Psifiako Sxoleio Kef 2

8/17/2019 Psifiako Sxoleio Kef 2

1/79

1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ

ΚΕΥΑΛΑΙΟ 2ο: ΤΝΑΡΣΗΕΙ - ΟΡΙΟ - ΤΝΕΦΕΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ

ΘΕΜΑ Α

Άσκηση 1

α) Έρςχ μια ρσάοςηρη f , η ξπξία είαι ξοιρμέη ρε έα κλειρςό διάρςημα , . Α η f είαι

ρσευή ρςξ , και f ( ) f ( ) , α δείνεςε όςι για κάθε αοιθμό μεςανύ ςχ f ( ) και

f ( ) σπάουει έα ςξσλάυιρςξ αοιθμό 0x ( , ) ςέςξιξ ώρςε 0f(x ) .

β) Έρςχ A έα σπξρύξλξ ςξσ . Τι ξξμάζξσμε ποαγμαςική ρσάοςηρη με πεδίξ ξοιρμξύ ςξA ;

Λύρη

α) Έρςχ όςι f ( ) f ( ) και f ( ) n f ( ) . Α θεχοήρξσμε ςη ρσάοςηρη

g(x) f (x) n , x , παοαςηοξύμε όςι:

Η g είαι ρσευή ρςξ , και g( )g( ) 0 , ατξύ g( ) f ( ) 0 και

g( ) f ( ) 0 . πξμέχ, ρύμτχα με ςξ θεώοημα ςξσ Bolzano, σπάουει 0x ,

ςέςξιξ, ώρςε 0 0g(x ) f (x ) 0 ξπόςε 0f(x ) .

β) Έρςχ A έα σπξρύξλξ ςξσ . Οξμάζξσμε ποαγμαςική ρσάοςηρη με πεδίξ ξοιρμξύ ςξA μια διαδικαρία (καόα) f , με ςη ξπξία κάθε ρςξιυείξ x A αςιρςξιυίζεςαι ρε έα μόξποαγμαςικό αοιθμό y . To y ξξμάζεςαι ςιμή ςη f ρςξ x και ρσμβξλίζεςαι με f(x) .


2/79

2

Άσκηση 2

i. Πόςε δύξ ρσαοςήρει f και g λέγξςαι ίρε;

ii. Πόςε μία ρσάοςηρη f λέγεςαι γηρίχ αύνξσρα ρ’ έα διάρςημα ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ

ςη;

iii. Έρςχ μια ρσάοςηρη f ξοιρμέη ρε έα διάρςημα A και 0x A . Πόςε λέμε όςι η f είαι

ρσευή ρςξ0

x ;

Λύρη

i. Δύξ ρσαοςήρει f και g λέγξςαι ίρε όςα: έυξσ ςξ ίδιξ πεδίξ ξοιρμξύ A και για κάθε

x A ιρυύει f(x) g(x) .

ii. Μία ρσάοςηρη f λέγεςαι γηρίχ αύνξσρα ρ’ έα διάρςημα Δ ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ ςη,

όςα για ξπξιαδήπξςε 1 2x ,x με 1 2x x ιρυύει: 1 2f (x ) f (x ) .

iii. Έρςχ μια ρσάοςηρη f και 0x έα ρημείξ ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ A . Λέμε όςι η f είαι

ρσευή ρςξ 0x A , όςα0

0x xlim f(x) f(x )


3/79

3

Άσκηση 3

α) Πόςε μια ρσάοςηρη f λέγεςαι γηρίχ τθίξσρα ρε έα διάρςημα ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύςη;

β) Τι ξξμάζξσμε ρύθερη gof δύξ ρσαοςήρεχ f,g με πεδία ξοιρμξύ A,B αςίρςξιυα; Πξιξείαι ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη gof;

γ) Να διαςσπώρεςε ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή.

Λύρη

α) Μια ρσάοςηρη f λέγεςαι γηρίχ τθίξσρα ρ’ έα διάρςημα Δ ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ ςη,

όςα για ξπξιαδήπξςε 1 2x ,x με 1 2x x ιρυύει: 1 2f (x ) f (x ) .

β) Α f,g είαι δύξ ρσαοςήρει με πεδία ξοιρμξύ Α, Β αςίρςξιυα, ςόςε ξξμάζξσμε ρύθερη

ςη f με ςη g , και ςη ρσμβξλίζξσμε με gof, ςη ρσάοςηρη με ςύπξ 1gof :A , όπξσ ςξ

πεδίξ ξοιρμξύ 1A ςη gof απξςελείςαι από όλα ςα ρςξιυεία x ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ ςη f για ςα

ξπξία ςξ f(x) αήκει ρςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη g .

Δηλαδή είαι ςξ ρύξλξ 1A x A | f (x) B . ίαι ταεοό όςι η gof ξοίζεςαι α 1A ,δηλαδή α f (A) B .

γ) Έρςχ ξι ρσαοςήρει f,g,h. Α h(x) f(x) g(x) κξςά ρςξ 0x και 0 0x x x xlim h(x) lim g(x) ςόςε

0x xlim f (x)

.


4/79

4

Άσκηση 4

i. Πόςε μια ρσάοςηρη f με πεδίξ ξοιρμξύ ςξ A λέμε όςι παοξσριάζει ξλικό ελάυιρςξ ρςξ

0x A ςξ 0f(x ) ;

ii. Να διαςσπώρεςε ςξ θεώοημα Bolzano

iii. Πόςε μια ρσάοςηρη f : A λέγεςαι ρσάοςηρη 1-1;

Λύρη

i. Μία ρσάοςηρη f με πεδίξ ξοιρμξύ A θα λέμε όςι:

παοξσριάζει ρςξ0

x ξλικό ελάυιρςξ, ςξ0

f(x ) , όςα 0f (x) f (x ) για κάθε x A .

ii. Έρςχ μια ρσάοςηρη f , ξοιρμέη ρε έα κλειρςό διάρςημα , .

Α η f είαι ρσευή ρςξ , και επιπλέξ, ιρυύει f ( )·f ( ) 0 ςόςε σπάουει έα

ςξσλάυιρςξ 0x ( , ) , ςέςξιξ ώρςε 0f (x ) 0 . Δηλαδή, σπάουει μια ςξσλάυιρςξ οίζα ςηενίρχρη f (x) 0 ρςξ αξικςό διάρςημα ( , ) .

iii. Μια ρσάοςηρη f : A λέγεςαι ρσάοςηρη "1-1", όςα για ξπξιαδήπξςε 1 2x ,x A ιρυύειη ρσεπαγχγή:

α1 2

x x ςόςε 1 2f (x ) f (x ) .


5/79

5

Άσκηση 5

i. Να διαςσπώρεςε ςξ θεώοημα ςη μέγιρςη και ςη ελάυιρςη ςιμή.

ii. Πόςε μια ρσάοςηρη f δε είαι ρσευή ρε έα ρημείξ 0x ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ ςη;

Λύρη

i. Α f είαι ρσευή ρσάοςηρη ρςξ [ , ] , ςόςε η f παίοει ρςξ [ , ] μια μέγιρςη ςιμή M και μια ελάυιρςη ςιμή m .

ii. Μια ρσάοςηρη f δε είαι ρσευή ρε έα ρημείξ 0x ςξσ πεδίξσ ξοιρμξύ ςη όςα α) Δε

σπάουει ςξ όοιό ςη ρςξ0

x ή β) Υπάουει ςξ όοιό ςη ρςξ0

x , αλλά είαι διατξοεςικό από ςη

ςιμή ςη0

f(x ) , ρςξ ρημείξ0x.


6/79

6

Άσκηση 6

Πόςε λέμε όςι μια ρσάοςηρη f είαι ρσευή ρε έα αξικςό διάρςημα (α,β) και πόςε ρε έακλειρςό διάρςημα [α,β];

Λύρη

Μια ρσάοςηρη f λέμε όςι είαι ρσευή ρε έα αξικςό διάρςημα (α,β), όςα είαι ρσευή ρεκάθε ρημείξ ςξσ (α,β).

Μια ρσάοςηρη f θα λέμε όςι είαι ρσευή ρε έα κλειρςό διάρςημα [α,β], όςα είαι ρσευή

ρε κάθε ρημείξ ςξσ (α,β) και επιπλέξxlim f(x) f( )

και

xlim f(x) f( )

.


7/79

7

Άσκηση 7

i. Τι ξξμάζεςαι ακξλξσθία;

ii. Πόςε μπξοξύμε α ααζηςήρξσμε ςα όοιαxlim f (x)

καιxlim f (x)

;

Λύρη

i. Ακξλξσθία ξξμάζεςαι κάθε ποαγμαςική ρσάοςηρη *: N

ii. Για α έυει όημα ςξ όοιξxlim f (x)

ποέπει η f α είαι ξοιρμέη ρε έα διάρςημα ςη

μξοτή ( , ) . Για α έυει όημα ςξ όοιξxlim f (x)

ποέπει η f α είαι ξοιρμέη ρε έα

διάρςημα ςη μξοτή ( , ) .


8/79

8

Άσκηση 8

i. Να διαςσπώρεςε ςξ θεώοημα Bolzano. Πξια είαι η γεχμεςοική ςξσ εομηεία;

ii. Να ρσγκοίεςε ςξσ αοιθμξύ x και x . Πόςε ιρυύει η ιρόςηςα;

Λύρη

i. Έρςχ μια ρσάοςηρη f , ξοιρμέη ρε έα κλειρςό διάρςημα , . Α η f είαι ρσευή ρςξ

, και επιπλέξ, ιρυύει f ( )·f ( ) 0 , ςόςε σπάουει έα ςξσλάυιρςξ 0x , , ςέςξιξ

ώρςε 0f (x ) 0 . Δηλαδή, σπάουει μια ςξσλάυιρςξ οίζα ςη ενίρχρη f (x) 0 ρςξ αξικςό

διάρςημα , .

Η γεχμεςοική εομηεία ςξσ Θ.Bolzano είαι όςι η γοατική παοάρςαρη ςη f ςέμει ςξ x x

ρεέα ςξσλάυιρςξ ρημείξ.

ii. Για κάθε x x x . Η ιρόςηςα ιρυύει μόξ όςα x 0 .


9/79

9

Άσκηση 9

Δίεςαι ςξ πξλσώσμξ 11 1 0P(x) x x x

και 0x . Να απξδείνεςε όςι:

00

x xlim P(x) P(x )

.

Λύρη

Έρςχ ςξ πξλσώσμξ 11 1 0P(x) x x x

και 0x .

