caso un sistema compatible determinado y en otro caso un sistema incompatible. (1 punto)
E2.- a) Determinar la posición relativa de la recta 2 1
2 2x y z
rx y z− + =
≡ − + = y el plano
5 2 4≡ − + =x y zπ . (1 punto)
b) Dadas las rectas 11
2 1 5x y zr −
≡ = =−
y 2
2 32 3 1
x y zr
x y z− + − =
≡ − + =, calcular el plano que
contiene a 1r y es paralelo a 2r . (1,5 puntos) E3.- Dada la función 2( ) 2 xf x e−= , estudiar: derivabilidad, crecimiento y decrecimiento,
extremos relativos y asíntotas. (2,5 puntos) E4.- a) Calcular 1/
0 lim ( 1)x
xx e
+→− . (1 punto)
b) Consideremos la función 3 2( ) 1f x x mx= + + con 0m ≥ . Calcular el valor de m para que el área del recinto limitado por la gráfica de la función ( )f x , el eje OX y las rectas 0x = y 2x = sea 10 . (1,5 puntos)
Pruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado
Castilla y León MATEMÁTICAS II
EJERCICIO
Nº Páginas: 2
MATEMÁTICAS II-Propuesta 1/2016. Página 2 de 2
OPCIÓN B
E1.- a) Sea A una matriz cuadrada de orden 3 y tal que 2A = . ¿Tiene inversa la matriz 4A ?
Calcular 15A− y 1(5 )A − . (1,5 puntos)
b) ¿Para qué valores del parámetro a el rango de la matriz 1 6
2a
a+
es 1? (1 punto)
E2.- a) Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano 2 2 4 5 0x y zπ ≡ − + − = y que
contiene a los puntos ( 2,0,0)− y (0,1,0) . (1,25 puntos)
b) Dos caras de un cubo están contenidas en los planos 1 2 2 1 0x y zπ ≡ − + − = y
2 2 2 5 0x y zπ ≡ − + + = . Calcular el volumen de dicho cubo. (1,25 puntos)
E3.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,1) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima en el primer cuadrante. (2,5 puntos)
E4.- Se considera la parábola 2 2y x x= − + .
a) Calcular las rectas tangentes a dicha parábola en sus puntos de intersección con el eje OX . (0,75 puntos)
b) Calcular el área delimitada por la gráfica de dicha parábola y las rectas tangentes obtenidas en el apartado a). (1,75 puntos)