INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DE LAEDUCACIÓN SUPERIOR – ICFES

SUBDIRECCIÓN DE ASEGURAMIENTO DE LA CALIDAD

PROGRAMA DE EVALUACIÓN DE LA EDUCACIÓN BÁSICAPRUEBAS SABER

LENGUAJE Y MATEMÁTICASGRADOS 3, 5, 7 Y 9

FUNDAMENTACIÓN CONCEPTUAL

Bogotá, D.C., Enero de 2003

PRESIDENTE DE LA REPÚBLICAÁlvaro Uribe Vélez

MINISTRA DE EDUCACIÓN NACIONALCecilia María Vélez White

VICEMINISTRO DE EDUCACIÓN NACIONALJavier Botero Álvarez

DIRECTOR INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR –ICFESDaniel Bogoya Maldonado

SUBDIRECTORA DE ASEGURAMIENTO DE LA CALIDADMagdalena Mantilla Cortés

AUTORES

Janneth Carvajal AlvaradoMartha Jeanet Castillo BallénCarlos Antonio Pardo AdamesMartha Cecilia Rocha GaonaClaudia Lucía Sáenz BlancoNorma Constanza Triana RestrepoYuly Marsela Vanegas Muñoz

Fundamentación Conceptual pertenece al documento Programa de Evaluación de la EducaciónBásica, ISSN: 1692-4096.

Se permite la reproducción parcial o total de este documento siempre y cuando se haga conpropósitos educativos y se otorguen los respectivos créditos.

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ÍNDICE

FUNDAMENTACIÓN CONCEPTUAL 2

LA EVALUACIÓN EN LENGUAJE 3¿CUÁLES SON LOS REFERENTES DE LA EVALUACIÓN EN LENGUAJE? 4¿CÓMO SE EVALÚA EN LENGUAJE? 7EXIGENCIAS EN LOS TEXTOS 9

LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICAS 10¿CUÁLES SON LOS REFERENTES DE LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICAS? 11¿QUÉ EVALÚAN LAS PRUEBAS? 16

BIBLIOGRAFÍA 25

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FUNDAMENTACIÓN CONCEPTUAL

Desde 1991, el ICFES inició una nueva etapa de trabajo en el campo de la evaluación dela educación básica, que ha dado como resultado el desarrollo y la aplicación de laspruebas conocidas en el país como SABER.

El propósito general de este programa de evaluación nacional ha sido el de obtener,procesar, interpretar y divulgar información confiable y análisis pertinentes sobre laeducación en el país, de tal manera que se constituyan en una base sólida para la tomade decisiones en las diferentes instancias del servicio educativo, y para la definición oreorientación de políticas que fortalezcan la gestión del sector y contribuyan almejoramiento de la calidad de la educación.

Las pruebas SABER, aplicadas durante los años 1991, 1992, 1997 y 1998 a una muestrarepresentativa de estudiantes de todo el país, han permitido recopilar información sobrelos logros de los estudiantes de los grados 3, 5, 7 y 9 de la educación básica en las áreasde lenguaje y matemáticas, que ha servido de base para numerosos estudios sobre elestado de la educación en el país. Las pruebas SABER aplicadas en el mes de octubre deeste año, conservan la esencia de las realizadas en años anteriores y, en este sentido,dan continuidad a los esfuerzos evaluativos que las anteceden.

Como se verá, las pruebas SABER de matemáticas se concentran en evaluar el uso queel estudiante hace de la matemática para comprender, utilizar, aplicar y comunicarconceptos y procedimientos matemáticos; mientras tanto, las pruebas de lenguaje buscanevaluar la competencia comunicativa a partir del análisis de la forma como los estudianteshacen uso del lenguaje para acceder a la comprensión de diferentes tipos de textos, esdecir, la manera como el estudiante usa su lenguaje en los procesos de negociación desentido.

Para aproximarse a la fundamentación conceptual de cada una de las pruebas, enseguidase encontrarán los referentes de la evaluación y aquello que evalúa cada una de ellas,aspectos considerados básicos a la hora de adentrarse en la interpretación y el análisis delos resultados.

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LA EVALUACIÓN EN LENGUAJE1

La evaluación por competencias en lenguaje desde 1991 ha estado inscrita en el marcode una reflexión teórica sobre el desarrollo del lenguaje, en la cual el proceso designificación de lo humano es condición indispensable para lograr la formación integral delos sujetos en las diferentes dimensiones de su desarrollo social, cognitivo, cultural,estético y físico. Según Luis Angel Baena (1989, 1992), la significación es el proceso en elcual ocurre la transformación de la experiencia humana en sentido. Transformación quese da en términos de categorías conceptuales, pragmáticas y culturales. La asimilación dela lengua, desde este enfoque, se percibe como el resultado de la integración progresivadel niño en la comunidad verbal. Se considera que es en la interacción con el mundocomo él toma conciencia de sí mismo, del otro y del mundo natural y social que lecircunda. El niño se integra a la vida como participante en la negociación de sentidos, enun proceso que está presente desde las más tempranas etapas de su desarrollo cognitivo.

En este contexto, el lenguaje, más que tomarse como un sistema de reglas o uninstrumento de la comunicación, se concibe como un hecho social que constituye alhombre como sujeto cultural y discursivo. Sujeto que se construye en su experienciaindividual y colectiva con el mundo a través del lenguaje. De esta manera toda actividaddel hombre se traduce en discurso y se manifiesta a través de textos.

Una orientación de este tipo, supedita el análisis del sistema (de la lengua) al proceso dela significación, a la construcción y búsqueda del sentido a través del uso, a los elementosque intervienen en el proceso de interacción y que tienen que ver con la acción discursiva,y exige a la educación una pedagogía en la que el desarrollo del lenguaje y laconstrucción de saberes aparezcan en una misma dimensión, ya que es con y a travésdel lenguaje como el estudiante construye y desarrolla conocimiento, como significa susexperiencias y le da sentido a las experiencias de otros. Desde esta línea teórica se leapuesta a una noción de conocimiento en la que el lenguaje es el elemento esencial: ellenguaje estructura y comunica conocimiento.

Asumir esta responsabilidad, tanto en la educación como en la evaluación, requiere tenerconsciencia sobre el papel que juega el lenguaje en la escuela y fuera de ella, en losprocesos de socialización, y en la manera como los individuos interpretan y significan elmundo a través de él.

Atendiendo a estas exigencias y siendo conscientes de la necesidad de apoyar desde laevaluación la construcción de estos espacios pedagógicos, las pruebas pretendenrastrear estados en la competencia comunicativa de los estudiantes, a través de la lecturade textos.

Desde los planteamientos de la dimensión de la significación, y teniendo en cuenta lospostulados de D. Hymes (1996) en torno a este concepto, se entiende por competenciacomunicativa la capacidad que tiene un estudiante para comprender, interpretar, organizary producir actos de significación a través de distintos sistemas de signos lingüísticos y nolingüísticos. Desde esta óptica, si el conocimiento se percibe como un proceso en

1 Es importante señalar que las referencias centrales de la evaluación en lenguaje son los Lineamientos Curriculares y losIndicadores de Logros Curriculares, emanados del Ministerio de Educación Nacional.

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continua transformación y estructuración en y por el lenguaje, y no como una bolsa decontenidos, entonces la evaluación debe volver la mirada hacia el proceso del conocer.

En éste sentido, hablamos de un “saber-saber-hacer” que se sustenta en la posibilidad deuna acción, de un hacer inmerso en ese proceso de desarrollo gradual, que se cumple enla construcción y apropiación de herramientas, y que posibilita la transformación de laexperiencia humana en sentido.

La decisión de rastrear el estado de la competencia comunicativa de los estudiantes, através de la lectura, respondió desde un principio, al hecho de que el logro de losestudiantes no podía determinarse en razón de unos contenidos sobre literatura y elfuncionamiento gramatical del lenguaje, aprendidos comúnmente de manera memorísticay descontextualizada. Esto no significa desconocer la importancia del conocimientoteórico sobre el lenguaje y la literatura, lo que se intenta cuestionar es el aprendizaje dereglas y conceptos, sin que en ese proceso de aprendizaje exista una concienciafuncional del lenguaje. En otras palabras, se considera que el estudiante evidencia sucompetencia comunicativa no sólo al demostrar qué tanto sabe sobre el lenguaje, sinotambién cuando consigue utilizar el lenguaje (y para algunos, su lenguaje) eninteracciones exitosas. Se hace referencia aquí a la consciencia que tiene el estudiantesobre el uso del lenguaje, para interpretar o producir textos, atendiendo no sólo a lasreglas del sistema gramatical, sino a las condiciones pragmáticas de la enunciación ocontextos enunciativos particulares.