Έυξσμε:

0 0

1

1 0x x x xlim P(x) lim x x

0 0 01

1 0x x x x x xlim x lim x lim

0 0 0

1

1 0x x x x x xlim x lim x lim

1

0 1 0 0 0x x P(x )

πξμέχ0

0x xlim P(x) P(x )


10/79

10

Άσκηση 10

Δίεςαι η οηςή ρσάοςηρηP(x)

f(x)Q(x)

, όπξσ P(x) , Q(x) πξλσώσμα ςξσ x και 0x με

0Q(x ) 0 .

Να απξδείνεςε όςι:0

0

x x0

P(x )P(x)lim

Q(x) Q(x ) .

Λύρη

ίαι: 00 0

0

x x 0

x x x x0

x x

lim P(x)P(x )P(x)

lim f (x) limQ(x) lim Q(x) Q(x )

.

πξμέχ,0

0

x x0

P(x )P(x)lim

Q(x) Q(x ) , ετόρξ 0Q(x ) 0 .


11/79

11

ΘΕΜΑ Β

Άσκηση 1

Δίεςαι η ρσάοςηρη f με ςύπξ:

2x 1f (x) 3e 5x 3 .

α) Να βοείςε ςξ είδξ ςη μξξςξία ςη f .

β) Να βοείςε ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη f .

γ) Να απξδείνεςε όςι η ενίρχρη f (x) 0 έυει ακοιβώ μια λύρη ρςξ .

Λύρη

α) Η ρσάοςηρη έυει f D . Για κάθε 1 2x ,x με 1 2x x έυξσμε:

1 2 1 2 1 2x x 2x 2x 2x 1 2x 1

1 2 1 22x 1 2x 1 2x 1 2x 1e e 3e 3e

και 1 2 1 2 1 2x x 5x 5x 5x 3 5x 3

άοα 1 22x 1 2x 11 2 1 23e 5x 3 3e 5x 3 f (x ) f (x )

.

Οπόςε η f είαι γηρίχ τθίξσρα.

β) Η f έυει πεδίξ ξοιρμξύ ςξ , είαι ρσευή και γηρίχ τθίξσρα, άοα έυει ρύξλξ ςιμώςξ:

x x

f( ) lim f(x), lim f(x)

.

ίαι:

2x 1x xlim f (x) lim 3e 5x 3

2x 1

x x3 lim e 5 lim x 3 3

(ατξύ 2x 1 x 2

x xlim e e lim (e ) e( )

).


12/79

12

2x 1

x xlim f (x) lim ( 3e 5x 3)

2x 1

x x3 lim e 5 lim x 3 0 3

(ατξύ 2x 1 2 xx xlim e e lim (e ) e·0 0

).

πξμέχ είαι f ( ) ( , ) .

γ) Ατξύ ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη f είαι ςξ πξσ πεοιέυει ςξ 0, θα σπάουει 0x ςέςξιξ

ώρςε0

f (x ) 0 . πειδή επιπλέξ η f είαι γηρίχ τθίξσρα ρςξ , η 0x είαι μξαδικήοίζα ςη ενίρχρη f (x) 0 .


13/79

13

Άσκηση 2

Δίεςαι η ρσάοςηρη f με ςύπξ:2011f (x) 2x 5x 7, x .

i. Να απξδείνεςε όςι η ρσάοςηρη f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ .

ii. Να λύρεςε ςη ενίρχρη f (x) 0 .

iii. Να βοείςε ςξ ποόρημξ ςη ρσάοςηρη f .

Λύρη

i. Η ρσάοςηρη f έυει f D . Για κάθε 1 2x , x με 1 2x x . Έυξσμε:

2011 2011 2011 2011

1 2 1 2 1 2x x x x 2x 2x

και 1 2 1 2 1 2x x 5x 5x 5x 7 5x 7 άοα

2011 2011

1 1 2 2 1 22x 5x 7 2x 5x 7 f (x ) f (x ).

Οπόςε η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ .

ii. Η f είαι ρσευή ρςξ και γηρίχ αύνξσρα ρςξ διάρςημα ασςό. νάλλξσ

f (1) 2 5 7 0 και επξμέχ: f (x) 0 x 1

iii. ίαι: f(1) 0 και η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ , ξπόςε:

Για κάθε x 1 , έυξσμε: f (x) f (1) f (x) 0

Για κάθε x 1 , έυξσμε: f (x) f (1) f (x) 0


14/79

14

Άσκηση 3

Δίεςαι η ρσάοςηρη f μεxf (x) 4 e 2 3 .

i. Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη.

ii. Να βοείςε ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη.

iii. Να ξοίρεςε ςη 1f .

Λύρη

i. Ποέπει: x xe 2 0 e 2 x ln 2

Άοα f

D ln 2,

.

ii. Για κάθε 1 2x , x [ln 2, ) με 1 2x x έυξσμε:

1 2 1 2 1 2x x x x x x

1 2x x e e e 2 e 2 e 2 e 2

1 2 1 2x x x x4 e 2 4 e 2 4 e 2 3 4 e 2 3

1 2f (x ) f (x )

Άοα η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ [ln 2, ) . Οπόςε ατξύ η f είαι και ρσευή (ποάνειρσευώ) ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη είαι:

x

f ln 2, f ln 2 , lim f (x)

Έυξσμε:

ln2f (ln2) 4 e 2 3 4·0 3 3

x

x xlim f (x) lim(4 e 2 3)

Άοα f ln 2, 3,

iii. Η f είαι 1-1 χ γήρια αύνξσρα (ii) και επξμέχ αςιρςοέτεςαι.

Για κάθε x ln 2, έυξσμε: f (x) y


15/79

15

x

x

y 3e 2

44 e 2 3 y

y 30

4

2 2

x (y 3)y 3

x ln 2e 244

y 3 y 3

.

Άοα 2

1 (x 3)f (x) ln 24

με 1f D 3, .


16/79

16

Άσκηση 4

Δίεςαι η ρσάοςηρη f με f (x) 2 ln( x 1 1) 3

i. Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη f .

ii. Να απξδείνεςε όςι η f είαι “1-1”.

iii. Να ξοίρεςε ςη 1f

.

iv. Να λύρεςε ςη ενίρχρη 1f (1 x) 2 .

Λύρη

i. Ποέπει:

x 1 0

x 1

x 1 1 0

άοα f D 1,

ii. Έρςχ 1 2x ,x 1, με 1 2f (x ) f (x ) . Έυξσμε:

1 2 1 2f (x ) f (x ) 2ln( x 1 1) 3 2ln( x 1 1) 3

1 22ln x 1 2ln x 1

1 2 1 2 1 2ln x 1 ln x 1 x 1 x 1 x x

Άοα η f είαι “1-1”.

iii. Έυξσμε:

y 3f (x) y y 2ln( x 1 1) 3 ln( x 1 1)2

2y 3 y 3

2 2e x 1 1 e 1 x 1

, ποέπειy 3

2e 1 0

, επξμέχ

y 322x (e 1) 1, y 3.

Άοα

x 3

1 22

f (x) (e 1) 1, x [3, )


17/79

17

iv.

x 1 3 x 21 2 22 2f (1 x) 2 (e 1) 1 2 (e 1) 1

x 2

2(e 1 1

ήx 2

2e 1 1)

x 2

2(e 2

ήx 2

2e 0

αδύαςξ x 2

) ln 2 x 2ln 2 22

.


18/79

18

Άσκηση 5

Δίεςαι η ρσάοςηρη f με

x1

f (x) 3x 22

.

i.

Να βοείςε ςξ είδξ μξξςξία ςη f

ii. Να απξδείνεςε όςι σπάουει μξαδικό x για ςξ ξπξίξ η ρσάοςηρη παίοει ςηςιμή 2011.

iii. Να λύρεςε ςη αίρχρη: x x3x2 2 1

Λύρη

i. Η ρσάοςηρη έυει f D . Για κάθε 1 2x , x με 1 2x x έυξσμε:

1 2x x

1 2

1 1x x

2 2

και 1 2 1 2 1 2x x 3x 3x 3x 2 3x 2

άοα1 2x x

1 2 1 2

1 13x 2 3x 2 f (x ) f (x ).

2 2

Οπόςε η f είαι γηρίχ τθίξσρα ρςξ .

ii. Έυξσμε:

x

x x

1lim f (x) lim 3x 2

2

x

x x

1lim 3 lim x 2 2

2

, ατξύ1

0 12

ξπόςε

x

x

1lim

2

.

x

x x

1lim f (x) lim 3x 2

2

x

x x

1lim 3 lim x 2 0 2

2

, ατξύ1

0 1

2

ξπόςε


19/79

19

x

x

1lim 0

2

πειδή η f είαι ρσευή και γηρίχ τθίξσρα ρςξ , έυει ρύξλξ ςιμώ ςξ:

x xf ( ) lim f (x), lim f (x) ,

πειδή 2011 f( ) και η f είαι γηρίχ τθίξσρα, σπάουει μξαδικό x για ςξ ξπξίξ ηρσάοςηρη παίοει ςη ςιμή 2011.

iii. Η αίρχρη γίεςαι:

x

x x

x

1 13x2 2 1 3x 1 3x 1

2 2

x1

3x 2 3 f (x) 3 f (x) f (0) x 02

(ατξύ f (0) 3 ) και f γηρίχ τθίξσρα ρςξ .


20/79

20

Άσκηση 6

Δίεςαι η ρσάοςηρη f με2011f (x) 3x 2x 5, x .

i. Να απξδείνεςε όςι η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ .

ii. Να απξδείνεςε όςι η ενίρχρη f (x) 0 έυει ακοιβώ μία οίζα ςη x 1 .

iii. Να βοείςε ςξ ποόρημξ ςη f .

Λύρη

i. Η ρσάοςηρη έυει f D . Για κάθε 1 2x , x με 1 2x x έυξσμε:

2011 2011 2011 2011

1 2 1 2 1 2x x x x 3x 3x

και 1 2 1 2 1 2x x 2x 2x 2x 5 2x 5 .

Άοα 2011 20111 1 2 2 1 23x 2x 5 3x 2x 5 f (x ) f(x ) .

Οπόςε η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ .

ii. Έυξσμε: f(1) 0 άοα x 1 οίζα ςη f (x) 0 και επειδή η f γηρίχ αύνξσρα ρςξ ηοίζα ασςή είαι μξαδική.

iii. Ατξύ η ρσάοςηρη f είαι ρσευή ρςξ χ πξλσχσμική και x 1 η μξαδική ςη οίζα,ςόςε ρύμτχα με ςξ θεώοημα Bolzano διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςα διαρςήμαςα ( ,1) και(1, ) .

Η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ άοα για κάθε x 1 ιρυύει f (x) f (1) 0 , εώ για κάθεx 1 ιρυύει f (x) f (1) 0 .


21/79

21

Άσκηση 7

Να βοείςε ςξx 1limf(x)

, όςα:

i.

x 1

2x 1lim f(x)

ii. x 1

f(x)lim

4x 3

iii. x 1lim f (x)(3x 4)

Λύρη

i. Θέςξσμε2x 1

g(x)f(x)

και επειδήx 1limg(x)

είαι g(x) 0 για ςιμέ κξςά ρςξ 1.

πίρη:2x 1 2x 1

g(x) f (x)f (x) g(x)

Οπόςε:x 1 x 1 x 1

2x 1 1limf (x) lim lim (2x 1) 0

g(x) g(x)

ii. Θέςξσμε:f(x)

h(x)4x 3

, ξπόςε f(x) (4x 3)h(x)

πίρη x 1limh(x)

Άοα x 1 x 1limf (x) lim (4x 3)h(x) 7·

iii. Θέςξσμε:

f (x)(3x 4) (x) , ξπόςεx 1lim (x)

πίρη 3x 4 0 για ςιμέ κξςά ρςξ 1, ξπόςεk(x)

f(x)3x 4

Άοαx 1 x 1

1 1limf (x) lim k(x) ( )

3x 4 7

.


22/79

22

Άσκηση 8

Δίεςαι η ρσευή και γηρίχ μξόςξη ρσάοςηρη f : 1,5 ςη ξπξία η γοατική παοάρςαρηπεοάει από ςα ρημεία A(1,8) και B(5,12) .

i.

Να απξδείνεςε όςι η f είαι γηρίχ αύνξσρα.

ii. Να απξδείνεςε όςι η ρσάοςηρη f παίοει ςη ςιμή29

3

iii. Υπάουει μξαδικό 0x 1,5 ςέςξιξ ώρςε:

0

2f (2) 3f (3) 4f (4)f(x )

9

Λύρη

i. ίαι: f (1) 8 και f (5) 12 και ατξύ γηρίχ μξόςξη θα είαι γηρίχ αύνξσρα(1 5 και f (1) f (5) ).

ii. Η f είαι γηρίχ αύνξσρα και ρσευή ρςξ 1,5 άοα έυει ρύξλξ ςιμώ ςξ:

f 1,5 f 1 , f 5 8,12

29 f 1,53

iii. πειδή η f είαι γηρίχ αύνξσρα για κάθε 1 2 f x , x D με 1 2x x θα είαι 1 2f (x ) f (x ) . Έςρι έυξσμε:

1 2 5 f (1) f (2) f (5) 8 f (2) 12 16 2f (2) 24

1 3 5 f (1) f (3) f (5) 8 f (3) 12 24 3f (3) 36

1 4 5 f (1) f (4) f (5) 8 f (4) 12 32 4f (4) 48

ξπόςε:72 2f (2) 3f (3) 4f (4) 108

2f (2) 3f (3) 4f (4)8 12

9

Άοα ρύμτχα με ςξ θεώοημα εδιαμέρχ ςιμώ θα σπάουει0

x (1,5) ςέςξιξ ώρςε:

0 2f (2) 3f (3) 4f (4)f(x )9

και ατξύ f γηρίχ αύνξσρα θα είαι μξαδικό.


23/79

23

Άσκηση 9

Δίεςαι η ρσάοςηρη f μεxf(x) ln(3e 1) 2 .


ii. Να απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι.

iii. Να ξοίρεςε ςη 1f .

iv. Να λύρεςε ςη αίρχρη 1f (x) f (ln 5 2) 2 .

Λύρη

i. Για α ξοίζεςαι η f , ποέπει: x3e 1 0 πξσ αληθεύει για κάθε x R . Άοα, ςξ πεδίξξοιρμξύ ςη είαι: f D

ii. Για κάθε 1 2x , x με 1 2x x έυξσμε:

1 2 1 2 1 2x x x x x x

1 2x x e e 3e 3e 3e 1 3e 1

1 2 1 2x x x xn(3e 1) n(3e 1) n(3e 1) 2 n(3e 1) 2

1 2f(x ) f (x ).

Οπόςε η f είαι γηρίχ αύνξσρα, άοα 1 1 ξπόςε αςιρςοέτεςαι.

iii. Έυξσμε:x y 2 xf (x) y y 2 n(3e 1) e 3e 1

y 2 y 2x e 1 e 1e , 0

3 3

ξπόςε y 2

1x n (e 1), y 2.

3

Άοα 1 x 21

f (x) ln (e 1), x 2,3

iv. Έυξσμε:

1 x ln51

f (x) f (ln5 2) 2 ln 3e 1 2 ln e 1 23

x x x4 4

ln 3e 1 ln 3e 1 9e 3 43 3

x 1 1e x ln x ln99 9


24/79

24

Άσκηση 10

Δίεςαι η ρσάοςηρη f με3f (x) 2x 3x 1

i. Να βοείςε ςξ είδξ μξξςξία ςη f .


iii. Να λσθεί η ενίρχρη 1f (x) 2

iv. Να λσθεί η αίρχρη 1f (x) x 1

Λύρη

i. Η ρσάοςηρη f έυει πεδίξ ξοιρμξύ ςξ .

Για κάθε1 2

x , x με 1 2x x έυξσμε:

3 3 3 3

1 2 1 2 1 2x x x x 2x 2x

και

1 2 1 2 1 2x x 3x 3x 3x 1 3x 1

άοα

3 3

1 1 2 2 1 22x 3x 1 2x 3x 1 f (x ) f (x ).

Οπόςε η f είαι γηρίχ τθίξσρα.

ii. Η f είαι γηρίχ τθίξσρα άοα και 1 1 ξπόςε αςιρςοέτεςαι.

iii. 1 1f (x) 2 f f x f (2) x 23

iv. πειδή η f είαι γηρίχ αύνξσρα, θα ιρυύει:

1 1f (x) x 1 f f (x) f x 1

3 2x 2 x 3x 3x 1 3 x 1 1

3 22x 6x 10x 6 0 (Συήμα Horner)

2

x 1 · 2x 4x 6 0 x 1 (ατξύ 2

2x 4x 6 0 διόςι 16 48 32 0 )


25/79

25

Άσκηση 11

Δίεςαι η γηρίχ αύνξσρα ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει:

f (f (x)) f (x) 3x 2 για κάθε x και f (1) 3

i. Να βοείςε ςξ 1f (1) .

ii. Να βοείςε ςξ f(3)

iii. Να λσθεί η ενίρχρη 1f (x) 3

iv. Να βοεθεί ςξ x

3 x x xlim

f f x f (x) 2

Λύρη

i. Η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ άοα και 1 1 , ξπόςε αςιρςοέτεςαι. Θέςξσμε όπξσ x ςξ1f (1) ρςη δξθείρα ρυέρη και έυξσμε:

1 1 1f f f 1 f f 1 3f 1 2

1 1 1 2f (1) 1 3f (1) 2 4 2 3f (1) f (1)3

ii. Για x 1 η δξθείρα ρυέρη γίεςαι:

f f 1 f (1) 3·1 2 f (3) 3 5 f (3) 2

iii. ίαι:

1f (x) 3 x f (3) x 2 (από ii)

iv. ίαι:

x x3 x x x 3 x x x

lim limf f (x) f (x) 2 3x

x

x 1 x 1 1lim ·

x 3 x 3 3


26/79

26

ατξύ είαι:xx 1

x x x

1 x 1

x x x

και

x x

1 1lim lim 0

x x

Οπόςε από ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή θα είαι καιx

xlim 0

x

. Όμξια και για ςξ

x

xlim

x

.


27/79

27

Άσκηση 12

Δίεςαι η ρσευή ρςξ ρσάοςηρη f για ςη ξπξία ιρυύει όςι:2x 1

f (x) x (x 1)lim 2

x 1

i.

Να απξδείνεςε όςι η γοατική παοάρςαρη ςη f πεοάει από ςξ ρημείξ M(1,1)

ii. Να βοείςε ςξ2x 1

3f (x) 2 1lim

x 1

Λύρη

i. Θέςξσμε: 22

f (x) x (x 1)g(x) f (x) (x 1)g(x) x (x 1).

x 1

Έςρι έυξσμε:

2

x 1 x 1limf (x) lim g(x)(x 1) x (x 1) 1

πειδή η f είαι ρσευή ρςξ θα ιρυύει:x 1

f(1) limf (x) 1

Άοα η γοατική ςη παοάρςαρη πεοάει από ςξ ρημείξ M(1,1)

ii. ίαι x 1lim 3f (x) 2 1 0

, ξπόςε 3f (x) 2 0 , κξςά ρςξ 0x

Άοα

22 2 2x 1 x 1 x 1

3 x 1 g(x) 3 x 3 (x 1) 33f (x) 2 1 3f(x) 3lim lim lim

x 1 x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

3 x 1 (x 1)lim 3g(x) lim 3lim

(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)

x 1 u 0x 13 3 u

6 ·lim lim2 2 ux 1 x 1

3 3 216

4 2 4


28/79

28

Άσκηση 13

Δίεςαι η ρσάοςηρη f μεx 1

f (x) 2ln 31 x

.

i.

Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη f .

ii. Να απξδείνεςε όςι η f είαι ρσευή ρςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη.

iii. Να απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι και α μελεςήρεςε ςη 1f

χ ποξ ςη ρσέυεια.

iv. Να βοείςε ςα όοια:x 1limf(x)

και

x 1lim f(x)

Λύρη

i. Για α ξοίζεςαι η f , ποέπει:

22 2x 1 0 1 x 0 x 1 x 1 x 1 1 x 11 x

Άοα ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη είαι ςξ: f D 1,1

ii. Η f είαι ρσευή χ ρύθερη ςχ ρσευώ ρσαοςήρεχ 2f και 1f με

1f (x) 2 lnx 3 και 2x 1

f (x) 1 x

, ατξύ για κάθε x 1,1 , ιρυύει:

1 2 1 2 2x 1

f of (x) f f (x) 2ln f (x) 3 2ln 31 x

iii. Για κάθε 1 2x ,x ( 1,1) με 1 2f (x ) f (x ) έυξσμε:

1 2 1 21 2

1 2 1 2

x 1 x 1 x 1 x 1f (x ) f (x ) 2ln 3 2ln 3

1 x 1 x 1 x 1 x

1 1 2 2 2 1 2 1 1 2x x x 1 x x 1 x x x x x .

Άοα η f αςιρςοέτεςαι.