Esta hipótesis, sustentada por primera vez en el campo de la evaluación en 1991, no hasufrido mayores modificaciones, sin embargo, su implementación en el Nuevo Examen deEstado y las recientes aplicaciones de las pruebas SABER, han hecho necesario que seprecise cada vez más las implicaciones que ésta tiene para el diseño de los instrumentos.Por tal razón, y manteniendo la misma hipótesis de fondo, la evaluación se ha enriquecidocon aportes de la textolingüística, la semiótica y las teorías contemporáneas de larecepción. En esta línea teórica se han trabajado autores como: Mijaíl M. Bajtín (1982),Emile Benveniste (1969), Gérard Genette (1989), Teun A. Van Dijk (1972), A.J. Greimas(1971), Oswald Ducrot (1988), Umberto Eco (1972, 1974, 1977, 1981, 1985, 1988, 1995),y otros.

¿CUÁLES SON LOS REFERENTES DE LA EVALUACIÓN EN LENGUAJE?

Frente a las teorías que conciben la interpretación como persecución de la intención delautor, y las teorías que entienden la interpretación como seguimiento de la intención dellector, la teoría semiótica de la recepción de Umberto Eco (1972, 1988) afirma lanecesidad de buscar en el texto lo que dice con referencia a los sistemas de significacióndesde los que fue emitido y a su propia coherencia interna. Desde esta perspectiva, lalibertad interpretativa del lector está siendo estimulada y regulada por el texto. Eldestinatario de un texto llena los espacios vacíos que, por naturaleza, el texto contiene,realizando un recorrido por sus diferentes niveles, con base en los conocimientos que eltexto le exige y en los movimientos interpretativos que éste, además, motiva en él.

La reflexión que sustenta esta teoría tiene como fundamento la semiótica de CharlesSanders Peirce (1987) y, específicamente, el concepto de “signo” propuesto por este

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filósofo norteamericano. Para Peirce, hablar de signos es responder a la pregunta por elconocimiento. A la pregunta ¿cómo conoce el hombre? Peirce responde: a través designos. El signo en Peirce es el resultado de un proceso de interpretación; un signo nosofrece una versión del mundo; una versión que a su vez debe ser interpretada por otrossignos en un proceso que recibe el nombre de semiosis. Así, interpretar un signo esrelacionarlo con otros signos que, según el contexto y el universo de discurso, sirven paraaclarar o ampliar su significado y su sentido. Esta concepción, aplicada a la comunicacióny específicamente al proceso de lectura, se resuelve en una teoría de la cooperacióninterpretativa que busca distinguir entre interpretación y uso del texto.

En este proceso de cooperación interpretativa, entre los saberes del texto y los saberesdel lector, el estudiante se vale, de manera progresiva y regulada por el texto, deconocimientos previos, de representaciones sobre la manera como se perciben y seinterpretan experiencias, de saberes que apuntan a las diferentes relaciones entre sujetosy eventos del mundo, de saberes conceptuales sobre temas determinados y situacionesde enunciación particulares. En este intercambio de saberes conocidos y por conocer, escomo el lector va construyendo hipótesis de lectura acerca de lo que puede decir el texto.En términos de la semiótica discursiva, se diría que es una interacción entre los códigosdesde los cuales lee el sujeto y los códigos desde los cuales el texto prevé sus lecturas, ala memoria de otros textos.

Este proceso de interacción actúa como un abanico de posibilidades interpretativas. En unprimer momento las hipótesis del lector son amplias y diversas, debido a que losconocimientos que se activan obedecen, de manera casi arbitraria, a la percepción que sehace el lector de los posibles contenidos textuales. Es necesario aclarar que este aspectoremite a la capacidad del lector para elaborar conjeturas e hipótesis razonables sobre elcontenido del texto a partir de sus saberes previos. Estos saberes pueden serhipercodificados o hipocodificados, dependiendo de las exigencias del texto. Sonhipercodificados cuando el texto remite a saberes altamente socializados, ehipocodificados cuando el texto exige la interpretación de saberes que requieren de unmetalenguaje que no es altamente socializado. A medida que el lector avanza en suproceso de interpretación, este abanico se va estrechando para dar paso al descarte y/ola constatación de ciertas hipótesis, o para considerar otras que hasta el momento no sehabían alcanzado a vislumbrar. En este juego de conjeturas, de aciertos y desaciertos, degeneralizaciones y abstracciones, es como el lector construye el sentido del texto.

A medida que se avanza en el proceso de interpretación, el lector tiene una exigencia deselección de saberes que van desde los más cercanos e inmediatos a su mundo, hastalos conceptuales y específicos de un metalenguaje. Cada texto hace una exigencia desaberes pertinentes a su estructuración y significados posibles. En esta medida se podríallegar a decir que la complejidad de cada texto está determinada por la calidad delproceso lector, es decir, por el carácter exitoso de la comunicación: exigencias del texto(vs) saberes, capacidades y experiencias del lector.

En el proceso de evaluación la cooperación interpretativa entre texto y lector se vemediada por un grupo de preguntas que apuntan, a partir de la organización de cadatexto, a marcar diferentes recorridos de significación del contenido textual, exigiendo dellector un trabajo en función de una hipótesis de lectura global que le permitirá responder alas preguntas: ¿Qué dice el texto?, ¿para qué lo dice?, ¿cómo lo dice? ¿quién lo dice?,

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¿desde dónde? Si el lector reconoce lo que dice el texto, podrá entrar a responder lasegunda pregunta: ¿Qué pienso yo sobre lo que dice este texto con relación a otrostextos?

Los anteriores interrogantes orientan un proceso que exige pasar del trabajo textual(interpretación semántica) al trabajo intertextual (interpretación semántico crítica) para,posteriormente, llegar al trabajo extra-textual (interpretación crítica o propositiva). Seentiende por interpretación semántica el resultado del proceso por el cual el lector, ante lamanifestación lineal del texto, la llena de significado; y por interpretación crítica, elproceso mediante el cual el lector intenta explicar por qué razones estructurales el textopuede producir esas (u otras) interpretaciones.

En términos de Genette (1989) la intertextualidad regula el proceso de interpretación,entre la experiencia del lector y las exigencias del texto, en cuanto da cuenta de lapresencia efectiva de un texto en otro. Es importante anotar que es en este proceso endonde el estudiante pone en juego sus saberes sobre el lenguaje, la literatura y otrasdisciplinas. En el diálogo con los textos, el estudiante se vale de sus lecturas previas paraavanzar, en una lectura relacional, a niveles de interpretación críticos.

Se entiende por texto toda estructura significante de signos verbales y/o no verbales en laque sus elementos: sintácticos, semánticos y pragmáticos, conforman una red designificación en continua interacción, en función de un sentido global y de una estructuraparticular, que es la que diferencia un texto de otro. El texto y el discurso podrían serconsiderados como dos elementos diferentes, que negocian y convergen en el mismoproceso de la significación. En efecto, para una semiótica cuyo objeto son las prácticassignificantes, el discurso es el proceso de significación y a la vez el acto que envuelve elproceso de la enunciación. El texto, por su parte, es el que permite organizar y expresar lasignificación del discurso.

Desde esta óptica, los conceptos de coherencia y cohesión están haciendo referencia alproceso de negociación entre texto y discurso, ya que la coherencia apunta a laorientación intencional del discurso y la cohesión a la organización del texto para lograr lapuesta en escena del discurso.

Ahora bien, el proceso de interacción, entre texto y lector, se evidencia cuando el lectorconsigue producir interpretantes de ese texto, se considera interpretante cualquier nuevosigno que, desde cierta perspectiva, interpreta, explícita, los contenidos del texto: soninterpretantes de un texto sus ilustraciones, sus resúmenes, sus comentarios críticos, susadaptaciones a otras sustancias de la expresión e, incluso, los efectos emotivos quepueda producir en su receptor. Es de anotar que, más allá de la infinidad de interpretantesque pueden darse de un texto, éste no soporta cualquier interpretante, y será fundamentaldistinguir cuándo el interpretante producido por el lector da cuenta del texto y cuándo lotergiversa.