ίαι:

y 3

2x 1 x 1

f (x) y y 2ln 3 e1 x 1 x

y 3y 3 y 3 y 3 y 3 2

2 2 2 2y 3

2

e 1x 1 e x·e (1 e )·x e 1 x

e 1


29/79

29

πειδή:y 3 y 3

2 2

y 3 y 3

2 2

e 1 e 11 x 1 1 1 1

e 1 e 1

και

y 3

2

y 3

2

e 11

e 1

ή 1 1 καιy 3

22e 0

πξσ αληθεύξσ για κάθε y , παίοξσμε:

x 3

21

x 3

2

e 1f (x) , x

e 1

Η 1f

είαι ρσευή χ πηλίκξ ςχ ρσευώ ρσαοςήρεχx 3

21

f (x) e 1

καιx 3

22f (x) e 1

. Η 1f είαι ρσευή χ ρύθερη ςχ ρσευώx

1g (x) e 1 και

2

x 3g (x)

2

Ποάγμαςι για κάθε x , ιρυύει:

x 3

21 2 1 2 1g og (x) g g x e 1 f (x)

Η2

f είαι ρσευή χ ρύθερη ςχ ρσευώ x1

h (x) e 1 και2

x 3h (x)

2

.

Ποάγμαςι για κάθε x R , ιρυύει:

x 3

21 2 1 2 2h oh (x) h h (x) e 1 f (x)

iv. ίαι:

x 1 x 1

x 1lim f (x) lim(2 ln 3)

1 x

Α θέρξσμεx 1

u1 x

και ατξύ για x 1 u , θα έυξσμε:

x 1 ulimf (x) lim (2ln u 3)


30/79

30

x 1 x 1 x 1

x 1lim f (x) lim f (x) lim 2ln 3

1 x

Α θέρξσμεx 1

u

1 x

και ατξύ για x 1 u 0 , έυξσμε

x 1 u 0limf(x) lim 2ln u 3


31/79

31

Άσκηση 14

Δίεςαι η ρσάοςηρη *f : και η ρσάοςηρη g με ςύπξx 2

g(x) ln2 x

i.

Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη fog.

ii. Να βοείςε ρσάοςηρη h για ςη ξπξία α ιρυύει: hog (x) x .

iii. Να απξδείνεςε όςι η ρσάοςηρη h είαι πεοιςςή.

Λύρη

i. Για α ξοίζεςαι η g , ποέπει: x 2

0 x 2,22 x

. Άοα ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη g είαι ςξ:

gD 2,2 .

πίρη έυξσμε: *f

D ξπόςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη fog είαι:

fog

x 2 x 2D x ( 2,2) / n 0 x ( 2,2) / 1

2 x 2 x

x ( 2, 2) / x 0 ( 2, 0) (0, 2) .

ii. Ιρυύει x 2

(hog)(x) x h g(x) x h ln x2 x

(1)

Θέςξσμεx 2

u ln2 x

, ξπόςε έυξσμε:

u u ux 2 x 2u ln e 2e xe x 22 x 2 x

u

u

2e 2x

e 1 ατξύ ue 1 0 , για κάθε

u .

Άοα η (1) γίεςαι:u

u

2e 2h(u)

e 1

ή

x

x

2e 2h(x) .

e 1

iii.

Για κάθε x και x .

Για κάθε x έυξσμε:x x xx

x x x

x

22

2e 2 2 2e 2e 2eh( x) h(x).1e 1 1 e 1 e

1

e

Άοα η h πεοιςςή.


32/79

32

ΘΕΜΑ Γ

Άσκηση 1

Δίξςαι ξι ρσευεί ρςξ ρσαοςήρει f και g για ςι ξπξίε ιρυύξσ:

f (x) 0 για κάθε x .

Οι γοατικέ ςξσ παοαρςάρει ςέμξςαι ρςξ A(2, 1) .

1 1 και

2 5 είαι δύξ διαδξυικέ οίζε ςη g(x) 0 .

Να απξδείνεςε όςι:

α) η ρσάοςηρη f διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςξ .

β) g(x) 0 για κάθε x ( 1,5) .

γ)4 2

3x

f (3)·x 2x 1lim

g(2)·x 5

Λύρη

α) Η ρσάοςηρη f είαι ρσευή ρςξ και f (x) 0 για κάθε x .

Έρςχ1 2

x , x με 1 2f(x )·f(x ) 0 .

Τόςε από ςξ θεώοημα Bolzano σπάουει έα ςξσλάυιρςξ 0 1 2x (x , x ) ςέςξιξ ώρςε 0f (x ) 0 πξσ είαι άςξπξ.

Άοα η f διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςξ .

β) Η ρσάοςηρη g είαι ρσευή ρςξ ( 1,5) και g(x) 0 ρςξ ( 1,5) ατξύ 1 και 5 είαιδιαδξυικέ οίζε ςη g(x) 0 .

Άοα διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςξ ( 1,5) . πίρη g(2) 1 0 . Οπόςε g(x) 0 για κάθεx ( 1,5) .

γ) ίαι: f (2) 1 0 . Άοα από α) είαι f (x) 0 για κάθε x .

Οπόςε f (3) 0 . πίρη από β) g(2) 0 .

Άοα4 2

3x x

f (3)·x 2x 1 f (3)lim lim ·x

g(2)·x 5 g(2)

.


33/79

33

Άσκηση 2

Δίεςαι η ρσάοςηρη f : (0, ) με ςύπξ:

4f (x) 2x 3ln x 1 .

i. Να ενεςάρεςε χ ποξ ςη μξξςξία ςη ρσάοςηρη f .

ii. Να βοείςε ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη ρσάοςηρη f .

iii. Να απξδείνεςε όςι για κάθε , η ενίρχρη f(x) έυει μξαδική οίζα.

iv. Να απξδείνεςε όςι σπάουει μξαδικό ποαγμαςικό αοιθμό 0 για ςξ ξπξίξ ιρυύει:

4 1 3 1ln2 2

Λύρη

i. Η ρσάοςηρη f έυει f D (0, ) . Για κάθε 1 2x ,x (0, ) με

1 2x x έυξσμε: 4 4 4 41 2 1 2 1 2x x x x 2x 2x και

1 2 1 2 1 2 1 2x x ln x ln x 3ln x 3ln x 3ln x 1 3ln x 1

άοα 4 41 1 2 2 1 22x 3ln x 1 2x 3ln x 1 f (x ) f (x ) .

Οπόςε η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ (0, ) .

ii. Η f είαι ρσευή και γηρίχ αύνξσρα ρςξ (0, ) άοα έυει ρύξλξ ςιμώ ςξ:

xx 0f ((0, )) (lim f (x), lim f (x))

.

ίαι:

4

x 0 x 0lim f (x) lim (2x 3ln x 1) 0 1

4

x xlim f (x) lim (2x 3ln x 1) ( ) ( ) 1

πξμέχ είαι: f ((0, )) ( , ) .

iii. Η ρσάοςηρη f είαι γηρίχ αύνξσρα και έυει ρύξλξ ςιμώ ςξ , άοα η ενίρχρη

f(x) , όπξσ , έυει μξαδική οίζα.

iv. Έυξσμε:


34/79

34

4 41 3 1ln 2 1 3(ln1 ln )2 2

4 42 1 3ln 2 3ln 1 0 f ( ) 0

Αοκεί α δείνξσμε λξιπό όςι σπάουει μξαδικό 0 ςέςξιξ ώρςε f ( ) 0 . Ασςό ιρυύει ατξύ0 f ((0, )) και η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ (0, ) .


35/79

35

Άσκηση 3

Δίεςαι η ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει η ρυέρη: 32f (x) 3 2x 3f (x) , γιακάθε x .

i.

Να απξδείνεςε όςι η ρσάοςηρη είαι ρσευή ρςξ .

ii. Α ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη f είαι ςξ , α απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι και α

βοείςε ςη 1f .

iii. Να λύρεςε ςη ενίρχρη f (x) 0 .

iv. Να βοείςε ςα κξιά ρημεία ςχ γοατικώ παοαρςάρεχ ςχ ρσαοςήρεχ f και1f .

Λύρη

i.3 32f (x) 3 2x 3f (x) 2f (x) 3f (x) 2x 3 για κάθε x .

Για 0x x είαι3

0 0 02f (x ) 3f (x ) 2x 3 .

Αταιοώςα καςά μέλη, έυξσμε:

3 3 0 0 02 f (x) f (x ) 3 f (x) f (x ) 2(x x )

2 20 0 0 02 f (x) f (x ) f (x) f (x)f (x ) f (x ) 3 f (x) f (x )

02(x x )

00 2 2

0 0

2(x x )f (x) f (x )

2 f (x) f (x)f (x ) f (x ) 3

Ατξύ 2 20 02f (x) 2f(x)f(x ) 2f (x ) 3 0, διόςι είαι δεσςεοξβάθμιξ ςοιώσμξ χ ποξ f(x) με διακοίξσρα:

2 2 2 2

0 0 0 04f (x ) 4·2(2f (x ) 3) 4f (x ) 16f (x ) 24

2 20 o12f (x ) 24 12 f (x ) 2 0

Άοα:0

0 02 2

0 0

2 x xf (x) f (x ) 2 x x

2f (x) 2f(x)f(x ) 2f (x ) 3

.

Οπόςε 0 0 02 x x f (x) f (x ) 2 x x

Αλλά0 0

0 0x x x xlim 2 x x lim 2 x x 0

ξπόςε ρύμτχα με ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή, θα

ιρυύει:


36/79

36

0 00 0

x x x xlim[f(x) f(x )] 0 lim f(x) f(x )

.

ii. Έρςχ1 2

x ,x R με 1 2f (x ) f (x ) ςόςε3 3 3 3

1 2 1 2f (x ) f (x ) 2f (x ) 2f (x ) .

πίρη 1 2 1 2f (x ) f (x ) 3f (x ) 3f (x ) και ποξρθέςξςα καςά μέλη, έυξσμε:

3 3

1 1 2 2 1 2 1 22f (x ) 3f (x ) 2f (x ) 3f (x ) 2x 3 2x 3 x x .

Άοα η f είαι 1-1 και επξμέχ αςιρςοέτεςαι. Η 1f

έυει πεδίξ ξοιρμξύ ςξ ρύξλξ ςιμώ ςηf πξσ είαι ςξ .

ίαι: 1f (x) y x f (y)

Οπόςε:3 3 1

2f (x) 3f (x) 2x 3 2y 3y 2f (y) 3

Άοα3

1 2x 3x 3f (x) , x2

iii.3

1 2·0 3·0 3 3f (x) 0 x f (0)2 2

iv. Η1

f

είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ άοα και η f , ξπόςε ςα κξιά ςξσ ρημεία είαι ρςηy x .

31 1 2x 3x 3f (x) f (x) f (x) x x

2

3 32x 3x 3 2x 2x x 3 0 x 1

Παοαςήοηρη: Τι ποξςάρει

Α) Α η f είαι γηρίχ μξόςξη ςόςε και η 1f είαι γηρίχ μξόςξη με ςξ ίδιξ είδξμξξςξία.