Teniendo en cuenta el contexto antes señalado y las exigencias que cada día losparadigmas de la ciencia, la cultura y el desarrollo humano le hacen a la educación, lodeseado en la formación de un estudiante en la educación básica desde el lenguaje, tieneque ver con los procesos de comunicación y significación que aportan al desarrollo del

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pensamiento crítico y a la toma de posición de un sujeto en la cultura. Un sujetoautónomo, capaz de situarse frente a los discursos de la cultura y el conocimiento.

Así, lo esperado de un estudiante que termina su educación básica es la conciencia deuso del lenguaje en diferentes contextos, sujetos capaces de comprender, interpretar,analizar y producir tipos de textos según sus necesidades comunicativas y exigencias delmedio cultural, social y académico que lo rodea. Sujetos capaces de adoptarcomportamientos multipolares, analíticos e integrales en la generación y adquisición deconocimientos. Un perfil de egresado que pueda responder no sólo a los retos que lasociedad le va a exigir sino a su propia actitud hacia la vida y a sus posibilidades deseguir aprendiendo.

Si esto es lo que se espera, entonces una mirada sobre el proceso, en este caso desde laevaluación, debe permitir caracterizar estados o momentos que den cuenta, a manera dediagnóstico, de lo que se está logrando y de lo que faltaría por lograr, desde los proyectoseducativos y proyectos de aula, para conseguir que la práctica pedagógica se conviertaen un hacer significativo frente al trabajo con el lenguaje.

¿CÓMO SE EVALÚA EN LENGUAJE?

La prueba está compuesta por preguntas de opción múltiple con única respuesta, quecorresponden al objeto de la evaluación: el proceso de lectura. Frente a éste, la pruebahace énfasis en la lectura semántica y semántico crítica, es decir, en el trabajo con eltexto y en el trabajo del texto hacia otros textos. Mientras la lectura semántica intentadevelar el sentido del texto a partir de interrogantes como: ¿qué dice?, ¿cómo lo dice?,¿quién lo dice?, ¿para qué lo dice?, ¿desde dónde lo dice?, ¿en qué momento lo dice?, lalectura semántico crítica pone en relación esta información con otros textos a partir depresupuestos y conjeturas que son motivados por el texto y por el lector, desde susexperiencias lectoras. El proceso de lectura que realiza el estudiante a través de laspreguntas, permite generar dos tipos de resultados: resultados en términos de niveles delogro (ver capítulo 3) y de grupos de preguntas o tópicos.

La estructura de las pruebas prevé la clasificación de las preguntas a parir de la dicotomíaentre interpretación semántica e interpretación crítica. En el proceso de cooperacióninterpretativa, a medida que el lector pasa del sentido superficial al sentido profundo deltexto, se ve obligado a realizar una serie de operaciones inferenciales cada vez máselaboradas, actualizando conocimientos y saberes más amplios. Dicho recorrido hapermitido hablar de niveles de logro o estados en la competencia comunicativa. Estosniveles arrojan información sobre lo alcanzado y lo que hay que superar en el proceso decomprensión lectora, como un hacer particular dentro de la competencia comunicativa.Bajo este presupuesto, para las pruebas de los grados 3, 5, 7 y 9, se han definido losniveles de logro descritos en las Tablas 1.1 y 1.2.

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Tabla 1.1Niveles de Logro en Lenguaje Grados 3 y 5

NivelesGrados B: COMPRENSIÓN LITERAL

TRANSCRIPTIVA.C: COMPRENSIÓN LITERAL A

MODO DE PARÁFRASIS.D: COMPRENSIÓN

INFERENCIAL DIRECTA.

3º y 5º

En este nivel se ubican losestudiantes que al entrar encomunicación con la pruebaretienen parte de la informacióncontenida en los textos de maneralocal. Identifican eventos, objetos ysujetos mencionados en el texto.Se caracteriza por exigir unalectura fragmentaria del texto.

En este nivel se agrupan losestudiantes que superan unacomprensión fragmentaria deltexto y logran realizar un primernivel de significado del mensaje, elcual se realiza a través de unproceso de paráfrasis de partes dela información contenida en eltexto. Se caracteriza por exigir unalectura en la que juega un papelimportante la selección y síntesisde información.

En este nivel se agrupan losestudiantes que logranestablecer relaciones yasociaciones entre partes dela información contenida en eltexto para dar cuenta de lasrelaciones de implicación,causación, temporalización yespacialización. Secaracteriza por exigir unalectura en la que se da cuentade la información que aparecede manera sugerida en eltexto.

Tabla 1.2Niveles de Logro en Lenguaje Grados 7 y 9

NivelesGrados C: COMPRENSIÓN

LITERALD: COMPRENSIÓN

INFERENCIALDIRECTA E INDIRECTA

E: COMPRENSIÓNINTERTEXTUAL

F: COMPRENSIÓNCRITICA

7 y 9

En este nivel se agrupanlos estudiantes querealizan unacomprensión literal de lasuperficie del texto. Secaracteriza por exigiruna lectura instauradaen el marco deldiccionario básico deltexto.

En este nivel se agrupanlos estudiantes quelogran realizardeducciones ypresuposiciones de lainformación contenidaen el texto de maneralocal o global. Secaracteriza por exigiruna lectura quecomplementa los vacíosdel texto como condiciónbásica para entrar a unainterpretación crítica delo leído.

En este nivel se agrupanlos estudiantes quelogran superar el nivelde lectura inferencial yentran en un proceso dediálogo con el texto, enel que se incluye laenciclopedia, es decir, lapuesta en red desaberes de múltiplesprocedencias, para darcuenta de partes delcontenido textual. Estenivel se caracteriza porexigir una lectura en laque predomina unmovimiento deinformación que va deltexto hacia otros textos ode otros textos hacia eltexto.

En este nivel se agrupanlos estudiantes querealizan una explicaciónde la interpretacióncrítica sobre lo leído.Este nivel se caracterizapor exigir una lectura enla que predomina lamovilización de saberespara conjeturar y evaluarlo que aparece en eltexto. Se identifican,además, las intenciones,las ideologías y lascircunstancias deenunciación en el texto.

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Adicionalmente, el desempeño frente a determinados momentos de la cooperacióninterpretativa (saberes del lector – saberes del texto) ha permitido definir cinco grupos depreguntas o tópicos, los cuales se diferencian por el tipo de información a la que el lectordebe acudir en el momento de enfrentar cada pregunta. En el siguiente cuadro, se definecada uno de ellos, así como sus exigencias.

1. Identificación

Estas preguntas le solicitan al lector ubicar información que aparece de maneraexplícita y literal en el texto. Para resolverlas, el lector selecciona, entre lasopciones de respuesta, aquella que repite sin alteración la información queaparece en la superficie textual (cuando se trata de información gráfica, el verbosupone alguna licencia). Estas preguntas operan a nivel local exclusivamente.

2. Paráfrasis:

Aquí se le solicita al lector recuperar información que aparece de maneraexplícita o implícita en el texto. Para resolver estas preguntas, el lector realiza untrabajo de selección, omisión y síntesis de información. Todas ellas tienen encomún el proponer un trabajo sobre la superficie textual que va más allá de lasimple identificación de información; aquí el estudiante debe reconocer aquellaopción que recoge la información textual pero la presenta de una maneradiferente. Dependiendo del problema tratado, estas preguntas pueden apuntar aaspectos locales o globales del texto.

3. Enciclopedia:

Estas preguntas le solicitan al lector poner en interacción sus saberes previoscon los saberes que el texto presenta y posibilita. Para resolverlas, el lectorrealiza un trabajo de cooperación y diálogo con el texto, valiéndose de un acopioprevio de información no estrictamente lingüística. Se trata de preguntas queoperan a niveles locales y globales.

4. Pragmática:

Este grupo le solicita al lector reconocer y dar cuenta de los tipos de actoscomunicativos presentes en el texto, de las intenciones, las finalidades y lospropósitos de los enunciadores, y de las circunstancias de producción textual.Para responder estas preguntas, el estudiante debe acudir a la información quele ofrece el texto de manera explícita o implícita, y a su experiencia comunicativapara develar desde dónde se enuncia y para qué. Estas operan a niveles localeso globales.

5. Gramática:

Este tópico le solicita al lector reconocer y dar cuenta de la funcionalidadsemántica de los elementos gramaticales en la coherencia y cohesión textual.Para resolver estas preguntas, el lector realiza un trabajo de cooperación ydiálogo con el texto, valiéndose de un acopio previo de información sobre loselementos del sistema de la lengua y su función en la construcción de sentido.Se trata de preguntas que operan a niveles locales y globales.