Β) A η f είαι γηρίχ αύνξσρα ςόςε ςα κξιά ρημεία ςχ f C και 1f C , (α σπάουξσ),

βοίρκξςαι ρςη εσθεία y x .

Ποέπει α ςι απξδεικύξσμε για α ςι υοηριμξπξιήρξσμε ρε μία άρκηρη.


37/79

37

Άσκηση 4 (εκτός εξεταστέας ύλης)

Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : 1,2 και ξ μιγαδικό αοιθμό:

2f ( 1) f (2)i

z 1 i

για ςξ ξπξίξ ιρυύει όςι3

Im(z) 2 και5

Re(z) 2 .

i. Να γοάφεςε ςξ z ρςη μξοτή i, , .

ii. Να απξδείνεςε όςι: 2f( 1) f(2) 3 .

iii. Να απξδείνεςε όςι σπάουει έα ςξσλάυιρςξ ( 1,2) ςέςξιξ ώρςε

f ( ) 1 2 f ( )0

2 1

Λύρη

i. ίαι:

2f( 1) f (2)i (1 i) 2f( 1) f (2) 2f( 1) f (2) iz

(1 i)(1 i) 2

2f( 1) f(2) 2f( 1) f(2)i

2 2

ii.3 2f ( 1) f (2) 3

Im(z) 2f ( 1) f (2) 32 2 2

iii. Για 2 και 1 η ενίρχρη ιρξδύαμα γίεςαι:

f ( ) 1 2 f ( )

0 1 f ( ) 1 ( 2) 2 f ( ) 02 1

f ( ) f ( ) 1 2 f ( ) 4 2f ( ) 0 3f ( ) 3 3 0 .

Έρςχ g(x) 3f(x) 3x 3 . Η g είαι ρσευή ρςξ 1,2 χ άθοξιρμα ρσευώρσαοςήρεχ.

πίρη:

g( 1) 3f( 1) 3( 1) 3 3 f ( 1) 2

g(2) 3f(2) 3·2 3 3f(2) 3 3 3 2f( 1) 3


38/79

38

12 6f ( 1) 6 f ( 1) 2

Παοαςηοξύμε όςι: 2g( 1)·g( 2) 18[f( 1) 2] 0 .

Διακοίξσμε ςι πεοιπςώρει:

Α g( 1)·g(2) 0 g( 1) 0 ή g(2) 0 , ςόςε f ( 1) 2 ξπόςε και f (2) 1 (απξ ςξ

(ii)). Τόςε όμχ θα είαι5 3

z i2 2

ΑΤΟΠΟΝ από ςη σπόθερη. Άοα θα είαι

g( 1)·g(2) 0 ςόςε από ςξ θεώοημα Bolzano ποξκύπςει όςι σπάουει έα ςξσλάυιρςξ( 1,2) ςέςξιξ, ώρςε

g( ) 0 3f ( ) 3 3 0

( 1) f ( ) 1 ( 2) 2 f ( ) 0

f ( ) 1 2 f ( )0

2 1

Δηλαδή ςξ ( 1,2) είαι οίζα και ςη αουική ενίρχρη.


39/79

39

Άσκηση 5

Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : η ξπξία είαι γηρίχ μξόςξη ρςξ και η γοατικήςη παοάρςαρη διέουεςαι από ςα ρημεία A( 1,0) και B(2,3) .

i.

Να απξδείνεςε όςι η f είαι γηρίχ αύνξσρα.

ii. Να βοείςε ςξ ποόρημξ ςη f .

iii. Να λύρεςε ςη ενίρχρη xf (2e 1) 3 .

iv. Να λύρεςε ςη αίρχρη f (3x 5) 0 .

Λύρη

i. πειδή η f είαι γηρίχ μξόςξη και με 1 2 είαι f ( 1) 0 f (2) 3 , η f είαιγηρίχ αύνξσρα.

ii. ίαι: f ( 1) 0 και επειδή η ρσάοςηρη f είαι γηρίχ αύνξσρα (άοα και 1-1) η ςιμή πξσμηδείζει ςη f είαι μξαδική. πξμέχ για:

x 1 f (x) f ( 1) f (x) 0

x 1 f (x) f ( 1) f (x) 0 .

Άοα f (x) 0 για κάθε x ( , 1) και f (x) 0 για κάθε x ( 1, ) .

iii. Ατξύ η f είαι 1-1 έυξσμε:

x x xf (2e 1) 3 f (2e 1) f (2) 2e 1 2

x x 1 12e 1 e x ln x ln 22 2

iv. Ατξύ η f είαι γηρίχ αύνξσρα έυξσμε:

f (3x 5) 0 f (3x 5) f ( 1) 3x 5 1 3x 6 x 2 .


40/79

40


Δίξςαι ξι μιγαδικξί αοιθμξί: 1 2z 2 2i, z 2 2i και 1 2z x·z xz , x , x 0

Α

2

2

1 2

zf(x) z z x α σπξλξγίρεςε ςα όοια:

i. xlim f(x)

ii. x 0limf(x)

iii. x

1lim f

x

Λύρη

i. ίαι: z x(2 2i) x(2 2i) (2 x 2x) (2 x 2x)i , ξπόςε 2 2 2z (2 x 2x) (2 x 2x)

2 2 2 2 2 24 x 4x 8x x 4 x 4x 8x x 8 x 8x

1 2z z (2 2i)(2 2i) 4 4 8

πξμέχ

22 2

2

8 x 8x xf (x) 1

8x x

Άοα

22 2

2x x x

8 x 8x xlim f (x) lim lim 1 0 1 1

8x x

ατξύxx 1 1 x 1

x x x x x x

και

x x

1 1lim 0, lim 0

x x ξπόςε, λόγχ ςξσ

κοιςηοίξσ παοεμβξλή,x

xlim 0x

.

ii.

2

2

x 0 x 0

xlimf (x) lim 1 1 1 2

x

iii.

2

2

1x xy 0

x

1

1 yxlim f lim 1 lim 1 21x y

x


41/79

41


Δίεςαι ξ μιγαδικό αοιθμό2i

z 2x , xx i

.

i.

Να γοατεί ξ μιγαδικό αοιθμό z ρςη μξοτή i .

ii. Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξxlim Re(z)

.

iii. Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξ:x

1lim Im(z) x

2

Λύρη

i. ίαι: 2 22i 2i(x i) 2xi 2

z 2x 2x 2xx i x 1 x 1

2 2

2 2x2x i

x 1 x 1

ii.2x x

2lim Re(z) lim 2x 0

x 1

iii. Για x 0 , έυξσμε: 2 2x x x1 1 2x x x

lim Im(z) x lim · x lim2 2 x 1 x 1

x x2

22

x x x 1lim lim · 0·1 0

11 x1x 1

xx

Ατξύxx 1 1 x 1

x x x x x x

και

x x

1 1lim lim 0

x x

ξπόςε από ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή έυξσμε καιx

xlim 0

x

.


42/79

42

Άσκηση 8

Δίεςαι η ρσάοςηρη f ρσευή ρςξ [ 3,3] για ςη ξπξία ιρυύει 2 23x 4f (x) 27 για κάθεx [ 3,3] .

i.

Να βοείςε ςι οίζε ςη ενίρχρη f (x) 0 .

ii. Να απξδείνεςε όςι η f διαςηοεί ποόρημξ ρςξ διάρςημα ( 3,3) .

iii. Να βοεθεί ξ ςύπξ ςη f .

iv. Α επιπλέξ f (1) 6 α βοείςε ςξ όοιξx 0

3 3f(x)

2limx

.

Λύρη

i. Α οίζα ςη f (x) 0 , ςόςε έυξσμε: 2 2 23 4f ( ) 27 9 3 ή 3 .

ii. πειδή η ρσάοςηρη f , χ ρσευή ρςξ [ 3,3] , είαι ρσευή ρςξ ( 3,3) και δεμηδείζεςαι ρςξ διάρςημα ασςό, διαςηοεί ποόρημξ ρςξ ( 3,3) .

iii.

Α f (x) 0 , ςόςε από ςη ρυέρη 2 23x 4f (x) 27 έυξσμε:

227 3xf (x) , x [ 3,3]

2

Α f (x) 0 , ςόςε από ςη ρυέρη 2 23x 4f (x) 27 έυξσμε:

227 3xf (x) , x [ 3,3]

2

iv. f (1) 6 0 άοα από ςξ εοώςημα (Γ3) έυξσμε:

227 3xf (x) , x [ 3,3]

2

.

Οπόςε

2

2

x 0 x 0 x 0

3 3 27 3x 3 3f(x)

27 3x 3 32 2 2lim lim limx x 2x

2

2 2x 0 x 0

27 3x 27 3xlim lim 0

2x( 27 3x 3 3) 2( 27 3x 3 3)


43/79

43

Άσκηση 9

Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : 0, για ςη ξπξία ιρυύει:

2 8 2 x

x 2x 9 3 xf (x) x 3x 3 για κάθε x 0 .Να βοείςε:

i. Τξ όοιξ:2

x 0

x 2x 9 3lim

2x

.

ii. Τξ όοιξ: 7x 0

2limx

x .

iii. Τξ όοιξ:x 0limf(x)

.

iv. Τξ f(0) .

Λύρη

i.

2 2

x 0 x 0 2

x 2x 9 3 x 2x 9 9lim lim

2x 2x x 2x 9 3

x 0 2x x 2 1

lim62x x 2x 9 3

ii. πειδή2

1x

για κάθε x 0 , έυξσμε:

7 7 7 7 7 72 2 2x x · x x x xx x x

Αλλά 7 7x 0 x 0lim x lim x 0

Οπόςε ρύμτχα με ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή θα είαι 7x 0

2lim x 0

x

iii. Για κάθε x 0 έυξσμε:

2 8 2 xx 2x 9 3 xf (x) x 3

x 3


44/79

44

82

2 xx

x 2x 9 3 x 3f(x)x x

Αλλά

2 2

x 0 x 0

x 2x 9 3 x 2x 9 3 1lim 2limx 2x 3

(από i εοώςημα).

8

7

x 0 x 0

2 xx

2 1 1 1x 3lim lim x 0x x 3 3 3

(από ii εοώςημα)

Άοα ρύμτχα με ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή είαιx 0

1limf(x)

3

iv. Ατξύ η ρσάοςηρη f είαι ρσευή ρςξ 0, , είαι ρσευή και ρςξ x 0 . Άοα

x 0

1f (0) limf (x)

3 .


45/79

45

Άσκηση 10

Δίεςαι η ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει: (fof)(x) 2f(x) 2x 1 για κάθε x και f (2) 5 .

i.

Να βοείςε ςξ f(5) .


iii. Να βοείςε ςξ 1f (2) .

iv. Να λύρεςε ςη ενίρχρη: 1 2f f (2x 7x) 1 2 .