Cuadro 1.1Grupos de preguntas Pruebas de Lenguaje

Es importante aclarar que aunque la estructura contempla estos cinco grupos, en losgrados de 3 y 5, las pruebas hacen énfasis en las preguntas de identificación, paráfrasis,enciclopedia y pragmática. En los grados 7 y 9, las pruebas hacen énfasis en laspreguntas de paráfrasis, enciclopedia, pragmática y gramática.

EXIGENCIAS EN LOS TEXTOS

Tanto en las pruebas SABER, como en las pruebas de Estado, se utilizan textosinformativos, narrativos, argumentativos y explicativos, sobre diferentes temas.

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Textos de divulgación científica: esta clase de textos son tomados de revistas,periódicos, libros dedicados a la introducción de las ciencias naturales, o fragmentos deensayos.

Textos periodísticos: presuponiendo que, en la actualidad, un gran número de personasconstruyen su experiencia lectora sobre esta clase de textos, las pruebas invitan alestudiante a realizar un ejercicio de lectura crítica a nivel de todos los génerosperiodísticos. Así, en ella se encuentran desde editoriales, pasando por crónicas, hastaartículos culturales, políticos y económicos donde se hacen análisis con detenimiento.

Textos literarios: ensayos sobre literatura, cuentos, poesía, teatro etc. Se buscan textosde literatura o sobre literatura que permitan hacer lecturas críticas sobre uno o variosfenómenos de la disciplina o con relación a otros campos. Se trabaja, por ejemplo, lasrelaciones entre literatura y sociedad, literatura y ciudad, literatura y pintura, literatura yescultura, etc. Consideramos que hablar de literatura es poner en contacto al estudiantecon los correlatos culturales que les subyacen.

Narrativa icónica: al igual que los textos periodísticos, se parte del presupuesto de queesta clase de textos constituyen un espacio de significación importante. Al igual que conlos textos verbales escritos, en las pruebas se intenta que el estudiante realice una lecturaen diferentes niveles de interpretación, sobre la puesta de sentidos a través de la imagen.Aunque la prueba no posee categorías de análisis de la semiótica de la imagen, existenalgunas categorías generales desarrolladas en el ámbito de la semiótica de los textosverbales que son pertinentes y válidas para pensar y analizar el problema de la lecturaicónica.

LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICAS

En los instrumentos de evaluación utilizados para establecer la línea de base que déindicios sobre la calidad de lo que se enseña y se aprende en matemáticas en la escuela,se ha considerado relevante retomar algunos aspectos de la educación matemática, y enparticular de la formulación y resolución de problemas en matemáticas, que son posiblesde valorar a través del tipo de prueba masiva, con ítems de selección múltiple con únicarespuesta.

Durante muchos años se han identificado dificultades relacionadas con la enseñanza y elaprendizaje de las matemáticas, como la desmotivación hacia el aprendizaje, las altastasas de mortalidad académica, la apatía, la repitencia, la deserción y la creencia de quea un buen profesor de matemática no le aprueban la materia un número significativo deestudiantes. Además, existe la tendencia, un tanto generalizada, de considerar lamatemática como algo inalcanzable e incomprensible, limitándose por esto su estudio,muchas veces, a la mecanización y a la memoria, y no a la comprensión de susconceptos. Estas dificultades, entre otras, han generado diferentes estudios einvestigaciones2 sobre lo que “debería” ser o sobre cómo hacer matemática en la escuela, 2 Entre estas investigaciones se destacan los grupos de investigación de la Universidad de Granada: Luis Rico, LorenzoBlanco; de la Universidad de Sevilla: Salvador Llinares; y de la Universidad Autónoma de Guerrero México: CrisólogoDolores Flórez.

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interrogantes de los que se encarga actualmente la educación matemática, la cual seconsidera como una disciplina en formación que pretende dar cuenta de los procesos quese dan en la escuela, desde y alrededor de la matemática.

Una de las premisas centrales de esta disciplina establece una diferencia entre lamatemática de "punta" y la matemática escolar. La matemática que han llamado algunosautores de "punta" otros de "investigación", y que desde aquí se llamará matemática, seconsidera como un cuerpo de conocimientos dinámico que está en continua expansión,que se encarga del estudio y desarrollo de los objetos que han sido llamadosmatemáticos. Estos objetos, como lo define Rodríguez (1996), son “síntesis de ciertasocurrencias mundanas, que van constituyéndose a partir de la acción del ser humanosobre el mundo”; es decir, los conceptos que estudia la matemática se refieren acaracterísticas de objetos a-temporales y a-espaciales. Por ejemplo, el número no es unobjeto que exista en lo concreto; la matemática se encarga de crearlo a través de laabstracción, como objeto con propiedades y relaciones.

El quehacer de esta matemática, de acuerdo con los planteamientos de Pólya (citado enlos Lineamientos Curriculares de Matemáticas, 1998), se centra en actividades como eldesarrollo de demostraciones rigurosas, la construcción de sistemas axiomáticos, elreconocimiento de conceptos matemáticos que permiten analizar situaciones concretas, lainferencia de resultados, el planteamiento de líneas de demostración y generalizaciones,entre muchas otras. Por su parte, Castro, Rico y Romero (1997) plantean que el hacermatemático implica interpretar situaciones matemáticamente, matematizar (cuantificar,visualizar o coordinar) sistemas estructuralmente interesantes y utilizar un lenguajeespecializado, símbolos, esquemas, gráficos, modelos concretos u otros sistemas derepresentación para desarrollar descripciones matemáticas, o explicaciones, oconstrucciones que permitan plantear predicciones útiles acerca de tales sistemas.

Desde la educación matemática, estas actividades propias de los matemáticos seconsideran fundamentales para desarrollar en la escuela, pues facilitan que el estudiantese pueda acercar a lo que constituye el quehacer matemático. Así mismo, tenemos encuenta que en la institución educativa interactúan, además de los saberes básicos de lamatemática (sus objetos, propiedades y relaciones), un mundo de valores, creencias,imaginarios, historias y formas de relacionarse que se atraviesan constantemente. Esteinter-juego, estas prácticas pedagógicas alrededor de la matemática, esta matemática quese vive y se construye en la escuela es la que se llamará matemática escolar.

¿CUÁLES SON LOS REFERENTES DE LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICAS?

Para comprender la complejidad de la matemática escolar, la educación matemática sevale de diferentes disciplinas como la neurología (biología), la filosofía, la lingüística(semiología), la historia de las matemáticas, la antropología, la informática y la psicología.Vasco (1993) plantea que la educación matemática se ubica dentro del octágono de esasdisciplinas que permiten pensarla como distinta, pero interdependiente de ellas. Lainterdependencia de la educación matemática con estas disciplinas ha permitido tener encuenta modelos de funcionamiento cerebral en la construcción de conocimientomatemático, concepciones alrededor de la ciencia, del ser humano y de la sociedad,elementos para la comprensión del lenguaje matemático, la construcción a lo largo de la

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historia de los conceptos matemáticos en relación con otras disciplinas y con loscontextos sociales del momento, y las etapas del desarrollo del niño.

Teniendo en cuenta los aportes de estos saberes, la educación matemática plantea que,en la escuela, el acercarse al conocimiento matemático implica un proceso deconstrucción social, en donde los objetos matemáticos no están totalmente acabados,están en continua construcción, y en el que el estudiante es considerado como uno de losprotagonistas fundamentales de la construcción de este conocimiento; en este proceso vaproporcionándole significado a los conceptos matemáticos desde sus diferentes vivencias.En concordancia con esta postura, el Ministerio de Educación Nacional en la SerieLineamientos Curriculares para Matemáticas, plantea:

“El conocimiento matemático en la escuela es considerado hoy como una actividadsocial que debe tener en cuenta los intereses y la afectividad del estudiante y deljoven. Como toda tarea social debe ofrecer respuestas a una multiplicidad de opcionese intereses que permanentemente surgen y se entrecruzan en el mundo actual. Suvalor principal está en que organiza y da sentido a una serie de prácticas, a cuyodomino hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo. La tarea del educadormatemático conlleva entonces una gran responsabilidad, puesto que la matemática esuna herramienta intelectual potente, cuyo dominio proporciona privilegios y ventajas”.(MEN, 1998)

Ahora bien, desde la educación matemática se plantea que en el contexto escolar elestudiante debe acercarse al quehacer del matemático, el estudiante debe construirconocimiento significativamente alrededor de los conceptos que han configurado lamatemática, y debe generar formas de interpretación y de construcción de situacionesdesde los avances de la matemática. En este sentido, es indispensable pensar que losconceptos matemáticos están conectados con la actividad mental de los estudiantes.

Desde esta perspectiva y de acuerdo con los Lineamientos Curriculares del MEN, lamatemática escolar debe promover el desarrollo del pensamiento matemático, el cualposibilita al estudiante describir, organizar, interpretar y relacionarse con determinadassituaciones a través de la matemática; en otras palabras, un pensamiento que facilitamatematizar la realidad. Este planteamiento es acorde con lo planteado por educadoresmatemáticos, cuando se afirma que:

"Los fines que nosotros consideramos prioritarios en la educación matemática son lossiguientes: 1) desarrollar la capacidad del pensamiento del alumno, permitiéndoledeterminar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias, y, en definitiva,potenciar su razonamiento y su capacidad de acción. 2) Promover la expresión,elaboración y apreciación de patrones y regularidades, así como su combinación paraobtener eficacia o belleza... 3) Lograr que cada alumno participe en la construcción desu conocimiento matemático... 4) Estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de lacrítica, la participación y colaboración, la discusión y defensa de las propias ideas..."(Rico, 1995).

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Promover el desarrollo del pensamiento matemático en los estudiantes implica abordar unenfoque de formulación y resolución de problemas3 como eje orientador de la actividadpedagógica, incluyendo en ella la evaluación. Diferentes investigaciones4 han demostradoque este enfoque contribuye al desarrollo del pensamiento matemático, pues losproblemas se conciben como situaciones en las que los estudiantes identifican,seleccionan y usan estrategias pertinentes y adecuadas para obtener soluciones válidasen el contexto matemático; así, estas distintas acciones que posibilitan los problemas seconsideran como una aproximación al quehacer del matemático.

Cabe anotar que los problemas siempre han ocupado un lugar en el currículo dematemática, pero las perspectivas bajo las cuales se han pensado los problemas han sidodistintas. Así, el papel de la solución de problemas en la matemática de la escuela hacrecido bajo dos concepciones: la solución de problemas vista como una herramienta básicapara todos los estudiantes, y la solución de problemas vista como una actividad mentalcompleja.

La solución de problemas vista como herramienta básica, ha llevado a que los problemassean usados después de teorizar, como la aplicación de un concepto matemático a unatarea específica, en donde el estudiante mecaniza una serie de algoritmos. Sonproblemas que provocan o condicionan al estudiante para dar una respuesta de formamecánica, lo que implica limitar las posibilidades de creación de nuevas estrategias.

La segunda concepción, considera los problemas como una actividad compleja, es decir,una actividad que involucra procesos cognitivos superiores como la visualización, la aso-ciación, la abstracción, la comprensión, la manipulación, el razonamiento, el análisis, la sínte-sis y la generalización. Al respecto, algunos estudios sobre la forma en que los estudiantesresuelven problemas, han demostrado que la reflexión que éste hace de sus propiasacciones ligadas a este proceso, posibilita la modificación de sus estructuras cognitivas.

Las situaciones que se plantean para las pruebas de matemáticas asumen la segundaconcepción, pues el problema se constituye en una situación que lleva a que el “resolutor“(en este caso el estudiante) ponga en juego diferentes procesos para su resolución. Así,el resolver un problema implica la conjugación de la experiencia previa, el conocimiento yla intuición, que permitirán la re-elaboración de hechos, conceptos y relaciones, pues nopuede ser resuelto de forma mecánica. Shoenfeld (citado por Trigo) al respecto, explicaque en la resolución de problemas intervienen, por lo menos, aspectos como los recursosmatemáticos, las estrategias heurísticas, la autorregulación o monitoreo, el control delproceso de solución, y las ideas y creencias acerca de la matemática; es decir, resolverun problema requiere poner en acción el sentido construido alrededor de los conceptosmatemáticos, “poner en uso la matemática”; en dicha relación, se construyen una o variassoluciones, en las que son válidas diferentes estrategias o planes de acción.

En el desarrollo de la resolución de problemas en matemáticas, se considerandiferentes tipos de problemas e inclusive diversas formas de clasificarlos. Por ejemplo,

3 Si bien el enfoque de formulación y resolución de problemas fue propuesto por la psicología, se hará referencia a éste,como ya se había explicado antes, desde la educación matemática, que es la disciplina que se ha encargado de reflexionary realizar estudios frente a la formulación y resolución de problemas matemáticos en el aula.4 Al respecto se destacan las investigaciones de George Pólya y Luz Manuel Santos Trigo, CINVESTAV (Centro deInvestigación y Estudios Avanzados) México; y de Alan Shoenfeld investigador de la Universidad de Berkeley.

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Pólya propone una clasificación de los problemas como de rutina y de no-rutina. Losprimeros pueden ser resueltos aplicando directa y mecánicamente una regla que elalumno no tiene dificultad para encontrar. También pertenecen a este tipo, los quedemandan la utilización correcta de un término o símbolo del vocabulario matemáticopero no hay en ellos invención alguna, ni desafío a la inteligencia. Los segundos, sonaquellos que requieren del alumno un cierto grado de creatividad y de originalidad,son problemas para los cuales no se puede identificar en forma directa un modelo desolución pues requieren de estrategias como adivinar, chequear, trabajar hacia atrás,explorar patrones, argumentar, […]

Desde otra perspectiva, Fredericksen (citado por Trigo 1996) sugiere tres categorías parala clasificación de los problemas: los bien estructurados, los estructurados y los malestructurados. Los problemas bien estructurados hacen referencia a aquellos problemasque aparecen claramente formulados, que se resuelven con la aplicación de un algoritmoconocido y en los que existen criterios para verificar si la solución es correcta. Losproblemas estructurados requieren un “pensamiento productivo”, son semejantes a losbien estructurados, sin embargo, estos requieren el diseño de todo el proceso de solucióno parte de éste. Por último, los problemas mal estructurados carecen de una claraformulación, de un procedimiento que garantice una solución y no existen criteriosdefinidos para determinar cuándo se ha obtenido una solución.

Igualmente, Lorenzo Blanco (1991), al plantear cómo los avances en la enseñanza de lasmatemáticas en la educación básica surgen fundamentalmente de una "nueva disposiciónpara resolver problemas", propone una clasificación de problemas que, sin pretender serexhaustiva, toca elementos centrales para el análisis de niveles o grados de complejidadpara su resolución. Dicha clasificación es la siguiente:

- Ejercicios de reconocimiento: en los que se pretende resolver, reconocer o recordar unfactor específico, una definición o una proposición de un teorema.

- Ejercicios algorítmicos o de repetición: se resuelven con la ejecución de algúnalgoritmo, a menudo numérico, para reforzar alguna expresión matemática o parapotenciar destrezas de cálculo.

Aunque estas dos categorías no se consideran propiamente dentro de la clasificación deproblemas, pueden contribuir a su diferenciación, por ejemplo:

- Problemas de traducción simple o compleja, los cuales implican una traducción delenunciado a una expresión matemática. Esta traducción moviliza conocimientosconceptuales y procedimentales en el estudiante para su resolución.

- Problemas de procesos, en lo cuales la traducción a expresiones matemáticas no estáexplícita en su estructura por lo que se requiere buscar diversas estrategias desolución

- Problemas sobre situaciones reales que se requieren matematizar para encontrarlessolución. Esta matematización es de por sí un proceso complejo que involucraaspectos no solamente de contenido matemático sino de decisión sobre aspectos dela vida real.

- Problemas de investigación matemática, relacionados directamente con contenidosmatemáticos, sugieren la búsqueda o "descubrimiento" de algún modelo parasolucionarlo.

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- Problemas de puzzles son aquellos que acuden al ingenio del resolutor parasolucionarlos, sin que necesariamente medien procesos matemáticos.

- Historias matemáticas, se conciben como libros de cuentos que proyectan ciertascuestiones matemáticas que elicitan la curiosidad y la participación del lector.