Λύρη

i. Η ρυέρη (fof)(x) 2f(x) 2x 1 ιρυύει για κάθε x ξπόςε για x 2 έυξσμε:

f (f (2)) 2f (2) 2·2 1 f (5) 10 5 f (5) 5

ii. Έρςχ1 2

x , x με 1 2f (x ) f (x ) , ςόςε έυξσμε:

1 2 1 2f (x ) f (x ) f (f (x )) f (f (x )) (επειδή η f είαι ρσάοςηρη) και

1 2 1 2f (x ) f (x ) 2f (x ) 2f (x )

άοα 1 1 2 2 1 2 1 2f (f (x )) 2f (x ) f (f (x )) 2f (x ) 2x 1 2x 1 x x

ξπόςε η f είαι 1 1 , άοα αςιρςοέτεςαι.

iii. Θέςξσμε όπξσ x ςξ 1f (2) και έυξσμε:

1 1 1 1f (f (f (2))) 2f(f (2)) 2f (2) 1 f (2) 4 2f (2) 1

1 15 4 1 2f (2) f (2) 4 .

iv. Έυξσμε:

1 2 1 2 1f (f (2x 7x) 1) 2 f (2x 7x) 1 f (2)

1 2 2 2f (2x 7x) 5 2x 7x f (5) 2x 7x 5 0

1x 1 ή 2 5x 2 .


46/79

46


Δίξςαι η ρσάοςηρη f : 2,5 , ξ μιγαδικό αοιθμόf (2) i

z2 f (5)i

και η ρσάοςηρη g με

g(x) 2f(2x 1) f(x 1) .

i. Να γοάφεςε ςξ z ρςη μξοτή i .

ii. Α ξ z είαι ταςαρςικό α απξδείνεςε όςι f (5) 2f (2) .

iii. Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη g .

Λύρη

i. ίαι:

2 2 2

f (2) i 2 f (5)if (2) i 2f (2) f (5) f (2)f (5) 2z i

2 f (5)i 4 f (5) 4 f (5) 4 f (5)

ii. z ταςαρςικό άοα2

2f (2) f (5)Re(z) 0 0 f (5) 2f (2)

4 f (5)

.

iii. Ποέπει:

1x 2

2 2x 1 5 1 2x 4 2

1 x 2

2 x 1 5 1 x 4 1 x 4

.

Άοα gD 1,2 .


47/79

47


Δίεςαι η ρσάοςηρη f : με ςύπξ f (x) 2 z xi 1 για κάθε x , όπξσ z μιγαδικό

με z 2 και 2 Im(z) 2 . Να απξδείνεςε όςι:

i. 2f (x) 2 x 2 Im(z)·x 4 1 για κάθε x

ii. Η f είαι ρσευή.

iii. Υπάουει 0x 0,5 ςέςξιξ, ώρςε 0f (x ) 6

Λύρη

i. ίαι:2 2 2

z xi (z xi)(z xi) z zxi xzi x

2 2z xi x (z z)xi 4

2z xi x 2Im(z)x 4.

Άοα 2f (x) 2 x 2 Im(z)x 4 1 για κάθε x (Ατξύ Δ


48/79

48

Άσκηση 13

Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει 2 2x xf (x) 2 1 για κάθε*x , .

i.

Να απξδείνεςε όςι η f διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςξ .

ii. Α f (0) 2 α βοείςε ςξ ςύπξ ςη f .

iii. Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξ:x

x xx

2f(x) 3lim , 2

3·2 4·3

.

iv. Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξ:x

x xx

2f(x) 3lim , 3

3·2 4·3

Λύρη

i. ίαι 2

2 2x x xf (x) 2 1 1 0 για κάθε x

Η f είαι ρσευή ρςξ και f (x) 0 για κάθε x άοα, η f διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξρςξ .

ii. πειδή f (0) 2 είαι f (x) 0 για κάθε x

Άοα x xf (x) 1 1

iii.x

x xx

2f(x) 3lim

3·2 4·3

x x

x xx

2 2 3lim

3·2 4·3

x x

x

xxx

13 · 2 2 1

3 3 1lim

423 · 3· 4

3

, ατξύ1

0 1,0 13 3

και

20 1

3 άοα

x x x

x x x

2 1lim lim lim 0

3 3 3


49/79

49

iv.x

x xx

2f(x) 3lim

3·2 4·3

x x

x xx

2 2 3lim

3·2 4·3

x x x

x

xxx

1 32 · 2 2

2 2 2lim

32 3 4

2

, ατξύ3

1, 12 2

και

10 1

2 άοα

x x

x x3lim lim 0

2 2

και

x

x1lim2


50/79

50

Άσκηση 14

Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει: 4 4x 1 4f (x) x 2 για κάθεx .

i. Να απξδείνεςε όςι: 1 1f(0)4 2

και 1 3f (1)2 4

.

ii. Να βοείςε ςξ όοιξ: 4x 0

1lim x f

x

.

iii. Να βοείςε ςξ όοιξ:

5

2x 0

1x f 4 3x

xlim

2x 3 x

.

iv.

Να απξδείνεςε όςι σπάουει 0,1 ςέςξιξ, ώρςε f ( ) 0 .

Λύρη

i. Η ρυέρη4 4

x 1 4f (x) x 2 ιρυύει για κάθε x

Για x 0 , έυξσμε:

1 1

1 4f (0) 2 f (0)4 2

Για x 1 , έυξσμε:

1 32 4f (1) 3 f (1)

2 4

ii.Για x 0 , θέςξσμε όπξσ x ςξ1

x ρςη δξρμέη ρυέρη και έυξσμε:

4 4

4 4 41 1 1 1 1 1 1 11 4f 2 x x f xx x x 4 4 x 4 2

ίαι: 4x 0

1 1 1lim x

4 4 4

και 4x 0

1 1 1lim x

4 2 4

Άοα από ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή έυξσμε: 4x 0

1 1limx f

x 4


51/79

51

iii. ίαι:

5 4

2x 0 x 0

1 1 3x 1x f 4 3x x f 4 4·349x x x 4lim lim

x2x 3 x 0 3 12

2x 3 x

ατξύ 4x 0

1 1limx f

x 4

(από ii),x 0 x 0 u 0

3x 3x ulim 3lim 3lim 3·1 3

x 3x u

iv. Έρςχ g(x) f (x) x

Η g είαι ρσευή ρςξ 0,1 . πίρη ιρυύει:

g(0)·g(1) f (0)· f (1) 1 0 ατξύ1 1

f (0) f (0) 04 2

και1 3

f (1) f (1) 12 4

.

Άοα από ςξ θεώοημα Bolzano σπάουει έα ςξσλάυιρςξ (0,1) ςέςξιξ ώρςεg( ) 0 f ( ) 0


52/79

52

Άσκηση 15

i.Αx 0

2f(x) 4lim 2,

x

α βοείςε ςξ

x 0limf(x)

.

ii. Δίεςαι η ρσάοςηρη g : για ςη ξπξία ιρυύει:

xg(x) 2 2 x x x, για κάθε x .

Να βοείςε ςξx 0limg(x)

, α είαι γχρςό όςι σπάουει και είαι ποαγμαςικό αοιθμό.

iii. Να βοείςε ςξ όοιξ:2 2 2

2 2x 0

x f (x) (2x)lim

x x g(x)

Λύρη

i. Θέςξσμε:2f (x) 4 xh(x) 4

h(x) f (x)x 2

Έςρι, έυξσμε:

x 0 x 0

xh(x) 4limf (x) lim 2

2

ii. ίαι:

xg(x) 2 2 x x x , για κάθε x ξπόςε έυξσμε: xg(x) 2 x x x 2

Α x 0 , ςόςε:2 x x x 2 2( x 1) x

g(x) g(x) 1x x x

και

επξμέχ x 0 x 0lim g(x) 2·0 1 1 lim g(x) 0.

Α x 0 , ςόςε: 2 x x x 2 2( x 1) xg(x) g(x) 1x x x και

επξμέχ

x 0 x 0lim g(x) 2·0 1 1 lim g(x) 0.

Άοαx 0limg(x) 0


53/79

53

iii. ίαι:2

2 2

22 2 2

2 2 2x 0 x 02

(2x)x · f (x)

xx f (x) (2x) 4 4lim lim 8.

x x g(x) 1 0xx g(x)

x

Ατξύ

2 22 2

2 2x 0 x 0 u 0x 0

(2x) (2x) (2x) ulim li 4

(m

24lim 4lim 4

x (2x) ux)

και

2 2

x 0 x 0

x 1 xlim lim · 1

x x x


54/79

54

Άσκηση 16

Δίεςαι η ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύει: 33f(x) 2f (x) 4x 1 για κάθε x .

i. Να απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι και α ξοίρεςε ςη 1f .

ii. Να απξδείνεςε όςι η 1f είαι γηρίχ αύνξσρα.

iii. Να βοείςε ςα ρημεία ςξμή ςχ γοατικώ παοαρςάρεχ ςχ ρσαοςήρεχ f και1f ,

α γχοίζεςε όςι ασςά βοίρκξςαι πάχ ρςη εσθεία με ενίρχρη y x .

iv. Να λσθεί η ενίρχρη: x 1f 2e f 3 x .

Λύρη

i. Έρςχ 1 2x , x με 1 2f (x ) f (x ) , ςόςε έυξσμε:

3 3 3 3

1 2 1 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 2f (x ) 2f (x )

και 1 2 1 2f (x ) f (x ) 3f (x ) 3f (x )

άοα 3 31 1 2 2 1 22f (x ) 3f (x ) 2f (x ) 3f (x ) 4x 1 4x 1

ξπόςε η f είαι 1 1 , άοα αςιρςοέτεςαι.

Θέςξσμε όπξσ x ςξ 1f (x) ρςη δξθείρα ρυέρη και έυξσμε:

3

1 1 13f f (x) 2 f f (x) 4f (x) 1

3 13x 2x 4f (x) 1

31 2x 3x 1f (x) .

4

ii. Για κάθε 1 2x , x R με 1 2x x έυξσμε:

3 3 3 3

1 2 1 2 1 2x x x x 2x 2x

και 1 2 1 2 1 2x x 3x 3x 3x 1 3x 1

άοα

3 3

3 3 1 1 2 21 1 2 2

2x 3x 1 2x 3x 12x 3x 1 2x 3x 14 4


55/79

55

1 1

1 2f (x ) f (x ),

ξπόςε 1f γηρίχ αύνξσρα.

iii. Έυξσμε:

1 1f (x) f (x) f (x) x

332x 3x 1 x 2x x 1 0 x 1.

4

iv. Η f είαι 1 1 , ξπόςε έυξσμε:

x 1 x 1 x 1

f (2e ) f (3 x) 2e 3 x 2e x 3 0

(1)

Η (1) έυει ποξταή οίζα ςη x 1 .