Cuando hablamos de problema, además de los planteamientos anteriores, pensamos queresolverlo no es sólo llegar a la respuesta, lo cual es importante, sino que para llegar aella se requieren diferentes procesos que se cruzan constantemente como lacomprensión, el planteamiento y elección de estrategias, y la verificación. Rico (1990) alrespecto señala:

“Resolver problemas no se reduce a usar la matemática conocida, requiere de unagran dosis de creatividad y reelaboración de hechos, conceptos y relaciones, en elsentido más real del término, RESOLUCION DE PROBLEMAS es CREAR YCONSTRUIR matemática. Memorizar y repetir todas las reglas deductivas que operanen un sistema formal fuertemente estructurado constituye a veces una derivación delcomportamiento real del matemático. Confundir los procesos de producción yelaboración del conocimiento matemático con sus resultados cristalizados es un errorfrecuente en nuestra enseñanza; por ello, la resolución de problemas constituye nosólo una buena estrategia metodológica sino que supone una forma de aproximaciónmás real al trabajo en matemática. (Rico, 1990)”

Desde esta concepción sería importante pensar que la formulación y resolución deproblemas debiera ser la directriz del currículo en matemática, como lo han planteado loslineamientos curriculares de Colombia y los estándares curriculares y de evaluación para laeducación matemática (NCTM, 1998) de los Estados Unidos:

“La resolución de problemas debe ser eje central del currículo de matemáticas, como tal,debe ser un objetivo primario de la enseñanza y parte integral de la actividad matemática.Pero, esto no significa que se constituya en un tópico aparte del currículo, mas biendeberá permearlo en su totalidad y proveer un contexto en el cual los conceptos yherramientas sean aprehendidos".

Ahora bien, se considera que el trabajo orientado por este enfoque, facilita que elestudiante construya significados sobre y desde la matemática, en la medida que la usa yla puede relacionar con su cotidianidad; además, promueve el desarrollo de procesoscognitivos de orden superior, los cuales son necesarios en una formación autónoma. Porello planteamos que la matemática escolar, pensada desde la formulación y resolución deproblemas, puede contribuir a la consecución de los fines de la educación en Colombia aldesarrollar un pensamiento crítico, reflexivo y analítico, necesario para crear disciplina yhabilidades de trabajo, promover el desarrollo de la autonomía, facilitar los procesos departicipación y promover el pensamiento científico.

Así, el enfoque de formulación y resolución de problemas se preocupa no solamente porel conocimiento matemático que estructura el estudiante, sino por todos los procesos queintervienen en la construcción del pensamiento matemático. A partir de esto, se consideraeste enfoque como determinante en el diseño de los problemas de las pruebas y lacaracterización de los niveles de logro de las competencias en matemáticas, pues laevaluación basada en éste, permite acercar la matemática a situaciones cotidianas, a la

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vez que permite al estudiante contextualizar, modelar y matematizar situaciones delmundo real.

¿QUÉ EVALÚAN LAS PRUEBAS?

A partir de la formulación y resolución de problemas, puede hacerse una aproximación alestado del pensamiento matemático de los estudiantes, y por ende, al establecimiento delestado de la calidad de la educación matemática en este aspecto específico. Es claro quereconocer el estado de pensamiento matemático es un proceso posible, sólo a partir deciertos indicadores. Uno de tales indicadores son las competencias en matemáticas,vistas como manifestación del saber/hacer del estudiante en el contexto matemático. Estesaber/hacer implica que el estudiante ponga en juego tres aspectos que están integradosy que configuran la competencia como tal; éstos se refieren al conocimiento matemático,a la comunicación y a las situaciones problema. Así, para poder dar cuenta de lacompetencia de un estudiante, se ve como necesario que al enfrentarse a una situaciónproblema, logre matematizarla modelándola a partir de las diferentes relaciones queestablezca entre los conceptos que le subyacen. A continuación se hace una brevedescripción de los aspectos antes mencionados.

El conocimiento matemático: Para establecer desde dónde y cómo se ve elconocimiento matemático escolar, se partió de una concepción en la cual sereconocen dos aspectos, el conceptual y el procedimental, según lo plantea Rico(1990).

a) El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadas entre símediante múltiples relaciones, que constituyen lo que se denomina estructuraconceptual. Rico reconoce tres niveles en el campo conceptual:

Los hechos: son unidades de información que sirven como registro deacontecimientos. Conviene tener en cuenta que tomados aisladamente los hechoscarecen de significado, el cual se da al interior de una estructura matemática.

Los conceptos: se consideran como una serie de unidades de información (hechos)conectadas entre sí por medio de relaciones. Los conceptos se representanmediante sistemas simbólicos y gráficos.

Las estructuras conceptuales: en ellas los conceptos se unen o se relacionan,constituyendo en ocasiones, conceptos de orden superior. Así, el manejosignificativo de la estructura conceptual va más allá de la memorización dedefiniciones, y permite establecer propiedades e inferir conclusiones a partir de losconceptos básicos de cada estructura. “Son los conceptos y las estructurasconceptuales los que constituyen la esencia del conocimiento matemáticoorganizado” (Rico, 1990).

De esta forma, el conocimiento conceptual, evidenciado por el dominio de los hechos yde los conceptos matemáticos, adquiere significado dentro de una estructura, y esprecisamente en ella que desempeña su papel.

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b) El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecución detareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. En él sedistinguen tres niveles:

Destrezas: suponen el dominio de los hechos; tienen significado para quien lasutiliza y su ejecución debe darse al interior de una estructura conceptual. Según elcampo de la matemática escolar donde operen, se distinguen entre destrezasaritméticas, geométricas, métricas, gráficas, y de representación. Razonamientos en matemáticas: un razonamiento (según Giménez, 1997) es unconjunto de enunciaciones y procesos asociados que se llevan a cabo parafundamentar una idea en función de unos datos o premisas y unas reglas deinferencia. En la construcción de las pruebas se toman en consideración algunosrazonamientos matemáticos que se pueden caracterizar así:

i. Pretende descubrir o explicitar generalidades mediante la observación y la

combinación de casos particulares, tratando de encontrar regularidades ypatrones.

ii. Llevan a establecer relaciones y sentido espacial.

Estrategias: consideradas como formas de responder a una determinada situacióndentro de una estructura conceptual. Dado que el conocimiento matemático esdinámico, hablar de estrategias implica ser creativo para elegir entre varias vías lamás adecuada o inventar otras nuevas para responder a una situación. El uso deuna estrategia implica el dominio de la estructura conceptual, así como grandesdosis de creatividad e imaginación, que permitan descubrir nuevas relaciones onuevos sentidos en relaciones ya conocidas. Entre las estrategias más utilizadas porlos estudiantes en la educación básica se encuentran la estimación, laaproximación, la elaboración de modelos, la construcción de tablas, la búsqueda depatrones y regularidades, la simplificación de tareas difíciles, la comprobación y elestablecimiento de conjeturas.

Aunque los procedimientos constituyen una herramienta que permite encontrar unresultado, no se consideran de manera aislada de las estructuras conceptualessubyacentes a las situaciones problema, ya que éstas permiten elegir, modificar ogenerar procedimientos que se adecuen a las situaciones en las que sea presentado elconcepto.

La comunicación: Se refiere a la posibilidad del estudiante para leer y escribirmatemática; implica que pueda interpretar, traducir y simbolizar desde y hacia unlenguaje matemático. Así, los problemas que se incluyen en las pruebas requieren dela traducción y simbolización en diferentes formas de representación usadas en lamatemática escolar. Siguiendo a Castro, Rico y otros, la noción de representación"debe tener la dualidad del concepto, para pensar sobre ideas matemáticas ycomunicarlas, se hace necesario representarlas de algún modo. La comunicaciónrequiere que las representaciones sean externas, tomando la forma de lenguaje oral,símbolos escritos, dibujos u objetos físicos".

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Como ha sido reconocido, las formas de representación en matemáticas son crucialespara la comprensión de los objetos matemáticos5. Algunos autores plantean aspectosrelevantes de la representación en la resolución de problemas, como que "no hayconocimiento que un sujeto pueda movilizar sin una actividad de representación"(Duval, 1999) y que “hacer matemáticas implica más que la simple manipulación desímbolos matemáticos; implica interpretar situaciones matemáticamente; implicamatematizar (o sea, cuantificar, visualizar o coordinar) sistemas estructuralmenteinteresantes; implica utilizar un lenguaje especializado, símbolos, esquemas gráficos,modelos concretos u otros sistemas de representación para desarrollar descripcionesmatemáticas o explicaciones, o construcciones que permitan plantear prediccionesútiles de tales sistemas” (Rico, 1997).

De esta manera, se plantea que el significado de las estructuras matemáticas que setrabajan en el aula se pueden rastrear o caracterizar a través de diferentes sistemas derepresentación que les son propios, pero en cada uno de los cuales se privilegiancaracterísticas diferentes sobre esa estructura matemática. Cuando un estudiante seenfrenta a resolver un problema que se le plantea, está implícita o explícitamentereconociendo elementos de los sistemas de representación, asumiendo con ellosdescripciones que implican presunciones acerca de las relaciones matemáticas quesubyacen a la situación problema.

Asumiendo lo anterior, las tareas que se proponen a los estudiantes a través de estaspruebas, les exigen el reconocimiento, no solamente del objeto matemático, sinotambién desde qué perspectiva el tipo de representación que se plantea, le permiteanalizar la información. Como lo menciona Di Sessa (citado por LESH. R. 1997) "Lascapacidades matemáticas en las que se hace hincapié, a menudo, insisten en lacomunicación, la planificación, el seguimiento y otros tipos de pensamiento de altorango que reclaman capacidades de representación; es decir, que los estudiantestienen que ir más allá de pensar con una representación matemática dada para pensarademás acerca de la potencia o debilidad relativa de las representaciones alternativas".

Las formas de representación consideradas para estas pruebas son de tipo verbal (enlas que se incluyen los lenguajes natural y simbólico), gráfico (pictogramas, diagramas,gráficas) y tabular6. Estas formas de representación se consideran tanto para elenunciado del problema como para las opciones de respuesta presentadas.

Las Situaciones: Las situaciones se refieren a unidades de significado a través de lascuales puede atribuírsele determinado sentido matemático a un problema, es decir, soninstrumentos para la matematización, ofreciendo la posibilidad de modelar conceptosmatemáticos; por ende, los problemas deben referirse a situaciones cercanas al

5 Lesh, Rico, E. Castro, Janvier, A. Bell, Duval, entre otros autores, han trabajado el problema de la representación enmatemáticas, asociado a la comprensión de los objetos matemáticos escolares y sus implicaciones para la enseñanza y elaprendizaje.6 Claude Janvier presenta una tabla 4x4 en la que relaciona diversos procesos de traslación involucrando estas mismascuatro formas de representación: situaciones o descripciones verbales, tablas, gráficas y fórmulas (ecuaciones); estosprocesos se refieren a medición, lectura, cómputo, interpretación, modelación, esquematización, entre otros. Por ejemplo,en el caso de las funciones, una representación tabular da una visión cuantitativa de ésta, mientras la gráfica y la ecuaciónposibilitan tener una mirada de las características globales de la función estudiada, tanto cualitativa como cuantitativa(variaciones, crecimiento, continuidad, concavidad, máximos, mínimos, etc.).

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estudiante, situaciones cotidianas, situaciones ficticias o hipotéticas, juegos ysituaciones matemáticas.

Según Webb (1979), existen varios criterios para clasificar los tipos de situaciones quese pueden proponer, entre ellos, la presentación de los problemas mediante dibujos ograbados, el manipulativo, el pictorial, el simbólico, el verbal, o una combinación devarios de estos modos y el de escenario-marco, que se puede distinguir entre familiar yno familiar, aplicado y teórico, concreto y abstracto, hipotético y de hecho,convencional o imaginario. De hecho, el uso de diversas representaciones hace quelas situaciones sean significativas o modeladoras, que apunten al desarrollo de unconcepto en particular o a la aprehensión de significados que son utilizados dentro dela situación.

En los problemas que se plantean a los estudiantes en estas pruebas, se pretende quelas situaciones sean de diverso tipo, aunque generalmente se reconoce el usosolamente de problemas tipo texto en los cuales sólo se exige una modelación de unconcepto y el estudiante trata de aplicar únicamente conocimientos ignorando lo nuevoque le puede aportar la situación cuando la está desarrollando. Al respecto, SantosTrigo (1996) plantea que "cuando los problemas se establecen en contextosespecíficos como los que se encuentran en los libros de texto, parece que elconocimiento específico de la materia relacionada juega un papel determinante, sinembargo, cuando el problema es no familiar, la presencia de estrategias generales sehace más notable en el proceso de solución".

Teniendo en cuenta los anteriores planteamientos, el propósito de estas pruebas esdeterminar niveles de logro (ver capítulo 3) en las competencias en matemáticas de losestudiantes en la educación básica, a través del enfoque de formulación y resolución deproblemas matemáticos como estrategia de evaluación. En las Tablas 1.3 y 1.4 sedescriben las características de los niveles de logro para los grados 3, 5, 7 y 9.

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Tabla 1.3Niveles de Logro en Matemáticas Grados 3 y 5

GRADO NIVEL B NIVEL C NIVEL D

3º y 5º

En este nivel se proponenproblemas rutinarios en los que lainformación necesaria pararesolverlos se encuentra en elenunciado. Además, lainformación, está en el orden enque se debe operar pararesolverlos, requiriendo tan sólo deuna operación o una relación parasu resolución. Las situaciones a lasque hacen referencia son decarácter concreto, las cuales sepueden considerar comocotidianas para el estudiante, en lamedida en que son situaciones tipoque usan los maestros para“enseñar” ciertos conceptos.Para resolver estos problemas senecesita solamente una estrategiade un área del conocimientomatemático: aritmética, geometría oestadística.

En este nivel se proponenproblemas no rutinarios simples. Aligual que los anteriores, lainformación necesaria pararesolverlos se encuentra en elenunciado, sin embargo, sediferencian de los del nivel anteriorporque en éstos es necesarioreorganizar la información parapoder resolverlos. Los problemas,en su mayoría, son planteados ensituaciones hipotéticas,caracterizados en su lenguaje porla forma "si sucede x, pasaríaque...” Para solucionar losproblemas también se requiere unasola estrategia de alguna de estosdominios: aritmética, geometría oestadística.

En este nivel se proponenproblemas no rutinarios complejos.Los datos del enunciado nodeterminan por sí mismos el posibledesarrollo de su resolución; losdatos no están puestos en el ordenen el que el resolutor debe operarcon ellos. Además de que los datosno están organizados, se requierenotros pasos para su resolución, detal forma que es imposibleresolverlos a través de uno sólo.Estos problemas están planteadosen situaciones hipotéticas o norutinarias para el estudiante, esdecir, situaciones que no son lastípicas en el trabajo dedeterminados conceptosmatemáticos en la escuela. Suresolución implica la combinaciónde estrategias de los diferentesdominios de la matemática comoson aritmética y geometría,aritmética y estadística.

* En los grados tercero y quinto se reconocen tres niveles de logro: nivel B, nivel C y nivel D

Tabla 1.4Niveles de Logro en Matemáticas Grados 7 y 9

GRADO NIVEL C NIVEL D NIVEL E NIVEL F

7º y 9º

En este nivel, en elenunciado de los problemasaparece explícita lainformación necesaria parasu resolución, y suele,implícitamente, indicar laestrategia a seguir. Adiferencia de los gradostercero y quinto, estosproblemas requieren delmanejo de dos variables enel enunciado y elestablecimiento derelaciones de dependenciaentre ellas. En estosproblemas el estudiantedebe establecer la mismarelación en cada una de lasopciones de respuesta.

En este nivel la informaciónnecesaria para resolver losproblemas se encuentraexplícita en el enunciado,sin embargo, no se insinúauna estrategia a seguir, sinoque el estudiante debereorganizar la informaciónpara establecer un caminopara resolver el problema;pueden implicar también labúsqueda de unaregularidad o patrón y engeneral, subyace a estassituaciones la relación entredos variables.

En los problemas de estenivel no aparecenexplícitamente ni datos nirelaciones que permitanrealizar directamente unamodelación, lo que posibilitadiferentes formas deabordar el problema. Elestudiante debe descubriren el enunciado relacionesno explícitas que lepermitan establecer unaestrategia para encontrar lasolución; estas relacionesimplican dos o másvariables que se ponen enjuego en la situación o queno aparecen en ella peroson requeridas. Además, elestudiante debe poner enjuego un conocimientomatemático másestructurado, es decir, debeestablecer relaciones entrelos datos y condiciones delproblema.

En este nivel se ubican losestudiantes que soncapaces de resolverproblemas no rutinarioscomplejos. El estudiantedebe descubrir en elenunciado relaciones noexplícitas que le posibilitenestablecer una estrategiapara encontrar la solución.Requiere establecer sub-metas y utilizar estrategiasinvolucrando distintostópicos del conocimientomatemático. Para laresolución de éstosproblemas, el estudiantepone en juego unconocimiento matemáticoque da cuenta de un mayornivel de conceptualizaciónlogrado.

* En los grados séptimo y noveno se reconocen cuatro niveles de logro: nivel C, nivel D, nivel E y nivel F.