Έρςχ x 1g(x) 2e x 3 . Για κάθε

1 2x , x με 1 2x x έυξσμε:

1 2 1 2x 1 x 1 x 1 x 1

1 2 1 2x x x 1 x 1 e e 2e 2e

και 1 2 1 2x x x 3 x 3

άοα 1 2x 1 x 11 2 1 22e x 3 2e x 3 g(x ) g(x )

Οπόςε g γηρίχ αύνξσρα ρςξ . πξμέχ η οίζα x 1 είαι μξαδική.


56/79

56


Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f ρςξ και ξ μιγαδικό αοιθμό z f (x) 2( x)i , ςέςξιξ

ώρςε:2 2z 2Re(z) Im(z) 3x x 10 .

i. Να απξδείνεςε όςι η ρσάοςηρη g(x) f (x) 2 x διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ ρςξ .

ii. Να βοείςε ςη ρσάοςηρη f α f (0) 10 .

iii. Να βοείςε ςξx 0

f (x) x 1 10lim

x

Λύρη

i. ίαι:

2 2z x 3x 2Re(z) Im(z) 10

2 2 2f (x) 4 x x 3x 4f (x) x 10

2 2f (x) 2 x x 3x 10 (1)

Υπξθέςξσμε όςι η ρσάοςηρη g δε διαςηοεί ρςαθεοό ποόρημξ, ςόςε θα σπάουξσ 1 2x , x R

ςέςξια ώρςε: 1 2g(x )g(x ) 0 Άοα, ρύμτχα με ςξ θεώοημα ςξσ Bolzano σπάουει έα ςξσλάυιρςξ 0 1 2x x , x ώρςε

0g(x ) 0 .

Οπόςε:(1)

2 2

0 0 0 0g(x ) 0 g (x ) 0 x 3x 10 0 πξσ είαι άςξπξ ( 31 0 )

ii. ίαι: f (0) 10 0 , άοα από (i) έυξσμε: 2f (x) x 3x 10 2 x

iii. ίαι:

2

x 0 x 0

f (x) x 10 1 x 3x 10 2 x x 10 1lim lim

x x

2

x 0 x 0 x 0

x 3x 10 10 2 x x 1lim lim lim

x x x


57/79

57

2

x 0 2

x 3x 3lim 2·1 0 2

2 10x x 3x 10 10


58/79

58

Άσκηση 18

Δίξςαι ξι ρσαοςήρει f (x) x 1 1 και g(x) 2 x .

i. Να βοείςε ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςχ ρσαοςήρεχ f και g .

ii. Να ξοιρθεί η ρσάοςηρη fog.

iii. Να απξδείνεςε όςι η f αςιρςοέτεςαι και α βοείςε ςη 1f .

iv. Να βοείςε ςξ είδξ ςη μξξςξία ςη ρσάοςηρη fofog.

Λύρη

i. Για α ξοίζεςαι η f , ποέπει: x 1 0 x 1

Άοα ςξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη είαι ςξ: f D 1, .

Τξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη g είαι ςξ: gD (πξλσχσμική)

ii. Τξ πεδίξ ξοιρμξύ ςη fog είαι:

fogD x / 2 x 1 x / x 3 ,3

Άοα για κάθε x ,3 έυξσμε:

fog (x) f g(x) 2 x 1 1 3 x 1

iii. Για κάθε 1 2x , x 1, έυξσμε:

1 2 1 2 1 2f (x ) f (x ) x 1 1 x 1 1 x x .

Άοα, η f αςιρςοέτεςαι.

Έρςχ f (x) y y x 1 1 y 1 x 1 , (ποέπει y 1 ) 2x (y 1) 1 ξπόςε

21f (x) x 1 1 με x 1

iv. Για κάθε 1 2x , x 1, με 1 2x x έυξσμε:

1 2 1 2 1 2 1 2x x x 1 x 1 x 1 1 x 1 1 f (x ) f (x ) .

Άοα η f είαι γηρίχ αύνξσρα. Για κάθε 1 2x , x με 1 2x x έυξσμε:


59/79

59

1 2 1 2 1 2x x 2 x 2 x g(x ) g(x ) .

Άοα η g είαι γηρίχ τθίξσρα.

fofog fo (fog )

D D x ( ,3] / 3 x 1 1 ( , 3] .

Για κάθε 1 2x , x ,3 με

1 2 1 2 1 2x x g(x ) g(x ) f (g(x )) f (g(x )) g γμ.τθίμξσρα f γμ.αύνξσρα

1 2f f g x f f g x .

Άοα η ρσάοςηρη fofog είαι γηρίχ τθίξσρα ρςξ ,3 .


60/79

60

Άσκηση 19

Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f με

2

2

2x x, x 0

x x

f(x) , x 0

8x x 16 3x, x 0

i. Να βοείςε ςα , .

ii. Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξ:xlim f (x)

.

iii.

Να σπξλξγίρεςε ςξ όοιξ: xlim f (x) .

iv. Να απξδείνεςε όςι η ενίρχρη f (x) 2ln(8x 1) έυει μία ςξσλάυιρςξ οίζα ρςξδιάρςημα 0,1 .

Λύρη

i. Η f είαι ρσευή ρςξ , άοα και ρςξ 0x 0

f : ρσευή ρςξ x 0 x 0x 0 lim f (x) lim f (x) f (0)

2x 0 x 0 x 0

x2 ·

2x x 2 ·1xlim f (x) lim lim 2x x 1 x 1

2x 0 x 0lim f (x) lim 8x x 16 3x 4

f(0)

Άοα: 4 και 2 4 2

ii. Για 2 και 4 έυξσμε:

2

2

2x 2 x, x 0

x x

f(x) 4, x 0

8x x 16 3x, x 0

ξπόςε:


61/79

61

2 2

2

2x x x

8x x 16 9xlim f (x) lim 8x x 16 3x lim

8x x 16 3x

2

2

x

2

1 16x 1

1x xlim8 31 16

x 8 3x x

iii. ίαι:

2x x x

x2 2

2x 2 x 1 xxlim lim lim 2 2 0,x x 1 x 1 x x

ατξύ:xx 1 1 x 1

x x x x x x

καιx x

1 1lim lim 0

x x

, ξπόςε από ςξ κοιςήοιξ παοεμβξλή έυξσμε:

x

xlim 0

x

iv. Θεχοξύμε ςη ρσάοςηρη g(x) f(x) 2ln(8x 1), x 0,1

Η g είαι ρσευή ρςξ 0,1 (χ ρύθερη και απξςέλερμα ποάνεχ ρσευώ)

πίρη:

g(0) f (0) 4 0

eg(1) f (1) 2 ln 9 2 2 ln 9 2 ln 0

9

Άοα από ςξ θεώοημα Bolzano έυξσμε όςι η ενίρχρη g(x) 0 f(x) 2ln(8x 1) έυει μιαςξσλάυιρςξ οίζα ρςξ (0,1) .


62/79

62

Άσκηση 20

Δίεςαι η ρσάοςηρη f με

2

3 2

2

x 5x 6, x ( ,0) (0,2)

4(x 2x )

f(x)x 1

, x (2, )2( 4

x )

και η g : 0,1

για ςη ξπξία ιρυύει:

x 0

x·g(x) 2xlim 5

3x

και g(x 3) g(x) f(x) για κάθε x

Να βοείςε:

i. Τξ α σπάουει ςξx 2limf(x)

.

ii.

Τξ όοιξx 0limf(x)

.

iii. Τξ όοιξx 0limg(x)

.

iv. Τξ όοιξx 3limg(x)

.

Λύρη

i. ίαι:2

3 2 2x 2 x 2 x 2

x 5x 6 (x 2)(x 3) 1lim f (x) lim lim

4(x 2x ) 4x (x 2) 16

x 2 x 2

x 1lim f (x) lim

2(x 2)(x 2)

Έυξσμε:x 2lim ( x 1) 2 1

καιx 2lim 2(x 2)(x 2) 0

Α1

2 1 02

ςόςε ςξx 2lim f (x)

ή .

Α1

2 1 02

ςόςε έυξσμε:


63/79

63

x 2 x 2 x 2

1x 1

(x 2) 12lim f (x) lim lim .2(x 2)(x 2) 4(x 2)(x 2) 16

Δηλαδή σπάουει ςξ x 1limf(x) α και μόξ α

1

2

ii. ίαι:

2

23 2x 0 x 0x 0

x 2 x 3x 5x 6lim f (x) lim lim

4x x 24 x 2x

iii. Θέςξσμε:

xg(x) 2x

h(x) xg(x) 3xh(x) 2x3x

και για x 0 έυξσμε:

x 0 x 0 x 0 x 0

3xh(x) 2x 1 1limg(x) lim 3·5lim 2lim 15 2 13

x xx

x x

iv. ίαι: x u 3

x 3 u 0 u 0lim g(x) lim g(u 3) lim g(u) f (u) 13 ( )


64/79

64

ΘΕΜΑ Δ


Δίεςαι η ρσάοςηρη f με ςύπξ:

55 3 *f (x) 2x z x 2 z , , z x C

α) Να ενεςάρεςε χ ποξ ςη μξξςξία ςη ρσάοςηρη f .

β) Να βοείςε ςξ ρύξλξ ςιμώ ςη f .

γ) Να απξδείνεςε όςι η ενίρχρη f (x) 0 έυει ακοιβώ μία οίζα ρςξ διάρςημα 0, z .

δ) Α

5

3x 0

f (x) 2 zlim 1

x

, α βοείςε ςη καμπύλη ςξσ μιγαδικξύ επιπέδξσ, ρςη ξπξία

αήκξσ ξι εικόε ςξσ μιγαδικξύ αοιθμξύ z .

Λύρη

α) Για κάθε1 2

x , x με 1 2x x έυξσμε:

5 5 5 5

1 2 1 2 1 2x x x x 2x 2x και

3 3 3 3

1 2 1 2 1 2x x x x z x z x

5 53 3

1 2z x 2 z z x 2 z .

Άοα5 55 3 5 3

1 1 2 2 1 22x z x 2 z 2x z x 2 z f (x ) f (x ) .

Οπόςε η f είαι γηρίχ τθίξσρα ρςξ .

β) Η f έυει πεδίξ ξοιρμξύ ςξ , είαι ρσευή και γηρίχ τθίξσρα, άοα έυει ρύξλξ ςιμώ

ςξ:

x x

f( ) lim f(x), lim f(x)

. ίαι:

55 3x xlim f (x) lim 2x z x 2 z

5xlim 2x 2

55 3

x xlim f (x) lim 2x z x 2 z


65/79

65

5xlim 2x 2

πξμέχ είαι: f (R) ,

γ) Για ςη ρσευή ρσάοςηρη f ρςξ 0, z , ιρυύξσ:

5f (0) 2 z 0

5 4 5 4

f z 2 z z 2 z z 0

Άοα από ςξ θεώοημα Bolzano η f (x) 0 έυει μία ςξσλάυιρςξ οίζα ρςξ 0, z και επειδή η f

είαι γηρίχ τθίξσρα ρςξ

0, z η οίζα είαι μξαδική.

δ)

5

3x 0

f (x) 2 zlim

x

5 55 3

3x 0

2x z x 2 z 2 zlim

x

3 2 2

33x 0 x 0x 2x z 2x z zlim lim 1

x 1x

x

Άοα ξι εικόε ςξσ z ρςξ μιγαδικό επίπεδξ, αήκξσ ρςξ μξαδιαίξ κύκλξ.


66/79

66

Άσκηση 2

Δίεςαι η ρσάοςηρη f με3xf (x) 3ln 2x e 4x 2 .

i. Να ενεςάρεςε χ ποξ ςη μξξςξία ςη f .

ii. Να σπξλξγίρεςε ςα όοια:x 0limf(x)

και

xlim f (x)

.

iii. Να λσθεί η ενίρχρη3

2f (x) e

iv. Να βοείςε ςξ ποαγμαςικό θεςικό αοιθμό μ για ςξ ξπξίξ ιρυύει:

22 2 3( 1) 63ln 4 3ln(2 2) 4( 1) e e 8

Λύρη

i. Η ρσάοςηρη f έυει f D (0, ) . Για κάθε 1 2x ,x (0, ) με 1 2x x έυξσμε:

1 2 1 2 1 2 1 2x x 2x 2x ln2x ln2x 3ln2x 3ln2x

και 1 23x 3x1 2 1 2

x x 3x 3x e e

και

1 2 1 2 1 2x x 4x 4x 4x 2 4x 2.

Άοα 1 23x 3x1 1 2 2 1 23ln2x e 4x 2 3ln2x e 4x 2 f (x ) f (x ).

Οπόςε η f είαι γηρίχ αύνξσρα ρςξ (0, ) .

ii.ίαι:

3x

x 0 x 0limf (x) lim(3ln 2x e 4x 2) 1 0 2

ατξύx 0 u 0limln2x limlnu

, και 3x u

x 0 u 0lime lime 1

.

3x

x xlim f (x) lim(3ln2x e 4x 2)

ατξύx ulim ln 2x lim ln u

και

3x u

x ulim e lim e


67/79

67

iii.

3

2 1 1

f (x) e f (x) f x2 2

, (ατξύ η f γηρίχ αύνξσρα άοα και 1-1) και η οίζα

είαι μξαδική.

iv. ίαι:

22 2 3( 1) 63ln4 3ln(2 2) 4( 1) e e 8

26 2 3( 1) 23ln4 e 8 3ln2( 1) e 4( 1)

23(2 ) 2 3( 1) 23ln2·(2 ) e 4·(2 ) 2 3ln2( 1) e 4( 1) 2

2 2f (2 ) f ( 1) 1 2 1 (Διπλή οίζα).


68/79

68

Άσκηση 3

Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : για ςη ξπξία ιρυύξσ ξι ρσθήκε:

213 x 2xf (x) x

2 , για κάθε x .

24f(x) 3f(x 1) 2x 2013 , για κάθε x .

i. Να βοείςε ςξ όοιξx 0limf(x)

.

ii. Να βοείςε ςξ f (1) .

iii. Να απξδείνεςε όςι η γοατική παοάρςαρη ςη f ςέμει ςη γοατική παοάρςαρη ςη

ρσάοςηρη g(x) x 1 ρε έα ςξσλάυιρςξ ρημείξ με ςεςμημέη 0x (0,1) .

Λύρη

i. Ιρυύει: 21

3 x 2xf (x) x , x2

Για x 0, έυξσμε: 2 2 21 1 1

3 x 2xf (x) x x 3 x 2xf (x) x2 2 2

1 3 x 1 3 xx f (x) x ·4 2 x 4 2 x

αλλά:x 0

1 3 x 3lim x ·

4 2 x 2

καιx 0

1 3 x 3lim x ·

4 2 x 2

Για x 0 , έυξσμε:1 3 x 1 3 x

x · f (x) x ·4 2 x 4 2 x

αλλά

x 0

1 3 x 3lim x ·

4 2 x 2

καιx 0

1 3 x 3lim x ·

4 2 x 2

ξπόςε λόγχ ςξσ κοιςηοίξσ παοεμβξλή έυξσμε:

x 0

3lim f (x)

2

Άοαx 0 x 0

3lim f (x) lim f (x)

2 και επξμέχ

x 0

3limf(x)

2 .


69/79

69

ii. Η ρυέρη 24f(x) 3f(x 1) 2x 2013 ιρυύει για κάθε x R άοα και για x 0 ξπόςεέυξσμε:4f (0) 3f (1) 2013. Αλλά f ρσευή ξπόςε:

x 0

3f (0) limf (x)

2

.

Άοα3

4· 3f (1) 2013 f (1) 6732

.

iii. Αοκεί α σπάουειo

x (0,1) ςέςξιξ, ώρςε 0 0 0 0f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) 0 Έρςχ h(x) f (x) g(x), x [0,1] . ίαι:

3 1h(0) f (0) g(0) 1 0

2 2

h(1) f(1) g(1) 673 0

Οπόςε:673

h(0)h(1) 02

πειδή η h είαι ρσευή ρςξ [0,1], χ διατξοά ρσευώ ρσαοςήρεχ, από ςξ θεώοημα

Bolzano ρσμπεοαίξσμε όςι σπάουει έα ςξσλάυιρςξ 0x (0,1) ςέςξιξ, ώρςε 0 0f (x ) g(x ) .


70/79

70


Δίεςαι η ρσάοςηρη f με f (x) 2 z 2x 3 z , z C



iii. Α ξι γοατικέ παοαρςάρει ςχ f και1f έυξσ μόξ έα κξιό ρημείξ πάχ ρςη

εσθεία με ενίρχρη y x , α βοείςε ςξ γεχμεςοικό ςόπξ ςχ εικόχ ςξσ z.

iv. Α ξι εικόε ςχ μιγαδικώ1

z , 2z αήκξσ ρςξ ποξηγξύμεξ γεχμεςοικό ςόπξ, α

απξδείνεςε όςι1 27 z z 2 .

Λύρη

i. Ποέπει:

32x 3 z 0 x z

2 .

Άοαf

3D z ,

2

ii. Για κάθε 1 2 f x ,x D με 1 2x x έυξσμε:

1 2 1 2 1 2x x 2x 2x 2x 3 z 2x 3 z

1 2 1 22x 3 z 2x 3 z 2 z 2x 3 z 2 z 2x 3 z

1 2f (x ) f (x ) .

Οπόςε η ρσάοςηρη f είαι γηρίχ αύνξσρα άοα και 1-1 ξπόςε αςιρςοέτεςαι.

iii. Η f είαι γηρίχ αύνξσρα άοα για κάθε f x D έυξσμε:

1f (x) f (x) f (x) x 2 z 2x 3 z x

2 22x 3 z 2 z x 2x 3 z 4 z x 4 z x

22x 2 2 z 1 x 4 z 3 z 0

Ποέπει: 0 (ατξύ ξι 1f f C ,C έυξσ μόξ έα κξιό ρημείξ)


71/79

71

2 2 14 4 z 4 z 1 16 z 12 z 0 z7

Άοα ξ γεχμεςοικό ςόπξ είαι κύκλξ με κέςοξ 0 0,0 και ακςία1

7

iv. Ατξύ ξι εικόε ςχ μιγαδικώ1 2

z , z αήκξσ ρςξ ποξηγξύμεξ γεχμεςοικό ςόπξ ιρυύει:

1 2 1 2

1z z 2· 7 z z 2

7


72/79

72


Δίεςαι η ρσευή ρσάοςηρη f : και ξ μιγαδικό αοιθμό z 1 f (2)i για ςξ ξπξίξιρυύει z 9i 3 z i .

Να απξδείνεςε όςι:

i. z 3

ii. 2f (2) 8

iii. Υπάουει ςξσλάυιρςξ έα 0x (0,2) ςέςξιξ, ώρςε: 0x2

0 03x f (x ) 9 8 .

Λύρη

i. ίαι:

2 2

z 9i 3 z i z 9i 9 z i z 9i z 9i 9 z i z i

2 2z 9zi 9zi 81 9 z 9zi 9zi 9

28 z 72 z 3

ii. ίαι:2 2 2z 3 1 f (2)i 9 1 f (2) 9 f (2) 8

iii. Έρςχ 2 xg(x) 3xf (x) 8 9

Η g είαι ρσευή ρςξ 0,2 . πίρη g(0) 8 0 και 2g(2) 6f (2) 64 9 7 0 .

Άοα g(0)·g(2) 0 , ξπόςε λόγχ ςξσ θεχοήμαςξ ςξσ Bolzano, σπάουει 0x 0,2 ώρςε0x2

0 0 0

g(x ) 0 3x f (x ) 9 8


73/79

73


Δίεςαι ρσάοςηρη f με

2

x 1z 3i , x 1

x 1

f(x)

1 (x 1)z 1 4i , x 1

4 x 1

Α σπάουει ςξx 1limf(x)

ςόςε:

i. Να βοείςε ςξ γεχμεςοικό ςόπξ ςχ εικόχ ςξσ z .

ii. Να βοείςε ςξ ρημείξ ςξσ γεχμεςοικξύ ςόπξσ πξσ απέυει ςη ελάυιρςη απόρςαρη από ςηαουή ςχ ανόχ.

iii. Να απξδείνεςε όςι σπάουει έα ςξσλάυιρςξ 0,1 ςέςξιξ ώρςε 14e 15 z 1 .

Λύρη

i. Ατξύ σπάουει ςξx 0limf(x)

θα ιρυύει:

x 1 x 1lim f(x) lim f(x)

ίαι:2

x 1 x 1

x 1lim f (x) lim z 3i

x 1

x 1

x 1 1lim z 3i z 3i

4(x 1)(x 1)( x 1)

και

x 1 x 1

1 (x 1) 1lim f (x) lim z 1 4i z 1 4i

4 x 1 4

διόςι

u 0x 1

(x 1) ulim lim 1

x 1 u

Άοα

2 21 1z 3i z 1 4i z 3i z 1 4i

4 4

z 3i z 3i z 1 4i z 1 4i

2 2z 3zi 3zi 9 z z 4zi z 1 4i 4zi 4i 16

Psifiako Sxoleio Kef 2

Documents

Transcript of Psifiako Sxoleio Kef 2