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Es necesario tener en cuenta que si bien la caracterización de los niveles es similar en losdiferentes grados, en tanto se reconocen los mismos tipos de problemas y las accionesque implica la resolución de estos, la complejidad de los niveles de un grado a otro esdiferente, desde aspectos disciplinares propios de cada grado (sintaxis, semántica,conceptos, hechos...), y las relaciones que se involucran en cada problema. Los grados 3y 5 constituyen un caso particular, en donde el nivel B se caracteriza de la misma manera,pero la formalidad del lenguaje que se usa para estructurar las situaciones y las preguntasen los dos grados, se va haciendo más exigente. Por ejemplo, el conocimiento que losestudiantes han logrado construir sobre las fracciones, en grado tercero se analiza desdelas representaciones gráficas, involucrando fracciones usuales como 1/2, en donde elrazonamiento que se pone en juego implica una mirada a la fracción desde lainterpretación parte-todo, y además, se establecen relaciones entre un número particularde partes y el número total de partes. En quinto, la fracción no sólo es vista desde lasrepresentaciones gráficas, sino también en contextos en donde se requiere otro tipo deinterpretación, por ejemplo, la fracción como razón, en donde es necesario establecerrelaciones entre medidas, es decir, la fracción se asume como un índice comparativoentre dos cantidades de una magnitud. Adicionalmente, con el fin de que los resultados puedan sugerir ciertas fortalezas ydebilidades que promuevan acciones de mejoramiento, se han definido grupos depreguntas o tópicos, partiendo de lo que se ha conceptualizado como competencias enmatemáticas, haciendo énfasis en el conocimiento matemático. Desde la caracterización descrita anteriormente sobre conocimiento matemático, y lasconsideraciones acerca del conocimiento conceptual y procedimental, se establecencuatro tópicos en los que se pueden diferenciar más claramente estructuras y estrategiaspropias de cada uno de ellos: aritmética, geometría y medición, estadística y probabilidad,y álgebra. Cabe anotar que esta es una de las posibles formas de organizar elconocimiento matemático, entre otras que se podrían sugerir (Tablas 1.5 y 1.6).

Es importante tener en cuenta, en el análisis por tópicos, algunos aspectos sobre suorganización, pertinencia y énfasis: • El énfasis que se hace en cada uno de estos tópicos está determinado

fundamentalmente por el grado para el que se elabora la evaluación.• Los recorridos conceptuales pueden iniciarse, dependiendo del grado, en lo nocional

del concepto evaluado e ir creciendo en complejidad hasta llegar a la formalizaciónesperada en la educación básica.

• En cada uno de los grados se evaluarán los tópicos pertinentes.

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Tabla 1.5Grupos de Preguntas Pruebas de Matemáticas, Grados 3, 5 y 7

ARITMÉTICA GEOMETRÍA Y MEDICIÓN PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

3º

En este tópico se enfrenta a los estudiantes al usosignificativo de los números naturales, en situacionesque les exigen una conceptualización de ellos, desdelo estructural y procedimental de este universonumérico.Así, se evalúan aspectos como: nociones sobre laestructura aditiva, acercamiento a la estructuramultiplicativa, conceptualización de valor posicional,relaciones de orden en números naturales,identificación de patrones numéricos.

En este tópico se enfatiza el uso de la medida y elreconocimiento de formas geométricas básicas,caracterizadas a través de sus elementos ypropiedades. Así, se evalúan aspectos como:reconocimiento de figuras geométricas, nociones deperímetro y área en figuras planas, seguimiento depatrones, mediciones con unidad patrón(convencional y no convencional).

En este tópico se proponen situaciones en las quese requiere el reconocimiento de datos endiferentes formas de representación usuales en laestadística, y la exploración de las posibilidades yarreglos, como un acercamiento al campo de lacombinatoria y la permutación.

5º

Además de explorar otras relaciones en los númerosnaturales, en este grado se explora otro universonumérico, los racionales positivos, pero vistos desdesus representaciones de fracción y decimal, a partir delas relaciones y propiedades que se reconocen en él.Así, se evalúan aspectos como: nociones sobreestructuras aditiva y multiplicativa, noción de fracción(como cociente, como parte de un todo, como decimal,como razón), relaciones de divisibilidad,descomposición de números y factores primos.

En este grado, se exploran las propiedades ycaracterísticas de cuerpos, superficies y líneas, asícomo algunos movimientos en el plano. En el casode la medición, se enfatiza el uso de diversasmagnitudes en la solución de situaciones. Seevalúan aspectos como: noción de perímetro y deárea por recubrimiento, identificación de figurasgeométricas a través de sus propiedades, rectas,posiciones relativas (perpendicularidad, paralelismo),propiedades de las figuras, transformaciones(rotaciones y traslaciones).

En este grado, aunque se siguen utilizando lasdiversas representaciones de datos, se pretendehacer énfasis en el análisis y la comparación, asícomo en el conteo y las posibilidades, como unacercamiento cada vez más formal a laprobabilidad (dado que ya hay un trabajo sobre lasfracciones). Así, se evalúan aspectos como:posibilidades, conteo, representaciones (gráficas,tabulares), interpretación de información ydeterminación de porcentajes.

7º

Cada vez se van ampliando los universos numéricos aevaluar, incluyendo ahora los racionales y los enteros,enfatizando en su uso en diferentes situacionessignificativas (usando el número para medir, paracontar, para ordenar) y explorando sus propiedades yrelaciones. Se evalúan aspectos como: aplicacionesde la multiplicación y de la división, y sus algoritmosen el conjunto de los números naturales, racionales yenteros; aplicaciones de máximo común divisor ymínimo común múltiplo; conceptualización yrepresentación de números enteros y racionales.

Las nociones tratadas en los grados anteriores sevan formalizando cada vez más, utilizandoargumentos matemáticos para describir figurasgeométricas, identificar y reconocer propiedades yrelaciones. En el caso de la medición, se enfatiza eluso de diferentes sistemas de medida, reconociendosus unidades y patrones, en situaciones cotidianas ymatemáticas. Se evalúan aspectos como:conceptualización de perímetro y de área, relacionesy propiedades geométricas, propiedades yclasificación de figuras planas y sólidos, movimientosen el plano.

En este grado se hace énfasis en elreconocimiento e interpretación de medidas detendencia central a partir de datos dados, así comoen el análisis de información y en la determinaciónde probabilidades en espacios muestralessencillos. Se evalúan aspectos como: nociones decombinatoria, lectura e interpretación de gráficas,nociones de probabilidad y aleatoriedad, noción depromedio y porcentajes.

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Tabla 1.6Grupos de Preguntas Pruebas de Matemáticas, Grado 9

ARITMÉTICA GEOMETRÍA Y MEDICIÓN ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ALGEBRA

9º

En este grado, los universosnuméricos se amplían en suconceptualización, y se exige suuso de manera más formal en lasdiferentes situaciones que seplantean. Se evalúan aspectoscomo: aplicaciones del conceptode multiplicación y división y susalgoritmos, en el conjunto de losnúmeros enteros,conceptualización yrepresentación de númerosracionales y sus distintassignificaciones, seguimiento depatrones y generalización.

En este grado, se enfatiza el usode teoremas, relaciones ypropiedades como insumosnecesarios para la resolución dediferentes situaciones. Se evalúanaspectos como: conceptualizaciónde diversas magnitudes (longitud,superficie, capacidad, peso,amplitud angular), relaciones ypropiedades de objetosgeométricos, conceptualización dela longitud de la circunferencia yárea del círculo, movimientos en elplano, utilización de patrones demedida.

En este grado se exige el análisis deinformación desde las distintasinterpretaciones y sentidos demedidas de tendencia central,haciendo inferencias sobre los datosdados para la toma de decisiones.Sobre la probabilidad, se exige suuso de una manera más formaldándole sentido desde el contextoparticular. Se evalúan aspectoscomo: combinatoria y permutación,lectura e interpretación de gráficas,nociones de probabilidad yaleatoriedad, promedio yporcentajes.

Este tópico sólo se introduce paraeste grado, a través del cual sepretende explorar la comprensiónde patrones, relaciones yfunciones en diversos contextos,reconociendo la variable y lamodelación como elementoscentrales del trabajo en álgebra.Se evalúan aspectos como:traducción de lenguajes(simbólico, tabular, gráfico),ecuaciones lineales con una solaincógnita, manejo de la letra comonúmero generalizado, incógnita yvariable, construcción derelaciones métricas,conceptualización de funcioneslineales y cuadráticas.

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